repetitorij planimetrije i stereometrije za...

Repetitorij planimetrije i stereometrije za geologe

Franka Miriam Bruckler

Ak. g. 2015./16.

Franka Miriam Bruckler () Repetitorij planimetrije i stereometrije za geologe Ak. g. 2015./16. 1 / 12

Dimenzija 0

Osnovni geometrijski objekt je tocka. Njena duljina/promjer, kao ipovrsina i obujam imaju iznos 0.

Dvije tocke odreduju duzinu odnosno pravac. To su posebni slucajevikrivulja:

Dimenzija 1

Objekti koji imaju povrsinu i obujam 0, ali duljinu razlicitu od 0 sukrivulje. Medu njima, posebno su istaknute:

Duzina: najkraca spojnica dvije tocke. Produljenjem duzine u obasmjera, neograniceno, dobivamo pravac.

Kruznica: skup svih tocaka u ravnini jednako udaljenih od jednecvrste tocke koju zovemo sredistem.


Opseg

Opseg je svojstvo dvodimenzionalnog objekta koje ima fizikalnu dimenzijuduljine i opisuje koliko, primjerice, koraka treba za obici taj objekt. Opsegkruga (dijela ravnine omedenog kruznicom) proporcionalan je njenompromjeru (promjer dvodimenzionalnog objekta je maksimalni razmak dvijutocaka tog objekta), pri cemu je konstanta proporcionalnosti poznata kaobroj π:

O = dπ = 2rπ.

Mnogokut je geometrijski lik, dakle dio ravnine, omeden s konacno mnogoduzina (stranica) koje se sastaju u vrhovima. Opseg mnogokuta jednak jezbroju duljina duzina koje ga omeduju. Unutrasnji kutovi mnogokuta sukutovi koje zatvaraju po dvije stranice sa zajednickim vrhom.


Trokuti

Trokut je mnogokut omeden s tri duzine. Zbroj unutrasnjih kutova trokutaiznosi dva prava kuta. Visina trokuta je duzina koja spaja neki vrh trokutas nozistem okomice povucene iz tog vrha na nasuprotnu stranicu trokuta.

Trokut s jednim pravim kutom naziva se pravokutnim trokutom; takvomtrokutu se najdulja stranica zove hipotenuza, a ostale dvije su katete injihove su duljine povezane Pitagorinim pouckom: kvadrat duljinehipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta.


Cetverokuti

Cetverokut je mnogokut omeden s cetiri duzine i konveksan je ako je zasvake dvije tocke unutar njega duzina koja ih spaja cijela unutar njega.Zbroj unutrasnjih kutova (konveksnog) cetverokuta jednak je punom kutu.Cetverokuti kojima su sva cetiri unutrasnja kuta prava zovu se

pravokutnici; oni su poseban slucaj paralelograma: cetverokuta kojima supo dva para nasuprotnih stranica paralelne (i stoga jednako duge: a i b).Opseg paralelograma iznosi

O = 2a + 2b.


Cetverokuti

Cetverokut je mnogokut omeden s cetiri duzine i konveksan je ako je zasvake dvije tocke unutar njega duzina koja ih spaja cijela unutar njega.Zbroj unutrasnjih kutova (konveksnog) cetverokuta jednak je punom kutu.Cetverokuti kojima su sva cetiri unutrasnja kuta prava zovu sepravokutnici; oni su poseban slucaj paralelograma:

cetverokuta kojima supo dva para nasuprotnih stranica paralelne (i stoga jednako duge: a i b).Opseg paralelograma iznosi

O = 2a + 2b.


Cetverokuti

Cetverokut je mnogokut omeden s cetiri duzine i konveksan je ako je zasvake dvije tocke unutar njega duzina koja ih spaja cijela unutar njega.Zbroj unutrasnjih kutova (konveksnog) cetverokuta jednak je punom kutu.Cetverokuti kojima su sva cetiri unutrasnja kuta prava zovu sepravokutnici; oni su poseban slucaj paralelograma: cetverokuta kojima supo dva para nasuprotnih stranica paralelne (i stoga jednako duge: a i b).Opseg paralelograma iznosi

O = 2a + 2b.


Pravilni mnogokuti

Pravokutnik kojemu su sve stranice jednako duge zove se

kvadrat. Ako jeduljina stranice kvadrata a, opseg mu je 4a.Opcenito, ako je (konveksan) mnogokut omeden s jednako dugimstranicama i svi unutrasnji kutovi su mu jednake velicine, govorimo opravilnom mnogokutu: jednakostranicnom trokutu, kvadratu, pravilnom5-, 6-, . . . , n-terokutu.Opseg pravilnog n-terokuta stranice duljine a iznosi O = na.

Zadatak

Koliko iznos sredisnji kut pravilnog n-terokuta?


Pravilni mnogokuti

Pravokutnik kojemu su sve stranice jednako duge zove se kvadrat. Ako jeduljina stranice kvadrata a, opseg mu je 4a.Opcenito, ako je (konveksan) mnogokut omeden s jednako dugimstranicama i svi unutrasnji kutovi su mu jednake velicine, govorimo opravilnom mnogokutu: jednakostranicnom trokutu, kvadratu, pravilnom5-, 6-, . . . , n-terokutu.Opseg pravilnog n-terokuta stranice duljine a iznosi

O = na.

Zadatak



Pravilni mnogokuti

Pravokutnik kojemu su sve stranice jednako duge zove se kvadrat. Ako jeduljina stranice kvadrata a, opseg mu je 4a.Opcenito, ako je (konveksan) mnogokut omeden s jednako dugimstranicama i svi unutrasnji kutovi su mu jednake velicine, govorimo opravilnom mnogokutu: jednakostranicnom trokutu, kvadratu, pravilnom5-, 6-, . . . , n-terokutu.Opseg pravilnog n-terokuta stranice duljine a iznosi O = na.

Zadatak



Povrsina

Mnogokuti i krugovi su primjeri objekata koji imaju ne-nul povrsinu; ona opisujekolicinu boje potrebne za obojati pojedini takav objekt, a fizikalna joj je dimenzijakvadrat duljine. Povrsina trokuta jednaka je 1/2 povrsine paralelograma s jednomjednako dugom stranicom i jednake visine (na tu stranicu):

Zadatak

Koliko iznosi povrsina pravokutnika (kvadrata) ako su poznate duljinestranica?Koliko iznosi povrsina paralelograma (trokuta) kojemu stranice duljina ai b zatvaraju kut γ?Arhimed je pokazao da je povrsina kruga jednaka povrsinipravokutnog trokuta kojemu jedna kateta ima duljinu opsega, a druga polumjeratog kruga. Pokazite da je to ekvivalentno suvremenoj formuli za povrsinu kruga!


Povrsina


Zadatak

Koliko iznosi povrsina pravokutnika (kvadrata) ako su poznate duljinestranica?

Koliko iznosi povrsina paralelograma (trokuta) kojemu stranice duljina ai b zatvaraju kut γ?Arhimed je pokazao da je povrsina kruga jednaka povrsinipravokutnog trokuta kojemu jedna kateta ima duljinu opsega, a druga polumjeratog kruga. Pokazite da je to ekvivalentno suvremenoj formuli za povrsinu kruga!


Povrsina


Zadatak

Koliko iznosi povrsina pravokutnika (kvadrata) ako su poznate duljinestranica?Koliko iznosi povrsina paralelograma (trokuta) kojemu stranice duljina ai b zatvaraju kut γ?

Arhimed je pokazao da je povrsina kruga jednaka povrsinipravokutnog trokuta kojemu jedna kateta ima duljinu opsega, a druga polumjeratog kruga. Pokazite da je to ekvivalentno suvremenoj formuli za povrsinu kruga!


Povrsina


Zadatak

Koliko iznosi povrsina pravokutnika (kvadrata) ako su poznate duljinestranica?Koliko iznosi povrsina paralelograma (trokuta) kojemu stranice duljina ai b zatvaraju kut γ?Arhimed je pokazao da je povrsina kruga jednaka povrsinipravokutnog trokuta kojemu jedna kateta ima duljinu opsega, a druga polumjeratog kruga. Pokazite da je to ekvivalentno suvremenoj formuli za povrsinu kruga!


Geometrijska tijela

Dvodimenzionalni objekti u prostoru (dakle, oni koji imaju povrsinurazlicitu od 0, ali obujam 0) zovu se plohe. Obujam objekta opisuje kolikomjesta zauzima, tj. koliko se primjerice brasna moze staviti u njega i imafizikalnu dimenziju kuba duljine.Objekti u prostoru koji imaju ne-nul volumen poznati su kao tijela. Tijelaomedena mnogokutima (stranama ili plohama) zovu se

poliedri, a zbrojnjihovih povrsina zove se oplosjem. Po dvije strane poliedra dodiruju seduz duzine koju nazivamo bridom poliedra.Od ostalih tijela, potrebno je istaknuti kuglu, tijelo omedeno sferom(skupom svih tocaka u prostoru jednako udaljenih od tocke zvanesredistem). Oplosje kugle je povrsina sfere koja ju omeduje.

Zadatak

Koliko iznosi oplosje kocke, poliedra omedenog sa 6 kvadrata? Ako znateda je povrsina sfere jednaka cetverostrukoj povrsini kruga istog promjera,koja je formula za povrsinu sfere?


Geometrijska tijela

Dvodimenzionalni objekti u prostoru (dakle, oni koji imaju povrsinurazlicitu od 0, ali obujam 0) zovu se plohe. Obujam objekta opisuje kolikomjesta zauzima, tj. koliko se primjerice brasna moze staviti u njega i imafizikalnu dimenziju kuba duljine.Objekti u prostoru koji imaju ne-nul volumen poznati su kao tijela. Tijelaomedena mnogokutima (stranama ili plohama) zovu se poliedri, a zbrojnjihovih povrsina zove se

oplosjem. Po dvije strane poliedra dodiruju seduz duzine koju nazivamo bridom poliedra.Od ostalih tijela, potrebno je istaknuti kuglu, tijelo omedeno sferom(skupom svih tocaka u prostoru jednako udaljenih od tocke zvanesredistem). Oplosje kugle je povrsina sfere koja ju omeduje.

Zadatak



Geometrijska tijela

Dvodimenzionalni objekti u prostoru (dakle, oni koji imaju povrsinurazlicitu od 0, ali obujam 0) zovu se plohe. Obujam objekta opisuje kolikomjesta zauzima, tj. koliko se primjerice brasna moze staviti u njega i imafizikalnu dimenziju kuba duljine.Objekti u prostoru koji imaju ne-nul volumen poznati su kao tijela. Tijelaomedena mnogokutima (stranama ili plohama) zovu se poliedri, a zbrojnjihovih povrsina zove se oplosjem. Po dvije strane poliedra dodiruju seduz duzine koju nazivamo bridom poliedra.Od ostalih tijela, potrebno je istaknuti kuglu, tijelo omedeno sferom(skupom svih tocaka u prostoru jednako udaljenih od tocke zvanesredistem). Oplosje kugle je povrsina sfere koja ju omeduje.

Zadatak

Koliko iznosi oplosje kocke, poliedra omedenog sa 6 kvadrata?

Ako znateda je povrsina sfere jednaka cetverostrukoj povrsini kruga istog promjera,koja je formula za povrsinu sfere?


Geometrijska tijela

Dvodimenzionalni objekti u prostoru (dakle, oni koji imaju povrsinurazlicitu od 0, ali obujam 0) zovu se plohe. Obujam objekta opisuje kolikomjesta zauzima, tj. koliko se primjerice brasna moze staviti u njega i imafizikalnu dimenziju kuba duljine.Objekti u prostoru koji imaju ne-nul volumen poznati su kao tijela. Tijelaomedena mnogokutima (stranama ili plohama) zovu se poliedri, a zbrojnjihovih povrsina zove se oplosjem. Po dvije strane poliedra dodiruju seduz duzine koju nazivamo bridom poliedra.Od ostalih tijela, potrebno je istaknuti kuglu, tijelo omedeno sferom(skupom svih tocaka u prostoru jednako udaljenih od tocke zvanesredistem). Oplosje kugle je povrsina sfere koja ju omeduje.

Zadatak



Paralelepipedi

Poliedri omedeni s tri para sukladnih paralelograma (po dva sukladna jedannasuprot drugog) zovu se paralelepipedi ili cetverostrane prizme. Ako su sviparalelogrami koji omeduju paralelepiped pravokutnici, govorimo o

kvadru.Opcenito, prizme su poliedri omedeni s dva nasuprotna, sukladnamnogokuta (tzv. osnovice ili baze) spojene s onoliko paralelograma(pobocki) koliko baze imaju stranica. Prizma je uspravna ako su jojpobocke okomite na baze. Prizma je pravilna ako su joj baze pravilnimnogokuti.


Paralelepipedi

Poliedri omedeni s tri para sukladnih paralelograma (po dva sukladna jedannasuprot drugog) zovu se paralelepipedi ili cetverostrane prizme. Ako su sviparalelogrami koji omeduju paralelepiped pravokutnici, govorimo o kvadru.Opcenito, prizme su

poliedri omedeni s dva nasuprotna, sukladnamnogokuta (tzv. osnovice ili baze) spojene s onoliko paralelograma(pobocki) koliko baze imaju stranica. Prizma je uspravna ako su jojpobocke okomite na baze. Prizma je pravilna ako su joj baze pravilnimnogokuti.


Paralelepipedi

Poliedri omedeni s tri para sukladnih paralelograma (po dva sukladna jedannasuprot drugog) zovu se paralelepipedi ili cetverostrane prizme. Ako su sviparalelogrami koji omeduju paralelepiped pravokutnici, govorimo o kvadru.Opcenito, prizme su poliedri omedeni s dva nasuprotna, sukladnamnogokuta (tzv. osnovice ili baze) spojene s onoliko paralelograma(pobocki) koliko baze imaju stranica. Prizma je uspravna ako su jojpobocke okomite na baze. Prizma je pravilna ako su joj baze pravilnimnogokuti.


Obujam prizme i kugle

Za odabranu stranu (plohu) prizme uzetu kao bazu, okomica na njuprobada nju i njoj nasuprotnu stranu. Duljina duzine koja spaja taprobodista zove se visina prizme. Obujam bilo koje prizme jednak je

umnosku povrsina baze i duljine pripadne visine:

V = Bh.

Zadatak

Uz pretpostavku da su poznate duljine stranica pojedinog tijela i popotrebi kutovi medu njima: Koliko iznosi obujam kocke? Pravilnecetverostrane prizme? Kvadra? Uspravne paralelogramske prizme?Pravilne sesterostrane prizme?Obujam kugle jednak je sestini umnoska njena oplosja i promjera. Izraziteto suvremenom formulom!



Za odabranu stranu (plohu) prizme uzetu kao bazu, okomica na njuprobada nju i njoj nasuprotnu stranu. Duljina duzine koja spaja taprobodista zove se visina prizme. Obujam bilo koje prizme jednak jeumnosku povrsina baze i duljine pripadne visine:

V = Bh.

Zadatak

Uz pretpostavku da su poznate duljine stranica pojedinog tijela i popotrebi kutovi medu njima: Koliko iznosi obujam kocke?

Pravilnecetverostrane prizme? Kvadra? Uspravne paralelogramske prizme?Pravilne sesterostrane prizme?Obujam kugle jednak je sestini umnoska njena oplosja i promjera. Izraziteto suvremenom formulom!




V = Bh.

Zadatak

Uz pretpostavku da su poznate duljine stranica pojedinog tijela i popotrebi kutovi medu njima: Koliko iznosi obujam kocke? Pravilnecetverostrane prizme?

Kvadra? Uspravne paralelogramske prizme?Pravilne sesterostrane prizme?Obujam kugle jednak je sestini umnoska njena oplosja i promjera. Izraziteto suvremenom formulom!




V = Bh.

Zadatak

Uz pretpostavku da su poznate duljine stranica pojedinog tijela i popotrebi kutovi medu njima: Koliko iznosi obujam kocke? Pravilnecetverostrane prizme? Kvadra?

Uspravne paralelogramske prizme?Pravilne sesterostrane prizme?Obujam kugle jednak je sestini umnoska njena oplosja i promjera. Izraziteto suvremenom formulom!




V = Bh.

Zadatak

Uz pretpostavku da su poznate duljine stranica pojedinog tijela i popotrebi kutovi medu njima: Koliko iznosi obujam kocke? Pravilnecetverostrane prizme? Kvadra? Uspravne paralelogramske prizme?

Pravilne sesterostrane prizme?Obujam kugle jednak je sestini umnoska njena oplosja i promjera. Izraziteto suvremenom formulom!




V = Bh.

Zadatak

Uz pretpostavku da su poznate duljine stranica pojedinog tijela i popotrebi kutovi medu njima: Koliko iznosi obujam kocke? Pravilnecetverostrane prizme? Kvadra? Uspravne paralelogramske prizme?Pravilne sesterostrane prizme?

Obujam kugle jednak je sestini umnoska njena oplosja i promjera. Izraziteto suvremenom formulom!




V = Bh.

Zadatak

Uz pretpostavku da su poznate duljine stranica pojedinog tijela i popotrebi kutovi medu njima: Koliko iznosi obujam kocke? Pravilnecetverostrane prizme? Kvadra? Uspravne paralelogramske prizme?Pravilne sesterostrane prizme?Obujam kugle jednak je sestini umnoska njena oplosja i promjera. Izraziteto suvremenom formulom!


Piramide

Piramide su geometrijska tijela koja nastaju tako da jednu tocku spojimo svrhovima nekog mnogokuta (baze piramide), dakle pobocke su im trokuti.Obujam piramide jednak je

trecini obujma prizme s istom bazom ipripadnom visinom.

Zadatak

Pravilni tetraedar je piramida omedena s cetiri jednakostranicna trokuta.Izvedite formulu za njegov obujam tako da bude izrazena samo prekokonstanti i duljine brida.


Piramide

Piramide su geometrijska tijela koja nastaju tako da jednu tocku spojimo svrhovima nekog mnogokuta (baze piramide), dakle pobocke su im trokuti.Obujam piramide jednak je trecini obujma prizme s istom bazom ipripadnom visinom.

Zadatak

Pravilni tetraedar je piramida omedena s cetiri jednakostranicna trokuta.Izvedite formulu za njegov obujam tako da bude izrazena samo prekokonstanti i duljine brida.


Jedinicne celije

Izvedite formule za obujme jedinicnih celija pojedinih kristalnih sustava(izuzev trigonskog i triklinskog)!

1 Kubicni sustav (a = b = c , α = β = γ = 90◦):

V = a3. Primijetimoda je ovdje a = d100 = d010 = d001.

2 Tetragonski sustav (a = b 6= c , α = β = γ = 90◦): V = a2c .Primijetimo da je ovdje a = d100 = d010, c = d001.

3 Rompski sustav (a 6= b 6= c 6= a, α = β = γ = 90◦): V = abc.Primijetimo da je ovdje a = d100, b == d010, c = d001.

4 Monoklinski sustav (α = γ = 90◦ 6= β): V = abc sinβ. Primijetimoda je ovdje b = d010, ali a 6= d100 i c 6= d001.

5 Heksagonski sustav (a = b, α = β = 90◦, γ = 120◦: V=√32 a2c .

Primijetimo da je ovdje c = d001, a d100 = d010 = a√

3/2.6 Trigonski sustav (a = b = c , α = β = γ 6= 90◦:

V = a3√

1 + 2 cos3 α− 3 cos2 α.7 Triklinski sustav (α 6= β 6= γ 6= α):

V = abc√

1 + 2 cosα cosβ cos γ − cos2 α− cos2 β − cos2 γ.


Jedinicne celije


1 Kubicni sustav (a = b = c , α = β = γ = 90◦): V = a3. Primijetimoda je ovdje a = d100 = d010 = d001.

2 Tetragonski sustav (a = b 6= c , α = β = γ = 90◦):

V = a2c .Primijetimo da je ovdje a = d100 = d010, c = d001.






V = a3√


V = abc√



Jedinicne celije




3 Rompski sustav (a 6= b 6= c 6= a, α = β = γ = 90◦):

V = abc.Primijetimo da je ovdje a = d100, b == d010, c = d001.





V = a3√


V = abc√



Jedinicne celije





4 Monoklinski sustav (α = γ = 90◦ 6= β):

V = abc sinβ. Primijetimoda je ovdje b = d010, ali a 6= d100 i c 6= d001.




V = a3√


V = abc√



Jedinicne celije






5 Heksagonski sustav (a = b, α = β = 90◦, γ = 120◦:

V=√32 a2c .



V = a3√


V = abc√



Jedinicne celije









V = a3√


V = abc√



repetitorij planimetrije i stereometrije za...

Documents