新人教版九年级数学 ( 下册 ) 第二十八章

§28.1 锐角三角函数（ 1 ）

A

BC “斜而未倒”

BC=5.2m

AB=54.5m

　　意大利的伟大科学家伽俐　略，曾在斜塔的顶层做过自由落体运动的实验 .

．

α

问题 : 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30° ，为使出水口的高度为 35m ，那么需要准备多长的水管？

这个问题可以归结为，在 Rt△ABC 中，∠ C ＝90° ，∠ A ＝ 30° ， BC ＝ 35m ，求 AB

根据“在直角三角形中， 30° 角所对的边等于斜边的一半”，即

1

2

A BC

AB

的对边斜边

可得 AB ＝ 2BC ＝ 70m ，也就是说，需要准备 70m 长的水管．

A

B

C

分析：

情

境

探

究

在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m ，那么需要准备多长的水管？

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2

1

A

B

C

50m30m

,2

1

'

''

AB

CBA

斜边的对边

B '

C '

AB' ＝ 2B ' C ' ＝ 2×50 ＝ 100

在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ，由于∠ A ＝ 45° ，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得

2222 2BCBCACAB

BCAB 2

2

2

2

1

2

BC

BC

AB

BC因此

即在直角三角形中，当一个锐角等于 45° 时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于

2

2

如图，任意画一个 Rt△ABC ，使∠ C ＝ 90° ，∠ A ＝ 45° ，计算∠ A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？

AB

BC

A

BC

2

1

综上可知，在一个 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ，当∠ A ＝ 30° 时，∠ A

的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠ A ＝ 45°

时，∠ A 的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值 .2

2

一般地，当∠ A 取其他一定度数的锐角时，它的

对边与斜边的比是否也是一个固定值？

在图中，由于∠ C ＝∠ C' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A' ＝ α ，所以Rt△ABC Rt∽ △A'B'C'

'''' BA

AB

CB

BC

''

''

BA

CB

AB

BC

这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠ A 的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大

任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' ，使得∠ C ＝∠ C' ＝ 90° ，∠ A ＝∠A' ＝ α ，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？

AB

BC''

''

BA

CB

探究

A

B

C A'

B'

C'

如图，在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ，我们把锐角 A 的对边与斜边的比值叫做∠ A 的正弦（ sine ），记住 sinA 即

c

aAA

斜边的对边

sin

例如，当∠ A ＝ 30° 时，我们有

2

130sinsin A

当∠ A ＝ 45° 时，我们有

2

245sinsin A

A

B

C

c a

b

对边斜边

在图中∠A 的对边记作a∠B 的对边记作b∠C 的对边记作c

正 弦 函 数

1 、再 Rt△ ＡＣＢ， Rt△ ＤＥＦ中，∠Ｂ＝ 300 ，　　　∠Ｄ＝ 450 ， ∠Ｃ＝ 900 ，∠Ｆ＝ 900 ，

若ＡＢ＝ＤＥ＝２，

（１）求∠Ｂ的对边与斜边的比值；

（２）求∠Ａ的对边与斜边的比值；

（３）求∠Ｄ的对边与斜边的比值．

Ａ

ＣＢ

Ｄ

ＥＦ

例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ，求 sinA和 sinB 的值．解： （ 1 ）在 Rt△ABC 中，

534 2222 BCACAB

因此5

3sin

AB

BCA

5

4sin

AB

ACB

（ 2 ）在 Rt△ABC 中，

13

5sin

AB

BCA

12513 2222 BCABAC

因此

13

12sin

AB

ACB

A

B

C

A

B

C

3

4

13

求 sinA就是要确定∠ A的对边与斜边的比；求 sinB 就是要确定∠ B 的对边与斜边的比

例 题 示 范

5

（ 1 ）

（ 2 ）

根据下图，求 sinA 和 sinB 的值．

A

B

C

3

5

练习

求 sinA就是要确定∠ A的对边与斜边的比；求 sinB 就是要确定∠ B 的对边与斜边的比

解： （ 1 ）在 Rt△ABC 中，

2 2 2 25 3 34AB AC BC

因此 3 3 34sin

3434

BCA

AB

5 5 34sin

1734

ACB

AB

根据下图，求 sinA 和 sinB 的值．

A

B

C

12

5

练习

求 sinA就是要确定∠ A的对边与斜边的比；求 sinB 就是要确定∠ B 的对边与斜边的比

解： （ 1 ）在 Rt△ABC 中，

2 2 2 212 5 119BC AB AC

因此 119sin

12

BCA

AB

5sin

12

ACB

AB

根据下图，求 sinB 的值．

A

B

Cn

练习

求 sinA就是要确定∠ A的对边与斜边的比；求 sinB 就是要确定∠ B 的对边与斜边的比

解： （ 1 ）在 Rt△ABC 中，

2 2 2 2AB BC AC m n

因此 2 2

2 22 2sin

AC n n m nB

AB m nm n

m

练习 如图， Rt ABC△ 中，∠ C=90 度， CD AB⊥ ，图中 sinB 可由哪两条线段比求得。

D

C

BA

解：在 Rt ABC△ 中，sinAC

BAB

在 Rt BCD△ 中，sinCD

BBC

因为∠ B= ACD∠ ，所以

sin sinAD

B ACDAC

求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。

练一练1. 判断对错 :

A

10m6m

B

C

1) 如图 (1) sinA= （ ） (2)sinB= （ ） (3)sinA=0.6m （ ）

(4)SinB=0.8 （ ）

AB

BC

BC

AB

√

√

×

×sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；

2) 如图， sinA= （ ） BC

AB×

2. 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大

100 倍， sinA 的值（ ）

A. 扩大 100 倍 B. 缩小

C. 不变 D. 不能确定

C1

100

练一练

3. 如图

A C

B

3300

则 sinA=______ .12

小结 如图， Rt ABC△ 中，直角边AC 、 BC 小于斜边 AB ，

所以 0 ＜ sinA ＜ 1, 0 ＜ sinB ＜ 1,

sinBC

AAB

sinAC

BAB

如果∠ A ＜ ∠ B, 则 BC ＜ AC ,

那么 0 ＜ sinA ＜ sinB ＜ 1

A

B

C

＜ 1

＜ 1

本节课你有什么收获呢？

回味无穷

1

2

小结 拓展1. 锐角三角函数定义 :

2.sinA 是∠ A 的函数 .

A

B

C

∠A 的对边┌

斜边

斜边∠A的对边sinA

=

3. 只有不断的思考 , 才会有新的发现 ; 只有量的变化 , 才会有质的进步 .

Sin300 = sin45°=2

2