01 ljuske - draft

8/18/2019 01 Ljuske - Draft

1/27

374

8.

ARMIRANOBETONSKE LJUSKE

8.1.

UVOD

Ljuske su noseće konstrukcije formirane od zakrivljeni !ovr"i# koje !rivataju o!terećenje

!rimarno silama u ravni $ravnomerno ras!odeljenim !o de%ljini ljuske ali i savijanjem# !o'

se%no u zoni oslanjanja i veze sa dru(im elementima. )o(odnim iz%orom (eometrije# sa ma'

lim de%ljinama# ljuske mo(u %iti izuzetno racionalni elementi kad je o utor"ku materijala re*.

U o!"tem slu*aju# ljuske mo(u %iti razli*iti o%lika !ovr"i koje karakteri"e +auss'ova mera

krivine# !roizvod krivina (lavni !ravaca $, - i , . &/

1K

r r α β

α β

κ κ = ⋅ =⋅

# ................................................................................................................... $8.1&

(de su r - i r . !olu!re*nici krivina. )rema znaku krivine# razlikuju se $0l. 81&/

• 2li!ti*ne !ovr"i imaju !ozitivnu +auss'ovu krivinu# odnosno# centri o%a !olu!re*nika

(lavni krivina su sa iste strane !ovr"i. Ove ljuske ne mo(u menjati svoj o%lik %ez iste'

zanja srednje !ovr"i# z%o( *e(a su vrlo krute.

•

3i!er%oli*ke !ovr"i imaju ne(ativnu +auss'ovu krivinu# odnosno# centri !olu!re*nika

(lavni krivina su na razli*itim stranama !ovr"i. arakteri"u se !ravim izvodnicama.

• )ara%oli*ne !ovr"i imaju nultu +auss'ovu krivinu. 5edan od !olu!re*nika (lavne krivine

im je %eskona*no velik.

0l. 81. )ovr"ine razli*ite +auss'ove krivine

ada je de%ljina ljuske $ & mala u !ore6enju sa !olu!re*nikom krivine $r ljuska se smatra

tankom# a stati*ki tretman ovi elemenata moe %iti %aziran na teoriji tanki ljuski. a*elno#

ljuska se smatra tankom ukoliko je zadovoljeno/

1

20

h

r ≤ . ....................................................................................................................................... $8.9&

Osnovne !ret!ostavke teni*ke teorije tanki ljuski su/

• 0matra se da !rava vlakna u!ravna na srednju !ovr" ljuske ostaju !rava i u!ravna na de'

formisanu srednju !ovr"# ne menjajući svoju duinu.

• ormalni na!oni u !ravcu normale na srednju !ovr" su zanemarljivi u odnosu na ostale

kom!onentalne na!one.


2/27

8. :rmirano%etonske ljuske

37;

:nalizu sila u !reseku ljuske je !o(odno s!rovesti na delu !ovr"i o(rani*enom linijama

(lavni !ravaca $koordinatnim linijama&. +lavni !ravci su odre6eni maksimalnim i minimal'

nim !olu!re*nicima krivine. U o!"tem slu*aju# !ostoji deset sila u !rese*nim !ovr"ima

ljuske/ normalne sile 8 - i 8 . # smi*uće sile 8 -. i 8 .- # transverzalne sile


3/27

>rujić ' >etonske konstrukcije ? radna verzija ' ;. novem%ar 9@1;

37A

onturni uslovi ljuske su naj*e"će takvi da ne dozvoljavaju slo%odnu mem%ransku deforma'

ciju kraja ? ljuske su !o konturi o%i*no kruto vezane $elasti*no uklje"tene& za dru(e elemen'

te $ljuske# !lo*e# !rstenaste (rede...&. Ovim i mem%ranski uslovi rada na krajevima ljuske ne

mo(u %iti ostvareni# ne(o su B!oremećeniC fleksionim silama. Osim konturni uslova# do !o'

jave momenata savijanja dovode i na(le !romene de%ljine ljuske# koncentrisana o!terećenja#

skokovi u kontinualno !romenljivom o!terećenju ili koncentrisana o!terećenja.

)ored mem%ranski# u !rese*nim ravnima ljuske

javljaju se momenti savijanja i torzije# te transver'

zalne sile $0l. 84&. eorija ljuski kojom se analizi'

raju na!oni i deformacije ljuski uklju*ujući i dej'

stvo momenata savijanja i transverzalni sila na'

ziva sefleksiona teorija ljuski

.

ije ni !otre%no !ose%no na(la"avati da je danas

uo%i*ajen !rora*un uticaja u ljuskastim elementi'

ma !rimenom softvera za strukturalnu analizu %aziranom na !rimeni metode kona*ni ele'

menata. =odeliranje ljuske !roizvoljne (eometrije kao !oliedarske !ovr"ine formirane od

!ovr"inski kona*ni elemenata# mo(ućnost a!liciranja !roizvoljno( o!terećenja# mo(uć'

nost uticaja na ta*nost rezultata (ustinom mree# mo(ućnost !rora*unsko( o%uvatanja re'

alni konturni uslova... su samo neke od nes!orni !rednosti ovo( na*ina !rora*una. E!ak#

sa stanovi"ta inenjersko( razumevanja !ro%lema# klasi*ni !ristu! !rora*unu je od nemerlji'

vo( zna*aja i dalje.

8.9.

FO:GEO2 L5U02

Fotacione $rotaciono'simetri*ne& ljuske su one *ija je srednja

!ovr" rotaciona !ovr" nastala o%rtanjem ravanske krive linije

oko jedne !rave# ose o%rtanja $0l. 8;&. oordinatne linije ovako

formirani ljuski su meridijalne krive i !aralelni kru(ovi. U ravni

meridijalni krivi meri se u(ao - # a u ravni krunica u(ao H .

)olu!re*nici (lavni krivina su r - i r H IIvii.

)ret!ostavljajućimem%ranski rad

# na elementarnom delu !ovr"i'

ne rotacione ljuske o!terećene kom!onentama !ovr"insko(

o!terećenja u !ravcima tan(ente na (lavne !ravce# te normale

na srednju !ovr" $! I # ! J # ! z dolazi se do tri uslova ravnotee $0l.8A&/ dva !o sumi sila u !ravcu tan(enti i jedan !o sumi sila u!ravni na srednju !ovr".

)ret!ostavljajući# dodatno# irotaciono'simetri*nu distri%uciju o!terećenja

# kada je ! I jedna'

ko nuli# svi uticaji !ostaju samo funkcije jedno( !arametra ? u(la - /

( ) / z N r p N r φ φ α α = − ⋅ + # 0 N αφ = # .............................................................................................. $8.4&

( )sin cos / ( sin ) y z N r r p p d C r α α α α α α = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ∫ # ....................................................... $8.;&

(de je sa r o%eleen !olu!re*nik krunice $!aralele a inte(raciona konstanta G se odre6uje

iz konturni uslova.

IIvii )rimetiti da r H nije !olu!re*nik krunice $!aralele&.

0l. 84. Kleksione sile

0l. 8;. Fotaciona ljuska


4/27


377

0l. 8A. =em%ransko stanje rotacioni ljuski

)od dejstvom rotaciono'simetri*no( o!terećenja ljuska se deformi"e i ta*ke ljuske do%ijaju

od(ovarajuća !omeranja u !ravcu tan(ente na meridijalnu krivu# v # i u !ravcu normale na!ovr"# L . oristeći se vezama izme6u na!ona i deformacija $M iz teorije tanki ljuski je

!oznato/

( )1

N N E h

α α φ ε ν = ⋅ − ⋅⋅

# ( )1

N N E h

φ φ α ε ν = ⋅ − ⋅⋅

. ................................................................... $8.A&

akon uvo6enja veza izme6u deformacija i !omeranja# mo(u se karakteristi*na !omeranja ?

izduenje !olu!re*nika !aralele# Nr # i !romena u(la tan(ente na meridijalnu krivu# O ? naći

kao/

( )r

r r N N

E h

φ φ α ε ν ∆ = ⋅ = ⋅ − ⋅⋅

................................................................................................... $8.7&

( ) ( )cot 1r r d

N N N N N N E h r r d E h

φ φ

α φ φ α φ α

α α

α χ ν ν ν

α

= ⋅ − − − ⋅ − ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ . ................................... $8.8&

:nalizafleksiono( na!rezanja

ljuske# makar i rotacione# je znatno sloenije od mem%ran'

sko(. Pa slu*aj rotaciono'simetri*no( o!terećenja !olovina !rese*ni sila je identi*ki jedna'

ka nuli/

0 N N αφ φα = = # 0 M M αφ φα = = # 0Qφ = . ................................................................................... $8.Q&

0l. 87. Kleksiono stanje rotacioni ljuski# rotaciono'simetri*no o!terećeni


5/27


378

Pa !reostali !et sila mo(u se !ostaviti uslovi ravnotee na elementu !ovr"ine $0l. 87&. 0u'

ma sila u !ravcu tan(ente na meridijalnu krivu# u !ravcu normale na !ovr"# te suma mome'

nata# res!ektivno# daju/

( ) cos 0 yd

r N r N r Q p r r d

α α φ α α α α

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = # ................................................................... $8.1@&

( )sin 0 zd

r N r N r Q p r r d


⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = # i .................................................................. $8.11&

( ) cos 0d

r M r M r r Qd


⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = . ............................................................................. $8.19&

Veze izme6u dilatacija i !omeranja su/

1 dvw

r d α

α

ε α

= ⋅ +

#

cotv w

r φ

φ

α ε

⋅ += #

1 dwv

r d α χ

α

= ⋅ −

# .................................................... $8.13&

a veze izme6u !rese*ni sila i !omeranja su date sa/

( )1 cotdv N D w v wr d r α α φ ν α

α

= ⋅ + + ⋅ +

# 21 E h D

ν

⋅=

−# .......................................................... $8.14&

( )1

cotdv

N D w v wr d r

φ

α φ

ν α

α

= ⋅ + + ⋅ +

#

( )

3

212 1

E hK

ν

⋅=

⋅ −# .................................................. $8.1;&

1 1cot

d dw dw M K v v

r d r d r r d α

α α α φ

ν α

α α α

= − − + −

........................................................... $8.1A&

1 1cot

d dw dw M K v v

r d r d r r d φ

α α α φ

ν α

α α α

= − − + −

........................................................... $8.17&

5edna*ine $8.1@& do $8.17& !redstavljaju sistem od deset jedna*ina sa deset ne!oznati/ !et!rese*ni sila# dve kom!onente !omeranja $v i L & i tri kom!onente deformacijski veli*ina

$M - # M H i O &. )rkati*na re"enja će %iti razmatrana na !rimeru !ojedini ti!ova ljuski.

U realnim konstrukcijama ljuski# mem%ransko stanje na!rezanja# !od rotaciono'simetri*nim

o!terećenjem# ostvaruje se u većem delu ljuske# osim# naj*e"će# u okolini konture. Ljuska je

naj*e"će !o svojoj konturi kruto vezana za neki dru(i element. Pato# z%o( s!re*enosti mem'

%ransko( deformisanja# na konturi se remeti mem%ransko stanje i u ljusci se javljaju uticaji

od savijanja $0l. 88&.

0l. 88. Evi*ni !oremećaji cilindri*ne ljuske kruto s!ojene sa dru(im elementima

)o svom karakteru fleksioni uticaji $!oremećajni uticaji& su takvi da se relativno %rzo !ri(u'

"uju za uo%i*ajene dimenzije ljuski. jiova veli*ina se $na makro'nivou !osmatrano& sma'

njuje sa udaljenjem od ivice. :ko se moe smatrati da se !oremećajni uticaji na jednom kra'

ju ljuske Bne osećajuC $ne uti*u na deformaciju& na dru(om kraju ljuske# takve ljuske nazivaju

sedu(im

. U su!rotnom# ljuske sukratke

. a 0l. 8Q su# za du(u i kratku cilindri*nu# mem'


6/27


37Q

%ranski oslonjenu na dnu# ljusku# o!terećenu radijalnim orizontalnim linijskim o!tereće'

njem na o%e ivice# !rikazani o%lici dija(rama momenata savijanja = - .

0l. 8Q. =omenti savijanja !odu izvodnice za du(u i kratku cilindri*nu ljusku

)rese*ne sile kod rotaciono'simetri*no o!terećeni rotacioni ljuski u sklo!u sloenije kon'

strukcije mo(u %iti odre6ene !rimenom metode sile. Uku!ne vrednosti sila odre6uju se su'

!er!ozicijom mem%ransko( re"enja i uticaja do%ijeni fleksionom analizom ivi*ni !oreme'

ćaja. )rvo se veze ljuske sa susednim elementima !rekidaju# konstrukcija se dekom!onuje#

na na*in da se !ret!ostavljaju mem%ranski uslovi oslanjanja !ojedini elemenata. Ovim je

formiran takozvani osnovni sistem# za koji je samo analizom uslova ravnotee mo(uće odre'diti mem%ransko re"enje. a mestu raskinute veze uvode se dve stati*ki ne!oznate veli*ine/

orizontalna sila R 3 $linijsko o!terećenje# kmS& i moment savijanja R = $linijsko o!terećenje#

kmmS& $0l. 81@&.

0l. 81@. Dekom!ozicija konstrukcije/ osnovni sistem i stati*ki ne!oznate

Veli*ine stati*ki ne!oznati veli*ina odre6uju se iz uslova'!ret!ostavke da nema me6uso'

%no( razmicanja elemenata u orizontalnom !ravcu u vezi# niti me6uso%ne !romene na(i%a

tan(ente. 0kraćeno# krajevi ljuski s!ojeni u *voru imaju jednako orizontalno !omeranje Nr

i o%rtanje O . Uslovne jedna*ine virtualno( rada# kojima se sumiraju ovi uslovi imaju !oznat

o%lik# a %roj ovi jedna*ina# 8 # od(ovara %roju stati*ki ne!oznati veli*ina/

1 11 2 12 10

1 21 2 22 20

1 1 2 2 0

... 0

... 0...

... 0 N N N

X X

X X

X X

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

⋅ + ⋅ + + =

⋅ + ⋅ + + =

⋅ + ⋅ + + =

. ............................................................................................... $8.18&

)ri tome# svaki koeficijent T ij *ine dva sa%irka# odnosno do%ija se kao z%ir od(ovarajući

!omeranja na o%a $!rvom i dru(om& elementa u vezi/

ij ij ijδ δ δ ′ ′′= + . ............................................................................................................................. $8.1Q&

oeficijenti T i@ se odre6uju kao od(ovarajuća !omeranja u osnovnom sistemu u !ravcu i

smeru usvojeni stati*ki ne!oznati od s!olja"nji o!terećenja. E oni !redstavljaju z%ir

od(ovarajući koeficijenata sa dva u *voru vezana elementa.

od konstrukcija formirani od du(i ljuski# !ro%lem odre6ivanja stati*ki ne!oznati seznatno !ojednostavljuje. Uvo6enjem !ret!ostavke da se ivi*ni !oremećaji na jednom kraju


7/27


38@

ljuske Bne osećajuC na dru(om# *ini od(ovarajuće T ij koeficijente jednakima nuli. Pa !osledi'

cu# umesto jedno( sistema jedna*ina# !ro%lem se dekom!onuje na vi"e manji sistema jed'

na*ina $na !rimer# *etiri !uta stati*ki neodre6en sistem na 0l. 81@# uz cilindri*nu ljusku

usvojenu du(om# !ostaje dva !uta !o dva !uta stati*ki neodre6en ? nezavisno je mo(uće

odrediti stati*ki ne!oznate u (ornjoj vezi od oni u donjoj&.

U slu*aju dejstva koncentrisano( $za!ravo# linijsko(& o!terećenja na ljusku# !ro%lem se re"a'

va formiranjem dve nezavisne ljuske# !okazano na 0l. 811. )ri tome je ne%itno da li se samo

o!terećenje B!ri!isujeC (ornjoj ili donjoj ljuski# ili se BdeliC. 0li*no se !ostu!a i u slu*ajevima

ljuski kod koji !ostoji skok u de%ljini $0l. 819&.

0l. 811. Dekom!ozicija na mestu koncentrisano( o!terećenja

0l. 819.

Dekom!ozicija na mestu skokovite !romene de%ljine ljuskere%a !rimetiti da stati*ki ne!oznate veli*ine izazivaju u !resecima ljuske# ne samo mo'

mente savijanja $= - i = H & i transverzalne sile $


8/27


381

cenom izvo6enja $sku!a o!lata i skela&. aj*e"će# rotacione sferne ku!ole se !rimenjuju za

!okrivanje dvorana i ala krune osnove i veći ras!ona# te kao elementi rezervoarski kon'

strukcija $0l. 813&. U konstrukcijama se javljaju u kom%inacijama sa dru(im elementima/

!rstenastim nosa*ima# !lo*ama# dru(im ljuskama...

Uo%i*ajene de%ljine ku!ola su vrlo male ? za krovne konstrukcije su izme6u ; i 14cm# a zaras!one osnove i !reko 1@@m. P%o( male de%ljine# a u(lavnom !ritisnuti# ovi elementi mo(u

%iti !odloni (u%itku sta%ilnosti# z%o( *e(a je !re!oruka usvajati de%ljinu ljuske na na*in da

se mem%ranskim radom iazazvani normalni na!oni o(rani*e na manju vrednost od do!u"te'

ni $!re!oruka je ;@ do!u"teni&IIviii. 5o" jedna !re!oruka u !ravcu o%ez%e6enja od suvi"e

mali de%ljina ljuske je ona kojom %i de%ljinu valjalo o(rani*iti sa donje strane u funkciji !o'

lu!re*nika krivine na sledeći na*in/ / 0.0015d r ≥ $!ri%lino 1A@@&.

0l. 814. 0ferne ljuske sa otvorom za osvetljenje $lanternom&

0 o%zirom da su ku!ole o!terećene u(lavnom mirnim kontinualnim o!terećenjem $so!stvena

teina# izolacija# sne(# te*nost... to one rade !reteno mem%ranski. 0amo u !odru*ju oslo'

naca# z%o( veze s dru(im elementima $naj*e"će !reko !rstenasto( nosa*a& javljaju se fleksi'

oni !oremećaji. =o(uće neravnomerno o!terećenje vetrom redovno nije od veliko( zna*aja

%udući je malo u odnosu na ostala. Otud# ku!ole se mo(u !ri%lino !rora*unavati kao rota'

ciono'simetri*no o!terećene.

Westo se krovne ku!ole izvode sa otvorom za osvetljenje u temenu $0l. 814&. U tom slu*aju

(ornja ivica ljuske do%ija !rstenasto oja*anje na koje se !ri*vr"ćuju elementi svetlosne lan'

terne. 0ada se i (ornja ivica ljuske karakteri"e fleksionim uticajima.

ako su kod sferne ljuske !olu!re*nici (lavni krivina jednaki/

r r aα φ = = # sinr a α = ⋅ # ........................................................................................................... $8.9@&

to se !rese*ne sile !o mem%ranskoj teoriji nalaze lako $videti $8.4& i $8.;&&/

( ) ( )2 sin sin cos / sin y z N a p p d aα α α α α α = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∫ # .................................................... $8.91&

( ) z N a p N aφ α = − ⋅ + . ............................................................................................................. $8.99&

arakteristi*na !omeranja su/

IIviii Do!u"teni na!oni su BzaostatakC ranije !rimenjivane Blo(ikeC !rora*una armirano%etonski kon'

strukcija# ali je data !re!oruka i dalje !rakti*no validna.


9/27


389

( )( )sin

1 z

ar a p N

E h α

α ν

− ⋅∆ = ⋅ ⋅ + + ⋅

⋅# i ...................................................................................... $8.93&

( )1 z ydpa

p E h d

χ ν α

= ⋅ − + ⋅

⋅ .................................................................................................... $8.94&

U nastavku je# u formi s!ecifi*no( slu*aja# analizirano mem%ransko dejstvo so!stvene teinesferne ku!ole. ako je/

sin y p g α = ⋅ i cos z p g α = ⋅ #

to se aksijalne sile do%ijaju/

1 cos

a g N α

α

⋅= −

+ i

1cos

1 cos N a gφ α

α

= ⋅ ⋅ −

+ .

Fas!ored i veli*ina aksijalni sila !rikazani su na 0l. 81;. )rimetiti da za u(ao ku!ole veći

od ;1.4QX !rstenaste sile 8 H !relaze iz !ritiska u zatezanje. ako6e# interesantno je !rimetiti

i da normalni na!oni ne zavise od de%ljine ljuske.

0l. 81;. )romena aksijalni sila za dejstvo so!stvene teine

Pa ravnomerno !odeljeno o!terećenje !o osnovi# kakvo je o!terećenje sne(om# na !rimer#

vai/

sin cos y p p α α = ⋅ ⋅ i2

cos z p p α = ⋅ #

te aksijalne sile u o%liku $0l. 81A&/

0.5 N a pα = − ⋅ ⋅ # ( )0.5 cos 2 N a pφ α = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0l. 81A.

)romena aksijalni sila za dejstvo ravnomerno !odeljeno( o!terećenja !o osnovi

Pa karakteristi*ne slu*ajeve o!terećenja $0l. 817& izrazi za !rese*ne sile se o%i*no mo(u

!ronaći u o%liku ta%ulisani alata. 5ima se uo%i*ajeno daju i izrazi za karakteristi*na !ome'

ranja.

0l. 817. eki karakteristi*ni slu*ajevi o!terećenja ku!ole


10/27


383

Pa odre6ivanje ivi*ni !oremećaja kod sferne ku!ole# jedna*ine $8.1@& do $8.17& se# uz odre'

6ena zanemarenja mali veli*ina i konstatovanjem da je ! J Y ! z Y @# svode na dve nezavisne

diferencijalne jedna*ine o%lika $k ? koef. !ri(u"enja&/4

4

4 4 0k

χ χ

α

∂+ ⋅ ⋅ =

∂#

44 0

Qk Qα α

α

∂+ ⋅ ⋅ =

∂# ( )23 1

ak

h

ν = ⋅ ⋅ − . ............................................ $8.9;&

0l. 818. Oznake u(lova na ivicama ku!ole

Uz oznake kao na 0l. 818# zavisno od !osmatrane ivice $n Y 1# 9 re"enje diferencijalne

jedna*ine se nalazi u o%liku/( )cosnk w nQ C e k wα ψ

− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + # ................................................................................................. $8.9A&

(de su G i Z inte(racione konstante odre6ene uslovima na konturi. Ezrazi za sile u !reseci'

ma# te inte(racione konstante za slu*ajeve ivi*no( o!terećenja orizonztalnim silama i mo'

mentima# dati su na 0l. 81Q.

0l. 81Q. Ezrazi za !rese*ne sile i karakteristi*na !omeranja

Dati izrazi se odnose na du(e ljuske ? one kod koji je zadovoljeno/

( )2 1 6k α α ⋅ − ≥ i 30nα ≥ ° . ...................................................................................................... $8.97&

U !raksi je# i za fleksione !oremećaje# uo%i*ajena !rimena ta%ulisani izraza za sile i !ome'ranja. )ri tome# dovoljno je analizirati samo slu*ajeve !rikazane na 0l. 81Q.

U najvećem delu ku!ole vlada mem%ransko stanje# !a se i dimenzionisanje u ovom delu svo'

di na analizu centri*no !ritisnuto( ili centri*no zate(nuto( !ravou(aono( !reseka jedini*ne

"irine. U ivi*nim zonama# u meridijalnom !ravcu# !reseci se dimenzioni"u na sloeno savija'

nje# !rema = - i 8 - . U zoni !rostiranja !oremećajni uticaja o%i*no se ljuska kontinualno za'

de%ljava. =omenat u tan(encijalnom !ravcu je naj*e"će !rivaćen već !odeonom armatu'

rom.

eme ljuske se# kao kod kruni !lo*a# armira orto(onalnom mreom. Ostatak ljuske se

armira meridijalnom i !rstenastom armaturom . ako se razmak meridijalne armature !ove'

ćava udaljavanjem od temena $smanjuje se !ovr"ina armature !o jedinici duine to je ne'


11/27


384

o!odno $*ak z%o( odravanja neo!odno( minimuma armature ili do!u"teno( razmaka

izme6u "i!ki& !olovljenje razmaka sve kraćim "i!kama $0l. 89@&. Ljuska se u većem delu

armira mreom u sredini de%ljine $za ljuske de%ljine manje od 7cm& ili simetri*nim mreama

na o%a lica $za de%ljine !reko 7cm& $0l. 891&. U zoni oja*anja# o%ostrano armiranje se u me'

ridijalnom !ravcu naj*e"će !ostie "i!kama o%lika ukosnica# a tan(encijalna armatura u o%e

zone ima karakter !odeone $0l. 899&.

0l. 89@. :rmiranje sferne ljuske $osnova&

0l. 891. 5ednostruko i dvostruko armiranje ljuske

anke ljuske se# !o !ravilu# zade%ljavaju na s!oju sa ivi*nim elementima $!rstenom& u cilju

o%ez%e6enja mo(ućnosti !rijema !oremećejni momenata savijanja $0l. 899&.

0l. 899. :rmiranje ivi*ni delova ku!ole

8.9. . OU02 L5U02

onusne ljuske se naj*e"će koriste $0l. 893& za levkove silosa i %unkera# kod rezervoarski

konstrukcija i vodotornjeva# kao stu%ovi tornjeva# kod dimnjaka... =o(u se izvoditi kao kla'

si*ne armirano%etonske ili kao !redna!re(nute ljuske# naj*e"će u orizontalnom !ravcu.

od konusni ljuski# (lavni !olu!re*nik krivine r - ima %eskona*nu duinu# izvodnica u meri'dijalnom !ravcu je !rava linija.


12/27


38;

0l. 893. )rimeri !rimene konusni ljuski

0l. 894. =em%ranski uslovi oslanjanja konusne ljuske i (eometrijske oznake

Uvo6enjem veza $0l. 894&/

cotr yφ α = ⋅ # dy r d α α = ⋅ # cosr y α = ⋅ # y N N α → # .............................................................. $8.98&

mo(u se odrediti vrednosti !rese*ni sila i !omeranja !o mem%ranskoj teoriji/

( )cos sin cos

sin cos

y z

y

p p y dy N

y

α α α

α α

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅

∫# .......................................................................... $8.9Q&

cot z N y pφ α = − ⋅ ⋅ # .................................................................................................................. $8.3@&

( )cos

cot z y

yr y p N

E h

α α ν

− ⋅∆ = ⋅ ⋅ + ⋅

⋅# ...................................................................................... $8.31&

( )2cot

cot y z yd

N y p y p E h dy

α χ α ν

= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

⋅ . ....................................................................... $8.39&

Pa slu*aj dejstva so!stvene teine $0l. 89; kom!onente o!terećenja su/

sin y p g α = ⋅ # cos z p g α = ⋅ #

a vrednosti !rese*ni sila su/

( ) / 2 sin y N g y α = − ⋅ ⋅ #2

sin cot N g yφ α α = − ⋅ ⋅ ⋅ .

0l. 89;. )romena aksijalni sila za dejstvo so!stvene teine

Pa dejstvo jednako !odeljeno( o!terećenja !o osnovi $0l. 89A& %iće/

sin cos y p p α α = ⋅ ⋅ #2

cos z p p α = ⋅ #1

cot2

y N p y α = − ⋅ ⋅ ⋅ #

3cos

sin N p yφ

α

α = − ⋅ ⋅

0l. 89A.

)romena aksijalni sila za dejstvo jednako !odeljeno( o!terećenja !o osnovi


13/27


38A

0l. 897. eki karakteristi*ni slu*ajevi o!terećenja konusne ljuske

Pa karakteristi*ne slu*ajeve o!terećenja $!o!ut oni dati na 0l. 897& izrazi za !rese*ne sile

se o%i*no mo(u !ronaći u o%liku ta%ulisani alata. 5ima se uo%i*ajeno daju i izrazi za ka'

rakteristi*na !omeranja.

e!oremećeno mem%ransko stanje je mo(uće samo ako je ivica ljuske oslonjena na na*in da

reakcija oslonca dejstvuje u srednjoj ravni ljuske. ormalno# ivica ljuske zavr"ava o%odnim

!rstenom# koji uzrokuje ivi*ne !oremećaje. 0!oj ljuske i !rstena moe %iti z(lo%an ili krut

$0l. 898&.

0l. 898. 0ile na s!oju konusme ljuske i !rstena

0l. 89Q. Oznake na krajevima ljuske

Pa odre6ivanje ivi*ni !oremećaja kod sferne ku!ole# jedna*ine $8.1@& do $8.17& se# uz odre'

6ena u!ro"ćenja# svode na diferencijalnu jedna*inu *etvrto( reda !o ne!oznatoj !romeni

u(la o%rtanja $k ? koef. !ri(u"enja&/

4

4

4

4 0k y

χ χ

∂+ ⋅ ⋅ =

∂

#

( )

2tan3 1k

y h

α ν = ⋅ ⋅ −

⋅

........................................................................... $8.33&

Uz oznake kao na 0l. 89Q# re"enje jedna*ine se moe na!isati u o%liku/

( )cosn nk d n nC e k d χ ψ − ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ + # ................................................................................................. $8.34&

(de se konstante G i Z odre6uju iz konturni uslova. Vrednosti !rese*ni sila i karakteristi*'

ni !omeranja su date na 0l. 83@. Ezrazi vae za du(e ljuske# kod koji je zadovoljeno/

( )2 1 6k y y⋅ − ≥ .......................................................................................................................... $8.3;&


14/27


387

0l. 83@. Ezrazi za !rese*ne sile i karakteristi*na !omeranja

onusne ljuske se armiraju u smeru izvodnice i !o koncentri*nim kru(ovima. >roj "i!ki koje

se !ruaju !o izvodnicama# !o jedinici duine se smanjuje sa !ri%liavanjem ivici# "to valja

nadomestiti u%acivanjem me6u'"i!ki. Ljuske de%lje od 8cm se armiraju u dve zone celom

!ovr"inom. Uz !rsten# ljuska se dimenzioni"e na ekscentri*ni !ritisak u !ravcu izvodnice.

8.9.4. GELEDFEW2 L5U02

:rmirano%etonski cilindri se koriste kod konstrukcija rezervoara# silosa i %unkera krune

osnove $0l. 831&. od rezervoara# cilindar se sa donje strane zatvara krunom !lo*om# koja

je naj*e"će kruto s!ojena s cilindrom# ali je mo(uće i re"enje sa !livajućom varijantom. 0a

(ornje strane# cilindar se zatvara ili krunom !lo*om ili ljuskom# !reko kruno( !rstenasto(

nosa*a. od vodotornjeva# cilindri se !rojektuju u sklo!u sa ostalim ljuskastim elementima u

cilju formiranja !o(odne (eometrije. od silosa# ćelije krune osnove su du(a*ki cilindri u

dnu naj*e"će vezani s konusnom ljuskom levka.

U svim ovim slu*ajevima# o!terećenje na !ovr"inu cilindra je !o !ravilu rotaciono simetri*no$!ritisak te*nosti# zrnasto( materijala ili tla&.

0l. 831. )rimeni !rimene cilindri*ni rotacioni ljuski

od cilindri*ne ljuske je (lavni !olu!re*nik r - %eskona*ne duine# a u(ao - je Q@X# "to meri'dijalnu krivu transformi"e u vertikalnu !ravu izvodnicu.

0l. 839. =em%ranski uslovi oslanjanja cilindri*ne ljuske i (eometrijske oznake

Uvo6enjem veza/

r aφ = # dy r d α α = ⋅ # y N N α → # ............................................................................................... $8.3A&


15/27


388

izrazi za mem%ranske sile i !omeranja !ostaju/

y y N p dy= ⋅∫ # ........................................................................................................................... $8.37&

z N a pφ = − ⋅ $kotlovska formula ............................................................................................... $8.38&

( ) ( ) / z yr a a p N E hν ∆ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ # .............................................................................................. $8.3Q&

z

y

dpaa p

E h dy χ ν

= ⋅ ⋅ − ⋅

⋅ . ...................................................................................................... $8.4@&

Pa slu*aj delovanja so!stvene teine $0l. 833a& %iće/

y N g y= − ⋅ # 0 N φ = #a g y

r E h

ν ⋅ ⋅ ⋅∆ =

⋅#

a g

E h

ν χ

− ⋅ ⋅=

⋅.

0l. 833. Dejstvo so!stvene teine i te*nosti

Pa dejstvo te*nosti $0l. 833%& %iće/

0 y N = # p a y

N L

φ

⋅ ⋅= #

2a p yr

E h L

⋅ ⋅∆ =

⋅ ⋅#

2a p

E h L χ

− ⋅=

⋅ ⋅.

Pa dru(e slu*ajeve o!terećenja $!o!ut oni na 0l. 834& izrazi za !rese*ne sile i karakteri'

sti*na !omeranja se o%i*no mo(u !ronaći u o%liku ta%ulisani alata.

0l. 834. arakteristi*ni slu*ajevi o!terećenja

5edna*ine fleksione teorije se# uz $8.3A& i/

yQ Qα → # y M M α → # .h co nst = # ........................................................................................... $8.41&

svode na jednu diferencijalnu jedna*inu *etvrto( ste!ena/

44

4 4 0 z

pd wk w

K dy+ ⋅ ⋅ + = # ( )

23 1k

a h

ν ⋅ −=

⋅. ........................................................................... $8.49&

U o!"tem slu*aju# re"enje je o%lika/

( ) ( )0 1 2 3 4cos sin cos sinky ky

w w e C ky C ky e C ky C ky−

= + + + + # ............................................... $8.43&

(de je L @ !artikularno re"enje# a inte(racione konstante se odre6uju iz konturni uslova. Pa

du(e ljuske # kod koji je/

6k L⋅ ≥ # .................................................................................................................................... $8.44&

ivi*ni !oremećaji se odre6uju iz re"enja omo(eno( dela diferencijalne jedna*ine# koja se

odnosi na ljusku %ez !ovr"insko( o!terećenja# a za o!terećenje samo !o konturi/


16/27


38Q

4

4

4 4 0

d wk w

dy+ ⋅ ⋅ = . ................................................................................................................... $8.4;&

Fe"enje jedna*ine/

( ) ( )1 2 3 4cos sin cos sinky kyw e C ky C ky e C ky C ky

−= + + + ......................................................... $8.4A&

!redstavlja z%ir dve !ri(u"ene oscilatorne funkcije. ad je ljuska du(a# uticaji s jedno( krajase ne !renose na dru(i# !a se re"enje svodi na o%lik s dve inte(racione konstante/

( )1 2cos sinkyw e C ky C ky−= + . .................................................................................................. $8.47&

0l. 83;. Oznake na krajevima ljuske

Uz oznake sa 0l. 83;# re"enje se moe na!isati u o%liku/

( )cosnk d nw C e k d ψ − ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ + # ................................................................................................... $8.48&

(de se konstante G i Z odre6uju iz konturni uslova. Vrednosti sila u !reseku i karakteristi*'

ni !omeranja su date na 0l. 83A.

0l. 83A. Ezrazi za !rese*ne sile i karakteristi*na !omeranja

Pa delovanje samo orizontalne sile R 3 na konturi# inte(racione konstante su/2

2 H

a k C X

E h

⋅ ⋅= ⋅

⋅# i 0ψ = # ........................................................................................................ $8.4Q&

dok je za delovanje samo momenta savijanja R = /2 2

4

2 M

a k C X

E h

⋅ ⋅= ⋅

⋅ ⋅#

4

π ψ = . ...................................................................................................... $8.;@&

)uno uklje"tenje cilindri*no( zida u temelj $0l. 837a& rezultira većim !oremećajnim momen'

tima = J i manjim aksijalnim silama 8 H u odnosu na slu*aj elasti*no( uklje"tenja dna cilindra

$0l. 837%&.

Fotaciono simetri*ne cilindri*ne ljuske se u tan(encijalnom !ravcu dimenzioni"u i armiraju

na centri*ni !ritisak ili zatezanje. U !ravcu izvodnice# !reseci su o!terećeni na sloeno savi'

janje $momenti = J i aksijalne sile 8 J &.

Pateuće !rstenaste sile 8 H se !rivataju !rstenastom armaturom# koja se# !o !ravilu#!ostavlja sa unutra"nje strane# %udući da ne !rivata momente savijanja. U vertikalnom


17/27


3Q@

!ravcu# krak unutra"nji sila se maksimizira !ostavljanjem vertikalne armature kao s!olja"'

nja. a 0l. 838 !rikazan je detalj armiranja cilindra za slu*aj !uno( i elasti*no( uklje"tenja.

0l. 837. )uno i elasti*no uklje"tenje dna cilindri*no( zida

0l. 838. :rmiraje donje( dela cilindra i veza sa oslona*kim elementima

8. . L5U0:0E E FOVOVE

anke ljuske se danas us!e"no !rimenjuju kao krovne konstrukcije veliki ras!ona# kod

an(ara# ala# stadiona# dvorana... )rostorni rad omo(ućava zna*ajno smanjenje teine. =o'(u %iti !rizmati*ne $cilindri*ne konusne# ljuske dvojne zakrivljenosti ili na%orane.

8. .1. )FEP=:EW2 $GELEDFEW2& FOV2 L5U02

)rizmati*nim se nazivaju one ljuske koje nastaju translacijom !rave izvodnice !o dvema i'

denti*nim vo6icama# naj*e"će u o%liku eli!se# !ara%ole ili krunice. +auss'ova krivina ovi

ljuski je jednaka nuli# a# da %i zadrale o%lik !od o!terećenjem# moraju zavr"avati krutim

dijafra(mama $0l. 83Qa&. ako su# iz uslova na konturi# meridijalne sile 8 H jednake nuli na

!odunim ivicama# to se o!terećenje ljuske moe !renositi samo savijanjem.

0l. 83Q. 2lementi !rizmati*ne krovne konstrukcije i mem%ranske !rese*ne sile

0l. 84@. )o!re*ni i !oduni !resek kroz !rizmati*nu ljuskastu krovnu konstrukciju


18/27


3Q1

U !odunom !ravcu# (ru%o# ljuska se !ona"a kao (redni element ras!ona l 1# a savojna kru'

tost ovakve B(redeC se uvećava !rojektovanjem ivi*ni elemenata $0l. 83Q# 0l. 84@&.

Ovakve ljuske se naj*e"će !rojektuju kao vi"etalasne# re6anjem jedne uz dru(u na na*in da

dve susedne imaju zajedni*ki ivi*ni element. od srednji ivi*ni elemenata ovo rezultira

!oni"tavanjem orizontalni !rojekcija mem%ranski sila 8 H . od srednji ljuski je# ovim#savijanje u !o!re*nom !ravcu zna*ajno redukovano# a u !odunom !ravcu ras!odela nor'

malni sila 8 I !ri%lino od(ovara onoj kod (redni elemenata. rajnje ljuske# !ak# zatevaju

sloeniji $momentni& !rora*unski tretman u o%a !ravca. :lternativa je dodatno ukrućenje

krajnji ljuski !o!re*nim dijafra(mama u cilju smanjenja !o!re*ni deformacija. a 0l. 841#

za jednoras!onsku ljusku# !rikazan je uticaj !o!re*no( ukrućenja na deformaciju ljuske.

0l. 841. Deformacija ljuske# o!terećene so!stvenom teinom# %ez i sa !o!re*nim ukrućenjem

E u !odunom !ravcu ljuske mo(u %iti !rojektovane kao vi"eras!onske.

0!ecifi*an na*in !rimene cilindri*ni ljuski# kod "ed krovova# !rikazan je na 0l. 849.

0l. 849. )rimena cilindri*ni ljuski kod "ed krovova

Eako je mem%ransko stanje na!rezanja karakteristika veće( dela !ovr"ine ljuske $%ar kad je o

o!terećenjima od so!stvene teine ili sne(a re* na s!oju ljuske sa dijafra(mama i ivi*nim

elementima ono je neminovno naru"eno i# na ovim mestima# javljaju se !oremećajni uticaji.

jiovo !rora*unsko odre6ivanje je mo(uće samo kori"ćenjem klasi*ne momentne teorijeljusaka ili# danas je to uo%i*ajena !raksa# !rimenom softvera %azirani na metodi kona*ni

elemenata.

0l. 843. =o(ući o%lici !o!re*no( !reseka ivi*ni elemenata


19/27


3Q9

Ljuske kod koji je odnos ras!ona l 1 !rema l 9 veći od 1 $redovno izme6u 3 i 4IIiI& nazivaju se

du(im. jiov rad u !odunom !ravcu je %lizak (rednom elementu ras!ona l 1 i !o!re*no(

!reseka koji formiraju ljuska i ivi*ni elementi. Fas!on du(i ljuski u !odunom !ravcu je

uo%i*ajeno izme6u 9@ i 3@m. 0trela svoda# f # zajedno sa visinom ivi*no( elementa# usvaja se

većom od desetine !oduno( i "estine !o!re*no( ras!ona. Evi*ni elementi $0l. 843[ date su

i uo%i*ajene dimenzije& mo(u %iti !rojektovani razli*iti o%lika# zavisno od intenziteta !oje'

dini uticaja# te !otre%e !rijema orizontalni iili vertikalni o!terećenja s ljuske.

Oslona*ke dijafra(me mo(u %iti !rojektovane kao !uni zidni nosa*i# re"etkasti# lu*ni $sa za'

te(om& ili okvirni. a 0l. 844 !rikazani su neki o%lici oslona*ki dijafra(mi i !o!re*ni !re'

seci ivi*ni elemenata vi"etalasni ljuski.

0l. 844.

Dijafra(me i ivi*ni elementi vi"etalasni ljuski

)ri%lini !rora*un du(i ljuski# za srednja

!olja vi"etalasni dis!ozicija# moe od(ova'

rati !rora*unu (redni elemenata *iji

!o!re*ni !resek formiraju !reseci ljuske i

ivi*ni elemenata. )oloaj neutralne linije

odre6uje se za !ret!ostavljeni omo(en

!resek. Dodatna a!roksimacija moe %iti

!ret!ostavka linearne ras!odele normalni

na!ona !o visini# kako je na 0l. 84; !rika'zano za !resek ljuske %ez ivi*ni elemenata.

od krajnji talasa# ili jednotalasni ljuski# krajevi !reseka se mo(u !omerati i orizontalno i

vertikalno# !a !retodna a!roksimacija ne moe %iti efikasno !rimenjena.

)resek du(i ljuski se dimenzioni"e !rema dija(ramu normalni na!ona \ I # (lavni kosi

na!ona !o vrednosti jednaki smi*ućim ] IH i na!ona od !oremećajni momenata savijanja.

Pateuće normalne na!one u celini !rivata armatura# *ija se !otre%na !ovr"ina odre6uje iz

rezultantne sile zatezanja. Pa kruni cilindar 0l. 84;# %iće/

( )0 02

sin xg

u g

g

r h Z r r y

y

σ α α

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − . ............................................................................. $8.;1&

0l. 84A. O!terećenje dijafra(me

IIiI Pa!ravo# od veće( je zna*aja odnos duine ljuske i radijusa# ali za uo%i*ajene Bdu%ineC ljuske moe

se !osmatrati i !rakti*niji odnos ras!ona.

0l. 84;. :!roksimacija ras!odele normalni i

smi*ući na!ona !o visini !reseka ljuske


20/27


3Q3

0mi*ući na!oni $na visini neutralne linije %rojno jednaki (lavnim kosim na!onima& se odre'

6uju iz (lo%alne smi*uće sile# D u # na !oznat na*in# usvajajući za "irinu !reseka dvostruku

de%ljinu ljuske $0 ? stati*ki moment !ovr"ine !reseka iznad tei"ta&/

2

u

x

T S

I hτ

⋅=

⋅ ⋅. ............................................................................................................................... $8.;9&

a dijafra(me se o!terećenje s ljuske !renosi !reko sila 0 I # koje tan(iraju srednju !ovr"

ljuske $0l. 84A a odre6uju se iz smi*ući na!ona u ljusci na osloncu. Uz ovo# dijafra(me

su# naravno# o!terećene i so!stvenom teinom.

)oduna zate(nuta armatura $8.;1& se# !o !ravilu# koncentri"e u dno ivi*no( elementa $na

maksimalnom kraku& i# na*elno# njena koli*ina o!ada od sredine ras!ona ka osloncima $0l.

847a&. Ljuska se armira mreom# u !odunom i !o!re*nom !ravcu# !o celoj !ovr"ini# a

ljuske de%ljine veće od Qcm se armiraju dvostruko. Uz ivi*ne elemente i uz dijafra(me#

!otre%a za armaturom se odre6uje i na osnovu intenziteta !oremećajni uticaja# kada je

ljuska o!terećena na savijanje sa aksijalnom silom. )relaz od ljuske !rema ivi*nom elementu

*esto $!ose%no u slu*aju vrlo tanki ljuski& tre%a !rojektovati kao zade%ljan $vuta&. a s!oju

sa ivi*nim elementom de%ljina ljuske je 9 do 9.; !uta veća od one u sredi"njem delu# a du'

ina !oste!eno( !ovećanja de%ljine je minimalno 1@ de%ljina ljuske $0l. 847%&.

0l. 847. :rmiranje !reseka ivi*no( elementa

ratke

ljuske su one sa !odunim ras!onom manjim od !o!re*no(. )oduni ras!oni su uo'

%i*ajeno u (ranicama izme6u ; i 19m# !o!re*ni idu i do 3@m# strela luka se usvaja većom od

sedmine !o!re*no( ras!ona# a de%ljine ljuski se usvajaju u (ranicama izme6u A i 19cm.

0l. 848. ratka !rizmati*na ljuska

Ovakve ljuske !rostorno !renose o!terećenje i a!roksimacije komentarisane kod du(i ljuskiovde ne mo(u %iti !rimenjene. Ljuska !reko smi*ući na!ona koji tan(iraju srednju !ovr"


21/27


3Q4

!renosi o!terećenje na dijafra(me $samo 4'; o!terećenja ljuske se na dijafra(me !renese

!reko !o!re*ni !oremećajni sila&.

)ri%lino# zate(nuta armatura u ivi*nim elementima moe se odrediti usvajanjem kraka unu'

tra"nji sila jednakim oko ;; visine celo( !reseka/

( ) ( )

2 2

2 1 2 118 2 0.55 9

u ua

v v v v

Z M q l l q l l A z f a f aσ σ σ σ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

. ................................................ $8.;3&

Ljuska se armira lakom mreom $na !rimer !re*nikom ^A na razmaku 19 ili 1;cm a mak'

simalni razmak ica ne sme %iti veći od dvostruke de%ljine niti od 9@cm. Eznad dijafra(mi i

na s!oju ljuske sa ivi*nim elementima !ostavlja se do!unska armatura za !rijem momenata

savijanja.

Dijafra(ma

kratki ljuski o!terećena je smi*ućim silama koje deluju tan(encijalno na srednju

!ovr" ljuske. U tom# !o!re*nom# !ravcu# ljuska je !ritiskujuće na!re(nuta# a za maksimalnu

silu !ritiska dovoljno je ta*no odrediti/

N q r φ = − ⋅ # ............................................................................................................................... $8.;4&

(de je _ uku!no o!terećenje# a r !olu!re*nik zakrivljenosti ljuske. Uku!na sila !ritiska za

krajnju i za srednju dijafra(mu $!oduni !ravac& iznosi/

1

1

2 N q r l= ⋅ ⋅ ⋅ #

1 N q r l= ⋅ ⋅ . ...................................................................................................... $8.;;&

ako ivi*ni elementi ne mo(u !rimiti !ritiskujuće sile !o!re*no( !ravca# 8 H # to se ove

!oste!eno smanjuju od maksimalne vrednosti u temenu do nule na ivicama. Pakon ove !ro'

mene se moe a!roksimirati kvadratnom !ara%olom $0l. 84Q&/

( ) 21 2 22 / x N q r l l x x l= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ . za krajnju# i ................................................................................. $8.;A&

( ) 21 2 24 / x N q r l l x x l= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ # za srednju dijafra(mu. ............................................................... $8.;7&

0l. 84Q. vadratna !ara%ola

0manjenje sile !ritiska u ljusci rezultira rastom tan(encijalni sila/

( )1 222

4 2 x x dN q r lT l xdx l

⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ − ⋅ . .............................................................................................. $8.;8&

Pa I Y @# za krajnju# odnosno srednju# dijafra(mu# %iće/

1

max

2

2 q r lT

l

⋅ ⋅ ⋅= # i 1max

2

4 q r lT

l

⋅ ⋅ ⋅= . ......................................................................................... $8.;Q&

Uz !ret!ostavku da se aksijalna sila smanjuje !o zakonu sinusa# rezultati za o!terećenje di'

jafra(me su sli*ni# za krajnju# odnosno za srednju# dijafra(mu/

1

max

22

q r lT

l

π ⋅ ⋅ ⋅=

⋅# i 1

max

2

q r lT

l

π ⋅ ⋅ ⋅= . ......................................................................................... $8.A@&


22/27


3Q;

8. .9. FOV2 L5U02 DVO52 P:FEVL52O0E

0ferne krovne ljuske se mo(u izvoditi i oja*ane re%rima u vidure%rasti ku!ola

. Fe%ra se

!ruaju u meridijalnim i !rstenastim ravnima i monolitno su vezana s tankom ljuskom. )ri

dnu ku!ole# re%ra se s!ajaju !omoću lei"no( !rstena# koji !rima razu!iruće sile meridijal'

ni re%ara. Westo se izvode od montani elemenata $0l. 8;1&.

0l. 8;@. Fe%raste ku!ole

0l. 8;1. =ontani element re%raste ku!ole i detalj s!oja re%rom

)rora*un re%rasti ku!ola je relativno kom!likovan već i za rotaciono simetri*no o!tereće'

nje# z%o( visoko( ste!ena stati*ke neodre6enosti.

)litke ljuske

nastaju translacijom izvodnice u o%liku !ara%ole# eli!se ili krunice !o dvema

vo6icama koje su tako6e u o%liku !ara%ole# eli!se ili krunice. =o(u se zamisliti kao ise*ak

ku!ole nad ne'krunom $!ravou(aonom# trou(aonom...& osnovom. )o!ut ostali ljuski s !o'

zitivnom +auss'ovom krivinom# odlikuju se velikom kruto"ću# a o!terećenje !renose u dvasmera. Otud# njiova !rimena je karakteristi*na za velike ras!one i !ovr"ine i u tom smislu

su u !rednosti nad !rizmati*nim $izme6u ostalo(# i manje de%ljine ljuske&. )litkima se nazi'

vaju one ljuske kod koji odnos strele !rema kraćem ras!onu nije veći od 1;.

0l. 8;9. )litke ljuske


23/27


3QA

=o(u %iti jednotalasne i vi"etalasne# kao i kratke i du(e. ratke ljuske u !odunom !ravcu

naj*e"će naleu na dijafra(me# a u !o!re*nom na ivi*ne elemente $0l. 8;9a&. rajevi ljuske#

uz s!oj sa oslona*kim elementima# se !oste!eno zade%ljavaju do de%ljine 9 do 9.; !uta ve'

će od one u sredi"njem delu# na "irini od !ri%lino !etnaestine do desetine od(ovarajuće(

ras!ona.

E eks!erimentalna is!itivanja !otvr6uju mem%ranski rad sredi"nje( dela ljuske ? sredi"nji

deo je izloen dvoosnom aksijalnom !ritisku# "to im!licira konstruktivno armiranje. )odune

zateuće sile# kao i momenti savijanja u !o!re*nom !ravcu# se javljaju u zoni ivi*ni eleme'

nata. 0mi*uće sile su koncentrisane u u(lovima ljuske i !rivataju se ivi*nim oja*anjima.

0l. 8;3. )omeranje i aksijalne sile I !litke ljuske o!terećene so!stvenom teinom

)litke ljuske se mo(u !rora*unavati samo !ri%lino !o teoriji ljuski# ali se danas us!e"no

!rora*unavaju !rimenom numeri*ki metoda $=2&. )ro%lemati*nost e(zaktno( !rora*un'

sko( tretmana !ose%no je izraena u as!ektu kontrole iz%o*avanja# z%o( *e(a ovde valja %iti

o!rezan i konzervativan.

Ljuska se armira u smeru (lavni na!ona zatezanja i mreom koja se !ostavlja !o celoj

!ovr"ini. Uz ivice# ljuska se o%avezno armira dvostruko.

onoidne ljuske

nastaju translacijom !rave izvodnice !o dvema vo6icama# od koji je !rva

!rava# a dru(a je kriva. ako kriva vo6ica moe %iti razli*iti o%lika# to je i velik %roj mo(uć'

nosti o%razovanja konoidni ljuski. Pa !okrivanje !ovr"ina naj!o(odnije su one konoidne

ljuske kojima je dru(a izvodnica mimoilazni !ravac $i!er%oli*ni !ara%oloid# 0l. 8;4a& ili

!ara%ola $konoid# 0l. 8;4%&.

0l. 8;4. )rimeri konoidni ljuski/ i!er%oli*ni !ara%oloid i konoid

0l. 8;;. onkavni i konveksni !ravac i!er%oli*no( !ara%oloida i !rave izvodnice


24/27


3Q7

i!er%oli*ni !ara%oloid je ljuska ne(ativne +auss'ove krivine $jedan !ravac je konveksan#

dru(i konkavan "to je *ini deforma%ilnom i zate(nutom u jednom !ravcu# ali se o!lata mo'

e formirati od !ravi dasaka# "to zna*ajno !ojednostavljuje izvo6enje $0l. 8;;&.

=oe %iti oslonjen na samo dva stu%a. :ko stu%ovi !odu!iru nie u(love# !otre%no je izme'

6u stu%ova !rojektovati zate(u $0l. 8;A%&. :ko su !odu!rti vi"i u(lovi# !oeljno je !rojekto'vati razu!ira*# kako je !okazano na 0l. 8;Aa.

0l. 8;A.

i!er%oli*ni !ara%oloid oslonjen na dva stu%arovnu konstrukciju je mo(uće formirati i kom%inovanjem vi"e i!er%oli*ni !ara%oloida $0l.

8;7&.

0l. 8;7.

om%inovani krovovi od i!er%oli*ni !ara%oloida

0l. 8;8. )rora*unski model i!er%oli*no( !ara%oloida

Vertikalno o!terećen $ravnomerno !o osnovi& i!er%oli*ni !ara%oloid se moe jednostavno!rora*unati !o mem%ranskoj teoriji $dru(i izvod !o I i J osi je jednak nuli&. 5edna*ina sred'

nje !ovr"i je $0l. 8;8&/ z C x y= ⋅ ⋅ ................................................................................................................................. $8.A1&

0mi*uće sile u !resecima !aralelnim s ivicama se odre6uju !rema/

( ) ( )2 2 xy N Z C G C = ⋅ = ⋅ # za Z G= # .................................................................................... $8.A9&

a normalne sile# ondo (lavne normalne sile $u dija(onalnim !resecima& su/

0 x y N N = = # 1 2 xy N N N = − = . ................................................................................................. $8.A3&

a ivicama ljuske smi*uće sile moraju !reuzeti ivi*ni elementi ili dijafra(me.


25/27


3Q8

i!er%oli*ni !ara%oloidi su z%o( svoje stati*ke i konstrukcijske jednostavnosti# te z%o( vi'

zuelno( efekta# vrlo !rivla*ne za !rimenu. =e6utim# valja %iti o!rezan kad su njiove mane

u !itanju $ne(ativna +auss'ova krivina *ini ove ljuske vrlo osetljivim na !romenljiva lokalna i

na koncentrisana o!terećenja# kao i na !romenne o%lika usled# na !rimer# izduenja zate(e&.

:rmiraju se orto(onalnom mreom u jednom ili dva reda# a izme6u nji se !ostavlja kosaarmatura za !rivat smi*ući sila.

0l. 8;Q. Ese*ak konoidne ljuske kao "ed'krov

onoid je racionalna ljuska !reteno na!rezana mem%ranskim uticajima# a !o(odna za "ed

krovne konstrukcije $0l. 8;Q&. U donjem delu konoida se javljaju zateuće sile i !otre%a zazate(nutom armaturom. :rmatura se !ostavlja u dva reda u !odru*ju !ritiska# a u zate(nu'

toj zoni se moe armirati jednostrukom mreom. Ezme6u dva sloja armature# u u(lovima

!lo*e tre%a !ostaviti kosu armaturu za !rivatanje (lavni kosi na!ona zatezanja.

8. . . )OLE2D:F02 FOV2 O0FUGE52

)oliedarske !ovr"i se formiraju od tanki ravni !lo*a monolitno vezani !od izvesnim

u(lom na na*in da formiraju noseću strukturu. 0vaka ivica je oslonac dveju susedni !lo*a.

Pavisno od o%lika !ojedini !lo*a $!ravou(aone# tra!ezne# trou(aone& razlikujemo !rizma'

ti*ne ili !iramidalne !oliedarske konstrukcije. )lo*e !oliedara su u(lavnom na!re(nute u

so!stvenim ravnima# ali neizostavno i momentima savijanja i smi*ućim silama na ivicama/

z%o( monolitne veze izme6u noseći !ovr"ina# !odune deformacije u !ravcu !ruanja ivice

moraju %iti jednake# a time i normalni na!oni# z%o( *e(a !o se ivici javljaju smi*uće sile.

)rora*un uticaja u !resecima !ovr"i je danas !odrazumevan kao rezultat !rimene metode

kona*ni elemenata.

0l. 8A@. eke mo(ućnosti o%likovanja !oliedarski krovni konstrukcija

Fas!oni !oliedarski krovni konstrukcija uo%i*ajeno dostiu ras!one reda 9@ do 3@m# a

kao !redna!re(nute ? i znatno veće $do A@m&. a%ori se !ostavljaju u !o!re*nim !ravcima i


26/27


3QQ

oslanjaju se na dijafra(me krute u svojoj ravni $0l. 8A@&. P%o( jednostavnije( izvo6enja

$jednostavnija o!lata& mo(u %iti u zna*ajnoj !rednosti u odnosu na cilindri*ne ljuske $u!rkos

manjoj ekonomi*nosti !o !itanju utro"ka materijala&.

ìrina jedno( !oliedarsko( elementa uo%i*ajeno ne !relazi 3.@ do 3.;m i !rojektuju se de%'

ljine# uo%i*ajeno# ; do Qcm. Visina krovne konstrukcije je u intervalu izme6u dvadesetine idesetine ras!ona. Westo se izvode od montani elemenata# a neki od *e"će kori"ćeni o%li'

ka !o!re*ni !reseka su !rikazani na 0l. 8A1. =o(u %iti jednoras!onske ili vi"eras!onske# a

"irina talasa# l 9 # je uo%i*ajeno izme6u 1@ i 19m.

0l. 8A1. Westo kori"ćeni !reseci montani elemenata !oliedarski krovova

)ri%lini !rora*un !rizmati*ni !oliedarski konstrukcija moe %iti s!roveden analo(no ci'

lindri*nim $0l. 8A9&.

0l. 8A9. )rora*unski model ? !ri%lini !rora*un

eki !rimeri sloeniji !oliedarski krovova# formirani od trou(aoni !lo*a su !rikazani na

0l. 8A3.

0l. 8A3. 0loeni !oliedarski krovovi formirani od trou(aoni !lo*a

àtoraste konstrukcije su !oliedarske konstrukcije formirane od monolitno vezani tra'

!ezni i trou(aoni !lo*a okrenuti vrom na(ore# naj*e"će oslonjene u u(lovima na stu%o've $0l. 8A4&.

0l. 8A4. àtorasti krovovi

P%o( konveksno( o%lika# mo(u %iti racionalne i za %la(e na(i%e# a !ri tome minimalno armi'

rane. 0trele "atora su uo%i*ajeno u ras!onima L19 do L8.


27/27


a 0l. 8A;a !rikazan je karakteristi*an detalj armiranja u !o!re*nom !reseku na%ora. )lo*e

se armiraju (lavnom armaturom za !rijem savijanja u !ravcu ras!ona sloene ljuske $ta*ka'

sto !rikazana armatura u ivi*noj zoni te !o!re*nom armaturom koja# na*elno# o%ez%e6uje

!o!re*ni !renos o!terećenja sa !lo*a na ivi*ne elemente $ivice&. U %lizini ivice i dijafra(me

!lo*e se armiraju u dva reda radi !rivatanja ne(ativni momenata savijanja. Dodatno# na

s!oju !lo*e i dijafra(me se !ostavlja armatura za !rijem smi*ući sila $0l. 8A;%&.

0l. 8A;. eki detalji armiranja !oliedarski krovova

Pa maksimalne do!u"tene razmake "i!ki armature# te za minimalne !rocente armiranja# vae

iste odred%e kao i za !une !lo*e.

01 ljuske - draft

Documents