predavanja brujic ljuske

Download predavanja brujic ljuske

Post on 19-Jan-2016

152 views

Category:

Documents

10 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

ljuske

TRANSCRIPT

  • 273

    10. ARMIRANOBETONSKE LJUSKE

    10.1.10.1.10.1.10.1. UVODUVODUVODUVOD

    Ljuske su nosee konstrukcije formirane od zakrivljenih povri, koje prihvataju

    optereenje primarno silama u ravni (ravnomerno raspodeljenim po debljini ljuske),

    ali i savijanjem, posebno u zoni oslanjanja i veze sa drugim elementima. Pogodnim

    izborom geometrije, sa malim debljinama, ljuske mogu biti izuzetno racionalni ele-

    menti kad je o utorku materijala re.

    U optem sluaju, ljuske mogu biti razliitih oblika povri koje karakterie Gauss-

    ova mera krivine, proizvod krivina glavnih pravaca ( i ):

    1K

    r r

    = =

    , .......................................................................... (10.1)

    gde su r i r poluprenici krivina. Prema znaku krivine, razlikuju se (Sl. 323):

    Eliptine povri imaju pozitivnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri oba polu-

    prenika glavnih krivina su sa iste strane povri. Ove ljuske ne mogu menjati

    svoj oblik bez istezanja srednje povri, zbog ega su vrlo krute.

    Hiperbolike povri imaju negativnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri

    poluprenika glavnih krivina su na razliitim stranama povri. Karakteriu se

    pravim izvodnicama.

    Paraboline povri imaju nultu Gauss-ovu krivinu. Jedan od poluprenika gla-

    vne krivine im je beskonano velik.

    Sl. 323. Povrine razliite Gauss-ove krivine

    Kada je debljina ljuske (h) mala u poreenju sa poluprenikom krivine (r), ljuska se

    smatra tankom, a statiki tretman ovih elemenata moe biti baziran na teoriji tankih

    ljuski. Naelno, ljuska se smatra tankom ukoliko je zadovoljeno:

    120

    hr

    . ........................................................................................... (10.2)

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    274

    Osnovne pretpostavke tehnike teorije tankih ljuski su:

    Smatra se da prava vlakna upravna na srednju povr ljuske ostaju prava i

    upravna na deformisanu srednju povr, ne menjajui svoju duinu.

    Normalni naponi u pravcu normale na srednju povr su zanemarljivi u odnosu

    na ostale komponentalne napone.

    Analizu sila u preseku ljuske je pogodno sprovesti na delu povri ogranienom lini-

    jama glavnih pravaca (koordinatnim linijama). Glavni pravci su odreeni maksimal-

    nim i minimalnim poluprenicima krivine. U optem sluaju, postoji deset sila u pre-

    senim povrima ljuske: normalne sile N i N, smiue sile N i N, transverzalne

    sile Q i Q, momenti savijanja M i M i momenti torzije M i M (Sl. 324). Ovih

    deset veliina, naelno, nije mogue odrediti samo iz uslova ravnotee (problem nije

    statiki odreen), nego se moraju postaviti i dopunske veze izmeu napona, defor-

    macija i pomeranja ljuske.

    Sl. 324. Sile u presenim povrinama ljuske, opti sluaj

    Opti problem je, pod odreenim uslovima, mogue dekomponovati na nezavisne

    sluajeve membranskog i fleksionog naprezanja ljuske.

    Pretpostavljajui elastino ponaanje ljuski (Hooke-ova hipoteza), ljuska se moe

    analizirati na nain koji podrazumeva njeno naprezanje samo u srednjoj povri,

    poput membrane koja ne prua nikakav otpor savijanju. Od presenih sila, javljaju

    se samo normalne sile N i N, smiue sile N i N, a ova vrsta naprezanja se nazi-

    va membransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskiiii, dok je odgovarajua teorija prorauna - mem-

    branska teorija (Sl. 325a). Membransko stanje naprezanja se moe analizirati i kod

    ljuski konane debljine pod sledeim uslovima:

    Granini uslovi oslanjanja moraju biti takvi da reaktivne sile napreu ljusku

    samo u njenoj srednjoj povri. Ovim, mogu biti spreena samo pomeranja u

    pravcu tangente na meridijalnu ivicu na kojoj se ljuska oslanja (Sl. 325b).

    Debljina ljuske mora biti dovoljno mala da se lan z/r u izrazima datim na Sl.

    324 moe zanemariti u odnosu na jedinicu. Ovim i raspodela normalnih i

    smiuih napona po visini h preseka postaje konstantna:

    N h = , N h = , N N h = = . ...................................... (10.3)

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    275

    Srednja povr mora biti glatka i ne sme biti naglih promena u debljini ljuske.

    Optereenje mora biti kontinualno raspodeljeno, bez skokova ili koncentrisa-

    nih dejstava.

    Sl. 325. Membranske sile i membranski uslovi oslanjanja

    Sada, kada je broj nepoznatih veliina samo tri, (10.3), ove se mogu odrediti samo iz

    uslova ravnotee.

    Konturni uslovi ljuske su najee takvi da ne dozvoljavaju slobodnu membransku

    deformaciju kraja ljuske su po konturi obino kruto vezane (elastino ukljetene)

    za druge elemente (ljuske, ploe, prstenaste grede...). Ovim i membranski uslovi

    rada na krajevima ljuske ne mogu biti ostvareni, nego su poremeeni fleksionim

    silama. Osim konturnih uslova, do pojave momenata savijanja dovode i nagle pro-

    mene debljine ljuske, koncentrisana optereenja, skokovi u kontinualno promenlji-

    vom optereenju ili koncentrisana optereenja.

    Sl. 326. Fleksione sile

    Pored membranskih, u presenim ravnima ljuske javljaju se momenti savijanja i tor-

    zije, te transverzalne sile (Sl. 326). Teorija ljuski kojom se analiziraju naponi i

    deformacije ljuski ukljuujui i dejstvo momenata savijanja i transverzalnih sila

    naziva se fleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuski.

    Nije ni potrebno posebno naglaavati da je danas uobiajen proraun uticaja u ljus-

    kastim elementima primenom softvera za strukturalnu analizu baziranom na prime-

    ni metode konanih elemenata. Modeliranje ljuske proizvoljne geometrije kao polie-

    darske povrine formirane od povrinskih konanih elemenata, mogunost aplicira-

    nja proizvoljnog optereenja, mogunost uticaja na tanost rezultata gustinom mre-

    e, mogunost proraunskog obuhvatanja realnih konturnih uslova... su samo neke

    od nespornih prednosti ovog naina prorauna. Ipak, sa stanovita inenjerskog

    razumevanja problema, klasini pristup proraunu je od nemerljivog znaaja i dalje.

  • Betonske konstrukcije radna verzija - 2. decembar 2010

    276

    10.2.10.2.10.2.10.2. ROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKE

    Rotacione (rotaciono-simetrine) ljuske su one ija je srednja povr rotaciona povr

    nastala obrtanjem ravanske krive linije oko jedne prave, ose obrtanja (Sl. 327).

    Koordinatne linije ovako formiranih ljuski su meridijalne krive i paralelni krugovi. U

    ravni meridijalnih krivih meri se ugao , a u ravni krunica ugao . Poluprenici gla-

    vnih krivina su r i r64.

    Sl. 327. Rotaciona ljuska

    Pretpostavljajui membrmembrmembrmembranski radanski radanski radanski rad, na elementarnom delu povrine rotacione ljuske

    optereenom komponentama povrinskog optereenja u pravcima tangente na glav-

    ne pravce, te normale na srednju povr (px, py, pz), dolazi se do tri uslova ravnotee

    (Sl. 328): dva po sumi sila u pravcu tangenti i jedan po sumi sila upravnih na srednju

    povr. Pretpostavljajui, dodatno, i rotacionorotacionorotacionorotaciono----simetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenja,

    kada je px jednako nuli, svi uticaji postaju samo funkcije jednog parametra ugla :

    Sl. 328. Membransko stanje rotacionih ljuski

    ( )/zN r p N r = + , 0N = , ........................................................ (10.4) ( )sin cos / ( sin )y zN r r p p d C r = + + , ...................... (10.5) gde je sa r obeleen poluprenik krunice (paralele), a integraciona konstanta C se

    odreuje iz konturnih uslova.

    64 Primetiti da r nije poluprenik krunice (paralele).

  • 10. Armiranobetonske ljuske

    277

    Pod dejstvom rotaciono-simetrinog optereenja ljuska se deformie i take ljuske

    dobijaju odgovarajua pomeranja u pravcu tangente na meridijalnu krivu, v, i u pra-

    vcu normale na povr, w. Koristei se vezama izmeu napona i deformacija (), iz

    teorije tankih ljuski je poznato:

    ( )1 N NE h

    =

    , ( )1 N NE h

    =

    . ................................. (10.6)

    Nakon uvoenja veza izmeu deformacija i pomeranja, mogu se karakteristina

    pomeranja izduenje poluprenika paralele, r, i promena ugla tangente na meri-

    dijalnu krivu, nai kao:

    ( )rr r N NE h

    = =

    ............................................................ (10.7)

    ( ) ( )cot 1r rdN N N N N NE h r r d E h

    =

    . ..... (10.8)

    Analiza fleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanja ljuske, makar i rotacione, je znatno sloenije od

    membranskog. Za sluaj rotaciono-simetrinog optereenja polovina presenih sila

    je identiki jednaka nuli:

    0N N = = , 0M M = = , 0Q = . ............................................... (10.9)

    Sl. 329. Fleksiono stanje rotacionih ljuski, rotaciono-simetrino optereenih

    Za preostalih pet sila mogu se postaviti uslovi ravnotee na elementu povrine (Sl.

    329). Suma sila u pravcu tangente na meridijalnu krivu, u pravcu normale na povr,

    te suma momenata, respektivno, daju:

    ( ) cos 0yd r N r N r Q p r rd + = , ................................. (10.10) ( )sin 0zdr N r N r Q p r rd + + + = , i ................................ (10.11) ( ) cos 0d r M r M r r Q

    d

    = . .......................................... (10.12)

    Veze i