zadatak 201 (davor, gimnazija) · zadan je aritmeti čki niz 4, 10, 16, … , 298. odredite broj...

1

Zadatak 201 (Davor, gimnazija)

Tri prirodna broja koji čine aritmetički niz imaju zbroj 21. Ako im dodamo redom 2, 3 i 9

dobivamo geometrijski niz. Koliki je umnožak početna tri broja?

Rješenje 201

Ponovimo!

,1

.n m n m

a a a a a+

= ⋅ =

Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i

iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .

6.a a d a a d a a d a a d a a da d an n

−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Niz (an) je geometrijski niz ako je svaki član niza, počevši od drugog, jednak prethodnom članu

pomnoženom s konstantom q ≠ 0, tj.

1.a a qnn

= ⋅+

Broj q naziva se kvocijent geometrijskog niza.

Niz je geometrijski ako je omjer svakog člana i člana ispred njega stalan:

.

1

an qan

=

−

Neka su x i y pozitivni brojevi. Tada je njihova geometrijska sredina definirana izrazom

.G x y= ⋅

Niz je geometrijski ako je svaki član (osim prvog) geometrijska sredina dvaju susjednih članova.

211 1

1

.aan n a a an n na ann

+= ⇒ = ⋅

− +−

Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Neka su zadana tri broja koji čine aritmetički niz.

, , .1 2 3

a a a

Možemo ih zapisati na sljedeći način:

, , .1 2 2 3 2

a a d a a a d= − = +

Zbroj članova je 21 pa slijedi:

21 21 211 2 3 2 2 2 2 2 2

a a a a d a a d a d da a+ + = ⇒ − + + + + +− += ⇒ = ⇒

3 21 3 21 7.2 2

/ : 32

a a a⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Članovi aritmetičkog niza glase:

7 , 7, 7 .1 2 3

a d a a d= − = = +

Ako im dodamo redom 2, 3, 9 niz postaje geometrijski.

2, 3, 9,1 2 3

a a a+ + +

7 2, 7 3, 7 9,d d− + + + +

9 , 10, 16 .d d− +

Za geometrijski niz vrijedi:

2

( ) ( )2

10 9 16d d= − ⋅ + ⇒

2 2 2100 144 9 16 100 144 9 16 0 7 44 0d d d d d d d d= + ⋅ − ⋅ − ⇒ − − ⋅ + ⋅ + = ⇒ + ⋅ − = ⇒

1 , 7 , 442

7 44 02

41 , 7 , 44

1,2 2

a b c

d db b a c

a b c da

= = = −

+ ⋅ − =⇒ ⇒ ⇒

− ± − ⋅ ⋅= = = − =

⋅

( )2

7 7 4 1 44 7 49 176 7 225

1,2 1,2 1,22 1 2 2d d d

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

7 15 8

1 1 17 15 2 21,2 7 15 222

2 2 2

2

22

8

2

2

2

d d d

d

d d d

− += = =

− ±⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− −= = − = −

je rješenje

svi članovi niza nisu prirodni brojevi, nije rješenje

41

4.11

2

dd

d

=⇒ ⇒ =

= −

Članovi aritmetičkog niza su:

[ ]

7 7 4 31 1 1

7 7 7 3, 7, 11.2 2 2

7 7 4 13 3

4

13

d

a d a a

a a a

a d a a

= − = − =

= ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

= + = +

=

=

Umnožak početna tri broja je:

3 7 11 231.1 2 3 1 2 3

a a a a a a⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ =

Vježba 201

Tri prirodna broja koji čine aritmetički niz imaju zbroj 21. Ako im dodamo redom 2, 3 i 9

dobivamo geometrijski niz. Koliki je umnožak konačna tri broja?

Rezultat: 1000.

Zadatak 202 (4A, 4B, TUPŠ)

U jezeru je otkriveno 10 grama algi za koje se zna da utječu na porast populacije rakova.

Naseobina algi povećava se 15% tjedno. Populacija rakova u jezeru počinje naglo rasti ako je u njemu

više od 10000 grama algi.

a) Koliko će grama algi biti u jezeru tjedan dana nakon što su otkrivene?

b) Koliko će grama algi biti u jezeru nakon 3 tjedna?

c) U kojem će tjednu populacija rakova početi naglo rasti?

Rješenje 202

Ponovimo!

, ,1

, 0 .a bn m n m

a a a a a a b cc c

+= ⋅ = > > ⇒ >

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100.

Na primjer, 9 81 4.5 0.3

9 % , 81 % , 4.5 % , 0.3 % , .100 100 100

%1100 00

pp= = = = =

Kako se računa ''... p% od x...''?

100.

px⋅

3

Kako zapisati da se x poveća za p% ?

100.

px x+ ⋅



1.a a qnn

= ⋅+

Broj q naziva se kvocijent geometrijskog niza.


.

1

an qan

=

−

Opći član geometrijskog niza s prvim članom a1 i kvocijentom q ima oblik

1., 1

1n

a a q nn−

= ⋅ ≥

Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.

Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:

llog ogb

c ca c a b a b

b=

→

= =

Dekadski logaritam

Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili

obični logaritam.

log log10

.x x=

og log .ln

a n a= ⋅

a)

Računamo koliko će algi biti u jezeru tjedan dana nakon otkrića.

101

0.15 1.1515 2 1 1 2 10.

215

10

1

0

1a a p a

a g

a a a a ap

=

⇒ ⇒ = + ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒= =

= + ⋅

1.15 10 11.5 .2 2

a g a g⇒ = ⋅ ⇒ =

b)

Ako sa a1 označimo masu algi na početku prvog tjedna (nakon otkrića) na kraju prvog tjedna njihova

masa poveća se 15% i iznosi:

0.15 1.15 .2 1 1 2 1

a a a a a= + ⋅ ⇒ = ⋅

Na kraju drugog tjedna masa algi je:

2 20.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 .

3 2 2 3 2 3 1 3 1 3 1a a a a a a a a a a a= + ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Na kraju trećeg tjedna masa algi je:

2 3 30.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 .

4 3 3 4 3 4 1 4 1 4 1a a a a a a a a a a a= + ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Brojčano to iznosi:

310 1.15 15.20875 .

4a g g= ⋅ =

4

c)

Vidimo da se radi o geometrijskom nizu s kvocijentom q = 1.15.

2 3, 1.15 , 1.15 , 1.15 , ...

1 2 1 3 1 4 1a a a a a a a= ⋅ = ⋅ = ⋅

Budući da populacija rakova u jezeru počinje naglo rasti u tjednu kad će u njemu biti više od 10000

grama algi, trebamo izračunati u kojem će se tjednu naseobina algi povećati preko 10000 grama.

101 1110000 10 000

11 15

1.

na a q

ana a qn n

q

=−=

−> ⇒ ⇒ ⋅ > ⇒⋅

=⇒

1 1 110 1.15 10 000 10 1.15 10 000 1.15 1/ : 1 000 0

n n n− − −⇒ ⋅ > ⇒ ⋅ > ⇒ > ⇒

1 11.15

logaritmira1000 log1.15 log100

mo/ log

jed b0

nadž u

n n− −⇒ ⇒ > ⇒ > ⇒

( ) ( )1 log1.15 log1000 1 log1.15 log1001

/0log1.15

n n ⋅⇒ − ⋅ > ⇒ − ⋅ > ⇒

log1000 log10001 1 50.43.

log1.15 log1.15n n n⇒ − > ⇒ > + ⇒ >

Populacija rakova naglo će početi rasti u pedesetom tjednu.

Vježba 202

U jezeru je otkriveno 10 grama algi za koje se zna da utječu na porast populacije rakova.

Naseobina algi povećava se 15% tjedno. Populacija rakova u jezeru počinje naglo rasti ako je u njemu

više od 10000 grama algi. Koliko će grama algi biti u jezeru nakon 2 tjedna?

Rezultat: 13.225 g.

Zadatak 203 (Katarina, srednja škola)

Zadan je aritmetički niz 3, 9, 15, … . Odredite formulu za opći član.

Rješenje 203

Ponovimo!


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno određen ako

znamo prvi član a1 i razliku d.

Opći član aritmetičkog niza s prvim članom a1 i razlikom d ima oblik

( )1.1a a n dn = + − ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Budući da je zadan aritmetički niz 3, 9, 15, … , lako se vidi da je

3 , 9 3 15 9 ... 6.1

a d= = − = − = =

Uporabom formule za opći član aritmetičkog niza nalazimo da je opći član zadan izrazom

( )( )

3 , 61

3 1 6 3 6 6 3 6 .1

1

a da n a n a nn n n

a a n dn

= =

⇒ = + − ⋅ ⇒ = + ⋅ − ⇒ = − + ⋅= + − ⋅

5

Vježba 203

Zadan je aritmetički niz 4, 10, 16, … . Odredite formulu za opći član.

Rezultat: 2 6 .a nn = − + ⋅

Zadatak 204 (Katarina, srednja škola)

Zadan je aritmetički niz 3, 9, 15, … , 297. Odredite broj članova toga niza.

Rješenje 204

Ponovimo!


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−




( )1.1a a n dn = + − ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Budući da je zadan aritmetički niz 3, 9, 15, … , 297, lako se vidi da je

3 , 9 3 15 9 ... 6 , 297.1

a d an= = − = − = = =

Uporabom formule za opći član aritmetičkog niza dobije se broj članova niza.

( )( )

3 , 6 , 2971

297 3 1 6 297 3 6 6 297 3 61

1

a d ann n n

a a n dn

= = =

⇒ = + − ⋅ ⇒ = + ⋅ − ⇒ = − + ⋅ ⇒= + − ⋅

3 6 297 6 297 / : 63 6 300 6 300 50.n n n n n⇒ − + ⋅ = ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Vježba 204

Zadan je aritmetički niz 4, 10, 16, … , 298. Odredite broj članova toga niza.

Rezultat: 50.

Zadatak 205 (Sandra, maturantica)

Prvi član geometrijskog niza je 16. Za treći i četvrti član tog niza vrijedi 3

.4 32

a a= ⋅

Izračunajte sedmi član niza.

Rješenje 205

Ponovimo!

,1

.:n m n m

a a a a a−

= =



1.a a qnn

= ⋅+

Broj q naziva se količnik geometrijskog niza.


.

1

an qan

=

−

6

Opći član geometrijskog niza s prvim članom a1 i kvocijentom q ima oblik

1., 1

1n

a a q nn−

= ⋅ ≥


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.

0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = = 1.inačica

3 3 3 34 .4 3 4 32 2

1

2 23

4/

3 3

aa a a a q

a

aq

a a= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ ⇒ =⋅ =

Sada je:

636 6

16 16 1.5 182.25.7 7 7 71 2

161

3

2

a a q a a

a

qa= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

=⇒

=

=

2.inačica

3 3 3 33 2 3 2 3 24 3 1 1 1 12 2 2 2

/ :1

a a a q a q a q a q qa q= ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

nema smi2 003 3 33 2 2

0 0 .332 2 2022

slaqq

q q q q qqq

==

⇒ − ⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⇒ ⇒ ==− =

Sada je:

636 6

16 16 1.5 182.25.7 7 7 71 2

161

3

2

a a q a a

a

qa= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

=⇒

=

=

Vježba 205

Prvi član geometrijskog niza je 16. Za treći i četvrti član tog niza vrijedi 3

.4 32

a a= ⋅

Izračunajte peti član niza.

Rezultat: 81.

Zadatak 206 (Tomislav, srednja škola)

Koliki je zbroj prvih 13 članova niza ( )502 3 1 ?a nn = + ⋅ −

. 520 . 538 . 6 724 . 6 760A B C D

Rješenje 206

Ponovimo!

( )11 2 3 4 ...

2.

n nn

⋅ ++ + + + + =


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−

Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza dan je formulom

7

.12

ns a an n= ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica

Dokažimo da je niz

( )502 3 1a nn = + ⋅ −

aritmetički niz, tj. da ima stalnu razliku između dva susjedna člana.

( )( ) ( )502 3 1 1 502 3 11

a a n nnn− = + ⋅ + − − + ⋅ − ⇒

+

( ) ( )502 3 1 1 502 3 11

a a n nnn⇒ − = + ⋅ + − − − ⋅ − ⇒

+

( )502 3 3 3 3 3 31 1

1 1 502a a n n a a n nn nn n⇒ − = + ⋅ −+ − − ⋅ + ⇒ − = ⋅ − ⋅ + ⇒

+ +

3 3 3.1 1

3a a a nn an nn

n⋅ − ⋅⇒ − = + ⇒ − =

+ +

Odredimo vrijednost članova a1 i a13 niza

( )502 3 1 .a nn = + ⋅ −

• ( )502 3 1 1 502 3 0 502 0 5021 1 1 1

a a a a= + ⋅ − ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⇒ =

• ( )502 3 13 1 502 3 12 502 36 538.13 13 13 13

a a a a= + ⋅ − ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⇒ =

Zbroj prvih 13 članova niza

( )502 3 1a nn = + ⋅ −

iznosi:

[ ]

13

5021

5381

13 13502 538 1040

1 13 132 2

3

2

ns a a s sn

n

a

a

n= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ ⇒

=

=

=

1313 520 6760.

13 11

2 3 3040

1s s s⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Odgovor je pod D.

2.inačica

Za niz

( )502 3 1a nn = + ⋅ −

napišimo prvih 13 članova:

• ( )502 3 1 1 502 3 0 5021 1 1

a a a= + ⋅ − ⇒ = + ⋅ ⇒ =

• ( )502 3 2 1 502 3 1 502 32 2 2

a a a= + ⋅ − ⇒ = + ⋅ ⇒ = +

• ( )502 3 3 1 502 3 2 502 63 3 3

a a a= + ⋅ − ⇒ = + ⋅ ⇒ = +

• ( )502 3 4 1 502 3 3 502 94 4 4

a a a= + ⋅ − ⇒ = + ⋅ ⇒ = +

…

• ( )502 3 13 1 502 3 12 502 36.13 13 13

a a a= + ⋅ − ⇒ = + ⋅ ⇒ = +

8

Zbroj prvih 13 članova iznosi:

( )... 13 502 3 6 9 ... 36 6526 3 1 2 3 ... 121 2 3 4 13

a a a a a+ + + + + = ⋅ + + + + + = + ⋅ + + + + =

( )12 12 1 12 13 136526 3 6526 3 6526 3 6526 3 6 13 6 76

2

120.

2 2

⋅ + ⋅ ⋅= + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ ⋅ =

Odgovor je pod D.

Vježba 206

Koliki je zbroj prvih 13 članova niza ( )502 3 1 ?a nn = − ⋅ −

. 520 . 538 . 6 724 . 6 760A B C D

Rezultat: D.

Zadatak 207 (Ivana, medicinska škola)

Odredi 10. član niza kojemu je prvi član 5, a za ostale članove vrijedi 1.2 , .1

a a n Nnn= ⋅ ∈

+

Rješenje 207

Ponovimo!



1.a a qnn

= ⋅+



.

1

an qan

=

−

Opći član geometrijskog niza s prvim članom a1 i količnikom q ima oblik

1., 1

1n

a a q nn−

= ⋅ ≥

Budući da za članove niza vrijedi

1.2 ,1

a ann= ⋅

+

riječ je o geometrijskom nizu za koji je

1.2 , 5.1

q a= =

Tada 10. član iznosi:

1 95 1

10džepno

51 računalo

1.2

.2 25.7989.1 10 10

na a q aa

q

an

n −

= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ =

=

=

=

Vježba 207

Odredi 11. član niza kojemu je prvi član 5, a za ostale članove vrijedi 1.2 , .1

a a n Nnn= ⋅ ∈

+

Rezultat: 30.9587.

Zadatak 208 (Borna, tehnička škola)

Tri broja čiji je zbroj 15 određuju uzastopne članove aritmetičkog niza. Ako se tim brojevima

redom doda 1, 4, 19 dobiju se tri uzastopna člana geometrijskog niza. Koji su to brojevi?

Rješenje 208

Ponovimo!

,1

.n m n m

a a a a a+

= ⋅ =


iznosi d.

9

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−





1.a a qnn

= ⋅+



.

1

an qan

=

−

Niz je geometrijski ako je svaki član (osim prvog) geometrijska sredina dvaju susjednih članova.

211 1

1

.aan n a a an n na ann

+= ⇒ = ⋅

− +−

Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Zbog jednostavnosti tri uzastopna člana aritmetičkog niza zapišimo na ovaj način:

, , .1 2 3

a a d a a a a d= − = = +

Budući da je njihov zbroj 15, slijedi:

15 15 15 3 151 2 3

a a a a d a a dd a a ada+ + = ⇒ − + + + = ⇒ + + + = ⇒ ⋅ =− ⇒

/ :3 315 5.a a⇒ ⋅ = ⇒ =

Članovi niza su:

5 , 5 , 5 .1 2 3

a d a a d= − = = +

Ako se tim brojevima redom doda 1, 4, 19 dobiju se tri uzastopna člana geometrijskog niza.

1 5 1 6svojstvo geometrijskog niza1 1 1 1

4 5 4 92 2 2 2

19 5 19 243 3 3

22 1 3

3

b a b d b d

b a b b

b ab b

d b db

b

= + = − + = −

= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ ⇒

= + = + + = += ⋅

( ) ( )2 2 2

9 6 24 81 144 6 24 81 144 6 24 0d d d d d d d d⇒ = − ⋅ + ⇒ = + ⋅ − ⋅ − ⇒ − − ⋅ + ⋅ + = ⇒

1 , 18 , 632

2 18 63 0218 63 0

41 , 18 , 63

1,2 2

a b c

d dd d

b b a ca b c d

a

= = = −

+ ⋅ − =⇒ + ⋅ − = ⇒ ⇒ ⇒

− ± − ⋅ ⋅= = = − =

⋅

( )2

18 18 4 1 63 18 324 252 18 576

1,2 1,2 1,22 1 2 2d d d

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

10

18 24 631 1 118 24 2 2 1

.1,2 18 24

6

2

4242 2122

2 2 22 2 2

d d d dd

dd d d

− += = = =− ±

⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒− − = −

= = − = −

Postoje dva skupa rješenja:

• [ ]

5 5 3 21 1 1

5 5 52 2 2

5 5 3 83 3 3

3

a d a a

a a a

a d a

d

a

= − = − =

= ⇒ ⇒ = ⇒ =

= + = + =

=

• [ ]

( )

( )

5 5 21 5 21 261 1 1 1

5 5 5 5 .2 2 2 2

5 5 21 165 21

2

3 3 3

1

3

a d a a a

a a a a

a aa

d

d a

= − = − − = + =

= ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

= + = − = −=

= −

+ −

Vježba 208

Tri broja čiji je zbroj 12 određuju uzastopne članove aritmetičkog niza. Ako se tim brojevima

redom doda 1, 2, 6 dobiju se tri uzastopna člana geometrijskog niza. Koji su to brojevi?

Rezultat: 2, 4, 6 i 11, 4, – 3.

Zadatak 209 (Borna, tehnička škola)

Odredi zbroj prvih 100 članova aritmetičkog niza ako je zbroj prvog i petog člana 24, a

umnožak drugog i trećeg člana 60.

Rješenje 209

Ponovimo!


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−




( )1.1a a n dn = + − ⋅


( )21

.12

ns a n dn = ⋅ ⋅ + − ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

( ) ( ) ( ) ( )

4 24 2 4 2424 1 1 151

60 2 60 2 602 3 1 1 1 1

a a d a da a

a a a d a d a d a d

+ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =+ =⇒ ⇒ ⇒

⋅ = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ =

11

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 4 24 2 12 12 21 1 1

2 60 2 60 2 60

/ : 2

1 1 1 1 1 1

a d a d a d

a d a d a d a d a d a d

⋅ + ⋅ = + ⋅ = = − ⋅

⇒ ⇒ ⇒ ⇒+ ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ =

( ) ( )12 2 12 2 2 6metoda

zamjene0d d d d⇒ ⇒ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )12 12 60 12 12 60 12 12 62 02 / : 12d dd d d− ⋅ + ⋅⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒

( )12 5 5 12 7 7 ./ 71d d d d d⇒ − = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ =⋅ −

Računamo a1.

12 21 12 2 7 12 14 2.

1 1 17

a da a a

d

= − ⋅⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⇒ = −

=

Zbroj prvih 100 članova aritmetičkog niza iznosi:

( )( ) ( )

2 , 7 , 1001 100

2 2 100 1 7100 22 1

12

a d n

sns a n dn

= − = =

⇒ = ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⇒= ⋅ ⋅ + − ⋅

( ) ( ) [ ]2 2 100 1 7 50 4 9910

70

100 1002s s⇒ = ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⇒ = ⋅ − + ⋅ ⇒

[ ]50 4 693 34 450.100 100

s s⇒ = ⋅ − + ⇒ =

Vježba 209

Odredi zbroj prvih 8 članova aritmetičkog niza ako je zbroj prvog i petog člana 10, a

umnožak drugog i trećeg člana 15.

Rezultat: 64.

Zadatak 210 (Vedran, srednja škola)

Niz je zadan sa a1 = 1, an+1 = an + 6 · n. Provjeri da je an = 3 · n2 – 3 · n + 1 za svaki prirodni

broj n.

Rješenje 210

Ponovimo!

( )22 2

2 .a a b b a b+ ⋅ ⋅ + = +

Funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva je beskonačan niz (slijed)

.:f N R→

Niz se može zadati formulom kojom se opći član, tj. n – ti član niza izražava pomoću rednog broja n.

Rekurzivna formula ili rekurzija je formula kojom se opći član niza izražava pomoću prethodnih

članova. Uz rekurziju treba zadati i vrijednosti prvih nekoliko članova niza – onoliko koliko se

prethodnih članova javlja u rekurziji.


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo

{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Sljedbenik prirodnog broja n je prirodni broj n + 1.

Matematička indukcija sastoji se iz dva koraka: baze indukcije i koraka indukcije. U bazi indukcije

provjerava se je li tvrdnja istinita za najmanji prirodni broj (obično je to broj 1, osim ako nije

postavljen neki drugi uvjet). U koraku indukcije pretpostavi se najprije da je tvrdnja istinita za

prirodan broj n i zatim se provjerava istinitost tvrdnje za sljedbenika n + 1.

12

Provjeravamo matematičkom indukcijom.

baza indukcije

n = 1

2 23 3 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 3 3 1

1 1 1a n n a a an = ⋅ − ⋅ + ⇒ = ⋅ − ⋅ + ⇒ = ⋅ − + ⇒ = − + ⇒

1 1.1

31

3a a⇒ = + ⇒ =−

Dakle, baza indukcije je ispunjena.

korak indukcije

n

Pretpostavimo da je tvrdnja istinita za n, tj. da vrijedi

induktivn2

3 3 a pretpostavk1 aa n nn = ⋅ − ⋅ + −

n + 1

Sada računamo

induktivna pretpostav2

6 3 3 1ka

2 13 3

61

1aa a n a n

n nn

n nnn n= ⋅ − ⋅

= + ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ − ⋅ + + ⋅+

+⇒

+

( ) ( )2 2

3 6 3 3 3 1 3 6 3 3 3 11 1

a n n n a n n nn n

⇒ = ⋅ + ⋅ + − ⋅ − + ⇒ = ⋅ + ⋅ + + − ⋅ − + ⇒+ +

( ) ( ) ( ) ( )22

3 2 1 3 1 1 3 1 3 1 1.1 1

a n n n a n nn n

⇒ = ⋅ + ⋅ + − ⋅ + + ⇒ = ⋅ + − ⋅ + ++ +

Vježba 210

Niz je zadan sa a1 = 1, an+1 = an + 6 · n. Provjeri da je an = 3 · n · (n – 1) + 1 za svaki prirodni

broj n.

Rezultat: Dokaz analogan.

Zadatak 211 (Vedran, srednja škola)

Ako je an = 2 · n + 3 opći član niza dokaži da vrijedi an+2 = an + 4.

Rješenje 211

Ponovimo!

Funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva je beskonačan niz (slijed)

.:f N R→

Niz se može zadati formulom kojom se opći član, tj. n – ti član niza izražava pomoću rednog broja n.


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

( )2 3 2 2 3 2 4 3 2 3 42 2 2

a n a n a n a nn n n n= ⋅ + ⇒ = ⋅ + + ⇒ = ⋅ + + ⇒ = ⋅ + + ⇒

+ + +

( ) [ ]2 3 4 2 4.2 2

3a n a an

a nn nn=⇒ = ⋅ + +

++⇒ ⇒ = +⋅

+

Vježba 211

Ako je an = 2 · n + 1 opći član niza dokaži da vrijedi an+2 = an + 4.


Zadatak 212 (Ana - Marija, tehnička škola)

Koliko je a1 + a6 + a11 + a16 ako je niz a1, a2, a3, … aritmetički te vrijedi

a1 + a4 + a7 + a10 + a13 + a16 = 147?

Rješenje 212

Ponovimo!

13


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−




( )1.1a a n dn = + − ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Preoblikujemo zadanu jednakost.

14771 4 10 13 16

a a a a a a+ + + + + = ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 6 9 12 15 1471 1 1 1 1 1

a a d a d a d a d a d⇒ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = ⇒

3 6 9 12 15 1471 1 1 1 1 1

a a d a d a d a d a d⇒ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = ⇒

6 45 147 6 45 147 2 15 49.1 1

/ : 31

a d a d a d⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ =

Sada je:

( ) ( ) ( )5 10 151 6 11 16 1 1 1 1

a a a a a a d a d a d+ + + = + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ =

( )5 10 15 4 30 2 2 151 1 1 1 1 1

a a d a d a d a d a d= + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =

2 15 4 2 99 41

98.a d= == =⋅ ⋅⋅ +

Vježba 212

Koliko je a1 + a6 + a11 + a16 ako je niz a1, a2, a3, … aritmetički te vrijedi

a1 + a4 + a7 + a10 + a13 + a16 = 141?

Rezultat: 94.


Izračunaj zbroj prvih 200 neparnih prirodnih brojeva koji pri dijeljenu s 3 daju ostatak 1.

Rješenje 213

Ponovimo!

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo

{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve. Parni brojevi su oni brojevi koji su djeljivi sa 2, a

neparni su oni koji nisu djeljivi sa 2.

Da je neki prirodan broj m neparan znači da se može napisati u obliku

( )2 neki prirodan broj 1 2 1 .,,m m k k N= ⋅ + = ⋅ + ∈


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Za cijeli broj a kažemo da je djeljiv s cijelim brojem b (b ≠ 0) ako postoji cijeli broj k tako da vrijedi

.a k b= ⋅

Broj k zovemo količnikom brojeva a i b i pišemo

14

ili : .a

k a b kb

= =

Za cijeli broj a i prirodni broj b postoje jedinstveni cijeli brojevi q i r takvi da je

i 0 .a b q r r b= ⋅ + ≤ <


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−




( )21

.12

nS a n dn = ⋅ ⋅ + − ⋅

Neparni prirodni brojevi koji pri dijeljenju s 3 daju ostatak 1 redom su:

•

1

1 : 3 0

1

=

•

7

7 : 3 2

1

=

• 13 :

13

3 4

1

=

• 19 :

19

3 6

1

=

• itd.

Neparni prirodni brojevi koji pri dijeljenju s 3 daju ostatak 1 čine aritmetički niz:

1, 7, 13, 19, …

Prvi član je a1 = 1, a diferencija d = 6. Zbroj prvih 200 članova niza iznosi:

( ) ( )2 11

200200

1 2 1 200 1 61 200

62 2

nS a

n

nna S

d

d= ⋅ ⋅ +

=

= ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ +

=

⋅ −− ⋅ ⇒

[ ] [ ]2 1 199 6 100 2 1994 119 600.200 200 2

200

02 0S S S⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⇒ =

Vježba 213

Izračunaj zbroj prvih 100 neparnih prirodnih brojeva koji pri dijeljenu s 3 daju ostatak 1.

Rezultat: 29800.

15


Razlika aritmetičkog niza s konačnim brojem članova jednaka je 2, a njegov zbroj iznosi 28.

Prvi član jednak je broju članova niza. Koji je to niz?

Rješenje 214

Ponovimo!

,1

.n m n m

a a a a a+

= ⋅ =


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−




( )21

.12

nS a n dn = ⋅ ⋅ + − ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

( ) ( )

2

28 282 112

2 1 22

1

nS a n dn

dn

S n nn

a n

= ⋅ ⋅ + − ⋅

=

= ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⇒

=

( ) ( ) ( )2

28 2 1 2 28 1 282 22 2

12 2

n n n nn n n n n n n⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒ = + ⋅ − ⇒

2 2 2 2 228 28 2 2 28 2 28 0n n n n n n n n n⇒ = + − ⇒ = ⋅ − ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − − = ⇒

2 , 1 , 282

2 28 02

42 , 1 , 28

1,2 2

a b c

n nb b a c

a b c na

= = − = −

⋅ − − =⇒ ⇒ ⇒

− ± − ⋅ ⋅= = − = − =

⋅

( ) ( ) ( )2

1 1 4 2 28 1 1 224 1 225

1,2 1,2 1,22 2 4 4n n n

− − ± − − ⋅ ⋅ − ± + ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

1 15 164

11 1 11 15 4 471,2 1 15 144

2 22 2

16

4

14

2nema smisla

44 4

nn n n

nn

n n n

+== = =

±⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− = −= = − = −

4.n⇒ =

Niz ima 4 člana i oni glase:

4, 6, 8, 10.

16

Vježba 214

Razlika aritmetičkog niza s konačnim brojem članova jednaka je 2, a njegov zbroj iznosi 15.

Prvi član jednak je broju članova niza. Koji je to niz?

Rezultat: 3, 5, 7.

Zadatak 215 (Iva, gimnazija)

Koliki je kut α (0º < α < 360º) u beskonačnom redu 2 3 4 5 6

1 cos cos cos cos cos cos ...α α α α α α+ + + + + + + ,

ako je razlika između zbroja svih neparnih članova i zbroja svih parnih članova jednaka 2

?3

Rješenje 215

Ponovimo!

( ) ( )1 2 2

, , , .

na a b a bn m

a a a a b a b a bmn n na

−−= = − = − = − ⋅ +

1cos60 cos300, .

2

a ca d b c

b d= ⇒ ⋅ = ⋅ = =

� �

Geometrijski red

2 3... ...

1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1.q <

Njegova je suma jednaka

1.1

aS

q=

−


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Uočimo da je red konvergentan za

cos 1.α <

Za beskonačan red 2 3 4 5 6

1 cos cos cos cos cos cos ...α α α α α α+ + + + + + +

je zbroj svih:

• neparnih članova

22 4 6

4cos cos 2

... cos21 cos

1 cos cos cos ...1

S qα

α α ααα

α= + + + + = ⇒=⇒ = =

1

1 21 cos

Sα

⇒ =−

• parnih članova

33 5 7

cos cos cos cos

5cos cos 2

... cos3cos co

.2

s..S q

αα α α

αα

αα

α= + = = = =+ + + ⇒ ⇒

17

cos.

2 21 cos

Sα

α⇒ =

−

Dalje slijedi:

[ ]2 1 cos 2 1 cos 2

1 2 2 2 23 3 31 cos 1 ccos 1

os 1 cosS S

α α

αα

α α

−− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ ⇒

− −≠ ±

−

( ) ( ) ( ) ( )

1 cos 2 2 1 2

1 cos 1 cos 3 1 cos

1 cos

1 3 1 cos 3cos

αα

α α αα α

−⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

− ⋅ + + +− ⋅

−

( )2 1 cos 3 1 2 2 cos 3 2 cos 3 2 2 cos 1α α α α⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒ + ⋅ = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒

601 11 12 cos 1 cos co/ s .

2 2 3002

: 2α

α α αα

=−

⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒=

�

�

Vježba 215

Koliki je kut α (0º < α < 360º) u beskonačnom redu 2 3 4 5 6

1 cos cos cos cos cos cos ...α α α α α α+ + + + + + + ,

ako je razlika između zbroja svih neparnih članova i zbroja svih parnih članova jednaka 4

?6

Rezultat: 60 , 300 .1 2

α α= =� �

Zadatak 216 (Matija, gimnazija)

Koji je član u nizu 28, 26, 24, … jednak svome rednom broju, an = n?

Rješenje 216

Ponovimo!


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−




( )1.1a a n dn = + − ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Uočimo da je niz 28, 26, 24, … aritmetički niz čiji prvi član i diferencija iznose:

28128, 26, 24, ... .

26 28 24 26 ... 2

a

d

=⇒

= − = − = = −

Tada je:

( ) ( ) ( )1 28 1281

2 21

2

8 2 2

a n

a a n d n n n nn

n

a

d

= + − ⋅ ⇒ ⇒ = + − ⋅ − ⇒ = − ⋅ + ⇒

=

=

= −

2 28 2 3 30 3 30 1 ./ 0: 3n n n n n⇒ + ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

18

Vježba 216

Koji je član u nizu 4, 2, 0, … jednak svome rednom broju, an = n?

Rezultat: n = 2.

Zadatak 217 (Filip, gimnazija)

Tijelo pri slobodnom padu prijeđe u prvoj sekundi put od 0.5 · g metara, a u svakoj sljedećoj

sekundi g metara više nego u prethodnoj. Koliki je prijeđeni put za t sekundi?

Rješenje 217

Ponovimo!

,1

.n m n m

a a a a a+

= ⋅ =


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−




( )21

.12

ns a n dn = ⋅ ⋅ + − ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Uočimo da je riječ o aritmetičkom nizu gdje je

0.5 ,1

a g d g= ⋅ =

pa je za t sekundi tijelo prešlo put

( )( ) ( )

0.5 ,1

2 0.5 1 12 22 1

12

a g d gt t

s g t g s g t gt t ts a t dt

= ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + − ⋅

[ ] [ ]2

.2 2 2 2

gt t t g

s g t g g s t g s t g s tt t tg t⇒ = ⋅ + ⋅ − ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅−

Vježba 217

Tijelo pri slobodnom padu prijeđe u prvoj sekundi put od 0.5 · g metara, a u svakoj sljedećoj

sekundi g metara više nego u prethodnoj. Koliki je prijeđeni put za 4 sekunde?

Rezultat: 8 · g.

Zadatak 218 (Filip, gimnazija)

Tijelo bačeno uvis u praznom prostoru početnom brzinom v0 prijeđe u prvoj sekundi

(v0 – 0.5 · g) metara, a u svakoj sljedećoj sekundi g metara manje nego u prethodnoj. Koliki je

prijeđeni put za t sekundi?

Rješenje 218

Ponovimo!

,1

.n m n m

a a a a a+

= ⋅ =


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

19

, .21

a a d nn n− = ≥

−




( )21

.12

ns a n dn = ⋅ ⋅ + − ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Uočimo da je riječ o aritmetičkom nizu gdje je

0.5 ,1

a v g d g= − ⋅ = −�

pa je za t sekundi tijelo prešlo put

( )( ) ( ) ( )

0.5 ,1

2 0.5 122 1

12

a v g d gt

s v g t gt ts a t dt

= − ⋅ = − ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ + − ⋅

�

�

[ ] [ ] [ ]2 2 22 2 2

t t ts v g g t g g gs v g t s v g tt t t⇒ = ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ − − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⇒+ ⋅

� � �

22

2 .2 2 2 2 2

t t t t gs v g t s v g t s v t tt t t⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅

� � �

Vježba 218

Tijelo bačeno uvis u praznom prostoru početnom brzinom v0 prijeđe u prvoj sekundi

(v0 – 0.5 · g) metara, a u svakoj sljedećoj sekundi g metara manje nego u prethodnoj. Koliki je

prijeđeni put za 4 sekunde?

Rezultat: 4 8 .v g⋅ − ⋅�

Zadatak 219 (Suzy, gimnazija)

Zadan je niz a1, a2, a3, … . Ako je njegov zbroj 2

,s a n b nn = ⋅ − ⋅ gdje su a i b zadane

konstante pokažite da se radi o aritmetičkom nizu.

Rješenje 219

Ponovimo!

( )2 2 2

2 .a b a a b b+ = + ⋅ ⋅ +


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−



Svaki član aritmetičkog niza (osim prvog) jednak je aritmetičkoj sredini dvaju susjednih članova niza

(prethodnika i sljedbenika)

1 12

12.

1

a an n

a a a an n n n

+− +

= ⇒ ⋅ = +− +

20


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Uočimo da za opći član an vrijedi:

...1 2 3 1

.1...

1 1 2 3 1

s a a a a an nna s sn n ns a a a a

n n

= + + + + +−

⇒ = −−= + + + +

− −

Opći član an glasi:

( ) ( ) ( )( )221 1

1a s s a a n b n a n b nn n nn

= − ⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⇒−

( )( )2 22 1a a n b n a n n b n bn⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⇒

( )2 22a a n b n a n a n a b n bn⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⇒

2 22a a n b n a n a n a b n bn⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⇒

22 2 .

2a a na n b n a n ba b a a n a bn n n⇒ = + ⋅ ⋅ − − ⇒⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − −⋅ =

Pokažimo da je niz aritmetički!

( )

( )

2 11

2

2 11

uvjet

1 1

2

a a n a bn

a a n a bn

a a n a bn

a an n an

= ⋅ ⋅ − − −−

= ⋅ ⋅ − − ⇒ ⇒

= ⋅ ⋅ + − −

+− + =

+

( ) ( )2 1 2 12

2

a n a b a n a ba n a b

⋅ ⋅ − − − + ⋅ ⋅ + − −⇒ = ⋅ ⋅ − − ⇒

2 2 2 22

2

a n a a b a n a a ba n a b

⋅ ⋅ − ⋅ − − + ⋅ ⋅ + ⋅ − −⇒ = ⋅ ⋅ − − ⇒

22

22

2

2a n a b a n a ba n a b

a a− ⋅ +⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅ − −⇒ = ⋅ ⋅ − −

⋅⇒

2 2 4 2 22 2

2 2

a n a b a n a b a n a ba n a b a n a b

⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅⇒ = ⋅ ⋅ − − ⇒ = ⋅ ⋅ − − ⇒

( ) ( )2 2 22

22

22

a n a b a n a ba n a b a n a b

⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ − −⇒ = ⋅ ⋅ − − ⇒ = ⋅ ⋅ − − ⇒

2 2 .a n a b a n a b⇒ ⋅ ⋅ − − = ⋅ ⋅ − −

Vježba 219

Zadan je niz a1, a2, a3, … . Ako je njegov zbroj ( ) ,s n a n bn = ⋅ ⋅ − gdje su a i b zadane

konstante pokažite da se radi o aritmetičkom nizu.


21

Zadatak 220 (Tin, gimnazija)

Izračunaj zbroj beskonačnog geometrijskog reda

2 3

1 ..., za .2 3

b b bb a

a a a

− + − + < .

Rješenje 220

Ponovimo!

Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,

vrijedi │x│= x.

Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,

x < 0, je │x│= – x.

, , ., 0 , 0a a

x a a a x a a b c a c b cb b

= < > ⇒ − < < < > ⇒ ⋅ < ⋅

, , .1

a

n a c a d b c a dbncb d b d b c

d

⋅ + ⋅ ⋅= + = =

⋅ ⋅

Geometrijski red

2 3... ...

1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1.q <

Njegova je suma jednaka

1.1

aS

q=

−


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Iz uvjeta

,b a<

slijedi

1 1 1 11

/ .b b b

b a b aa a aa

< ⇒ < ⇒ < ⇒ < ⇒ − < <⋅

U geometrijskom redu

2 3

1 ...2 3

b b b

a a a

− + − +

je količnik

1 1b

q qa

= − ⇒ − < <

pa zbroj reda iznosi:

1 ,12 3

1 11 ...

2 311

11

ba q

a

aS

q

b b bS S S

bba a aaa

= −

=

+ − + ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

=

−

−

=−

+−

22

1

1 1 1 .1

1

aS S S S

b a b a b a b

a a a

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =+ + +

+

Vježba 220

Izračunaj zbroj beskonačnog geometrijskog reda

2 3

1 ..., za .2 3

b b bb a

a a a

+ + + <+ .

Rezultat: .a

Sa b

=−

zadatak 201 (davor, gimnazija) · zadan je aritmeti čki niz 4, 10, 16, … , 298. odredite broj...

Documents