Integrantes:

Fernández Mamani DianaLopez Villegas Juan AlonsoLeón Lipe Noé Juan Salcedo Tejeda Mónica María

TEMAS TEMAS INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

Solid ModelingSolid Modeling Region OctreesRegion Octrees PM OctreesPM Octrees Boundary Model (BRep)Boundary Model (BRep) Constructive Solid Geometry (CSG)Constructive Solid Geometry (CSG)

CSG Evaluation by Bintree ConversionCSG Evaluation by Bintree Conversion Algorithm for a Single HalfspaceAlgorithm for a Single Halfspace Algorithm for a CSG TreeAlgorithm for a CSG Tree Incorporation of the Time DimensionIncorporation of the Time Dimension

PM-CSG TreesPM-CSG Trees Surface-based Object RepresentationsSurface-based Object Representations

Prism TreesPrism Trees Cone TreesCone Trees

CONCLUSIONESCONCLUSIONES

INTRODUCCIONINTRODUCCION

Como punto principal veremos que Volume Data trata precisamente de Como punto principal veremos que Volume Data trata precisamente de figuras geométricas en dos dimensiones y tres dimensiones, estas figuras figuras geométricas en dos dimensiones y tres dimensiones, estas figuras las con llevaremos a diferentes algoritmos y árboles que nos enseñaran las con llevaremos a diferentes algoritmos y árboles que nos enseñaran el perfeccionamiento de estos sólidos. En este caso, nosotros usualmente el perfeccionamiento de estos sólidos. En este caso, nosotros usualmente las repartimos con regiones tridimensionales. las repartimos con regiones tridimensionales.

Es también necesario en los campos de diseño asistido por computadora, Es también necesario en los campos de diseño asistido por computadora, gráficos de computadora, robot, visión de computadora, e imágenes gráficos de computadora, robot, visión de computadora, e imágenes médicas entre otros.. Estamos primordialmente interesados en la médicas entre otros.. Estamos primordialmente interesados en la agregación de técnicas basadas en el uso de los octrees. Esta agregación de técnicas basadas en el uso de los octrees. Esta presentación fue primordial con relación a una variante conocida como presentación fue primordial con relación a una variante conocida como región octree. También daremos a conocer la construcción de cone región octree. También daremos a conocer la construcción de cone trees y prism trees, y poder conocer su funcionamiento y su trees y prism trees, y poder conocer su funcionamiento y su representación en el espacio representación en el espacio

SOLID MODELINGSOLID MODELING En el mundo tridimensional (3D) el objeto representativo es el sólido. En el mundo tridimensional (3D) el objeto representativo es el sólido.

Existen diversos métodos de representación al nivel de estructura interna de Existen diversos métodos de representación al nivel de estructura interna de datos para los programas, esos modelos son mostrados a través de diferentes datos para los programas, esos modelos son mostrados a través de diferentes técnicas; sin embargo se necesitan otros aspectos, que debemos tomar en técnicas; sin embargo se necesitan otros aspectos, que debemos tomar en cuenta.cuenta.

   Las primitivas, en un sistema de modelado de sólidos, consisten en el Las primitivas, en un sistema de modelado de sólidos, consisten en el

conjunto de objetos base, generalmente incluidas dentro de una librería de conjunto de objetos base, generalmente incluidas dentro de una librería de primitivas sólidas, es decir, es el grupo de objetos que el usuario no tiene primitivas sólidas, es decir, es el grupo de objetos que el usuario no tiene que molestarse en describir al programa; al contrario son ofrecidas por el que molestarse en describir al programa; al contrario son ofrecidas por el mismo sistema. Estos objetos están descritos de manera especial, en forma mismo sistema. Estos objetos están descritos de manera especial, en forma interna, y a partir de las características de este objeto se basan las interna, y a partir de las características de este objeto se basan las descripciones generales, el usuario precisa las dimensiones y otras descripciones generales, el usuario precisa las dimensiones y otras características. Así de las primitivas, los usuarios obtienen objetos más características. Así de las primitivas, los usuarios obtienen objetos más complejos, a partir de descripciones sencillas.complejos, a partir de descripciones sencillas.

Mediante las operaciones booleanas entre sólidos se obtienen objetos más Mediante las operaciones booleanas entre sólidos se obtienen objetos más complejos, este es de los métodos más populares; a través de la unión, la complejos, este es de los métodos más populares; a través de la unión, la diferencia y la intersección de volúmenes. Esta forma de trabajo es fácil de usar diferencia y la intersección de volúmenes. Esta forma de trabajo es fácil de usar y muy consistente ya que las operaciones descritas son cerradas, y al aplicarlas y muy consistente ya que las operaciones descritas son cerradas, y al aplicarlas se obtiene siempre otro sólido, cuando el entorno es regularizado, ya que si la se obtiene siempre otro sólido, cuando el entorno es regularizado, ya que si la intersección es en un vértice o en una cara, éste resultaría en un punto o en un intersección es en un vértice o en una cara, éste resultaría en un punto o en un cuadrado, lo cual no es válido.cuadrado, lo cual no es válido.

Modelos basados en descripción topológica, donde los sólidos y superficies Modelos basados en descripción topológica, donde los sólidos y superficies normalmente usados son poliédricos o soportan formulación de más o normalmente usados son poliédricos o soportan formulación de más o menos cierta complejidad.menos cierta complejidad.

Modelado de superficies naturales, que incluyen formas variadas, no Modelado de superficies naturales, que incluyen formas variadas, no geométricas, suaves, de contornos muy diversos. Como animales, cuerpos geométricas, suaves, de contornos muy diversos. Como animales, cuerpos humanos, nubes, montañas o lagos.humanos, nubes, montañas o lagos.

SOLID MODELINGSOLID MODELING

SOLID MODELINGSOLID MODELING

SOLID MODELINGSOLID MODELING

SOLID MODELINGSOLID MODELING

REGION OCTREESREGION OCTREES La región octree es la variante más simple de la estructura de datos octree. Es La región octree es la variante más simple de la estructura de datos octree. Es

también usualmente el único que requiere la mayoría de espacio. El árbol también usualmente el único que requiere la mayoría de espacio. El árbol octal se usa para almacenar imágenes tridimensionales, mediante la división octal se usa para almacenar imágenes tridimensionales, mediante la división consecutiva en 8 cubos del mismo tamaño, hasta lograr un tamaño y consecutiva en 8 cubos del mismo tamaño, hasta lograr un tamaño y simplicidad deseada.simplicidad deseada.

Esta estructura es ideal para organizar el espacio en cubos de distinto Esta estructura es ideal para organizar el espacio en cubos de distinto tamaño, lo que permite ahorrar memoria. En la estructura jerárquica del tamaño, lo que permite ahorrar memoria. En la estructura jerárquica del octree hay dos tipos de nodos: los nodos intermedios y los nodos hojas. Los octree hay dos tipos de nodos: los nodos intermedios y los nodos hojas. Los nodos intermedios almacenan información ordenada sobre otros subnodos nodos intermedios almacenan información ordenada sobre otros subnodos contenidos dentro del mismo. Cuando un cubo representado por un nodo se contenidos dentro del mismo. Cuando un cubo representado por un nodo se divide, lo hace en 8 octantes del mismo tamaño cada uno. En cada nodo hoja divide, lo hace en 8 octantes del mismo tamaño cada uno. En cada nodo hoja se almacena información sobre el sólido. se almacena información sobre el sólido.

REGION OCTREESREGION OCTREES En un octree que representa un sólido hay 3 tipos de nodos hoja: blancos si En un octree que representa un sólido hay 3 tipos de nodos hoja: blancos si

el espacio que representa el nodo está fuera del sólido, negro si está dentro el espacio que representa el nodo está fuera del sólido, negro si está dentro y gris si la clasificación del espacio representado es indeterminada (Esto lo y gris si la clasificación del espacio representado es indeterminada (Esto lo podemos ver en la figura). Puede considerarse todo nodo no hoja como podemos ver en la figura). Puede considerarse todo nodo no hoja como gris, lo cual resulta obvio, ya que el estado de inclusión lo determinarán los gris, lo cual resulta obvio, ya que el estado de inclusión lo determinarán los descendientes.descendientes.

REGION OCTREESREGION OCTREES Tiene el mismo inconveniente tal como el quadtree de una la región en el Tiene el mismo inconveniente tal como el quadtree de una la región en el

sentido de que es una aproximación y de esta manera no es tan conveniente sentido de que es una aproximación y de esta manera no es tan conveniente para algunas aplicaciones. La construcción de un octree de una región desde para algunas aplicaciones. La construcción de un octree de una región desde la representación de un array tridimensional de una imagen es bastante cara la representación de un array tridimensional de una imagen es bastante cara debido a la cantidad pura de datos que deben de ser examinados. En debido a la cantidad pura de datos que deben de ser examinados. En particular, el gran número de elementos primitivos que deben ser particular, el gran número de elementos primitivos que deben ser examinados, significan que la aproximación de escaneo convencional usada examinados, significan que la aproximación de escaneo convencional usada para la construcción de quadtrees, demanda mucho tiempo detectar la para la construcción de quadtrees, demanda mucho tiempo detectar la combinación de los nodos.combinación de los nodos.

   La forma más fácil de acelerar el proceso de construcción de una región La forma más fácil de acelerar el proceso de construcción de una región

octree es reducir la cantidad de datos que necesitan ser procesados. Franklin octree es reducir la cantidad de datos que necesitan ser procesados. Franklin Akman muestra cómo construir una región octree a partir de un juego de Akman muestra cómo construir una región octree a partir de un juego de paralelepípedos rectangulares, aproximando al objeto, esta información paralelepípedos rectangulares, aproximando al objeto, esta información debe de ser adquirida, por ejemplo lanzando rayos paralelos a través del eje debe de ser adquirida, por ejemplo lanzando rayos paralelos a través del eje z y perpendiculares a los planos x, y.z y perpendiculares a los planos x, y.

En muchas aplicaciones un problema más fundamental que construir el octree En muchas aplicaciones un problema más fundamental que construir el octree es adquirir la información inicial del límite para formar el límite del objeto es adquirir la información inicial del límite para formar el límite del objeto representado. Una aproximación es usar un dispositivo apuntador representado. Una aproximación es usar un dispositivo apuntador tridimensional para crear una colección de muestras a partir de las superficies tridimensional para crear una colección de muestras a partir de las superficies del objeto. Después de que los puntos de los datos son obtenidos, es necesario del objeto. Después de que los puntos de los datos son obtenidos, es necesario interpolar una superficie razonable para unirlos. interpolar una superficie razonable para unirlos.

REGION OCTREESREGION OCTREES

REGION OCTREESREGION OCTREES El algoritmo de construcción de un octree es el siguiente:El algoritmo de construcción de un octree es el siguiente:

Make_tree (p, t, depth)Make_tree (p, t, depth)

Primitive *p; /* la primitive a modelar Primitive *p; /* la primitive a modelar

Octree *t; /* nodo inicial del octree, blancoOctree *t; /* nodo inicial del octree, blanco

Int depth; /*maxima recursionInt depth; /*maxima recursion

{{

int i;int i;

switch(classify(p, t))switch(classify(p, t))

{{

case WHITE;case WHITE;

{{

t->code = WHITE;t->code = WHITE;

break;break;

}}

case BLACK;case BLACK;

{{ break;}break;}

case GREY;case GREY;

{{

if(depth == 0)if(depth == 0)

t->code=GREY;t->code=GREY;

elseelse

{{

subdivide(t);subdivide(t);

for(i=0 ;i<8 ;i++)for(i=0 ;i<8 ;i++)

make_tree(p, t->oct[i], depth -1) ;make_tree(p, t->oct[i], depth -1) ;

}}

break;break;

}}

}}

REGION OCTREESREGION OCTREES

Entonces la Entonces la descomposición de un descomposición de un octree seria así:octree seria así:

REGION OCTREESREGION OCTREES

PM OCTREES PM OCTREES Una de las deficiencias de la región octree es que si las caras de los objetos Una de las deficiencias de la región octree es que si las caras de los objetos

representados por este no son rectilíneas, la representación no será exacta en representados por este no son rectilíneas, la representación no será exacta en el sentido de que es una aproximación.el sentido de que es una aproximación.

Una alternativa de solución es almacenar superficies normales en las Una alternativa de solución es almacenar superficies normales en las superficies visibles de los nodos como fue discutido por Meager, Chien y superficies visibles de los nodos como fue discutido por Meager, Chien y Aggarwal mostraron como hacer esto directamente de límites de múltiples Aggarwal mostraron como hacer esto directamente de límites de múltiples siluetas.siluetas.

La única excepción es si las caras son mutuamente ortogonales, en cuyo caso La única excepción es si las caras son mutuamente ortogonales, en cuyo caso se puede aplicar una operación de rotaciones para rendir las caras rectilíneas. se puede aplicar una operación de rotaciones para rendir las caras rectilíneas. En muchas aplicaciones este no es un problema, sin embargo en el modelado En muchas aplicaciones este no es un problema, sin embargo en el modelado sólido es preferible tener una exacta representación. sólido es preferible tener una exacta representación.

PM OCTREESPM OCTREES A continuación una subdivisión de criterios pueden darse más A continuación una subdivisión de criterios pueden darse más

formalmente, como sigue:formalmente, como sigue:

1. Como máximo un vértice puede quedar en una región representada por 1. Como máximo un vértice puede quedar en una región representada por un nodo hoja de octree.un nodo hoja de octree.

2. Si la región de un nodo hoja de un octree, contiene un vértice, puede 2. Si la región de un nodo hoja de un octree, contiene un vértice, puede contener como máximo un borde.contener como máximo un borde.

3. Si la región de un nodo hoja de un octree, no contiene vértices puede 3. Si la región de un nodo hoja de un octree, no contiene vértices puede contener como máximo un borde.contener como máximo un borde.

4. Si la región de un nodo hoja de un octree, no contiene vértices y 4. Si la región de un nodo hoja de un octree, no contiene vértices y contiene un borde, este no puede contener ninguna cara que sería contiene un borde, este no puede contener ninguna cara que sería ningún incidente en este borde.ningún incidente en este borde.

5. Si la región de un nodo hoja de un octree, no contiene bordes, puede 5. Si la región de un nodo hoja de un octree, no contiene bordes, puede contener como máximo una cara. contener como máximo una cara.

6. 6. Cada región nodo hoja del octree es máxima. Una implementación del Cada región nodo hoja del octree es máxima. Una implementación del octree PM consiste en nodos hoja de tipo vértice, borde y cara. Para octree PM consiste en nodos hoja de tipo vértice, borde y cara. Para nuestros propósitos, es permisible tener 2 caras con un mismo borde. nuestros propósitos, es permisible tener 2 caras con un mismo borde.

PM OCTREESPM OCTREES Una implementación del octree PM consiste en nodos hoja de tipo vértice, Una implementación del octree PM consiste en nodos hoja de tipo vértice,

borde y cara. Para nuestros propósitos, es permisible tener 2 caras con un borde y cara. Para nuestros propósitos, es permisible tener 2 caras con un mismo borde. mismo borde.

PM OCTREESPM OCTREES Los nodos del octree extendido o PM Octree se definen como sigue:Los nodos del octree extendido o PM Octree se definen como sigue:

• • Nodo Nodo caracara. Es un nodo atravesado por una cara plana, sin aristas ni . Es un nodo atravesado por una cara plana, sin aristas ni vértices.vértices.

• • Nodo Nodo aristaarista. Almacena parte de una arista que lo atraviesa e . Almacena parte de una arista que lo atraviesa e información de las caras que comparten dicha arista.información de las caras que comparten dicha arista.

• • Nodo Nodo vérticevértice. Almacena un vértice de la superficie, así como las caras y . Almacena un vértice de la superficie, así como las caras y aristas que lo referencian.aristas que lo referencian.

BOUNDARY MODEL (BREP)BOUNDARY MODEL (BREP) En el modelo boundary los sólidos tridimensionales son definidos por sus En el modelo boundary los sólidos tridimensionales son definidos por sus

superficies encerradas. Un modelo boundary de un objeto es una superficies encerradas. Un modelo boundary de un objeto es una descripción geométrica y topológica de su limite. Cada cara es devuelta descripción geométrica y topológica de su limite. Cada cara es devuelta representado por sus bordes y vértices. Así un modelo de boundary representado por sus bordes y vértices. Así un modelo de boundary consiste en 3 primitivas entidades topológicas, caras, bordes y vértices. Las consiste en 3 primitivas entidades topológicas, caras, bordes y vértices. Las caras son porciones contiguas de la superficie del volumen encerrado por caras son porciones contiguas de la superficie del volumen encerrado por su límite. Este es ejecutado por la adición de entidades topológicas de nivel su límite. Este es ejecutado por la adición de entidades topológicas de nivel más alto, denominado el shell y loop. El shell es un objeto S que es más alto, denominado el shell y loop. El shell es un objeto S que es definido como algo máximo conectado en un juego de caras de S. definido como algo máximo conectado en un juego de caras de S.

BOUNDARY MODEL (BREP)BOUNDARY MODEL (BREP) El modelo de límite es capaz de describir una amplia variedad El modelo de límite es capaz de describir una amplia variedad

de objetos en niveles arbitrarios en detalle. Eso es ambiguo lo de objetos en niveles arbitrarios en detalle. Eso es ambiguo lo cual significa que modelo de límite corresponde a un objeto cual significa que modelo de límite corresponde a un objeto simple, el límite es particionado en caras máximamente simple, el límite es particionado en caras máximamente conectadas. Un mayor resguardo del modelo boundary es que conectadas. Un mayor resguardo del modelo boundary es que las operaciones booleanas son costosas y tediosas para las operaciones booleanas son costosas y tediosas para implementar. implementar. 

Las entidades topológicas primitivas en un modelo boundary Las entidades topológicas primitivas en un modelo boundary son las caras, bordes, y vértices, el shell y loop no son entidades son las caras, bordes, y vértices, el shell y loop no son entidades topológicas primitivas. Cada shell es una colección de caras. topológicas primitivas. Cada shell es una colección de caras. Cada cara es representada por su superficie de ecuación. Cada Cada cara es representada por su superficie de ecuación. Cada loop es una cadena de bordes.loop es una cadena de bordes.

Hay un numero de diferentes formas de especificar un modelo Hay un numero de diferentes formas de especificar un modelo boundary, el dato mas general consiste en un conjunto de boundary, el dato mas general consiste en un conjunto de entidades topológicas que definan el borde del objeto entidades topológicas que definan el borde del objeto aumentando un subconjunto de 25 diferentes relaciones aumentando un subconjunto de 25 diferentes relaciones adyacentes entre las parejas de entidades individuales. adyacentes entre las parejas de entidades individuales.

  

CONSTRUCTIVE SOLID CONSTRUCTIVE SOLID GEOMETRY (CSG)GEOMETRY (CSG)

La geometría constructiva de sólidos (CSG) es la representación La geometría constructiva de sólidos (CSG) es la representación constructiva más extendida por su versatilidad. Es un esquema que constructiva más extendida por su versatilidad. Es un esquema que representa al sólido a través de la combinación de operaciones representa al sólido a través de la combinación de operaciones regularizadas de conjuntos de sólidos que normalmente suelen ser muy regularizadas de conjuntos de sólidos que normalmente suelen ser muy elementales. A estos sólidos básicos se les llama instancias primitivas. elementales. A estos sólidos básicos se les llama instancias primitivas.

Las instancias primitivas básicas utilizadas normalmente son sólidos Las instancias primitivas básicas utilizadas normalmente son sólidos parametrizados de figuras simples como cubos, cilindros, conos, etc., parametrizados de figuras simples como cubos, cilindros, conos, etc., predefinidos internamente como semiespacios limitados. De este modo no predefinidos internamente como semiespacios limitados. De este modo no se pueden construir objetos no limitados. Las primitivas pueden ser se pueden construir objetos no limitados. Las primitivas pueden ser instanciadas múltiples veces, con valores distintos de sus parámetros, instanciadas múltiples veces, con valores distintos de sus parámetros, además de su posición, rotación y escalado en el espacio.además de su posición, rotación y escalado en el espacio.

CONSTRUCTIVE SOLID CONSTRUCTIVE SOLID GEOMETRY (CSG)GEOMETRY (CSG)

Las instancias transformadas podrán ser combinadas mediante las Las instancias transformadas podrán ser combinadas mediante las operaciones booleanas regularizadas unión, intersección y diferencia. Estas operaciones booleanas regularizadas unión, intersección y diferencia. Estas operaciones se calculan según la teoría de conjuntos y transforman el operaciones se calculan según la teoría de conjuntos y transforman el resultado en un r-set aplicando la clausura del interior al conjunto obtenido. resultado en un r-set aplicando la clausura del interior al conjunto obtenido. Siempre debe obtenerse un sólido válido, que puede ser el conjunto vacío. Siempre debe obtenerse un sólido válido, que puede ser el conjunto vacío.

En el modelamiento de paquetes, los objetos geométricos básicos tales como En el modelamiento de paquetes, los objetos geométricos básicos tales como el cubo o una “caja”, esfera o elipse, rosquilla, y un número de otras formas el cubo o una “caja”, esfera o elipse, rosquilla, y un número de otras formas que pueden ser descritas usando formulas matemáticas, son comúnmente que pueden ser descritas usando formulas matemáticas, son comúnmente conocidas como primitivas. Estos objetos pueden ser típicamente descritos conocidas como primitivas. Estos objetos pueden ser típicamente descritos por un proceso el cual acepta alguna cantidad de parámetros, por ejemplo, por un proceso el cual acepta alguna cantidad de parámetros, por ejemplo, una esfera que puede ser descrita por las coordenadas de su centro, junto con una esfera que puede ser descrita por las coordenadas de su centro, junto con el valor del radio, estas primitivas pueden ser culminadas en objetos el valor del radio, estas primitivas pueden ser culminadas en objetos compuestos usando operaciones como las siguientes:compuestos usando operaciones como las siguientes:

CONSTRUCTIVE SOLID CONSTRUCTIVE SOLID GEOMETRY (CSG)GEOMETRY (CSG)

CONSTRUCTIVE SOLID CONSTRUCTIVE SOLID GEOMETRY (CSG)GEOMETRY (CSG)

La estructura de datos utilizada La estructura de datos utilizada para representar un modelo CSG para representar un modelo CSG suele ser un árbol binario (árbol suele ser un árbol binario (árbol CSG). En las hojas del árbol se CSG). En las hojas del árbol se almacenan las primitivas (cubo, almacenan las primitivas (cubo, cilindro, esfera, etc.) y en cada cilindro, esfera, etc.) y en cada nodo interno del árbol cualquiera nodo interno del árbol cualquiera de las operaciones booleanas de las operaciones booleanas permitidas, esto es, unión, permitidas, esto es, unión, intersección o diferencia, que se intersección o diferencia, que se aplica a los dos sólidos aplica a los dos sólidos representados por los dos representados por los dos subárboles que cuelgan de dicho subárboles que cuelgan de dicho nodo interno.nodo interno.

CSG EVALUATION BY CSG EVALUATION BY BINTREE CONVERSIONBINTREE CONVERSION

La siguiente estructura de datos es usada para representar los árboles CSG. La siguiente estructura de datos es usada para representar los árboles CSG. Un árbol CSG es un árbol binario en el cuál los nodos hojas corresponden Un árbol CSG es un árbol binario en el cuál los nodos hojas corresponden a transformaciones geométricas y a un conjunto de operaciones booleanas a transformaciones geométricas y a un conjunto de operaciones booleanas mientras los nodos hojas sean medio espaciados.mientras los nodos hojas sean medio espaciados.

Un nodo de árbol CSG es descrito por un registro de tipo CSG node con 6 Un nodo de árbol CSG es descrito por un registro de tipo CSG node con 6 campos, left, right, typ, hsp,h_min, y h_max.campos, left, right, typ, hsp,h_min, y h_max.

Los dos primeros campos Left y Right contienen punteros hacia los nodos Los dos primeros campos Left y Right contienen punteros hacia los nodos hijos derecho, izquierdo respectivamente, el campo typ indica el tipo de hijos derecho, izquierdo respectivamente, el campo typ indica el tipo de nodo, existen 5 tipos de nodos: blanco, negro, unión, intersección y medio nodo, existen 5 tipos de nodos: blanco, negro, unión, intersección y medio espaciado.espaciado.

CSG EVALUATION BY CSG EVALUATION BY BINTREE CONVERSIONBINTREE CONVERSION

Los de tipo intersección y unión corresponden a un conjunto de Los de tipo intersección y unión corresponden a un conjunto de operaciones booleanas, los otros tres tipos corresponden a los nodos operaciones booleanas, los otros tres tipos corresponden a los nodos hoja.hoja.

El campo hsp contiene un identificador para el medio espaciado, es un El campo hsp contiene un identificador para el medio espaciado, es un índice de una tabla HS de d+1 elemento vector coeficiente de los índice de una tabla HS de d+1 elemento vector coeficiente de los diferentes medios espaciados envueltos en los árboles CSG.diferentes medios espaciados envueltos en los árboles CSG.

Los dos campos restantes h_min y h_max son usados para datos Los dos campos restantes h_min y h_max son usados para datos auxiliares en los algoritmos, ellos almacenan los valores mínimos y auxiliares en los algoritmos, ellos almacenan los valores mínimos y máximos del medio espaciados, en un bloque de árbol binario dado.máximos del medio espaciados, en un bloque de árbol binario dado.

Estos campos son usados sólo en conjunciones con nodos de tipo Estos campos son usados sólo en conjunciones con nodos de tipo medio espaciados.medio espaciados.

ALGORITHM FOR A SINGLE ALGORITHM FOR A SINGLE HALFSPACEHALFSPACE

La construcción de un bintree correspondiente a un medio espacio como es La construcción de un bintree correspondiente a un medio espacio como es dado por inigualdad es asignado para atravesar el universo en el orden D-F y dado por inigualdad es asignado para atravesar el universo en el orden D-F y determinando el rango del intervalodeterminando el rango del intervalo

En esencia estamos interceptando el medio espacio que es descompuesto en 2 En esencia estamos interceptando el medio espacio que es descompuesto en 2 hijos negros y el proceso de intersección es necesariamente aplicados a ellos.hijos negros y el proceso de intersección es necesariamente aplicados a ellos.

Determinando si el medio espacio es activo en un nudo bintree es facilitado Determinando si el medio espacio es activo en un nudo bintree es facilitado por mantener una pista de valores mínimos y máximos de a-x para cada nodo por mantener una pista de valores mínimos y máximos de a-x para cada nodo bintree. bintree.

Sin embargo el máximo es ≤ 0 el nodo bintree es blanco no obstante el Sin embargo el máximo es ≤ 0 el nodo bintree es blanco no obstante el mínimo es ≥ 0 el nodo bintree es negro de otra manera del medio espacio es mínimo es ≥ 0 el nodo bintree es negro de otra manera del medio espacio es activo y a subdivisión es requerida.activo y a subdivisión es requerida.

ALGORITHM FOR A SINGLE ALGORITHM FOR A SINGLE HALFSPACEHALFSPACE

procedure HALFSPACE_TO_BINTREE (D.HS); procedure HALFSPACE_TO_BINTREE (D.HS);

/* Convert The D-dimensional halfspace HS to a bintre.*//* Convert The D-dimensional halfspace HS to a bintre.*/

begin begin

global value integer D; global value integer D; global value real array HS[0:D];global value real array HS[0:D]; real MIN, MAX; real MIN, MAX; integer l; integer l;

/*/* Compute the minimum and maximum values of HS in the Compute the minimum and maximum values of HS in the D-D- dimensional unit cube */ dimensional unit cube */

ALGORITHM FOR A SINGLE ALGORITHM FOR A SINGLE HALFSPACEHALFSPACE

MIN MIN MAX MAX HS[0]; HS[0]; for lfor l 1 step 1 until D do 1 step 1 until D do begin begin if HS [l]>0.0 then MAX if HS [l]>0.0 then MAX MAX + HS [l] MAX + HS [l] else MIN else MIN MIN + HS [l]; MIN + HS [l]; end end H_TRAVERSE (0,1,0, MIN, MAX); H_TRAVERSE (0,1,0, MIN, MAX); end: end:

ALGORITHM FOR A SINGLE ALGORITHM FOR A SINGLE HALFSPACEHALFSPACE

recursive procedure H_TRAVERSE (LEV,W,MIN,MAX)recursive procedure H_TRAVERSE (LEV,W,MIN,MAX)

begin begin

value integer LEV;value integer LEV; value real W, MIN, MAX; value real W, MIN, MAX; integer l; integer l; real DELTA real DELTA

if MAX if MAX 0.0 then output (‘WHITE’) 0.0 then output (‘WHITE’) else if MIN else if MIN 0.0 THEN OUTPUT (‘BLACK’) 0.0 THEN OUTPUT (‘BLACK’) else if LEV=VOXEL_LEVEL then else if LEV=VOXEL_LEVEL then if (MAX+MIN) /2 if (MAX+MIN) /20.0) then output (‘BLACK’) 0.0) then output (‘BLACK’) else output (‘WHITE’) else output (‘WHITE’) else else

ALGORITHM FOR A SINGLE ALGORITHM FOR A SINGLE HALFSPACEHALFSPACE

begin begin /* halfspace is active in the subuniverse (i.e., it intersects it)*//* halfspace is active in the subuniverse (i.e., it intersects it)*/ l l LEV mod D: LEV mod D: if l = 0 then W if l = 0 then W W/2 W/2 DELTA DELTA HS [l+1]*W; HS [l+1]*W; /* Note that DELTA depends only on the level*//* Note that DELTA depends only on the level*/ output (‘GRAY’)output (‘GRAY’) H_ TRAVERSE (LEV+1,W, H_ TRAVERSE (LEV+1,W, if DELTA if DELTA 0.0 then MIN-DELTA 0.0 then MIN-DELTA

else MIN else MIN if DELTA > 0.0 then MAX – DELTA if DELTA > 0.0 then MAX – DELTA else MAX); else MAX); /* Process the left son *//* Process the left son */

H_TRAVERSE (LEV+1,W, H_TRAVERSE (LEV+1,W, if DELTA > 0.0 then MIN-DELTA if DELTA > 0.0 then MIN-DELTA

else MIN else MIN if DELTA if DELTA 0.0 then MAX – DELTA 0.0 then MAX – DELTA else MAX); /* Process the RIGHT son */else MAX); /* Process the RIGHT son */

end; end; end; end;

ALGORITHM FOR A CSG ALGORITHM FOR A CSG TREETREE

esta_dentro (nodo, punto)esta_dentro (nodo, punto)

  {{

switch (nodo_tipo) switch (nodo_tipo)

{{

caso UNION : esta_dentro ← esta_dentro (nodo.hijo1) OR caso UNION : esta_dentro ← esta_dentro (nodo.hijo1) OR esta_dentro(nodo.hijo2)esta_dentro(nodo.hijo2)

caso INTERSEC :esta_dentro ← esta_dentro(nodo.hijo1) AND caso INTERSEC :esta_dentro ← esta_dentro(nodo.hijo1) AND esta_dentro(nodo.hijo2)esta_dentro(nodo.hijo2)

caso RESTA: esta_dentro ← esta_dentro (nodo.hijo1) AND NO caso RESTA: esta_dentro ← esta_dentro (nodo.hijo1) AND NO esta_dentro(nodo.hijo2)esta_dentro(nodo.hijo2)

caso CUBO : esta_dentro ← comprobar_cubo(punto)caso CUBO : esta_dentro ← comprobar_cubo(punto)

}}

}}

INCORPORATION OF THE INCORPORATION OF THE TIME DIMENSIONTIME DIMENSION

Perfecciona las evaluaciones de límitePerfecciona las evaluaciones de límite

También perfecciona los valores convencionales como los algoritmos para También perfecciona los valores convencionales como los algoritmos para detectar al objeto nulo, que podrían ser ampliados.detectar al objeto nulo, que podrían ser ampliados.

Si un árbol CSG contiene mitad-espacios, no pudiera ser descrito como una Si un árbol CSG contiene mitad-espacios, no pudiera ser descrito como una serie de traslacionesserie de traslaciones

El método de “Interval arithmetic”,se dedica a evaluar funciones en casos El método de “Interval arithmetic”,se dedica a evaluar funciones en casos donde los argumentos no son valores exactos, el intervalo corresponde al rango donde los argumentos no son valores exactos, el intervalo corresponde al rango del valor verdadero.del valor verdadero.

Este método también ha sido aplicado a superficies curvas, pero esta técnica Este método también ha sido aplicado a superficies curvas, pero esta técnica debe ser usada con cuidado. debe ser usada con cuidado.

PM–CSG TREESPM–CSG TREES Cada nodo hoja se refiere a un objeto primitivo en vez de a un vértice, borde o Cada nodo hoja se refiere a un objeto primitivo en vez de a un vértice, borde o

cara.cara.

Formas primitivas no están restringidas a particiones espaciales.Formas primitivas no están restringidas a particiones espaciales.

Solo un objeto primitivo por celda.Solo un objeto primitivo por celda.

Complemento completo de operaciones CSG no se presentan:Complemento completo de operaciones CSG no se presentan:

  

Unión = pegadoUnión = pegado

Diferencia = cortado (No hay intersección)Diferencia = cortado (No hay intersección)

Tiene 5 tipos de nodosTiene 5 tipos de nodos

Llenos: completamente en un objeto primitivoLlenos: completamente en un objeto primitivo Vació: ningún objeto primitivoVació: ningún objeto primitivo Limite positivo: contiene parte de un objeto primitivo mientras que el Limite positivo: contiene parte de un objeto primitivo mientras que el

resto esta vació.resto esta vació. Limite negativo: contiene un límite entre dos objetos primitivos O1 y Limite negativo: contiene un límite entre dos objetos primitivos O1 y

O2 tal que O1 se sustrae de O2.O2 tal que O1 se sustrae de O2. Sucio: al menor nivel de resolución tal que no es posible una Sucio: al menor nivel de resolución tal que no es posible una

descomposición más lejana. (el nodo puede estar ocupado por más de descomposición más lejana. (el nodo puede estar ocupado por más de un objeto primitivo)un objeto primitivo)

de la necesidad de precisión en una aplicación de modelado sólido y la de la necesidad de precisión en una aplicación de modelado sólido y la probabilidad de la existencia de celdas contaminadas.probabilidad de la existencia de celdas contaminadas.

PM–CSG TREESPM–CSG TREES

SURFACE - BASED OBJECT SURFACE - BASED OBJECT REPRESENTATIONSREPRESENTATIONS

Casi siempre los objetos tridimensionales pueden ser representados en términos Casi siempre los objetos tridimensionales pueden ser representados en términos de su superficie. de su superficie.

Para algunas aplicaciones el interés principal es la representación de sus Para algunas aplicaciones el interés principal es la representación de sus superficie para cada par (x,y) le corresponde a un único de X. superficie para cada par (x,y) le corresponde a un único de X.

El problema usualmente surge cuando se reconstruye una superficie en un El problema usualmente surge cuando se reconstruye una superficie en un ambiente digital. Este es usualmente formulado como la interpolación de una ambiente digital. Este es usualmente formulado como la interpolación de una función de dos variables (dígase x e y) función de dos variables (dígase x e y)

La forma mas común de representar datos topográficos es grabándolos en una La forma mas común de representar datos topográficos es grabándolos en una reja arreglada (conocida como modelo de terreno digital enrejado). reja arreglada (conocida como modelo de terreno digital enrejado).

Existe un metodo, es el tener la capacidad de capturar las características de los Existe un metodo, es el tener la capacidad de capturar las características de los puntos y de las líneas en la superficie, mediante la aproximación de la superficie puntos y de las líneas en la superficie, mediante la aproximación de la superficie por una red de triángulos no solapados. El resultado es conocido como Red por una red de triángulos no solapados. El resultado es conocido como Red Triangular Irregular. Triangular Irregular.

Cuando la cantidad de datos son extensos, la red triangular se vuelve pesada en Cuando la cantidad de datos son extensos, la red triangular se vuelve pesada en términos de requerimientos de almacenamiento. En este caso existen dos términos de requerimientos de almacenamiento. En este caso existen dos posibles soluciones:posibles soluciones:

La primera es una pirámide que representa la superficie en diferentes niveles de La primera es una pirámide que representa la superficie en diferentes niveles de precisión (múltiple resolución). precisión (múltiple resolución).

La segunda solución, representa las diferentes partes de la superficie en La segunda solución, representa las diferentes partes de la superficie en diferentes niveles de resolución. Estas representaciones se caracterizan diferentes niveles de resolución. Estas representaciones se caracterizan usualmente por ser jerárquicas. usualmente por ser jerárquicas.

Los métodos de descomposición triangulares jerárquicos son reconocibles en la Los métodos de descomposición triangulares jerárquicos son reconocibles en la base en donde la descomposición es en tres (ternaria) o cuatro (cuaternaria) base en donde la descomposición es en tres (ternaria) o cuatro (cuaternaria) partes. partes.

La descomposición ternaria se conforma tomando un punto interno de uno de La descomposición ternaria se conforma tomando un punto interno de uno de los triángulos llamémosle T y juntándolo con sus vértices. La descomposición los triángulos llamémosle T y juntándolo con sus vértices. La descomposición cuaternaria se conforma uniendo tres puntos, cada uno en un lado diferente del cuaternaria se conforma uniendo tres puntos, cada uno en un lado diferente del triangulo dado. triangulo dado.

SURFACE - BASED OBJECT SURFACE - BASED OBJECT REPRESENTATIONSREPRESENTATIONS

Descomposición ternaria Descomposición cuaternaria

SURFACE - BASED OBJECT SURFACE - BASED OBJECT REPRESENTATIONSREPRESENTATIONS

Las triangulaciones jerárquicas son representadas por árboles en los que la raíz Las triangulaciones jerárquicas son representadas por árboles en los que la raíz corresponde al rectángulo inicial, el grado de salida es tres o cuatro corresponde al rectángulo inicial, el grado de salida es tres o cuatro dependiendo del tipo de descomposición. dependiendo del tipo de descomposición.

La superficie resultante también depende de la naturaleza de su La superficie resultante también depende de la naturaleza de su descomposición.descomposición.

En el caso de una descomposición ternaria la superficie descrita por la En el caso de una descomposición ternaria la superficie descrita por la triangulación es usualmente continua en todos los niveles, desde el punto en triangulación es usualmente continua en todos los niveles, desde el punto en que el triangulo es descompuesto se convierte en un triangulo interno. que el triangulo es descompuesto se convierte en un triangulo interno.

En el caso de descomposición cuaternaria, cada triangulo puede ser adyacente a En el caso de descomposición cuaternaria, cada triangulo puede ser adyacente a un numero determinado de triángulos en cada uno de sus lados. De tal forma un numero determinado de triángulos en cada uno de sus lados. De tal forma que la interpolación de las superficies definida en el, no es continua a menos que la interpolación de las superficies definida en el, no es continua a menos que todos sus triángulos sean uniformes, el árbol resultante es un completo que todos sus triángulos sean uniformes, el árbol resultante es un completo Quadtree. Quadtree.

La mayor desventaja es la ausencia de continuidad entre los parches de igual La mayor desventaja es la ausencia de continuidad entre los parches de igual anchura.anchura.

SURFACE - BASED OBJECT SURFACE - BASED OBJECT REPRESENTATIONSREPRESENTATIONS

PRISM TREES PRISM TREES El árbol prism es una descomposición ternaria inventada por Ponce y Faugeras. El árbol prism es una descomposición ternaria inventada por Ponce y Faugeras.

Es una representación jerárquica de una aproximación usada para modelar la Es una representación jerárquica de una aproximación usada para modelar la superficie de los objetos tridimensionales que son de tipo poliedro de género 0 superficie de los objetos tridimensionales que son de tipo poliedro de género 0 (esto significa que no posee agujeros). (esto significa que no posee agujeros).

La meta es obtener una aproximación razonable del poliedro con el mayor La meta es obtener una aproximación razonable del poliedro con el mayor número de caras. número de caras.

Primero se considerará la construcción de la aproximación poliédrica de un Primero se considerará la construcción de la aproximación poliédrica de un objeto bidimensional. El objeto es inicialmente modelado por un triangulo objeto bidimensional. El objeto es inicialmente modelado por un triangulo cuyos vértices concuerdan con los limites del objeto. cuyos vértices concuerdan con los limites del objeto.

La aproximación poliédrica provee una representación jerárquica de sus límites. La aproximación poliédrica provee una representación jerárquica de sus límites. El proceso de divisiones de los límites de un árbol en el que a excepción de la El proceso de divisiones de los límites de un árbol en el que a excepción de la raíz cada nodo representa una línea asociada y su correspondiente segmento de raíz cada nodo representa una línea asociada y su correspondiente segmento de límite. Cada nodo esta asociado a una aproximación cuadrilátero de su límite. Cada nodo esta asociado a una aproximación cuadrilátero de su correspondiente segmento limite. El cuadrilátero es un trapezoide.correspondiente segmento limite. El cuadrilátero es un trapezoide.

Para modelar un objeto de tres dimensiones, la aproximación poliédrica usa Para modelar un objeto de tres dimensiones, la aproximación poliédrica usa tetraedros en vez de triángulos. tetraedros en vez de triángulos.

Formando un triangulo, le llamaremos T, cuya superficie dividiremos en dos Formando un triangulo, le llamaremos T, cuya superficie dividiremos en dos segmentos s1 y s2. Para cada segmento escogemos un punto llamémosle M en segmentos s1 y s2. Para cada segmento escogemos un punto llamémosle M en s1 el cual tiene el valor de la máxima distancia entre el triangulo T y su lado s1 el cual tiene el valor de la máxima distancia entre el triangulo T y su lado s1. s1.

El resultado es un par de tetraedros que forman un bipiramide triangular, con T El resultado es un par de tetraedros que forman un bipiramide triangular, con T como la base común, este sirve como la aproximación poliédrica inicial.como la base común, este sirve como la aproximación poliédrica inicial.

Una de las mayores ventajas que posee es que es sencillo detectar si dos Una de las mayores ventajas que posee es que es sencillo detectar si dos sólidos se intersecan sin pasar por el complejo proceso de intersecar sus sólidos se intersecan sin pasar por el complejo proceso de intersecar sus superficies.superficies.

PRISM TREES PRISM TREES

CONE TREES CONE TREES El espacio es tratado como una esfera polar y es descompuesta recursivamente El espacio es tratado como una esfera polar y es descompuesta recursivamente

en conos. El resultado es llamado árbol cone. en conos. El resultado es llamado árbol cone.

Un ejemplo llamemos a,b,c a los puntos en la esfera polar, b y c son llamados Un ejemplo llamemos a,b,c a los puntos en la esfera polar, b y c son llamados los ángulos polar y azimutal, el rango de b comprende de 0 hasta Pi mientras los ángulos polar y azimutal, el rango de b comprende de 0 hasta Pi mientras que el rango de c va de 0 a 2Pi. Cada uno consiste de un origen, cuatro bordes que el rango de c va de 0 a 2Pi. Cada uno consiste de un origen, cuatro bordes (caras) y un parche esférico.(caras) y un parche esférico.

El árbol cone es un Quadtree que representa el resultado de dividir El árbol cone es un Quadtree que representa el resultado de dividir recursivamente conos en la esfera polar en cuatro conos de intervalos esféricos recursivamente conos en la esfera polar en cuatro conos de intervalos esféricos cuadráticos. cuadráticos.

Los intervalos esféricos forman un espacio bidimensional. Todas las siguientes Los intervalos esféricos forman un espacio bidimensional. Todas las siguientes descomposiciones son en cuatro conos de iguales intervalos esféricos descomposiciones son en cuatro conos de iguales intervalos esféricos cuadráticos. cuadráticos.

La descomposición se detiene siempre y cuando la aproximación de una parte La descomposición se detiene siempre y cuando la aproximación de una parte de un objeto mediante parches esféricos representados por conos son de un objeto mediante parches esféricos representados por conos son adecuados.adecuados.

Asumiendo que el objeto sea convexo, el resultado seria un Quadtree en el que Asumiendo que el objeto sea convexo, el resultado seria un Quadtree en el que cada nodo hoja representaría un parche esférico.cada nodo hoja representaría un parche esférico.

El problema surge cuando los bloques adyacentes en el espacio b-a son de El problema surge cuando los bloques adyacentes en el espacio b-a son de diferentes tamaños, y para dar solución a este problema se tendría que diferentes tamaños, y para dar solución a este problema se tendría que reemplazar los puntos de contacto del bloque mas pequeño por puntos en la reemplazar los puntos de contacto del bloque mas pequeño por puntos en la superficie aproximada del bloque adyacente mas largo, y así seguidamente superficie aproximada del bloque adyacente mas largo, y así seguidamente dividir el bloque largo, si el error es demasiado grande. dividir el bloque largo, si el error es demasiado grande.

En conclusión el árbol del cono es una representación tridimensional de la En conclusión el árbol del cono es una representación tridimensional de la información jerárquica. La jerarquía se presenta en 3D para maximizar uso información jerárquica. La jerarquía se presenta en 3D para maximizar uso eficaz del espacio disponible de la pantalla y para permitir la visualización de la eficaz del espacio disponible de la pantalla y para permitir la visualización de la estructura entera; para las jerarquías > 1000 nodos.estructura entera; para las jerarquías > 1000 nodos.

El nodo del árbol está situado en el ápice del cono y arreglan a todos sus niños El nodo del árbol está situado en el ápice del cono y arreglan a todos sus niños alrededor de la base circular del cono en 3D. Por otra parte, cualquier nodo se alrededor de la base circular del cono en 3D. Por otra parte, cualquier nodo se puede traer al frente chascando en él y rotando el árbol. puede traer al frente chascando en él y rotando el árbol.

CONE TREESCONE TREES

La raíz de la jerarquía se pone La raíz de la jerarquía se pone en la tapa con sus niños en la tapa con sus niños colocados espaciados colocados espaciados uniformemente a lo largo de su uniformemente a lo largo de su base. base.

Esta colocación se repite para Esta colocación se repite para cada nodo del árbol, el padre cada nodo del árbol, el padre que es colocado en el ápice del que es colocado en el ápice del cono. cono.

Cada cono se sombrea Cada cono se sombrea transparente de modo que transparente de modo que pueda ser percibido con todo pueda ser percibido con todo no bloquear la vista de conos no bloquear la vista de conos detrás de él. detrás de él.

CONE TREESCONE TREES

El árbol del cono es una técnica de El árbol del cono es una técnica de visualización de la información.visualización de la información.

La jerarquía se presenta en 3D para La jerarquía se presenta en 3D para maximizar uso eficaz del espacio maximizar uso eficaz del espacio disponible de la pantalla y para disponible de la pantalla y para permitir la visualización de la permitir la visualización de la estructura entera. estructura entera.

La animación interactiva se utiliza La animación interactiva se utiliza para cambiar de puesto algo de la para cambiar de puesto algo de la carga cognoscitiva del usuario al carga cognoscitiva del usuario al sistema perceptivo humano. sistema perceptivo humano.

CONE TREESCONE TREES

APLICACIÓN DE VOLUME APLICACIÓN DE VOLUME DATADATA

APLICACIÓN DE VOLUMEN APLICACIÓN DE VOLUMEN DATADATA

APLICACIÓN DE VOLUMEN APLICACIÓN DE VOLUMEN DATADATA

CONCLUSIONESCONCLUSIONES Para crear gráficas por medio de computadora, existen gran cantidad de Para crear gráficas por medio de computadora, existen gran cantidad de

métodos, aquí solo se nombraron algunos. Todos los métodos tienen sus métodos, aquí solo se nombraron algunos. Todos los métodos tienen sus ventajas y desventajas y deberán de elegirse de acuerdo a las necesidades que ventajas y desventajas y deberán de elegirse de acuerdo a las necesidades que se tengan, por ejemplo tal vez se necesite crear objetos con poco espacio, sin se tengan, por ejemplo tal vez se necesite crear objetos con poco espacio, sin importar cuan precisos sean, o tal vez se necesitan crear objetos precisos sin importar cuan precisos sean, o tal vez se necesitan crear objetos precisos sin importar la cantidad de tiempo que se lleve al crearlos. importar la cantidad de tiempo que se lleve al crearlos.

El método de construir un solo Árbol Octal, desde la definición CSG El método de construir un solo Árbol Octal, desde la definición CSG proporciona un ahorro de memoria, una forma de no tener ahorro de proporciona un ahorro de memoria, una forma de no tener ahorro de memoria es cuando se construya una primitiva únicamente, pero esto rara memoria es cuando se construya una primitiva únicamente, pero esto rara vez ocurre y aún cuando esto suceda, el número de octantes creados será el vez ocurre y aún cuando esto suceda, el número de octantes creados será el mismo que en el método clásico y nunca va a ser superior. mismo que en el método clásico y nunca va a ser superior.

CONCLUSIONESCONCLUSIONES El método Árbol Octal es un buen método, porque al construir un objeto se El método Árbol Octal es un buen método, porque al construir un objeto se

puede subdividir únicamente la parte donde no se tenga la precisión puede subdividir únicamente la parte donde no se tenga la precisión adecuada, mientras que por ejemplo en la enumeración espacial es adecuada, mientras que por ejemplo en la enumeración espacial es necesario dividir toda la cuadrícula. necesario dividir toda la cuadrícula.

El método Árbol octal al combinarse con la Geometría Sólida Constructiva El método Árbol octal al combinarse con la Geometría Sólida Constructiva es muy útil para crear objetos complejos, únicamente con objetos sencillos, es muy útil para crear objetos complejos, únicamente con objetos sencillos, y ofrece buena aproximación; aunque entre más complejo sea el objeto y ofrece buena aproximación; aunque entre más complejo sea el objeto más tiempo se tardará en crear. más tiempo se tardará en crear.

Para la representación de objetos tridimensionales hemos llegado a la Para la representación de objetos tridimensionales hemos llegado a la conclusión que es más sencillo utilizar el árbol prism, ya que este es un conclusión que es más sencillo utilizar el árbol prism, ya que este es un árbol iterativo y utiliza tetraedros mientras que el árbol cone es de tipo árbol iterativo y utiliza tetraedros mientras que el árbol cone es de tipo recursivo y está basado en conos que son figuras más complejas que los recursivo y está basado en conos que son figuras más complejas que los tetraedros.tetraedros.