بحث عن فيثاغورث

علميه ابحاث -www.3lmمدونةar.blogspot.com

فيثاغورث أو وفيثاغورس أ فيثاغورث

هوفيلسوف الساموسي فيتاغورس عاش( يوناني) إغريقي ورياضي

الميالد، قبل السادس القرن في.فيثاغورث إليهمبرهنة وتنسب

بيتاغوراس شخصية حول تحاك واألساطير الروايات من العديد أن يروى حيث منها التحقق ويصعب

في ولد الساموسي بيتاغوراس الساحل على جزيرةساموس

برحلة قام شبابه اليوناني. في سوريا) النهرين بين ما إلىبالد

في حاليآ( وأقام والعراق من سنة20 وبعد. منفبمصر

بيتاغوراس تمكن والدراسة الترحال معروف هو ما كل تعلم من

مختلفالحضارات من فيالرياضيات عاد حالما آنذاك. لكن المعروفة

اضطر رأسه مسقط إلى بيتاغورث وذلك منه للفرار

في بوليكراتس لمعارضتهللدكتاتور االجتماعية. في اإلصالحات يخص ما

بيتاغورث استقر م، ق523 حواليعلميه ابحاث -www.3lmمدونة

ar.blogspot.com

http://www.3lm-ar.blogspot.com/



حيث فيكروتوني جنوبإيطاليا في ميالن يدعى شخص على تعرف فقام الجزيرة أغنياء من وكان ماديا. بمساعدةبيتاغوراس ميالن

صيت ذاع األثناء هذه في ميالنكان أن إال واشتهر بيتاغوراس

عظيم كان حيث آنذاك منه أشهر في فوزا12 وحقق الجثة،

كان الذي الشيء األلعاباألولمبية، ميالن آنذاك. كان قياسيا رقما

والرياضيات مولعابالفلسفة هذا ولعه وبسبب باإلضافةللرياضة،

تصرف في بيته من قسما وضع الفتتاح يكفي كان بيتاغورس

.مدرسة بالرياضيات كبيرا اهتماما اهتم

الرقم وقدس باألرقام وخصوصا اهتم كما الكمال ألنهيمثل عشرة

يتألف الكون أن وقال بالموسيقى العددوالنغم. أجبر بين التمازج من

دارسي من أتباعه فيثاغورث قال أمور عدة على الهندسة

المزاولين من رحالته في أنهنقلها:للهندسة





البيضاء المالبس ارتداءمحددة أوقات في التأمل.

اللحوم أكل عن االمتناعالفول أكل عن االمتناع.

كل أن وتالميذه فيثاغورس يعتقد وبالتالي بالرياضيات مرتبط شيء

وقياسه شيء بكل التنبؤ يمكن.إيقاعية بشكلحلقات

إثبات فيثاغورس استطاع في فيثاغورث نظريتهمبرهنة

مثلث في: تقول والتي الرياضيات الوتر طول مربع الزاوية، قائم

طولي مربعي مجموع يساوي للزاوية المحاذيين الضلعين لمساحة حسابه طريق القائمة،عن

من ضلع كل تقابل التي المربعات قائمالزاوية. استفاد المثلث أضالع العصر في المهندسين من الكثير

فيعملية النظرية هذه من الحاضر المزيد األراضي. ))لمعرفة بناء إلىمبرهنة انتقل النظرية هذه حول

.فيثاغورس





من الثمانين في فيثاغورس توفي ونظرياته تعاليمه ,وظلت عمره اقام عام مائتي انتشاراuبعد تزداد

)البرلمان(تمثاالu الشعب مجلس على شكراuله روما في لفيثاغورس

.بالحكيم المجلس ووصفه انجازه

مبرهنة مبرهنةفيثاغورسهي في أنه تقول اإلقليدية، فيالهندسة

مجموع يكون الزاوية قائم مثلث أي المحاذيين الضلعين طولي مربعي طول مربع يساوي القائمة للزاوية

على هذهالمبرهنة الوتر. سميت الذي العالمفيثاغورس

فلك كانرياضيا،وفيلسوفا،وعالم مبرهنة.القديمة فياليونان

المباشرة فيثاغورس

لمبرهنة شهرة األكثر الشكل وهي:فيثاغورس

مربع الزاوية، قائم مثلث في» مربعي مجموع يساوي الوتر طول

للزاوية المحاذيين الضلعين طولي. «القائمة





،C في الزاوية قائم ABC مثلث في AB=c نضع الوتر، هو[ AB] أن أي

:لدينا. BC=a و AC=b وأو

من فيثاغورس مبرهنة تمكن قائم مثلث أضالع أحد طول حساب

الضلعين طولي بمعرفة الزاوية a=4 و b=3 كان اآلخرين. مثال: إذا

فإن.ومنه

تمثل صحيحة أعداد ثالثة مثلوث الزاوية، قائم مثلث أضالع أطوال مثلوث يسمى (،3 ،4 ،5) مثل

.فيثاغورسالعكسية فيثاغورس مبرهنة

العكسية فيثاغورس مبرهنة نص من األول الجزء من47 )العبارة

(:العناصرإلقليدس كتاب طول مربع كان إذا مثلث، في»

مربعي مجموع يساوي ضلع أطول هذا فإن اآلخرين، طوليالضلعين

الزاوية. الزاوية قائم المثلث ألطول المقابلة هيالزاوية القائمة

. «الوتر هو األطول والضلع ضلع،علميه ابحاث -www.3lmمدونة

ar.blogspot.com




خاصية هي فيثاغورس مبرهنة الزاوية. القائم للمثلث مميزة

:آخر بتعبير كان إذا ،ABC مثلث في»

AC²+BC²=AB² المثلث هذا فإن .«C في الزاوية قائم

في فيثاغورس خاصية عرفت ذلك على والدالئل القديمة، العصور

مثال اآلن. يكفي إلى زالتموجودة ما عشرة ثالث ذا الحبل نالحظ أن

احون الذي عقدة كانالمس� له نجد والذي يستعملونه المصريون

تصاوير عدة في صورا الحبل، هذا لألعمااللزراعية. يسمح

المسافات، قياس على عالوة الحاجة قائمةدون زوايا بإنشاء

العقد تسمح التمام،إذ إلىجيب االثنتي )والمسافات عشرة الثالث العقد( منإنشاء بين الفاصلة عشرة يتضح مثلث (،3 ،4 ،5) أبعاده مثلث

الحبألداة هذا الزاوية. ظل قائم أنه.الوسطى العصور طيلة هندسية

فيثاغورس لمثلوثات تمثيل أقدمعلميه ابحاث -www.3lmمدونة

ar.blogspot.com




أضالعه وأطوال الزاوية قائم )مثلث طبيعية( نجده صحيحة أعداد

قبل سنة 2500) فيالميغاليثات آثارالبابليين أظهرت الميالد(. كما

سنة حوالي ،Plimpton لوحة) قبل الميالد( أنه قبل1800

1000 من بأكثر ظهورفيثاغورس المهندسون عرف سنة،

.فيثاغورس وجودمثلوثات »نالحظ الخاصية اكتشاف بين لكن الزاوية القائمة المثلثات بعض أن

»يبدو تعميمها الخاصية«، تحققهذه الزاوية القائمة المثلثات كل أن

»كل هذهالخاصية« وإثباتها تحقق )فقط( الزاوية القائمة المثلثات

هذه تحقق المستوىاإلقليدي في.أجيال الخاصية« عدة

أضالعه أطوال لمثلث بصري برهان Chou Pei كتاب ( في5 ،4 ،3)

Suan Ching( الثاني-القرن القرن (الميالد قبل الخامس

غير تجعلنا التاريخية الدالئل ندرةعلميه ابحاث -www.3lmمدونة

ar.blogspot.com




المبرهنة نسب على قادرين أننا مع قاطع، بشكل إلىفيثاغورس

برهان صاحبها. أول بأنه يقين على كتاب في نجده مكتوب

:التالية بالصيغة العناصرإلقليدس الزاوية، القائمة المثلثات في»

للزاوية المقابل الضلع طول مربع مربعي مجموع يساوي القائمة. «اآلخرين الضلعين طولي

كان العكسية: » إذا صيغتها مع يساوي مثلث في ضلع طول مربع

الضلعين مربعيطولي مجموع المحصورة الزاوية فإن اآلخرين،

. «قائمة الضلعين هذين بين على Proclus فتعليقات ذلك، ومع

)حوالي إلقليدس العناصر كتاب إلى الميالد( تشير بعد سنة400

بإعادة سوى يقم لم أنإقليدس Proclus نسبه قديم برهان تدوين

.فيثاغورس إلى على البرهان نؤرخ أن يمكننا إذن، الثالث القرن بين ما الخاصية هذه

الميالد. قبل السادس والقرن الفترة تلك في أنه يحكى





بالفعل،. الالجذرية اكتشفتاألعداد قائم مثلث إنشاء بسهولة يمكن

طول الساقين ومتساوي الزاوية الوتر طول مربع فيكون ،1 أحدهما

أيامفيثاغورس بسيط . برهان2 هو لعدد مربعا ليس2 العدد أن يثبت

تم االكتشاف هذا أن جذري. يقال المدرسة طرف من سرا إبقاؤه

.بالقتل تهديد تحت الفيثاغورسية أن يبدو االكتشافات، هذه جانب إلى

فيالصين عرفت المبرهنة هذه هذه وجود إلى إشارة أيضا. نجد

أقدم من واحد في المبرهنة الرياضيات، الصينيةفي المؤلفات

هذا. Zhoubi suanjing كتاب في األغلب على كتب المؤلف،

Han Dynasty( في الفترات أعظم الميالد، قبل206) الصين(، تاريخ

التقنيات بعدالميالد( يضم سنة220 Zhou فترة في المستعملةDynasty( .العاشر القرن

الميالد(. نجد قبل256 قباللميالد، تحمل التي الخاصية، هذه برهان جوجو مبرهنة الصيناسم في





Gougu( القاعدة ،)في واالرتفاع Jiuzhang suanshu كتاب

فن في التسعة الفصول) الميالد، قبل سنة100 الرياضيات،

كليا مختلف ،برهان(بعده سنة50.برهانإقليدس عن

عدديا برهانا فيالهند نجد كما الثالث القرن إلى يعود للخاصية

أعداد باستعمال )برهان الميالد قبل(.بسهولة تعميمه يمكن لكن خاصة، أنها إال هندسية، خاصية أنها رغم عن البحث عند حسابيا منحى أخذت

طبيعية صحيحة أعداد جميعمثلوثات قائم مثلث أضالع أطوال تمثل

هذا. فيثاغورس الزاوية: أيمثلوثات آخر: البحث لبحث الباب فتح البحث

an + bnتحقق التي المثلوثات عن= cn، فيرما إلىمظنونة قاد بحث يد على1994 سنة حلها تم التي

Andrew: باإلنكليزية) الرياضيWiles.)

من العديد الحقيقة في توجد مثل الخاصية، هذه على البراهين

وبرهانالصينيين، برهانإقليدس،علميه ابحاث -www.3lmمدونة

ar.blogspot.com




وبرهاندا ببرهانالهنود، مرورا الرئيس برهان وحتى فينشي

James: باإلنكليزية) األمريكيAbram Garfield .)يفوتنا ال كما

هذه عمم الذي ذكرالكاشي مبرهنة: المثلثات كل على المبرهنة

.الكاشي أكبر لديها المبرهنة هذه شك، بال

هو )كما اإلثباتات من معروف عدد Quadratic لخاصية بالنسبة الحال

reciprocity .)منها بعض هي ها:إقليدس برهان[عدل]

على البرهنة قبل إثبات يجب خاصيةفيثاغورس،

يجب التي األولى عبارتين. العبارة األول الجزء من35 )العبارة إثباتها تساوي العناصر( هي كتاب من

نفس لهما أضالع مساحتيمتوازيي:االرتفاع ونفس القاعدة

قاعدة لها التي األضالع متوازيات» نفس بين ومحصورة مشتركة،

نفس لها المتوازيين، المستقيمين. «المساحة





و ABCD األضالع لنعتبرمتوازييBCFE، مشتركة قاعدة لديهما [

BC]، المتوازيين بين ومحصوران (BC )و(AF)، أن الحظ AD=BC

األضالع متوازي قاعدتا ألنهما)ABCD)، و BC=EF( قاعدتا ألنهما

وبالتالي ،(BCFE األضالع متوازيAD=EF.

في )مبينة فقط حاالت ثالثة توجد E النقطة جانبه( لموضع الشكل

E توجد أن يمكن : D بالنسبةإلى أو D على منطبقة ،D يسار على

:كلحالة سندرس. D يمين على] فإن D يسار على E كانت إذا. 1

ED ]من كل بين مشتركة [AD ]و[EF]، أن من التحقق ومنهنستطيع

متساويتين. EF و AD المسافتين [DC]و[ AB] الضلعين أن الحظ

قاعدتان )ألنهما متقايسان األضالع فيمتوازي متقابلتان

ABCD)، والنقط D، E، A و F الزاويتانومتقايستان. مستقيمية،

CDF و BAE فالمثلثان لهذا كنتيجة ضلعان لهما ألن متقايسان،





المحصورتان والزاويتان متقايسان األضالع متقايستان. إذن،متوازيي

ABCD و CBEF ترتيبين سوى ليسا BEDC المنحرف منشبه مختلفين

(.CDF أو )BAE والمثلث ،D على منطبقة E كانت إذا. 2

المثلثين أن مشابهة بطريقة سنجدBAE و CDF ،من وأنه متقايسان

متوازيي على الحصول الممكن BCFE و ABCD األضالع

إلى( CDF أو )BAE بإضافةالمثلث.BCD المشترك المثلث

لدينا ،D يمين على E كانت إذا. 3AD=EF، وبإضافة DE منهما لكل

مشابهة وبطريقة. AE=DF أن نجد ،2 و1 في إستعملناها التي لتلك

و BAE أنالمثلثين نبين أن يمكنCDF، المنحرف شبهي وأيضا BADG و CGEF، متقايسان. إذن

على الحصول يمكن أنه منالواضح CBEF و ABCD األضالع متوازيي

المشترك إضافةالمثلث طريق عنBCG المنحرف إلىشبه BADG( أو

CGEF.)علميه ابحاث -www.3lmمدونة

ar.blogspot.com




بمتوازي أضالع استبدالمتوازي القاعدة نفس له آخر أضالع

الرياضيات في يعرف واالرتفاع جدا مهم األخير هذا. باسمالقص

:التالية العبارة إثبات في

ولمثلث أضالع لمتوازي كان إذا» بين ومحصورين القاعدة، نفس

مساحة فإن متوازيين، مستقيمين مساحة ضعف هي األضالع متوازي

. «المثلث ولتكن ،ABCD أضالع متوازي لنعتبر

E المستقيم نصف من نقطة (AD] نريد[. AD] القطعة إلى والتنتمي

ضعف هي ABCD مساحة أن إثبات] القطر بعدرسم. BEC مساحة

AC]، مساحة أن نالحظ ABCD هي مساحة ولدينا. ABC مساحة ضعف

ABC مساحة تساوي BEC( لهم ألن مساحة ضعف القاعدة(. إذن نفسBEC مساحة ضعف هي ABC، أي

ABCD .مساحة ومنه ABCD هي .المثلث BEC مساحة ضعف





:البرهان متابعة اآلن نستطيع في الزاوية قائم ABC مثلثا نعتبر

A .لتكن ABFG ،ACIH و BCED على BC و AB ،AC مربعاتاألضالع (BC) تقاطع نقطة J التوالي. لتكن

BCED مساحة أن نريدإثبات(. AK)و و ABFG مساحتي مجموع تساويACIH .طريقإثبات عن هذا يمكننا

تساوي ABFG المربع مساحة أن وأن ،BJKD المستطيل مساحة

تساوي ACIH المربع مساحة.CEKJ المستطيل مساحة

أن يمكن األولى، المتساوية إلثبات BC و FB المسافتين أن نالحظ

التوالي. على BD و AB تساويان الزاويتانومتقايستان، ألن

(أن الحظ) و( أن الحظ)والزاويتان المثلثان لدينا متقايستان. كنتيجة،

FBC و ABD أيضا متقايسان. الحظ المربع مساحة ،XLI حسبالعبارة أنه

ABFG المثلث مساحة ضعف هي FBC مساحةالمستطيل وأن BJKD

بما. ABD المثلث مساحة ضعف هي FBC و ABD المثلثين أن





ABFG مساحة فإن متقايسان،.BJKD مساحة تساوي

الثانية المتساوية على نحصل و IC أن مشابهة: بمالحظة بطريقةCB يساويان AC و CE على

الزاويةتقايس وأن التوالي، المثلثين أن على الزاوية،نحصل

ICB و ACE أن متقايسان. وعلما هيضعف ACIH المربع مساحة مساحة وأن ICB المثلث مساحة

مساحة ضعف هي CEKJ المستطيلACE، أنالمثلثين وبما ICB و ACE

ACIH مساحة فإن متقايسان،.CEKJ مساحة تساوي

تساوي BCED مساحة وبالتالي، و BJKD مساحتي مجموع مساحة

CEKJ، مساحتي مجموع أي ABFG فيثاغورس مبرهنة وتكون. ACIH و

.كليرو لمبرهنة خاصة حالةجوجو برهان

جوجو لغز





جوجو مبرهنة صياغة إعادة تمتGougu تعليقات من إنطالقا

Liu Hui الصيني ومالحظاتالرياضي الميالد( على بعد الثالث القرن)

فن في » الفصواللتسعة كتاب الميالد، قبل206« ) الرياضيات

Zhoubi كتاب بعده( وعلى220Suanjian « في كتاب الدوائر، ظل

Calculus( » علم في كتاب (.الفلك

لعبة مبدأ على يعتمد البرهان هذا متساويتان مساحتان: Puzzle اللغز

أنإقليدس وتركيب. يذكر تقطيع بعد (القص) المبدأ نفس استعمل

المثلث جانبه، الشكل تقريبا. في غامق، بلون مرسوم الزاوية القائم

الزاوية ضلعي من ضلع مربعأطول بينما المثلث، خارج رسم القائمة للضلعين بالعكسبالنسبة نقوم

.اآلخرين المثلث يقايس األحمر المثلث

من ضلع أطول البدئي. طول المثلث في الزاويةالقائمة ضلعي

ضلع أصغر طول يساوي األصفرعلميه ابحاث -www.3lmمدونة

ar.blogspot.com




وزواياهذين البدئي، المثلث في أطول متقايسة. طول المثلثين

في القائمة الزاوية ضلعي من ضلع طولي فرق يساوي المثلثاألزرق

للمثلث القائمة الزاوية ضلعي.أيضا وزواياهمامتقايسة البدئي

الجداء باستعمال البرهنة[عدل]() المتجهات السلمي

A في الزاوية قائم مثلثا ABC ليكن A في الزاوية قائم ABC أن بما

فإنBC2 = AB2 + AC2ومنهحديث برهان[عدل]

حيث الزاوية قائم مثلثا لنعتبر .c و b ،a هي أضالعه قياسات

مرات ثالث بنسخالمثلث نقوم a طوله ضلع كل يشكل بحيث

b طوله ضلع مع مستقيما على األخير في لمثلثآخر. نحصل

في كما ،a+b ضلعه طول مربع.الصورة

المحدد المربع مساحة لنحسب بالطبع. c الطول ذات باألضالع





أيضا وتساوي ،c² هي المساحة ذو الكبير المربع مساحة فرق

ومجموع a+b الضلع األربع. مساحة مساحاتالمثلثات

طول ألن( a+b)² هي الكبير المربع مساحات ومجموع. a+b هو ضلعه

مساحة مرات أربع هي المثلثات إذنالفرق ،(ab/2)4 أي واحد، مثلث بالتبسيط )²-4)ab/2(a+b) هو

a²+b²+2ab-2ab أي a²+b² .بهذا مساحة أن على قدبرهنا نكون ،a²+b² تساوي c الضلع ذو المربع

. a²+b²=c² أي إلثبات أخرى عديدة طرق توجد

الرئيس حتى مبرهنةفيثاغورس، والعشرونجيمس الواحد األمريكي

James: باإلنكليزية) جارفيلدGarfield )،قريبة بطريقة برهن

على السابقة، الطريقة من.مبرهنةفيثاغورس

للمبرهنة أخرى أشكال[عدل]

للعكس المضاد استلزامها[عدل]

:للعكس المضاد االستلزام نصعلميه ابحاث -www.3lmمدونة

ar.blogspot.com




مثلث أضالع أطوال كانت إذا» ABC المثلث تحققفإن ABC ليس

. «A النقطة في قائما للعكس المضاد أناالستلزام رغم

المباشرة، منطقياالمبرهنة يكافئ مختلفان: استعماليهما أن إال

المباشرة فيثاغورس فمبرهنة مثلث ضلع طول تستعمللحساب

الضلعين طولي بداللة الزاوية قائم أناستلزامها حين في اآلخرين،

كون إلثبات يستعمل للعكس المضاد (معلومة أضالعه )قياسات مثلث

.الزاوية قائم ليس للعكس المضاد االستلزام[عدل]

العكسية للخاصية

ABC المثلث كان يلي: » إذا يقولما« فإن A في الزاوية قائم ليس

هندسية أشكال على تعميم[عدل]المربعات غير أخرى

الهاللين مبرهنة





في مبرهنةفيثاغورس عممإقليدس VI الجزء ،31 )العبارة العناصر كتابه

(:العناصر كتاب من الزاوية، القائمة المثلثات في»

الوتر، على مرسوم شكل مساحة مساحتي مجموع يساوي

المرسومين له الشكلينالمشابهين. «القائمة الزاوية ضلعي على

أنشأنا آخر: » إذا بتعبير مثلث أضالع على أشكاالمتشابهة

مساحتي فإن الزاوية، قائم مساحة تساوي الصغيرين الشكلين

. «الكبير الشكل بالبرهنة لنا تسمح الخاصية هذه

تساوي مثلث مساحة أن على الهاللين مساحتي مجموع

الزاوية ضلعي على المرسومين.الهاللين مبرهنة: القائمة

استعماالتها[عدل]فيثاغورس مبرهنة تسمح

نقطتين بين المسافة بحساب بداللةإحداثياتهما متعامد فيمعلم

Bو)A)xa,yaكانت إذا الديكارتية،)xb,yb(منالمستوي نقطتان





بينهما المسافة فإن اإلقليدي،:هي

C نقطة إحداثيتا(xb,ya)كانت إذا ACB المثلث فإن نفسالمعلم، في CA المسافتان. C في الزاوية قائم

:معلومتان CB وCA = | xb − xa| CB = | yb − ya|

وتر طول AB المسافة تمثل بينما.ACB المثلث

إقليدي فيفضاء عام، بشكل ،(إقليدي تآلفي أوفضاء)

:منإلىتساوي المسافة

نعتبرمبرهنة أن يمكن Parseval فيثاغورس لمبرهنة تعميما

.الداخلي الجداء فيفضاء

فيثاغورس مبرهنة تعمم األبعاد ذات علىالتبسيطات

ركن أوجه كانلرباعي الكبيرة. إذا مربع فإن ،(منمكعب )ركن قائم

للركن، المقابل الوجه مساحة مساحات مربعات مجموع يساوي

األخرى. تعرف الثالثة األوجهعلميه ابحاث -www.3lmمدونة

ar.blogspot.com




باسممبرهنة أيضا المبرهنة هذهGua.




بحث عن فيثاغورث

Documents