1

Funkcija prenosaFunkcija prenosa

•Funkcija prenosa linearnog sistema•Strukturni blok dijagram i algebra funkcije prenosa•Graf toka signala •Analiza sistema automatskog upravljanja primenom računara

2

Definicija funkcije prenosa linearnog Definicija funkcije prenosa linearnog sistemasistema

• Posmatra se sistem:– Linearan– Kontinualan– Stacionaran– Sa koncentrisanim parametrima– Jedan ulaz i jedan izlaz

y(t)Gu(t)

3

Definicija:

Funkcija prenosa sistema se definiše kao odnos Laplasove transformacije izlazne (y(t)) i ulazne (u(t)) veličine, uz pretpostavku da su svi početni uslovi nulti i da je u(t)=y(t)≡0 ∀t<0.

y(t)Gu(t)

4

DJ koja opisuje linearan sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom u opštem slučaju

dnydtn

+ an-1dn-1ydtn-1 +...+ a2

d2ydt2

+ a1d1ydt1

+ a0y = bmdmudtm

+ bm-1dm-1udtm-1 +...+ b1

d1udt1

+ b0u

Nakon primene LT

snY + an-1sn-1Y +...+ a2s2Y + a1sY + a0Y = bmsmU + bm-1sm-1U +...+ b1sU + b0U

Y(s)U(s) = G(s) =

bmsm + bm-1sm-1 +...+ b1s + b0sn + an-1sn-1 +...+ a2s2 + a1s + a0

5

Napomene i ograničenjaNapomene i ograničenja

• Važi samo za linearne stacionarne sisteme;

• Kod nestacionarnih sistema nije moguća primena LT;

• FP uzima u obzir samo zavisnost ulaz-izlaz i ne

pruža informaciju o unutrašnjoj strukturi sistema;

• Važi samo za nulte početne uslove.

6

Primer:Primer:

Na slici je šematski prikazan jednosmerni motor sa nezavisnom pobudom, upravljan strujom rotora.

Odrediti funkciju prenosa koja opisuje zavisnost položaja rotora (θ) od napona rotora (ua).

Pretpostaviti da se radi o opsegu brzina do nominalne (ω≤ωn) i da je fluks u mašini Ψf=const. (pobudnia struja if=If=const).

7

Rf

Lf

Ra

La

ia

if

ufua

ω,θ

ua = Raia + Ladiadt + Ψfω

Tm = Jdωdt + bω + TL

Tm = Ψfia

ω = dθdt

⇒; TL=0

Ua(s) = RaIa(s)+LasIa(s)+Ψfω(s)

Tm(s) = Jsω(s) + bω(s)

Tm(s) = ΨfIa(s)

ω(s) = sθ(s)

8

Ua(s) = RaIa(s) + LasIa(s) + Ψfsθ(s)

ΨfIa(s) = Js2θ (s) + bsθ(s)

ΨfUa(s) = s⎣⎡

⎦⎤RaJs + Rab + LaJs2 + Labs + Ψf

2 θ(s)

G(s) = θ(s)

Ua(s) = Ψf

s⎣⎡

⎦⎤LaJs2 + Labs + RaJs + Rab + Ψf

2

G(s) = θ(s)

Ua(s) = Ψf

s⎣⎡

⎦⎤( )Las + Ra ⋅( )Js + b + Ψf

2

9

G(s) = θ(s)

Ua(s) = Ψf

s⎣⎡

⎦⎤Ra⋅( )Js + b + Ψf

2

G(s) = θ(s)

Ua(s) =

ΨfRab+Ψf

2

s⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤RaJ

Rab+Ψf2s + 1

La≈0

K = Ψf

Rab+Ψf2 T =

RaJ

Rab+Ψf2

G(s) = θ(s)

Ua(s) = K

s[ ]Ts + 1

G(s) = ω(s)

Ua(s) = K

Ts + 1 ω(s) = sθ(s)

kraj primera

10

Algebra funkcije prenosaAlgebra funkcije prenosa

• Blok dijagram

Y(s)G(s)U(s)

Y(s) = G(s)U(s)

y(t) = L-1{G(s)U(s)}

y(t) = g(t)u(t)NE!!!

11

Strukturni blok dijagram - grafički način predstavljanja matematičkog modela SAU

G1 G2

H1

U(s) Y(s)G3 G4

H2

H3

+ + +

+-

-

•Blokovi•Grane•Diskriminatori (sabirači)•Čvorovi

12

Formiranje funkcije prenosa na osnovu strukturnog blok dijagrama - algebra funkcije prenosaalgebra funkcije prenosa

PRAVILO: Isti odnos ulaz-izlaz pre i posle transformacije!

G1 G2 Gn...U(s) Y(s)

G1G2...GnY(s)U(s)

G1

G2 ±

Gn

...

±

±

...

U(s) Y(s)±G1±G2±...±Gn

Y(s)U(s)

H

G±

U(s) Y(s)

GH1Gm

Y(s)U(s)

13

H±

U1(s) Y(s)G1 G2

U2(s)

+HG1

±

+ G2H

U2(s)

Y(s)U1(s)

H±

U1(s) Y(s)G1 G2

U2(s)

+

1GH

G1G2

±

+

U2(s)

Y(s)U1(s)

H±

U1(s) Y(s)G1 G2

U2(s)

+ G1G2

±

+

U2(s)

Y(s)U1(s)

G2H

14

H

Y1(s)U(s)G1 G2

Y2(s)

G1H

Y2(s)

U(s) Y1(s)H

G2

2GH

G1G2U(s) Y1(s)

Y2(s)H

Y1(s)U(s)G1 G2

Y2(s)

H

Y1(s)U(s)G1 G2

Y2(s)G1H

G1G2Y1(s)

Y2(s)

U(s)

15

funkcija spregnutog prenosafunkcija spregnutog prenosa(funkcija prenosa zatvorenog kola)

H

G±

U(s) Y(s)

Ws(s) = G(s)

1mGH(s)

⇓ funkcija povratnog prenosafunkcija povratnog prenosa(funkcija prenosa otvorenog kola)

H

GU(s) Y(s)

W(s) = GH(s)

jedinična povratna spregajedinična povratna sprega

Ws(s) = G(s)

1mG(s)

W(s) = G(s)

H(s)=1

16

Ws(s) = G(s)

1mGH(s)

Imenilac funkcije spregnutog prenosa sistema se naziva KARAKTERISTIČNI POLINOM SISTEMA

17

PrimerPrimerPrimenom algebre funkcije prenosa odrediti funkciju

prenosa sistema sa slike. G(s) = Y(s)U(s)

G1 G2

H1

U(s) Y(s)G3 G4

H2

H3

+ + +

+-

-

18

4

2GH

G1 G2U(s) Y(s)

H3

+ + +

-

-

H1

G3 G4

+

4

2GH

G1 G2U(s) Y(s)

H3

+ +

-

-

14343

HGG1GG

−

19

G1U(s) Y(s)

H3

+

- 232143432

HGGHGG1GGG+−

343212321434321

HGGGGHGGHGG1GGGG++−

Y(s)U(s)

kraj primera

20

Graf toka signalaGraf toka signala

• Teorija grafova• Linijski segmenti:

– Grane– Čvorovi

G(s)x1(s) x2(s)G

X1(s) X2(s)

pojačanje graneblok

GTS je dijagram koji se sastoji od čvorova međusobno povezanih granama (linijama) i predstavlja grafičku reprezentaciju seta (skupa) linearnih relacija.

21

Pri formiranju i analiziranju GTS postoje sledeća pravila:

• U jednom čvoru se može susticati proizvoljan broj grana isto kao što iz jednog čvora može izlaziti proizvoljan broj grana;

•Zbir signala sa krajnjih tačaka svih grana koje se sustiču u čvoru čini promenljivu čvora (signal čvora);

•Promenljiva čvora se ravnomerno prosleđuje kroz sve grane koje iz tog čvora izlaze;

•Signal se kroz granu prostire isključivo u smeru označenom strelicom.

22

G1(s)U1(s)

Y1(s)

U2(s)

U3(s)

G2(s)

G3(s) Y2(s)

X(s)H1(s)

H2(s)

X(s) = G1(s)U1(s) + G2(s)U2(s) + G3(s)U3(s)

Y1(s) = X(s)H1(s);

Y2(s) = X(s)H2(s)

23

Direktna ili otvorena putanja je skup grana koje međusobno spajaju dva čvora i pri tome grane kroz svaku tačku prolaze samo jedanput (nadalje će biti interesantne samo putanje koje spajaju ulazni čvor grafa sa izlaznim, odnosno direktne putanje koje vode od ulaza do izlaza iz sistema).

Na primeru sa slike su putanje 1234567 (oznake čvorova) i 134567. Niz grana 123434567 nije putanja jer dva pita prolazi kroz granu 34.

1 2 3 4 5 6 7YU

24

Petlja (zatvorena putanja) je zatvoren put koji polazi i završava se u istom čvoru i pri tome sve grane iz petlje kroz svaku tačkuprolaze samo jednom.

Na donjoj slici petlje su: 121, 234562, 343, 565.

Nisu petlje: 1231 (kroz granu 13 se ide u suprotnom smeru), 23434562 (kroz granu 34 se prolazi dva puta)

1 2 3 4 5 6 7YU

25

Dve putanje (otvorene ili zatvorene) se ne dodiruju ako nemaju zajedničkih čvorova ili grana.

U primeru sa slike tri sledeće putanje se ne dodirujumeđusobno: 121 i 343; 121 i 565; 343 i 565.Dodiruju se: 1234567 i 121; 1234567 i 343; 1234567 i 565; 1234567 i 234562; 134567 i 121; 134567 i 343; 134567 i 565; 134567 i 234562; 1234567 i 134567;121 i 234562; 343 i 234562; 565 i 234562.

1 2 3 4 5 6 7YU

26

MasonMason--ovo praviloovo praviloFunkcija prenosa grafa toka signala se određuje na osnovu obrasca

G(s) = Y(s)U(s) =

∑i=1

nPi∆i

∆

gde je:Pi - prenos (pojačanje) i-te direktne (otvorene) putanje;∆ - determinanta grafa;∆i - ∆ primenjeno na zatvorene putanje koje ne dodiruju i-tu direktnu putanju;n - broj direktnih putanja u grafu.

27

Determinanta grafa:

∆ = 1 - (-1)k+1

∑k

∑j

Pkj = 1 - ∑j

P1j + ∑j

P2j - ∑j

P3j + ∑j

P4j - +...

∑j

P1j

∑j

Pkj

- zbir pojačanja (prenosa, funkcija prenosa) svih zatvorenih putanja (petlji) grafa;

- zbir proizvoda pojačanja po "k" zatvorenih putanja koje se međusobno ne dodiruju.

Brojilac determinante grafa toka signala je KARAKTERISTIČNI POLINOM SISTEMA

28

Primer:Primer:

1 2 3 4 5 6 7YU

8Y

Posmatra se graf toka signala prikazan na slici. Odrediti funkciju prenosa sistema od čvora 1 do čvora 8.

Rešenje:Direktne putanje: P1 = 12345678 i P2 = 145678.Zatvorene putanje: P11=232; P12=565; P13=787; P14=345673.Proizvodi po dve zatvorene putanje koje se međusobno ne dodiruju: P21=P11P12; P22=P11P13; P23=P12P13;Proizvodi po tri zatvorene putanje koje se međusobno ne dodiruju: P31=P11P12P13;Proizvoda po četiri zatvorene putanje koje se međusobno ne dodiruju nema, jer P14 dodiruje bar jednu od ostale tri putanje (u stvari dodiruje svetri). Naravno nema ni proizvoda po pet, šest itd. zatvorenih putanja koje se međusobno ne dodiruju.Determinanta grafa je prema definiciji∆ = 1 - (P11 + P12 + P13 + P14) + (P21 + P22 + P23) - P31

29

∆i se dobija na osnovu ∆ tako što se iz ∆ izbace sve petlje koje dodiruju i-tu direktnu putanju (izbacuju se i svi proizvodi gde te petlje učestvuju kao činioci), tako da je

∆1 = 1

∆2 = 1 - P11.

Funkcija prenosa grafa od čvora 1 do čvora 8 je

G(s) = P1∆1 + P2∆2

∆ = P1 + P2 - P2P11

1 - P11 - P12 - P13 - P14 + P21 + P22 + P23 - P31

kraj primera

30

Transformacija SBD u GTSTransformacija SBD u GTS

Primenom sledećih pravila:

• Diskriminatori i čvorovi strukturnog blok dijagrama postaju čvorovi grafa toka signala;

• Blokovi strukturnog blok dijagrama postaju grane grafa toka signala, a funkcije prenosa blokova postaju pojačanja grana;

• Smer toka signala se pri transformaciji ne menja;

• Pošto se signali u čvoru GTS po definiciji sabiraju, predznak grane sa kojim ona ulazi u diskriminator strukturnog blok dijagrama se pridružuje funkciji prenosa, odnosno pojačanju odgovarajuće grane.

31

G1 G2

H1

U(s) Y(s)G3 G4

H2

H3

+ + +

+-

-

12

3

45

67

3 4 5

Y(s)U(s) 1 G

6 71 2

1G2 G3

G4 1-H2

-H3

H1

32

Funkcija prenosa Funkcija prenosa multivarijabilnihmultivarijabilnih sistemasistema

Sistem

u1(t)

u2(t)

up(t)

y1(t)

y2(t)

yr(t)

... ...

Yi(s)= Gi1(s)U1(s) + Gi2(s)U2(s) + ... + Gip(s)Up(s)

Gij(s) = ⎪⎪⎪⎪

Yi(s)Uj(s) Uk=0;∀k≠j

33

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Y1(s)

Y2(s)

.

.

.

Yr(s)

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

G11(s) G12(s) ... G1p(s)

G21(s) G22(s) ... G2p(s)

. . . .

. . . .

. . . .

Gr1(s) Gr2(s) ... Grp(s)

⋅

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

U1(s)

U2(s)

.

.

.

Up(s)

Y(s) = G(s)U(s)

Dimenzije matrice G(s)?

Karakteristični polinom sistema?

34

Analiza sistema automatskog upravljanja Analiza sistema automatskog upravljanja primenom računaraprimenom računara

• Simulacija ponašanja sistema pomoću računara služi

da se ispita rad sistema u različitim uslovima i za

različite pobudne signale.

• Simulacije mogu da budu različitog kvaliteta

(tačnosti):– Simulacije niske tačnosti;

– Simulacije visoke tačnosti (numerički eksperimenti)

35

Pod pretpostavkom da je moguće formirati matematički model sistema proizvoljne tačnosti prednosti računarske simulacije su sledeće:1. Performanse sistema se mogu razmatrati za proizvoljne uslove

rada;2. Rezultati dobijeni u realnom sistemu se mogu ekstrapolirati

simulacionim modelom u cilju vršenja predikcije ponašanja sistema;

3. Moguće je ispitivanje ponašanja sistema u cilju utvrđivanja njegove koncepcije;

4. Testiranja sistema se mogu obaviti u mnogo kraćem roku;5. Simulacije koštaju znatno manje nego eksperiment na živom

sistemu;6. Moguće su studije hipotetičkih situacija, praktično neostvarivih u

realnom svetu;7. Računarsko modelovanje i simulacija su često jedina izvodljiva i

sigurna tehnika za analizu i procenu ponašanja sistema.

36

Šematski prikaz procesa analize i Šematski prikaz procesa analize i projektovanja SAU primenom računaraprojektovanja SAU primenom računara

Fizički sistem Matematički model

Odziv modela

Očekivani odziv fizičkog sistema

Pretpostavkemodelovanja

Matematičkaanaliza

Računarskasimulacija

PredikcijaUsložnjavanjestrukturesistema

Modifikacijaparametara

sistema