2012

TOLGA YAVAN

Matematik retmeni

11. SINIF MATEMATK

KONU ZET

11. SINIF MATEMATK KONU ZET

1

1.NTE: KARMAIK SAYILAR

x2+3=0 gibi denklemlerin gerek saylarda zm

olmadndan bu denklemlerin bo kmeden farkl

zm kmeleri iin yeni bir say kmesine ihtiya

vardr.

Negatif saylarn karekkleri sz konusu olduunda

karlalan ortak arpanna sanal say birimi denir. Matematiki Euler (yler), bu sanal say

birimini i ile gstermitir. Yaps gz nne

alndnda, olduu grlr.

a>0 olmak zere, olarak ifade edilir. Negatif saylarn karekklerine sanal saylar denir.

kN iin; {

( )

( )

( )

( )

eklindedir.

a, b R ve sanal say birimi olmak zere a+bi biimindeki saylara karmak saylar denir.

Bu saylarn oluturduu kmeye karmak

(kompleks) saylar kmesi ad verilir ve C ile

gsterilir.

Baka bir deyile, C={z | z=a+bi, a, bR, } kmesi karmak saylar kmesi olarak adlandrlr.

Bu kmesinin elemanlar standart biimde z=a+bi

olarak gsterilir.

Bu saylara karmak saylar denir.

aR saysna z nin gerek ksm Re(z), bR saysna da z nin sanal ksm Im(z) denir. Re(z)=a ve Im(z)=b biiminde gsterilir.

KARMAIK SAYILARIN ETL

a, b, c, d R, z1 = a + bi ve z2 = c + d i olmak zere, z1 = z2 a = c ve b = d dir.

KARMAIK DZLEM

Gerek ve sanal eksenlerin balang noktasnda dik

kesimeleri ile oluan sisteme karmak saylar

dzlemi ya da ksaca karmak dzlem ad verilir.

a, b R olmak zere, z=a+bi karmak says karmak dzlemde,

biiminde gsterilir.

BR KARMAIK SAYININ ELEN VE

MODL

a, b R olmak zere, a+bi ve a-bi karmak saylarna birbirinin elenii denir. Bir karmak

say ile eleniinin karlk geldii noktalar gerek

eksene gre simetriktir.

Herhangi bir z karmak saysnn elenii ile gsterilir. z = a + bi karmak saysnn elenii

karmak saysdr.

Karmak dzlemde bir z karmak saysna karlk

gelen noktann balang noktasna olan uzaklna

bu karmak saynn modl denir ve |z| biiminde

gsterilir.

a, b R ve z = a + b i olmak zere z karmak saysnn modl karmak dzlemde,

|z|=|a+bi|= dr.

Bir z karmak saysnn modl ile elenii

olan karmak saysnn modl birbirine eittir. |z| = | | dr.

KARMAIK SAYILARDA TOPLAMA VE

IKARMA LEMLER

Karmak saylar toplanrken veya karlrken

gerek ksmlar kendi aralarnda ve sanal ksmlar

kendi aralarnda toplanr veya karlr.

Karmak dzlemde ardk kesi

z1, 0 + 0i ve z2 karmak saylar olan paralelkenarn

drdnc kesi z1 + z2 karmak says;

z1, 0 + 0i ve z2 karmak saylar olan

paralelkenarn drdnc kesi z1 z2 karmak

saysdr.

11. SINIF MATEMATK KONU ZET

2

TOPLAMA LEMNN ZELLKLER

z1, z2, z3 C iin, 1. (z1 + z2) C olduundan toplama ileminin

kapallk zellii vardr.

2. z1 + z2 = z2 + z1 olduundan toplama ileminin deime zellii vardr.

3. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) olduundan toplama ileminin birleme zellii vardr.

4. z1 + 0 + 0 i = 0 + 0 i + z1 = z1 olduundan (0+0i) toplama ileminin etkisiz elemandr.

5. z1 + (z1) = (z1) + z1 = 0 + 0 i olduundan z1=a+bi karmak saysnn toplama ilemine

gre tersi z1 = a bi dir.

KARMAIK SAYILARDA ARPMA VE

BLME LEMLER

a, b, c, d R ve z1 = a + b i, z2 = c + d i karmak saylar iin,

z1.z2= (ac bd) + (ad + bc)i dir.

ileminde pay ve payda z2 nin elenii ile

arplarak payda gerek sayya dntrlr.

Payda elde edilen karmak saynn gerek ve sanal

ksm, paydadaki gerek sayya blnr.

ARPMA LEMNN ZELLKLER

z, z1, z2, z3 karmak saylar iin, 1. z1.z2 C olduundan karmak saylar

kmesi arpma ilemine gre kapaldr.

2. z.1 = 1.z = z olduundan 1 says karmak saylar kmesinde arpma ilemine gre

etkisiz elemandr.

3.

olduundan karmak saylar

kmesinde arpma ilemine gre sfr hari

her karmak saynn tersi vardr.

z karmak saysnn arpma ilemine gre

tersi z-1

ile gsterilir.

biiminde

yazlr.

4. z1.z2 = z2.z1 olduundan karmak saylar kmesinde arpma ileminin deime

zellii vardr.

5. (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) olduundan karmak saylar kmesinde arpma ileminin

birleme zellii vardr.

6. z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3 olduundan karmak saylar kmesinde arpma

ileminin toplama ilemi zerine dalma

zellii vardr.

ELENK VE MODL ZELLKLER

z, z1, z2 karmak saylar iin,

1. ( ) 2. 3.

4. (

)

; (z2 0)

5. ( ) ( ) dr. z1, z2 karmak saylar iin,

1. | z1.z2 | = | z1 |.| z2 |

2. |

|

| |

| | ; (z2 0 + 0 i)

3. | | 4. | | | | 5. || | | || | | | | | | dir.

KARMAIK SAYILARDA KNC

DERECEDEN BR BLNMEYENL

DENKLEMLER

a, b, c R, a 0 olmak zere ax2 + bx + c=0 biimindeki ikinci dereceden gerek katsayl bir

denklemin kklerinden biri m + ni ise dieri m ni

dir. (m, n R)

K KARMAIK SAYI ARASINDAK

UZAKLIK

z1, z2 C, z1 = a + b i, z2 = c + d i olmak zere, z1 ile z2 karmak saylar arasndaki uzaklk, bu

saylarn farknn modlne eittir. Buna gre z1 ile

z2 arasndaki uzaklk | z1 - z2 | ile gsterilir.

Karmak dzlemde z0 karmak saysndan r birim

uzaklkta bulunan z karmak saylar | z zo | = r

eitliini salar ve merkezi z0, yarap r olan

emberi belirtir. emberi oluturan z karmak

saylarnn kmesi { z: | z zo | = r, z C } biiminde gsterilir.

z = x + y i, z0 = a + b i ve r R+ olmak zere;

1. |z z0| gsterimi z saysnn z0 saysna uzakln belirtir.

2. |z z0| = r eitlii merkezi (a, b) ve yarap r birim olan bir emberi belirtir.

11. SINIF MATEMATK KONU ZET

3

3. |z z0| < r eitsizlii merkezi (a, b) ve yarap r birim olan emberin i blgesini

belirtir.

4. |z z0| r eitsizlii merkezi (a, b) ve yarap r birim olan daire belirtir.

5. |z z0| > r eitsizlii merkezi (a, b) ve yarap r birim olan emberin d blgesini

belirtir.

6. |z z0| r eitsizlii merkezi (a, b) ve yarap r birim olan emberin kendisi ve d

blgesini belirtir.

7. |z z1| =|z z2| kouluna uyan z karmak saylarnn kmesi, z1 ve z2 saylarna eit

uzaklkta bulunan noktalarn kmesidir. Bu

ise z1 ve z2 yi birletiren doru parasnn

orta dikmesidir. 8. |z z1| + |z z2| =k kouluna uyan z

karmak saylarnn kmesi, z1 ve z2

saylarna uzaklklar toplam sabit olan

noktalarn kmesidir. Bu ise odaklar z1 ve

z2 olan elipsdir.

9. |z z1| |z z2| =k kouluna uyan z karmak saylarnn kmesi, z1 ve z2

saylarna uzaklklar toplam sabit olan

noktalarn kmesidir. Bu ise odaklar z1 ve

z2 olan hiperboldr.

10. |z z1| =k.|z z2|, (k1) kouluna uyan z karmak saylarnn kmesi, z1 ve z2

saylarna uzaklklar oran sabit olan

noktalarn kmesidir. Bu noktalar bir

ember zerindedir. (Apolyanus emberi)

KARMAIK SAYILARIN KUTUPSAL BM

Yatay eksene kutupsal eksen diyelim ve bu eksen

zerinde bir balang noktas (merkez noktas)

alalm. Bir B noktasnn balang noktasna olan

uzakl r, kutupsal eksen ile yapt pozitif ynl

ann ls olmak zere oluturulan (r, )

ikilisine B noktasnn kutupsal koordinatlar denir

ve B(r, ) biiminde ifade edilir.

Kartezyen koordinatlar (x, y) olan A noktas

kutupsal koordinatlarla (r, ) olarak ifade

edildiinde, x = r.cos , y = r.sin ve

olur.

Genel olarak z = x + i y biiminde gsterilen

karmak say kutupsal koordinatlar (r, ) alnarak,

z = x + i y = r.cos + i.r.sin = r.(cos + i.sin )

biiminde yazlr.

Bu gsterime z nin kutupsal biimi denir ve z=rcis

eklinde de gsterilir.

Kutupsal biimdeki z = r.cis ( + k.360o), (k Z)

karmak saylar da z = r.cis ile temsil edilir.

Kutupsal biimde yazlan z = r cis karmak

saysnda ya z nin argmenti ad verilir.

0 < 360o (0 < 2) ise ya z nin esas

argmenti denir. Arg(z) = biiminde gsterilir.

z0 = a + bi karmak saysnn karmak dzlemdeki

grnts A(a, b) olmak zere,

arg(z z0) = koulunu salayan z karmak

saylarnn grnts AK yar dorusudur.

KUTUPSAL BMDE VERLEN KARMAIK

SAYILARDA TOPLAMA, IKARMA,

ARPMA VE BLME LEMLER

Kutupsal biimde verilen karmak saylarn

toplam veya fark; standart biiminde yazlabilenler

standart biimde yazlarak, modlleri eit olanlar ise

trigonometrideki toplam ve fark formllerinden

faydalanlarak bulunur.

z1 = r1.cis ve z2 = r2.cis olmak zere,

z1.z2=r1.r2.cis ( + ) dir.

Arg (z1) = , Arg (z2) = ve Arg (z1.z2) = +

olduundan,

Arg (z1.z2) = Arg (z1) + Arg (z2) olur.

z1 = r1.cis ve z2 = r2.cis olmak zere,

( ) dr.

Arg (z1) = , Arg (z2) = ve (

)

olduundan (

) ( ) ( ) olur.

11. SINIF MATEMATK KONU ZET

4

Bir Karmak Saynn Orijin Etrafnda Pozitif

Ynde As Kadar Dndrlmesi z = r.cis saysnn orjin etrafnda kadar

dnmesiyle oluan z1 saysn z1=z.cis formlyle

buluruz.

O halde bir karmak say cis ile arplnca bu

saynn elendii noktann orijin etrafnda kadar

dndrlmesiyle varlan noktaya elenen karmak

say elde edilmektedir.

KARMAIK SAYININ KUVVETLER

z = r.cis ve n N+ olmak zere, z karmak saynn n kuvveti,

zn = r

n.cis (n.) = r

n.[cos (n.) + i .sin (n.)] dir. Bu

kural De Moivre Kural olarak adlandrlr.