OSNOVNI POJMOVI O

MERENJIMA

Teorija grešaka geodetskih merenja / Račun izravnanja 1

Profesor dr Branko Božić, dip.geod.inž..

Građevinski fakultet – Odsek za geodeziju i geoinformatiku

Verzija 01.02.2019

САДРЖАЈ

• Pojam i karakteristike merenja

• Matematički model

• Direktna i indirektna merenja

• Izvori grešaka merenja

• Preciznost i tačnost merenja

• Broj suvišnih merenja i izravnanje

• Metod najmanjih kvadrata

• Grafičko predstavljanje podataka merenja

POJAM I KARAKTERISTIKE MERENJA

merenje=odrediti vrednost merene veličine?

Specificirati:

- merenu veličinu

- metodu merenja

- proceduru merenja

Zavisi od zahtevane

tačnosti merenja

Logična sekvenca

aktivnosti u realizaciji

merenja

Skup elementarnih

operacija u realizaciji

merenja po određenoj

metodi

POJAM I KARAKTERISTIKE MERENJA

Karakteristike merenja:

• Skup elementarnih radnji (priprema instrumenta, horizontiranje, centrisanje, ...)

• Ishod merenja je rezultat merenja koji reprezentuje merenu veličinu

• Uvek realizuju instrumentom

• Uvek oslanjaju na standarde

• Merene veličine su često teorijski koncepti

• Rezultat nerenja ima smisao samo ako je vezan za teorijski koncept

ENX

Jedinica mereMerni broj

Rezultat merenja

Predstavlja

aproksimaciju ili ocenu

vrednosti merene

veličine

POJAM I KARAKTERISTIKE MERENJA

Kompleks uslova (faktora) merenja ili uslovi merenja

Isti faktori merenja Različiti faktori merenja

Objekat

Opažač

Instrument

Spoljni uslovi

MERENJA ISTE TAČNOSTI MERENJA RAZLIČITE TAČNOSTI

MATEMATIČKI I STOHASTIČKI MODEL

Matematički model:

- Funkcionalni deo

- Stohastički deo

Funkcionalni model - kvantitet

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

)X,...,X,X(fY n21

Ulazne veličine – rezultai merenjaIzlazna veličina

Funkcija veze

Stohastički model - kvalitet

pd =1/sd2

DIREKTNA I INDIREKTNA MERENJA

Direktna merenja – određivanje vrednosti merene

veličine direktnim očitavanjem

Indirektna merenja - određivanje vrednosti merene

veličine indirektnim putem

Prenošenje grešaka direktnih merenja

PRIMER:

P = A x BA

BP s2P = sA

2 B2 + sB2 A2

2.110.00

4121

A=41-21=20

1.75 0.75

h = l2 – l1

IZVORI GREŠAKA MERENJA

Prema poreklu

• Instrument

• Spoljašnji uslovi

• Operator

Prema karakteru

• Grube

• Sistematske

• Slučajne

KONCEPTI:

Greška ≠ Nesigurnost

Pitanja:

Način nastanka ?

Kako se otklanjaju ?

PRECIZNOST I TAČNOST MERENJA

Preciznost – međusobna bliskost

Tačnost - apsolutna bliskost rezultata merenja istinitoj vrednosti

Tačno i precizno

Precizno i netačno

Neprecizno i netačno

BROJ SUVIŠNIH MERENJA I IZRAVNANJE

Suvišna merenja omogućuju:

1) Kontrolu grešaka

2) Izravnanje

3) Ocenu tačnosti

l1= 1.234 m n = 4

l2 = 1.235 m u = 1

l3= 1.236 m n – u = broj suvišnih merenja=3

l4= 1.235 m

Ukupan broj merenja

Neophodan broj merenja

Broj suvišnih merenja

Izravnanje – Metoda ocene najverovatnije vrednosti

merene veličine na osnovu suvišnih merenja

ls = l0 + (li-lo)/n lS=1.235 m

l0 =lmin =1.234 m

METOD NAJMANJIH KVADRATA

• Najstrožija metoda ocena

• Jednostavna za primenu

• Stroga analiza tačnosti

• Omogućuje prethodnu ocenu tačnosti

MNK zasnovan je na teoriji verovatnoće

MNK definiše uslov da suma proizvoda kvadrata grešaka rezultata merenja i njihovih

težina mora biti minimalna

minvvT

n

lL

LlLlL

LlLl

vLl

vLl

vrednostnijanajverovatL

merenjarezultatill

i

0...)1)((2)1)((2

min...)()(

...

,...,

21

2

2

2

1

22

11

21

GRAFIČKO PREDSTAVLJANJE PODATAKA MERENJA

Podelimo dati skup na pet grupa, 35-39, 40-44, 45-49, 50-54 i 55-59.

Cifre desetica u datom nizu iznose 3, 4, 4, 5, 5 i formiraju tzv. stablo. Prvi tzv. list jeste

cifra 8 koja predstavlja rezultat 38. Drugi list je 134, koji reprezentuje 41, 43 i 44, itd.

Stablo-list prikaz (stem-and-leaf plot)

Apsolutna frekvencijua

Kumulativna apsolutna frerkvencija

Kumulativna relativna frekvencija

PRIMER 1

Stablo

List

• Niz merenja: x1, x2, ..., xn

• Raspon merenja: wn=xmax – xmin

• Varijacioni niz: Niz rezultata merenja poređanih od minimalne do maksimalne vrednosti

• Vektor rezultata merenja:

• Populacija: Skup neograničenog broja merenja neke fizičke veličine.Parametri

populacije (μ, )

• Uzorak merenja: Na određen način odabran podskup neke populacije. Na osnovu uzorka ocenjuje se raspodelaverovatnoća ili parametri raspodele

• Prezentacija podataka: a) numerička i b) grafička

n

2

1

x

.

.

x

x

x

PRIMER 2

Xmin = 20.1

Xmax= 26.1

wn= 6.0

Medijana:

(23.4+23.5)/2=23.45

20.1 20.5 21.2 21.7 21.8

21.9 22.0 22.2 22.3 22.3

22.5 22.6 22.6 22.7 22.8

22.8 22.9 22.9 23.0 23.1

23.1 23.2 23.2 23.3 23.4

23.5 23.6 23.7 23.8 23.8

23.8 23.9 24.0 24.1 24.1

24.2 24.3 24.4 24.6 24.7

24.8 25.0 25.2 25.3 25.3

25.4 25.5 25.9 25.9 26.1

22.7 25.4 24.0 20.5 22.5

22.3 24.2 24.8 23.5 22.9

25.5 24.7 23.2 22.0 23.8

23.8 24.4 23.7 24.1 22.6

22.9 23.4 25.9 23.1 21.8

22.2 23.3 24.6 24.1 23.2

21.9 24.3 23.8 23.1 25.2

26.1 21.2 23.0 25.9 22.8

22.6 25.3 25.0 22.8 23.6

21.7 23.9 22.3 25.3 20.1

Varijacioni niz

Rezultati merenja

pravca

)ˆ,ˆ(

Numerička

prezentacija

HISTOGRAM

Interval klase

(1)

Frekvencija klase

(2)

Relativna frekvencija

klase (3)

20.10 – 20.96 2 2/50 = 0.04

20.96 – 21.82 3 3/50 = 0.06

21.82 – 22.67 8 8/50 = 0.16

22.67 – 23.53 13 13/50 = 0.26

23.53 – 24.38 11 11/50 = 0.22

24.38 – 25.24 6 6/50 = 0.12

25.24 – 26.10 7 7/50 = 0.14

= 50/50 = 120.1 20.96 21.82 22.67 23.53 24.38 25.24 26.1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Histogram frekvencija

Kreiranje histograma frekvencija:

1. Podela variacionog niza na klase (od 5 do 20 klasa)

2. Definisanje širine i intervala klase (u primeru 1; 0.86)

3. Definisanje frekvencije klasa

4. Definisanje relativnih frekvencija klasa

5. Kreiranje histograma

Tumačenje histograma:

1. Da li su rezultati merenja simetrično raspoređeni

oko centralne vrednosti (simetričnost)?

2. Kakva je disperzija (raspon) podataka?

3. Frekfencija pojave pojedinih rezultata

4. Kakav je oblik histograma – zvonastost ukazuje

na stepen preciznosti

Grupisani raspored merenja

k ≤ 5 log n

Empirijske frekvencije

Grafički prikaz

A B

1 87 20

2 27 40

3 45 60

4 62 80

5 3

6 52

7 20

8 43

9 74

10 61

EXCEL In Excel 2013, Excel 2010 and Excel 2007, on the Data tab, click Data Analysis in the Analysis group

Bin Frequency

20 2

40 1

60 3

80 3

More 1

Granice intervala (0-20; 21-40; 41-60; 60-80; preko 80

BOXPLOT

Neka imamo dva skupa od 15 rezultata merenja (n = 15) jedne promenljive X

Odrediti:

- minimalnu vrednost skupa xmin ,

- donju kvartalnu tačku qL ,

- srednju kvartralnu tačku qM ,

- gornju kvartalnu tačku qU i

- maksimalnu vrednost skupa.

Medijana je srednji kvartalna tačka.

Razlika qU – qL naziva se međukvartalni raspon.

PRIMER 3

Kriterijum grube greske:

- veći kvalitet 2. skupa merenja;

- qM bliže sredini;

- veća simetričnost;

- xmax bliže qU

qU - qL= 11

qU - qL= 8

(27.5 – 71.5)

(36– 68)

)(5.1)(5.1 LUUiLUL qqqxqqq

44 – 1.5 x 11 - 55 + 1.5 x 11

Primer u EXCEL

https://support.office.com/en-us/article/Create-a-box-plot-10204530-8cdf-40fe-a711-2eb9785e510f

17 18 I II

24 25 MIN(A1:A10) 17 18

25 28 First quartile 25.5 28

27 28 Median value 31 32

30 29 Third quartile 36.5 38.75

32 35 Maximum value 46 56

35 38

37 39

40 50 I II

46 56 17 18

q1-min 8.5 10

median -q1 5.5 4

q3-median 5.5 6.75

max-q3 9.5 17.25

0

10

20

30

40

50

60

I II