Wprowadzenie do teorii ekonometrii

Wykład 1

Warunkowa wartość oczekiwanai odwzorowanie liniowe

2

Zajęcia

• Wykład

• Laboratorium komputerowe

3

Zaliczenie

• EGZAMIN (50%)– Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje przekazane

w czasie wykładów (np. slajdy).

• Aktywność na zajęciach (50%)– dodatkowe zadania

co tydzień praca domowa na kolejne zajęcia– obecności warunkiem zaliczenia:

2 nieobecności = ocena 2 (ndst)

• Kontakt: dserwa@sgh.waw.pl• Konsultacje: szczegóły na stronie

Tematy wykładów

• Warunkowa wartość oczekiwana i liniowe odwzorowanie (warunkowa wartość oczekiwana, iteracyjne oczekiwania, model regresji, wariancja błędów regresji, najlepsza liniowa aproksymacja)

• Metoda najmniejszych kwadratów – ujęcie algebraiczne (estymator najmniejszych kwadratów, macierz odwzorowań, analiza wariancji, błędy predykcji, istotne obserwacje)

• Model regresji liniowej (model regresji liniowej, teoria Gaussa-Markowa, miary dopasowania, macierz kowariancji oszacowań, błędy standardowe)

• Teorie asymptotyczne w metodzie najmniejszych kwadratów (granice asymptotyczne, prawo wielkich liczb, zbieżność z prawdopodobieństwem, zbieżność prawie na pewno, zbieżność z dystrybuantą)

• Modele regresji z restrykcjami - sposoby estymacji, własności (metoda najmniejszych kwadratów z warunkami pobocznymi, restrykcje wykluczające, estymator najmniej odległości, błędy specyfikacji, asymptotyczny rozkład)

• Testowanie hipotez statystycznych (hipotezy, test statystyczny, błąd 1 rodzaju, błąd 2 rodzaju, moc testu)

• Metody Monte Carlo, bootstrap, jacknife(symulacja Monte Carlo, estymatory średniej, estymatory wariancji, przedziały ufności, rozkłady symetryczne)

• Endogeniczność, uogólniona metoda momentów, metoda zmiennych instrumentalnych (UMM, MZI, endogeniczność, test warunków identyfikujących, macierz wag)

• Modele regresji nieparametrycznej – estymator jądrowy i funkcje sklejane(regresja nieparametryczna, estymator jądrowy, lokalnie liniowy estymator, funkcje sklejane, addytywnie rozłączne modele)

• Metoda największej wiarygodności, metoda empirycznej wiarygodności(model regresji normalnej, MNW, macierz informacji Fishera, nieparametryczna wiarygodność, estymator empirycznej wiarygodności)

4

Literatura

• Literatura podstawowa: – Bruce Hansen (2017) Econometrics, University of Wisconsin

Departament of Economics, (książka dostępna na stronie: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf)

• Literatura uzupełniająca– James D.Hamilton (1994) Time Series Analysis, Princeton University

Press; – G.Chow (1995) Ekonometria, PWN;– artykuły z czasopism naukowych wybrane przez wykładowcę

5

Literatura do wykładu 1

• Bruce Hansen (2017) Econometrics, rozdział 2

6

Plan

• Funkcja warunkowej wartości oczekiwanej (CEF)

• Iterowane oczekiwania

• Własności CEF

• Liniowa funkcja CEF

• Najlepszy liniowy predyktor

• Liniowe odwzorowanie

• Przyczynowość w modelu regresji

7

Warunkowa wartość oczekiwana

• Wartość oczekiwana zmiennej losowej

• Funkcja warunkowej wartości oczekiwanej (conditional expectation function, CEF):

8

Warunkowa wartość oczekiwana

• Przykład:

9

Warunkowa wartość oczekiwana

• Dyskretne zmienne warunkowe:

• Ciągłe zmienne warunkowe:

10

Warunkowa wartość oczekiwana

• Zapis macierzowy:

– Zmienna losowa, bo warunkowa na zmiennych losowych

– Funkcja zależna od argumentu , bo

11

Rozkład warunkowy

• Niech - łączny rozkład zmiennych

• Rozkład brzegowy zmiennej

• Dla każdego takiego, że warunkowy rozkład względem zdefiniowany jako:

12

Warunkowa wartość oczekiwana

• Funkcja CEF dla ciągłych zmiennych:

Funkcja tak zdefiniowana istnieje jeśli

13

Prawo iterowanych oczekiwań

• Proste prawo iterowanych oczekiwań

Dla zmiennych dyskretnych:

Dla zmiennych ciągłych:

14

Prawo iterowanych oczekiwań

• Prawo iterowanych oczekiwań

• Teoria „warunkowania”

15

Błąd funkcji warunkowej wartości oczekiwanej

• Błąd CEF zdefiniowany jako :

czyli

• Własności błędu CEF (CEF error):

(wykorzystano teorię „warunkowania”)

(wykorzystano prawo iterowanych oczekiwań)

To nie są restrykcje tylko własności: „mean independence”16

Własności błędów CEF

• Własności

4. własność: błąd CEF nieskorelowany z żadną funkcją regresorów

• Wariancja błędu CEF:

3. Własność implikuje:

17

Własności CEF

• CEF najlepszym predyktorem(w sensie błędu średniokwadratowego)

Dowód (wykorzystuje własność 4):

18

Wariancja warunkowa

• Jeżeli to wariancja warunkowa względem zdefiniowana jako:

• Analogicznie dla błędu regresji (CEF):

19

Własności błędu CEF

• Warunkowe odchylenie standardowe:

• Wariancja (bezwarunkowa) błędu CEF:

• Często w praktyce zakłada się, że:

20

Własności błędu CEF

• Homoskedastyczność i heteroskedastyczność:

21

Wpływ regresorów na *

• Wpływ krańcowych zmian regresora na warunkową wartość oczekiwaną :

• I uwzględniając zmienne binarne:

22

Wpływ regresorów na *

• Wektor efektów krańcowych (regression derivative):

• Wpływ krańcowej zmiany x na warunkową wartość oczekiwaną y przy założeniu, że wszystkie inne zmienne w regresji bez zmian

• Wpływ krańcowej zmiany x na y tylko gdy błąd

regresji nie reaguje na zmiany x23

Liniowa funkcja warunkowej wartości oczekiwanej

• Liniowa funkcja:

• Regresja liniowa (linear CEF model / linear regression)

24

Nieliniowa funkcjawarunkowej wartości oczekiwanej

• Przykład funkcji kwadratowej:

• Efekty krańcowe:

• Lepiej interpretować grupowy niż indywidualny wpływ zmiennych

• mierzy efekt interakcji

25

Najlepszy liniowy predyktor

• Przybliżenie nieznanej CEF za pomocą liniowego predyktora

• Liniowy predyktor to funkcja dla

• Założenia:

oznacza długość wektora

26

Najlepszy liniowy predyktor

• Błąd średnio-kwadratowy zdefiniowany jako:

• Definicja: najlepszy liniowy predyktor

27

Najlepszy liniowy predyktor

• Błąd średnio-kwadratowy można zapisać

• Warunek pierwszego rzędu na minimalizację

28

Najlepszy liniowy predyktor

• Wzór na najlepszy liniowy predyktor- liniowe odwzorowanie (linear projection):

• Błąd odwzorowania:

• Regresja (najlepszy predyktor + błąd):

29

Własności liniowego odwzorowania

30

Własności liniowego odwzorowania

• Kowariancja błędu i regresorów:

• Wariancja błędu:

• Rozpiszmy:

gdy jest stała

31

CEF liniowe odwzorowanie

• Liniowa funkcja CEF jest najlepszym liniowym odwzorowaniem, ponieważ .

• Odwrotna zależność – niekoniecznie, ponieważ trudniej spełnić .

32

Najlepsza liniowa aproksymacja

• Średnio-kwadratowy błąd aproksymacji:

• Najlepsza liniowa aproksymacja minimalizuje ten błąd:

• Stąd:

…czyli identycznie jak w liniowym odwzorowaniu 33

Przyczynowość

• Zwykle interesuje nas efekt x na y

• Niech dany będzie model:

obserwowalne zmienne, nieobserwowalne czynniki

34

Przyczynowość

• Ponieważ interesuje nas efekt zmian

przy ustalnoych wartościach to:

• Przykład: (treatment effect)

• Efekt jest losowy i jest funkcją35

Przyczynowość

• Obserwujemy tylko realizacje

Dlatego trudno mierzyć indywidualne efekty

• Można mierzyć uśredniony efekt zagregowany:

36

Przyczynowość

• Chcemy z regresji poznać efekt uśredniony, czyli z wnioskować o

• Z funkcji mamy:

• Krańcowa zmiana:

37

Przyczynowość

• Wniosek: Efekt krańcowy w regresji równy uśrednionemu efektowi przyczynowemu, gdy

, czyli gdy nie zależy od :

38

Przyczynowość

• Wniosek:

– Jeśli czynniki nieobserowalne niezależne od (pod warunkiem regresorów ), to pochodna z regresji mierzy

– Słabsze założenie niż niezależność i

39

Dziękuję

40

Najprostszy model regresji

• Niech

• Regresja tylko ze stałą:

41

Standaryzowany błąd CEF

• Standaryzowany błąd regresji:

• I jego własności:

• „Mean-variance specification”:

42

Podzbiory regresorów

• Niech

• Wtedy:

43

Podzbiory regresorów

• Wyliczmy parametry

44

Model z losowymi parametrami

• Model:

– parametry są losowe i różne dla różnych obiektów, niezależne od

– przykład: wielkość inwestycji jako i stopa zwrotuz inwestycji jako daje dochód

• Niech: i

• Wtedy:

• Czyli liniowa funkcja CEF:45

Model z losowymi parametrami

• Własności:

46

Brakujące zmienne w modelu

• Prawdziwy model:

• Obserwujemy tylko:

• Wyliczamy:

47

Brakujące zmienne w modelu

• Wniosek: chyba że: lub

• Obciążenie spowodowane nieuwzględnieniem ważnej zmiennej w modelu (omitted variable bias)

– różnica między i , czyli

48