10 mat102-bai 7-v1.0

Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và vectơ riêng

v1.0 89

Bài 7: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH. TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG

Mục tiêu Nội dung

Nắm được khái niệm về Toán tử tuyến tính.

Nắm được khái niệm về Trị riêng và véc tơ

riêng.

Nắm được phương pháp chéo hóa ma trận.

Giải được các bài toán tương ứng.

Đối với toán tử tuyến tính người ta quan

tâm tới ma trận biểu diễn nó. Việc tìm

các không gian con bất biến một chiều là

cực kỳ quan trọng. Tìm lời giải cho bài

toán này là nguyên nhân đưa đến khái

niệm trị riêng và véc tơ riêng.

Toán tử tuyến tính

Trị riêng và véc tơ riêng

Vấn đề chéo hóa ma trận.

Thời lượng

Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT +

8 giờ làm bài tập.


90 v1.0

Bài toán mở đầu : Mô hình kinh tế động

Trong Mô hình Lêonchiep, cũng như trong mô hình “chi phí – sản xuất” khác, dự trữ trong mỗi

ngành được coi là tỷ lệ với cường độ sử dụng sản phẩm trong ngành đó. Ta sẽ xét dự trữ tổng của

nền kinh tế. Viết tập các hệ số yêu cầu dự trữ ki , i 1,2,..., n dưới dạng ma trận đường chéo K,

véc tơ xác định tổng chi phí sản phẩm bằng Ax, Như vậy yêu cầu dự trữ của hệ kinh tế, cần thiết

để sản xuất tổng sản phẩm x được cho bởi véc tơ KAx.

Cho nên nếu ở thời điểm t cần sản xuất x(t) sản phẩm thì dự trữ s(t) ở thời điểm đó cần phải đủ

đảm bảo mức sản xuất đó, tức là cần phải có quan hệ

KAx(t) ≤ s(t)

Giả sử y là véc tơ sản phẩm phân loại, ta có

X = (I – A)–1 y

Từ hai hệ thức trên ta có

KA (I – A)–1 y(t) ≤ s(t) (*)

Quan hệ này là giới hạn nền tảng của mô hình “chi phí – sản xuất” có các dự trữ.

Tiếp theo có thể coi rằng mọi cụm sản phẩm phân loại gồm có hai phần. Phần một y(t) là véc tơ

sản phẩm của thời điểm hiện tại, phần thứ hai là cụm Гs(t), đó là gia số về dự trữ s(t). Như vậy ta

có hai quan hệ

y (t) y (t) s(t)

s(t 1) s(t) s(t)

Bây giờ ta giả thiết rằng nhu cầu mỗi sản phẩm là không đổi theo thời gian về sản phẩm thuần túy

của nó. Giả sử γi là tỷ số của nhu cầu so với sản phẩm thuần túy thứ i ( 0 < γi < 1 ). Ta gọi γi là

thiên hướng tiêu thu sản phẩm i. Lập ma trận đường chéo Г là ma trận thiên hướng tiêu thụ, ta có

y (t) y(t)

s(t) (I )y(t)

1y(t) (I ) s(t) ( **)

Ma trận (I – Г) là ma trận đường chéo với đường chéo dương thực sự vì (0 < γi < 1), cho nên

(I – Г)–1 luôn tồn tại, các phần tử đường chéo của ma trận đó là 1/ (1 – γi ).

Từ hai hệ thức (*) và (**) ta có

KA (I – A)–1 (I – Г)–1 Гs(t) ≤ s(t)

Ký hiệu K* = K A (I – A)–1 (I – Г)–1 ta được

K* Гs(t) ≤ s(t)

Xét điều kiện đảm bảo tăng cân bằng cân đối tức là tăng sao cho quan hệ γ = Гsi (t) / si (t) giống

nhau đối với mọi sản phẩm và ít nhất có một dự trữ của một sản phẩm được sử dụng toàn bộ

(tức là giới hạn nền tảng trở thành đẳng thức đối với ít nhất một sản phẩm). Đại lượng γ gọi là

tốc độ tăng của hệ thống.

Như vậy bài toán dẫn đến việc giải hệ bất đẳng thức đặc biệt

K* Гs(t) ≤ (1/ γ) Гs(t).

Người ta chứng minh được rằng nghiệm duy nhất của hệ trên là (1/ γ*) = γ*, Гs(t) = x* trong đó

γ* là nghiệm đặc trưng lớn nhất về mô đun, x* là véc tơ riêng tương ứng của ma trận A.


v1.0 91

7.1. Toán tử tuyến tính

7.1.1. Định nghĩa 7.1

Một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ V lên chính nó gọi là một toán tử tuyến

tính trên V.

Ví dụ: Ánh xạ f: 2 2 xác định bởi f(x; y) = (x + y; x – y) là một toán tử

tuyến tính.

Một toán tử tuyến tính trong không gian n được xác định một cách duy nhất bởi một

ma trận vuông A cấp n n.

Thật vậy, đây là trường hợp riêng của ánh xạ tuyến tính với hai cơ sở {e1, e2,..., en} và

{f1, f2,..., fn}.

f(ek) = n

ik i ki 1

a e f , k 1,..., n

A = ik n na

Vì vậy, để cho tiện, ta sẽ ký hiệu toán tử tuyến tính bằng A (là ma trận tương ứng

của nó).

7.1.2. Cộng và nhân các toán tử tuyến tính

Phép cộng

Tổng của hai toán tử tuyến tính A và B là toán tử tuyến tính C, mà nó thiết lập cho

mỗi véc tơ x một véc tơ tương ứng Ax + Bx. Nói cách khác

C = A + B Cx = Ax + Bx.

Ta hãy tìm ma trận của C, nếu biết ik ika , b là các ma trận của A, B tương ứng

k ik i k ik ii i

Ae a e , Be b e .

Gọi ikc là ma trận của C, nghĩa là

k ik ii

Ce c e .

Vì C = A + B nên

k k k ik ik ii

Ce Ae Be (a b )e

do đó

ik ik ikc a b .

Ma trận ik ika b gọi là tổng của các ma trận ika và ikb .

Vậy ma trận của tổng các toán tử tuyến tính bằng tổng các ma trận ứng với số hạng

thành phần.


92 v1.0

Phép nhân

Tích của hai toán tử tuyến tính A và B là toán tử C, thể hiện sự hoàn thành liên

tiếp, đầu tiên là toán tử B và sau đó là toán tử A.

Nói cách khác

C AB Cx A(Bx).

Ta có tích của hai toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính.

Thật vậy

1 2 1 2 1 2C(x x ) A[B(x + x )] = A(Bx Bx )

1 2 1 2ABx ABx Cx Cx .

Tương tự, ta có thể chứng minh

C( x) Cx .

* Nếu E là toán tử đơn vị, còn A là toán tử bất kỳ thì dễ kiểm tra được rằng

AE = EA = A.

Ta có thể định nghĩa được lũy thừa của toán tử A.

A2 = A.A ; A3 = A.A.A

Coi rằng A0 = E. Rõ ràng là Am + n = Am.An.

* Bây giờ, ta tìm ma trận của toán tử C

k ik ii

Ce c e

n

k jk j jk j jk ij 0 j ji

ABe A b e b Ae b ae .

Từ các kết quả trên, ta có

ik ij jkj

c a b .

Như thế, ma trận của C bằng tích các ma trận của A và B.

* Các tính chất của phép cộng và phép nhân các toán tử tuyến tính.

(1) A + B = B + A

(2) (A + B) + C = A + (B + C)

(3) A(BC) = (AB)C

(4) (A B)C AC BC

C(A B) CA CB.

Chú ý rằng tích các toán tử tuyến tính nói chung không có tính giao hoán

AB BA.


v1.0 93

Đã biết tìm tổng và tích các toán tử tuyến tính thì bây giờ, ta có thể tìm được một

đa thức bất kỳ của toán tử A. Giả sử

P(t) = a0tm + a1t

m – 1 +...+ amE

là một đa thức bất kỳ.

Khi đó, ta có P(A) xác định bởi

P(A) = a0Am + a1A

m – 1 +...+ amE.

7.1.3. Không gian con bất biến

Định nghĩa 7.2: Giả sử A là toán tử tuyến tính của không gian n. Không gian con

tuyến tính V gọi là bất biến đối với A, nếu đối với mỗi véc tơ x V thì véc tơ Ax

cũng thuộc V. Khi nghiên cứu toán tử tuyến tính A trong không gian bất biến V như vậy có thể xét

toán tử này chỉ trong V.

Ví dụ:

Giả sử 3 là không gian ba chiều và A là phép quay quanh một trục nào đó đi qua

điểm O (gốc tọa độ). Các không gian con bất biến khi này là

Trục quay (không gian con bất biến một chiều)

Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với trục quay này (không gian con bất

biến hai chiều).

Ví dụ :

Xét 2 – mặt phẳng. Toán tử A thể hiện là sự kéo dãn mặt phẳng 1 lần dọc theo trục Ox

và 2 lần dọc theo trục Oy. Nói cách khác, nếu z = 1e1 + 2e2 thì Az = 11e1 + 22e2

trong đó e1 và e2 là các véc tơ đơn vị trên các trục.

Các tọa độ Ox, Oy trong trường hợp này là các không gian con bất biến một chiều.

Nếu 1 = 2 = bội thì A gọi là toán tử đồng dạng. Trong trường hợp này, mỗi đường

thẳng đi qua gốc tọa độ đều là không gian con bất biến.

7.2. Trị riêng và véc tơ riêng

7.2.1. Khái niệm về trị riêng và véc tơ riêng của ma trận

Định nghĩa 7.3: Giả sử A là ma trận thực vuông cấp n, số thực gọi là trị riêng của A

nếu phương trình

Ax = x, x n

có nghiệm x = (x1, x2,…, xn)T (0, 0,...,0)T = θ.

Véc tơ x 0, 0 này gọi là véc tơ riêng ứng với trị riêng .

Ví dụ: Cho

3 0A

8 1

Ta thấy 1 3 0 1 3 1

A 32 8 1 2 6 2


94 v1.0

Vậy với x = (1, 2)T ta có Ax = 3x nghĩa là 3 là trị riêng của A với véc tơ riêng là

(1, 2)T 2.

Chú ý: Nếu x là véc tơ riêng của A ứng với trị riêng thì cx trong đó c là một hằng số

khác 0 tùy ý cũng là véc tơ riêng của A ứng với trị riêng .

Thật vậy, ta có

A(cx) = cAx = cx = (cx).

7.2.2. Phương trình đặc trưng

Để tìm các giá trị riêng của ma trận vuông A cấp n, ta viết (với I là ma trận đơn vị cấp n).

Ax = x Ax = Ix, x n

(A – I)x = 0, x 0.

Đây là một hệ tuyến tính thuần nhất.

Điều kiện cần và đủ để là trị riêng của A là là nghiệm thực của phương trình

det (A – I) = 0 (7.1)

Định nghĩa 7.4: Phương trình (5.1) gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A.

Ví dụ: Hãy tìm các trị riêng của ma trận

3 2A

1 0

Giải:

3 2 1 0 3 2A I

1 0 0 1 1

23 2det(A I) 3 2 0

1

1 = 1, 2 = 2 là các giá trị riêng của A.

7.2.3. Tìm véc tơ riêng của ma trận

Véc tơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng là nghiệm khác 0 của phương trình.

Ax = x

hay là

(A – I)x = 0 (7.2)

Định nghĩa 7.5: Ta gọi không gian nghiệm của (7.2) là không gian riêng của A ứng

với trị riêng .

Ví dụ: Hãy tìm các cơ sở của các không gian riêng của ma trận

3 2 0

A 2 3 0

0 0 5


v1.0 95

Giải: Phương trình đặc trưng của A là

2

3 2 0

2 3 0 (3 ) (5 ) 4(5 )

0 0 5

(5 – )(9 + 2 – 6 – 4) = 0

(5 – )(2 – 6 + 5) = 0

(1 – )(5 – )2 = 0.

Các trị riêng là 1 = 1, 2 = 5 (bội 2)

(A – I)x = 0

1

2

3

x3 2 0 0

2 3 0 x 0

0 0 5 0x

* Với = 1

1

2

3

x2 2 0 0

2 2 0 x 0

0 0 4 0x

1 2

1 2

3

2x 2x 0

2x 2x 0

4x 0

x1 = x2 = t, x3 = 0.

Vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng = 1 là các véc tơ khác 0 có dạng

t 1

x t t 1

0 0

và

1

1

0

là cơ sở của không gian ứng với trị riêng = 1.

* Với = 5, ta có

1

2

3

x2 2 0 0

2 2 0 x 0

0 0 0 0x

Giải hệ này ta được

x1 = –s, x2 = s, x3 = t.


96 v1.0

Vậy những véc tơ riêng của A ứng với trị riêng = 5 là những véc tơ khác 0 có dạng

s s 0 1 0

x s s 0 s 1 t 0

t 0 t 0 1

và hai véc tơ

1 0

1 và 0

0 1

là hai véc tơ độc lập tuyến tính nên chúng tạo thành một cơ

sở cho không gian riêng ứng với trị riêng = 5.

7.2.4. Trị riêng của các ma trận đồng dạng

Hai ma trận A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận P không suy biến

det P 0 sao cho B = P–1AP.

Định lí 7.1: Hai ma trận đồng dạng có trị riêng như nhau.

Chứng minh:

Xét phương trình đặc trưng của B

det (B – I) = 0

det (P–1AP – P–1IP) = det [P–1(A – I)P]

= det(P–1)det(A – I)det(P) = 0

Vì det(P) 0, det(P–1) 0 nên suy ra det(A – I) = 0.

Do đó, trị riêng của B trùng với trị riêng của A.

7.3. Vấn đề chéo hóa ma trận

7.3.1. Đặt bài toán

Cho V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều, f: V V là một toán tử tuyến tính

trong V. Ta đã biết rằng ma trận của f phụ thuộc vào cơ sở chọn trong V. Ta mong

muốn có một cơ sở sao cho ma trận của f có dạng đơn giản như dạng ma trận chéo

chẳng hạn. Hỏi có hay không một cơ sở trong V sao cho ma trận của f đối với cơ sở

đó là ma trận chéo?

7.3.2. Cách giải

Điều kiện chéo hóa: Giả sử A là ma trận của f đối với một cơ sở xác định nào

đó trong V. Ta xét một phương pháp đổi cơ sở. Ma trận mới của f sẽ là P–1AP,

trong đó P là ma trận cơ sở.

Vậy bài toán nêu trên tương đương với bài toán: Hỏi có tồn tại một phép đổi cơ sở

để cho ma trận mới của f đối với cơ sở mới là ma trận chéo.

Đối với ma trận vuông A, nếu tồn tại một ma trận khả đảo P sao cho P–1AP là

ma trận chéo thì nói ma trận A chéo hóa được và nói ma trận P làm chéo hóa ma

trận A.


v1.0 97

Định lí 7.2: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A chéo hóa được là nó có n véc

tơ riêng độc lập tuyến tính.

Quá trình chéo hóa một ma trận

Bước 1: Tìm n véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A

p1, p2,…, pn.

Bước 2: Lập ma trận P có p1, p2,…, pn là các cột.

Bước 3: Ma trận P–1AP sẽ là ma trận chéo với 1, 2,…, n là các phần tử chéo liên

tiếp, trong đó i là các trị riêng ứng với Pi, i = 1,n .

Ví dụ: Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận

3 2 0

A 2 3 0

0 0 1

Giải: Từ ví dụ ở phần trước, ta đã có các trị riêng của A là = 5 và = 1, đồng

thời có véc tơ riêng

1

1

p 1

0

tạo nên cơ sở cho không gian riêng ứng với trị riêng = 1.

Các véc tơ riêng

2 3

1 0

p 1 , p 0

0 1

tạo nên cơ sở cho không gian riêng ứng với trị riêng = 5.

Dễ kiểm tra rằng {p1, p2, p3} độc lập tuyến tính, do đó

1 1 0

P 1 1 0

0 0 1

làm chéo hóa A.

detP = 1 + 1 = 2

P11 = 1, P12 = –1, P13 = 0

P21 = 1, P22 = 1, P23 = 0

P31 = 0, P32 = 0, P33 = 2

1

1 10

2 2

1 1P 0

2 2

0 0 1


98 v1.0

1

1 10

2 2 3 2 0 1 0 01 1

P AP 0 2 3 0 0 5 02 2

0 0 1 0 0 50 0 1

Định lí 7.3: Nếu ma trận A cấp n có n trị riêng khác nhau thì có thể chéo

hóa được.

Ví dụ: Ma trận

2 1 0

A 3 2 0

0 0 4

Có 3 trị riêng khác nhau

1 = 4, 2 = 2 + 3 , 3 = 2 – 3 .

Do đó, tồn tại ma trận khả đảo P để

1

4 0 0

P AP 0 2 3 0

0 0 2 3


v1.0 99

TÓM LƯỢC CUỐI BÀI

Nắm được khái niệm về toán tử tuyến tính.

Hiểu về trị riêng và véc tơ riêng, cách tìm.

Nắm được khái niệm về chéo hóa ma trận.

Làm được các bài tập.

Bài tiếp theo các bạn sẽ được học về Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương và không gian Euclid.


100 v1.0

BÀI TẬP

1. Tìm các trị riêng và véc tơ riêng của A

2 1 1

A 1 2 1

0 0 1

2. Cho phép ánh xạ tuyến tính f: 2 2.

f : (x, y) (5x + 4y, 8x + 9y).

Tìm trị riêng và véc tơ riêng của f.

3. Cho A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f: 3 3 trong cơ sở chính tắc

10 9 9

A 9 8 9

9 9 8

a. Hãy tính các trị riêng của f. Có thể nói trước được rằng A chéo hóa không?

b. Xác định các véc tơ riêng của f.

c. Chứng minh rằng f là chéo hóa được. Tính ma trận chuyển P từ cơ sở chính tắc sang cơ sở

của các véc tơ riêng, suy ra ma trận chéo D = P–1AP ứng với f trong cơ sở này.

Hãy tính An, n .

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1. Cho ma trận

3 2 0

A 2 3 0

0 0 5

Hỏi rằng giá trị nào sau đây không phải là trị riêng của A?

A. 1 = 5 B. 2 = –1 C. 3 = 1 D. 4 = 5

2. Cho T: 2 2 là ánh xạ với ma trận

2 1A

8 4

Hỏi véc tơ nào dưới đây thuộc Im(T)?

A. (1; –4) B. (5; 0) C. (3; 12) D. (1; 4)

3. Cùng với ánh xạ trong bài 2. Hỏi véc tơ nào dưới đây thuộc Ker(T)?

A. (5; 10) B. (4; –16) C(1; 1) D. (1; –4)

10 mat102-bai 7-v1.0

Education