7

8

الفصـــل األول

التعريف بعلم اإلحصاء مقدمــة 1/1

قط، كأعـداد من املفاهيم الشائعة بني الناس عن اإلحصاء، ما هي إال أرقام وبيانات رقمية ف وأعداد املزارعني، وأعداد املزارع، وخالفه، ومن مث ارتبط وأعداد املواليد، وأعداد الوفيات، السكان،

هو املفهوم احملدود لعلم األشياء والتعبري عنها بأرقام، وهذا حصاء بأنه عد أو حصرمفهوم الناس عن اإلاإلحصاء، ولكن اإلحصاء كعلم، هو الذي يهتم بطرق مجع البيانات، وتبويبها، وتلخيصها بشكل ميكن

.االستفادة منها يف وصف البيانات وحتليلها للوصول إىل قرارات سليمة يف ظل ظروف عدم التأكد

وظائف علم اإلحصاء 1/2 : يف اآليتمن التعريف السابق ميكن حتديد أهم وظائف علم اإلحصاء

Data Descriptionوصف البيانات - 1 Statistical Inferenceاالستدالل اإلحصائي - 2 Forecastingالتنبؤ - 3

وصف البيانات: أوال

إذ ال ميكـن م اإلحـصاء، أهم وظائف عل من طريقة مجع البيانات وتبويبها وتلخيصها تعترب مجع البيانات وعرضها يف االستفادة من البيانات اخلام، ووصف الظواهر املختلفة حمل االهتمام، إال إذا مت

البسيطة اليت تدلنا علـى طبيعـة شكل جديل، أو بياين من ناحية، وحساب بعض املؤشرات اإلحصائية . من ناحية أخرىالبيانات

ائياالستدالل اإلحص: ثانيا

وهو أيضا من أهم الوظائف املستخدمة يف جمال البحث العلمي، ويستند االستدالل اإلحصائي اختيار جزء من اتمع يسمى عينة بطريقة علمية مناسبة، بغرض استخدام بيانات هذه العينة على فكرة

إلحصائي مبوضوعني يف التوصل إىل نتائج، ميكن تعميمها على جمتمع الدراسة، ومن مث يهتم االستدالل ا :مها Statisticsوفيه يتم حساب مؤشرات من بيانات العينة تـسمى إحـصاء : Estimateالتقدير - 1

، ويطلق على املقاييس اإلحـصائية Parametersتستخدم كتقدير ملؤشرات اتمع وتسمى معامل ا ميكـن أيـضا ، كمPoint Estimateاحملسوبة من بيانات العينة يف هذه احلالة بالتقدير بنقطة

استخدام املقاييس اإلحصائية احملسوبة من بيانات العينة يف تقدير املدى الذي ميكن أن يقع داخلـه .Interval Estimateمعلمة اتمع باحتمال معني، ويسمى ذلك التقدير بفترة

9

ار وفيه يتم استخدام بيانات العينة للوصول إىل قر: Tests of Hypothesesاختبارات الفروض - 2 .علمي سليم خبصوص الفروض احملددة حول معامل اتمع

التنبؤ: ثالثا

وفيه يتم استخدام نتائج االستدالل اإلحصائي، واليت تدلنا على سلوك الظاهرة يف املاضي يف وهناك العديد من األساليب اإلحصائية املعروفة اليت . معرفة ما ميكن أن حيدث هلا يف احلاضر واملستقبل

يف التنبؤ، ومن أبسطها أسلوب االجتاه العام، وهي معادلة رياضية يتم تقدير معامالا باستخدام تستخدم .بيانات العينة، مث بعد ذلك استخدام املعادلة املقدرة يف التنبؤ مبا ميكن أن حيدث للظاهرة يف املستقبل

أنواع البيانات وطرق قياسها1/3نوع ، و Data العلم الذي يهتم جبمع البيانات الحظ أنه من التعريف السابق لعلم اإلحصاء، ي وللبيانـات أنـواع ، املستخدم التحليل اإلحصائي حتدد أهم األشياء اليت ، وطريقة قياسها من البيانات

، ) Female إناث – Maleذكور(بيانات النوع : ختتلف يف طريقة قياسها، ومن األمثلة على ذلك، وبيانات عن درجة احلرارة الالزمة حلفـظ +D-D+-C-C+-B-B+-A-A)(وبيانات تقدير الطالب

من هـذه و .الشهر خالل وبيانات عن حجم اإلنفاق العائلي باأللف ريال فترة زمنية معينة، الدجاجاألمثلة جند أن بيانات النوع غري رقمية، بينما بيانات تقدير الطالب بيانات رقمية موضوعة يف شـكل

بيانات كل من درجة احلرارة، وحجم اإلنفاق العائلي فهي بيانات رقمية، ومن مستويات أو فئات، أما :ميكن تقسيم البيانات إىل جمموعتني مهامث

Qualitative Data الوصفية البيانات - 1 Quantitative Dataالبيانات الكمية - 2

البيانات الوصفية: أوال ، رقميـة فئاتيف شكل مستويات أو هي بيانات غري رقمية، أو بيانات رقمية مرتبة يف شكل :س البيانات الوصفية مبعيارين مهاومن مث تقا

تتكون من جمموعات وهي بيانات غري رقمية: Nominal Scaleبيانات وصفية مقاسة مبعيار امسي - أمتنافية، كل جمموعة هلا خصائص متيزها عن اموعة األخرى، كما أن هذه اموعـات ال ميكـن

:ا، ومن األمثلة على ذلكاملفاضلة بينه " . أنثى –ذكر " متغري وصفي تقاس بياناته مبعيار امسي : النوع - ."متزوج ـ أعزب ـ أرمل ـ مطلق " متغري وصفي تقاس بياناته مبعيار امسي :احلالة االجتماعية - ."....برحي ـ خالص ـ سكري ـ " متغري وصفي يقاس بياناته مبعيار امسي : أصناف التمور - " سعودي ـ غري سعودي" متغري وصفي يقاس بياناته مبعيار امسي : اجلنسية -

وهذا النوع من البيانات ميكن تكويد جمموعاته بأرقام، فمثال اجلنـسية ميكـن إعطـاء اجلنـسية )2(الكود " غري سعودي"، واجلنسية )1(الكود " سعودي"

10

وتتكون من مستويات، أو فئـات ميكـن : Ordinal Scalesوصفية مقاسة مبعيار ترتييب بيانات - ب :ترتيبها تصاعديا أو تنازليا، ومن األمثلة على ذلك

+D-D+-C-C+-B-B+-A-A""متغري وصفي تقاس بياناته مبعيار ترتييب : تقدير الطالب - يقرأ ويكتب ـ ابتدائية –أمي "متغري وصفي تقاس بياناته مبعيار ترتييب :املستوى التعليمي -

"ية ـ جامعية ـ أعلى من جامعية ـ متوسطة ـ ثانومتغري وصفي ترتييب : تركيز خالت الصوديوم املستخدم يف حفظ حلوم الدجاج من البكتريا -

"%15 ـ %10 ـ %5 ـ %0"يقاس بياناته مبعيار ترتييب 15000-10000 ، 10000-5000 ، 5000>" فئات الدخل العائلي يف الشهر بالريال -

،15000-20000 ،>20000."

البيانات الكمية: ثانياهي بيانات يعرب عنها بأرقام عددية متثل القيمة الفعلية للظاهرة، وتنقسم إىل قسمني

:مهاتقاس مبقدار بعدها عن الصفر، أي أن وهي بيانات رقمية،: Interval Dataبيانات فترة - أ

:للصفر داللة على وجود الظاهرة، ومن أمثلة ذلكليس " 0o"قاس بياناته مبعيار بعدي، حيث أن درجة احلرارة متغري كمي ت : درجة احلرارة -

.دل على وجود الظاهرةمعناه انعدام الظاهرة، ولكنه يمتغري كمي يقاس بياناته مبعيار بعدي، حيث حصول الطالـب : درجة الطالب يف االختبار -

. ال يعين انعدم مستوى الطالب" 0"على الدرجة عـدم وجـود على " 0"ريات كمية، تدل القيمة هي متغ :Ratio Dataبيانات نسبية - ب

:ن األمثلة على ذلكالظاهرة وم . هكتار/بالطنإنتاجية الفدان - .املساحة املرترعة باألعالف بالدومن - .كمية األلبان اليت تنتجها البقرة يف اليوم - .عدد مرات استخدام املزرعة لنوع معني من األمسدة - .ةعدد الوحدات املعيبة من إنتاج املزرع -

ويالحظ أن بيانات الفترة ال ميكن إخضاعها للعمليات احلسابية مثل عمليات الـضرب . النسبيةوالقسمة، بينما ميكن فعل ذلك مع البيانات

طرق مجع البيانات1/4تعترب طريقة مجع البيانات من أهم املراحل اليت يعتمد عليها البحث اإلحصائي، كما

صحيح، يترتب عليه الوصول إىل نتائج دقيقة يف التحليـل، أن مجع البيانات بأسلوب علمي

11

:ولدراسة طرق مجع البيانات، جيب اإلملام بالنقاط التالية . أسلوب مجع البيانات- 2. مصادر البيانات - 1 . وسائل مجع البيانات- 4أنواع العينات - 3

مصادر مجع البيانات 1/4/1 : البيانات مهاهناك مصدرين للحصول منها على

. املصادر الثانوية- 2. املصادر األولية- 1

وهي املصادر اليت حنصل منها على البيانات بشكل مباشر، حيث :املصادر األولية : أوالما يهتم الباحث جبمع فعند مباشرة، يقوم الباحث نفسه جبمع البيانات من املفردة حمل البحث

رة، يقوم بإجراء مقابلة مع رب األسرة، ويتم احلصول منه مباشرة على بيانات بيانات عن األسخاصة بأسرته، مثل بيانات املنطقة التابع هلا، واحلي الذي يسكن فيه، واحلنـسية، واملهنـة،

.وهكذا... ة، واملستوى التعليمي، والدخل الشهري، وعدد أفراد األسرهو الذي الثقة يف البيانات، ألن الباحث ويتميز هذا النوع من املصادر بالدقة و

يقوم بنفسه جبمع البيانات من املفردة حمل البحث مباشرة، ولكن أهم ما يعاب عليها أا حتتاج . إىل وقت وجمهود كبري، ومن ناحية أخرى أا مكلفة من الناحية املادية

انات بشكل غري نها على البي وهي املصادر اليت حنصل م :املصادر الثانوية: ثانيا

مباشر، مبعىن آخر يتم احلصول عليها بواسطة أشخاص آخرين، أو أجهزة، وهيئـات رمسيـة " متخصصة، مثل نشرات وزارة الزراعة، ونشرات مصلحة اإلحصاء، ونشرات منظمة األغذية

.وهكذا"....الفاوة ثقة توفري الوقت واجلهد واملال، إال أن درجا النوع من املصادر، ومن مزايا هذ

.األوليةها ليست بنفس الدرجة يف حالة املصادر الباحث في أسلوب مجع البيانات1/4/2

يتحدد األسلوب املستخدم يف مجع البيانات، حسب اهلدف من البحث، وحجم :اتمع حمل البحث، وهناك أسلوبني جلمع البيانات مها

.عاينةأسلوب امل - 2 . أسلوب احلصر الشامل - 1

يستخدم هذا األسلوب إذا كان الغرض من البحث هو : أسلوب احلصر الشامل:أوالحصر مجيع مفردات اتمع، ويف هذه احلالة يتم مجع بيانات عن كل مفردة من مفردات اتمع بال استثناء، كحصر مجيع املزارع اليت تنتج التمور، أو حصر البنوك الزراعيـة يف اململكـة،

أسلوب احلصر الشامل بالشمول وعدم التحيز، ودقة النتائج، ولكن يعاب عليه أنـه ويتميز .حيتاج إىل الوقت واهود، والتكلفة العالية

12

على معاينة جزء من اتمع حمل الدراسة، يتم ألسلوب يعتم هذا ا : أسلوب املعاينة:ثانيانة على اتمع، ومن مث يتميز هذا بطريقة علمية سليمة، ودراسته مث تعميم نتائج العي اختياره : باآليتاألسلوب

. واجلهدالوقتتقليل - 1 . تقليل التكلفة - 2احلصول على بيانات أكثر تفصيال، وخاصة إذا مجعت البيانات مـن خـالل اسـتمارة - 3

.استبيانكما أن أسلوب املعاينة يفضل يف بعض احلاالت اليت يصعب فيها إجراء حصر شامل، مثل - 4

.يض، أو إجراء تعداد لعدد األمساك يف البحر، أو معاينة اللمبات الكهربائيةمعاينة دم املرأن النتائج اليت تعتمد على هذا األسلوب أقل :ى أساوب املعاينة ولكن يعاب عل

كانت العينة املختارة ال متثل اتمع متثـيال دقة من نتائج أسلوب احلصر الشامل، وخاصة إذا .جيدا

ت أنواع العينا1/4/3

والعينة الدراسة، أوال حتديد الفرق بني جمتمع أنواع العينات، يتمنستعرض لكي .املسحوبة من هذا اتمع

اليت تشترك يف صفات، وخصائص حمـددة، وجمتمـع هو جمموعة من املفردات : اتمع - أالدراسة هو الذي يشمل مجيع مفردات الدراسة، أي هو الكل الذي نرغب دراسته، مثل

. طالب الصف الثالث الثانويزارع إنتاج الدواجن، أو جمتمع جمتمع م .هو جزء من اتمع يتم اختياره بطرق خمتلفة بغرض دراسة هذا اتمع: العينة - ب

)1(شكل رقم الفرق بني اتمع والعينة

جمتمع الدراسة عينة الدراسة

:ويتوقف جناح استخدام أسلوب املعاينة على عدة عوامل هي .نوع العينة املختارة - 3 طريقة اختيار مفردات العينة - 2 .كيفية حتديد حجم العينة - 1

:وميكن تقسيم العينات وفقا ألسلوب اختيارها إىل نوعني مها العينات غري االحتمالية- العينات االحتمالية ب - أ

13

)2(شكل رقم

العينات االحتمالية: أوالاالحتماالت، مبعىن آخر هي اليت يتم يتم اختيار مفرداا وفقا لقواعد هي العينات اليت

، اختيار مفرداا من جمتمع الدراسة بطريقة عشوائية، دف جتنب التحيز الناتج عن اختيار املفردات :ومن أهم أنواع العينات االحتمالية، ما يلي

.Simple Random Sample العينة العشوائية البسيطة - أ .Stratified Random Sampleالعينة العشوائية الطبقية - ب .Systematic Random Sampleالعينة العشوائية املنتظمة - ت .Cluster Sampleالعينة العنقودية أو املتعددة املراحل - ث

العينات غري االحتمالية: ثانيا

فرداا بطريقة غري عشوائية، حيث يقوم الباحث باختيار مفردات هي اليت يتم اختيار م العينة بالصورة اليت حتقق اهلدف من املعاينة، مثل اختيار عينة من املزارع اليت تنتج التمور من النوع

:السكري، وأهم أنواع العينات غري االحتمالية Judgmental Sampleالعينة العمدية - أ Quota Sampleالعينة احلصصية - ب

14

الفصـــل الثاين طرق عرض البيانات

مقدمـــة 2/1اخلطوة التالية بعد مجع البيانات يف جمال اإلحصاء الوصفي، هو تبويب البيانـات وعرضـها

. بصورة ميكن االستفادة منها يف وصف الظاهرة حمل الدراسة، من حيث متركز البيانات، ودرجة جتانسها : البيانات مهاوهناك طريقتني لعرض

.عرض البيانات جدوليا - 1 .عرض البيانات بيانيا - 2

عرض البيانات جدوليا 2/2ميكن عرض البيانات يف صورة جدول تكراري، وخيتلف شكل اجلدول طبقا لنوع البيانـات،

يف شكل جدول تكـراري ) وصفي أو كمي ( وحسب عدد املتغريات، وفيما يلي عرض بيانات متغري .بسيط

عرض بيانات املتغري الوصفي يف شكل جدول تكراري بسيط 2/2/1

إذا كنا بصدد دراسة ظاهرة ما حتتوي على متغري وصفي واحد، فإنه ميكن عرض بياناتـه يف املتغري، ) جمموعات(شكل جدول تكراري بسيط، وهو جدول يتكون من عمودين، أحدمها به مستويات

).جمموعة(ل مستوى لك) التكرارات(والثاين به عدد املفردات

.واملثال التايل يبني لنا كيف ميكن تبويب البيانات الوصفية اخلام يف شكل جدول تكراري

)1- 2(مثال . مزرعة عن نوع التمر الذي تنتجه املزرعة40فيما يلي بيانات عينة من

خالص صقعي خالص برحي خالص برحي خالص سكري برحي ت سيفنبو برحي خالص صقعي برحي سكري برحي خالص صقعي برحي برحي خالص سكري برحي صقعي صقعي نبوت سيف صقعي نبوت سيف سكري برحي خالص برحي خالص صقعي برحي سكري نبوت سيف صقعي برحي خالص

:واملطلوب .ما هو نوع املتغري؟، وما هو املعيار املستخدم يف قياس البيانات؟ - 1 .اعرض البيانات يف شكل جدول تكراري - 2 .ون التوزيع التكراري النسيبك - 3 .علق على النتائج - 4

15

احلـل

متغري وصفي، تقاس بياناته مبعيار ) نبوت سيف – صقعي – برحي – خالص –سكري (نوع التمر - 1 .امسي

:لعرض البيانات يف شكل جدول تكراري ، يتم إتباع اآليت - 2 :تكوين جدول تفريغ البيانات •

عالمة تعرب عن تكرار للمجموعة اليت ينتمـي وهو جدول حيتوي على عالمات إحصائية، كل إليها نوع التمر الذي تنتجه املزرعة، وكل مخس عالمات تكون حزمة إحصائية، كما هو مبني

:باجلدول التايل جدول تفريغ البيانات

نوع التمر العالمات اإلحصائية )التكرارات(عدد املزارع سكري 5

خالص 10 برحي 13 صقعي 8 نبوت سيف 4

40 Sum

.تكوين اجلدول التكراري • :وهو نفس اجلدول السابق، باستثناء العود الثاين، ويأخذ الصورة التالية

)1- 2(جدول رقم

ة حسب نوع التمر الذي تنتجه مزرع40التوزيع التكراري لعينة حجمها

عدد املزارع التوزيع التكراري النسيب (f)) التكرارات(

نوع التمر

125.0405

=

سكري 5

25.04010

=

خالص 10

325.04013

=

برحي 13

20.0408

=

صقعي 8

10.0404

=

نبوت سيف 4

1.00 40 Sum

16

.بيانات افتراضية: املصدر :التوزيع التكراري النسيب - 3

:حيسب التكرار النسيب بقسمة تكرار اموعة على جمموع التكرارات، أي أن

. يعرض التكرار النسيب للمزارعني حسب نوع التمر) 1- 2(والعمود الثالث يف اجلدول رقم

يف العينة هـي " برحي"يالحظ أن نسبة املزارع اليت تنتج النوع ) 1- 2(من اجلدول رقم : التعليق - 4 وهي أكرب نسبة مما يدل على أن النمط الشائع يف إنتاج التمور هو ذلك النوع، بينما جند 32.5%

. وهي أقل نسبة%10.0حوايل " نبوت سيف"أن نسبة املزارع اليت تنتج النوع

)2- 2(مثال . فرد50 التعليمي لعينة من فيما يلي بيانات عن املستوى

ابتدائي متوسط أعلى من جامعي ثانوي متوسط ثانوي يقرأ ويكتب متوسط متوسط ابتدائي ثانوي متوسط ثانوي ثانوي متوسط يقرا ويكتب

ثانوي يقرا ويكتب ابتدائي ثانوي جامعي يقرا ويكتب ثانوي ابتدائي متوسط يجامع متوسط ابتدائي ثانوي متوسط ابتدائي متوسط ابتدائي ثانوي ابتدائي يقرا ويكتب ثانوي ابتدائي متوسط ثانوي ثانوي ثانوي أعلى من جامعي جامعي ابتدائي جامعي ثانوي جامعي يقرا ويكتب متوسط

. اعرض البيانات يف شكل جدول تكراري- 1: واملطلوب .كون التوزيع التكراري النسيب، مث علق على النتائج - 2

ـلاحل

: عرض البيانات يف شكل جدول تكراري - 1متغري ) أعلى من جامعي- جامعي- ثانوي- متوسط_ ابتدائي- يقرأ ويكتب(املستوى التعليمي

: وصفي ترتييب، وميكن عرض البيانات أعاله يف شكل جدول تكراري بإتباع اآليت :تكوين جدول تفريغ البيانات •

جدول تفريغ البيانات املستوى التعليمي العالمات اإلحصائية )راراتالتك(عدد األفراد يقرأ ويكتب 6

ابتدائي 10 متوسط 12 ثانوي 15 جامعي 5 أعلى من جامعي 2

50 Sum

17

:ل التكراريتكوين اجلدو • )2- 2(جدول رقم

فرد حسب املستوى التعليمي50التوزيع التكراري لعينة حجمها

) التكرارات(عدد األفراد التوزيع التكراري النسيب (f)

املستوى التعليمي

يقرأ ويكتب 6 0.12 ابتدائي 10 0.20 متوسط 12 0.24 ثانوي 15 0.30 جامعي 5 0.10 أعلى من جامعي 2 0.041.00 50 Sum

بيانات عينة : املصدر .تكوين التوزيع التكراري النسيب - 2

ميكن حساب التكرارات النسبية، والعمود الثالث يف اجلدول رقم ) 1- 2(بتطبيق املعادلة رقم ينب هذا التوزيع، ) 2- 2(

ي، بينمـا من أفراد العينة ممن لديهم مؤهل ثانو %30ومن التوزيع النسيب يالحظ أن حوايل ، %5أكثر من ) متوسط، ابتدائي، يقرأ ويكتب (يكون نسبة األفراد ممن لديهم مؤهل اقل من الثانوي

. وهي أقل نسبة%4أما نسبة األفراد احلاصلني على مؤهل أعلى من جامعي حوايل

مالحظات على اجلدول :عند تكوين جدول ما لعرض البيانات، جيب مراعاة اآليت

.ولكتابة رقم للجد - 1 .كتابة عنوان للجدول - 2 .لكل عمود من أعمدة اجلدول عنوان يدل على حمتواه - 3 .جيب كتابة مصدر البيانات يف اجلدول - 4

عرض بيانات املتغري الكمي يف شكل جدول تكراري بسيط2/2/2

بنفس األسلوب السابق املتبع يف تكوين جدول تكراري، ميكن أيضا عرض بيانات املتغري الكمي جدول تكراري بسيط، ويتكون هذا اجلدول من عمودين، األول حيتوي على فئات تـصاعدية يف شكل

للقراءات اليت يأخذها املتغري، والثاين يشمل التكرارات أو عدد املفردات اليت تنتمي قراءاـا للفئـة .املناسبة هلا، واملثال التايل يبني كيف ميكن عرض البيانات الكمية بيانيا

)3- 2(مثال

. طالب يف االختبار النهائي ملقرر مادة اإلحصاء التطبيقي70فيما يلي بيانات درجات

18

56 75 70 66 60 55 65 70 65 56 66 71 62 67 71 61 67 61 70 60 75 69 71 57 69 72 68 57 72 68 65 63 73 66 63 58 73 67 62 72 58 74 60 81 80 74 76 74 73 58 72 94 78 91 85 77 83 77 82 76 62 78 88 64 87 55 79 57 64 79

:واملطلوب .كون التوزيع التكراري لدرجات الطالب - 1 .كون التوزيع التكراري النسيب - 2 ؟80إىل أقل من 70ما هو نسبة الطالب احلاصلني على درجة ما بني - 3 درجة؟70ما هو نسبة الطالب احلاصلني على درجة أقل من - 4 أو أكثر ؟80ني على درجة ما هو نسبة الطالب احلاصل - 5

احلـل :تكوين التوزيع التكراري - 1

درجة الطالب يف االختبار متغري كمي مستمر، ولكي يتم تبويب البيانات يف شـكل جـدول :تكراري، يتم اتباع اآليت

Range(R)حساب املدى •Range = Maximum – Minimum

R = 94 - 55 = 39 :Classes(C)حتديد عدد الفئات •

رأي الباحث، واهلدف من البحث، وحجم البيانات، : تتحدد عدد الفئات وفقا العتبارات منها ، بفـرض أن 15 إىل 5ويرى كثريا من الباحثني أن أفضل عدد للفئات جيب أن يتراوح بني

. (C=8): فئات، أي أن8عدد الفئات هو : Length(L)حساب طول الفئة •

5875.4839

≈====CR

ClassesRangeL

:حتديد الفئات • :الفئة تبدأ بقيمة تسمي احلد األدىن، وتنتهي بقيمة تسمي احلد األعلى، ومن مث جند أن

55= أي أن احلد األدىن للفئة األوىل ) درجة( احلد األدىن للفئة األوىل هو أقل قراءة - L = 60=55+5 + 55= طول الفئة + احلد األدىن= احلد األعلى للفئة األوىل

"60 إىل أقل من 55من " وتقرأ "to les than 60 55 ": إذا الفئة األوىل هي 60= احلد األعلى للفئة األوىل = احلد األدىن للفئة الثانية _

5 + 60 = 65= طول الفئة + احلد األدىن للفئة = احلد األعلى للفئة الثانية "65 إىل أقل من 60من " وتقرأ "to les than 65 60": الفئة الثانية هي إذا

: وبنفس الطريقة يتم تكوين حدود الفئات األخرى، وهي-

19

to les than 75 70: الفئة الرابعة to les than 70 65: الفئة الثالثة to les than 85 80: الفئة السادسة to les than 80 75: الفئة اخلامسة to les than 95 90: الفئة الثامنة to les than 90 85: الفئة السابعة

:وميكن كتابة الفئات بأشكال خمتلفة كما هو مبني جبدول تفريغ البيانات :تكوين جدول تفريغ البيانات •

جدول تفريغ البياناتعدد الطالب الدرجة

)التكرارات(العالمات فئات اتفئ فئات اإلحصائية

10 55- 55 – 60 55 to les than 60

12 60- 60 – 65 60 to les than 65

13 / 65- 65 – 70 65 to les than 70

16 / 70- 70 – 75 70 to les than 75 10

75- 75 – 80 75 to les than 80 4 //// 80- 80 – 85 80 to les than 85 3 /// 85- 85 – 90 85 to les than 90 2 90-95 90 - 95 90 to les than 95

70 Sum

:تكوين اجلدول التكراري • )3- 2(جدول رقم

لب حسب درجام يف اختبار مقرر اإلحصاء طا70التوزيع التكراري لعدد

)التكرارات(عدد الطالب التكرار النسيب(f)

فئات الدرجة

0.143 10 55 – 60 0.171 12 60 – 65 0.186 13 65 – 70 0.229 16 70 – 75 0.143 10 75 – 80 0.057 4 80 – 85 0.043 3 85 – 90 0.028 2 90 – 95 1.00 70 Sum

هـ1426بيانات نتيجة العام : املصدر :التوزيع التكراري النسيب - 2

nf

التكرار النسيب=

.يبني التكرار النسيب) 3- 2(والعمود الثالث يف اجلدول رقم

20

هو جمموع التكرارين النسبيني 80 إىل أقل من 70نسبة الطالب احلاصلني على درجات ما بني - 3

:عة واخلامسةللفئتني الراب372.0143.0229.0 ( 70 , 80)نسبة الطالب احلاصلني على درجات ما بني = +=

.( 70 , 80) من الطالب حصلوا على درجات ما بني %37.2أي حوايل ، هو جمموع التكرارات النـسبية للفئـات 70نسبة الطالب احلاصلني على درجات أقل من - 4

:األوىل والثانية، والثالثة5.0186.0171.0143.0 70نسبة الطالب احلاصلني على درجة أقل من = ++=

درجة 70 من الطالب حصلو على درجة أقل من %50أي أن حوايل أو أكثر، هو جمموع التكرارات النـسبية للفئـات 80نسبة الطالب احلاصلني على درجة - 5

:الثالث األخرية128.0028.0043.0057.0 أو أكثر80صلني على درجات نسبة الطالب احلا = ++=

. أو أكثر80 من الطالب حصلوا على درجة %12.8أي أن حوايل

الكمية العرض البياين للبيانات2/3

العرض البياين للبيانات، هو أحد طرق اليت ميكن استخدامها يف وصف البيانات، من حيـث بيقية يكون العرض البياين أسهل وأسرع شكل التوزيع ومدى متركز البيانات، ويف كثري من النواحي التط

يف وصف الظاهرة حمل الدراسة، وختتلف طرق عرض البيانات بيانيا حسب نوع البيانات املبوبة يف شكل .جدول تكراري، وفيما يلي عرض لألشكال البيانية املختلفة

Histogram املدرج التكراري 2/3/1

ول التكراري البسيط اخلاص بالبيانـات الكميـة املدرج التكراري هو التمثيل البياين للجد املتصلة، وهو عبارة عن أعمدة بيانية متالصقة، حيث متثل التكرارات على احملور الرأسي، بينما متثل قيم

على احملور األفقي، ويتم متثيل كل فئة بعمود، ارتفاعه هو تكرار الفئة، وطول ) حدود الفئات ( املتغري .قاعدته هو طول الفئة

)4- 2(مثال

اختريت من أحد 100حجمها باجلرام، عينة من الدواجن ألوزان فيما يلي التوزيع التكراري . يوم 45املزارع بعد

Sum 700-720 680- 660- 640- 620- 600- الوزن عدد الدجاج 10 15 20 25 20 10 100 :واملطلوب

ما هو طول الفئة؟ - 1

21

.ارسم املدرج التكراري - 2 .لتكراري النسيب، مث علق على الرسمارسم املدرج ا - 3

احلـل (L)طول الفئة - 1

20700720...620640600620 =−==−=−=L

20= إذا طول الفئة .رسم املدرج التكراري - 2

:لرسم املدرج التكراري يتم إتباع اخلطوات التالية . رسم حموران متعامدان، الرأسي وميثل التكرارات، األفقي وميثل األوزان • . ارتفاعه هو تكرار الفئة، وطول قاعدته هو طول الفئةكل فئة متثل بعمود • .كل عمود يبدأ من حيث انتهى به عمود الفئة السابقة •

.يبني املدرج التكراري ألوزان الدجاج) 1- 2(والشكل

)1- 2(شكل دجاجة100املدرج التكراري ألوزان عينة من الدجاج حجمها

: إجراء اآليت التكراري النسيب يتملرسم املدرج: رسم املدرج التكراري النسيب - 3 .حساب التكرارات النسبية •

Sum 700-720 680- 660- 640- 620- 600- الوزن عدد الدجاج 10 15 20 25 20 10 100 التكرار النسيب 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.10 1.00

22

عند رسم املدرج التكراري، يـتم رسـم املـدرج إتباع نفس اخلطوات السابقة ب •

لتكراري النسيب، بإحالل التكرارات النسبية حمل التكرارات املطلقة على احملـور ا :الرأسي، كما هو مبني يف الشكل التايل

)2- 2(شكل

دجاجة100املدرج التكراري النسيب ألوزان عينة من الدجاج حجمها

:ومن الشكل أعاله يالحظ اآليت

. جرام وهي أكرب نسبة680 ، 660 من الدجاج يتراوح وزنه بني %25أن •أن الشكل ملتوي جهة اليسار، مما يدل على أن توزيـع أوزان الـدجاج سـالب •

. االلتواء

مالحظات على شكل املدرج التكراري .(n)أن املساحة أسفل املدرج التكراري تساوي جمموع التكرارات - أرارات النـسبية، أما املساحة أسفل املدرج التكراري النسيب، فهي تعرب عن جمموع التك - ب

.وهي تساوي الواحد الصحيحميكن تقدير القيم الشائعة، وهي القيم اليت يناظرها أكرب ارتفاع، ففي الشكلني السابقني، - ت

. ويطلق عليه املنوال (680-660)جند أن الوزن الشائع يقع يف الفئة : ميكن معرفة شكل توزيع البيانات، كما هو مبني باألشكال الثالث التالية - ث

)3- 2(شكل

23

التكراري ضلع امل2/3/2هو متثيل بياين أيضا للجدول التكراري البسيط، حيث متثل التكرارات على احملور الرأسـي،

ومراكز الفئات على احملور األفقي، مث التوصيل بني اإلحداثيات خبطوط منكسرة، وبعد ذلك يتم توصيل .طريف املضلع باحملور األفقي

:لقيمة اليت تقع يف منتصف الفئة، وحتسب بتطبيق املعادلة التاليةومركز الفئة هي ا

ونظرا لعدم معرفة القيم الفعلية لتكرار كل فئة، يعترب مركز الفئة هو التقدير املناسب لقيمـة

.كل مفردة من مفردات الفئة

)5- 2(مثال .راريلرسم املضلع التك) 4- 2(استخدم بيانات اجلدول التكراري يف املثال

احلـل

:لرسم املضلع التكراري يتبع اآليت )3- 2(حساب مراكز الفئات بتطبيق املعادلة رقم •

)التكرار(عدد الدجاج (x)مركز الفئة الوزن (600+620)/2= 610 10 600- (620+640)/2=630 15 620-

650 20 640- 670 25 660- 690 20 680-

(700+720)/710 10 700-720 100 Sum

:نقط اإلحداثيات هي •

(x)مركز الفئة 590 610 630 650 670 690 710 730 (y)التكرار 0 10 15 20 25 20 10 0

)4- 2(التمثيل البياين لنقط اإلحداثيات وتوصيلها خبطوط مستقيمة، كما هو مبني بالشكل •

24

) 4- 2(شكل اجة دج100املضلع التكراري ألوزان عينة من الدجاج حجمها

التكراري نحىن امل2/3/3بإتباع نفس اخلطوات السابقة يف رسم املضلع ميكن رسم املنحىن التكراري، ولكن يتم متهيـد

اخلطوط املنكسرة يف شكل منحىن حبيث مير بأكثر عدد من النقاط، ويف املثال السابق ميكن رسم املنحىن .يبني هذا الشكل) 5- 2(التكراري، والشكل

)5- 2(شكل

دجاجة100املنحىن التكراري ألوزان عينة من الدجاج حجمها

كما ميكن رسم املنحىن التكراري النسيب بتمثيل التكرارات النسبية على احملور الرأسي بدال من :التايل) 6- 2(التكرارات املطلقة، ومن مث يأخذ هذا املنحىن الشكل رقم

25

)6- 2(شكل دجاجة100وزان عينة من الدجاج حجمها املنحىن التكراري النسيب أل

واملنحىن التكراري أعاله موجب االلتواء، كما أن املساحة أسفل هذا املنحىن تعرب عن جمموع التكرارات النسبية، أي أا تساوي الواحد الصحيح، وهناك أشكل خمتلفة للمنحىن التكراري النسيب، تدل علـى

:ا يليأشكال توزيع البيانات، ومن أمهها م

التوزيعات التكرارية املتجمعة3/3يف كثري من األحيان قد حيتاج الباحث إىل معرفة عدد املشاهدات اليت تقل عن قيمة معينـة أو

تزيد عن قيمة معينة، ومن مث يلجأ الباحث إىل تكوين جداول جتميعية صاعدة أو هابطة، وفيما يلي بيان :ني على حدةكيفية تكوين كل نوع من هذين النوع

التوزيع التكراري املتجمع الصاعد3/3/1

اليت ) عدد القيم (لتكوين اجلدول التكراري املتجمع الصاعد، يتم حساب جمموع التكرارات .تقل عن كل حد من حدود الفئات

)6- 2(مثال

البقرة بقرة يف مزرعة حسب كمية األلبان اليت تنتجها40اجلدول التكراري التايل يبني توزيع . يف اليوم باللتر

Sum 34-38 30- 26- 22- 18- كمية األلبان عدد األبقار 4 9 15 8 4 40

26

:واملطلوب .كون جدول التوزيع التكراري املتجمع الصاعد - 1 .كون جدول التوزيع التكراري املتجمع الصاعد النسيب - 2 .ارسم املنحىن التكراري املتجمع الصاعد النسيب - 3 :ع أوجد اآليتمن املنحىن املتجم - 4

. لتر28نسبة األبقار اليت يقل إنتاجها عن • . من األبقار%25كمية اإلنتاج اليت يقل عنها • . من اإلنتاج%50كمية اإلنتاج اليت يقل عنها •

احلل .التوزيع التكراري املتجمع الصاعد - 1

ي توزيع تكراري متجمع صاعد التوزيع التكرار

تكرار متجمع صاعد نسيب

تكرار متجمع كمية اإلنتاج عدد األبقار أقل من صاعد

باللتر -18 4 18أقل من 0 0.00 -22 9 22أقل من 4 0.10

-26 15 26أقل من 13 0.325 -30 8 30أقل من 28 0.70 38-34 4 34أقل من 36 0.90 Sum 40 38أقل من 40 1.00

حيسب التكرار املتجمع الصاعد النسيب بقـسمة : ري املتجمع الصاعد النسيب التوزيع التكرا - 2

التكرار املتجمع الصاعد على جمموع التكرارات، كما هو مبني بالعمود األخـري يف جـدول . التوزيع التكراري املتجمع الصاعد

هو التمثيل املنحىن التكراري املتجمع الصاعد النسيب :رسم املنحىن التكراري املتجمع الصاعد - 3البياين للتوزيع التكراري املتجمع الصاعد النسيب، حيث متثل حدود الفئات على احملور األفقي، والتكرار املتجمع الصاعد النسيب على احملور الرأسي، ويتم متهيد املنحىن ليمر باإلحـداثيات،

:كما هو مبني يف الشكل التايل

27

. تقريبا 0.47 هي لتر28نسبة األبقار اليت يقل إنتاجها عن •

. لتر تقريبا25: من قيم اإلنتاج هي%25كمية اإلنتاج اليت يقل عنها •

لتر، ويطلق عليها 28.5: من قيم اإلنتاج هي%50كمية اإلنتاج اليت يقل عنها • :الوسيط

28

)النازل( التوزيع التكراري املتجمع اهلابط 3/3/2اليت ) عدد القيم (ازل، يتم حساب جمموع التكرارات لتكوين اجلدول التكراري املتجمع الن

.تساوي أو تزيد عن كل حد من حدود الفئات

)7- 2(مثال :، وأوجد اآليت)6- 2(استخدم بيانات اجلدول التكراري يف مثال

.كون التوزيع التكراري املتجمع النازل - 1 .ارسم املنحىن التكراري املتجمع النازل النسيب - 2

:احلل .وزيع التكراري املتجمع النازلتكوين الت - 1

توزيع تكراري متجمع نازل التوزيع التكراري

تكرار متجمع نازل نسيب

تكرار كمية اإلنتاج عدد األبقار أكثر من أو يساوي متجمع نازل

باللتر -18 4 18 يساويأكثر من أو 40 1.00 -22 9 22 يساويأكثر من أو 36 0.90

-26 15 26 يساوي أكثر من أو 27 0.675 -30 8 30 يساويأكثر من أو 12 0.30 38-34 4 34 يساويأكثر من أو 4 0.10 Sum 40 38 يساويأكثر من أو 0 0.00

.رسم املنحىن التكراري املتجمع النازل

29

:مالحظات .، ويالحظ أما يتقاطعان عند نقطة تسمى الوسيطميكن رسم املنحنيان يف شكل بياين واحد - 1 .يكون استخدامنا للمنحىن املتجمع الصاعد أكثر وأوقع من الناحية التطبيقية - 2

العرض البياين للبيانات الوصفية3/4ميكن عرض البيانات اخلاصة مبتغري وصفي يف شكل دائرة بيانية أو أعمدة بيانية، ميكن من

. موعات أو مستويات هذا املتغريخالله وصف ومقارنة جم الدائرة البيانية3/4/1

درجة حسب التكرار 360oلعرض بيانات املتغري الوصفي يف شكل دائرة، يتم توزيع الـ : بتطبيق املعادلة التاليةrالنسيب موعات املتغري، حيث حتدد مقدار الزاوية اخلاصة باموعة رقم

360o مقدار الزاوية = × التكرار النسيب للمجموعة )8- 2(مثال

. أسرة حسب املنطقة اليت تنتمي إليها500اجلدول التكراري التايل يبني توزيع عينة حجمها

sum املنطقة الرياض الشرقية القصيم الغربية عدد األسر 150 130 50 170 500

.مثل البيانات أعاله يف شكل دائرة بيانية

:احلل

:حتديد مقدار الزاوية املخصصة لكل منطقة، بتطبيق املعادلة - 1مقدار الزاوية املخصص للمنطقة = 360o × التكرار النسيب للمنطقة

30

املنطقة عدد األسر التكرار النسيب مقدار الزاوية360 × 0.30 = 108o 0.30 150 الرياض 360 × 0.26 = 93.6o 0.26 130 الشرقية 360 × 0.10 = 36o 0.10 50 القصيم 360 × 0.30 = 122.4o 0.34 170 الغربية

360o 1.00 500 Sum رسم الدائرة - 2

يتم رسم دائرة وتقسيمها إىل أربع أجزاء لكل منطقة جزء يتناسب مع مقدار الزاوية املخصصة :له، كما هو مبني يف الشكل التايل

)7- 2(شكل رقم

أسرة موزعة حسب املنطقة 500ينة حجمها الدائرة البيانية لع

وهي أكرب %34ومن الشكل أعاله يالحظ أن نسبة األسر اليت تنتمي للمنطقة الغربية حوايل

وهي أقـل نـسبة يف %10نسبة يف العينة، بينما يكون نسبة األسر يف منطقة القصيم حوايل .العينة

31

الفصـــل الثالث ة مقاييس الرتعة املركزي

Central Tendency

مقدمة3/1املؤشرات اليت ميكن حساب بعض يف كثري من النواحي التطبيقية يكون الباحث يف حاجة إىل

االعتماد عليها يف وصف الظاهرة من حيث القيمة اليت تتوسط القيم أو ترتع إليها القيم ، ومن حيث واالعتماد . ا ما إذا كان هناك قيم شاذة أم ال ، وأيض املتغريخذهايأالتعرف على مدى جتانس القيم اليت

عرض بعض املقاييس ، والذي يليه هذا الفصليتناول على العرض البياين وحدة ال يكفى ، ولذا اإلحصائية اليت ميكن من خالهلا التعرف على خصائص الظاهرة حمل البحث، وكذلك إمكانية مقارنة

. مقاييس الرتعة املركزية والتشتت ظاهرتني أو أكثر ، ومن أهم هذه املقاييس ،

مقاييس الرتعة املركزية 3/2تسمى مقاييس الرتعة املركزية مبقاييس املوضع أو املتوسطات ، وهى القيم الىت تتركز القيم

، والوسط يحوهلا ، ومن هذه املقاييس ، الوسط احلسايب ، واملنوال ، والوسيط ، والوسط اهلندس يلي عرض ألهم هذه املقاييس ، وفيما ت ، واملئيناتالتوافقي ، والرباعيا

Arithmetic Meanالوسط احلسايب 3/2/1

من أهم مقاييس الرتعة املركزية ، وأكثرها استخداما يف النواحي التطبيقية ، وميكن حسابه :للبيانات املبوبة وغري املبوبة ، كما يلي

الوسط احلسايب للبيانات غري املبوبة: أوال

فإذا كان لدينا . يعرف الوسط احلسايب بشكل عام على أنه جمموع القيم مقسوما على عددها n من القيم ، ويرمز هلا بالرمز :n

xxx ,,2

,1 .... : حيسب باملعادلة التالية xفإن الوسط احلسايب هلذه القيم ، ونرمز له بالرمز

. على اموع Σ حيث يدل الرمز

)1- 3(ال ـمث

32

. إحصاء تطبيقي 122قرر طالب يف م8فيما يلي درجات

34 32 42 37 35 40 36 40 .واملطلوب إجياد الوسط احلسايب لدرجة الطالب يف االمتحان

احلـل :كما يلي) 1- 3(ادلة رقم للدرجات تطبق املعالوسط احلسايبإلجياد

378296

84036403537423234

...21

==+++++++=

+++=

n

xxxx n

درجة37 إحص يساوي 122 يف اختبار مقرر أن الوسط احلسايب لدرجة الطالبيأ

الوسط احلسايب للبيانات املبوبة: ثانيا

من املعلوم أن القيم األصلية ، ال ميكن معرفتها من جدول التوزيع التكراري ، حيث أن هذه ة يف شكل فئات ، ولذا يتم التعبري عن كل قيمة من القيم اليت تقع داخل حدود الفئة القيم موضوع

أن مركز الفئة هو القيمة التقديرية لكل مفردة تقع يف هذه مبركز هذه الفئة ، ومن مث يؤخذ يف االعتبار .الفئة

kxxx هي عدد الفئات ، وكانت kفإذا كانت ,,, فئات، هي مراكز هذه ال21...kfff ,,, : هي التكرارات ، فإن الوسط احلسايب حيسب باملعادلة التالية21...

)2- 3(مثـال . تلميذ حسب أوزام 40اجلدول التايل يعرض توزيع

44-42 42-40 40-38 38-36 36-34 34-32 فئات الوزن 1 5 10 13 7 4 عدد التالميذ

. واملطلوب إجياد الوسط احلسايب

احلــل

33

:يتم إتباع اخلطوات التالية ) 2- 3 (حلساب الوسط احلسايب باستخدام املعادلة رقم∑إجياد جمموع التكرارات - 1 f . 2 - حساب مراكز الفئات x. )(ضرب مركز الفئة يف التكرار املناظر له - 3 fx موعوحساب ا ،∑xf .) 2- 3 (حساب الوسط احلسايب بتطبيق املعادلة رقم - 4

fx مراكز الفئات

x التكرارات

f فئات الوزن

(C ) 4×33=132 (32+34)÷2=33 4 32-34 7×35=245 35 7 34-36

13×37=481 37 13 36-38 10×39=390 39 10 38-40 5×41=205 41 5 40-42

1×43=43 43 1 42-44 اموع 40 1496

:هو لوزن التلميذ إذا الوسط احلسايب

gkf

fxx

ii

iii

.4.37401496

6

1

6

1 ==∑

∑=

=

=

k.g 37.4 يساوي أن متوسط وزن التلميذ ي أ

خصائص الوسط احلسايب :ه اخلصائص ما يلي خلصائص ، ومن هذبعدد من ايتصف الوسط احلسايب

: هي x أنه إذا كانت قيم يالوسط احلسايب للمقدار الثابت يساوى الثابت نفسه ، أ - 1aaax : ، فإن الوسط احلسايب هو:,,...,

كيلوجرام 63 طالب ، ووجدنا أن كل طالب وزنه 5ومثال على ذلك ، لو اخترنا جمموعة من

: إن متوسط وزن الطالب يف هذه اموعة هو ، ف

gkx .635315

56363636363 ==++++=

.جمموع احنرافات القيم عن وسطها احلسايب يساوى صفرا ، ويعرب عن هذه اخلاصية باملعادلة - 2

، جند أن درجات الطالب هي ) 1- 3(وميكن التحقق من هذه اخلاصية باستخدام بيانات مثال

34

: ، إذا x=37 ، والوسط احلسايب للدرجة هو 40 ,36 ,40 ,35 ,37 ,42 ,32 ,34 :

296 40 36 40 35 37 42 32 34 x 40-37 36-37 40-37 35-37 37-37 42-37 32-37 34-37

0 3 -1 3 -2 0 5 -5 -3

)( xx − )37( −x

∑ : أنيأ =− 0)37(x

) بعد اإلضافة(إذا أضيف مقدار ثابت إىل كل قيمة من القيم ، فإن الوسط احلسايب للقيم املعدلة - 3

فإذا كانت . مضافا إليها هذا املقدار الثابت ) قبل اإلضافة(يساوى الوسط احلسايب للقيم األصلية nxxx :القيم هي ,,, إىل كل قيمة من القيم ، ونرمز للقيم (a)فة مقدار ثابت ، ومت إضا21...

axy أن ي ، أyاجلديدة بالرمز ) القيم بعد اإلضافة (yالوسط احلسايب لقيم: ، فإن =+ :هو

قيم اجلديدة ، وميكن التحقق من هذه اخلاصية باستخدام هو الوسط احلسايب للyحيث أن

) .1- 3(بيانات مثال رقم درجات لكل طالب ، فإن الوسط احلسايب للدرجات املعدلة يصبح قيمته 5إذا قرر املصحح إضافة

. ، واجلدول التايل يبني ذلك {42=(37+5)}

296 40 36 40 35 37 42 32 34 x 40+5 36+5 40+5 35+5 37+5 42+5 32+5 34+5

336 45 41 45 40 42 47 37 39

)5( += xy

∑: جند أن جمموع القيم اجلديدة هو = 336y ومن مث يكون الوسط احلسايب للقيم اجلديدة ،

: هو

)425375(428

336=+=+=== →∑ x

yy n

القيم الناجتة ( كل قيمة من القيم ، فإن الوسط احلسايب للقيم املعدلة يف(a)إذا ضرب مقدار ثابت - 4

مضروبا يف هذا املقدار ) القيم بعد التعديل(يساوى الوسط احلسايب للقيم األصلية ) بعد الضربxay :أى أنه إذا كان . الثابت : هو y ، ويكون الوسط احلسايب للقيم اجلديدة =

35

فإذا كان . وميكن للطالب أن يتحقق من هذه اخلاصية باستخدام نفس بيانات املثال السابق درجة ، مبعىن أنه سوف 100 ، وقرر املصحح أن جيعل التصحيح من 50تصحيح الدرجة من

: ، ويصبح الوسط احلسايب اجلديد هو (a=2)يضرب كل درجة يف قيمة ثابتة 74)37(2 === xay

: أنيجمموع مربعات احنرافات القيم عن وسطها احلسايب أقل ما ميكن ، أ - 5

∑:ويف املثال السابق فإن ∑ −<− 22 )()37( axx 37 جلميع قيم≠a لوسط احلسايب املرجحا: اثالث

مى أوزن ، أو ترجيحات ، أمهية نسبية تس املتغري يف بعض األحيان يكون لكل قيمة من قيم وعدم أخذ هذه األوزان يف االعتبار عند حساب الوسط احلسايب ، تكون القيمة املعربة عن الوسط

اإلحصاء قرراحلسايب غري دقيقة ، فمثال لو أخذنا مخسة طالب ، وسجلنا درجات هؤالء الطالب يف م . التطبيقي ، وعدد ساعات االستذكار يف األسبوع

sum 5 4 3 2 1 مسلسل 173 46 28 36 40 23 x ) الدرجة( 4 2 3 3 1 w ) عدد ساعات االستذكار(

:رجح للدرجة احلاصل عليها الطالب هي املجند أن الوسط احلسايب غري

6.345

1735

4628364023==

++++∑ == nxx

، يتم تطبيق w املرجحة بعدد ساعات االستذكار xوإذا أردنا أن حنسب الوسط احلسايب للدرجات :املعادلة التالية

( )

769.3713491

131845610812023

42331446228336340123

==++++

=

++++×+×+×+×+×

∑∑ == w

xww

.رجح املغري احلسايب وهذا الوسط املرجح أكثر دقة من الوسط

)إذا الوسط احلسايب املرجح )wادلة التالية حيسب بتطبيق املع:

36

مزايا وعيوب الوسط احلسايب

:يتميز الوسط احلسايب باملزايا التالية .أنه سهل احلساب • .يأخذ يف االعتبار كل القيم • .أنه أكثر املقاييس استخداما وفهما •

.ومن عيوبه .أنه يتأثر بالقيم الشاذة واملتطرفة • .يصعب حسابه يف حالة البيانات الوصفية • .ب حسابه يف حالة اجلداول التكرارية املفتوحة يصع • Median الوسيط 3/2/2

رتب القيم ، ويعرف الوسيط بأنـه والذي يأخذ يف االعتبار هو أحد مقاييس الرتعة املركزية، ، أي أن n)2( ، ويزيد عنـها النـصف اآلخـر n)2(يقل عنها نصف عدد القيم اليت القيمةوفيما يلي كيفية حساب الوسيط يف حالة البيانات . من القيم أعلى منه%50 من القيم أقل منه، 50%

.غري مبوبة ، والبيانات املبوبة

الوسيط للبيانات غري املبوبة: أوال :لبيان كيف ميكن حساب الوسيط للبيانات غري املبوبة ، نتبع اخلطوات التالية

.يا القيم تصاعدترتب •

= رتبة الوسيط : حتديد رتبة الوسيط، وهي •

+

21n

: فردي فإن الوسيط هو(n)إذا كان عدد القيم •

، والقيمـة رقـم n)/2( يقع بني القيمة رقم الوسيط، فإن زوجي n)(إذا كان عدد القيم •

)1)2/(( +nومن مث حيسب الوسيط بتطبيق املعادلة التايل ،:

37

) 3- 3(مثـال

وحدة جتريبية متشاة ، ومت زراعتها مبحصول القمح ، 17مت تقسيم قطعة أرض زراعية إىل (b) وحدات جتريبية ، والنوع 7 وجرب على (a)النوع : ومت استخدام نوعني من التسميد مها

/ ية ، وبعد انتهاء املوسم الزراعي ، مت تسجيل إنتاجية الوحدة بالطن وحدات جتريب10وجرب على :هكتار ، وكانت على النحو التايل

(a)النوع 1.2 2.75 3.25 2 3 2.3 1.5 (b)النوع 4.5 1.8 3.5 3.75 2 2.5 1.5 4 2.5 3

.امث قارن بينه السماد املستخدم، واملطلوب حساب وسيط اإلنتاج لكل نوع من

احلـل

(a)حساب وسيط اإلنتاج للنوع األول : أوال :ترتيب القيم تصاعديا •

)7(عدد القيم فردى • =n ): رتبة الوسيط هيإذا • )42/)17(2/)1( =+=+n. : هوa ، أي أن وسيط اإلنتاج للنوع 4ويكون الوسيط هو القيمة رقم •

aMed=3.2هكتار / طن

:(b)حساب وسيط اإلنتاج للنوع الثاين : ثانيا .ترتيب القيم تصاعديا •

38

)10(عدد القيم زوجي • =n إذا ): رتبة الوسيط هي • )5.52/)110(2/)1( =+=+n. ) . 6 ،5رقم (تصف الوسط احلسايب للقيمتني الواقعتني يف املن= الوسيط •

75.2هكتار / طن 2

35.2=

+=bMed

أقل من وسيط إنتاجية النوع (a)ومبقارنة النوعني من السماد ، جند أن وسيط إنتاجية النوع (b)أن ي ، أ : ab MedMed > .

الوسيط للبيانات املبوبة: ثانيا

.زيع تكراري ، يتم إتباع اخلطوات التالية حلساب الوسيط من بيانات مبوبة يف جدول تو .تكوين اجلدول التكراري املتجمع الصاعد •

: حتديد رتبة الوسيط •

=

∑

22fn

:حتديد فئة الوسيط كما يف الشكل التايل •

)(احلد األدىن لفئة الوسيط 1fتكرار متجمع صاعد سابق A Medالوسيط n)2(رتبة الوسيط

احلد األعلى لفئة الوسيط 2fتكرار متجمع صاعد الحق .وحيسب الوسيط ، بتطبيق املعادلة •

: حيث أن

Lوحتسب باملعادلة التالية هي طول فئة الوسيط ،: احلد األدىن – احلد األعلى= طول الفئة

L = Upper - Lower ) 4- 3(مثال

عجل متوسط احلجم ، حسب احتياجاته اليومية مـن الغـذاء اجلـاف 50فيما يلي توزيع جرام بالكيلو

الحتياجات اليوميةفئات ا - 1.5 - 4.5 - 7.5 - 10.5 16.5 – 13.5

fعدد العجول 4 12 19 10 5

39

بيانيا - حسابيا ب- أ : حساب الوسيط : واملطلوب

لـاحل

حساب الوسيط حسابيا: أوال

25 :رتبة الوسيط •2

5022 ==∑= fn

:اجلدول التكراري املتجمع الصاعد •

)2(وهى الفئة اليت تشمل قيمة الوسيط ، وهي قيمة أقل منها : ديد فئة الوسيط حت • /n من

القيم ، وميكن معرفتها بتحديد التكرارين املتجمعني الصاعدين الذين يقع بينهما رتبة الوسيط )2( /n 35) التكرارين املتجمعني تقع بني(25) ، وىف اجلدول أعاله جند أن رتبة الوسيط ,

، 7.5 ، ويكون احلد األدىن لفئة الوسيط هو املناظر للتكرار املتجمع الصاعد السابق (16أى أن فئة . 10.5واحلد األعلى لفئة الوسيط هو املناظر للتكرار املتجمع الصاعد الالحق

.(10.5-7.5) :الوسيط هي :على هذا املثال جند أن ) 11- 3(رقم وبتطبيق معادلة الوسيط •

35.75.10,35,16,5.7 21 =−==== LffA : إذا الوسيط قيمته هي

40

gk

Lfffn

AMed

.921.8421.15.719275.73

1995.7

3163516255.72

12

1

=+=+=×+=

×−−

+=×−

−+=

حساب الوسيط بيانيا :ثانيا

.متثيل جدول التوزيع التكراري املتجمع الصاعد بيانيا •

قيم مث رسم خط مست. على املنحىن التكراري املتجمع الصاعد (25)حتديد رتبة الوسيط •

.(a)أفقي حىت يلقى املنحىن يف النقطة . على احملور األفقي (a)إسقاط عمود رأسي من النقطة • .نقطة تقاطع اخلط الرأسي مع احملور األفقي تعطى قيمة الوسيط • .Med = 8.6الوسيط كما هو مبني يف الشكل •

مزايا وعيوب الوسيط

من مزايا الوسيط . املتطرفة ال يتأثر بالقيم الشاذة أو - 1 . كما أنه سهل يف احلساب - 2 قيم ي عن أ املطلقة جمموع قيم االحنرافات املطلقة عن الوسيط أقل من جمموع االحنرافات - 3

MedaaxMedx : أن يأ. أخرى ≠−≤− ∑∑ ,||||

ومن عيوب الوسيط

41

.تني فقط فهو يعتمد على قيمة أو قيم، كل القيم يف االعتبار عند حسابه أنه ال يأخذ - 1 nominalيصعب حسابه يف حالة البيانات الوصفية املقاسة مبعيار امسي - 2

Mode املنوال 3/2/3يعرف املنوال بأنه القيمة األكثر شيوعا أو تكرارا ، ويكثر استخدامه يف حالة البيانات الوصفية

: املبوبة كما يليالشائع، وميكن حسابة للبيانات املبوبة وغري) املستوى ( ملعرفة النمط ،

ملبوبة ايف حالة البيانات غريحساب املنوال : أوال

)طريقة الفروق(حساب املنوال يف حالة البيانات املبوبة : ثانيا

: أن حيثA : الفئة املناظرة ألكرب تكرار (احلد األدىن لفئة املنوال(. 1d : تكرار سابق–فئة املنوال تكرار = (الفرق األول ( 2d : تكرار الحق–تكرار فئة املنوال = ( الفرق الثاين (

L : طول فئة املنوال. الفئة املناظرة ألكرب تكرار= فئــة املنوال

)5- 3(مثـال غذية والزراعة ، ومت رصد اختريت عينات عشوائية من طالب بعض أقسام كلية علوم األ

: إحصاء التطبيقي ، وكانت النتائج كالتايل122قرر درجات هؤالء الطالب يف م قسم وقاية النباتات 80 77 75 77 77 77 65 70 58 67 قسم علوم األغذية 88 68 60 75 93 65 77 85 95 90 قسم االقتصاد 80 65 69 80 65 88 76 65 86 80 قسم اإلنتاج احليواين 85 73 69 85 73 69 69 73 72 85

42

:واملطلوب حساب منوال الدرجات لكل قسم من األقسام

احلـل :هذه البيانات غري مبوبة ، لذا فإن

القيمة األكثر تكرارا= املنوال .يبني منوال الدرجة لكل قسم من األقسام التايل واجلدول

القسم القيمة األكثر تكرار القيمة املنوالية

قسم وقاية النباتات مرات 4 تكررت 77الدرجة درجة77= املنوال قسم علوم األغذية مجيع القيم ليس هلا تكرار ال يوجد منوال

:منواالن مها يوجد 65= املنوال األول 80 = املنوال الثاين

3 تكررت 65الدرجة مرات

3 تكررت 80الدرجة ت مرا

قسم االقتصاد

:ي ثالث منوال هوجد ي 69= املنوال األول 73= املنوال الثاين

85= املنوال الثالث

3 تكررت 69الدرجة مرات

3 تكررت 73الدرجة مرات

3 تكررت 85الدرجة مرات

قسم اإلنتاج احليواين

)6- 3(مثال . أسرة حسب اإلنفاق االستهالكي الشهري هلا باأللف ريال 30وزيع فيما يلي ت

فئات اإلنفاق - 2 - 5 - 8 - 11 17 - 14

fعدد األسر 4 7 10 5 4

.واملطلوب حساب منوال اإلنفاق الشهري لألسرة، باستخدام طريقة الفروق

احلل : ، ويتم إتباع اآليت ) 12- 3 (يتم استخدام املعادلة رقم هلذه البيانات املنوالحلساب

املنوالية حتديد الفئة • (11-8): الفئة املنوالية هي الفئة املناظرة ألكرب تكرار

43

: ، حيث أن dحساب الفروق •

5)510(3)710( 21 =−==−= dd )8(حتديد احلد األدىن للفئة املنوالية • =A 3( ، وكذلك طول الفئة( =L :جند أن . وبتطبيق املعادلة اخلاصة حبساب املنوال ىف حالة البيانات املبوبة •

125.9125.1835338

21

1

=+=×+

+=

×+

+= Ldd

dAMod

استخدام مقاييس الرتعة املركزية يف حتديد شكل 3/3 البيانات توزيع

يعرب عن والذي واملنوال يف وصف املنحىن التكراري،ميكن استخدام الوسط احلسايب والوسيط :شكل توزيع البيانات ، كما يلي

)1- 3(شكل

:يكون املنحىن متماثل إذا كان •

.املنوال = الوسيط = الوسط :إذا كان) ملتوي جهة اليمني (يكون املنحىن موجب االلتواء •

املنوال> الوسيط > الوسط :إذا كان ) ملتوي جهة اليسار(ء يكون املنحىن سالب االلتوا •

املنوال< الوسيط < الوسط

) 7- 3(عام مثال

44

عبوات من املياه املعبأة للشرب ، ذات احلجم 10قام مدير مراقبة اإلنتاج بسحب عينة من : لتر ، واملنتجة بواسطة إحدى شركات تعبئة املياه لفحص كمية األمالح الذائبة، وكانت كالتايل 5

115 123 119 123 124 119 123 121 123 121 . واملنوال، مث حدد شكل االلتواء هلذه البيانات حساب الوسط احلسايب، والوسيط، : واملطلوب

احلل

: حساب الوسط احلسايب

1.12110

1211==

∑=

n

xx

: حساب الوسيط •)1(/2)110(/5.52: رتبة الوسيط =+=+n

ترتيب القيم تصاعديا

( 5 , 6)الوسط احلسايب للقيمتني رقم = الوسيط . ي ، وهو عدد زوج10= عدد القيم

122

2

244

2

123121==

+=Med

: حساب املنوال • تكررت أكثر من غريها ، إذا 123القيمة : املنوال يساوى القيمة األكثر تكرارا

123=Mod

:ومبقارنة الوسط والوسيط و املنوال جند أن

.كمية األمالح سالبة االلتواء بيانات املنوال ، إذا توزيع< الوسيط < الوسط : جند أن

) 8- 3(مثال

45

. عامل يف مزرعة حسب األجر اليومي بالريال 100اجلدول التكراري التايل يعرض توزيع

األجر - 50 - 70 - 90 - 110 - 130 - 150 190 - 170 عدد العمال 8 15 28 20 15 8 6

: واملطلوب .حساب الوسط والوسيط واملنوال • .بيان شكل توزيع األجور يف هذه املزرعة •

احلل .حساب الوسط والوسيط واملنوال •

x الوسط احلسايب: أوال

f x مراكز الفئات(x ) ارات التكر( f ) فئات األجر 480 60 8 50 – 70

1200 80 15 70 – 90 2800 100 28 90 – 110 2400 120 20 110 - 130 2100 140 15 130 - 150 1280 160 8 150 – 170 1080 180 6 170 - 190

اموع 100 11340

SRf

fxx .4.113100

11340==

∑

∑=

Med الوسيط : ثانيا (n/2 =100/2 =50): رتبة الوسيط

.تكوين التوزيع التكراري املتجمع الصاعد

أقل من تكرار متجمع صاعد 50أقل من 0 70أقل من 8 1f←23 90أقل من

( 50) رتبة الوسيط 1f←51 110 من أقل

130أقل من 71 150أقل من 86 170أقل من 94

190أقل من 100 :من اجلدول أعاله جند أن

46

2090110,90,51,23,502 21 =−===== LAffn

:إذا الوسيط قيمته هى

SR

Lff

fn

AMed

.

902

3.109286.199028

5409020

28

2790

202351

2350

12

1

=+=+=×+=

×−

−+=×

−

−+=

Mod املنوال: ثالثا

الفئة املناظرة ألكرب تكرار ، هىيةنوالاملالفئة . (110 - 90) ، وهو يناظر الفئة التقريبية 28= أكرب تكرار

13152882028: حساب الفروق 12 , =−==−= dd 2090110: طول الفئة A=90: احلد األدىن للفئة =−=L

:التالية إذا املنوال حيسب بتطبيق املعادلة

SRLdd

dAMod .4.102

21

2609020

813

1390

21

1 =+=×+

+=×+

+=

.بيان شكل التوزيع •

: من النتائج السابقة ، جند أن Mod=1024: املنوال Med=3.109: الوسيط x=4.113: الوسط احلسايب

كما هو مبني . موجب االلتواءزيع بيانات األجور املنوال إذا تو> الوسيط > الوسط : أى أن :يف الشكل التايل

Quartiles الرباعيات 3/4

عند تقسيم القيم إىل أربع أجزاء متساوية، يوجد ثالث إحصاءات ترتييب تسمى بالرباعيات، :وهي

م، ويرمز له من القي %25وهو القيمة اليت يقل عنها ربع عدد القيم، أي يقل عنها : الربيع األول •

47

.1Qبالرمز من القيم، ويرمز له %50وهو القيمة اليت يقل عنها نصف عدد القيم، أي يقل عنها : الربيع الثاين •

.، ومن مث يعرب هذا الربيع عن الوسيط2Qبالرمز من القيم، %75القيم، أي يقل عنها وهو القيمة اليت يقل عنها ثالث أرباع عدد : الربيع الثالث •

.3Qويرمز له بالرمز .يبني أماكن الرباعيات الثالث) 3- 3(والشكل

)3- 3(شكل الرباعيات

:وحلساب أي من الرباعيات الثالث، يتم إتباع اآليت :، وأا مرتبة كالتايلnبفرض أن عدد القيم عددها •

X(n) < X(3) < X(2) < X(1) القيم مرتبة :

n 3 2 1 : الرتبة

)(، iحتديد رتبة الرباعي رقم • iQ :

×+=

4)1( inR

= Qi: يع هو عددا صحيحا فإن قيمة الربRإذا كانت • X(R). )( عدد كسري، فإن الرباعي Rإذا كانت • iQ يقع يف املدى : X(u) Qi < X(l)< ومن ،

)(مث حيسب iQباملعادلة التالية :

)9- 3(مثال

أبقار اختريت مـن 10للبقرة الواحدة لعينة حجمها فيما يلي كمية اإلنتاج اليومي من احلليب باللتر :مزرعة معينة

25 23 29 32 34 29 20 18 27 30 احسب الرباعيات الثالث لكمية اإلنتاج، وما هو تعليقك؟

:احلل

:حلساب الرباعيات الثالث، يتم إتباع اآليت :ترتيب القيم تصاعديا •

قمة الربيع 25.22 28 5.30

48

القيم 18 20 23 25 27 29 29 30 32 34 الرتبة 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 رتبة الربيع 2.75 5.5 8.25

)(حساب الربيع األول • 1Q:

75.2: رتبة الربيع األول هي41

)110(4

)1( =

×+=

×+=

inR

)2320(: يقع الربيع األول بني القيمتني 1 << Q جند أن) 14- 3(، وبتطبيق املعادلة: 23.20,75.2,2 )()( ==== ul xxRl

:إذا 25.22)2023(75.020)()( )()()(1 =−+=−×−+= lul xxlRxQ

2Q) الوسيط(حساب الربيع الثاين •

5.5: رتبة الربيع الثاين هي42)110(

4)1( =

×+=

×+=

inR

)2927(: يقع الربيع الثاين بني القيمتني 2 << Q جند أن) 14- 3(، وبتطبيق املعادلة: 29.27,5.5,5 )()( ==== ul xxRl

:إذا 28)2729(5.027)()( )()()(2 =−+=−×−+= lul xxlRxQ

3Qحساب الربيع الثالث •

25.8: رتبة الربيع الثالث هي43)110(

4)1( =

×+=

×+=

inR

)3230(: ث بني القيمتنييقع الربيع الثال 3 << Q جند أن) 14- 3(، وبتطبيق املعادلة: 32.30,25.8,8 )()( ==== ul xxRl

:إذا 5.30)3032(25.030)()( )()()(3 =−+=−×−+= lul xxlRxQ

: من النتائج السابقة جند أن

. لتر يوميا22.25 من األبقار يقل إنتاجه عن 25% • . لتر يوميا28 من األبقار يقل إنتاجه عن 50% • . لتر يوميا30.5ن األبقار يقل إنتاجه عن م75% •

49

متارين

استخدم البيانات التالية ، مث أجب عما هو مطلوب باختيار اإلجابة الصحيحة من بني اإلجابات : أوال 10 ، لـعدد x)(فيما يلى الطاقة التصديرية من املياه باأللف كيلومتر مكعب يوميا : األربعة

. طات حتلية حم342 216 105 291 107 216 210 165 90 216 :x

:هذه البيانات من النوع - 1 (a) الكمى املنفصل (b)الكمى املتصل (c) الوصفى (d)الوصفى الترتيىب 2 - ∑ xقيمتها : (a) 1000 (b) 1958 (c ) 195.8 (d) 216 : من القيم تسمى %50قيمة الطاقة التصديرية الىت أقل منها - 3 (a) الوسيط (b)الوسط (c)التباين (d) املدى : القيمة األكثر تكرارا تسمى - 4 (a) الوسيط (b)الوسط (c) املنوال (d)االحنراف :الوسط احلساىب للطاقة التصديرية قيمته - 5 (a) 216 (b) 1958 (c) 195.8 (d) 213 املنوال قيمته - 6 (a) 216 (b) 1958 (c) 195.8 (d) 347 الوسيط قيمته - 7 (a) 213 (b) 1958 (c) 195.8 (d) 216 قة التصديرية أعاله هلا توزيع تعترب بيانات الطا - 8

(a) متماثل (b)سالب االلتواء (c) موجب . غري معروف (d) االلتواء

ألف كيلو متر 50إذا مت إدخال تعديل على هذه احملطات لزيادة الطاقة التصديرية لكل حمطة - 9

. مكعب ، يكون الوسط احلساىب للطاقة التصديرية بعد التطوير هو (a) 216 (b) 1958 (c) 195.8 (d) 245.8

xyإذا كانت - 10 : هو y فإن الوسط احلساىب للقيم الىت يأخذها املتغري اجلديد =5.0 (a) 216 (b) 97.9 (c) 195.8 (d) 245.8

50

مزرعة حسب املساحة املرترعة مبحصول الطماطم باأللف 50دد فيما يلى التوزيع التكرارى لـع: ثانيا .دومن

املساحة باأللف دومن – 4.5 – 7.5 - 10.5 - 13.5 -16.5 22.5 – 19.5

عدد املزارع 3 8 12 15 10 2

) 20 - 11( استخدم بيانات اجلدول أعاله لإلجابة على األسئلة من

طول الفئة قيمته - 11 (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 5

احلد األدىن للفئة الرابعة هو - 12 (a) 14.5 (b) 16 (c ) 15 (d) 13.5

مركز الفئة الثانية قيمته - 13 (a) 9 (b) 8 (c) 10 (d) 3

: جمموع التكرار النسىب للفئات يساوى - 14 (a) 0.30 (b) 0.20 (c) 1 (d) 1.50

∑ هو تكرار الفئة فإن f هى مركز الفئة ، xإذا كانت - 15 fx قيمته تساوى (a) 225 (b) 225 (c) 50 (d) 681

الوسط احلساىب قيمته تساوى - 16 (a) 8.33 (b) 13.5 (c) 13.62 (d) 681

: الفئة الىت يقع فيها قيمة الوسيط هى - 17 (a) 13.5 –

16.5 (b) 16.5- 19.5 (c) 14 – 17 (d) 10.5 – 13.5

: رتبة الوسيط هى - 18 (a) 50 (b) 10 (c) 25 (d) 1

. الوسيط قيمته تساوى - 19 (a) 13.9 (b) 13.5 (c) 15 (d) 12.5

:املنوال قيمته تساوى - 20 (a) 14 (b) 15 (c) 13.5 (d) 14.625

. يكون شكل التوزيع 20 ، 19 ، 16من اإلجابة - 21 (a) ملتوى جهة (b)متماثل (c) سالب (d) غري حمدد

51

اإللتواء اليمني

:ل البيانات التالية قم بتسجي: ثالثا : اجلامعيرقمال: اإلسم

: ، وال ينظر لإلجابة الىت ا مربعني مظللني ) 21 – 1(قم بتظليل االختيار الصحيح من

رقم (d) (c) (b) (a) السؤال

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

52

الفصــــــل الرابـــع مقاييس التشتت

مقدمة4/1ملنحىن التكراري ، واأعند مقارنة جمموعتني من البيانات ، ميكن استخدام شكل التوزيع التكراري،

وكذلك بعض مقاييس الرتعة املركزية ، مثل الوسط احلسايب والوسيط ، واملنوال ، واإلحصاءات كفي عند املقارنة ، فقد يكون مقياس الرتعة املركزية يالترتيبية ، ولكن استخدام هذه الطرق وحدها ال

من حيث مدى تقارب وتباعد البيانات للمجموعتني متساوي ، ورمبا يوجد اختالف كبري بني اموعتني .من بعضها البعض ، أو مدى تباعد أو تقارب القيم عن مقياس الرتعة املركزية

:ومثال على ذلك ، إذا كان لدينا جمموعتني من الطالب ، وكان درجات اموعتني كالتايل

اموعة األوىل 63 70 78 81 85 67 88 الثانية اموعة 73 78 77 78 75 74 77

76يساوي ل منهما لو قمنا حبساب الوسط احلسايب لكل جمموعة ، جند أن الوسط احلسايب لك

من أجل ذلك جلأ . درجة ، ومع ذلك درجات اموعة الثانية أكثر جتانسا من درجات اموعة األوىل تشار البيانات حول أو مدى اناإلحصائيون إىل استخدام مقاييس أخرى لقياس مدى جتانس البيانات،

استخدامها يف املقارنة بني جمموعتني أو أكثر من البيانات، ومن هذه مقياس الرتعة املركزية، وميكن .املقاييس ، مقاييس التشتت ، وااللتواء ، والتفرطح ، وسوف نركز يف هذا الفصل على هذه املقاييس

Dispersion Measurementsمقاييس التشتت 4/2املدى، واالحنراف الربيعي، واالحنراف املتوسط، والتباين، واالحنراف : املقاييسمن هذه .املعياري

Rangالمدى 4/2/1

. هو أبسط مقاييس التشتت ، وحيسب املدى يف حالة البيانات غري املبوبة بتطبيق املعادلة التالية

:التاليةها املعادلة ومنوأما املدى يف حالة البيانات املبوبة له أكثر من صيغة،

53

)1- 4(مثــال

وحدات جتريبية مبحصول القمح ، ومت تسميدها بنوع معني من األمسدة الفسفورية 9مت زراعة .هكتار / ، وفيما يلي بيانات كمية اإلنتاج من القمح بالطن

5.03 4.63 5.08 5.18 5.29 5.18 5.4 6.21 4.8

.واملطلوب حساب املدى ـلاحل

أقل قراءة –أكرب قراءة = املدى 4.63= أقل قراءة 6.21 = أكرب قراءة

: إذا املدى هو Rang=Max-Min=6.21-4.63 =1.58

.هكتار / طن1.58املدى يساوي

)2- 4( مثـال .بالذرة باأللف دومن مزرعة حسب املساحة املرترعة 60اجلدول التكراري التايل يبني توزيع

املساحة 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45

عدد املزارع 3 9 15 18 12 3

.واملطلوب حساب املدى للمساحة املرترعة بالذرة

احلـل مركز الفئة األوىل –مركز الفئة األخرية = املدى

17.5=35/2=2/(20+15): وىلمركز الفئة األ 42.5=85/2=2/(45+40): مركز الفئة األخرية255.175.42 إذا =−=Rang دومن 25 أن املدى قيمته تساوي يأ

مزايا وعيوب املدى

من مزايا املدى أنه بسيط وسهل احلساب - 1 احلرارة، درجات حاالت الطقس، و املناخ اجلوي، مثل اإلعالن عن عند يكثر استخدامه - 2

.، والضغط اجلويوالرطوبة .يستخدم يف مراقبة اجلودة - 3

ومن عيوبه - 2

54

.أنه يعتمد على قيمتني فقط ، وال يأخذ مجيع القيم يف احلسبان • .يتأثر بالقيم الشاذة •

Quartile Deviation (Q)االحنراف الربيعي 4/2/2

ان هناك قيم يعتمد املدى على قيمتني متطرفتني ، مها أصغر قراءة ، وأكرب قراءة ، فإذا كشاذة، ترتب على استخدامه كمقياس للتشتت نتائج غري دقيقة، من أجل ذلك جلأ اإلحصائيون، إىل

يعتمد على نصف عدد القيم الوسطى، ويهمل نصف عدد القيم املتطرفة، ولذا استخدام مقياس للتشتت، وحيسب االحنراف (Q)يعي االحنراف الرببهذا املقياس يسمى ، و هذا املقياس بوجود قيم شاذةال يتأثر

.الربيعي بتطبيق املعادلة التالية

ع الثالث ، وقد بينا يف الفصل الثالث كيف ميكن حساب هو الربي Q3ع األول ، ي هو الرب Q1حيث أن

: أن ينصف املدى الربيعي ، أباالحنراف الربيعي رف ومن املعادلة أعاله ، يع ، هذان الرباعيان نصف املدى الربيعي = ياالحنراف الربيع

)3- 4(مثــال

. ، مث احسب االحنراف الربيعي لكمية اإلنتاج من القمح ) 1- 4(استخدم بيانات مثال

احلـل ترتيب القيم تصاعديا •

اإلنتاج 4.63 4.8 5.03 5.08 5.18 5.18 5.29 5.4 6.21 الرتبة 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q1األول يع حساب الرب •

): ع األوليالربرتبة ) 5.225.0)19(41)1( =+=

+n .

5.003.58.4 ,25.2,, ,)3()()2()( =−====== lRlRxxxx ul

إذا

915.4)8.403.5(5.08.4

))(( )()()(1=−+=

−−+= lul xxlrxQ

(Q3)حساب الرباعي الثالث •

55

) : موقع الرباعي الثالث ) 5.775.0)19(43)1( =+=

+n

5.04.5 ,75.7,,29.5 ,)8()()7()( =−====== lRlRxxxx ul

إذا

345.5)29.54.5(5.029.5

))(( )()()(3=−+=

−−+= lul xxlRxQ

حساب االحنراف الربيعي •

215.02915.4345.5

213 =−=

−=

QQQ

. هكتار / طن0.215إذا االحنراف الربيعي قيمته تساوي

)4- 4(مثــال .ب نصف املدى الربيعي احسيف ) 2- 4(بيانات مثال رقم استخدم

:احلـــل

. نفس األسلوب املستخدم يف حساب الوسيطعند حساب الربيع األول أو الثالث يتبع تجمع الصاعد تكوين اجلدول التكراري امل • (Q1)حساب الرباعي األول •

=n(1/4): األول يعي الربرتبة 60(0.25)= 15 525271215 ,,,, 21 ===== LAfff

إذا26)5(

15325)5(

1227121525

12

11

=+−− =+=

−−

+= Lffff

AQ

(Q3)حساب الرباعي الثالث •

56

=n(3/4) : موقع الرباعي الثالث 60(0.75)= 45 535574545 ,,,, 21 ===== LAfff

إذا

35)5(15

)0(35)5(4557454535

12

13

=+−− =+=

−−

+= Lffff

AQ

.نصف املدى الربيعي •

5.422635

213 =−=

−=

QQQ

. ألف دومن4.5إذا االحنراف الربيعي للمساحة

مزايا وعيوب االحنراف الربيعي ، كما اس للتشتت يف حالة وجود قيم شاذة، يفضل استخدامه كمقيمن مزايا االحنراف الربيعي

. ومن عيوبه ، أنه ال يأخذ كل القيم يف االعتبار . أنه بسيط وسهل يف احلساب

Mean Deviation (MD)االحنراف املتوسط 4/2/3عن وسطها احلـسايب ، للقيم وسط االحنرافات املطلقة ه مبت عنيعرب هو أحد مقاييس التشتت، و

nxxxفإذا كانت ,...,, nxx( ت اليت مت أخذها عن ظاهرة معينة ، وكان هي القراءا 21 ∑= : حيسب بتطبيق املعادلة التالية(MD)عبارة عن الوسط احلسايب هلذه القراءات، فإن االحنراف املتوسط )

. وهذه الصيغة تستخدم يف حالة البيانات غري املبوبة

)5- 4(مثـال

:باملليون متر مكعب كما يليس حمطات لتحلية املياه تصديرية خلمإذا كانت الطاقة ال 4 5 2 10 7

أوجد قيمة االحنراف املتوسط للطاقة التصديرية

احلـل ) 4- 4 (حلساب قيمة االحنراف املتوسط يتم استخدام املعادلة

: الوسط احلسايب •

6.5528 ==∑= n

xx

:ويتم تكوين اجلدول التايل

57

ات املطلقةاالحنراف6.5−x

االحنرافات

( )6.5−x( )=− xx

الطاقة التصديرية

x 1.6 4 - 5.6 = -1.6 4 0.6 5 - 5.6 = -0.6 5 3.6 2 - 5.6 = -3.6 2 4.4 10 - 5.6 = 4.4 10 1.4 7 - 5.6 = 1.4 7

11.6 0 Sum :إذا االحنراف املتوسط قيمته هي •

32.2)مليون متر مكعب(5

6.11 ==∑ −= n

xxMD

. ، حيسب االحنراف املتوسط باستخدام املعادلة التالية البيانات املبوبةيف حالة و

. هو الوسط احلسايبx هو مركز الفئة ، x هو تكرار الفئة ، fحيث أن

)6- 4(مثـال

. أسرة حسب اإلنفاق الشهري باأللف ريال 40يبني اجلدول التكراري التايل توزيع اإلنفاق 5 - 2 8 - 5 11 - 8 14 – 11 17 – 14

عدد األسرة 1 8 13 10 8 . أوجد االحنراف املتوسط

احلـــــل ، ويتبع اآليت )5- 4 (بيق املعادلةحلساب االحنراف املتوسط ، يتم تط

:تكوين جدول حلساب مكونات املعادلة •

fxx− xx− الوسط احلسايب

x fx

مركز الفئة x

عدد األسر

f

حدود فاقاإلن

7.2 7.2 3.5 3.5 1 2-5 33.6 4.2 52 6.5 8 5-8 15.6 1.2 123.5 9.5 13 8-11 18 1.8 125 12.5 10 11-14

38.4 4.8 124 15.5 8 14-17 112.8

7.1040428

==

∑= nxx

428 40 sum : إذا االحنراف املتوسط هو

58

82.240

8.112==

∑ −= n

fxxMD

. ألف ريال 2.82إلنفاق الشهري هو االحنراف املتوسط ل

مزايا وعيوب االحنراف املتوسط :ما يلي يعاب عليه من مزايا االحنراف املتوسط أنه يأخذ كل القيم يف االعتبار، ولكن

.يتأثر بالقيم الشاذة • . يصعب التعامل معه رياضيا • Variance التباين 4/2/4

متوسـط النواحي التطبيقية ، ويعرب عـن ا يف هو أحد مقاييس التشتت ، وأكثرها استخدام .مربعات احنرافات القيم عن وسطها احلسايب

)2σ(التباين يف اتمع : أوالN:إذا توافر لدينا قراءات عن كل مفردات اتمع ، ولتكن

xxx ,...,, ، فإن التبـاين 21

:حيسب باستخدام املعادلة التالية ) سيجما(2σيف اتمع ، ويرمز له بالرمز

.Nx∑=µ: هو الوسط احلسايب يف اتمع ، أى أن µحيث أن

)7- 4(المثـ

ال عامل ، وكانت عدد سنوات اخلربة هلؤالء العم 15مصنع لتعبئة املواد الغذائية ، يعمل به :كما يلي

10 12 11 6 14 13 10 8 6 9 12 14 7 13 5

.بفرض أن هذه البيانات مت مجعها عن كل مفردات اتمع ، فأوجد التباين لعدد سنوات اخلربة

احلـل ).6- 4 (حلساب تباين سنوات اخلربة يف اتمع ، يتم استخدام املعادلة

µالوسط احلسايب يف اتمع •

10)150(151)1012...7135(

151

1

==++++++=

∑= xN

µ

59

∑حساب مربعات االحنرافات • − 2)( µx

)(1302: مبا أن =∑ − µx

:تباين سنوات اخلربة للعمال يف املصنع هو إذا

( ) 67.815

13022 ==∑= −N

uxσ

2)( µ−x )( µ−x سنوات اخلربة

x 25 5-10 = -5 5 9 3 13 9 -3 7

16 4 14 4 2 12 1 -1 9

16 -4 6 4 -2 8 0 0 10 9 3 13

16 4 14 16 -4 6 1 1 11 4 2 12 0 0 10

130 0 150 :يف صورة أخرى كما يلي ) 6- 4 (وميكن تبسيط املعادلة

∑ميكن فك اموع − 2)( µx كالتايل :

∑ −=∑ +−=∑ ∑ ∑+−=

∑ +−=∑ −

22

222

22

222

22

2)(

µµµµµ

µµµ

NxNNx

xx

xxx

:يكتب تباين اتمع على الصورة التالية من مث و

221222 µµσ −∑=−∑= xN

xN

N

60

.إذا التباين يف اتمع ميكن صياغته كالتايل

∑∑: ، جند أن أننا حنتاج إىل اموعني ) 7- 4(وبالتطبيق على املثال 2, xx اآليت ، ويتم عمل

:

2x سنوات اخلربةx

25 5 169 13 49 7 196 14 144 12 81 9 36 6 64 8 100 10 169 13 196 14 36 6 121 11 144 12 100 10

1630150 2, =∑=∑ xx

10)150(1511

==∑= xN

µ

إذا التباين هو

67.810067.1082101630151

2212

=−=−=

−∑= µσ xN

.) 6- 4 (وهي نفس النتيجة اليت مت احلصول عليها باستخدام الصيغة

1630 150

)2s(التباين يف العينة : ثانيايتم سحب عينة من هـذا عندئذ غري معلوم، و 2σ يف كثري من احلاالت يكون تباين اتمع

العينة كتقدير لتباين اتمع ، فإذا كانت قراءات عينة عـشوائية من بيانات سب التباين حياتمع ، و nxxxهي ، nحجمها ,...,, : هوs2 ، فإن تباين العينة ويرمز له بالرمز21

nxx: أن يلعينة ، أ هو الوسط احلسايب لقراءات ا xحيث أن ، وتباين العينة =∑

. هو التقدير غري املتحيز لتباين اتمع ) 8- 4 (املبني باملعادلة

61

)8- 4(مثـالعمال ، وسجل عدد 5السابق ، إذا مت سحب عينة من عمال املصنع حجمها ) 7- 4(يف املثال

. سنوات اخلربة ، وكانت كالتايل

9 5 10 13 8 .احسب تباين سنوات اخلربة يف العينة

احلــل :ويتبع اآليت ، )8- 4 (حلساب التباين يف العينة يتم تطبيق املعادلة

:الوسط احلسايب يف العينة •

9)45(51)9510138(

511

==++++=∑= xn

x )حساب مربعات االحنرافات • )∑ − 2xx

xسنوات اخلربة 8 13 10 5 9 450 0 -4 1 4 -1 ( )xx −

34 0 16 1 16 1 ( )2xx −

): أن ي أ ) 342 =∑ − xx ، :إذا تباين سنوات اخلربة يف العينة قيمته هي •

( ) 5.84

34)15(

342

12 ==

−=

−∑ −= n

xxs

لتباين اتمع غري متحيزتقديروقت ، وهو يف نفس ال8.5يف هذه احلالة ميكن القول بأن تباين العينة •.

تبسيط العمليات احلسابية

إىل صيغة سهلة ميكـن ) 8- 4 (ميكن تبسيط الصيغة الرياضية لتباين العينة املوضحة باملعادلة نتاج هذه الصيغة يتم إتبـاع والست، التعامل معها، وخاصة إذا كانت البيانات حتتوي على قيم كسرية

.اآليت

∑موعميكن فك ا − 2)( xxيل كالتا:

62

∑ −=∑ +−=∑ ∑ ∑+−=

∑ +−=∑ −

22

222

22

222

22

2)(

xnxxnxnx

xxxx

xxxxxx

:ويكتب تباين العينة على الصورة التالية

−∑

−= 22

112 xnx

ns

.إذا التباين يف العينة ميكن صياغته كالتايل

:تأخذ الشكل التايل) 9- 4 (كما ميكن إثبات أن املعادلة

:ثال السابق ، جند أن وبالتطبيق على بيانات امل

xسنوات اخلربة 8 13 10 5 9 45

439 81 25 100 169 64 2x

: هو ) 9- 4 (تباين العينة باستخدام املعادلة •

( ) 5.834412)9(5439

151

221

12

==−−

=

−∑

−= xnx

ns

: جند أن) 10- 4 (وباستخدام املعادلة •

( ) ( ) 5.83441405439

41

5

2)45(43915

1

)(21

1 22

==−=−−

−∑−

=

=

∑nxx

ns

63

Standard Deviationاف املعياري االحنرعند استخدام التباين كمقياس من مقاييس التشتت، جند أنه يعتمد علـي جممـوع مربعـات

االحنرافات، ومن مث ال يتمشى هذا املقياس مع وحدات قياس املتغري حمل الدراسة ، ففي املثال السابق ، تباين " ملنطق عند تفسري هذه النتيجة أن نقول ، ، فليس من ا 8.5جند أن تباين سنوات اخلربة يف العينة

ألن وحدات قياس املتغري هو عدد السنوات، من أجل ذلك جلـأ ، " سنة تربيع 8.5سنوات اخلربة هو وحدات قيـاس لكي يناسب يأخذ يف االعتبار اجلذر التربيعي للتباين ، اإلحصائيني إىل مقياس منطقي .اف املعيارياملتغري، وهذا املقياس هو االحنر

:أني إذا االحنراف املعياري ، هو اجلذر التربيعي املوجب للتباين ، أ

:ومثال على ذلك

، ويرمز له بالرمز ) اتمع(جند أن االحنراف املعياري لسنوات اخلربة لعمال املصنع ) 7- 4(يف مثال •)σ ( هو:

94.267.82101630151

221

==−=

−∑= µσ xN

. سنة 2.94ه احلالة ، يكون االحنراف املعياري لسنوات اخلربة يف اتمع هو يف هذ

، هو sجند أن االحنراف املعياري لسنوات اخلربة لعمال العينة ، ويرمز له بالرمز ) 8- 4(يف مثال •

:

( ) ( ) 92.23441405439

41

5

2)45(43915

1

2)(21

1

==−=−−

∑−∑−

=

=

nxx

ns

. سنة 2.92العينة هو أن االحنراف املعياري لسنوات اخلربة يف يأ

االحنراف املعياري يف حالة البيانات املبوبةإذا كانت بيانات الظاهرة ، مبوبة يف جدول توزيع تكراري ، فإن االحنراف املعياري حيسب

.بتطبيق املعادلة التالية

64

) هو الوسط احلسايب xكز الفئة ، هو مر x هو تكرار الفئة ، fحيث أن )nxf∑ ، n

)هي جمموع التكرارات )∑= fn2( ، واملقدار الذي حتت اجلذر يعرب عن التباين(s.

)9- 4(مثـالراف املعياري لإلنفاق الشهري لألسرة ، مث قارن بـني ، احسب االحن ) 6- 4(يف بيانات مثال

.االحنراف املتوسط ، واالحنراف املعياري لإلنفاق الشهري لألسرة

احلـــــل، وسوف نطبق )12- 4 (حلساب االحنراف املعياري لإلنفاق الشهري ، تستخدم املعادلة رقـم

∑:الصيغة الثانية ، ولذا نكون جدول حلساب اموعني ∑ fxxf 2,.

fx2 xf مركز

xالفئة

عدد األسرf

اإلنفاق

12.25 3.5 3.5 1 2-5 338 52 6.5 8 5-8 1173.25 123.5 9.5 13 8-11 1562.5 125 12.5 10 11-14 1922 124 15.5 8 14-17

∑ == 40fn ∑ = 428xf

50082 =∑ fx

5008 428 40 sum

:وبتطبيق املعادلة ، جند أن االحنراف املعياري قيمته هي

65

( )

314.3

6.4579500840)428(5008

984615.1039140

2

1

22

==

−−= =

−∑ ∑−

=

−

nnxffx

s

فقا هلذا املقيـاس ، فـإن ألف ريال ، وو 3.314أن االحنراف املعياري لإلنفاق الشهري ي أ

. (2.88)تشتت بيانات اإلنفاق أكرب من تشتت بيانات اإلنفاق وفقا ملقياس االحنراف املتوسط

خصائص االحنراف املعياري : من خصائص االحنراف املعياري ، ما يلي

:لدينا القراءات التالية أنه إذا كان ياالحنراف املعياري للمقدار الثابت يساوي صفرا ، أ: أوال • x: a , a , a , …,a حيث أن a 0: مقدار ثابت فإن=xs حيث أن ، xs تعرب عن االحنـراف

.xاملعياري لقيم ة إذا أضيف مقدار ثابت إىل كل قيمة من قيم املفردات ، فإن االحنراف املعياري للقيم اجلديد: ثانيا •

، فإذا كانـت ) القيم بعد اإلضافة (تساوي االحنراف املعياري للقيم األصلية ) القيم بعد اإلضافة (nxxxالقيم األصلية هي ,...,, ، فإن x إىل كل قيمة من قيم a ، ومت إضافة مقدار ثابت 21

aaaa: ديـدة املعياري للقيم اجل فاالحنرا nxxxxy ++++= ,...,,)( : هـي :21xy ss =:

)10- 4(مثـال

إذا كان من املعلوم أن تطبيق برنامج غذائي معني للتسمني لفترة زمنية حمددة سوف يزيد من وزن ا أوزا، وكانت دجاجات 5حجمها من مزرعة دجاج عشوائيا عينة سحبت، كيلوجرام 0.5الدجاجة . 2.5 , 1.25 , 2 , 1.75 , 1:كالتايل

.احسب االحنراف املعياري لوزن الدجاجة - 1 يف هـذه االحنراف املعياري لوزن الدجاجة إذا طبق الربنامج الغذائي املشار إليه، ما هو - 2

العينة؟

احلـــــل . حساب االحنراف املعياري للوزن قبل تطبيق الربنامج - 1

2x x

5.85=∑

=x

n

1 1

66

3.0625 1.75 4 2 1.5625 1.25 6.25 2.5 15.875 8.5

: قبل الربنامج يف العينة هوإذا االحنراف املعياري للوزن

( )

314.3

45.14875.155)5.8(875.15

984615.10

534.055

2

1

22

==

−−= ==

−∑ ∑−

= nnxx

s x

.نامج ب االحنراف املعياري لوزن الدجاجة بعد تطبيق الربا حس- 2

كيلوجرام ، وهذا معناه أن الوزن 0.5كل دجاجة بعد تطبيق الربنامج، من املتوقع أن تزيد =+5.0: بعد الربنامج هو xy ويكون االحنراف املعياري للوزن اجلديد مـساويا ،

:أيضا لالحنراف املعياري للقيم األصلية ، أى أن 534.0== xy ss

. كيلوجرام 0.534راف املعياري للوزن بعد تطبيق الربنامج يساوي االحن إذا ضرب كل قيمة من قيم املفردات يف مقدار ثابت ، فإن االحنراف املعياري للقيم اجلديدة : ثالثا •

هي القيم x، يساوي االحنراف املعياري للقيم األصلية مضروبا يف الثابت ، أى أن إذا كان قيم xy: األصلية ، وكانت القيم اجلديدة هـي a= حيـث أن ، a مقـدار ثابـت ، فـإن :

xy ss a=. درجات ، وإذا كان 4ومثال على ذلك ، إذا كان االحنراف املعياري لدرجات عينة من الطالب هي

يتم ضرب درجة، ومعىن 100يراد تعديل الدرجة ليكون التصحيح من درجة ، و50التصحيح من ، ومن مث حيسب االحنراف املعياري للدرجات املعدلة كالتايل 2كل درجة من الدرجات األصلية يف

.

8)4(222

====

xy ssxy

. درجات 8إذا االحنراف املعياري للدرجات املعدلة

baxy: خلطية إذا كان لدينا التوليفة ا : رابعا • هـو y ، فإن االحنراف املعياري للمتغري =+

67

xy: أيضا ss a= درجات بعد تعـديل 5 املصحح لكل طالب ف ، ويف املثال السابق ، لو أضا 52 : ، أى أن الدرجة اجلديدة هي 100الدرجة من += xy، فإن االحنراف املعياري هو :

8)4(2252

===+=xy ss

xy

مزايا وعيوب االحنراف املعياري

من مزايا االحنراف املعياري .أنه أكثر مقاييس التشتت استخداما - 1 .يسهل التعامل معه رياضيا - 2 .يأخذ كل القيم يف االعتبار - 3

.ومن عيوبه ، أنه يتأثر بالقيم الشاذة

68

الفصـــل اخلامس بعض املقاييس األخرى لوصف البيانات

مقدمــة5/1عند متثيل بيانات الظاهرة يف شكل منحين تكراري ، فإن هذا املنحين يأخذ أشكاال خمتلفة ، فقد

ي يكون هذا املنحىن متماثل مبعىن أن له قمة يف املنتصف ، ولو أسقطنا عمودا من قمته على احملور األفق .لشطره نصفني متماثلني ، مثل منحىن التوزيع الطبيعي ، كما هو مبني بالشكل التايل

)منحىن متماثل (منحىن التوزيع الطبيعي

وعندما يكون الشكل متماثل ، فإن الوسط والوسيط واملنوال كلهم يقعون على نقطة واحدة ،

انات جتذب إليها الوسط احلسايب ، وهذا معناه ولكن يف كثري من احلاالت يكون هناك قيم كبرية يف البي أن املنحىن التكراري سوف يكون له ذيل جهة اليمني ، مشريا بوجود التواء جهة الـيمني ، وكـذلك

على وجـود املنحين التكراري، ويدل قيم صغرية ، فإا جتذب الوسط إليها ا العكس لو أن البيانات ل الشكل البياين معرفة ما إذا كان توزيع البيانات منبـسط، أو ، كما ميكن من خال التواء جهة اليسار

لوصف البيانات تعتمد يف حساا علـى كثرية مقاييس إال أن هناك ، هذا من الناحية البيانية مدبب، و ، والتفرطح، وبعض املقـاييس األخـرى االلتواءمقاييس الرتعة املركزية والتشتت معا، ومنها مقاييس

.ا بعدسوف يتم عرضها فيم

Skewness االلتواءمقاييس 5/2

:هناك طرق كثرية لقياس االلتواء ومنها ما يلي يف قياس االلتواء" Person بريسون"طريقة 5/2/1

تأخذ هذه الطريقة يف االعتبار العالقة بني الوسط والوسيط واملنوال، يف حالة ما إذا كان ) 1- 5 (: ء ، وهذه العالقة هيالتوزيع قريب من التماثل وليس شديد االلتوا

.يف قياس االلتواء ، تتحدد باملعادلة التالية" بريسون"ومن مث فإن طريقة

69

S هو الوسيط، Med الوسط احلسايب، x، "لبريسون" هو معامل االلتواء )ألفا (αحيث أن

هذا املعامل احلكم على شكل االلتواء، كما اليت يأخذها شارة اإلهو االحنراف املعياري، وميكن من خالل : يلي

)0( كان قيمة املعامل ) الوسيط = الوسط احلسايب (إذا كان • =α ويدل ذلك على أن مـنحىن ، .التوزيع التكراري متماثل

)0(املعامل قيمة كان) الوسيط > احلسايب الوسط(إذا كان • >α ، ويدل ذلك على أن مـنحىن .التوزيع التكراري ملتوي جهة اليمني

)0( املعامل قيمة كان) الوسيط < الوسط احلسايب (إذا كان • <α ويدل ذلك على أن مـنحىن ، .التوزيع التكراري ملتوي جهة اليسار

)1- 5(شكل أشكال التواء البيانات

يف قياس االلتواء" املئني"طريقة 5/2/2 جزء، يفصل بينها قيم 100املئني ينتج من ترتيب البيانات تصاعديا، مث تقسيمها البيانات إىل

قيمة اليت يقل عنها على أنه ال) 15v( ويرمز له بالرمز 15تسمى املئني، وعلى سبيل املثال يعرف املئني )(، ونرمز له بالرمز p من القيم، وحلساب قيمة املئني 15% pv يتبع نفس الفكـرة املـستخدمة يف ،

:حساب الربيع كما يلي)1()2()(: ترتب القيم تصاعديا • ... nxxx <<<

: رتبة املئني •

+=100

)1( pnR.

15)(( عدد صحيح فإن Rإذا كانت الرتبة • Rxv =.( )( عدد كسري فإن قيمة املئني Rأما إذا كانت الرتبة • pvحتسب باملعادلة التالية :

pv، واملئني pvى قرب املئني تعتمد فكرة املئني يف قياس االلتواء على مدو ، 50v، من املئني100−

، يالحظ على الرسم التـايل 80 ، واملئني 20وكمثال على ذلك ، عند قياس االلتواء باستخدام املئني

70

:حاالت االلتواء )2- 5(شكل

:ومن الشكل أعاله يالحظ اآليت

)(إذا كان بعد املئني • 80v عن املئني )( 50v يساوي بعد املئني )( 20v عن املئني )( 50v كـان .التوزيع متماثال

)(إذا كان بعد املئني • 80v عن املئني )( 50vأكرب من بعد املئني )( 20v عن املئني)( 50v كـان .التوزيع موجب االلتواء

)(إذا كان بعد املئني • 80v عن املئني )( 50v أقل من بعد املئني )( 20v عن املئني )( 50v كـان .التوزيع سالب االلتواء

.، ويأخذ املعادلة التاليةوبشكل عام ميكن احلكم على شكل التوزيع باستخدام معامل االلتواء املئيين

pp: حيث أن vvv −<< ويفضل استخدام هذا املعامل يف حالة البيانات اليت حتتوي علـى 10050

125 (25 نعرف هلا توزيع حمدد، وعندما نستخدم املئني قيم شاذة ، وأيضا البيانات اليت ال Qv =( ،375 (75املئني Qv :حنصل على معامل االلتواء الربيعي ، وهو ) =

)1- 5(مثـال . إحص ، كالتايل122 طالب يف االختبار النهائي يف مقرر 8كانت درجات

58 74 91 80 78 52 85 66

" .بريسون " حساب معامل االلتواء بطريقة - 1: واملطلوب . حساب معامل االلتواء الربيعي - 2

احلــل

" .بريسون"حساب معامل االلتواء بطريقة - 1

71

: كما يلي) 2- 5 (يف هذه احلالة يتم تطبيق املعادلة رقم :حساب الوسط احلسايب ، واالحنراف املعياري •

2x الدرجة

x 4356 66 7225 85 2704 52 6084 78 6400 80 8281 91 5476 74 3364 58

∑ ∑= = 438902584 , xx :ويكون

738

584 ==∑= nxx

( )

406.1371428.1797

125818

82)584(438901

22

==

−−

=

=−∑−∑= n

nxxs

43890 584 :حساب الوسيط •

+n): موقع الوسيط 1)/2= (8+ 1)/2= 4.5

91 85 80 78 74 66 58 52 8 7 6 5 4 3 2 1

6.75 4.5 2.25

76)7478(5.074 =−+=Med "بريسون"معامل االلتواء •

67.0406.13

)7673(3)(3. −=−

=−=SMedxcs

.إذا منحىن توزيع درجات الطالب ملتوي جهة اليسار .معامل االلتواء الربيعي - 2

).5- 5 (عامل االلتواء الربيعي ، يتم تطبيق املعادلة رقمحلساب م .ع األدىن يحساب الرب •

+n): موقع الرباعي 1)/4= (8+ 1)(1/4)= 2.25

إذا

72

60)5866)(225.2(581 =−−+=Q .حساب الرباعي األعلى •

+n): موقع الرباعي 1)/(3/4)= (8+ 1) (3/4)= 6.75

إذا 75.83)8085)(675.6(803 =−−+=Q

)الربيع الثاين(الوسيط •76)( 2 =QMed

: إذا معامل االلتواء الربيعي هو

35.075.2325.8

)6075.83()6076()7675.83(

)((

13

)12()23

−=−=

−−−−=

−−

=−−

QQQQQQ

qα

.إذا توزيع درجات الطالب ملتوي جهة اليسار

Kurtosisالتفرطح 5/3منحىن تكراري ، قد يكون هذا املـنحىن منبـسط ، أو التوزيع التكراري يف شكل عند متثيل

، يكون املنحىن هندما يتركز عدد أكرب من القيم بالقرب من منتصف املنحىن، ويقل يف طرفي مدبب ، فع مدببا ، وعندما يتركز عدد أكرب على طريف املنحىن ، ويقل بالقرب من املنتصف يكون املنحىن مفرطحا ،

: أو منبسطا، ويظهر ذلك من الشكل التايل

منحىن مفرطح منحىن مدبب

طريقة العزوم ، حيث حيسب معامل عدد من الطرق، ومنها اس التفرطح باستخدامميكن قيو : بتطبيق املعادلة التالية (K)التفرطح

73

∑nxxحيث أن املقدار − هـو االحنـراف s هو العزم الرابع حول الوسـط ، )(4

، ومن مث ميكن وصف منحىن التوزيع مـن 3ومعامل التفرطح يف التوزيع الطبيعي يساوي . املعياري :حيث التفرطح ، والتدبب كما يلي

. كان منحىن التوزيع معتدال k=3إذا كان • . كان منحىن التوزيع مدببا k>3إذا كان • ) .مفرطحا(ا كان منحىن التوزيع منبسط k<3إذا كان •

x=73: جند أن) 1- 5(وبالتطبيق على بيانات املثال رقم 584 58 74 91 80 78 52 85 66 x 0 -15 1 18 7 5 -21 12 -7 )( xx−

1258 225 1 324 49 25 441 144 49 2)( xx−

376246 50625 1 104976 2401 625 194481 20736 2401 4)( xx−

:ومن البيانات أعاله جند أن

75.47030)376246(81)(1

406.137

12581

)(

2

2

==−

==−−Σ

=

∑ xxn

nxxs

:إذا معامل التفرطح هو

456.1)58.32299(

75.47030)406.13(75.47030

4 ===K

. إذا شكل توزيع بيانات الدرجات مفرطح

وصف البياناتمقاييس أخرى ل 5/4 البيانات، تشتت درجة تخدامها يف وصف البيانات ، من حيثهناك مقاييس أخرى ميكن اس

:ومن هذه املقاييس ، ما يلي ومدى انتشارها،

Variation Coefficientمعامل االختالف 5/4/1وفيه حيسب قيمة التشتت كنسبة مئوية من قيمة التشتت، املستخدمة لقياس درجة أحد مقاييس

يفضل استخدام معامل االختالف عند مقارنة درجة تشتت بيانات مقياس الرتعة املركزية ، ومن مث جمموعتني أو أكثر خمتلفة هلا وحدات قياس خمتلفة، بدال من االحنراف املعياري ، أو االحنراف الربيعي ،

74

، بينما يعتمد يف القيم عن مقياس الرتعة املركزيةألن معامل االختالف يعتمد على التغريات النسبيةاملعياري أو االحنراف الربيعي على التغريات املطلقة للقيم، فعند مقارنة درجة تشتت بيانات االحنراف

ببيانات األوزان بالكيلوجرام، ال ميكن االعتماد على االحنراف املعياري يف هذه واألطوال بالسنتمتر، وفيما يلي بعض سيب، ، ومن مث يطلق عليه مبعامل االختالف الناملقارنة، وإمنا يستخدم معامل االختالف

.هذه املعامالت معامل االختالف النسيب •

:وحيسب معامل االختالف النسيب بتطبيق املعادلة التالية

معامل االختالف الربيعي • :وحيسب هذا املعامل بتطبيق املعادلة التالية

)2- 5(مثال

ستخدام عليقة معينة لتسمني مت اختيار جمموعتني من األغنام النامية يف أحد املزارع، ومت التسمني اموعة الثانية ، وبعد فترة زمنية مت مجع بيانات أخرى اموعة األوىل، بينما مت استخدام عليقة

.عن أوزان اموعتني بالكيلوجرام ، ومت احلصول على املقاييس التالية

املقاييس اموعة األوىل اموعة الثانية198 173 =x 25 23 =s

:واملطلوب مقارنة درجة تشتت اموعتني

:احلـــل :معامل االختالف النسيب للمجموعة األوىل •

%3.13100173231001. == ××= x

scv : معامل االختالف النسيب للمجموعة الثانية •

%8.12100195251002. == ××= x

scv

75

موعة األوىليالحظ أن درجة تشتت أوزان اموعة الثانية أقل من درجة تشتت أوزان ا.

تقدير مدى االحنراف املعياري 5/4/2ميكن قياس درجة تشتت البيانات من خالل تقدير املدى الذي يقع داخله االحنراف املعيـاري

: وهو

انات صغري، وإذا كان املدى الذي يقع فيه االحنراف املعياري صغري دل ذلك على أن تشتت البي

أما إذا كان املدى كبري دل ذلك على وجود تشتت كبري يف البيانات، وإذا وقع االحنراف املعياري خارج .املدى دل ذلك على وجود قيم شاذة

Standardized degree الدرجة املعيارية 5/4/3

تقل ا هذه تقيس الدرجة املعيارية لقيمة معينة عدد وحدات االحنراف املعياري اليت تزيد ا nxxxالقيمة عن الوسط احلسايب، فإذا كان ,...,, هو x، وكان nعددها، وشاهداتامل، هي قيم 21

، ويرمـز هلـا x هو االحنراف املعياري، فإن الدرجة املعيارية للقيمـة sالوسط احلسايب هلذه القيم، :، حتسب باستخدام املعادلة التاليةzبالرمز

. من حيث وحدات القياسوميكن استخدام هذه الدرجة يف مقارنة قيمتني أو أكثر خمتلفة

)3- 5(مثــال بعد تطبيق الربنـامج ، السابق إذا مت اختيار أحد األغنام من اموعة األوىل ) 2- 5(يف املثال

180أحد األغنام من اموعـة الثانيـة، ووجـد أن وزنـه كيلوجرام، وباملثل 178ووجد أن وزنه .كيلوجرام ، قارن بني هذين القيمتني من حيث أمهية كل منها يف اموعة اليت تنتمي إليها

احلــل

:البيانات املتاحة عن كل من اموعتني هي

اموعة األوىل ثانيةاموعة ال198 173 =x 25 23 =s

76

.ة القيم 178 180

نتمي إليها، يـتم حـساب تيف اموعة اليت وزن كل منها مهية بني الوحدتني من حيث أ لمقارنةل .)10- 5 (بتطبيق املعادلة لوزن كل منها، الدرجة املعيارية

:هي) .Kg 178( لوزن الوحدة املسحوبة من اموعة األوىل املعياريةالدرجة •

22.023

173178=

−=−= sxxz

:هي) .Kg 180( لوزن الوحدة املسحوبة من اموعة الثانية الدرجة املعيارية •

75.025

198180−=

−=−= sxxz

ي ، بينما جند أن احنراف معيار 0.22 كيلوجرام يزيد عن الوسط احلسايب بـ 178جند أن الوزن •ومن مث الوزن األول . احنراف معياري 0.75 كيلوجرام يقل عن الوسط احلسايب بـ 180الوزن

.أمهيته النسبية أعلى من الوزن الثاين القاعدة العملية5/4/4

nxxx: التالية إذا كان لدينا املشاهدات ,...,, احلـسايب هلـذه هـو الوسـط x، وكـان 21 :هو االحنراف املعياري هلا ، يكون منحىن توزيع هذه املشاهدات متماثل، إذا حتقق اآليت s املشاهدات،

sx تقريبا من قيم هذه املشاهدات تتراوح بني 68% • ±. sx تقريبا من قيم هذه املشاهدات تتراوح بني 95% • 2±. sx تقريبا من قيم هذه املشاهدات تتراوح بني 99% • 3± .

:وميكن بيان ذلك من الشكل التايل )3- 5(شكل

شكل توزيع القيم طبقا للقاعدة العملية

القاعدة النظرية4/4/5

توزيع من التوزيعات يف أى : ، وفكرة هذه القاعدة " تشيبشيف"تسمى هذه القاعدة بقاعدة )النظرية ، فإنه على األقل ) %11 2k− من قيم املشاهدات تقع يف املدى skx ± ، 1>k.

sx من قيم املشاهدات تقع يف املدى %75وطبقا هلذه القاعدة، فإنه على األقل ، على 2±sx من قيم املشاهدات تقع يف املدى%89 األقل 3±.

77

Box Plot" بوكس" شكل 5/4/6 Q1ع األول يالبياين هو صندوق يشبه املستطيل، بداية حافته اليسرى هو الرب" بوكس"شكل

إىل جزأين، املستطيل Med) الوسيط(ع الثاين ، ويقسم الربيQ3ع الثالث يواية حافته اليمىن هو الرب :البياين" بوكس"وخيرج من كل حافة من حافتيه شعرية، والشكل التايل يبني رمسة

)4- 5(شكل

رمسة بوكس البياين

:، أعاله يف وصف البيانات من حيث اآليتالبياين" بوكس"شكل ميكن استخدام و

, Q3ن الرباعيني يقع يف املنتصف على بعد متساوي مMedإذا كان الوسيط : من حيث التماثل - 1

Q1 كان التوزيع متماثال ، وإذا كان الوسيط Med أقرب إىل الرباعي األول Q1 من الرباعي أقرب إىل الرباعي الثالث Med كان التوزيع موجب االلتواء ، وأما إذا كان الوسيط Q3الثالث

Q3 من الرباعي األول Q1 يف الشكل التايل ويظهر ذالك كما. كان التوزيع سالب االلتواء : )5- 5(شكل

وصف شكل االلتواء باستخدام رمسة بوكس البياين

ضيق دل ذلك على تركز نسبة كبرية من Boxإذا كان الصندوق : من حيث تركز البيانات - 2

البيانات حول الوسيط، وإذا كان الصندوق واسع دل ذلك على اخنفاض نسبة تركز البيانات حول .يل يبني ذلك والشكل التا،الوسيط

)6- 5(شكل وصف درجة تركز البيانات باستخدام رمسة بوكس البياين

إذا وقعت قيم بعض املشاهدات خارج احلدين األدىن واألعلى الشاذ ، : من حيث وجود قيم شاذة - 3

78

، والشكل التايل يبني (*)كانت هذه القيم شاذة ، وتظهر هذه القيم على الرسم يف شكل جنوم . ض القيم الشاذة الدنيا والعليا على الرسم طريقة عر

)7- 5(شكل حتديد القيم الشاذة باستخدام رمسة بوكس البياين

طريقة حساب حدي القيم الشاذة :حلساب احلدين األعلى واألدىن للقيم الشاذة، يتبع اخلطوات التالية

= Q:حساب االحنراف الرباعي • (Q3-Q1 )/2 = Low : وهو، (Low)حلد األدىن للقيم الشاذة حساب ا • Q1-3Q = UPP : ، وهو(Upp)حساب احلد األعلى للقيم الشاذة • Q3+ 3Q

.شاذة من القيم القيم هذه الوإذا وقعت قيم خارج احلدين تعترب

)4- 5(مثـــال : أسرة12فيما يلي اإلنفاق االستهالكي باأللف ريال خالل الشهر لعينة حجمها

7 2 8 11 6 5 10 9 3 18 10 6

:واملطلوب البياين" بوكس"رسم شكل - 1 .ذه البياناتهلوصفي حتليل اكتب - 2

احلــــل

"بوكس البياين " رسم شكل - 1 .ترتيب القيم تصاعديا •

18 11 10 10 9 8 7 6 6 5 3 2 :حتديد أقل وأعلى إنفاق استهالكي، وحساب الرباعيات •

Min = 2 Max = 18 : Q1الرباعي األدىن +n)موقع الرباعي 1)(1/4)= (13/4)= 3.25 25.051)56(25.5: هيQ1إذا قيمة =−+=Q :Medالوسيط

79

+n)موقع الوسيط 1)(1/2)= (13/2)= 6.5 5.07)78(5.7: هيMedإذا قيمة =−+=Med : Q3الرباعي األعلى 9.75=(3/4)(13)=(3/4)(n+1)موقع الرباعي 75.0103)1010(10: هيQ3إذا قيمة =−+=Q

. حساب احلدين األعلى واألدىن الشاذ •

)25.510(/375.22: االحنراف الربيعي =−=Q :احلد األدىن للقيم الشاذة

875.1)375.2(325.531 −=−=−= QQLow :احلد األعلى للقيم الشاذة

125.17)375.2(31033 =+=+= QQUpp " سبوك"رسم شكل •

: أعالهوصفي من خالل الشكلحتليل - 2

.التوزيع قريب جدا من التماثل لوقوع الوسيط يف املنتصف : درجة التماثل • . من القيم تتركز حول الوسيط%60حوايل : تركز البيانات • .18توجد قيمة شاذة عليا هي القيمة : القيم الشاذة •

. ني أو أكثر البياين ملقارنة جمموعت" بوكس"وميكن استخدام شكل

80

الفصــــل السادس االرتباط واالحندار اخلطي البسيط

دمةـــ مق6/1مقاييس الرتعة املركزية، بعض املقاييس الوصفية، مثل مت عرضول الثالث السابقة يف الفص

شكل واليت ميكن من خالهلا وصف ومقاييس االلتواء والتفرطح، وغريها من املقاييس األخرى والتشتت،وننتقل من التعامل مع متغري واحد إىل التعامل مع متغريين متغري واحد، توزيع البيانات اليت مت مجعها عن

هذا الفصل دراسة وحتليل العالقة بني متغريين، وذلك باستخدام بعض طرق التحليل ويتناول أو أكثر، اهتمام الباحث هو دراسة العالقة بني فإذا كان واالحندار اخلطي البسيط،، اإلحصائي مثل حتليل االرتباط

متغريين استخدم لذلك أسلوب حتليل االرتباط، وإذا كان اهتمامه بدراسة أثر أحد املتغريين على اآلخر :استخدم لذلك أسلوب حتليل االحندار، ومن األمثلة على ذلك

.اإلنفاق، والدخل العائلي - 1 .سعر السلعة، والكمية املطلوبة منها - 2 .ية لتخزين اخلبز، وعمق طراوة اخلبزالفترة الزمن - 3 .تقديرات الطالب يف مقرر اإلحصاء، وتقديرام يف مقرر الرياضيات - 4 .كميات السماد املستخدمة، وكمية اإلنتاج من حمصول معني مت تسميده ذا النوع من السماد - 5 .عدد مرات ممارسة نوع معني من الرياضة البدنية، ومستوى الكلسترول يف الدم - 6 .اجلسم، وضغط الدموزن - 7

)(فإذا كان لدينا املتغريين واألمثلة على ذلك يف اال التطبيقي كثرية، , xy ومت مجع بيانات ، عن أزواج قيم هذين املتغريين، ومت متثيلها بيانيا فيما يسمى بشكل االنتشار، فإن العالقة بينها تأخذ

:أشكاال خمتلفة على النحو التايل )1- 6(شكل

, x yشكل االنتشار لبيان نوع العالقة بني

Simple Correlation االرتباط اخلطى البسيط 6/2

نوع وقوة العالقة بني متغريين ، يستخدم حتليل االرتباط حتديد هو من التحليل إذا كان الغرض يف ، وستخدم حتليل االحندار، وأما إذا كان الغرض هو دراسة وحتليل أثر أحد املتغريين على اآلخر ، ي

81

يف حالة افتراض أن العالقة بني اخلطي البسيط، أي االرتباط عرض أسلوب حتليل هذا الفصل يتماملتغريين تأخذ الشكل اخلطي ، وسوف جيرى حسابه يف حالة البيانات الكمية ، والبيانات الوصفية

. املقاسة مبعيار ترتييب

اخلطى البسيط الغرض من حتليل االرتباط6/2/1نوع وقوة العالقة بني متغريين، ويرمز له يف حتديد االرتباط اخلطي البسيط هوالغرض من حتليل

كثري من النواحي التطبيقية يف ، وحيث أنناr ، ويف حالة العينة بالرمز)رو (ρ حالة اتمع بالرمز كتقدير rتم حبساب معامل االرتباط يف العينة عينة مسحوبة من اتمع، سوفنتعامل مع بيانات

حديد السابق للغرض من معامل االرتباط، جند أنه يركز على نقطتني ومن التملعامل االرتباط يف اتمع، :مها : يلي وتأخذ ثالث أنواع حسب إشارة معامل االرتباط كماـ:نوع العالقة •

r)معامل االرتباط سالبة إذا كانت إشارة - 1 < توجد عالقة عكسية بني املتغريين، مبعىن أن ( 0 . والعكس، اخنفاض يف املتغري الثاينيصاحبه زيادة أحد املتغريين

r)إذا كانت إشارة معامل االرتباط موجبة - 2 > بني املتغريين، مبعىن أن توجد عالقة طردية ( 0 . زيادة يف املتغري الثاين، والعكس صاحبه ين يزيادة أحد املتغري

= r )إذا كان معامل االرتباط قيمته صفرا - 3 . دل ذلك على انعدام العالقة بني املتغريين( 0

، حيث ±)1( وميكن احلكم على قوة العالقة من حيث درجة قرا أو بعدها عنـ:قوة العالقة •> 1- )تقع يف املدىأن قيمة معامل االرتباط r < ، وقد صنف بعض اإلحصائيني درجات ( 1

: لقوة العالقة ميكن متثيلها على الشكل التايل

)2- 6(شكل درجات قوة معامل االرتباط

Pearson" لبريسون" معامل االرتباط اخلطى البسيط 6/2/2

)( يف حالة مجع بيانات عن متغريين كميني , xy ميكن قياس االرتباط بينهما، باستخدام ،العالقة بني ، وقياس العالقة بني الوزن والطول :، ومن األمثلة على ذلكPearson" بريسون"طريقة

العالقة بن الدرجة اليت حصل عليها ، والعالقة بني اإلنفاق االستهالكي والدخل، واإلنتاج والتكلفة . ذلك كثريةكذا األمثلة علىوه، الطالب وعدد ساعات االستذكار

82

:التالية " بريسون" وحلساب معامل االرتباط يف العينة ، تستخدم صيغة

:حيث أن

)1())(( −−−= ∑ nyyxxSxy : هو التغاير بني)( , xy، )1()( 2 −−= ∑ nxxSx : هو االحنراف املعياري لقيم)(x،

)1()( 2 −−= ∑ nyySy : هو االحنراف املعياري لقيم)(y .

: وميكن اختصار الصيغة السابقة على النحو التايل

)1- 6(مثــال

األعالف اخلضراء باأللف هكتار، وإمجايل إنتاج اللحوم باأللف طن، املرترعة بساحةاملفيما يلي .2002حىت عام 1995خالل الفترة من

السنة 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 املساحة 305 313 297 289 233 214 240 217 الكمية 592 603 662 607 635 699 719 747 حساب معامل االرتباط بني املساحة والكمية، وما هو مدلوله ؟ : واملطلوب احلــل هي الكمية، وحلساب معامل االرتباط y)(، املرترعةهي املساحة x)(بفرض أن

)(بني , xyذلك على النحو التايل، و)2- 6 ( يتم تطبيق املعادلة: ),(حساب الوسط احلسايب لكل من املساحة، والكمية • xy.

6588

52645.2638

2108 , ==== ∑=∑= nyyn

xx

• اميع حساب ا

83

))(( yyxx −− 2)( yy− yy − 2)( xx− xx− y x

-2739 4356 -66 1722.25 41.5 592 305 -2722.5 3025 -55 2450.25 49.5 603 313 134 16 4 1122.25 33.5 662 297 -1300.5 2601 -51 650.25 25.5 607 289 701.5 529 -23 930.25 -30.5 635 233 -2029.5 1681 41 2450.25 -49.5 699 214 -1433.5 3721 61 552.25 -23.5 719 240 -4138.5 7921 89 2162.25 -46.5 747 217

-13528 23850 0 12040 0 5264 2108

∑∑ ∑

−=−−=−=−

13528

2385012040

))(()()( ,2,2

yyxxyyxx

:إذا معامل االرتباط قيمته هي

798.0619.16945

13528)434.154)(727.109(

13528

238501204013528

22 )()())((

−=−=−=

−=∑ −∑ −

∑ −−=yyxx

yyxxr

.يوجد ارتباط عكسي قوي بني املساحة املرترعة، وكمية إنتاج اللحوم •

:تبسيط العمليات احلسابية الزم يف غاية الصعوبة، خاصة إذا) 2- 6 (يف بعض األحيان، يكون استخدام صيغة املعادلة

إىل صيغة أسهل تعتمد على ) 2- 6 (سابية قيما كسرية، من أجل ذلك ميكن تبسيط الصيغةلعمليات احلا :وهذه الصيغة هي عن وسطها احلسايب، جمموع القيم وليس على احنرافات القيم

:وبالتطبيق على بيانات املثال السابق ، يتبع اآليت

:حساب ااميع • 2y 2x xy y x ااميع املطلوبة

350464 93025 180560 592 305 363609 97969 188739 603 313

∑∑ == 52642108 , yx 1373536=∑ xy 438244 88209 196614 662 297

84 368449 83521 175423 607 289 403225 54289 147955 635 233 488601 45796 149586 699 214 516961 57600 172560 719 240 558009 47089 162099 747 217

5674982 =∑ x

34875622 =∑ y

3487562 567498 1373536 5264 2108

: االرتباطحساب معامل •أعاله، جند أن معامل االرتباط قيمته ) 3- 6 (ااميع السابقة، وبالتطبيق على املعادلةباستخدام

:هي

( )( )798.0

619.1694513528

238501204013528

8)5264(3487562

8)2108(567498

8)5264)(2108(1373536

2222

22

)()(

−=−=−=

−−

−

=

∑−∑∑−∑

∑ ∑∑−=

nyyn

xx

nyxxy

r

:وهي نفس النتيجة السابقة

Spearman) اسبريمان( معامل ارتباط الرتب 6/2/3 على ذلك قياس إذا كانت الظاهرة حمل الدراسة حتتوي على متغريين وصفيني ترتيبني، ومثال

العالقة بني تقديرات الطلبة يف مادتني ، أو العالقة بني درجة تفضيل املستهلك لسلعة معينة ، ومستوى السابقة يف حساب معامل ارتباط يعتمد على رتب " بريسون"الدخل، فإنه ميكن استخدام طريقة

" معامل ارتباط اسبريمان "كبديل للقيم األصلية ، ويطلق على هذا املعامل املتغريين مستوياتSpearman ويعرب عنه باملعادلة التالية ، :

، yالثاين املتغري ، ورتب مستوياتx املتغري األول هي الفرق بني رتب مستوياتdحيث أن

yx: أن يأ RRd −= .

)2- 6(مثـــال :واالقتصاد، طالب يف ماديت اإلحصاء10فيما يلي تقديرات

85

تقديرات إحصاء أ +جـ د +د +ب +جـ +أ ب +ب +ب تقديرات اقتصاد +أ د جـ جـ أ ب +ب ب جـ ب :واملطلوب

.احسب معامل االرتباط بني تقديرات الطلبة يف املقررين - 1 وما هو مدلوله ؟ - 2

احلـــل هي تقديرات االقتصاد، ميكن حساب معامل االرتبـاط y هي تقديرات اإلحصاء، xبفرض أن - 1

:وذلك بإتباع اآليت، )4- 6 (بينهما باستخدام املعادلة

∑: إذا ميكن حساب اموع • 2dكما يلي :

5.442 =∑d 2d d رتبy رتبx y x

أ +أ 2 1 1 1

6.25 - +جـ د 7.5 10 2.5

د جـ 10 8 2 4 +د جـ 9 8 1 1 +ب أ 4 2 2 1 +جـ ب 7.5 5 2.5 6.25 +أ +ب 1 3 2- 4 ب ب 6 5 1 1 +ب جـ 4 8 4- 16 +ب ب 4 5 1- 1

:معامل االرتباط هو •

7303.02697.019902671

)110(10)5.44(61

6

2

2

2

)1(1

=−=

−=−

−=

−∑−=nn

dr

44.5 :مدلول معامل االرتباط - 2

لطالـب يف ، ويدل ذلك على وجود ارتباط طردي قوي بني تقديرات ا r=703.0مبا أن .مادة اإلحصاء ، ومادة االقتصاد

يف حساب االرتباط بني متغريين كمـيني، " اسبريمان"ميكن استخدام صيغة معامل ارتباط - :ملحوظةحيث يتم استخدام رتب القيم اليت يأخذها املتغري، ونترك للطالب القيام حبساب معامل ارتباط الرتـب

1482: معاونة (: سابق، وعليه أن يقوم بتفسري النتيجة ال) 1- 5(بني املساحة والكمية يف مثال =∑d

86

(

Simple Regression االحندار اخلطى البسيط 6/3إن الغرض من استخدام أسلوب حتليل االحندار اخلطي البسيط، هو دراسة وحتليل أثر مـتغري

:كمي على متغري كمي آخر، ومن األمثلة على ذلك ما يلي . الدومناسة أثر كمية السماد على إنتاجيةدر • .دراسة أثر اإلنتاج على التكلفة • .دراسة أثر كمية الربوتني اليت يتناوهلا األبقار على الزيادة يف الوزن • .أثر الدخل على اإلنفاق االستهالكي •

وكية، وهكذا هناك أمثلة يف كثري من النواحي االقتصادية، والزراعية، والتجارية، والعلوم الـسل . وغريها من ااالت األخرى

منوذج االحندار اخلطي6/3/1

ويسمى باملتغري الباحث يهتم بدراسة أثر أحد املتغريين ، جند أن البسيطحتليل االحنداريف ويسمى باملتغري التابع أو املتنبأ به، ومن مث ميكن عرض منوذج على املتغري الثاين املستقل أو املتنبأ منه،

ار اخلطي يف شكل معادلة خطية من الدرجة األوىل، تعكس املتغري التابع كدالة يف املتغري املستقل االحند :كما يلي

:حيث أن

y: الذي يتأثر(هو املتغري التابع( x: الذي يؤثر ( هو املتغري املستقل(

0β: اجلزء املقطوع من احملور الرأسيهو y وهو يعكس قيمة املتغري التابع يف حالة انعدام قيمة ، x=0 يف حالة ي، أxاملتغري املستقل

1β: ميل اخلط املستقيم)( 10 xββ . بوحدة واحدةxإذا تغريت y التغري يفدار، ويعكس مق+e: هو اخلطأ العشوائي، والذي يعرب عن الفرق بني القيمـة الفعليـةy والقيمـة املقـدرة ،

xy 10ˆ ββ )(: أن ي، أ =+ 10 xye ββ ، وميكن توضيح هذا اخلطأ علـى =−+ .الشكل التايل لنقط االنتشار

87

تقدير منوذج االحندار اخلطي البسيط6/3/2

),(ميكن تقدير معامالت االحندار 01 ββ باستخدام طريقة املربعـات ) 5- 6 ( يف النموذجــات األخطــ ــوع مربع ــل جمم ــذي جيع ــو ال ــدير ه ــذا التق ــصغرى، وه ــشوائية ال اء الع

( )∑ −=∑ + 22 )( 10 xye ββباملعادلة التاليةالتقديرحيسب هذا أقل ما ميكن، و :

تكون القيمـة ، و y هو الوسط احلسايب لقيم x ،y هو الوسط احلسايب لقيم xحيث أن

xy: هودرة للمتغري التابع املق 10ˆˆˆ ββ yتقـدير معادلـة احنـدار " ، ويطلق على هذا التقدير =+

. xعلى

)3- 6(مثـال ، ومقدار الزيادة الرضيعفيما يلي بيانات عن كمية الربوتني اليومي باجلرام اليت حيتاجها العجل .10 وذلك لعينة من العجول الرضيعة حجمها جم، العجل بالكيف وزن

كمية الربوتني 10 11 14 15 20 25 46 50 59 70

زيادة يف الوزن 10 10 12 12 13 13 19 15 16 20 ال : واملطلوب

ارسم نقط االنتشار، وما هو توقعاتك لشكل العالقة ؟ - 1 .قدر معادلة احندار الوزن على كمية الربوتني - 2 .ر معادلة االحندارفس - 3 جرام من الربوتني ؟ وما هو مقدار اخلطأ 50ما هو مقدار الزيادة يف الوزن عند إعطاء العجل - 4

العشوائي؟ ) .1(ارسم معادلة االحندار على نقط االنتشار يف املطلوب - 5

احلــل

88

yمقدار الزيادة : رسم نقط االنتشار - 1

x كمية الربوتني

. على مقدار الزيادة يف الوزن)إجيايب (من املتوقع أن يكون لكمية الربوتني أثر طردي

.تقدير معادلة االحندار - 2- 6( يف املعادلتني هي مقدار الزيادة يف الوزن، ميكن تطبيق y هي كمية الربوتني، xبفرض أن

:، ومن مث يتم حساب ااميع التالية)6

2x yx ااميع املطلوبةزيادة يف الوزن ال

y كمية الربوتني

x

100 100 10 10 121 110 10 11 196 168 12 14 225 180 12 15 400 260 13 20 625 325 13 25 2116 874 19 46 2500 750 15 50 3481 944 16 59 4900 1400 20 70

320=∑ x

∑ =140y 5111=∑ xy

146642 =∑ x

:إذا الوسط احلسايب

3210320 ==∑= n

xx

1410140 ==∑= n

xy

14664 5111 140 320

: كما يلي1βميكن حساب ) 6- 6( األوىل يف بتطبيق املعادلة •

1426.0442406310

)320()14664)(10(

)140)(320()5111)(10(222

ˆ)(1

==

−

−=∑−∑

∑∑−∑=xxn

yxxynβ

: كما يلي0βميكن حساب ) 6- 6( الثانية يف بتطبيق املعادلة •

8436.9)32)(1426.0(1410

ˆˆ =−=−= xy ββ : ذا معادلة االحندار املقدرة، هيإ •

89

xy 143.044.9ˆ +=

:تفسري املعادلة - 344.90الثابت •

ˆ =β : يدل على أنه يف حالة عدم استخدام الربوتني قي التغذيـة، فـإن . كجم9.44الوزن يزيد

143.01معامل االحندار •ˆ =β : تني جرام واحـد، يدل على أنه كلما زادت كمية الربو

.جرام 143 كجم، أى زيادة مقدارها 0.143حدث زيادة يف وزن العجل مبقدار : هوx=50مقدار الزيادة يف الوزن عند - 4

59.16)50(143.044.9ˆ =+=y :وأما ومقدار اخلطأ العشوائي هو

59.159.1615505050 ˆˆ −=−==== −= xxx yye .تشاررسم معادلة االحندار على نقط االن - 5

.ميكن رسم معادلة خط مستقيم إذا علم نقطتني على اخلط املستقيم

10 50 x 10.87 16.59 y

: إذا معادلة االحندار هي y

x

90

الفصــل السابع

االحتمـاالت وتطبيقااProbabilities and its Applications

مقــدمة7/1ري من الناس، فبعض خرباء األرصاد اجلوية يقولون من " احتمال"كلمة هي كلمة ينطق ا الكث

رباء البورصة يقولون احملتمل سقوط أمطار اليوم، احتمال ارتفاع يف درجات احلرارة، وبعض خاحتمال ارتفاع قيمة األسهم املتداولة يف سوق املال لشركة معينة، خالل هذا اليوم، واحتمال جناح ب، واحتمال إصابة نوع معني من الفاكهة بنوع من البكتريا، وهكذا، يكثر نطق األفراد ا طال

فماذا تعين كلمة احتمال؟. ورمبا جيهلون معناهاري من يقصد ذه الك ة معينة، وتستخدم االحتماالت يف كث لمة فرصة حدوث أو وقوع حادث

االت االقتصادية، والتجارية، والزراعية، والطبية، والسلوكية، وغريها، ل ا النواحي التطبيقية، مثخاصة عند اختاذ القرار يف دراسات اجلدوى، والتنبؤ بسلوك الظواهر املختلفة، ولكي ميكن فهم

مهيته يف النواحي التطبيقية، نقوم بعرض بعض املفاهيم اخلاصة باالحتماالتموضوع االحت .مال، وأ

بعض املفاهيم اخلاصة باالحتمال7/2 Randomized Experiment التجربة العشوائية •

ليت ج املمكنة هلا، ولكن ال ميكن مسبقا حتديد النتيجة ا هي أي عملية تتم ميكن حتديد كل النتائج املمكنة هلا ستظهر أو حتدث ك عند إلقاء قطعة عملة معدنية مرة واحدة، فإن النتائ ، ومثال على ذل

، أي أن Tويرمز هلا بالرمز " ظهور الكتابة"، أو H ويرمز هلا بالرمز" ظهور الصورة: "نتيجتان مها، وقبل إلقاء القطعة ، ال ميكن حتديد أي من النتيجتني سوف { H , T}: النتائج املمكنة هي

. ظهرت

Sample Space فراغ العينة •

ج املمكنة للتجربة، ويرمز هلا بالرمز ج املكونة لفراغ Sهي جمموعة النتائ ، ويرمز لعدد النتائكSn)( العينة بالرمز :، ومن األمثلة على ذل

، S:{H , T }: عند إلقاء قطعة عملة غري متحيزة مرة واحدة، جند أن فراغ العينة هو - 1ج هي )(2 :وعدد النتائ =Sn.

91

غ العينة ميكن )قطعتني مرة واحدة إلقاء (عند إلقاء قطعة عملة غري متحيزة مرتني - 2 ، فإن فرا :احلصول عليه من خالل شجرة االحتماالت كما يلي

)(4 أي أن =Sn عدد النقاط اليت غ العينة هو جمموعةعند رمي زهرة نرد غري متحيزة مرة واحدة، فإن فرا - 3

)(6: ، أي أن S:{1, 2, 3, 4, 5, 6}:، وهيتظهر على الوجه =Sn . عند إلقاء قطعة عملة غري متحيزة عدد من املرات حىت حنصل على الصورة مرة واحدة، جند - 4

رة مرة واحدة ، إذا أن التجربة هي عدد من احملاوالت يتم إيقافها عندما حنصل على الصوغ العينة هو :فرا

S:{H, TH, TTH, TTTH,…….} ، ويكون :∞=)(Sn . س به مخس كرات محراء - 5 ، ثالث كرات زرقاء (red)عند سحب كرتني بدون إرجاع من كي

(blue) وكرتان خضراء ،(green) غ العينة هو :، جند أن فرا

)()910(90 :أي أن =×=Sn ، )ا حاالت غري متزنةأل.(

غ العينة لعدد الوحـدات - 6 عند فرز صندوق به مخس وحدات من سلعة معينة، يكون فراجب مرتيل......... املعيبة هو وا

Eventاحلادث •

هلجائيـة غ العينة، ويرمز للحادث حبرف من احلروف ا ج املكونة لفرا هو فئة جزئية من النتائ[…,C ,B ,A]نقسم احلادث إيل نوعني مها ، وي :

ج حيتوي على وهو الذي : Simple Event حادث بسيط - 1 نتيجة واحدة من النتـائغ العينة .املكونة لفرا

92

ج املكونة : Component Event حادث مركب - 2 ويشمل نتيجتني أو أكثر من النتائغ العينة، أي أن احلادث املركب ميكن تقسيمه إىل حوادث بسيطة .لفرا

ج املكونة للحادث بالرمز )()(ويرمز لعدد النتائ ,,... AB nnوهكذا . بأنه ظهور الـصورة مـرتني ، Aفعند إلقاء قطعة عملة غري متحيزة مرتني ، وعرف احلادث

غ العينـة يف هـذه احلالـة هـي Bواحلادث ظهور الصورة مرة واحدة على األقل ، جند أن فراS:{HH, HT, TH, TT}النسبة للحادث ، وبA فهو حادث بسيط ، يشمل نتيجة واحدة

ج هي Bأما احلادث ، n(A)=1 ، أي أن A:{HH}هي الث نتائ فهو حادث مركب يشمل ثB:{HT, TH, HH} أي أن ، n(B)=3 ث بسيطة . ، وهذا احلادث ميكن تقسيمه إىل أحدا

Union )∪( االحتاد •

األول أو الثاين أو عن وقوع أحدها على األقل، ومبعىن آخر وقوعB , Aاد احلادثان يعرب احتك رياضيا كالمها )، ويعرب عن ذل )BA∪ أو ( )BA or فـن "، وميكن االستعانة بـشكل "

Ven. Diagram كما يلي : )1- 7(شكل

ك ، عند إلقاء زهرة نرد بأنه ظهـور A متزنة مرة واحدة ، وعرف احلادث ومثال على ذل

: بأنه ظهور عدد فردي، يالحظ أن B ، واحلادث 3وجه يقبل القسمة على B:{1,3,5}, A:{3,6}, S:{1,2,3,4,5,6} ، ويكـون احتـاد احلادثـانB , A هـو :

( ) { }6,5,3,1:BA∪ك يف شكل : كما يلي Ven، ويعرب عن ذل

( ) { }6,5,3,1:BA∪

Intersection )∩(التقاطع •ج املشتركة عن وقوع االثنان يف آن واحد ، ويشمل كB , Aيعرب تقاطع احلادثان ل النتائ

ني ك رياضيا بني احلادث )، ويعرب عن ذل )BA∩ أو ( )BA and ك يف شـكل ، ويظ هر ذل :كما يلي " فن"

93

)2- 7(شكل

)ففي املثال السابق ، جند أن ) }3{:BA∩.

Mutually Exclusive evens األحداث املتنافية •

، مبعـىن ينفي وقوع احلدث اآلخـر متنافيان، إذا كان وقوع أحدها B, Aيقال أن احلادثان اليةاخلفئة املتنافيان هي التقاطع احلادثان نتيجة كون، ومن مث يتحالة وقوعهما يف آن واحداس

∩=φ أي أن φويرمز هلا بالرمز BA كما يلي" فن " ، وميكن متثيلها بشكل:

)3- 7(شكل

ج مشتركة )ال توجد نتائ ) φ=∩ BA

Compliment Eventاحلادث املكمل •

، مبعىن آخر هو احلادث الذي يشمل كـل هو الذي ينفي وقوعه Aدث املكمل للحادث احلاج املكونة للحادث ج التجربة باستثناء النتائ ، ومن مث A، ويرمز للحادث املكمل بالرمزAنتائ

∪=∩=φ : أن نستنتج

AASAA :كما هو مبني بالشكل التايل ,

)4- 7(شكل

)1- 7(مثــال

الث مرات ث التاليةألقيت قطعة عملة غري متحيزة ث :، وعرفت األحدا . ظهور الصورة مرتنيAاحلادث . ظهور الصورة مرة واحدةBاحلادث . ظهور الصورة يف الرمية األوىلCاحلادث :واملطلوب

94

ث اخلاصة باالحتاد - 1 جياد األحدا :إ

CBACBCABA ∪∪∪∪∪ ,,,

جياد األحدا - 2 :ث اخلاصة بالتقاطعاتإ

CBACBCABA ∩∩∩∩∩ ,,,

Bأوجد احلادث - 3

احلـــلغ العينة هلذه التجربة ه • :وفرا

8)( =Sn

ث هي • :وأما األحداA:{HHT,HTH,THH}, B:{HTT,THT,TTH}, C:{HHH,HHT,HTH,HTT}

4)( =Cn 3)( =Bn 3)( =An ث اخلاصة باالحتاد - 1 :األحدا

( ) { } 6,,,,,: )(, =∪ ∪ BAnTTHTHTHTTTHHHTHHHTBA ( ) { } 5,,,,: )(, =∪ ∪ CAnHTTHHHTHHHTHHHTCA

( ) { } 6,,,,,: )(, =∪ ∪ CBnTTHTHTHTTHTHHHTHHHCB ( ) { } 7,,,,,,: )(, =∪∪ ∪∪ CBAnTHHTTHTHTHTTHTHHHTHHHCBA

ث اخلاصة بالتقاطع - 2 :األحدا

( ) 0)(,: =∩ ∩ BAnBA φ ( ) { } 2,: )(, =∩ ∩ CAnHTHHHTCA ( ) { } 1: )(, =∩ ∩ CBnHTTCB ( ) 0)(,: =∩∩ ∩∩ CBAnCBA φ

جياد - 3 :Bإ( ) { } 5,,,,: )(, =BnTTTTHHHTHHHTHHHB

تحساب االحتماالطرق 7/3

95

لى أسس وقواعد الرياضيات، ويعترب هـذا من الناحية النظرية ع يعتمد حساب االحتمال يب تعتمد النوع من االحتمال ال التجري هو العنصر األساسي يف االستدالل اإلحصائي، ولكن يف ا

ج الفعلية ملشاهدات التجربة، وعلى تكرار احلادث حمل االهتمام، فإذا رمزنا االحتماالت على النتائ تتحدد وفقـا لنـوع حساب هذا االحتمالةقي طر، فإنP(A) بالرمز Aالحتمال وقوع احلادث

:نوعاناالحتمال، ومها ويعرب عنه بالتكرار النسيب، وحيـسب : Empirical probabilityاالحتمال التجرييب •

:بتطبيق املعادلة التالية

هو تكرار احلادث: f(A)، )العدد الكلي للمشاهدات( هو جمموع التكراراتn: حيث أن

A، عدد مرات ظهـور كـل وجـه، مرة، ومت مالحظة 500فإذا مت إلقاء قطعة عملة غري متحيزة

:وخلصت كالتايلSUM T H وجه Fa)ال ce)

وجه 260 240 500 عدد مرات ظهور ال ، والـيت )1- 7(ميكن تطبيق املعادلة رقـم ، Hإذا كان املطلوب حساب احتمال ظهور الصورةو

: أي أن تعتمد على التكرار النسيب،

52.0500260)()( ===

nHfHP

وهو الذي يعتمد يف حسابه على أسس : Theoretical Probabilityالحتمال النظريا •ج ج املمكنة للتجربة، وعـدد النتـائ يت تستخدم يف حتديد عدد النتائ وقواعد الرياضيات، وال

:املمكنة لوقوع احلادث، ومن مث حيسب هذا النوع من االحتمال ، بتطبيق املعادلة التالية

ج املمكنة للتجربة، n(S): حيث أن ج املمكنـة لوقـوع n(A) هو عدد النتائ هو عدد النتـائ S:{H, T}: فعند إلقاء قطعة عملة غري متحيزة مرة واحدة ، جند أن فراغ العينة هو، Aاحلادث

ج املمكنة هي ، هو ظهور صورة A، وإذا كان احلادثn(S)=(2)1 = 2: ، أي أن عدد النتائج املكونة للحادثA:{H}جند أن )(1: هيA ، أي أن عدد النتائ =An ويكون احتمال وقوع ،

96

: هوAاحلادث

5.021

)()()( ===

SA

nnAP

عنـد زيـادة عـدد :العالقة بني االحتمال التجرييب و االحتمال النظري •

يب من االحتمال النظريnاحملاوالت :، أي أن يقترب االحتمال التجري

فعند زيادة عدد مرات رمي قطعة العملة، فإن التكرار النسيب للصورة سوف يقترب من

.رمي قطعة العملة مرة واحدةعند وهي قيمة االحتمال النظري لظهور الصورة ،(0.5)القيمة ت :النتائج املتشاة • جري تجتربة، إذا أ للتجربة هلا نفس النتائج املمكنة كل نتيجة من وكان

)الفرصة يف الظهور، مبعىن أن كل نتيجة هلا احتمال هو ))(1 Sn ج ج بالنتائ ، تسمى هذه النتائغ العينـة هـو إلقاء زهرة نرد متزنة مرة واحدة فعند املتشاة، املتماثلة أو ، جنـد أن فـرا

S:{1,2,3,4,5,6} جند أن عدد ء الزهرة مرتنيوعند إلقا ، (1/6) ، واحتمال كل نتيجة هو غ العينة هو ج فرا : نتيجة، وهي n(S)=62=36: نتائ

6 5 4 3 2 1 (1,6) (1,5) (1,4) (1,3) (1,2) (1,1) 1 (2,6) (2,5) (2,4) (2,3) (2,2) (2,1) 2 (3,6) (3,5) (3,4) (3,3) (3,2) (3,1) 3 (4,6) (4,5) (4,4) (4,3) (4,2) (4,1) 4 (5,6) (5,5) (5,4) (5,3) (5,2) (5,1) 5 (6,6) (6,5) (6,4) (6,3) (6,2) (6,1) 6

ج متماثلة، واحتمال كل نتيجة هو . (1/36)وهذه النتائ

يت حتدث عند تكرار حماولة :النتائج غري املتماثلة • ل ج ا ، حبيث أن احتمـاالت هي النتائج ج كل حماولة غري متساوي، ومن مث ال تتساوى احتماالت نتائ فعند سحب كرتني التجربة،نتائ

الث كرات محراء س به ث ، وكرتان حتمـالن اللـون (R)مع اإلرجاع بطريقة عشوائية من كي ظهور ، واحتمال3/5كرة محراء هو ظهور ، جند أنه يف كل سحب يكون احتمال (W)األبيض

غ العينة، واحتمال كل نتيجة يف حالة ، 2/5بيضاء هو كرة ج فرا سحب ومن مث يكون نتائ :كرتني هو

97

)كل نتيجة خيتلف عن يالحظ أن احتمال .، فهذه احلاالت غري متزنة41(

Probability Laws قوانني االحتماالتبعض 7/4يت ميكن تطبيقها حلساب ل : حتماالت املختلفة، وهياالهناك بعض القوانني ا

Addition Law قانون مجع االحتماالت •

)(، فإن االحتمال B , Aان لدينا احلادثان إذا ك BAP : ، ميكن استنتاج معادلته كما يلي∪

)()()()(

)()()(

)()(

)()()()(

)()()(

BAPBPAPSn

BAnSnBn

SnAn

SnBAnBnAn

SnBAnBAP

∩−+=

∩−+=

∩−+=

∪=∪

:إذا

ث الث أحدا ) ، ميكن استنتاج معادلة االحتاد C , B , Aويف حالة ث )CBAP : ، وهي∪∪

ث متنافية، :فإن احتماالت التقاطعات تساوي أصفار، ويكونوعندما تكون األحدا

98

)2- 7(مثــال

:عند إلقاء زهرة نرد غري متحيزة مرتني، فأوجد ما يلي .احتمال ظهور وجهني متشاني - 1 .10احتمال ظهور وجهني جمموع نقاطهما - 2 .10احتمال ظهور وجهني متشاني أو جمموع نقاطهما - 3 . 10أو 7 احتمال ظهور وجهني جمموع نقاطهما - 4

: احلــــل

غ العينة هي ج فرا : نتائ S

6 5 4 3 2 1

(1,6) (1,5) (1,4) (1,3) (1,2) (1,1) 1

(2,6) (2,5) (2,4) (2,3) (2,2) (2,1) 2

(3,6) (3,5) (3,4) (3,3) (3,2) (3,1) 3

(4,6) (4,5) (4,4) (4,3) (4,2) (4,1) 4

(5,6) (5,5) (5,4) (5,3) (5,2) (5,1) 5

(6,6) (6,5) (6,4) (6,3) (6,2) (6,1) 6

n(S)= 36

: هو حادث ظهور وجهني متشاني، فإن Aبفرض أن احلادث - 1A:{(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6.6)}, n(A)= 6

: ويكون احتمال ظهور وجهني متشاني هو

61

366)(

)(

)(===

S

A

nnAP

:، فإن10ور وجهني جمموع نقاطهما هو حادث ظه Bبفرض أن احلادث - 2B:{(4,6) (5,5) (6,4)}, n(B)= 3

: ويكون احتمال ظهور وجهني متشاني هو

121

363)(

)(

)(===

S

B

nnBP

- 7 (، تستخدم املعادلة 10 جمموع نقاطهما (or)حلساب احتمال ظهور وجهني متشاني أو - 3 :حيث أن، )3

121)(6

1)( , == BPAP

)(وأما التقاطع BA∩ ني و جمموعهماميكن حسابه كما يلي10فيعرب عن ظهور وجهني متشا :

99

( ) { } ( )

( ) ( )361

1)5,5(:

)(

,

==∩

=∩∩

∩

S

BA

nnBAP

BAnBA

: ومن مث

92

368

361

121

61

)()()()(

==−+=

∩−+=∪ BAPBPAPBAP

هـو حـادث B، واحلادث7 هو حادث ظهور وجهني جمموع نقاطهما Cبفرض أن احلادث - 4 : جند أن، 10ظهور وجهني جمموع نقاطهما

B:{(4,6) (5,5) (6,4)} , C:{(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)} n(C)= 6 n(B)= 3

366)( =CP ، 363)( =BP ني يالح ني متنافيني، لذا تستخدم املعادلة C, Bظ أن احلادث يف حساب االحتمال ) 5- 7 ( حادث

:املطلوب كما يلي

41

369

366

363)()()(

==

+=+=∪ CPBPCBP

Conditional probability قانون االحتمال الشرطي •

وقوع حادث، إذا توافرت معلومات عن وقوع حادث آخر فرصة هذا االحتمال على يستند ب يف مادة اإلحصاء إذا علم أنه من النـاجحني يف ،حلادث األول له عالقة با كاحتمال جناح الطال

لنوع معني من السماد، إذا علم أنه يقـوم بزراعـة ةمادة االقتصاد، وكاحتمال استخدام املزرع حمصول معني، وكاحتمال أن اخلرجيي يعمل بالقطاع اخلاص، إذا علم أنه ممن خترجوا من قسم معني

ريةمن أقسام ك كث . كلية الزراعة، واألمثلة على ذل

حادث آخر يراد حـساب احتمـال Αحادث معلوم، واحلادث Βفإذا كان احلادث :، فإن هذا االحتمال حيسب بتطبيق املعادلة التاليةΒوقوعه، مبعلومية احلادث

)|( االحتمال ويعرف BApاحتمال وقوع احلادث "أ بقانون االحتمال الشرطي، ويقرA

، كما ميكـن "B بشرط وقوع احلادث Aاحتمال وقوع احلادث "يقرأ ، أو "Bمبعلومية احلادث ك بتطبيق املعادلة التاليةA مبعلومية احلادثBب احتمال وقوع احلادثحسا :، وذل

100

يالحظ أن االحتمال الشرطي هو نسبة حادث التقاطع بني ) 7- 7(، )6- 7 (ومن املعادلة :حيث أن إىل احلادث املعلوم،

) 3- 7(مثــال

من خرجيي الكلية يف العامني املاضيني، 100تكراري لعينة عشوائية حجمها فيما يلي توزيع :حسب التخصص، ونوع املهنة

Sum املهنة عمل حكومي قطاع خاص عمل حر لتخصص ا

اقتصاد زراعي 15 5 10 30 علوم أغذية 8 17 10 35تربة 12 10 13 35 علوم 100 33 32 35 Sum

:يقة عشوائية، احسب االحتماالت التاليةفإذا اختري أحد اخلرجيني بطر

.ما احتمال أن يكون من خرجيي قسم االقتصاد و يعمل بالقطاع اخلاص - 1 .ما احتمال أن يكون ممن يعملون باحلكومة أو من خرجيي قسم علوم األغذية - 2 .ما احتمال أن يكون من خرجيي قسم علوم األغذية أو من قسم علوم التربة - 3 .رجيي قسم عوم األغذية، ما احتمال أن يكون ممن يعملون عمال حراإذا علم أن الفرد من خ - 4

:لاحل : ، كما هو مبني باجلدول التايلB، ولنوع التخصص بالرمز A نرمز لنوع املهنة بالرمو:أوال

Sum عمل حر

3A قطاع خاص

2A عمل حكومي

1A

ملهنةا

لتخصص ا30 10 5 15 1Bاقتصاد زراعي 35 10 17 8 2Bعلوم أغذية 35 13 10 12 3Bعلوم تربة

100 33 32 35 Sum يعملون يف مهنة وني الذين ينتمون لقسم معني التكرار يف كل خلية يعرب عن عدد اخلرجي: ثانيا

.∩BA املمكنة التقاطعات حوادث تكرارعدد معينة، أي يعرب عن

101

. يعمل بالقطاع اخلاصو حساب احتمال أن يكون من خرجيي قسم االقتصاد - 1

05.0100

5)()21(

21 ===∩∩

nf AB

ABP

.من خرجيي قسم علوم األغذية أوحساب احتمال أن يكون ممن يعملون باحلكومة - 2

62.010062

1008

10035

10035

)()()()( 212121

==−+=

∩−+=∪ BAPBPApBAP

.حساب احتمال أن يكون من خرجيي قسم علوم األغذية أو من قسم علوم التربة - 3، ىاآلخر األقسام هذان حادثان متنافيان، ألن خترج الفرد من أحد األقسام ينفي خترجه من

:لذا يكون احتمال احتادمها هوومبعىن آخر استحالة أن الفرد خترج من قسمني يف آن واحد،

70.010070

10035

10035

)()()( 3232

==+=

+=∪ BPBpBBP

إذا علم أن الفرد من خرجيي قسم عوم األغذية، ما احتمال أن يكون ممن يعملون عمال حرا، - 4 بشرط 3Aممن يعملون عمال حرا الفرد حساب احتمال أن" هذا احتمال شرطي، املطلوب هنا

غذية أنه من خرجيي قسم علو :، أي أن االحتمال املطلوب هو2Bم أ

3510

10035

10010

)()(

)|(2

2323 =

=∩

=Bp

BApBAp

:واجب مرتيل

اجلدول التايل يبني عدد الوحدات السليمة، والتالفة من اخلبز العريب بعد ثالث أيام من تاريخ .(C , B , A): اإلنتاج يف أحد مراكز التموين اليت تتعامل مع ثالث خمابز هي

اإلمجايل عدد الوحدات التالفة عدد الوحدات السليمة A 36 24 60خمبز B 60 63 123خمبز C 54 33 87خمبز

270 120 150 اإلمجايل

:إذا اختريت وحدة من اخلبز بطريقة عشوائية، فأوجد اآليت ؟Bما احتمال أن تكون من إنتاج املخبز - 1 ما احتمال أن تكون تالفة ؟ - 2 ؟Cنت الوحدة سليمة ، ما احتمال أن تكون من إنتاج املخبز إذا كا - 3 أو تكون تالفة ؟ Aما احتمال أن تكون الوحدة من إنتاج املخبز - 4 ، ما احتمال أن تكون تالفة ؟Aإذا كانت الوحدة من إنتاج املخبز - 5

102

Probability Multiplying Lawقانون ضرب االحتماالت •، B , A ع األحداث معا، أي احتمال التقاطعات، فإذا كـان ويعكس هذا القانون احتمال وقو)( حتمالحادثان ميكن وقوعهما معا، فإن اال BAP :مهاحاصل ضرب احتمالني، حسابه كميكن ∩

)4- 7(مثــال ، وإذا كـان %60 للتسميد اليت تستخدم أسلوب معني اخلضروات إذا كانت نسبة مزارع ة غـري املـسمد اخلضروات ، بينما نسبة املبيعات من%70املسمد إنتاج اخلضروات يعات من نسبة املب

: عشوائيا ، فأوجد اآليت اخلضروات ، إذا اختريت أحد املزارع اليت تنتج80% ما احتمال أن هذه املزرعة تستخدم أسلوب التسميد؟ - 1 ؟ إنتاجهابيعإذا علم أن هذه املزرعة تستخدم أسلوب التسميد، ما احتمال أن ت - 2 ؟ إنتاجهاما احتمال أن هذه املزرعة تستخدم أسلوب التسميد وتبيع - 3 ؟ إنتاجها أسلوب التسميد و تبيعونستخدميال ممن ما احتمال أن هذه املزرعة - 4

احلــل :، جند أننا نتعامل مع نتيجتني متعاقبتني مها املسحوبةإذا فحصنا حال املزرعة

} (A2)تستخدم ال أو املزرعة (A1)املزرعة تستخدم طريقة التسميد {: انالنتيجة األويل وهلا حالت } (B2) اإلنتاج أو املزرعة ال تبيع، (B1) اإلنتاج املزرعة تبيع {: النتيجة الثانية وهلا حالتان

: لذا ميكن استنتاج شجرة االحتماالت للحصول على النتائج الكلية كالتايل

:ماالتوفيما يلي حساب االحت

:احتمال أن املزرعة تستخدم أسلوب التسميد هو - 16.0)( 1 =AP

103

:هو إنتاجهاإذا علم أن هذه املزرعة تستخدم أسلوب التسميد، فإن احتمال أن تبيع - 2( ) 7.011 =ABP

ثتان عبارة عن احتمال وقوع حاد إنتاجها احتمال أن هذه املزرعة تستخدم أسلوب التسميد وتبيع - 3

: كما يلي) 8- 7 (، لذا حيسب هذا االحتمال بتطبيق املعادلة( B1 and A1)معا

( )( )( ) 42.07.06.0

)()( 11111

==

=∩ ABPAPBAP

: هو إنتاجها احتمال أن املزرعة ال تستخدم أسلوب التسميد وتبيع - 4

( )( )( ) 32.08.04.0

)()( 21212

==

=∩ ABPAPBAP Independent Events األحداث املستقلة •

بوقوع أو عدم ليس له عالقة ميكن وقوعهما معا، ولكن وقوع أحدمها B , Aإذا كانت احلادثتان )( ، فإن االحتمالوقوع احلادث اآلخر BAP :ميكن التعبري عنه كالتايل ∩

. مستقلتانB , Aويف هذه احلالة يقال أن احلاثتان

)5- 7(مثـــال

ـ ، ونسبة املزارع اليت تنتج فاك%60إذا كان نسبة املزارع اليت تنتج خضروات ، %75ه ه :، أوجد اآليت%50ونسبة املزارع اليت تنتج اخلضروات و الفاكهة

ما احتمال أن مزرعة ما تنتج فاكهة أو خضروات؟ - 1 ما احتمال أال تنتج املزرعة الفاكهة ؟ - 2 هل انتاج املزرعة للفاكهة مستقل عن إنتاجها للخضروات؟ - 3

:احلـلرعة املز" هو حادث يعرب عن B، "املزرعة تنتج خضروات " يعرب عن ادث ح Aبفرض أن

:، فإن"تنتج فاكهة5.0)(,75.0)(,6.0)( =∩== BAPBPAP

:ويكون : احتمال أن مزرعة ما تنتج فاكهة أو خضروات هو - 1

( )( ) ( ) 85.05.075.06.0

)()()(=−+=∩−+=∪ BAPBPAPBAP

104

: واحتمال أال تنتج املزرعة الفاكهة ه - 2

25.075.01)(1)( =−=−= BPBP

- 7 (ما إذا كان إنتاج املزرعة للفاكهة مستقل عن إنتاجها للخضروات ميكن تطبيق املعادلة ملعرفة - 39(

45.0)75.0)(6.0()()(5.0)( , ===∩ BPAPBAP )()()( :وحيث أن BPAPBAP ، غري مستقل عن إنتاجها (A)إنتاج املزرعة للفاكهة ، فإن ∩≠

.(B)للخضروات

)6- 7(مثـــالـ B , Aإذا كان احلادثان )(5.0)(6.0 ستقالن ، وكـان حادثان م , == APBP فأوجـد ،

)(االحتمال BAP ∪.

:احلـــل : مستقالن، إذا B, Aمبا أن احلادثان

3.0)5.0)(6.0(

)()()(

==

=∩ BPAPBAP

)(ويكون احتمال BAP : هو∪

8.03.05.06.0)()()()(

=−+=∩−+=∪ BAPBPAPBAP

105

الثامنالفصـــل

املتغريات العشوائية والتوزيعات االحتماليةRandom Variables and Probability Distributions

دمةــمق8/1املتغريات العشوائية، من حيث تعريفها، وأنواعهـا، والتوزيعـات بدراسة هذا الفصل يهتم

.ائية اخلاصةالعشووالتوزيعات االحتمالية للمتغريات االحتمالية هلا، وخصائص هذه التوزيعات،

:Random Variable املتغري العشوائي8/2

املتغري العشوائي هو الذي يأخذ قيما حقيقية خمتلفة تعرب عن نتائج فراغ العينة، ومن مث جمـال هذا املتغري، يشمل كل القيم املمكنة له، ويكون لكل قيمة من القيم اليت يأخذها املتغري احتمال معني،

:وائي إىل قسمني مهاوينقسم املتغري العش Discrete Random Variablesاملتغريات العشوائية املنفصلة - 1 Continuous Random Variables) املستمرة(املتغريات العشوائية املتصلة - 2

املتغريات العشوائية املنفصلة8/3

بشكل عام ئيهو الذي يأخذ قيم بينية، ومتباعدة، ويرمز للمتغري العشوا املتغري العشوائي املنفصل ويرمز للقيم اليت يأخذها املتغري بـاحلروف األجبديـة .…,X, Y, Zحبرف من احلروف األجبدية الكبرية

:، ومن أمثلة هذه املتغريات… ,x, y, zالصغرية، =X ،X:{xعدد األوالد الذكور يف األسرة املكونة من أربع أوالد - 1 0,1,2,3,4} . =Y ،Y:{y دقائق 10هم البنكية كل عدد العمالء الذين يتم إاء خدمت - 2 0,1,2,3,….}. .عدد مرات استخدام نوع معني من األمسدة خالل الدورة الزراعية - 3 . وحدة كل موسم 200عدد الوحدات التالفة من إنتاج مزرعة معينة تنتج - 4 .عدد الوحدات اليت تستهلكها األسرة من سلعة معينة خالل الشهر - 5

األمثلة كثرية..... وهكذا

التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي املنفصل 8/3/1 تـرتبط يأخذها املتغري، واليت ميكن القيم اليت حدوث احتماالت يبني التوزيع االحتمايل، هو الذي

يأخذها ميكن أن هو التكراري النسيب للقيم اليت ومبعىن آخر العينة،فراغ يف مكنة احتماالت النتائج امل ب .املتغري

:},,...,{ يأخـذ القـيم، Xري العشوائي املنفـصل فإذا كان املتغ 21 nxxxxX ، وكـان =

106

)()( ii xfxXP ، فإنه، ميكـن تكـوين ix هو احتمال أن املتغري العشوائي يأخذ القيمة == قـيم ال ، وهو جدول مكون من عمودين، األول به Xجدول التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي

:},,...,{مـتغري املمكنة لل 21 nxxxxX ، والثـاين بـه القـيم االحتماليـة هلـذا املـتغري =)()( ii xfxXP :، أي أن==

)1- 8(جدول جدول التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي املنفصل

)(وتسمى الدالة ixfما يلي هذه الدالة بدالة االحتمال، ومن خصائص:

)1- 8 (الــمث

، بينما 0.60إذا كان من املعلوم أن نسبة مبيعات أحد املراكز التجارية من التفاح األمريكي :، اشترى أحد العمالء عبوتني، واملطلوب0.40يكون نسبة مبيعاته من األنواع األخرى للتفاح

.كون فراغ العينة - 1 : بأنه عدد العبوات املشتراة من التفاح األمريكي، فأوجد اآليتXإذا عرف املتغري العشوائي - 2

.Xالتوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي • .ارسم دالة االحتمال هلذا املتغري • .كون التوزيع االحتمايل التجميعي •)1(ما هو احتمال • =XP ،)1( ≤XP ،)5.1( =XP ،)5.1( ≤XP .ةحدد قيمة الوسيط، واملنوال لعدد العبوات املشترا •

:لــاحل :تكوين فراغ العينة

: هو شراء وحدتني من عبوات التفاح، ومن مث فراغ العينة يتكون من أربع نتائج، هي هنا التجربة

107

X فاح األمريكيالتوزيع االحتمايل لعدد العبوات املشتراة من الت •

املشتراة من التفـاح من املعلوم أن العميل اشترى عبوتني، وأن املتغري العشوائي هو عدد العبوات :تكون القيم املمكنة للمتغري العشوائي هياألمريكي، لذا

x= )رآخر، آخ( إذا كانت العبوتني من النوع اآلخر، أى إذا كانت نتيجة التجربة 0x= ) أمريكـي ، آخر( إذا كان أحد العبوتني من النوع األمريكي، أي إذا كانت نتيجة التجربة 1

) آخر،أمريكي(أو x= ) أمريكي، أمريكي ( إذا كان العبوتني من النوع األمريكي، أي إذا كانت نتيجة التجربة 2

=X:{x: ومن مث يأخذ املتغري القيم هذه القيم باحتماالت نتائج ، ويرتبط احتماالت {0,1,2 : هوXالتجربة املناظرة هلا كما هو مبني أعاله، ومن مث يكون التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي

من التفاح األمريكيةجدول التوزيع االحتمايل لعدد العبوات املشترا

)( ixf ix 0.16 0 0.48 1 0.36 2

1 Σ :f(x) رسم دالة االحتمال •

:تكوين التوزيع االحتمايل التجميعي •

)( االحتمالالتوزيع التجميعي، هو جدول يشمل االحتماالت الناجتة من حساب xXP ، ويرمز ≥

108

:ميعي تأخذ الصورة التالية دالة التوزيع االحتمايل التج، أي أنxF)(له بالرمز

لعدد الوحدات املـشتراة مـن التفـاح ومن مث ميكن تكوين جدول التوزيع االحتمايل التجميعي

:كما يلياألمريكي

جدول التوزيع االحتمايل، والتوزيع التجميعي لعدد العبوات املشتراه من التفاح األمريكي)( ixF )( ixf ix 16.0)0()0( =≤= XPF 0.16 0

64.048.016.0)1()1( =+=≤= XPF 0.48 1 00.136.064.0)2()2( =+=≤= XPF 0.36 2

1 Σ )1( - :حساب االحتماالت • =XP ،)1( ≤XP ،)5.1( =XP ،)5.1( ≤XP

64.0)1()5.1()5.1(0)5.1()5.1(

64.0)1()1(48.0)1()1(

===≤===

==≤===

FFXPfXP

FXPfXP

.حتديد قيمة الوسيط، واملنوال • :االحتمالهو القيمة اليت حتقق M ، إذا الوسيط 0.50 رتبة الوسيط هو - :الوسيط

50.0)()( ==≤ MFMXP كما هو مبني بالرسم (1,0) قيمتنيال، وهذا االحتمال يقع بني :التايل

)( ixF ix

0.16 0

50.0)( =MF M

0.64 1

1.00 2

:إذا الوسيط قيمته هي

71.0)01(16.064.0

16.05.00 =−×−

−+=M

:حساب املنوال . املناظرة ألكرب قيمة احتماليةixالقيمة = Modeاملنوال

= Mode: إذا املنوال هو )1(48.0: حيث أنه يناظر أكرب قيمة احتمالية هي1 =f.

109 الوسط احلسايب والتباين للمتغري العشوائي املنفصل8/3/2

:، وحيسب بتطبيق املعادلة التالية)ميو (µيرمز للوسط احلسايب للمتغري العشوائي بالرمز - أ

:، فيحسب بتطبيق املعادلة التالية)سيجما (2σالرمز وأما التباين ويرمز له ب - ب

)2- 8 (الـمث

:يف املثال السابق احسب ما يلي :من النوع األمريكي العبوات املشتراة الوسط احلسايب لعدد - أ . من النوع األمريكي املشتراةاحسب االحنراف املعياري لعدد العبوات - ب :لنسيبأوجد معامل االختالف ا - ت

لـاحل :الوسط احلسايب لعدد العبوات من النوع األمريكي - أ

وهذا يتطلـب ) 4- 8(، )3- 8( يتم استخدام املعادلة حلساب الوسط احلسايب واالحنراف املعياري ∑∑: ااميع التاليةتكوين جدول يشمل )(,)( 2

iiii xfxxfx كما يلي، وذلك:

)(2ii xfx )( ii xfx )( ixf ix

0 0 0.16 0 0.48 0.48 0.48 1 1.44 0.72 0.36 2 1.92 1.20 1 Σ

)(20.1: إذا الوسط احلسايب هو == ∑ ii xfxµ

: وهووحلساب االحنراف املعياري جيب أوال حساب التباين - ب

48.0)20.1(92.1)( 2222 =−=−= ∑ µσ ii xfx :إذا االحنراف املعياري قيمته هي

693.048.02 === σσ

:معامل االختالف النسيب هو - ت

110

7.571002.1

693.0100. =×=×=µσVC

- :واجب مرتيل

أحد مساحيق النظافـة فيما يلي التوزيع االحتمايل لعدد الوحدات اليت تستهلكها األسرة من :}X ، }5,4,3,2,1,0خالل الشهر =xX

5 4 3 2 1 0 x)عدد الوحدات اليت تستهلكها األسرة( 0.02 0.05 0.23 0.25 0.30 0.15 )(xf :واملطلوب

)عدد الوحدات اليت تستهلكها األسرة (حدد نوع هذا املتغري - 1 .ملعياري لعدد الوحدات املستهلكةاحسب الوسط والوسيط واملنوال واالحنراف ا - 2 : مث أوجد اآليتxF)(كون جدول التوزيع التجميعي - 3 نسبة األسر اليت يقل استهالكها عن وحدتني - أ وحدات3نسبة األسر اليت يزيد استهالكها عن - ب أسرة، فما هو عدد األسر املتوقع أن يكون استهالكها على األقل 500إذا كان لدينا - ت

وحدات؟3 . احسب معامل االلتواء، وكذلك معامل االختالف النسيب، وعلق على النتائج - 4

التوزيعات االحتمالية املنفصلة اخلاصة 8/4، تتبع بعض الظواهر توزيعات احتمالية خاصة، وهي التوزيعات يف كثري من النواحي التطبيقية

، وهذه xf)(، تسمى بدالة االحتمال ياضية راليت ميكن حساب احتماالت قيم املتغري عن طريق معادلة هذا التوزيع، وهذه املعامل ما هي إال حقـائق مى مبعامل اتمع الذي ينسب له املعادلة هلا معامل معينة، تس

. للتوزيع االحتمايل للمجتمع حمل الدراسةساب القيم االحتماليةهي األساس يف حثابتة جمهولة، والتوزيعات اليت سيتم دراستها يف هذا املقرر، توزيـع ثنـائي احلـدين، والتوزيـع ومن أهم

.البواسون

The Binomial Distribution التوزيع ثنائي احلدين8/4/1

، فقط متنافيتانيستخدم هذا التوزيع يف احلاالت اليت يكون للظاهرة حمل الدراسة نتيجتان :اح، واألخرى تسمى حبالة الفشل، ومن أمثلة ذلكالنتيجة حمل االهتمام وتسمى حبالة النج

) ، أو عدم استجابةاستجابة للدواء ( :عند إعطاء مريض نوع معني من األدوية، هلا نتيجتان •الوحدة إما أن تكون سليمة، أو ( عند فحص عبوة بداخلها نوع معني من الفاكهة، هلا نتيجتان •

)تكون معيبة )، أو الوجه الذي حيمل الكتابةظهور الوجه الذي حيمل الصورة(ان عند إلقاء قطعة عملة، هلا نتيجت • )جناح، رسوب( نتيجة الطالب يف االختبار •

111

). أو ال يستخدم، يستخدم( استخدام املزارع لربنامج معني يف الزراعة •

شكل التوزيع االحتمايل ثنائي احلدين : متنافيتان مها فقطث أن كل حماولة هلا نتيجتان من املرات، حبيnإذا كررت حماولة

pوتتم باحتمال ثابت يف كل حماولة هو " حالة جناح " النتيجة حمل االهتمام •pqوتتم باحتمال ثابت أيضا هو " حالة فشل " النتيجة األخرى • −= 1

، ا عالقة بنتيجة احملاولة األخرى أن نتيجة كل حماولة ليس هل وبافتراض أن هذه احملاوالت مستقلة، مبعىن nيف الــ " عدد النتائج حمل االهتمـام " يعرب عن عدد حاالت النجاح Xوإذا كان املتغري العشوائي

ـ Xحماولة، فـإن مـدي املـتغري العـشوائي : رب عـن عـدد حـاالت النجـاح هـو والـذي يع},...,2,1,0{: nxX )()(، ومن مث حيسب االحتمال = xfxXP : بتطبيق املعادلة التالية==

) حيث أن )n

x هي عدد طرق اختيار x من nلي مع إمهال الترتيب، وحتسب كما ي:

17

770

7435

1235677

3

=

=

==

××××

=

)3- 8(مثـــال هو العقاقري الطبية إذا كان من املعلوم أن نسبة الشفاء من مرض معني باستخدام نوع معني من

بأنه عدد الـذين X إذا عرف املتغري العشوائي . مصابني ذا املرض 5العقار ، إذا تناول هذا 60.0 .هلذا العقار) حاالت الشفاء(املستجيبني :املطلوب

ما هو نوع املتغري؟ - أ . هلذا املتغريxf)(اكتب شكل دالة االحتمال - ب :احسب االحتماالت التالية - ت

؟ العقار مرضى هلذا3ما احتمال استجابة • واحد على األقل؟ما هو احتمال استجابة مريض • مرضى على األكثر؟ 2ما هو احتمال استجابة •

.احسب الوسط احلسايب، واالحنراف املعياري لعدد حاالت االستجابة - ث

112

.حدد شكل التوزيع - ج

:لــاحل: ، ومدى هذا املتغري يف هذه احلالة هـو منفصل كمي متغري Xعدد حاالت االستجابة - أ

}5,4,3,2,1,0{: =xX: n ،60.0=p ،40.01=5: شكل دالة االحتمال - ب =−= pq إذا :

( ) 5,4,3,2,1,05 ,)4.0()6.0(5

)()()(

=−

−

=

=

xx

qpnxxf

xx

xnx

:حساب االحتماالت - ت)3()3(: مرضى هلذا الدواء3حساب احتمال استجابة • fxP ==

( )3456.0

03456.01016.0216.0123345)4.0()6.0()3( 3535

3

=

×=××××××

== −f

)1(:حتمال استجابة مريض واحد على األقلحساب ا • ≥xP

( )[ ] 98976.001024.0111)4.0()6.0(1

)0(1)5()4()3()2()1()1(505

0 =××−=−=

−=++++=≥ ffffffxP

)2(: مرضى على األكثر2حساب احتمال استجابة • ≤xP:

)0()1()2()2( fffxP ++=≤

( ) ( ) ( )

31744.001024.00768.02304.0

01024.0)(1(1)0256.0)(6.0(15)064.0)(36.0(

1245

)4.0()6.0()4.0()6.0()4.0()6.0( 5050

4151

3252

=++=

++××

=

+= +

:، واالحنراف املعياري لعدد حاالت االستجابةحساب الوسط احلسايب - ث

- 8(ين حيسب بتطبيق املعادلة يف حالة التوزيع ثنائي احلدµ)(الوسط احلسايب • :، وباستخدام العمليات الرياضية ميكن الوصول إىل النتيجة التالية)3

: إذا الوسط احلسايب هو

3)60.0(5 === npµ

التباين يف وحلساب االحنراف املعياري هو اجلذر التربيعي املوجب للتباين، •

، ومنها ميكن التوصل إىل )4- 8( يتم تطبيق املعادلة التوزيع ثنائي احلدين

113

:الصورة التالية

:إذا تباين عدد حاالت االستجابة هو

2.1)40.0)(60.0(5

2

=== npqσ

:عياري الصورة التاليةومن مث يأخذ االحنراف امل

095.12.1 ==

= npqσ

: التاليةوميكن حساب معامل االختالف النسيب، بتطبيق املعادلة

%5.361003095.1100. =×=×=

µσCV

:حتديد شكل التوزيع - ج : كما يليp شكل التوزيع ثنائي احلدين وفقا لقيمة احتمال النجاح تحددي

.يكون متماثل ثنائي احلدين فإن التوزيع االحتمايلp=5.0إذا كان .يكون موجب االلتواء ثنائي احلدين فإن التوزيع االحتمايلp>5.0إذا كان .يكون سالب االلتواء ثنائي احلدين حتمايل فإن التوزيع االp<5.0إذا كان

5.06.0وحيث أن >=pفإن توزيع عدد حاالت االستجابة سالب االلتواء .

Poisson Distribution التوزيع البواسوين 8/4/2 وكذلك يف ، زمنيةهذا التوزيع يف احلاالت اليت تقع فيها األحداث وفقا ملعدالتيكثر استخدام

:من أمثلة ذلكلة األحداث نادرة الوقوع، وحا:}2,1,0{...,. عدد الوحدات اليت تستهلكها األسرة من سلعة معينة خالل الشهر • =xX :}2,1,0{..., . عدد مرات ري نوع معني من احملاصيل الزراعية خالل املوسم • =xX :}2,1,0{..., . دقائق10عدد العمالء الذين يتم خدمتهم البنكية كل • =xX :}2,1,0{..., . عدد مرات زيارة املريض للطبيب كل سنة • =xX :}2,1,0{..., .عدد مرات تناول األسرة للحوم احلمراء خالل األسبوع • =xX :}2,1,0{...,. عدد أخطاء الطباعة لكل صفحة من صفحات الكتاب • =xX

وهكذا األمثلة كثرية

ع االحتمايل البواسوينشكل التوزي، وكـان املـتغري µمعني هـو زمين إذا كان متوسط عدد مرات وقوع حادث وفقا ملعدل

: هوX يعرب عن عدد مرات وقوع احلادث وفقا هلذا املعدل، فإن مدي املتغري العشوائي Xالعشوائي ,...}2,1,0{: =xX وهذا املـدى عبـارة عـن فئـة مفتوحـة مـن الـيمني، فـإن االحتمـال ،

114

)()( xfxXP من املرات وفقا هلـذا املعـدل، x والذي يعرب عن احتمال وقوع احلادث عدد == :حيسب بتطبيق املعادلة التالية

e=718.2: جد يف بعض اآلالت احلاسبة، وقيمتها هيتو أساس اللوغاريتم الطبيعي، و هيeحيث أن

: باتباع اخلطوات التالية من الشمال إىل اليمني تقريبا، وميكن حساب قيمتها باستخدام اآلالة احلاسبة e−5.1مثال إجياد

12321: ويساوي " xمضروب العدد "مى فتسx!وأما )...)((! ××−−= xxxx

) 4- 8(مثــال

اليت تستهلكها األسرة من سلعة معينة خالل الشهر تتبع الوحدات إذا كان من املعلوم أن عدد لـيت بأنه عدد الوحـدات ا X وحدات شهريا، إذا عرف املتغري العشوائي 3توزيع بواسون مبتوسط

. تستهلكها األسرة خالل الشهر من هذه السلعة

:املطلوب ما هو نوع املتغري العشوائي؟ - أ . هلذا املتغريxf)(شكل دالة االحتمال اكتب - ب :احسب االحتماالت التالية - ح

سرة تستهلك وحدتني خالل الشهر؟األاحتمال أن • قل خالل الشهر؟احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدة واحد على األ • وحدات على األكثر خالل الشهر؟ 3احتمال أن أسرة ما تستهلك •

.احسب الوسط احلسايب، واالحنراف املعياري لعدد الوحدات املستهلكة - خ .حدد شكل التوزيع - د

:لـاحلذه ، ومدى هذا املتغري يف همنفصل كمي متغري Xعدد الوحدات اليت تستهلكها األسرة - أ

:}3,2,1,0{...,: احلالة هو =xX: :دالة االحتمالشكل - ب

، إذا µ=3: هو عدد الوحدات اليت تستهلكها األسرة خالل الشهر متوسط مبا أن :دالة االحتمال هي

115

,...2,1,0,

)(

!33!

==

=

−

−

xx

xe

xxexf µµ

:حساب االحتماالت - ح f(2)هر، حساب احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدتني خالل الش •

( ) 22404.012

90498.02)2(

!233

=×

= =−ef

:احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدة واحد على األقل خالل الشهر هو •

9502.00498.011

0498.001)0(1

....)2()1()1(

!033

=−=−=−=

++=≥

=−ef

ffXP

: وحدات على األكثر خالل الشهر هو3احتمال أن أسرة ما تستهلك •

( ) 6474.0130498.011

13

29

6270498.0

10498.00123

)0()1()2()3()3(

!033

!133

!233

!333

==

+++=

=

+++=≤

−+

−+

−+

− eeee

ffffXP

:تجابةحساب الوسط احلسايب، واالحنراف املعياري لعدد حاالت االس - خ

: يف حالة التوزيع البواسون هو معلمة معطاة هيµ)(الوسط احلسايب •

3=µ :، فإن التباين يساوي الوسط احلسايبيف هذا التوزيع

32: أي أن == µσ :ومن مث يكون االحنراف املعياري هو

732.13 === µσ وميكن حساب معامل االختالف النسيب، بتطبيق املعادلة اليت سبق استخدامها يف

:الفصل السابق، وهو

%7.571003732.1100. =×=×=

µσCV

:حتديد شكل التوزيع - د .دائما التوزيع البواسون موجب االلتواء

116

Continuous Random Variablesتغريات العشوائية املستمرة امل 8/5

العشوائي املستمر، هو الذي يأخذ قيما متصلة، ويأخذ عدد الائي من القيم املمكنة له املتغري ــان ــإذا ك ــه، ف ــل جمال ــدى Xداخ ــع يف امل ــستمر، ويق ــشوائي م ــتغري ع a) م ,b) أي ،

}:{:أن bxaxX واألعلـى عدد الائي من القيم تقع بني احلـدين األدىن X، فإن للمتغري =>>(a ,b)ومن األمثلة على املتغريات الكمية املستمرة ما يلي ،: }:4010{: كمية األلبان اليت تنتجها البقرة يف اليوم باللتر • <<= xxX }:150001000{املساحة املرترعة باألعالف يف اململكة باأللف هكتار • <<= xxX }:51{فترة صالحية حفظ الدجاج املربد باأليام، • <<= xxX }:8055{، (30-40)وزن اجلسم بالكيلوجرام لألعمار من • <<= xxX

.وهكذا األمثلة على املتغري الكمي املستمر كثرية Continuous Probability التوزيع االحتمايل للمتغري املستمر 8/5/1

تكراري النسيب، جند أن شكل هذا املدرج مدرج بيانات املتغري الكمي املستمر يف شكل عند متثيل ضاقت الفترات بني مراكز الفئات، هو أقرب وصف ملنحىن التوزيع االحتمايل للمتغري املستمر، وكلما

احلصول على رسم دقيق للمنحىن اخلاص بدالة احتمال املتغري املستمر، كما هو مـبني بالـشكل ميكن :التايل

)1- 8(شكل تمايل للمتغري العشوائي املستمرشكل منحىن التوزيع االح

117

واملساحة أسفل املنحىن تعرب عن جمموع االحتماالت الكلية، ولذا تساوي هذه املساحة الواحـد

ــصحيح ــة ال ــسمى الدال ــة f(x)، وت ــال بدال ــة االحتم Probability Distributionكثاف

Function(p.d.f) دى ، وبفرض املتغري العشوائي املستمر يقع يف امل :}:{ bxaxX ππ= وأن ، : هذه الدالة يأخذ الصورة التاليةمنحىن

:ما يليxf)( دالة كثافة االحتمال خصائصفإن من a) داخل املدى موجبةxf)(الدالة - 1 ,b)0 : أي أن)( φxf ،),( bax∈ يعـرب عـن جممـوع b حىت احلد األعلـى a كامل على حدود املتغري من احلد األدىن الت - 2

:االحتماالت الكلية، لذا يساوي الواحد الصحيح ، أي أن

ax بالتكامل احملدد من يسمى أعاله أن الشكل الرياضي حيث bxحىت = ، وهذا يعـين =

),(فل املنحين بني إجياد املساحة أس ba. االحتمـال أي حساب (d,c) احتمال أن املتغري العشوائي املستمر يقع يف املدى حلساب - 3

)( dxcp cx، جيب حساب املساحة أسفل املنحين من >> dx حىت = كما هي = : التايلمبينة يف الشكل البياين

118

:ويتم ذلك بإجياد التكامل احملدد يف هذا املدى، كما يلي

)(االحتمال يف املتغري املستمر، يكون - 4 valuexp :مساويا للصفر، أي أن =

: التاليةولكي ميكننا حساب االحتماالت، جيب عرض بعض قواعد التكامل

)2- 8(جدول

بعض قواعد التكامل

∫ +

+

= 1

1

n

nn xdxx and ∫ +

++=+ )1(

1)()( nb

nn bxadxbxa (1)

xx ee dx =∫ and )(1)( bxab

bxa ee dx ++ =∫ (2) integration

∫ = )(log1 xdx ex and ∫ +=+ )(1 log)(

1bxaebdxbxa (3)

gamma ∫∞

− ××−−+ ===Γ0

123)...2)(1()1( ! nnnnn dxex xn (4)

Incomplete gamma ∫ ∑

−==+Γ

=

−−a n

i

iaxn

iaendxexnI

0 0 !1!)1( (5)

Beta )!1(

!!)1()1,1(1

0 ++=−=++ ∫ nm

nmdxxxnmB mn (6) )5- 8(ال ـمث

إذا كان اإلنفاق الشهري لألسرة باأللف ريال على املواد الغذائية له دالة كثافة احتمال تأخذ : الصورة التالية

{ 100)10(0)(

, <<−=

xxcxotherwisexf

:واملطلوب cحساب قيمة الثابت - 1

119

. ألف ريال خالل الشهر(8,5)احسب احتمال أن إنفاق األسرة يتراوح ما بني - 2 آالف خـالل 3، فما هو عدد األسر املتوقع أن يقل إنفاقها عـن أسرة 600إذا كان لدينا - 3

الشهر؟

احلـــل cحساب قيمة - 1

: من خصائص دالة كثافة االحتمال

1)( =∫=

=dxxf

bx

ax

إذا

006.05003

13

500

0)3

)1000()100(5(3

5

3210)10()10(

10

0

32

10

0

3210

0

210

0

==

==

−

−=

−=

−

=−=− ∫∫

=

=

=

=

c

c

cxxc

xxcdxxxcdxxcxx

x

x

x

. ألف ريال خال الشهر هو(8,5)حساب أن إنفاق األسرة يتراوح بني - 2

( ) ( )[ ]

396.0)66(006.0

3333.833333.149006.035)5(5

38)8(5006.0

35006.0)10(006.0)85(

32

32

8

5

32

8

5

==

−=

−−

−=

−=−=<< ∫

=

=

xxdxxxxpx

x

آالف خالل الـشهر 3، فإن عدد األسر املتوقع أن يقل إنفاقها عن أسرة 600إذا كان لدينا - 3 :هو

[ ] 1306.12909456.33

56.3

)10(006.0600

)3(600

3

0

32

3

0

≈=−−=

−=

−=

<=

∫

xx

dxxx

xpfamilyofnumber

. أسرة130حوايل

املتوسط والتباين يف التوزيع االحتمايل املستمر 8/5/2

120

x ،bxa هي دالة كثافة االحتمال للمتغري العشوائي xf)(إذا كانت فإن التوقـع >> : تأخذ الصورة التاليةxh)(الرياضي للدالة

. مث ميكن كتابة معادلة الوسط والتباين كما يليومن

)5- 8(تابع مثال

.أوجد املتوسط واالحنراف املعياري ومعامل االختالف النسيب لإلنفاق الشهري املثال السابق يف

احلـــل املتوسط احلسايب- 1

( ) ∫∫ −=−===10

0

3210

0

)10(006.0)10(006.0)()( dxxxxxxdxxxfxEµ

( )

512160

04

100003

10000006.043

10006.010

0

43

=

=

−

−=

−=

xx

. آالف ريال5 متوسط إنفاق األسرة الشهري االحنراف املعياري- 2

22222 )5()()( −=−= xEuxEσ

30201600

05

1000004

100000006.054

10006.0

)10(006.0)()(

10

0

54

10

0

4322

=

=

−

−=

−

=

−== ∫∫

xx

dxxxdxxfxxEb

a

525302: إذا التباين هو =−=σالقيمة التالية ، ومن مث يأخذ االحنراف املعياري : 236.25var === ianceσ

121

معامل االختالف النسيب- 3

%72.441005236.2100. =×=×=

µσVC

Cumulative Distribution Function (C.D.F)توزيع التجميعي دالة ال

=(C.D.F)يرمز هلذه الدالة بالرمز F(x)وحتسب بإجياد االحتمال :

: بالرسم التايلنيا بيا توضيحها وميكن

)5- 8(تابع مثال

، مث استخدم هذه الدالـة حلـساب C.D.F دالة التوزيع التجميعي أوجد) 5- 8(ثال يف امل . آالف جنيه5تمال أن إنفاق األسرة يقل عن اح

احلــل C.D.Fإجياد دالة التوزيع التجميعي •

( )

−=

−

=−=

=

∫

∫

35006.0

3210006.010006.0

)()(

32

32

00

0

xx

xxdxxx

dxxfxF

xx

x

)5()5(االحتمال املطلوب حساب • ≤= xpFكما هو مبني بالرسم التايل ،:

اليت مت التوصل إليها، أي F(x)يف الدالة x=5 بالتعويض عن وميكن حساب هذا االحتمال :أن

122

5.03

250006.0

3125125006.0

35006.0

)5()5(3

2

=

=

−=

−=

=≤=

xx

xPF

. آالف ريال5 من األسر يقل إنفاقها عن %50أي أن

خصائص دالة التوزيع التجميعي 1 - 0)( φxF 2 - 0)( =aF 3 - 1)( =bF 4 - )(1)( xFxp x −=φ 5 - dxxdFxf )()( =

التوزيعات االحتمالية املستمرة اخلاصة 8/6 Continuous Probability Distributions

، وهلا دوال كثافة احتمال حمددة، وفيما يلي بعض هذه هناك بعض التوزيعات االحتمالية املستمرة اخلاصة

:التوزيعات

Uniform distribution املنتظم التوزيع8/6/1

p.d.fشكل دالة كثافة االحتمال

هو توزيع له دالة احتمال ثابتة، ويستخدم يف حالة الظواهر اليت ميكن أن حتدث بشكل منتظم، ba، مداه هو Uniform متغري عشوائي له توزيع منتظم xإذا كان املتغري ف x فإن دالة كثافة >>

:احتماله هي

:وميكن متثيل هذه الدالة بيانيا كما يلي

123

معامل هذا التوزيع ),(توجد معلمتان هلذا التوزيع مها ab الصورة توزيعرمز هلذا ال، ولذا يكتب),(~ baUx

خصائص التوزيع املستطيل

: هلذا املتغري مها 2σوالتباين ، µالوسط احلسايب

12)(,

2)(

22 abbaxE −

=+

== σµ

:على الطالب إثبات ذلك

C.D.Fدالة التوزيع التجميعي

الشكل اآليتxF)(تأخذ دالة التوزيع التجميعي

)6- 8( مثـالها يف خمزن، وقام ببيعها بكميـات طن بطاطس، ووضع 1500استورد أحد املراكز التجارية

:إذا كانت الفترة الزمنية للبيع تتبع توزيع منتظم، فأوجد اآليت. متساوية على مدار شهور السنة .دالة كثافة االحتمال املعربة عن الفترة الزمنية للبيع • بعد مرور سبعة أشهر من بداية البيع، ما هي الكمية املوجودة باملخزن؟ •

احلـــل : كثافة االحتمال املعربة عن الزمندالة •

120 يعرب عن الفترة الزمنية للبيع مقاسة بالـشهر، أي أن xبفرض أن املتغري << x ، : ومن مث تأخذ دالة كثافة االحتمال املعربة عن الزمن الصورة التالية

120,121

0121)( <<=−

= xxf

.ودة باملخزن بعد سبعة أشهر من بداية البيعحساب الكمية املوج • هي كمية البطاطس املستوردة ، تكون الكية املتبقية باملخزن بعد مـرور Qبفرض أن

: سبعة أشهر من بداية البيع هي

TonFQxpQ 625)012071(1500))7(1()7( =

−−

−=−×=>×

124

Negative Exponential distribution التوزيع األسي السالب 8/6/2

p.d.fشكل دالة كثافة االحتمال>>∞ متغري عشوائي له توزيع أسي سالب ، مداه هو xإذا كان املتغري x0 فإن دالـة

:كثافة احتماله هي

:وميكن متثيل هذه الدالة بيانيا كما يلي

معامل هذا التوزيع

θ)(توجد معلمة واحدة هي

خصائص التوزيع األسى السالب : هلذا املتغري مها2σ ، والتباين µالوسط احلسايب

22 1,1)(

θθ σµ === xE

C.D.Fدالة التوزيع التجميعي يت الشكل اآلxF)(تأخذ دالة التوزيع التجميعي

( )xdxxfxXpxF ex

θ−−==≤= ∫ 1)()()(0

) 7- 8(مثــال ، فأوجد ما دقيقة2إذا كانت الفترة الزمنية إلاء خدمة العميل يف البنك تتبع توزيع أسي مبتوسط

.يلي .دالة كثافة االحتمال املعربة عن الفترة الزمنية إلاء خدمة العميل • .ما احتمال إاء خدمة العميل يف أقل من دقيقة •

حلـــلا

:دالة كثافة االحتمال املعربة عن الزمن •

125

، أي أن نية إلـاء خدمـة العميـل بالدقيقـة يعرب عن الفترة الزم xبفرض أن املتغري ∞<< x0 21 املتوسط ، فإن =θ ومن مث تصبح قيمة ، )(θ هـي : )5.0( =θ ،

: وتكتب دالة كثافة االحتمال املعربة عن الزمن على الصورة التالية

∞<<−

= xxf ex 0,5.05.0)( .حساب احتمال إاء خدمة العميل يف أقل من دقيقة •

3935.0))1(5.01()5.01()1( =−−=−−=≤ ee xxp

The Normal Distribution التوزيع الطبيعي 8/6/3

لتوزيعات االحتمالية استخداما يف النواحي التطبيقيـة، ومنـها يعترب هذا التوزيع من أكثر ا االستدالل اإلحصائي شامال التقدير، واختبارات الفروض، كما أن معظم التوزيعات ميكن تقريبـها إىل

.هذا التوزيع، وفيما يلي عرض هلذا التوزيع

p.d.f شكل دالة كثافة االحتمال

−∞>>∞ متغري عشوائي له توزيع طبيعي ، مداه هو xإذا كان املتغري x فإن دالة كثافة :احتماله هي

:وهذا التوزيع له منحىن متماثل يأخذ الصورة التالية

.µفهذا املنحىن متماثل على جانيب الوسط احلسايب

معامل هذا التوزيع

:جد معلمتني هلذا التوزيع مها تو)var(2: والتباين xE)(=µ: الوسط احلسايب σ=x

~),(: بالرموز xومن مث يعرب عن توزيع املتغري 2σµNx ويعين ذلك أن املتغري العـشوائي x

126

.2σ ، وتباينµيتبع التوزيع الطبيعي مبتوسط

خصائص التوزيع الطبيعي هذا التوزيع من أكثر التوزيعات االحتمالية استخداما، بل يشتق منه كل التوزيعات االحتماليـة

:زيع ما يلياملستخدمة يف االستدالل اإلحصائي، ومن خصائص هذا التواألخرى 2σ والتباين - µ 2 الوسط احلسايب - 1 µ منحين هذا التوزيع متماثل على جانيب الوسط - 3

)(كيفية حساب االحتماالت 21 xxp x << )(طلوب حسابه هو االحتمال امل بفرض أن 21 xxp x هذا االحتمال حيدد باملـساحة و ،>>

:التالية

بإجياد التكامـل حتسب )االحتمال( وحيث أن هذا التوزيع من التوزيعات املستمرة، فإن هذه املساحة

:التايل

∫∫

−−==<<

22

2

21

11

21

21)()(

x

x

xx

xdxdxxfxxp ex σ

µ

πσ

ميكـن ،Transform رياضـية ل حتويلةوهذا التكامل يصعب حسابه، ومن مث جلأ اإلحصائيني إىل عم

: استخدام توزيعها االحتمايل يف حساب مثل هذه االحتماالت، وهذه التحويلة هي

−

=σ

µxz

، وهذا Standard Normal Variable باملتغري الطبيعي القياسي zويعرف املتغري اجلديد :تمال تأخذ الصورة التاليةاملتغري له دالة كثافة اح

: ومن خصائص هذا التوزيع ما يلي

)(0:متوسطه هو - 1 =zE 2 -1: تباينه هو)var( =z

127

~)1,0(: بالرموز zومن مث يعرب عن توزيع املتغري Nz ك أن املتغري العشوائي ويعين ذلx يتبع ) .1(، وتباين ) 0(التوزيع الطبيعي القياسي مبتوسط

: يأخذ املنحىن الشكل الناقوس املتماثل على جانيب الصفر- 3

)()(: لتجميعيجداول إحصائية حلساب دالة التوزيع ا وصمم اإلحصائييون zZPzF ، كما هو => : مبني بالرسم التايل

)(ونعود اآلن إىل خطوات حساب االحتمال 21 xxp x )(σµ باستخدام التحويلة >> −= xz:

),(يتم حتويل القيم الطبيعية - 1 21 xxإىل قيم طبيعية قياسية : σµσµ )(,)( 2211 −=−= xzxz.

)()(: ومن مث يكون االحتمال - 2 2121 zzpxxp zx <<=<<:

، والـذي يعطـي املـساحة اخلاصـة باالحتمـال م جداول التوزيع الطبيعي القياسي تستخد - 3)()( zZPzF <=

طريقة استخدام جدول التوزيع الطبيعي القياسي يف حساب االحتماالت - 4

:أوجد االحتماالت التالية)57.1( - أ <zP 33.2( - ب( −<zP 96.1( - ج( >zP د -

128

)28.101.2( <<− zP احلل )57.1()57.1( حتدد املساحة املعربة عن االحتمال - أ FzP أسفل املنحىن كما يلي >=

:ويتم استخدام اجلدول كما هو مبني

)57.1()57.1(9418.0: ب هوويكون االحتمال املطلو ==< FzP )33.2()33.2( املساحة أسفل املنحىن املعربة عن االحتمـال - ب −=−< FzP موضـحة :كالتايل

P(z<-2.33)

.09 .08 .07 .06 .05 .04 .03 .02 .01 .00 z . . . . -

2.70 -

2.60

129

-2.50

-2.40

0.0099 -2.30

. . .

)33.2(0099.0: ومن مث يكون =−<zP

)96.1( حتدد املساحة املعربة عن االحتمال - ج >zPكالتايل :

:وهذا االحتمال حيسب باستخدام خصائص دالة التوزيع التجميعي ، حيث أن

)96.1(1)96.1(1)96.1( FzpzP −=<−=> ــة ــى القيم ــسابقة عل ــة ال ــنفس الطريق ــد أن 1.96وبالكــشف يف اجلــدول ب : جن

9750.0)96.1( =<zp ــو ــوب هـ ــال املطلـ ــون االحتمـ ــن مث يكـ : ، ومـ0250.09750.01)96.1( =−=>zP

)28.101.2( املساحة أسفل املنحىن املعربة عن االحتمال - د <<− zPهي :

:وباستخدام أيضا خصائص دالة التوزيع التجميعي ميكن حساب هذا االحتمال ، حيث أن )01.2()28.1()28.101.2( −−=<<− FFzP

: وبالكشف يف اجلدول عن هاتني القيمتني ، جند أن8775.00222.08997.0)28.101.2( =−=<<− zP

) 8- 8(مثـــال

ألـف 80إذا كان الدخل السنوي لألسرة يف أحد مناطق اململكة يتبع توزيع طبيعي متوسطه :واملطلوب. 900ريال، وتباينه

.كتابة قيمة معامل التوزيع االحتمايل للدخل السنوي - 1

130

.كتابة شكل دالة كثافة االحتمال - 2 ألف ريال ؟60ما هي نسبة األسر اليت يقل دخلها عن - 3 من الدخول؟ 0.975ا هو الدخل الذي أقل منه م - 4

احلـــل .كتابة قيمة معامل التوزيع االحتمايل للدخل السنوي - 1

متغري عشوائي يعرب عن الدخل السنوي باأللف ريال، وهو يتبع التوزيـع الطبيعـي، xبفرض أن : ومعامله هي

)(80 املتوسط - أ == µxE900: التباين هو- ب)( 2 == σxVar ~)900,80( : أي أن Nx

شكل دالة كثافة االحتمال - 2

( )7/22

230

8021

,,230

1)( =∞<<−∞=−−

ππ

xfx

ex

)60(: ألف ريال هي60نسبة األسر اليت يقل دخلها عن - 3 πxP

:ذكورة سابقا يف حساب االحتمال كما يليويتبع اخلطوات امل

( ) )67.0(67.030

8060

)60(

−=−<=

−

<=

−

<=<

FzPzP

xzpxPσ

µ

وبالكشف مباشرة عن هذه القيمة يف جدول التوزيع الطبيعي القياسي ، جند أن

( ) 2514.067.0)60( =−<=< zPxP لذي أقل منه اx)(يف هذه احلالة يبحث عن قيمة املتغري: من الدخول0.975الدخل الذي أقل منه - 4

)( ، بفرض أن هذا املتغري هو 0.975 1x فإن ، :

131

975.030

80)( 1

1 =

−

<=<x

zpxxP

، 9.1 جندها تقع عند تقاطع الـصف 9750.0بالكشف بطريقة عكسية ، حيث نبحث عن املساحة : ، ويكون z=96.1يمة أي أن ق.06والعمود

8.13880)96.1(30,30

8096.1 1

1 =+=−

= xThenx

. ألف ريال يف السنة138.8إذا الدخل هو

132

ا وروز بتمن الكملزيد موقعنا على شبكة االنترنيت

NET.EE4RR.WWW