villany3 laplace transzformáció

1

Villamosságtan III. - Tranziens jelenségek vizsgálata

Molnár Gábor 2013 Május

Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék 2

1 Tranziens jelenségek 31.1 Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

A soros RC kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5A soros RC kör ha uc(0) 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6A soros RL kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8A soros RL kör, ha iL(0) 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Induktív feszültségosztó kimenetének vizsgálata bekapcsoláskor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Kapacitív feszültségosztó kimenetének vizsgálata bekapcsoláskor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 A Laplace transzformáció - emelt szinten 15

A Táblázatok 17

2

1 Tranziens jelenségek

1.1. Bevezetés

Tranziens folyamatnak nevezzük azokat a néhány τ ideig tartó folyamatokat, amik két állandósult állapot közöttzajlanak le. Ilyen állandósult állapotok a

• bekapcsolás

• kikapcsolás

• átkapcsolás

Az ilyen jelenségek vizsgálatát két módszerrel lehet végezni:

• differenciálegyenletek közvetlen megoldásával,

• Laplace transzformációs módszerrel. (s = σ + jω)

A laplace transzformációt az alábbi integrállal definiáljuk

Lf(t) =

∫ ∞0

f(t)e−stdt = F (s). (1.1)

A Laplace transzformáció értelmezési tartománya azok a [0,∞] halmazon integrálható függvények, melyek konver-gensek, azaz F (s) véges.

A Laplace transzformációval való vizsgálat menete az alábbi:

1. Felírjuk a differenciálegyenleteket

2. Laplace transzformáljuk az egyenleteket

3. kifejezzük az ismeretlent (ismeretleneket)

4. Inverz-laplace transzformálunk

1.1. ábra. Az 1(t) függvény és annak τ -val eltoltjának grafikonja.

Ahhoz, hogy akár egy sin(ωt) függvényt a [0,∞] tartományon alkalmazni tudjunk, szükségünk van egy függvényre,amely levágja az ezen kívül eső részét. Ez az un. 1(t) függvény.

1(t) =

{1 t ≥ 00 t < 0

(1.2)

3

4 1 Tranziens jelenségek

Ennek a függvénynek a Laplace transzformáltját egyszerű integrálással kiszámíthatjuk:

L1(t) =

∫ ∞0

1(t)e−stdt =

[−1

se−st

]∞0

=1

s. (1.3)

Egy másik függvény (hivatalos nevén disztribúció), az un. Dirac-delta függvény. A függvényt úgy képezzük, hogya [0, 1/ξ] tartományon a magassága ξ legyen, azon kívül zérus, majd vesszük a ξ →∞ határátmenetet, így egy olyanfüggvényt kapunk, amely az x = 0 pontban végtelen, azon kívül pedig zérus.

δ(t) =

{ξ 1/ξ ≥ 00 t < 0

(1.4)

1.2. ábra. A Dirac-delta függvény értelmezése.

A Dirac-delta függvény alapvető tulajdonsága az alábbi két integrál:∫ ∞−∞

δ(t)dt = 1, (1.5)∫ ∞−∞

δ(t− τ)f(t)dt = f(τ). (1.6)

Bizonyítás nélkül közöljük az alábbi összefüggést az egységugrás (Heaviside) függvény deriváltjával kapcsolatban:

d1(t)

dt= δ(t). (1.7)

A Laplace transzformáció fontos tulajdonsága a linearitás, azaz

L[af(t) + bg(t)] = aLf(t) + bLg(t). (1.8)

A különböző függvények Laplace transzformáltját a kiosztott képletlap "Laplace transzformációk" része tartal-mazza.

Amikor felírjuk a hálózatokra vonatkozó törvényszerűségeket, a jω helyett mindig az operátoros jelölésmódothasználjuk, azaz jω = s komplex frekvenciát. Így operátoregyenletet kapunk, ahol megjelennek az un. operátorosimpedanciák, az R, sL és az 1/(sC).

A következőkben komplex alapkapcsolások felírásán keresztül ismerjük meg a Laplace transzformáció használatát.Az egyenletek felírásakor az operátoros alakot fogjuk preferálni, kihagyva a differenciálegyenletek felírását.

1.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai 5

1.2. A Laplace transzformáció alkalmazásai

A soros RC kör

Az első feladatunk a 1.3. ábrán látható soros RC kapcsolás i(t) köráramának, uR(t) ellenálláson és uC(t) konden-zátoron eső feszültségének meghatározása. A t = 0 időpillanat előtt a generátor feszültsége 0, utána pedig egymeghatározott u0 feszültség. A kérdés, hogy milyen tranziens játszódik le a bekapcsolás miatt.

1.3. ábra. A soros RC kör.

Mivel ez az első eset, amit vizsgálunk, írjuk fel a kapcsolásra a Kirchoff második egyenletét differenciálegyenletesalakban.

u0 = R · i(t) +1

C·∫ t

0

i(τ)dτ (1.9)

Hogy kidomborítsuk a Laplace transzformáció funkcióját és előnyeit, oldjuk meg most az egyszer ezt az egyenletet.Deriváljuk mindkét oldalt az idő szerint, hogy egy elsőfokú differenciálegyenletet kapjunk, így

du0dt

= R · didt

+1

CI. (1.10)

Tudjuk, hogy du0/dt = 0, mivel nincs időfüggése, így

− 1

RCi =

di

dt. (1.11)

Ennek a megoldása, mint tudjuk egy peremértékfeladat, ahol az ansatz függvény I(t) = A · exp(λ · t), ahol A akezdeti feltételből számolt állandó. Megoldva ezzel az (1.11) egyenletet kapjuk, hogy

i(t) = A · e− 1RC · t. (1.12)

A kiinduló egyenletből meghatározhatjuk A értékét, mivel ekkor az integrál zérus, így marad az i(t = 0) = u0/Rössszefüggés, amiből a differenciálegyenlet teljes megoldása a megfelelő kezdeti értékkel

i(t) =u0R· e− 1

RC · t. (1.13)

Itt is körülményes volt már a megoldás, pedig csak két passzív elem volt a hálózatban, el lehet képzelni, mek-kora lesz egy differenciálegyenlet-rendszer, ha több hurok található a hálózatban. Az ilyen differenciálegyenletekegy kézenfekvő és egyszerű megoldási módszere, ami a műszaki alkalmazások között az egyik legelterjedtebb, az un.Laplace módszer, vagy becsületes nevén a Laplace-féle integráltranszformáció.A módszer lényege, hogy algebrai egyenletmegoldásra vezetjük vissza a differenciálegyenletek megoldását. Táblázatsegítségével alkalmazva a megfelelő transzformációs lépéseket az idő térből (reprezentációból) áttértünk a komplexfrekvenciák terébe, így az egyenlet nem időfüggő, hanem a komplex frekvenciáktól függő alakot veszi fel. A függe-lékben található egy kicsit bővebb táblázat a kiadottaknál, a komplexebb feladatok megoldásához.

Most oldjuk meg a fenti feladatot a Laplace módszerrel. Írjuk fel a körben folyó áramot az S operátoros alakban,azaz

I(s) =u0(s)

Z(s). (1.14)


Tudjuk, hogy az R ellenállás operátoros alakja R, a kapacitásé most 1/(sC) az induktivitásé pedig sL. Így az áramra

I(s) =u0s· 1

R+ 1/(sC)=u0s· sC

sCR+ 1=u0R· 1

s+ 1/(RC). (1.15)

Az átalakításnál törekedjünk arra, hogy az s egyedül álljon! A kapott összefüggést inverz transzformáljuk a táblázatalapján:

i(t) = L−1(I(s)

)=u0R· 1(t) · e− 1

RC · t, (1.16)

ahol kihasználtuk, hogy az (1.15) képletet olyan alakra hoztuk, amelyik a táblázatban megtalálható.Az ábrázoláshoz határozzuk meg a t = 0, t→∞ és t = τ időpontokban az áram értékét:

t = 0 i(0) =u0R

(1.17)

t =∞ i(∞) = limt→∞

u0R· e1/(RC) · t = 0 (1.18)

t = τ = 1RC i(τ) =

u0R· e−1 = 0, 37 · u0

R(1.19)

Most határozzuk meg az uR feszültséget az i áramból

uR(t) = R · i(t) = 1(t) ·u0 · e−1

RC · t, (1.20)

valamint a Kirchoff egyenletből a kondenzátor feszültsége

uC(t) = u0 · 1(t)− u0 · 1(t) · e− 1RC · t = u0 ·

(1− e− 1

RC · t). (1.21)

Az áram és a feszültésgek időbeni változását a (1.4) ábrán láthatjuk.

1.4. ábra. A soros RC kapcsolás áramának és feszültségeinek időfüggése.

Tehát az áramkör viselkedését a 1.4. ábra alapján könnyen értelmezhetjük. Bekapcsoláskor a kondenzátor rövid-zárként működik, így a körben lévő áram maximális, majd ahogy a töltések a kondenzátorra áramolnak, úgy kezda rajta lévő feszültség nőni miközben az áram és az ellenállás feszültsége exponenciálisan csökken. Egy idő után(néhány τ idő alatt) lezajlanak a tranziens folyamatok, beáll a stacioner állapot, ahol nem folyik a körben áram ésa kondenzátor kapocsfeszültsége megyegyezik a tápfeszültséggel.

A soros RC kör ha uc(0) 6= 0

Abban az esetben, ha a kapacitáson van kezdeti feszültség, úgy megváltozik a leíró egyenlet és természetesen azeredményeink is ezt fogják követni. Ezt úgy tudjuk figyelembe venni, hogy felveszünk egy, a kondenzátorral sorbakötött feszültséggenerátort, melynek forrásfeszültségének nagysága és iránya is megegyezik az uC(0) kezdeti kapaci-tásfeszültség nagyságával és irányával, ahogy ezt a (1.5) ábrán is láthatjuk.

Ahhoz, hogy meghatározzuk a körben folyó áramot, ismét alkalmazzuk a Laplace módszert, de most már elhagyvaa differenciálegyenlet felírását, egyből kezdhetjük az operátoros alakok behelyettesítésével is. Ekkor az áram az stérben a Kirchoff egyenletből

I(s) =u0(s)− uC0(s)

Z(s)=u0 − uC0

s· 1

R+ 1sC

= (u0 − uC0)C

sRC + 1=u0 − uC0

R· 1

s+ 1RC

. (1.22)


1.5. ábra. A soros RC kapcsolás helyettesítő kapcsolása, amikor a kondenzátor fegyverzetei közti kezdőfeszültség nemzérus.

Inverz transzformáció után:

i(t) = L−1(I(s)

)= L−1

[u0 − uC0

R· 1

s+ 1RC

]=

1(t) · (u0 − uC0

R· e− 1

RC t. (1.23)

Az ábrázoláshoz most is számítsuk ki a t = 0, t→∞ és t = τ időpontokban az áram értékét:

t = 0 i(0) =u0 − uC0

R(1.24)

t =∞ i(∞) = limt→∞

u0 − uC0

R· e1/(RC) · t = 0 (1.25)

t = τ = 1RC i(τ) =

u0 − uC0

R· e−1 = 0, 37 · u0 − uC0

R(1.26)

Az ellenálláson eső feszültséget most is az áramból határozzuk meg:

uR(t) =u0 − uC0

R· e− 1

RC t ·R = 1(t) · (u0 − uC0)e−1

RC t. (1.27)

Hasonlóan a kondenzátor feszültségére:

uC(t) = u0 − uR(t) =(u0 − u0 · e−

1RC t + uC0 · e−

1RC t)· 1(t) = 1(t) ·u0 ·

(1− e− 1

RC t +uc0u0· e− 1

RC t

). (1.28)

1.6. ábra. A soros RC kapcsolás áramának és feszültségeinek idődiagramja uC0 kezdeti feszültség esetén.

Abban az esetben, ha a kezdeti feszültség a kondenzátoron nem zérus, úgy a kondenzátor feltöltődése bekapcso-láskor erről a feszültségről kezdődik, ahogy azt a 1.10. ábra harmadik grafikonján láthatjuk. Ebben az esetben akisebb potenciál, ami az ellenálláson esik kisebb áramot tud áthajtani rajta, így a kezdő áram is a kezdő potenciállalcsökkentett generátorfeszültséggel lesz arányos.


1.7. ábra. A soros RL kapcsolás áramköri rajza.

A soros RL kör

A következő vizsgálandó hálózat a soros RL kör, amit a 1.7. ábrán láthatunk.Írjuk fel ismét az operátoros Kirchoff egyenletet, hogy meghatározzuk a körben folyó áram nagyságát, majd rendre

az ellenálláson és az induktivitáson eső feszültségeket.Az áramra írhatjuk, hogy

I(s) =u0(s)

Z(s)=u0s· 1

R+ L=u0L· 1

s(s+ R

L

) , (1.29)

ahol ismét alkalmaztuk a "maradjon magára s" elvet. Amennyiben a nevező magasabb fokszámú, az un. kifejtésitételt kell alkalmazni (lsd. táblázat). Ehhez meg kell határozni a nevező zérushelyeit, most rendre

s0 = 0, s1 = −RL

; (1.30)

A nevező és a nevező s szerinti első deriváltja

N = s

(s+

R

L

)= s2 + s

R

L, N ′ =

∂N

∂s= 2s+

R

L. (1.31)

Ekkor a kifejtési tétel összefüggése alapján az inverz Laplace transzformáció

i(t) = L−1I(s) = 1(t)u0L

(L

Re0 · t +

1

−2R/L+R/L· e−Rt/L

)= 1(t) · u0

L

(1− e−Rt/L

). (1.32)

Az áram ábrázolásához ismét határozzuk meg a t = 0, t =∞ és a t = τ időpillanatokban az áramértékeket.

t = 0 i(0) = 0 (1.33)

t =∞ i(∞) =u0R

(1.34)

t = τ = LR i(τ) =

u0R·(

1− e−1)

= 0, 63 · u0R. (1.35)

Most határozzuk meg az áram segítségével az ellenálláson eső feszültséget:

uR(t) = R · i(t) =u0R·R ·

(1− e−Rt/L

)· 1(t) = u0 · 1(t) ·

(1− e−Rt/L

)(1.36)

Ennek a feszültségnek az értékeit is nézzük meg a különböző időpontokban:

t = 0 uR(0) = 0 (1.37)t =∞ uR(∞) = u0 (1.38)

t = τ = LR uR(τ) = u0 ·

(1− e−1

)= 0, 63 ·u0. (1.39)

Hasonlóan az eddigiekhez határozzuk meg az induktivitáson eső feszültség időbeni változását.

uL(t) = u0 · 1(t)− uR(t) =(u0 − u0 + u0 · e−Rt/L

)· 1(t) = u0 · e−Rt/L · 1(t). (1.40)


Ennek a feszültségnek az értékeit is meg tudjuk határozni a különböző időpillanatokban az ábrázoláshoz:

t = 0 uL(0) = u0 (1.41)t =∞ uL(∞) = 0 (1.42)

t = τ = LR uL(τ) = u0 · e−1 = 0, 37 ·u0. (1.43)

1.8. ábra. A soros RL kapcsolás áramának és az ellenálláson és az induktivitáson eső feszültségének idődiagramja.

Abban az esetben, ha induktivitást kötünk az áramkörünkbe, úgy az a bekapcsolás állapotában szakadáskéntviselkedik, majd ahogy épül fel rajta a mágneses tér, úgy indul meg a körben az áram is. Ez a jelenség látható a 1.8.ábra első grafikonján. Ennek hatására az ellenálláson eső feszültség is arányos ezzel az árammal, majd több τ időmúlva el is éri a generátor feszültségét, mivel akkor már az induktivitás rövidzárként működik és az összes feszültségaz ellenálláson fog esni. Mindeközben a tekercs sarkain a kezdeti generátorfeszültségről zérusig esik a potenciál.

A soros RL kör, ha iL(0) 6= 0

Most vizsgáljuk meg a soros RL kapcsolást abban az esetben, ha t = 0 időpillanatban a tekercsnek egy iL0 kezdetiárama van. Ezt az áramot természetesen kifejezhetjük úgy is, mint egy, az induktivitás sarkain megjelenő feszültség-különbséget a t = 0 időpillanatban, amit uL0 = L · iL0 · δ(t) alakban írhatunk fel a Dirac delta függvény segítségével.A kapcsolásban ezt a feszültséget egy, azáram irányával ellentétes irányú feszültségforrással tudjuk helyettesíteni,ahogy azt a 1.9. ábra mutatja.

1.9. ábra. A soros RL kapcsolás kapcsolási rajza és helyettesítő képe, abban az esetben, ha iL0 6= 0.

Írjuk fel megint az operátoros Kirchoff egyenletet, ekkor

I(s) =u0(s) + L · IL0(s)

Z(s). (1.44)

Behelyettesítve a Laplace transzformált értékeket és az impedanciát, kapjuk, hogy

I(s) =u0

s + L · IL0

R+ sL=u0 + sLIL0s (R+ sL)

=u0

L + IL0s

s(s+ R

L

) . (1.45)


Mivel ismét másodfokú a nevező, alkalmazzuk a kifejtési tételt az inverz Laplace transzformációhoz. A nevezőkét megoldása s-re

s0 = 0, s1 = −RL. (1.46)

A nevező és deriváltja

N = s2 + sR

L, N ′ =

∂N

∂s= 2s+

R

L. (1.47)

Végezzük el az inverz Laplace transzformációt

i(t) = L−1I(s) = 1(t)

(u0/L

R/L· e0 · t +

u0/L− IL0R/L−2R/L+R/L

· e−Rt/L)

= 1(t)

(u0R− u0Re−Rt/L + IL0 · e−Rt/L

). (1.48)

Az ábrázoláshoz határozzuk meg a már megszokott időpillanatokban az áram értékét:

t = 0 i(0) = IL0 (1.49)

t =∞ i(∞) =u0R

(1.50)

t = τ = LR i(τ) = 0, 63 · u0

R+ 0, 37 · IL0. (1.51)

Számítsuk ki az ellenálláson eső feszültséget:

uR(t) = R · i(t) = 1(t) ·[u0

(1− e−Rt/L + IL0 ·R · e−Rt/L

)]. (1.52)

A szokásos időpontokra ennek az értéke a megfelelő behelyettesítésekkel:

t = 0 uR(0) = IL0 ·R (1.53)t =∞ uR(∞) = u0 (1.54)

t = τ = LR uR(τ) = 0, 63 ·u0 + 0, 37 · IL0 ·R. (1.55)

Az induktivitáson eső feszültség pedig egyszerűen adódik az eddigiekből

uL(t) = u0 · 1(t)− uL(t) = (u0 − IL0R) e−Rt/L. (1.56)

Ennek az értéke a különböző időpontokban

t = 0 uL(0) = u0 − IL0 ·R (1.57)t =∞ uL(∞) = 0 (1.58)

t = τ = LR uL(τ) = 0, 37 · (u0 − IL0 ·R) . (1.59)

1.10. ábra. A soros RL kapcsolás áram, ellenállás- és induktivitásfeszültségének idődiagramja.

Amennyiben remanens áram marad az induktivitáson (remanens mágneses tér) és úgy kapcsoljuk rá a körre agenerátorunkat, akkor a kialakuló áram nem nullától, hanem a tekercsen folyó áram nagyságától kezd el növekednia végső áramérték felé. Hasonló a helyzet ezáltal az ellenálláson eső feszültség esetében is, mivel az arányos a rajtaátfolyó árammal.


Induktív feszültségosztó kimenetének vizsgálata bekapcsoláskor

Ebben a részben egy feszültségosztó kimenetének időfüggését vizsgáljuk, ahol a keresztágban egy induktivitás istalálható az ellenállással sorba kötve, ahogy azt a 1.11. ábrán is láthatjuk.

1.11. ábra. Induktív elemet tartalmazó feszültségosztó kapcsolási rajza.

Írjuk fel egyből az operátoros formában az osztóképletet

Uki(s) = u0(S) · R+ sL

R+ sL+R= u0

s+R/L

s(s+ 2R/L). (1.60)

Ismét másodfokú a nevező, tehát alkalmazzuk a kifejtési tételt. A nevező nérushelyei az s0 = 0 és az s1 = −2R/L.Meghatározva a nevező deriváltját

N ′ =∂N

∂s= 2s+

2R

L(1.61)

máris írhatjuk az inverz Laplace transzformációt

uki(t) = L−1Uki(s) = 1(t)

n∑i=0

M(si)

N ′(si)esit = u0

R/L

2R/Le0 · t + u0

−2R/L+R/L

−4R/L+ 2R/Le−2Rt/L =

u02

(1 + e−2Rt/L

)(1.62)

A kapcsolás időállandója most τ = L/2R.

1.12. ábra. Az induktivitásos feszültségosztó kimeneti feszültségének időfüggése.

A kimeneti feszültség ábrázolásához határozzuk meg a főbb időpillanatokban az értékét,

t = 0 uki(0) = u0 (1.63)

t =∞ uki(∞) =u02

(1.64)

t = τ = L2R uki(τ) =

u02· 1, 37. (1.65)


A kimeneti feszültség időbeni lefutását pedig a 1.12 ábrán láthatjuk.Az induktív elemet tartalmazó osztó kimeneti feszültsége sem tartalmaz már meglepő mozzanatokat számunkra,

ha értjük az előzőekben tárgyalt kapcsolások tranziens jelenségeit. Kezdetben az induktivitás szakadásként működik,ekkor a kimeneten a generátor feszültsége jelenik meg. Ahogy nő az áram a körben úgy csökken a tekercs impedanciájaegészen addig, amíg rövidzár nem lesz néhány τ idő után. Ekkor a kimeneten a feszültség beáll az ellenállásosztóelemei által meghatározott feszültségre.

Kapacitív feszültségosztó kimenetének vizsgálata bekapcsoláskor

Most cseréljük ki az előzőleg induktív keresztági elemet egy kapacitív taggal, majd így vizsgáljuk a kapcsolás kime-netén megjelenő feszültség időbeni változását. A kapcsolási rajz a 1.13. ábrán látható.

1.13. ábra. A kapacitást tartalmazó feszültségosztó kapcsolási rajza.

Írjuk fel ismét a kimeneti feszültséget az operátoros alakban:

Uki(s) =u0s·

R+ 1sC

R+ 1sC +R

=u0s

sRC + 1

s2RC + 1=u02·

s+ 1RC

s(s+ 1

2RC

) . (1.66)

Itt is másodfokú a nevező s-ben, így a kifejtési tételhez határozzuk meg a zérusait, amik s1 = 0 és s2 = −1/(2RC).Szükség van még a nevező deriváltjára is, ami

N ′ =∂N

∂s= 2s+

1

2RC. (1.67)

Ennek alapján a kimeneti feszültség

uki(t) = L−1uki(s) =u02

1(t) · 1/(RC)

1(2RC)e0 +

u02

1(t)−1/(2RC) + 1/(RC)

−2/(2RC) + 1/(2RC)e−t/(2RC) = 1(t)

u02

(2− e−t/(2RC)

).

(1.68)Az ábrázoláshoz számoljuk ki a nulla és végtelen időpontban a kimeneti feszültséget:

t = 0 uki(0) =u02

(1.69)

t =∞ uki(∞) = u0 (1.70)

A kimeneti feszültség feszültség-idő grafikonját pedig a 1.14. ábrán láthatjuk.A kapacitív tagor tartalmazó feszültségosztó működése - ill. kimeneti feszültségének időbeni változása- is könnyen

magyarázható a korábban látottak segítségével. A generátor bekapcsolásakor a kapacitás a körben mint rövidzárszerepel, ekkor a kimeneten megjelenő feszültséget a feszültségosztó elemeinek nagysága határozza meg. Az időmúlásával a kondenzátor fegyverzetein kezdenek felhalmozódni a töltések mindaddig, amíg telítésbe nem megy.Ebben az esetben a kapacitás már szakadásként fog viselkedni és meg fog jelenni az áramkör kimenetén a generátornakmegfelelő nagyságú feszültség.


1.14. ábra. A kapacitást tartalmazó feszültségosztó kimeneti feszültségének feszültség-idő diagramja.

2 A Laplace transzformáció - emelt szinten

A Laplace transzformáció az integráltranszformációk csoportjába tartozik, melyek általános alakja a

F (ξ) =

∫K(ξ, x)f(x)dx, (2.1)

ahol a K(ξ, x) az úgynevezett magfüggvény (vagy kernel), aminek segítségével az integrálást végezzük. Különbözőmagfüggvények segítségével az integráltranszformációk változatos palettáját végigjátszhatjuk. Két széles körbenelterjedt és használt integráltranszformáció a Fourier-transzformáció valamint a Laplace-transzformáció.

Mi is a Laplace transzformáció és mely függvényeken van értelmezve?Az inverz-laplace transzformáció hasonló módon értelmezhető, azaz

f(t) = L−1F (s) =1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞F (s)estds. (2.2)

15

A Táblázatok

f(t) L[f(t)

]= F (s)

11

s(1)

eatf(t) F (s− a) (2)

U(t− a)e−as

s(3)

f(t− a)U(t− a) e−asF (s) (4)

δ(t) 1 (5)

δ(t− t0) e−st0 (6)

tnf(t) (−1)ndnF (s)

dsn(7)

f ′(t) sF (s)− f(0) (8)

fn(t) snF (s)− s(n−1)f(0)−

· · · − f (n−1)(0) (9)∫ t

0

f(x)g(t− x)dx F (s)G(s) (10)

tn (n ∈ Z)n!

sn+1(11)

tx (x ≥ −1 ∈ R)Γ(x+ 1)

sx+1(12)

sin ktk

s2 + k2(13)

cos kts

s2 + k2(14)

eat1

s− 1(15)

sinh ktk

s2 − k2(16)

cosh kts

s2 − k2(17)

eat − ebt

a− b1

(s− a)(s− b)(18)

aeat − bebt

a− bs

(s− a)(s− b)(19)

teat1

(s− a)2(20)

tneatn!

(s− a)n+1(21)

eat sin ktk

(s− a)2 + k2(22)

eat cos kts− a

(s− a)2 + k2(23)

eat sinh ktk

(s− a)2 − k2(24)

eat cosh kts− a

(s− a)2 − k2(25)

t sin kt2ks

(s2 + k2)2(26)

t cos kts2 − k2

(s2 + k2)2(27)

t sinh kt2ks

(s2 − k2)2(28)

t cosh kts2 − k2

(s2 − k2)2(29)

sin at

tarctan

a

s(30)

1√πte−a

2/4t e−a√s

√s

(31)

17

villany3 laplace transzformáció

Documents