2. matematiČki modeli izravnanja mreŽa u...2.1 metod najmanjih kvadrata u teoriji izravnanja...

2. MATEMATIČKI MODELI

IZRAVNANJA MREŽA U

PREMERU

- METOD NAJMANJIH KVADRATA -

2.0 UVOD

U teoriji i praktičnim primenama izravnanja

geodetskih mreža, postoji širok spektar različitih

matematičkih modela izravnanja.

Osnovne komponente metoda izravnanja su:

• merene veličine,

• stohastički model,

• funkcionalni model,

• algoritam izravnanja,

• ocene parametara,

• ocena tačnosti i

• kontrola kvaliteta.

2.1 METOD NAJMANJIH KVADRATA

U teoriji izravnanja geodetskih mreža, koja se bazira na

primeni metoda najmanjih kvadrata (MNK), postoje

različiti matematički modeli izravnanja.

U praktičnim primenama izravnanja geodetskih mreža

najčešće se koriste sledeće metode:

• izravnanje po metodi posrednih merenja,

• izravnanje po metodi uslovnih merenja,

• izravnanje po metodi uslovnih merenja sa

nepoznatim parametrima,

• izravnanje po metodi posrednih merenja kada su

parametri u određenim matematičkim uslovima.


Merene velicine

Algoritam

i njihova tacnost

Ocene parametara

Stohasticki

model

izravnanja

kvaliteta

Kontrola

MNK

modelFunkcionalni

Komponente metoda izravnanja po MNK


MERENE VELIČINE

Za merene veličine nlll ..., , , 21 formira se:

=

nl

l

l

...

2

1

l

=

2

1

2

2

...

............

...

...

2

2212

1211

nnn

n

n

lllll

lllll

lllll

lK

Merene veličine su slučajne veličine koje slede normalnu

raspodelu verovatnoća simbolično izraženo u obliku

),(~ll

Kμl Ngde je:

kovarijansa.

standardna devijacija


STOHASTIČKI MODEL

Stohastički model je identičan za sve metode izravnanja

jer se odnosi na vektor merenih veličina . l

.

Kada su merene veličine u geodetskim mrežama

stohastički zavisne veličine treba koristiti kovarijacionu

matricu

llQK =

2

o

gde su:

standardna devijacija jedinice težine

kovarijaciona matrica

matrica kofaktora

o

lK

lQ

(1)


Kada su merene veličine stohastički nezavisne onda su

svi elementi van glavne dijagonale kovarijacione

matrice jednaki nuli

1

llPK

−=

=

=2

2

1

2

2

2

2

1

1

1

2

1

o

n

o

l

l

l

p

p

p

n

gde je:

kovarijansa.

koeficijent korelacije

2

2

il

o

ip

= težine rezultata merenja


gde je

=−

np

p

p

/1

/1

/1

2

1

1

lP

odnosno, matrica težina, biće

( )n

n

pppDiag

p

p

p

21

2

1

=

=l

P


llKQ =

2

1

o

Iz izraza za kovarijacionu matricu (1) sledi

matrica kofaktora merenih veličina u obliku

Matrica težina merenih veličina po definiciji je

1

l

2

o

1

llKσQP

−−==

(2)

(3)

i ona reprezentuje stohastički model rezultata merenja.


Za stohastički nezavisna merenja matrica težina (3)

ima oblik

=

=

n

l

o

l

o

l

o

p

p

p

n

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

lP

gde je:

kovarijansa.

koeficijent korelacije


gde su težine pojedinih rezultata merenja

2

2

il

o

ip

=

(4)

Težine merenih veličina izražavaju stepen poverenja

u rezultate merenih veličina.


Za rezultate merenja homogene tačnosti važi

olll n ==== ...

21

pa matrica težina (3) postaje jedinična matrica

IPl

=

=

1

1

1


FUNKCIONALNI MODEL

Oblik funkcionalnog modela zavisi od metoda

izravnanja geodetske mreže i njene geometrije.

U opštem slučaju funkcije veze u modelima

izravnanja su nelinearne i pišu se u implicitnom

vektorskom obliku.

Kada je kreiran funkcionalni modeli izravnanja

neophodno je odrediti i korespondentan

stohastički model izravnanja.


OPŠTI NELINEARNI FUNKCIONALNI MODEL

POSREDNOG IZRAVNANJA

U opštem slučaju funkcije veze su nelinearne i pišu se

u implicitnom vektorskom obliku

)XF(vll ˆˆ =+=


gde su vektori

=

nl

l

l

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ 2

1

l

=

nl

l

l

2

1

l

=

n

2

1

v

=

)(F

)(F

)(F

n X

X

X

)XF(

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ 2

1


Vektor izravnatih parametara je

xXX0

ˆˆ +=

gde su vektori

=

t

y

x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

X

=

0

0

0

t

y

x

0

X

=

dt

dy

dx

x̂


Opšti nelinearni funkcionalni model posrednog

izravnanja i stohastički model imaju oblik

2.1. METOD NAJMANJIH KVADRATA


USLOVNOG IZRAVNANJA

U opštem slučaju uslovne jednačine su nelinearne

i pišu se u implicitnom vektorskom obliku

( ) TvlF)lF( =+=ˆ

2.1. METOD NAJMANJIH KVADRATA

gde su vektori

=

)(F

)(F

)(F

r l

l

l

)lF(

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ 2

1

=

rT

T

T

2

1

T


Opšti nelinearni funkcionalni model uslovnog

izravnanja i stohastički model imaju oblik



USLOVNOG IZRAVNANJA SA NEPOZNATIM

PARAMETRIMA

U opštem slučaju uslovne jednačine su nelinearne

i pišu se u implicitnom vektorskom obliku

( ) TXvlF)XlF( =+= ˆ ,ˆ ,ˆ


Opšti nelinearni funkcionalni model uslovnog

izravnanja sa nepoznatim parametrima i stohastički

model imaju oblik


U svim metodama izravnanja nelinearni funkcionalni

modeli prevode se u linearne modele

aproksimacijom linearnog dela Tajlorovog reda.

Za tačke razvoja u Tajlorov red koriste se:

• rezultati merenja

• privremene vrednosti nepoznatih parametara

l

0X


U opštem metodu, uslovnog izravnanja sa

nepoznatim parametrima Tajlorov red je oblika

TdxX

Fv

l

F Xl,Fdx)Xv,F(l)X,lF(

0

00=

+

+=++= )( ˆˆ

U narednim poglavljima posvećenim metodama

izravnanja detaljno se razmatraju linearizacije

nelinearnih funkcionalnih modela primenom Tajlorovog

reda kao i sistemi linearnih jednačina.


ALGORITAM IZRAVNANJA

Najznačajnija komponenta metoda izravnanja je algoritam

izravnanja odnosno primena MNK.

Linearni sistemi su nesaglasni odnosno imaju višeznačna

rešenja.

Primenom MNK obezbeđuju se jednoznačni rezultati,

odnosno od mnoštva mogućih dobijaju se najbolja rešenja

primenom uslova minimuma:


OCENA PARAMETARA

Komponenta metoda izravnanja koja se odnosi na

ocene parametara i njihovu tačnost daje potpune

informacije o rezultatima izravnanja.

Određuju se jedinstvene ocene za:

x̂ vektor nepoznatih parametara

l̂ vektor izravnatih rezultata merenja

v vektor popravaka.


Pored ocena vrednosti pojedinih veličina neophodno je

odrediti i njihovu tačnost.

Tačnost pojedinih veličina određuje se kovarijacionim

matricama:

xK ˆ

lK ˆ

vK

nepoznatih parametara

izravnatih rezultata merenja

popravaka.


Lokalne mere

Globalne mere

Globalne Lokalne mere mere

Tacke

Tacnost

Funkcije

Globalne Globalne mere mere

Lokalne mere

Lokalne mere

Pouzdanost

Kvalitet

Unutrašnja Spoljašnja

Koncept kvaliteta geodetskih mreža

Kvalitet geodetskih mreža nakon izravnanja određen je sa dve

podjednako važne komponenete: tačnost i pouzdanost.

KONTROLA KVALITETA


Koncept kvaliteta primenjuje se u analizi

geodetskih mreža nakon izravnanja, pri

projektovanju geodetskih mreža u okviru

prethodne anlize tačnosti i optimizacije

geodetskih mreža.

Prva komponenta se odnosi na globalne i lokalne

mere tačnosti tačaka ili funkcija.

Druga komponenta se odnosi na globalne i lokalne

mere pouzdanosti unutrašnje ili spoljašnje.

KONTROLA KVALITETA

2. matematiČki modeli izravnanja mreŽa u...2.1 metod najmanjih kvadrata u teoriji izravnanja...

Documents