zadatak 1. u temenima kvadrata stranice ) nalaze se mala...
TRANSCRIPT
Zadatak 1. U temenima kvadrata stranice a (Sl.1) nalaze se mala tela istoimene količine
naelektrisanja C104 11Q u vakumu. Koliku količinu elektriciteta negativnog znaka
treba postaviti u tačku preseka dijagonala, da bi rezultujuća sila na svako naelektrisanje
bila jednaka nuli?
Sl.1
Rešenje:
Kulonove sile izmeĎu naelektrisanja smeštenih u temenima 2, 3 i 4 i
naelektrisanja u temenu 1, dati su Kulonovim zakonom sledećim izrazima:
02122 rFF
, 22 k
a
QQF ;
03133 rFF
, 23
2k
a
QQF i
04144 rFF
, 24 k
a
QQF ,
gde je 2
29
C
Nm109k , a 021r
, 031r
i 041r
su jedinični vektori meĎusobnog rastojanja
naelektrisanih tela, orjentisanih prema telu na koje sile deluju. Intenzitet rezultujuće sile
svih pozitivnih naelektrisanja koja deluju na telo naelektrisanja u tački 1 je:
4
4
4
4
2
22
4
2
23 k2
ka
Q
a
Q
a
QFFFF ,
1222
k2
2
a
QF .
U tačku 0 treba postaviti negativno naelektrisanje xQ koje će na naelektrisanje u tački 1
delovati silom F , koja je po pravcu i intenzitetu jednaka sili F , a po smeru suprotna.
013rFF ,
22
2k
)22(k
a
a
QQF xx .
Dakle
22
2 2k122
2k
a
a
Q x ,
pa je
C1028,381224
12Q
Qx .
Zadatak 2. Dva tačkasta nelektrisanja se nalaze u vazduhu na rastojanju od cm50 . Na
koje rastojanje treba postaviti ta naelektrisanja u ulje relativne dielektrične konstante
5 r pa da se Kulonova sila ne promeni.
Rešenje:
Intenziteti Kulonovih sila u vazduhu i ulju datie su izrazima:
2
1
21kr
QQFV i
2
2
21k
r
QQF
r
U
.
Izjednačavanjem ovih izraza dobija se:
2
2
21
2
1
21kr
QQk
r
r ,
2
2
2
1
11
rr r ,
pa zamenom datih vreednosti sledi
cm36,225002 r .
Zadatak 3. U tačke A i B formiranog električnog polja unesena su naelektrisanja
C102 6
1
Q i C106 6
2
Q . Pri tome na naelektrisanje 1Q deluje sila
N04,01 AF u smeru 1x
dok na naelektrisanje 2Q deluje sila N06,02 BF u smeru 2x
kao na slici. Ako naelektrisanja 1Q i 2Q zamene mesta , odrediti intenzitete i smerove
sila na njih. MeĎusobno delovanje naelektrisanja 1Q i 2Q zanemariti.
Rešenje:
Sl. 2 Sl.3
Intenziteti i smerovi vektora električnog polja u tačkama A i B su:
m
V1020
m
V
102
04,01
3
16
1
1 xxQ
FE A
A
m
V1010
m
V
106
06,02
3
26
2
2 xxQ
FE B
B
Kako polja AE
i BE
imaju nepromenjen smer i intenzitet u slučaju premeštanja
naelektrisanja, to sile 2AF
i 1BF
na naelektrisanja 2Q i 1Q u tačkama A i B su:
N12,0 122 xQEF AA
, N02,0 211 xQEF BB
.
Zadatak 4. Tri mala tela jednakih naelektrisanja nC10Q nalaze se u temenima
jednakostraničnog trougla stranice cm2a (vidi sliku). Koliki je intenzitet
elektrostatičkog polja u temenu pravilnog tetraedra koji ima za osnovu ovaj trougao.
Sl. 4
Rešenje:
Iz razloga simetrije intenziteti vektora elektrostatičkog polja u tački D koji potiču
od pojedinih naelektrisanja su jednaki i iznose:
2k
a
QEEE CBA ,
a intenzitet rezultujućeg elektrostatičkog polja u tački D jednak je geometrijskom zbiru
intenziteta ovih polja. Kako su horizontalne komponente vektora AE
, BE
i CE
jednake i
zaklapaju meĎusobno ugao 32 , to je vektorski zbir ovih komponenti jednak nuli.
Vektori AE
, BE
i CE
zaklapaju sa vertikalom uglove
2, a vertikalne komponente
imaju isti intenzitet, pa je intenzitet rezultujućeg elektrostatičkog polja
m
kV551sink3
2
a
QE .
Zadatak 5. Četriri mala tela istih naelektrisanja nC1Q nalaze se u temenima kvadrata
stranice cm3a (vidi sliku). Odrediti potencijal u preseku dijagonala kvadrata i
potencijalnu razliku izmeĎu te tačke i sredine jedne od stranica kvadrata.
Sl. 5
Rešenje:
Potencijal elektrostatičkog polja koje potiče od više tačkastih naelektrisanja u vakumu je
n
i i
i
r
QV
104
1.
U ovom slučaju potencijal tačke A je
kV22,12
22
4
4
1
00
a
Q
a
QVA .
Potencijal tačke B je
10
2
2
2
4
1
r
Q
a
QVB , 5
21
ar ,
pa je prema tome
kV74,1kV5
512,1
BV .
Razlika potencijala ovih tačaka je:
V6,39 BAAB VVU .
Zadatak 6. Dve provodne sfere poluprečnika cm101 a i cm52 a nalaze se u
vazduhu i naelektrisane su sa pC1001 Q i pC2002 Q . Spojene su prema slici.
a) Izračunati napon izmeĎu tačaka A i B koje se nalaze na površi sfera pri otvornom
prekidaču
b) Izračunati količinu naelektrisanja koja protekne kroz provodnik kada se prekidač
zatvori i potencijale obe sfere.
1a
2aA
B
Sl. 6
Rešenje:
a)
V9k1
1 a
QVA , V36k
2
2 a
QVB , V27 BAAB VVU
b)
Kada se prekidač zatvori elektricitet protiče dok se potencijal obe kugle ne izjednače,
BA VV . Kako su naelektrisanja prve i druge kuglice QQ 1 i QQ 2 , to je
2
2
1
1 kka
a
.
Zamenom datih vrednosti dobija se
pC100Q , odnosno V18 BA VV .
Zadatak 7. Na rastojanju m5.0r od naelektrisanja Q potencijal iznosi kV1V .
Koliko iznosi intenzitet električnog polja u tački A koja se nalazi na rastijanju m2 od
naelektirsanog tela.
Rešenje:
m
V125kkk
2
1
2
1
2
1
r
rV
r
rV
r
QEA .
Zadatak 8. Dve metalne kugle postavljene u vakumu su naelektrisane istim količinama
naelektrisanja nC2Q i imaju kapacitete pF101 C i pF202 C . Izračunati
poluprečnik kugli i napon izmeĎu njih.
Rešenje:
1
1 kr
QV i
2
2 kr
QV ,
pa je
1
1
k
V
Qr odnosno
2
2
k
V
Qr ,
gde je
V2001
1 C
QV i V100
2
2 C
QV .
Dakle, zamenom ovih vrednosti dobija se m09.01 r i m18.02 r a
V1002112 VVU .
Zadatak 9. U vakumu se nalazi provodna kugla naelektrisana nepoznatom količinom
elektriciteta Q . Poluprečnik kugle je r . Pri pomeranju tačkastog naelektrisanja
pC1pQ iz tačke A u tačku B elektrostatička sila izvrši rad od pJ270 . Tačke A i B su
na rastojanju Ar , odnosno Br od centra kugle. Poznato je mm3r , cm5Ar i
cm2Br . Odrediti:
a) Napon ABU ;
b) Naelektrisanje Q i potencijal V kugle u odnosu na referentnu tačku u
beskonačnosti i
c) Jačinu elektrostatičkog polja u centru kugle. Q
A
B
Ar
Br
Sl.8
Rešenje:
a) V270p
ABQ
AU
b)
AB
AB
BA
BAABrr
rrQ
rrQVVU
k
11k ,
nC1)k(
AB
BAAB
rr
rrUQ .
c) Kako je kugla naelektrisana po površini iz uslova elektrstatičke ravnoteže je 00 E .
Zadatak 10. Tri kondenzatora vezana su u grupu kao na slici.
Sl. 9
a) Ako je kapacitivnost kondenzatora F31 C , kolika treba da bude kapacitivnost
kondenzatora 2C da bi ekvivalentna kapacitivnost bila 2C .
b) Za vrednosti 1C i 2C iz tačke a) odrediti opterećenosti pojedinih kondenzatora
ako se izmeĎu tačaka A i B priključi napon V400ABU .
Rešenje:
a)
Ekvivalentna kapacitivnost date grupe je
2211
1111
CCCCCe
.
Rešavanjem ove jednačine dobija se:
F854,1618,0 12 CC .
b)
Kako je
2
2
1
1
C
Q
C
QU DF ,
11
1
C
Q
C
QU AB , 21 QQQ ,
1
1 1
2
1 2
1 1 22
1 1 2
ab
ab
ab
QQU
C C
QQU
C C
Q C CU Q
C C C
to se iz ovih relacija dobijaju opterećenosti:
Za 1C izmeĎu A i D C36,741 Q
Za 1C izmeĎu D i F C59,4581 Q
Za 2C izmeĎu D i F C77,2822 Q .
Zadatak 11. Pločasti kondenzator sa dva sloja dielektrika, sl. 10, priključen je na napon
kV1U . Ako su mm21 d , mm12 d , 2cm100S , 21 r i 42 r , kolike su
energije u pojedinim dielektricima i ukupna energija?
Sl.10
Rešenje:1
11d
SC ,
2
22d
SC
Energije kondenzatora kapacitivnosti 1C i 2C su:
2
11 12
1UCW 2
22 22
1UCW
a ukupna energija je
2
21
2121
2
1U
CC
CCWWW
.
Iz definicije napona izmeĎu obloga kondenzatora i uslova za jednakost intenziteta
vektora dielektričnih pomeraja (normalnih komponenti):
2211 dEdEU i 2211 EE ,
dobija se
1221
21
dd
UE
1221
12
dd
UE
.
Sada su energije: 2
1
2
11 12
1dECW
2
2
2
22 22
1dECW
μJ32,28
2
112
1221
22
112
d
dd
USW
μJ08,7
2
122
1221
22
221
d
dd
USW
21 WWW
μJ4,35W .
Zadatak 12. Za vlakno sijalice snage W100P predviĎenu za napon V220U ,
koristi se mg45 volframa. Specifična otpornost volframa na radnoj temperaturi od
C24000 je Ωm923,0 , a specifična masa folframa 3
m cmg3,19 . Odrediti
potrebnu dužinu i prečnik vlakna.
Rešenje:
Otpornost zagrejane sijalice je:
4842
P
UR
S druge strane je
S
lR ,
gde je l dužina žice, a S površina poprečnog preseka. Kako je masa volframa
ld
Slm mm4
2
to je
2
4484
d
m
m ,
odakle je mm052.0d , a dužina žice m1.1l .
Zadatak 13. Naći ukupnu otpornost izmeĎu tačaka A i B sa slike.
Sl.11
Rešenje:
Sl.12
RRR
RR 222 .
Zadatak 14. Električni bojler ima dva grejača. Kada je uključen jedan grejač voda
proključa za 15 minuta, a kada je uključen drugi za 30 minuta. Koliko je vremena
potrebno da voda proključa kada su uključena oba grejača i to :
a) na red
b) paralelno?
Rešenje:
Da bi voda proključala potrebno je uložiti rad
PtA .
U oba slučaja rad mora biti isti pa je
2211 tPtP ,
22
1
21 2PP
t
tP .
S druge strane je
1
2
1R
UP i
2
2
2R
UP ,
pa je 2
2
1
2
2R
U
R
U , odnosno 12 2RR .
a)
32
1
11
2 P
RR
UP
,
tP
tPPt3
111 , pa je min453 1 tt .
b)
2
2
2
2
2
32
PR
U
R
UP ,
tPtPPt 222 3 , pa je min1032 tt .
Zadatak 15. Prijemnik pR priključen je na izvor napona U preko delitelja napona
otpornosti 100R (vidi sliku). Naći vrednost otpornosti xR , gde treba priključiti
prijemnik, ako je odnos napona 2pU
U, a 50pR .
Sl.13
Rešenje:
Napon na otporniku xR
xxpx IRUU
UUUU 22
, e
xR
UI ,
gde je
px
px
xeRRR
RRRRR
)(
pa je
px
px
x
x
RRR
RRRR
URU
)(2
, pRR 2 .
Rešavanjem ove jednačine po xR dobija se
)22(2/1 px RR .
Rešenje sa znakom ne zadovoljava jer bi bilo RRx pa je tražena vrednost otpornosti
289,29)22(2/1 px RR .
Zadatak 16. Izračunati jačinu struje u kolu prikazanom na slici (za označeni referentni
smer), napone izmeĎu krajeva svih elemenata i snage svih generatora. Poznato je:
V101 E , V202 E , V303 E , V40gE , 14321 gggg RRRR , 51R ,
32R , 83R i 44R .
Rešenje:
Sl.14
Jačina struje u kolu odreĎena je izrazom
A833,043214321
4321
RRRRRRRR
EEEEI
gggg
.
Naponi na krajevima generatora i otpornika su:
V833,1011 IREU gBA
V833,3033 IREU gFE
V167,41 IRUBC
V667,63 IRUGH
V167,1922 IREU gCD
V167,3944 IREU gFG
V333,34 IRU AH
V5,22 IRUDE .
Snage svih (realnih) generatora su:
W03,92
111 IRIEIUP gBAg
W97,152
222 IRIEIUP gCDg
W69,252
333 IRIEIUP gFEg
W64,322
444 IRIEIUP gFGg .
Zadatak 17. Izračunati jačinu struje kroz otpornike 1R i 2R (vidi sliku). Odrediti snage
strujnog i naponskog generatora. Poznato je: V10E , 21R , 42R i A2sI .
Sl.15
Rešenje:
Za dato kolo je ptrebno postaviti jednu jednačinu po prvom Kirhofovom zakonu i
jednu jednačinu po drugom Kirhofovom zakonu.
21 III s
02211 IRIRE .
Rečavanjem ovih jednačina dobija se:
A3
1
21
2
1
RR
EIRI s
A3
7
21
1
2
RR
EIRI s .
Snaga idealnog strujnog generatora je
W3
5622 ssABs IIRIUP
Snaga koju razvija idealni naponski generator je:
W3
101 EIPe .
Zadatak 18. Za kolo sa slike odrediti napon ABU . Brojni podaci su: V101 E ,
V152 E , V153 E , V204 E , 1,04321 gggg RRRR , 50R i
6,41R .
Sl. 16
Rešenje:
Za usvojeni smer struje u kolu je :
A1014321
3142
RRRRRR
EEEEI
gggg
.
Napon izmedju tačaka A i B je :
IRIREU gAB 044
V9,143321211 IREIRIREEIRU gggAB .
Zadatak 19. Kada generator elektromotorne sile E i unutrašnje otpornosti gR napaja
rednu vezu otpora 51R i 102R tada u kolu postoji struja 1I .Ako isti generator
napaja paralelnu vezu ovih otpora tada kroz otpor 1R postoji ista struja 1I , a napon na
krajevima generatora je tada V10U . Odrediti elektromotornu silu E i unutrašnju
otpornost gR generatora.
Rešenje:
Sl. 17 Sl. 18
Za rednu vezu struja je
21
1RRR
EI
g ,
a za paralelnu vezu
1
1R
UI .
Izjednačavanjem desnih strana gornjih jednačina dobija se
1
21
1 R
RR
R
RUE
g. (19.1)
Napon U je dat izrazom IREU g .
Kako je
21 R
U
R
UI
to je
21 R
U
R
UREU g . (19.2)
Rešavanjem jednačina (19.1), (19.2) dobija se V70E i 20gR .
Zadatak 20. Na krajevima provodnosti mS20G (videti sliku) izmeren je napon
V40ABU . Kolika je unutrašnja provodnost iG izvora i kako izgleda ekvivalentni
naponski izvor ako je A85,0gI ?
Sl.19
Rešenje:
Za vrednost napona ABU struja I označenog smera je
A8,0 GUI BA , tako da je A05,0 III gGi . Kako se napon ABU može
izraziti kao i
iG
ABG
IU to je mS25,1iG .
Ekvivalentni naponski izvor ima elektromotornu silu:
V680i
g
G
IE i vezan je u seriju sa provodnošću iG , odnosno unutrašnjom
otpornošću 8001
i
iG
R .
Ekvivalentna šema sa naponskim generatorom data je na Sl.20 .
Sl. 20
Zadatak 21. Na izvor konstantnog napona priključuje se bakarnim provodnikom
prečnika mm11,2d i dužine m200l omski prijemnik snage kW5P , na kojem
se javlja napon V500pU .
a) Kolika se energija pretvara u toplotu u prijemniku za 1sat?
b) Koliki je stepen iskorišćenja prenosa energije od izvora do prijemnika?
c) Koliki je napon izvora?
Sl. 21
Rešenje:
Otpornost provodnika je 22
S
lR .
Iz date snage prijemnika je A10U
PI dok je električna otpornost prijemnika
502
P
URp . Snaga koja se razvija u provodniku usled Džulovog efekta je
W2002 RIPj .
a) Energija koja se za jedan sat pretvara u toplotu na prijemniku je: MJ18UItA
b) Koeficijent iskorišćenja je %2,96100j
PP
P
c) Napon izvora je V520)( RRIE p
Zadatak 22. Za kolo sa slike odrediti struje grana neposrednom primenom I i II
Kirhofovog zakona. Poznati su sledeći podaci: V901 E , V1002 E , 101R ,
202R , 63R , 44R , 35R 76R .
Sl. 22
Rešenje:
Po I Kirhofovom zakonu potrebno je napisati jednu jednačinu npr. za čvor A a po II
Kirhofovom zakonu dve jednačine za dve konture u kolu. One izgledaju ovako:
A : 312 III
1S : 0)()( 4332111 RRIRRIE
2S : 0)()( 4336522 RRIRRIE
Zamenom brojnih vrednosti i njihovim rešavanjem dobijaju se struje:
A41 I , A72 I i A33 I .
Zadatak 23.U kolu sa slike vezani su ampermetar i voltmetar. Kada je prekidač P
otvoren struja kroz izvor iznosi mA10 , a napon na krajevima voltmetra V20 .
Zatvaranjem prekidača P paralelno sa voltmetrom uključuje se otpornik R i tada struja
kroz ampermetar iznosi mA42 , a napon na krajevima voltmetra V8,16 . Odrediti
unutrašnju otpornost voltmetra VR , otpornost R , elektromotornu silu izvora E i zbir
unutrašnje otpornosti izvora i ampermetra, )( Ag RR .
Sl.23
Rešenje:
Kada je P otvoren kolo izgleda kao na Sl. 24 , gde je mA10I i V20VU .
Sl. 24
Jasno je da je k2I
UR V
V , a po II Kirhofovom zakonu može se napisati jednačina
0)( VAg UIRRE
Zatvaranjem prekidača kolo sad izgleda kao na sl.25
Sl.25
Kako je napon koji pokazuje voltmetar
IRR
RRU
V
V
V
to je
500
VV
VV
URI
RUR .
Po II Kirhofovom zakonu može se napisati jednačina
0)( VAg UIRRE .
Na osnovu prethodnih jednačina dobija se
V21
II
UUIUE VV
V .
Na kraju, zbir unutrašnje otpornosti izvora i ampermetra je
100I
UERR V
Ag .
Zadatak 24. U električnom kolu datom na slici odrediti struju I ako su poznate
vrednosti: V30E , 10R .
I
R R3 RR3R3
E
Sl.26
Rešenje:
30RRRRe , A1iR
EI .
Zadatak 25.Primenom Tevenenove teoreme odrediti struju u grani sa elementima 2E i
2R kola na Sl.27 . Date su brojne vrednosti: 301R , 62R , 403R , 204R ,
105R , V31 E , V732 EE .
Sl.27
Rešenje:
Koristeći Tevenenovu teoremu može se ostatak kola u odnosu na granu AB zameniti
ekvivalentnim Tevenenovim generatorom:
Tada je : 2
22
RR
EEI
T
T
,
115, EIRIRRIEUEA
B
ABT ,
A1,04153
13
RRRR
EEI ,
V1 ABT UE
24
4153
5134
RRRR
RRRRRR ABT .
0667,015
1
30
2
624
312
I
A0667,02 I
Zadatak 26. Za mrežu sa slike poznato je: V300U , 101R , 52R , 153R ,
μF11 C , μF52 C , μF23 C , μF34 C . Odrediti naelektrisanja kondenzatora kada
nastupi stacionarno stanje.
Sl.28
Rešenje:
U kolu sa slike je naznačen smer struje i pretpostavljeni smerovi za krajnje
opterećenosti kondenzatora.
Struja je
A10321
RRR
UI .
Napon na krajevima kondenzatora je 1C
V20011 IRUU
a njegovo naelektrisanje
μC200111 UCQ .
Napon na krajevima otpornosti je 3R je
V1503 IRUBD .
Za preostala tri kondenzatora mogu se napisati sledeće jednačine:
432 QQQ
4
4
3
3
C
Q
C
Q
BDUC
Q
C
Q
2
2
3
3
Rešavanjem ovih jednčina dobijamo krajnje opterećenosti:
μC3752 Q , μC1503 Q i μC2254 Q .
Zadatak 27. Za kolo sa slike odrediti struju I u slučajevima:
a) trougao sa otpornicima 1R , 2R , 3R transfigurisati u zvezdu.
b) zvezdu sa otpornicima 4R , 5R , 6R transfigurisati u trougao.
Brojni podaci: V10E , 3321 RRR , 1654 RRR i 17R .
Sl.29
Rešenje:
a) Transfiguracijom trougla otpornosti u zvezdu dobija se kolo na Sl.29a odnosno
Sl.29b.
Sl. 29.a Sl. 29b
CBA RRRRR
RRR
1
321
31 .
Struja je
A5647
CA RRR
EI ,
gde je
5,0654 CBA RRR .
b) Kod transformacije zvezde otpornosti 4R , 5R , 6R u trougao dobija se kolo na
Sl.29c i Sl.29d.
Sl. 29.c Sl. 29d
Sada je
3465645 RRR i
5,1ACBCAB RRR ,
27
CABCAB
CABCAB
RRR
RRRRR a struja je A5
R
EI .
Zadatak 28. Dva neopterećena kondenzatora i generator elektromotorne sile E vezani su
u kolo kao na slici. Kada se u kolu uspostavi stacionarno stanje primaknu se ploče
kondenzatora 1C tako da se rastojanje izmeĎu njih smanji n puta. Odrediti:
a) priraštaje elektrostatičkih energija kondenzatora posle deformisanja prvog
kondenzatora
b) rad koji se pretvori u Džulovu toplotu pri ovoj deformaciji.
Brojne vrednosti F104 6
21
CC , V200E , 10R , 4n .
Sl.30
Rešenje:
a) Za kolo sa Sl.30a je
021 QQQ , 02
0
1
0 C
Q
C
QE , mC4,0
20
ECQ
J04,022 2
2
0
1
2
0
210 C
Q
C
QWWW .
Sl. 30a
Za kolo sa Sl.30.b je
Sl. 30b
11 4CnCb
nS
n
b
SC , 0
2
C
Q
C
QE , 0
4
5
2
C
QE , mC64,0
5
4
CEQ
J064,022 2
22
C
Q
C
QW .
Priraštaj elektrostatičke energije je: J024,00 WWW .
b) Protekla količina elektriciteta u kolu sa Sl.30b je:
mC24,00 QQq
Rad generatora je J048,0 qEAg .
Zadatak 29. Primenom teoreme superpozicije u kolu prikazanom na Sl. 31.Odrediti:
a) struju u grani sa otpornikom otpornosti 4R ;
b) snagu koja se razvija na otporniku otpornosti 4R i
c) elektrostatičku energiju kondenzatora u stacionarnom stanju.
Brojne vrednosti: V201 E , V102 E , mA40gI , μF8C , 1002R ,
2003R , 4004R .
Sl. 31
Rešenje:
a) Kada u kolu deluje samo elektromotorna sila 1E , Sl.31a :
Sl. 31a Sl. 31b
V3
20
32
21
RR
REE ,
3
200
32
23
RR
RRR , A
70
1
4
4
RR
EI .
Kada u kolu deluje samo elektromotorna sila 2E , Sl. 31b :
V3
20
32
32
RR
REE ,
3
200
32
23
RR
RRR , A
70
1
4
4
RR
EI .
Kada u kolu deluje samo strujni generator gI , Sl.31c :
Sl.31c
V3
8 gRIE ,
3
200
32
23
RR
RRR , A
175
1
4
4
RR
EI .
Na osnovu principa superpozicije je:
A175
14444
IIIII AC .
b) Snaga koja se razvija na otporniku otpornosti 4R je:
mW06,132
444 IRP .
c) Napon na krajevima kondenzatora je:
V28.244 IRU AC ,
A njegova elektrostatička energija je : μJ79,202
1 2 CUW ACe .
Zadatak 30. Dva paralelna pravolinijska beskonačno duga provodnika na meĎusobnom
rastojanju 1md nalaze se u vazduhu. Struje u njima su 1 22 1A I I .Odrediti
podužne sile na ove provodnike ako su struje istog smera.
Sl.32
Rešenje:
Sl.32.a
Indukcija koja potiče od struje 1I na mestu drugog provodnika data je izrazom
0 112
2
IB
d
.
Tada je elektromagnetna sila na drugi provodnik
0 112 2 12 2
2
IF I lB I l
d
, tj.
' 01212 1 2
μN0.1
2 m
FF I I l
l d
,
Indukcija koja potiče od struje 2I na mestu prvog provodnika je
0 221
2
IB
d
,
pa je elektromagnetna sila na prvi provodnik
0 221 1 21 1
2
IF I lB I l
d
, tj.
' 02121 1 2
μN0.1
2 m
FF I I l
l d
,
' '12 21
N0.1
mF F
.
Zadatak 31. Na slici su prikazana tri beskonačno duga pravolinijska provodnika sa
strujama 1 100AI , 2 150AI i 3 300AI . Odrediti intenzitet vektora elektromagnetne
sile kojom provodnici sa strujama 1I i 3I deluju na dužinu od 1ml provodnika sa
strujom 2I .
Sl.33
Rešenje:
22
312 2 0 0
2 2
IIF I lB I l
a b
,
0.31NF .
Zadatak 32. Na torusu od feromagnetnog materijala poprečnog preseka 21.5cmS i
srednje dužine 40cml namotano je 400N zavojaka žice. Jačina struje u navoju je
40mAI a magnetni fluks 3 Wb .
Izračunati:
a) intenzitet vektora magnetne indukcije B
b) jačinu magnetnog polja H
c) magnetnu permeabilnost jezgra
relativnu magnetnu permeabilnost r .
Sl.34
Rešenje:
a) 22 10 TBS
;
b) A
40m
NIH
l ;
c) 6 H500 10
m
B
H
;
d) r
0
398
.
Zadatak 33. Dve koncentrične strujne konture leže u istoj ravni u vazduhu kao na slici.
Odrediti intenzitet vektora magnetne indukcije B u centru sistema.
Sl.35
Rešenje:
Sl.35.a
1 0 0
2
2
I IB
a a ,
2 0 02 3 6
I IB
a a
,
1 2 0 06
I IB B B
a a ,
0
5
6
IB
a .
Zadatak 34. Dva beskonačno duga pravolinijska provodnika sa strujama 1I i 2I u
naznačenim smerovima kao na slici ukrštaju se pod pravim uglom. Odrediti intenzitet
rezultante vektora magnetne indukcije B u tački A ako su 1 100AI , 2 50AI i
20cma .
Sl.36
Rešenje:
Sl.36.a
2 21 2B B B ,
2 2
1 20 0
2 2
I IB
a a
,
2 201 2 112 T
2B I I
a
.
Zadatak 35. Odrediti intenzitete vektora magnetne indukcije B u tački A kontura
prikazanim na slikama.
Rešenje:
Izraz za intenzitet vektora magnetske indukcije u centru kružne konture
poluprečnika R je 02
IB
R a u okolini beskonačno dugog pravolinijskog provodnika
02
IB
R
.
Sl.37.a
0 0
332
2 4
II
BR R
;
Sl. 37.b
0 0 0
1( 1)
2 2 2
I I IB
R R R
0 ( 1)2
IB
R
;
Sl. 37.c
0 0 0
3 33 12 2 (1 )
2 2 4
I II
BR R R
03( 1)
4
IB
R
;
Zadatak 36. Odrediti intenzitet vektora magnetne indukcije B u torusnom jezgru
( 5cmr , 2cmd ) od feromagnetnog materijala ( r 1000 ) koju stvara struja
100mAI u navoju sa 500N zavojaka.
Sl.38
Rešenje:
2
sr 2 ( ) 12 10 m2
dl r ,
70 2
500 14 10 1000 0.1667T
12 10r
sr
NIB
l
.
Zadatak 37. Na tanak torusni namotaj površine poprečnog preseka S i dužine srednje
linije l namotano je N zavojaka žice. Magnetna permeabilnost sredine je 0 . Odrediti
izraz za magnetnu energiju u torusu ako je u namotaju uspostavljena struja I .
Sl.39
Rešenje:
0
NIB
l ,
'0
NIS
l - fluks kroz jedan namotaj,
2'
0
N IN S
l -fluks kroz ceo navoj,
LI
,
2
0
NL S
l ,
2 22 0
m
1
2 2
N SIW LI
l
.
Zadatak 38. Torus od feromagnetnog materijala velike permeabilnosti ( ) ima
dva vazdušna procepa 1d i 2d . Površina poprečnog preseka torusa je S a dužina srednje
linije l . Na torus su ravnomerno i gusto namotana dva namotaja sa 1N i 2N zavojaka i
vezana prema slici. Odrediti induktivnost združenog namotaja torusa.
Sl.40
Rešenje:
0 1 0 2 1 2Hl H d H d N I N I ,
B
0
1 2 1 2
0 0
( )B B
l d d N N I
,
1 2 1 2
0
( ) ( )B
d d N N I
,
1 20
1 2
N NB I
d d
,
1 2( )BS
L N NI
,
20 1 2
1 2
( )S
L N Nd d
.
Zadatak 39. Na tankom torusu od kartona namotana su ravnomerno i gusto dva
namotaja po celoj dužini torusa. Prvi namotaj ima 1N a drugi 2N zavojaka. Površina
poprečnog preseka torusa je S a dužina srednje linije je l . Namotaji su meĎusobno
povezani kao na slici i u njima je uspostavljena stalna struja I . Kolika je ukupna
magnetna energija torusa?.
Sl.41
Rešenje:
2
1 1 0
SL N
l ; 2
2 2 0
SL N
l ;
1k ; 12 1 2 1 2 0
SL k L L N N
l ,
2 2 2
1 12 2
2 2 2 2 2
1 0 1 2 0 2 0
2 2 2
0 1 1 2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 ( 2 )
2
W L I L I L I
S S SN I N N I N I
l l l
SI N N N N
l
2 2
0 1 2
1( )
2
SW I N N
l .
Zadatak 40. Dat je torus kružnog poprečnog preseka poluprečnika r na kojem je
namotan provodnik nepoznate dužine pl . Materijal od kojeg je načinjen torus ima
relativnu permeabilnost r 1200 . Dužina srednje linije torusa je 80cml a njegova
induktivnost 2 HL . Odrediti dužinu provodnika pl .
Rešenje:
1, L NI
,
11,
NL BS
I
,
, NBS NI
L BI l
,
22, S
N SL r
l ,
22
p, l 2 N
L r r Nl
,
22p 2( )
2 4
pl lNL
l N l
,
0
4115mp
r
l Ll
.
Zadatak 41. Odrediti širinu vazdušnog procepa elektromagneta površine poprečnog
preseka 248cmS ako je u tom procepu magnetna energija 5 J pri magnetnoj indukciji
1.2 TB . Rasipanje zanemariti
Rešenje:
2 2
m 0
0 0
1 1 1
2 2 2
B BW BHV V l S
,
0 m0 2
21,8 mm
Wl
B S
.
Zadatak 42. Torusno jezgro od feromagnetnog materijala ima vazdušni procep dužine
0l . Kriva magnećenja materijala od kojeg je jezgro načinjeno data je tabelom. Odrediti
magnetopobudnu silu drugog namotaja 2 2N I da bi u jezgru magnetni fluks iznosio 44 10 Wb . Zbog magnetnog rasipanja indukcija u vazdušnom procepu je 10
manje vrednosti od indukcije u jezgru. Ostali podaci: 20cml , 0 2mml , 24cmS ,
1 1 400AN I .
Sl.42
Rešenje:
1TBS
iz tabele
A300
mH ,
0 0.9 0.9TB B 00
0
kA716.2
m
BH
,
0 0 1 1 2 2Hl H l N I N I ,
2 2 0 0 1 1 1092 AN I Hl H l N I zavojaka
Zadatak 43. Za dato magnetno kolo sa vazdušnim procepom prikazanom na slici,
odrediti intenzitet vektora magnetne indukcije u procepu, 0B . Poznato je 0l , 0S , l , S i
(T)B 0.4 0.65 0.82 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
A( )m
H 100 150 200 240 300 380 500 750 1200
magnetopobudna sila NI . Smatrati da je magnetna permeabilnost jezgra beskonačna (
).
Sl.43
Rešenje:
mo mFe 0
0 0
NI NI
R R l l
S S
0
pa je,
0 00 0
0
S NIB S
l
0
0
0
NIB
l
.
Zadatak 44. Odrediti intenzitet vektora magnetne indukcije, B , u magnetnom kolu sa
slike ako je: 10cma , 6cmb , 2cmc , 1000r , 0 1mml , 1AI i 100N .
Sl.44
Rešenje:
0( ) 4 319mm2
a bl b l
,
24cm2
a bS c
,
mFe m0
NI
R R
,
mFe
Fe
1634.630
lR
S
jed. SI,
H
1
0m0
0
11.989.437
lR
S
jed. SI,
m mFe m0 2.624.067R R R jed SI,
638.1 10 Wb ,
0.095TBS
.
Zadatak 45. Na priloženom dijagramu (slika ispod) nacrtati grafik indukovane
elektromotorne sile e u navoju induktivnosti 1HL ako se struja u namotaju menja
prema dijagramu (slika gore).
Sl.45
Rešenje:
Sl.45.a
Ie L
t
(0 1)s
1 1
1 01
e
,
(1 3)s
2 1
1 0.52
e
,
(3 5)s
2 2
1 02
e
,
(5 6)s
0 2
1 22
e
,
(6 7)s
1 0
1 11
e
.
Zadatak 46. Pravolinijski provodnik dužine 25cml , kreće se kroz homogeno
magnetno polje indukcije 0.2TB , konstantnom brzinom 10m sv . Pravci brzine
kretanja provodnika i magnetnog polja dati su na slici. Odrediti intenzitet i smer
indukovane elektromotorne sile.
Sl.46
Rešenje:
Sl.46.a
( ) sin ( , )e l v B lvB v B 1
cos ( , ) cosl v B lvB
Usvojeni referentni smer za l , je i smer indukovane elektromotorne sile, e .
Zadatak. 47 Napon na krajevima kola prostoperiodične struje menja se po zakonu
179sin156u t V . Odrediti trenutnu vrednost rezultantne struje i . Brojni podaci:
10 R , 20.2mHL .
Sl.47
Rešenje:
156 rad s ,
L 3.15 X L ,
e
j(0.90 j2.86)
j
L
L
R XZ
R X
,
e
179 2(12.67 j40.27) A
0.90 j2.86
UI
Z
,
2 212.67 40.26 42.21 AI ,
40.26 72.5372.53 0.4
12.67 180arctg rad
,
( ) 42.21 2 sin(156 0.4 ) Ai t t .
Zadatak. 48 Redno RL kolo prostoperiodične struje treba zameniti ekvivalentnim
paralelnim kolom. Odrediti pR i LpX , ako je r 7.2 R i Lr 9.6 .X
Rešenje:
r
r
1 1(0.050 j0.066)S
7.2 j9.6Y
Z
,
p r 0.050 j0.066Y Y ,
p Lpp R XY Y Y ,
pR
p
1, Y
R
Lp
p p
X
L L
1 1 j
jY
X X ,
p
120 ,
0.050R
Lp
115
0.066X .
Zadatak. 49 Koliko će iznositi struja 1I kroz ampermetar posle zatvaranja prekidača P,
ako je pre zatvaranja prekidača struja u kolu prostoperiodične struje iznosila I , a
CR X , const .U
Sl.48
Rešenje:
P otvoren: C
U UI
X R ,
P zatvoren: 1
e
UI
Z .
Ce
C
( j )(1 j)
j 2
R X RZ
R X
,
e
2
2
RZ ,
1
2
2 2
U UI
RR ,
1 2I I .
Zadatak. 50 U kolu prostoperiodične struje na slici pokazivanje ampermetra je isto, pri
otvorenom i pri zatvorenom prekidaču, ako je 8 R , L 6 X . Koliko je CX ?
Sl.49
Rešenje:
1
1
,U
IZ
kada je P otvoren 12 2
L C( )
UI
R X X
,
2
2
,U
IZ
kada je P zatvoren 22 2
L( )
UI
R X
,
1 2I I
2 2 2 2
L C L( ) ( )R X X R X .
Kvadriranjem leve i desne strane dobija se
2 2 2 2
L C L( )R X X R X ,tj.
C C L( 2 ) 0X X X ,
C C L0, 2 12 X X X .
Zadatak. 51 . Za kolo prostoperiodične struje na slici odrediti struju kroz 2Z kada se
zatvori prekidač ako je struja 1I pri otvorenom prekidaču 1o j10 AI , a važi da je
1 2 3 (10 j10) Z Z Z .
Sl.50
Rešenje:
Korišćenjem strujnog razdelnika kada je prekidač P otvoren dobija se
2 3 11o g g g g 1o
1 2 3 1
( ) 2 2 3j15 A,
3 3 2
Z Z ZI I I I I I
Z Z Z Z
a kada je prekidač P zatvoren
g12z g
1 2
j7.5 A.2
IZI I
Z Z
Zadatak. 52 . Za kolo naizmenične struje prikazano na slici poznato je L 100 X ,
16 R , C 12 X i C 24 VU . Izračunati efektivnu vrednost struje I .
Sl.51
Rešenje:
C1
C
2 AU
IX
,
L C
L C
j ( j )(20 j10)
j( )
X R XZ
R X X
,
2 220 10 10 5 Z ,
2 2
1 C 1 C( j ) 40VU I R X U I R X ,
UI
Z ,
40.8 5 A
5I .
Zadatak. 53 U prijemniku admitanse 25( 3 j) mSY poznata je struja
( 3 j) AI i maksimalna magnetna energija kalema m
10 mJW
. Kolika je kružna
učestanost ?
Sl.52
Rešenje:
1 110( 3 j)
25( 3 j)Z
Y
,
j j 10 Z R X R L X L ,
2 2 2m m
1 1( 2 )
2 2W LI L I LI .
Na osnovu (1) i (2) sledi 2
3
m
4 10 rad sXI
W .
Zadatak. 54 Prividne snage dva prijemnika su 1 4 VAS i 2 10 VAS . Napon 1U
fazno prednjači struji I za 4 a napon 2U fazno zaostaje za strujom I za 4 .
Reaktivna snaga redne veze ovih prijemnika je
Sl.53
Rešenje:
1 24, 4 ,
1j
1 1 4(cos 4 jsin 4) 2 2(1 j) VAS S e
,
2j
2 2 10(cos 4 jsin 4) 5 2(1 j) VAS S e
,
1 2 (7 2 j3 2) VArS S S ,
3 2 VArQ .
Zadatak. 55 Naći reaktivnu snagu pQ kola na slici. Brojni podaci: g (0.9 j1.8)AI ,
p (90 j90) Z , (14 j2) VE , (10 j20) Z .
Sl.54
Rešenje:
Sl.54.a
'
g
14 j2(0.2 j0.6)A
10 j20
EI
Z
,
'( ) ( 0.7 j1.2)Age g gI I I ,
p ge
p
( 0.199 j0.159)AZ
I IZ Z
,
p 0.254 AI ,
2 2
p p p 90 0.254 5.8 VArQ X I .
Zadatak. 56 Za kolo prostopriodične struje prikazano na slici poznato je: 10 mAI ,
R 6 mAI , C 25 mAI Odrediti efektivnu vrednost struje LI .
Sl.55
Rešenje:
Sl.55.a
R C Lj( )I I I I , 2 2 2
R C L( )I I I I , 2 2 2
C L R( )I I I I ,
2 2
C L RI I I I ,
1,2
2 2
L C RI I I I ,
1,2L 25 100 36I ,
1L 33mAI ,
2L 17mAI .
Zadatak. 57 Redno rezonantno kolo ima rezonantnu učestanost 0 , rednu otpornost R
i priključeno je na napon efektivne vrednosti U . Odrediti faktor dobrote kola Q kada je
ukupna energija sadržana u magnetnom polju pri rezonanciji jednaka W .
Rešenje:
2
2 2
m 2
1
2
UW LI LI L
R ,
2
2
R WL
U ,
0 0
2
L RWQ
R U
.
Zadatak. 58 Prethodno napunjen kondenzator 2
C( )2
CEW omogućava da se pri
zatvaranju prekidača P kroz LC kolo uspostavi struja )( 0i . Izvesti Tompsonov obrazac
za sopstvenu kružnu frekvenciju slobodnih oscilacija 0 .
Sl.56
Rešenje:
C LW W ,
m E E , 2 2
m m 2 2
CE LI ,
m mm
L 0
E EI
X L
,
22 mm 2 2
0
LECE
L ,
0
1
LC .
Zadatak. 59 Zadato je R C: 1:100U U , 20 HL , 0 3.97MHzf , 0 1 mAI .
Strujno kolo je u faznoj rezonanciji. Izračunati R i C .
Sl.57
Rešenje:
7
0 0
rad2 2.494 10
sf ,
0R0
C0
0
1
1 100
RIURC
UI
C
10
0
14 10 s
100RC
.
Pri faznoj rezonanciji reaktansa kola je nula, 1 0X L C pa sledi
0
1
LC ,
2
0
180pFC
L
,
10
12
4 105
80 10R
.
Zadatak. 60 .Kolo se sastoji od otpornika i kondenzatora u rednoj vezi gde je
cos 0.85 . Koliki je faktor snage prijemnika koji se sastoji od istih elemenata u
paralelnoj vezi?
Sl.58
Rešenje:
1 1j
jZ R R
C C
,
2 2
2
1cos 0.85
1 11
R R
ZR
C RC
.
Sl.58.a
2
1
j(1 j )
1 1 ( )
j
RRC
Z R CR C
RC
,
2
2 2
2
1 1cos 1
111
1 cos 0.53.
RC
RC
Zadatak. 61 Na mrežu napona 220 V , 50 Hz priključen je prijemnik (4 j12) Z .
Odrediti otpornost kondenzatora CX priključenog radi potpune kompenzacije reaktivne
snage.
Sl.59
Rešenje:
e C
C
1 1
jY Y Y
Z X
Ce
C C
3 401 1 1j
4 j12 j 40 40
XY
X X
e e e G jBY
Iz uslova: ecos 1, e 0B ,
C3 40 0X
C
40
3X .
Zadatak. 62 Jedan prijemnik uzima iz mreže prividnu snagu S i aktivnu snagu P pri
naponu U i učestanosti . Odrediti kapacitivnost kondenzatora C priključenog
paralelno prijemniku tako da prijemnika iz mreže uzima samo aktivnu snagu
Sl.60
Rešenje:
Sl.60.a Sl.60.b
Da bi trofazni uslov bio ispunjen potrebno je da reaktivni deo LI bude jednak reaktivnom
delu CI .
C L LsinI I U ,
C L LsinI U I U ,
C L, SI CU I U , pa sledi
2
LsinU C S , 2U C Q ,
2 2
LsinQ S P
S S
,
Iz (1) i (2) 2 2
2
S PC
U
.
Zadatak. 63 Naći ekvivalentnu impedansu izmeĎu tačaka A i B u kolu na slici, ako je
poznato (1 j1) Z .
Sl.61
Rešenje:
Transformacijom trougla impedansi u zvezdu dobija se
Sl.61.a
'
3
Z Z ZZ
Z Z Z
,
' ' '''
'
( )( ) ( ) 2
2( ) 2 3
Z Z Z Z Z ZZ Z
Z Z
,
' ''
ek (1 j) Z Z Z Z .
Zadatak. 64 Naći struju I u kolu prostoperiodične struje na slici. Brojni
podaci: 12 j3 Z ; 24 (3 j4) Z ; 23 4 Z ; 31 j3 Z ; 34 (4 j3) Z ;
30 VU .
Sl.62
Rešenje:
Transformacijom trougla impedansi izmeĎu tačaka 1, 2 i 3, u zvezdu, dobija se
Sl.62.a
12 311
12 23 31
2.25 Z Z
ZZ Z Z
,
12 232
12 23 31
j3 Z Z
ZZ Z Z
,
31 233
12 23 31
j3 Z Z
ZZ Z Z
,
'
2 24 (3 j) Z Z Z , ''
3 34 4 Z Z Z , ' ''
1 ' ''(4.04 j0.32) e
Z ZZ Z
Z Z
,
30
4.01 j0.32e
UI
Z
(7.434 j0.593) AI .
Zadatak. 65 U kolu prostoperiodične struje sa slike poznato je g 4 mAI ,
1 (20 j20) Z , 2 (20 j30) Z .Kolika treba da bude kompleksna impedansa
prijemnika pZ da bi aktivna snaga koju prima taj prijemnik bila maksimalna? Kolika je
ta maksimalna snaga?
Sl.63
Rešenje:
U odnosu na prijemnik, ostatak kola se može zameniti Tevenenovim generatorom.
Elektromotorna sila ovog generatora jednaka je naponu praznog hoda dela kola levo od
prijemnika, pa je '
T 1 gAB 80(1 j) mVE U Z I ,
T 1 2 (40 j10) Z Z Z .
Po teoremi o prilagoĎenju prijemnika po snazi, aktivna snaga prijemnika je maksimalna
kada je
p T (40 j10) Z Z
.
Ta snaga iznosi 2
Tp max
T
( ) 80 W4
EP
R ,
gde je
T TRe 40 R Z .
Zadatak. 66 Primenom Tevenenove teoreme odrediti struju I u kolu prostoperiodične
struje na slici. Brojni podaci: 1021 ZZ , 3 4 j5Z Z , (1 j3) pZ ,
(30 j10)V.E
Sl.64
Rešenje:
Sl.64.a
Sl.64.b Sl.64.c
T
p T
EI
Z Z
,
1 2
1 4
30 j10(2 j2)A
10 j5
EI I
Z Z
,
'
T 3 2 1 1BD ( 10 j30)VE U Z I Z I ,
'' 1 4T BD
1 4
2 (4 j8) Z Z
Z ZZ Z
,
10 j30(2 j4)A
4 j8 1 j3I
.
Zadatak. 67 Koristeći Tevenenovu teoremu odrediti struju cI . Poznato je , , , R L C i
poznata je struja kroz kalem kada je grana sa kondenzatorom isključena, 'LI .
Sl.65
Rešenje:
Sl.65.a
Sl.65.b Sl.65.c
' '
T LAB jE U LI ,
T
jj2
2jj
2
RL
LRZ
R R LL
,
'2T L
C 2
T
( 2j )
1 2j
j
E LC R L II
RLC R LZC
.
Zadatak. 68 Za kolo prostoperiodične struje na slici poznati su: g 0.9 (1 j2)AI ,
VjE )214( , (10 j20)Z , (90 j20)pZ . Odrediti aktivnu snagu prijemnika
pZ
Sl.66
Rešenje:
Primenom Tevenenove teoreme dobija se
Sl.66.a Sl.66.b
'
T g12 ( 31 j2) VE U ZI E ,
T (10 j20) Z Z ,
Sl.66.c
Tp
T p
( 0.31 j0.02)AE
IZ Z
,
2 2 2 2
p 0.31 0.02 0.0965 AI ,
2
p p 8.685 WP R I .
Zadatak. 69 Za kolo prostoperiodične struje sa slike važi: 5 R i 4 LX .
Odrediti otpornost 2R pri kojoj je fazna razlika napona U i struje 1I jednaka. 4 .
Sl.67.
Rešenje:
1I se može odrediti primenom Tevenenove teoreme:
Sl.67.a
Sl.67.b Sl.67.c
'
12 2TE U I R ,
2
UI
R R
,
2
2
T
UE R
R R
,
'' 212
2
T
R RZ Z
R R
,
21
2 2j j ( )
T
T L L
E URI
Z X RR X R R
,
2
1 2
( )j L
U R RR X
I R
,
2
1 2
( )arg( )
4
LU X R Rarctg
I RR
2
2
( )1
4
LX R Rtg
RR
,
2 20 L
L
X RR
R X
.
Zadatak. 70 Za data induktivno spregnuta kola prostoperiodične struje napisati opšte
jednačine i izvesti ulaznu impedansu sistema ulZ .
Sl.68
Rešenje:
1 1 1
1
1( )Z R j L
C
,
2 2 2
2
1( )Z R j L
C
,
12 12Z j L ,
1 1 12 21U Z I Z I , (1)
12 1 2 20 Z I Z I . (2)
Iz jednačine (2) se dobija
122 1
2
,Z
I IZ
(3)
kada relaciju (3) uvrstimo u jednačinu (1) sledi 2
121 11
2
( )Z
U Z IZ
, pa je
2
1211
1 2
ul
U ZZ Z
I Z .
Zadatak. 71 Za električno kolo prostoperiodične struje prikazano na slici poznata je
efektivna vrednost struje strujnog generatora gI i kružna učestanost . Kolika je
efektivna vrednost napona abU na krajevima otvorenog sekundarnog kola.
Sl.69
Rešenje:
ab 2 2jU L I 0
1 2 gjk L L I ,
ab 1 2 gU k L L I .
Zadatak. 72 Kolika je energija magnetnog polja dva induktivno spregnuta kalema čije
su induktivnosti 1L i 2L , a apsolutna vrednost meĎusobne induktivnosti 12L . Jačina struje
u oba kalema su iste, I .
Sl.70
Rešenje:
1 2 12 1 2 1 22 2eL L L L L L k L L ,
2 2
m 1 2 1 2
1 1( 2 )
2 2eW L I L L k L L I .
Zadatak. 73 Za električno kolo prostoperiodične struje prikazano na slici poznato je
g , , , I k L . Kolika je efektivna vrednost napona abU ?
Sl.71
Rešenje:
212L k L kL
(Zadatak 1)
2ab jU LI
122 g 2j j j 0LI L I LI (2)
Iz (1) i (2) sledi 2 g2
kI I ,
gab j ( )2
kU L I ,
g
ab2
k LIU
.
Zadatak. 74 Na krajevima kola prostoperiodične struje koje sadrži rednu vezu
otpornika otpornosti 2 22 R i realnog kalema čiji parametri 1L i 1R priključen je
prostoperiodičan napon frekvencije 50Hz . Ampermetar pokazuje 5 A , voltmetar
220 V a vatmetar 940 W . Odrediti vrednosti 1L i 1R .
Sl.72
Rešenje:
2
1 2( )P R R I
1 2215.6
PR R
I
44 U
ZI
2 2
1 2 1( )Z R R X
2 2
1 1 2( ) 22.8 X Z R R
1 11 73 mH
2 f
X XL
.
Zadatak. 75 Trofazni prijemnik je vezan u zvezdu (trougao) i priuključen na mrežu
simetričnog direktnog sistema linijskih napona efektivnih vrednosti l 380 VU kao na
slici. Pod ovim okolnostima kompleksna impedansa jedne faze prijemnika je
(5 j6) Z .
Sl.73.a Sl.73.b
Odrediti: a) Kompleksne struje faza prijemnika; b) Kompleksne snage prijemnika
Rešenje:
a) Kompleksni izrazi za linijske napone datog trofaznog sistema su:
j0
12 l 380 VU U e , 2 3 2 3
23 l 380 V 190( 1 3) Vj jU U e e j ,
j4 3 j4 3
31 l 380 V 190( 1 j 3) VU U e e .
Kompleksni izrazi za linijske napone faza prijemnika vezanih u zvezdu su:
j 61210 110 ( 3 j) V
3
UU e ,
j 62320 110 ( 3 j) V
3
UU e ,
j 63130 j220V
3
UU e .
Kompleksni izrazi za napone faza prijemnika vezanih u trougao su jednaki
kompleksnim izrazima za linijske napone datog sistema.
Kompleksne struje faza prijemnika vezanih u zvezdu su:
1010 (4.797 j27.756) A
UI
Z ,
2020 ( 26.436 j9.723) A
UI
Z ,
3030 (21.639 j18.032) A
UI
Z .
Kompleksne struje za vezu faznih namotaja u trougao su:
3131 (16.794 j45.657) A
UI
Z ,
1212 (31.147 j37.377) A
UI
Z ,
2323 ( 47.931 j8.285) A
UI
Z
Kompleksne snage pojedinih faza prijemnika vezanih u zvezdu su: *
101 10 (3.967 j4.760) kVAS U I ,
*
202 20 (3.967 j4.760) kVAS U I ,
*
303 30 (3.967 j4.760) kVAS U I .
Vidi se da kod uravnoteženog trofaznog kola kompleksne snage faza prijemnika
su meĎusobno jednake. Kompleksna snaga trofaznog prijemnika je
1S 3S (11.901 j14.280) kVA Ê .
Za prijemnik vezan u trougao je: *
121 12 (11.9 j14.28) kVAS U I , *
232 23 (11.9 j14.28) kVAS U I ,
*
303 30 (11.9 j14.28) kVAS U I ,
a kompleksna snaga celog prijemnika je
13 (35.7 j42.84) kVAS S .
Iz prethodnog se zaključuje da je kompleksna snaga koju prima prijemnik tri puta
veća kada je prijemnik vezan u trougao, nego kada je prijemnik vezan u zvezdu,
tj: 3S S .
Zadatak. 76 Trofazni prijemnik impedansi j0
1 200Z e , j90
2 10Z e , j90
3 10Z e , priključen je na simetričan, direktan trofazni sistem linijskih napona
efektivnih vrednosti l 381 VU . Odrediti kompleksne izraze za struje faza prijemnika
kada je prekidač P
a) zatvoren
b) otvoren
Sl.74
Rešenje:
Sistem linijskih napona je:
RS 381 VU ,
j2 3
ST 381 VU e ,
j4 3
TR 381 VU e .
a) Kada je prekidač P zatvoren (postoji neutralni provodnik) fazni naponi su:
j 6RSR0 (190.5 j109.985) V
3
UU e
j 6STS0 ( 190.5 j109.985) V
3
UU e (1)
j 6TRR 0 j219.97 V
3
UU e
1
1
10.005 SY
Z ,
2
2
1j0.1 SY
Z ,
3
3
1j0.1 SY
Z .
Struje faza prijemnika su:
RO 1 RO (0.95 j0.55)AI Y U ,
RO 2 SO ( 11 j19.05)AI Y U ,
TO 3 TO 22 AI Y U .
b) Kada je prekidač P otvoren (nema neutralnog provodnika) ne važi relacija (1) za fazne
napone.
Fazne struje mogu naći primenom metode konturnih struja.
Sl.74.a
1 2 I 2 II RS ( ) ,Z Z I Z I U
2 I 2 3 II ST( ) ,Z I Z Z I U
I (32.996 j19.05)A,I
II ( 348 j640.87)AI
R0 I (32.996 j19.05)AI I ,
S0 II I ( 381 j621.82)AI I I ,
T0 II (348 j640.87)AI I .