ПРОБНЫЕ УРОКИ для учащихся 7–11 классовМАТЕМАТИКА - 7...

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ЗАОЧНАЯ ШКОЛА МИФИ

ПРОБНЫЕ УРОКИ

для учащихся 7–11 классов

v математика v физика v русский язык v химия

Москва

Содержание Математика 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Физика 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Русский язык Неорганическая химия (9 класс) Химия 10 класс 11 класс Ответы и решения к контрольным заданиям

3 8 13 23 28

32 39 46 55 64 72 79

84 94

101

МАТЕМАТИКА - 7 класс

3

МАТЕМАТИКА

7 класс

Тема: ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Числа, которые используются для счета предметов, называ-ются натуральными: 1, 2, 3, 4, 5... Все натуральные числа (кроме 1) разделяются на простые и составные числа. Число называется простым, если оно делится только на са-мо себя и единицу (например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...). Число называется составным, если оно имеет хотя бы один делитель, который не равен самому числу или единице (например, число 24 является составным, так как имеет такие делители, как: 2, 3, 4, 6, 8, 12). Рассмотрим признаки делимости натуральных чисел. 1. Число делится (без остатка или нацело) на число 2, если его последняя цифра четная или 0. (Напоминаем, что число 0 не яв-ляется ни четным, ни нечетным.) Например, число 12754 делится на 2, а число 12753 не делится. 2. Число делится на число 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, число 12753 делится на 3, так как сумма цифр его 1+2+7+5+3=18 делится на 3. Число 12754 в сумме цифр составляет 1+2+7+5+4=19, которая на 3 не делится, поэтому и само число 12754 на 3 не делится. 3. Число делится на число 4, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 4 или являются нулями. На-пример, число 76412 делится на 4, так как двузначное число, образо-ванное двумя последними цифрами, 12 делится на 4. А число 75414 не делится на 4, так как число 14 не делится на 4. Обратите внимание на этот признак делимости. Очень часто школьники «ошибочно» сокращают этот признак до такого: число делится на 4, если две его последние цифры делятся на 4. Разумеет-ся, это неправильно. В рассмотренном примере число 75412 делится на 4, хотя ни одна из его последних цифр (1 и 2) не делится на 4.


4

4. Число делится на число 5, если его последняя цифра 0 или 5. Например, числа 12750 и 12755 делятся на число 5, а число 12752 не делится на 5. 5. Число делится на число 8, если три его последние цифры образуют число, которое делится на 8 или являются нулями. На-пример, число 12408 делится на 8, так как число 408 делится на 8. Число 12412 не делится на 8, так как число 412 не делится на 8. 6. Число делится на число 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, число 91305 делится на 9, так как сумма его цифр, рав-ная 9+1+3+0+5=18, делится на число 9. Число 91307 имеет сумму цифр 9+1+3+0+7=20, которая на 9 не делится, значит, и само это число на 9 не делится. 7. Число делится на число 10, если его последняя цифра 0. Например, число 12750 делится на 10, а число 12754 на 10 не делит-ся. Мы напомнили только основные признаки делимости (так, гораздо более сложный признак делимости на число 7 не был рас-смотрен), которые позволяют решать более сложные задачи. Пример 1. Определить, на какие из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 15, 18, 20 делится число 1573020. Решение. 1. По последней цифре данного числа (цифра 0) определяем, что оно делится на 2, 5, 10. 2. По числу, образованному двумя последними цифрами (число 20), находим, что оно делится на 4. 3. По числу, образованному тремя последними цифрами (число 020 или 20), получаем, что данное число на 8 не делится. 4. По сумме цифр данного числа 1+5+7+3+0+2+0=18 опреде-ляем, что оно делится на 3 и на 9. 5. Так как 6=3⋅2, а данное число делится и на 2 и на 3, то оно делится и на 6. 6. Так как 15=3⋅5, 18=2⋅9, 20=4⋅5, то аналогично п.5 опреде-ляем, что данное число делится и на 15, 18, 20. Ответ: число 1573020 делится на числа 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 20 и не делится на число 8.


5

Пример 2. Является ли число 123456789 простым ли состав-ным? Решение. Используя признаки делимости, сразу определяем, что данное число не делится на числа 2, 4, 5, 8, 10. Проверим, де-лится ли оно на 3 и 9. Найдем сумму цифр данного числа: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Так как сумма цифр делится на 3 и 9, то и данное число делится на 3 и 9. Поэтому число является составным. Ответ: данное число составное. Заметим, что не всегда одно натуральное число нацело де-лится на другое. Например, при делении числа 27 на число 4 полу-чаем в частном 6 и в остатке 3. Эту операцию можно записать в ви-де: 27=4⋅6+3 или в общем виде:

делимое (27) =делитель (4) ⋅ частное (6) + остаток (3). При этом остаток должен быть натуральным числом и

меньше, чем делитель. Так, число 27 можно записать и в виде 27=4⋅5+7. Но нельзя

считать, что при делении числа 27 на число 4 в частном получается 5 и в остатке 7, так как остаток должен быть меньше делителя.

Число 27 можно записать как 27=4⋅7+(–1). Нельзя считать, что при делении числа 27 на число 4 в частном получается 7 и в ос-татке (–1), так как остаток должен быть натуральным числом и не может быть числом отрицательным.

Таким образом, записать деление одного натурального числа на другое натуральное число с остатком можно только единствен-ным образом в виде:

делимое = делитель ⋅ частное + остаток. Такая форма записи позволяет решать достаточно широкий

круг задач. Пример 3. Одно натуральное число при делении на 9 дает

остаток 7, а другое натуральное число при делении на 9 дает остаток 8. Найти остаток от деления суммы этих натуральных чисел на чис-ло 9.

Решение. Пусть первое натуральное число n дает в частном число х и остаток 7. Тогда его можно записать в виде n = 9x + 7.


6

Второе натуральное число m дает в частном число y и остаток 8. За-пишем это число в виде m = 9y + 8. Найдем сумму чисел n и m:

n + m = 9х + 7 +9у + 8 = 9х + 9у + 15 =9х + 9у + 9 + 6. В числе 9х + 9у + 9 вынесем общий множитель 9 за скобки и

получим 9х + 9у + 9 = 9(х+у+1). Тогда n + m = 9(х+у+1). Эта запись означает, что при делении числа (n + m) на число 9 частное равно (х+у+1) и остаток равен 6. Само частное (х+у+1) найти нельзя, так как для данных чисел не были известны частные х и у, однако оста-ток от деления сумм данных чисел на 9 находится и равен 6.

Ответ: сумма данных чисел при делении на число 9 дает остаток 6.

Пример 4. Мальчик раскладывает коллекцию значков. Если он раскладывает в ряд по 3 значка, то в последнем ряду остаются 2 значка. Если он раскладывает в ряд по 4 значка, то остаются 3 знач-ка. И, наконец, если он раскладывает в ряд по 5 значков, то остаются 4 значка.. Какое наименьшее число значков может быть в коллекции у мальчика?

Решение. Предположим, что мальчику подарили еще один значок. тогда в первом случае у него уже останется не 2, а 2+1=3 значка, то есть полный ряд.

Во втором случае будет в последнем ряду 3+1=4 значка, то есть опять полный ряд.

В третьем случае у мальчика в последнем ряду будет уже не 4, а 4+1=5 значков – опять полный ряд. Таким образом, имея дополнительный значок, мальчик может без остатка разложить коллекцию в ряды по 3, 4 или 5 знач-ков. Так как числа 3, 4, 5 не имеют общих делителей, то число, кото-рое без остатка делится на 3, 4, 5, равно их произведению, то есть 3⋅4⋅5=60, или числам, кратным ему (120, 180, 240, 300,...). Однако таким наименьшим числом является 60.

Но у мальчика на самом деле в коллекции было на 1 значок меньше, т.е. 60–1=59 значков. Легко проверить (непосредственным делением), что число 59 при делении на 3 дает остаток 2, при деле-нии на 4 – остаток 3, при делении на 5 – остаток 4.

Ответ: в коллекции было 59 значков.


7

Пример 5. Какую цифру надо приписать справа к числу 32753, чтобы оно при делении на 3 давало в остатке 1?

Решение. Подход к этой задаче подобен подходу к примеру 4. Предположен, что мы приписали справа цифру Х и получили чис-ло 32753Х, которое при делении на 3 дает остаток 1.

Если бы мы приписали цифру, бóльшую на 2, то есть (Х+2), то получили бы число 32753(Х+2), которое без остатка делилось бы на 3. В этом случае (по признаку делимости) сумма цифр этого чис-ла делится на 3. Найдем сумму цифр этого числа:

3 + 2 + 7 + 5 + 3 + Х + 2 = 22 + Х. Число (22+Х) будет без остатка делиться на 3, если Х=2, Х=5

или Х=8. Это легко проверить непосредственным делением. Ответ: надо приписать одну из цифр: 2, 5, 8.

Контрольные задания

1. Из всех цифр 0, 1, 2, 3, ..., 9, употребив каждую из них только по одному разу, составлены всевозможные числа. Являются ли эти числа простыми или составными? Варианты ответа: а) простыми; б) составными. 2. Найти сумму всех двузначных чисел, которые без остатка делятся на 3. Варианты ответа: а) 1565; б) 1665; в) 1675. 3. Миша может съесть банку варенья за 4 часа, а Оля – за 5 часов. За какое наименьшее время они вдвоем съедят это варенье (пока родители не вернулись домой)?

Варианты ответа: а) 4,5 ч; б) 3 ч; в) 2 29ч.

4. Натуральное число при делении на 5 дает остаток 4. Какой остаток при делении на 5 дает число вдвое большее? Варианты ответа: а) 2; б) 4; в) 6.


8

8 класс Тема: АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА (МОДУЛЬ)

Определение и простейшие свойства. Абсолютной величи-

ной числа a называется само это число, если оно неотрицательно и число с обратным знаком, если оно отрицательно. Более кратно это можно записать так

aa a

a a=

≥− <

, ;, .если если

00

Приведем примеры.

5 5= ; − =12

12

; 0 0= ; 3 3− = −π π .

Замечание. Пусть на числовой прямой заданы точки a и b. Ка-кой геометрический смысл имеет выражение a b− ? Рассмотрим два случая:

1) если a b≥ , то a b− ≥ 0, т.е. точка a лежит правее b и a b a b− = − — расстояние между точками a и b;

2) если a b< , то a b− < 0 и a b b a− = − — расстояние между

точками a и b. Таким образом, a b− — это расстояние между точками на чи-

словой прямой. Приведем без доказательства несколько свойств модуля:

a b a b⋅ = ⋅ ;

a b a b+ ≤ + ;

a b a b− ≥ − .


9

Решение уравнений, содержащих модуль. Пример 1. Решить уравнение .1062 =−x

Решение. Так как ( )2 6 2 3 2 3 2 3x x x x− = − = − = − , то ис-ходное уравнение принимает вид

2 3 10x − = или x − =3 5. Далее можно решать двумя способами. Способ 1. Решить уравнение x − =3 5 — это, значит, найти на

числовой прямой точки, отстоящие от точки 3 на расстояние, равное 5. Такими точками являются точки x = −2 и x = 8.

Способ 2. Выражение

xx x

x x− =

− ≥− <

33 3

3 3, ;, .если если

Таким образом, мы рассмотрим два случая. Если x ≥ 3, то уравнение принимает вид x − =3 5 или x = 8.

Этот корень удовлетворяет условию x ≥ 3, и, следовательно, он яв-ляется решением уравнения.

Если x < 3, то уравнение принимает вид

3 5 3 5 2− = ⇔ − = − ⇔ = −x x x .

И этот корень принадлежит области x < 3, поэтому тоже явля-

ется решением уравнения. Ответ. { }− 2 8; . Решение неравенств, содержащих модуль. Пример 2. Решить неравенство x + ≥5 2. Решение. Преобразуем подмодульное выражение

( )x x+ = − −5 5 ,


10

т.е. найдем те точки x на прямой, которые отстоят от ( )− 5 не менее, чем на 2.

Ответ: ( ] [ )x ∈ − ∞ − ∪ − + ∞, , .7 3 Графики функций, содержащих знак модуля. Пример 3. Изобразить график функции y x x= + −2 . Решение. Так как

22 2 0

2 2 02 2

2 2− =

− − ≥− − <

=− ≤− >

xx x

x xx x

x x,,

, ;, ,

если если

если если

то

yx x xx x x

xx x

=+ − ≤+ − >

=≤

− >

2 22 2

2 22 2 2

,,

, ;, .

если если

если если

Построим график функции y = 2 при x ≤ 2. На графике об-ласть x ≤ 2 отмечена штриховкой. Строим прямую y = 2 и выделя-ем ту часть этой прямой, которая попала в заштрихованную область.

Построим график функции y x= −2 2 при x > 2. Для этого вы-

деляем ту часть прямой y x= −2 2 , которая попала в область x > 2 (эта область заштрихована).


11

Теперь объединим выделенные части графиков на одном чер-

теже.

Тест

1. Сравнить числа A = −2 34

и B = −12

1 75, .

Варианты ответа: а) А>B; б) A=B; с) A<B. 2. Решить уравнение 2 3 5x + = . Варианты ответа: а) { }1 ; б) нет решения; в) { }− 4 ; г) { }− 4 1; . 3. Решить неравенство x − ≤2 0 . Варианты ответа: а){ }2 ; б){ }0 2; ; в) нет решения;

г) ( ) ( )− ∞ ∪ + ∞, ,2 2 .

4. Изобразить график функции 11

++

=xxy .


12

Варианты ответа:

а)

б)

в) г) 5. Написать уравнение, множество решений которого

или ( ) ( )x ∈ − ∞ − ∪ + ∞, ,3 1 . а) x > 1;

б) x + >1 2 ; в) x + ≥1 2 ; г) x x+ > −3 1 .


13

9 класс

Тема: УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ, БАЗИРУЮЩИЕСЯ НА ИССЛЕДОВАНИИ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА

Этот урок посвящен изучению начальных (и вместе с тем ос-новных!) сведений из большого раздела «Уравнения, неравенства и системы с параметрами». Умение решать задачи из этого раздела — залог хорошей оценки на вступительном экзамене по математике не только в технические университеты, но и в самые «элитные» эконо-мико-финансовые учебные заведения.

Для успешного освоения темы урока не требуется специаль-ной подготовки. Достаточно вспомнить (или напомнить самому себе с помощью школьного учебника) известные факты.

1. Квадратное уравнение в общем случае имеет вид: ax bx c2 0+ + = ,

где a, b, c — действительные числа. 2. Это уравнение может иметь:

1) два корня: x b b aca1 22 4

2, ,= − ± − если b ac2 4 0− > и

a ≠ 0;

2) один корень: x ba

= −2

, если b ac2 4 0− = и a ≠ 0;

либо x cb

= − , если a = 0 и b ≠ 0 (в этом случае квадратное

уравнение превращается в линейное уравнение bx c+ = 0 ); 3) не иметь корней, если b ac2 4 0− < ; 4) иметь бесчисленное множество корней, но лишь тогда, ко-

гда a b c= = = 0, т.е. когда уравнение имеет вид 0 0 0 02⋅ + ⋅ + =x x и обращается в тождество 0 0≡ .

3. Выражение D b ac= −2 4 называется дискриминантом и ес-ли:


14

1) D > 0 (и a ≠ 0 ), то квадратное уравнение имеет два корня; 2) D = 0 (и a ≠ 0 ), то квадратное уравнение имеет один ко-

рень или два одинаковых корня; 3) D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет. 4. Для квадратного ( a ≠ 0 !) уравнения справедлива теореме

Виета: для того чтобы числа x1 и x2 были корнями уравнения

ax bx c2 0+ + = , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись ра-

венства x x ba1 2+ = − , x x c

a1 2⋅ = .

5. Квадратный трехчлен в общем случае имеет вид ax bx c2 + + . Это выражение содержит три члена (три слагаемых) и наивысшая степень переменной x — вторая, т.е. x «в квадра-те». Отсюда и название — квадратный трехчлен.

6. Графиком функции cbxaxy ++= 2 является (при a ≠ 0 !) парабола.

Пример 1. Существуют ли значения a, при которых уравнение

( ) ( ) ( )a a x a a x a a2 2 2 26 15 2 3 0− − − + − + − − = имеет больше двух

корней? Решение. Квадратное уравнение Ax Bx C2 0+ + = имеет не

более двух корней, если A, B и C одновременно не равны нулю. Больше двух корней, точнее бесчисленное множество решений, уравнение может иметь лишь при A B C= = = 0. Проверим, возмож-на ли такая ситуация.

A a a= − − =2 6 0, откуда a11 2= − , a12 3= ;

B a a= + − =2 2 15 0, откуда a21 5= − , a22 3= ;

C a a= − − =2 2 3 0, откуда a31 1= − , a32 3= . Замечаем, что при a = 3 A B C= = = 0. Ответ: при a = 3 исходное уравнение имеет более двух кор-

ней (бесчисленное множество). Пример 2. При каких a графики функций y ax= +2 1 и

( )y a x= − −6 22 не пересекаются?


15

Решение. Оба графика существуют при любых a. Если эти графики пересекаются, то точка пересечения ( )x yп п, принадлежит обоим графикам. Значит, при x x= п графики имеют одинаковые

ординаты y axп п= +2 1 и ( ) .26 2пп −−= xay Приравняв правые час-

ти соотношений, получим: ( )2 1 6 22ax a xп п+ = − − или ( )a x ax− − − =6 2 3 02

п п . Если это уравнение имеет решение, то точки пересечения су-

ществуют. Проверим есть ли значения a, при которых уравнение не имеет решений (т.е. отсутствуют точки пересечения). Этому случаю соответствует:

( ) ( ) ( )D a a= − − ⋅ − <2 4 6 3 02 → 4 12 72 02a a+ − < или

a a2 3 18 0+ − < → ( )( )a a− + <3 6 0. Воспользовавшись методом

интервалов (см. пособие ЗФМШ МИФИ), находим решение неравен-ства ( )a ∈ − 6 3; .

Ответ: при ( )a ∈ − 6 3; гра-фики функций не пересекаются.

Параболы на координатной плоскости хОу могут занимать раз-личные положения в зависимости от коэффициентов a, b и c квадратного трехчлена. Например, хорошо всем известная парабола y x= 2 имеет вершину в начале координат в точке О(0; 0) и ее ветви направлены вверх. Парабола y x= − 2 тоже имеет вершину в начале координат, но ее ветви направлены вниз (рис. 1).

Основной вопрос, на который предстоит получить в этом уро-ке хотя бы часть ответов, можно сформулировать так: какая сущест-вует связь между положением параболы на координатной плоскости

Рис. 1


16

и коэффициентами a, b, c выражения y ax bx c= + +2 и причем тут квадратные уравнения с параметрами?

Некоторые ответы можно заметить сразу. 1. Выражение y ax bx c= + +2 показывает, какое значение

(у) принимает квадратный трехчлен. Изменяя x, получаем различ-ные значения y. Откладывая значения x на оси абсцисс (ось OX), а соответствующие значения y на оси ординат (ось OY), получаем график функции ( )y f x ax bx c= = + +2 , а именно параболу.

2. Парабола пересекает ось абсцисс (ось OX), когда y = 0 , т.е.

когда ax bx c2 0+ + = . Поэтому корни уравнения являются точками пересечения параболы и оси абсцисс.

Таким образом, любую задачу, в которой требуется найти корни любого квадратного уравнения ax bx c2 0+ + = , можно рас-сматривать как задачу о том, пересекает ли соответствующая пара-бола y ax bx c= + +2 ось абсцисс (т.е. ось, уравнение которой y = 0 ).

3. Если парабола y ax bx c= + +2 пересекает ось абсцисс в двух точках x1 и x2 , то уравнение ax bx c2 0+ + = имеет два корня ( x1 и x2 ) (рис.2).

Рис. 2

4. Если парабола пересекает ось абсцисс в единственной точке

xв , точнее сказать, касается оси, то уравнение имеет один корень (рис. 3).


17

Рис. 3

5. Когда парабола y ax bx c= + +2 не пересекает оси абсцисс,

то уравнение ax bx c2 0+ + = корней не имеет (рис. 4).

Рис. 4 Очень важный вывод (следует из анализа рисунков). Пара-

бола с ветвями, направленными вверх, пересекает ось OX тогда, ко-гда вершина параболы лежит ниже оси OX. Парабола с ветвями, на-правленными вниз, пересекает ось OX тогда, когда вершина парабо-лы лежит выше оси OY.

Пример 3. Какие знаки имеют коэффициенты a, b, c квадрат-ного трехчлена, если соответствующая парабола y ax bx c= + +2 расположена так, как показано на рис. 2 справа.

Решение. Из рисунка видно, что ветви параболы направлены вниз. Поэтому a<0. При х=0 у = а⋅0 + b⋅0 + с = с, а из рисунка видно, что график пересекает ось ординат (она имеет уравнение х=0), когда значение у=с отрицательно, т.е. c<0.Корни x1 и x2 уравнения

ax bx c2 0+ + = , как видно из рисунка, оба положительны. Теорема


18

Виета указывает, что .21 abxx −=+ Поскольку x1 + x2 > 0, то значе-

ние

−

ab должно быть положительно. Раз a<0, то такое возможно

лишь при b>0. Заметим, что знак c можно было также найти воспользовав-

шись теоремой Виета, в которой указывается, что x x ca1 2⋅ = . По-

скольку x1 ⋅ x2 > 0 и a<0, то ac положительно лишь при a<0.

Ответ: для параболы, изображенной на рисунке, a<0, b>0, c<0. c < 0.

Пример 4. При каких значениях параметра a уравнение ( )x a x a2 3 2 2 1 0− + + − =

имеет два корня, причем один из них x1<1, а другой x2>1. Решение. Перефразируем условие: при каких a парабола

( )y x a x a= − + + − =2 3 2 2 1 0 пересекает ось OX в двух точках, одна из них x1 лежит левее едини-

цы, а другая x2 — правее еди-ницы. На рис.5 изображены две из множества парабол, удовле-творяющих условию примера. Ветви параболы направлены вверх (a=1>0). Вершина пара-болы лежит ниже оси OX. Из рисунка более наглядно следу-

ет, что если x1<1 и x2>1, то точка x=1 должна лежать между x1 и x2 , причем значение y(1) (квадратного трехчлена!) в этой точке отрица-тельно:

y(1) = 1 – (3a +2)⋅1 + 2a – 1 < 0. Отсюда: –a + 2 < 0 или a>–2.

Ответ: при a>–2 x1 < 1, а x2> 1.

Рис. 5


19

Рассмотрим вопрос: какие из коэффициентов квадратного трехчлена cbxax ++2 влияют на положение и форму параболы?

Ответ прост. 1. На форму параболы (узкая, крутая или же широкая пологая)

и на направление ветвей (вверх или вниз) влияет только коэффици-ент a.

2. На положение параболы влияют все три коэффициента a, b, c.

Сложнее обстоит дело с обоснованием этого «простого» отве-та. Кроме того, вторая часть ответа ничего конкретного о положении параболы не говорит.

Обоснуем ответ. Для этого выполним так называемое «выде-ление полного квадрата».

=

+−+⋅+=

++=++

ac

ab

abx

abxa

acx

abxacbxax

4422

222

*)2(2

*)1(2

.4

424

42

2222*)3( baca

bxaa

baca

bx −+

+=

−+

+= (1)

На шаге (1*) за скобки вынесен коэффициент a, на шаге (2*)

коэффициент ab представлен в виде

ab2

2 ⋅ и, кроме того, в квадрат-

ные скобки «добавлены» слагаемые a

b4

2 и

−

ab4

2, от которых вы-

ражение в скобках не меняется. На шаге (3*) учтено, что три первых слагаемых в квадратных скобках образуют квадрат суммы

( ) ,2

= где ,2 222

ββ+=β+β+

abxxx

а два последних слагаемых просто приведены к общему знаменате-лю.

Ценность полученного результата можно понять из простого примера. Пусть требуется построить график параболы y x x= − +2 4 5 (заметим, что a = 1 ; b = −4 ; c = 5). Проведем выде-


20

ление полного квадрата (можно просто подставить a, b, c в выраже-ние (1))

( )y x x x x x= − + = − ⋅ ⋅ + − + = − +2 2 2 2 24 5 2 2 2 2 5 2 1. Искомый график мож-

но получить из графика y x= 2 , переместив его на две единицы вправо (по оси x) и подняв на одну единицу вверх (по оси y) (рис. 6).

Таким образом, в ре-зультате операции по выде-лению полного квадрата най-дены координаты вершины параболы: Рис. 6

x baв = −

2, в примере

( )xв = = −

−2

42

;

y ac bв = −4

4

2, в примере ( )yв = =

⋅ ⋅ − −1

4 1 5 44

2

.

Выделение полного квадрата приводит к формуле, по которой вычисляются корни квадратного уравнения, т.е. из

a x ba

ac ba

+

+−

=2

44

02 2

получаем:

a x ba

b aca

+

=−

24

4

2 2

или

x ba

b aca

+

=−

24

4

2 2

2.

Следует обратить внимание на то, что последнее уравнение имеет решение только тогда, когда правая часть неотрицательна, т.е. когда числитель b ac2 4 0− ≥ , поскольку знаменатель и выражение,


21

стоящее в левой части уравнения имеют четкую степень и неотрица-тельны. После извлечения квадратного корня имеем:

x ba

b aa

+ = ± −2

42

2

и окончательно x b b aca

b Da

= − ± − = − ±2 42 2

.

Пример 5. При каких значениях параметра a уравнение

( )x a x a2 3 2 2 1 0− + + − = имеет корни бóльше 1? Решение. Иными словами, надо найти такие a, которые из всех

парабол ( )y x a x a= − + + −2 3 2 2 1, имеющих направленные вверх ветви, задали только параболы пересекающие ось OX правее точки x = 1. Вершины таких парабол должны лежать ниже оси OX (рис. 7). Но левее x1 ветвь па-раболы должна располагаться выше оси OX, т.е. ( )y 1 0> . Но этого условия для выбора нуж-ных парабол недостаточно, по-скольку условию ( )y 1 0> отве-чают параболы (см. пунктир-ную линию), пересекающие ось OX левее x = 1. Отличие искомых парабол от остальных состоит в том, что координата вершины xв > 1, этому соответствует

( )x b

aa

aв = − = −− +

⋅= + >

23 22 1

1 5 1 1, или a > 0.

Учтем условие ( )y 1 0> , воспользовавшись выкладками при-мера, получим a < −2. Поскольку a > 0 и a < −2 не выполняется, то ни при каком a условия задачи не будут соблюдены.

Ответ: таких a нет; a ∈∅.

Рис. 7


22

Контрольные вопросы 1. При каком значении параметра a уравнение 2 8 02x x a− + =

имеет два различных корня? Варианты ответов: 1) при a ≤ 8; 2) при a > 8; 3) при a < 32; 4) при a = 8; 5) при a ≥ 32; 6) при a < 8. 2. Определить, какие знаки имеют коэффициенты a, b, c квад-

ратного трехчлена, если парабола y ax bx c= + +2 расположена так, как показано на рис. слева.

Варианты ответов: 1) a b c> > >0 0 0, , ; 2) a b c> < <0 0 0, , ; 3) a b c> < >0 0 0, , ; 4) a b c> > <0 0 0, , ; 5) a b c< < >0 0 0, , ; 6) a b c< > <0 0 0, , . 3. При каких значениях параметра a уравнение

( )x a x a2 3 2 2 1 0− − + + = имеет два отрицательных корня.

Варианты ответов:

1) − < <12

23

a ;

2) 12

23

< <a ; 3

3) a < 23

;

4) a > − 12

;

5) таких a нет a ∈∅.


23

10 класс

Тема: РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ

Обычно этим методом решаются рациональные или дробно-

рациональные неравенства (т.е. неравенства типа ( )( )

P xQ x

≥ 0, где ( )P x

и ( )Q x — многочлены) или сводящиеся к ним. Решение этих неравенств основывается на следующем утвер-

ждении. Если x xn1, ... , — все корни многочленов ( )P x и ( )Q x ,

расположенные в порядке возрастания, то выражение ( )( )

P xQ x

(или

( ) ( )P x Q x⋅ ) не меняет знака на каждом из интервалов ( )− ∞, x1 ,

( )x x1 2, , ... , ( )x xn n−1 , , ( )xn , .+ ∞

Это означает, что если надо узнать знак выражения ( )( )

P xQ x

на

одном из этих интервалов, то достаточно взять любую точку из это-

го интервала и посмотреть значение выражения ( )( )

P xQ x

в этой точке.

Пример 1. Решить неравенство

( ) ( )( )( )

f xx x

x=

− +

+≥

1 23

02

.

Решение. Отметим на числовой прямой корни числителя и знаменателя x1 3= − , x2 2= − , x3 1= .

Согласно сказанному выше, выражение ( )f x имеет постоян-

ные знаки на интервалах ( )− ∞ −, ,3 ( )− −3 2, , ( )− 2 1, , ( )1, .+ ∞


24

Возьмем любую точку из интервала ( )− ∞ −, ,3 например x = −4 , и посмотрим, чему равно ( )f − 4 .

( ) ( )( )( )

f − =− − − +

− += − ⋅

−= >4

4 1 4 24 3

5 41

20 02

.

Отсюда следует, что ( )f x > 0 при всех ( )x ∈ − ∞ −, .3 При пе-реходе через точку ( )− 3 сменит знак только скобка, стоящая в зна-менателе, а знак остальных скобок остается без изменения. Следова-тельно, ( )f x поменяет знак и ( )f x < 0 при всех ( )x ∈ − ∞ −, .2

При переходе через ( )− 2 ( )f x не изменит знака, так как

скобка ( )x + 2 в четкой степени, и, следовательно, ( )x + 2 2 отрица-тельной быть не может.

При переходе через 1 знак ( )f x снова поменяет знак. Теперь можно записывать ответ. Но надо быть внимательным!

Обычно значение x = −2 теряют. Ответ: ( ) { } [ )− ∞ − ∪ ∪ + ∞, , .3 2 1 Пример 2. Решить неравенство

23 2

32 5

3x x+

<+

− .

Решение. Самая распространенная ошибка — умножение на знаменатель. Надо помнить, что при умножении неравенства на от-рицательное число знак неравенства поменяется.

Перенесем выражение, стоящее в правой части неравенства, в левую и приведем к общему знаменателю.

( ) ( ) ( )( )( )( )

2 2 5 3 3 2 3 3 2 2 53 2 2 5

0x x x x

x x+ − + + + +

+ +< ⇔

( )( )( )( )( )( )

⇔+ +

+ +< ⇔

+ +

+ +<

18 52 343 2 2 5

018 1 17 19

3 2 2 50

2x xx x

x xx x

/.


25

Расставляя знаки как в предыдущем примере, получаем ответ:

− −

∪ − −

52

1 1719

23

, , .

Аналогичный метод можно применять для решения нера-венств на плоскости.

Пример 3. Изобразить на плоскости множество точек, удовле-творяющее неравенству ( )( )x y y2 2 29 4 0+ − − ≥ .

Решение. Сначала построим линии, на которых выражение, стоящее слева, обращается в нуль, т.е. кривые

x y2 2 9+ = и

( ) ( )( )y y y2 4 0 2 2 0− = ⇔ − + = .

Это будет окружность с центром в начале координат и радиусом 3 и две прямые y = 2 и y = −2.

Этими тремя кривыми плоскость разбивается на 7 частей. Заметим, что при переходе через каждую кривую одна из скобок, входящая в выражение

( ) ( )( )( )F x y x y y y, = + − + −2 2 9 2 2 ,

меняет знак, т.е. и все выражение меняет знак. Возьмем точку A с координатами ( )0 1, . Найдем значение вы-

ражения F x y( , ) в этой точке

( ) ( )( )( )F 0 1 1 9 1 2 1 2 24 02, ,= − + − = >

а значит, ( )F x y, > 0 во всей области, содержащей точку A. Это оз-начает, что область нам подходит, а все смежные с ней — нет.

Окончательно получаем, что условию задачи удовлетворяет заштрихованное множество.


26

Контрольные задания 1. Решить неравенство 5 3 2 02− − ≥x x . Варианты ответа:

а) −

53

1, ; в) [ )− ∞ −

∪ + ∞, , ;53

1

б) −

53

1, ; г) [ )1, .+ ∞

2. Решить неравенство ( )( )x x

x+

−≤

12

0.

Варианты ответа: а) ( )− 1 0, ; в) [ ] ( )− ∪ + ∞1 0 2, , ; б) ( ) ( )− ∪ + ∞1 0 2, , ; г) ( ] [ )− ∞ − ∪, , .1 0 2

3. Решить неравенство 11

2x +

< .


а) ( )− ∞ − ∪ − + ∞

, , ;1 12

в) ( )− ∞ −, ;1

б) − + ∞

12

, ; г) нет решения.

4. Составить неравенство, множество решений которого ( ] { } ( )x ∈ − ∞ − ∪ − ∪ + ∞, , .2 1 0

Варианты ответа: а) ( )( )x x x+ + ≥2 1 02 ;

б) ( )( )x x x+ + ≥2 1 02 ;

в) ( )( )x x

x+ +

≥2 1

02

.


27

5. Заштриховать на плоскости геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют условию

( )( )25 02 2− − + ≤x y x y .


а) б)

в) г)


28

11 класс

Тема: ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

Эта тема стала весьма популярной на вступительных экзаме-нах в последние годы. Здесь нужно запомнить:

1) процент величины — одна сотая часть этой величины; 2) если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны

равенством pba =100 (или b ap100

= );

3) если число a увеличено на p%, то оно увеличено в

1100

+

p раз, а если уменьшено на q%, 0 100≤ ≤q , то оно умень-

шено в 1100

−

q раз. Получаются числа a p1100

+

и a q1100

−

соответственно. Пример 1. Выработка продукции предприятием за 1996 г.

Увеличилась на 20%, а за 1997 г. Еще на 10%. На сколько процентов увеличилась выработка продукции за два года.

Решение. Пусть S — количество продукции, выработанной предприятием за 1995 г. Тогда за 1996 г. произведено

S S1 20100

1 2+

= , , а за 1997 г. —

1 2 1 10100

11 1 2 1 32, , , , .S S S+

= ⋅ =

Выработка продукции увеличилась в 1,32 раза или на 32%. Ответ: на 32%. Пример 2. Выработка продукции за год работы предприятия

возросла на p%, а за следующий год она возросла на 10% больше, чем за предыдущий. На сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%?

Решение. Уравнение для искомой неизвестной p следующее:


29

S p p S1100

1 10100

1 48 59100

+

++

= +

, .

Сокращая на S и приводя дроби к общему знаменателю, полу-чим

( )( )p p+ + =100 110 14859;

p p2 210 3859 0+ − = . Решая это уравнение, получим p = 17.

Ответ: 17%. Пример 3. На фирме работает 50 человек. При этом 37 из них

владеют акциями компании A, а 43 — акциями компании B. Сколько человек в процентах владеют акциями обеих компаний, если каждый работник фирмы владеет хотя бы одной акцией.

Решение. Всех сотрудников фирмы можно разбить на три не-пересекающиеся группы: X человек владеют только акциями компа-нии A. Y человек владеют акциями только компании B. Z человек владеют акциями обеих компаний. Составим систему уравнений.

Акциями компании A владеют сотрудники, входящие в пер-вую и третью группы, т.е.

X Z+ = 37. Аналогично, Y Z+ = 43. Кроме того, каждый сотрудник фирмы входит в одну из групп,

т.е. X Y Z+ + = 50. Решая систему из трех уравнений, получаем Z = 30, что со-

ставляет 60% от 50. Ответ: 60%. Пример 4. Вычислить вес и процентное содержание серебра в

сплаве с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, полу-чат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, со-держащего 90% серебра, получат сплав 84% содержания серебра.

Решение. Пусть X кг — вес исходного сплава и содержание серебра в нем P%. Тогда этот сплав содержит

меди.кг 100

100 и серебракг 100

pXpX −⋅⋅


30

Серебро, кг Медь, кг Общий вес, кг I сплав

X p⋅100

X p⋅

−100100

X

Кусок серебра 3 0 3 Новый сплав

X p⋅ +100

3 X p⋅

−100100

X + 3

По условию X p⋅ +100

3 составляет 90% от ( )X + 3 . Получаем

уравнение

( )X p X X p X100

3 100 3 90 300 90 270+

⋅ = + ⋅ ⇔ ⋅ + = + . (1)

Второй раз будем сплавливать с 2 кг сплава, содержащим 90% серебра, т.е. содержащего 1,8 кг серебра и 0,2 кг меди.

Сплав Серебро, кг Медь, кг Общий вес, кг Первый

X p⋅100

X p⋅

−100100

X

Второй 1,8 0,2 2 Третий

X p⋅ +100

1 8, X p⋅

−+

100100

0 2, X + 2

В третьем сплаве серебро составляет 84% от общего веса

( )X p X⋅+

⋅ = + ⋅100

1 8 100 2 84, ;

X p X⋅ + = +180 84 168. (2) Уравнения (1) и (2) образуют систему уравнений

90 3084 12

X X pX X p

− ⋅ =− ⋅ =

;.

Вычтя из первого уравнения, получим

6 18 3X X= ⇔ = ; p XX

p= − ⇒ =84 12 80.


31

Ответ: 3 кг, 80%.


1. Найти число, 7% которого равно 9,8. Варианты ответа: а) 0,686; б) 140; в) 1,4; г) такого числа нет. 2. Известно, что припек при выпечке хлеба (число, показы-

вающее на сколько процентов масса хлеба больше по сравнению с массой, взятой муки) составляет 20%. Сколько муки надо взять, что-бы получить 60 кг хлеба.

Варианты ответа: а) 50 кг; б) 12 кг; в) 48 кг; г) 75 кг. 3. В магазине партию товара сначала решили продавать на

10% дороже, чем предполагалось первоначально, но затем, в связи с отсутствием спроса, товар уценили на 10%. Какая цена выше: та, что предполагалась первоначально, или последняя?

Варианты ответа: а) последняя; б) первоначальная; в) обе цены одинаковы. 4. Банк начисляет 40% годовых. Какую сумму надо положить

в банк, чтобы получить через год 3,5 тыс. руб.? Варианты ответа: а) 2,1 тыс. руб.; б) 87 руб. 50 коп.; в) 2,5 тыс. руб. 5. Известно, что среди группы лиц, работающих в фирме на

должности «менеджер по маркетингу», 37,5% знают, что такое про-цент. Какое минимальное количество «менеджеров по маркетингу» может работать на фирме?

Варианты ответа: а) 100 человек; б) 4 человека; в) 8 человек; г) 1000 человек.

ФИЗИКА - 7 класс

32

ФИЗИКА

7 класс

Тема: СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ Средняя скорость – не самое сложное понятие в кинематике. Однако для многих учащихся простота этого понятия оказывается обманчивой. Известно, что средняя скорость – это величина, равная от-ношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден

этот путь: v Stср .= Краткость и простота определения скрывают от

некоторых учеников важные для решения задач вопросы и ответы на них. 1. Какое время следует учитывать при расчете средней скорости, если тело в пути делало остановки? В определении указано: «...ко времени, за которое пройден этот путь», то есть ко всему промежутку времени с момента, когда тело тронулось в этот путь (представьте, что Вы включили секундо-мер), до момента, когда тело преодолело этот путь (только в этот момент Вы останавливаете секундомер!). О том, что время на оста-новки не следует учитывать, в определении ничего не сказано (по-этому секундомер на промежуточных остановках не выключайте!). Таким образом, при расчете средней скорости следует учитывать всё время, которое ушло на преодоление пути (в том числе и время, потраченное на остановки). 2. Как правильно рассчитать среднюю скорость тела, ко-торое начало движение в пункте А, окончило его в пункте В, но по дороге из А в В поворачивало назад (может быть ни один раз!), а за-тем вновь продолжало движение к пункту В? В определении указано «...равная отношению пути, прой-денного телом...», значит, при расчете средней скорости опреде-


33

ляющим является не расстояние между точками (пунктами) начала и окончания движения, а реальный путь, которое прошло тело. Пример 1. Найти среднюю скорость человека на пути от до-ма до станции, расстояние между которыми l = 800 м, если, пройдя четверть пути, он вернулся домой (например, проверить, хорошо ли закрыта дверь) и через τ = 2 мин продолжил путь на станцию. Ско-рость движения человека постоянна и равна v = 4 км/ч. Решение. Началом движения человека, конечно, следует счи-тать момент времени, когда он первый раз вышел из дома. Четверть пути составляет расстояние l1/4 = l : 4 = 800 : 4 = 200 м. При возвра-щении домой человек прошел путь 2l1/4 = 400 м. После этого он вышел из дома второй раз и дошел до станции. Путь, пройденный человеком с начала движения, составит:

S = 2l1/4 + l = 400 + 800 = 1200 м = 1,2 км. Время t, которое затрачено на преодоление этого пути, скла-дывается из времени пребывания дома τ = 2 и времени Т, в течение которого человек двигался по маршруту «из дома–к дому–на стан-цию». Поскольку скорость движения человека постоянна (v = 4 км/ч) и проделанный путь известен, то время движения составляет:

T Sv

= = 1,2 км : 4 км/ч = 0,3 ч = 18 мин.

Тогда все время, затраченное человеком, составляет: t = τ + T = 2 + 18 = 20 мин = 1/3 ч. Найдем среднюю скорость:

v Stcp = = 1,2 км : 1

3ч = 3,6 км/ч.

Ответ: vср = 3,6 км/ч. Среднюю скорость движения человек оценивает довольно часто, но судит о ней, глядя на часы. Торопящийся человек соотно-сит расстояние, которое ещё осталось преодолеть, и время, отпу-щенное ему на это, после чего делает вывод (хотя числовое значение средней скорости вряд ли при этом находится): «Ну, теперь можно идти помедленнее» или «Придется еще поднажать, иначе не успею». Вернемся к рассмотренному примеру. Будем считать, что скорость v0 = 4 км/ч выбрана человеком не случайно. проходя от до-


34

ма до станции ежедневно, человек замечает, что расстояние l = =800 м, он проходит за время t0 = 12 мин = 0,2 ч:

v lt00

= = 0,8 км : 0,2 ч = 4 км/ч.

По существу, это – средняя скорость, поскольку доподлинно неиз-вестно, с какой скоростью человек идет в каждый момент времени. Двигаясь с такой скоростью и затрачивая время t0, человек ежеднев-но успевает на станцию вовремя. Если приходится возвращаться до-мой (увеличивать путь, который надо преодолеть и на это требуется дополнительное время) или останавливаться (увеличивая время, не-обходимое на преодоление пути), выбранная скорость движения v0 не подходит: можно опоздать на станцию. Значит, надо увеличивать скорость движения. Но как это сделать без напрасных затрат сил? Пример 2. Человек обычно доходит из дома до станции за время t0 = 12 мин, проходя расстояние l = 800 м. Однажды, пройдя четверть пути, он вспоминает, что не выключил электроприборы, и возвращается домой, выключает электроприборы, затрачивая вре-мя τ = 2 мин, и снова идет на станцию. С какой наименьшей скоро-стью надо двигаться человеку, после того как он повернул домой, чтобы успеть на станцию в обычное время (и не опоздать на элек-тричку). Решение. 1. Обычно человек двигается со скоростью

v lt00

80012

2003

= = = м/мин = 4 км/ч.

2. Пройдя с такой скоростью четверть пути, он затратил вре-

мя Tl

v10

14 1

40 8= = ⋅

, км : 4 км/ч = 0,05 ч = 3 мин. Значит, в его рас-

поряжении осталось время Т2 = t0 – T1 = 12 – 3 = 9 мин. 3. За время Т2 человек должен преодолеть путь до дома, а

затем снова до станции: S l l l= + = = ⋅ =4

54

54

800 1000 м = 1 км и,

кроме того, часть времени ( τ = 2 мин) потратить дома. Поэтому путь S человеку придется преодолевать за время


35

T T= − = − = =2 9 2 7 760

τ мин ч,

то есть со скоростью, не меньшей, чем

v St

= = 1 км : 760

ч = 607км/ч = 8 4

7км/ч ≈ 8,6 км/ч.

Проверьте, что добежав до дома со скоростью v v1 03 12= = км/ч, а затем шагая со скоростью v2 = 2v0 = 8 км/ч, человек придет на стан-цию вовремя. Ответ: человеку необходимо двигаться со скоростью, не

меньшей, чем v = 8 47км/ч.

Обратите внимание, что средняя скорость за время (t = 12 минут) от начала движения до его окончания составляет

v St

l l l

tl

tcp,= =

+ += =Σ

14

14 1 5 1200

12 м/мин = 100 м/мин = 6 км/ч.

Найденное значение vср в полтора раза выше, чем v0, и пока-зывает, с какой начальной скоростью следует выходить человеку из дома, если он забывчив. На рис.1 показан гра-фик зависимости скоро-сти человека от времени для примера 2 в случае, если человек бежит домой со скоростью v1 = 3v0 = =12 км/ч, а затем идет до станции очень быстрым шагом со скоростью v2 = 2v0 = 8 км/ч. Штрихпунк-тирной линией указан график движения со скоростью v0, а тонкой линией – со скоростью vср = 6 км/ч.

Подсчитаем среднее арифметическое для значений скорости v0, v1, v2:

v v v vср.ар =

+ += + + =0 1 2

34 12 8

38км/ч.

Рис.1 Рис. 1


36

Это значение не равно значению средней скорости vср. Убе-дитесь в этом и не совершайте в дальнейшем распространенную ошибку: не пытайтесь искать среднюю скорость как среднее ариф-метическое значение (оно не имеет физического смысла!). Пример 3. Автомобиль проезжает первую треть пути равно-мерно со скоростью v1 = 108 км/ч, а остальные две трети пути – со скоростью v2 = 72 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля. Решение. Неверно считать, что средняя скорость совпадает со средним арифметическим значением v1 и v2, которое составляет

v v vap.cp =

+= + =1 2

2108 72

290 км/ч.

1. Найдем время t1 движения со скоростью v1, полагая, что весь путь равен L [км]. Из условия ясно, что

2. Время t2 движения на оставшемся участке пути составляет

tL

vL

v22 2

23 2

3= = .

3. Итак, время на продолжение пути L составляет

t t t Lv

Lv

L v vv v

= + = + =+

1 21 2

2 1

1 2323

23

( ) .

4. По определению средней скорости

v Lt

L t t L L v vv v

v vv vcp :( ) : ( )

= = + =+⋅

=⋅ ⋅

+=

⋅ ⋅+ ⋅

=1 22 1

1 2

1 2

2 1

23

32

3 72 10872 2 108

81км/ч.

Ответ: средняя скорость vср = 81 км/ч. Значение средней скорости совпадает со средним арифмети-

ческим значением скорости только в одном частном случае, когда тело двигается с различными скоростями так, что между последова-тельными моментами изменения (переключения) скорости проходит одинаковое время Т. Таким образом, тело двигается со скоростью v1 в течение времени t1=T, со скоростью v2 в течение времени t2=T, со


37

скоростью v3 в течение времени t3=T и т.д. Если на протяжении пути скорость изменялась n раз, то пройденный путь

S = v1t1 + v2t2 + v3t3 + ... +vntn = T(v1 + v2 + v3 + ... +vn). Время t, за которое пройден путь, составляет

t = t1 + t2 + t3 + ... + tn = T⋅ n. По определению:

v St

T v v v vT n

v v v vn

vn ncp ap.cp

( ... ) ...= =

+ + + +⋅

=+ + + +

=1 2 3 1 2 3 .

Не запрещено для этого частного случая двигаться со скоро-стью v0=0, т.е. делать остановки. Но время остановки должно со-ставлять t0 = T.

Пример 4. Вертолет пролетает без остановок равномерно и прямолинейно над пунктами А, В, С (в указанном порядке) и воз-вращается в А. Пункты А, В, С являются как бы вершинами тре-угольника. Расстояние между А и В составляет LAB = 150 км, между В и С LBC = 200 км, между С и А LCA = 100 км. Время, за которое вертолет пролетает от одного пункта до другого, составляет полчаса. Найти среднюю скорость движения вертолета на маршруте АВСА. Изменится ли средняя скорость, если LCA = 200 км и всё расстояние вертолет преодолеет за 1 ч?

Решение. 1. Находим скорость движения вертолета на каж-дом участке:

v LtAB

AB

AB= = =150

0 5300

,км/ч;

vLtBC

BC

BC= = =

2000 5

400,

км/ч;

vLtCA

CA

CA= = =

1000 5

200,

км/ч.

2. Поскольку t = 0,5 ч одинаково для всех участков движе-ния, то

v vcp ap.cp1

300 400 2003

9003

300= = + + = = км/ч.

3. Если расстояние LСА = 200 км и tCA = 1ч, то не меняется vCA=200 км/ч. Но в этом случае нельзя подсчитывать (для простоты)


38

среднюю скорость как среднее арифметическое, так как tCА ≠ tAB = =tBC.

v L L Lt t tAB BC CA

AB BC CAcp , ,2

150 200 2000 5 0 5 1

5502

275=+ ++ +

= + ++ +

= = км/ч.

Ответ: 1) vcp1 = 300 км/ч; 2) vcp2 = 275 км/ч.

Контрольные задания 1. Через каждые 10 с в течение времени Т = 2 мин записыва-ются показания спидометра автомобиля. Можно ли определить его среднюю скорость? Варианты ответа: а) среднюю скорость надо вычислить как среднее арифмети-ческое записанных значений; б) среднюю скорость найти нельзя, так как неизвестен прой-денный путь; в) среднюю скорость найти можно, но это будет средняя скорость за 2 мин движения; г) следует продолжать запись в течение 1 ч, тогда получится значение средней скорости, выраженное в км/ч. 2. Небольшое тело стоит у основания наклонной плоскости в точке А (рис.2). Телу придают начальную скорость, и оно движется

вверх по наклонной плоскости, проходит половину пути (точка В) от основания до вершины, а затем соскальзывает с наклонной плос-кости и, продолжая двигаться по горизонтальному участку, оста-

навливается в точке С, расположенной на расстоянии L=0,7 м от ос-нования наклонной плоскости (точки А). На весь путь тело затрати-ло время Т=1,5 с, а его средняя скорость составила vср = =2 м/с. Най-ти расстояние от основания до вершины наклонной плоскости (AD). Варианты ответа: а) AD= 2,3 м; б) AD=3 м; в) AD=3,7 м; г) AD=3,2 м; д) AD=2 м. 3. Половину всего пройденного пути тело двигалось со ско-ростью v1=v, а оставшуюся часть пути – со скоростью v2=3v. Найти среднюю скорость движения тела на этом пути. Варианты ответа: а) vср = 2,5v; б) vср = 2v; в) vср = 1,5v; г) vср = 2,2v; д) vср = 1,7v.

D

Рис.2


39

8 класс

Тема: ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Урок: Особенности решения задач о теплообмене

между телом в жидком состоянии и телом в кристаллическом состоянии (вода и лёд)

Результаты экзаменов по физике в 8–11 классах средних школ и физико-математических лицеев, а также ответы абитуриен-тов при поступлении в технические вузы показывают, что тема «Те-пловые явления», которая обычно изучается в 8 классе, усваивается учащимися поверхностно. Как правило, успешно решаются задачи на составление уравнения теплового баланса в том случае, если не требуется учесть изменение агрегатного состояния вещества. В мес-те с тем учащиеся неплохо излагают необходимые теоретические сведения, касающиеся данного вопроса. На этом уроке предлагается научиться применять известные теоретические сведения для решения задач, связанных с составлени-ем уравнения теплового баланса для случаев, когда тела, участвую-щие в теплообмене, находятся в различных агрегатных состояниях.

Некоторые предварительные практические советы

1. Во многих задачах «действующими лицами» являются лед и вода, поэтому полезно оценить, как изменяется их температура при получении одного и того же количества теплоты Q. Пусть при получении количества теплоты Q не происходит изменения агрегатного состояния вещества, то есть лед, находящий-ся в одном калориметре, поглотив Q, останется льдом, а вода, нахо-дящаяся в другом калориметре, – водой. Для большей наглядности допускаем, что массы льда и воды одинаковы: mл=mв=m. Обозначив температуру, которая установится в воде, θв , а начальную температуру воды tв, запишем: Q c m t c m t= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅в в в в в в( ) ,θ ∆ (1) где ∆t показывает, на сколько изменилась температура воды.


40

Введя аналогичные обозначения для температуры льда, по-лучим: Q c m t c m t= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅л л л л л л( ) ,θ ∆ (2) Поскольку лед и вода получили одинаковое количества теп-лоты Q (каждый в отдельности, так как пока (!) находятся в разных калориметрах), можно приравнять правые части соотношений (1) и (2): c m t c m tв в в л л ,⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∆ ∆ откуда следует, что

∆∆

tt

cc

л

в

в

л

,,

= = ⋅

⋅=4 2 10

2 1 102

3

3.

Учтено, что удельная теплоемкость воды св = 4,2⋅103 Дж/(кг⋅°С), а льда сл = 2,1⋅103 Дж/(кг⋅°С). Таким образом, получив одинаковое количество теплоты, температура льда изменится значительнее, чем температура воды. 2. Полезно ответить на вопрос: какое из количеств теплоты больше: Q1, которое отдает вода при остывании от температуры tв=Т °С до θ =0°С, или Q2, которое требуется передать льду для его нагревания от tл = –Т°С до θ =0°С? По-прежнему считается, что массы льда и воды одинаковы и что лед и вода находятся в разных калориметрах. При остывании вода выделяет количество теплоты Q1:

Q c m t c m T c m T1 0= ⋅ − = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅в в в в в( ) ( ) .θ Лед при нагревании поглощает количество теплоты Q2:

Q c m t c m T c m T2 0= ⋅ − = ⋅ ⋅ − − = ⋅ ⋅л л л л л( ) ( ( )) .θ Сравним Q1 и Q2:

QQ

c m Tc m T

cc

1

2

3

34 2 102 1 10

2=⋅ ⋅⋅ ⋅

= =⋅⋅

=в

л

в

л

,,

.

Таким образом, при остывании воды выделяется большее количество теплоты, чем требуется для нагревании льда.

(Внимание! Вывод справедлив лишь для рассматриваемо-го случая: mв = mл, tв= –tл.) 3. Что произойдет, когда воду массой mв = m, нагретую до температуры tв = Т °С, влить в калориметр со льдом массой mл = m, если температура льда tл = –Т °С?


41

Поскольку в этом случае QQ

1

22= или Q Q1 22= , то вода, ос-

тывая, нагреет лед до температуры θ = 0 °С. На это уйдет половина тепла, выделенного водой. Оставшееся количество теплоты будет израсходовано на плавление льда, но при mв = mл, tв= –tл растопится лишь часть льда (далее в примере 2 это будет строго обосновано). 4. Важным для решения задач является правильное пред-ставление о том, какой физический процесс (плавление, парообразо-вание или просто нагревание или охлаждение без изменения агре-гатного состояния вещества) требует большего количества теплоты (или выделяет большее количество теплоты). Пример 1. Рассчитать количество теплоты Q, которое требу-ется для нагревания льда массой m = 1 кг до температуры t = 10°С, если его начальная температура t1 = –10°С. Провести сравнение ко-личеств теплоты: Q1, необходимого для нагревания льда до темпера-туры tпл=0°С, Q2, необходимого для плавления льда, и Q3, необходи-мого для нагревания до температуры t=10°С.

Решение. 1. При нагревании льда до tпл=0°С

Q c m t t132 1 10 0 10 21= − = ⋅ ⋅ − − ° =л пл л( ) , ( ( )) кДж.

2. При плавлении льда (учтено, что удельная теплота плав-ления льда λ = ⋅3 4 105, Дж/кг)

Q m253 4 10 1 340= ⋅ = ⋅ ⋅ =λ , кДж.

3. Расплавленный лед – это вода, и для ее нагревания потре-буется

Q c m t t334 2 10 1 10 42= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ °=в пл( ) , кДж.

4. Суммарное количество теплоты

Q = Q1 + Q2 + Q3 = 21 + 340 + 42 = 403 кДж.

5. Обратим внимание, что Q3 : Q1 = 2 : 1, так как образовав-шейся из льда воде (из-за св : сл = 2 : 1) требуется большее количест-во теплоты для нагревания на ту же температуру.


42

6. Отметим, что Q1 составляет лишь 5,2% от Q, Q3 составляет 10,4% от Q; а 84,4% всего количества теплоты расходуется на плав-ление льда, т.е. Q2 : Q3 : Q1 ≈ 16 : 2 : 1. Ответ: для нагревания 1 кг льда от –10°С до +10°С потре-буется количество теплоты Q = 403 кДж, Q2 : Q3 : Q1 ≈ 16 : 2 : 1. Важное замечание. Решение примера 1 позволяет ответить и на противоположный вопрос: какое количество теплоты надо отвес-ти от 1 кг воды при +10°С, чтобы превратить ее в лед с температу-рой –10°С? Для этого надо выполнить три первых действия решения в обратном порядке. Вероятно, рассмотрение таких достаточно частных случаев не вызывает серьезных затруднений. Теперь образовалась мини-мальная база, позволяющая ориентироваться в широком спектре за-дач. Пример 2. Рассчитать массу воды, температура которой tв = =100°С, необходимую для расплавления в калориметре льда массой m, если его температура: а) tл1 = –1°С; б) tл2 = –100°С. Решение. 1. Остывая до температуры θ = °0 C, вода выделит количество теплоты Q c m t c m t= ⋅ ⋅ − =в в в в в в( ) .θ (3) 2. Это количество теплоты расходуется на нагревание льда до температуры плавления θ = °0 C и на плавление льда массой m: Q c m t m c t m= ⋅ ⋅ − + ⋅ = ⋅ − + ⋅л л л л л л( ) ( ( ) ) .θ λ λ (4) 3. Приравняв правые части соотношений (3) и (4), получим c m t c t mв в в л л( ( ) ) ,= − + ⋅λ откуда

mс t

сс

tt

mвв в

л

в

л

в

( ) .= + ⋅ −

⋅λ (5)

Подставим в эту формулу числовые значения:

[ ]m t m t mвл

л,

,,,

( ) , , ( ) .= ⋅⋅ ⋅

+ ⋅⋅

⋅ −

⋅ ≈ + ⋅ − ⋅3 4 104 2 10 100

2 1 104 2 10 100

0 81 0 0055

3

3

3

4. Полученный результат показывает, что даже при tл = 0°С масса воды не может быть меньше, чем mв≈0,81m:


43

а) при tл1 = –1°С [ ]m m mв , , ( ) ,1 0 81 0 005 1 0 815≈ + ⋅ + ⋅ ≈ ; б) при tл2 = –100°С [ ]m m mв , , ( ) ,2 0 81 0 005 100 1 31≈ + ⋅ + ⋅ ≈ . 5. Из п. 4.б) и выражения для mв п.3 видно, что при tв = – tл

масса воды, необходимая для растопления льда массой m, всегда больше массы льда, то есть mв > m (при tв = –tл).

6. Интересно отметить, что mв2 лишь в 1,6 раза больше mв1, хотя начальные температуры льда tл1 и tл2 отличаются в 100 раз (1). Это лишний раз показывает, какое значительное количество теплоты расходуется на плавление льда.

Ответ: чтобы расплавить лед, потребуется масса кипятка не менее, чем: а) mв1≈0,815m; б) mв2 ≈1,31m.

Классической задачей на теплообмен между веществами, пребывающими в различном агрегатном состоянии, можно считать следующий пример.

Пример 3. В калориметре находится лед массой Mл = 10 кг при температуре tл = –10°С. Туда же вливают воду массой Мв = 1 кг. Температура воды tв = 10°С. Какая температура θ установится в ка-лориметре? Рассчитать массу льда mл и массу воды mв, находящихся в калориметре при этой температуре.

Решение. Уравнение теплового баланса можно записать только тогда, когда известно, в какой диапазон температур попадает температура содержимого калориметра. Если θ > °0 C, то содержи-мое калориметра – вода; если θ < °0 C, то содержимое калориметра – лед. При θ = °0 C в калориметре может оказаться либо только лед, либо только вода, либо лед с водой.

Чтобы определить значение θ , надо предварительно проана-лизировать, какие из веществ, участвующих в теплообмене, способ-ны отдавать тепло (в каком количестве, при каких процессах), а ка-кие способны поглощать тепло (в каком количестве, при каких про-цессах). Произведем предварительный анализ.

1. Вода остывая до t = 0°С, способна выделить количество теплоты

Q c M t t134 2 10 1 10 42= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ ° =в в в( ) , кДж.

2. При t = 0°С может начаться процесс кристаллизации воды, который сопровождается выделением количества теплоты


44

Q M253 4 10 1 340= ⋅ = ⋅ ⋅ =λ в , кДж.

3. Лед, нагреваясь до t = 0°С, может поглотить количество теплоты

Q c M t t332 1 10 10 10 210= − = ⋅ ⋅ ⋅ =л л л( ) , кДж.

Числовые результаты показывают, что: а) Q1< Q3, значит, вода остынет до 0°С; б) Q3 < Q1 + Q2, значит, лед нагреется до 0°С, но не сможет поглотить все выделившееся тепло, и процесс кристаллизации воды не завершится, то есть установится температура θ = °0 C. Уравнение теплового баланса имеет вид: c M t t M m c М t tв в в в в л л л( ) ( ) ( ),− + − = −λ где (Мв – mв) – масса воды, которая при кристаллизации преврати-лась в лед. Учтем, что t = 0°С, и найдем эту массу воды:

M m c М t с М tв в

л л л в в в( )

, ( ) ,,

,,

, кг.

− =− −

=

= ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅

⋅≈

λ2 1 10 10 10 4 2 10 1 10

3 4 101 68 103 4 10

0 4953 3

5

5

5

Таким образом, в калориметре дополнительно образовалось 495 г льда, поэтому mл = Mл + (Мв – mв) = 10, 495 кг, mв = 1 кг – 0,495 кг = 0,505 кг. Ответ: в калориметре установится температура θ = °0 C. Содержимое калориметра: mл = 10, 495 кг, mв = 0,505 кг.


1. В одном калориметре находится лед массой mл при темпе-ратуре tл1 = –45°С. В другом калориметре находится вода массой Мв = 2 mл. Температура воды tв1 = 5°С. В каком случае будет затра-чено большее количество теплоты Q: при нагревании льда до тем-пературы tл2 = –5°С или при нагревании воды до tв2 = 45°С? (Удель-


45

ная теплоемкость льда сл = 2,1⋅103 Дж/(кг⋅°С), воды св = =4,2⋅103 Дж/(кг⋅°С).) Варианты ответа: а) при нагревании льда; б) при нагревании воды; в) одинаково в обоих случаях; г) ответить невозможно, так как необходимо иметь числовые значения для mл и mв. 2. В калориметре находится лед массой mл = 0,1 кг при тем-пературе tл1 = –18°С. Туда же наливают воду массой mв1 = 0,1 кг. Температура воды tв = 18°С. Определить температуруθ и состав об-разовавшейся смеси. Варианты ответа: а) θ = °0 C , в калориметре лед и вода, причем mв2>mл2, так как часть льда растаяла; б) θ = °0 C , в калориметре лед и вода, причем mв2<mл2, так как часть воды кристаллизовалась; в) θ = °0 C , масса льда и воды не изменилась; г) θ > °0 C , но в воде еще будет немного льда; д) θ < °0 C , но еще не вся вода замерзнет. 3. В калориметре находится лед массой Мл = 2 кг, его темпе-ратура tл = –50°С. Туда же вливают воду массой Мв = 0,2 кг и с тем-пературой tв = 50°С. Определить температуруθ и состав образовав-шейся смеси. Варианты ответа: а) θ = °0 C ; в калориметре лед и вода, mв > mл;

б)θ < °0 C ; в калориметре только лед, mл = 2,2 кг; в)θ > °0 C ; в калориметре только вода, mв = 2,2 кг; г)θ = °0 C ; в калориметре лед и вода, mв = mл = 1,1 кг; д) θ = °0 C ; в калориметре лед и вода, mв < mл.


46

9 класс Тема: ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ

ЭНЕРГИИ Закон сохранения энергии является одним из наиболее фун-даментальных законов природы и на современном уровне знаний абсолютно точным. Энергия существует во многих формах, но в курсе физики 9-го класса в основном ограничиваются рассмотрени-ем механической формы энергии. Механической энергией называется энергия механического движения и взаимодействия тел. Она равна сумме кинетической Ек и потенциальной Еп энергий:

Е = Ек + Еп, (1) Кинетическая энергия тела является мерой его механическо-го движения и измеряется той работой, которую может совершить это тело при торможении до полной остановки. Кинетическая энер-гия тела массой m, движущегося поступательно со скоростью rv , определяется формулой

E mvк .=

2

2 (2)

Потенциальной энергией называется часть механической энергии системы, зависящая от взаимного расположения тел систе-мы и их положения во внешнем силовом поле. Потенциальная энер-гия всегда определяется с точностью до постоянной величины, по-этому необходимо указывать нулевой уровень отсчета энергии. При рассмотрении движения тел вблизи поверхности Земли за нулевой уровень отсчета обычно принимают потенциальную энергию на поверхности. Тогда формула, определяющая значение потенциальной энергии тяготения, имеет следующий вид E mghп ,= (3) где h – высота центра тяжести тела над поверхностью. Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины равна


47

E kxупр ,=

2

2 (4)

где k – жесткость пружины; x – ее деформация, за нулевой уровень принята энергия недеформированной пружины (x=0). Важное методическое замечание: физические результаты определяются разностью потенциальной энергии тел в различных состояниях и поэтому не зависят от выбора нулевого уровня. Пример. Определить изменение потенциальной энергии тела при его подъеме с поверхности земли на высоту h = 10 м для трех нулевых уровней (рис. 1): а) Н = 0; б) Н′=h; в) H′′=2h.

Решение. 1. ∆ ∆ ∆E E E mgh mghп п п= − = − = =2 1 0 98Дж.

2 0

982 1. ( )п п п∆ ∆ ∆′ = ′ − ′ = − − = =

=E E E mgh mgh

Дж.

3 2

982 1. ( )п п п∆ ∆ ∆′′ = ′′ − ′′ = − − − =

= =E E E mgh mgh

mgh Дж.

Как и следовало ожидать, ∆ ∆ ∆E E Eп п п= ′ = ′′ = 98Дж.

Рассмотрим состояние некоторой системы в два различных момента времени (t2 > t1). Изменение механической энергии этой системы определяется следующим соотношением ∆E = Е2 – Е1 = (Ек2 + Еп2) – (Ек1 + Еп1) = Атр + Авнеш. (5) где Атр – работа внутренних сил трения; Авнеш – работа всех внешних сил за этот промежуток времени. Если в замкнутой системе тел (Авнеш=0) отсутствуют силы трения, то выполняется закон сохранения механической энергии Ек + Еп =const. (6) Отметим, что для замкнутой системы тел всегда выполняет-ся закон сохранения энергии, однако при Атр≠0 механическая энер-гия может перейти в другие формы энергии, например, в тепловую. Важное методическое замечание: существуют две меры взаимодействия тел - сила и потенциальная энергия. Обе эти вели-чины описывают одно и то же явление. Поэтому при использовании формулы (5) следует руководствоваться праавилом: вклад в Авнеш

Рис.1

Еп2

Еп1

Н″=2h

H′=h

H=0


48

дает работа только тех сил, которые не учтены в Еп. Например, если потенциальная энергия тяготения mgh учтена в Еп, то работа силы mgr не должна вносить вклад в Авнеш. Разберем несколько задач. Задача 1. Двум одинаковым телам сообщают одинаковые скорости, направленные под углом α = °30 к горизонту. Одно тело движется свободно, другое – без трения по наклонной плос-кости (рис.2). Оп-ределите отноше-ние высот макси-мального подъема этих тел.

Решение. Примем за нулевой уровень потен-циальную энергию тел в начальной точке движения. Тогда начальная энергия тел равна их кинетической энергии:

E m v0

1 02

2(1) ,= E m v

02 2 0

2

2( ) ,= (1.1)

При свободном движении тела меняется только вертикаль-ная составляющая скорости (vy = v0sinα –gt), а горизонтальная оста-ется постоянной (vx = v0cosα). Тело поднимается до тех пор, пока vy не обратиться в нуль. В этой точке максимального подъема кинети-ческая энергия первого тела составляет

E mv mv mvxк1(1) = = =1

2 202 2

2 2 2cos .α (1.2)

Тогда согласно закону сохранения энергии (з.с.э.) имеем

m v m v m gh1 02

1 02 2

1 12 2= +

cos ,α (1.3)

откуда получим максимальную высоту подъема первого тела

h vg

vg1

02

2 02 2

21

2= − =( cos ) sin .α

α (1.4)

Второе тело будет подниматься до тех пор, пока его скорость не обратиться в нуль. Согласно з.с.э. имеем

α = 30° -----------------

k hh

= =1

2?

Рис. 2


49

m v m gh2 02

2 22= . (1.5)

Отсюда получим максимальную высоту подъема второго тела

hv

g202

2= . (1.6)

Обратите внимание на то, что величины h1 и h2 не зависят от масс тел. Из формул (1.4) и (1.6) окончательно получим

k = = = °=hh

1

2

2 2 30 14

sin sin .α (1.7)

Ответ: k = 14

.

Задача 2. Может ли кинетическая энергия тела оставаться постоянной, если равнодействующая приложенных к телу сил от-

лична от нуля? Решение. Да, если тело движется по окружности с постоянной по величине (мо-дулю) скоростью.

Рассмотрим пример такого движе-ния, изображенный на рис. 3. Тело, подве-шенное на нити, вращается с постоянной по величине скоростью ( rv = const ). Согласно определению (2) в этом случае кинетическая энергия тела постоянна. На тело действуют две силы: сила тяжести mgr и сила натяже-

ния нити rT . По второму закону Ньютона имеем

ma T mg Fr r r r= + = , (2.1)

где rF – равнодействующая сила.

Так как направление скорости меняется, ускорение отлично от нуля, следовательно,

rF ≠ 0.Почему же эта сила не совершает над

телом механической работы?

Рис. 3


50

Вектор rF направлен по радиусу окружности и поэтому пер-

пендикулярен скорости тела rv , направленной всегда по касательной к траектории. Вектор перемещения тела за малый промежуток вре-мени ∆t можно представить в виде r rs v t= ∆ . Таким образом, угол ме-жду векторами ∆

rF и ∆

rs всегда равен 90°, и по определению работы имеем ∆ ∆ ∆A F s F s= = ° ≡

r r cos .90 0 (2.2) Ответ: да.

Задача 3. К двум точкам на потолке подвешены однородная цепочка длиной l и концы двух шарнирно соединенных однородных стержней, общая длина которых тоже равна l (рис.4,а). Чей центр тяжести расположен ниже: цепочки или системы двух стержней? Решение. Подействуем на цепочку таким образом, чтобы ее положение совпало с положением системы стерж-ней (рис. 4,б). Это возможно, так как их длины равны. В этом случае центры тяжести цепочки и системы стержней совпадают. Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести определяется положением его центра тя-жести. Поскольку мы совершили над цепочкой положительную ра-боту, то ее потенциальная энергия увеличилась, а центр тяжести поднялся. Следовательно, в начальном положении центр тяжести цепочки находился ниже центра тяжести системы стержней. Ответ: центр тяжести цепочки ниже центра тяжести систе-мы стержней.

Задача 4. На горизонтальную поверхность вертикально ус-тановили невесомую пружину длиной l0 и жесткостью k (рис. 5,а). С высоты h на пружину бросили без начальной скорости шарик массой m. Определите величину максимальной деформации пружины после попадания на нее шарика (рис. 5,б). Размерами шарика можно пренебречь.

Рис. 4


51

Решение. После попадания шарика на пружину, он будет про-должать опускаться до тех пор, пока его скорость не обратится в нуль. Следовательно, в начальном и ко-нечном состояниях кинетическая энергия равна нулю. Тогда из закона

сохранения энергии следует равенство по-тенциальной энергии системы «шарик + пружина» в этих состояниях. Пружина невесома, поэтому в начальном состоянии дефор-мация отсутствует, и упругая энергия равна нулю. Тогда начальная энергия равна потенциальной энергии шарика: E mgh1 = , (4.1) где за нулевой уровень мы приняли потенциальную энергию шарика на поверхности. В конечном состоянии длина пружины уменьшилась на ве-личину х, и ее упругая энергия стала равной

E kx2

2

2упр = . (4.2)

Шарик оказался над поверхностью на высоте h l x2 0= − (рис. 5,б) и обладает потенциальной энергией E mg l x2 0

т ( ).= − (4.3) Из з.с.э. ( )тE E E Е1 2 2 2= = +упр и соотношений (4.1)–(4.3) получим квадратное уравнение для определения величины х:

mgh mg l x kx= − +( ) .0

2

2 (4.4)

Решение данного уравнения дает

xmg m g mgk h l

k1 2

2 202

,( )

.=± + −

(4.5)

Величина х заведомо положительна, поэтому физический смысл имеет только одно решение со знаком + перед корнем. После несложных преобразований окончательно получим

l0 k h m

-------- x=?

Рис. 5


52

x mgk

k h lmg

= + +−

1 1 2 0( ) . (4.6)

Ответ: см. формулу (4.6). Задача 5. Лучшие прыгуны преодолевают в залах планку на высоте 2м 40см. Как высоко они прыгали бы на Луне, где ускорение свободного падения в 6 раз меньше?

Решение. Ответ, что рекорд Луны будет в 6 раз больше (Нл = 14,4 м), поспешен и ошибочен.

Внимательно рассмотрим технику прыжка в высоту. Перед прыжком спортсмен находится в вер-тикальном положении, поэтому его центр масс при-близительно расположен на высоте h=1,2 м над по-верхностью Земли (или Луны). Планку спортсмен

проходит в горизонтальном положении, стремясь сильно изогнуться, чтобы сместить центр тяжести как можно ниже. Приближенно мож-но считать, что центр тяжести находится на высоте планки. Тогда на Земле прыгун затрачивает энергию

E mg H hз з з( )= − , (5.1) а на Луне E mg H hл л л( )= − . (5.2) Считая, что в рекордных попытках спортсмен затрачивает одинако-вую энергию (Ез = Ел), из (5.1) и (5.2) найдем рекорд Луны:

H gg

Н h h H hзлз

лз( ) ,= − + = − =6 5 8 4м. (5.3)

Ответ: Нл = 8,4 м. Задача 6. Если воздушный шар наполнить газом, плотность которого меньше плотности воздуха, шар начинает подниматься, при этом его потенциальная энергия увеличивается. Не противоре-чит ли этот подъем з.с.э.? Решение. Рассмотрим систему «шар+ атмосферный воздух». Перемещение шара массой m с высоты h на высоту Н сопровождает-ся перемещением воздуха массы mв с высоты Н на высоту h (рис. 6). При этом потенциальная энергия шара возрастает на величину

Н3 = 2,4 м

k = ggз

л= 6

---------------- Нл - ?


53

mg(H–h), а потенциальная энергия воздуха уменьшается на mвg(H–h). Шар будет подниматься вверх, если его сила тяжести mg меньше силы Архимеда, равной весу вытесненного им воздуха mвg. Следователь-но, m<mв. Тогда изменение потенциальной энер-гии системы отрицательно: ∆Еп = mg(H–h) – mвg(H–h) = (m–mâ)g(H–h) < 0. Эта часть энергии превратилась благодаря работе сил трения в тепло и, åñëè øàð äâèæåòñÿ, â åãî êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ. Ответ: з.с.э. непоколебим.

Контрольные задания 1. Какой из графиков на рис. 7 правильно отображает зави-симость потенциальной энергии камня от высоты его подъема над поверхностью земли у?

Рис. 7

2. С поверхности земли брошено тело под углом α = °30 к горизонту (рис. 8). Путь Нm – высота максимального подъема. На какой высоте h потенциальная энергия тела будет равна кинетиче-ской, если за нулевой уровень принята энергия на поверхности?

Варианты ответа: а) h=Hm;

б) h Hm=2

; в) h Hm= 32

;

г) в других точках траектории; д) ни в одной из точек траектории?

Рис. 6

Рис. 8


54

3. На высоте Н летящий снаряд разорвался на несколько ос-колков (рис. 9). Величины начальных скоростей всех осколков рав-ны. Скорость какого осколка при падении на зем-лю будет максимальной? Размерами снаряда и осколков можно пренебречь.

Варианты ответа: а) осколка, летящего вертикально вверх; б) осколка, летящего вертикально вниз; в) наиболее массивного осколка; г) наименее массивного осколка; д) конечные скорости всех осколков равны по величине.

4. Одинаковые порции горючего сжигают у подножия горы и на ее вершине. Когда выделится больше энергии?

Варианты ответа: а) у подножия; б) на вершине; в) одинаково; г) «умный в гору не пойдет, умный гору обойдет»?

5. Какую минимальную работу необходимо совершить, что-бы перекинуть через забор высотой Н лежащую на земле веревку массой m и длиной l (l<H)?

Варианты ответа: а) mg H l( );+ б) mgH;

в) mg H l−

4; г) mg H l−

2;

д) ( )mg H l− ; е) 0?

Рис. 9


55

10 класс Тема: ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД.

ЗАКОН КУЛОНА Физические и химические свойства вещества – от атома до живой клетки – в значительной степени объясняются электрически-ми силами. Благодаря им вещество на атомном и молекулярном уровне существует как целое. В 9-м классе Вы познакомились с гравитационной силой, источником которой является гравитационная масса. Источником электрической силы является электрический заряд. Гравитационная и электрическая силы действуют независимо друг от друга, и между зарядом тела и его массой не существует определенного соотноше-ния. В отличие от массы электрический заряд может быть как по-ложительным, так и отрицательным. Носителями электрических за-рядов являются элементарные частицы: электрон (носитель отрица-тельного заряда) и протон (носитель положительного заряда), при-чем по модулю заряд электрона равен заряду протона (эту величину называют элементарным зарядом и обозначают буквой е). Заряд, который называют отрицательным, можно было бы с тем же успе-хом назвать положительным, выбор названия был исторической случайностью. Эксперименты показывают, что ни у одной из открытых за-ряженных частиц не встречается заряд, меньший по модулю заряда электрона или протона. Значение элементарного заряда установлено экспериментальным путем и оказалось равным е = 1,60⋅10–19Кл (единица заряда в системе СИ называется кулоном и обозначается Кл). Электрические заряды взаимодействуют друг с другом так, что одноименные заряды (заряды одного знака) отталкиваются, а разноименные – притягиваются. Зависимость ориентации электри-ческой силы показана на рис. 1.


56

Величина силы взаимодей-ствия между покоящимися точеч-ными зарядами определяется за-коном Кулона. Точечным зарядом называют заряженное тело, разме-ром которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других заряженных тел. Согласно

закону Кулона в вакууме сила взаимодействия между двумя покоя-щимися точечными зарядами пропорциональна произведению абсо-лютных значений этих зарядов и обратно пропорциональна квад-рату расстояния между ними:

F kq q

rк = 01 2

2 . (1)

Она направлена по прямой, соединяющей точки, в которых распо-ложены заряды (см. рис. 1). В этой формуле q1 и q2 – абсолютные значения зарядов; k0 – коэффициент пропорциональности, значение которого зависит от системы единиц. В системе СИ он равен k0 = 9⋅109 (Н⋅м2)/Кл2. За-метим, что в воздухе заряды взаимодействуют друг с другом с такой же силой, что и в вакууме. Задача 1. Найти отношение электрической и гравитационной сил взаимодействия двух протонов.

Решение. Положительно заряженные про-тоны, находящиеся на расстоянии r друг от друга,

отталкиваются с силой F k qrк = 0

2

2 и притягивают-

ся с силой F Gm

rp

гр ,=2

2 где G – гравитационная

постоянная (G = 6,67⋅10-11 (Н⋅м2)/кг2). Отношение этих сил FF

k eGmp

к

гр, .= ≈ ⋅0

2

2361 23 10

Ответ: 1,23·1036.

е = 1,6⋅10-19 Кл mp = 1,67⋅10-27 кг ______________

FFк

гр?=

Рис.1


57

Это означает, что сила кулоновского отталкивания протонов в 1036 раз больше силы гравитационного притяжения. Из получен-ной формулы легко установить, какой массой ′mp должны обладать протоны, для того чтобы они притягивались друг к другу с силой, равной силе кулоновского отталкивания:

′ = ≈ ⋅ −m kG

ep0 91 86 10, кг,

то есть они должны «потяжелеть» в ′ = ⋅m mp p/ ,11 1018 раз. Из проделанных вычислений следует, что электрическая си-ла взаимодействия заряженных тел во много раз превышает грави-тационную. Под ее действием все положительно заряженное от-толкнется со страшной силой и разлетится в разные стороны. Все отрицательное – тоже. Но если положительное и отрицательное пе-ремешать поровну, то они с огромной силой притянутся друг к дру-гу, и в итоге эти невероятные силы идеально сбалансируются, обра-зуя одно целое. Задача 2. Какой заряд q' следует поместить посередине меж-ду двумя одинаковыми точечными зарядами q1= q2= q, чтобы обра-зовавшаяся система из трех зарядов находилась в равновесии?

Решение. Для того чтобы одноименные заря-ды q1 и q2 под действием силы Кулона не разлетелись в разные стороны, между ними следует поместить противоположный по знаку заряд q′. Система зарядов

будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, при-ложенных к каждому заряду, равна нулю. Поэтому, приступая к ре-шению задачи, определимся с силами, действующими на заряды.

Заряды q1, q' и q2 находятся на одной прямой (рис. 2). Так

как заряды q1 и q2 расположены симметрично относительно q', при решении задачи достаточно рассмотреть силы, действующие на

q1= q2= q -----------

q'=?

Рис. 2


58

один из них, скажем, q1. Полученный для него результат будет спра-ведлив для заряда q2. Для определенности будем считать, что заряды q1 и q2 положительные, а q' – отрицательный. На заряд q1 со стороны зарядов q' и q2 действует сила притя-жения

rFq q1 ′ и сила отталкивания

rFq q1 2

. Поскольку он пребывает в со-стоянии покоя, то

rFq q1 ′ +

rFq q1 2

=0. Введем координатную ось 0х, направив ее от q1 к q2 (см. рис.2). В проекциях на ось 0х уравнение равновесия имеет вид

( )k q q

lk q

l0

20

2

20

'

/,− =

где l – расстояние между зарядами q1 и q2. Из этого уравнения на-ходим, что q q' /= 4 или, учитывая, что знак заряда q' противополо-жен знаку заряда q, q'=–q/4. Так как заряд q' находится на одинаковом расстоянии от двух одинаковых зарядов, но независимо от значения q' r rF Fq q q q' ' ,

1 2= − поэтому сумма действующих на него сил

rFq q' 1

+rFq q' 2

=0. Следовательно, чтобы два одинаковых заряда q1=q2=q не разлетались в разные стороны, посередине между ними надо помес-тить заряд –q/4. Заметим, что величина q' не зависит от расстояния между зарядами q1 и q2. Это означает, что при любом l система заря-дов q, –q/4, q пребывает в равновесии. Чтобы определить, является ли это состояние равновесия устойчивым, сместим заряд q' на небольшую величину ∆l в направ-лении заряда q2 (аналогичный результат будет получен, если q' сме-стить на ∆l в сторону заряда q1). В этом случае модуль силы притя-жения, действующий на него со стороны заряда q2, равен

′ =

−

=−′F k q

l l

k ql lq q2

02

20

2

42

2∆

∆( ),

а модуль силы притяжения, действующий со стороны заряда q1,


59

′ =

+

=+′F k q

l l

k ql lq q1

02

20

2

42

2∆

∆( ).

Очевидно, что ′ > ′′ ′F Fq q q q2 2, то есть баланс сил нарушился. Это при-

ведет к тому, что заряд q' начнет двигаться в сторону заряда q2, и рассматриваемая система выйдет из состояния равновесия. В зависимости от электрических свойств все вещества делят-ся на диэлектрики (изоляторы), проводники и полупроводники. Опытным путем установлено, что сила взаимодействия зарядов в диэлектрической среде меньше, чем в вакууме. Величина, показы-вающая, во сколько раз силf взаимодействия между зарядами в сре-де меньше, чем в вакууме, называется относительной диэлектриче-ской проницаемостью среды ε. Таким образом,

Fвак = εFср, ε ≥ 1, или F kq q

rcp = 01 2

2ε.

Для газов и воздуха ε=1, для керосина ε=2, для стекла ε=7, для воды ε=81. Задача 3. Два маленьких шарика одинаковых масс и радиу-сов с одинаковыми зарядами подвесили в одной точке на непрово-дящих нитях одинаковой длины. Затем эти шарики опустили в керо-син. Какова плотность материала шариков ρш, если угол расхожде-ния нитей в воздухе и керосине один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина εк = 2, а плотностьρк = 0,8 г/см2.

Решение. Рассмотрим случай, когда заряженные шарики находятся в воздухе (рис. 3,а). На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести mgr , сила натяжения нити

rT и сила кулонов-

ского отталкиванияrF (силой гравитационного притяжения шариков

друг к другу в силу ее малости пренебрегаем). Так как шарики висят неподвижно, то векторная сумма всех

сил, действующих на каждый шарик, равна нулю: mg T Fr r r+ + = 0.

m1=m2=m, q1=q2=q, εк =2, ρк = 0,8 г/см2, αк = αв = α

ρш = ?


60

Введем прямоугольную систему координат х0у так, как пока-зано на рис. 3,а.

Tr

В проекциях по осям координат это векторное уравнение принимает вид:

проекция на ось 0х: F T− =sin ,вα 0 проекция на ось 0у: T mgcos ,вα − = 0 где αв – угол, образованный нитью с вертикалью, проведенной через точку подвеса. Для дальнейшего решения эти уравнения удобно за-писать так: .cos;sin ‰‰ α=α= TmgTF

Поделив верхнее уравнение на нижнее, получим Fmg

= tg ,вα где

F k qr

= 0

2

2, q – заряд шарика; r – расстояние между шариками.

При погружении шариков в керосин (рис. 3,б) изменяется кулоновская сила отталкивания

F k qr

F= =0

2

21

ε εк

и появляется выталкивающая сила Архимеда

F V g m gA .= =ш к

к

шρ

ρρ

Здесь учтено, что объем шарика V mш .=

ρш

Рис. 3


61

Условие равновесия шарика, помещенного в керосин, позво-ляет записать следующие уравнения:

F Tк к к− =sin ,α 0 T mg Fк к Acos .α − + = 0

По аналогии с предыдущим случаем находим, что tg .кα =−F

mg Fк

А

Из равенства углов αв = αк следует, что tgαв = tgαк, то есть F

mgF

mg FF

mgF

mg=

−=

−к

А к к шили

ε ρ ρ( / ),

1

отсюда ρε ρεшк к

к

3г / см=−

=1

1 6, .

Ответ: ρш3г / см= 1 6, .

Задача 4. Небольшой шарик массой m = 20 г удерживается тонкой изолирующей нитью на вершине наклонной плоскости высо-той h = 10 см (рис.4,а). Напротив него внизу у основания наклонной плоскости жестко закреплен такой же шарик. Расстояние между центрами шариков l = 20 см. Шарикам сообщают одинаковые заря-ды q, после чего нить пережигают. Определить величину заряда q, если движущийся вниз шарик достиг максимальной скорости на се-редине спуска. Силой трения качения пренебречь.

h x

Решение. На шарик, скатывающийся вниз по наклонной плоскости, действуют сила тяжести mgr , сила реакции опоры

rN и сила кулоновского отталки-

вания rF (рис. 4,б), причем согласно II закону Ньютона

ma mg N Fr r r r= + + к ,

где ra – ускорение, с которым движется шарик.

m = 0,02 кг h = 0,1 м l = 0,2 м q1= q2= q ----------------

q = ?

Рис. 4


62

Введем прямоугольную систему координат х0у (см. рис. 4,б), направив ось 0х вдоль наклонной плоскости вниз, а ось 0у – перпен-дикулярно ей. В проекциях на оси координат векторное уравнение II закона Ньютона принимает вид проекция на ось 0х:

ma mg Fx = −sin ;α к (1) проекция на ось 0у: 0 = −N mg cos .α (2) Здесь α – угол при основании наклонной плоскости. В равенстве (2) учли, что шарик вдоль оси 0у не движется, поэтому проекция уско-рения ау=0. Из уравнение (1) следует, что скорость катящегося вниз ша-рика растет (ах>0) до тех пор, пока сила кулоновского отталкивания Fк < mgsinα. С уменьшением расстояния r между зарядами Fк быстро возрастает, и при некотором значении r = r0 это неравенство перехо-дит в равенство Fк = mgsinα или, ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèå äëÿ ñèëы Fк,

k qr

mg02

02 = sin .α (3)

Преобразуем равенство (3), заменив в нем r0 на l/2, а sinα на h/l: 4 0

2k ql

mgh= .

Отсюда следует, что заряды шариков

q mghlk

= = ⋅ −

43 3 10

0

7, Кл.


Чтобы проверить, насколько хорошо Вы разобрались в из-ложенном материале, попытайтесь выполнить контрольные задания, которые подобраны так, что для их выполнения Вам потребуется в лучшем случае лист бумаги, карандаш или ручка. После каждого вопроса приведено несколько вариантов от-вета. Выберите тот, который Вы считаете верным.


63

1. В вершинах квадрата жестко закреплены четыре одинако-вых положительных заряда +q (рис. 5). В каком направлении будет двигаться помещенный точно в центр квадрата заряд –q? Варианты ответа: а) вертикально вверх; б) вертикально вниз; в) горизонтально вправо; г) горизонтально влево; д) в любом другом направле-нии (укажите в каком); е) останется на месте. 2. Два точечных заряда, находящиеся в вакууме на расстоя-нии а друг от друга, притягиваются с некоторой силой F. На каком расстоянии ас должны они находиться в жидком масле с диэлектри-ческой проницаемостью ε, чтобы сила электрического взаимодейст-вия между ними осталась прежней. Варианты ответов: а) а; б) εа; в) а/ε; г) a / ;ε д) εa. 3. На изолированной подставке располо-жен вертикально тонкий фарфоровой стержень, на который надеты два одинаковых шарика А и В (рис. 6). Шарик В подвешивают с помощью тон-кой нити на расстоянии Н над шариком А. После того, как обоим шарикам сообщили положитель-ные заряды, сила натяжения нити уменьшилась в 3 раза. С каким ускорением будет двигаться ша-рик В сразу после пережигания нити? Трением шарика о стержень пренебречь. Варианты ответа: а) 0; б) g; в) g/3; г) 3g; д) 2/3g. 4. Два шарика с равными одноименными зарядами q расположены на расстоянии h друг от друга вдоль вертикали, проходящей через их цен-тры (рис.7). Нижний шарик закреплен, а верхний свободно парит над ним. Какой заряд q′ надо до-полнительно сообщить нижнему шарику, чтобы расстояние между шариками увеличилось в 2 раза? Варианты ответа: а) –q/2; б) q; в) 3q; г) 4q.

Рис. 5


64

11 класс

Тема: ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Закон сохранения энергии (з.с.э.) гласит: при любых процес-сах, происходящих в замкнутой (изолированной) системе, ее полная энергия не изменяется. З.с.э. является одним из наиболее фундамен-тальных законов природы и выполняется во всех процессах абсо-лютно точно. Энергия незамкнутой системы может изменяться из-за внешних воздействий. Это изменение численно равно и противопо-ложно по знаку алгебраической сумме изменений энергии всех внешних сил и полей, взаимодействующих с системой. Существуют различные виды энергии: механическая, внут-ренняя (тепловая), электромагнитная, химическая, ядерная и др. Многообразие видов и переходов энергии между ними не позволяет записать з.с.э. в самой общей математической форме. Однако для многих частных случаев можно получить формулу энергетического баланса при всевозможных изменениях в физической системе. Важным примером такого баланса является соотношение, определяющее изменение механической энергии незамкнутой сис-темы тел, когда извне тепло в систему не поступает: ∆Е = Авнеш – Q, (1) где ∆Е – изменение механической энергии системы (∆Е = ∆Екин + +∆Епот); Авнеш – работа внешних сил, совершенная над системой; Q – количество механической энергии, перешедшей в любые другие ви-ды энергии вследствие взаимодействий внутри системы. Рассмотрим несколько основных правил, которые необходи-мо выполнять при использовании соотношения (1). 1. Существуют две меры взаимодействия тел: сила и потен-циальная энергия. Если сила является консервативной (как, напри-мер, сила тяжести, сила упругости, сила Кулона), то обе эти величи-ны могут описывать одно и то же явление. Поэтому в соотношении (1) вклад в Авнеш дает работа только тех сил, вклад которых не учтен в изменении потенциальной энергии ∆Епот.


65

Пример. Определим кинетическую энергию камня массой m = 1 кг. при его падении на поверхность земли, если он был бро-шен с высоты h = 5 м без начальной скорости. Сопротивлением воз-духа можно пренебречь. Решение. Сначала рассмотрим систему «камень–земля». Внешние силы, действующие на эту систему, отсутствуют следова-тельно, Авнеш=0. Сила тяготения между камнем и землей является консервативной, поэтому Q=0. Тогда из (1) имеем

∆E E E Е Е mv mgh= + − + = − =( ) ( ) ,кин2 пот2 кин1 пот1

2

20

откуда

E mv mghкин2 Дж.≡ = =2

249 (2)

Теперь рассмотрим систему, состоящую из одного камня. В этом случае сила тяготения является внешней. Вектор перемещения параллелен силе тяготения, поэтому Авнеш = mghcos00 = mgh. Тогда из соотношения (1) получим ∆Е = Екин2 – Екин1 = Авнеш = mgh, и мы снова возвращаемся к (2). Как и следовало ожидать, оба способа оказались эквивалент-ными. Если же притяжение камня и земли учесть одновременно в ∆Епот и Авнеш, то результат окажется неверным. 2. При определении потенциальной энергии двух взаимодей-ствующих тел следует учитывать, что эта энергия именно пары тел, а не каждого из них в отдельности. 3. При рассмотрении сил трения следует учитывать, что по III закону Ньютона силы возникают парами.

Если между телами действуют силы трения покоя, сумма их работ равна нулю, и они не изменяют механическую энергию систе-мы тел. Этот вывод следует из того, что точки приложения сил не-подвижны относительно друг друга, поэтому векторы их перемеще-ния одинаковы, а векторы сил равны по величине и противополож-ны по направлению. Если между телами действуют силы трения скольжения, сумма их работ всегда отрицательна, и механическая энергия систе-мы тел уменьшается. Это происходит потому, что силы трения


66

скольжения всегда направлены против относительной скорости взаимодействующих тел. Перейдем к практическому использованию з.с.э. в решении задач. Задача 1. Два тела находятся у оснований двух наклонных плоскостей с углами наклона α=30° и β=60° соответственно (рис. 1). Телам сообщили оди-наковые начальные скорости. Определите отношение высот максимального подъема тел, если трение отсутствует. Решение. Система «тело+земля» не является замкнутой, так как на тело действует сила нормальной реакции опоры

rN (см. рис.

1). Однако в течение всего времени движения эта сила перпендикулярна скорости тела и поэтому не совершает над ним работы (Авнеш = 0). Трение отсутствует, поэтому Q = 0. Тогда из соотношения (1) следует, что механиче-ская энергия сохраняется ∆Е = ∆Екин + ∆Епот = 0. (3) В точке максимального подъема скорость тела, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. Тогда из (3) имеем

− + =mv mgh2

20, (4)

откуда

h vg

=2

2. (5)

Таким образом, высота максимального подъема не зависит ни от массы тела, ни от угла наклона плоскости. Учитывая, что v1=v2, окончательно получим

k hh

= =1

21. (6)

Ответ: k=1.

α = 30° β = 60° v1 = v2 -----------

k hh

= =1

2?

Рис. 1


67

Задача 2. На горизонтальной поверх-ности лежит тело массой m = 0,1 кг, прикреп-ленное пружиной к вертикальной плоскости (рис.2). В начальный момент времени пружина не деформирована. На тело начинает действо-вать горизонтально направленная сила. Опре-делите величину этой силы, если максимальное смещение тела от начального положения хm= 10 см. Коэффициент упругости пру-жины k = 100 Н/м, а коэффициент трения между телом и поверхно-стью µ = 0,2.

Решение. Изменение механической энер-гии в системе «тело+пружина» определяется работой силы

rF и силы трения

rFтр :

∆E A A FS mgS= + = −тр µ , (7) где S – перемещение тела. Сила

rF параллельна вектору

rS , поэтому

ее работа положительна. Векторы rFтр и

rS антипараллельны, по-

этому работа силы трения отрицательна. В момент максимального смещения тело меняет направление своего движения на противоположное, поэтому его скорость обра-щается в нуль. Так как тело начинает свое движение из состояния покоя, изменение кинетической энергии системы ∆Екин = 0. При движении тела по горизонтальной плоскости потенци-альная энергия системы в поле силы тяжести не меняется. Тогда из-менение потенциальной энергии обусловлено упругой деформацией

пружины ∆E kSпот =

2

2. Таким образом, в точке максимального сме-

щения (S=xm) уравнение (7) принимает вид

kx Fx mgxmm m

2

2= − µ , (8)

откуда окончательно получим

F mg kxm= + =µ2

5 2, H. (9)

m = 0,1 кг xm=10 см = 0,1 м k = 100 Н/м µ = 0,2 -------------------

F =?

Рис. 2


68

В заключение заметим, что вместо системы «тело+пружина» мы могли бы рассмотреть систему «тело+пружина+поверхность». В этом случае

rFтр стала бы внутренней силой системы. Тогда в соот-

ношении (1) Авнеш = FS, но Q = FтрS, так как работа силы трения при-водит к переходу механической энергии в тепловую, и вновь прихо-дим к уравнению (7). Ответ: F = 5,2 Н. Задача 3. Электрон, имеющий начальную кинетическую энергию Е0 = 10-18 Дж, налетает на другой, первоначально покоя-щийся электрон. Начальная скорость rv0 направлена по прямой, со-единяющей электроны. Определите минимальное расстояние, на которое сблизятся электроны. Заряд электрона qe = –1,6⋅10-19 Кл. Действием силы тяжести можно пренебречь.

Решение. Одноименные заряды оттал-киваются, поэтому под действием кулоновский сил скорость первого электрона начнет умень-шаться, а второго – увеличиваться (рис. 3) Электроны будут сближаться до тех пор, пока

их скорости не сравняются ( r r rv v v1 2= = ). Величину скорости rv оп-ределим из закона сохранения импульса:

m v m v m v m ve e e er r r r0 1 2 2= + = , (10)

откуда

v v= 0

2. (11)

Из соотношения (11) определим кинетические энергии элек-тронов при максимальном сближении

E Е m v m v Ee eк1 к2= = = =

202

0

2 8 4. (12)

Система двух электронов является замкнутой и в ней дейст-вуют только силы кулоновского взаимодействия. Тогда механиче-ская энергия системы сохраняется

E E Еqr

E qr

e

m

e

m0

0

20

0

214 2

14

= + + = +к1 к2 πε πε. (13)

Е0 = 10-18 Дж qe = –1,6⋅10-19 Кл ----------------------- rm = ?

Рис. 3


69

Из (13) легко определить минимальное расстояние между электронами (ε0 = 8,85⋅10-12 Кл2/(Н⋅м2)):

r qEm = = ⋅ −

2

0 0

10

24 6 10

πε, м. (14)

Ответ: rm = ⋅ −4 6 10 10, .

Задача 4. В результате столкновения находящиеся при оди-наковой температуре t = –0,1°С снежки слипаются. Непосредственно перед столкновением скорости снежков равны по величине ( v v v1 2 25= = = м/с) и противоположны по направлению ( r rv v1 2= − ). Определите, насколько повысилась температура снега в результате удара. Удельная теплоемкость снега С = 2,1⋅103 Дж/(кг⋅К).

Решение. Так как снежки слипаются, удар является абсолютно неупругим, поэтому меха-ническая энергия системы не сохраняется. Со-гласно закону сохранения импульса ( )m m v m v m v1 2 1 1 2 2 0+ = + =

r r rк (15)

конечная скорость образовавшегося кома рав-на нулю. Тогда по з.с.э. вся механическая

энергия перешла в тепловую

Q m v m v m m v= + =+1 1

22 2

21 2 2

2 2 2. (16)

Полученная снегом теплота приводит к его нагреву. Если соотношение (16) формально подставить в уравнение теплового ба-ланса Q = C(m1 + m2)∆t, то мы получим

∆t QC m m

vC

=+

= =( )

,1 2

2

20 15K. (17)

Однако этот результат не имеет физического смысла: конеч-ная температура tк = t + ∆t = 0,05°С превышает температуру плавле-ния снега t0 = 0°С. Таким образом, правильное уравнение теплового баланса принимает вид

m m v C m m t t m1 2 21 2 0 32

+= + − +( )( ) ,λ (18)

t = –0,1°С v v v1 2 25= = = м/с С = 2,1⋅103 Дж/(кг⋅К) ---------------------------

∆t = ?


70

где λ = 3,3⋅105 Дж/кг – удельная теплота плавления снега; m3 – масса растаявшего снега. Из уравнения (18) имеем

m

m mv C t t3

1 2

20 32

0 62 10+

=− −

= ⋅ −( ), .

λ (19)

Следовательно, весь снег не растает. Температура оставшейся части снега t0=0°С, поэтому в результате удара она поднялась на величину ∆t t t= − = °0 0 1, K. (20) В заключение сделаем важное замечание. Шкалы температур Цельсия и Кельвина различаются на температуру абсолютного нуля T °K = t°C + 273,15°C, (21) но разности температур одинаковы для обоих шкал ∆T °K = ∆t°C , (22) Ответ: ∆t = °0 1, K. Задача 5. На какую высоту можно было бы поднять тело массой М = 1 т, если бы удалось полностью использовать энергию, которую нужно затратить на испарение m = 200 г воды, первона-чально находящейся при температуре t1 = 20°С? Удельная теплоем-кость воды С = 4,2⋅103 Дж/(кг⋅К), удельная теплота испарения h = =2,26⋅106 Дж/кг.

Решение. Чтобы испарить воду, ее сначала необходимо нагреть до температу-ры кипения t2 = 100°С. Тогда затраченное количество теплоты Q = Cm(t2 – t1) + Lm. (23) Если бы удалось полностью использовать эту энергию при подъеме тела, его потенциаль-ная энергия увеличилась бы на величину Q. Тогда

h QMg

mM

C t t Lg

= =− +

=( )2 1 53м! (24)

К сожалению, согласно второму началу термодинамики нельзя полностью превратить количество теплоты в механическую работу.

М = 1 т = 1000 кг m = 200 г = 0,2 кг t1 = 20°С С = 4,2⋅103 Дж/(кг⋅К) h = =2,26⋅106 Дж/кг --------------------------

h = ?


71

Контрольные задания 1. Какую минимальную работу нужно совершить при броске мяча массой m об пол с высоты h, чтобы в результате абсолютно уп-ругого удара мяч подпрыгнул на высоту вдвое большую?

Варианты ответа: а) 0; б) 12

mgh; в) mgh; г) 2mgh.

2. Четыре одинаковых заряда величи-ной q расположены в вершинах правильного тетраэдра со стороной а (рис.4). Определите потенциальную энергию электростатического взаимодействия в этой системе.

Варианты ответа: а) 0; б) 44

2

0

qaπε

;

в) 64

2

0

qaπε

; г) 124

2

0

qaπε

.

3. В каком случае для нагревания металлического шара до

одной и той же температуры потребуется больше энергии: 1) шар висит на нити; 2) шар расположен на плоскости? При нагревании шара нить и плоскость не деформируются и энергии не поглощают. Варианты ответа: а) 1; б) 2; в) одинаково.

4. Понижается ли температура в комнате при открытой двер-це работающего холодильника? Варианта ответа: а) да; б) температура не изменится; в) температура повысится.

5. Чтобы нагреть 100 г воды на 1°С, требуется 100 калорий тепла (420 Дж). Можно ли «прокипятить» 1 л воды (1 кг), имеющий температуру 20°С, затратив только 7⋅104 калорий и не прибегая к другим источникам тепла? Варианты ответа: а) да; б) нет, так как это противоречит з.с.э.

Рис. 4

Русский язык

72

РУССКИЙ ЯЗЫК

Тема: ПРАВОПИСАНИЕ Н и НН В РАЗНЫХ ЧАСТЯХ РЕЧИ

Это – одна из сложных тем, разработанная для ориентировочного урока по орфографии, одинаково важна как для 7-го класса, так и для 11-го; этим обу-словлена разработка одного урока русского языка для 7 - 11 классов.

При написании Н и НН в суффиксах прилагательных следует

учитывать способ их образования. Например, прилагательное сереб-ряный образовано от существительного серебро, и написание суф-фикса -ЯН- определяется одним правилом, а прилагательное сереб-рёный - от глагола серебрить, и написание суффикса -ЁН- определя-ется другим правилом.

Обратите внимание: правила правописания Н и НН в прилага-тельных, которые произошли от существительных, не распространя-ется на прилагательные, которые произошли от глаголов.

Написание Н или НН в существительных, наречиях на -О и -Е, сложных прилагательных обусловлено тем, сколько Н было в сло-вах, от которых они образованы:

путаНица (путаНый), воспитаННик (воспитаННый), путаНо ответил (путаНый ответ), искреННе сожалеть (искреННее сожаление), малохожеНый (хожеНый), дубиННоголовый (дубиННая голова).


73

Правописание Н и НН в прилагательных, образованных от существительных

Одно Н пишется в прилагательных, образованных от существи-

тельных с помощью суффиксов -ИН- или -АН-(-ЯН-)1: лебедИНый, песчАный, глинЯНый.

Исключения: стеклЯННый, оловЯННый, деревЯННый. Примечания: 1. Существительное гостиная пишется с одним Н (по своему проис-

хождению является прилагательным с суффиксом -ИН- от гость). 2. Слова пряНый, румяНый, юНый содержат одно Н. Два Н (НН) в прилагательных, образованных от существитель-

ных, пишется в следующих случаях: 1. Если прилагательное произошло от существительного, ко-

торое имеет основу на Н (второе Н является суффиксом прилага-тельного):

истиННый (истиНа), стариННый (стариНа), чиННый (чиН).

2. В прилагательных, которые образованы от существитель-ных на -МЯ:

семеННой, племеННой. 3. Если прилагательное образовано от существительного с по-

мощью суффикса -ЕНН- или -ОНН-: клюквЕННый, дискуссиОННый.

Исключение составляет прилагательное ветреНый, однако при-ставочные образования этого прилагательного пишутся с НН: без-ветреННый, проветреННый.

1 Посредством суффикса -АН-(-ЯН-) образуются прилагательные со значе-нием "приготовленный, сделанный из какого-нибудь вещества, материала" (кожаный, серебряный, полотняный) или "служащий для чего-нибудь" (платяной шкаф, дровяной склад).


74

Правописание Н и НН в прилагательных, образованных от глаголов

В прилагательных пишется одно Н, если они образованы от гла-

голов несовершенного вида2: зваНый обед (звать), кошеНый луг (косить), золочёНые ложки (золотить).

Исключения: прилагательные желаННый, медлеННый, невидаННый, негадаННый, неждаННый, неслыхаННый, нечаяННый, свящеННый, чекаННый

образованы от глаголов несовершенного вида, но пишутся с НН. Обратите внимание:

1. Прилагательные с частицей НЕ, образованные от глаголов несовершенного вида, пишутся с одним Н, так как присоединение к глаголу частицы НЕ не меняет его вида:

незваНый (гость), некрашеНый (пол), немощеНая (дорога), неезжеНый (путь).

2. От рассмотренных отглагольных прилагательных следует отличать сходные с ними причастия, в которых всегда бывает НН. Такие причастия обычно имеют зависимые слова (допол-нения или обстоятельства).

Сравните прилагательные и причастия в следующих словосоче-таниях:

мощеНые улицы - мощёННые кирпичом дорожки; печёНый картофель - печёННый в золе картофель; сеяНая мука - сеяННая сквозь мелкое сито мука.

Два Н (НН) в прилагательных, образованных от глаголов, пи-шется в следующих случаях:

1. Если они образованы от глаголов совершенного вида3, кото-рые чаще употребляются с приставками (поносить, подержать), однако бывают и без приставок (купить, бросить):

2 Глаголы несовершенного вида отвечают на вопрос "что делать?" 3 Глаголы совершенного вила отвечают на вопрос "что сделать?"


75

растеряННый (вид), отчаяННое (усилие), признаННый (учёный), довереННое (лицо), брошеННый, куплеННый.

Исключения: назваНый (брат), посажёНый (отец), смышлёНый (юноша), придаНое (сущ.)

Примечание. Следует отличать прилагательное посажёНый от причастия посáжеННый, прилагательное назвáНый от причастия нáзваННый, существительное придáНое от причастия прúдаННое.

2. В прилагательных пишется НН, если они имеют суффикс -ОВАНН- (-ЕВАНН-):

взволнОВАННый, образОВАННый, очарОВАННый. Примечание: в бесприставочных прилагательных коваНый, жё-

ваНый, клёваНый пишется одно Н, так как -ОВ- и -ЕВ- входят в ко-рень, а не в суффикс.

Правописание Н и НН в сложных прилагательных

1. Одно Н пишется в первой части сложного прилагательного, если она образована от существительного или прилагательного, имеющего Н:

вагоНоремонтный (ремонт вагонов), серебряНо-серый (серебряНый с серым оттенком).

2. Двойное Н пишется в первой части сложного прилагательно-го, если она образована от прилагательного, имеющего НН:

вагоННо-паровозный (вагоННый и паровозный), длиННорукий (длиННые руки).

3. Вторая часть сложных прилагательных, выраженная глаголь-ной основой, может иметь Н и НН; их правописание определяется общими правилами написания Н и НН в отглагольных прилагатель-ных. Например, в прилагательном свежеморожеНый пишется Н, так как вторая часть - морожеНый- образована от бесприставочного глагола несовершенного вида, а в слове свежезаморожеННый пи-шется НН, так как заморожеННый образовано от глагола приста-вочного совершенного вида. См. то же в примерах:


76

златоткаНый, самозваНый, малохожеНый, малоношеНый; но:

свежеиспечёННый, новоявлеННый, свежекуплеННый, долгождаННый.

Примечание: термины легкоранеНый и тяжелоранеНый пишутся с одним Н во второй части, в словосочетаниях легко ранеННый и тяжело ранеННый слово ранеННый - причастие с пояснительным словом (легко, тяжело) и, следовательно, имеет НН.

Правописание Н и НН в кратких причастиях, кратких прилагательных, наречиях на -О

1. Необходимо отличать правописание кратких причастий от

кратких прилагательных, образованных от глаголов. Краткие при-частия пишутся всегда с одним Н, а краткие прилагательные сохра-няют столько Н, сколько Н в полных формах.

В предложении Дочь избаловаНа матерью

краткое страдательное причастие прошедшего времени совершенно-го вида, управляющее существительным в творительном падеже (матерью).

В предложении Дочь избаловаННа и упряма

слово избаловаННа является кратким прилагательным, так как обо-значает свойство характера (капризная, своенравная), отвечает на вопрос "какова дочь?" и не управляет существительным в твори-тельном падеже.

Проследите употребление кратких причастий и кратких прила-гательных в следующих примерах:

Интересы обломовцев были ограничеНы узким кругом повсе-дневных забот.

Их взгляды были очень огра-ничеННы.

Собрание было взволноваНо тем, что произошло вчера.

Ее выступление было откро-веННо, аргументироваННО и взволноваННо.

Войска были сосредоточеНы на границе.

Все его действия были ловки и сосредоточеННы.


77

2. Следует также отличать краткие причастия среднего рода единственного числа от наречий на -О. Краткие причастия всегда имеют одно Н в суффиксе, а наречия сохраняют столько Н, сколько их в причастиях или прилагательных, от которых они образованы. Например, в предложении

Дело обдумаНо со всех сторон слово обдумаНо является кратким причастием (выступает в роли сказуемого) и пишется с одним Н.

В предложении Он отвечал обдумаННо

слово обдумаННо - наречие (играет роль обстоятельства), имеющее столько Н, сколько их в слове обдумаННый, от которого оно образо-вано. Сравните:

Озеро взволноваНо сильным ветром.

Участники экспедиции взволно-ваННо рассказывали о ее результа-тах.

Население острова было испугаНо прибытием военного корабля.

При звуке выстрела все испу-гаННо вздрогнули.

Правописание Н и НН в существительных

1. Н или НН в существительных зависит от слов, от которых

они образованы. Например, в существительном путаНица одно Н, так как оно образовано от прилагательного путаНый, а существи-тельное запутаННость имеет НН, так как образовано от причастия запутаННый.

См. то же в примерах: гостиНица (гостиНый), ветреНость (ветреНый), смышлёНость (смышлёНый), плеННик (плеННый), избраННик (избраННый), собствеННик (собствеННый). 2. В существительных пишется НН, если одно Н входит в ко-

рень слова, а второе Н - в суффикс. Например, в слове бессоННица одно Н входит в корень СОН-, а второе - в суффикс -НИЦ-.

См. то же в словах: осиННик (осина), беспридаННица (придаНое), дружиННик (дружиНа), малиННик (малиНа).


78

Вопросы по теме 1. В каких прилагательных, образованных от глаголов, пишется

НН? 2. Объясните написание слов:

вагоНоремонтный, вагоННо-паровозный, длиННорукий, самозваНый, долгождаННый, легкоранеНый, легко ранеННый.

3. Чем отличается правописание кратких причастий от кратких прилагательных и наречий?

4. Что необходимо учитывать при написании Н и НН в суф-фиксах прилагательных?

5. В каких прилагательных, образованных от существительных, пишется НН?

Если возникнут затруднения при ответах на эти вопросы, об-ращайтесь к тексту урока.


Выполните упражнения, вставляя пропущенные буквы. 1. Серебр...ые украшения, глин...ые изделия, олов...ый взгляд, ветр...ое утро, безветр...ая ночь, понош...ый костюм, непуга...ый зверь, отча...ый шаг, тяжело ране...ый боец, оплете...ый плющом забор, писа...ый масл...ыми красками портрет.

2. 1) Ответы легкомысле...ы и необдума...ы. 2) Она была музыкальна и начита...а. 3) У них две дочери, которые воспита...ы отлично. 4) Плечи женщины были покрыты платком, вяза...ым из чис-той шерсти. 5) Смышлё...ый мальчишка понравился матросу. 6) Нечая...ый случай разрешил мои недоумения. 7) Ольга Ильинская была умна и образова...а. 8) Я очень ветре...о, быть может, поступила. 9) В это время в степи было тихо, пасмурно, пусты...о и мягко.

ХИМИЯ - 9 класс

79

НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ

9 класс

Тема: РАСЧЕТЫ ПО УРАВНЕНИЯМ

ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Урок: Расчеты по уравнениям химических реакций, если

одно из исходных веществ взято в избытке

Вспомним, что при решении задач по уравнениям химиче-ских реакций рекомендуется соблюдать следующую последователь-ность.

1. Составить уравнение химической реакции. 2. Поставить по условию задачи известные и неизвестные

величины с размерностями над формулами соответствующих ве-ществ. Если вещества даны с примесями, то сначала надо вычислить массу чистого вещества.

3. Под формулами тех веществ, где поставлены известные и неизвестные величины, записать определенные по уравнению реак-ции величины с теми же размерностями.

4. Составить и решить пропорцию. 5. Сформулировать ответ. Вещества реагируют друг с другом в определенных массо-

вых или количественных отношениях. Если взять большее количе-ство одного из веществ, то оно не вступит полностью в реакцию и останется в избытке. При решении задач, в которых указаны массы или количества веществ, вступающих в реакцию, сначала необходи-мо выяснить, какое из веществ может прореагировать полностью, и по нему проводить расчеты.

Пример1. Определите массу осадка, образующегося при сливании растворов, один из которых содержит 10 г сульфата железа (III), а второй – 10 г гидроксида натрия.

Решение. 1. Составляем уравнение химической реакции: Fe2(SO4)3 + 6NaOH → 3Na2SO4 + 2Fe(OH)3↓


80

2. По условию задачи над формулами веществ проставляем известные и неизвестные величины с размерностями:

10 г 10 г х г Fe2(SO4)3 + 6NaOH → 3Na2SO4 + 2Fe(OH)3↓

3. Определяем по уравнению реакции соответствующие ве-личины и проставляем их под формулами:

М (Fe2(SO4)3) = 56⋅2 + (32+16⋅4)⋅3 = 400 г/моль m = M⋅n,

m(Fe2(SO4)3) = 400 г/моль ⋅ 1 моль = 400 г М(NaOH) = 23 + 16 + 1 = 40 г/моль m(NaOH) = 40 г/моль ⋅ 6 моль = 240 г M(Fe(OH)3) = 56 + (16 + 1) ⋅ 3 = 107 г/моль m(Fe(OH)3) = 107 г/моль ⋅ 2 моль = 214 г

10 г 10 г х г Fe2(SO4)3 + 6NaOH → 3Na2SO4 + 2Fe(OH)3↓

400 г 240 г 214 г По условию задачи даны массы двух реагирующих веществ, а расчет массы продукта надо проводить, используя массу вещества, которого взято меньше. Составляем пропорцию и определяем, какая из дробей меньше:

10400

10240

< .

Следовательно, гидроксид натрия дан в избытке, и дальнейшие рас-четы будем вести по сульфату железа (III), который прореагирует полностью. 4. Составляем и решаем пропорцию.

При взаимодействии 400 г Fe2(SO4)3 образуется 214 г Fe(OH)3.

При взаимодействии 10 г Fe2(SO4)3 образуется x г Fe(OH)3.

40010 214: := x , x = ⋅ =10 214400

5 35, (г)

Ответ: в осадок выпадает 5,35 г Fe(OH)3.


81

Пример 2. Определите массу соли, образовавшейся при взаимодействии 60 г азотной кислоты с гидроксидом натрия, взятым в количестве 0,5 моль. Решение.

60 г 0,5 моль х г HNO3 + NaOH → NaNO3 + H2O 63 г 1 моль 85 г M(HNO3) = 1 + 14 + 16 ⋅ 3 = 63 г/моль

m(HNO3) = 63 г M(NaNO3) = 23 + 14 + 16 ⋅ 3 = 85 г/моль

m(NaNO3) = 85 г Обратите внимание на то, что под формулами пишутся вели-чины, рассчитанные по уравнению реакции, в тех же размерностях, что и по условию задачи.

6063

0 51

> , .

Следовательно, кислота взята в избытке и полностью не прореаги-рует. Значит, расчет массы образовавшейся соли будем вести по гидроксиду натрия, который прореагирует полностью. При взаимодействии 1 моль NaOH образуется 85 г NaNO3. При взаимодействии 0,5 моль NaOH образуется х г NaNO3.

1 : 0,5 = 85 : х, x = ⋅ =85 0 51

42 5, , (г)

Ответ: масса образовавшегося нитрата натрия 42,5 г.

Пример 3. К 20 г раствора, содержащего 5% сульфата железа (II), добавили 20 г раствора, содержащего 8% гидроксида натрия. Вычислите массу образовавшегося осадка. Решение. Прежде всего надо найти массы чистых FeSO4 и NaOH. Вспомните: массовая доля растворенного вещества ( )ω равна отношению массы растворенного вещества к массе раствора:

ω = −

−

mmв ва

p pa, m mв ва р ра .− −= ⋅ω

ω(FeSO )4 = 5% или 0,05 m(FeSO4) = 0,05⋅20 = 1 г ω(NaOH) = 8% или 0,08 m(NaOH) = 0,08⋅20 = 1,6 г


82

Именно эти величины масс чистых веществ надо поставить над соответствующими формулами реакции:

1 г 1,6 г х г Fe SO4 + 2NaOH → Na2SO4 + Fe(OH)3↓

152 г 80 г 90 г М (FeSO4) = 56 + 32+16⋅4 = 152 г/моль m(FeSO4) = 152 г М(NaOH) = 23 + 16 + 1 = 40 г/моль m(NaOH) = 40⋅2 = 80 г M(Fe(OH)2) = 56 + (16 + 1)⋅2 = 90 г/моль m(Fe(OH)2) = 90 г

1152

1 680

< ,

При взаимодействии 152 г FeSO4 образуется 90 г Fe(OH)2.

При взаимодействии 1 г FeSO4 образуется x г Fe(OH)2.

152 1 90: := x , x = ⋅ =90 1152

0 59, (г)

Ответ: в осадок выпадает 0,59 г Fe(OH)2.

Контрольные задания В заданиях 1–4 выберите из четырех предложенных ответов

правильный. Задачу 5 решите полностью, произведя необходимые расчеты.

1. При пропускании над катализатором смеси, состоящей из 10 моль SO2 и 15 моль О2, образовалось 8 моль SO3. Какое коли-чество SO2 и О2 не вступило в реакцию?

Варианты ответа: а) 2,7 моль; б) 8,7 моль; в) 2,11 моль; г) 8,11 моль.


83

2. Подожгли смесь, состоящую из 10 г порошка магния и 10 г порошка серы. Определите вещества, которые обнаружили по окончании процесса.

Варианты ответа: а) только магний; б) сульфид магния и магний; в) сульфид магния и серу; г) только сульфид магния. 3. Определите, какая масса сульфида натрия получится при

взаимодействии 4,6 г натрия с 0,2 моль серы. Варианты ответа: а) 39 г; б) 0,2 моль; в) 0,1 моль; г) 7,8 г. 4. При взаимодействии 2 моль гидроксида калия и раствора

сульфата меди (II) массой 200 г, в котором 0,08 массовых долей (или 8%) соли, выпадает осадок. Определите, какова масса осадка и какое вещество взято в избытке.

Варианты ответа: а)9,8 г, щелочь; б) 19,6 г, соль; в) 4,9 г, щелочь; г) 27,2 г, соль. 5. Какой объем оксида углерода (IV) может быть получен

при смешении раствора объемом 15 мл с массовой долей карбоната натрия 7% (плотность 1,07 г/мл) и раствора объемом 8 мл с массовой долей азотной кислоты 16% (плотность 1,09 г/мл)? Расчет произво-дите при нормальных условиях.


84

ХИМИЯ

10 класс

Тема: АЛКАНЫ Урок: Структурная изомерия и номенклатура

алканов Алканы – это простейшие органические вещества, состоящие

только из водорода Н и углерода С. Общая формула алканов C Hn n2 2+ , где n – число атомов углерода в молекуле.

Три названия одному классу веществ

Алканы – международное название. Предельные (насыщенные) углеводороды – рус-ское название, отражающее неспособность всту-пать в реакции присоединения. Парафины – название, отражающее малую хими-ческую активность (parum affinis – (лат.) малое сродство).

Простейший представитель алканов – метан СН4. При увеличении числа атомов углерода получаются вещества, формулы которых С2Н6, С3Н8, С4Н10 и т.д. (см. табл. 1). Присмотритесь вни-мательно: составы этих молекул отличаются на одну или несколько групп СН2. Гомологический ряд – это ряд веществ, в котором каж-дый следующий член ряда отличается от предыдущего на группу СН2. Сходные по химическим свойствам соединения, образующие гомологический ряд, называются гомологами, а группа СН2 – гомо-логической разностью.

Состав всех членов гомологического ряда может быть выра-жен общей формулой. Общую формулу гомологического ряда алка-нов мы уже знаем – это C Hn n2 2+ .


85

В табл. 1 приведены члены гомологического ряда алканов. Формулы первых десяти гомологов и их названия необходимо за-помнить. Сделать это нетрудно, так как названия углеводородов с числом атомов углерода 5 и более образуются от корня греческого числительного с прибавлением суффикса -ан.

Таблица 1 Гомологический ряд алканов

Число атомов углерода

Формула Название (суффикс -

ан)

Число изомеров

Однова-лентный радикал*

Название одно-валентного радикала (суф-фикс -ил)

1 СН4 Метан 1 СН3⋅ Метил 2 С2Н6 Этан 1 С2Н5⋅ Этил 3 С3Н8 Пропан 1 С3Н7⋅ Пропил 4 С4Н10 Бутан 2 С5Н9⋅ Бутил 5 С5Н12 Пентан 3 С5Н11⋅ Пентил 6 С6Н14 Гексан 5 С6Н13⋅ Гексил 7 С7Н16 Гептан 9 С7Н15⋅ Гептил 8 С8Н18 Октан 18 С8Н17⋅ Октил 9 С9Н20 Нонан 35 С9Н19⋅ Нонил 10 ...

С10Н22 ...

Декан ...

75 С10Н21⋅ ...

Децил ... ... ... ... ... ... ...

20 С20Н42 Экозан 336319

---------- *Одновалентный радикал – частица с одним неспаренным электроном, по-лучен при отрыве одного атома водорода от молекулы алкана. Молекулы алканов и их радикалы являются как бы буквами алфавита или строительными кирпичиками для более сложных ор-ганических веществ. Если Вы хорошо усвоите эту азбуку, то пре-красно разберетесь в большом их разнообразии. Кроме того, алканы – это широко используемые человеком вещества: жидкое и газооб-


86

разное топливо (природный горючий газ, бензин, мазут, соляровое масло и т.д.), без которого общество не может обойтись.

Структурные формулы молекул алканов Структурная формула – это формула, которая показывает химическое строение вещества, то есть какие атомы и в какой по-следовательности соединяются друг с другом в молекуле вещества. Пример 1. Изобразите структурные формулы метана СН4, этана С2Н6, пропана С3Н8 и бутана С4Н10. Определите, сколько раз-ных структурных формул может существовать для каждого вещест-ва. Решение. При составлении структурной формулы важно помнить о том, что: 1) атомы углерода в органических соединениях способны соединяться друг с другом, образуя цепи:

| | | –C–C–C– | | |

2) углерод в органических соединениях всегда четырехва-лентен, то есть от атома углерода должно отходить четыре связи (в структурных формулах химическая связь обозначается черточкой). В молекулах алканов у каждого углерода 4 однократные связи. Молекуляр-ная формула

Полная структурная формула

Сокращенная струк-турная формула

Число структурных формул

Метан СН4

H |

H–C–H |

H

Только одна

Этан С2Н6

Н Н | |

H–C–C–H | |

H H

CH3–CН3



87

Молекуляр-ная формула

Полная структурная формула

Сокращенная струк-турная формула

Число струк-турных фор-

мул

Пропан С3Н8

H H H | | |

H–C–C–C–H | | | H H H

CH3–CH2–CH3


Бутан С4Н10

Н Н H H | | | |

H–C–C–C–C–H | | | |

H H H H

Н Н H | | |

H–C–––C––– C–H | | |

H H–C–H H |

H

CH3–CH2– CH2–CH3

н-бутан (нормальный, нераз-ветвленный)

CH3–CH– CH3 |

СН3 изобутан

(разветвленный)

Две струк-турные фор-мулы

↓

два изомера

Структурная изомерия в ряду алканов В органической химии в гораздо большей степени, чем в неорганической химии, распространена изомерия. Изомеры – это вещества, имеющие одинаковый состав и одну и ту же молекулярную формулу и массу, но различное химиче-ское строение, а потому обладающие различными физическими и химическими свойствами. Для молекул алканов характерна только структурная изоме-рия, то есть изомерия углеродного скелета. Первые три члена гомологического ряда алканов (СН4, С2Н6, С3Н8), как мы убедились, решая пример 1, изомеров не имеют, а бу-тан С4Н10 существует в виде двух изомеров. Число изомеров быстро возрастает с увеличением числа атомов углерода в молекуле алкана.


88

Например, гексан С6Н14 имеет 5 изомеров, декан С10Н22 – 75, а эко-зан С20Н42 – 336319 (см. табл. 1). Пример 2. Составьте структурные формулы всех возможных изомеров пентана. Решение. Пентан имеет молекулярную формулу С5Н12. Молекулярная формула

Структурная формула

Число изомеров

Пентан С5Н12

CH3–CH2– CH2–СН2–СН3

н-пентан (нормальный, неразветвленный)

CH3–CH2– СН–CH3

| CH3

изопентан (разветвленный) СH3

CH3–CH– CH3

| CH3

изопентан (разветвленный)

3 изомера

Номенклатура

Многообразие углеводородов и их структурных изомеров

требует четкости в их наименовании. Международным союзом тео-ретической и прикладной химии (ИЮПАК) разработаны правила образования названий алканов. Названия алканов с неразветвленной цепью и их радикалов приведены в табл.1, Вы с ними уже знакомы. Процедура составле-ния названия алкана с разветвленной цепью происходит в соответст-вии с несколькими рекомендациями. Рекомендация 1. Выбирается самая длинная цепь и нуме-руются ее атомы углерода, начиная с того конца, к которому ближе заместитель.


89

Пример 3. Найдите главную цепь и пронумеруйте ее атомы углерода:

CH3–CH2– CH–СН3

| С3Н7

Решение. Перепишем структурную формулу алкана (углево-дорода), развернув структурную формулу радикала С3Н7⋅:


| СН2–СН2–СН3

Главная цепь – это самая длинная цепь, то есть в данном случае это цепь из шести атомов углерода:



Пронумеруем атомы главной цепи слева направо, так как к левому концу молекулы ближе разветвление (ближе расположен за-меститель СН3):

1 2 3 CH3–CH2– CH–СН3


4 5 6 Рекомендация 2. Называются радикалы-заместители (в ал-фавитном порядке), цифрами указывается их положение в углерод-ной цепи. Рекомендация 3. Называется алкан, которому соответствует самая длинная цепь. Рекомендация 4. Если в формуле содержится несколько одинаковых радикалов, то их число принято указывать прописью с помощью греческих числительных (ди-, три-, тетра- и т.д.), а поло-жение в цепи – номерами атомов углеродов. Номера одинаковых радикалов повторяют, разделяя запятой.

Пример 4. Назовите алкан. Изомером какого неразветвлен-ного углеводорода он является?


90

СН3 |

CH3–CH – C–СН3

| | СН3 СН3

Решение. 1. Выберем главную цепь и пронумеруем ее так, чтобы сумма номеров положений заместителей была минимальной:

СH3 1 2 3| 4

CH3–CH – C–СН3 | |

СН3 СН3 Положение заместителей 2, 3, 3.

Неверно!

СH3 4 3 2 1

CH3–CH – C–СН3 | |

СН3 СН3 Положение заместителей 2, 2, 3.

Верно!

2. Назовем алкильные радикалы-заместители, указав номе-рами их положение в цепи, а греческими числительными – число одинаковых заместителей: 2,2,3-триметил... ↑ три метильные группы 3. Назовем алкан, соответствующий главной цепи: 2,2,3-триметилбутан ↑ в главной цепи 4 атома углерода 4. Общая формула 2,2,3-триметилбутана – С7Н16. Следова-тельно, 2,2,3-триметилбутан – изомер гептана. Пример 5. Постройте структурную формулу 4-метил-2,3-дихлоргексана. Решение. 1. Определим число атомов в главной цепи, запи-шем и пронумеруем их: 4-метил-2,3-дихлоргексан ↑ 6 атомов углерода в главной цепи. 1 2 3 4 5 6 С–С–С–С–С–С 2. Заместители: радикал метил СН3– и два атома хлора Cl.


91

3. Расположим заместители в соответствии с их номерами в главной цепи:

1 2 3 4 5 6 С–С–С–С–С–С | | | Cl Cl CH3 4. Заполним свободные валентности каждого атома углерода атомами водорода:

H H H H H H

| | | | | | H–С––С—С—С––С––С–H

| | | | | | H Cl Cl CH3 H H

1 2 3 4 5 6 или СН3–СН–СН–СН–СН2–СН3 | | | Cl Cl CH3

Мы рассмотрели практически всю наиболее важную инфор-мацию для того, чтобы свободно ориентироваться в составлении формул и названий алканов. Однако полезными окажутся и сле-дующие сведения. 1. Атомы углерода в зависимости от числа других атомов углерода, с которыми они связаны в углеродной цепи, носят назва-ния: первичный, вторичный, третичный и четвертичный.

СН3 СН3 первичный (связан с одним)

| |

СН3–С–СН2–СН–СН3 четвертичный | третичный (связан с тремя)

(связян с четырьмя) CH3 вторичный (связан с двумя) 2. Радикалы-заместители с числом атомов углерода 3 и более

могут иметь как неразветвленное (линейное), так и разветвленное строение. СН3–СН2–СН2 – – н-пропил (нормальный), свободная валент-

ность у первичного углерода.

СН3–СН–СН3 – изопропил (вторичный пропил, вторпро- | пил), свободная валентность у вторичного

атома углерода.


92

Контрольные задания 1. Определите, какие из данных веществ относятся к классу алканов и какие являются гомологами: а) С3Н6; б) С5Н12; в) С2Н2; г) С8Н18; д) С4Н10. 2. Определите, какая формула вещества отвечает названию 4-изопропил-3-этилгептан:

а) CH3 | СН3–СН2–СН2–СН–СН–СН2–СН3 | CH CH3 CH3 б) CH3 | СН3–СН2–СН—СН–СН–СН2–СН3 | | CH3–CH2 CH CH3 CH3 в) СН3–СН2–СН—СН–СН2–СН2–СН3 | | CH3–CH2 CH CH3 CH3

3. Укажите вещества, которые являются изомерами гексана: а) СН3–СН2–СН–СН2–СН3 | CH3

3-метилпентан

CH3 б) | СН3–С–СН2–СН3 | CH3

2,2-диметилбутан

в) СН3–СН2–СН2–СН2–СН3 –

пентан;


93

CH3 г) | СН3–С––СН–СН3 – 2,2,3-триметилбутан; | | CH3 CH3 д) СН3–СН––СН–СН3 – 2,3-диметилбутан. | | CH3 CH3 4. Напишите структурную формулу 3-метил-2,4-дихлор-гептана.

5. Назовите соединение по международной номенклатуре: СН3–СН—СН––СН–СН3 | | | Br CH3 C2H5

Методические указания (подсказки)

К заданию1. Проверьте соответствие состава этих веществ общей формуле алканов. К заданию 2. Назовите каждое вещество, руководствуясь со-ответствующими рекомендациями, и Вы найдете среди них 4-изопропил-3-этилгептан. К заданию 3. Гексан имеет молекулярную формулу С6Н14. Найдите среди приведенных веществ те, состав которых отвечает формуле С6Н14. К заданию 4. Главная цепь данного вещества содержит 7 атомов углерода. К заданию 5. Перепишите формулу вещества, развернув ра-дикал С2Н5•. Это поможет Вам правильно выбрать главную цепь.


94

11 класс

Тема: ОКИСЛИТЕЛЬНО-ВОССТАНОВИТЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ (ОВР) Урок: Рекомендации к составлению уравнений ОВР Из курса 9-го класса Вы уже знаете:

• какие реакции относятся к ОВР; • что такое окислитель и восстановитель; • что такое степень окисления (СО); • как рассчитываются СО атомов в молекулах; • что такое электронный баланс и как он составляется; • как расставляются стехиометрические коэффициенты в уравнении реакции;

• как проверяют правильность написания уравнения реак-ции.

Тем не менее, несмотря на эти познания, составление ОВР для многих учащихся является достаточно трудной задачей. И самая большая трудность – это узнать, какие продукты реакции получают-ся при заданных исходных реагентах. Поэтому полезно запомнить несколько практических рекомендаций, которые помогут в состав-лении ОВР.

1. Составление ОВР (как простых, так и сложных) при за-данных исходных реагентах рекомендуется начинать не с написания продуктов реакции, а с электронного баланса. Для этого необходи-мо выявить среди исходных реагентов окислитель (принимающий электроны) и восстановитель (отдающий электроны), а затем вы-явить число принимаемых и отдаваемых ими электронов, то есть как изменятся их степени окисления. Это самый трудный момент (особенно если нет подсказки в виде одного или нескольких продуктов реакции), так как требуется определенный набор сведений о восстановителях и окислителях. Некоторые из этих сведений будут даны после рекомендаций.


95

2. После составления электронного баланса можно присту-пить к написанию продуктов реакции, учитывая характер среды (кислая, щелочная или нейтральная). 3. Для создания в растворе кислой среды обычно используют разбавленную серную кислоту (H2SO4). Соляная (HCl) и азотная (HNO3) кислоты применяются для подкисления реже, так как соля-ная кислота способна окисляться с выделением ядовитого хлора ( 2 2 2

0Cl e Cl− → ), а азотная кислота сама является сильным окисли-телем и может вызвать побочные процессы. Для создания щелочной среды используют раствор NaOH или КОН, а нейтральной – Н2О. 4. Если в ОВР среди исходных реагентов есть кислота, а это наиболее распространенный случай, то получающиеся продукты – это соли данной кислоты, но не гидроксиды и не оксиды. Не забы-вайте, что гидроксиды и оксиды (основные и амфотерные) реагиру-ют с кислотой с образованием соли. Например: 2KMnO4 + 16HCl → 5Cl2↑ + 2MnCl2 + 2KCl + 8H2O окисли- восстан. 14442443 тель и среда соли соляной кислоты

Mn e Mn+7 +2

+ →5 2

2 C l 2 e− →−

Cl2

0 5

5Zn + 2KMnO4 + 8H2SO4 → 5ZnSO4 + 2MnSO4 + 2K2SO4 + 8H2O

восст. окисл. среда 144444244443 соли серной кислоты

Zn0

– 5е → Zn+2

5

Mn e Mn+7 +2

+ →5 2 5. Если в ОВР среди исходных реагентов есть щелочь, то ка-тионы металлов образуют гидроксиды (или оксиды, если они более


96

устойчивы). Среди продуктов не может быть ни кислоты, ни ки-слотного оксида, так как они реагируют со щелочью. Например: Fe(OH)2 + KMnO4 + KOH → Fe(OH)3 + K2MnO4 восстан. окислит. среда

Fe e Fe+2 +3

− → 1

Mn e Mn+7 +6

+ → 1 6. Ионы металлов (двух-, трех- и четырехвалентных), спо-собные давать амфотерные гидроксиды, образуют в щелочной среде гидроксосоли (основные соли). Например:

Zn + 2H2O + 2NaOH → H2 + Na2[Zn(OH)4] гидроксосоль

Zn 2e Zn0 +2

− → 1

2 2H+

+ →e H2

0 1

7. Завершается составление уравнения расстановкой стехио-метрических коэффициентов и подсчетом сумм атомов каждого элемента в левой и правой частях уравнения, т.е. проверкой матери-ального баланса. Коэффициенты для окислителя и восстановителя берутся из электронного баланса. Это – множители, с помощью которых вы-равнивается число отданных и число принятых электронов. 8. Последняя рекомендация, которая позволяет избежать весьма распространенной ошибки): если не уравнивается в левой и правой частях уравнения ОВР водород, но при этом он не меняет своей степени окисления (его нет в электронном балансе), то ни в коем случае не дополняйте продукты молекулярным водородом, а ищите ошибку. Например:

3H2S + Na2SO3 + H2SO4 → 4S↓ + Na2SO4 + 3H2O + H2 неверно!

По материальному балансу эту реакцию можно считать вер-ной. Однако продукты реакции написаны с ошибкой. Чтобы ее най-ти, составим уравнение реакции, начиная с электронного баланса.


97

Дано: H2 S-2

+ Na2 S+4

O3 + H2SO4 → S↓ +... восстан. окислит. среда Электронный баланс:

S−

− →2

2e S0

2

S+

+ →4

4e S0

1 Записываем уравнение реакции с продуктами и проставляем стехиометрические коэффициенты:

2H2S + Na2 SO3 + H2SO4 → 3S↓ + Na2SO4 + 3H2O. верно! Как видим, водород не участвует в электронном балансе (то есть не меняет своей степени окисления) и, следовательно, не мо-жет выделяться в свободном виде. Некоторые сведения о наиболее типичных окислителях и восстановителях. 1. Среди простых веществ к сильным окислителям отно-сятся вещества, атомы которых обладают большой электроотрица-тельностью. Это неметаллы: F2, O2, Cl2 и др. 2. К простым веществам, обладающим восстановительны-ми свойствами, относятся щелочные, щелочноземельные и др. ак-тивные металлы: Na, K, Ba, Zn и др. 3. Если окислитель и восстановитель – сложные вещества, то следует помнить, что соединения, содержащие элементы в макси-мальной степени окисления, могут только принимать электроны, то

есть быть только окислителями ( K MnO ,+7

4 K C O ,2 2

6

7r+

Pb O+4

2 ,

H N O+5

3 и др.), а соединения, содержащие элементы в минимальной степени окисления, могут только отдавать электроны, то есть быть

только восстановителями ( H ,2 S-2

K I−

, N−3

H3 и др.). 4. Если элемент в сложном соединении имеет промежуточ-ную степень окисления, то он может как отдавать, так и принимать электроны, то есть быть или восстановителем, или окислителем в зависимости от сореагента:


98

КMnO4 Na NO+5

3

Na NO+3

2

К I NO+2

К MnO4 O2

0

H 2 O2

-1

К I H 2 O-2

5. Одним из наиболее типичных окислителей является пер-манганат калия (или натрия). Степень окисления марганца в КMnО4 равна +7 и в зависимости от среды меняется до различных значений. Это можно представить в виде схемы и легко запомнить:

в кислой среде Mn+2

(например, MnSO4)

K MnO+7

4 + восстановитель в нейтральной среде → Mn+4

(например, MnO2↓)

Mn+6

(например, K2MnO4) 6. Если в молекуле содержатся два атома, меняющие свою степень окисления, то электронный баланс составляется в расчете не на один, а на оба атома. Например:

а) K O2 7Cr2

6++ 3H2 O2

1−+4Н2SO4 → Cr (SO ) 3O2 4 3 2

++ +

3 0K2SO4 + 7H2O

2 6 23

Cr+6

+ →+

e Cr 1

2 2O O-1

2

0− →e 3

б) H H O H2 2 2

0

22O O2

1

2

1− −+ → + O

-2


99

2 2O O-1

2

0− →e

2 2O 2O-1 -2

− →e Более подробные сведения о типичных окислителях и вос-становителях, а также об особых случаях составления ОВР Вы уз-наете из методического пособия по химии для 11-го класса.

Контрольные задания 1. Определите степень окисления азота в соединениях и за-полните таблицу, указав свойства, которые может проявлять азот в этих соединениях: только окислительные, только восстановитель-ные, и те и другие вместе (используйте любой знак – плюс или га-лочку). Вещества Свойства

окислитель восстановитель окисл. и восст. HNO3 NaNO2 NH3 NO2 N2 NO

2. Из трех реакций, протекающих в кислой среде, отметьте в графе справа правильную. Составьте для нее электронный баланс и уравняйте реакцию.

Mn(OH)2↓+K2SO4+H2O+H2 KMnO4+K2SO3+H2SO4 MnO↓+K2SO4+KOH+H2O MnSO4+K2SO4+H2O

3. С помощью электронного баланса допишите продукты и уравняйте реакцию: К2Cr2O7 + HI → I2 + ...


100

4. Из трех реакций, протекающих в щелочной среде, отметь-те в графе справа правильную. Составьте для нее электронный ба-ланс и уравняйте реакцию.

К2MnO4 + H2SO4 + H2O KMnO4+K2SO3+КОН → K2MnO + K2SO4 + H2O K2MnO4 + SO3 + H2O

5. Уравняйте заданные реакции и укажите их практическое применение.

ОВР Дезинфек-ция ран

Реставра-ция картин

Регенера-ция воздуха

PbS↓ + H2O2 → PbSO4↓ + H2O черный белый

S e S-2 +6

− →8

2 2O e 2 O-1 -2

+ →

CO2 + K2O2 → K2CO3 + O2

2 2O e O-1

2

0− →

2 2O e 2 O-1 -2

+ →

H2O2 → O2 + H2O p-p

2 2O e O-1

2

0− →

2 2O e 2 O-1 -2

+ →

Ответы и решения

101

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ

Математика

7 класс 1. Правильный ответ: б) составными. Легко сообразить, что все такие числа содержат цифры 0, 1, 2,

3, ..., 9. Посчитаем сумму цифр этих чисел: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Число 45 по признакам делимости делится и на 3, и на 9. По-

этому все возможные числа, составленные из цифр 0, 1, 2, 3, ..., 9, делятся и на 3 и на 9, то есть являются составными.

2. Правильный ответ: б) 1665. Выпишем все двузначные числа кратные 3: 12, 15, 18, ..., 93,

96, 99. Найдем сумму этих чисел. Для этого удобно сгруппировать первое и последнее число, второе и предпоследнее и т.д.: (12 + 99) + (15 + 96) + (18 + 93) + ...+ (54+57). Легко заметить, что каждая сумма в скобках в точности равна 111.

Теперь необходимо определить сколько скобок входит в инте-ресующую нас сумму. Подсчитаем, что всего двузначных чисел 90, из них на 3 делится каждое третье. Значит, двузначных чисел, крат-ных 3, втрое меньше – 30. В каждую скобку входят по два числа, поэтому скобок будет 15. Следовательно, интересующая нас сумма равна 111⋅15=1665.

3. Правильный ответ: в) 2 29ч.

Чтобы съесть банку варенья быстрее, ребята должны есть не переставая. Так как один из них съедает банку за 4 ч, а второй за 5 ч, то рассмотрим время: 4⋅5=20 ч. За это время Миша съест 20:4=5 ба-нок варенья, а Оля 20:5=4 банки. Итак, при непрерывном поедании варенья за 20 часов дети уничтожат 5+4=9 банок варенья. Поэтому


102

одну банку варенья они съедят за время, в 9 раз меньшее, т.е. за

2 29ч.

4. Правильный ответ: а) 2. Путь число m при делении на 5 дает частное n и остаток 4.

Поэтому число m можно записать в виде: m = 5n + 4. Найдем число, втрое бóльшее, чем m (то есть 3m). Это число равно

3m = 3(5n+4) = 15n + 12. Выделим в таком числе наибольшее число, кратное 5:

3m = 15n + 10 + 2. В числе 15n +10 можно вынести за скобки общий множитель 5:

15n + 10 =5(3n + 2). Тогда 3m = 5(3n + 2) + 2. Эта запись означает, что число 3 при

делении на 5 дает в частном число (3n + 2) и в остатке 2. 8 класс 1. Правильный ответ: б).

Так как 411

432 =− и ,

411

431

2175,1

21

−=−=− поэтому абсо-

лютные величины этих чисел одинаковы. 2. Правильный ответ: г). Перепишем уравнение следующим образом:

⇔=+⇔=+⋅⇔=

+ 5

2325

2325

322 xxx

,25

23

25

23

=

−−⇔=+⇔ xx

откуда следует, что надо найти точки, удаленные от точки

−

23 на

расстояние :25

–4 –3/2 1

5/2 5/2


103

3. Правильный ответ: а). Поскольку модель числа отрицательным быть не может, то

единственно возможным значением выражения х–2 является 0, т.е. х–2=0. Модуль числа равен нулю, когда само число равно ну-лю, т.е. х–2 = 0, отсюда х = 2.

4. Правильный ответ: г). По определению модуля

−<−−>

=

−<+−

+

−≥++

=++

.1 если ,1;1 если ,1

1 xесли ,)1(

1

,1 если,11

11

xx

xx

xxx

xx

При х = –1 функция не существует! Самая распространенная ошибка – в) (ошибки в значении

функции в точке х =–1). 5. Правильный ответ – б). Искомое множество точек – точки,

расстояние от которых до точки (–1) больше 2. 9 класс 1. Правильный ответ: 6) a < 8 . Это стандартная школьная задача. Квадратное уравнение то-

гда имеет различные корни, когда дискриминант D > 0:

( )D a a= − − ⋅ ⋅ = − >8 4 2 64 8 02 . Отсюда. Если Вы получили ответ при a > 8, то Вы ошибаетесь в реше-

нии неравенства − > −8 64a , в котором при делении на − 8 следует изменить знак неравенства с «>» на «<».

2. Правильный ответ: 4) a > 0, b > 0 , c < 0. Ветви параболы направлены вверх, значит, a > 0. При x = 0

( )y 0 0< (что видно из графика), значит, ( )c y= <0 0. Поскольку

x x1 2 0+ < (что видно из графика), то − = + <ba

x x1 2 0, учитывая

что a > 0, получаем b > 0.


104

3. Правильный ответ: 1) − < <12

23

a .

Вершина соответствующей параболы ( )

xa

в =−

<3 2

20, значит,

a < 23

. Поскольку x1 0< и x2 0< , а ветви параболы направлены

вверх, то при x = 0 квадратный трехчлен левой части уравнения имеет положительное значение. Отсюда 2 1 0a + > , чему соответст-

вует a > − 12

. Окончательно− < <12

23

a .

10 класс

1. Правильный ответ: б) −

53

1, .

Если многочлен n-й степени

( )P x a x a x a x an nn n= + + + +−

−0 11

1... имеет корни x xn1, ... , , то его можно разложить на множители

( ) ( )( ) ( )P x a x x x x x xn= − − −0 1 2 ... , (*)

поэтому ( )5 3 2 3 1 53

2− − = − − +

x x x x .

Исходное неравенство принимает вид

( ) ( )− − +

≥ ⇔ − +

≤3 1 53

0 1 53

0x x x x .

Возьмем любое значение x из правой области, например x z= .

При этом выражение ( )x x− +

>1 53

0. При переходе через каждый

корень знак неравенства меняется. Ответ: −

53

1, .


105

Самая распространенная ошибка: в равенстве (*) пропускают множитель a0 и получают ответ в).

2. Правильный ответ: в) [ ] ( )− ∪ + ∞1 0 2, , . Отметим на прямой корни числителя и знаменателя. Возьмем

x = 1 , при этом числитель исследуемой дроби будет положителен, и знаменатель — положителен, т.е. дробь при любом ( )x ∈ 0 2, будет положительной. При переходе через каждый корень знак неравенст-ва будет меняться. Таким образом, правильный от-вет[ ] ( )− ∪ + ∞1 0 2, , . Заметим, что точки x = −1 и x = 0 входят в ответ (корни числителя), а x = 2 — нет (корень знаменателя).

Самая распространенная ошибка — неверно расставленные знаки (ответ г)).

3. Правильный ответ: а) ( )− ∞ − ∪ − + ∞

, ,1 12

.

Перенесем правую часть налево и приведем к общему знаме-нателю

1 2 21

0 2 11

0− −+

< ⇔ ++

>xx

xx

.

Самая распространенная ошибка: умножают левую и правую

части неравенства 11

2x +

< на x + 1. Этого делать нельзя: если

x + <1 0, то знак неравенства поменяется.

4. Правильный ответ: в) ( )( )x x

x+ +

≥2 1

02

.

Ответ а) не подходит, так как при переходе через точку x = −1 выражение ( )( )x x x+ +2 1 2 меняет знак, а при переходе через x = 0 — нет. Случай б) отпадает, так как точка x = 0 является ре-шением неравенства.


106

5. Правильный ответ: в). Отметим на плоскости точки, в которых левая часть исследуе-мого неравенства обращается в нуль, т.е. x y2 2 25+ = и y x= − . Это будет окружность с центром в начале координат и радиусом 5 и прямая y x= − . Этими кривыми плоскость раз-билась на четыре части. Возь-мем точку A с координатами

( )A 1 1, . Значение выражения

( )( ) ( )( )25 25 2 1 1 46 02 2− − + = − + = >x y x yA

, т.е. та часть графика,

которая содержит точку A, нам не подходит. При переходе через ка-ждую границу произведение меняет знак. Поэтому условию задачи будут удовлетворять точки, заштрихованные в ответе в). 11 класс

1. Правильный ответ: б). Пусть само число равно A, тогда

A A100

9 87

9 87

100 140= ⇔ = ⋅ =, , .

Если получилось 0,686, то Вы решали другую задачу: нахож-дение 7% от числа 9,8.

Если Вы получили 1,4, это означает, что Вы нашли 1% от ис-комого числа.

2. Правильный ответ: а). Пусть муки взяли X кг (100%), масса хлеба 60 кг (100%+20%),

отсюда X X100

60120

50= ⇔ = кг.

Самая распространенная ошибка — за 100% принимают массу готового хлеба (ответ в)).


107

3. Правильный ответ: б). Пусть первоначальная цена X. После подорожания она стала

X ⋅ +

100 10100

. После понижения на 10% цена составила

X X X X⋅ +

⋅ −

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ −

100 10100

100 10100

1110

910

99100

100 1100

,

т.е. новая цена на 1% ниже первоначально запланированной.

Основная ошибка: количество процентов повышения и пони-жения одинаковы, и поэтому кажется, что цена в итоге не измени-

лась. Здесь надо понять, что цену повышают на 110

первоначальной

цены, а понижают на 110

от первой цены (которая больше первона-

чальной), поэтому «в рублях» сбрасывается больше, чем прибавля-ется.

4. Правильный ответ: в). Пусть Вы положили X руб. Через год на Вашем счету

X 100 40100

3500+

= руб.;

X = ⋅ =100140

3500 2500 руб.

Если Вы получили ответ а), то ошибочно брали 40% прибыли от желаемой, а не от реально положительной суммы.

Если получили б), то Вы перепутали 40% и «в 40 раз». 5. Правильный ответ: в).

37,5% от общего числа — это 37 5100

, от общего числа или 75200

, или

38

. Таким образом, 38

от числа должно быть целым.

Искомое число 8.


108

Физика 7 класс 1. Правильный ответ: б). Поскольку неизвестен пройденный путь, то среднюю скорость найти нельзя. Вычислять ее как среднее арифметическое также нельзя, так как в течение 10 с скорость могла изменяться (автомобиль, например, мог остановиться, а затем вновь набрать прежнюю скорость). 2. Правильный ответ: а) AD = 2,3 м. По определению

v L ABT

L ADTcp

( ) ,= + ⋅ = +2

откуда AD = vcp⋅T–L. 3. Правильный ответ: в) vср = 1,5v.

v LT

LLv

Lv

LL

v v

vcp / / , ,= =+

=+

=2 22

1 13

15

1 2

где L – пройденный путь; T – время, затраченное на весь путь;

t Lv1

1

2=

/ –время, за которое пройдена первая половина пути;

t Lv2

2

2= / – время, за которое пройден оставшийся путь.

8 класс

1. Правильный ответ: в). В обоих случаях потребуется одинаковое количество тепло-

ты, поскольку масса льда в 2 раза больше массы воды, а удельная теплоемкость льда в 2 раза меньше, чем у воды. (Рекомендуем по-вторить п.1 раздела «Практические советы» этого урока.) 2. Правильный ответ: а).

В калориметре установится температура θ = °0 C , часть льда растает и mв2>mл2. (В п.3 раздела «Практические советы» и в приме-


109

ре 2 показано, что в случае mв1=mл1 и tв1 = –tл1 (а именно этот случай задан в условии!) вода не может растопить весь лед. 3. Правильный ответ: б).

Сравнив условие задачи с условием примера 3 данного уро-ка, замечаем, что здесь массы Мл и Мв, а также температура льда tл уменьшены в 5 раз, а температура воды tв увеличена в 5 раз. Поэто-му количество теплоты, которое выделяет вода при остывании, не изменится: Q1 = 42 кДж. Не изменится и количество теплоты, кото-рое может поглотить лед: Q3 = 210 кДж. Однако изменится количе-ство теплоты, которым сопровождается процесс кристаллизации во-

ды, так как в 5 раз уменьшилась масса воды: Q2340

568= = кДж. По-

этому Q3>(Q1+Q3) и выделившегося тепла недостаточно для нагре-вания льда до 0°С, значит, в калориметре установится температура θ < °0 C , и в калориметре будет только лед, mл = 2,2 кг.

9 класс

1. Правильный ответ: график на рис. 7,б. Если за нулевой уровень отсчета принять потенциальную энергию камня на поверхности земли (у=0), то формула, описываю-щая зависимость потенциальной энергии от высоты подъема у имеет вид Eп = mgy. Как легко убедиться из рассмотренных графиков, только прямая на рис. 7,б соответствует этой зависимости. 2. Правильный ответ: д) ни в одной из точек траектории по-тенциальная энергия не будет равна кинетической. В момент броска кинетическая и потенциальная энергии тела

равны соответственно: E mvк0

= 02

2, Eп .

00= Согласно формуле (1.2)

в точке максимального подъема кинетическая энергия равна

E mvк1

= 02 2

2cos ,α

тогда по з.с.э. потенциальная энергия в этой точке принимает значе-ние


110

E mv mv mvп1

= − =02

02 2

02 2

2 2 2cos sin .α α

В точке максимального подъема потенциальная энергия принимает максимальное значение, а кинетическая – минимальное. Следова-тельно, отношение этих величин принимает максимальное значение:

kEЕmaxп sin

costg .= = = ° =1

2

22 30 1

3к1

α

α

Во всех остальных точках отношение k уменьшается и, по-этому на всей траектории потенциальная энергия тела будет меньше кинетической. 3. Правильный ответ: д) конечные скорости всех осколков равны по величине. Согласно з.с.э. имеем для каждого из осколков

m v m gH m vii

i02 2

2 2+ = ,

откуда v v gH202 2= + . Таким образом, конечная скорость осколков v

не зависит ни от массы осколка, ни от направления его начальной скорости. 4. Правильный ответ: в) одинаково. При подъеме на вершину горы потенциальная энергия горю-чего увеличится, тем не менее при сгорании выделится столько же энергии, сколько и на уровне моря. Работа, затраченная на подъем горючего приведет к изменению потенциальной энергии продуктов сгорания. Так как при сгорании масса не меняется, то з.с.э. выполня-ется.

Несмотря на определенную долю истины, заключающуюся в поговорке в п. г), этот ответ неверен, так как не отвечает на постав-ленный в задаче вопрос.

5. Правильный ответ: в) A mg H lmin .= −

4

При совершении минимальной работы веревку следует пе-ремещать как можно медленнее, чтобы ее кинетическая энергия бы-ла близка к нулю. Тогда совершенная работа равна изменению по-тенциальной энергии веревки, которая определяется перемещением


111

ее центра тяжести на вертикальную ось. Если веревку удается пере-вести в положение, изображенное на рисунке, то при отсутствии трения достаточно сколь угодно малого усилия, чтобы веревка съе-хала с забора сама под действием силы тяжести.

Из соображений симметрии центр масс веревки на рисунке (точка С) расположен по-середине каждой из двух половинок веревки.

Тогда его координата равна y H lc = −

4. Так

как в начальном состоянии центр масс веревки находился на поверхности земли (у=0), имеем

A E mgy mg H ln cmin .= = = −

∆4

10 класс 1. Правильный ответ: е) останется на месте. На расположенный в центре квадрата заряд действуют силы кулоновского притяжения

rF1 ,

rF2 ,

rF3 и

rF4 . Заряд –q будет двигать-

ся, если результирующая сила r r r r rF F F F F= + + +1 2 3 4 отлична от ну-ля. Поскольку в вершинах квадрата находятся одинаковые заряды, то

r rF F3 1= − ,

r rF F4 2= − ,

и результирующая сила r r r r rF F F F F= − + − =1 1 2 2 0.

Это означает, что помещенный точно в центр квадрата заряд –q никуда двигаться не будет.

Заметим, что полученный результат справедлив для любого заряда. 2. Правильный ответ: г) a / .ε По закону Кулона модули сил взаимодействия двух точеч-ных зарядов q и q′ в вакууме и в жидком масле равны соответствен-но Fвак = k0qq′/a2 и Fср = k0qq′/(ε ac

2 ). Так как Fвак = Fср, то


112

kq q

ak

q q

ac0 2 0 2

' ',=

ε

откуда следует, что ас = a / .ε 3. Правильный ответ: в) g/3. Последовательно рассмотрим три состояния шарика В. 1. Незаряженный шарик висит на нити. На него действуют направленные в противоположные стороны сила натяжения нити

rT

и сила тяжести mgr (m – масса шарика, rg – ускорение свободного падения). Так как шарик неподвижен, то T=mg. 2.Шарикам сообщили положительные заряды. На шарик В действуют сила натяжения нити

r′T , сила тяжести mgr и сила куло-

новского отталкивания rFк (на ри-

сунке поз. а). Поскольку шарик не-подвижен, то ′ + + =

r r rT mg Fк 0 или в

проекциях на направленную верти-кально вниз ось 0у mg T F− − =' .к 0 Отсюда, учитывая, что

,33

mgTT ==′ определяем модуль

силы отталкивания .3

2к

mgF =

3. После пережигания нити шарик В движется с ускорением ra . Согласно II закону Ньютона

r r r′ + =F mg maк или в проекциях на

координатную ось 0у (поз. б): mg F ma y− =к . Поскольку сразу по-сле пережигания нити ′ = =F F mgк к 2 3/ , из последнего уравнения следует, что ma mgy = / .3 Таким образом, проекция ускорения ra на ось 0у сразу после сжигания нити ау=g/3. 4. Правильный ответ: в) 3q. На верхний шарик действуют направленные в противопо-ложные стороны сила тяжести mgr и сила кулоновского отталкива-ния

rFк . Поскольку шарик неподвижен, то Fк – mg = 0 или Fк = mg.

a) б)


113

Аналогично, из условия равновесия верхнего шарика после того, как нижнему сообщили дополнительный заряд q′, находим

′ =F mgк . Из этих двух равенств следует, что Fк = ′Fк , то есть сила кулоновского взаимодействия не изменилась. Таким образом, можно

записать, что k qh

k q q qh

02

20

22=

+( ')( )

. Отсюда получаем следующее

уравнение для неизвестного заряда q′: q′ + q = 4q, в результате решения которого находим q′ = 3q. 11 класс

1. Правильный ответ: в) А=mgh. При броске человек совершает над мячом некоторую работу А и тем самым сообщает ему начальную кинетическую энергию Ек0=А. Тогда начальная механическая энергия мяча E0 = Eк0 + mgh. В результате абсолютно упругого удара механическая энергия мяча не изменилась. После удара мяч будет подниматься до тех пор, пока его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия не обратятся в нуль. Работа человека будет минимальна, когда высота макси-мального подъема равна 2h. Тогда из з.с.э. имеем Ек0 + mgh = 2mgh, откуда получим А = Ек0 = mgh.

2. Правильный ответ: в) Епот = 64

2

0

qaπε

.

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия

любой пары зарядов E qaпот

(1) .=2

04πεВсего в системе есть шесть раз-

личных пар: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) и (3,4). Тогда имеем

E E qaпот пот= =6 6

4

2

0

(1) .πε

3. Правильный ответ: б) 2. Металлические тела при нагревании рас-ширяются. На рисунке сплошной и штриховой линиями показаны положения шаров соответст-венно до и после нагрева. Нить и поверхность не


114

деформируются при нагреве, поэтому только точки А и В не изменят свои положения относительно поверхности земли. Следовательно, в первом случае потенциальная энергия шара в поле силы тяжести уменьшится (∆Ее > 0), а во втором – увеличится (∆Ее<0).

Согласно з.с.э. энергия Qi, затраченная на нагрев шара, равна сумме двух слагаемых:

Qi = Q0 + ∆Ei, (i=1, 2). Так как количество теплоты Q0, затраченное на увеличение внутрен-ней энергии шара, одинаково в обоих случаях, окончательно полу-чаем Q1 < Q2. 4. Правильный ответ: в) температура повысится. При закрытой дверце холодильника в комнату поступает те-плота Q1 , отбираемая от холодильной камеры, и теплота Q2, в кото-рую в конечном счете переходит энергия электрического тока, по-требляемая холодильником при работе. Открыв дверцу, Вы только уменьшите величину Q1. 5. Правильный ответ: а) да. С помощью отведенного нам тепла невозможно довести од-новременно до температуры кипения всю воду: 7⋅104 калорий < mC∆t = 8⋅104 калорий. Однако в условии нет требования, чтобы вся вода кипела одновременно. Будем кипятить ее частями, извлекая недостающее тепло из уже прокипевшей воды. Разделим воду на две равные части. Доведем до кипения од-ну часть, для чего нам потребуется 4⋅104 калорий. Нальем вторую часть в сосуд с тонкими теплопроводящими стенками и опустим в кипящую воду. Через некоторое время температуры обеих частей сравняются, достигнув

′ = ° ° = °t 20 60C +100 C2

C.

Теперь, чтобы прокипятить вторую чать воды, нам потребу-ется всего 2⋅104 калорий, и суммарное количество израсходованного тепла составит 6⋅104 калорий. В действительности еще некоторое количество тепла будет потрачено на парообразование, нагрев сте-нок сосуда и т.д. Но оставшихся у нас 104 калорий заведомо хватит для компенсации этих потерь.


115


1. СеребрЯНые (прилагательное образовано от существительно-го серебро с помощью суффикса -ЯН-),

глинЯНые (прилагательное от существительного глина, суф-фикс -ЯН-),

оловЯННый (исключение), ветрЕНое (исключение), безветрЕННая (приставочное образование), поношеННый (прилагательное образовано от глагола совершен-

ного вида поносить, который отвечает на вопрос "что сделать?"), непугаНый (прилагательное от глагола несовершенного вида пу-

гать - отвечает на вопрос "что делать?", присоединение к глаголу частицы НЕ не меняет его вида),

неждаННый гость (исключение), отчаяННый (прилагательное имеет НН, так как произошло от

глагола отчаять(ся) - совершенного вида), тяжело ранеННый боец (при слове ранеННый есть пояснитель-

ное слово - тяжело), оплетёНный плющом забор (при слове оплетёННый есть поясни-

тельное слово плющом), писаННый маслЯНыми красками портрет (при слове писанный

есть поясниетльные слова - маслЯными красками; прилагательное маслЯНый образовано от существительного масло с помощью суф-фикса -ЯН-, это прилагательное имеет значение "состоящий из мас-ла", "сделанный на масле", "работающий на масле").

2. 1) Ответы легкомыслеННы (краткое прилагательное, отве-

чающее на вопрос "каковы ответы?", сохраняющее НН от полной формы - легкомыслеННые) и необдумаННы (краткое прилагатель-ное, НН от полной формы - необдумаННый).

2) Она была музыкальна и начитаННа (краткое прилагательное, НН от полной формы - начитаННый).

3) У них две дочери, которые воспитаНы (краткое страдательное причастие, которе пишется всегда с одним Н) отлично.


116

4) Плечи женщины были покрыты платком, вязанным из чис-той шерсти (при слове вязаННый есть зависимые слова - из чистой шерсти; это причастие, в котором всегда пишется НН).

5) СмышлёНый (исключение) мальчишка понравился матросу. 6) НечаяННый (исключение) случай разрешил мои недоумения. 7) Ольга Ильинская была умна и образоваННа (краткое прилага-

тельное, которое сохраняет НН от полной формы - образоваННая). 8) Я очень ветреНо (наречие, играющее роль обстоятельства,

имеет столько Н, сколько в слове ветреНый, от которого оно обра-зовано), быть может, поступила.

9) В это время в степи было тихо, пасмурно, пустыННо (наре-чие, НН от слова пустыННый) и мягко.

Неорганическая химия 1. Правильный ответ: в) 2,11. Запишем уравнение реакции, под формулами веществ про-ставим известные величины с размерностями, а над формулами ве-ществ – величины, рассчитанные по уравнению реакции: 10 моль 15 моль 8 моль 2SO2 + O2 → 2SO3 2 моль 1 моль 2 моль

По уравнению реакции для образования 2 моль SO3 требует-ся такое же количество SO2 и 1 моль О2. Значит, для образования 8 моль SO3 потребуется 8 моль SO2 и 4 моль О2, а 2 моль SO2 и 11 моль О2 не вступят в реакцию.

2. Правильный ответ: б) сульфид магния и магний. Запишем уравнение реакции и проставим известные и рас-

считанные по уравнению величины: 10 г 10 г Mg + S → MgS 24 г 32 г Определим, какое из веществ прореагирует полностью:

1024

1032

> .


117

Сера прореагирует полностью, а магний взят в избытке. Зна-чит, после окончания реакции будут обнаружены сульфид магния и магний. 3. Правильный ответ: г) 7,8 г. Запишем уравнение реакции и проставим величины, опреде-ленные по уравнению, а также известные и неизвестные величины по условию задачи: 4,6 г 0,2 моль х г 2Na + S → Na2S 46 г 1 моль 78 г M(Na) = 23 г/моль, m(Na) = 23 г/моль ⋅ 2 моль = 46 г, М(Na2S) = 23⋅2+32=78 г/моль, m(Na2S) = 78 г/моль⋅1 моль=78 г. Определим, какое из веществ взято в избытке:

4 646

0 21

, , .<

Сера взята в избытке, поэтому расчет массы сульфида натрия будем проводить по натрию. При взаимодействии 46 г Na образуется 78 г Na2S.

При взаимодействии 4,6 г Na образуется х г Na2S.

46 : 4,6 = 78 : x, x = ⋅ =4 6 7846

7 8, , г.

4. Правильный ответ: а) 9,8 г, щелочь. Прежде чем записать уравнение реакции, определим массу сульфата меди (II), содержащегося в 200 г 8%-ного раствора CuSO4.

m(CuSO4) = mр-ра⋅ ω (CuSO4) = 200 ⋅ 0,08 = 16 г. Составим уравнение реакции и проставим все данные: 2 моль 16 г х г 2КОН + CuSO4 → K2SO4 + Cu(OH)2↓ 2 моль 160 г 98 г

M(CuSO4) = 64+32+16⋅ 4=160 г/моль m(CuSO4) = 160 г/моль⋅1 моль= 160 г M(Cu(OН)2) = 64+(16+1)⋅ 2=98 г/моль m(Cu(ОН)2) = 98 г/моль⋅1 моль= 98 г

Определим, какое из веществ взято в избытке: 22

16160

> .


118

В избытке взята щелочь, и дальнейшие расчеты будем вести по CuSO4.

При взаимодействии 160 г CuSO4 образуется 98 г Cu(OH)2. При взаимодействии 16 г CuSO4 образуется x г Cu(OH)2.

160 : 16 = 98 : x, x = ⋅ =16 98160

9 8, г.

5. Решение начинается с нахождения масс карбоната натрия и азотной кислоты в растворах.

Вычислим массу раствора Na2CO3: m = V⋅p = 15 мл ⋅ 1,07 г/мл = 16,05 г.

Определим массу Na2CO3, содержащегося в растворе: m(Na2CO3) = m⋅ ω (Na2CO3) = 16,05 ⋅ 0,07 = 1,12 г. Так же определяем массу HNO3:

m = V⋅p = 8 мл ⋅ 1,09 г/мл = 8,72 г. m(HNO3) = m⋅ ω (HNO3) = 8,72 ⋅ 0,16 ≈ 1,39 г. Записываем уравнение реакции и проставляем известные и

неизвестные величины: 1,12 г 1,39 г х л Na2CO3 + 2HNO3 → 2NaNO3 + H2O + CO2↑ 106 г 126 г 22,4 л M(Na2CO3) = 23⋅2 + 12 + 16⋅3 = 106 г/моль m(Na2CO3) = 106 г/моль⋅1 моль = 106 г M(НNO3) = 1 + 14 + 16⋅3 = 63 г/моль m(НNO3) = 63 г/моль⋅2 моль = 126 г Определим, какое из веществ прореагирует полностью:

112106

1 39126

, , .<

Азотная кислота взята в избытке, поэтому дальнейшие расчеты надо вести по карбонату натрия: из 106 г Na2CO3 можно получить 22,4 л СО2; из 1,12 г Na2CO3 можно получить х л СО2;

106 : 1,12 = 22,4 : х, x = ⋅ =112 22 4106

0 24, , , (л)

Ответ: Объем полученного СО2 равен 0,24 л.


119

Химия

10 класс

1. Общей формуле алканов СnH2n+2 отвечают вещества б), в),

г), следовательно, они же являются гомологами. Состав их молекул отличается на несколько групп СН2. 2. Назовем вещества по международной номенклатуре: а) 3-метил-4-изопропилгептан; б) 3-метил-4-изопропил-5-этилгептан; в) 4-изопропил-3-этилгептан. Следовательно, правильный ответ в). 3. Определим молекулярные формулы веществ: а) С6Н14, б) С6Н14; в) С5Н12; г) С7Н16; д) С6Н14. Выберем из них те, которые отвечают формуле С6Н14. Следовательно, изомерами гексана явля-ются вещества: а) 3-метилпентан; б) 2,2-диметилбутан; д) 2,3-диметилбутан.

4. 1 2 3 4 5 6 7 СН3–СН–СН—СН–СН2–СН2–СН3

| | | Cl CH3 Cl 5. СН3–СН-–СН—СН–СН3 | | | Br CH2 C2H5 или 1 2 3 4 СН3–СН––СН—СН–СН3 | | | Br СH3 СН2–СН3 5 6


120

2-бром-3,4-диметилгексан. 11 класс 1. Вещества Свойства

окислитель восстановитель окисл. и восст.

H N O+5

3 +

Na N O+3

2 +

N H-3

3 +

N O+4

2 +

N0

2 +

N O+2

+

2.

Mn(OH)2↓+K2SO4+H2O+H2 KMnO4+K2SO3+H2SO4 MnO↓+K2SO4+KOH+H2O MnSO4+K2SO4+H2O

+

2 5K MnO K SO 3H SO 2 MnSO 6 K SO 3H O7

4 2 3

4

2 4

2

4 2 4 2

+ + ++ + → + +

144424443 соли серной кислоты

Mn e Mn+7 +2

+ →5 2

S 2e S4 6+ +− → 5

3. К2Cr2O7 + 14HI → 3I2 + 2CrI3 + 2KI + 7H2O

2 Cr+6

+ 6e → 2 Cr+2

1

2 I –2e → I2

0 3


121

4.

К2MnO4 + H2SO4 + H2O KMnO4+K2SO3+КОН → K2MnO4 + K2SO4 + H2O K2MnO4 + SO3 + H2O

+

2KMnO4 + K2SO3 + 2KOH → 2K2MnO4 + K2SO4 + H2O

Mn e Mn+7 +6

+ → 2

S 2e S4 6+ +− → 1

5.

ОВР Дезинфек-ция ран

Реставра-ция картин

Регенера-ция воздуха

PbS↓ + 4H2O2 → PbSO4↓ + 4H2O черный белый

S e S-2 +6

− →8 1

2 2O e 2 O-1 -2

+ → 4

+

2CO2 + 2K2O2 → 2K2CO3 + O2

2 2O e O-1

2

0− → 1

2 2O e 2 O-1 -2

+ → 1

+

2H2O2 → O2 + 2H2O p-p

2 2O e O-1

2

0− → 1

2 2O e 2 O-1 -2

+ → 1

+

ПРОБНЫЕ УРОКИ для учащихся 7–11 классовМАТЕМАТИКА - 7...

Documents