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PROFESOR: Eysenck Jack Araujo Espinoza

Carrera Secretariado EjecutivoCurso de Estadística Básica

REPRESENTACION DE DATOS

2.1 DISTRIBUCION DE FRECUENCIA

Una distribución de frecuencia es un método para organizar y resumir datos. También se conoce con el nombre de distribución de frecuencia a una ordenación, tabulación de datos en clases y con la frecuencia correspondiente a cada una. La toma de datos es la obtención de una colección de los mismos, los cuales no están ordenados numéricamente. La ordenación es la colocación de los datos numéricos en orden creciente o decreciente de magnitud.

La diferencia entre el mayor y el menor número se llama RECORRIDO o RANGO de los datos, la construcción de la distribución de los datos facilita la presentación de ellos o de la información y especialmente su análisis.

Para elaborar los cuadros o tablas de la distribución de los datos se debe, antes que todo Identificar las características que se investigaron, ya que esto permite una mejor clasificación de lo observado, estas características pueden ser:

a) Cualitativas o Atributos: Ventas en valor o cantidad, por sucursales, empleados de una empresa por cargo, marca de droga más aceptada, exportación por puertos, etc.

b) Cuantitativas: Clasificación de empleados por sueldo, tiempo de reacción de cierta droga, Kilómetros recorridos diariamente por vehículo, clasificación de familias por número de hijos etc.

2.2. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA SIMPLE

Antes de pasar a realizar ejercicios que nos dé una claridad con respecto a la distribución de frecuencia simple presentaremos la siguiente sismología:

n : Tamaño de la muestra, es el número de observaciones.

Xi : La variable, es cada uno de los diferentes valores que se han observado.La variable Xi, toma los X1, X2, ... , Xn valores. También se le llamará marca de clase.

Fi : la frecuencia absoluta o simplemente frecuencia, representa el número de veces que se repite la observación Xi , F2 el número de X2 etc.

Fa : la frecuencia acumulada, se obtiene acumulando la frecuencia absoluta, y siempre nos da un acumulado igual al tamaño de la muestra.

Fr : frecuencia relativa, resulta de dividir cada una de las frecuencias absoluta por el tamaño de la muestra.

Fra: Frecuencia relativa acumulada, resulta de la acumulación de las frecuencias relativas, esta frecuencia siempre tiende a la unidad.

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EJEMPLO: Los resultados obtenidos en un encuesta a 60 personas acerca del número de veces que han visitado a su médico para ver el grado de concentración de cierto mineral en el tejido (ppm) fueron los siguiente:

TABLA N˚11-1-2-2-2-3-3-6-4-1-2-3-4-2-7-2-1-1-4-2-0-1-2-5-1-0-1-8-2-6-2-1-3-1

2-0-1-0-0-4-2-1-4-2-3-0-1-2-2-4-0-0-1-2-0-3-2-2-2-3

Para hacer la respectiva distribución de dichos datos es conveniente que presentemos las siguientes tablas:

Encuesta realizada a 60 personas sobre el número de veces que han visitado a su médico para comprobar un ppm (datos ordenados).

TABLA Nº 2: ORDENACIÓN DE LOS DATOS

0-0--0-0-0-0-0-0-0-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-2-2-2-2-2-2

2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-3-3-3-3-3-3-3-4-4-4-4-4-4-5-6-6-7-8.

Encuesta realizadas a 60 personas sobre el número de veces que han visitado a su médico por comprobar su PPM (recuento de efectivo).

TABLA No 3: CONTEO DE DATOS

Nº DE VECES Nº DE PERSONAS (conteo) VECES QUE SE REPITE

012345678

IIII IIII IIIII IIII IIII IIIIII IIII IIII IIII III IIII IIIIIII II III II

91419761211

SUMAS 60

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Distribución de frecuencia de la encuesta realizada a 60 personas sobre el número de veces que han visitado a su médico para comprobar su ppm.

TABLA Nº 4

Xi Fi Fa Fr Fra

0 9 9 = 9 9/60 = 0.15 0.15 = 0.15

1 14 9 + 14 = 23 14/60 = 0.233 0.15 + 0.233 = 0.383

2 19 23 + 19 = 42 19/60 = 0.316 0.383 + 0.316 = 0.699

3 7 42 + 7 = 49 7/60 = 0.116 0.699 + 0.116 = 0.815

4 6 49 + 6 = 55 6/60 = 0.1 0.815 + 0.1 = 0.915

5 1 55 + 1 = 56 1/60 = 0.016 0.915 + 0.016 = 0.931

6 2 56 + 2 = 58 2/60 = 0.033 0.931 + 0.033 = 0.964

7 1 58 + 1= 59 1/60 = 0.016 0.964 + 0.016 = 0.98

8 1 59 + 1 = 60 1/60 = 0.016 0.98 + 0.016 = 0.996

SUMAS 60

En la práctica, cuando se posee confianza en el ordenamiento y conteo de los datos, no es necesario tantas tablas, se puede pasar de la tabla No 1 directamente a la tabla N˚ 5.

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Distribución de frecuencia en la encuesta realizada a 60 personas sobre el número de veces que han visitado a su médico para comprobar su ppm.

TABLA Nº 5

Xi Fi Fa Fr Fra

0 9 9 0.15 0.15

1 14 23 0.233 0.383

2 19 42 0.316 0.699

3 7 49 0.116 0.815

4 6 55 0.1 0.915

5 1 56 0.016 0.931

6 2 58 0.033 0.964

7 1 59 0.016 0.98

8 1 60 0.016 0.996

SUMAS n =60

* Analizando las columnas porcentuales Fr y Fra se puede tener entre otras las siguientes conclusiones:

* El 31.6% de los encuestados ha visitado dos veces a su médico

* El 15% de los encuestados respondió no haber visitado a su médico con ese objetivo.

* Solo el 1.6% lo ha visitado 8 veces.

* El 69.9% o 70% han visitado a su médico entre 0 y 2 veces

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2.3 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA POR INTERVALOS

Como se ha visto, un conjunto de observaciones puede hacerse más comprensible y adquirir mayor significado por medio de un arreglo ordenado; puede lograrse una mayor síntesis, agrupando los datos. Para agrupar a un conjunto de observaciones, se selecciona un conjunto de intervalos, contiguos, que no se traslapen, tales que cada valor en el conjunto de observación puede colocarse en uno, de los intervalos de clase.Unos de los primeros puntos a considerar, cuando se van agrupar ciertos datos, es cuántos intervalos van a incluirse. Demasiado poco no es conveniente debido a que hay pérdida de información. Por otra parte, si se usan demasiados intervalos, no se logra objetivo de la síntesis.

La mejor guía en relación con lo anterior, as í como para otras decisiones que deben tomarse al agrupar los datos, es el conocimiento que se tenga de ellos. Pueda ser que se hayan tomado con anterioridad, los intervalos de clase de años anteriores con fines de comparación. Una de las formas para obtener el número de intervalos (#i) es aplicando la regla de STURGES, con la cual se obtiene una aproximación aceptable sobre el número de intervalos necesarios para agruparlos:

#i = 1 + 3.3 Log n

Donde n nos representa el número de valores considerados, esta regla de STURGES no se considera como final, sino sólo como una guía. El número de intervalos especificado por medio de esta regla debe aumentarse o disminuirse según convenga y el beneficio de una presentación clara.

Otra cuestión que hay que aclarar es lo relativo a la amplitud de los intervalos de clase.Aunque a veces es imposible, por lo general, los intervalos deben ser amplitudes iguales. Puede determinarse esta amplitud (A) dividiendo el recorrido (R) entre el número de intervalo (#i):

A = R / #i

Como regla, este procedimiento proporciona una amplitud que no es conveniente usarla. Una vez más, debe aplicarse el buen juicio y seleccionar una amplitud (por lo común, próxima a la dada por la ecuación) que sea más conveniente. Consideramos el siguiente Ejemplo:

En un estudio de 50 sujetos entre las edades de 20 y 60 años sobre el valor del rendimiento del electroencefalograma. Se dieron los siguientes datos.

98 75 95 100 64 70 75 95

63 72 82 98 58 56 70 49

55 50 61 60 70 75 71 93

98 100 62 66 50 92 70 58

66 69 73 77 120 104 119 105

99 60 70 102 120 90 71 78

65 56

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Antes de elaborar una tabla o cuadro de frecuencia por intervalos se debe tener en cuenta los siguientes pasos:

1. Se determina el valor máximo y mínimo de Xi

Xmin = 49 X máx = 120

2. Sacamos la diferencia entre el valor máximo y el mínimo que denominaremos rango o recorrido. (R):

R = X máx - X mín = 120 - 49 = 71

3. Se hace necesario determinar el número de intervalo (# i) que se utilizará para agrupar los datos:

#i = 1+3.3 Log n --------- #i = 1+3.3 Log 50

#i = 1+3.3 (1.69897)

#i = 1+5.60

#i = 6.6

En la práctica el #i se determina atendiendo varios factores, tales como: finalidad del estudio, grado de variabilidad de los datos, necesidad de efectuar comparaciones. En todo caso, se recomienda que el #i hasta donde sea posible, no sea menos de 5, ni mayor de 16, en nuestro caso tomaremos 7 intervalo ya que no se puede tener 6.6 intervalos.

4. Una vez determinado el número de intervalos se debe dividir el rango por el este valor para obtener el valor de la amplitud de cada intervalo, aplicando la formula

A = R / #i ; A = 71/ 7 = 10.14

Para facilitar los cálculos se aproximará A = 11, por lo tanto se altera el valor del rango de 71 a 77 en 6 unidades.

Cuando éste caso sucede se tendrá un quinto paso, que denominaremos rango ampliado (Ra) que es igual rango(R) más un incremento (a).

R a = R + a

5. A = Ra / #i = 71/7 + 6 /7 = 77/ 7 = 11

6. El incremento “a” del rango se debe distribuir equitativamente entre el dato mayor y el dato menor, al dato mayor se le suma a/2 y al dato menor se le resta a/2, con esto no podemos descartar la palabra equitativo pues es opcional para cada trabajo que se elabora; en nuestro caso el incremento es de 6 unidades, luego:

Xmáx = 120 + 3 = 123 X mín = 49 – 3 = 46

Por tanto se tendrá un nuevo dato mayor o límite superior de 123 y un límite inferior de 46.

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7. Se procede a elaborar los intervalos empezando con el nuevo dato menor y sumándole la amplitud, así:

1° 46 a 57

2° 57 a 68

3° 68 a 79

4° 79 a 90

5° 90 a 1016º 101 a 112

7º 112 a 123

8. Por último se elabora la tabla de frecuencias con sus respectivos puntos medios (Xi) o marca de clase, el cual se determina sumando el límite superior y el límite inferior de cada intervalo dividendo por dos esta suma.

INTERVALOS Xi Fi Fa Fr Fra

46 - 57 51.5 6 6 0.12 0.12

57 - 68 62.5 11 17 0.22 0.34

68 - 79 73.5 15 32 0.30 0.64

79 - 90 84.5 1 33 0.02 0.66

90 - 101 95.5 11 44 0.22 0.88

101 - 112 106.5 3 47 0.06 0.94

112 - 123 117.5 3 50 0.06 1.00

SUMAS 50

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Como conclusión podemos decir:

* El 30% de los sujetos poseen un rendimiento de su electroencefalograma, entre 68 y 79, y son 15 sujetos.

* El 2 % lo poseen entre 79 y 90, y es un sujeto.

* Solo el 6% se encuentra en un rendimiento entre 112 a 123, y son 3 sujetos

* El 66 % de los sujetos posee un rendimiento entre 46 y 90 y son 33 sujetos.

2.4 GRÁFICAS.

Un gráfico es un método de presentar datos estadísticos de forma visual.

Hay numerosos tipos de graficas, como lo veremos al utilizar los programas estadísticos en la computadora; por lo general, se clasifican en:

a. Diagramas: de puntos, lineales (rectilíneos y curvilíneos), superficiales (rectangulares-barras-, triangulares, cuadrados y circulares-pastel-).

b. Estereometrías: cúbicas, prismáticas y pirámides.

c. Pictogramas.

d. Cartogramas: mapas estadísticos y cartodiagramas.

2.5 GRÁFICAS LINEALES.

Un gráfico de línea se distingue por el hecho de que las variaciones en los datos se indican por medio de líneas o curvas, cuyas posiciones está determinadas por sus respectivos valores en las escalas X e Y los puntos se unen mediante líneas rectas. Hay diferentes tipos de gráficos lineales:

2.5.1 GRÁFICOS DE SILUETA

Son gráficos de líneas que muestran las desviaciones positivas y negativas respecto a la línea base o cero y la línea de evolución de las, desviaciones, los gráficos de silueta se construyen representando los puntos que indican las desviaciones reales respecto a la línea base.

2.5.2 GRÁFICOS DE BANDAS

Muestran las variaciones de las partes componentes así como total, el gráfico se prepara representando en primer lugar las variaciones de la parte componente mayor. Se sombrea o se raya este segmento. A éste segmento se suma la siguiente parte componente y se representa el resultado. Este proceso acumulativo se prosigue hasta incluir todas las partes componentes.Las variaciones de la línea superior representan, entonces las del total, las variaciones en el ancho de cualquier segmento indicarán las variaciones de ese componente particular.

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2.5.3 GRÁFICOS DE MÁXIMO Y MÍNIMO

Presentan no solo los cambios ocurrido durante el periodo de tiempo, sino también las fluctuaciones de cada periodo (días, semanas, meses etc.) indicando valores máximo del mismo periodo. Este procedimiento se continúa hasta el fin del tiempo cubierto por el gráfico.

2.5.4 EL HISTOGRAMA:

Conocido como polígono de frecuencias rectangular para una distribución de frecuencia; se construye de la siguiente forma: Se dibujan rectángulos cuya base es el tamaño del intervalo de clase y cuya altura es la frecuencia de cada intervalo de clase.

2.5.5 GRÁFICAS LOGARÍTMICAS Y SEMILOGARITMICAS

2.5.5.1 CARACTERÍSTICAS:

a. No hay línea base o cero.

b. Los gráficos semilogarítmicos presentan una escala aritmética en el eje horizontal. Los gráficos logarítmicos presentan escalas logarìtmicas en ambos ejes.

c. Cuando se presenta en un papel logarítmico las progresiones geométricas en X y en Y se disponen según una recta, ya que los logaritmos de una progresión geométrica forman una progresión aritmética.

En un papel semilogarítmico, si los valores de “y” (ordenadas) constituyen una progresión geométrica se dispondrá también según una recta.

d. Aumento ó disminuciones iguales indican cambios porcentuales iguales.

e. Iguales pendiente en un gráfico logarítmico revelan taza de cambios iguales.

2.5.5.2 UTILIZACIÓN DE LOS GRÁFICOS LOGARÍTMICOS:

2.5.5.2.1. Para comparar tasas proporcionales de cambio.

2.5.5.2.2. Mostrar la relación entre 2 ó más series cuyas cantidades difieren ampliamente.

2.5.5.3 PRECAUCIONES AL USAR GRÁFICAS SEMILOGARITMICAS:

Hemos hecho notar que este tipo de presentación gráfica se adapta bien para permitir un análisis de cambios relativos. Existe un peligro de que las personas, antes de adquirir experiencia con las gráficas semilogarítmicas, deseen usarla en cualquier circunstancia.

Una segunda precaución se refiere a la necesidad de comprensión especial de una gráfica semilogarítmica. Algunas personas no saben cómo interpretar una gráficas semilogarítmica; por esta razón, este tipo de gráficas, no se usan a veces, aún cuando resultaría más apropiado. Sin embargo, tal interpretación de una gráfica semilogarítmica es tan simple que la persona que debe observar una gráfica puede ser entrenada para su interpretación en unos cuantos minutos.

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2.5.6 GRÁFICOS CUADRATICOS.

Para la presentación gráfica de datos estadísticos, se recurre en algunos casos a figuras geométricas, tales como cuadros y los triángulos. Estas gráficas deben ser simples, es decir, no se deben recargar demasiado. Hay varias formas de hacer la representación gráfica mediante la utilización de cuadros. Con figuras continuas que queremos representar la distribución porcentual de los factores que se deben tener en cuenta en análisis de una empresa.

2.5.7 REGLAS PARA LA CONSTRUCION DE LOS GRÁFICOS.

2.5.7.1. Cada gráfico debe tener un título claro y conciso, que se sitúan generalmente en la parte superior central del gráfico. El título debe incluir información sobre:

2.5.7.1.1 La naturaleza de los datos

2.5.7.1.2 La situación geográfica

2.5.7.1.3 El período de tiempo cubierto

2.5.7.2 Las líneas coordenadas deberían reducirse al mínimo y las líneas curvas puestas de tal forma que resaltasen sobre el fondo del grafico.

2.5.7.3 La fuente de los datos debería indicarse debajo del gráfico a la izquierda.

2.5.7.4 Las notas, si la hay, se deberían situar en la parte inferior izquierda del gráfico.

2.5.7.5. Para entender fácilmente el gráfico, se debería reducir en la medida de los posibles el número de líneas curvas, segmentos y otros detalles.

2.5.7.6 Cada escala debe presentar un titulo indicando la unidad utilizada,

2.5.7.6.1 El título correspondiente al eje X debería estar centrado, inmediatamente debajo del eje.

2.5.7.6.2. El título del eje y debería situarse en la parte superior del eje.

2.5.7.7 Se debe indicar el cero de la escala (eje y) de lo contrario se puede realizar una comparación errónea. La necesidad de indicar el origen se evidencia en la comparación de los picos de los dos gráficos.

2.5.7.8 En el eje y la escala de valores debería abarcar desde cero (0)Desde el valor más pequeño en la parte inferior del gráfico, al valor más alto en su parte superior.

2.5.8 ESCALAS.

2.5.8.1 ESCALA ARITMÉTICA: El papel con escalas aritmética presenta distancias iguales entre las líneas coordenadas. Cantidades iguales equivaldrán entonces, a iguales distancias. Así, las distancias entre 1 y 3 será la misma que entre 8 y 10.

2.5.8.2 Los valores de las escalas deben situarse a lo largo de los ejes x e y, dando así una indicación general del tamaño de las variaciones que representa el gráfico. No es necesario indicar una

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graduación fina en la escala de valores, ya que no se pretende que se lean las cifras reales en el gráfico. Los valores exactos se pueden obtener de la tabla de datos original que usualmente acompañe el gráfico.

2.5.8.3. Si se utiliza una longitud, en eje X, para indicar un intervalo de tiempo el punto representativo del valor de cada período debería marcarse el punto central del período. Pero si se desean los períodos pueden hacerse coincidir con líneas coordenadas dadas, trazándose entonces los puntos en ellas.2.5.8.4 ESCALA LOGARÍTMICA Y SEMILOGARITMICAS: Cuando se desea comparar cambios porcentuales en lugar de absolutos, se utiliza un tipo de escala algo diferente.

Se puede demostrar que cuando hay cambio porcentual constante entre 2 pares de cifras, las diferencias entre los logaritmos de las cifras serán iguales. Así, si el lugar de los valores originales se representa los logaritmos de esos valores, las diferencias constantes equivaldrán a cambios porcentuales constantes.

NUMERO LOGARITMO

2 0.30103

4 0,60206

Diferencia 0,30103 100% de aumento

NUMERO LOGARITMO

5 0.69897

10 1.0000

Diferencia 0.30103 100% de aumento

2.5.8.5 TIPOS DE ESCALAS:

2.5.8.5.1 UNIFORME: Previamente determina un valor representativo para cada uno de los valores reales del dato que se debe representar.

2.5.8.5.2 LOGARÍTMICAS: Las escalas ó representaciones de valor se hace aplicando el logaritmo.

Las gráficas respectivas se elaboran en papel logarítmico ó semilogarítmico.

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2.6. GRÁFICAS ESTADÍSTICAS.

Hay numerosas gráficas estadísticas, especialmente aquellas que son consideradas como las más usuales, teniendo en cuenta que estas deben ser sencillas, explícita y se representa siempre de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba.

A continuación daremos algunos conceptos y ejemplos de gráficas más usuales en estadística.

2.6.1. DIAGRAMAS DE BARRA:

Es la representación visual mediante rectángulos de la relación entre las variables.

Las barras utilizadas para representar las características cualitativas y cuantitativa por lo general, son construidas en forma vertical sobre una base horizontal, en el cual se colocan las características o el tiempo,(años, meses, etc.) y la altura estará dada por el valor que toma la variable o atributo observado.

También se elabora el diagrama proporcional de barras cuando se trabaja con grupos relativamente pequeños y se desea establecer comparaciones entre dos o más distribuciones proporcionales.

2.6.2. HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS.

2.6.2.1 HISTOGRAMA. Son representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias, que consiste en una serie de rectángulos, cada uno de ellos levantados en cada intervalo, de tal manera que la base sería igual a la amplitud y la altura estará dada ya sea por la frecuencia absoluta o por la relativa, si los intervalos son desiguales las alturas de los rectángulos deberán ser calculadas por procedimientos matemáticos, para que en la gráfica, no nos quede una imagen engañosa de la distribución que se quiere presentar.

2.6.2.2 POLÍGONO DE FRECUENCIAS. Se puede representar con la misma información del histograma, mediante la unión de los puntos medios de los techos de los rectángulos en el histograma por medio de una línea prolongada en el primero y último rectángulo. Los polígonos también se pueden dibujar estableciendo los puntos medios del intervalo, denominados marcas de clases, que se colocan en el eje horizontal o abscisa, para cada valor de la variable corresponderá un valor de la frecuencia, señalándose en el plano cartesiano por un punto, luego de establecido todos los puntos se unen mediante líneas rectas, las que en conjunto forman el polígono.

2.6.3 OJIVA. Para el trazado de esta gráfica, se emplea también el polígono, para presentar la frecuencia acumulada y la frecuencia acumulada relativa, se ubican los puntos en el plano cartesiano y se unen mediante segmentos de rectas y el gráfico así obtenido se llama polígono de frecuencia u ojiva.

La ojiva o polígono de frecuencia acumulada tiene la ventaja de que da una manera cómoda de estimar la mediana y los percentiles de una muestra, otra ventaja que tiene es que se puede averiguar fácilmente el número de partida entre dos valores por ej. el número de partida entre 56.5 y 62.5 es simple la diferencia entre las correspondientes frecuencias acumuladas; o sea entre 3 y 20 es 17 ; Este método opera bien solamente para los valores y puntos que estén efectivamente representados.

El histograma, el polígono y la ojiva, se utilizan para representar la variable continua, y los diagramas de frecuencias para la variable discreta.

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2.6.4 DIAGRAMA CIRCULAR: Se utiliza para representar características cualitativas, sirve para notar las diferencias en las proporciones o porcentajes en que está dada la distribución.

Como en total la circunferencia tiene 360º, se calcula a cuantos grados (sec to r circular ) equivale la parte que se va a representar. El proceso que sigue en la confección de la gráfica circular o pastel consiste:

En hacer la sumatoria total de las frecuencias, luego para sacar el porcentaje se multiplica cada frecuencia por el 100% y se divide por el total de la frecuencia, pero en este caso no es necesario; ya sacado el porcentaje de todas las frecuencias, se llevan a grados, multiplicando 360º por cada frecuencia en porcentaje dividiéndola por 100.

2.6.5 PICTOGRAMAS O PICTOGRAFOS: Se emplean cuando se trata de llamar la atención al público. Las figuras empleadas deben explicarse por sí misma. Se acostumbra que el tamaño sea uniforme, en algunos casos, se acostumbra colocar o señalar el valor total del conjunto buscado de esta manera la eliminación del cuadro.

Algunos autores señalan que el tamaño puede variar, y, la altura de cada objeto estará dada por la frecuencia absoluta o relativa, pero una inmensa mayoría considera que dicha representación puede conducir a e r r o r e s en su interpretación, especialmente cuando los tamaños de la figuras no son proporcionales a la cantidad que se representa.

2.6.6.CARTOGRAMA :Son croquis o mapas que contienen datos estadísticos u otros de carácter no cartográficos, dentro de los cuales se ubican símbolos y en algunos casos gráficas, para indicar tanto la localización geográfica, así como la importancia del valor de la variable observada en la relación con el conjunto.

2.6.7 DIAGRAMA DE LÍNEAS. Es otra de las gráficas muy utilizadas, pero al mismo tiempo, la que presenta mayores dificultades en la visualización de los datos, dando lugar, algunas veces, a imágenes o conclusiones erróneas, debido a la mal confección de las escalas de los ejes.

A los diagramas lineales también se les denomina curvas de sucesión, porque generalmente se refieren a variables observadas durante un periodo. Se denominan series de tiempo o series cronológicas. La variable tiempo se coloca en el eje horizontal y los valores que toman la variable, van al eje vertical.

2.6.8. CUADROS Y TRIÁNGULOS. Para representaciones gráficas de datos estadísticos, se recurre a la figura geométrica como los cuadros y rectángulos.

Estas gráficas deben ser simples y es aconsejable superponer las figuras en lugar de yuxta - ponerlas.

Hay varias formas de hacer la presentación gráfica mediante la utilización de los cuadros, una la más recomendadas es que, antes que todo, identificar las características que se investigaron, ya que esto permite una mejor clasificación de lo observado, ya que estas características pueden ser cualitativas o atributos y cuantitativas.

En la gráfica mediante la utilización de triángulos se debe buscar una base común y luego localizar la altura, como también son utilizados triángulos donde cada uno de ellos tiene una base diferente.

Otra forma es, determinando zonas proporcionales a las cantidades representadas y tener una clara diferencia entre las zonas demarcadas al igual que anexar los signos convencionales correspondientes.

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2.6.9. GRÁFICA DE CANTT. La utilización de estas gráfica se hace con mayor necesidad, en la dirección de empresas, en la cual establecen las diferentes etapas de trabajo por ejecutar y el ejecutado durante u n determinado período. El campo de aplicación de esta gráfica es muy vasto, siendo imposible en esta investigación la descripción de todas las formas y usos que tiene.

2.6.10 PIRÁMIDES. Las gráficas denominadas pirámides son utilizadas con mucha frecuencia para representar las edades de una población de una región. Si en un triángulo se determinan zonas proporcionales a las cantidades representadas y hay diferenciación entre las zonas demarcadas, al igual que anexar los signos convencionales correspondientes, la gráfica así elaborada se denomina pirámide.

EJEMPLO: Los siguientes datos representan la distribución de los gastos en millones de pesos, de las empresas la Mazorca y El diamante en un determinado periodo:

EMPRESAS SALARIOS ALQUILER IMPUESTO PUBLICIDADLA MAZORCA 20.4 47.5 39.8 20.4EL DIAMANTE 30.6 38.6 34.6 31.6

1.0 Gráfico de barra.

Gasto en millones de pesos de las empresas la Mazorca y el Diamante durante un periodo contable

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2.0 Gráfico circular


3. Grafico de cilindro


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4. Grafico de Líneas.


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