1

Tankostjene krovne konstrukcije, ljuske dvojne zakrivljenosti i plitke ljuske, šatoraste ljuske i složenice

Betonske konstrukcije III13.12.2010.

Prof.dr.sc. Zorislav Sorić, dipl. ing. građ. Doc.dr.sc. Tomislav Kišiček, dipl. ing. građ.

Sadržaj:1. Kako nose konstrukcije oblikom?2. Tipovi betonskih krovnih konstrukcija koje

nose oblikom2.1 Rebraste tankostjene konstrukcije2.2 Bačvaste ljuske2.3 Čunjasti krovovi2.4 Ljuske dvojne zakrivljenosti2.5 Šatori2.6 Složenice

1. Kako nose konstrukcije oblikom?

2

3

2. Tipovi tankostjenih betonskih krovnih konstrukcija

2.1 Rebraste tankostjenekonstrukcije

Kosi roštilj

Strop s opekarskom ispunom

Klasičan roštilj

4

Gatti-Wollspinnerei und - weberei, Rome, by Nervi 1951-53

Strop skladišta u Bologni, Projektant: Nervi, 1955.

Palazzetto dello Sport, Rim, Nervi 1956/57

5

Salone delle Feste, Chianciano, Nervi 1952 2.2 Bačvaste ljuske (cilindrične ljuske)

• Nastaju translacijom pravčaste izvodnice po dvjema jednakim vodilicama oblika elipse, parabole, kružnice, cikolide ili čak lančanice;

• Prostorno djelovanje smanjuje im nužnu težinu;

• Da bi sačuvale oblik završavaju dijafragmom;

Bačvasteljuske Bačvaste ljuske

6

• duge (l1/l2>1, kreće se od 3 do 4)

• strelica f ≥ l1/10 > l2/6

• kratke (l1/l2<1)

• strelica f ≥ l2/7

Tipovi bačvastih ljuski

a) Pogled na ljusku

b) Sile na element ljuske;

c) Presjeci.

Duga bačvasta ljuska

l1/l2 > 1

Duge bačvaste ljuske• Raspon ljuske, l1 = razmak između poprečnih

dijafragmi kreće se od 20 do 30 m

• Duljina vala ljuske = razmak između rubnih elemenata l2 l2,max = 20 m

• Kod dugih ljuski: l1/l2 > 1 kreće se od 3 do 4

• Debljina ljuske: od 6 do 10 cm

Tipovi dugih bačvastih ljuski• Jednorasponske - oslonjene na dvije dijafragme• Višerasponske - oslonjene na više od dvije

dijafragme• Jednovalne - s dva rubna elementa• Viševalne od više paralelnih ljuski monolitno

spojenih• Glatke• Rebraste ako je l2 > 12 m – na razmaku 2-3 m, visina rebara min.

l2/25; primjenjuju se ako na ljusku djeluju veći poprečni momenti savijanja (veća opt. i jednovalne ljuske većih pop. raspona)

7

Približni proračun bačvastih ljuski• Srednji valovi ljusaka se mogu računati kao grede cilindričnog presjeka.

Krajnji valovi ili jednovalna ljuska - drukčiji rubni uvjeti. • Njihovi se krajevi mogu pomicati horizontalno i vertikalno, pa nije primjenjiv

približni pojednostavljeni proračun Proračun po klasičnoj teoriji ljusaka ili metodom konačnih elemenata.

• Presjek dugih ljusaka se dimenzionira prema dijagramu normalnih naprezanja, glavnih kosih naprezanja koja su po vrijednosti u neutralnoj osi jednaki posmičnim naprezanjima i naprezanjima od poremećajnih momenata savijanja.

Oblici rubnih elemenata bačvaste ljuske

• Rubni elementi – mogu se oslanjati na zidove (smanjuju se uzdužna naprezanja, ali se povećavaju poprečni momenti savijanja –kompliciraniji proračun) ili stupove (povoljnije za proračun)

Dijafragme bačvastih ljusaka

a) Puni nosač konstantne visine

b) Rešetkasti nosač

c) Luk sa zategom

Armiranje bačvastih ljusaka• Glavnu vlačnu armaturu razmjestiti u rubni element

• Ljuska se armira mrežom po cijeloj površini, a za debljine veće od 9 cm i dvostrukom mrežom

• Izračunati poremećajne momente uz rubne elemente pa i uz dijafragme

• Dimenzionira se kao ploča ekscentrično opterećena uzdužnom silom vlaka ili tlaka

• Glavna kosa vlačna naprezanja prihvaćaju se mrežastom armaturom koja odgovara sponama običnih greda

• Pri znatnim kosim vlačnim naprezanjima postavljaju se kose šipke u smjeru gl.vl.naprezanja.

8

Dijafragma i rubni element

a) Shema djelovanja sila na dijafragmu

b) Armatura rubnog elementa

Cilindrične ljuske - armiranje

Kratke bačvaste ljuske• l1/l2 < 1

• Raspon: od 5 do 12 m

• Duljina vala: do 30m

• Debljina ljuske: 6 do 12cm

• Strelica f ≥ l2/7

2.3 Čunjasti krovovi

9

Shema djelovanja sila rotaciono simetričnog krova

Čunjasti krovovi:

• Krovišta za spremnike i silose

• Lijevci spremnika i silosa

Ove ljuske nastaju rotacijom pravčasteizvodnice

Vodilica je kružnica

α⋅

=⋅−=ϑ sinaprpn r

r α⋅⋅π⋅−=

sina2Fn z

x 'paF 2z ⋅π⋅=

Sile na spoju ljuske i prstena

Za betone C25/30 debljina ljuske: dmin = 6 cm

Za neporemećeno membransko stanje – rub čunja mora biti oslonjen slobodno pomično na srednju ravninu !

Armiranje čunjastih krovova:• Ljuske se armiraju u smjeru izvodnice i po koncentriranim

krugovima.

• Broj šipaka koje idu po izvodnici, po jedinici prstena, s približavanjem rubu se postepeno smanjuje, što valja nadoknaditi sve kraćim međušipkama.

• Kad je ljuska deblja od 8 cm armatura se polaže u dva sloja.

• Uz prsten se ljuska dimenzionira na ekscentrični tlak u smjeru izvodnice.

2.4 Ljuske dvojne zakrivljenosti

• Kupole

• Plitke ljuske

• Konoidne ljuske

10

• Kupole

Glatka kupola

Proračun kupola• MKE - element ljuska (shell element)

• Membranska teorija – bez momenata savijanja i poprečnih sila

• Meridijalne sile nϕ = σ1 · d

• Prstenaste sile nϑ = σ2 · d (vodoravne)

rprn

rn

−=+21

ϕϑ

Osnovna jednadžba ravnoteže:

Model sferne ljuske

Stanje naprezanja u kupoliOd vertikalnog opterećenja u smjeru meridijana pojavljuje se tlak, kao i u smjeru prstena dok je nagib malen.

Kad kupola postaje nagnutija, prstenasta sila počevši od “prijelomne spojnice”, postaje vlačna

Problem rubnih poremećaja

Vodoravna komponenta meridijalnesile se prihvaća prstenom – armatura prstena

REBRASTE KUPOLE

Meridijalna rebra

Prstenasta rebra

Ležišni prsten

Proračun: MKE – grede sa svih 6 stupnjeva slobode

Izvedbe:

Monolitne, montažne, polumontažne

11

Usporedni prikaz kupola:

A – Panteon

B – Sv. Sofija

C – Sv. Petar

D – Jarhunderthalle -Bratislava

E – Sajamska glavna hala – Leipzig

Usporedba krutosti najčuvenijih kupola s ljuskom jajeta

Pantheon

Panteon

12

Rim, Italija

•Architekti: DonatoBramante, projekt crkve, 1505 to 1506, Antonio del Pollaiulo, Michelangelo Buonarotti kupola, ...1546...., Antonio da Sangallo mlađi, Raffaello Sanzio, DomenicoFontana, Carlo Maderno, FraGiocondo Verona, FilippoBarigioni, Gian Lorenzo Bernini, Francesco Borromini, Carlo Fontana,

•Vanjski promjer: 1778 m

•Duljina: 186.35 m

•Širina: 97.50 m

•Visina glavnog vala: 40 m

•Visina kupole: 132.50 m

•Najveća svjetska crkva21,477 m2

Sv. Petar - Vatikan • Plitke ljuske• Nastaju translacijom izvodnice u obliku parabole, kružnice ili

elipse po dvjema vodilicama koje također imaju oblik parabole, kružnice ili elipse.

• Mogu se zamisliti kao isječak kupole nad trokutnim ili pravokutnim tlocrtom. Imaju veliku krutost - pozitivna Gaussova zakrivljenost.

• Opterećenje se prenosi u dva smjera smanjuju se normalna naprezanja prekrivaju se veće površine nego bačvastim ljuskama

• Plitke ljuske odnos strelice“f“ prema kraćoj stranici raspona nije veći od 1/5 jednovalne i viševalne - kratke i duge.

• Kratka ljuska u uzdužnom smjeru naliježe na dijafragmu, a u poprečnom se izvode rubni elementi.

• Krajevi ljuske se još zadebljaju od 2 do 2.5 puta debljine ljuske na širini od 1/10 do 1/15 odgovarajuće veličine otvora. Zadebljanje se postepeno smanjuje od ruba.

• Srednje područje plitke ljuske je opterećeno na aksijalni tlak i armira se konstruktivno.

• Uzdužne vlačne sile su koncentrirane u rubnim elementima

• Poprečni momenti savijanja momentna teorija. • Posmične sile su koncentrirane u kutovima ljuske

rubna ojačanja.• Približni proračun po teoriji ljusaka – velike teškoće

danas numeričke metode - metoda konačnih elemenata

• Plitke ljuske

• Proračun sigurnosti ljuske od izbočenja kao cjelinenipošto se ne može obaviti egzaktno, pa se provjera svodi na kontrolu sigurnosti pojedinih elemenata na izvijanje.

• Pri dvoosnom tlačnom naprezanju sigurnost od izbočenja manja nego kad u jednom pravcu djeluje tlak, a u drugom vlak.

• Ljuska se mora armirati u smjeru glavnih vlačnih naprezanja i mrežom koja se postavlja po cijeloj površini.

• Uz rubove gdje se pojavljuju momenti savijanja ljuska se armira u dva reda između kojih se može postaviti armatura za preuzimanje posmičnih naprezanja, odnosno glavnih kosih naprezanja.

• Plitke ljuske

13

Kupola Ehima Public Hall, Macujama, Japan

Projekt: K. Tange, T. Tsuboi – Tokyo

Dimenzije: D = 49,35 m; H = 7,0 m; d = 0,08 m

Konstrukcija: Plitka sferna ljuska u nagnutom položaju. Obodni prsten leži na 20 stupova

Izrada: Monolitni beton, drvena oplata, skele od čeličnih cijevi

Opera u Sidneyu

Centre National des Industries (CNIT), Paris

14

Kresge Auditorium, MIT campus, Eero Saarinen, 1954.Kupolasti krov, AB ljuska, poduprta u tri točke

• Konoidne ljuskeTranslacijom pravčaste izvodnice po dvjema vodilicama, od kojih je jedna pravac, a druga krivulja i paralelna je sa zadanom ravninom – nastaje konoidna ljuska. Hiperbolični paraboloid -dva su središta zakrivljenosti - na suprotnim stranama površine ljuske negativnom Gaussova zakrivljenost. Oplata sastoji od ravnih dasaka uz relativno jednostavnu armaturu.

Hiperbolični paraboloid

Konoid

Konoid – ekonomična ljuska pretežito naprezana membranskim silama. Važno je armirati donji dio konoida- pojava vlačnih naprezanjaArmatura konoida u dva reda u području vlaka, a u području tlačnih naprezanja jednostruka mreža U području kutova, između dva sloja armature kosa armaturu za prihvaćanje glavnih kosih naprezanja.

• Konoidne ljuske

Uporaba konoidnih ljusaka

• Konoidne ljuske

15

Hipar oslonjen na dva stupa

• Konoidne ljuske

Armatura – Hipar – oslonjen na dva stupa (niži krajevi)

• Konoidne ljuske

2.5 Šatori

16

Šatorske krovne konstrukcije:

Naborane konstrukcije sastavljene od monolitno vezanih trokutnih i trapeznih ploča okrenutih vrhom prema gore, a oslonjenih kutovima donje osnovice na stupove.

Krov od šatora u obliku zarubljenih piramida oslonjen izravno na stupove

U kutovima su vuteširine jednake debljini stupa. Stupovi su tlocrtno zaokrenuti pod kutom od 45°.

Najveća širina kosih stranica (pobočki) šatora kreće se od 3,0 do 3,5 m. Strelica šatora je od f = l/8 do l/12

Proračun šatora

• Šator se proračunava po približnoj metodi u dvije faze:• - proračun pobočaka na lokalno opterećenje,• - proračun šatora kao cjeline• Proračun pobočaka na lokalno opterećenje - momenti savijanja i

normalne sila. Stranice kao ploče nosive u dva smjera - ležajevi su bridovi šatora.

• Reakcije pobočaka – rastavljaju se u horizontalne sile u susjedne pobočke i sile u bridovima.

• Armiranje pobočaka - kao za ploče nosive u dva smjera opterećene ekscentričnim tlakom.

• Proračun šatora kao cjeline - dimenzioniranje glavne vlačne armature koju treba postaviti u donji rub stranica.

• Proračun u oba pravca, kao za grede na dva ležaja, s uzimanjem ukupnog opterećenja za svaki pravac.

• Tretiranje šatora kao grede na dva ležaja se opravdava njegovom malom krutošću u području ležaja.

2.6 Složenice

17

Tipovi složenica

a) Jednovalna složenica trapeznog presjeka

b) Viševalna složenica trapeznog presjeka

c) Viševalna složenica trokutnog presjeka

Složenice - općenito

• Složenice - sustav tankih ravnih ploča monolitno vezanih pod izvjesnim kutom - uglavnom nose kao nosači, svaka u svojoj ravnini.• Svaki brid - ležaj dviju susjednih ploča - zbog svoje poprečne krutosti prenose opterećenje na rebro - koje se razlaže u smjeru ravnina ploča. • Ploče se proračunavaju na savijanje u ravnini svoje veće krutosti kao obični nosači, uzimajući u obzir kontinuitet ili uklještenje. • Zbog monolitne veze između nosećih ploha, podužnedeformacije dviju susjednih ploha u pravcu pružanja brida u bilo kojoj točki moraju biti jednake, pa time i normalna naprezanja, zbog čega u bridu nastaju posmične sile svaka pojedina ploča tog sustava se nalazi pod djelovanjem momenata savijanja u svojoj ravnini i posmičnih sila na rubovima.

Složenice - općenito• Rasponi do 20 m i više. • Nabori se postavljaju u poprečnom pravcu prostorije koja se prekriva i oslanjaju

se na dijafragme krute u svojoj ravnini.• Jednostavne za izvedbu, manje ekonomične od bačvastih ljusaka zbog

momenata savijanja u poprečnom pravcu.• Ekonomična širina ploče od 3 do 3,5 m. • Debljine ploče ne bi smjele biti veće od 10 cm. • Složenice mogu biti jednorasponske i višerasponske. Širina vala se kreće od 10

do 12 m. Visina nabora ne bi smjela biti manja od 0,1 l1 (l1 je raspon složenice).

Plača UNESCO-a u Parizu

18

Proračun složenica• Približni proračun – složenice s krutim pločama• Tehnička teorija – zglobni sustav• Fleksijska teorija

Približni proračun – složenice s krutim pločama

Tehnička teorija – zglobni sustav

Proračun u uzdužnom smjeru

Tehnička teorija – zglobni sustav

Proračun u poprečnom smjeru

19

Složenice - dijafragme

• Dijafragme - u obliku zidnog nosača, rešetkastog nosača i okvira sa zategom ili bez nje. Bolji su okviri sa zategom jer su krući, što je od značenja za složenicu.

• Jedan dio opterećenja se predaje dijafragmama fleksijskim putem, što izaziva momente savijanja u ploči. Zbog toga se ploče u blizini dijafragma armiraju u dva sloja radi preuzimanja momenata koji se proračunom po tehničkoj teoriji ne mogu obuhvatiti.

• Na krajevima ploča (uz dijafragme), gdje su najveće poprečne sile, valja kontrolirati glavna kosa naprezanja, pa nastanu li prekoračenja nosivosti betona, potrebno je proračunati armaturu koja se postavlja u obliku mreže ili kosih spona, ili kosih šipaka i spona.

Složenice - armiranje

Ploče se armiraju glavnom armaturom za preuzimanje vlačnih naprezanja uzdužraspona složenice i poprečnom armaturom dobivenom proračunom ploča oslonjenih na bridove. Okomito na poprečnu armaturu se polaže razdjelna armatura, pa se dobiva kruta mreža. U blizini brida i dijafragmi ploče se armiraju u dva reda radi preuzimanja negativnih momenata savijanja. Za maksimalne i minimalne profile i razmake žica vrijede isti propisi kao i za ploče.

Složenice - armiranje