1. regulador pid 1fi.uba.ar/materias/6665/material/clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/1.jpg)
1
1. Regulador PID 1. Regulador PID ____________________________________________________1
1.1. Introducción ____________________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Discretización ___________________________________________________________________________________________________________ 4
1.2.1. Operador Derivada ________________________________________________________________________________________________________________4 1.2.2. Discretización por Partes____________________________________________________________________________________________________________5
1.3. Efecto Windup___________________________________________________________________________________________________________ 6 1.4. Efecto Bumpless _________________________________________________________________________________________________________ 8 1.5. Ajuste del PID__________________________________________________________________________________________________________ 10
1.5.1. Relación entre ambos métodos:______________________________________________________________________________________________________12 1.5.2. Método de Asignación de Polos._____________________________________________________________________________________________________16 1.5.3. Realimentación con Relé___________________________________________________________________________________________________________21
1.6. Control con Modelo Interno (IMC)_________________________________________________________________________________________ 22 1.6.1. Paradigma de diseño para IMC ______________________________________________________________________________________________________28 1.6.2. Diseño de F _____________________________________________________________________________________________________________________30 1.6.3. Realización del Controlador IMC ____________________________________________________________________________________________________34 1.6.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden ________________________________________________________________________________________36
![Page 2: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/2.jpg)
2
1.1. Introducción
El regulador más usado es el PID
di t
1 de(t)u(t) = K [ e(t) + e(s) ds + ]TdT
∫ (1.1)
La acción proporcional es el control por realimentación más simple Por ejemplo
AY(s) = U(s)1 + sT
(1.2)
Si se lo realimenta con un regulador P resulta K A K A
1 + s 1 + K AY(s) = R(s) = R(s)K A1 + 1 + s1 + s 1 + K A
ττ
τ
(1.3)
El segundo término de la ecuación (1.1) muestra que esta acción es proporcional a la integral del error.
![Page 3: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Este factor dejará de integrar solo cuando el error sea nulo que es el objetivo buscado. El término D es utilizado para mejorar los transitorios del sistema y el comportamiento
frente a perturbaciones. En muchos controladores comerciales se hace una modificación a este aporte
definiéndolo como:
ddy(t)D = - K T dt
(1.4)
Otra modificación
1d
dd
sTsT sTN
≈+
(1.5)
con 3 20N ≈ , que limita el efecto en altas frecuencias En definitiva, el regulador resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1
1d
di
sTU s K bR s Y s R s Y s Y ssTsTN
= − + − − +
(1.6)
![Page 4: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/4.jpg)
4
1.2. Discretización
1.2.1. Operador Derivada
( )10
kd
k k j k kji
T T = K e e e e u T T −=
+ + −
∑ (1.7)
( )k-1
k-1 k-2j dk-1 p k-1 ij=0
= + e eu k e k e k + -
∑ (1.8)
( )k k-1 p k k-1 i k d k k-1 k-2 - = - + + - 2 + u u k e e k e k e e e (1.9)
( ) ( )k k-1 p i d k d k-1 d k-2 - = 1 + + - 1 + 2 + u u k k k e k e k e (1.10)
-1 -2
-1
U(z) + + z z = E(z) 1 - z
α β γ (1.11)
![Page 5: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/5.jpg)
5
1.2.2. Discretización por Partes
( ) ( ) ( )( )P t K br t y t= − (1.12)
( ) ( ) ( )( )P kT K br kT y kT= − (1.13)
( )( ) ( ) ( )1i
KTI k T I kT e kTT
+ = + (1.14)
( )dd
dy tT dD D KTN dt dt
+ = − (1.15)
diferencia hacia atrás
( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1d d
d d
T KT ND kT D k T y kT y kT NT T NT
= − − − −+ +
(1.16)
Esta aproximación es siempre estable y el polo derivativo tiende a cero con 0dT →
El control total es la suma de los tres términos
( ) ( ) ( ) ( )u kT P kT I kT D kT= + + (1.17)
![Page 6: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/6.jpg)
6
1.3. Efecto Windup Antireset wind up. satura el término integral
u
KTds-y
es
u
K
K/Ti 1/s
Actuador
1
iT
-
+
+
+
e v
+
+
+
![Page 7: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/7.jpg)
7
u
KTds-y
es
u
K
K/Ti 1/s
1
iT
-
+
+
+
e v
+
+
+
ActuadorModelo
![Page 8: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/8.jpg)
8
1.4. Efecto Bumpless efecto Bumpless evita acciones bruscas de control al pasar de manual a automático.
Manual
u
PDy
es1
rT
-
+
e
+
r
Actuaciónmanual
1
rT1s
1s
1
rT
1
mT
Auto
-
Ilustración 1-1 Pid con Efecto Bumpless
![Page 9: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/9.jpg)
9
( )k k k-1-1
k k k
= k + u e u1 - 1 - z
z - 1 + = k 1 + = k u e ez - 1 z - 1
αα
α α
(1.18)
( ) k
-1
k m-1
z = b u1 - 1 - z
αα
(1.19)
k k-1 k k-1
k m
= + - u u e e= en manualu u
α
(1.20)
![Page 10: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/10.jpg)
10
1.5. Ajuste del PID Ziegler-Nichols (1942) en frecuencia
Controlador
Kp Ti Td
P 0,5 cK
PI 0,45 cK 0,833 ct
PID 0,6 cK 0,5 ct 0,125 ct Tabla 5-II Regulador PID en cadena cerrada
amortiguamiento ¼
![Page 11: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Ziegler-Nichols de lazo abierto
Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto
Controlador
Kp Ti Td
P 1a
PI 0,9a 3L
PID 1,2a 2L 0,5L
Tabla 5-II Regulador PID en cadena abierta
![Page 12: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Estos valores se obtienen de los de la 1ª regla haciendo
c
c
2K a
= 4 Lt
= (1.21)
El criterio de optimización es el mismo que para la 1ª regla.
1.5.1. Relación entre ambos métodos:
-sTbG(s) = es (1.22)
respuesta al escalón: L = T
a = bT (1.23)
de acuerdo a la segunda tabla el regulador PID será
i d1.2 TK = = 2T = T TbT 2
(1.24)
método de respuesta en frecuencia
![Page 13: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/13.jpg)
13
c
c
= 4Tt
= k 2bTπ (1.25)
De acuerdo a esto, el regulador PID será:
i d0.6 0.94 TK = = 2T = T T2bT bT 2
π≈ (1.26)
![Page 14: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/14.jpg)
14
- Interpretación
( )
dr c c cic
cc c
c c
c
1(i ) = 0.6 1 + j - G k TT
2 2t = 0.6 1 + j 0.12 - k t2t t
= 0.6 + 0.26 j k
ω ωω
ππ
(1.27)
es un avance de 23
- Generalización sea la función de transferencia en lazo abierto
pj( + )pp(j ) = G er π φω (1.28)
queremos ubicar esta respuesta a una determinada frecuencia en un punto sj( + )
sB = er π φ (1.29)
mediante un regulador rj
rr(j ) = G er φω (1.30)
![Page 15: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Podríamos hacer el diseño por el método de margen de amplitud es decir que para Φs= 0 la amplitud sea rs= 1 / Am siendo ésta un margen de amplitud dado. Por lo tanto se debe cumplir:
s p rj( + ) j( + + )s p r = e er r rπ πφ φ φ
(1.31)
entonces el regulador será:
sr
p
r s p
r = rr
= - φ φ φ
(1.32)
la ganancia proporcional es la parte real del regulador coss s p
pp
( - )r = kr
φ φ (1.33)
el ángulo estará dado por
tand s pi
1 - = ( - )T Tω φ φ
ω (1.34)
![Page 16: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/16.jpg)
16
1.5.2. Método de Asignación de Polos. sistema de primer órden
pp
1
k = G 1 + s T (1.35)
regulador PI
ri
1 = K 1 + GsT
(1.36)
resultando un sistema de segundo órden en lazo cerrado
p rc
p r
G G = G 1 + G G (1.37)
la ecuación característica será
p p2
1 1 1 i
K K1 k k + s + + = 0s T T T T
(1.38)
y nuestra condición de diseño dice
![Page 17: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/17.jpg)
17
2 2 + 2 s + = 0s ξ ω ω (1.39)
el regulador PI resulta
1
p
1i 2
1
2 - 1TK = k
2 - 1T = T T
ξ ω
ξ ωω
(1.40)
se puede hacer algo parecido para un sistema de 2do órden
- Caso Discreto del Método de Asignación de Polos. sistema de segundo orden
21 2
1 2
A(z) = + z + a azB(z) = z + b b
(1.41)
regulador PI
![Page 18: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/18.jpg)
18
r
1
S(z)(z) = H R(z)R(z) = ( z - 1 ) (z)R
(1.42)
una forma genérica sería 2
0 1 2
1
S(z) = + z + s s szR(z) = ( z - 1 ) ( z + )r
(1.43)
la ecuación característica será 2
11 2
21 2 0 1 2
( + z + )( z - 1 )( z + ) +a az r ( z + )( + z + ) = 0b b s s sz
(1.44)
que es de cuarto órden. Se podría especificar un denominador como,
2- h 21 2P(z) = ( z - ( + z + )) p pe zαω
(1.45)
donde
![Page 19: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/19.jpg)
19
cos 2- h1
-2 h2
= - 2 ( h 1 - )p e = p e
ξω
ξω
ω ξ (1.46)
Ejemplo:
p1(s) = G
( 1 + s )( 1 + 0.26 s ) (1.47)
si el período de muestreo es h = 0.1 seg.
p 2
0.0164 z + 0.0140(z) = H - 1.583 z + 0.616z (1.48)
condición de diseño:
= 0.5 = 4 = 1ξ ω α (1.49)
P será 2 2P(z) = ( z - 0.670 ( - 1.54 z + 0.670 )) z (1.50)
reemplazando
![Page 20: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/20.jpg)
20
1
0
1
2
= -0.407r = 6.74s
= - 9.89s = 3.61s
(1.51)
![Page 21: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/21.jpg)
21
1.5.3. Realimentación con Relé Desarrollando en serie de Fourier la salida de un relé, su primer armónico tiene una
amplitud de:
r4d = Aπ
(1.52)
si la amplitud de la salida es a, la ganancia a esa frecuencia será
c
2 aG j = -4dt
π π
(1.53)
![Page 22: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/22.jpg)
22
1.6. Control con Modelo Interno (IMC) Se puede plantear el siguiente esquema
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+
+−
la salida es
( ) ( )ˆ1
ˆ ˆ1 1 oQG QGy r d
Q G G Q G G−
= ++ − + −
[1.54]
si el modelo es perfecto,
![Page 23: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/23.jpg)
23
( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.55]
el IMC se puede mostrar como
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+
+−
![Page 24: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/24.jpg)
24
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+++
C
u
ˆ1QCQG
=−
r G
y
od
e+
−
+
+
El control es diseñado en base al modelo de la planta
( )ˆC C G= [1.56]"
![Page 25: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Es muy intuitivo
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+
+−
está relacionado con el concepto de predictor de Smith
![Page 26: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Si la planta es estable, ¿cómo elegir Q?
¿Si probamos con 1ˆQ G−= ?
( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.57]
( )1 1ˆ ˆ ˆ1 oy G Gr G G d− −= + − [1.58]
ˆ1ˆ ˆ o
G Gy r dG G
= + −
[1.59]
1ˆG y rG≈ ⇒ ≈ [1.60]
con 1ˆQ G−= se obtiene el control perfecto
![Page 27: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Problemas: (a) nunca el modelo es perfecto (b) los actuadores se saturan (c) un retardo no se puede invertir en forma exacta (d) problemas matemáticos de inversión (e) problemas con plantas inestables
![Page 28: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/28.jpg)
28
1.6.1. Paradigma de diseño para IMC Se elige
ˆinvQ FG= [1.61]
siendo ˆinvG una aproximación estable de la inversa de G
y F una condición de diseño (filtro) para lograr determinadas propiedades en lazo cerrado.
ˆinvG intenta resolver el problema (c) y F los problemas (a), (b) y (d)
Si se toma esta condición de diseño se obtiene
( ) ( )ˆ1
ˆ ˆ1 1 oQG QGy r d
Q G G Q G G−
= ++ − + −
[1.62]
( ) ( )ˆ ˆ ˆ1
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv inv
oinv inv
FG G FG Gy r dFG G G FG G G
−= +
+ − + − [1.63]
suponiendo que
![Page 29: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/29.jpg)
29
ˆ ˆ ˆ 1inv invG G G G≈ ≈ [1.64]
resulta
( )1 oy Fr F d≈ + − [1.65]
recordar que elegimos ˆinvG como una aproximación estable de la inversa de G
si G tiene inversa estable y no tiene retardos se puede elegir 1ˆ ˆinvG G−=
si no es el caso se hace una separación
( ) ( )( )
( ) ( )( )
ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆe iB s B s B s
G sA s A s
= = [1.66]
( )ˆeB s contiene los ceros estables y
( )ˆiB s contiene los ceros inestables o de no mínima fase
se elige
( ) ( )( ) ( )( )
0
ˆˆ
ˆ ˆinv
e is
A sG s
B s B s=
= [1.67]
![Page 30: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/30.jpg)
30
se considera la ganancia estática de ( )ˆiB s
no se puede hacer esto con el retardo (se verá luego)
1.6.2. Diseño de F
( )1 oy Fr F d≈ + − [1.68]
F es la respuesta deseada del sistema. Para seguimiento de referencias:
- F rápida => respuesta rápida - F lenta => respuesta lenta
Para rechazo de perturbaciones: - F rápida => buen rechazo de perturbaciones - F lenta => rechazo pobre
![Page 31: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Generalmente F se elige de la forma
( )1
1 pFsβ
=+
[1.69]
se agrega el exponente p de modo de que ˆinvQ FG= sea bipropia o tenga igual número
de polos y ceros. Por ejemplo
( ) 1ˆ2 1
G ss
=+
, 1
1F
sβ=
+,
2 1ˆ1inv
sQ FGsβ+
= =+
[1.70]
( ) 2
5ˆ2 1
sG ss s
−=
+ +, ( )
2 2 1ˆ5inv
s sG s + +=
−,
( )21
1F
sβ=
+,
( )
2
22 1ˆ
5 1inv
s sQ FGsβ
+ += =
− + [1.71]
![Page 32: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/32.jpg)
32
β pequeño => F rápido
β grande => F lenta
Una F lenta reduce los efectos negativos de - incertidumbre en el modelo - limitaciones de los actuadores - ruido de medición
β se convierte en un potenciómetro de diseño
Una elección más sofisticada de F lleva a un diseño más complejo.
![Page 33: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/33.jpg)
33
step(tf(1,[.1 1]),tf(1,[1 1]),tf(1,[2 1]))
Time (sec.)
Am
plitu
de
Step Response
0 2 4 6 8 10 120
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1From: U(1)
To: Y
(1)
![Page 34: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/34.jpg)
34
1.6.3. Realización del Controlador IMC en la forma IMC
u
Qr G
y
od
e
G
+
−
+
+
+−
en la forma "PID" clásica
u
PIDCr G
y
od
e+
−
+
+
![Page 35: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/35.jpg)
35
de donde se deduce que
ˆ1PIDQCQG
=−
[1.72]
Con el diseño IMC se puede lograr un comportamiento PID si - se controla con un PI un modelo de primer orden - se controla con un PID un modelo de segundo orden - se controla con un PID un modelo de primer orden con retardo
Ventajas del diseño de un PID vía IMC: - fácil obtener el modelo de los datos de planta (resp. escalón) - se explicita la forma de la respuesta en lazo cerrado eligiendo F o β
- se calculan las constantes del controlador (P, I y D) con fórmulas apropiadas.
![Page 36: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/36.jpg)
36
1.6.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden Modelo de la planta
ˆˆˆ 1
KGsτ
=+
[1.73]
el tiempo de crecimiento está relacionado con la constante de tiempo ˆ ˆ2,2rT τ≈ [1.74]
ˆ 1ˆˆinv
sGK
τ += ,
11
Fsβ
=+
[1.75]
ˆinvQ FG= [1.76]
el controlador según IMC es ˆ ˆ 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv
inv
FGQ sCsK sQG FG G G
τββ
+= = = =
− − [1.77]
en el caso de un PI paralelo
![Page 37: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/37.jpg)
37
pp i
PI pKC C Ks
= = + [1.78]
eligiendo ˆ
ˆppK
Kτβ
= ,1ˆ
piK
Kβ= [1.79]
dado β , τ y K tenemos una forma sistemática de ajustar el controlador. ˆ ˆ1 1
ˆ ˆ ˆPIsC
K K s K sτ τβ β β
+= + = [1.80]
Resumen:
- encontrar τ y K - elegir el controlador PI y β
Recordar que con β pequeños se obtiene
- rápidos seguimientos de referencias - menor robustez a errores de modelo - mayor sensibilidad a errores de modelado en alta frecuencia
![Page 38: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/38.jpg)
38
- actuaciones más importantes - más sensible a saturaciones de los actuadores - mejor rechazo a perturbaciones - mayor sensibilidad al ruido de medición - mayor efecto de los ceros inestables - mayor efecto del retardo
% Control PI IMC Sistema de Primer Orden % Sistema continuo Kh = 10; tauh = 1; d=poly([-1/tauh]); sis = tf( Kh,d); %Sistema en variables de estado Pss = ss(sis); % y su respuesta al escalón ... precision= .01; t = 0:precision:5; u = ones(size(t)); y = lsim(sis,u,t); figure(1) plot([y]); % período de muestreo T=.1;
![Page 39: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/39.jpg)
39
% PI discreto beta =5; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; beta =.2; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; % se usa la aproximación de Euler s=(q-1)/T %ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1) A = kp; B = ki*T-kp Tfin = 5; t = 0:precision:T; ref = 1; y = zeros(size(t)); ly = length(t); x0= zeros(1,1); [xx yx]= size(x0); yy = 0; uu = 0; ttt=0; yd=zeros(Tfin/T,1); ud=zeros(Tfin/T,1); error=zeros(Tfin/T,1);
![Page 40: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/40.jpg)
40
for i = 3:Tfin/T % muestreo de la salida yd(i) = y(length(y)); % Regulador error(i)= ref-yd(i); ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1); % bloqueador de orden cero ub = ud(i) * ones(size(t)); % Sistema [y, tt, x0] = lsim(Pss,ub,t,x0(length(x0),:)); % se guardan los valores de entrada y salida yy = [yy ; y(2:length(y))]; uu = [uu ; ub(2:length(ub))']; end; figure(2) plot([uu yy]);
![Page 41: 1. Regulador PID 1fi.uba.ar/materias/6665/material/Clase_04b.pdf · 2005. 12. 20. · Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070212/610614e35f88dc18b42d51d3/html5/thumbnails/41.jpg)
41
0 100 200 300 400 500 6000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 100 200 300 400 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4