wykład 3 - analiza kinematyczna mechanizmów płaskich - metoda analityczna.pdf

7/25/2019 Wykad 3 - Analiza kinematyczna mechanizmw paskich - metoda analityczna.pdf

1/14

Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 1

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMW P!ASKICH

METODA ANALITYCZNA

Analiza kinematyczna mechanizmw d"wigniowych metod# wielobokuwektorowego

W opisywanej metodzie !a"cuch kinematyczny dowolnego p!askiegomechanizmu d#wigniowego przedstawia si$ w postaci zamkni$tegowieloboku wektorowego (Rys. 1), ktry okre%la chwilowe po!o&eniecz!onw.

Ka&dy z wektorw iI tego wieloboku zdefiniowany jest we wsp!rz$dnych

biegunowych przez dwa parametry: d!ugo%' wektora ii II = oraz k(t i

okre%laj(cy jego kierunek.

Rys. 1. Mechanizm d#wigniowy Rys. 2. Okre%lanie k(tw w metodzie

jako wielobok wektorowy wieloboku wektorowego

Dodatni k(t i jest to taki k(t o jaki nale&y obrci' o% x uk!adu

wsp!rz$dnych Oxyw kierunku przeciwnym do ruchu wskazwek zegara wprawoskr$tnym uk!adzie wsp!rz$dnych aby jej dodatni zwrot pokry! si$ z

dodatnim zwrotem wektora iI co przedstawiono na Rys. 2.

Przy takiej umowie wsp!rz$dne wektora )I,I(I iyixi wynosz(zawsze:

iiiyiiix sinII,cosII == (1)

a znaki wsp!rz$dnych s(okre%lone poprzez znaki funkcji isin i icos .

Mechanizm p!aski zdefiniowany jest przez zamkni$ty wielobok sk!adaj(cy

si$z nwektorw, co zapisujemy nast$puj(co: 0In

1ii=

= (2)


2/14



Wielobok wektorowy zbudowany nacz!onach mechanizmu posiada

2nparametrw.

(2)

Rys. 1. Mechanizm d#wigniowy jako wielobok wektorowy

Wielobok wektorowy opisany rwnaniem (2) po zrzutowaniu go na osiep!askiego uk!adu wsp!rz$dnych odpowiada dwm rwnaniom skalarnym:

0cosl,0l i

n

1ii

n

1iix ==

== (3)

0sinl,0l in

1ii

n

1iiy ==

== (4)

Poniewa& uk!ad rwna" (3), (4) musi by' oznaczony, na jego podstawiemo&na wyznaczy' dwa szukane parametry geometryczne np. dwied!ugo%ci, d!ugo%' i k(t lub dwa k(ty. Pozosta!e 2n - 2parametry musz(by'zatem znane i nale&y je przyj(' jako dane w momencie definiowaniamechanizmu.

Po zr&niczkowaniu rwna" (3), (4) wzgl$dem czasu otrzymujemy uk!adyrwna":

0dt

dl,0

dt

dl n

1i

iyn

1i

ix ====

(5)

oraz 0dt

ld,0

dt

ld n

1i2

iy2

n

1i2ix

2

====

(6)

0In

1ii=

=


3/14



Z uk!adu rwna" (5) wyznacza si$dwie szukane pr$dko%ci liniowe lub k(towea na podstawie (6) dwa szukane przyspieszenia liniowe lub k#towe.

Przy r!niczkowaniu uk"adu (5) wzgl#dem czasu mog$zaj%&dwa przypadki:

a) d"ugo%&danego cz"onu jest sta"a constli= , wtedy

0dt

dli = oraz 0dt

ld2i

2

= , (7)

b) d"ugo%&danego cz"onu jest zmienna constli , wtedy

0dt

dli oraz 0

dt

ld2i

2

(8)

Dla prowadnic prostoliniowych wyra!eniedt

dli okre%la pr!dko"#

liniow$ skracania lub wyd"u!ania si# danego wektora reprezentuj$cegocz"on. Kierunek tej pr#dko%ci pokrywa si#z kierunkiem cz"onu.

Wyra!enie 2i

2

dt

ldokre%laprzyspieszenie liniowewynikaj$ce ze skracania

lub wyd"u!ania si# danego wektora reprezentuj$cego cz"on. W przypadku

cz"onw prostoliniowych (prowadnic) przyspieszenie 2i2

dt

ld jest

przyspieszeniem stycznym le!$cym na linii danego cz"onu a jego kierunekjest zgodny

z kierunkiem pr#dko%ci.

Zachodz$cztery mo!liwe przypadki zmian pr#dko%ci i przyspieszenia:

a)0

dt

lda,0

dt

dlv

2

i2

t

i

i

i

>=>= - wektor il reprezentuj$cy element

zwi#ksza sw$ d"ugo%& i na tej podstawie okre%lamy graficznie zwrot

pr#dko%ci ko'ca tego wektora. Przyspieszenie stycznetia i pr#dko%& iv

maj$zwroty zgodne,

b) 0dt

lda,0

dt

dlv

2i

2ti

ii


4/14



c) 0dt

lda,0

dt

dlv

2i

2ti

ii = - wektor przyspieszenia stycznego tia ma

zwrot przeciwny do zwrotu wektora pr#dko%ci iv

. Element zwi#ksza d"u-go%&.

d) 0dt

lda,0

dt

dlv

2i

2ti

ii >=


5/14



Przyk&ad '. Mechanizm korbowo-suwakowy

Mechanizm mo&na zapisa' trzema wektorami w sposb pokazany na Rys. 3. Nale&y

zatem przyj('23 2 = 4parametry.

Dane: == 011 ),t( , 21 lBC,lAB == Szukane: )t(),t(xx 22CC == , )t(),t(vv 22CC == , )t(),t(aa 22CC ==

Rozwi(zanie

Dwa wektory 21 l,l maj(sta!(d!ugo%'. Wektor 0l zmienia swoj(d!ugo%'w czasie ru-

chu mechanizmu. Wpisujemy wielobok wektorowy w kontur mechanizmu i oznaczamy po-

!o&enia k(towe poszczeglnych wektorw wzgl$dem osi Oxza pomoc(k(tw skierowa-

nych.

Rys. 3. Wielobok wektorowy mechanizmu korbowo-suwakowego

Opisujemy wielobok wektorowy rwnaniem wektorowym:

0lll 021 =++ (P1.1)Nast$pnie piszemy odpowiednie rwnania skalarne:

0lcoslcosl 02211 =+ (P1.2)

0sinlsinl 2211 =+ (P1.3)

Przyjmuj(c oznaczenie mamy z (P1.3) mamy:

112

12 sinsin

l

lsin == (P1.4)

i st(d )sinsin(arc 12 = (P1.5)

Dalej oznaczymy: 122

22

2 sin1sin1cosA === (P1.6)

2

1

l

l

=


6/14



W celu wyznaczenia pr$dko%ci liniowej oraz przyspieszenia liniowego punktu Cko-

nieczne jest wprowadzenie wektora promienia wodz#cego tego punktu Cr .

Wektor promie" wodz(cy dowolnego mechanizmu p!askiego lub prze-strzennego prowadzony jest zawsze od pocz(tku uk!adu wsp!rz$dnych do

danego punktu, ktrego pr$dko%'lub przyspieszenie chcemy obliczy'.

210CC lll)0,x(r +== (P1.7)

Rys. 3

Wsp&rz$dna wektora promienia wodz#cego okre%laj#ca po&o(enie su-waka wynosi: Alcoslcoslcoslllx 2112211x2x1C +=+=+= P1.8)

W celu obliczenia pr$dko%ci k(towej r&niczkujemy (P1.5) wzgl$dem czasu:

11

12

1122

1122

cosAcos

cos

coscos

===

=

!!!

!!

(P1.9)

Nast$pnie r&niczkuj(c (P1.8) wzgl$dem czasu obliczymy pr$dko%'liniow(punktu C:

)2sinA5,0(sinlxv 11

111CC +== !! (P1.10)

W celu obliczenia przyspieszenia k(towego r&niczkujemy (P1.9) wzgl$dem czasu:

== 1111

2

12122 cos2sincos

Asin

A

!!!!!

(P1.11)

Nast$pnie r&niczkujemy (P1.10) i otrzymamy przyspieszenie liniowe punktu C: P1.12)

++

+== 11

2

3

3

12111111CC 2cos

A2sin

A4cosl2sin

A2sinlxa

!!!!!

Je&eli korba 1IAB = obraca si$ze sta!(pr$dko%ci(k(tow(, wtedy jej przyspieszenie

k(towe jest rwne zero czyli 0dt

d 111 ===

!!

, co nale&y uwzgl$dni'w rwnaniach.


7/14



Przyk&ad 2. Mechanizm czworoboku przegubowego

W ten mechanizm wpisujemy cztery wektory (Rys. 4). Nale&y zatem przyj('24 2 = 6

parametrw. Wszystkie wektory w przypadku tego mechanizmu maj(sta!(d!ugo%'.

Dane: =003211 ,l,l,l,l,

Szukane: 323232 ,,,,, .

Rozwi(zanie

Mechanizm zapisujemy wielobokiem wektorowym: 0llll 0321 =+++ (P2.1)

Rys. 4. Wielobok wektorowy mechanizmu czworoboku przegubowego

Po rzutowaniu rwnania (P2.1) na osie uk!adu wsp!rz$dnych otrzymamy:

0sinlsinlsinl

0lcoslcoslcosl

332211

0332211

=++=++

(P2.2)

Przekszta!camy uk!ad rwna"(P2.2) do postaci:

332211

3302211

sinlsinlsinl

cosllcoslcosl

=+=+

(P2.3)

Po wprowadzeniu oznacze": ,sinlB,lcoslA 11011 == otrzymamy:

3322

3322

sinlsinlB

coslcoslA

=+=+

(P2.4)

Rwnania (P2.4) podnosimy do kwadratu i dodajemy stronami

0llsinBl2BcosAl2A 23

2222

222

2 =++++ (P2.5)

Rwnanie (P2.5) dzielimy przez 2Al2


8/14



0sinA

Bcos

Al2

llBA22

2

23

22

22

=++++

(P2.6)

Przyjmiemy oznaczenia: 2

23

22

22

Al2

llBA

C

++

= , AB

D= , zatem (P2.6) przyjmie

posta': 0sinDcosC 22 =++ (P2.7)

Po podniesieniu (P2.6) stronami do kwadratu otrzymujemy:

0)DC(cosC2cos)D1( 222222 =+++ (P2.8)

Po podstawieniu 2cosw = otrzymamy rwnanie kwadratowe w postaci:

0)DC(Cw2w)D1(2222

=+++ (P2.9)z ktrego wyznaczymy dwa pierwiastki ,w,w 21 a nast$pnie dwie warto%ci

k(ta 2 , tj. k(ty )2(2)1(2 , .

Dwa rozwi(zania rwnania kwadratowego (P2.9) odpowiadaj( dwm wa-riantom po!o&enia cz!onw mechanizmu czworoboku przegubowego przy

ustalonym po!o&eniu cz!onu nap$dzaj(cego 1 co pokazano na Rys. 4. K(t

3 znajdziemy z rwnania (P2.4). Otrzymamy odpowiednio: )2(3)1(3 , .

W celu wyznaczenia pr$dko%ci k(towej cz!onw 2 i 3r&niczkujemy pierw-sze z rwna"(P2.2) i otrzymujemy:

0sinlsinlsinl 333222111 =++ (P2.10)

gdzie: ,dt

d,

dt

d,

dt

d 33

22

11

=== - pochodne k(tw,

W celu wyznaczenia pr$dko%ci k(towej 3 obracamy uk!ad wsp!rz$dnycho k(t 2 . Rwnanie (P2.10) przyjmie posta':

0)sin(l)sin(l)sin(l 233322222111 =++ (P2.11)

a poniewa&wyra&enie 0)sin(l 2222 = to otrzymamy:

)sin(l

)sin(l

233

21113

= (P2.12)


9/14



Analogicznie obracaj(c uk!ad wsp!rz$dnych o k(t 3 mamy:

0)sin(l)sin(l)sin(l 333332223111 =++ (P2.13)

Poniewa& 0)sin( 33 = to pr$dko%'k(towa cz!onu 2:

1322

3112

)sin(l

)sin(l

= (P2.14)

W celu obliczenia przyspiesze"k(towych r&niczkujemy rwnanie (P2.10)

0sinlcoslsinlcoslsinlcosl 333332322222

2211111

21 =+++++

(P2.15)

Przyspieszenie k(towe cz!onu 3- 3 otrzymamy obracaj(c uk!ad wsp!rz$d-

nych o k(t 2

)sin(l

)cos(ll)sin(l)cos(l

233

233232

222111211

21

3

+++= 2.16)

Przyspieszenie k(towe cz!onu 2- 2 otrzymamy obracaj(c uk!ad wsp!rz$d-

nych o k(t 3

)sin(l

l)cos(l)sin(l)cos(l

322

323322

223111311

21

2

+++= (P2.17)

Rwnania (P2.15), (P2.16) i (P2.17) ulegn(uproszczeniu je&eli pr$dko%'k(-

towa const1= , wwczas przyspieszenie 01= .


10/14



Przyk&ad 3. Analiza toru, pr$dko%ci i przyspieszenia punktu p&aszczy-zny cznikowej mechanizmu czworoboku przegubowego.

Dla mechanizmu czworoboku przegubowego wyznaczymy parametry kinematyczne

punktu K nale&(cego do p!aszczyzny !(cznikowej (Rys. 5).

Dane: 242424411 ,,,l),t(,l !!!!!! ==+= Szukane: tor punktu K, pr$dko%'punktu Kv oraz przyspieszenie Ka .

Rys. 5. Czworobok przegubowy z oznaczonym punktem K p!aszczyzny !(cznikowej

Rozwi(zanieNa podstawie Rys. 5 zapiszemy rwnanie wektora promienia wodz(cego

punktu K:

41K llr += (P3.1)

Nast$pnie wyznaczymy wsp!rz$dne wektora Kr .

)sin(lsinlr

)cos(lcoslr

2411Ky

2411Kx

++=

++= (P3.2)

Zale&no%ci (P3.2) s(parametrycznymi rwnaniami toru punktu Kczyli rwna-

niami hodografu wektora promienia wodz(cego Kr

Nast$pnie r&niczkujemy rwnania (P3.2) i znajdujemy wsp!rz$dne wektorapr$dko%ci punktu K.

)cos(lcosldt

drv

)sin(lsinldt

drv

224111Ky

Kx

224111Kx

Kx

++==

+==

(P3.3)

Zale&no%ci (P3.3) s(parametrycznymi rwnaniami hodografu pr$dko%ci Kv .


11/14



Warto%'wektora pr$dko%ci punktu Kokre%limy z zale&no%ci

2Ky

2KxK vvv += (P3.4)

Cosinusy kierunkowe jaki tworzy wektor Kv z osiami uk!adu wsp!rz$d-

nych okre%laj(zale&no%ci:

K

KxK

v

v)x,vcos( = ,

K

KyK

v

v)y,vcos( = (P3.5)

Analogicznie wyznaczymy wsp!rz$dne wektora przyspieszenia Ka

)sin(l)cos(lsinlcosldt

dra

)cos(l)sin(lcoslsinldt

dra

22242241

2111112

2Ky

Kx

22242241

2211112

2Kx

Kx

+++==

++==

(P3.6)

Zale&no%' (P3.6) przestawiaj( parametryczne rwnania hodografu przy-spieszenia. Warto%'ca!kowitego przyspieszenia punku Kwynosi:

2Ky

2KxK aaa += (P3.7)

a jego cosinusy kierunkowe

K

KxK

a

a)x,acos( = ,

K

KyK

a

a)y,acos( = (P3.8)


12/14



Przyk&ad 4. Mechanizm jarzmowy

Mechanizm jarzmowy przedstawiony na Rys. 6 podobnie jak mechanizm korbowo-

suwakowy mo&na zapisa'za pomoc(wieloboku trzech wektorw. Nale&y zatem za!o&y'

23 - 2 = 4parametry mechanizmu. Jedynym cz!onem o zmiennej d!ugo%ci jest jarzmo 3.

Dane: 0,CAl),t(,ABl 00111 ====

Szukane: 3l , 3 , dt

dlv 33B2B = , 3 , 2

32

t3B2B

dt

lda = , 3

Rys. 6. Wielobok wektorowy mechanizmu jarzmowego

Wpisujemy w analizowany mechanizm zamkni$ty trjk(t wektorw i zapisu-jemy go rwnaniem:

0lll 031 =++ (P4.1)Po zrzutowaniu na osie uk!adu wsp!rz$dnych otrzymamy rwnania ska-

larne:

0sinlsinl

0lcoslcosl

3311

03311

=+

=++

(P4.2)

Z uk!adu rwna"(P4.2) wyznaczymy d!ugo%'jarzma 3l :

1133

11033

sinlsinlcosllcosl

== (P4.3)

Po podniesieniu uk!adu rwna" (P4.3) do kwadratu i dodaniu stronami znaj-

dziemy d!ugo%'jarzma 3l :

21110

20

211

21103 Icosll2I)sinl()cosll(l ++=++= (P4.4)

Dziel(c stronami rwnania (P4.3) mamy:

110113

110113

cosllsinltgarc,

cosllsinltg

+=+= (P4.5)


13/14



W celu znalezienia pr$dko%ci k(towych i liniowych jarzma 3r&niczkujemy

pierwsze z rwna"(P4.2) tj. rwnanie: 0lcoslcosl 03311 =++

podstawiaj(c 11 != i 33 != :

0sinlcosdt

dlsinl 3333

3111 =+ (P4.6)

Pr$dko%' wzgl$dn( suwaka 2 wzgl$dem prowadnicy 3 tj.dt

dlv 33B2B =

znajdziemy obracaj(c uk!ad wsp!rz$dnych Oxyo k(t 3 ,

0)sin(l)cos(dt

dl)sin(l 333333

33111 =+ (P4.7)

Ostatecznie pr$dko%'wzgl$dna suwaka 2wzgl$dem prowadnicy 3:

)sin(ldt

dlv 3111

33B2B == (P4.8)

Pr$dko%' k(tow( jarzma 3 znajdziemy obracaj(c uk!ad wsp!rz$dnych

o k(t ( "903 ). Z rwnania:

0)90sin(l

)90(cosdt

dl)90sin(l

o3333

o33

33111

=+

++++

"

(P4.9)

Ostatecznie pr$dko%'k(towa jarzma: )cos(l

l311

3

13 = (P4.10)

W celu znalezienia przyspiesze"k(towych i liniowych r&niczkujemy rw-

nanie (P4.6) podstawiaj(c 3311 , == !!!! : (P4.11)

0coslsinlsindt

dl2cos

dt

ldcoslsinl 3

23333333

332

32

1211111 =+

Przyspieszenie styczne suwaka 2wzgl$dem prowadnicy 3 tj. 23

2t

3B2Bdt

lda =

znajdziemy obracaj(c uk!ad wsp!rz$dnych o k(t 3 :

0ldt

ld)cos(l)sin(l 2332

32

312113111 =+ (P4.12)

ostatecznie:23331

211311123

2t

3B2B l)cos(l)sin(ldt

lda ++== (P4.13)


14/14



Obracaj(c uk!ad wsp!rz$dnych o k(t ( "903 ): otrzymamy przyspieszenie

k(towe jarzma:

0)90cos(l)90sin(l

)90sin(dt

dl2)90cos(dt

ld

)90cos(l)90sin(l

332333333

3333

33232

312113111

=++

++++

+++

""

""

""

(P4.14)

ostatecznie:

3

3331

21

3

1311

3

13

ldt

dl2)sin(

l

l)cos(

l

l += (P4.15)

Przyk&ad 5. Mechanizm z&o(ony

Analiza kinematyczna mechanizmu z!o&onego zostanie pokazana na przyk!adzie me-

chanizmu nap$du sto!u strugarki przedstawionego w postaci schematu na Rys. 7.

Zadanie mo&na rozwi(za'w dwch etapach:

Etap '.Analiza mechanizmu jarzmowego opisanego

wielobokiem wektorowym: 0lll 031 =++ P5.1 ()

Dane: ,90,l),t(,lo

0011 =

Szukane: 3l , 3 , dt

dl3, 3 , 2

32

dt

ld, 3

Etap 2.Analiza mechanizmu korbowo-suwakowegoopisanego wielobokiem wektorowym:

0llll 764*3 =+++ (P5.2)

Dane:""" 0,270,l,l,180,l 76643

*3

*3 ===

Szukane: 747474 l,,l,,l, !!!!!!

Rys. 7. Wielobok wektorowy

mechanizmu z!o&onego

Poniewa& przyk!ady analizy kinematycznej mechanizmu jarzmowego jak rwnie&

korbowo-suwakowego zosta!y pokazane ju&w niniejszym rozdziale nale&y je wykorzy-sta'i zastosowa'w rozwa&anym przypadku mechanizmu z!o&onego.

wykład 3 - analiza kinematyczna mechanizmów płaskich - metoda analityczna.pdf

Documents