07 mat102-bai 4-v1.0

Bài 4: Phép toán và Cấu trúc đại số

51

Bài 4: PHÉP TOÁN VÀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

Nội dung

Khi làm toán ở bậc đại học thì các đối tượng không phải luôn luôn là các số, nhưng ta vẫn gặp lại những tính chất trong phép cộng hay phép nhân đối với các đối tượng đang xét. Vì vậy hình thành khái niệm “Cấu trúc đại số”. Bài 4 bao gồm những nội dung chính sau đây:

• Phép toán

• Cấu trúc nhóm, vành, trường

• Trường số phức

Mục tiêu Thời lượng

• Nắm được khái niệm về phép toán trong trên một tập hợp;

• Nắm được khái niệm về cấu trúc nhóm, vành, trường;

• Nắm được khái niệm về trường số phức, các phép toán, dạng lượng giác của số phức, công thức Moivre tính lũy thừa bậc n của số phức dưới dạng lượng giác và căn bậc n của số phức;

• Giải được các bài tập về cấu trúc nhóm, vành, trường và các bài toán trong trường số phức.

Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT + 8 giờ làm bài tập.

v1.0


52

Bài toán mở đầu: Toán tử dự báo – Phép toán trên tập các trạng thái của nền kinh tế

Nội dung của dự báo là căn cứ vào trạng thái quá khứ Q(t – m),..., Q(t –1) và hiện tại của bản thân hệ thống Q(t), phối hợp với thông tin của môi trường U(t), dùng toán tử P để đưa ra những phán đoán tương lai của hệ thống Q(t + θ):

Q(t + θ) = P[Q(t – m),..., Q(t – 1), Q(t), U(t), U(t + 1),...]

θ gọi là tầm xa của dự báo.

4.1. Phép toán

4.1.1. Khái niệm

Cho một tập X khác rỗng, mỗi ánh xạ θ: X×X → X gọi là một phép toán (hay luật hợp thành) trên tập X. Để tiện trình bày ta sẽ ký hiệu phép toán trên là * Phần tử θ (a,b) với a,b ∈ X gọi là hợp thành của các phần tử a,b. Có hai cách ký hiệu phần tử hợp thành: Ký hiệu theo lối cộng θ (a,b) = a + b, gọi là tổng của các phần tử a, b.

Ký hiệu theo lối nhân θ (a,b) = a.b (hoặc ab), gọi là tích của các phần tử a, b.

4.1.2. Các tính chất

• Tính kết hợp ∀a, b, c ∈ X, ta có a*(b*c) = (a*b)*c

Ví dụ:

a + (b + c) = (a + b) + c a.b.c = (a.b).c

• Tính giao hoán ∀a, b, c ∈ X, ta có a * b = b * a

Ví dụ: a + b = b + a a + b = b + a

• Phần tử trung hòa e ∀a, ∈ X, ta có a * e = e * a = a

Ví dụ: a + 0 = 0 + a = a (Đối với phép cộng) a.1 = 1.a = a (Đối với phép nhân)

• Phần tử đối xứng a’ a * a′ = a′ * a = e

Ví dụ: a + (–a) = (–a) + a = 0 (Đối với phép cộng);

a.a–1 = a–1.a = 1 (Đối với phép nhân trong với a ≠ 0).

v1.0


53

4.1.3. Khái niệm về cấu trúc đại số

Một tập hợp X trên đó có trang bị một số phép toán với những tính chất xác định tạo thành cấu trúc đại số. Sau đây, ta sẽ nghiên cứu nhóm, vành, trường và trường số phức, là các cấu trúc đại số quan trọng, có nhiều ứng dụng.

4.2. Cấu trúc nhóm, vành, trường

4.2.1. Cấu trúc nhóm – nhóm con

4.2.1.1. Khái niệm về nhóm

Định nghĩa 4.1: Tập G khác rỗng có trang bị một phép toán (*), ký hiệu bởi (G,*). Cặp (G,*) được gọi là một nhóm nếu thỏa mãn ba tính chất sau: • Phép toán (*) có tính kết hợp; • Phép toán (*) có phần tử trung hòa e; • Mọi phần tử của G đều có phần tử đối xứng. Ba tính chất trên gọi là các tiên đề của nhóm. Nếu có thêm tính chất • Phép toán (*) có tính giao hoán thì nhóm (G,*) gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.

Ví dụ: ( , +), ( , +), ( , +) là những nhóm giao hoán.

Nếu không có sự nhầm lẫn, ta ký hiệu nhóm (G,*) là G.

4.2.1.2. Một số tính chất của nhóm

• Phần tử trung hòa e là duy nhất. • Phần tử đối xứng a′ của a là duy nhất. • Quy tắc giản ước

a * x = a * y ⇒ x = y.

Áp dụng trên , , ta có

a + x = a + y ⇒ x = y. • Trên G, phương trình

a * x = b. có nghiệm duy nhất

x = a′ * b. Áp dụng trên , , ta có phương trình

a + x = b có nghiệm duy nhất

x = (–a) + b = b – a.

4.2.1.3. Nhóm con

Bộ phận A khác rỗng của nhóm G gọi là nhóm con của G nếu tập A với phép toán trong G thu hẹp trên A tạo thành một nhóm. Ví dụ: (1) Tập A = {e} gồm chỉ một phần tử trung hòa của một nhóm G cũng như toàn bộ nhóm G đều là nhóm con của G; gọi là các nhóm con tầm thường của G.

v1.0


54

(2) ( ,+) là nhóm con của nhóm ( ,+) và ( ,+) là một nhóm con của nhóm ( ,+)

Bộ phận A khác rỗng của nhóm (G,.) là nhóm con của G nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) Với mọi a, b ∈ A: ab ∈ A 2) Nếu a ∈ A thì a′ ∈ A .

4.2.2. Cấu trúc vành – vành nguyên – vành con

4.2.2.1. Khái niệm về vành

Định nghĩa 4.2: Tập A không rỗng có trang bị hai phép toán, phép toán thứ nhất gọi là phép cộng (+), phép toán thứ hai gọi là phép nhân (.), ký hiệu bởi (A, +, .), được gọi là một vành nếu thỏa mãn các tính chất sau: • (A, +) là một nhóm giao hoán (phần tử trung hòa thông thường được ký hiệu là 0). • (ab)c = a(bc) đối với mọi a,b,c

• ∀ a, b, c ∈ A, a.(b + c) = a.b + a.c (phân phối trái) (b + c).a = b.a + c.a (phân phối phải).

Quy ước: ký hiệu vành (A, +, .) là A. Vành A gọi là vành giao hoán nếu nó thỏa mãn tính chất • Phép toán (.) có tính giao hoán. Ngoài ra, nếu phép nhân (.) có phần tử trung hòa, ký hiệu là 1 thì vành A gọi là vành có đơn vị.

Ví dụ: Các vành ( , +, .), ( , +, .), ( , +, .) là các vành có đơn vị, đơn vị của các vành này đều là 1.

4.2.2.2. Vành nguyên

Vành nguyên là một vành (A, +, .), trong đó có tính chất

a.b = 0 ⇒ a = 0 hoặc b = 0.

Ví dụ: Các vành ( , +, .), ( , +, .), ( , +, .) là các vành nguyên.

Vậy trong vành nguyên, ta có điều kiện cần và đủ để một tích bằng 0 là một trong hai phần tử này bằng 0.

4.2.2.3. Vành con

Giả sử (A,+, . ) là một vành. Nhóm con B của nhóm cộng (A, +) gọi là vành con của vành (A,+, . ) nếu điều kiện sau được thỏa mãn: Nếu x, y ∈ B thì x.y ∈ B.

Ví dụ: Tập các số chẵn 2 là một vành con của vành các số nguyên ( ,+, . ).

4.2.3. Cấu trúc trường

4.2.3.1. Khái niệm

Định nghĩa 4.3: K là tập khác rỗng có trang bị hai phép toán là phép cộng (+) và phép nhân (.). Ta nói (K, +, .) hay K là một trường nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

v1.0


55

1. K là một vành giao hoán có đơn vị. 2. Với ∀a ∈ K, a ≠ 0 (phần tử trung hòa của luật cộng) thì tồn tại phần tử đối xứng a′ của A đối với phép nhân (.), nghĩa là

a.a′ = a′.a = 1 (a ≠ 0).

a′ gọi là nghịch đảo của a, ký hiệu là a–1 hay 1a

.

4.2.3.2. Một số tính chất

• Trường K là một vành nguyên. • K là một trường thì K \ {0}là một nhóm đối với phép nhân.

Hệ quả: Trong một trường có quy tắc giản ước a.b = a.c, a ≠ 0 ⇒ b = c.

• Trong một trường K thì phương trình a.x = b, a ≠ 0

có nghiệm duy nhất

1 bx a .ba

−= = .

4.2.3.3. Trường con

Giả sử (K,+, .) là một trường. Trường con của trường (K, +, .) là một vành con P ≠ {0} thỏa mãn điều kiện: Với mọi x ∈ P và x ≠ 0 thì x –1 ∈ P

4.2.3.4. Trường hữu tỉ và trường số thực

Trường hữu tỉ : Trường hữu tỉ là một trường sắp thứ tự với quan hệ thứ tự thông

thường giữa các số. Trường hữu tỉ có các tính chất sau:

a) Trường hữu tỉ thỏa mãn tiên đề Ácsimet: Giả sử q > 0 là một số hữu tỉ cho trước, khi đó đối với mọi số hữu tỉ x luôn luôn tồn tại số nguyên n sao cho nq < x. Từ tính chất trên suy ra rằng: Với mỗi số hữu tỉ q > 0 cho trước, với mọi số hữu tỉ x tồn tại duy nhất một số nguyên p sao cho

pq ≤ x < (p + 1) q.

b) Trường hữu tỉ có tính chất trù mật:

Với hai số hữu tỉ bất kỳ x < x′ luôn luôn tồn tại số hữu tỉ x″ sao cho

x < x″ < x′

chẳng hạn có thể lấy x″ = x x2

′+

Trường số thực : Là một trường mở rộng của trường hữu tỉ và bảo toàn thứ tự

trong .

v1.0


56

4.3. Trường số phức

Như đã biết, các phương trình bậc hai ax2 + bx + c, a ≠ 0 với biệt số Δ < 0 không có nghiệm thực, chẳng hạn phương trình

x2 + 1 = 0

Vì vậy, ta sẽ xây dựng một trường số mới chứa trường số thực sao cho mọi phương

trình bậc hai (và do đó mọi đa thức) đều có nghiệm trong trường được tạo thành.

4.3.1. Khái niệm vế số phức và mặt phẳng phức

4.3.1.1. Định nghĩa trường số phức

Gọi là tập mọi số thực. Xét tập hợp

K = × = {(a; b) ⎜ a ∈ , b ∈ } (4.1)

gồm mọi cặp được sắp các số thực. Ta trang bị cho K hai phép toán + và . bởi: Nếu α = (a ; b) và β = (c ; d) là hai phần tử tùy ý thuộc K thì

α + β = (a + c; b + d) (4.2) αβ = (ac – bd; ad + bc). (4.3)

Ta nghiệm lại rằng tập K cùng hai phép toán đó làm thành một trường. Thật vậy, từ định nghĩa ta có các hệ thức sau nghiệm đúng với mọi phần tử của K: • (α + β) + γ = α + (β + γ) • ∃0 = (0; 0) ∈ K sao cho α + 0 = 0 + α • ∀α ∈ K, ∃(–α) = (–a; –b) mà α + (–α) = 0 • α + β = β + α. Vậy (K; +) là một nhóm Abel. • (αβ)γ = α(βγ) • αβ = βα • (α + β)γ = αγ + βγ • ∃1 = (1; 0) ∈ K là phần tử đơn vị của phép nhân

• ∀α ≠ 0, ∃α–1 = 2 2 2 2

a b;a b a b

⎛ ⎞−⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

.

Trường K được xây dựng như trên được gọi là trường số phức, mỗi phần tử α = (a; b) ∈ K gọi là một số phức. Lưu ý rằng, từ định nghĩa, hai số phức α = (a; b) và β (c; d) bằng nhau nếu và chỉ nếu a = c và b = d.

Trường số phức thường được ký hiệu là .

Bây giờ, nếu ta đồng nhất mỗi số thực a ∈ với số phức (a; 0) và ký hiệu số phức

(0; 1) bởi i (i thường gọi là đơn vị ảo) thì mỗi số phức α (a; b) có thể viết dưới dạng α = (a; b) = (a; 0) + (0; b) = (a; 0) + (0; 1)(b; 0) = a + ib

v1.0


57

a gọi là phần thực của số phức α, ký hiệu a = Reα. ib gọi là phần ảo của α, ký hiệu ib = Imα. còn b gọi là hệ số của phần ảo. Từ nay mỗi số phức (a; b) có thể ký hiệu z = (a; b) = a + ib.

4.3.1.2. Mặt phẳng phức Vì mỗi số phức z là một cặp số thực (a, b) nên ta có thể biểu diễn nó bằng một điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy (h. 4.1) sao cho M có tọa độ là a và b. Với cách đó, ta có một tương ứng 1 – 1 giữa tập số phức và tập các điểm của mặt phẳng Oxy. Do đó, mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng phức. Điểm M có tọa độ là (a; b) gọi là ảnh của số phức z = (a, b) (h. 4.1). Số phức z gọi là tọa vị của điểm M. Trong mặt phẳng số phức (0; 0) có ảnh là gốc tọa độ O, số phức (1; 0) và (0; 1) có những vị trí đặc biệt (h. 4.2).

4.3.1.3. Số thực là trường hợp riêng của số phức – Đơn vị thực

Mỗi số thực a ta biểu diễn bằng một điểm trên trục Ox nhận a làm hoành độ. Bây giờ, ta xét các số phức có dạng (a; 0), tức là các số phức có thành phần thứ hai bằng 0. Ta nhận thấy (h. 4.3) • Ảnh của mỗi số phức (a; 0) là một điểm ở trên Ox. • Ảnh của mỗi số phức (a; 0) trùng với điểm biểu diễn số thực a. • Ảnh của tổng hai số phức dạng (a, 0)

(a; 0) + (a′; 0) = (a + a′; 0) trùng với điểm biểu diễn tổng của hai số thực a + a′. • Ảnh của tích hai số phức dạng (a; 0)

(a; 0).(a’; 0) = (aa’; 0) trùng với điểm biểu diễn tích của hai số thực aa′.

Hình 4.1 Hình 4.2

O

M(z) b

a

y

x O

(0; 1)

(1; 0)

y

x

y

x

Hình 4.3

bi (0; b)

i (0; 1)

O

a 1

(1; 0) O (a; 0)

Hình 4.4

x

y

v1.0


58

• Nghịch đảo của số phức dạng (a; 0) ≠ (0; 0) là (a–1; 0), nghịch đảo của số thực a ≠ 0 là a–1. Vậy ảnh của nghịch đảo của số phức (a; 0) ≠ (0; 0) trùng với điểm biểu diễn nghịch đảo của số thực a ≠ 0. Do đó, ta đồng nhất số phức (a; 0) với số thực a, nghĩa là xem số phức (a; 0) là số thực a và viết

(a; 0) ≡ a, a ∈ .

Vậy số thực là trường hợp riêng của số phức. Sau đó

• Số phức (1; 0) đồng nhất với 1 nên được gọi là đơn vị thực, ta cũng có (1; 0).(1; 0) = (1; 0) như 1.1 = 1.

• Ta có thể nhân số thực λ với số phức (a; b) như sau: λ(a; b) = (λ; 0)(a; b) = (λa; λb)

nghĩa là λ(a; b) = (λa; λb), λ ∈ .

4.3.1.4. Số ảo thuần túy – Đơn vị ảo

Bây giờ, xét các số phức có dạng (0; b), ảnh của chúng nằm trên trục Oy của mặt phẳng phức (h. 4.4). Ta nhận thấy

(0; b)(0; b) = (–b2; 0) ≡ –b2.

Vậy số phức (0, b) có bình phương luôn là một số âm (nếu b ≠ 0). Ta gọi chúng là số ảo thuần túy. Đặc biệt, số i = (0; 1) có bình phương

i2 = (0; 1)(0; 1) = –1

tức là i2 = –1 nên được gọi là đơn vị ảo. Trục Oy dùng để biểu diễn các số ảo thuần túy (0; b) nên gọi là trục ảo. Còn trục Ox dùng để biểu diễn các số thực nên gọi là trục thực. Dạng x = (a + ib) gọi là dạng chuẩn tắc của số phức.

Với dạng chuẩn tắc, các phép tính được thực hiện bằng cách sử dụng tính chất “ là

một trường” và hệ thức i2 = –1, nghĩa là như trong các số thực với chú ý là i2 = –1. Ví dụ:

(2 + 3i)(4 – 5i) = 2.4 – 2.5i + 3i.4 – 3i.5i

= 8 – 10i + 12i + 15 = 23 + 2i.

4.3.1.5. Dạng lượng giác của số phức

Mỗi điểm M(x; y) ứng với một véc tơ OM và ngược lại, nên mỗi số phức z = x + iy

ứng với một véc tơ OM có gốc tại gốc tọa độ, ngọn là điểm M(x; y). Ta đưa vào các định nghĩa sau

r = 2 2OM x y= +

gọi là môđun của số phức z = x + iy.

v1.0


59

ϕ r

M

Hình 4.5

y

xO

(Ox, OM)ϕ = là góc lượng giác tạo bởi véc tơ OM với hướng dương của trục Ox, được xác định sai khác 2kπ, k nguyên. Góc ϕ gọi là argument của z, ký hiệu ϕ = arg z.

Nếu lấy –π ≤ ϕ ≤ π thì dùng ký hiệu ϕ = arg z. Dễ thấy

x r cosy r sin= ϕ⎧

⎨ = ϕ⎩ ⇒ z = x + iy = r(cosϕ + isinϕ) (4.4)

Dạng (4.4) gọi là dạng lượng giác của số phức. Phần tử đối của số phức z = x + iy là –z = –x – iy, với cách biểu diễn lượng giác là –z = r[cos(ϕ + π) + isin(ϕ + π)] với ϕ = arg z. Số phức z = x – iy gọi là số phức liên hợp của z = x + iy,

có cách biểu diễn lượng giác là z = r[(cos(–ϕ) + i sin(–ϕ)] với ảnh là véc tơ OM′ đối

xứng với véc tơ OM qua trục Ox.

4.3.1.6. Công thức Moivre

Cho hai số phức

z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) = x1 + iy1

z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2) = x2 + iy2.

Khi đó, số phức

z1z2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

sẽ có cách biểu diễn lượng giác là

z1z2 = r1r2[(cosϕ1cosϕ2 – sinϕ1sinϕ2) + i(cosϕ1sinϕ2 + sinϕ1cosϕ2)]

= r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)]. (4.5)

Nếu z2 ≠ 0 thì tồn tại số phức 12

2

1zz

− = và tích z = 1 11 2

2

zz zz

− = gọi là thương của z1 với

z2. Từ (4.5) suy ra

[ ]1 11 2 1 2

2 2

z r cos( ) i sin( ) .z r

= ϕ − ϕ + ϕ − ϕ (4.6)

Phép chứng minh các hệ thức (4.5), (4.6) không có gì khó, xem như bài tập. Từ (4.5) suy ra

22zz r z .= =

Với n là số nguyên dương bất kỳ, ta đặt n

n

z z.z...z= sẽ có

zn = rn(cosnϕ + i sinnϕ). (4.7)

v1.0


60

Gọi là lũy thừa bậc n của số phức z. Nói riêng, khi r = 1, từ (4.7) ta được

(cosϕ + i sinϕ)n = cosnϕ + isinnϕ (4.8) Công thức (4.8) gọi là công thức Moivre. Nhờ đó, có thể thu được các biểu thức của cosnϕ và sinnϕ bởi phép khai triển vế trái của (4.8) theo công thức Newton và sự bằng nhau giữa các số phức (lưu ý i2 = –1, i3 = –i, i4 = 1,...). Cần lưu ý rằng, các công thức (4.7), (4.8) đúng cả cho trường hợp n nguyên âm, tức là đúng ∀n ∈ .

4.3.1.7. Căn bậc n của số phức

Định nghĩa 4.5: Cho n là số tự nhiên, n ≥ 2; α là số phức cho trước. Nếu có số phức z sao cho zn = α thì z gọi là căn bậc n của α, ký hiệu là z = n α .

Nhờ cách viết số phức dưới dạng lượng giác, ta sẽ thấy rằng mỗi số phức α có đúng n nghiệm phức phân biệt (trong số đó có thể có những nghiệm thực). Thật vậy, giả sử α = r(cosϕ + i sinϕ). Ta tìm số phức z dưới dạng

z = ρ(cosθ + isinθ)

thỏa mãn đẳng thức zn = α hay

ρn(cosnθ + i sinnθ) = r(cosϕ + i sinϕ)

Từ đó n r

n 2k , k⎧ρ =⎨θ = ϕ + π ∈⎩

tức là n r

2k .n

⎧ρ =⎪⎨ ϕ + πθ =⎪⎩

Khi k lần lượt nhận các giá trị nguyên k = 0, 1, 2, …, n – 1, ta có n giá trị của z, các

giá trị phức này có cùng môđun là n rρ = , còn các argument sai kém 2nπ .

Nếu k nhận trị nguyên khác bộ trị {0, 1, 2, …, n – 1} thì dễ thấy z lại có giá trị trùng với một trong n giá trị trên do tính chất tuần hoàn của côsin và sin. Vậy tồn tại n căn bậc n của số phức α, xác định bởi

nk

2k 2kz r cos isin , v in n

⎡ ϕ + π ϕ + π ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦í k ∈ {0; 1; 2,…; n – 1}.

Trên mặt phẳng phức, chúng là các đỉnh của đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính n r.ρ =

4.3.2. Giải phương trình bậc hai và bậc cao

• Xét phương trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 a, b, c ∈ , a ≠ 0.

v1.0


61

Ta đã biết rằng nếu Δ = b2 – 4ac ≥ 0 thì phương trình có nghiệm thực. Bây giờ, ta xét trường hợp Δ < 0. Phương trình đã cho viết được dưới dạng

2 2

2

b b 4acx 02a 4a

−⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Hay là 2 2

2 2

b i ( )x2a 4a 4a

Δ −Δ⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

với –Δ > 0.

Ta suy ra x + b i2a 2a

−Δ= ± .

Vậy khi Δ < 0, phương trình bậc hai có hai nghiệm phức dạng liên hợp

1b ix

2a− + −Δ

= ; 2b ix .

2a− − −Δ

=

Ví dụ: Phương trình x2 + x + 1 = 0 có hai nghiệm

11 i 3x ;

2− +

= 21 i 3x .

2− −

=

• Giải phương trình bậc cao Lúc này việc dùng dạng lượng giác tỏ ra thuận tiện.

Ví dụ: Giải phương trình trong tập số phức

z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0 để ý hệ thức

z5 + 1 = (z + 1)(z4 – z3 + z2 – z + 1). Ta viết lại phương trình dưới dạng

5z 1 0z 1+

=+

(z ≠ –1)

⇔ z5 = –1 (z ≠ –1)

⇔ z5 = cosπ + i sinπ (z ≠ –1)

⇔ + 2k + 2kz cos i sin5 5

π π π π= + với

k 0, 1, 2, 3, 4k 2=⎧

⎨ ≠⎩

Vậy phương trình có 4 nghiệm cho bởi

1z cos isin5 5π π

= +

23 3z cos i sin5 5π π

= +

37 7 2 2z cos i sin cos i sin5 5 5 5π π π π⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

49 9 4 4z cos i sin cos i sin5 5 5 5π π π π⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Hình 4.6

x

y

z2

z1

z3

z4

O

v1.0


62

TÓM LƯỢC CUỐI BÀI

Các bạn đã được học về Phép toán và Cấu trúc đại số.

Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau:

• Nắm được khái niệm về phép toán.

• Nắm được khái niệm về cấu trúc nhóm, vành, trường.

• Nắm được khái niệm về trường số phức, các phép toán, dạng lượng giác của số phức, công thức Moivre tính lũy thừa bậc n của số phức dưới dạng lượng giác và căn bậc n của số phức.

• Giải được các bài tập về cấu trúc nhóm, vành, trường và các bài toán trong trường số phức.

Bài tiếp theo các bạn sẽ được học về Không gian véc tơ.

v1.0


63

BÀI TẬP

1. Cho (E, *) là một tập hợp được trang bị phép toán * có tính kết hợp và sao cho với a và b bất kỳ đã cho thuộc E, các phép toán

a * x = b (1) y * a = b (2)

của các ẩn x và y có ít nhất một nghiệm. Chứng minh rằng (E, *) là một nhóm.

2. Cho (G, •) là một nhóm. Ta nói a là một phần tử trung tâm của G khi và chỉ khi

∀x ∈ G, a • x = x • a.

Phần C của G tạo bởi tất cả các phần tử trung tâm gọi là tâm của nhóm. Chứng minh rằng C là một nhóm con của G đối với luật •

3. Hỏi mỗi tập số sau đây với phép cộng và phép nhân số có phải là một vành không ? Tập các số nguyên chẵn Tập các số hữu tỉ Tập các số thực Tập các số phức.

4. Các số phức z được xác định bởi z3 = 1. (1) Người ta ký hiệu bởi j một trong ba số z nhận được từ (1) mà hệ số của i là số dương.

Hãy biểu diễn j qua j. Tính tổng 1 + j + j2.

5. Giải các phương trình sau trong trường số phức .

a. z2 + (4 – 6i)z – 9 – 15i = 0 b. z2 = 5 – 12i c. 1 – z + z2 – z3 = 0.

6. Thiết lập đẳng thức sau, cho z1 và z2 trong .

( )2 2 2 21 2 1 2 1 2z z z z 2 z z .+ + − = + (1)

7. Tìm dạng lượng giác của số phức 1 i 3z3 i+

=+

.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Hãy chọn phương án đúng.

1. Tập nào sau đây đối với phép toán đã cho là một nhóm? A. Tập các số tự nhiên đối với phép cộng. B. Tập các số nguyên với phép cộng. C. Tập các số nguyên với phép nhân. D. Tập các số hữu tỉ với phép nhân.

2. Tập nào sau đây đối với phép toán đã cho không phải là một nhóm? A. Tập các số thực khác 0 với phép nhân. B. Tập các số hữu tỉ dương với phép nhân.

v1.0


64

C. Tập các số hữu tỉ với phép nhân. D. Tập M = {1, –1} với phép nhân.

3. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Tập các số thực có dạng a + b 2 với a, b ∈ không phải là một vành con của trường số

thực .

B. Tập các số thực có dạng a + b 3 với a, b ∈ không phải là một trường con của trường

số thực .

C. Tập các số phức có dạng a + ib, với a, b ∈ không phải là một vành con của trường số

phức .

D. Tập các số phức có dạng a + ib, với a, b ∈ là một trường số.

4. Tập nào sau đây không phải là một trường?

A. Tập các số hữu tỉ .

B. Tập các số thực .

C. Tập các số dạng a + b 2 với a, b ∈ .

D. Tập các số có dạng a + b 2 với a, b ∈ .

5. Tập nào sau đây là một trường? A. Tập các số nguyên chẵn với phép cộng và phép nhân.

B. Tập các số có dạng a + b 2 với a, b ∈ .

C. Tập các số có dạng a + b 3 với a, b ∈ .

D. Tập các số phức có dạng a + ib, với a, b ∈ .

v1.0

07 mat102-bai 4-v1.0

Education