formule ploce i ljuske

SAVIJANJE KRUZNE CILINDRICNE LJUSKE PRI ROTACIONO SIMETRICNOM OPTERECENJU -uslovi ravnoteze-

0)2(

0)1(

=++

=-

ZdxdT

aN

TxdMj K

Zwdx

wdDJ =+ 444

4: b

-deformacija-

dxduz

dxwdxz +-= 2

2

e imamo sile:jjjj

jjMNTxN

MNTxMx===

,,,

awz -=ej

dxdMxTx

awEhN

dxwdKMx

=

-=-= j;22

)sin4cos3()sin2cos1(0 xCxCexCxCeww

xx bbbb bb ++++= - -duga cilindricna ljuska-(l>=5)

( )[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

EhaxZw

xxToxMoeKdx

wd

xToxxMoeKdx

wd

xxToxMoeKdx

dw

xMoxMoToeK

ww

ha

x

x

x

x

a

2

0

3

3

2

2

2

30

42

2

)(

)sin(cossin21

sin)sin(cos1

)sin(coscos22

1

sincos2

1

)1(3

-=

--=

++-=

++=

-+-=

-=

-

-

-

-

bbbb

bbbbb

bbbbb

bbbb

ub

b

b

b

b

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com

SAVIJANJE KRUZNIH PLOCA -rotaciono simetricno opterecenje i granicni uslovi: DJ:

KrZ

drdw

rdrwd

rdrwd

rdrwd )(112

32

2

23

3

4

4

=+-+

w=wo+w1 w1=A+Blnr+Cr2+Dr2lnr w1=C1+C2ln+C32+C42ln (=r/a)

( )

( ) 44

000

0

64

int1

rKaZ

wconstZrZ

egralnipartikulardrrMrdr

Kw

drrrZrdrM

===

--=

-=

SILE U PRESEKU:

+--=

+-=

+-=

2

2

23

3

2

2

2

2

11

1

drwd

rdrdw

rdrwdKTr

drwd

drdw

rKM

drdw

rdrwdKMr

uj

u

-proizvoljno opterecenje:

DJ: KrZ

dwd

rdrdw

rdrwd

dd

rdrd

rdrd ),(1111

2

2

22

2

2

2

22

2 jjj

=

++

++

w=wo+w1

w1= wo(r)+ ( ) ( ) ( ) ( )

=

=

+1

___

0coscos

mmmrmWmrWm jj

wo(r)-izraz za rotaciono simetricno opt(m=0), nista ne zavisi od -smena r=et =>DJ=>j-na sa konstantnim koeficijentima m>1: 22 +-+- +++= mmmm rDmrCmrBmrAmWm m=1: rrD

rCrBrAW ln1 11

3111 +++=

m=0: rrDrCrBAW lnln 2002000 +++=


SFERNA LJUSKA OPTERECENA SILAMA PO KONTURI

( ) agaj sin2 00 EhRR ==D -promena poluprecnika paralelnog kruga

-obrtanje preseka po konturi

( )213 ug -=ha

SFERNA LJUSKA OPTERECENA MOMENTIMA PO KONTURI

( )Eh

R agaj sin22

0 ==D - promena poluprecnika paralelnog kruga

( )g

ajcKa

-== - obrtanje preseka po konturi

( )23

112 u-=

EhK

( )Eh

agajc

sin22

-==


STANjE: 0P

( )

( ) ( )

pravcuradijalunjezaoptereceE

NZa

Na

NaPN

P

YZ

.__0

0)3(

0sin2

)(.........

......

10

2

0

-=

=++

-=

=

==

d

qqj

jpj

j

jj

( )jqqq

ue

ed

NNEh

REREE

-=

=D=1

0010


DIFERENCNI POSTUPAK -pravougaone ploce-

DJ: ( )K

yxzdy

wddydxwd

dxwd ,2 4

4

22

4

4

4

=++

42112

4

4

32112

3

3

211

2

2

11

464

222

2

2

Sxwwwww

dxwd

Sxwwww

dxwd

Sxwww

dxwd

Sxww

dxdw

kkkkk

k

kkkk

k

kkk

k

kk

k

--++

--++

-+

-+

+-+-

-+-

+-

-

44

4

33

3

22

2

464

222

2

2

Sywwwww

dywd

Sywwww

dywd

Sywww

dywd

Syww

dydw

hiklm

k

hilm

k

ikl

k

il

k

+-+-

-+-

+-

-

22111111

22

4

2111111

2

3

21111

2

3

11112

)(24

222

222

4

SySxwwwwwwwww

dydxwd

SxSywwwwww

dxdywd

SySxwwwwww

dydxwd

SxSywwww

dxdywd

iillkkilk

k

iklikl

k

iiilll

k

iill

k

-+-+-+

---+++

-+-+

-+-+

+++++++-

-+-+-

++-+-

+--


granicni uslovi -slobodno oslonjena ivica

kk ww -=+2 -ukljestenje

kk ww =+2 -slobodna ivica

( )( )[ ]( ) ( )( )111122

112

___

2222)2(

22)1()2....(0,

)1....(0,

-+-+

-+

+++-+--++=

++--=

=

=

lliiilhm

kkkikl

WWWWWWWWWWWWWW

kyT

kMy

uaua

ua

-kruzna ploca-

mrsm =l

-u svakoj tacki ploce u kojoj nam je nepoznat ugib pisemo DJ:

( ) ( )

( ) ( ) ( )K

Zmsww

wsKcwWm

mmmmm

m

mmmmm

mm

4

21

2

421

2

2

122

22

2622

22)1(

=-

++--

-

+++

-++-+

-+-

++

lll

l

lll

ll

Zm-vrednost povrsinskog opterecenja u tacki m. - za r=0:

=

++- 0

412 163

643

16 wsKcww

KsZ 40

PRESECNE SILE

( ) ( )[ ]2212123

112

112

224222

,

212

2,

212

21,

--++

-+

-+

-+-+-+---=

-+-

+-=

-+-

+-=

mmmmmmmmmm

mmm

mm

mmm

mm

wwwwwSKmTr

wwwSKmM

wwwSKmMr

lllll

lu

luj

ulul


KRUZNI PRSTEN -RADIJALNA SILA -imamo samo normalnu silu N

auEbhN

bhNXaN ==== ees1

-RASPODELJENI MOMENTI

auE

bhIyI

MaXM

==

===

es

e

s12

3

2

1212

'1222

1111

=

=

=

=

--==

=

Xa

aaX

Xb

ud

uuu

d

cd

d


MEMBRANSKA TEORIJA LJUSKI ROTACIONO SIMETRICNO OPTERECENJE:

021

)3(

010cos11)0()2(

010cos1)0(1)1(

=++

=+-+

=+++

ZRN

RN

RYRRNRd

dNRN

dd

RXRRNRNddR

ddN

qj

qjq

j

jqjqq

jqj

jjq

PROIZVOLJNI OPT.

-rotaciono simetricno opterecenje-

( ) 0;,;0 == jqj NfZYX SFERA

( )

21

sin2)(

201sincos)(0

RZRNN

RoPN

dRRYZP

+-=

-=

+=

jq

jpj

j

jpjjjj

KONUS

( )

21

cos2)(

cossincos

2)(0

RZRNN

RozPN

dzzYZtgzPz

+-=

-=

+=

jq

apj

aaa

ap

-ugao u vrhu konusa


ROTACIONO SIMETRICNA DEFORMACIJA ROTACIONO SIMETRICNE LJUSKE

( )

( ) ( )

[ ] jj

juquj

jc

jjuqeq

jqujej

sinsin

12211

11

211

111

++-+=

+=

-==-=

-=-=

CdRRNRRN

Ehv

ddwv

R

wctgvRRo

dRoNNEh

wddv

RNN

Eh


MEMBRANSKA TEORIJA CILINDRICNIH LJUSKI -uslovi ravnoteze-

=+

=++

=++=++

0)3(

0)2(

0)1(0)1(

ZR

N

Ydx

xdNRddN

XRd

dNxdx

dNxXRd

dNxdx

dNx

j

jjj

jj

jj

( )

+-

+=

+

+-=

-=

=

+

+-=

+

+-=

-=

)(2)(112

1

)(1

,;0

)(2

)(1

2

jjj

jj

j

jjj

j

j

j

jjj

jjj

j

j

Cxd

dCR

xRddNY

dd

RNx

CxRddNYxN

RZN

fZYzaX

CdxRd

xdNXNx

CdxRddNYxN

RZN

-kruzna cilindricna ljuska- R=const=a -opterecenje razvijamo u red

=

=

=

===1 11

;cos;sin;cosn nn

nZnZnYnYnXnX jjj


-zadrzavamo samo n-te clanove:

( )

( )[ ] )(2)(11cos1)(1sin

jj

jj

jjj

j

Cd

dCa

dxdxZnnYnnaXnna

Nx

CdxZnnYnnxN

aZnN

+-+-=

++-=

-=

-specijalan slucaj-

( )

( )[ ]

( ) j

jjj

jj

j

nAxAxZnnYnanNx

nAxZnnYnxNaZnN

nACnACfZnYnzaXn

cos212

sin1

cos22sin11,;0

2

+

-+=

++-=-=

==

=


NAPREZANJE U RAVNI U POLARNIM KOORDINATAMA

jj

j

j

j

drdFd

rddF

rN

drFdN

drdF

rdFd

rNr

r

2

2

2

2

2

2

2

11

;

;11

-=

=

+=

ROTACIONO SIMETRICNO OPTERECENJE:

0;0

);ln23(21;

);ln21(21;1

22

2

2

==

=+++-==

=+++==

jj

jjj

g

e

e

rr

r

NrurCB

rAN

drFdN

drdurCB

rANr

drdF

rNr

F=D+Alnr+Br2+Cr 2lnr D=0(ne utice na naprezanje) C=0(za kruzni prsten uz uslov kompatibilnosti) dr

drr jje

ee += A i C=0 za ploce koje 'imaju centar'

Uticaji od temperature: U=ejr ( ) ttNrN

Eh+-= aujej

1 ulazi u prelazne uslove (UI=UII)npr.

( ) ( )( ) ( )aabbCabCBabrdrrCB

rAM

b

a

lnlnln1ln2321 22222 -+-++-=

+++-=-


NAVIER-OVO RESENJE )sin()sin(),(

1 1 byn

axmAmnyxw

m n

pp

=

=

=

AmnZmn

Kp4 n2

b2m2

a2+

2

Zmn4

a b0

a

y

0

b

xZ x y,( ) sinmpx

a

sinnpyb

d

d

:=

MORIS-LEVY W=W1+W0

aynshDn

aynCn

aynchBn

aynAnyYn pppp

++

+=)(

( ) dxa

xnxZa

Zn

KnaZnWon

axnWonWo

axnyYnW

a

n

n

pp

p

p

sin2

sin

sin)(

0

44

41

11

=

=

=

=

=

=

( )

axn

aynshDn

aynCn

aynchBn

aynAn

KnaZn

WWyxW

n

pppppp

sin

10,

144

4

++

++

=+=

=

- simetricno opterecenje An i Dn - antimetricno opterecenje Bn i Cn (g.u. Y=+-b/2)


PLOCA OSLONJENA NA GREDU

( )

+-===

-+

-==

=======

2

2

2

22

2

3

3

3___

4

4

2

44

)2(

2)1(

)2////()1(

dxWpld

dyWpldKMy

dxdMt

dxdyWpldGIt

dxd

dydxWpld

dyWpld

EIgK

EIgTy

dxWpld

GItMt

dxgd

dxdyWpldg

dydWpl

dxdWgr

dxdWplwwY gp

u

u

qj

j

SILE U PRESEKU

( )

( )

( )

-+-=

-+-=

--=

+-=

+-=

dydxWd

dyWdKTy

dxdyWd

dxWdKTx

dxdyWdKMxy

dxWd

dyWdKMy

dyWd

dxWdKMx

2

3

3

3___

2

3

3

3___

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

u

u

u

u

u


PLOCE NAPREGNUTE U SVOJOJ RAVNI

- naponska f-ja F:

- 22

2

22

;; dx

FdNydy

FdNxdxdy

FdNxy ==-= ; ako su X i Y=0

DJ:za plocu opterecenu silama po konturi:

02 44

22

4

4

4

=++dy

FddydxFd

dxFd (za plocu opterecenu silama po konturi)

- konturni uslovi:

dsdx

dsdy

-== aa sin;cos

)sin(cos

)()(00

aa -+=

=-+-=+=

-=-=

==

dydF

dxdF

dndF

MdsyypdsxxpFdydydFdx

dxdFdF

QydspdxdF

QxdspdydF

s

snx

s

sny

sny

snx

-Naponska f-ja mora da zadovolji DJ. -opterecenje po konturi na osnovu F(x,y):

aa

aa

cossin

sincos

2

2

2

2

2

2

dxdyFd

dxFdp

dsdyNxy

dsdxNyp

dxdyFd

dyFdp

dsdxNxy

dsdyNxp

nyny

nxnx

--=+=

+=+=


-SILE U PRESEKU:

( )

+-=

+=

+=

dxdv

dyduDNx

dxdu

dydvDNy

dydv

dxduDNx

u

u

u

121

( )21 u-=EhD


POLURAVAN -opterecenje(periodicno) razvijamo u sin ili cos red sa periodom L. -parno opterecenje:

=

=

+=

=

2/

0

2/

00

1

0

cos)(4

)(4

cos2

)(

L

n

Ln

n

dxa

xnxpL

a

dxxpL

a

axna

axp

p

p

naponska f-ja:

=

+=1

2 cos)(2 n

o

axnyYnx

AF p

-neparno opterecenje

=

=

=

2/

0

1

sin)(4

sin)(

L

n

nn

dxa

xnxpL

b

axnbxp

p

p

naponska f-ja:

=

=1

sin)(n a

xnyYnF p

ayn

ayn

eDna

ynCneBna

ynAnyYnpp pp

++

+=

-)(

Cn i Dn=0 za poluravan GRANICNE USLOVE POSTAVLJAMO PO SILAMA:

;;;2

2

2

2

2

dxdyFdNxy

dxFdNy

dyFdNx -===


SAVIJANJE KRUZNE CILINDRICNE.pdfSAVIJANJE KRUZNIH PLOCA.pdfsferna ljuska.pdfDIFERENCNI POSTUPAK 1.pdfDIFERENCNI POSTUPAK 2.pdfKRUZNI PRSTEN.pdfljuske-rot-sim.pdfMEMBRANSKA TEORIJA CILINDRICNIH.pdfNAPREZANJE U RAVNI U POLARNIM KOORDINATAMA.pdfNAVIER-MORIS.pdfPLOCE NAPREGNUTE U SVOJOJ RAVNI.pdfPOLURAVAN.pdf

formule ploce i ljuske

Documents