01 ljuske - draft.pdf
TRANSCRIPT
-
375
8. ARMIRANOBETONSKE LJUSKE
8.1.8.1.8.1.8.1. UVODUVODUVODUVOD
Ljuske su nosee konstrukcije formirane od zakrivljenih povri, koje prihvataju optereenje
primarno silama u ravni (ravnomerno raspodeljenim po debljini ljuske), ali i savijanjem,
posebno u zoni oslanjanja i veze sa drugim elementima. Pogodnim izborom geometrije, sa
malim debljinama, ljuske mogu biti izuzetno racionalni elementi kad je o utorku materijala
re.
U optem sluaju, ljuske mogu biti razliitih oblika povri koje karakterie Gauss-ova mera
krivine, proizvod krivina glavnih pravaca ( i ):
1K
r r
= =
, ................................................................................................................ (8.1)
gde su r i r poluprenici krivina. Prema znaku krivine, razlikuju se (Sl. 8/1):
Eliptine povri imaju pozitivnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri oba poluprenika
glavnih krivina su sa iste strane povri. Ove ljuske ne mogu menjati svoj oblik bez iste-
zanja srednje povri, zbog ega su vrlo krute.
Hiperbolike povri imaju negativnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri poluprenika
glavnih krivina su na razliitim stranama povri. Karakteriu se pravim izvodnicama.
Paraboline povri imaju nultu Gauss-ovu krivinu. Jedan od poluprenika glavne krivine
im je beskonano velik.
Sl. 8/1. Povrine razliite Gauss-ove krivine
Kada je debljina ljuske (h) mala u poreenju sa poluprenikom krivine (r), ljuska se smatra
tankom, a statiki tretman ovih elemenata moe biti baziran na teoriji tankih ljuski. Naelno,
ljuska se smatra tankom ukoliko je zadovoljeno:
120
hr
. ...................................................................................................................................... (8.2)
Osnovne pretpostavke tehnike teorije tankih ljuski su:
Smatra se da prava vlakna upravna na srednju povr ljuske ostaju prava i upravna na
deformisanu srednju povr, ne menjajui svoju duinu.
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
376
Normalni naponi u pravcu normale na srednju povr su zanemarljivi u odnosu na ostale
komponentalne napone.
Analizu sila u preseku ljuske je pogodno sprovesti na delu povri ogranienom linijama gla-
vnih pravaca (koordinatnim linijama). Glavni pravci su odreeni maksimalnim i minimalnim
poluprenicima krivine. U optem sluaju, postoji deset sila u presenim povrima ljuske:
normalne sile N i N, smiue sile N i N, transverzalne sile Q i Q, momenti savijanja M
i M i momenti torzije M i M (Sl. 8/2). Ovih deset veliina, naelno, nije mogue odrediti
samo iz uslova ravnotee (problem nije statiki odreen), nego se moraju postaviti i dopun-
ske veze izmeu napona, deformacija i pomeranja ljuske.
Sl. 8/2. Sile u presenim povrinama ljuske, opti sluaj
Opti problem je, pod odreenim uslovima, mogue dekomponovati na nezavisne sluajeve
membranskog i fleksionog naprezanja ljuske.
Pretpostavljajui elastino ponaanje ljuski (Hooke-ova hipoteza), ljuska se moe analizirati
na nain koji podrazumeva njeno naprezanje samo u srednjoj povri, poput membrane koja
ne prua nikakav otpor savijanju. Od presenih sila, javljaju se samo normalne sile N i N,
smiue sile N i N, a ova vrsta naprezanja se naziva membransko naprezanje ljuskimembransko naprezanje ljuskimembransko naprezanje ljuskimembransko naprezanje ljuski, dok
je odgovarajua teorija prorauna - membranska teorija (Sl. 8/3a). Membransko stanje nap-
rezanja se moe analizirati i kod ljuski konane debljine pod sledeim uslovima:
Granini uslovi oslanjanja moraju biti takvi da reaktivne sile napreu ljusku samo u nje-
noj srednjoj povri. Ovim, mogu biti spreena samo pomeranja u pravcu tangente na
meridijalnu ivicu na kojoj se ljuska oslanja (Sl. 8/3b).
Debljina ljuske mora biti dovoljno mala da se lan z/r u izrazima datim na Sl. 8/2 moe
zanemariti u odnosu na jedinicu. Ovim i raspodela normalnih i smiuih napona po visini
h preseka postaje konstantna:
N h = , N h = , N N h = = . ................................................................. (8.3)
Srednja povr mora biti glatka i ne sme biti naglih promena u debljini ljuske.
Optereenje mora biti kontinualno raspodeljeno, bez skokova ili koncentrisanih dejstava.
-
8. Armiranobetonske ljuske
377
Sl. 8/3. Membranske sile i membranski uslovi oslanjanja
Sada, kada je broj nepoznatih veliina samo tri, (8.3), ove se mogu odrediti samo iz uslova
ravnotee.
Konturni uslovi ljuske su najee takvi da ne dozvoljavaju slobodnu membransku deforma-
ciju kraja ljuske su po konturi obino kruto vezane (elastino ukljetene) za druge elemen-
te (ljuske, ploe, prstenaste grede...). Ovim i membranski uslovi rada na krajevima ljuske ne
mogu biti ostvareni, nego su poremeeni fleksionim silama. Osim konturnih uslova, do
pojave momenata savijanja dovode i nagle promene debljine ljuske, koncentrisana opteree-
nja, skokovi u kontinualno promenljivom optereenju ili koncentrisana optereenja.
Sl. 8/4. Fleksione sile
Pored membranskih, u presenim ravnima ljuske javljaju se momenti savijanja i torzije, te
transverzalne sile (Sl. 8/4). Teorija ljuski kojom se analiziraju naponi i deformacije ljuski
ukljuujui i dejstvo momenata savijanja i transverzalnih sila naziva se fleksiona teorija ljufleksiona teorija ljufleksiona teorija ljufleksiona teorija ljus-s-s-s-
kikikiki.
Nije ni potrebno posebno naglaavati da je danas uobiajen proraun uticaja u ljuskastim
elementima primenom softvera za strukturalnu analizu baziranom na primeni metode kona-
nih elemenata. Modeliranje ljuske proizvoljne geometrije kao poliedarske povrine formira-
ne od povrinskih konanih elemenata, mogunost apliciranja proizvoljnog optereenja,
mogunost uticaja na tanost rezultata gustinom mree, mogunost proraunskog obuhva-
tanja realnih konturnih uslova... su samo neke od nespornih prednosti ovog naina prorau-
na. Ipak, sa stanovita inenjerskog razumevanja problema, klasini pristup proraunu je od
nemerljivog znaaja i dalje.
8.2.8.2.8.2.8.2. ROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKE
Rotacione (rotaciono-simetrine) ljuske su one ija je srednja povr rotaciona povr nastala
obrtanjem ravanske krive linije oko jedne prave, ose obrtanja (Sl. 8/5). Koordinatne linije
ovako formiranih ljuski su meridijalne krive i paralelni krugovi. U ravni meridijalnih krivih
meri se ugao , a u ravni krunica ugao . Poluprenici glavnih krivina su r i r151.
151 Primetiti da r nije poluprenik krunice (paralele).
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
378
Sl. 8/5. Rotaciona ljuska
Pretpostavljajui membranski radmembranski radmembranski radmembranski rad, na elementarnom delu povrine rotacione ljuske optere-
enom komponentama povrinskog optereenja u pravcima tangente na glavne pravce, te
normale na srednju povr (px, py, pz), dolazi se do tri uslova ravnotee (Sl. 8/6): dva po sumi
sila u pravcu tangenti i jedan po sumi sila upravnih na srednju povr. Pretpostavljajui,
dodatno, i rotacionorotacionorotacionorotaciono----simetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenjasimetrinu distribuciju optereenja, kada je px jednako nuli, svi uticaji
postaju samo funkcije jednog parametra ugla :
Sl. 8/6. Membransko stanje rotacionih ljuski
( )/zN r p N r = + , 0N = , ......................................................................................... (8.4) ( )sin cos / ( sin )y zN r r p p d C r = + + , .............................................. (8.5) gde je sa r obeleen poluprenik krunice (paralele), a integraciona konstanta C se odreuje
iz konturnih uslova.
Pod dejstvom rotaciono-simetrinog optereenja ljuska se deformie i take ljuske dobijaju
odgovarajua pomeranja u pravcu tangente na meridijalnu krivu, v, i u pravcu normale na
povr, w. Koristei se vezama izmeu napona i deformacija (), iz teorije tankih ljuski je
poznato:
( )1 N NE h
=
, ( )1 N NE h
=
. ........................................................... (8.6)
Nakon uvoenja veza izmeu deformacija i pomeranja, mogu se karakteristina pomeranja
izduenje poluprenika paralele, r, i promena ugla tangente na meridijalnu krivu, nai
kao:
-
8. Armiranobetonske ljuske
379
( )rr r N NE h
= =
............................................................................................. (8.7)
( ) ( )cot 1r rdN N N N N NE h r r d E h
=
. ..................... (8.8)
Analiza fleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanja ljuske, makar i rotacione, je znatno sloenije od membran-
skog. Za sluaj rotaciono-simetrinog optereenja polovina presenih sila je identiki jedna-
ka nuli:
0N N = = , 0M M = = , 0Q = . ............................................................................. (8.9)
Sl. 8/7. Fleksiono stanje rotacionih ljuski, rotaciono-simetrino optereenih
Za preostalih pet sila mogu se postaviti uslovi ravnotee na elementu povrine (Sl. 8/7).
Suma sila u pravcu tangente na meridijalnu krivu, u pravcu normale na povr, te suma
momenata, respektivno, daju:
( ) cos 0yd r N r N r Q p r rd + = , .......................................................... (8.10) ( )sin 0zdr N r N r Q p r rd + + + = , i ......................................................... (8.11) ( ) cos 0d r M r M r r Q
d
= . ...................................................................... (8.12)
Veze izmeu dilatacija i pomeranja su:
1 dv
wr d
= +
,
cotv wr
+= ,
1 dwv
r d
=
, ............................................ (8.13)
a veze izmeu presenih sila i pomeranja su date sa:
( )1 cotdvN D w v wr d r
= + + +
, 21
E hD
=
, ................................................. (8.14)
( )1 cotdvN D w v wr d r
= + + +
, ( )
3
212 1E hK
=
, ...................................... (8.15)
1 1
cotd dw dwM K v v
r d r d r r d
= +
.................................................. (8.16)
1 1
cotd dw dwM K v v
r d r d r r d
= +
.................................................. (8.17)
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
380
Jednaine (8.10) do (8.17) predstavljaju sistem od deset jednaina sa deset nepoznatih: pet
presenih sila, dve komponente pomeranja (v i w) i tri komponente deformacijskih veliina
(, i ). Prkatina reenja e biti razmatrana na primeru pojedinih tipova ljuski.
U realnim konstrukcijama ljuski, membransko stanje naprezanja, pod rotaciono-simetrinim
optereenjem, ostvaruje se u veem delu ljuske, osim, najee, u okolini konture. Ljuska je
najee po svojoj konturi kruto vezana za neki drugi element. Zato, zbog spreenosti mem-
branskog deformisanja, na konturi se remeti membransko stanje i u ljusci se javljaju uticaji
od savijanja (Sl. 8/8).
Sl. 8/8. Ivini poremeaji cilindrine ljuske kruto spojene sa drugim elementima
Sl. 8/9. Momenti savijanja podu izvodnice za dugu i kratku cilindrinu ljusku
Po svom karakteru fleksioni uticaji (poremeajni uticaji) su takvi da se relativno brzo prigu-
uju za uobiajene dimenzije ljuski. Njihova veliina se (na makro-nivou posmatrano) sma-
njuje sa udaljenjem od ivice. Ako se moe smatrati da se poremeajni uticaji na jednom kra-
ju ljuske ne oseaju (ne utiu na deformaciju) na drugom kraju ljuske, takve ljuske nazivaju
se dugimdugimdugimdugim. U suprotnom, ljuske su kratkekratkekratkekratke. Na Sl. 8/9 su, za dugu i kratku cilindrinu, mem-
branski oslonjenu na dnu, ljusku, optereenu radijalnim horizontalnim linijskim opteree-
njem na obe ivice, prikazani oblici dijagrama momenata savijanja M.
Presene sile kod rotaciono-simetrino optereenih rotacionih ljuski u sklopu sloenije
konstrukcije mogu biti odreene primenom metode sile. Ukupne vrednosti sila odreuju se
superpozicijom membranskog reenja i uticaja dobijenih fleksionom analizom ivinih pore-
meaja. Prvo se veze ljuske sa susednim elementima prekidaju, konstrukcija se dekomponu-
je, na nain da se pretpostavljaju membranski uslovi oslanjanja pojedinih elemenata. Ovim je
formiran takozvani osnovni sistem, za koji je samo analizom uslova ravnotee mogue odre-
diti membransko reenje. Na mestu raskinute veze uvode se dve statiki nepoznate veliine:
horizontalna sila XH (linijsko optereenje, kN/m) i moment savijanja XM (linijsko optereenje,
kNm/m) (Sl. 8/10).
-
8. Armiranobetonske ljuske
381
Sl. 8/10. Dekompozicija konstrukcije: osnovni sistem i statiki nepoznate
Veliine statiki nepoznatih veliina odreuju se iz uslova-pretpostavke da nema meusob-
nog razmicanja elemenata u horizontalnom pravcu u vezi, niti meusobne promene nagiba
tangente. Skraeno, krajevi ljuski spojenih u voru imaju jednako horizontalno pomeranje r
i obrtanje . Uslovne jednaine virtualnog rada, kojima se sumiraju ovi uslovi imaju poznat
oblik, a broj ovih jednaina, N, odgovara broju statiki nepoznatih veliina:
1 11 2 12 10
1 21 2 22 20
1 1 2 2 0
... 0... 0
...
... 0N N N
X XX X
X X
+ + + =
+ + + =
+ + + =
. ......................................................................................... (8.18)
Pri tome, svaki koeficijent ij ine dva sabirka, odnosno dobija se kao zbir odgovarajuih
pomeranja na oba (prvom i drugom) elementa u vezi:
ij ij ij = + . ........................................................................................................................... (8.19)
Koeficijenti i0 se odreuju kao odgovarajua pomeranja u osnovnom sistemu u pravcu i
smeru usvojenih statiki nepoznatih od spoljanjih optereenja. I oni predstavljaju zbir
odgovarajuih koeficijenata sa dva u voru vezana elementa.
Kod konstrukcija formiranih od dugih ljuski, problem odreivanja statiki nepoznatih se
znatno pojednostavljuje. Uvoenjem pretpostavke da se ivini poremeaji na jednom kraju
ljuske ne oseaju na drugom, ini odgovarajue ij koeficijente jednakima nuli. Za posledi-
cu, umesto jednog sistema jednaina, problem se dekomponuje na vie manjih sistema jed-
naina (na primer, etiri puta statiki neodreen sistem na Sl. 8/10, uz cilindrinu ljusku
usvojenu dugom, postaje dva puta po dva puta statiki neodreen nezavisno je mogue
odrediti statiki nepoznate u gornjoj vezi od onih u donjoj).
U sluaju dejstva koncentrisanog (zapravo, linijskog) optereenja na ljusku, problem se rea-
va formiranjem dve nezavisne ljuske, pokazano na Sl. 8/11. Pri tome je nebitno da li se samo
optereenje pripisuje gornjoj ili donjoj ljuski, ili se deli. Slino se postupa i u sluajevima
ljuski kod kojih postoji skok u debljini (Sl. 8/12).
Sl. 8/11. Dekompozicija na mestu koncentrisanog optereenja
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
382
Sl. 8/12. Dekompozicija na mestu skokovite promene debljine ljuske
Treba imati na umu da statiki nepoznate veliine izazivaju u presecima ljuske, ne samo
momente savijanja (M i M) i transverzalne sile (Q), nego i aksijalne sile N i N, zbog ega
se rezultujue aksijalne sile odreuju superpozicijom njihovih membranskih i fleksionih vre-
dnosti.
Ljuske se, u optem sluaju, dimenzioniu u dva ortogonalna glavna pravca na sloeno savi-
janje: prstenasta armatura proizilazi kao rezultat dimenzionisanja pravougaonog poprenog
preseka jedinine irine (1m) na granine vrednosti uticaja M i N, dok se meridijalna arma-
tura odreuje iz odgovarajuih graninih uticaja M i N. Pri tome, treba voditi rauna o raz-
liitim statikim visinama u dva upravna pravca, te o minimalnim koliinama armature, koje
kod ljuski odgovaraju onima za pune ploe.
8.2.2.8.2.2.8.2.2.8.2.2. SFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLE)E)E)E)
Sferne kupole su najee konveksne ljuskaste figure pozitivne Gauss-ove krivine. Primenu
kao armiranobetonske pronalaze jo na poetku XX veka, uglavnom kao krovne konstrukcije
nad krunim osnovama, zahvaljujui sposobnosti da premoavaju velike raspone sa malim
debljinama. U pogledu utroka materijala ovo ih svrstava u red najracionalnijih konstrukcija.
Sa druge strane, racionalnost njihove primene je limitirana pogodnou i cenom izvoenja
(skupa oplata i skela).
Najee, rotacione sferne kupole se primenjuju za pokrivanje dvorana i hala krune osnove
i veih raspona, te kao elementi rezervoarskih konstrukcija (Sl. 8/13). U konstrukcijama se
javljaju u kombinacijama sa drugim elementima: prstenastim nosaima, ploama, drugim
ljuskama...
Sl. 8/13. Primena sfernih kupola kod hala i rezervoara
Uobiajene debljine kupola su vrlo male za krovne konstrukcije su izmeu 5 i 14cm, a za
raspone osnove i preko 100m. Zbog male debljine, a uglavnom pritisnuti, ovi elementi mogu
biti podloni gubitku stabilnosti, zbog ega je preporuka usvajati debljinu ljuske na nain da
se membranskim radom iazazvani normalni naponi ogranie na manju vrednost od dopute-
nih (preporuka je 50% doputenih)152. Jo jedna preporuka u pravcu obezbeenja od suvie
152 Doputeni naponi su zaostatak ranije primenjivane logike prorauna armiranobetonskih kons-
trukcija, ali je data preporuka i dalje praktino validna.
-
8. Armiranobetonske ljuske
383
malih debljina ljuske je ona kojom bi debljinu valjalo ograniiti sa donje strane u funkciji
poluprenika krivine na sledei nain: / 0 .0015d r (priblino 1/600!).
Sl. 8/14. Sferne ljuske sa otvorom za osvetljenje (lanternom)
S obzirom da su kupole optereene uglavnom mirnim kontinualnim optereenjem (sopstvena
teina, izolacija, sneg, tenost...), to one rade preteno membranski. Samo u podruju oslo-
naca, zbog veze s drugim elementima (najee preko prstenastog nosaa) javljaju se fleksi-
oni poremeaji. Mogue neravnomerno optereenje vetrom redovno nije od velikog znaaja
budui je malo u odnosu na ostala. Otud, kupole se mogu priblino proraunavati kao rota-
ciono-simetrino optereene.
esto se krovne kupole izvode sa otvorom za osvetljenje u temenu (Sl. 8/14). U tom sluaju
gornja ivica ljuske dobija prstenasto ojaanje na koje se privruju elementi svetlosne lan-
terne. Sada se i gornja ivica ljuske karakterie fleksionim uticajima.
Kako su kod sferne ljuske poluprenici glavnih krivina jednaki:
r r a = = , sinr a = , ....................................................................................................... (8.20)
to se presene sile po membranskoj teoriji nalaze lako (videti (8.4) i (8.5)):
( ) ( )2 sin sin cos / siny zN a p p d a = + , .......................................... (8.21) ( )zN a p N a = + . ......................................................................................................... (8.22) Karakteristina pomeranja su:
( )( )sin 1zar a p NE h
= + +
, i ................................................................................ (8.23)
( )1z ydpa pE h d
= +
............................................................................................... (8.24)
U nastavku je, u formi specifinog sluaja, analizirano membransko dejstvo sopstvene teine
sferne kupole. Kako je:
sinyp g = i coszp g = ,
to se aksijalne sile dobijaju:
1 cos
a gN
=
+ i
1cos
1 cosN a g
= +
.
Raspored i veliina aksijalnih sila prikazani su na Sl. 8/15. Primetiti da za ugao kupole vei
od 51.49 prstenaste sile N prelaze iz pritiska u zatezanje. Takoe, interesantno je primetiti
i da normalni naponi ne zavise od debljine ljuske.
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
384
Sl. 8/15. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene teine
Za ravnomerno podeljeno optereenje po osnovi, kakvo je optereenje snegom, na primer,
vai:
sin cosyp p = i 2coszp p = ,
te aksijalne sile u obliku (Sl. 8/16):
0.5N a p = , ( )0.5 cos 2N a p =
Sl. 8/16. Promena aksijalnih sila za dejstvo ravnomerno podeljenog optereenja po osnovi
Za karakteristine sluajeve optereenja (Sl. 8/17) izrazi za presene sile se obino mogu
pronai u obliku tabulisanih alata. NJima se uobiajeno daju i izrazi za karakteristina pome-
ranja.
Sl. 8/17. Neki karakteristini sluajevi optereenja kupole
Za odreivanje ivinih poremeaja kod sferne kupole, jednaine (8.10) do (8.17) se, uz odre-
ena zanemarenja malih veliina i konstatovanjem da je py = pz = 0, svode na dve nezavisne
diferencijalne jednaine oblika (k koef. priguenja):
4
44 4 0k
+ =
,
44 0Q k Q
+ = , ( )23 1ak h = . ...................................... (8.25)
Sl. 8/18. Oznake uglova na ivicama kupole
Uz oznake kao na Sl. 8/18, zavisno od posmatrane ivice (n = 1, 2), reenje diferencijalne
jednaine se nalazi u obliku:
-
8. Armiranobetonske ljuske
385
( )cosnk w nQ C e k w = + , ............................................................................................ (8.26) gde su C i integracione konstante odreene uslovima na konturi. Izrazi za sile u preseci-
ma, te integracione konstante za sluajeve ivinog optereenja horizonztalnim silama i
momentima, dati su na Sl. 8/19.
Sl. 8/19. Izrazi za presene sile i karakteristina pomeranja
Dati izrazi se odnose na duge ljuske one kod kojih je zadovoljeno:
( )2 1 6k i 30n . .................................................................................................. (8.27) U praksi je, i za fleksione poremeaje, uobiajena primena tabulisanih izraza za sile i pome-
ranja. Pri tome, dovoljno je analizirati samo sluajeve prikazane na Sl. 8/19.
U najveem delu kupole vlada membransko stanje, pa se i dimenzionisanje u ovom delu svo-
di na analizu centrino pritisnutog ili centrino zategnutog pravougaonog preseka jedinine
irine. U ivinim zonama, u meridijalnom pravcu, preseci se dimenzioniu na sloeno savija-
nje, prema M i N. U zoni prostiranja poremeajnih uticaja obino se ljuska kontinualno
zadebljava. Momenat u tangencijalnom pravcu je najee prihvaen ve podeonom armatu-
rom.
Sl. 8/20. Armiranje sferne ljuske (osnova)
Sl. 8/21. Jednostruko i dvostruko armiranje ljuske
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
386
Sl. 8/22. Armiranje ivinih delova kupole
Teme ljuske se, kao kod krunih ploa, armira ortogonalnom mreom. Ostatak ljuske se
armira meridijalnom i prstenastom armaturom . Kako se razmak meridijalne armature pove-
ava udaljavanjem od temena (smanjuje se povrina armature po jedinici duine), to je
neophodno (ak zbog odravanja neophodnog minimuma armature ili doputenog razmaka
izmeu ipki) polovljenje razmaka sve kraim ipkama (Sl. 8/20). Ljuska se u veem delu
armira mreom u sredini debljine (za ljuske debljine manje od 7cm) ili simetrinim mreama
na oba lica (za debljine preko 7cm) (Sl. 8/21). U zoni ojaanja, obostrano armiranje se u
meridijalnom pravcu najee postie ipkama oblika ukosnica, a tangencijalna armatura u
obe zone ima karakter podeone (Sl. 8/22).
Tanke ljuske se, po pravilu, zadebljavaju na spoju sa ivinim elementima (prstenom) u cilju
obezbeenja mogunosti prijema poremeejnih momenata savijanja (Sl. 8/22).
8.2.3.8.2.3.8.2.3.8.2.3. KONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKE
Konusne ljuske se najee koriste (Sl. 8/23) za levkove silosa i bunkera, kod rezervoarskih
konstrukcija i vodotornjeva, kao stubovi tornjeva, kod dimnjaka... Mogu se izvoditi kao kla-
sine armiranobetonske ili kao prednapregnute ljuske, najee u horizontalnom pravcu.
Kod konusnih ljuski, glavni poluprenik krivine r ima beskonanu duinu, izvodnica u meri-
dijalnom pravcu je prava linija.
Sl. 8/23. Primeri primene konusnih ljuski
Sl. 8/24. Membranski uslovi oslanjanja konusne ljuske i geometrijske oznake
Uvoenjem veza (Sl. 8/24):
cotr y = , dy r d = , cosr y = , yN N , ...................................................... (8.28)
mogu se odrediti vrednosti presenih sila i pomeranja po membranskoj teoriji:
-
8. Armiranobetonske ljuske
387
( )cos sin cos
sin cosy z
y
p p y dyN
y
+ =
, .................................................................. (8.29)
cotzN y p = , ................................................................................................................. (8.30)
( )cos cotz yyr y p NE h
= +
, ................................................................................. (8.31)
( )2cot coty z ydN y p y pE h dy = + . ................................................................ (8.32) Za sluaj dejstva sopstvene teine (Sl. 8/25), komponente optereenja su:
sinyp g = , coszp g = ,
a vrednosti presenih sila su:
( )/ 2 sinyN g y = , 2sin cotN g y = .
Sl. 8/25. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene teine
Za dejstvo jednako podeljenog optereenja po osnovi (Sl. 8/26) bie:
sin cosyp p = , 2coszp p = ,
1cot
2yN p y = ,
3cos
sinN p y
=
Sl. 8/26. Promena aksijalnih sila za dejstvo jednako podeljenog optereenja po osnovi
Sl. 8/27. Neki karakteristini sluajevi optereenja konusne ljuske
Za karakteristine sluajeve optereenja (poput onih datih na Sl. 8/27) izrazi za presene sile
se obino mogu pronai u obliku tabulisanih alata. NJima se uobiajeno daju i izrazi za kara-
kteristina pomeranja.
Neporemeeno membransko stanje je mogue samo ako je ivica ljuske oslonjena na nain da
reakcija oslonca dejstvuje u srednjoj ravni ljuske. Normalno, ivica ljuske zavrava obodnim
prstenom, koji uzrokuje ivine poremeaje. Spoj ljuske i prstena moe biti zgloban ili krut
(Sl. 8/28).
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
388
Sl. 8/28. Sile na spoju konusme ljuske i prstena
Sl. 8/29. Oznake na krajevima ljuske
Za odreivanje ivinih poremeaja kod sferne kupole, jednaine (8.10) do (8.17) se, uz odre-
ena uproenja, svode na diferencijalnu jednainu etvrtog reda po nepoznatoj promeni
ugla obrtanja (k koef. priguenja):
44
4 4 0ky + =
, ( )2tan 3 1k y h = ...................................................................... (8.33)
Uz oznake kao na Sl. 8/29, reenje jednaine se moe napisati u obliku:
( )cosn nk d n nC e k d = + , ............................................................................................ (8.34) gde se konstante C i odreuju iz konturnih uslova. Vrednosti presenih sila i karakteristi-
nih pomeranja su date na Sl. 8/30. Izrazi vae za duge ljuske, kod kojih je zadovoljeno:
( )2 1 6k y y ......................................................................................................................... (8.35)
Sl. 8/30. Izrazi za presene sile i karakteristina pomeranja
Konusne ljuske se armiraju u smeru izvodnice i po koncentrinim krugovima. Broj ipki koje
se pruaju po izvodnicama, po jedinici duine se smanjuje sa pribliavanjem ivici, to valja
nadomestiti ubacivanjem meu-ipki. Ljuske deblje od 8cm se armiraju u dve zone celom
povrinom. Uz prsten, ljuska se dimenzionie na ekscentrini pritisak u pravcu izvodnice.
8.2.4.8.2.4.8.2.4.8.2.4. CILINDRINE LJUSKECILINDRINE LJUSKECILINDRINE LJUSKECILINDRINE LJUSKE
Armiranobetonski cilindri se koriste kod konstrukcija rezervoara, silosa i bunkera krune
osnove (Sl. 8/31). Kod rezervoara, cilindar se sa donje strane zatvara krunom ploom, koja
-
8. Armiranobetonske ljuske
389
je najee kruto spojena s cilindrom, ali je mogue i reenje sa plivajuom varijantom. Sa
gornje strane, cilindar se zatvara ili krunom ploom ili ljuskom, preko krunog prstenastog
nosaa. Kod vodotornjeva, cilindri se projektuju u sklopu sa ostalim ljuskastim elementima u
cilju formiranja pogodne geometrije. Kod silosa, elije krune osnove su dugaki cilindri u
dnu najee vezani s konusnom ljuskom levka.
U svim ovim sluajevima, optereenje na povrinu cilindra je po pravilu rotaciono simetrino
(pritisak tenosti, zrnastog materijala ili tla).
Sl. 8/31. Primeni primene cilindrinih rotacionih ljuski
Kod cilindrine ljuske je glavni poluprenik r beskonane duine, a ugao je 90, to meri-
dijalnu krivu transformie u vertikalnu pravu izvodnicu.
Sl. 8/32. Membranski uslovi oslanjanja cilindrine ljuske i geometrijske oznake
Uvoenjem veza:
r a = , dy r d = , yN N , ......................................................................................... (8.36)
izrazi za membranske sile i pomeranja postaju: y yN p dy= , ......................................................................................................................... (8.37)
zN a p = (kotlovska formula), ............................................................................................. (8.38)
( )z yar a p NE h = +
, .................................................................................................. (8.39)
z ydpa
a pE h dy
=
. .................................................................................................. (8.40)
Za sluaj delovanja sopstvene teine (Sl. 8/33a) bie:
yN g y= , 0N = , a g y
rE h
=
, a g
E h =
.
Sl. 8/33. Dejstvo sopstvene teine i tenosti
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
390
Za dejstvo tenosti (Sl. 8/33b) bie:
0yN = , p a yN
L
= , 2
a p yr
E h L =
, 2
a pE h L
=
.
Za druge sluajeve optereenja (poput onih na Sl. 8/34) izrazi za presene sile i karakteristi-
na pomeranja se obino mogu pronai u obliku tabulisanih alata.
Sl. 8/34. Karakteristini sluajevi optereenja
Jednaine fleksione teorije se, uz (8.36) i:
yQ Q , yM M , .h const= , ..................................................................................... (8.41) svode na jednu diferencijalnu jednainu etvrtog stepena:
44
4 4 0zpd w k w
Kdy+ + = ,
( )23 1k
a h
=
. .................................................................... (8.42)
U optem sluaju, reenje je oblika:
( ) ( )0 1 2 3 4cos sin cos sinky kyw w e C ky C ky e C ky C ky= + + + + , .................................... (8.43) gde je w0 partikularno reenje, a integracione konstante se odreuju iz konturnih uslova. Za
duge ljuske, kod kojih je: 6k L , ................................................................................................................................... (8.44)
ivini poremeaji se odreuju iz reenja homogenog dela diferencijalne jednaine, koja se
odnosi na ljusku bez povrinskog optereenja, a za optereenje samo po konturi:
44
4 4 0d w k wdy
+ = . ................................................................................................................. (8.45)
Reenje jednaine:
( ) ( )1 2 3 4cos sin cos sinky kyw e C ky C ky e C ky C ky= + + + ............................................... (8.46) predstavlja zbir dve priguene oscilatorne funkcije. Kad je ljuska duga, uticaji s jednog kraja
se ne prenose na drugi, pa se reenje svodi na oblik s dve integracione konstante:
( )1 2cos sinkyw e C ky C ky= + . ............................................................................................. (8.47)
Sl. 8/35. Oznake na krajevima ljuske
Uz oznake sa Sl. 8/35, reenje se moe napisati u obliku:
-
8. Armiranobetonske ljuske
391
( )cosnk d nw C e k d = + , ............................................................................................... (8.48) gde se konstante C i odreuju iz konturnih uslova. Vrednosti sila u preseku i karakteristi-
nih pomeranja su date na Sl. 8/36.
Sl. 8/36. Izrazi za presene sile i karakteristina pomeranja
Za delovanje samo horizontalne sile XH na konturi, integracione konstante su:
22
Ha kC X
E h
=
, i 0 = , ..................................................................................................... (8.49)
dok je za delovanje samo momenta savijanja XM:
2 242 Ma kC X
E h
=
, 4pi = . ................................................................................................... (8.50)
Puno ukljetenje cilindrinog zida u temelj (Sl. 8/37a) rezultira veim poremeajnim momen-
tima My i manjim aksijalnim silama N u odnosu na sluaj elastinog ukljetenja dna cilindra
(Sl. 8/37b).
Sl. 8/37. Puno i elastino ukljetenje dna cilindrinog zida
Sl. 8/38. Armiraje donjeg dela cilindra i veza sa oslonakim elementima
Rotaciono simetrine cilindrine ljuske se u tangencijalnom pravcu dimenzioniu i armiraju
na centrini pritisak ili zatezanje. U pravcu izvodnice, preseci su optereeni na sloeno savi-
janje (momenti My i aksijalne sile Ny).
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
392
Zateue prstenaste sile N se prihvataju prstenastom armaturom, koja se, po pravilu, pos-
tavlja sa unutranje strane, budui da ne prihvata momente savijanja. U vertikalnom pravcu,
krak unutranjih sila se maksimizira postavljanjem vertikalne armature kao spoljanja. Na Sl.
8/38 prikazan je detalj armiranja cilindra za sluaj punog i elastinog ukljetenja.
8.3.8.3.8.3.8.3. LJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVI
Tanke ljuske se danas uspeno primenjuju kao krovne konstrukcije velikih raspona, kod
hangara, hala, stadiona, dvorana... Prostorni rad omoguava znaajno smanjenje teine.
Mogu biti prizmatine (cilindrine), konusne, ljuske dvojne zakrivljenosti ili naborane kons-
trukcije.
8.3.1.8.3.1.8.3.1.8.3.1. PRIZMATINE (CILINDRPRIZMATINE (CILINDRPRIZMATINE (CILINDRPRIZMATINE (CILINDRINE) KROVNE LJUSKEINE) KROVNE LJUSKEINE) KROVNE LJUSKEINE) KROVNE LJUSKE
Prizmatinim se nazivaju one ljuske koje nastaju translacijom prave izvodnice po dvema
identinim voicama, najee u obliku elipse, parabole ili krunice. Gauss-ova krivina ovih
ljuski je jednaka nuli, a, da bi zadrale oblik pod optereenjem, moraju zavravati krutim
dijafragmama (Sl. 8/39a). Kako su, iz uslova na konturi, meridijalne sile N jednake nuli na
podunim ivicama, to se optereenje ljuske moe prenositi samo savijanjem.
Sl. 8/39. Elementi prizmatine krovne konstrukcije i membranske presene sile
Sl. 8/40. Popreni i poduni presek kroz prizmatinu ljuskastu krovnu konstrukciju
U podunom pravcu, grubo, ljuska se ponaa kao gredni element raspona l1, a savojna kru-
tost ovakve grede se uveava projektovanjem ivinih elemenata (Sl. 8/39, Sl. 8/40).
Ovakve ljuske se najee projektuju kao vietalasne, reanjem jedne uz drugu na nain da
dve susedne imaju zajedniki ivini element. Kod srednjih ivinih elemenata ovo rezultira
ponitavanjem horizontalnih projekcija membranskih sila N. Kod srednjih ljuski je, ovim,
savijanje u poprenom pravcu znaajno redukovano, a u podunom pravcu raspodela nor-
malnih sila Nx priblino odgovara onoj kod grednih elemenata. Krajnje ljuske, pak, zahtevaju
sloeniji (momentni) proraunski tretman u oba pravca. Alternativa je dodatno ukruenje
krajnjih ljuski poprenim dijafragmama u cilju smanjenja poprenih deformacija. Na Sl. 8/41,
za jednorasponsku ljusku, prikazan je uticaj poprenog ukruenja na deformaciju ljuske.
-
8. Armiranobetonske ljuske
393
Sl. 8/41. Deformacija ljuske, optereene sopstvenom teinom, bez i sa poprenim ukruenjem
I u podunom pravcu ljuske mogu biti projektovane kao vierasponske.
Specifian nain primene cilindrinih ljuski, kod ed krovova, prikazan je na Sl. 8/42.
Sl. 8/42. Primena cilindrinih ljuski kod ed krovova
Iako je membransko stanje naprezanja karakteristika veeg dela povrine ljuske (bar kad je o
optereenjima od sopstvene teine ili snega re), na spoju ljuske sa dijafragmama i ivinim
elementima ono je neminovno narueno i, na ovim mestima, javljaju se poremeajni uticaji.
Njihovo proraunsko odreivanje je mogue samo korienjem klasine momentne teorije
ljusaka ili, danas je to uobiajena praksa, primenom softvera baziranih na metodi konanih
elemenata.
Ljuske kod kojih je odnos raspona l2 prema l1 vei od 1 (redovno izmeu 3 i 4) nazivaju se
dugimdugimdugimdugim. Njihov rad u podunom pravcu je blizak grednom elementu raspona l1 i poprenog
preseka koji formiraju ljuska i ivini elementi. Raspon dugih ljuski u podunom pravcu je
uobiajeno izmeu 20 i 30m. Strela svoda, f, zajedno sa visinom ivinog elementa, usvaja se
veom od desetine podunog i estine poprenog raspona. Ivini elementi (Sl. 8/43; date su
i uobiajene dimenzije) mogu biti projektovani razliitih oblika, zavisno od intenziteta poje-
dinih uticaja, te potrebe prijema horizontalnih i/ili vertikalnih optereenja s ljuske.
Sl. 8/43. Mogui oblici poprenog preseka ivinih elemenata
Oslonake dijafragme mogu biti projektovane kao puni zidni nosai, reetkasti, luni (sa
zategom) ili okvirni. Na Sl. 8/44 prikazani su neki oblici oslonakih dijafragmi i popreni
preseci ivinih elemenata vietalasnih ljuski.
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
394
Sl. 8/44. Dijafragme i ivini elementi vietalasnih ljuski
Priblini proraun dugih ljuski, za srednja polja vietalasnih dispozicija, moe odgovarati
proraunu grednih elemenata iji popreni presek formiraju preseci ljuske i ivinih elemena-
ta. Poloaj neutralne linije odreuje se za ovako pretpostavljeni homogen presek. Dodatna
aproksimacija moe biti pretpostavka linearne raspodele normalnih napona po visini prese-
ka, kako je na Sl. 8/45 prikazano za presek ljuske bez ivinih elemenata.
Sl. 8/45. Aproksimacija raspodele normalnih i smiuih napona po visini preseka ljuske
Kod krajnjih talasa, ili jednotalasnih ljuski, krajevi preseka se mogu pomerati i horizontalno i
vertikalno, pa prethodna aproksimacija ne moe biti efikasno primenjena.
Presek dugih ljuski se dimenzionie prema dijagramu normalnih napona x, glavnih kosih
napona po vrednosti jednakih smiuim x i napona od poremeajnih momenata savijanja.
Zateue normalne napone u celini prihvata armatura, ija se potrebna povrina odreuje iz
rezultantne sile zatezanja. Za kruni cilindar Sl. 8/45, bie:
( )0 02 sinxgu gg
r hZ r r y
y
= . ...................................................................... (8.51)
Sl. 8/46. Optereenje dijafragme
Smiui naponi (na visini neutralne linije brojno jednaki glavnim kosim naponima) se odre-
uju iz globalne smiue sile, Tu, na poznat nain, usvajajui za irinu preseka dvostruku
debljinu ljuske (S statiki moment povrine preseka iznad teita):
2
ux
T SI h
=
. ............................................................................................................................ (8.52)
Na dijafragme se optereenje s ljuske prenosi preko sila Sx, koje tangiraju srednju povr lju-
ske (Sl. 8/46), a odreuju se iz smiuih napona u ljusci na osloncu. Uz ovo, dijafragme su,
naravno, optereene i sopstvenom teinom.
-
8. Armiranobetonske ljuske
395
Poduna zategnuta armatura (8.51) se, po pravilu, koncentrie u dno ivinog elementa (na
maksimalnom kraku) i, naelno, njena koliina opada od sredine raspona ka osloncima (Sl.
8/47a). Ljuska se armira mreom, u podunom i poprenom pravcu, po celoj povrini, a lju-
ske debljine vee od 9cm se armiraju dvostruko. Uz ivine elemente i uz dijafragme, potreba
za armaturom se odreuje i na osnovu intenziteta poremeajnih uticaja, kada je ljuska opte-
reena na savijanje sa aksijalnom silom. Prelaz od ljuske prema ivinom elementu esto
(posebno u sluaju vrlo tankih ljuski) treba projektovati kao zadebljan (vuta). Na spoju sa
ivinim elementom debljina ljuske je 2 do 2.5 puta vea od one u sredinjem delu, a duina
postepenog poveanja debljine je minimalno 10 debljina ljuske (Sl. 8/47b).
Sl. 8/47. Armiranje preseka ivinog elementa
KratkeKratkeKratkeKratke ljuske su one sa podunim rasponom manjim od poprenog. Poduni rasponi su
uobiajeno u granicama izmeu 5 i 12m, popreni idu i do 30m, strela luka se usvaja veom
od sedmine poprenog raspona, a debljine ljuski se usvajaju u granicama izmeu 6 i 12cm.
Ovakve ljuske prostorno prenose optereenje i aproksimacije komentarisane kod dugih ljuski
ovde ne mogu biti primenjene. Ljuska preko smiuih napona koji tangiraju srednju povr
prenosi optereenje na dijafragme (samo 4-5% optereenja ljuske se na dijafragme prenese
preko poprenih poremeajnih sila).
Sl. 8/48. Kratka prizmatina ljuska
Priblino, zategnuta armatura u ivinim elementima moe se odrediti usvajanjem kraka unu-
tranjih sila jednakim oko 55% visine celog preseka:
( ) ( )2 2
2 1 2 118 2 0.55 9
u ua
v v v v
Z M q l l q l lAz f a f a
= = = =
+ +. .................................... (8.53)
Ljuska se armira lakom mreom (na primer prenikom 6 na razmaku 12 ili 15cm), a mak-
simalni razmak ica ne sme biti vei od dvostruke debljine niti od 20cm. Iznad dijafragmi i
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
396
na spoju ljuske sa ivinim elementima postavlja se dopunska armatura za prijem momenata
savijanja.
DijafragmaDijafragmaDijafragmaDijafragma kratkih ljuski optereena je smiuim silama koje deluju tangencijalno na srednju
povr ljuske. U tom, poprenom, pravcu, ljuska je pritiskujue napregnuta, a za maksimalnu
silu pritiska dovoljno je tano odrediti:
N q r = , ............................................................................................................................ (8.54)
gde je q ukupno optereenje, a r poluprenik zakrivljenosti ljuske. Ukupna sila pritiska za
krajnju i za srednju dijafragmu (poduni pravac) iznosi:
112
N q r l= , 1N q r l= . ................................................................................................. (8.55)
Kako ivini elementi ne mogu primiti pritiskujue sile poprenog pravca, N, to se ove pos-
tepeno smanjuju od maksimalne vrednosti u temenu do nule na ivicama. Zakon ove promene
se moe aproksimirati kvadratnom parabolom (Sl. 8/49):
( ) 21 2 22 /xN q r l l x x l= . za krajnju, i ........................................................................... (8.56) ( ) 21 2 24 /xN q r l l x x l= , za srednju dijafragmu. ......................................................... (8.57)
Sl. 8/49. Kvadratna parabola
Smanjenje sile pritiska u ljusci rezultira rastom tangencijalnih sila:
( )1 222
4 2xxdN q r lT l xdx l
= = . ........................................................................................ (8.58)
Za x = 0, za krajnju, odnosno srednju, dijafragmu, bie:
1max2
2 q r lTl
= , i 1max2
4 q r lTl
= . .................................................................................. (8.59)
Uz pretpostavku da se aksijalna sila smanjuje po zakonu sinusa, rezultati za optereenje
dijafragme su slini, za krajnju, odnosno za srednju, dijafragmu:
1max22
q r lTl
pi =
, i 1max2
q r lTl
pi = . ................................................................................. (8.60)
8.3.2.8.3.2.8.3.2.8.3.2. KROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNE ZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTI
Sferne krovne ljuske se mogu izvoditi i ojaane rebrima u vidu rebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupola. Rebra se
pruaju u meridijalnim i prstenastim ravnima i monolitno su vezana s tankom ljuskom. Pri
dnu kupole, rebra se spajaju pomou leinog prstena, koji prima razupirue sile meridijal-
nih rebara. esto se izvode od montanih elemenata (Sl. 8/51).
-
8. Armiranobetonske ljuske
397
Sl. 8/50. Rebraste kupole
Sl. 8/51. Montani element rebraste kupole i detalj spoja rebrom
Proraun rebrastih kupola je relativno komplikovan ve i za rotaciono simetrino opteree-
nje, zbog visokog stepena statike neodreenosti.
Plitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuske nastaju translacijom izvodnice u obliku parabole, elipse ili krunice po dvema
voicama koje su takoe u obliku parabole, elipse ili krunice. Mogu se zamisliti kao iseak
kupole nad ne-krunom (pravougaonom, trougaonom...) osnovom. Poput ostalih ljuski s
pozitivnom Gauss-ovom krivinom, odlikuju se velikom krutou, a optereenje prenose u
dva smera. Otud, njihova primena je karakteristina za velike raspone i povrine i u tom
smislu su u prednosti nad prizmatinim (izmeu ostalog, i manje debljine ljuske). Plitkima se
nazivaju one ljuske kod kojih odnos strele prema kraem rasponu nije vei od 1/5.
Mogu biti jednotalasne i vietalasne, kao i kratke i duge. Kratke ljuske u podunom pravcu
najee naleu na dijafragme, a u poprenom na ivine elemente (Sl. 8/52a). Krajevi ljuske,
uz spoj sa oslonakim elementima, se postepeno zadebljavaju do debljine 2 do 2.5 puta
vee od one u sredinjem delu, na irini od priblino petnaestine do desetine odgovarajueg
raspona.
Sl. 8/52. Plitke ljuske
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
398
I eksperimentalna ispitivanja potvruju membranski rad sredinjeg dela ljuske sredinji
deo je izloen dvoosnom aksijalnom pritisku, to implicira konstruktivno armiranje. Podune
zateue sile, kao i momenti savijanja u poprenom pravcu, se javljaju u zoni ivinih eleme-
nata. Smiue sile su koncentrisane u uglovima ljuske i prihvataju se ivinim ojaanjima.
Sl. 8/53. Pomeranje i aksijalne sile Nx plitke ljuske optereene sopstvenom teinom
Plitke ljuske se mogu proraunavati samo priblino po teoriji ljuski, ali se danas uspeno
proraunavaju primenom numerikih metoda (MKE). Problematinost egzaktnog proraun-
skog tretmana posebno je izraena u aspektu kontrole izboavanja, zbog ega ovde valja biti
oprezan i konzervativan.
Ljuska se armira u smeru glavnih napona zatezanja i mreom koja se postavlja po celoj
povrini. Uz ivice, ljuska se obavezno armira dvostruko.
Konoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuske nastaju translacijom prave izvodnice po dvema voicama, od kojih je prva
prava, a druga je kriva. Kako kriva voica moe biti razliitih oblika, to je i velik broj mogu-
nosti obrazovanja konoidnih ljuski. Za pokrivanje povrina najpogodnije su one konoidne
ljuske kojima je druga izvodnica mimoilazni pravac (hiperbolini paraboloid, Sl. 8/54a) ili
parabola (konoid, Sl. 8/54b).
Hiperbolini paraboloid je ljuska negativne Gauss-ove krivine (jedan pravac je konveksan,
drugi konkavan), to je ini deformabilnom i zategnutom u jednom pravcu, ali se oplata
moe formirati od pravih dasaka, to znaajno pojednostavljuje izvoenje (Sl. 8/55).
Sl. 8/54. Primeri konoidnih ljuski: hiperbolini paraboloid i konoid
Sl. 8/55. Konkavni i konveksni pravac hiperbolinog paraboloida i prave izvodnice
Moe biti oslonjen na samo dva stuba. Ako stubovi podupiru nie uglove, potrebno je izme-
u stubova projektovati zategu (Sl. 8/56b). Ako su poduprti vii uglovi, poeljno je projekto-
vati razupira, kako je pokazano na Sl. 8/56a.
-
8. Armiranobetonske ljuske
399
Sl. 8/56. Hiperbolini paraboloid oslonjen na dva stuba
Krovnu konstrukciju je mogue formirati i kombinovanjem vie hiperbolinih paraboloida (Sl.
8/57).
Sl. 8/57. Kombinovani krovovi od hiperbolinih paraboloida
Sl. 8/58. Proraunski model hiperbolinog paraboloida
Vertikalno optereen (ravnomerno po osnovi) hiperbolini paraboloid se moe jednostavno
proraunati po membranskoj teoriji (drugi izvod po x i y osi je jednak nuli). Jednaina sred-
nje povri je (Sl. 8/58):
z C x y= .............................................................................................................................. (8.61)
Smiue sile u presecima paralelnim s ivicama se odreuju prema:
( ) ( )2 2xyN Z C G C= = , za Z G= , ............................................................................... (8.62) a normalne sile, ondo glavne normalne sile (u dijagonalnim presecima) su:
0x yN N= = , 1 2 xyN N N= = . ............................................................................................ (8.63)
Na ivicama ljuske smiue sile moraju preuzeti ivini elementi ili dijafragme.
Hiperbolini paraboloidi su zbog svoje statike i konstrukcijske jednostavnosti, te zbog
vizuelnog efekta, vrlo privlane za primenu. Meutim, valja biti oprezan kad su njihove mane
u pitanju (negativna Gauss-ova krivina ini ove ljuske vrlo osetljivim na promenljiva lokalna i
na koncentrisana optereenja, kao i na promenne oblika usled, na primer, izduenja zatege).
Armiraju se ortogonalnom mreom u jednom ili dva reda, a izmeu njih se postavlja kosa
armatura za prihvat smiuih sila.
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
400
Sl. 8/59. Iseak konoidne ljuske kao ed-krov
Konoid je racionalna ljuska preteno naprezana membranskim uticajima, a pogodna za ed
krovne konstrukcije (Sl. 8/59). U donjem delu konoida se javljaju zateue sile i potreba za
zategnutom armaturom. Armatura se postavlja u dva reda u podruju pritiska, a u zategnu-
toj zoni se moe armirati jednostrukom mreom. Izmeu dva sloja armature, u uglovima
ploe treba postaviti kosu armaturu za prihvatanje glavnih kosih napona zatezanja.
8.3.3.8.3.3.8.3.3.8.3.3. POLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKE KROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJE
Poliedarske povri se formiraju od tankih ravnih ploa monolitno vezanih pod izvesnim
uglom na nain da formiraju noseu strukturu. Svaka ivica je oslonac dveju susednih ploa.
Zavisno od oblika pojedinih ploa (pravougaone, trapezne, trougaone) razlikujemo prizmati-
ne ili piramidalne poliedarske konstrukcije. Ploe poliedara su uglavnom napregnute u sop-
stvenim ravnima, ali neizostavno i momentima savijanja i smiuim silama na ivicama: zbog
monolitne veze izmeu noseih povrina, podune deformacije u pravcu pruanja ivice
moraju biti jednake, a time i normalni naponi, zbog ega po se ivici javljaju smiue sile.
Proraun uticaja u presecima povri je danas podrazumevan kao rezultat primene metode
konanih elemenata.
Rasponi poliedarskih krovnih konstrukcija uobiajeno dostiu raspone reda 20 do 30m, a
kao prednapregnute i znatno vee (do 60m). Nabori se postavljaju u poprenim pravcima i
oslanjaju se na dijafragme krute u svojoj ravni (Sl. 8/60). Zbog jednostavnijeg izvoenja
(jednostavnija oplata) mogu biti u znaajnoj prednosti u odnosu na cilindrine ljuske (uprkos
manjoj ekonominosti po pitanju utroka materijala).
Sl. 8/60. Neke mogunosti oblikovanja poliedarskih krovnih konstrukcija
irina jednog poliedarskog elementa uobiajeno ne prelazi 3.0 do 3.5m i projektuju se deb-
ljine, uobiajeno, 5 do 9cm. Visina krovne konstrukcije je u intervalu izmeu dvadesetine i
desetine raspona. esto se izvode od montanih elemenata, a neki od ee korienih obli-
-
8. Armiranobetonske ljuske
401
ka poprenih preseka su prikazani na Sl. 8/61. Mogu biti jednorasponske ili vierasponske, a
irina talasa, l2, je uobiajeno izmeu 10 i 12m.
Sl. 8/61. esto korieni preseci montanih elemenata poliedarskih krovova
Priblini proraun prizmatinih poliedarskih konstrukcija moe biti sproveden analogno
cilindrinim (Sl. 8/62).
Sl. 8/62. Proraunski model priblini proraun
Neki primeri sloenijih poliedarskih krovova, formiranih od trougaonih ploa su prikazani na
Sl. 8/63.
Sl. 8/63. Sloeni poliedarski krovovi formirani od trougaonih ploa
atoraste konstrukcije su poliedarske konstrukcije formirane od monolitno vezanih trapez-
nih i trougaonih ploa okrenutih vrhom nagore, najee oslonjene u uglovima na stubove
(Sl. 8/64).
Sl. 8/64. atorasti krovovi
Zbog konveksnog oblika, mogu biti racionalne i za blage nagibe, a pri tome minimalno armi-
rane. Strele atora su uobiajeno u rasponima L/12 do L/8.
Na Sl. 8/65a prikazan je karakteristian detalj armiranja u poprenom preseku nabora. Ploe
se armiraju glavnom armaturom za prijem savijanja u pravcu raspona sloene ljuske (takas-
to prikazana armatura u ivinoj zoni), te poprenom armaturom koja, naelno, obezbeuje
popreni prenos optereenja sa ploa na ivine elemente (ivice). U blizini ivice i dijafragme
ploe se armiraju u dva reda radi prihvatanja negativnih momenata savijanja. Dodatno, na
spoju ploe i dijafragme se postavlja armatura za prijem smiuih sila (Sl. 8/65b).
-
Bruji - Betonske konstrukcije radna verzija - 28. novembar 2013
402
Sl. 8/65. Neki detalji armiranja poliedarskih krovova
Za maksimalne doputene razmake ipki armature, te za minimalne procente armiranja, vae
iste odredbe kao i za pune ploe.