2. BÖLÜM VEKTÖR-KUVVET2. BÖLÜM VEKTÖR-KUVVET►Nicelik KavramıNicelik Kavramı

1.1. Skaler Nicelikler Skaler Nicelikler Yön ve doğrultudan söz edilmez. Yön ve doğrultudan söz edilmez. Sayısal değeri ve birimi ile ifade edilir. Sayısal değeri ve birimi ile ifade edilir. Kütle, sürat, enerji, sıcaklık, iş, elektrik Kütle, sürat, enerji, sıcaklık, iş, elektrik yükü, zaman, hacim…yükü, zaman, hacim…

2.2. Vektörel NiceliklerVektörel NiceliklerBaşlangıç noktası, yönü ve doğrultusu, Başlangıç noktası, yönü ve doğrultusu, büyüklüğü ve birimi ile ifade edilmesi büyüklüğü ve birimi ile ifade edilmesi gereken büyüklüklerdir. gereken büyüklüklerdir.

Hız, kuvvet, ivme, yer değiştirme, Hız, kuvvet, ivme, yer değiştirme, ağırlık…ağırlık…

VEKTÖRLERVEKTÖRLER►Vektörler yönlendirilmiş doğru Vektörler yönlendirilmiş doğru

parçalarıdır. parçalarıdır. ►Bir vektörü oluşturan elemanlar;Bir vektörü oluşturan elemanlar;

Başlangıç NoktasıBaşlangıç Noktası BüyüklüğüBüyüklüğü DoğrultusuDoğrultusu YönüYönü

VEKTÖRLERVEKTÖRLER

1. Başlangıç Noktası : 1. Başlangıç Noktası :

Vektörü çizmeye başladığımız referans noktasıdır. Bu Vektörü çizmeye başladığımız referans noktasıdır. Bu nokta olmadan çizdiğimiz vektörün büyüklüğü nokta olmadan çizdiğimiz vektörün büyüklüğü uzayda tespit edilemez.uzayda tespit edilemez.

2. Büyüklüğü :2. Büyüklüğü : Çizilen vektörün uzunluğunun sayısal Çizilen vektörün uzunluğunun sayısal değerine o vektörün büyüklüğü denir. değerine o vektörün büyüklüğü denir. Büyüklük ölçmede kullanılan standarda Büyüklük ölçmede kullanılan standarda göre değiştiği için vektör büyüklükleri göre değiştiği için vektör büyüklükleri BİRİM olarak ifade edilir. BİRİM olarak ifade edilir.

VEKTÖRLERVEKTÖRLER

3. Doğrultusu :3. Doğrultusu : Çizilen vektörün doğrultusu Çizilen vektörün doğrultusu paralellik paralellik ve çakışık olabilmeve çakışık olabilme ölçüsüdür. Zıt ölçüsüdür. Zıt yönlü olan paralel kuvvetlerin yönlü olan paralel kuvvetlerin doğrultuları aynıdır. Şekildeki K ile L doğrultuları aynıdır. Şekildeki K ile L vektörlerinin yönleri zıt fakat her vektörlerinin yönleri zıt fakat her ikisi de kuzey–güney doğrultuludur.ikisi de kuzey–güney doğrultuludur.4. Yönü :4. Yönü : Vektörün yönü çizilen doğru parçasında Vektörün yönü çizilen doğru parçasında

başlangıç noktasının diğer tarafına konulan başlangıç noktasının diğer tarafına konulan okun yönüdür. Şekildeki K vektörünün yönü okun yönüdür. Şekildeki K vektörünün yönü O noktasından A ya doğrudur (veya DOĞU O noktasından A ya doğrudur (veya DOĞU yönündedir.)yönündedir.)

VEKTÖRLERİN EŞİTLİĞİVEKTÖRLERİN EŞİTLİĞİ► Aynı yönlü ve büyüklükleri eşit olan iki Aynı yönlü ve büyüklükleri eşit olan iki

vektör birbirine eşittir. Başlangıç vektör birbirine eşittir. Başlangıç noktalarının aynı olması şartı aranmaz.noktalarının aynı olması şartı aranmaz.

Şekilde, K ile L vektörlerinin şiddetleri, yönleri Şekilde, K ile L vektörlerinin şiddetleri, yönleri ve doğrultuları eşit olduğu için bu vektörler ve doğrultuları eşit olduğu için bu vektörler eşit vektörlerdir. eşit vektörlerdir.

LK

VEKTÖRÜN NEGATİFİVEKTÖRÜN NEGATİFİ

►Bir K vektörüyle aynı büyüklüğe sahip, Bir K vektörüyle aynı büyüklüğe sahip, fakat yönü K vektörünün tersi olan fakat yönü K vektörünün tersi olan vektöre, K vektörünün negatifi denir. vektöre, K vektörünün negatifi denir. Yani bir vektör ters döndürüldüğünde o Yani bir vektör ters döndürüldüğünde o vektörün işareti değişir.vektörün işareti değişir.   

KK

VEKTÖRLERİN TAŞINMASIVEKTÖRLERİN TAŞINMASI►Bir vektörün büyüklüğünü, Bir vektörün büyüklüğünü,

doğrultusunu ve yönünü değiştirmeden doğrultusunu ve yönünü değiştirmeden bir yerden başka bir yere taşımak bir yerden başka bir yere taşımak mümkündür. mümkündür.

Eğer vektörün yönü değiştirilerek Eğer vektörün yönü değiştirilerek taşınırsa, o vektör başka bir vektör taşınırsa, o vektör başka bir vektör olur.olur.

VEKTÖRÜN SKALERLE ÇARPIMIVEKTÖRÜN SKALERLE ÇARPIMI►Bir vektörün skaler bir sayı ile Bir vektörün skaler bir sayı ile

çarpımındaçarpımında Sayı Sayı pozitifpozitif ise büyüklüğü bu sayı ile çarpılır ise büyüklüğü bu sayı ile çarpılır

yönü değişmez.yönü değişmez. Sayı Sayı negatifnegatif ise büyüklüğü bu sayı ile ise büyüklüğü bu sayı ile

çarpılır ve yönü çarpılır ve yönü tersters çevrilir. çevrilir. A

A

3

A

2

1

VEKTÖRLERİN TOPLANMASIVEKTÖRLERİN TOPLANMASI

►Paralel Kenar YöntemiParalel Kenar Yöntemi

►Uç uca Ekleme YöntemiUç uca Ekleme Yöntemi

►Çokgen KuralıÇokgen Kuralı

1.) PARALEL KENAR YÖNTEMİ1.) PARALEL KENAR YÖNTEMİ

►Paralel Kenar Yöntemi:Paralel Kenar Yöntemi: Paralel Paralel kenar metodu ile iki vektörü toplamak kenar metodu ile iki vektörü toplamak için, bu iki vektör uygulama noktaları için, bu iki vektör uygulama noktaları aynı olacak şekilde bir noktaya taşınır. aynı olacak şekilde bir noktaya taşınır.

►K vektörünün bitiş noktasından L ye K vektörünün bitiş noktasından L ye paralel, L vektörünün bitiş noktasından paralel, L vektörünün bitiş noktasından da K ye paralel çizgiler çizilir ve bir da K ye paralel çizgiler çizilir ve bir PARALEL KENAR elde edilir. K ve L PARALEL KENAR elde edilir. K ve L vektörlerinin çakışık olan başlangıç vektörlerinin çakışık olan başlangıç noktasını paralelkenarın karşı köşesine noktasını paralelkenarın karşı köşesine birleştiren vektör, iki vektörün birleştiren vektör, iki vektörün toplamına eşit olan vektördür. toplamına eşit olan vektördür.

2.) UÇ UCA EKLEME YÖNTEMİ2.) UÇ UCA EKLEME YÖNTEMİ

►Uç Uca Ekleme Yöntemi : Uç Uca Ekleme Yöntemi :

Uç uca ekleme metoduna göre, Uç uca ekleme metoduna göre, vektörlerin doğrultusu, yönü ve vektörlerin doğrultusu, yönü ve büyüklüğü değiştirilmeden, birinin bitiş büyüklüğü değiştirilmeden, birinin bitiş noktasına diğerinin başlangıç noktası noktasına diğerinin başlangıç noktası gelecek şekilde uç uca eklenir. Daha gelecek şekilde uç uca eklenir. Daha sonra ilk vektörün başlangıç noktasından sonra ilk vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitiş noktasına çizilen son vektörün bitiş noktasına çizilen vektör toplam vektörü verir.vektör toplam vektörü verir.

►Şekil – I deki K ve L vektörlerinin Şekil – I deki K ve L vektörlerinin toplamı yukarıda açıklandığı gibi toplamı yukarıda açıklandığı gibi yapılırsa, yapılırsa,

Şekil – II deki gibi K + L toplam vektörü Şekil – II deki gibi K + L toplam vektörü bulunur. bulunur.

Vektörler uç uca eklendiğinde, ilk Vektörler uç uca eklendiğinde, ilk vektörün başlangıç noktası ile son vektörün başlangıç noktası ile son vektörün bitiş noktası çakışıyorsa, vektörün bitiş noktası çakışıyorsa, toplam vektör sıfırdır.toplam vektör sıfırdır.

3.) ÇOKGEN YÖNTEMİ3.) ÇOKGEN YÖNTEMİ

►Çokgen Yöntemi : Çokgen Yöntemi :

Bu yöntem uç uca ekleme metodunun ikiden Bu yöntem uç uca ekleme metodunun ikiden fazla vektöre uygulanmasıdır. İlk vektörün fazla vektöre uygulanmasıdır. İlk vektörün başlangıç noktasından son vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitimine çizilen vektör toplam vektörü verir.bitimine çizilen vektör toplam vektörü verir.

A

B

C

D

DCBAE

E

VEKTÖRLERDE ÇIKARMAVEKTÖRLERDE ÇIKARMA► Vektörde çıkarma işlemi toplamanın tersi Vektörde çıkarma işlemi toplamanın tersi

şeklinde yapılabilir. Şekil – I de verilen aynı şeklinde yapılabilir. Şekil – I de verilen aynı düzlemdeki K ve L vektörlerinden K – L düzlemdeki K ve L vektörlerinden K – L vektörünü yani iki vektörün farkını bulmak vektörünü yani iki vektörün farkını bulmak için, K + (– L) bağıntısına göre L vektörünü için, K + (– L) bağıntısına göre L vektörünü ters çevirip Şekil – II deki gibi toplamak ters çevirip Şekil – II deki gibi toplamak gerekir. Eğer L – K vektörü sorulursa, L gerekir. Eğer L – K vektörü sorulursa, L vektörü aynen alınır, K vektörü ters çevirilip vektörü aynen alınır, K vektörü ters çevirilip toplanır. toplanır.

VEKTÖRLERDE ÇIKARMAVEKTÖRLERDE ÇIKARMA► Diğer bir yol olarak her iki vektörün başlangıç Diğer bir yol olarak her iki vektörün başlangıç

noktası bir araya getirilir. K – L vektörünü noktası bir araya getirilir. K – L vektörünü bulmak için L vektörünün ucundan başlayarak bulmak için L vektörünün ucundan başlayarak K vektörüne doğru vektör çizilir. K vektörüne doğru vektör çizilir.

► Kural (-) olan vektörden başlamaktır.Kural (-) olan vektörden başlamaktır.

LK

K

L

VEKTÖRLERİN BİLEŞENLERE VEKTÖRLERİN BİLEŞENLERE AYRILMASIAYRILMASI

► Bir vektörü dik bileşenlerine ayırmak için, vektörün başlangıç Bir vektörü dik bileşenlerine ayırmak için, vektörün başlangıç noktası, x, y koordinat ekseninin başlangıcına alınır. Şekilde K noktası, x, y koordinat ekseninin başlangıcına alınır. Şekilde K vektörünün ucundan x eksenine dik inilir ve başlangıç vektörünün ucundan x eksenine dik inilir ve başlangıç noktasını bu noktaya birleştiren vektör K nin Knoktasını bu noktaya birleştiren vektör K nin Kx x bileşenidir. bileşenidir. Benzer, şekilde y eksenine dik inilerek KBenzer, şekilde y eksenine dik inilerek Kyy bileşeni bulunur. bileşeni bulunur.

► Sadece K vektörünün şiddeti ve Sadece K vektörünün şiddeti ve açısı verilmiş ise, taralı açısı verilmiş ise, taralı üçgendeki sinüs ve cosinüs değerleri yardımıylaüçgendeki sinüs ve cosinüs değerleri yardımıyla

KKxx = K.cos = K.cos ve K ve Kyy = K.sin = K.sin bulunur. bulunur.

KUVVETKUVVET► Cisimlerin hareket durumlarını veya şekillerini Cisimlerin hareket durumlarını veya şekillerini

değiştirebilen etkiye kuvvet denir. değiştirebilen etkiye kuvvet denir. ► STATİK ETKİ : Etki ettiği cismin şeklini değiştirmesi ve STATİK ETKİ : Etki ettiği cismin şeklini değiştirmesi ve

esnek cisimlerin uzayıp sıkışması. esnek cisimlerin uzayıp sıkışması. ► DİNAMİK ETKİ : Duran cismi hareket ettirmesi, hareket DİNAMİK ETKİ : Duran cismi hareket ettirmesi, hareket

halindeki cismin hızında değişiklik yapması. halindeki cismin hızında değişiklik yapması. Kuvvet vektörel bir büyüklüktür. Vektörler anlatıların Kuvvet vektörel bir büyüklüktür. Vektörler anlatıların

tamamı Kuvvet için geçerlidir. tamamı Kuvvet için geçerlidir. Yalnız, kuvvet için Yalnız, kuvvet için vektörden farklı olarak başlangıç noktası yerine vektörden farklı olarak başlangıç noktası yerine uygulama noktası kavramı kullanılır.uygulama noktası kavramı kullanılır.

SI birim sisteminde kuvvet birimi newton (N) dur.SI birim sisteminde kuvvet birimi newton (N) dur. Dinamometre ile ölçülür.Dinamometre ile ölçülür.

DİNAMOMETREDİNAMOMETRE► Kuvvet dinamometre ile ölçülür. Esnek yaydaki Kuvvet dinamometre ile ölçülür. Esnek yaydaki

uzama miktarı, dinamometreye asılan cismin uzama miktarı, dinamometreye asılan cismin ağırlık kuvveti ile doğru orantılıdır. Dolayısıyla ağırlık kuvveti ile doğru orantılıdır. Dolayısıyla yaydaki uzama, kuvvetin büyüklüğünün bir yaydaki uzama, kuvvetin büyüklüğünün bir ölçüsü olarak alınabilir. ölçüsü olarak alınabilir.

Örneğin 10 N ağırlıklı cisim asıldığında yay 1 mm Örneğin 10 N ağırlıklı cisim asıldığında yay 1 mm uzuyorsa, 50 N ağırlıklı cisim asıldığında yay 5 uzuyorsa, 50 N ağırlıklı cisim asıldığında yay 5 mm uzayacaktır.mm uzayacaktır.

BİLEŞKE KUVVETBİLEŞKE KUVVET

► İki ya da daha fazla kuvvetin yaptığı İki ya da daha fazla kuvvetin yaptığı etkiyi tek başına yapan kuvvete etkiyi tek başına yapan kuvvete bileşke kuvvet denir. Kuvvetlerin her bileşke kuvvet denir. Kuvvetlerin her birine ise bileşke kuvvetin bileşenleri birine ise bileşke kuvvetin bileşenleri denir. Bileşke kuvvet R sembolü ile denir. Bileşke kuvvet R sembolü ile gösterilir.gösterilir.

α

F2

F1 R

Aynı Doğrultulu Kuvvetlerin BileşkesiAynı Doğrultulu Kuvvetlerin Bileşkesi► Aynı noktaya uygulanan ve Aynı noktaya uygulanan ve aynı yönlüaynı yönlü olan olan

kuvvetlerin bileşkesi kuvvetlerin bileşkesi R = FR = F1 1 + F+ F22 dir. dir. (cebirsel toplam)(cebirsel toplam)

► Açı Açı = 0° ; bileşke kuvvet maksimum. = 0° ; bileşke kuvvet maksimum.

.

► Aynı noktaya uygulanan kuvvetler Aynı noktaya uygulanan kuvvetler zıt zıt yönlüyönlü ise; ise;

R = FR = F11 – F – F22 dir. (cebirsel fark) dir. (cebirsel fark)

► Açı Açı = 180° ; bileşke kuvvet minimum. = 180° ; bileşke kuvvet minimum.

►Kuvvetlerin şiddetleri FKuvvetlerin şiddetleri F11 ve F ve F22, , aralarındaki açı aralarındaki açı ise, ise,

ÖZEL AÇILARÖZEL AÇILAR►1. 1. Kuvvetler eşit büyüklükte ve Kuvvetler eşit büyüklükte ve

aralarındaki açı aralarındaki açı = 60° ise, bileşke = 60° ise, bileşke kuvvet:kuvvet:

►2. 2. AAçı, çı, = 120° ise, bileşke kuvvet: R=F ‘dir = 120° ise, bileşke kuvvet: R=F ‘dir

►3. F3. F11 ve F ve F22 kuvvetleri arasındaki açı kuvvetleri arasındaki açı = = 90° ise, pisagor bağıntısı ile 90° ise, pisagor bağıntısı ile bulunur.bulunur.

►Eğer kuvvetlerin şiddetleri eşit ise, Eğer kuvvetlerin şiddetleri eşit ise, bileşke kuvvetin büyüklüğü bileşke kuvvetin büyüklüğü

Farklı Doğrultulu Kesişen Farklı Doğrultulu Kesişen Kuvvetlerin BileşkesiKuvvetlerin Bileşkesi

►Vektörlerin toplanmasında ve Vektörlerin toplanmasında ve çıkarılmasında anlatılan bütün çıkarılmasında anlatılan bütün özellikler kuvvetler için de geçerlidir. özellikler kuvvetler için de geçerlidir. FF11 ve F ve F22 kuvvetlerinin bileşkesi, uç uca kuvvetlerinin bileşkesi, uç uca ekleme ya da paralelkenar metoduyla ekleme ya da paralelkenar metoduyla bulunur.bulunur.

PARALEL KUVVETLERİN PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİBİLEŞKESİ

► İki kuvvet birbirine paralel ise bileşkenin İki kuvvet birbirine paralel ise bileşkenin büyüklüğü kuvvetlerin yönüne göre bulunur. büyüklüğü kuvvetlerin yönüne göre bulunur. Kuvvetler aynı yönlü ise toplanır, zıt yönlü Kuvvetler aynı yönlü ise toplanır, zıt yönlü ise çıkarılır. Fakat bileşke kuvvetin ise çıkarılır. Fakat bileşke kuvvetin uygulama noktası iki kuvvetin net uygulama noktası iki kuvvetin net momentinin sıfır olduğu noktadır.momentinin sıfır olduğu noktadır.

► Kuvvet x kuvvet kolu = Yük x yük kolu Kuvvet x kuvvet kolu = Yük x yük kolu A BC

F1F2

R = F1 + F2

AYNI YÖNLÜAYNI YÖNLÜ►Aynı yönlü paralel kuvvetlerin Aynı yönlü paralel kuvvetlerin

bileşkesinin büyüklüğü kuvvetlerin bileşkesinin büyüklüğü kuvvetlerin büyüklükleri toplanarak bulunur.büyüklükleri toplanarak bulunur.

►Bileşkenin uygulama noktası ise şeklin Bileşkenin uygulama noktası ise şeklin altındaki formüle göre hesaplanır.altındaki formüle göre hesaplanır.

ZIT YÖNLÜZIT YÖNLÜ►Zıt yönlü paralel kuvvetlerin Zıt yönlü paralel kuvvetlerin

bileşkesinin büyüklüğü kuvvetlerin bileşkesinin büyüklüğü kuvvetlerin büyüklükleri çıkarılarak bulunur.büyüklükleri çıkarılarak bulunur.

►Bileşkenin uygulama noktası ise şeklin Bileşkenin uygulama noktası ise şeklin altındaki formüle göre hesaplanır.altındaki formüle göre hesaplanır.