web view... sağlık sektörü ve transport ve lojistik sektörü dahil pek...

YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI YOumlNTEMLERİ

YOumlNETİM BİLİŞİM SİSTEMLERİ

(Edirne-2010)

İccedilindekilerYOumlNEYLEM ARAŞTIRMASININ DOĞUŞU- 2 -

YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN GELİŞİMİ- 2 -YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN TEMEL KARAKTERİSTİKLERİ- 3 -

YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN UYGULAMA ALANLARI- 4 -YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİNİN KULLANIM SIKLIĞI- 4 -

MATEMATİK PROGRAMLAMA- 5 -Tarihsel Gelişim- 5 -Matematiksel Tanım- 6 -Uygulama Alanları- 7 -Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması- 7 -

DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLAR- 10 -

CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİ- 11 -DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİ- 11 -DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ- 12 -DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASI- 12 -

İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının Oluşturulması- 13 -Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması- 16 -

TABLOSAL YOumlNTEM- 17 -İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu- 17 -Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml- 22 -Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu- 22 -Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml- 26 -

SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)- 27 -

Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı- 27 -Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar- 29 -

OLASILIKLI MODELLER- 29 -Tahmin Yapmak- 29 -

Doğrusal Olasılık Modeli- 30 -Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması- 31 -Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır- 31 -

ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları- 32 -Logit Model- 34 -Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi- 36 -

Araştırma ve Bulgular- 37 -En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları- 39 -Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları- 42 -

KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU- 43 -

Ccedilubuk Diyagramları- 44 -CPM (Kritik Yol Metodu)- 46 -PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) Youmlntemi- 49 -

SONUCcedil - 51 -

KAYNAKCcedilA - 52 -

1 | y ouml n e ti m b i l i ş i m s i s t e m l e r i

YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASININ DOĞUŞUYoumlneylem Araştırmasırsquonın organizasyonlar ve kuruluşların youmlnetiminde bilimsel bir metot olarak ortaya ccedilıkışı 60ndash70 yıl oumlncesinden başlamıştır

Her ne kadar bu yaklaşımın koumlkleri Frederik Taylor H Gantt ve Gilbrethsrsquoler devrine kadar gitse de genel olarak İkinci Duumlnya Savaşırsquondaki askeri problemlerin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin kullanılması Youmlneylem Araştırmasırsquonın ilk ortaya ccedilıkışı olarak kabul edilmektedir Bu savaşta kıt kaynakların ccedileşitli askeri operasyonlara ve bunların ccedileşitli faaliyetlerine en etkin bir şekilde atanması ccedilok acil ve oumlnemli bir zorunluluktu Bu nedenle İngiliz ve Amerikalı askeri youmlneticiler ccedilok sayıda ve farklı disiplinlerdeki bilim adamlarına bu konunun incelenmesi goumlrevini verdiler İncelemenin amacı askeri operasyonlarda stratejik ve taktik bir araştırmanın yapılmasıydı Bilim adamlarından istenen şey aslında askeri operasyonlar uumlzerinde araştırma yapılmasıdır Ccedileşitli mesleklerde ccedilalışan bilim adamlarından oluşan bu ekiplerin ccedilalışmaları İngiltere Hava Savaşının Pasifikrsquoteki Ada Savaşlarının ve Kuzey Atlantik Savaşının kazanılmasında oumlnemli bir rol oynamıştır

YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN GELİŞİMİ Youmlneylem Araştırması ccedilalışmalarının askeri alandaki başarısı enduumlstrinin de bundan yararlanmasını teşvik etmiştir Savaştan sonra enduumlstrideki buumlyuumlk gelişmelerin devam etmesi organizasyonların daha buumlyuumlmesine ve karmaşıklaşmasına neden olmuş ve ihtisaslaşmayı tekrar oumln plana ccedilıkarmıştır Savaş esnasında askeri youmlneylem araştırması ekiplerinde yer almış olan sivil danışman uzman ve bazı iş adamları enduumlstrideki problemlerin askeri problemlerden kısmen farklı ancak aynı youmlntemler ile ccediloumlzuumllebilir olduklarını goumlrmuumlşlerdir Boumlylece youmlneylem araştırması enduumlstriye iş hayatına ve devletin sivil sektoumlrlerine de girmeye başlamıştır 1950 yılından itibaren ilk oumlnce İngilterersquode sonra da Amerika Birleşik Devletlerirsquonde youmlneylem araştırmasının ccedileşitli enduumlstriyel kuruluşlarda uygulanmasına başlanmış ve başarılı sonuccedillar alınmıştır O zamandan guumlnuumlmuumlze bu alandaki ilgi artmış ve youmlneylem araştırması uygulamaları gerek askeri alanda ve gerekse de enduumlstri ticaret tarım hizmet gibi benzeri sivil alanlarda buumlyuumlk bir hızla ve başarıyla devam etmiştir ve aynı şekilde devam etmektedir Youmlneylem araştırmasının boumlyle hızlı bir şekilde gelişmesinde iki esas faktoumlruumln rol oynadığı goumlruumllmektedir

Savaştan sonra youmlneylem araştırması ekiplerinde goumlrev almış bilim adamları ile bu alana daha sonra katılan bilim adamları bu alanla ilgili araştırmalara devam etmeleri iccedilin teşvik edilerek youmlnlendirilmişlerdir Bu suretle bu alanda oumlnemli gelişmeler olmuştur Bunlardan ilk gelişmeyi 1947 yılında George Dantzig doğrusal programlama (lineer programlama) problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin kullanılan ldquoSimpleks Metodurdquonu geliştirmek suretiyle başlatmıştır Youmlneylem Araştırması tekniklerinden pek ccediloğu bu arada doğrusal programlama dinamik programlama kuyruk teorisi gibi konular 1960 yılından oumlnce yeteri kadar geliştirilmişlerdir Youmlneylem araştırması teorisinin hızlı gelişmesindeki ikinci oumlnemli faktoumlr bu alandaki ccedilalışmalara buumlyuumlk bir hız veren ve bunları daha geniş alanlara yayan ve bu bilim iccedilin ccedilok oumlnemli bir kuvvet ve destek olan bilgisayar devrimi ve bunun yarattığı hamlelerdir Bazı karmaşık youmlneylem araştırması problemlerinin başarılı bir şekilde ccediloumlzuumlmuuml iccedilin ccedilok fazla miktarda hesaplama tekrarı gerekli olur Bu hesaplamaların el ile yapılması soumlz konusu olamaz Bu gibi durumlarda bilgisayarların geliştirilerek kullanılmaları insanların


yapabilecekleri aritmetik hesaplamaların onlardan binlerce hatta milyonlarca kez daha hızlı dolayısıyla daha kısa zamanda ve hatasız olarak yapılmalarını sağlar Bu faktoumlr youmlneylem araştırmasını buumlyuumlk bir başarıya goumltuumlrmuumlştuumlr ve bu başarı guumlnuumlmuumlzde de aynı şekilde devam etmektedir Bilgisayarların geliştirilmesinde de youmlneylem araştırmasının katkısı olmuştur

YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN TEMEL KARAKTERİSTİKLERİ Youmlneylem araştırması ldquoOrganizasyonla ilgili sistemlerin operasyonlarını ilgilendiren kararların verilmesine bilimsel bir yaklaşımrdquo olarak ifade edilebilir Ancak bu tanım o kadar genel bir tanımdır ki başka birccedilok alanda da aynı anlamda uygulanabilir Bu nedenle belki de youmlneylem araştırmasının kendine oumlzguuml yapısını kavramanın en iyi yolu onun oumlnemli karakteristiklerini incelemek olacaktır Youmlneylem araştırmasının oumlnemli bazı karakteristikleri aşağıda verilmiştir

1 Youmlneylem Araştırması geniş bir uygulama alanına sahiptir2 Youmlneylem Araştırması bilimsel bir yaklaşım ortaya koyar3 Youmlneylem Araştırması geniş bir bakış accedilısına sahiptir4 Youmlneylem Araştırması optimal ccediloumlzuumlme odaklanmıştır5 Youmlneylem Araştırması disiplinler arası bir ccedilalışma ve ekip işidir

Youmlneylem Araştırması gerccedilek hayattan kaynaklanan deterministik ve probabilistik sistemlerin modellenmesi ve bunlarla ilgili olarak optimal kararların verilmesiyle ilgilenir Devlet teşkilatı birimlerinde ticarette enduumlstride ekonomide tabii ve sosyal bilimlerde yapılan bu uygulamalar buumlyuumlk oumllccediluumlde kıt kaynakların faaliyetlere dağıtılması gereksinimi ile karakterize edilirler Bu durumda bilimsel analizden youmlneylem araştırması ile sağlanan kadar bir hayli anlayış yani bilgi elde edilebilir Youmlneylem araştırması yaklaşımından sağlanan katkılar esas itibariyle aşağıda belirtilen oumlzelliklerden kaynaklanır

Youmlneylem Araştırması Yaklaşımından sağlanan katkılar

1 Gerccedilek yaşam durumunun matematiksel bir model ile ifade edilmesi ve karar vericinin amaccedillarına uygun bir ccediloumlzuumlmuumln bulunabilmesi iccedilin oumlnemli elemanların oumlzetlenmesi

2 Bu şekilde ccediloumlzuumlmlerin yapısını araştırma ve bunların elde edilmesi iccedilin sistematik proseduumlrlerin geliştirilmesi

3 Eğer gerekli ise matematiksel teori dahil arzu edilirliğin sistem oumllccediluumlsuumlnuumln veren bir ccediloumlzuumlm geliştirilmesi

İngiliz Youmlneylem Araştırması Derneği (British Operational Research Society) ise youmlneylem araştırmasını şoumlyle tanımlamıştır Youmlneylem Araştırması insan makine para ve malzemeden oluşan enduumlstri ticari resmi ve askeri sistemlerin youmlnetiminde karşılaşılan problemlere modern bilimin uygulanmasıdır Belirgin yaklaşımı sistemin şans ve risk oumllccediluumlsuumlnuuml de kapsayan alternatif karar strateji ve kontrollerin sonuccedillarını tahmin ve karşılaştırmaya yarayan bilimsel bir model geliştirmektir Amacı youmlnetimin politika ve faaliyetlerinin belirlenmesine yardımcı olmaktır Youmlneylem araştırması uygulamaları son yıllarda organizasyonların youmlnetiminde artan bir şekilde buumlyuumlk bir etkiye sahip olmuştur Bu uygulamaların hem sayıları ve hem de ccedileşitleri ccedilok hızlı olarak artmaya devam etmekte olup herhangi bir yavaşlama veya azalma eğilimi de soumlz konusu değildir

İkinci Duumlnya Savaşı esnasında youmlneylem araştırması ile sağlanan başarılardan sonra İngiliz ve Amerikan askeri servisleri emir-komuta zincirinin farklı seviyelerinde aktif youmlneylem araştırması grupları oluşturmaya devam etmişlerdir Sonuccedil olarak şimdi ldquoaskeri youmlneylem


araştırmacılarrdquo diye adlandırılan ccedilok sayıda insan mevcuttur Bu kimseler savunma problemlerine youmlneylem araştırması yaklaşımını uygulamaktadırlar Oumlrneğin bunlar silah sistemlerinin ihtiyaccedilları ve kullanımı iccedilin taktik planlamalarla meşgul olmaktadır Bunun dışında ccedilabaların atanması ve birleştirilmesi gibi daha buumlyuumlk problemlerle de uğraşmaktadırlar Bunların kullandıkları youmlntemlerin bazıları politika biliminde matematikte ekonomide olasılık teorisinde ve istatistikte oldukccedila gelişmiş duumlzeyde fikirler ve goumlruumlşler iccedilermektedir

YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN UYGULAMA ALANLARI Youmlneylem araştırması ticari kuruluşlar ve enduumlstriyel işletmeler dahil organizasyonların farklı bir ccedilok tuumlrlerinde geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır İş duumlnyasındaki buumlyuumlk şirket ve holdinglerle kuumlccediluumlk enduumlstriyel ve ticari organizasyonların buumlyuumlk bir kısmında youmlneylem araştırması grupları başarılı ccedilalışmalar gerccedilekleştirebilmektedir Genel olarak uumlretim uccedilak ve fuumlze sanayi otomobil enduumlstrisi haberleşme ve bilgisayar enduumlstrisi elektrik enerjisi uumlretimi elektronik gıda metaluumlrji madencilik kağıt petrol enduumlstrisi finans ve bankacılık sektoumlruuml sağlık sektoumlruuml ve transport ve lojistik sektoumlruuml dahil pek ccedilok enduumlstriyel ve hizmet sektoumlruumlnde youmlneylem araştırması geniş ve yaygın bir şekilde uygulanmıştır ve uygulanmaya devam etmektedir Youmlneylem araştırmasının bazı youmlntemleri ile ccediloumlzuumllebilen bazı problemler şu şekilde ifade edilebilirler

Doğrusal Programlama Metodu personel atanması uumlruumln karışımı malzemelerin alaşımlanması toplu uumlretim planlama taşıma ve dağıtım problemlerinde yatırım portfoumlylerinin oluşturulması ve benzeri problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde başarılı olarak kullanılmaktadır

Dinamik Programlama reklam harcamalarının planlanması satış ccedilabalarının dağıtılması uumlretim planlaması ve programlanması vs gibi alanlarda başarılı olarak uygulanmaktadır

Kuyruk Teorisi trafik sistemlerinde makinelerin tamir bakım ve revizyon programlarının yapılması bakım ekiplerinin adetlerinin belirlenmesi hava trafiğinin programlanması barajların tasarımı hastane youmlnetimi ve benzeri problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde uygulama alanlarına sahiptir

Envanter Teorisi karar teorisi oyun teorisi ve simuumllasyon gibi youmlneylem araştırmasının diğer metotları da ccedilok ccedileşitli alanlarda başarı ile uygulanmaktadır

YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİNİN KULLANIM SIKLIĞI Youmlneylem araştırmasının ccedileşitli organizasyon ve işletmelerde uygulamaları hakkında kesin bilgiler elde etmek amacıyla oumlzellikle Amerika Birleşik Devletlerinde bazı anket ccedilalışmaları yapılmıştır Bu kapsamlı anket ccedilalışmalarının sadece kullanım sıklığına goumlre youmlneylem araştırması tekniklerinin sıralanması ile ilgili olan oumlzet sonucu tablo 11rsquo de goumlruumllmektedir



MATEMATİK PROGRAMLAMA İnsanoğlu yuumlzyıllardır bilinccedilli ya da bilinccedilsiz olarak yaptığı işlerin tuumlmuumlnde her zaman en iyi yi yapmayı planlamış ve istemiştir Bu ccedilabalar bazen bir işccedilinin belirli bir kuvvetle maksimum yuumlkuuml kaldırabilmesi bazen de uccedilaklardaki suumlrtuumlnmenin minimum a indirgenmesi olarak karşımıza ccedilıkagelmiştir Yadsınamaz bir gerccedilektir ki her zaman bir eniyileme ccedilabası var olmuştur Uumlnluuml matematikccedili Leonhard Eulerin ifadesiyle Doğada maksimum ya da minimum duyusunun bulunmadığı hiccedil bir olay yoktur

Bir matematik soumlzluumlğuuml optimizasyon (eniyileme) kavramını bir probleme en iyi muumlmkuumln ccediloumlzuumlm bulma suumlreci olarak tanımlamaktadır Matematikte bu suumlreccedil genellikle bir fonksiyonun değerinin verilen kısıtlar altında maksimize ya da minimize edilmesinden oluşur

Tarihsel Gelişim Bir işin en iyi yolun seccedililerek başarılması fikri uygarlık tarihi kadar eskidir Oumlrneğin Yunan tarihccedilisi Herodotusa goumlre Mısırlılar Nil nehrinin her yıl taşması sonucu arazi sınırlarının yeniden belirlenmesi ve yeni sınırlara goumlre vergilendirme işleminin en iyi yolla yapılabilmesi iccedilin ccedilaba sarfetmişlerdir Bu ccedilabalar oumllccedilme ve karar verme aracı olarak duumlzlem geometrisinin temel kavramlarının oluşturulmasına yol accedilmıştır Mısırlılar Nil nehrinin bahar doumlnemlerindeki yıllık taşmalarında nehir kıyısından toplu halde uzaklaşıp sular ccedilekildiğinde yine buumlyuumlk topluluklar halinde geri doumlnuumlyorlardı Ccedilekilme işlemi ccedilok kısa suumlrede yapılamamaktaydı Bunun iccedilin guumlnlerce oumlnceden halk uyarılmalıydı Bu amaccedilla Mısırlılar en iyi ccedilekilme zamanını hesaplayabilmek iccedilin bir tuumlr takvim bile geliştirmişlerdi Soumlz konusu takvimi de sayma ve geometri konusundaki birikimlerini kullanarak yapmışlardı

Newton ve Leibniz tarafından Kalkuumlluumlsuumln (Calculus) 17 yuumlzyılda geliştirilmesi optimizasyon teorisinin gelişiminde oumlnemli bir kilometre taşı olmuştur Kalkuumlluumls hem matematiksel bir fonksiyonun hem de fonksiyon oluşturabilen bağımsız değişkenlerin maksimum veya minimum cinsinden optimal koşullarının elde edilmesine olanak sağlamaktadır Kalkuumlluumlsuumln kullanımı duumlzguumln-davranışlı fonksiyonlarla sınırlandırılmıştır Ancak Kalkuumlluumls uygulamalarında karşılaşılan cebirsel problemlerin ccediloumlzuumlmuuml bazen guumlccedil olabilmektedir Dolayısıyla Kalkuumlluumls pragmatik anlamda gerccedilek duumlnya problemlerinin optimizasyonunda yeterli ve guumlccedilluuml bir araccedil olamamaktadır

JL Lagrangeın 1788 yılında Lagrange ccedilarpanları youmlntemini bilim duumlnyasının hizmetine sunması oumlnemli bir adım olmuştur 1939da W Karushun kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını bulması optimizasyon teorisinde yeni bir atılım olmuştur II Duumlnya Savaşının başlamasıyla 1942de İngiltere ve Amerika Birleşik Devletlerinin Youmlneylem Araştırması gruplarını oluşturması optimizasyon duumlnyası iccedilin bir doumlnuumlm noktası olmuştur Sezgisel optimizasyon araccedillarından olan yapay sinir ağları 1943de W McCulloch ve W Pitts tarafından ccedilalışıldı Ertesi yıl ise J Von Neumann ve O Morgenstern tarafından Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış adlı eserle oyun kuramı tanıtıldı

II Duumlnya Savaşından sonra yeni sınıf optimizasyon teknikleri geliştirildi Soumlzkonusu teknikler daha karmaşık problemlere başarıyla uygulandı Bunda yuumlksek hızlı dijital bilgisayarların geliştirilmesi ve optimum değerlerin elde edilmesi iccedilin nuumlmerik tekniklere matematiksel


analizin uygulanması son derece etkili olmuştur Nuumlmerik teknikler Kalkuumlluumlsuumln bir takım zorluklarını ortadan kaldırmıştır

Lineer programların ccediloumlzuumlmuuml iccedilin Simplex youmlntem 1947de GB Dantzig tarafından geliştirildi Bu optimizasyon duumlnyasında gerccedilekten bir devrim sayılmaktadır R Bellman 1950de dinamik programlama modelini ve ccediloumlzuumlmuumlnuuml geliştirdi 1951de H Kuhn ve A Tucker daha oumlnce Karushun oumlnerdiği kısıtlandırılmış problemler iccedilin optimallik koşullarını tekrar formuumlle ederek doğrusal olmayan programlama modelleri uumlzerinde ccedilalıştılar Yine aynı yıl J Von Neumann G Dantzig ve A Tucker primal-dual lineer programlama modellerini geliştirdiler Yine oumlnemli bir katkı 1955de stokastik programlama adı altında G B Dantzig tarafından yapıldı Kuadratik programlama 1956da M Frank ve P Wolfe tarafından geliştirildi 1958deki oumlnemli bir katkı R Gomory tarafından tamsayılı programlama olarak adlandırıldı A Charnes ve W Cooper şans kısıtlı programlama modellerini 1959da optimizasyon duumlnyasına armağan ettiler 1960da sezgisel optimizasyon araccedillarından birisi olan yapay zeka ve youmlneylem araştırması ilişkilerini iccedileren ccedilalışmalar yapıldı Hedef programlama modeli yine A Charnes ve W Cooper tarafından 1965 yılında geliştirildi 1975de ccedilok amaccedillı karar verme teorisinin temelleri M Zeleny S Zionts J Wallenius W Edwards ve B Roy tarafından atıldı L Khachian lineer programlama modellerinin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin farklı bir algoritma olan elips youmlntemini 1979da geliştirildi 1984te N Karmarkar lineer programlama iccedilin alternatif bir ccediloumlzuumlm algoritması olan iccedilnokta algoritmasını geliştirdi 1992de JH Holland tarafından bir sezgisel optimizasyon tekniği olarak kabul edilen genetik algoritma geliştirildi Ccedilağdaş optimizasyon duumlnyasında da her geccedilen guumln artan bir ivmeyle oumlnemli katkılar yapılmakta ve bilimin hizmetine sunulmaktadır

Optimizasyon modelleri yukarıda da belirtildiği gibi matematiksel teknikler kullanmaktadır Daha oumlzel anlamda optimizasyon modelleme geleneksel olarak matematik programlama olarak adlandırılmaktadır Diğer bir ifadeyle matematik programlama optimizasyon modelinin kurulması ve ccediloumlzuumlmuumln elde edilmesi işlemine verilen genel isimdir Geccedilmişten gelen bir gelenekle guumlnuumlmuumlzde de matematik programlama ve optimizasyon kavramları eşanlamlı olarak kullanılmaktadır

Matematik programlama kavramı matematik planlama ve duumlzenleme anlamında kullanılmaktadır Programlama soumlzcuumlğuuml İngiliz İngilizcesindeki programme kavramının karşılığı olarak kullanılmaktadır Bilgisayar programcılığı anlamına gelmemektedir Kaldı ki matematik programlama ifadesi bilgisayar programcılığı kavramının ortaya ccedilıkışından oumlnce de kullanılmaktaydı

Matematiksel Tanım Matematik programlama problemi belirli kısıtlar altında bir amaccedil fonksiyonunun optimize edilmesinden oluşmaktadır Diğer bir deyişle karar değişkenleri olarak nitelendirilen fonksiyon değişkenlerinin kısıtların tuumlmuumlnuuml sağlayan (uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinde bulunan) ve amaccedil fonksiyonunu optimize eden sayısal değerlerini bulma problemidir Tipik bir matematik program aşağıdaki gibi ifade edilebilir n değişken sayısı ve m kısıt sayısı olmak uumlzere

Optimum z = f (x 1 x2xn)


Kısıtlar g1 (x 1 x2xn) b1

g2 (x 1 x2xn) b2

= gm(x 1 x2xn) bm

Bu ifadede m sayıda farklı kısıt = sembollerinden birisini iccedilerebilir Her gi fonksiyonu ve bi katsayıları sıfır seccedililirse kısıtsız matematik programlar elde edilir Burada f amaccedil fonksiyonu ve gi kısıt fonksiyonları lineer (doğrusal) ise matematik program lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama adını alır

Matematik programlama modellerinde f fonksiyonu optimize edilecek yani maksimize ya da minimize edilecek amaccedil fonksiyonu dur Kacircr getiri fayda ve benzeri gibi kavramlar amaccedil fonksiyonunda yer alırsa maksimize maliyet gider ve benzeri gibi kavramlar yer aldığında da minimize edilir gi fonksiyonlarının herbiri birer kısıt belirtmektedir Kısıt sayısında herhangi bir sınır bulunmamaktadır Kısıtların hepsi birlikte bir uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi belirlerler Optimal ccediloumlzuumlm değeri veya değerleri bu boumllgeye ait bir değer olmaktadır Kısıtlar sınırlayıcı şartların ifadeleridir İşletme ve ekonomi problemlerinde sınırlayıcı şartların varlığını goumlrebilmek oldukccedila kolaydır Oumlrneğin uumlretilmesi planlanan uumlruumlnler iccedilin hammadde işccedililik makine zamanı stoklama alanı gibi sınırlamalar kısıtlar olarak ifade edilirler Soumlzkonusu kısıtlar genelde doğrusaldırlar Bazı oumlzel problemlerde amaccedil fonksiyonu olmayabilmektedir Optimizasyonun soumlzkonusu olmadığı boumlylesi modellerde sadece uygun bir ccediloumlzuumlmuumln varlığı yeterli olmaktadır

Uygulama Alanları Matematik programlama teknikleri ccedilok geniş bir yelpazede kullanım alanlarına sahiptirler Muumlhendislikten işletme ve ekonomiye askeri modellerden tarıma tıp ve ilaccedil sektoumlruumlnden spora kadar birbirlerinden ccedilok farklı alanlarda geniş oumllccediluumlde kullanılmaktadır Daha spesifik olarak oumlrneğin uydu youmlruumlngelerinin duumlzenlenmesi robot kolunun hareketinin optimizasyonu finansal planlama taşımacılık problemleri spor liglerinin optimizasyonu mamul karışım problemleri askeri hedeflerin vurulmasında optimal silah karışımının belirlenmesi ve radyoterapide ışınların optimal accedilı ve yoğunluklarının belirlenmesi bunlardan sadece bir kaccedilıdır

Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması Matematik programlama modelleri ccedileşitli kriterlere goumlre sınıflandırılabilmektedir Matematik programlar fonksiyonlarının tipine goumlre yukarıda değinildiği gibi birinci dereceden fonksiyonlardan oluşuyorlarsa lineer programlama diğer durumlarda ise lineer olmayan programlama şeklinde sınıflandırılırlar Karar değişkenlerinin tipine goumlre sadece tam sayılı değişkenlerden oluşan problemlere tam sayılı programlama adı verilir Hem suumlrekli hem de tam sayılı değişken iccedileren modeller ise karma tam sayılı programlama adını alırlar En az bir tane rassal parametre iccedileren programlar ise stokastik programlar olarak nitelendirilirler Aksi halde ise model deterministik olarak isimlendirilir Optimizasyon probleminin ccediloumlzuumlmuuml zamanın bir fonksiyonu ise problem dinamik programlama olarak adlandırılmaktadır


Dinamik programlama da kendi iccedilerisinde deterministik ve stokastik olarak sınıflandırılabilmektedir Birden fazla amaccedil fonksiyonuyla başa ccedilıkmak iccedilin geliştirilen ve ccedilok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama birbirleriyle ccedilelişebilen amaccedilları hep birlikte goumlz oumlnuumlne almakta ve amaccedillardan sapmaları minimize ederek ccediloumlzuumlme ulaşmaktadır Konveks ve kesirli programlama tuumlrleri de yine yaygın olarak kullanılabilen optimizasyon modellerindendir

Burada sadece bazılarından soumlz edilen matematik programlama tuumlrlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin farklı matematiksel youmlntemler geliştirilmiştir Oumlrneğin lineer programlar iccedilin geliştirilen Simplex youmlntem tuumlm lineer modelleri ccediloumlzme potansiyeline sahipken lineer olmayan programlama modellerinin hepsini ccediloumlzebilen genel bir ccediloumlzuumlm yolu geliştirilememiştir Lineer olmayan modeller iccedilin oumlnerilen algoritmalar bazı oumlzellikleri taşıyan tiplere uygulanabilmektedir Soumlz gelimi eşitlik kısıtlı lineer olmayan modellere Lagrange ccedilarpanları kullanılırken eşitsizlik kısıtlı problemlere de Kuhn-Tucker koşulları uygulanmaktadır

Accedilıklayıcı Bir Oumlrnek

Burada basit olması accedilısından ve matematik programlamanın en temel modellerinden sayılması nedeniyle kuumlccediluumlk bir lineer programlama problemi verilmiş ve grafik youmlntemle ccediloumlzuumllmuumlştuumlr Lineer programlamada grafik youmlntem en fazla uumlccedil karar değişkenli modellere ccediloumlzuumlm getirebilmektedir Oysa ki Simplex youmlntemin boumlyle bir kısıtlaması bulunmamaktadır Oumlrnek problem aşağıdaki gibi verilmektedir

maks z=3x1 + 4x2

Kısıtlar 3x1 + 4x2 1 60 (1kısıt) 2x1 + 6x2 60 (2kısıt) x 1 x2 0 ( pozitiflik kısıtları) Problem maksimizasyon formundadır Soumlz gelimi bu bir kacircr maksimizasyonu olabilir Birinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 3 YTL ve ikinci tip uumlruumlnuumln birim kacircrı 4 YTL ise ilgili uumlruumlnlerden soumlz konusu kısıtlar altında kaccedilar tane uumlretilmelidir ki toplam kacircr maksimum olsun

Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlncelikle analitik duumlzlemin eksenleri karar değişkenleri olan x1 ve x2 olarak adlandırılır Lineer programlarda ccedilok oumlzel durumlar dışında karar değişkenlerinin pozitif olması istenir Bu durumda analitik duumlzlemin birinci boumllgesinde ccedilalışılacaktır Kısıtların oluşturduğu uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi analitik duumlzlemde belirtilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi Şekil 1de taralı alan ile belirtilmiştir Amaccedil doğrusunun eğimi m = - 34 olarak elde edilir Bu eğim amaccedil doğrusunun uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılması iccedilin gereklidir Alternatif olarak amaccedil fonksiyonu herhangi bir keyfi değere eşitlenerek de (eş kacircr doğruları) ccedilizilebilir Şekilden de goumlruumlleceği gibi amaccedil denklemi uygun ccediloumlzuumlm boumllgesi uumlzerinde kaydırılırsa en son x1= 18 ve x2= 4 noktasından boumllgeyi terketmektedir Aynı sonuca aşağıdaki yolla da ulaşılabilir Uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktaları amaccedil denkleminde yerine konulursa

(010) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 30 + 410 = 40

(200) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 320 +40 = 60

(184) noktası iccedilin z = 3x1+ 4x2 = 318 +44 = 70 (Maksimum kacircr Optimal nokta)


elde edilir (184) noktası maksimum kacircrı verdiğinden aranılan ccediloumlzuumlm noktasıdır (184) noktası iki kısıt doğrusunun kesim noktası olduğundan her iki kısıtı da sağlamak durumundadır Bu nokta da iki kısıt denklemlerinin ortak ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir İlgili teoreme goumlre lineer programların optimal ccediloumlzuumlmleri konveks uygun ccediloumlzuumlm boumllgesinin koumlşe noktalarındadır Oumlzetle iki farklı uumlruumln tiplerinden x1= 18 ve x2= 4 birim uumlretilmeli ki maksimum kacircr z = 70 YTL elde edilebilsin Optimal ccediloumlzuumlm Şekildeki grafikte goumlruumllmektedir

Oumlrnek Lineer Programlama Modeli İccedilin Grafik Ccediloumlzuumlmuuml

Değişken sayısı arttıkccedila matematik programlama modellerinin elle ccediloumlzuumlmuuml ccedilok zorlaşmakta ve hatta imkansız hale gelmektedir Bu nedenle matematik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmleri iccedilin teorik ccediloumlzuumlm algoritmalarına dayalı bilgisayar yazılımları geliştirilmiştir LINDO LINGO ABQM ve CPLEX programları bunlardan bazılarıdır Ayrıca esnek modelleme yapısı sunan elektronik tablolarla da (oumlrneğin MS Excel) matematik programlama problemleri ccediloumlzuumllebilmektedir

Karar bilimlerinin ve youmlneylem araştırması disiplinin ayrılmaz bir parccedilası olan matematik programlama tuumlm akademik duumlnyada lisans yuumlksek lisans ve doktora seviyelerinde matematik istatistik işletme ekonomi ve muumlhendislik bilimlerinde ders olarak okutulmaktadır Hatta matematik programlama son yıllarda başlatılan kampanyalarla youmlneylem araştırmasının bir bileşeni olarak lise oumlğrencileriyle de tanıştırılmaya başlanmıştır

Dinamik programlama youmlneylem araştırmasında kullanılan optimizasyon youmlntemlerinden birisidir Optimizasyonda amaccedil mevcut kısıtlayıcı koşullar altında eldeki sorunla ilgili en iyi karara varmaktır

Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın buumltuumlnuumlyle ele alındığı problemler iccedilin geliştirilen karar modelleri ve bunların ccediloumlzuumlmleri ldquoDinamik Programlamardquo başlığı altında incelenir Oumlte yandan incelenen problemin biri diğeriyle ilişkili alt problemlere ayrılabilme oumlzelliğini taşıması ya da bir problem iccedilin geliştirilen karar modelinin birbirine bağlı karar modelleri haline doumlnuumlştuumlruumllmesi dinamik programlama uygulaması iccedilin yeterli olmaktadır

Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler gelecek doumlnem iccedilin oumlnceden yapılan planları geccedilersiz kılabilir Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da oumlnceki plan


guumlncelleştirilmelidir Koşullar bir zaman suumlrecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi oumlnemli ise dinamik programlama modellerine gereksinim vardır

DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLARDinamik programlama terminolojisinde aşama durum geccediliş fonksiyonları karar ve optimal politika adı verilen beş oumlnemli kavram vardır

AŞAMA

Ccedilok aşamalı bir karar probleminde karar verilmesi gereken noktalar olarak da tanımlanabilir Karar probleminin bir parccedilası olan aşama kararların verilmesinde ve verilen kararların duumlzenlenmesinde kullanılmaktadır Aşama sayısı suumlrecin uzunluğuna bağlıdır Aşama yapısını belirleyen oumlnemli bir oumlzellik suumlrecin suumlrekli ya da kesikli olmasıdır

DURUM

Her bir aşamada sistemin veya değişkenlerin alabileceği değerdir Başka bir ifade ile durum bir aşama ve onu izleyen aşamalara dağıtılan kaynaklardır Durum kavramı mutlak bir kavram olmayıp analizin oumlzelliğine bağlıdır Herhangi bir stok problemi iccedilin stok duumlzeyi uumlretim problemi iccedilin uumlretim duumlzeyi vs herhangi bir aşamanın durumunu goumlsterebilir

KARAR

Herhangi bir suumlreccedilte aşamaları tamamlama ile ilgili seccedilenekler arasından bir seccedilim yapılması işlemi karar olarak isimlendirilir Belirli bir durum ve aşamada verilen bir karar suumlrecin hem durumunu hem de aşamasını değiştirir Dolayısıyla her karar geccedilerli bir durumdan bir sonraki aşamaya bağlı olan duruma geccedilişi etkiler Her aşamada karar verme suumlreci o aşamanın seccedileneklerinden birinin seccedilimi ile sonuccedillanır Buna aşama kararı denir

OPTİMAL POLİTİKA

Ccedilok aşamalı bir karar suumlrecinin her karara bağlı maliyet ve kar cinsinden bir getirisi vardır Bu getiri suumlrecin aşama ve durumu ile birlikte değişir Optimal politika suumlrecin her bir aşaması iccedilin verilen kararların bir sırasıdır Ccediloumlzuumlm bir aşamadan diğerine sıra oumlnceliğine goumlre gidilerek elde edilir ve son aşamaya erişildikten sonra her parametre iccedilin değerler belirlenerek işlem tamamlanır Boumlylece en uygun politika oluşturulmuş olunur

GECcedilİŞ FONKSİYONLARI

Her aşamanın bulunabilecek durumlarında verilebilecek karara goumlre bu aşamayı izleyen veya daha oumlnceki aşamanın hangi durumuna gelineceğini belirleyen ilişkilere geccediliş fonksiyonları denir

OPTİMALİTE (EN UYGUNLUK) KURAMI

Dinamik programlama modelinin temelini oluşturan kuram Bellman tarafından ortaya atılan optimalite kuramıdır Bu kurama goumlre ldquoBir optimal politikanın oumlzelliği başlangıccedil durumu ve başlangıccedil kararları ne olursa olsun geri kalan kararlar ilk verilen kararların sonucuna goumlre optimal bir politika oluştururrdquo Dolayısıyla izlenecek ccediloumlzuumlm youmlntemi oumlyledir ki oumlnceki karar ne olursa olsun sonraki aşamalarda yine optimal politika elde edilir


Dinamik programlamada suumlreccedil iccedilin optimal politika at optimal politikalardan meydana gelir Geriye doğru gidilirken n-1 aşama suumlreccedillerine nrsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleş-tirilmesini ileriye doğru gidilirken de n aşama suumlreccedillerine n-1rsquoinci aşama karar suumlreccedillerinin yerleştirilmesini sağlar Oumlrneğin bir enbuumlyuumlkleme probleminde belirli bir (xn ) durumunda bulunan bir aşamadan (n) olası durumlara bağlı olarak br sonraki aşamaya geccedilmenin optimal getiri değerleri fi (xi ) biliniyorsa n aşamanın xn durumundaki getirisiyle (n-1) Aşamanın yeni durumundaki getirileri toplanarak en buumlyuumlk değere sahip alternatifler seccedililir

CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİCcedilok aşamalı karar suumlreci herhangi bir youmlntem veya kritere goumlre sıralı adımlara ayrılabilen bir karar suumlreci ya da ardışık olarak bir araya getirilebilen aşamalar olarak tanımlanabilir

Ccedilok aşamalı bir suumlreccedil incelenirken suumlrecin uzunluğu ve sistemin durumu ele alınmalıdır Ccediluumlnkuuml ccedilok aşamalı bir karar suumlreci sistemin ilk durumu ve suumlrecin uzunluğu ile belirlenebilir

DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİDinamik programlama problemlerinin ortaya ccedilıkışında ekonomik suumlreccedillerin incelenmesi oumlnemli bir yer tutar Bir ekonomik suumlreccedil belli oumllccediluumlde rassal bir oumlzellik taşıyabildiği gibi suumlrecin denetlenme suumlreci de sınırlıdır Buna goumlre dinamik programlama problemleri rastsallığın bulunduğu durum ve bulunmadığı durum olmak uumlzere iki tuumlrluuml sınıflandırabilir

Bir suumlreccedilte aşamalar ve durum değerleri sonlu ise ccedilk aşamalı karar suumlreci de sonludur Eğer bir suumlreccedil sonsuz uzunlukta ya da pratik olarak ccedilok geniş ise bu durumda suumlrecin sonsuz olduğu soumlylenebilir

Suumlreccedil hakkında hiccedil hiccedil bilgi edinilemiyor ya da ccedilok az bilgi edinilebiliyorsa bu bilinmeyen bir suumlreccediltir Bu durumda konu ile ilgili dinamik programlama modelini formuumlle etmek olanaksızdır Herhangi bir deterministik ve stokastik dinamik programlama problemi sonlu ve sonsuz durumlarına goumlre doumlrt tuumlrluuml sınıflandırılabilir Bu durumlar aşağıdaki gibidir Burada

N Aşama sayısınıab Sınır değerlerini goumlstermektedir

Her iki tarafı kapalı duruma pound N pound b

A B Sol tarafı accedilık sağ tarafı kapalı durum

-yen pound N pound b

A B Sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durum

a pound N pound +yen

A B Her iki tarafı accedilık durum

-yen pound N pound +yen

A B


Burada ekonomik youmlnden en oumlnemli olan durum sağ tarafı accedilık sol tarafı kapalı durumdur Ccediluumlnkuuml ekonomik kararlar geleceğe doumlnuumlktuumlr Gelecek ile ilgili bilgiler ise belirsizlik taşırlar ve bunları oumlnceden tam olarak bilmek ccediloğu zaman olanaksızdır

DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİCcedilok aşamalı bir karar suumlrecinde karara etki eden tuumlm dışsal etmenler (faktoumlrler) tam olarak bilinirse suumlreccedil deterministiktir Buna bağlı olarak dinamik programlamada deterministiktir

Bir dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuumlne uygun bir modelin kurulması ile başlanır Dinamik programlama ile ilgili problemler biccedilimsel olarak ya da konuları accedilısından birbirlerinden oldukccedila buumlyuumlk farklılıklar goumlsterebilmektedirler Bu nedenle tuumlm dinamik programlama modellerini iccedileren ve bunların ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirleyen tek bir youmlntem yoktur Farklı tuumlrdeki modellerin ccediloumlzuumlmlerinde kullanılmaktadır

Tablosal youmlntemde herhangi bir suumlreccedille ilgili tuumlm aşamalar iccedilin buumltuumln durumlar goumlz oumlnuumlnde bulundurularak tuumlm seccedilenekler belirlenir Her aşama ile ilgili seccedilenekler arasından en iyileri seccedililerek bir tabloya yerleştirilir Tablosal youmlntem elde edilen bu tablodan hareketle optimal politikanın belirlendiği youmlntem olarak tanımlanabilir Bu youmlntemde seccedilenekler arasından seccedilim yapılırken seccedililen seccedileneğin uygun ccediloumlzuumlm sağlayıp sağlamadığı da ccediloumlzuumlm sırasında goumlz oumlnuumlnde bulundurulur Dolayısıyla youmlntemden elde edilen ccediloumlzuumlmler de uygun ccediloumlzuumlm olmaktadır Diğer bir deyişle tablosal youmlntem dinamik programlamanın sadece uygun seccedileneklerini goumlz oumlnuumlne alarak ccediloumlzuumlm yapılmasına olanak sağlar

Analitik youmlntem verilen doumlnuumlşuumlm denklemlerinin her bir aşamada tuumlrevleri alınarak bu aşamalar iccedilin optimal değerlerin bulunmaya ccedilalışıldığı bir youmlntemdir Doumlnuumlşuumlm denklemi her bir aşamada tek bir değişkene bağlı olarak eniyilenmeye ccedilalışılır

Dinamik programlama problemlerinin ccediloumlzuumlmuuml yukarıda anlatılan youmlntemlerden birisi kullanılarak baştan sona doğru yani ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmevarım) veya sondan başa doğru yani geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu (tuumlmdengelim) izlenerek aşama aşama elde edilir

Ccediloumlzuumlmde tuumlmdengelimin mi yoksa tuumlmevarımın mı kullanılacağını belirleyen poblemin yapısı ve araştırmacıların probleme yaklaşım biccedilimleri olmaktadır Sonu belli olan bir problemde tuumlmdengelim işlemi uygulanır Devam etmekte olan bir faaliyetin buumltuumln hesaplamalarını tekrarlamamak iccedilin de tuumlmevarım işlemini uygulamak yerinde olur

DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASIDinamik programlamanın temelindeki duumlşuumlnce problemin geriye doumlnuumlş ilişkileri veya doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarınca tanımlanmasıdır

Dinamik programlamada doğrusal programlamada olduğu gibi problemin formuumlle edilmesi ve ccediloumlzuumlmuuml iccedilin standart bir yaklaşım yoktur DP doumlnuumlşuumlm fonksiyonları doğrusal programlamanın tersine biccedilimsel olarak birbirlerinden oldukccedila farklı olabilmektedir Ancak dinamik programlamada her hangi bir aşama kendisinden bir oumlnceki ya da bir sonraki aşama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonu da buna uygun olarak formuumlle edilmek zorundadır


İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının OluşturulmasıBu youmlntemde n-1rsquoinci aşama ile ilgili bilgiler nrsquoinci aşamanın karar girdilerini oluştururlar Ccediloumlzuumlme birinci aşamada başlanarak 2 3 helliphelliphelliphellipn-1 nrsquoinci aşamaya doğru gidileceğinden doumlnuumlşuumlm fonksiyonuda buna uygun olarak formuumlle edilmelidir

Oumlrnek Yuumln uumlretimi ile ilgilenen OumlZSE işletmesinin yapağılarını işleyen uumlccedil makinesi vardır Makinelerin ton başına uumlretim maliyetleri aşağıda verilmiştir (1000TL)

Yapacağı Miktarı (X) 1makinenin 2 makinenin 3 Makinenin

(ton) maliyeti C1(x1) maliyeti C2(x2) maliyeti C3(x3)

0 0 0 0

1 1 2 4

2 2 3 5

3 4 4 6

4 6 5 7

5 8 7 9

6 10 9 10

7 13 11 12

8 16 14 13

9 20 17 14

10 25 20 16

İşletmenin youmlneticisi toplam maliyeti en kuumlccediluumlkleyen en uygun uumlretim planının yani her bir makinede uumlretilecek en uygun uumlretim miktarının belirlenmesini istemektedir Şimdi suumlreci sonlu ve kararların ccedilıktı değerleri oumlnceden bilinen problemin doumlnuumlşuumlm denklemini kuralım

Problemde

xi iinci makinada uumlretilecek uumlıuumln miktarını

X Toplam uumlretim miktarını

Ci(xi) iinci makinanın xi duıumundaki maliyetini goumlstersin

Problemin dinaınik programlama ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonu kurulmadan oumlnce problemle ilgili durum ve aşamaların belirlenmesi gerekir

Problemde herbir makinada uumlretilebilecek uumlruumln miktarları durum kavramına karşılık gelmektedir Buna bağlı olarak

x1 1 durum

x2 2 durum

xn ninci durumu goumlstermektedir

Problemde xn= Xdir ve Xin değeri kesin olarak bilinmektedir Buumltuumln i değerleri


(i = 0 1 2 n) iccedilin 0 pound i pound X olduğu varsayılmakta ve makinalara yapılabilecek tahsisler

xi = 0 ise iinci makinaya kadar herhangi bir tahsis yapılmadığını

xi = X ise buumltuumln uumlretimin iinci makinaya kadar olan makinalarda yapıldığını (iinci makina dahil)

0 pound xi pound X ise iinci makinalara xi lsquonin kalan makinalara ise (X-xi)nin tahsis edilmiş olduğunu goumlsterir

Problemde herbir makina aşamalara karşılık gelmektedir Buna goumlre

1 makina 1 Aşamayı

2 makina 2 aşamayı

n makina n aşamayı goumlstermektedir

Ayrıca

fn(X) ninci aşamada optimal bir duumlzenlemenin kullanılması ile X durumundaki toplam getiriyi goumlsterir Dolayısıyla bizim oumlrneğimizde

fn(X) X uumlretim miktarının n makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkacak minimum toplam maliyeti goumlstermekte kullanılacaktır

Bu simgeleri kullanarak problemle ilgili aşağıdaki fonksiyon yazılabilir

fn(X) = minY(x1 x2helliphelliphelliphellip xn)Buradann MinY=pound Ci(xi)= C1(x1)+ C2(x2)+helliphelliphelliphelliphellip+Cn(xn)

i=1kısıtlayıcı denklemn pound xi = X i=1ve xi pound 0 i = 1 2 n yazılabilir Goumlruumllduumlğuuml gibi fonksiyon uumlretim miktarı ve bunlara karşılık gelen maliyet değerlerine bağlıdır Şimdi bu değerlerden hareketle dinamik programlama ile ilgili doumlnuumlşuumlm fonksiyonunu yazmaya ccedilalışalım

fn(X) = min [Cn(xn)+fn-1(X-xn)]

Kısıtlayıcı koşul

0 pound xn pound X

Burada

xn ninci aşamanın alabileceği tuumlrluuml durum değerlerini (xn = 0 1 X)

X Suumlrecin o andaki durumunu

Cn(xn) n aşamanın tuumlrluuml durum değerlerine karşılık gelen maliyet değerleri


fn-1(X-xn) = (X-xn) durumunda n-1 aşama suumlrecinin maliyet değerini goumlstermektedir

Şimdi bu denklemin nasıl elde edildiğini accedilıklamaya ccedilalışalım

Birinci aşama iccedilin modeli formuumlle ederken x1in değeri kesin olarak bilinmemektedir Bu durumda 0 pound x1pound X olmak uumlzere x1in tuumlm uygun değerleri iccedilin optimal ccediloumlzuumlmler hesaplanır Bulunan değerlerin her biri iccedilin optimum seccedilenek bu aşamadaki seccedilenekler arasından seccedililir Problemde soumlz konusu olan seccedilenek amacımız maliyet minimizasyonu olduğundan birim başına en duumlşuumlk maliyeti veren seccedilenektir

Birinci aşamada x1 ile belirlenen optimum seccedileneği f1(X) ile goumlsterirsek dinamik programlama problemi bu f1(X) ifadesini minimize eden x1 değerinin bulunması olacaktır Birinci aşamada optimal ccediloumlzuumlm f1(X) yalnız x1in bir fonksiyonudur

f1 (X) = c1 (x1) kısıtlayıcı koşul

0 pound x1pound X

İkinci aşamada x2 varsayım gereği yine 0 1 2 X değerlerini alabilir Verilen bir X (x = 0 1 2 X) değeri iccedilin ikinci aşamada optimal seccedilenek x2 pound X koşulunu sağlayan tuumlm i seccedilenekleri arasından aşağıdaki durumlar gerccedilekleşecek şekilde seccedililir

İkinci aşamada i seccedileneğinin maliyeti c2(x2)

x1=X ndash x2 durumunda birinci aşamada elde edilen maliyet c1(x1) olmak uumlzere bu iki aşama ile ilgili maliyetler toplanır ve en duumlşuumlk maliyet toplamını veren seccedilenek seccedililir Soumlylenenleri simgelerle ifade edersek

f1(X) = c1(x1)

f1(X-x2) = f1(X) olmak uumlzere

f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)] yazılabilir

Denklem iccedilin kısıtlayıcı koşul

0 pound x2pound X

Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(X) değeri birinci ve ikinci aşama maliyetlerinin toplamıdır ve yalnız X2 nin bir fonksiyonudur

Modelde x2= X ise x1 = 0dır Bu durum birinci aşamada uumlretim yapılmayacak anlamına gelir Eğer (X-x2) = x1 pound 0 ise birinci aşamada x1in alacağı değer kadar uumlretim yapılacak demektir

Yukarıda ikinci aşama iccedilin yapılan işlemler 3 4 n-1 ve nrsquoinci aşamalar iccedilin de yapılınca dinamik programlama probleminin ccediloumlzuumlmuuml iccedilin gerekli olan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları oluşturulmuş olacaktır Bu yapılan işlemler yineleme ilişkileri olarak da bilinir ve dayanağı Bellmanın optimalite ilkesidir Bu ilkeye goumlre herhangi bir aşamada alınmış bir kararın daha oumlnceki aşamalarda verilmiş olan kararlara etkisini geriye doğru izlemeye gerek yoktur Geri kalan aşamalar iccedilin kararlar daha oumlnceki aşamalarda belirlenmiş olan politikayı goumlzoumlnuumlne almadan saptanacaktır Bunların toplamı da optimal politikayı verecektir Bu durum DPnin temel oumlzelliğidir


İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunun kullanıldığı durumlarda tuumlrluuml aşamalar iccedilin oluşturulan doumlnuumlşuumlm fonksiyonları aşağıda oumlzet olarak verilmiştir Kısıtlayıcı koşullar doumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının altında goumlsterilmektedir

Birinci aşama iccedilin

f1(X)=min [c1(x1)]

0 pound x1pound X

İkinci aşama iccedilin

f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]

0pound x2pound X

n-1inci aşama iccedilin

fn-1(X) = min [cn-1(xn-1) + fn-2(X-xn-1))

0pound xn-1pound X

ninci aşama iccedilin

fn(X) = min [cn(xn) + fn-1(X-xn)

0pound xnpound X

Modelden goumlruumllduumlğuuml gibi herhangi bir aşama kendinden bir oumlnceki aşama ile ilgilidir Oumlrneğin f2(X)in belirlenmesinde f1(X) fn(X)in belirlenmesinde fn-1(X) kullanılmaktadır

Şimdi de geriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin doumlnuumlşuumlm denkleminin oluşturulmasını goumlrelim

Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolu iccedilin anlatılanlar ve ileri suumlruumllen varsayımlar bu ccediloumlzuumlm yolu iccedilinde aynen geccedilerlidir Bu nedenle doumlnuumlşuumlm fonksiyonunun oluşturulmasının yeniden anlatılması gereksiz sayılabilir Ancak bu yolla doumlnuumlşuumlm fonksiyonu formuumlle edileceği zaman işleme ninci aşamadan başlanarak n-1 n-2 3 2 1 aşamalara gelinecek şekilde model kurulmalıdır Yani n-1 aşama suumlreccedillerine n aşama karar değerleri fn(X) yerleştirilecektir

n kademe iccedilin fn(X)= min [cn(xn)] 0pound xnpound Xn-1 kademe iccedilin fn-1(X)=min [cn-1(xn-1) + fn(X- xn-1 )

0pound xn-1pound X1 kademe iccedilin f1(X) = min [c1(x1) + f2(X- x1 )

0pound x1pound XDoumlnuumlşuumlm fonksiyonlarının oluşturulmasından sonra problemin dinamik programlama ccediloumlzuumlmlemesine geccedililebilir


TABLOSAL YOumlNTEM Tablosal youmlntemin ne olduğu konusuna değinmiştik Şimdi bu youmlntemi bir oumlrnek uumlzerinde daha geniş olarak ele alacağız Problemi oumlnce ileriye doğru ccediloumlzuumlm yolunu kullanarak ccediloumlzmeye ccedilalışalım

İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Problem doumlnuumlşuumlm fonksiyonu yardımıyla birinci kademeden başlanarak ccediloumlzuumlmlenecektir Ccediloumlzuumlm iccedilin oumlnce problemin dinamik programlama modelinin kurulması gerekir

Birinci aşamada optimum kararın verilebilmesi iccedilin f1(X) değerleri belirlenmelidir 0pound x1pound X koşulu altında f1(X) = C1(x1 ) dir

Birinci makinada uumlruumln uumlretilmediğinde f1(X)değeri sıfır olacaktır Buumltuumln uumlruumln bu makinada uumlretilirse f1(X) değeri C1(x1 ) in alacağı değere eşit olacaktır

Şimdi x1in alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)i belirleyelim

X x1 C1(x1) f1(X)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 4 4

4 4 6 6

5 5 8 8

6 6 10 10

7 7 13 13

8 8 16 16

9 9 20 20

10 10 25 25 Boumlylece x1in aldığı tuumlrluuml değerler iccedilin f1(X)in değerleri belirlenmiş oldu Bu sonuccedillar Tablo 1in uumlccediluumlncuuml suumltununda topluca goumlsterilmiştir İkinci aşamada optimum kararların belirlenebilmesi iccedilin f2(X)in değerlerinin bulunması gerekir f2(X) değerlerinin bulunmasında C2(x2) ve f1(X- x2) değerleri kullanılacaktır Bunu soumlzluuml olarak ifade edecek olursak ikinci aşamanın maliyet fonksiyonunun değerleri kısıtlayıcıları doyurmak koşuluyla her durum iccedilin birinci aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerleri birlikte işlem goumlrduumlruumllerek elde edilecektir Buradan hareketle ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu

f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]

Opound x2pound X

yazılabilir


Şimdi ikinci aşama iccedilin ccediloumlzuumlm işleminin uygulanmasına geccedilelim X = 1 durumu iccedilin (bir birim uumlruumln uumlretilmesi duıumu)

f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]

Opound x2pound 1

Buradan

C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2

f2(1) = min

C2 (0)+f1 (1) =0+1=1

Opound x2pound 1 elde edilir

Goumlruumllduumlğuuml uumlzere bir birimlik ccedilıktı birinci makinada veya ikinci makinada uumlretilebilir Uumlruumln birinci makinada uumlretilirse bunun maliyeti 1 TL ikinci makinada uumlretilirse 2 TLdir Kuumlccediluumlk maliyet 1 olduğu iccedilin x1=1 x2=0 olacaktır Bu da bize sadece bir birim uumlıuumln uumlretilmesi durumunda uumlretimin birinci makinada yapılması gerektiğini goumlsterir Modelimizde seccedilenekler aynı zamanda O x2 1 koşulunu da sağlamaktadır

X = 2 (iki birim uumlruumln uumlretilmesi) durumu iccedilin

f2(2) = min [c2(x2)+f1(2- x2 )]Opound x2pound 2C2 (0)+f3 (2) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f3 (1) =2+4=6 C2 (2)+f3 (0) =0+5=5Opound x2pound 2Diğer durumlar iccedilin de aynı yol izlenerek ikinci aşama iccedilin (Opound x2pound X) olmak uumlzere tuumlm durumlara karşılık gelen maliyet fonksiyonunun değerleri elde edilirGeri kalan durumlarla ilgili getiri değerleri aşağıdaki gibidir

C2 (2)+f1 (0) = 3+0=3f2(2) = min C2 (1)+f1 (1) =2+1=3 C2 (0)+f1 (2) =0+2=2Opound x2pound 2Burada en kuumlccediluumlk maliyet değeri 2 olduğundan buna karşılık gelen x2= 0 x1 =2 duıumunda f2(2) = 2dir X = 3 duıumunda f2(3) = min [c2(x2)+f1(3- x2 )]Opound x2pound 3 C2 (3)+f1 (0) = 4+0=4C2 (2)+f1 (1) =3+1=4 f2(3) = minC2 (1)+f1 (2) =2+2=4C2 (0)+f1 (3) =0+4=4Opound x2pound 3


Goumlruumllduumlğuuml gibi f2(3) iccedilin buumltuumln seccedileneklerin değerleri eşit ccedilıkmaktadır Yalnız uumlccedil birim uumlruumln uumlretilme durumunda bu doumlrt seccedilenekten hangisi seccedililirse seccedililsin uumlretimin maliyeti 4 birim olacaktır Bu durum seccedilenekli ccediloumlzuumlm olduğunu goumlstermektedir

Problemin ccediloumlzuumlmuumlnde dinamik programlama tekniği kullanıldığında bu doumlrt seccedilenekten herhangi birisi rastgele seccedililebilir Herhangi bir firma youmlneticisi bu seccedileneklerden hangisinin seccedilileceğine iccedilinde bulunulan diğer sınırlayıcı koşulları da goumlzoumlnuumlnde bulundurarak karar verecektir Biz burada doumlrduumlncuuml seccedileneği kullanarak bu simgelerin ne anlama geldiğini accedilıklayalım Bu durumda x1= 3 ve x2= 0 iccedilin f2(3)= 4tuumlr Bu eğer 3 birim uumlruumln uumlretilmesi gerekiyor ise bunun hepsinin birinci makinada uumlretilmesi gerektigini goumlstermektedir

X = 4 durumunda f2(4)= min [c2 (x2)+f1 (4- x2)] Opound x2pound 4C2 (4)+f1 (0) = 5+0=5C2 (3)+f1 (1) =4+1=5 C2 (2)+f1 (2) =3+2=5f2(4) = min C2 (1)+f1 (3) =2+4=6C2 (0)+f1 (4) =0+6=6Opound x2pound 4Burada birinci ikinci ve uumlccediluumlncuuml seccedilenekler iccedilin f2(4) = 5dir Bu duıumda yine yorum yapmak iccedilin birinci seccedileneği ele alalım Seccedilenek i8ccedilin durum değerleri x1 = 0 ve x2 = 4duumlr Bu değerler de bize 4 birim uumlıuumln uumlretildiğinde bunun hepsinin ikinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlsterir

Geri kalan durumlar iccedilin yukarıdaki işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir

X = 5 durumunda 1 seccedilenek x2= 4 x1= 1 2 seccedilenek x2= 3 x1= 2

min f2(5)= 6 elde edilirX = 6 duıumunda x2= 4 x1= 2 iccedilin min f2(6)= 7 bulunurX = 7 durumunda

1 seccedilenek x2= 5 x1=2 2 seccedilenek x2= 4 x1= 3

min f2(7)= 9 elde edilirX = 8 duıumu iccedilin

1seccedilenek x2= 6 x1= 2 2 seccedilenek x2= 5 x1= 3 3 seccedilenek x2= 4 x1=4

min f2(8)= 11 elde edilirX = 9 iccedilin de min f2(9) = 13duumlr


Seccedileneklerimiz ise aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 2 2 seccedilenek x2= 6 x1= 3 3 seccedilenek x2= 5 x1= 4 4 seccedilenek x2= 4 x1= 5

X=10 durumu iccedilin minf2 (10)= 15rsquotir

Seccedileneklerimiz yine aşağıda goumlruumllmektedir l seccedilenek x2= 7 x1= 3 2 seccedilenek x2= 6 x1= 4 3 seccedilenek x2= 5 x1= 5 4 seccedilenek x2= 4 x1= 6

Yapılan hesaplamaların sonucu elde edilen bu değerlere Tablo 1in beşinci suumltununda yer verilmiştir

Uumlccediluumlncuuml aşama ile ilgili tuumlrluuml uumlretim miktarlarına karşılık gelen maliyet değerlerini yani f 3(X)uuml belirlemek iccedilin f2(X)de olduğu gibi tekrar aynı yineleme ilişkileri kullanılacaktır Başka bir deyişle ikinci aşamada uygulanan suumlreccedil aynen izlenecektir Bu soumlylediklerimiz problemde daha başka aşamalarda (4 5 n-1 n gibi) olsaydı onlar iccedilin de geccedilerli olacaktı

f3(X) = min [c3(x3)+f2(X- x3 )]Opound x3pound X X=1 durumu iccedilin f3(1) = min [c3(x3)+f2(1- x3 )]Opound x3pound 1

C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4

Opound x3pound 1 elde edilirx3= 0 (1- x3)= 1 durumunda f3(1)= 1dir (1- x3)= 1rsquo den anlaşılacağı uumlzere x1 veya x2 lsquoden herhangi birinin değeri bire eşittir Bu değerin hangisine ait olduğu Tablo 1den elde edilebilir X= 2 durumu iccedilin f3(2) = min [c3(x3)+f2(2 - x3 )]Opound x3pound 2

C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2

Opound x3pound 2x3= 0 (2- x3)= 2 durumunda f3(2)= 2dir (2- x3)= 2 durumunda ise oumlnceki aşamalar iccedilin (x1= 2 x2= 0) (x2= 2 x1= 0) ya da (x1= 1 x2= 1) olabilir


Geriye kalan durumlar iccedilin yukarıdaki benzer işlemler tekrarlandığında aşağıdaki değerler elde edilir X = 3 durumu iccedilinmin f3(3) = 4 Bu değere karşılık gelen durum değerleri x3= 0 X-x3= 3duumlr X = 4 durumu iccedilinmin f3(4) = 5 Bu maliyete karşılık gelen durum değerlerix3= 0 X-x3= 4duumlrX = 5 iccedilin x3= 0 X-x3= 5 durumunda min f3(5) = 6 elde edilirX=6 iccedilin min f3(6) = 7 Bu değere karşılık gelen durum değleri ise x3= 0 X- x3= 6dırX = 7 durumu iccedilin x3= 0 X- x3= 7 durumundamin f3(7) = 9 bulunur X = 8 durumundamin f3(8) = 11x3= 0 X- x3= 8rsquodirX = 9 durumundamin f3(9) = 13 bulunur

Bu değere karşılık gelen durum değerleri ile ilgili seccedilenekler de aşağıda verilmiştir l seccedilenek x3= 4 X- x3= 5 2 seccedilenek x3= 3 X- x3= 6 3 seccedilenek x3= 0 X- x3= 9

X = 10 iccedilin min f3(10) = 14bu değere karşılık gelen durum değerlerix3= 4 X- x3= 6 olarak elde edilir

Şimdi buraya kadar uumlccedil makina iccedilin elde ettiğimiz durum ve getiri değerlerini Tablo 1de toplu olarak goumlrebiliriz

Tablodaki sonuccedillara goumlre 10 tonluk uumlruumln uumlretebilmek iccedilin minimum uumlretim maliyeti 14 olarak belirlenmiştir Bu değere karşılık gelen 4 ton yapağı uumlccediluumlncuuml makinada işlenecektir Dolayısı ile geri kalan 6 ton yapağı ise birinci ve ikinci makinada işlenecektir

Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml

Uumlretim 1makine 2 Makine 3 Makine


Miktarı(ton) x1 f1(X) x2 f2(X) x3 f3(X)

0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14

Doumlrt ton yapağının uumlccediluumlncuuml makinada uumlretilmesi ile ortaya ccedilıkan maliyet 7dir Bu değer oumlrnek problemde herbir makinanın tuumlrluuml uumlretim değerleri iccedilin neden olacağı maliyetlerden bulunur 10 ton uumlretim iccedilin gerekli uumlretim maliyeti 14 birim olduğundan geri kalan 6 tonluk uumlretim iccedilin de (14-7) = 7 birimlik bir maliyet soumlz konusu olacaktır Bu maliyet Tablo 1in beşinci suumltununda goumlıuumllmektedir Bu maliyete karşılık gelen uumlretim miktarı ise x2 iccedilin 4 birimdir İkinci makinada 4 ton yapağı işlemenin maliyeti 5 birimdir Dolayısı ile geriye kalan 2 birimlik bir maliyet ve bu maliyetle uumlretilmesi gereken 2 ton yapağı birinci makinada işlenecektir

Makinalarla ilgili optimal uumlretim miktarları Tablo 1de koyu olarak goumlsterilmiştir Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir

x1= 2 iccedilin C1(x1) = 2 x2 =4 iccedilin C2 (x2 )= 5x3 =4 iccedilin C3 (x3 )= 7Toplam Maliyet TM= f3 (10 )=14

Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu Bu kesimde daha oumlnce ele alınan oumlrnek problem sondan başa doğru gelinerek yani tuumlmdengelim yolu ile ccediloumlzuumllmeye ccedilalışılacaktır

İleriye doğru ccediloumlzuumlm yolunda olduğu gibi birinci makina yine birinci aşamaya ikinci makina ikinci aşamaya uumlccediluumlncuuml makina da uumlccediluumlncuuml aşamaya karşılık gelmektedir Ancak sondan başa doğru gelinerek ccediloumlzuumlm yapılacağından işleme uumlccediluumlncuuml aşamadan başlanması gerekecektir

Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin sistemin maliyet değerleri bu aşamanın herbir durumu iccedilin soumlz konusu olan maliyet katsayılarına eşittir Yani f3 (X )= c3 (x3 ) olmaktadır

Burada x3 uumln alabileceği tuumlrluuml değerler iccedilin f3 (X)in değerleri aşağıdaki gibi olacaktır


X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14

10 10 16 16Uumlccediluumlncuuml aşama iccedilin yapılması gereken başka bir işlem kalmadığından şimdi sıra ikinci aşama iccedilin gerekli işlemlerin yapılmasına gelmiştir

Suumlrecin ikinci aşamadaki maliyet değerlerinin uumlccediluumlncuuml aşamanın maliyet değerleri ile ikinci aşamanın maliyet değerlerinin birlikte ele alınmaktadır Buna goumlre ikinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu

f2(X) = min [c2(x2) + f3(X-x3)] 0pound x2pound X yazılabilir Şimdi ikinci aşama iccedilin sayısal ccediloumlzuumlmlerin yapılmasına geccedililebilir X = 1 durumu iccedilinf2(1) = min [c2(x2) + f3(1-x2)] 0pound x2pound 1C2 (1)+f3 (0) = 2+0=2f2(1) = min C2 (0)+f3 (1) =0+4=4 Opound x2pound 1 X = 2 durumu iccedilinf2(2) = min [c2(x2) + f3(2-x2)] 0pound x2pound 2X = 3 durumundamin f2(3) = 4 Buna karşılık gelen durum değerleri ise x2 = 3 x3 = 0 olmaktadır X = 4 durumu iccedilin de bu değerler x2 = 4 x3 = 0 min f2(4) = 5rsquotir X= 5 durumunda ise x2 =5 x3 = 0 iccedilin


min f2(5) = 7rsquodir X= 6 durumu iccedilinx2 =6 x3 = 0 vemin f2(6) = 9X=7 durumu iccedilin seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır

1 seccedilenek x2 =7 x3 =0 2 seccedilenek x2 =4 x3 =3 3 seccedilenek x2 =3 x3 =4

durum değerleri iccedilinmin f2(7) = 11 bulunmaktadırX=8 durumu iccedilin x2 =4 x3 =4min f2(8) = 12 elde edilirX=9 durumunda doumlrt seccedilenek soumlz konusudur

1 seccedilenek x2 =5 x3 =4 2 seccedilenek x2 =4 x3 =5 3 seccedilenek x2 =3 x3 =6 4 seccedilenek x2 =0 x3 =9

min f2(9) = 14 bulunurX=10 durumu iccedilinx2 =4 x3 =6min f2(10) = 15 elde edilirBoumlylece ikinci aşama iccedilinde sayısal değerler elde edilmiş oldu Şimdi elimizde ccediloumlzuumlm değerleri hesaplanması gereken yalnız birinci aşama kaldıİkinci aşamada izlenen youmlntemin aynısı birinci aşama iccedilinde izlenerek ccediloumlzuumlm değerleri bulunabilirBirinci aşama iccedilin doumlnuumlşuumlm fonksiyonu f1(X) = min [c1(x1) + f2 (X-x1)] 0pound x1pound X yazılabilirŞimdi Xrsquoin alacağı tuumlrluuml değerler iccedilin bu fonksiyonun değerlerini belirleyelimX=1 durumu iccedilinf1(1) = min [c1(x1) + f2 (1-x1)]0pound x1pound 1C1(0)+f2 (1) = 0+2=2f1(1) = min C1 (1)+f2 (0) =1+0=1 Opound x1pound 1 X=2 yani 2 birim uumlruumln uumlretileceği durumdaf1(2) = min [c1(x1) + f2 (2-x1)]Opound x1pound 2C1(0)+f2 (2) = 0+3=3f1(2) = min C1 (1)+f2 (1) =1+2=3 C1 (2)+f2(0) =2+0=2


Opound x1pound 2Bu suumlreccedil takip edilerek diğer durumlar iccedilin elde edilen ccediloumlzuumlmler aşağıdadırX=3 durumunda seccedilenekli ccediloumlzuumlm ortaya ccedilıkmaktadır Seccedilenekler sırasıyla şoumlyledir

1 seccedilenek x1=0 3- x1=3 2 seccedilenek x1=1 3- x1=2 3 seccedilenek x1=2 3- x1=1 4 seccedilenek x1=3 3- x1=0

f1(3)=4rsquotuumlrX=4 durumu iccedilin seccedilenekler

1 seccedilenek x1=0 4- x1=4 2 seccedilenek x1=1 4- x1=3 3 seccedilenek x1=2 4- x1=2

f1(4)=5rsquotirX=5 olduğunda seccedilenekler

1 seccedilenek x1=1 5- x1=4 2 seccedilenek x1=2 5- x1=3

f1(5)=6rsquodırX=6 durumunda


f1(6)=7 bulunurX=7 durumunda


f1(7)=9 bulunurX=8 durumu iccedilin ccediloumlzuumlm yapıldığında


f1(8)=11X=9 durumu iccedilin de maliyet fonksiyonunun değerini en kuumlccediluumlkleyen beş seccedilenek ortaya ccedilıkmaktadır Bu seccedilenekler

1 seccedilenek x1=1 9- x1=8 2 seccedilenek x1=2 9- x1=7 3 seccedilenek x1=3 9- x1=6 4 seccedilenek x1=4 9- x1=5 5 seccedilenek x1=5 9- x1=4

Bu seccedileneklere karşılık gelen maliyet değerif1(9)=13 olmaktadırX=10 durumunda isex1=2 10- x1=8f1(10)=14 elde edilmektedirBoumlylece birinci aşama iccedilin de ccediloumlzuumlm değerlerini hesaplamış olduk


Her uumlccedil aşamada elde edilen durum ve maliyet değerleri kullanılarak Tablo 2 duumlzenlenmiştir Bu tablo her makinanın işlemesi gereken en uygun uumlretim miktarlarının ve bunlarla ilgili maliyet değerlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır

Tablo 2den goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretim en az 14 birimlik bir toplam maliyete yol accedilmaktadır Bu durumda x1= 2dir Bu da bize toplam 14 birimlik maliyetle uumlretimin yapılabilmesi iccedilin 2 ton malın birinci makinada uumlretilmesi gerektiğini goumlstermektedir Soumlz konusu iki ton malın birinci makinadaki uumlretim maliyeti 2 birimdir Bu değeri toplam maliyet değerinden ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır Bu maliyet değeri de geri kalan 8 ton malın uumlretim maliyetine karşılık gelmektedir

Tablo 2 Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml


Miktarı(ton) x3 f3(X) x2 F2(X) X1 F1(X)

0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14

Tablodan goumlruumlleceği uumlzere on tonluk uumlretimin en kuumlccediluumlk toplam maliyet değeri 14 tondur Bu durumda x1= 2 yani uumlretimin 2 birimi birinci makinada uumlretilecek demektir Soumlz konusu iki ton uumlruumlnuumln birinci makinadaki uumlretim maliyeti iki birimdir Bu değeri toplam maliyetten ccedilıkardığımızda geriye 12 birimlik bir maliyet kalmaktadır

12 birimlik maliyete karşılık gelen ikinci makinanın optimal uumlretim miktarı (tablodan goumlruumllduumlğuuml uumlzere) 4 tondur 4 tonluk uumlretim ikinci makinada 5 birimlik bir maliyeti gerektirmektedir İkinci ve uumlccediluumlncuuml makinanın toplam uumlretim maliyeti olan 12 birimden bu 5 birimlik maliyet ccedilıkarıldığında uumlccediluumlncuuml makinanın 4 birimlik uumlruumln uumlretebilmek iccedilin gereksinim duyduğu 7 birimlik maliyet değeri elde edilir Geriye kalan 4 tonluk uumlretim de uumlccediluumlncuuml makinada yapılacaktır Sonuccedil olarak optimal uumlretim planı aşağıdaki gibi yazılabilir Herbir makinanın işlemesi gereken yapağı miktarı

x1=2 ton C1(x1)= 2 birimx2=4 ton C2(x2)= 5 birimx3=4 ton C3(x3)=7 birim


toplam maliyet f(X) = 14 birimElde edilen sonuccedillardan goumlruumllduumlğuuml gibi problemin ccediloumlzuumlmuumlnde kullanılan her iki yol da (tuumlmevarım tuumlmdengelim) aynı sonucu vermektedir

SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)Temel olarak ccedilalışmalarında kesinlik bulunmayan algoritmalar ya her zaman aynı performans ile ccedilalışmaz ya da her zaman sonuccedil vermeyi garanti etmez ancak yine de problemi iyileştirme (optimisation) iccedilin kullanışlı algoritmalardır Bilgisayar bilimlerinde sezgisel (heuristics) bir yaklaşımın problem ccediloumlzuumlmuumlne uygulandığı algoritmalardır Uygulanan youmlntemin doğruluğunun ispat edilmesi gerekmez tek istenen karmaşık bir problemi daha basit hale getirmesi veya algoritmanın tatmin edici bir sonuccedil bulabilmesidir

Genel olarak bir problemin ccediloumlzuumlmuuml sırasında bilgisayar bilimlerinde iki amaccediltan birisi guumlduumlluumlr Ya problemin ccediloumlzuumlmuuml hızlı olmalı ve her zaman iccedilin bu ccediloumlzuumlm elde edilebilmelidir Bu sebepten dolayı en koumltuuml durum (worst case) analizi sıkccedila yapılmaktadır

Sezgisel algoritmalarda bu guumlduumllen iki ihtimalden birisi goumlz ardı edilir Yani ya probleme hızlı bir ccediloumlzuumlm uumlretilir ama problemi her zaman ccediloumlzeceği garanti edilemez ya da problemi makul bir zamanda ccediloumlzer ama her zaman aynı hızda ccediloumlzuumlleceği garanti edilmez

Sezgisel algoritmalar gerccedilek hayatta her guumln kullandığımız yaklaşımlardır Oumlrneğin bir yerden başka bir yere giderken youmln duygumuza dayanarak ve yolun bizi nereye ccedilıkaracağını hiccedil bilmeden hareket etmek ve yol ayrımlarında sezgisel olarak seccedilim yapmak boumlyle bir yaklaşımdır

Uumlstsezgisel algoritmalar ise bu sezgisel algoritmalar uumlzerinde ccedilalışan bir karar mekanizmasıdır Yani bir problem iccedilin 3 farklı youmlntem kullanabileceğimizi ve bu youmlntemlerin hepsinin farklı accedilılardan avantajlı olan sezgisel algoritmalar olduğunu duumlşuumlnelim Bu sezgisel youmlntemlerden hangilerinin seccedilileceğinin seccedililmesine metaheuristic (sezgi uumlstuuml) algoritma ismi verilir

Guumlnuumlmuumlzde pek ccedilok alanda ccediloumlzuumlm iccedilin birden fazla youmlntem geliştirilmiş ve bu youmlntemler probleme goumlre iyileştirilmiştir Ancak bir problem iccedilin birden fazla olan ccediloumlzuumlm youmlntemleri arasında seccedilim yapma ihtiyacı bu yolla ortadan kaldırılmış olur Basitccedile bir sezgi uumlstuuml algoritma bu algoritmalar arasında seccedilim yapmakta ve en başarılı olanı ccedilalıştırmaktadır

Algoritma seccedilimine karar veren bu mekanizma ise ccediloğu zaman istatistiksel verilere dayanarak ccedilalışmaktadır Ancak bu algoritmanın da sezgisel olarak yazıldığı durumlar mevcuttur

Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı

Mustafa Oumlzguumlr Beyrsquoin yorumu uumlzerine bu başlığı ekleme ihtiyacı duydum Terim ve anlam olarak birbirine ccedilok yakın olan meta heuristic (uumlst setgisel algoritmalar) ve hyper heuristic (hiper sezgisel algoritmalar) arasındaki ayrım aslında bir probleme ccediloumlzuumlm aranılan uzaya goumlre farklılaşmaktadır Yani iki yaklaşımda da bir probleme sezgisel olarak (heuristic) ccediloumlzuumlm aranmakta fakat iki yaklaşımdaki ccediloumlzuumlm aranan uzaylar farklı olmaktadır


Basitccedile sezgi uumlstuuml algoritmalarda (meta heuristic) arama işlemi problemin ccediloumlzuumlm kuumlmesinde (search space) yapılırken hiper sezgisel (hyper heuristic) algoritmalarda arama işlemi sezgisel uzayda (heuristic search space) yapılır

Bu anlamda hiper sezgisel bir yaklaşımda problemin ccediloumlzuumlmuumlnden daha ccedilok hangi sezgisel algoritma ile ccediloumlzuumlme daha verimli ulaşılabileceğine karar verilmeye ccedilalışılır Yani bir problemin birden fazla sezgisel ccediloumlzuumlmuuml varsa bunlardan hangisinin daha başarılı olacağına karar verilmesine hiper sezgisel (hyper heuristic) ismi verilir

Buna karşılık sezgi uumlstuuml algoritmalar (meta heuristic algorithms) probleme getirilen sezgisel yaklaşımı bir kara kutu (black box) olarak kabul eder ve ccediloumlzuumlm iccedilin geliştirilen bu algoritmanın detayıyla ilgilenmez Tek yaptığı ccediloumlzuumlmde kullanılan bir yada daha fazla fonksiyonu en verimli şekle getirmeye ccedilalışmaktır Bu fonksiyonlara hedef fonksiyon (goal function objective function) ismi verilir

Bu ayrımı bir şekil ile ifade edecek olursak hiper sezgisel yaklaşım iccedilin

Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere aynı problemde ccediloumlzuumlme ulaşmak iccedilin kullanılan ccedilok sayıdaki sezgisel algoritmadan hangisinin seccedilileceğine hiper sezgisel algoritma karar vermektedir Benzer şekilde birden fazla sezgisel algoritmanın arka arkaya uygulanması gibi durumlarda da karar veren algoritmaya hiper sezgisel algoritma ismi verilir

Uumlst sezgisel algoritma ise


Yukarıdaki şekil ccedilizilebilir Şekilde goumlruumllduumlğuuml uumlzere uumlst sezgisel algoritmaya konu olan sezgisel algoritma bir tanedir Uumlst sezgisel algoritma bu sezgisel algoritmanın uumlzerinde ccedilalışarak bu algoritmayı verimli hale getirmeye (optimisation) ccedilalışır Bunun iccedilin de genellikle algoritmanın bir fonksiyonunu (ki bu fonksiyona hedef fonksiyon (goal function objective funtion) ismi verilir) iyileştirmeye ccedilalışır

Bu anlamda uumlst sezgisel algoritmanın konusu sanki giriş ve ccedilıkış değerlerine goumlre bir kara kutuya (black box) benzetilebilir

Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar

Yukarıdaki farkı araştırırken karşılaştığım bir yaklaşımda hem uumlst sezgisel hem de hiper sezgisel yaklaşımların birleştirilmiş olduğu ccediloumlzuumlm modelleri oldu Bu yaklaşımda hem kullanılan sezgisel algoritmaların verimlileştirilmesi iccedilin hedef fonksiyonlara ( goal function objective function) muumldahale edilmekte hem de bu algoritmalar arasından seccedilim yapılmaktadır

OLASILIKLI MODELLERTahmin Yapmak

Bağıntı değerlendirmesinde bir bağımlı oumlğe bir veya daha fazla bağımsız değişkene parametreleri hesaplanabilen bir matematiksel fonksiyonla ilişkilendirilebilir

Uygulanan youmlntem bağımlı değişkenin iki durumlu olduğu durumlarda regresyon analizinde kullanılmasıdır Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır Bunlar

Doğrusal Olasılık Modeli

Logit (Lojistik) Modelirsquodir (Tarı 1999233)


Bu uygulamada uumlccediluumlncuuml bir grubu oluşturan Probit modeli ele alınmayacaktır Probit modelinin ele alınmamasının temel nedeni logit modelin probit modele goumlre daha iyi sonuccedillar uumlrettiği duumlşuumlncesidir (Gujarati 1995 563)

Doğrusal Olasılık ModeliYapısı gereği bağımlı değişkenlerin kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin

dummy bağımlı değişkenleri iccedileren bu youmlntemin nasıl olduğunu inceleyebilmek iccedilin

Y=α+β i X i+ei(1)

eşitliği ele alınır BuradaXi Bağımsız (accedilıklayıcı) değişkenYi Bağımlı dummy değişkenY=1 Fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunuY=0 Fakuumllteden beş veya daha fazla yılda mezun olma durumunu goumlstermektedir

ei Hata terimi olup N(0 σ 2

) Ortalaması 0 ve varyansı σ 2

olan bağımsız dağılımlı şans değişkenidir

Bağımlı değişkenlerin Yi kalitatif oumlzelliğe sahip olduğu durumlar iccedilin accedilıklayıcı değişken Xirsquo nin doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlayan (1) nolu modellere doğrusal olasılık modelleri denir

Ccediluumlnkuuml Xi verildiğinde Yirsquonin koşullu beklenen değeri E(Yi|Xi) Xi veriyken olayın gerccedilekleşmesinin koşullu olasılığı olarak yorumlanabilir (Tarı 1999234) Sapmasız tahmin edicilere ulaşmak iccedilin ei ortalaması sıfır olan rassal bir değişken olarak varsayıldığında E(e i) = 0 olduğu iccedilin

E(Yi|Xi)=α + βXi (2)

modeli elde edilir

Yi =1 Doumlrt yılda mezun olma durumu (olayın gerccedilekleşme) olasılığı (Pi)

Yi =0 Doumlrt yılda mezun olamama (olayın gerccedilekleşmeme) olasılığı (1-P i) olarak tanımlanırsa matematiksel beklenen değer tanımından

E(Y i )=sumY iP(Y i )=0times(1minusPi )+1times(Pi )=Pi(3)

değeri bulunur(Maskie 200148) (2) nolu model ile (3)rsquonolu modeller karşılaştırılıp model (4) elde edilir



olarak da ifade edilebilir

Boumlylece (1) norsquolu modelin koşullu beklenen değeri aslında Yirsquonin koşullu olasılığıdır

Bağımlı değişkenin bir olasılığı olarak doğrusal olasılık modeli aşağıdaki şekilde yazılabilir (İşyar 1999259)

Pi=iquest α+βX i eger 0ltα+βX ilt1 ise iquest iquest 1 eger α+βX ige1 ise iquest iquest iquestPi olasılığı 0 ile 1 arasında bulunacağından

0leE(Y i|X i )le1 veya 0 lt

α+β Xilt 1

şeklinde bir sınırlama zorunlu olduğundan koşullu olasılık 0 ile 1 arasında kalmalıdır

Regresyon modellerinde parametrelerin en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile bulunduğu bilinmesine karşın bağımlı değişkenin dummy değişken olduğu durumda oumlzel sorunlarla karşılaşılabilir Doğrusal olasılık modelinin sunduğu bu bilgilere rağmen bu modelin tahmini ve yorumuna ilişkin bazı eleştiriler vardır Bunlar (Tarı 1999237)

Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması

En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi hatanın normal olarak dağılmasını gerektirmez Ancak normal dağılma oumlzelliği oumlnem testleri yapabilmek iccedilin gereklidir Y i gibi eirsquoler de yalnızca iki değer (0 ve 1) aldığından ei iccedilin normalite varsayımı lineer olasılık modellerinde gerekli değildir

e i=Y iminusαminusβX iY i=1 iccedilin ei=1minusαminusβX i (5)

Y i=0 iccedilin e i=minusαminusβX i(6)

yazılabilir eirsquonin normal olarak dağıldığını varsaymanın zorluğuna karşın oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml sonsuz olarak arttıkccedila en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile yapılan tahminlerin genellikle normal olarak dağılmaya eğilimli olduğu (asimptotik oumlzellik) goumlsterilebilir (Gujarati 1995543)

Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır

E(ei )= 0 olmasına karşın eirsquolerin homojen varyanslı oldukları soumlylenemez (İşyar 1999261) Değişen varyanslı (Heteroscedastic) durumunda en kuumlccediluumlk kareler youmlntemini kullanmak uygun değildir Bunun yerine bu sorunu ccediloumlzen ve genelleştirilmiş en kuumlccediluumlk kareler


youmlnteminin bir ifadesi olan tartılı (ağırlıklı) en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılabilir (İşyar 1999261) eirsquolerin olasılık dağılımı aşağıda goumlruumllduumlğuuml gibidir

ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları

Yi ei Olasılık1 1minusαminusβ Xi Pi

0ndashα

-β

Xi1-Pi

Toplam 1Burada Pi model (5)rsquoin olasılığını oumllccediler Xirsquonin sabit olması varsayımına goumlre e irsquonin

olasılık dağılımı Yirsquonin olasılık dağılımına eşittir Hata payı (e i)rsquonin sıfır ortalamaya sabit olduğu varsayımına goumlre Pi olasılığı ile Xi arasındaki ilişki belirlenebilir

E( ei )=(1minusαminusβX i )lowastPi+(minusαminusβX i)(1minusP i)=0

Pi iccedilin ccediloumlzerek

Pi=α+βX i1minusPi=1minusαminusβX i

(7)

elde edilir

Hata payının varyansı ise E(ei) =0 varsayımı ile

Var(ei)=E(e2)=(-iXi)2(1-Pi)+(1-Xi)2(Pi) (8)Var()=E[

=

Var(iXi)2(1-iXi)+(1-iXi)2(iXi)=(iXi) (1-iXi)

Var(Yi |Xi)[1-E(Yi |Xi)]

=Pi(1-Pi) (9)

Burada E(Yi|Xi )=α+ β Xi=Pi

olmasından yararlanılmıştır (Gujarati1995543 Maskie 200150) (9) norsquolu model e irsquonin varyansının değiştiğini goumlsterir (denklemi hata payının heterojen varyanslı olduğunu goumlstermektedir) Ccediluumlnkuuml Y irsquonin koşullu beklenen değerine o da Xrsquoin aldığı değere bağlıdır En sonunda e i nin varyansı Xrsquoe bağlıdır dolayısıyla sabit değildir Boumlylece eirsquonin varyansı Xirsquoye bağlı olduğundan homojen varyanslı değildir Bu nedenle hetorojen varyans problemini ccediloumlzmenin ccedileşitli yolları vardır Bunlardan en basit olanı

a (1) nolu modelin her iki yanını radicWi

gibi bir katsayıya (tartı değeri) boumllerek

YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)

modeli elde edilir Burada


radicWi=radicE(Yi|Xi ) [1minusE(Yi|Xi )]

= radicPi(1minusPi )

dir

b Boumlylece sabit varyanslılık sağlanır

c Gerccedilek E(Yi|Xi) bilinmediği iccedilin wirsquoler de bilinmemektedir Wirsquoleri tahmin iccedilin şu doumlrt adımlı suumlreccedil izlenebilir

Değişen varyans sorununa karşın (1) nolu modeli klasik en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile

bulup Y

iquest= gerccedilek E( Yi|Xi)

iquestnin tahmini elde edilir

Sonra wirsquo nin tahmini wiquesti= Y

iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest

iquest değeri bulunur

Tahmin edilen wiquestiiquest kullanılarak verileri (10) nolu model gibi doumlnuumlştuumlruumlluumlr

Doumlnuumlştuumlruumllen verilere klasik en kuumlccediluumlk kareler regresyon modeli uygulanarak parametre değerleri tahmin edilir

Pi=E(Y=1|X i )Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması

Oumlrnek buumlyuumlkluumlğuuml arttıkccedila hata terimi normal dağılıma yaklaşsa ve değişen varyans durumunda ağırlıklı en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi kullanılsa da yukarıdaki c ve ii-nci maddelerdeki sakıncalar ortadan kalkmamaktadır Bu iki sakıncayı giderebilmek iccedilin logit ve

probit modelleri geliştirilmiştir Bu modeller hem 0leE(Y=1|X )le1

şartını sağlayabilmekte ve hem de Pi ile Xi arasındaki ilişkiyi doğrusallıktan kurtarabilmektedirler Yani logit ve probit modelleri farklı bağımsız X değişkeninin olasılığının 0 ile 1 arasında kalmasını sağladıkları gibi ayrıca değişik bağımsız değişkene ait belli bir artış karşısında bu bağımsız değişkenin kullanılma olasılığının değişik miktarda artmasını sağlamaktadırlar

R2 Değerinin Genellikle Kuumlccediluumlk Ccedilıkarak İlişkinin Uyumunu Goumlsteren Bir Oumllccediluuml Olamaması

Geleneksel yolla hesaplanan R2 iki uccedillu tepki değişkeni modellerinde sınırlı bir yarar sağlar Belli bir Xrsquoe karşılık gelen Y ya 0 ya da 1rsquodir Oumlyleyse buumltuumln Y değerleri ya X ekseni ya da 1rsquoin hizasındaki doğru uumlzerinde yer alır Genellikle klasik En Kuumlccediluumlk Kareler youmlntemi ile hesaplanan R2 boumlyle modellerde 1rsquoden ccedilok kuumlccediluumlk ccedilıkma eğilimindedir Ccediloğu uygulamada R2 02 ile 06 arasında yer alır Tahmin edilen Yi ya 0rsquoa ya da 1rsquoe yakın ccedilıkacaktır


Bu nedenle John Aldrich ile Forrest Nelson lsquoNitel bağımlı değişkeni olan modellerde belirlilik katsayısının bir oumlzetleme istatistiği olarak kullanılmasından kaccedilınılması gerektiğini ileri suumlrmektedir (Gujarati 1995546)

0leE(Y i|X i )le1 Koşulunun Sağlanamaması

Lineer olasılık modellerinde E(Yi |Xi) X verildiğinde Yirsquonin koşullu olasılığı olduğunda 0 ile 1 arasında bulunmak zorundadır E (Y i|Xi)rsquonin bu koşulun dışına ccedilıktığı goumlruumllebilir Bu lineer olasılık modellerinde En Kuumlccediluumlk Kareler ile tahmin yapmanın en oumlnemli problemidir Bu problemi ccediloumlzmenin iki yolu vardır Birincisi sıfırdan kuumlccediluumlk Pirsquoleri Pi = 0 birden buumlyuumlk Pirsquoleri Pi

=1 olarak almak İkinci yol ise Pirsquonin 0 ile 1 arasında kalmasını sağlayacak olan aşağıdaki geliştirilmiş Logit Modeli tekniğini uygulamaktır

Logit ModelGuumlnuumlmuumlzde nitel değişkenlerden oluşan dummy verileri analiz etmek iccedilin ccedileşitli

teknikler kullanılmaktadır Yapılan bu ccedilalışmada dummy verileri analiz etmek iccedilin log-linear modeller kullanılacaktır Log-linear modeller iki veya daha fazla dummy değişkenin koşullu ilişkisini analiz etmek iccedilin geliştirilmiştir Bununla birlikte log-linear modeller sayesinde değişkenlerin oluşturduğu bileşik dağılımı iki veya daha fazla değişkenin birbirine bağımlı olup olmadığını ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi neden-sonuccedil ilişkisine dayandırmaksızın test etmek muumlmkuumlnduumlr

Logit modeller genelleştirilmiş doğrusal modelin belirli koşullar altında oluşturulmuş oumlzel durumlarıdır Bu durumda yapılacak olan ccedilalışmada eğer bağımsız değişkenlerin bazısı suumlrekli veya uygun (ilgili) sınıflar iccediline ayrıştırılamazsa o zaman log-linear analiz yerine logistik regresyon kullanılmalıdır Aynı zamanda eğer değişkenlerin bazısı bağımlı olarak ele alınırsa o zaman logit model uygundur

Boumlyle bir durumda 0rsquola 1 arasında kalma koşulunu sağlayabilmek iccedilin logit modelin uygulanması oumlnerilmektedir Logit model bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir istatistiksel youmlntemdir

Logit model bağımsız değişken değeri sonsuza gittiği zaman bağımlı değişkenin 1rsquoe asimptot olduğu matematiksel bir fonksiyondur

Pi=E(Y=1|X i )=α+βX i(11)


Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir

Pi accedilıklayıcı değişken (Xi) hakkında bilgi verirken i-nci bireyin belirli bir tercihi yapma olasılığını ifade etmektedir

Zi = α+β Xi

e = 271828rsquodir (Oumlzdamar 1999477)

(12) nolu model logit model olarak adlandırılır X hangi değerleri alırsa alsın fonksiyondaki eksponansiyel terim daima pozitif olacağı iccedilin P irsquo nin alt sınırı da 0 olur Olasılık

iccedilin gerekli olan 0iquest

Pi iquest

1 koşulunu bu fonksiyon sağlamış olur Logit dağılım fonksiyonu diye

adlandırılan Zi değişkeni -infin

ile +infin

arasında değer aldıkccedila Pi de 0 ile 1 arasında değerler

alacak ve Pi ile Zi arasındaki ilişki doğrusal olmayacaktır Boumlylece 0iquest

Pi iquest

1 ve Zi ile Pi

arasındaki ilişkinin doğrusal olmama şartları yerine gelmiş olacaktır Fonksiyonun

belirlenmesi iccedilin α

ve β

parametreleri en kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile doğrudan tahmin edilemez Oumlnce ilişki uumlzerinde bazı işlemler yaparak doğrusal bir ilişki elde etmeye

ccedilalışılacaktır Bu amaccedilla (11) nolu model α

ve β

rsquo ya goumlre ccediloumlzuumllerek modelin tahmini iccedilin

Pi Doumlrt yılda mezun olma olasılığı

1-Pi Doumlrt yılda mezun olamama olasılığıdır

Pi= 1

1+eminusZi

eşitliğinin her iki yanı (1+eminusZi

) ile ccedilarpılarak

(1+eminusZi

)Pi=1(13)

elde edilir Şimdide Pi ile boumlluumlp 1 ccedilıkartılarak

eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)

goumlsterilebilir Bu eşitlik bize doumlrt yılda mezun olma olasılığının doumlrt yılda mezun olamama olasılığına olan oranını verir Aynı zamanda bu oran bahis oranıdır (odds ratio) (15) nolu modelin e tabanına goumlre doğal logaritması alınarak

ln (Pi

1minusPi )= lneZi=Zi=α+β Xi(16)

elde edilir Yani bahis oranının logaritması Li yalnız Xrsquo e goumlre değil (katsayı tahmini bakımından) anakuumltle katsayılarına goumlre de doğrusaldır Lirsquoye logit denir (16) nolu modellerin adı olan logit modeli de buradan gelir Bu parametrelerin tahmininde doğrusal bir ilişki işlemi goumlrebilecek yarı logaritmik bir fonksiyondur

Modeldeki parametreleri tahmin etmek iccedilin Li fonksiyonu

Li=ln ( P(Y )1minusP(Y )

)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)

şeklinde yazılırα

ve β1 β p

regresyon katsayılarıdır Pi=1 ve Pi=0 değerleri

logit Lirsquo deki yerine koyulduğunda ln ( 1

0)ve

ln ( 01) değerleri elde edilir ki bunlar anlamsızdır

En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile Li fonksiyonundaki parametrelerin tahmin değerleri bulunamaz fakat bu parametreler maksimum olabilirlik modeli ile tahmin edilebilir

Sınıflama ve atama işleminin olduğu normal dağılım varsayımı suumlreklilik varsayımı oumln koşulunun olmadığı gibi durumlarda verilerin Logit modeli ile analiz edilmesi gerekir

Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi

SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet

(X1)Lise Tuumlruuml (X2) Sayısal Net Sayısı (X3)

1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950

Mezuniyet Durumu(Y) 1= Doumlrt yılda 0= Beş ve uumlzeri yıl

Lise Tuumlruuml 1= Klasik 2= Meslek 3= Oumlzel Anadolu Fen

Cinsiyet 1= Bayan 2= Bay


Araştırma ve Bulgular

Oumlrnek veri olarak Niğde Uumlniversitesi İİBF İşletme ve İktisat boumlluumlmlerinden alınan mezun olmuş durumda bulunan 100 oumlğrenciye ait değerler kullanılmıştır

Verilerin SPSS 100 paket programında doğrusal regresyon işlemine tabi tutulmasıyla aşağıdaki değerler elde edilmiştir

En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Tahmin Edilen Parametre Değerleri

Değişkenler St Hata t Anlam Duumlz

Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710

Lise Tuumlruuml 0091 0071 0127 0207

R2 0060

Bu değerler ışığında oluşturulan doğrusal regresyon modeli aşağıdaki biccedilimdedir

Y=α+β Xi+ei

1 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olmuşsa

Y= 0 Oumlğrenci doumlrt yılda mezun olamamışsa

X1=Oumlğrencinin cinsiyeti

X2=Oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml

X3 = Oumlğrencinin Uumlniversiteye giriş (OumlYS) sınavındaki sayısal neti

ei= Hata terimirsquodir

Yiquest=0 334minus0 04X

1+0 091 X

2+0 02X

3iquest

denklemi kurulabilir

Oumlrneğin Cinsiyeti erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı

Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046

46 olarak bulunacaktır Buna karşılık Cinsiyeti Kız (1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti 575 puan olduğunda oumlğrencinin ilgili fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı


Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050

50 olarak hesaplanacaktır

Boumlylece farklı giriş puanları iccedilin farklı olasılıklar bulunabilir 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartının yerine gelmemesi durumu da soumlz konusu olabilecektir Oumlrneğin cinsiyeti kız(1) Lise tuumlruuml klasik lise(1) ve sayısal neti3175 puan olan oumlğrenci iccedilin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığı

Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102

102 Olacaktır Bu rakam 1rsquo den buumlyuumlk olduğu iccedilin 0ltE(Yi|Xi)lt1 şartına aykırıdır

Lise tuumlruuml bağımsız değişkeninin ışığında hesaplanabilecek bağımlı değişkene ilişkin olasılık değerleri de şoumlyle bulunabilir

Bağımlı Değişken Mezuniyet durumu (Y1)

Oumlğrenci klasik lise mezunu ise X2 =1

Meslek lisesi mezunu ise X2=2

ve Oumlzel lise Anadolu veya Fen lisesi mezunu ise X2=3 olur

En kuumlccediluumlk kareler youmlntemi ile elde edilen bazı oumlrnek bulgular şoumlyledir

a) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)

Sayısal neti 4 puan

Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465

b) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi (2)


Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556

c) Cinsiyeti kız (1) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)


Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647

Buna karşılık cinsiyet değişkeninin ve lise tuumlruuml değişkenlerinin değiştirilmesi halinde

a) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Klasik lise (1)



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98

b) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Meslek (2)


Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071

c) Cinsiyeti Erkek (2) Lise tuumlruuml Oumlzel okul (3)


Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162

olacaktır Burada kullanılan bağımsız değişken değerleri ve bunlar karşılığında bulunan değerlerle ilgili tablo aşağıdadır

En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları

Cins Lise Tuumlruuml Say Net Doumlrt Yılda Bit Olas ()E(2) Klasik(1) 575 46

K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647

Yukarıdaki bulgulardan da goumlruumllebileceği gibi doğrusal regresyon modelinden elde edilen bazı olasılık değerleri 1 (100) rakamının sağına duumlşmektedir Oysa olasılık değerinin 1rsquoden buumlyuumlk olamayacağı ortadadır

Burada 0ltE(Y=1|X)lt1 şartını sağlayabilmek iccedilin logit modeli uygulanacaktır Doğrusal olasılık modeline goumlre oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişki

Pi=E(Y=1|Xi )=β1+β2Xi şeklinde goumlsterilmişti Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt

yılda mezun olma olasılığı ile sayısal net arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi goumlsterilebilir


Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest

O zaman denklem aşağıdaki biccedilimde olacaktır

Pi

iquest=1

1+eminus(0213+0 158 Ximinus0953 X 2+0 095 X 3)

iquestSPSS paket programın da Logit Li iccedilin şu regresyon bulunur

Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Değerleri

Değişkenler β St Hata Sd Anlam DuumlzSabit 0213 1036 1 0837

Sayısal Net 0095 0052 1 0067Cinsiyet 0158 0465 1 0734

Lise Tuumlruuml1 -0953 0839 1 0256Lise Tuumlruuml2 -0595 0934 1 0524Lise Tuumlruuml3 0 0 2 0451

Yukarıdaki değerler ışığında bulunacak olasılık değerlerinin 100 değerinin oumltesine duumlşuumlp duumlşmediği kontrol edilir Oumlrneğin

Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Klasik lise mezunu olan bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı

P

iquest= 1

1+eminus2 434

iquest =0919 919 olur Herhangi bir giriş puanı iccedilin mezun olma

olasılığı tahmin edilebilir

OumlrneğinCinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 3175 puan olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı

P

iquest= 1

1+eminus25925

iquest=09304 9304 olur

OumlrneğinCinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı

P

iquest= 1

1+eminus0273

iquest =05678 5678 olur


Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı

P

iquest= 1

1+eminus0 431

iquest=0606 606 olacaktır

Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin ise fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı ilgili formuumll ışığında

P

iquest= 1

1+eminus0 036

iquest =0501 501 olacaktır

Oumlrneğin Cinsiyeti Kız(1) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı

P

iquest= 1

1+eminus1 226


Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml oumlzel lise(3) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci oumlzel lise mezunu (Xi=3) ise oumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı

P

iquest= 1

1+eminus1 384


Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve Sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı

P

iquest= 1

1+eminus0 431

iquest=06061 6061 bulunur

Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 9 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci meslek lisesi mezunu (Xi=2) iseoumlğrencinin doumlrt yılda fakuumllteden mezun olma olasılığı

P

iquest= 1

1+eminus0 194

iquest=05483 5483rsquotir

Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Klasik lise(1) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Oumlğrenci duumlz lisesi mezunu (Xi=1) ise oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı


P

iquest= 1

1+eminus1 666


Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Meslek lisesi(2) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Goumlruumllduumlğuuml gibi bu oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı

P

iquest= 1

1+eminus1 429

iquest=08067 8067rsquodir

Oumlrneğin Cinsiyeti Erkek(2) Lise tuumlruuml Oumlzel lise(3) ve sayısal neti 22 olan bir oumlğrenciyi ele alalım Bu oumlğrencinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığı olarak

P

iquest= 1

1+eminus2 619


Kullanılan bağımsız değişken değerlerine ve bunlar karşılığında bulunan tuumlm bu değerlere ilişkin tablo aşağıdadır

Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları

Cins Lise Tuumlruuml Say Neti Doumlrt Yılda Bit Olas()

K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321

Bu tablodan da goumlruumllebileceği gibi bulunan tuumlm değerler 0 ile 1 aralığında olmakta ve boumlylelikle doğrusal regresyon modelince sağlanamayan olasılık değerlerinin 0 ile 1 aralığında olma kuralı boumlylelikle sağlanmış olmaktadır


X=22 puan ile X=9 puan arasındaki fark (Δx=13)

iccedilin

Δ piquest=0 799minus0 932=0 133

iquest

X= 3175 ile X=9 arasındaki fark

(Δx=2275iccedilinΔ p

iquest=0 919minus567=0 352

iquest değerleri bulunur

Farklı sayısal net puanları puandaki belli bir miktar artış (oumlrneğimizdeΔΧ=13 )

mezun olma olasılığını değişik miktarlarda artırmaktadır Bu olasılık duumlşuumlk puanlarda az orta ve yuumlksek puanlarda eşit miktarda artmaktadır

Bu model iccedilin elde edilen bulgulara goumlre de oumlğrencinin mezun olduğu lise tuumlruuml oumlğrencinin fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma olasılığını buumlyuumlk oumllccediluumlde artırmakta olduğu soumlylenebilecektir

Aynı şekilde oumlğrencinin cinsiyetinin de fakuumllteden doumlrt yılda mezun olma durumunu kısmen etkilediği soumlylenebilecektir Kız oumlğrencilerin erkek oumlğrencilere goumlre belirgin bir uumlstuumlnluumlğuuml goumlruumllmektedir

Okullar arasında da başarı konusunda ilk sırayı uumlccediluumlncuuml kategori (Anadolu Fen Suumlper Liseler) almakta bunu meslek liseleri izlemektedir Oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirebilmesi konusunda klasik lisenin etkisi diğerlerine goumlre minimum olmaktadır

OumlYSrsquode yapılan sayısal net sayısı buumlyuumlkluumlğuuml oranında oumlğrencinin fakuumllteyi doumlrt yılda bitirme olasılığını etkilemektedir

KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU

Kritik youmlruumlnge (CPM) ve PERT metotları geliştirilmeden oumlnce yatırımların iş programları ccedilubuk (Gantt) metoduna goumlre yapılmakta idi Bu metot bazı hallerde faydalı olmasına rağmen faaliyetlerin birbirlerine goumlre lojik bağlantılarını goumlstermekten yoksundur Her ne kadar bir faaliyet bitmeden diğerinin başlayamayacağı bazı faaliyetlerin aynı zamanda devam edebileceği vb gibi basit kurallar ccedilok karışık olmayan projelerde bu metotta da goumlz oumlnuumlne alınmakta ise de hangi faaliyetlerin kesin suumlresinde bitmesinin zorunlu olduğunu yatırımın toplam suumlresine hangilerinin daha ccedilok etkidiği en ekonomik suumlrenin nasıl bulunacağı yatırımın suumlresinin kısaltılmasıyla maliyeti arasındaki bağıntının nasıl değiştiğinin cevapları alınmaktadır

1957 yıllarında gelişen ihtiyaccedillara cevap vermek uumlzere İngilterersquode Central Electricty Generating Boardrsquoun Operations ndash Research kısmı bir kuvvet santralının tevsii inşaatında


ldquokısaltılamayan en uzun suumlreli faaliyetlerrdquo diyebileceğimiz bir metot geliştirdiler 1958 yılında ise bu metodu duumlzelterek ve başka bir kuvvet santralına tatbik ederek yatırım suumlresini 40 kısaltmayı başardılar

Aynı tarihlerde Amerika Birleşik Devletlerinde bu problemle uğraşılmaya başlanmıştır 1958 yılınınbaşında ldquoUS ndash Navy Special Projects Officerdquo adlı bir buumlro kurularak planlama ve kontrol iccedilin yardımcı olabilecek ccedilareler araştırmaya başladılar Ccedilalışmalarını kısa adı PERT olan ldquoProgram Evaluation Research Taskrdquo ismi ile accedilıkladılar 1958 Şubatında bu grubun matematikccedililerinden Dr CE Clark ilk defa teorik ccedilalışmalarını grafik goumlsteriliş haline getirerek ldquook diyagramırdquo diye anılan faaliyet şebekesini kurmuştur

Ccedilalışmalar buumlyuumlk gelişmeler kaydederek Temmuz 1958rsquo de şimdiki PERT metodu diye adlandırılan ldquoProgram Evaluation and Review Techniquerdquo metodu tamamlanmıştır Benzer ccedilalışmalara ABD Hava Kuvvetlerinde de rastlanmaktadır 1958 yılında Du Pont de Nemours Company adlı kimyasal yatırımlar yapan firma ccedilok buumlyuumlk bir yatırımın planlanması ve yuumlruumltuumllmesinde ldquoCritical Path Methodrdquo kısa adıyla CPM adı verilen yeni bir sistem uygulanmıştır Bu metot sayesinde firma birkaccedil yıl iccedilinde milyonlarca dolar tasarruf sağlamayı başarmıştır

1959 da Dr Mauchly CPM metodunu basitleştirerek enduumlstri yatırımlarına tatbik edilebilir hale getirmiştir 1958 yılından beri bilhassa ABD de bu metotların geliştirilmesi ve duumlzeltilmesi iccedilin yoğun ccedilalışmalar yapılmıştır Elektronik hesap makinalarının uygulamalı alanlara girmesinden sonra CPM ve PERT metotlarıyla buumlyuumlk ve uzun vadeli yatırımların kapasite dengelenmesi maliyet kontroluuml vb işlerin yapılması muumlmkuumln olmuştur Buguumln ccedileşitli maksatlar iccedilin hazırlanmış ccedilok sayıda Elektronik hesap makinası programları her cins yatırımın daha ccedilabuk ve daha ekonomik sonuccedillandırılmasına yardımcı olmaktadırlar

Planlama Teknikleri

Başlıca iş programlama ve planlama teknikleri şunlardır1 Ccedilubuk diyagramlarıyla planlama ( Bar Charts-Gantt Chart)2 CPM ndash Kritik Yol Youmlntemi (Critical Path Method)3 PERT ndash Seccedilenekli Değerlendirme Youmlntemi (Program Evaluation and Review Technique)4 Kutu Diyagramlarıyla Planlama (Precedence Diagram)5 LOB Denge ve Devre Diyagramlarıyla Planlama6 Kaynak Kullanımı Kaynak Atama Youmlntemleri (Resource Allocation Resource Assignment)

Ccedilubuk DiyagramlarıPlanı yapılan projenin işlemleri birer yatay ccedilubuk şeklinde boumlluumlmlenmiş bir tablo uumlzerinde birbirini izleyecek tarzda ccedilizilir En son işlemin bitiş noktası aynı zamanda projenin


tamamlanma suumlresini verir Ccedilok sağlıklı bir planlama tuumlruuml değildir ancak ccedilok basit olarak projenin akışının kontroluumlnuuml muumlmkuumln kılabilir

Ccedilubuk diyagramlar ile ilgili uygulama oumlrneği

Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak yalnızca bir bloktan oluşan 4 katlı (temel ve ccedilatı dahil) yapının şantiye youmlntemi iccedilin Ccedilubuk Diyagram iş programını yapınız ve verilen iş kalemlerine goumlre kaba inşaatın tamamlanma suumlresini hafta bazında yaklaşık olarak bulunuz

Her bir işlem hafriyat hariccedil 10rsquoar kişiden oluşan bir ekiple gerccedilekleştirilecektir Yukarıdaki değerler 1rsquoer işccedili iccedilin verilmiştir

bull Hafriyat ve kalıp aynı ayna başlayabilmekte ve bağımsız yuumlruumltuumllmekte izleyen diğer işlemler birbirine bağlı ve aralıksız devam etmekte (demir ve beton) bundan sonra 15 priz ve kalıp bekleme ara termini bırakılmakta ve ardından duvar ekibi aralıksız ccedilalışabilmektedir

bull Guumlnde normal 8 saat ccedilalışma ve fazla ccedilalışma olarak da 2 saat ccedilalışılmaktadır

bull Her bir işlem 85 verimlilik faktoumlruumlne mutlaka boumlluumlnecektir

bull Ccedilalışma mevsimi başlangıcı 15 mart 2003 ve sonu 30 aralık 2003 alınacak bu 9 ayda haftalık 6 guumln ayda da 4 hafta ccedilalışıldığı 30 aralık ile 15 mart arasındaki 25 aylık doumlnemde boş beklendiği kabul edilecektir taşan işler bir sonraki seneye devredilecektir

bull Ccedilizelge haftalık 1048774aylık1048774yıllık ccedilalışma programı şeklinde duumlzenlenecektir


Haftalık olarak işlem suumlrelerinin bulunması (her bir kat iccedilin)

Yaklaşık olarak kaba inşaatın tamamlanma zamanı Aralık 2003 ayının 3 haftasının son guumlnleridir Toplam ccedilalışma suumlresi 37 haftadır

CPM (Kritik Yol Metodu)Bir yatırımın planlamasında yatırımın unsurlarını oluşturan ana faaliyetlerin suumlre maliyet ve

kapasite bakımından programa ve neticeye etkime miktarlarının bilinmesi ccedilok oumlnemlidir Yatırımın istenen suumlre iccedilinde ve ekonomik olarak gerccedilekleştirilmesi iccedilin hangi işlerin daha kontrolluuml yapılmasının zorunlu olduğunu da bilmek şarttır Bu sebeple yatırım ve işletmelerin modern teknolojinin hızla geliştiği bu ccedilağda her tuumlrluuml imkanlardan faydalanarak geniş maksatlı programlara goumlre yapılması gerekmektedir Hazırlanan programlar

1 Kısa vadeli (stratejik) planlar

2 Uzun vadeli (taktik) planlar

olmak uumlzere iki grupta yapılmaktadır

Her cins yatırımlara uyabilen ve sonuccedillarına etkili olan yeni metodların geliştirilmesine gerek

duyulmuştur Kritik youmlruumlnge (CPM) VE PERT metotları bu ihtiyaccedillardan doğan modern planlama metotlarından ikisidir Her iki metodun ana prensibi insanın aklını kullanarak guumlnluumlk hayatta yaptığı işlerin metodik olarak değerlendirilmesidir CPMrsquo le planlamada işlem goumlsterimi şoumlyle oumlzetlenebilir


Projelerde bu işlemlerin birbirlerini mantıklı ve teknik olarak izlemesinden oluşan buumltuumlne serim (network) ağ diyagramı şebeke) denir Serim hazırlanmasında uyulması gerekli kurallar şoumlyle oumlzetlenebilir




PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) YoumlntemiKritik youmlruumlnge (CPM) ile programlamada serimin tuumlm işlemlerinin suumlrelerinin bilinmesine ihtiyaccedil vardır Bazı yatırımlarda serimin bazı işlemlerinin suumlreleri tam olarak bilinemez Eğer suumlresi belirsiz olan bu işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde değilse ve bulunduğu duumlğuumlm noktalarında buumlyuumlk bolluklar varsa gene kritik youmlruumlnge metodu ile programlama yapılabilir Ancak iş programında zorlamalar kapasite dengelemesi ve maliyet hesabı gibi irdemeleri yapılamaz Eğer işlem suumlreleri belli olmayan işlemler kritik youmlruumlnge uumlzerinde ise artık yatırımın tamamlanma suumlresinin bile tayini muumlmkuumln değildir Bu hallerde yatırımların planlanması PERT metodu ile yapılmalıdır

Ccediluumlnkuuml bu metotta belirsiz suumlreler ihtimaller hesabına goumlre hesaplanabilmekte ayrıca duumlğuumlm noktaları ile yatırımın toplam suumlresinin programa goumlre yuumlzde kaccedil ihtimalle tamamlanabileceği de bulunabilmektedir Bu metot uzun zamanlı elemanları suumlre ve iş bakımından pek ccedilok şartlara bağlı olan karışık yatırımlarda ccedilok kullanılmaktadır

PERT metodu suumlreleri tam bilinemeyen işlemlerin programda goumlz oumlnuumlne alınmasını sağladığından kapsamı kritik youmlruumlnge metoduna nazaran daha geniştir Kritik youmlruumlnge (CPM) PERT metodunun oumlzel hallerinden biridir

Bir projede ta En iyimser suumlre (en erken tamamlanma optimist suumlre)tb En koumltuumlmser suumlre (en geccedil tamamlanma pesimist suumlre)tm Normal ya da ortalama suumlrete Beklenen tamamlanma suumlresiVte Beklenen suumlrenin varyansıσte Beklenen suumlrenin standart sapması

bağıntısıyla hesaplanır Burada


Ts Projenin yeni tamamlanma suumlresi (oumlngoumlruumllen tahmin)Tx Beklenen tamamlanma suumlresi (sonuccedil suumlreσTx Tx suumlresinin standart sapmasıZ Tamamlanma olasılığıPERT seriminde her işleme ait olası en erken ve en geccedil gerccedilekleşme suumlreleri (ta tb) normal gerccedilekleşme suumlresi işlem ayrıtları uumlzerinde verilir Serimin işlemlerinin tamamlanma suumlreleri (te) varyansları (Vte) ve standart sapmaları (σte) yukarıda verilen formuumlllerle hesaplanır

Serimin programlanan zamanda tamamlanma olasılığı (P) yine yukarıda verilen Ts formuumlluumlnden ve ilgili değerler yerine yazılıp Z değeri ccedilekilerek normal dağılım tablosundan da bu P değeri okunarak belirlenir


Uygulamada Karşılaşılan Guumlccedilluumlkler

1- Yatırım izlenirken işlemlerdeki suumlre değişikliklerinin kontroluuml ve programa aktarılması gerekir Bu işlem kontrol ve revizyon işlemi olarak adlandırılır

2- Sonradan yapılacak ekleme ve ccedilıkarmaların ccediloumlzuumlmlenmesi istenir

3- Ccedilalışılamayan guumlnlerin programa aktarılması gerekir

4- Başlangıccedil ve bitme ara terimlerinin istenilmesi de başka bir zorluktur

Serimde Kontrol ve Revizyon Yapılırken

_ Belirli aralıklarla işyerine gidilir yapılan ve tamamlanan işlerin durumları izlenir

_ Biten işlemler ilk serim uumlzerinde sıfır suumlreli işlemler olarak kaydedilir

_ Devam eden işlemler o işlemin bitmesi iccedilin gerekli olan suumlrelerle tanımlanır

_ Henuumlz başlamamış olan işlemler işyerinde yapılan yeni belirlemelerde elde edilen suumlrelerle goumlsterilir

Ccedilalışılmayan guumlnlerin programa aktarılmasında da

_ Ccedilalışılmayan ve kısa rastlanan işlemler iki değişik karakterde olur

İşlem parccedilalanmış biccedilimde yapılabilir

İşlem parccedilalanamaz başlanan iş bitirilmelidir

_ Bu problemler programa ara terminler şeklinde aktarılır

Başlangıccedil ara termini (makinelerin ancak temel işinin bitiminden sonra gelebilmesi zorunluluğu)

Bitme ara termini (aşırı soğuklar başlamadan beton doumlkme işinin tamamlanması zorunluluğu)

Kritik yol ara termin ccediloumlzuumlmlemelerinde başlangıccediltan bitişe kadar suumlrmeyebilir

SONUCcedilBu ccedilalışmada Youmlneylem Araştırma ve uygulanan teknikler oumlrneklerle accedilıklanmaya ccedilalışılmış olup bilgisayar ortamında kullanımı uumlzerinde durulmuştur

Şu an guumlnuumlmuumlzde teoride kullanılabilir gibi goumlruumlnse de araştırdığım birccedilok buumlyuumlk şirketlerde planlı bir youmlntem takip edilmediği sonucuna ulaştım Yalnızca İstanbul ilindeki kurumsal olan firmalardan 10rsquodan 8rsquoinin boumlyle bir uygulama yapmadıkları doumlnuumltuumlnuuml aldım

Benim vardığım kanı aslında youmlneylem araştırma youmlntemleri adı altında olmasa da benzer uygulamaların yapıldığı ama somutlaştırılmadığıdır


KAYNAKCcedilA YrdDoccedilDr DEMİREL Tufan 2010 Youmlneylem Araştırması TEMUuml-301 Ahmet Yesevi Uumlniversitesi ProfDr OumlZDEMİR İlker 1997 Yapı İşletmesi Ders Notları Osmangazi Uumlnv Yayın No TA 97-001-İOuml YUumlKSEL Orhan 1983 Bilimsel Modellerin Serimlerle (Networks) Geliştirilmesi ve Analizi Kurs

Notları MPM ve İMO Ortak Yayını Ankara TAHA A Hamdy Youmlneylem Araştırması Literatuumlr Yayınları 2009o TEKİN Mahmut Kantitatif Karar Verme Teknikleri Konya 1999o DoccedilDr GUumlNAYDIN HMurat ldquoProje Youmlnetimi Sunumurdquo İzmir Yuumlksek Tekoloji Enstituumlsuuml o ProfDr DENİZ Berna ldquoBenzetim Sunumurdquo Başkent Uumlniversitesio URL trwikipediaorgwikiYoumlneylem_araştırmasıo URL wwwbiltektubitakgovtrgelisimmatematikkuralimhtmo URL trwikipediaorgwikiDoğrusal_programlamao URL httpwwwbtriskcomdocumentsBTMimarisipdf


Youmlneylem Araştırmasının Doğuşu

Youmlneylem Araştırmasırsquonın Gelişimi

Youmlneylem Araştırmasırsquonın Temel Karakteristikleri

Youmlneylem Araştırmasırsquonın Uygulama Alanları

Youmlneylem Araştırması Tekniklerinin Kullanım Sıklığı

Matematik Programlama

Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları

Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması

DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLAR

CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİ

DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİ

DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ

DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASI

İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının Oluşturulması

Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması

TABLOSAL YOumlNTEM

İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu


Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu


Sezgi Uumlstuuml Algoritmalar (Uumlstsezgisel Algoritmalar Meta HeurIstIc AlgorIthms)



OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak





Değerinin Xi İle Doğrusal Olarak Arttığının Varsayılması


Koşulunun Sağlanamaması

Logit Model








Ccedilubuk Diyagramları

CPM (Kritik Yol Metodu)

PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) Youmlntemi

SONUCcedil

KAYNAKCcedilA

İccedilindekilerYOumlNEYLEM ARAŞTIRMASININ DOĞUŞU- 2 -

YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN GELİŞİMİ- 2 -YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN TEMEL KARAKTERİSTİKLERİ- 3 -

YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASIrsquoNIN UYGULAMA ALANLARI- 4 -YOumlNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİNİN KULLANIM SIKLIĞI- 4 -

MATEMATİK PROGRAMLAMA- 5 -Tarihsel Gelişim- 5 -Matematiksel Tanım- 6 -Uygulama Alanları- 7 -Matematik Programlama Modellerinin Sınıflandırılması- 7 -

DİNAMİK PROGRAMLAMADA KULLANILAN KAVRAMLAR- 10 -

CcedilOK AŞAMALI KARAR SUumlRECcedilLERİ- 11 -DİNAMİK PROGRAMLAMA TUumlRLERİ- 11 -DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ- 12 -DOumlNUumlŞUumlM DENKLEMLERİNİN OLUŞTURULMASI- 12 -

İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Foknsiyonlarının Oluşturulması- 13 -Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İccedilin Doumlnuumlşuumlm Fonksiyonunun Oluşturulması- 16 -

TABLOSAL YOumlNTEM- 17 -İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu- 17 -Problemin İleriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu İzlenerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml- 22 -Geriye Doğru Ccediloumlzuumlm Yolu- 22 -Problemin Geriye Doğru Gelinerek Elde Edilen Dinamik Programlama Ccediloumlzuumlmuuml- 26 -

SEZGİ UumlSTUuml ALGORİTMALAR (UumlSTSEZGİSEL ALGORİTMALAR META HEURISTIC ALGORITHMS)- 27 -

Meta Heuristic ve Hyper Heuristic Ayrımı- 27 -Meta-Hyper Heuristic ( Uumlst Hiper Sezgisel) algoritmalar- 29 -

OLASILIKLI MODELLER- 29 -Tahmin Yapmak- 29 -

Doğrusal Olasılık Modeli- 30 -Hata Teriminin (ei) Normal Dağılımlı Olmaması- 31 -Hata Terimi (ei) Değişen Varyanslıdır- 31 -

ei Değerlerine İlişkin Olasılık Dağılımları- 32 -Logit Model- 34 -Uumlzerinde Ccedilalışılan Verilere Ait Oumlrnek Veri Kuumlmesi- 36 -

Araştırma ve Bulgular- 37 -En Kuumlccediluumlk Kareler Youmlntemiyle (n=100) Elde Edilen Bazı Tahmin Sonuccedilları- 39 -Logit Modeliyle Elde Edilen Tahmin Sonuccedilları- 42 -

KRİTİK YOumlRUumlNGE METODU- 43 -

Ccedilubuk Diyagramları- 44 -CPM (Kritik Yol Metodu)- 46 -PERT (Seccedilenekli Değerlendirme) Youmlntemi- 49 -

SONUCcedil - 51 -

KAYNAKCcedilA - 52 -










































g2 (x 1 x2xn) b2

= gm(x 1 x2xn) bm










maks z=3x1 + 4x2

















AŞAMA


DURUM


KARAR


OPTİMAL POLİTİKA





















A B
















0 0 0 0

1 1 2 4

2 2 3 5

3 4 4 6

4 6 5 7

5 8 7 9

6 10 9 10

7 13 11 12

8 16 14 13

9 20 17 14

10 25 20 16


Problemde






x1 1 durum

x2 2 durum












Ayrıca








0 pound xn pound X

Burada










0 pound x1pound X




f1(X) = c1(x1)




0 pound x2pound X







f1(X)=min [c1(x1)]

0 pound x1pound X


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]

0pound x2pound X



0pound xn-1pound X



0pound xnpound X













X x1 C1(x1) f1(X)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 4 4

4 4 6 6

5 5 8 8

6 6 10 10

7 7 13 13

8 8 16 16

9 9 20 20


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]

Opound x2pound X

yazılabilir



f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]

Opound x2pound 1

Buradan

C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2

f2(1) = min

C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
























C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4


C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2












0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA









































g2 (x 1 x2xn) b2

= gm(x 1 x2xn) bm










maks z=3x1 + 4x2

















AŞAMA


DURUM


KARAR


OPTİMAL POLİTİKA





















A B
















0 0 0 0

1 1 2 4

2 2 3 5

3 4 4 6

4 6 5 7

5 8 7 9

6 10 9 10

7 13 11 12

8 16 14 13

9 20 17 14

10 25 20 16


Problemde






x1 1 durum

x2 2 durum












Ayrıca








0 pound xn pound X

Burada










0 pound x1pound X




f1(X) = c1(x1)




0 pound x2pound X







f1(X)=min [c1(x1)]

0 pound x1pound X


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]

0pound x2pound X



0pound xn-1pound X



0pound xnpound X













X x1 C1(x1) f1(X)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 4 4

4 4 6 6

5 5 8 8

6 6 10 10

7 7 13 13

8 8 16 16

9 9 20 20


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]

Opound x2pound X

yazılabilir



f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]

Opound x2pound 1

Buradan

C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2

f2(1) = min

C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
























C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4


C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2












0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA





maks z=3x1 + 4x2

















AŞAMA


DURUM


KARAR


OPTİMAL POLİTİKA





















A B
















0 0 0 0

1 1 2 4

2 2 3 5

3 4 4 6

4 6 5 7

5 8 7 9

6 10 9 10

7 13 11 12

8 16 14 13

9 20 17 14

10 25 20 16


Problemde






x1 1 durum

x2 2 durum












Ayrıca








0 pound xn pound X

Burada










0 pound x1pound X




f1(X) = c1(x1)




0 pound x2pound X







f1(X)=min [c1(x1)]

0 pound x1pound X


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]

0pound x2pound X



0pound xn-1pound X



0pound xnpound X













X x1 C1(x1) f1(X)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 4 4

4 4 6 6

5 5 8 8

6 6 10 10

7 7 13 13

8 8 16 16

9 9 20 20


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]

Opound x2pound X

yazılabilir



f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]

Opound x2pound 1

Buradan

C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2

f2(1) = min

C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
























C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4


C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2












0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA











AŞAMA


DURUM


KARAR


OPTİMAL POLİTİKA





















A B
















0 0 0 0

1 1 2 4

2 2 3 5

3 4 4 6

4 6 5 7

5 8 7 9

6 10 9 10

7 13 11 12

8 16 14 13

9 20 17 14

10 25 20 16


Problemde






x1 1 durum

x2 2 durum












Ayrıca








0 pound xn pound X

Burada










0 pound x1pound X




f1(X) = c1(x1)




0 pound x2pound X







f1(X)=min [c1(x1)]

0 pound x1pound X


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]

0pound x2pound X



0pound xn-1pound X



0pound xnpound X













X x1 C1(x1) f1(X)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 4 4

4 4 6 6

5 5 8 8

6 6 10 10

7 7 13 13

8 8 16 16

9 9 20 20


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]

Opound x2pound X

yazılabilir



f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]

Opound x2pound 1

Buradan

C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2

f2(1) = min

C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
























C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4


C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2












0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA















A B
















0 0 0 0

1 1 2 4

2 2 3 5

3 4 4 6

4 6 5 7

5 8 7 9

6 10 9 10

7 13 11 12

8 16 14 13

9 20 17 14

10 25 20 16


Problemde






x1 1 durum

x2 2 durum












Ayrıca








0 pound xn pound X

Burada










0 pound x1pound X




f1(X) = c1(x1)




0 pound x2pound X







f1(X)=min [c1(x1)]

0 pound x1pound X


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]

0pound x2pound X



0pound xn-1pound X



0pound xnpound X













X x1 C1(x1) f1(X)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 4 4

4 4 6 6

5 5 8 8

6 6 10 10

7 7 13 13

8 8 16 16

9 9 20 20


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]

Opound x2pound X

yazılabilir



f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]

Opound x2pound 1

Buradan

C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2

f2(1) = min

C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
























C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4


C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2












0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA















0 0 0 0

1 1 2 4

2 2 3 5

3 4 4 6

4 6 5 7

5 8 7 9

6 10 9 10

7 13 11 12

8 16 14 13

9 20 17 14

10 25 20 16


Problemde






x1 1 durum

x2 2 durum












Ayrıca








0 pound xn pound X

Burada










0 pound x1pound X




f1(X) = c1(x1)




0 pound x2pound X







f1(X)=min [c1(x1)]

0 pound x1pound X


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]

0pound x2pound X



0pound xn-1pound X



0pound xnpound X













X x1 C1(x1) f1(X)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 4 4

4 4 6 6

5 5 8 8

6 6 10 10

7 7 13 13

8 8 16 16

9 9 20 20


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]

Opound x2pound X

yazılabilir



f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]

Opound x2pound 1

Buradan

C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2

f2(1) = min

C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
























C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4


C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2












0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA









Ayrıca








0 pound xn pound X

Burada










0 pound x1pound X




f1(X) = c1(x1)




0 pound x2pound X







f1(X)=min [c1(x1)]

0 pound x1pound X


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]

0pound x2pound X



0pound xn-1pound X



0pound xnpound X













X x1 C1(x1) f1(X)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 4 4

4 4 6 6

5 5 8 8

6 6 10 10

7 7 13 13

8 8 16 16

9 9 20 20


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]

Opound x2pound X

yazılabilir



f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]

Opound x2pound 1

Buradan

C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2

f2(1) = min

C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
























C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4


C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2












0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA






0 pound x1pound X




f1(X) = c1(x1)




0 pound x2pound X







f1(X)=min [c1(x1)]

0 pound x1pound X


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]

0pound x2pound X



0pound xn-1pound X



0pound xnpound X













X x1 C1(x1) f1(X)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 4 4

4 4 6 6

5 5 8 8

6 6 10 10

7 7 13 13

8 8 16 16

9 9 20 20


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]

Opound x2pound X

yazılabilir



f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]

Opound x2pound 1

Buradan

C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2

f2(1) = min

C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
























C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4


C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2












0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA



f1(X)=min [c1(x1)]

0 pound x1pound X


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X-x2)]

0pound x2pound X



0pound xn-1pound X



0pound xnpound X













X x1 C1(x1) f1(X)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 4 4

4 4 6 6

5 5 8 8

6 6 10 10

7 7 13 13

8 8 16 16

9 9 20 20


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]

Opound x2pound X

yazılabilir



f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]

Opound x2pound 1

Buradan

C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2

f2(1) = min

C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
























C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4


C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2












0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA






X x1 C1(x1) f1(X)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 4 4

4 4 6 6

5 5 8 8

6 6 10 10

7 7 13 13

8 8 16 16

9 9 20 20


f2(X) = min [c2(x2) + f1(X- x2)]

Opound x2pound X

yazılabilir



f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]

Opound x2pound 1

Buradan

C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2

f2(1) = min

C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
























C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4


C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2












0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA


f2(1) = min [c2(x2)+f1(1- x2 )]

Opound x2pound 1

Buradan

C2 (1)+f1 (0) = 2+0=2

f2(1) = min

C2 (0)+f1 (1) =0+1=1
























C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4


C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2












0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA


















C3 (0)+f2 (1) = 0+1=1f3(1) = min C3 (1)+f2 (0) =4+0=4


C3 (2)+f2 (0) = 5+0=5f3(2) = min C3 (1)+f2 (1) =4+1=5 C3 (0)+f2 (2) =0+2=2












0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA










0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

3 3 4 0123 4 0 4

4 4 6 234 5 0 5

5 5 8 34 6 0 6

6 6 10 4 7 0 7

7 7 13 45 9 0 9

8 8 16 456 11 0 11

9 9 20 4567 13 034 13

10 10 25 4567 15 4 14









X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA

X x3 C3(x3) f3(X)

0 0 0 0

1 1 4 4

2 2 5 5

3 3 6 6

4 4 7 7

5 5 9 9

6 6 10 10

7 7 12 12

8 8 13 13

9 9 14 14
































0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA




























0 0 0 0 0 0 0

1 1 4 1 2 1 1

2 2 5 2 3 2 2

3 3 6 3 4 3210 4

4 4 7 4 5 012 5

5 5 9 5 7 12 6

6 6 10 6 9 2 7

7 7 12 7 11 23 9

8 8 13 4 12 234 11

9 9 14 5430 14 12345 13

10 10 16 4 15 2 14




































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA
































Y=α+β i X i+ei(1)








modeli elde edilir












α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA






α+β Xilt 1














0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA




0ndashα

-β

Xi1-Pi






(7)

elde edilir



=



=Pi(1-Pi) (9)





YiradicWi

= αradicWi

+ β XiradicWi

+ eiradicWi

(10)





dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA



dir




bulup Y




iquesti(1minus Y

^iquesti)

iquest

iquest






















Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA












Pi=E(Y i=1|X i)=1

1+eminus(α+βX i)

=1

1+eminusZi

(12)

Burada

Zi = α+β Xi

rsquodir


Zi = α+β Xi




Pi iquest



ile +infin



Pi iquest

1 ve Zi ile Pi



ve β



ve β




Pi= 1

1+eminusZi



(1+eminusZi

)Pi=1(13)


eminusZi

=1Piminus1=

1minusPiPi

(14)


elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA

elde edilir

eminusZi= 1eZi

kullanılarak

eZi= Pi1minusPi

(15)


ln (Pi





)=α+β1X1+β2X 2+ +β PX P(17)


ve β1 β p



0)ve





SıraMezuniyet

Durumu (Y)

Cinsiyet


1 1 2 1 575

2 1 1 1 1350


3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA

3 1 2 1 1400

98 1 1 2 525

99 1 1 1 500

100

0 1 1 950










Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA






Sabit 0334 0226 1478 0143

Sayısal Net 002 0010 1978 0051

Cinsiyet -004 0104-

03730710


R2 0060


Y=α+β Xi+ei








1+0 091 X

2+0 02X

3iquest



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest=046



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA

Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(5 75 )

iquest =050



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=102










Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(1 )+0 02(4 )

iquest=465



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(2 )+0 02(4 )

iquest=556



Yiquest=0 334minus0 04(1 )+0 091(3 )+0 02(4 )

iquest=647





Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA

Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(1 )+0 02(31 75)

iquest=98



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(2 )+0 02(31 75)

iquest=1071



Yiquest=0 334minus0 04( 2)+0 091(3 )+0 02(31 75)

iquest=1162




K(1) Klasik(1) 575 50

K(1) Klasik(1) 3175 102

E(2) Klasik(1) 3175 98

E(2) Meslek(2) 3175 1071

E(2) Ouml-AL-FL(3) 3175 1162

K(1) Klasik(1) 400 465

K(1) Meslek(2) 400 556

K(1) Ouml-AL-FL(3) 400 647






Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA

Liquest=0 213+0 158 X

1minus0 953X

2+0 095X

3iquest


Pi

iquest=1









P

iquest= 1

1+eminus2 434




P

iquest= 1

1+eminus25925



P

iquest= 1

1+eminus0273




P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA


P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 036



P

iquest= 1

1+eminus1 226



P

iquest= 1

1+eminus1 384



P

iquest= 1

1+eminus0 431



P

iquest= 1

1+eminus0 194




P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA

P

iquest= 1

1+eminus1 666



P

iquest= 1

1+eminus1 429



P

iquest= 1

1+eminus2 619





K(1) Klasik(1) 3175 9190

E(2) Klasik(1) 3175 9304

K(1) Klasik(1) 900 5678

E(2) Klasik(1) 900 6060

K(1) Meslek(2) 900 5010

K(1) Ouml-AL-FL(3) 900 7731

E(2) Ouml-AL-FL(3) 900 7996

E(2) Klasik(1) 900 6061

E(2) Meslek(2) 900 5483

E(2) Klasik(1) 2200 8410

E(2) Meslek(2) 2200 8067

E(2) Ouml-AL-FL(3) 2200 9321




iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA


iccedilin


iquest



















Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA





Planlama Teknikleri




































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA

































































Tarihsel Gelişim

Matematiksel Tanım

Uygulama Alanları









TABLOSAL YOumlNTEM








OLASILIKLI MODELLER

Tahmin Yapmak








Logit Model











SONUCcedil

KAYNAKCcedilA

web view... sağlık sektörü ve transport ve lojistik sektörü dahil pek...

Documents