Złote proporcje

Gdybyśmy pewnego dnia położyli się spać, a w czasie naszego snu zniknęłyby wszystkie liczby, zabierając ze sobą matematykę – jaki byłby wtedy świat? Obudzilibyśmy się następnego ranka w świecie bez komputerów, bez radia i telewizji, bez telefonów komórkowych, nawet bez czajnika do herbaty… A to wszystko jeszcze przed wyjściem z domu! Społeczność ludzka nie może istnieć bez liczb. Ich wszech-obecność jest przytłaczająca i dotyczy to nie tylko współczesnego społeczeństwa opartego na technologii cyfrowej. Tak było zawsze. Liczby kierowały się aktywnością człowieka od czasów prehistorycznych, stanowiąc jego najbardziej podstawowe i jakże imponujące narzędzie umysłu.

Każda cywilizacja tworzyła systemy liczbowe potrzebne do realizacji jej podstawowych celów, każda kultura reprezentowała liczby na swój sposób. Wszystkie te systemy spełniały jednak zawsze te same funkcje, służyły do: liczenia, porządkowania, mierzenia i kodyfikacji.

Złoty podział, podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Rysunek poniżej ilustruje ten związek geometrycznie.

Wyrażony algebraicznie:

Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ. Jej wartość wynosi:

Dla miłośników precyzji Φ=1,618033988749894848204586834365681177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374847540880783868197521254684663386222353693117991802060766726354433389086595939582905638322667319928290267880675208766892507111696207033222114321626954862629631361443814975870122034080588795544547492461856953648644492410443207713449470495658467885098743394422125448770664780915884607749988712400765217057517978834166256249407589069704000281210427621771117778053143117141011704666659914669798731761356006708748071013179523691429521948435885533056783002287856997829778347848782289110976625002695486262963136144381497587012203408058879554454749246185695364864449241044320771902449707207204189391137484754088078386819752125468466338622235369311799180206076672635443338908659593958290563832266731992829026770874807101317952369142952194843588553305678300228785699782977834784878228911097662500269548626296313614438149758701220340…

Jak narysować złoty podział odcinka?Najprostszy sposób polega na użyciu jednej (czerwonej) linii i

czterech okręgów. Linia niebieska to złoty podział odcinka...

Weźmy przykładowo odcinek równy liczbie FI: C = 1.6180339 i dorysujmy do niego kolejne odcinki pozostające z odcinkiem wyjściowym w złotej proporcji. Można to zrobić na dwa sposoby:

A) mnożąc liczbę Fi przez samą siebie: 1.0000000 x 1.6180339 = 1,6180 33...1.6180339 x 1.6180339 = 2,6180 33...2,6180337 x 1.6180339 = 4,2360 67...4,236067.. x 1.6180339 = 6,8541 00..., etc.

lubB) dodając do kolejnej sumy, poprzednią sumę:0.6180339 + 1.0000000 = 1,6180 3391.0000000 + 1.6180339 = 2,6180 3392.6180339 + 1.6180339 = 4,2360 6784,2360678 + 2.6180339 = 6,8541 017, etc...

Zarówno w wyniku dodawania i mnożenia zawsze uzyskasz takie same kolejne liczby do czterech lub więcej miejsc po przecinku (zależy to od tego, ile miejsc po przecinku wpiszesz w punkcie wyjścia). Liczby te wyznaczą długość kolejnych odcinków pozostających względem siebie w złotej proporcji.Przykład kości dłoni pozostających względem siebie w złotej proporcji.

Liczby, które otrzymujemy w wyniku dodawania i/lub mnożenia A = 1,000000 cmB = 1,618033 cmC = 2,618033 cmD = 4,236067 cmwyznaczają długości kolejnych kości dłoni - oczywiście przy założeniu, że długość najkrótszej kości wynosi 1cm.Jednak niezależnie od długości kości, proporcje między nimi zawsze będą wyznaczone przez liczbę Fi = 1,618...

Dłoń na fotografii rentgenowskiej obok.

Złoty prostokąt – prostokąt, którego boki pozostają w złotym stosunku. Charakteryzuje się tym, że po dorysowaniu doń kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt.Wprost z definicji złotego prostokąta i własności złotej liczby φ wynika, że:Jeśli na początku stosunek boków wynosi:

,to po dołączeniu kwadratu do dłuższego boku otrzymuje się prostokąt o bokach a + b i a spełniający warunek:

Odpowiednio w drugą stronę, odcinając od złotego prostokąta kwadrat o boku równym krótszemu bokowi prostokąta otrzymuje się prostokąt, którego boki nadal pozostają w złotym stosunku.Powtarzając te czynności otrzymuje się kolejne coraz większe lub coraz mniejsze złote prostokąty.

Oto (w pewnym przybliżeniu) złoty prostokąt:

Złoty świat sztukiWiele pisano o tajemnicy kryjącej się w najsłynniejszym uśmiechu w historii sztuki. Można jednak spróbować znaleźć geometryczne rozwiązanie zagadki. Zobaczymy, co się dzieje, gdy na twarzy Mona Lisy nałożymy kilka złotych prostokątów. Czy Leonardo Da Vinci myślał o złotej proporcji, gdy malował swoje arcydzieło?Odpowiedź pozytywna byłaby nieco ryzykowna. Na pewno mniej kontrowersyjny byłby pogląd,że geniusz z Florencji przywiązywał ogromną wagę do relacji między estetyką a matematyką. Pozostawimy teraz tę kwestię w zawieszeniu,nie omieszkawszy wpierw zauważyć, że Leonardowykonał ilustrację do matematycznej książkiDe Divina Proportine („ O złotej proporcji”),której autorem był jego przyjaciel Luca Pacioli.

Przyjrzyjmy się teraz architekturze, zapewne szczytowemu przejawowi sztuk stosowanych. Jeśli prawdą jest, że złota proporcja stwarza harmonię dostrzegalną we wszystkich jej postaciach, powinniśmy ją odnaleźć we wzorach geometrycznych leżących u podłoża najbardziej ikonicznych budowli świata. I taka teza byłaby wszakże nieco ryzykowna. Złota proporcja rzuca się w oczy w wielu wielkich historycznych budowlach, takich jak piramida Cheopsa, czy niektóre znane katedry gotyckie, ale często występuje w bardziej subtelnej postaci. W wielu przypadkach widać ją znacznie wyraźniej. Tak jest np. z wieloma elementami słynnej fasady arcydzieła Fidiasza, Partenonu lub z Bramą Brandenburską, które można rozłożyć na kilka prostokątów.

Złoty podział w architekturze.

Tajemnice róż Związek złotej proporcji z pięknem nie jest jedynie efektem subiektywnej ludzkiej percepcji. Sama przyroda wydaję się nadawać liczbie Φ szczególne znaczenie, przekładając pewne kształty ponad inne. Aby to zrozumieć musimy zanurzyć się głębiej w właściwości złotej proporcji. Weźmy już dobrze nam znany Złoty Prostokąt i wpiszmy w niego kwadrat o bokach równych szerokości prostokąta. Utworzymy w ten sposób nowy złoty prostokąt. Powtarzając kilkakrotnie ten proces, otrzymamy następującą figurę.

Teraz w każdym z wpisanych kwadratów narysujemy łuk okręgu w sposób pokazany na rysunku. Promień każdego łuku jest równy długości boku kwadratu, w którym łuk jest zawarty. Rysunek będzie wyglądał tak:

Ta elegancja krzywa nosi nazwę Spirali Logarytmicznej. I nie jest

ona tylko matematyczną ciekawostką. Z łatwością można ją dostrzec w świecie fizycznym,

przenosząc się z muszli nautilusa…

Do ramion galaktyk…

Ciąg FibonacciegoCiąg Fibonacciego jest to ciąg liczbowy, opisany przez XIII-wiecznego włoskiego matematyka, zaczyna się od wartości 1 i 1, po czym każdy następny jego wyraz to suma dwóch go poprzedzających. Oto pierwsza piętnastka wyrazów tego nie skończonego ciągu:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610.

Iloraz dowolnej liczby tego ciągu przez liczbę, która go poprzedza, jest zawsze pewnym przybliżeniem liczby Φ – tym lepszym, im dalej jesteśmy w ciągu. Sprawdźmy to:1/1 = 12/1 = 23/2 = 1,55/3 = 1,(6)8/5 = 1,613/8 = 1,62521/13 = 1,615384…34/21 =1,619047…55/34 = 1,617647…89/55 = 1,618181…144/89 = 1,617977…

Φ = 1,6180339887…

KONIEC• Wykonali:• Kamil Szczeszek, Arkadiusz Zajdel, Oscar Teeninga,

Igor Półchłopek, Piotr Mercik i Jakub Proczek.