គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ ទី ១២-មេរៀន-សង្ខេប...

RksYgGb;rM yuvCn nigkILa

emeronsegçb nig lMhat;KMrUsRmab;CaCMnYydl;sisSfñak;TI 12

2014-2015

រមភកថ

េនះរគនែតជជនយដលអនកសក គណតវទយថន កទ១២ បែនត ពែមនជឯក រេពញេលញ សរមបកមមវធសក ថន កទ១២ទងមលេនះេទ។

កនងជពកនមយៗៃនេមេរៀនេយើងបនែចក ជពរែផនក ែផនកទ I: សេងខបេមេរៀនេដើមបឲយអនកសក ចងចនវអវែដលេរៀនរចជនយមនយ នងរទសតបទ

សខនៗ សរមបេធវើល ត។ ែផនកទ II: ល តគរ

េយើងបនបញច លវធ រសតមល ឋ នសរមបេធវើល តងយៗេទ មល បទរមងជ ករពនយលេដើមបអនវតតន។

កនងករសក អនកមនរតវពយយមេមើលចេមលើយរបសល តគរេទ។ អនកសក រតវ ន េ យយកចតតទក កនវរបធនល តនមយៗែសវងរកវធកនងករេ ះរ យេនកនងរក សរពង មរេបៀបេផ ងៗ េហើយ កសណរខលនឯងថ េតើល តេនះ ចេ ះ រ យបនបនម នរេបៀប នងេរបើនយមនយ ឬរទសតបទអវខលះ? េធវើែបបេនះេទើបអនក ច យលបនសជេរម នងចងចបននវេមេរៀន ឬរបមនតែដលអនកបនេរៀនរច។

េរកយេពលេធវើដេ ះរ យេលើរក សរពងរច រតវចមលងេ យហមតចតេលើរក ស អ តេ យសរេសរឲយមនរេបៀបេរៀបរយចបសពវរគប េទើបេផទ ងផទ តជមយចេមលើយ

ែដលមន។ េធវើែបបេនះអនកនងទទលេជគជយេហើយ ចបនចេមលើយែដលលអជង នងខល ជងចេមលើយែដលមនកនងគរេទេទៀត។

េដើមបឲយេសៀវេភេនះកនែតលអរបេសើរ េយើងខញ រងចទទលកររះគន នងែកលមអបែនថមអព េ ករគ អនករគ នងអនកសក ទង យេ យកតេ មនស រក យបផត។

រកមអនកេរៀបេរៀង

វធ រសតសរមបេ ះរ យវញញ គណតវទយ

I. េផតើមៃនវញញ នេ យយកចតតទក ក នងយតៗនវវញញ ទងមល។ កណតេពលេវ អតបរមែដលអនករតវេរបើសរមបេ ះរ យ សរេសរចល នង

េមើលេឡើងវញរមជមយអរ ពនទេនកនងវញញ ។ េយើងរតវចបេផតើមជមយល ត ែដលអនកយលថងយ។

II. េពលេធវើវញញ

កលបងេ ះរ យកនងរក សរពង។ េរកយេពលេ ះរ យចប ចមលងចល កនងរក សកចចករ។ េបើមនទនេ ះរ យចបរតវេមើលេឡើងវញកនងរក សរពង េបើយលថរតមរតវេហើយបនតចមលងេ យផចតផចងជពេសសចេមលើយៃន លសណរមនែដល ចជយ អនកឲយេ ះរ យសណរបនត។

េបើអនករបទះនងសណរ ែដលមន ចេ ះរ យបនរតវរក រក សសកនង រក សកចចករ នងបនតេ ះរ យសណរបនទ បៃនល តេ យអនមតលទធផល ផតលពខងេលើ។

សមកេភលចថ លចេមលើយរតវែតមនករពនយល។

III. ករេរៀបចរក សកចចករ សរេសរចេមលើយ មសណរនមយៗេ យបងហ ញលទធផលែដលទទលបន

ឲយចបស ស នងេគរព មករកណតសរេសររបសវញញ ។ សរេសរឲយបនចបស េជៀស ងករេមើលមនយល។ ករសងរកបរតវេគរព មឯក ែដលបនកណត។ េគមនរតវេភលចថបនទ តបះ

ចជយ ឲយគររកបបនលអ។ របធរណមរតរតវេ ចណចចបចែដលមនេនកនងសរមយបភលរបសអនក។

1

បញជអតថបទ លមតនៃអៃគមៃ ........................................................................................................ 3

I.មមម ៀៃសមខេប ......................................................................................................... 3

1.បរមាណវធមលលមត ........................................................................................... 3

2. លមតនៃអៃគមៃបណតា ក .................................................................................. 3

4. លមតនៃអៃគមៃជបបរទះញកញាប ................................................................ 4

5. លមតនៃអៃគមៃបមោណមាបត ....................................................................... 4

6. លមតនៃអៃគមៃអចសបណខសសែល ................................................................ 4

7. លមតនៃអៃគមៃមោោ តមៃសែ ....................................................................... 4

មេ មេ ៃខ បែមទេនៃអៃគមៃ .................................................................................19

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................19

1.មេ មេនៃអៃគមៃ .............................................................................................19

2.បែមទេនៃអៃគមៃ ..........................................................................................21

II. លហាតគ ............................................................................................................22

អខមតបោលកណត ...................................................................................................31

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................31

II.លហាតគ .............................................................................................................31

សកាអមេ ភាែ ៃខ សខសសែមោខ ...........................................................................39

I.សមខេបមមម ៀៃ ........................................................................................................39

II.លហាតគ .............................................................................................................40

2

ចៃៃកផលច ...................................................................................................................55

I. មមម ៀៃសមខេប .......................................................................................................55

II.លហាតគ .............................................................................................................57

មោៃក ..........................................................................................................................68

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................68

1.បា រា បល .............................................................................................................68

2.មអលប ................................................................................................................69

3.អសែបល .............................................................................................................69

II.លហាតគ .............................................................................................................70

សមោ ឌមផ ាខសសែល ................................................................................................77

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................77

2.សមោ ឌមផ ាខសសែលលមៃសអែលដាបទ 2 ..........................................................78

II.លហាតគ .............................................................................................................79

បរបប ..........................................................................................................................82

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................82

II.លហាតគ .............................................................................................................83

ផលគណនៃវចទ កនខលហ ៃខ អៃេតាៃ ...............................................................88

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................88

II.លហាតគ .............................................................................................................89

3

លមតនៃអៃគមៃ I.មមម ៀៃសមខេប

1.បរមាណវធមលលមត ប ើ lim f x

x a L 0L 0L 0 0

ប ើ lim g xx a

0M

0 0

ប ោះ lim x xf g

x a

L M

L 0 ?

ប ោះ lim x xf g

x a

L M

0 ? 0

ប ោះ

lim

x

g x

f

x a L

M 0 0 ? ? ? ?

កណតសគាល : រាងមនកណតគ :0

; 0 ; ;0

2. លមតនៃអៃគមៃបណតា ក នយមនយ : បយើងមាន u ជាអនគមនកណតបលើ

I នង g ជាអនគមនកណតបលើ u I ។

អនគមន ណតា កននu បោយ g បគសរបសរ g uជាអនគមនកណតបលើ I បោយ g u x g u x ។

ប ើ u នង g ជាអនគមនដែលមាន limx

u x

នង limx

g x

ប ោះ limx

g u x

។

3. លមតតាមោ មបរៀបមធៀប

ប ើ f x g x នង ប ើ limx

g x

ប ោះ limx

f x

ប ើ f x g x នង ប ើ limx

g x

ប ោះ limx

f x

ប ើ h x f x g x នង ប ើ limx

h x L

នង limx

g x L

ប ោះ

limx

f x L

ប ើ f x L g x នង ប ើ lim 0x

g x

ប ោះ limx

f x L

កណតសគាល : បគអាច កសរាយែចគាា កាលណត x ឬ កាលណត x a (a ជាចននពត)

4

4. លមតនៃអៃគមៃជបបរទះញកញាប លមតតតង +∞

1lim lim ; lim 0

n

n x x xx ; x

x

លមតតតង 𝟎

𝐧 ជាចននគតរឡាទ វជជមាន នងគ 0

0

1lim x

x

n

x

𝐧 ជាចននគតរឡាទ វជជមាន នងបសស 0

0

1lim x

x

n

x

𝐧 ជាចននគតរឡាទ វជជមាន នងបសស 0

0

1limx

x

n

x

5. លមតនៃអៃគមៃបមោណមាបត

0 0

lim 1 ; lisin 1 cos

m 0x x

x x

x x

6. លមតនៃអៃគមៃអចសបណខសសែល

lim

x

xe ; lim 0 ; lim

xx

x x

ee

x

ប ើ 0n ប ោះ lim

x

n x

e

x នង lim 0

n

x x

x

e

7. លមតនៃអៃគមៃមោោ តមៃសែ

lim ln x

x

; 0

lim ln x

x

; l

lim 0n x

x

x ;

0im 0lnl x x

x

ប ើ 0n ប ោះ 0

lim 0 ;ln

ll m 0nix

x xx

n

n x x

II.លហាតគ កណតសគាល : អាកសកាតតវខត ងបោោះសរាយលហាតបោយខលនឯង ចដណកចបមលើយសតមា ដតបទៀងផទទ ត។

5

1. 2

2

2 3

1

x xf x

x

; គណ lim f x

x

ចបមលើយ

a. ចប ោះតគ 0x ;

2

2 2 2

22

22

1 3 1 32 22 3

11111

f

xx x x x x xxx

xxx

b. បគបាន 1lim 0

x x ;

2

1lim 0

x x

ែបចាោះ 2

1 3lim 2 2

x x x នង

2

1lim 1 1

x x

វបាក lim 2

x

f x

2.

2

1

1

xxf

x

គណ lim x

f x ; 1

lim ; lim x x

f x f x

ចបមលើយ

ក.

2 22

2

11

1 1lim lim

2 11lim lim

21 1

f

x x x x

xx x x

xx xx x

x x

1lim 0

x x

ខ.

2 22

2

11

1 1lim lim

2 11lim lim

21 1

f

x x x x

xx x x

xx xx x

x x

1lim 0

x x

គ.

21 1

1limlim

1f

x x

xx

x

1

lim 1 2

x

x នង 2

1lim 1 0

x

x បោយ 2

1 0 x ចប ោះ 0 x

6


lim f

x

x

3.គណ លមតខាងបតកាម :

ក. 1

1m

1li

x

x

x ; ខ.

32

2im

2

8l

x

x

x ; គ.

0

1li

1m

sin x

x

x x

ចបមលើយ

ក. 1 1 1 1

1 11 1 1 1

1 211lim lim li

1lim

1 1m

x x x x

x xx x

x xx x x x

ខ. 32

2im

2

8l

x

x

x

បយើងែងថា 3 3 2 2 a b a b a ab b ែបចាោះ 3 28 2 2 4 x x x x

តាង

3 2

2 2 2 22 2

8 2 2 4 2 2f x

x xx

x x x x x

2

2 4

2 2 4 2 2

x

x x x x

2

2

2 2 4 2 2

x

x x x x

2

1

2 4 2 2

x x x

3 22 2

lim l2 2 1 1

8 482 4im

2 2

x x

x

x x x x

គ. 0

1li

1m

sin x

x

x x

តាង

1 1

sin s

1 11 1

1 1in xf

x

x x x xx x x

x x

2

1 1sin xx

x

x

1 1sin

2

x

x

x x

7

0 0

2lim l

s 1 1im

inf

x

x x

xx

x x

0 0

lim lim2

1sin 1x

x x

x

x x ;

0 0

sinlim lim

sin1

x

x

x x

x

x

1

4. គណ 2 24lim 1 1

x

x x

បយើងប ើញ 24lim 1

x

x ; 2lim 1

x

x

ជារាងមនកណត x បយើងឧ មា 1x

2 2

2 2

1 14 1 4 4

x x x

x x

បោយ 1x ; x x នង 2

2

14 1 4 x x

x

ែចគាា ដែរ 2 2

2 2 2

1 1 11 1 1 1

x x x x

x x x

ែបចាោះ 2 2

2 2

1 14 1 1 4 1f x x x x x

x x

2 2

1 14 1

x

x x

lim

x

x នង 2 2

1 14 1 2 1 1lim

x

x x

វបាក limx

x

f

5.កណតលមតតតង 1 ននអនគមន f កណតបលើ \ 1; 1 បោយ 2

3 1

1f

xx

x

ក. 2

1 1 3 1 4lim lim 1 0

x xx ; x

ខ.សកាសញញា នន 2 1x បោយបត ើតារាងខាងបតកាម

𝒙 − ∞ − 𝟏 𝟏 +∞ 𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝟎 − 𝟎 +

8

គ. 2

1

1

li m 1 0x

x

x នង 2

1

1

li 0m 1x

x

x

វបាក 1

1

limx

x

f x នង 1

1

limx

x

f x

6. បគមានអនគមន 3 2 1

1

x x xf x

x

គណ

ក. limx

f x

ខ. limx

f x

គ. 1

limx

f x

ចបមលើយ

ក. 3

2lim lim limx x x

xf x x

x

ខ. 3

2lim lim limx x x

xf x x

x

គ. 3 2

1lim 1 0x

x x x

នង 1

lim 1 0x

x

លមតបនោះមានរាងមនកណត 00

223 2 1 11 11

1 1 1

x xx x xx x xf x

x x x


1 1lim lim 1 2x x

f x x

7. បគមានអនគន 3 2

2

3 1 3 3

4 3

x x a x af x

x x

(a ជាចននពតដែលបអាយ)

ក. limx

f x

ខ. limx

f x

គ. 3

limx

f x

. 1

limx

f x

ចបមលើយ

ក. 3

2lim lim limx x x

xf x x

x

ខ. 3

2lim lim limx x x

xf x x

x

9

គ. តាង

N xf x

D x ដែល 3 23 1 3 3N x x x a x a

2 4 3D x x x

3

lim 0x

N x

នង 3

lim 0x

D x

; លមតបនោះមានរាងមនកណត 00

2 23 1 3 1 3 1 3N x x x a x a x x a x

23 1x x a

3 1D x x x

2 2

3 3 3

3 1 1 8lim lim lim

3 1 1 2x x x

x x a x a af x

x x x

. 2

1lim 1x

x a a

នង 1

lim 1 0x

x

1

limx

f x

មានសញញា អាសរសយបៅសញញា នន a នង 1x

ប ើ 0a 2

1 1

1lim lim

1x x

x af x

x

2

1 1

1lim lim

1x x

x af x

x

ប ើ 0a 2

1 1

1lim lim

1x x

x af x

x

2

1 1

1lim lim

1x x

x af x

x

ប ើ 0a 2

1 1 1

1lim lim lim 1 2

1x x x

xf x x

x

8. បគមានអនគមន 3 2 2 5x x x

f xx x

កណតបលើ ]0, [

ក. ងហា ញថា ចប ោះ 5

2x បគបាន

3xf x

x x

ខ. គណ 3

limx

x

x x

គ. ទាញយកតនមលនន limx

f x

10

ចបមលើយ

ក. ប ើ 5

2x បគបាន 2 5 0x នង 2 2 5 0x x

(បត ោះ 2 0x នង 2 5 0x ) ែបចាោះ 3 32 2 5x x x x

បោយ 3 32 2 5

0,x x x x

x xx x x x

ខ. ចប ោះ 3 3 25

;12

11

x x xx

x x xx

xx

, 2limx

x

នង

1lim 1 1x x

ែបចាោះ

3 2

lim lim1

1x x

x x

x x

x

គ. បយើងប ើងថាចប ោះ 5

2x ,

2xf x

x x

បោយ 3

limx

x

x x

បយើងអាចទាញបានថា lim

xf x

9. លហាតគរ

ក. គណ 0

sin5lim

5

x

xx បយើងតាង 5X x

បគបាន 0

sin1lim

X

X

X ែបចាោះ

0

sin5lim 1

5

x

x

x

ខ. គណ 4 4

2sin 2sin

lim l4 4

4

im

4

x x

x x

π πx x

តាង ; 4

X x π

4π

x ប ោះ 0X


4

2sinsin

lim l4

2 2 1 2

4

im

x

X

X

x

π Xx

11

គ.គណ

0 0

5 5

5 5

2sin52sin5lim lim

5 5 5 5

x

x x x

xx

x x

0

2sin5 5 5lim

x

x x

x

0 0

sin5lim(10 ) 5 5

5lim

x

xx

x

x 10 2 5 20 5

.គណ 3

3 cosli

n

3

msix x

π

x

πx

បយើងបាន 3 13 cos sin 2 cos sin

2 2x x x x

2 sin cos cos sin

3 3x x

π π

2sin 2sin3 3

x x

π π

3 3

sin3 cos s

lim limin 3

33

2

xx x

xx

π πx x

π

ππ

តាង ;3 3

X x x

នាអោយ 0X


3

sin sinlim lim 2li

3 cos sin2 2

3

mXx x

x

X

X X

π X Xx

10. លហាតគរ

ក.គណ 0

cos2lim

2

1x

x

x បយើងតាង 2X x

0 0 0

lim li1 cosc

m limos 1 1 cos

0XX X

X X X

X X X

12

ខ.គណ 2

cos2

2

lim

1x

x

πx

បយើងតាង 2

X x

; ប ើ 2

x

បអាយ 0X


2

cos 1cos 1 1 cos

lim lim l2

0i

2

m

xX X

X Xx

π X Xx

π

π

គ. គណ

2

0 0

coslim lim

cos 1 cos 11

cos 1 cos 1

xx x

x x x x

x x

cos 1 0x ឬ cos 1x ឬ 2 ,x k k

បយើងបាន

2

0 0 0

cos 1c 10

cos 1

os 1 coslim lim lim

x

x

x x

x xx

x x x

11.គណ លមតននអនគមនខាងបតកាម

ក. 2

2

sin 1lim

1 sinx

x

x

ខ.

0

2 tan sinlimx

x x

x

ចបមលើយ

ក. តាង 2sin 1

1 sin

xf x

x

តតង

2

បយើងប ើញមានរាងមនកណត 0

0

បយើងបាន 2 sin 1 sin 1sin 1

1 sin 1 sin

x xxf x

x x

2 2 2

sin 1 sin 1lim lim lim sin 1

sin 1x x x

x xf x x

x


lim 2x

f x

ខ. តាង 2 tan sinx x

f xx

, តតង 0 បយើងប ើញមានរាងមនកណត 0

0

2 tanx sin x

f xx x

, 0 0

sin tanlim lim 1x x

x x

x x

13


lim 2 1 3x

f x

12. បគមានអនគមន 2 sinf x x x x កណតបលើ ។

ក. បគកតសមាា លប ើញថាចប ោះតគ , 1 sin 1x x , រកអនគមន g x ដែលតគ

0,x f x g x ។ ទាញយក limx

f x

។

ខ. រកអនគមន h x ដែលតគ 0,x f x h x ។ ទាញយក limx

f x

។

ចបមលើយ

ក. បយើងបាន 2 sinf x x x x

ចប ោះតគ : 1 sin 1x x

1 sin 1x

ប ើ 0x បគបាន : sinx x x x

2 2 sin 2x x x x x x x 3x f x x

ែបចាោះ g x ដែលតតវរកគ g x x

lim limx x

g x x

, បយើងទាញបាន limx

f x

ខ. ប ើ 0x បគបាន 1 sin 1x បោយគណ x ដែលវជជមានបគបាន :

sinx x x x ឬ 2 2 sin 2x x x x x x x ឬ 3 2 sinx x x x x

ែបចាោះ h x ដែលតតវរកគ h x x

lim limx x

h x x

បយើងទាញបាន limx

f x

13. បគមានអនគមន 2 1sinf x x

x កណតបលើ * ។ បោយកតសមាា លប ើញចប ោះតគ x មនសនយ

1sin 1

x ។ គណ

0limx

f x

។

ចបមលើយ

ប ើ 10, sin 1x

x ែបចាោះ 2 21

sinx xx

14

បោយ 2

0lim 0x

x

បយើងបាន : 0

lim 0x

f x

14.លហាតគរ

គណ លមតខាងបតកាម :

a. 2 lnlim xx

x

b. 2 im lnl x x

x

c. 0

lnlim

x

x

x

d. 3

2

lnlim

x

x x

ចបមលើយ

a. តាង 2 lnxf x x

2lim

x

x នង lim

x

x

ែបចាោះ lim f x

x

b. តាង 2 lnxf x x 2lim

xx នង lim ln x

x

វាមានរាងមនកណត

2 2

2ln 1

ln xx

xf x x x

2 2

2l

lnlim lim limn . 1x

xx x

x

x x x

2

lnlim1 0

x

x

x = +

c. តាង ln

fx

xx

កណតបលើ 0,

0 0 0 0 0

lim lim lim1

lim ln lim1

lnf x f x xx x

x

x x x x x

d. តាង

3

2

lnf

xx

x កណតបលើ 0,

3

lim ln x

x

នង 2lim x

x

វាមានរាងមនកណត

15

បែើបមបើគណ លមតបនោះបយើងតាង 3

2x X ែបចាោះ2

3X x នង lim X

x

3

2

33

3 3

2 33

2

3ln

3

2

lnl2 n

XXX

xX

fX

X

3 3

2lim

3

lnlim

x

Xxf

X

X ដត l

im 0n

lX

X

X

ែបចាោះ 0lim f x

x

15. បគមានអនគន f កណតបលើ ]1, [ បោយ 3 1

ln1

xf x

x

។

គណ 1

limx

f x

នង limx

f x

។ ចបមលើយ

បយើងតាង lnf x u x ដែល u x កណតបលើ ]1, [ បោយ 3 1

1

xu x

x

បយើងបាន 1

lim 3 1 4x

x

នង 11

lim 1 0x

xx

ែបចាោះ

1limx

u x

វបាក 1 1

lim limlnx x

f x u x

ចប ោះតគ x នន ]1, [ បយើងបាន

13

11

xx

u x

xx

1 13 3

lim lim lim 311

11x x x

xx xu x

xxx

ែបចាោះ lim lim ln ln3x x

f x u x

16. គណ លមតននអនគមនខាងបតកាម :

ក. 1lim ln

2x

x

x

; 1

lim ln2x

x

x

;

22

1lim ln

2x

x

x

x

;

11

1lim ln

2x

x

x

x

ខ. 0

lim 1 lnx

x x

; lim 1 lnx

x x

គ. 0

2ln 1lim

2x

x

x

; 2ln 1lim

2x

x

x

ចបមលើយ

16

ក.តាង 1

ln2

xf x

x

1lim 1

2x

x

x

បយើងបាន lim 0

xf x

1lim 1

2x

x

x

បយើងបាន lim 0

xf x

22

1lim

2x

x

x

x


22

limx

xf x

11

1lim 0

2x

x

x

x


11

limx

xf x

ខ. តាង 1 lnf x x x

0lim 1 1x

x

, 0

limlnx

x


limx

f x

lim 1

xx

, lim ln

xx

បយើងបាន lim

xf x

គ. តាង 2ln 1

2

xf x

x

0

lim 2ln 1x

x

, 00

lim2 0x

xx


0limx

f x

2ln 1 2ln 1 ln 1

2 2 2 2

x x xf x

x x x x x

lnlim 0x

x

x នង 1

lim 02x x

បយើងបាន lim 0x

f x

17.លហាតគរ

a. lim 1x

e x

x b.

2lim

e

x

x

x

c. 0

lime e

x

x x

x d. 1

limx

x

x

e

ចបមលើយ a. តាង 1xxf x

e ;lim lim 1

x

x xe x

វាមានរាងមនកណត ∞ − ∞

1

1 1x

xe

f e xe

e

x x

x x

11

lim limx

f x ee e

x

x x x xlim lim

11

xe

e e

x

x x x x

lim 0x

e

x x ; l

10im

e

x x ; lim li1 m

11 ;

xe

e e

x

x x x x

ែបចាោះ lim f x

x

17

b.2

lime

x

x

x តាង 2 2

1

ex

xf e

x

xx ដត 0lim e

x

x នង

2im 0l

1 x

x

ែបចាោះ 0lim f x

x

c.តាង xxe

xx

ef

0 0 0 0

lim lim lim lim1x xe

f xe

e ex x

x x

x x x x

0

2lim x xe e

x

នង 0

0

1limx

xx


0

limx

x

f x

0

lim 2x x

xe e

នង

0

0

lim1

x

xx


0

limx

x

f x

d.តាង 1 1e e

xx x

fx

x x

lim lim lim1e

f xx x

x

x x x

ដត limx

e

x

x

នង 1lim 0x x

បយើងបាន lim f x

x

18. គណ លមតននអនគមនខាងបតកាម:

ក. 1

0lim x

xe

; ខ.

1

lim x

xe

; គ. 3lim x

xxe x

ចបមលើយ

ក. បយើងតាង 1

u xxf x e e ដែល 1

u xx

0 00 0

1lim lim

x xx x

u xx

បគបាន lim 0X

Xe

ែបចាោះ

0 00 0

lim lim 0x x

u x

x xf x e

0 00 0

1lim lim

x xx x

u xx

នង lim X

Xe

ែបចាោះ

0 00 0

lim limx x

u x

x xf x e

18

ខ. 1

lim lim 0x x

u xx

បោយ 0

0lim 1X

Xe e

ែបចាោះ lim lim 1

u x

x xf x e

គ. បយើងតាង 3xf x xe x

កាលណត x , f x មានរាងមនកណត

ចប ោះតគ 0x , 3

21

xef x x

x

បោយ

2lim

x

x

e

x ប ោះបយើងបាន

2

lim 1x

x

e

x

បលើសពបនោះបៅបទៀត 3lim

xx

បយើងអាចទាញបានតាមលមតនន

លគណ , limx

f x

។

19. កណតលមតននអនគមនខាងបតកាម

ក. lim ln 1 x

xe

, ខ. lim ln 1 x

xe

, គ.

0lim lnx

xe x

, . lim lnx

xe x

ចបមលើយ

ក. lim 1 1x

xe

បយើងបាន lim ln 1 0x

xe

ខ. lim 1 x

xe

បយើងបាន lim ln 1 x

xe

គ. 0 0

limln , lim 1x

x xx e


0lim lnx

xe x

. lim ln , lim x

x xx e

បយើងបាន lim lnx

xe x

19

មេ មេ ៃខ បែមទេនៃអៃគមៃ

I.មមម ៀៃសមខេប

1.មេ មេនៃអៃគមៃ a.រ មនាបលើបែរបវ

ដែនកណតននអនគមន 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)

𝐷𝑓 = 𝐷𝑓′ = ℝ

𝑎 0 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 2𝑎𝑥 + 𝑏 𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℕ∗) 𝑛𝑥𝑛−1

𝐷𝑓 = 𝐷𝑓′ = ℝ∗ 1

𝑥 −

1

𝑥2

𝐷𝑓 = [0,+∞[ នង 𝐷𝑓′ =]0,+∞[

√𝑥 1

2√𝑥

លកខខណឌ

អនគមន អនគមនមានបែរបវកណតបលើចប ល ោះ 𝐼

អនគមន 𝑢 នង 𝑣 មានបែរបវ បៅបលើចប ល ោះ 𝐼 នង λ ចននបេរ

𝑢 + 𝑣 𝑢′ + 𝑣′ 𝑢. 𝑣 𝑢′. 𝑣 + 𝑢. 𝑣′ λ. 𝑢 λ. 𝑢′

អនគមន 𝑢 នង 𝑣 មានបែរបវ បៅបលើចប ល ោះ 𝐼 នង 𝑣 ≠ 0 បលើ 𝐼

1

𝑣 −

𝑣′

𝑣2

𝑢

𝑣 𝑢′. 𝑣 − 𝑢. 𝑣′

𝑣2

អនគមន ណតា ក: 𝑢 មានបែរបវបលើ 𝐼, 𝑣 មានបែរបវបលើ 𝑢(𝐼)

𝑣 ∘ 𝑢

(𝑣′ ∘ 𝑢) × 𝑢′

𝑢 មានបែរបវបលើ 𝐼 , 𝑢 > 0 បលើ 𝐼

√𝑢 𝑢′

2√𝑢

-ប ើ 𝑛 ជាចននគត > 0 , 𝑢 មានបែរបវបលើ 𝐼 -ប ើ 𝑛 ជាចននគត < 0 , 𝑢 មានបែរបវ នង𝑢 ≠ 0បលើ 𝐼

𝑢𝑛 (𝑛 ∈ ℤ∗)

𝑛𝑢𝑛−1. 𝑢′

20

b.បែរបវ ននអនគមនតតបកាណមាតត

ដែនកណត 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)

𝐷𝑓 = 𝐷𝑓′ = ℝ

cos x sin x sin x cos x

𝐷𝑓 = 𝐷𝑓′ = ℝ − {𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} tan x 2

2

11 tan

cosx

x

𝐷𝑓 = 𝐷𝑓′ = ℝ − {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} cot x 2

2

11 cot

sinx

x

sinu cosu u cosu sinu u tanu 2

21 tan

cos

uu u

u

cotu 2

21 cot

sin

uu u

u

ប ើ f x មានបែរបវ េ នា ទ រហតែលលោ n បយើងកណតតាងបោយ nf x ដែល

1nnf x f x

។

C.បែរបវ ននអនគមនអចសបណងដសយល នង បោការតបនដព

ដែនកណត 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) 𝐷𝑓 = 𝐷𝑓′ = ℝ 𝑒𝑥 𝑒𝑥

𝑒𝑢 𝑢′𝑒𝑢 𝐷𝑓 =]0,+∞[

ln x 1

𝑥

lnu 𝑢′

𝑢

d. អនវតានននបែរបវ េ

បលបឿនននចល មយបៅខណោះ t គ ds

v t s tdt

ដែល s t ជាចមាា យចរបៅខណោះ t ។

សទោះននចល មយបៅខណោះ t គ dv

a t v tdt

ដែល v t ជាបលបឿនននចល បៅខណោះ t ។

21

2.បែមទេនៃអៃគមៃ a.តពមទវននអនគមនជ ត ទោះញកញា

អនគមន 𝑓(𝑥) តពមទវ 𝐹(𝑥) 𝑓(𝑥) = 0 𝐹(𝑥) = 𝑘 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℕ∗) 𝐹(𝑥) =

𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝑘

𝑓(𝑥) =1

√𝑥 𝐹(𝑥) = 2√𝑥 + 𝑘

𝑓(𝑥) =1

𝑥2 𝐹(𝑥) = −

1

𝑥+ 𝑘

𝑓(𝑥) =1

𝑥𝑛 (𝑛 ≥ 2) 𝐹(𝑥) = −

1

(𝑛 − 1)𝑥𝑛−1+ 𝑘

𝑓(𝑥) =1

𝑥 𝐹(𝑥) = ln|𝑥| + 𝑘

sinf x x cosF x x k cosf x x sinF x x k 0, cosa f x ax b

1

sinF x ax b ka

0, sina f x ax b

1cosF x ax b k

a

2

2

11 tan

cosf x x

x tanF x x k

2

11 cot

sinf x x

x cotF x x k

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑘

b.ត មាណវធបលើតពមទវ

អនគមន តពមទវ 𝑓 + 𝑔 𝐹 + 𝐺 + 𝑐 𝜆𝑓 𝜆𝐹 + 𝑐

𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ 𝑢𝑣 + 𝑐 𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

𝑢

𝑣+ 𝑐

(𝑣′ ∘ 𝑢) × 𝑢′ 𝑣 ∘ 𝑢 + 𝑐

22

𝑢𝑛𝑢′ 𝑢𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝑐

𝑢′

𝑢𝑛 (𝑛 ≥ 2) −

1

(𝑛 − 1)𝑢𝑛−1

𝑢′

√𝑢 2√𝑢

II. លហាតគ កណតសគាល : អាកសកាតតវខត ងបោោះសរាយលហាតបោយខលនឯង ចដណកចបមលើយសតមា ដតបទៀងផទទ ត។

1.គណ បែរបវននអនគមនខាងបតកាម:

ក. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 4𝑥 + 2 ខ.𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)5

គ.𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥2 . 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + √1 + 𝑥2)

ចបមលើយ

ក. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 4𝑥 + 2 បយើងបាន 𝑓′(𝑥) = 9𝑥2 − 4

ខ. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)5 បយើងតាង 𝑢 = 2𝑥 − 1 ឬ 𝑢′ = 2

𝑓(𝑥) = 𝑢5 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 5𝑢5−1. 𝑢′ = 5𝑢4 × 2 = 10𝑢4 ឬ 𝑓′(𝑥) = 10(2𝑥 − 1)4

គ. 𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥2 បយើងតាង 𝑢 = 1 + 𝑥2 ឬ 𝑢′ = 2𝑥

𝑓(𝑥) = √𝑢 ⇒ 𝑓′(𝑥) =𝑢′

2√𝑢

𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥2 បយើងបាន 𝑓′(𝑥) = 2𝑥

2√1+𝑥2 = 𝑥

√1+𝑥2

. 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + √1 + 𝑥2) បយើងបត ើរ មនា (𝑢𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

𝑣 = 𝑥 + √1 + 𝑥2 ⇒ 𝑣′ = 1 +2𝑥

2√1+𝑥2= 1 +

𝑥

√1+𝑥2

𝑓′(𝑥) = 1(𝑥 + √1 + 𝑥2) + 𝑥 (1 +𝑥

√1+𝑥2)

= (𝑥 + √1 + 𝑥2) +𝑥(√1+𝑥2+𝑥)

√1+𝑥2= (𝑥 + √1 + 𝑥2) (1 +

𝑥

√1+𝑥2)

= (𝑥+√1+𝑥2)(√1+𝑥2+𝑥)

√1+𝑥2 = (𝑥+√1+𝑥2)

2

√1+𝑥2

2. គណ បែរបវននអនគមនខាងបតកាម:

ក. 2cosf x x ខ. 2cosg x x

23

គ. 2 2cosh x x . 2 cos 3 1k x x x

ចបមលើយ

ក. 2cosf x x មានរាង 𝑢2(𝑥) បោយ cosu x x

បគបាន (𝑢2)′ = 2𝑢𝑢′

𝑓′(𝑥) = 2𝑢(𝑥). 𝑢′(𝑥) = 2 cos𝑥 (− sin𝑥) = −2 sin𝑥 cos 𝑥 = −sin2𝑥

ខ. 2cosg x x មានរាង cos v x បោយ 𝑣(𝑥) = 𝑥2

តាមបែរបវននអនគមន ណតា កបយើងបាន

2cos sin 2 2 sing x v x v x v x x x x

គ. 2 22 2 2cos cosh x x x g x

កាងសណរ ខ បយើងបាន 22 sing x x x

2 2 22 2cos 2 sin 2 sin 2h x g x g x x x x x x

. 2 cos 3 1k x x x

បយើងបត ើរ មនា (𝑢𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ នង cos sinu u u

𝑢 = 𝑥2 ⇒ 𝑢′ = 2𝑥 cos 3sin 3 1v u v x

22 cos 3 1 3sin 3 1f x x x x x 22 cos 3 1 3 sin 3 1x x x x

3.គណ បែរបវននអនគមនខាងបតកាម

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 1 − 𝑥𝑒𝑥 ខ. 𝑔(𝑥) = 10𝑥

𝑒𝑥+1

គ. 1 2lnh x x x . 2

lnx xk x

x

ចបមលើយ

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 1 − 𝑥𝑒𝑥 បយើងបាន 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 − (1 ∙ 𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥) = −𝑥𝑒𝑥

ខ. 𝑔(𝑥) = 10𝑥

𝑒𝑥+1 ប ោះ 𝑔′(𝑥) = 10(𝑒𝑥+1)−10𝑥(𝑒𝑥)

(𝑒𝑥+1)2

24

ែបចាោះ 𝑔′(𝑥) = 10(𝑒𝑥+1−𝑥𝑒𝑥)

(𝑒𝑥+1)2

គ. 1 2lnh x x x បយើងបាន ℎ′(𝑥) = −1 −2

𝑥=

−𝑥−2

𝑥

. 2

lnx xk x

x

បយើងបត ើរ មនា (𝑢

𝑣)′=

𝑢′𝑣−𝑢𝑣′

𝑣2

2

4 3 3

11 2 ln

1 2 2ln 1 2lnx x x x

x x x x xxk x

x x x

4.គណ បែរបវ នា ទ ននអនគមន 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 4)5

ចបមលើយ

បយើងប ើញ 𝑓(𝑥) = (𝑢(𝑥))5 បោយ 𝑢(𝑥) = 3𝑥 + 4 នង 𝑢′(𝑥) = 3

𝑓′(𝑥) = 5(𝑢(𝑥))4𝑢′(𝑥) = 5(3𝑥 + 4)4 × 3

𝑓′′(𝑥) = (𝑓′(𝑥))′= 4 × 5(3𝑥 + 4)3 × 32

𝑓3(𝑥) = 3 × 4 × 5(3𝑥 + 4)2 × 33 𝑓4(𝑥) = 2 × 3 × 4 × 5(3𝑥 + 4) × 34

𝑓5(𝑥) = 2 × 3 × 4 × 5 × 35 = 5! × 35 𝑓6(𝑥) = 0 ចប ោះ 𝑛 > 5 𝑓𝑛(𝑥) = 0

5. គណ បែរបវននអនគមន 3 1

ln1

xf x

x

ចបមលើយ

3 1

ln1

xf x

x

តាង 𝑢(𝑥) = 3𝑥+1

𝑥−1

បយើងបាន 𝑓(𝑥) = ln(𝑢(𝑥)) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥)

𝑢(𝑥)

𝑢(𝑥) = 3𝑥+1

𝑥−1 ⇒ 𝑢′(𝑥) = 3(𝑥−1)−(3𝑥+1)

(𝑥−1)2 = −4

(𝑥−1)2

𝑓′(𝑥) = −4

(𝑥−1)2

3𝑥+1

𝑥−1

= −4

(3𝑥+1)(𝑥−1)

25

6. គណ បែរបវននអនគមនខាងបតកាម

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 ខ. 𝑔(𝑥) = 𝑥3𝑒𝑥

គ. ℎ(𝑥) =𝑒𝑥

𝑥2 . 𝑘(𝑥) =𝑥

𝑒𝑥

ង. 𝑙(𝑥) = 𝑥2𝑒−𝑥 ច. 𝑓(𝑥) = 𝑒(1−1

𝑥)

ចបមលើយ

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 1 ∙ 𝑒𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥(1 + 𝑥)

ខ. 𝑔(𝑥) = 𝑥3𝑒𝑥 ⇒ 𝑔′(𝑥) = 3𝑥2𝑒𝑥 + 𝑥3𝑒𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥(3 + 𝑥)

គ. ℎ(𝑥) =𝑒𝑥

𝑥2 ⇒ ℎ′(𝑥) =𝑥2𝑒𝑥−𝑒𝑥∙2𝑥

𝑥4 =𝑥𝑒𝑥(𝑥−2)

𝑥4

ែបចាោះ ℎ′(𝑥) =𝑒𝑥(𝑥−2)

𝑥3

. 𝑘(𝑥) =𝑥

𝑒𝑥 ⇒ 𝑘′(𝑥) =𝑒𝑥−𝑥𝑒𝑥

(𝑒𝑥)2 =

𝑒𝑥(1−𝑥)

(𝑒𝑥)2

ែបចាោះ 𝑘′(𝑥) =1−𝑥

𝑒𝑥

ង. 𝑙(𝑥) = 𝑥2𝑒−𝑥 ⇒ 𝑙′(𝑥) = 2𝑥𝑒−𝑥 + 𝑥2(−𝑒−𝑥)

= 2𝑥𝑒−𝑥 − 𝑥2𝑒−𝑥 = 𝑥𝑒−𝑥(2 − 𝑥) ែបចាោះ 𝑙′(𝑥) = 𝑥𝑒−𝑥(2 − 𝑥)

ច. 𝑓(𝑥) = 𝑒(1−1

𝑥) បយើងតាង 𝑢(𝑥) = 1 −

1

𝑥 នង 𝑢′(𝑥) =

1

𝑥2

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑢(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥)𝑒𝑢(𝑥) =1

𝑥2 𝑒(1−1

𝑥)

7.បគមានអនគមន f កណតបលើ បោយ

52

1

3f x

x

នង អនគមន g កណតបលើ

1,0 បោយ

53

1 1

1g x

x x

ក.គណ f x

ខ.គណ g x ។ ងហា ញថា 0g x ចប ោះតគ 1x នង 0x ។

26

ចបមលើយ

ក.

52

1

3f x

x

កណតបលើ

បយើងតាង 5 4 4

2 2 23 5 2 3 10 3u x x u x x x x x

42

2 10 62 2

10 31 10

3 3

x xu x xf x f x

u x u x x x

ែបចាោះ

62

10

3

xf x

x

ខ.

53

1 1

1g x

x x

កណតបលើ 1,0

បយើងតាង 2

3 6 4

1 3 3xh x h x

x x x

4

5 10 6

5 11 5

1 1 1

xk x k x

x x x

64

3 5

1g x h x k x

x x

'

64

3 5

1g x

x x

បលើ 1,0 បយើងបាន

4

30

x នង

6

50

1x

ែបចាោះ 0g x (ល កននពរចននអវជជមានោចខាត)

8. បគមានអនគមន f កណតបលើ បោយ 21f x x x x ។ សរាយ ភលថា ចប ោះតគ x ជា

ចននពត 0f x ។

ចបមលើយ

តគ x , 21f x x x x


2

21 1 1

2 1

xf x x x x

x

27

2

2 2

2 2

11 1 1

1 1

x x xxx x x x x

x x

2

2 2

2 2

11 1 1

1 1

x x xx x x x

x x

22

2

1

1

x xf x

x

ងហា ញថា តគ ចនពត x , 0f x

តគ x បលើ , 21 0x

តគ x បលើ , 2

21 0x x េដនា 21x x មនអាចបសមើ 0 បទ

ពបត ោះប ើ 21 0x x ប ោះបគបាន 21x x ែបចាោះបោយបលើកជាកាបរ េ 2 21x x ជាករណមនអាច។

វបាក 0f x

9.គណ បែរបវទ n ននអនគមន

ក. sinf x x ខ. cosg x x

ចបមលើយ

ក. sinf x x cos sin2

f x x x

sin sin sin 22

f x x x x

ែបចាោះបគអាចគតថា : sin2

nf x x n

P

តាមបគាលការណននវចារអនមាណរម :

P ពតចប ោះ 1n បយើងឧ មា P ពតចប ោះ n បយើងសរាយ ញញជ កថាពតចប ោះ 1n

28

1sin cos

2 2

n nf x f x x n x n

sin sin 12 2 2

x n x n

ែបចាោះ P ពតចប ោះ 1n ជាការសនាោា ន : ចប ោះតគ x នងចននគត 1n

បគបាន បែរបវទ n នន sinf x x គ sin2

nf x x n

ខ. គណ បែរបវទ n នន cosg x x

cosg x x sin cos2

g x x x

cos cos cos 22

g x x x x

ែបចាោះបយើងគតថា cos2

ng x x n

Q

តាមបគាលការណននវចារអនមាណរម :

Q ពតចប ោះ 1n បយើងឧ មាថា Q ពតចប ោះ n បយើងសរាយ ញញជ កថា Q ពតចប ោះ 1n

1cos sin

2 2

n ng x g x x n x n

cos cos 12 2 2

x n x n

ែបចាោះ Q ពតចប ោះ 1n ជាការសនាោា ន : ចប ោះតគ x នង ចននគត 1n

បគបាន បែរបវទ n នន cosg x x គ cos2

ng x x n

10. ប ើ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 1 កណតតពមទវននអនគមន 𝑓(𝑥) ដែល វាយកតនមល 4 ចប ោះ 𝑥 = 1 ។

តពមទវទបៅ 𝐹(𝑥) =𝑥4

4−

𝑥3

3+ 𝑥2 − 𝑥 + 𝑘

𝐹(1) = 4 =1

4−

1

3+ 1 − 1 + 𝑘 បយើងបាន 𝑘 =

49

12

29

ែបចាោះតពមទវតតកណតគ 𝐹(𝑥) = 𝑥4

4−

𝑥3

3+ 𝑥2 − 𝑥 +

49

12

11. រកតពមទវននអនគមនខាងបតកាម :

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2 ខ. 𝑓(𝑥) = 1

(𝑥−1)2 គ. 𝑓(𝑥) = 𝑥

√1+𝑥2

ចបមលើយ

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2 តពមទវនន 𝑥2 គ 𝑥

3

3 ; តពមទវនន 1

𝑥2 គ −1

𝑥

បយើងបានតពមទវនន 𝐹(𝑥) = 𝑥3

3−

1

𝑥+ 𝑘

ខ. 𝑓(𝑥) =1

(𝑥−1)2 𝑢(𝑥) = 𝑥 − 1 ⇒ 𝑢′(𝑥) = 1

𝑓(𝑥) = 𝑢′(𝑥)

(𝑢(𝑥))2 ែបចាោះ 𝐹(𝑥) = −

1

𝑢(𝑥)+ 𝑘 ឬ 𝐹(𝑥) = −

1

𝑥−1+ 𝑘

គ. 𝑓(𝑥) =𝑥

√1+𝑥2 បយើងតាង 𝑢(𝑥) = 1 + 𝑥2 ⇒ 𝑢′(𝑥) = 2𝑥

𝑓(𝑥) = 2𝑥

2√1+𝑥2=

𝑢′(𝑥)

2√𝑢(𝑥)

ែបចាោះ 𝐹(𝑥) = √1 + 𝑥2 + 𝑘

12. រកតពមទវននអនគមនខាងបតកាម :

ក. 𝑓(𝑥) = 2

3−𝑥 ខ. 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1

𝑥2+𝑥+1

គ. 1

lnf x

x x .

ln xf x

x

ចបមលើយ

ក. 𝑓(𝑥) = 2

3−𝑥 តាង 𝑢(𝑥) = 3 − 𝑥 នង 𝑢′(𝑥) = −1

𝑓(𝑥) = −2 × 𝑢′(𝑥)

𝑢(𝑥)

ែបចាោះ តពមទវ នន 𝑓(𝑥) គ 2ln 3F x x k

ចប ោះ 𝑥 ∈]3,+∞[ ; |3 − 𝑥| = 𝑥 − 3 បគអាចបាន 2ln 3F x x k

ខ.𝑓(𝑥) =2𝑥+1

𝑥2+𝑥+1 បយើងតាង 𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 នង 𝑢′(𝑥) = 2𝑥 + 1

30

𝑓(𝑥) = 𝑢′(𝑥)

𝑢(𝑥) ែបចាោះ តពមទវនន 𝑓(𝑥) គ 2ln 1F x x x k

ដតចប ោះតគ 𝑥 ∈ ℝ , 𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 ែបចាោះ 2ln 1F x x x k

គ. 1

lnf x

x x តាង lnu x x នង 𝑢′(𝑥) =

1

𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑢′(𝑥)

𝑢(𝑥) ែបចាោះ តពមទវនន 𝒇(𝒙) គ ln lnF x x k

𝑥 ∈]1,+∞[ , ln 0x ែបចាោះ ln lnF x x k

𝑥 ∈]0,1[ , ln 0x ែបចាោះ ln lnF x x k

. ln x

f xx

តាង lnu x x នង 𝑢′(𝑥) = 1𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑢′(𝑥)𝑢(𝑥) បយើងបាន 21

ln2

F x x k

13. គណ តពមទននអនគមនខាងបតកាម

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑒(−2𝑥−1) ខ. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)𝑒(𝑥2+𝑥) គ. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒(𝑥2+3)

ចបមលើយ

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑒(−2𝑥−1) តាង 𝑢(𝑥) = −2𝑥 − 1 នង 𝑢′(𝑥) = −2

𝑓(𝑥) = −1

2𝑢′(𝑥) ∙ 𝑒𝑢(𝑥) ែបចាោះ តពមទវនន 𝑓(𝑥) គ 𝐹(𝑥) = −

1

2𝑒(−2𝑥−1) + 𝑘

ខ. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)𝑒(𝑥2+𝑥) តាង 𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 នង 𝑢′(𝑥) = 2𝑥 + 1

បយើងបាន 𝑓(𝑥) = 𝑢′(𝑥) ∙ 𝑒𝑢(𝑥) ែបចាោះ តពមទវនន 𝑓(𝑥) គ 𝐹(𝑥) = 𝑒(𝑥2+𝑥) + 𝑘

គ. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒(𝑥2+3) តាង 𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 3 នង 𝑢′(𝑥) = 2𝑥

បយើងបាន 𝑓(𝑥) =1

2𝑢′(𝑥) ∙ 𝑒𝑢(𝑥) ែបចាោះ តពមទវនន 𝑓(𝑥) គ 𝐹(𝑥) =

1

2𝑒(𝑥2+3) + 𝑘

31

អខមតបោលកណត

I.មមម ៀៃសមខេប

អនគមន f មានតពមទវF បលើចប ល ោះ I នងa នងb ជាធាតរ ស I

ប ោះ b b

aaf x dx F x F b F a

0a

af x dx

អនគមន f មានតពមទវបលើ I នងa នងb ជាធាតរ ស I

ប ោះ b a

a bf x dx f x

អនគមន f មានតពមទវបលើ I ។ តគ , ,a b c ធាតរ ស I ( )a b c

b c c

a b af x dx f x dx f x dx

អនគមន f នង g មានតពមទវបលើ I ។ តគ ធាត ,a b រ ស I នងតគ នន

b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

b b

a af x dx f x dx

អនគមន f នង g ជាអនគមនជា បលើ I នងមានបែរបវ េបលើ I នង ,a bជាធាតរ ស I

b bb

aa af x g x dx f x g x f x g x dx


1.គណ អាងបតតកាលខាងបតកាម

ក. 1

3

01x dx ខ. 1

42

1dx

x

គ. 2

21

1dt

t

ចបមលើយ

ក. 1

41

3

00

1 51 1

4 4 4

xx dx x

ខ.1

1

4 322

1 1 1 1 7

3 3 24 24dx

x x

32

គ.2

2

2 211

1 1 1 11

2 2dt

t t


ក.4

2

1du

u ខ.

1

1e

dtt គ.

1

02 xe dx

ចបមលើយ

ក.44

2 2

12 4 2 2du u

u

ខ. 11

1ln 1

e edt t

t

គ. 1 1

002 2 2 1x xe dx e e


ក. 5

2

12 3I x x dx ខ. 3

21

2 1

1

xI dx

x x

គ.3

2

2I dx

x .

23

3

xI xe dx

ចបមលើយ

ក. 5

52 3 2

11

12 3 3

3I x x dx x x x

125 1 160

25 15 1 33 3 3

ខ. 3

21

2 1

1

xI dx

x x

តាង 2 1u x x x ឬ ' 2 1u x x


3 33 2

1 11ln | | ln | 1|

u xI dx u x x x

u x

3

2

1ln 1x x

(ពបត ោះ 2 1 0x x ចប ោះតគ x )

13ln13 ln3 ln

3I

33

គ. 33

2 2

24 4 3 2I dx x

x

. 2 2

33

9 9

33

1 1 10

2 2 2

x xI xe dx e e e

4. ក.កណតចននពត ,a b បែើមបបអាយ 1

2 2

x bf x a

x x

ខ. 2

1I f x dx

ចបមលើយ

ក. 1 2

2 2 2

x b ax a ba

x x x


2 1

a

a b

ឬ

1

1

a

b


12

f xx

ខ.គណ 2 2

1 1

11

2I f x dx dx

x

2 2 2 2

1 11 1ln | 2 |

2

dxdx x x

x

1 2ln 2 ln3 1 2ln 2 ln3

5.ក.កណតចននពត ,a b បែើមបបអាយ

2 2

2

11 1

x a bf x

xx x

ខ.គណ 0

1I f x dx

ចបមលើយ

2 2 2 2

12

11 1 1 1

a x b ax a bx a bf x

xx x x x

បោយត ែចបយើងបាន 1

2

a

a b

ឬ

1

1

a

b

ែបចាោះ

2

1 1

1 1f x

x x

34

ខ.គណ

0 0 0

21 1 1

1 1

1 1I f x dx dx dx

x x

00

11

1ln | 1|

1x

x

0

0

11

1 1 1ln 1 ln1 ln 2 1 ln 2

1 2 2x

x

6.បគបអាយអនគមន f កណតបលើ ] ,1[ បោយ

1

12

2

1

x

xf x ex

ក. v ជាអនគមនកណតបលើ ] ,1[ បោយ 1

1

x

xv x e

។ គណ v x ។

ខ.កណតតពមទវនន f បលើ ] ,1[

គ. ជាចននពតដែល 0 1 ; កណត g f x dx

.រកលមតនន g កាលណត ខតបៅរក 1

ចបមលើយ

ក. គណ v x

1 1 1

1 1 12 2

1 1 1 1 2

1 1

x x x

x x xx x

v x e v x e ex x

ខ.កណតតពមទវនន f បលើ ] ,1[


1

12

2

1

x

xv x e f xx

ឬ f x v x

ែបចាោះ v x ជាតពមទវមយនន f x បលើ ] ,1[ ពបត ោះ v x f x

គ. ] ,1[o កណត g f x dx v x

បយើងបាន [ ]g v v v v

1 1 1 1

1 1 1 1g e e e e

.គណ 1 1

1 1

1 1lim limg e e

35

. 1

1 0lim 0

1 2

ែបចាោះ

1

01

1 0lim lim 1X

Xe e e

. 1

lim 1 2

នង 1

1

lim 1 0


1

1lim

1

វបាក 1

1

1lim lim 0X

Xe e

. ែបចាោះ 1 1

1 1

1 1lim lim 1 0 1g e e


lim 1g

7.គណ អាងបតតកាលខាងបតកាម:

44

0sinI xdx

នង 44

0sin cosJ x xdx

ចបមលើយ

គណ អាងបតតកាល 44

0sinI xdx

2 2 1 cos2cos2 1 2sin sin

2

xx x x

24 21 1

sin 1 cos2 1 2cos2 cos 24 4

x x x x

បយើងែងថា 2cos4 2cos 2 1x x ែបចាោះ 2 1 cos4cos 2

2

xx

បយើងបាន 4 1 1 cos4 1 3 cos4sin 1 2cos2 2cos2

4 2 4 2 2

x xx x x

3 1 1cos2 cos4

8 2 8x x

44 4

0 0

3 1 1sin cos2 cos4

8 2 8I xdx x x dx

4 4 4

0 0 0

3 1 1cos2 cos4

8 2 8dx xdx xdx

4 4 4

0 0 0

3 sin 2 sin 4 3 1

8 4 32 32 4

x xx

គណ អាងបតតកាល 44

0sin cosJ x xdx

36

បយើងសបងាតប ើញថា 4sin cosx x ជាបែរបវននអនគមន 51sin

5f x x

5

44 54

00

1 1 2 2sin cos sin

5 5 2 40J x xdx x

8.បគមានអាងបតតកាល: 2 44

0sin cosI x xdx

នង 2 44

0cos sinJ x xdx

គណ I J ; I J ; I នង J ។

ចបមលើយ

2 4 2 4 2 4 2 44 4 4

0 0 0sin cos cos sin sin cos cos sinI J x xdx x xdx x x x x dx

2 2 2 2 2 24 4

0 0sin cos cos sin sin cosx x x x dx x xdx

4

24 4

0 00

1 1 1 1 1sin 2 1 cos4 sin 4

4 8 8 4 8 4 32xdx x dx x x

2 4 2 44 4

0 0sin cos cos sinI J x xdx x xdx

2 2 2 2 24 4

0 0

1sin cos cos sin sin 2 cos2

4x x x x dx x xdx

តាង 2sin 2 cos2f x x x មានតពមទវ 31sin 2

6F x x


0

1 1sin 2

24 24I J x

គណ I នង J

បោយ 32

1

24

I J

I J


64 48I

នង 1

64 48J

9. គណ អាងបតតកាលខាងបតកាម :

1

lne

I xdx ; 1

lne xJ dx

x ; 2 1

ln

e

ek dx

x x

ចបមលើយ

37

គណ 1

lne

I xdx

បត ើអាងបតតកាលបោយដាកបោយតាង

1

lnu x x u xx

; 1v x v x x

u x v x v x u x u x v x

1

ln lnx x x xx

1 1 1

1ln ln

e e e

I xdx x x dx xdxx

1 11

ln 1 1ee e

x x dx e x e e

1ln 1

e

I xdx

គណ 1

lne xJ dx

x បយើងកតសមាា លប ើញថា ln 1

lnx

xx x

តាង 1

lnf x x f xx

ែបចាោះ ln x

f x f xx

ដែលមានពមទវ

21

2F x f x

វបាក តពមទវនន ln x

x គ

21ln

2x

2

11

ln 1 1ln

2 2

ee x

J dx xx

គណ 2

ln

e

e

dxk

x x

បយើងកតសមាា លប ើញថា ln1

ln ln

x

x x x

តពមទវនន f

f

គអនគមន ln f ។ ែបចាោះ តពមទវននអនគមន 1

lnx x គ

អនគមន ln ln ln lnx x ប ើបយើងឧ មា 1x

2 2

ln ln ln ln 2 ln lnln

e e

ee

dxk x e e

x x

ln ln 2 ln 1 ln 2e

38

10.ក.រកតពមទវននអនគមន 3sinf x x ។

ខ.ទាញយក 32

0sinx xdx

(បោយបត ើអាងបតតកាលបោយដាក)

ចបមលើយ

ក. 3 2 1 cos2 1 1sin sin sin sin sin sin cos2

2 2 2

xx x x x x x x

1

sin cos sin sin2

a b a b a b


sin cos2 sin3 sin sin3 sin2 2

x x x x x x

3 1 1 3 1sin sin sin3 sin sin sin3

2 4 4 4x x x x x x

វបាក : តពមទវនន 3sinf x x គ 3 1

cos cos34 12

F x x x c

ខ.បយើងតាង 32

0sinJ x xdx

បយើងបត ើអាងបតតកាលបោយដាក

1u x x u x

3 3 1 3 1sin sin sin3 cos cos3

4 4 4 12v x x x x v x x x

3 3 1sin cos cos3

4 12u x v x u x v x u x v x x x x x

2

32 2

0 00

3 1 3 1sin cos cos3 cos cos3

4 12 4 12J x xdx x x x x x dx

2 2

0 0

3 1cos cos3

4 12xdx xdx

2 20 0

3 1 3 1 28 7sin sin3

4 36 4 36 36 9x x

39

សកាអមេ ភាែ ៃខ សខសសែមោខ

I.សមខេបមមម ៀៃ 1.អនគមនសនទាន

ក.អនគមន 2ax bx c

ypx q

ដែល 0, 0p a នង 2

0 0 0ax bx c ចប ោះ 0

qx

p

រកដែនកណត qD

p

ទសបៅអបេរភាព

- គណ បែរបវ

2

2

2apx aqx bq cpy

px q

- ប ើ 0y មានឬសពរខសគាា ប ោះអនគមនមានអត រមាបធៀ មយនងអ ប រមាបធៀ មយ ។

- ប ើ 0y គាម នឬសប ោះអនគមនគាម ន រមាបទ ។

- ប ើ 0y មានឬសឌ ប ោះអនគមនគាម ន រមាបទ ។

អាសមតត : ទ តដែលមានសមការ qx

p ជាអាសមតតឈរ ។

- ប ើ ky mx n

px q

ប ោះ ទ ត y mx n ជាអាសមតតបតទត ។

- តកា ជាអដព លដែលចតឆលោះជាចណចត សពវរវាងអាសមតតទាងពរ ។

ខ.អនគមន 2

2

ax bx cy

px qx r

ដែល , ,a b c ខសពសនយ នង 0p

អនគមនមានលកខណោះមយចននែចខាងបតកាម :

តគ តកា តាងអនគមនបនោះមានអាសមតតបែកមយជាមយជានចច ។ ចននអាសមតតឈរគអាសរសយចននឬសរ សសមការ 2 0px qx r ។ ប ើ 2 4 0q pr គាម នអាសមតតឈរបទ នងតកា មានដមកដតមយ ។

ប ើ 2 4 0q pr មានអាសមតតឈរមយ 2

qx

p នង តកា មានដមកពរោចគាា ។

ប ើ 2 4 0q pr មានអាសមតតឈរពរ 2

qx

p

នង តកា មានដមក ោចគាា ។

2.អនគមនអចសបណងដសយល

40

បគាល e : បគាល e ដែលបគបត ើមានតនមល 2.718281e ។ អនគមនអចសបណងដសយលបគាលe ចប ោះតគ ចននពត x អនគមន f កណតបោយ xf x e បៅថាអនគមនអចសបណងដសយលបគាល e ។

បែរបវ : xy e បយើងបាន x xy e e

u xy e បយើងបាន u x u x

y e u x e

រ មនាការតបាកសមាស : 1

nt

rA p

p

ដែល p ជាតបាកបែើម r អតតាការតបាកត ចាឆា n ជា

ចននែងននការទទាតការតបាកកាងមយឆា បហើយ A ជាចននតបាកសរ កាងរយោះបពល t ឆា ។ ប ើចននែងននការទទាតបតចើនអននា ឬ ការទទាតជា នា ទ ប ោះរ មនាននការតបាកសមាសកណតបោយ rtA pe ដែលកាងប ោះ A ជាតបាកសរ p ជាតបាកបែើម r ជាអតតាការតបាកសមាស នង t ជាចននឆា ោកតបាក ។

3.អនគមនបោការត

បោការត : បោការតបនដពននចននវជជមាន k គជានទសសនា x នន xe ដែល xe k បគកណតសរបសរ lnx k បហើយ lnx k សមមល xe k ។

អនកមនបោការត : ប ើ 0x អនគមនបោការតបនដពនន x កណតបោយ lny x ។

លមត : ប ើ 0, 0n x ប ោះ 0

lim lnx

x

; lnlim 0

nx

x

x

បែរបវ : ប ើ lnf x x ប ោះ 1

f xx

ដែល 0x ។

ប ើ lng x u x ប ោះ

u xg x

u x

ដែល 0u x ។


1.សកាអបេរភាពនងសងតកា ននអនគមន f ដែល 4

2 3

xf x

x

ចបមលើយ

ដែនកណតរ សអនគមន f បយើងតាង 3

2D

ពបត ោះ 3

2 3 02

x x

4 41 14 1

lim lim lim332 3 2

22x x x

xx x x

xx

xx

41

4 41 14 1

lim lim lim332 3 2

22x x x

xx x x

xx

xx

បយើងប ើញថា :

1 11

2 2 2 3f x

x

ែបចាោះ {

អ ើ 𝑥 >3

2 អនោះ 𝑓(𝑥) >

1

2

អ ើ 𝑥 <3

2 អនោះ 𝑓(𝑥) <

1

2

3 3

2 2

4lim lim

2 3x x

xf x

x

(

3

2

3 11lim 4 4

2 2x

x

នង 3

2

lim 2 3 0x

x

)

3 3

2 2

4lim lim

2 3x x

xf x

x

(

3

2

3 11lim 4 4

2 2x

x

នង 3

2

lim 2 3 0x

x

)

បយើងកតសគាលប ើញថាតាមលមតខាងបលើ ទ តដែលមានសមការ 3

2x ជាអាសមតតឈរ នង

1

2y ជាអាសមតតបែក ។

អបេរភាព : 4

2 3

xf x

x


2

11

2 3f x

x

បអាយបយើងបានតគ

3

; 02

x D f x

ែបចាោះ អនគមន f ជាអនគមនចោះបលើ D ។

តារាងអបេរភាព : x 3

2

f x f x

1

2

1

2

សងតកា នន f x បយើងសងអាសមតតឈរ

មានសមការ 3

2x នង អាសមតតបែក

1

2y , បយើងបៅចណច

: 4, 0A x y : 1, 5C x y 4

: 0,3

B x y : 2, 6D x y

42


2

2 7 5

5 7

x xf x

x x

ចបមលើយ

ដែនកណតននអនគមន f : សមការ 2 5 7 0x x មាន 25 4 7 3 0 ពមានឬសបទ ។ ែបចាោះ ដែនកណតនន f គ D ។

2

2 2 2

22

2 2

7 5 7 52 2

2 7 5lim lim lim lim 2

5 7 5 75 71 1

x x x x

xx x x x x x

f xx x

xx x x x

lim 2x

f x

ែបចាោះ ទ ត ដែលមានសមការ 2y ជាអាសមតតបែកននតកា រ សអនគមន f ។

អបេរភាព : 2

2

2 7 5

5 7

x xf x

x x

បត ើ

2

u u v uvy y

v v


2

22

3 6 8

5 7

x xf x

x x

បយើងសកាសញញា នន f x :

20 6 8 0f x x x បយើងបាន ' 4x នង " 2x នង 2 1, 4 3f f 0f x បៅចប ល ោះ ]2,4[ ; ' 0f x កាលណត 2x ឬ 4x

តារាងអបេរភាព x 2 4 f x 0 0 f x

2 3

1 2 ទតាងតកា c ននអនគមន f នង ។ បយើងបត ៀ បធៀ f x នង 2 ។ បយើងបាន

2

3 92

5 7

xf x

x x

វបាក :

ចប ោះ 2

3 93, 0

5 7

xx

x x

ែបចាោះ 2f x នង តកា c បៅពបលើអាសមតត ។

ចប ោះ 3, 2x f x តកា c កាតអាសមតត តតងចណច 3,2 ។

43

ចប ោះ 2

3 93, 0

5 7

xx

x x

តកា c បៅខាងបតកាមអាសមតត ។

តកា c កាត : 0x ox f x

បយើងបាន 1x ឬ 5

2x

បគអាចបត ើ 1 1f នង

54

2f

សងតកា នន f x


2

1

3 2

xf x

x x

។

ចបមលើយ

ដែនកណតននអនគមន f : សមការ 2 3 2 0x x មានឬស ' 1x ឬ " 2x ែបចាោះដែនកណត D នន f គ

1,2D ។ lim 1

xf x

នង lim 1

xf x

ទ ត ដែលមានសមការ 1y ជាអាសមតតបែកននតកា

c រ ស f ។ 2

1lim 1 2x

x

នង 2

1lim 3 2 0x

x x

បយើងបាន 2 3 2 0x x កាលណត ]1,2[x 2 3 2 0x x កាលណត ] ,1[ ]2, [x

បយើងបាន 1 1

lim , limx x

f x f x

2 2

lim , limx x

f x f x

បយើងបាន ទ តដែលមានសមការ 1x នង 2x ជាអាសមតតឈរននតកា c ។

អបេរភាព :

2

2

1

3 2

xf x

x x

មានរាង u

yv

បយើងបត ើរ មនា 2

u v uvy

v


2

22

3 2 3

3 2

x xf x

x x

1 10

03

f x x

ឬ 1 10

3x

44

0f x ចប ោះ 1 10 1 10

3 3x

0f x ចប ោះ 1 10

3x

ឬ 1 10

3x

1 106 2 10

3f

នង 1 106 2 10

3f

x 1 10

3

1 1 10

3

2

f x 0 0 f x 1

6 2 10

6 2 10

1 សងតកា នន f x តកា c នន f x បានមកពការកណតចណចនងបមគណតបា ទសនន ទ ត េោះ ។ តតងចណច

10,

2A x y


04

f ។ ទតាងននតកា c បធៀ នង ទ ត ដែលមានសម

ការ 1y បយើងបាន 2

3 11

3 2

xf x

x x

វបាក :

ចប ោះ 1 13

x ឬ ចប ោះ

2 x បយើងបាន 1 0f x ឬ 1f x តកា c បៅបលើ ទ ត ។

ចប ោះ 1

, 13

x f x

c នង មានចណចរម

ចប ោះ 1

3x ឬ 1 2x , 1 0f x ឬ 1f x

បយើងបានតកា c បៅពតកាម

4.បគមានអនគមន f ដែល 22 2

1

x xf x

x

ក.កណតចននពត , ,a b c ដែល , 1

cf x ax b

x

។

ខ.ទាញ ងហា ញថា ទ ត ដែលមានសមការ 2 1y x ជាអាសមតតននតកា c តាងអនគមន f

45

តតង នង តតង ។

គ.សកាទតាងនន នង c ។

.សកាអបេរភាព នង សងតកា ននអនគមន f ។

ចបមលើយ

ក.កណតចននពត , ,a b c ដែល 1

cf x ax b

x

2

1

ax b a x b cf x

x

2 2

1 11

2 1

a ac

f x ax b b a bx

b c c

ខ.តាមចបមលើយ (ក) បយើងបាន 1

2 11

f x xx


12 1

1f x x

x

1lim 0

1x x

នង 1

lim 01x x

ែបចាោះ lim 2 1 0

xf x x

នង

lim 2 1 0x

f x x

ែបចាោះ ទ ត ដែលមានសមការ 2 1y x ជាអាសមតតបតទតនន

តកា c តាងអនគមន f ។

គ.សកាទតាង នង c : 1

2 11

f x xx

ចប ោះ ] , 1[x បយើងបាន 10

1x

វបាក c បៅពបលើ

ចប ោះ ] 1, [x បយើងបាន 10

1x

វបាក c បៅពបតកាម

.សកាអបេរភាព នង សងតកា ននអនគមន 22 2

1

x xf x

x

ដែនកណត 1D ទសបៅអបេរភាព

បែរបវ

2

2

2 4 3

1

x xf x

x

x D , 22 4 3 0x x នង

21 0x ។

វបាក : 0f x តគ x D

46

1

lim lim 2 11x x

f x xx

,

1lim lim 2 1

1x xf x x

x

1 1

1lim lim 2 1

1x xf x x

x

,

1 1

1lim lim 2 1

1x xf x x

x

តារាងអបេរភាព

x 1 f x f x

សណងតកា សងអាសមតត ដែល មានសមការ 2 1y x បយើងបៅចណចដែលតកា c កាត y oy គ

0, 2, 0 3x y f បយើងបៅចណចដែលតកា c កាត 'x ox គ 22 2 0x x

' 1 17; 0

4x y

ឬ " 1 17

; 04

x y

2; 4x y

5.បគមានអនគមន f កណតបោយ 3 1

ln1

xf x

x

។ សកាអបេរភាពនងសងតកា ននអនគមន f x ។

ចបមលើយ

ដែនកណតននអនគមន f : 3 1ln

1

x

x

មាននយលោះតតាដត 3 1

01

x

x

x 1

3 1

3 1x 0 1x 0

3 1

1

x

x

0

ែបចាោះ 1] , [ ]1, [

3D

47

ទសបៅអបេរភាព

3 1

ln ln1

xf x u x

x

,

2

3 1 4

1 1

xu x u x

x x


2

4

1 4

3 1 3 1 1

1

u x xf x

xu x x x

x

បយើងប ើញបៅបលើ 1] , [ ]1, [

3D , 0f x ប ោះ f x ជាអនគមនចោះបលើ D ។

3 1lim 3

1x

x

x

នង 3 1

lim 31x

x

x

3 1lim ln ln3

1x

x

x

បយើងបាន ដែលមានសមការ ln3y ជាអាសមតតបែក

1 1

3 1 3 1lim lim ln

1 1x x

x x

x x

,

1 1

3 3

3 1 3 1lim 0 lim ln

1 1x x

x x

x x

ទ តដែលមានសមការ 1x នង 1

3x ជាអាសមតតឈរ ។

តារាងអបេរភាព x 1

3 1

f x f x ln3

ln3

សណងតកា

3 1

0 ln 01

xf x

x

ឬ 3 11 1

1

xx

x

6.បគមានអនគមន g កណតបលើ ] 3,3[

បោយ 3

ln3

xg x

x

ក.សកាភាពគ នង បសសននអនគមន g

ខ.a.គណ លមតនន g តតង 3 នង 3

b.សកាអបេរភាពនន g បលើ [0,3[ រចសងតារាងអបេរភាពបលើ ] 3,3[

48

គ.បលើតរយអរតណរបមបគមាន c ជាតកា ននអនគមន g កាងតរយបនោះ ។

a.កណតសមការ ទ ត េោះ T បៅនងតកា c តតងចណច o ។

b.សងតកា c នង ទ ត េោះ T កាងតរយបនោះ ។

.សកាសញញា នន g x បៅតាមតនមលនន x ។

ង.a. គណ បែរបវននអនគមន h x xg x ។

b.គណ 1

0g x dx ។

ចបមលើយ :អនគមន g កណតបលើ ] 3, 3[ បោយ 3

ln3

xg x

x

ក.សកាភាពគ នង បសសននអនគមន g

ប ើ ] 3, 3[ , 3

3

x

x

វជជមាន , ប ើ ] 3, 3[x ប ោះ x បៅបលើ ] 3, 3[

បយើងគណ 3 1 3

ln ln ln33 3

3

x xg x g x

xx x

x

ចប ោះតគ ] 3, 3[x ; g x g x ែបចាោះ gជាអនគមនបសស

ខ.a.គណ លមតនន g តតង 3 នងតតង 3

3 3

3 3lim limln

3 3x x

x x

x x

ទ តដែលមានសមការ 3x ជាអាសមតតឈរននតកា c

3 3

3 3lim 0 lim ln

3 3x x

x x

x x

ទ តដែលមានសមការ 3x ជាអាសមតតឈរននតកា c

b.សកាអបេរភាពនន g x បលើ [0, 3[

3

3

xx

x

មានបែរបវបលើ ] 3, 3[ ែបចាោះ

3ln

3

xg x

x

មានបែរបវបលើ ] 3, 3[

តាង

2

3 6

3 3

xu x u x

x x

2

6

3 6

3 3 3

3

u x xg x

xu x x x

x

49

បយើងប ើញថា 3 3x x វជជមានបលើ ] 3, 3[

ែបចាោះ g x វជជមានបលើ ] 3, 3[ នង g បកើនបលើ ] 3, 3[

តារាងអបេរភាព

គ.a.កណតសមការ ទ ត េោះ T បៅនងតកា c តតង o ។


09 3

g

សមការ ទ ត េោះ T គ

0 0 0y g x g

ឬ 2

3y x

b.សងតកា c នង ទ ត េោះ T

. សកាសញញា នន g x បៅតាមតនមលនន 3; 3x

បយើងប ើញថា g ជាអនគមបកើនបលើ 3; 3 នង 0 0g

ចប ោះ 0, 0 0x g x g , ចប ោះ 0; 0 0x g x g

ង.a. គណ បែរបវនសអនគម .h x x g x

3 6ln

3 3 3

x xh x g x xg x

x x x

ែបចាោះ

3 6ln

3 3 3

x xh x

x x x

b.គណ 1 1

0 0

3ln

3

xI g x dx dx

x

បយើងបត ើលទធ លខាងបលើបយើងបានតពមទវនន

3 6ln

3 3 3

x x

x x x

គអនគម 3

ln3

xx

x

x 3 3 g x g x

50

1 1 1

0 0 0

3 6 6ln

3 3 3 3 3

x x xg x dx dx dx

x x x x x

11 1

0 00

6

3 3

xg x dx xg x dx

x x

11 1

2

20 0 0

6 2 83 3 ln 9 3ln

3 3 9 9

x xdx x

x x x

1

0

8 81 3ln ln 2 3ln

9 9g x dx g ។

7. កាង លងត ោ បោយតរយអរតណរបម , ,o i j ; (ឯកតា:2cm) ។

បគមានអនគម f នង g កណតបលើសណចននពត បោយ:

xf x x e នង 1 xg x x e នងបគតាង c នង c តកា ននអនគម f នង g បនោះ។

ក.a.កណតលមតននអនគម f នង g តតង នង ។

b. ងហា ញថា ទ ត ដែលមានសមការ y x ជាអាសមតតននតកា c ។

c.សកាអបេរភាពននអនគមន f នង ននអនគមន g បលើ ។

d.សងតារាងអបេរភាពននអនគមន f នង ននអនគមន g ។

ខ.ចប ោះតគ ចននពត x បគតាង h x f x g x

a. ងហា ញថាតគ ចននពត x , 1h x g x ។

b.ទាញយកទសបៅអបេរភាពននអនគមន h បលើសណចននពត ។

c.សរាយ ញញជ កថាតកា c នង c មានចណចត សពវដតមយគតដែលមានអា សសរ សវាតាងបោយ

បៅបលើចប ល ោះ [1,2] ។ ចរកណតតនមលអមនន amplitude 110 ។

d.សកាបៅតាមតនមលនន x ទតាងបធៀ គាា រវាង c នង c ។

គ.សង ទ ត នងតកា c នង c ។

.ចប ោះតគ ចននពត x បគតាង 0

x

x h t dt

a.បត ើអាបតតកាលបោយដាកគណ x ។

b.ទាញយកជារាងកបនាមសនទាននន នទតកឡាជា 2cm ននដែនដែលអមបោយតកា c នង c ,

51

អកសអរបោបណ នង ទ តដែលមានសមការ x ។

ចបមលើយ:

បគមានអនគម f នង g កណតបលើ បោយ xf x x e នង 1 ;xg x x e c នង

c ជាតកា តាងអនគមទាងពរបនោះ។

ក.a.កណតលមត f តតង នង

តតង

1 ;x

x ef x x e x

x

បយើងែងថា lim

x

x

e

x , lim 1

x

x

e

x

នង limx

x

, ែបចាោះ lim 1x

x

ex

x

នង lim

xf x

តតង lim 0x

xe

ប ោះបយើងបាន lim x

xx e

នង lim

xf x

កណតលមតនន g តតង នង តតង

lim 1 ; lim x

x xx e

ប ោះបយើងបាន lim 1 x

xx e

limx

g x

តតង

lim 0x

xe

នង lim 0x

xxe

, x xg x e xe ប ោះបយើងបាន lim 0

xg x

ទ ត x ox ដែលមានសមការ 0y ជាអាសមតតនន c ។

b. ងហា ញថា ទ ត ដែលមានសមការ y x ជាអាសមតតននតកា c ។

បយើងសកាលមតនន f x x ។ xf x x e បយើងបាន lim 0x

f x x

ទ តដែល

មានសមការ y x ជាអាសមតតននតកា c តតង ។

c.សកាអបេរភាពននអនគមន f

xf x x e បយើងបាន 1 xf x e -ចប ោះ 0x , 0f x -ចប ោះ 0x , xe ធជាង 1 , ែបចាោះ f x អវជជមានោចខាត នង f ជាអនគមនចោះោចខាតបៅបលើ ]0, [ ។ -ចប ោះ 0x , xe តចជាង 1 , ែបចាោះ f x វជជមានោចខាត នង f ជាអនគមនបកើនបៅបលើ ] ,0[ ។

52

សកាអបេរភាពននអនគមន g 1 xg x x e បយើងបាន 1x x xg x e x e xe , g x មានសញញា ែច x

-ចប ោះ 0x , 0g x -ចប ោះ 0x , 0x , ែបចាោះ g x អវជជមានោចខាតនង g ជាអនគមនចោះោចខាតបលើ ]0, [ ។ -ចប ោះ 0x , 0x , ែបចាោះ g x វជជមានោចខាតនង gជាអនគមនបកើនោចខាតបលើ ] ,0[ ។

d.តារាងអបេរភាពនន f នង g

ខ.ចប ោះតគ ចននពត x បគបាន h x f x g x

a. ងហា ញថាតគ ចននពត x , 1h x g x

បយើងបាន 1 1 1 1x x xh x f x g x e xe e x g x

ចប ោះតគ x , 1h x g x

b.ទាញយកទសបៅអបេរភាពនន h បលើ

បយើងប ើញបៅចបមលើយខាងបលើ g មានអត រមាតតង 1x ែបចាោះតគ *x , 1g x បយើងទាញ

បានតគ *x , 1 g x វជជមានោចខាតនងសនយតតង 0x , h ជាអនគមនបកើនោចខាតបលើ ។

c.សរាយ ញញជ កថាតកា c នង c មានចនចត សពវដតមយ ។

បែើមបរកចណចត សពវនន c នង c បយើងរកចននននឬសរ សសមការ

0f x g x f x g x ឬ 0h x ។ បយើងសកាលមតនន h តតង នង

បែើមបរកចបមលើយននសមការ 0h x ។

តតង

2x x x x

x

xh x f x g x x e e xe e x

e

x 0 f x 0 f x

1

x 0 g x 0 g x

1 0

53

lim 0xx

x

e , lim 2

xx

នង lim x

xe

, ែបចាោះ lim

xh x

តតង lim

xf x

នង lim 0

xg x

បយើងបាន lim

xf x g x

ែបចាោះ limx

h x

នង limx

h x

h ជាអនគមនមានបែរបវបលើ នង បកើនោចខាតបលើ នង h ។ បយើងទាញបាន hជាអនវតានមយទលមយព បៅកាង ។ 0 ជាធាតមយនន ែបចាោះវាមាន ដតមយគតនន ដែល 0h ។ សមការ 0h x មានឬសដតមយគតគ ។ តកា c នង c មានចណចត សពវដតមយគតដែលមានអា សស ។ បទៀងផទទ តថា [1,2] ។ បយើងគណ : 1 1 1 1 1.71h f g e , 2 22 2 2 2 2h f g e e បយើងបាន 1 0 2h h h , h ជាអនគមនបកើនបលើ បយើងទាញបាន 1 2 ឬ

[1,2] ។ សកាតនមលអមនន ដែលមាន amplitude 110 : 1.6 0.3h , 1.7 0.05h 1.6 0 1.7h h ែបចាោះ 1.6 1.7 ។

d.សកាបៅតាមតនមលនន x ទតាងបធៀ គាា រវាង c នង c ។

បយើងតតវសកាសញញា នន f x g x ែបចាោះគសញញា នន h x ។ h ជាអនគមនបកើនបលើ នង

0h , តគ x , 0h x នងតគ x , 0h x ។

ែបចាោះបយើងអាចសនាោា នបានថា :

ចប ោះ , 0x f x g x ែបចាោះ តកា c បៅបតកាម c ។ ចប ោះ , 0x f x g x ែបចាោះ តកា c បៅបលើ c ។

គ.សង ទ ត នងតកា c នង c

.ចប ោះតគ ចននពត x បគតាង 0

x

x h t dt

a.គណ x

0 0

x xt t tx h t dt t e e te dt

0 0 0 0

2 2x t x x

t t t tt e te dt tdt e dt te dt

54


0 0 00

2 2 12 2

xx xx

t t x tt xx e te dt e te dt

0

xtI te dt តាង 1u t t u t , t tv t e v t e

0 00

1xx x

t t x t x xI te e dt xe e xe e

2 2

2 1 1 3 12 2

x x x x xx xx e xe e xe e

ចប ោះតគ x , 2

3 12

x xxx xe e

b.គណ ជា 2cm នទតកឡាននដែនដែលអមបោយ c នង c , អកសអរបោបណនង ទ តដែលមាន

សមការ x ។ ឯកតា 2cm ែបចាោះឯកតាតកឡានទគ 24cm ។ បៅបលើ [0, ] បយើងប ើញតកា

c បៅបតកាម c ។ នទតកឡាដែលតតវរកគ 0

S g x f x dx

ឯកតានទតកឡា។

2

04S f x g x dx cm

2

2 24 4 3 32

S cm e e cm

បយើងចងបានកបនាមសនទាននន បយើងតតវ បាត e ដែល បទៀងផទទ ត f g

ែបចាោះ 1e e ឬ 22

e e

(ពបត ោះ 2 )

2 2

2 234 3 3 4 3

2 2 2 2S cm cm

3 22 4 2 12

2S

55

ចៃៃកផលច

I. មមម ៀៃសមខេប ក.ចននកលចកាងទតមងពជគណត

-ចននកលច 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 បៅថាទតមងពជគណតននចននក លច។

𝒂 បៅថាដាកពត បហើយ 𝒃 បៅថាដាកនមតា ដែល 𝒂 នង 𝒃 ជាចននពត នង 𝒊𝟐 = −𝟏 ។

-ប ើ 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑖𝑏1 នង 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑖𝑏2 ប ោះបគបាន

𝑧1 = 𝑧2 ⇔ (𝑎1 = 𝑎2) នង (𝑏1 = 𝑏2) 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎1 + 𝑎2) + 𝑖(𝑏1 + 𝑏2) 𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎1 − 𝑎2) + 𝑖(𝑏1 − 𝑏2) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2) + 𝑖(𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) -ចននកលចឆល សននចននកលច 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 តាងបោយ 𝑧 = 𝑎 − 𝑖𝑏

-ចននកលចទយននចននកលច 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 តាងបោយ −𝑧 = −𝑎 − 𝑖𝑏

ចននក លចកាង លងក លច z a ib តាងបោយចណច M មានកអរបោបន ,a b កាងតតមយ

អរតណរបម xoy ។ ចប ោះ z a ib អាចតាងបោយវចទរ ,OM a b បគថា OM ជាវចទររ

ភាពននចននកលច z a ib ។ ចណចកាងតតមយតាងចននកលច លងដែលត ោ បោយតតមយបនោះបៅ

ថា លងកលច។ អកស x ox ជាអកសដាកពត បហើយអកស y oy បៅថាអកសដាកនមតា ។ ល កនន

ចននកលចមានរ ភាពជាល កវចទរកាង លងកលច ។

ខ.ចននក លចកាងទតមងតតបកាណមាតត

-ប ើបគមានចននក លច 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ប ោះមេឌលនន 𝑧 តាងបោយ

𝑟 = |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 -ប ើ 𝑧 ជាចននកលចប ោះ |𝑧| = |𝑧| = |−𝑧|

-ប ើ 𝑧1 នង 𝑧2 ជាចននកលចប ោះបគបាន |𝑧1 ∙ 𝑧2| = |𝑧1| ∙ |𝑧2|

|𝑧1

𝑧2| =

|𝑧1|

|𝑧2| ; |𝑧1 + 𝑧2| ≤ |𝑧1| + |𝑧2|

-វចទរ 𝑂𝑀 ជារ ភាពននចននកលច 𝑧 តាង 𝜑 ជាមតច តនន (𝑂𝑥 , 𝑂𝑀 )

56

𝜑 បៅថាអាគយមេងននចននកលច 𝑧 ។ បែើមបគណ ម 𝜑 បយើងតតវបោោះ

សរាយត ពនធសមការ :

{cos𝜑 =

𝑎

√𝑎2+𝑏2=

𝑎

𝑟

sin𝜑 =𝑏

√𝑎2+𝑏2=

𝑏

𝑟

𝑧 = 𝑟(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑) បៅថាទតមងតតបកាណមាតតននចននកលច 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏

-ប ើ 𝑧1 = 𝑟1(cos𝜑1 + 𝑖 sin𝜑1) នង 𝑧2 = 𝑟2(cos𝜑2 + 𝑖 sin𝜑2) ប ោះបគបាន

𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2[cos(𝜑1 + 𝜑2) + 𝑖 sin(𝜑1 + 𝜑2)] 𝑧1

𝑧2=

𝑟1

𝑟2[cos(𝜑1 − 𝜑2) + 𝑖 sin(𝜑1 − 𝜑2)]

𝑧𝑛 = [𝑟(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑)]𝑛 = 𝑟𝑛[cos(𝑛𝜑) + 𝑖 sin(𝑛𝜑)] ; 𝑛 ជាចននគតរឡាទ

ដលងវលជវញគលតតមយនន លងកលចជាទបៅមានចននកលច cos sinz i

ប ើ M z ជារ ភាពនន M z តាម ដលងវលចត o ( o ជាគលតតមយ) នងម ប ោះ

cos sinz i z ។

គ.សវយគណ n នង ឬសទ n ននចននកលច

(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑)𝑛 = cos(𝑛𝜑) + 𝑖 sin(𝑛𝜑) (តទសា ទែមរ)(Moivre)

-ប ើ 𝑧 = 𝑟(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑) ជាចននកលចមនសនយ បហើយ 𝒏 ជាចននគតវជជមាន

ប ោះ 𝑧 មាន 𝑛 ឬសទ 𝑛 គ 𝑤0, 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛−1 កណតបោយ :

2 2cos sinn

k

k kw r i

n n

ដែល 0,1,2, , 1k n

. អនវតានចននកលចកាងធរណមាតត

-ជាទបៅ ប ើ 1A z នង 2B z ជារ ភាពននចននកលច 1z នង 2z ប ោះចមាា យ

2 1 1 2AB z z z z ។

-ជាទបៅ ប ើបគមាន 1z នង 2z ជាចននកលចដែលមានរ ភាពបរៀងគាា 1A z នង 2B z បហើយ

ចណច P z ជារ ភាពននចននក លច z ដែល P សថតបៅបលើ AB បហើយដចក AB តាមលបធៀ

:m n ប ោះបគបាន 1 2

1

z zz

ដែល m

n ។

57

- ជាទបៅ ប ើ A z , 1B z នង 2C z បងកើតបានតតបកាណ ABC ប ោះបគបាន

2

1

z zAC

AB z z

បហើយ 2

1

argz z

BACz z

II.លហាតគ កណតសគាល : អាកសកាតតវខត ងបោោះសរាយលហាតបោយខលនឯង ចដណកចបមលើយសតមា ដតបទៀងផទទ ត

បពលបោោះសរាយលហាតច ។

1.គណ 𝑧1 + 𝑧2 , 𝑧1 − 𝑧2 , 𝑧1𝑧2 នង 𝑧1

𝑧2

ក. 𝑧1 − 3 ; 𝑧2 = 2 − 𝑖 ខ. 𝑧1 = √3 + 𝑖√2 ; 𝑧2 = −𝑖√2

គ. 𝑧1 = 2 − 𝑖√3 ; 𝑧2 = 2 + 𝑖√3

ចបមលើយ

ក. 𝑧1 + 𝑧2 = −1 − 𝑖 𝑧1 − 𝑧2 = −3 − (2 − 𝑖) = −3 − 2 + 𝑖 = −5 + 𝑖

𝑧1𝑧2 = −3(2 − 𝑖) = −6 + 𝑖3

𝑧1

𝑧2 = −3

2−𝑖 = −3(2+𝑖)

4−𝑖2 = −3(2+𝑖)

4+1 = −3

5 (2 + 𝑖) = − 6

5− 𝑖

3

5

ខ. 𝑧1 = √3 + 𝑖√2 ; 𝑧2 = −𝑖√2 𝑧1 + 𝑧2 = (√3 + 𝑖√2) + (−𝑖√2) = √3 𝑧1 − 𝑧2 = (√3 + 𝑖√2)— 𝑖√2 = √3 + 𝑖√2 + 𝑖√2 = √3 + 𝑖2√2 𝑧1𝑧2 = (√3 + 𝑖√2)(−𝑖√2) = (√3)(−𝑖√2) + (𝑖√2)(−𝑖√2) = −𝑖√6 − 𝑖2(√2)

2= 2 − 𝑖√6

𝑧1

𝑧2 = (√3+𝑖√2)

(−𝑖√2) = (√3+𝑖√2)(−𝑖√2)

(−𝑖√2) = −𝑖√6+(𝑖√2)(−𝑖√2)

2𝑖2

= (−𝑖√6+2)

−2= −1 + 𝑖

√6

2

គ. 𝑧1 = 2 − 𝑖√3 , 𝑧2 = 2 + 𝑖√3 𝑧1 + 𝑧2 = (2 − 𝑖√3) + (2 + 𝑖√3) = 4 𝑧1 − 𝑧2 = (2 − 𝑖√3) − (2 + 𝑖√3) = −𝑖2√3

58

𝑧1𝑧2 = (2 − 𝑖√3)(2 + 𝑖√3) = 4 − 𝑖2(√3)2 = 4 + 3 = 7

𝑧1

𝑧2 = (2−𝑖√3)

(2+𝑖√3) = (2−𝑖√3)(2−𝑖√3)

(2+𝑖√3)(2−𝑖√3) = 4−2×2(𝑖√3)+(𝑖√3)

2

7 = 4−𝑖4√3−3

7

= 1−𝑖4√3

7 = 1

7− 𝑖

4√3

7

2.សរបសរចននកលចខាងបតកាមជាទតមងពជគណត 𝑎 + 𝑖𝑏

ក. 𝑧 = √2+𝑖√2

√2−𝑖√2 ខ. 𝑧 = (3 + 𝑖)(5 − 2𝑖)

គ. 𝑧 = (4 − 7𝑖)3 . 𝑧 =6−7𝑖

1+𝑖

ចបមលើយ

ក. 𝑧 = √2+𝑖√2

√2−𝑖√2 = (√2+𝑖√2)(√2+𝑖√2)

(√2−𝑖√2)(√2+𝑖√2) = 2+𝑖4−2

2+2 = 𝑖

ខ. 𝑧 = (3 + 𝑖)(5 − 2𝑖) = 15 − 6𝑖 + 5𝑖 − 2𝑖2 = 17 − 𝑖

គ. 𝑧 = (4 − 7𝑖)3

បយើងបត ើឯកលកខណោះភាព (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 𝑧 = (4 − 7𝑖)3 = 43 − 3 × 42 × 7𝑖 + 3 × 4 × (7𝑖)2 − (7𝑖)3 = 64 − 336𝑖 − 588 + 343𝑖 បយើងបាន 𝑧 = −524 + 7𝑖

. 𝑧 = 6−7𝑖

1+𝑖 = (6−7𝑖)(1−𝑖)

(1+𝑖)(1−𝑖) = 6−6𝑖−7𝑖+7𝑖2

1−𝑖2 = −1−13𝑖

2 = −1

2−

13

2∙ 𝑖

3.សរបសរចននកលចខាងបតកាមជាទតមងតតបកាណមាតត

ក. 𝑧 = √3 + 𝑖 ខ. 𝑧 = 1 + 𝑖

គ. 𝑧 = 1 − 𝑖√3 . 𝑧 = −1

2+ 𝑖

√3

2

ចបមលើយ

ក. 𝑧 = √3 + 𝑖 = 2(√3

2+ 𝑖

1

2)

បយើងអាចទាញបាន 3cos

2 នង 1

sin2

ឬ 𝜑 =𝜋

6

59

ែបចាោះ 2 cos sin6 6

z i

បយើងបាន 𝑧 មានមេឌល 2 នង អាគយមេង 𝜋6

រប ៀ មយ េងបទៀតតាមរមនា

𝑟 = √(√3)2+ 12 = √4 = 2

3cos

2

a

r , 1

sin2

b

r បយើងបាន 𝜑 =

𝝅

𝟔

ែបចាោះ z = 2 (cos𝛑

𝟔+ isin

π

6)

ខ. 𝑧 = 1 + 𝑖 𝑟 = √12 + 12 = √2

{cos𝜑 =

𝑎

𝑟=

1

√2=

√2

2

sin𝜑 =𝑏

𝑟=

1

√2=

√2

2

⇒ 𝜑 =𝜋

4

ែបចាោះ 𝑧 = √2 (cos𝜋

4+ 𝑖 sin

𝜋

4)

គ. 𝑧 = 1 − 𝑖√3

𝑟 = √1 + (√3)2

= √4 = 2

{cos𝜑 =

1

2

sin𝜑 = −√3

2

⇒ 𝜑 = −𝜋

3

ែបចាោះ 𝑧 = 2[cos (−𝜋

3) + 𝑖 sin (−

𝜋

3)]

. 𝑧 = −1

2+ 𝑖

√3

2

𝑟 = √(−1

2)2+ (

√3

2)2

= √1

4+

3

4= √1 = 1 , {

cos𝜑 =−

1

2

1= −

1

2

sin𝜑 =√3

2

1=

√3

2

⇒ 𝜑 =2𝜋

3

ែបចាោះ 𝑧 = cos2𝜋

3+ 𝑖 sin

2𝜋

3

4. បគមានចននកលច 𝑍 = 𝑧+2−𝑖

𝑧+𝑖

បគបអាយ 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 នង 𝑧 ≠ −𝑖

60

ក. សរបសររាងពជគណត 𝑍 ជាអនគមននន 𝑎 នង 𝑏

ខ. រកទ កទនងរវាង 𝑎 នង 𝑏 បែើមបបអាយ 𝑍 ពត

គ. រកទ កទនងរវាង 𝑎 នង 𝑏 បែើមបបអាយ 𝑍 នមតា

ចបមលើយ

ក. សរបសររាងពជគណត 𝑍 ជាអនគមននន 𝑎 នង 𝑏

𝑍 = 𝑎+𝑖𝑏+2−𝑖

𝑎+𝑖𝑏+𝑖 = (𝑎+2)+𝑖(𝑏−1)

𝑎+𝑖(𝑏+1) = [(𝑎+2)+𝑖(𝑏−1)][𝑎−𝑖(𝑏+1)]

[𝑎+𝑖(𝑏+1)][𝑎−𝑖(𝑏+1)]

= 𝑎(𝑎+2)−𝑖2(𝑏−1)(𝑏+1)+𝑖𝑎(𝑏−1)−𝑖(𝑎+2)(𝑏+1)

𝑎2+(𝑏+1)2

= 𝑎(𝑎+2)+(𝑏−1)(𝑏+1)

𝑎2+(𝑏+1)2+ 𝑖

−2(𝑎+𝑏+1)

𝑎2+(𝑏+1)2

ខ. 𝑍 ពត លោះតតាដត ដាកនមតាបសមើ 0 ឬ −2(𝑎 + 𝑏 + 1) = 0 នង (𝑎 ≠ 0 នង 𝑏 ≠ −1)

ែបចាោះ ទ កទនងរវាង 𝑎 នង 𝑏 បែើមបបអាយ 𝑍 ពត គ 𝑎 + 𝑏 + 1 = 0 នង (𝑎 ≠ 0 នង 𝑏 ≠ −1)

គ. 𝑍 នមតា លោះតតាដត ដាកពតបសមើ 0 ឬ 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎 − 1 = 0 នង (𝑎 ≠ 0 នង 𝑏 ≠ −1)

ែបចាោះ ទ កទនងរវាង 𝑎 នង 𝑏 បែើមបបអាយ 𝑍 នមតា គ 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎 − 1 = 0

នង (𝑎 ≠ 0 នង 𝑏 ≠ −1)។

5. ក. បោោះសរាយបៅកាង ℂ សមការ 𝑧2 − 2√2𝑧 + 4 = 0

បយើងតាងបោយ 𝑧1 ឬសរ សសមការដែលដាកនមតាវជជមាននងតាងបោយ 𝑧2 ឬសមយបទៀត។

ខ. a.កណតមេឌល នង អាគយមេងននចននក លច 𝑧1 នង 𝑧2

b.កណតមេឌល នង អាគយមេងននចននក លច (𝑧1

𝑧2)2

ចបមលើយ

ក. បោោះសរាយបៅកាង ℂ សមការ 𝑧2 − 2√2𝑧 + 4 = 0

Δ = (2√2)2− 4 × 1 × 4 = 8 − 16 = −8 = (𝑖√8)

2= (2𝑖√2)

2

𝑧1 = 2√2+2𝑖√2

2 = √2 + 𝑖√2 ; 𝑧2 = 2√2−2𝑖√2

2 = √2 − 𝑖√2

ខ.a.កណតមេឌល នង អាគយមេង 𝑧1 នង 𝑧2

61

𝑧1 = √2 + 𝑖√2 ; |𝑧1| = 𝑟1 = √2 + 2 = 2 នង {cos θ1 =

√2

2

sinθ1 =√2

2

⇒ 𝜃1 =𝜋

4

បយើងបានទតមងតតបកាណមាតតនន 𝑧1 = 2(𝑐𝑜𝑠𝜋

4+ 𝑠𝑖𝑛

𝜋

4)

𝑧2 = √2 − 𝑖√2 ; |𝑧2| = 𝑟2 = √2 + 2 = 2 នង {cos θ2 =

√2

2

sin θ2 = −√2

2

⇒ 𝜃2 = −𝜋

4

បយើងបានទតមងតតបកាណមាតតនន 𝑧2 = 2(cos(−𝜋

4) + 𝑖 sin(−

𝜋

4))

b. កណតមេឌល នង អាគយមេងនន (𝑧1

𝑧2)2

𝑧1

𝑧2=

𝑟1

𝑟2[cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 sin(𝜃1 − 𝜃2)]

𝑧1

𝑧2 = 2

2[cos (

𝜋

4− (−

𝜋

4)) + 𝑖 sin (

𝜋

4− (−

𝜋

4))] = cos

𝜋

2+ 𝑖 sin

𝜋

2

(𝑧1

𝑧2)2 = (cos

𝜋

2+ 𝑖 sin

𝜋

2)2

= cos𝜋 + 𝑖 sin𝜋

(𝑧1

𝑧2)2 មានមេឌល |(𝑧1

𝑧2)2

| = 1 នង អាគយមេងបសមើ 𝜋

6. កណត cos3 នង sin3 ជាអនគមននន cos នង sin ។

ចបមលើយ

បយើងបត ើតទសា ទែមរ : cos sin cos sinn

i n i n

𝑛 = 3 បយើងបាន 3

cos sin cos 3 sin 3i i

មយ េងបទៀត 3 3 2 2 3cos sin cos 3 cos sin 3cos sin sini i i

បត ោះ (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

3 3 2 2 3cos sin cos 3cos sin 3cos sin sini i

បយើងបាន 3 2 3 2 3cos3 cos 3cos sin cos 3cos 1 cos 4cos 3cos

2 3 2 3 3sin3 3cos sin sin 3 1 sin sin sin 3sin 4sin

7. ក.គណ 𝑖𝑛 ចប ោះតនមលននចននគតរឡាទ 𝑛 ≥ 1 ។

ខ.ទាញយកតនមល 𝑖2014

62

ចបមលើយ

ក. ចប ោះ 𝑛 = 1 𝑖 = 𝑖

ចប ោះ 𝑛 = 2 𝑖2 = −1

ចប ោះ 𝑛 = 3 𝑖3 = 𝑖2 × 𝑖 = −1 × 𝑖 = −𝑖

ចប ោះ 𝑛 = 4 𝑖4 = 𝑖3 × 𝑖 = −𝑖2 = 1

ចប ោះ 𝑛 = 5 𝑖5 = 𝑖4 × 𝑖 = 1 × 𝑖 = 𝑖

បយើងប ើងមានខ បសមើ 4 សតមា សវតននសវយគណរ ស 𝒊

ែបចាោះ ប ើ 𝑛 = 4𝑘 ចប ោះ 𝑘 ជាចននគតរឡាទ វជជមានប ោះ 𝑖4𝑘 = 1

ប ើ 𝑛 = 4𝑘 + 1 ចប ោះ 𝑘 ជាចននគតរឡាទ វជជមានប ោះ 𝑖4𝑘+1 = 𝑖

ប ើ 𝑛 = 4𝑘 + 2 ចប ោះ 𝑘 ជាចននគតរឡាទ វជជមានប ោះ 𝑖4𝑘+2 = −1

ប ើ 𝑛 = 4𝑘 + 3 ចប ោះ 𝑘 ជាចននគតរឡាទ វជជមានប ោះ 𝑖4𝑘+3 = −𝑖

ខ.ទាញយកពលទធលខាងបលើគណ 𝑖2014

តាមវធដចកអ លែ 2014 បោយ 4 បយើងបាន 2014 = 503 × 4 + 2

ែបចាោះ 𝑖2014 = 𝑖4𝑘+2 ដែល 𝑘 = 503

វបាក 𝑖2014 = −1

8.បោោះសរាយបៅកាងសណចននកលច ℂ សមការ

(𝐸): (𝑧2 + 1)(𝑧2 + 2) = 0 បោយគតែល 𝑖2 = −1

(𝐸) ⇔ (𝑧2 − 𝑖2)(𝑧2 − 2𝑖2) = 0 ⇔ (𝑧 − 𝑖)(𝑧 + 𝑖)(𝑧 + 𝑖√2)(𝑧 − 𝑖√2) = 0

បយើងបានឬសរ សសមការ 𝑧1 = 𝑖 ; 𝑧2 = −𝑖 ; 𝑧3 = −𝑖√2 ; 𝑧4 = 𝑖√2

9.បគកណតបៅកាងសណចននក លច ℂ សមការ (𝐸): 𝑧3 + 8 = 0

ក.កណតចននពត 𝑎, 𝑏, 𝑐 បែើមបបអាយ 𝑧3 + 8 = (𝑧 + 2)(𝑧2 − 2𝑧 + 4 )

(បត ើឯកលកខណោះភាព 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

(𝑧 + 2)(𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐) = 𝑎𝑧3 + (𝑏 + 2𝑎)𝑧2 + (𝑐 + 2𝑏)𝑧 + 2𝑐 𝑧3 + 8 = 𝑎𝑧3 + (𝑏 + 2𝑎)𝑧2 + (𝑐 + 2𝑏)𝑧 + 2𝑐

63

បោយត ែចបយើងបាន {𝑎 = 1

𝑏 + 2𝑎 = 0𝑐 + 2𝑏 = 0

2𝑐 = 8

ឬ {𝑎 = 1𝑏 = −2𝑐 = 4

𝑧3 + 8 = (𝑧 + 2)(𝑧2 − 2𝑧 + 4) ខ.បោោះសរាយសមការ 𝑧3 + 8 = 0

𝑧3 + 8 = 0 ⇔ (𝑧 + 2)(𝑧2 − 2𝑧 + 4) = 0 ⇔ 𝑧 = −2 ឬ 𝑧2 − 2𝑧 + 4 = 0

⇔ 𝑧 = −2 ឬ (𝑧 − 1)2 = −3 ⇔ 𝑧 = −2 ឬ (𝑧 − 1)2 = (𝑖√3)2

⇔ 𝑧 = −2 ឬ 𝑧 − 1 = 𝑖√3 ឬ 𝑧 − 1 = −𝑖√3 ⇔ 𝑧 = −2 ឬ 𝑧 = 1 + 𝑖√3 ឬ 𝑧 = 1 − 𝑖√3 ចបមលើយរ សសមការគ : 𝑧1 = −2 ; 𝑧2 = 1 + 𝑖√3 ; 𝑧3 = 1 − 𝑖√3

គ.សរបសរជាទតមងតតបកាណមាតត ឬសរ សសមការ (𝐸) 𝑧1 = −2 = 2(−1 + 𝑖 ∙ 0) = 2(cos𝜋 + 𝑖 sin𝜋) 𝑧2 = 1 + 𝑖√3 = 2(

1

2+ 𝑖

√3

2) = 2 (cos

𝜋

3+ 𝑖 sin

𝜋

3 )

𝑧3 = 1 − 𝑖√3 = 2(1

2− 𝑖

√3

2) = 2[cos(−

𝜋

3) + 𝑖 sin(−

𝜋

3)]

10.បោោះសរាយសមការ 3 8 0z

ចបមលើយ

3 38 0 8z z ឬ 3 8z

8 8 0i មានមេឌល 2

8 0 8r

បោយ 8cos 1

8

a

r

នង 0

sin 08

b

r បយើងបាន

វបាក : 8 8 cos sini

ឬសទ 3 នន 8 កណតបោយ 3 2 28 cos sin

3 3k

k kw i

, 0,1,2k

ប ើ 0

1 30 2 cos sin 2 1 3

3 3 2 2k w i i i

ប ើ 11 2 cos sin 2k w i

64

ប ើ 2

5 52 2 cos sin 1 3

3 3k w i i

11.ក.សរបសរជារាងពជគណតចននកលច 2

1 2i នង 3

3 2i

ខ.សរបសរជារាងពជគណតល ក S ដែល :

2 2 2 2 3 2 2001 2 2002S i i i i i

ចបមលើយ

ក. 2 2

1 2 1 4 2 1 4 4 3 4i i i i i បគបាន 2

1 2 3 4i i

3

3 2 27 3 9 2 3 3 4 8 9 46i i i i

បគបាន 3

3 2 9 46i i

ខ.ល ក S មាន 2002 ត ដែល ដ កជាពល ក :

'

2002 2 2 3 2001 2002

S

S i i i i i

'S ជាល កតននសវតតគាា ននសវតនពវនាដែលមានលសងរមបសមើ i

'2002 2002

2003 1001 20050032

i iS i i

ែបចាោះ 4004 2005003S i

12.បគមានចននក លច 1 2 3z i នង 2 4 5z i ដែលមានរ ភាព 1A z នង 2B z

ក.រកចននក លចតាងបអាយវចទរ AB

ខ.រកចននក លចដែលមានរ ភាពចណចកណតា ល I នន [AB]

ចបមលើយ

ក.បយើងកណតសរបសរ z AB ចននកលចតាងបអាយវចទរ AB

2 1 4 5 2 3 6 8B Az AB z z z z i i i

ខ.បយើងកណតសរបសរ z I ចននកលចដែលមានរ ភាព I

1 2 2 3 4 5 2 21

2 2 2 2

A Bz z z z i i iz I i

65

13.បៅកាង បគមានសមការ 2 4cos 4cos2 2 0z z ដែល , ។

ក.កណតតនមលនន បែើមបបអាយចបមលើយរ សសមការជាចននពត ។

ខ.បគបអាយ 5

6

។ បោោះសរាយសមការខាងបលើបោយបអាយចបមលើយជារាងតតបកាណមាតត ។

ចបមលើយ

ក.បែើមបបអាយចបមលើយរ សសមការជាចននពតវាតតវដត ជាចននវជជមាន ។

បយើងគណ :

22 24 4cos 4 4cos2 2 16cos 16cos2 8b ac

ដត 2cos2 2cos 1

ែបចាោះ 2 2 216cos 32cos 16 8 16cos 8

21 1 116 cos 16 cos cos

2 2 2

2 20 cos ,

2 2

ឬ 3 3

, ,4 4 4 4

ខ. 5 3cos

6 2

តាមសណរខាងបលើបយើងបាន : 2

2 23 316cos 8 16 8 16 8 4 4

2 4i

សមការមានឬសកលចពរឆល សគាា

1

34 2

23

2 2

ib

z ia

; 2 1 3z z i

បយើងបានសណចបមលើយ 3 ; 3S i i

សរបសរ 1z ជារាងតតបកាណមាតត

2

2

1 3 1 2z

66

តាង1 អាគយមេងនន 1z

1

1

1

1

3cos

2

1sin

2

a

z

b

z


6k

; k

រាងតតបកាណមាតតនន 1 2 cos sin6 6

z i

សរបសរាងតតបកាណមាតតនន 2z

2 1 1 2z z z , អាគយមេងនន 2 1 1argz arg 2z z k ; k

បយើងបានរាងតតបកាណមាតតនន 2z គ 2 2 cos sin6 6

z i

។

14. ក.គណ 2 3 4 5, , ,i i i i រចរក ni ជាអនគមនននតនមលចននគត រឡាទ វជជមាន n ។

ខ.សរបសរ1i ជារាងពជគណត រចសរបសរ 1

ni ជាអនគមននតនមលចននគត រឡាទ វជជមាន n ។

ចបមលើយ

ក. បយើងបាន :

3 2 4 3 2 5 41, , 1,ni i i i i i i i i i i i i

បយើងសបងកតប ើញថា , 1,i i នង1 បកើតប ើងវញែដែលៗ ។

ងហា ញថាតគ ចននគតរឡាទ វជជមាន p ; 4 4 1 4 2 4 31, , 1,p p p pi i i i i i

ចប ោះតគ ចននគតរឡាទ វជជមាន p : 4 4 1 1p

p pi i

4 1 4 1 11p pi i i i i 4 2 4 2 1 1 1p pi i i

4 3 4 3 1p pi i i i i

ខ. 2 1i បអាយ 1i i បគបាន 1 ii បគអាចសរបសរ 1i i

បោយ 11 nn

ni i

i

, 1

1n n n

ni i

i

67


4

11 1

p p

pi

i ; 4n p

4 1 4 1

4 1

11 1

p p

pi i i

i

; 4 1n p

4 2 4 2

4 2

11 1 1 1

p p

pi

i

; 4 2n p

4 3 4 3

4 3

11 1

p p

pi i i

i

; 4 3n p

68

មោៃក I.មមម ៀៃសមខេប

1.បា រាបល ក.សមការសាងោននបាេរា េ លដែលមានកពលជាគលអកសកអរបោបន

កពល កណ ទ តតបា ទស សមការសាងោ ពណ

0,0

,0p

x p

2 4y px

អកសឆលោះជាអកសអា សស 0p បាេរា េ លដ រភាពតបៅរក ទស 0x 0p បាេរា េ លដ រភាពតបៅរក ទស 0x

0,0

0, p

y p

2 4x py

អកសឆលោះជាអកសអរបោបន 0p បាេរា េ លដ រភាពតបៅរក ទស 0y 0p បាេរា េ លដ រភាពតបៅរក ទស 0y

ខ.សមការសាងោននបាេរា េ លដែលមានកពលខសពគលអកសកអរបោបន

កពល

កណ

ទ ត តបា ទស

សមការសាងោ

ពណ

,h k

,h p k

x h p

2

4y k p x h

អកសឆលោះជាអកសបែក 0p បាេរា េ លដ រភាពតបៅរក ទស 0x 0p បាេរា េ លដ រភាពតបៅរក ទស 0x

,h k

,h k p

y k p

2

4x h p y k

អកសឆលោះជាអកសឈរ 0p បាេរា េ លដ រភាពតបៅរក ទស 0y 0p បាេរា េ លដ រភាពតបៅរក ទស 0x

69

2.មអលប ក.សមការសាងោននបអល ដែលមានចតជាគលអកសកអរបោបន

ចត អកសធ កណ កពល សមការសាងោ

0,0

បៅបលើអកស អា សស

,0c

,0a

2 2

2 21

x y

a b

0a b ដែល2 2 2c a b

0,0

បៅបលើអកសអរបោបន

0, c

0, a

2 2

2 21

x y

b a


ខ.សមការសាងោននបអល ដែលមានកពលខសពគលអកសកអរបោបន

ចត អកសធ កណ កពល សមការសាងោ

,h k

ជាអកសបែក

,h c k

,h a k

2 2

2 21

x h y k

a b


,h k

ជាអកសឈរ

,h k c

,h k a

2 2

2 21

x h y k

b a


3.អសែបល ក.សមការសាងោននអដព លដែលមានចតជាគលអកសកអរបោបន

ចត

អកសទទង

កណ

កពល

សមការ សាងោ

អាសមតត

0,0

បៅបលើអកសអា សស

,0c នង ,0c

,0a នង ,0a

2 2

2 21

x y

a b

2 2 2c a b

b

y xa

នងb

y xa

70

0,0

បៅបលើអកសអរបោបន

0,c នង 0, c

0,a នង 0, a

2 2

2 21

y x

a b

2 2 2c a b

a

y xb

នង

ay x

b

ខ.សមការសាងោននអដព លដែលមានចតខសពគលអកសកអរបោបន

ចត អកសទទង កណ កពល សមការសាងោ អាសមតត

,h k សរស នងអកសអា សស

,h c k

នង ,h c k

,h a k

នង ,h a k

2 2

2 21

x h y k

a b

2 2 2c a b

b

y k x ha

នង

b

y k x ha

,h k

សរស នងអកសអរបោបន

,h k c

នង ,h k c

,h k a

នង ,h k a

2 2

2 21

y k x h

a b

2 2 2c a b

a

y k x hb

នង

a

y k x hb

II.លហាតគ 1.រកសមការសាងោរនន

បាេរា េ ល ដែលមាន

កណតតងចណច 0, 1F

នង ទ តតបា ទស 1y ។

ចបមលើយ

កណF សថតបៅបលើ

អកសអរបោ បនប ោះអកស

ឆលោះជាអកសអរបោបន។ បោយកពលសថតបៅបលើអកសឆលោះនងជាចណច កណតា លរវាងកណនង

ចនចត សពវរវាង ទ តតបា ទសនងអកសឆលោះដែលចណចបនោះមានកអរបោបន 0,1 ។

បយើងបានកពលជាគល អកសកអរបោបន ែបចាោះបាេរា េ ល មានសមការ 2 4x py ,

0, 0, 1 1F p F p

71

បយើងបាន 2 4x y បាេរា េ លកាតតាមចណច 2, 1 ; 2, 1 ។

2.បាេរា េ លមយមានកពលបៅតតងចណច 0,0O នងកណF សថតបៅបលើអកសអា សស។

ក.រកសមការសាងោននបាេរា េ លប ើវាកាតតាមចណច 8,8A ។

ខ.រកតនមលនន1x ប ើចណច 1, 4B x សថតបៅបលើបាេរា េ ល។

ចបមលើយ

ក.បាេរា េ លមានកពល 0,0O

នងកណសថតបៅបលើអកស

អា សសប ោះ អកសអា សស

ជាអកសឆលោះននបាេរា េ ល។

សមការននបាេរា េ លមាន

រាង 2 4y px , 8,8A បៅ

បលើបាេរា េ លបយើងបាន

28 4 8 2p p

ែបចាោះ សមការសាងោរននបាេរា េ លគ

2 8y x , : ,0 2,0F p

ខ.រកតនមលនន1x

1, 4B x បៅបលើបាេរា េ លដែលមានសមការ 22

1 18 4 8y x x ឬ1 2x

3.រកសមការសាងោននបាេរា េ លដែលមានកពល 2,1 នង កណតតងចណច 4,1

ចបមលើយ

អកសឆលោះននបាេរា េ ល ជាអកសបែក

(កពលនង កណមានអរបោបនែចគាា )

បយើងបត ើសមការ : 2

4y k p x h

កពល : , 2,1 2, 1V h k h k

72

កណ : , 4,1 4F h p k h p ឬ 2p សមការសាងោរននបាេរា េ លបនោះគ

2

1 8 2y x សមការ ទ តតបា ទស 0x h p

4.រកកអរបោបនកពល កណ នង សមការ ទ ត

តបា ទសននបាេរា េ លដែលមានសមការ 2

1 4 3x y ។

ចបមលើយ

សមការបនោះមានរាង : 2

4x h p y k ដែលមានកណមានក អរបោបន ,h k p

កពល ,h k នង ទ ត តបា ទសមានសមការ y k p បោយបត ៀ បធៀ

2

1 4 3x y នងសមការខាង

បលើបយើងបាន 1, 3, 1h k p

កអរបោបនកពល , 1,3h k

កអរបោបនកណ , 1,4h k p

សមការ ទ តតបា ទស

3 1 2y k p

5. រកសមការសាងោននបអល ដែលមានកណមយជាចណច 1,0 នង ចណចកពលពរបៅតតងចណចពរបៅតតង

ចណច 2,0 នង 2,0 រចសងបអល ប ោះ។

ចបមលើយ

បោយកពលជា

ចណច 2,0 នង 2,0

ប ោះចតននបអល គ

គលអកស 0,0O បហើយ

អកសធជាអកសអា សស។

73

,0 2,0 2

,0 1,0 1

a a

c c

2 2 2c a b ឬ 2 2 2 4 1 3b a c

បអល មានសមការ : 2 2

2 21

x y

a b

ឬ

2 2

14 3

x y

6.បគបអាយសមការ 2 236 4 36x y

ក. ងហា ញថាសមការបនោះជាសមការបអល ។ រកត ដវងអកសធ,អកសតច,កអរបោបនននកពល

ទាងពរ នង កអរបោបនននកណទាងពរននបអល ។

ខ. សងបអល ប ោះ។

ចបមលើយ

ក. បយើងដចកអងាទាងពរននសមការបោយ36

បយើងបាន 2 236 4

136 36

x y ឬ

2 2

2 21

1 3

x y វាមានរាង

2 2

2 21

x y

b a , 0a b

ជាសមការបអល ដែលមានចតជាគល អកសកអរបោបន នងមានអកសធបៅបលើអកស អរបោ

បន។ តាមសមការបនោះ បយើងទាញបាន

3a នង 1b អកសធត ដវង

2 2 3 6a នង អកស តចត ដវង

2 2 1 2b កពលទាងពរមាន

កអរបោបន 0,3 នង 0, 3

បយើងបាន 2 2 2 2 23 1 8c a b

2 2c , កណទាងពរមានកអរបោ

បន 0,2 2 នង 0, 2 2

ខ.សងបអល សមការ 2 236 4 36x y

74

7. រកសមការននបអល ដែលមានកពលទាងពរជាចណច 3,2 នង 5,2 នង មាន

អកសតចត ដវង 4 ឯកតា។

ចបមលើយ

កពលទាងពរសថតបៅ

បលើ លងបែកប ោះបអល

មានសមការសាងោ

2 2

2 21

x h y k

a b

បោយចតននបអល ជា

ចណចកណតា លននអងកត

ភាជ កពលទាងពរប ោះបគបានកអរបោបនននចតបអល :

5 3 2 2,

2 2h k

ឬ 1, 2h k

ត ដវងអកសធ 2 2 22 5 3 2 2 8 8a

ត ដវងអកសតច 2 4 2b b

ែបចាោះ សមការសាងោននបអល គ 2 2

2 2

1 21

4 2

x y

ឬ

2 21 2

116 4

x y

8. បគមានសមការ 2 24 16x y

ក. ងហា ញថាសមការបនោះជាសមការអដព ល។

កណតកអរបោបនកពល នង កអរបោបនកណ។

ខ. រកអាសមតត។

គ.សងអដព ល។

ចបមលើយ

ក.បគមាន 2 24 16x y បយើងដចកអងាទាងពរបោយ16

75


116 16

x y ឬ

2 2

2 21

4 2

x y

បយើងបាន 4, 2a b

កអរបោបនកពលទាងពរគ 4,0 នង 4,0

2 2 2 16 4 20c a b បយើងបាន 20 2 5c

កអរបោបនននកណទាងពរគ 2 5,0 នង 2 5,0

ខ.សមការអាសមតត

by x

a នង b

y xa


2y x នង 1

2y x

គ.សងអដព ល

បែើមបសងអដព លបគ

បៅកពល នង គសចត

បកាណដកងដែលមាន

បណតា យ 8ឯកតា

នងទទងត ដវង4ឯកតាបហើយចតបៅគលអកសកអរបោបន។ រចបយើងគសអាសមតតបោយ

ល យអងកតតទងននចតបកាណដកងបនោះ។ រចបយើងគសអដព ល

9.បគបអាយសមការ 2 216 4 36y x

ក. ងហា ញថាសមការបនោះជាសមការអដព ល។

កណតកអរបោបនននកពល នង កណរ សអដព ល។

ខ.រកសមការអាសមតតននអដព ល។

គ.សងអដព លប ោះ។

ចបមលើយ

ក. បយើងដចកអងាទាងពរននសមការ 2 216 4 36y x បោយ36

76

បយើងបាន 2 216 4

136 36

y x ឬ

2 241

9 9

y x ឬ

2 2

2 21

33

2

y x

ែបចាោះវាមានរាង 2 2

2 21

y x

a b ដែលជាសមការអដព លមានអកសទទងបៅបលើអកស

អរបោបន បយើងបាន 3, 3

2a b កអរបោបនកពលទាងពរគ

30,

2

នង 3

0,2

2

2 2 2 23 9 45 93 9 5

2 4 4 4c a b

35

2c កអរបោបនននកណគ

30, 5

2

នង 3

0, 52

ខ.សមការអាសមតត

3

12

3 2

ay x x x

b ឬ 1

2y x

3

12

3 2

ay x x x

b ឬ 1

2y x

គ.បែើមបសងអដព ល

បយើងបៅកពលបហើយ

គសចតបកាណដកង

ដែលមាន បណតា យ 6 ឯកតា នង ទទង3ឯកតាបហើយមាន ចតបៅគលអកសកអរបោបន។គសអងកតតទង

នង ល យអងកតតទងទាងពរបយើងបានអាសម តតទាងពររ សអដព លប ោះ។

77

សមោ ឌមផ ាខសសែល I.មមម ៀៃសមខេប 1.សមោ ឌមផ ាខសសែលលដាបទ1 នយមនយ : សមការឌបរ េងដសយលលបនដអែលោ ទ 1 បមគណបេរអមេដសន

(អងាទ 2 បសមើសនយ) ជាសមការដែលមានរាងទបៅ ' 0y ay (aជាចននបេរ)។

ចបមលើយទបៅននសមការគ axy Ae ដែល Aជាចននបេរណតមយកបាន។

បែើមបបោោះសរាយសមការឌបរ េងដសយលលបនដអែលោ ទ 1 បមគណបេរ មនអមេដសន ' , 0y ay p x p x បគតតវ :

- រកអនគមនចបមលើយទបៅននសមការ ' 0y ay តាងបោយ cy

- រកអនគមនចបមលើយពបសសននសមការ 'y ay p x តាងបោយ py - ចបមលើយទបៅននសមការ 'y ay p x គអនគមន y ដែល : c py y y ។

វធបមរមបរមលចននថេរ : បែើមបបោោះសរាយសមការ 'y ay p x ( ), 0E p x

ប ោះបគតតវ : - រកចបមលើយទបៅននសមការ ' 0y ay គ axy Ae ( Aជាចននបេរណតមយកបាន) - កាងចបមលើយ axy Ae ជនសចននបេរ A បោយអនគមន A x - ព axy A x e ទាញរក 'y រចយក y នង 'y ជនសកាងសមការ 'y ay p x បែើមបទាញរក A x បគបាន :

'

ax

ax ax

y A x e

y A x e aA x e

': ax ax axE A x e aA x e aA x e p x

'

'

ax

ax

ax

A x e p x

A x e p x

A x e p x dx c

ែបចាោះ ax axy e e p x dx c

ចបមលើយទបៅនន E គ ax ax axy ce e e p x dx

ដែល ax

cy ce នង ax ax

py e e p x dx ។

78

2.សមោ ឌមផ ាខសសែលលមៃសអែលដាបទ 2 នយមនយ : សមការឌបរ េងដសយលលបនដអែលោ ទ 2 អមេដសន នងមានបមគណបេរ

ជាសមការដែលអាចសរបសជារាងទបៅ " ' 0ay by cy ដែល , ,a b cជាចននពត

នង 0a ។

ែបណតោះសរាយសមការឌបរ េងដសយលលបនដអែលោ ទ 2 អមេដសននងមានបមគណបេរ

ជាទថៅ:

-សមការឌបរ េងដសយលលបនដអែលោ ទ 2 " ' 0y by cy អាចសរបសរ

ជាសមការ '

' ' 0y y y y ដែល នង ជាឬសននសមការ

សគាល 2 0b c ។

-សមការសគាល 2 0b c ននសមការឌបរ េងដសយល " ' 0y by cy

អាចមានឬស 2 ជាចននពតបសងគាា ឬមានឬសឌ ជាចននពត ឬ មានឬស

2 ជាចននក លច។

ជាទថៅ: -រកសមការសគាល 2 0b c ននសមការឌបរ េងដសយល " ' 0y by cy

-ប ើសមការសគាលមានឬស 2 ជាចននពតបសងគាា 1 នង

2 ប ោះ សមការ " ' 0y by cy មានចបមលើយទបៅ x xy Ae Be ដែល A នងB ជាចននបេរណតមយកបាន

- 1 2,x xy e y e ជាចបមលើយបគាល។

ជាទថៅ: ប ើសមការសគាល 2 0b c ននសមការឌបរ េងដសយល

" ' 0y by cy មានឬសឌ ជាចននពតគ 1 2 ប ោះបគបានចបមលើយ

ទបៅននសមការឌបរ េងដសយលបនោះគ x xy Axe Be ដែល A នងB ជា

ចននបេរណតមយកបាន។ 1

xy xe នង 2

xy e ជាចបមលើយបគាល។

ជាទថៅ: ប ើសមការសគាល 2 0b c ននសមការឌបរ េងដសយល " ' 0y by cy

មានឬសកលច 1 i នង

2 i ប ោះបគបានចបមលើយទបៅនន

សមការ ឌបរ េងដសយលបនោះគ cos sinxy e C x D x ដែលC នង

79

Dជាចននបេរណតមយកបាន។

រថបៀបថដាោះសរាយសមការឌថេរងមសែលលថនម ែលដាបទ 2 មន មមសន

" ' , 0y by cy p x p x

- ដសវងរកចបមលើយពបសសមនអមេដសន តាងបោយ py ននសមការ " 'y by cy p x ដែល py

មានទតមងែចអងាទ 2 p x

- រកចបមលើយទបៅតាងបោយ cy ននសមការលបនដអែលោ ទ 2 អមេដសន " ' 0y by cy

- បគបានចបមលើយទបៅននសមការលបនដអែលោ ទ 2 មនអមេដសន ជាល កនន cy នង py គ

c py y y ។

II.លហាតគ 1.បោោះសរាយសមការឌបរ េងដសយល ' 0y y

កាងលកខខណឌ 0 1y ; 0 1y ; 22y e ។

ចបមលើយ

ចបមលើយទបៅនន ' 0y y បយើងបាន dyy

dx ឬ

dydx

y

ែបចាោះ ln x x c ឬ xy Ae ( Aជាចននបេរណតមយ)

xy Ae ជាចបមលើយទបៅននសមការ ' 0y y

- កាងលកខខណឌ 00 1 1y Ae ឬ 1A xy e ជាចបមលើយពបសសននសមការ ' 0y y កាងលកខខណឌ 0 1y

- កាងលកខខណឌ 00 1 1y Ae ឬ 1A xy e ជាចបមលើយពបសសននសមការ ' 0y y កាងលកខខណឌ 0 1y

- កាងលកខខណឌ 2 2 22y e Ae e ឬ 1A xy e ជាចបមលើយពបសសននសមការ ' 0y y កាងលកខខណឌ 22y e

2.បោោះសរាយសមការ ' 2 0y y កាងលកខខណឌ 22y e

ចបមលើយទបៅនន ' 2 0y y បយើងបាន ' 2y y ឬ 2dy

ydx

80

2dy

dxy ឬ ln 2y x c

ែបចាោះ 2xy Ae ( Aជាចននបេរណតមយកបាន) ជាចបមលើយទបៅននសមការ

' 2 0y y ។ កាងលកខខណឌ 22y e បយើងបាន 2 2 2 2Ae e A e

ែបចាោះ 2 22 2 xxy e e e ជាចបមលើយពបសសននសមការ ' 2 0y y កាងលកខខណឌ

22y e ។

3.បោោះសរាយសមការ ' 2 2 3y y x E

ចបមលើយ

- បោោះសរាយសមការ ' 2 0y y ឬ ' 2y y

2dy

ydx

បអាយ 2dy

dxy

ln 2x x c បយើងបាន 2x

cy Ae cA e

- រកចបមលើយពបសសនន E py ax b , '

py a E ' 2 2 3p py y x 2 2 3a ax b x 2 2 2 3ax a b x

បគបាន 2 2 1

2 3 1

a a

a b b

ែបចាោះ 1py x - ែបចាោះ ចបមលើយទបៅរ ស E គ 2 1x

c py y y Ae x

4.បោោះសរាយសមការឌបរ េងដសយល " '3 4 0y y y E ។

រកចបមលើយពបសសមយននសមការ E ប ើដខសបកាងអនគមនចបមលើយកាតតាមចនច

0,1 បហើយ ទ ត េោះតតងចនចបនោះមានបមគណតបា ទសបសមើនង 9 ។

ចបមលើយ

- បោោះសរាយសមការ " ': 3 4 0E y y y សមការ E មានសមការសគាល 2 3 4 0 ;

1 21, 4

81

ែបចាោះ ចបមលើយទបៅរ សសសមការ E គ 4x xy Ae Be A នងB ជាចននបេរណតមយ។

- រកចបមលើយពបសសដែលដខសបកាងតាង 4x xy Ae Be កាតតាមចនច 0, 1x y បយើងបាន 0 01 Ae Be ឬ 1A B បមគណតបា ទសនន ទ ត េោះបៅដខសបកាងតតង 0, 1x y

បសមើ 9 បយើងបាន ' 44x xy Ae Be ជនស 0x បយើងបាន 4 9A B

1

4 9

5 10

A B

A B

B

ឬ 2B នង 1A ែបចាោះ 42x xy e e ជាចបមលើយពបសសននសមការ E កាងលកខខណឌ ដខសបកាងកាតតាមចនច 0, 1x y នង បមគណតបា ទសរ ស ទ ត េោះបៅដខសបកាងតតងចនចបនោះបសមើ 9 ។

82

បរបប I.មមម ៀៃសមខេប

តពតាការណលគណនន A នង B ជាត សពវននតពតាការណ A នងតពតាការណ B ។ តពតាការណល កនន A នង B ជាត ជននតពតាការណ A នងតពតាការណ B ។ តពតាការណ B នងតពតាការណ Dជាតពតាការណមនចោះសតមង កាលណតតពតាការណ

លគណនន B នង Dជាតពតាការណមនអាចមាន : B D តពតាការណ 2 ជាតពតាការណទយគាា ឬជាតពតាការណ បពញគាា កាលណតតពតាការណលគណននតពតាការណ

ទាង 2 ជាតពតាការណមនអាចមាន នងតពតាការណល កននតពតាការណទាង 2 ជាតពតាការណតបាកែ : ,A A A A S

បគបានតពតាការណ 2 ទយគាា ជាតពតាការណមនចោះសតមង។ ត បា ននតពតាការណមយ ជាលបធៀ ននចននករណសរស

នងចននករណអាច 𝑃(𝐴) = ចាននករណសរ 𝒏(𝑨)

ចាននករណោច 𝒏(𝑺)

ត បា ននលហសណតក 𝑆 បសមើនង 1: 𝑃(𝑆) = 1 ត បា ននតពតាការណមនអាចមានបសមើបសមើនង 0 : 𝑃(∅) = 0 ត បាននតពតាការណមយកាងលហសណតកជាចននដែលបៅចប ល ោះ [0,1]

0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 ត បា ជាអនវតាន ដែលកណតពលហសណតក 𝑺 បៅចប ល ោះ [𝟎, 𝟏]

𝑃 ∶ 𝑆 → [0,1] ត បា ននតពតាការណលគណ 𝐴 នង 𝐵 គ :

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) ប ើ 𝐴 នង 𝐵 មនទាកទងគាា 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵ដែល 𝐴 អកើតមន) ប ើ 𝐴 នង 𝐵 ទាកទងគាា

ត បា ននតពតាការណល ក 𝐴 នង 𝐵 គ: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) ប ើ 𝐴 នង 𝐵 ជាតពតាការណមនចោះសតមង

ត បា ននតពតាការណទយ 𝐴 គ: 𝑃(��) = 1 − 𝑃(𝐴) ប ើ 𝐴 នង 𝐵 ជាតពតាការណ 2 កាងលហសណតកមយដែល 𝑃(𝐴) ≠ 0 ប ោះត បា មានលកខខណឌ ននតពតា

ការណ 𝐵 បោយែងថា 𝐴 គ: 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐴)

បគអាចគណ បានែចគាា 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵) (𝑃(𝐵) ≠ 0)

តាមរ មនាបនោះបគអាចទាញបានត បា ននតពតាការណលគណ 𝐴 នង 𝐵 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐴|𝐵) 𝐴 នង 𝐵 ជាតពតាការណ 2 ដែលមានត បា មនសនយ

បគថាតពតាការណ 𝐴 នង តពតាការណ 𝐵 មនអាសរសយគាា កាលណតតពតាការណទាង 2 បទៀងផទទ តលកខខណឌ ណតមយកាងចបណតមលកខខណឌ ខាងបតកាម :

83

1. 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) ឬ 2. 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) ឬ 3. 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵)

បគថាតពតាការណ 𝑨 នងតពតាការណ 𝑩 អាសរសយគាា កាលណត 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) រ មនាត បាសរ : 𝑃(𝐵) =

1

( | ) ( )n

i i

i

P B A P A

តទសា ទន បយស :

1

( | ) ( )( | )

( | ) ( )

k kk n

i i

i

P B A P AP A B

P B A P A

II.លហាតគ 1.កាងបសោងមយមាន លពណតកហម 4 លពណបមម ចនន 3 នង លពណសចននមយ។

បគចា យកមាង លចនន 3 ។ បគសនាោា ថាត បា ដែលចា បានយក លនមយៗជាសម

ត បា ។

គណ ត បា ននតពតាការណខាងបតកាម :

ក. ” យេងតចមាន លពរពណតកហម ”

ខ. ” យេងតចមាន លពរពណែចគាា ”

គ. ” មាន លមយៗតគ ពណ ”

ចបមលើយ :

បយើងមាន លសរ ចនន 4 3 1 8

សណ ននដាកដែលមានធាត រ សសណ លកាងបសោងមាន

8!8,3 8 7 56

3! 8 3 !Card C

ក.តពតាការណ Aយេងតចមាន លពរពណតកហមគជាត ជននតពតាការណ

1A : “ មាន លពរពណតកហមនងមយបទៀតមនតកហម”

2A : ” លទាង ពណតកហម ”

បោយ 1 2A A

84

1 2

4,2 4,1 4,3;

8,3 8,3

C C CP A P A

C C

1 2

4,2 4,1 4,3

8,3 8,3

C C CP A P A P A

C C

4! 4! 4!

3 2 4 4 28 12! 2! 3! 3!

56 56 56 56 56 2

ខ.តពតាការណ B ” យេងតចមាន លពរពណែចគាា ”

តពតាការណ B អាចដចកជាពរករណ

1A : “ លពរពណតកហម នងមយបទៀតមនតកហម ”


1

4,2 4,1

8,3

C CP A

C

2A : “ លទាង ពណតកហម ”

2

4,3

8,3

CP A

C

3A : “ លពរពណបមម នងមយបទៀតមនបមម ”

3

3,2 5,1

8,3

C CP A

C

4A : “ លទាង បមម ”

4

1

8,3P A

C

បោយ 1 2 3 4, , ,A A A A មនចោះសតមងគាា ពរៗបគបាន

4,2 4,1 4,3 3,2 5,1 1 44 11

8,3 56 14

C C C C CP B

C

គ.តពតាការណC “មាន លមយៗតគ ពណ”

តពតាការនបនោះ បយើងយក លមយកាងពណនមយៗគបយើងយក លតកហម 1

កាង 4 ជបរ ើស, លបមម 1 កាង 3 ជបរ ើស, លស 1 កាង 1ជបរ ើស

85

4 3 1 12 3

8,3 56 14P C

C

2.កាងថាា កបរៀនមយមានសសស 30 កដែលកាងប ោះ 14 កជា រ។ កាងចបណតម

សសសទាប ោះ រ 8 ក នង រស 4 កជាសសសបៅកាងអបនាវាសកោា ន។

សសសែនទបទៀតបៅបតៅអបនាវាសកោា ន។ បគបតជើសបរ ើសសសសមាា កកាងថាា កបនោះ

បោយនចែនយ។ កណតតពតាការណខាងបតកាម :

A : “ សសសដែលបតជើសបរ ើសជាសសសបៅកាងអបនាវាសកោា ន ”

B : “ សសសដែលបតជើសបរ ើសជាសសស រស ”

ក.-គណ ត បា ននតពតាការណ A រចរកត បា ននតពតាការណ B

ខ.-គណ ត បា |P B A មាននយថាត បា ននការបតជើសបរ ើសសសស រស

នង ជាសសសបៅកាងអបនាវាសកោា ន។

-កណតត បា ននតពតាការណ A B

ចបមលើយ

ក.បយើងអាចសបងខ សមតាកមមខាងបលើកាងតារាងខាងបតកាម

សសស ចនន រ ចនន រស សរ កាងអបនាវាសកោា ន 8 4 12 បតៅអបនាវាសកោា ន 6 12 18

សរ 14 16 30

វបាក 12 2

30 5P A

បោយមាន រ 14 ែបចាោះ សសស រសមាន 16

16 8

30 15P B

ខ.-សសស រសចនន 4 កបៅកាងអបនាវាសកោា ន

4 1

|12 3

P B A

86

-កណតត បា ននតពតាការណ A B

1 2 2

|3 5 15

P A B P B A P A

3.កាងដលបងប ៀរ 32 សនលកបគែកយកសនលកប ៀមយសនលកបោយនចែនយ។

បគកណតតពតា ការណ :

A : “ សនលកប ៀរដែលែកយកបានជារ ប ោះែង ” B : “ សនលកប ៀរដែលែកយកបានជាអាត ” C : “ សនលកប ៀរដែលែកយកបានជាសនលកអាត នង តកហម ” រកត បា ននតពតាការណ , ,A B C ។

ចបមលើយ 32Card

រកត បា 8,1 8 1

32 32 4

CP A

រកត បា 4,1 4 1

32 32 8

CP B

រកត បា P C

សនលកប ៀតកហមមាន 16 សនលកែបចាោះត បា បែើមបបានសនលកប ៀតកហមគ 16,1 1

32 2

C

1 1 1

8 2 16P C

4.បៅកាងធងមយបគមាន ែល 12 ដែលបគសរបសរបលខព 1 ែល 12។ បគចា យក ែល 3

បចញពធងតពមគាា បោយនចែនយ។ រកត បា ននតពតាការណខាងបតកាម :

A : “ បគចា បាន ែលទាង មានបលខសទធដតដចកោចនង 3 ” B : “ បគចា បាន ែលដតមយគតមានបលខដចកោចនង 3 ” C : “ បគចា បាន ែលមានបលខតាមលោ បកើនជាសវតនពវនាដែលមានលសងរម 3d ”

D : “ បគចា បាន ែលមានបលខតាមលោ បងកើតបានសវតធរណមាតតមានលបធៀ រម 1

2q ”

ចបមលើយ: បយើងបានសណបលខបលើ ែល 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 សណននដាកដែលមាន ែល មាន

12! 12! 12 11 10

12,3 2203! 12 3 ! 3!9! 6

Card C

87

ពហគណនន 3 គ 3,6,9,12 បែើមបអាចបានតពតាការណ A បយើងយក ែល កាងចបណតម ែល3,6,9,12

ែបចាោះ

4,3 4 1

12,3 220 55

CP A

C

រកត បា P B គបយើងយក ែលមយកាងចបណតម ែលដែលមានបលខ3,6,9,12 នងយកពរបទៀតកាងចបណតម 8 បសងបទៀត។

4,1 8,2 112 28

12,3 220 55

C CP B

C

រកត បា P C បគបរៀ ជាសវតដែលមានលសងរម 1,4,7 , 2,5,8 , 3,6,9 , 4,7,10 , 5,8,11 , 6,9,12


220 110P C

រកត បា P D

, ,a b c ជាចននតាមលោ ននសវតធរណមាតត ដែលមានលបធៀ រម 1

2q ។

បគបាន 1 1 1,c

2 2 4b a b a

, ,a b c ជាចននគតធមមជាត ដែល a តតវដតជាពហគណនន 4 ែបចាោះ a អាចយកតនមល4,8 ឬ 12 ។ បយើងបានសវត គ: 4,2,1 , 8,4,2 , 12,6,3

វបាក: 3

220P D ។

88

ផលគណនៃវចទ កនខលហ ៃខ អៃេតាៃ

I.មមម ៀៃសមខេប ប ើ �� = 𝑢1 𝑖 + 𝑢2 𝑗 + 𝑢3 �� នង 𝑣 = 𝑣1 𝑖 + 𝑣2 𝑗 + 𝑣3 �� ជាវចទរកាងលហ។ លគណននវចទរ ��

នង 𝑣 គជាវចទរកណតបោយ

�� × 𝑣 = (𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2) 𝑖 − (𝑢1𝑣3 − 𝑢3𝑣1) 𝑗 + (𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1) �� ។ ប ើ �� , 𝑣 នង �� ជាវចទរបៅកាងលហ នង 𝒄 ជាចននពត ប ោះបគបាន :

ក. �� × 𝑣 = −(𝑣 × �� ) ខ. �� × (𝑣 + �� ) = (�� × 𝑣 ) + (�� × �� ) គ. 𝑐(�� × 𝑣 ) = (𝑐 �� ) × 𝑣 = �� × (𝑐 𝑣 ) ឃ. �� × 0 = 0 × �� = 0

ង. �� × �� = 0 ច. �� ∙ (𝑣 × �� ) = (�� × 𝑣 ) ∙ �� ។ ប ើ �� នង 𝑣 ជាវចទរមនសនយបៅកាងលហ នងតាង 𝜃 ជាមរវាង �� នង 𝑣 ប ោះបគបាន :

ក. �� × 𝑣 អរតកណតលបៅនង �� ង នង 𝑣 ង។ ខ. |�� × 𝑣 | = |�� | ∙ |𝑣 | ∙ sin𝜃 គ. ប ើ �� × 𝑣 = 0 ប ោះ �� នង 𝑣 ជាវទរកលបនដអែនងគាា ។ .|�� × 𝑣 | =នទតកឡារ សត បល តកាមដែលសងបលើវចទរ �� នង 𝑣 ។ ង. 1

2|�� × 𝑣 | =នទតកឡារ សតតបកាណដែលសងបលើវចទរ �� នង 𝑣 ។

បគមានវចទរ �� , 𝑣 នង �� បៅកាងលហ ។ លគណចតមោះនន �� , 𝑣 នង �� តាមលោ គជាចននពតដែលកណតបោយ �� ∙ (𝑣 × �� ) ។

ប ើបគមានវចទរ �� = 𝑢1𝑖 + 𝑢2𝑗 + 𝑢3�� , 𝑣 = 𝑣1𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3��

នង �� = 𝑤1𝑖 + 𝑤2𝑗 + 𝑤3�� ប ោះ �� ∙ (𝑣 × �� ) = |

𝑢1 𝑣1

𝑤1

𝑢2 𝑣2 𝑤2

𝑢3

𝑣3

𝑤3

|។

មាឌ 𝑉 រ សត បលពដ េតដែលសងបលើវចទរ �� , 𝑣 នង �� គ 𝑉 = |�� ∙ (𝑣 × �� )| នង មាឌ 𝑤 រ សបតតតាដអែតគ : 𝑤 =

|�� ∙(�� ×�� )|

6

បាននយថា យកមាឌរ សត បលពដ េតដចកនង 6 ។ សមការបាេរា េដមតនន ទ ត 𝐿 កាតតាមចណច 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) បហើយសរស នងវចទរ

𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) គ 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡 , 𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 , 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡

ឬ {𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡

(𝑡 ∈ ℝ)

សមការឆលោះនន ទ ត 𝐿 គ : 𝒙−𝒙𝟎

𝒂=

𝒚−𝒚𝟎

𝒃=

𝒛−𝒛𝟎

𝒄 ។

សមការសាងោនន លងដែលកាតតាមចណច 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) នងមានវចទរណរមាេល �� = (𝑎, 𝑏, 𝑐) គ 𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0 ។

សមការទបៅនន លងគ : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (ដែល 𝑑 = −(𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0) )។

89

មរវាង លងពរគ : cos 𝜃 = |�� 1∙�� 2||�� 1||𝑛2 |

ដែល �� 1 នង �� 2 ជាវចទរណរមាេលនន លង ។

ចមាា យរវាងចណច 1 1 1, ,P x y z នង 2 2 2, ,Q x y z បៅកាងលហគ

2 2 2

2 1 2 1 2 1d x x y y z z ។

សមការសាងោននដសែវ ចត 0 0 0, ,C x y z កា r គ 2 2 2 2

0 0 0x x y y z z r សមការទបៅននដសែវ : 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 02 2 2 0,x y z x x y y z z k k x y z r ចមាា យពចណច Q បៅ លង ដែលចណច Q មនបៅកាង លង កណតបោយ

𝐷 = |𝑃𝑄 ∙�� |

|�� | ឬ 𝐷 = |𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑|

√𝑎2+𝑏2+𝑐2 ដែល Pជាចណចបៅកាង លង នង �� ជាវចទរ

ណរមាេលនន លង ។

ចមាា យពចណច Q បៅ ទ ត L កាងលហកណតបោយ 𝐷 = |𝑃𝑄 ×�� |

|�� | ដែល �� ជា

វចទរតបា ទសនន ទ ត 𝐿 នង 𝑃 ជាចណចបៅបលើ ទ ត 𝐿 ។

II.លហាតគ 1.បគបអាយវចទរ �� = −𝑖 + 𝑗 + 2�� ; 𝑣 = 2𝑖 + 2𝑗 − 3�� ។ រកវចទរ

ក. �� × 𝑣 ខ. 𝑣 × �� គ. �� × ��

ចបមលើយ

ក. �� × 𝑣 = |𝑖

−12

𝑗 12

��

2−3

| = |12 2

−3| 𝑖 − |

−12

2

−3| 𝑗 + |

−12

12| ��

= (−3 − 4)𝑖 − (3 − 4)𝑗 + (−2 − 2)�� = −7𝑖 + 𝑗 − 4��

ខ.𝑣 × �� = |𝑖 2

−1

𝑗 21

��

−32

| = |21 −32

| 𝑖 − |2

−1 −32

| 𝑗 + |2

−1 21 | ��

= (4 + 3)𝑖 − (4 − 3)𝑗 + (2 + 2)�� = 7𝑖 − 𝑗 + 4��

គ. �� × �� = |𝑖

−1−1

𝑗 11

��

22

| = |11 22| 𝑖 − |

−1−1

22| 𝑗 + |

−1−1

1 1

| ��

= (2 − 2)𝑖 − (−2 + 2)𝑗 + (−1 + 1)�� = 0 2.រកវចទរឯកតាដែលអរតកណតលបៅនងវចទរ �� = 𝑖 − 𝑗 + 2�� , 𝑣 = 2𝑖 + 𝑗 − ��

ចបមលើយ : លគណវចទរ �� × 𝑣 អរតកណតលបៅនងវចទរ �� នង 𝑣 គ

�� × �� = |𝑖 12

𝑗

−11

��

2−1

| = (1 − 2)𝑖 − (−1 − 4)𝑗 + (1 + 2)�� = −𝑖 + 5𝑗 + 3��

90

បោយ |�� × 𝑣 | = √(−1)2 + 52 + 32 = √1 + 25 + 9 = √35

ប ោះបយើងបានវចទរឯកតាដែលអរតកណតលបៅនងវចទរ �� នង 𝑣 គ

�� ×��

|�� ×�� | = − −1

√35𝑖 +

5

√35𝑗 +

3

√35��

វចទរបនោះជាវចទរឯកតាពបត ោះ | �� ×��

|�� ×�� || = √

1

35+

25

35+

9

35= 1

3.បគមានចណច 𝐴(−1,2,3) ; 𝐵(1, −6,−1) ; 𝐶(2,2,2) បៅកាងលហត ោ បោយ

តរយអរតនរមាេល(0, 𝑖 , 𝑗 , �� ) ។ គណ លគណវចទរ 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 ។

ចបមលើយ

បយើងបាន 𝐴𝐵 = 2𝑖 − 8𝑗 − 2�� 𝐴𝐶 = 3𝑖 + ��

𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = |𝑖 23

𝑗

−80

��

−21

| = −8𝑖 − (2 + 6)𝑗 + 24�� = −8𝑖 − 8𝑗 + 24��

4.បៅកាងលហត ោ បោយតរយអរតនរមាេល (0, 𝑖 , 𝑗 , �� ) បគមានចណច

𝐴(1,3,4) ; 𝐵(2,5,6) ; 𝐶(3,4,3) ; 𝐷(2,2,1) ។

ងហា ញថាចតបកាណ 𝐴𝐵𝐶𝐷 ជាត បល តកាម រចរកនទតកឡាននត បល តកាមបនោះ ។

ចបមលើយ : តជងឈមននចតបកាណបនោះមានវចទរ 𝐴𝐵 នង 𝐷𝐶

𝐴(1,3,4) ; 𝐵(2,5,6) វចទរ 𝐴𝐵 = 𝑖 + 2𝑗 + 2��

𝐶(3,4,3) ; 𝐷(2,2,1) វចទរ 𝐷𝐶 = 𝑖 + 2𝑗 + 2��

បយើងបាន 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶

ែបចាោះ ចតបកាណ 𝐴𝐵𝐶𝐷 ជាត បល តកាមដែលមាន 𝐴𝐵 នង 𝐴𝐷 តជងជា ។

𝐴(1,3,4) ; 𝐷(2,2,1) វចទរ 𝐴𝐷 = 𝑖 − 𝑗 − 3��

𝐴𝐵 × 𝐴𝐷 = |𝑖 11

𝑗 2

−1

��

2−3

| = (−6 + 2)𝑖 − (−3 − 2)𝑗 + (−1 − 2)��

= −4𝑖 + 5𝑗 − 3�� បយើងបានតកឡានទត បល តកាមគ

91

|𝐴𝐵 × 𝐴𝐷 | = √(−4)2 + 52 + (−3)2 = √16 + 25 + 9 = √50 = 5√2 ឯកតានទតកឡា

5.គណ មាឌត បលពដ េតដែលមានវចទរ �� , �� នង �� ជាតជងជា :

�� = 𝑖 + 3𝑗 + �� , 𝑣 = 5𝑗 + 5�� , �� = 4𝑖 + 4�� ចបមលើយ : បយើងែងថាមាឌរ សត បលពដ េត 𝑉 = |�� ∙ (𝑣 × �� )|

�� ∙ (𝑣 × �� ) = |104 350 154| = 1 |

5 50 4

| − 3 |0 54 4

| + 1 |0 54 0

|

= 1(20) − 3(−20) + 1(−20) = 20 + 60 − 20 = 60 ែបចាោះ 𝑉 = 60 ឯកតាមាឌ

6.រកសមការបាេរា េដមតនន ទ ត កាតតាមចណច 𝐴(0,0,0) បហើយសរស នងវចទរ

�� = 𝑖 + 2𝑗 + 3�� រចរកសមការឆលោះនន ទ តបនោះ ។

ចបមលើយ : បយើងបាន 𝑥0 = 0 ; 𝑦0 = 0 ; 𝑧0 = 0

�� = 𝑖 + 2𝑗 + 3�� = (1,2,3) = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ឬ 𝑎 = 1 ; 𝑏 = 2 ; 𝑐 = 3

ែបចាោះ សមការបាេរា េដមតនន ទ តបនោះគ

0

0

0

0

0 2 2

0 3 3

x x at t t

y y bt t t

z z ct t t

ឬ 2

3

x t

y t

z t

សមការឆលោះនន ទ តបនោះគ 1 2 3

x y z ។

7.រកសមការ លងដែលកាតតាមចណចខាងបតកាម :

(1,2,3)A ; (3,2,1)B នង ( 1, 2,2)C

ចបមលើយ: បែើមបរកសមការ លងបគតតវរកវចទរណរមាេល �� = (𝒂, 𝒃, 𝒄) ។

វចទរណរមាេល �� = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ជាលគណនន វចទរ 𝐴𝐵 នង 𝐴𝐶 ដែល :

(1,2,3)A ; (3,2,1)B បយើងបាន 𝐴𝐵 = (3 − 1,2 − 2,1 − 3) = (2,0, −2)

(1,2,3)A ; ( 1, 2,2)C បយើងបាន 𝐴𝐶 = (−1 − 1,−2 − 2,2 − 3) = (−2,−4,−1)

92

𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = |𝑖 2

−2

𝑗 0

−4

��

−2−1

| = −8𝑖 − (−2 − 4)𝑗 + (−8)�� = −8𝑖 + 6𝑗 − 8��

𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 ≠ 0 មាន លងដតមយគតកាតតាមចណច 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 ដែលវចទរណរមាេល

�� = (−8,6,−8) ។

ែបចាោះ សមការ លងកាតតាមចណច 𝐴(1,2,3)

គ 𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0

−8(𝑥 − 1) + 6(𝑦 − 2) − 8(𝑧 − 3) = 0 ឬ −8𝑥 + 8 + 6𝑦 − 12 − 8𝑧 + 24 = 0

ឬ −8𝑥 + 6𝑦 − 8𝑧 + 20 = 0 .

គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ ទី ១២-មេរៀន-សង្ខេប...

Education