A Fourier - transzformáció

Fourier - sorokFourier – transzformációFast Fourier - transzformációKapcsolat a paramétertér és frekvenciatér közöttKépjavítások a frekvenciatérben

Fourier - sorokMinden f(t)=f(tT) periodikus függvény előállítható szinuszos és koszinuszos függvények összegeként.

A felfedezés Joseph Fourier francia matematikus nevéhez fűződik.

Joseph Fourier (1768 – 1830)

Magyarázat:

Egy periodikus jel ugyanúgy, mint a fehér fény - összetevőkre bontható, amelyek összege szolgáltatja az eredeti jelet.

Ha ezt a felbontást hagyományos módon az idő függvényében, az időtartományban végezzük, akkor az eredeti jel egymáshoz képest kötött fázisviszonyú (helyzetű) szinuszos (koszinuszos) jelekből állítható össze.

A legkisebb összetevő frekvenciája megegyezik az eredeti jel ismétlődési frekvenciájával, és az egyes összetevők frekvenciája ennek az alapfrekvenciának egész számú többszöröse.

Négyszögjel közelítése szinuszos hullámokkal

Fourier – sorfejtés:

Tehát periodikus, folytonos időfüggvényekhez egy sorozat pár {an,bn} rendelhető, és egyben megadható az oda-vissza transzformáció is. Az {an} és a {bn} sorozatok frekvenciákhoz köthetők, tehát az idő (t) tartományból itt lehet áttérni az ω illetve az f tartományba. Az {an} és a {bn} sorozatok egy diagramban ábrázolhatók:

Négyszögjel frekvencia spektruma

A vizsgálandó τ szélességű, és T szerint periodikus négyszögjel, amplitúdóját jelöljük A-val. Helyezzük el az origóhoz képest szimmetrikusan, hogy a Fourier-sorában csak koszinuszos komponenseket kapjunk. Az egyes koszinuszos összetevők amplitúdójának meghatározása:

Az integrálást elvégezve a négyszögjelre, az alábbi eredményre jutunk:

Legyen a négyszögjel kitöltési tényezője T/τ = 1/2. A felharmonikusokból létrehozott frekvenciaspektrumot az alábbi ábrán láthatjuk:

A Fourier – sor komplex alakja:

Felhasználva az Euler-formulát, az összefüggés átírható:

Vezessük be a következő jelöléseket:

Ekkor írható, hogy:

ahol

Fourier - transzformáció

A jelek döntő többsége nem periodikus. Tehát szükséges a Fourier-sornál kapott eredményeinket nem periodikus jelekre is kiterjeszteni.

A nem periodikus jel úgy is felfogható, mint egy a végtelenben ismétlődő periodikus jel. Így bizonyos megkötésekkel alkalmazni lehet a periodikus jelekre vonatkozó Fourier-sorfejtést:

A Fourier-sor eddig olyan diszkrét függvényt szolgáltatott:

amelyet csak az nω0 illetve az f0 értékeknél értelmeztünk.

Ha T→∞, akkor ω0=0 illetve f0=0 igaz. Mivel:

Képezve a határértéket, az eredetileg komplex diszkrét függvény egy folytonos komplex függvénnyé módosul:

Az új függvény a Fourier-integrál (amit Fourier-transzformáltnak is neveznek)

Egydimenziós Fourier-transzformáció – folytonos eset

Legyen f(x) a valós számok halmazán értelmezett folytonos függvény. Az f(x) függvény Fourier-transzformáltját a következőképpen definiáljuk:

Adott F(u) függvény esetén az f(x) függvényt az inverz Fourier-transzformáció alkalmazásával határozhatjuk meg:

Az fenti egyenleteket Fourier-transzformációs párnak nevezzük.

Kétdimenziós Fourier-transzformáció – folytonos eset

A Fourier-transzformáció az f(x, y) kétváltozós függvényekre is értelmezhető:

Egydimenziós Fourier-transzformáció – diszkrét eset

Tegyük fel, hogy az f ’(x) folytonos függvényt mintavételezéssel diszkretizáljuk. Az f(x) diszkrét függvényt jelöljük a következőképpen:

ahol x a mintavételezési pontok távolsága. Így az f(x) függvény diszkrét Fourier-transzformáltja:

valamint az F(u) függvény inverz diszkrét Fourier- tanszformáltja:

Kétdimenziós Fourier-transzformáció – diszkrét eset

A folytonos kétdimenziós Fourier-transzformációhoz hasonlóan létezik a diszkrét kétdimenziós Fourier- transzformációs pár:

Fast Fourier-transzformáció

A Fourier-transzformált,

kiszámításához szükséges komplex szorzások és összeadások száma N2-tel arányos. Ez könnyen belátható, hiszen az összegzés kifejtéséhez, az u minden N értékéhez N-szer kell komplex szorzást végrehajtani f(x) ésközött, valamint szükséges (N -1) darab összeadás is az eredmény kiszámításához.

A Fast Fourier-transzformáció alkalmazásával (ami a fenti egyenlet megfelelő felbontásán alapszik) a szorzó és összeadó műveletek száma N log2 N-nel aranyossá tehető.

A szorzás és összeadás műveletek arányának N2-ről N log2 N-re csökkentése jelentős számítási igény megtakarítását jelenti, ahogy ezt a lenti táblázat is mutatja.

Kapcsolat a paramétertér és frekvenciatér között

A függvények értelmezési tartománya (paramétertér) és Fourier-transzformáltjuk értelmezési tartománya (frekvenciatér) közötti alapvető kapcsolatot a konvolúció teremti meg.

Az f(x) és a g(x) függvények f(x)*g(x)-szel jelölt konvolúcióját a következőképpen definiáljuk:

Ha az f(x) Fourier-transzformáltja F(u) és a g(x) Fourier-transzformáltja G(u), akkor az f(x)*g(x) Fourier-transzformáltja F(u) G(u). Ezt az eredményt formálisan a következő formában fejezhetjük ki:

Ez az összefüggés azt fejezi ki, hogy a paramétertérbeli konvoluciónak frekvenciatérbeli szorzás felel meg. Továbbá az is teljesül, hogy a paramétertérbeli szorzásnak frekvenciatérbeli konvolúcio felel meg. Ezt formálisan a következőképpen fejezhetjük ki:

Ezekre a tulajdonságokra konvolúciós tételként hivatkozunk.

Képjavítások a frekvenciatérbenA frekvenciatartományban végzett (globális) javítások a konvolúció elméleten alapszanak , amikor is a képet kétváltozós függvényként kezeljük. Képlettel:

g(x,y) = f(x,y) *  h(x,y)

ahol f(x,y) az eredeti, g(x,y) a javított képet, h(x,y) a javítást végző, eltolásvariáns szűrőfüggvényt jelenti. Ismeretes, hogy ez utóbbival egyenértékű eredményhez jutunk, ha az eredeti függvények Fourier-transzformáltjának szorzatát képezzük, majd erre inverz Fourier-transzformációt hajtunk végre.

A képjavítás ezek szerint most úgy történi, hogy először előállítjuk a kép F(u,v) Fourier-transzformáltját, majd megszorozzuk egy alkalmasan választott H(u,v) szűrőfüggvénnyel:

G(u,v) = F(u,v) H(u,v)

Ha most G(u,v)-re inverz Fourier-transzformációt hajtunk végre, megkapjuk a javított g(x,y) képet.

Aluláteresztő szűrő

A zajok és a világosságkódokban mutatkozó éles átmenetek a kép Fourier-transzformáltjának magasfrekvenciás összetevőiben jelentkeznek. Ebből következik, hogy a zajok elnyomásának egyik lehetséges módja a frekvenciatartományban végzett szűrés. Ez azt jelenti, hogy a G(u; v) = F(u; v) H(u,v) egyenletben szereplő H(u; v) függvényt úgy kell megválasztani, hogy a kép F(u; v) Fourier-transzformáltjaból kiszűrje a magasfrekvenciás összetevőket, de az alacsonyabb frekvenciájú komponenseket lehetőleg változatlanul engedje át. Az ilyen szűrőket aluláteresztő szűrőknek nevezzük.

A legegyszerűbb ilyen szűrő az ideális aluláteresztő szűrő (ILPF) átviteli függvénye a következő:

ahol (u; v) az (u; v) pont origótól vett távolsága. A definícióból látható, hogy az ideális szűrő változatlanul átengedi a 0 sugarú kör belsejébe eső alacsonyfrekvenciás összetevőket, a körön kívüli magasabb frekvenciás összetevőket pedig teljesen kiszűri. Az 0-t vágási frekvenciának nevezzük.

Az ideális szűrő hatását tekintve bizonyos tekintetben korántsem ideális, minthogy a zajokkal együtt kiszűri a magasabb frekvenciatartományba eső éleket is, miáltal a kép igen jelentősen elhomályosodik.

Felüláteresztő szűrő

A torzítások gyakran úgy jelentkeznek, hogy a határátmenetek kiszelesednek, az élek elmosódnak. Sok esetben akkor is alkalmazzuk az élkiemelési eljárásokat, ha ilyen torzítás fel sem lép, mivel kísérletek azt bizonyítják, hogy szubjektíve előnyösebb érzetet kelt a túlhangsúlyozott élekkel rendelkező kép, mint a valósághű ábrázolás.

Az ideális felüláteresztő szűrő (IHPF) a következőképpen definiálható:

Példák szűrőkre:

Eredeti kép Szűrt kép

Egy aluláteresztő szűrő hatására a kép kissé elmosódik a különálló pixelek eltűnnek, csökken a zaj.

Eredeti kép Szűrt kép

A Hold felszínén és a házon jól kiemeli a részleteket egy felüláteresztő szűrő, az élek túlhangsúlyozottá válnak.