LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİLAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

• Gıda mühendisliğinde ve proses kontrolde sistemitanımlayan birçok matematiksel modeller kullanılır.

•Bu modelleri çözerken sıklıkla diferansiyel denklem•Bu modelleri çözerken sıklıkla diferansiyel denklemçözümleri yapılır.

•Laplace dönüşümleride diferansiyeldiferansiyeldenklemlerindenklemlerin cebirselcebirsel denklemlerdenklemler halinehalinegetirilmesinigetirilmesini sağlar ve kontrol hesaplamalarındabüyük kolaylıklar sağlamaktadır.

TANIMTANIMf(t) gibi t’ye bağımlı bir fonksiyonun laplacedönüşümü aşağıda verilmiştir.

dtetfsfst−

∞

=

0

)()(

f(s) fonksiyonu f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümüdür.Laplace dönüşümlerinin farklı gösterim şekilleri vardır.

Y(s) f(s) F(s) } (t) f L{ (s) f ====

Yukarıdaki tanıma bir örnek olarak f(t) = 1 ‘in Laplacedönüşümü alalım.

(2.3)

(2.4)

ss

e

s

edtesf

sstst 1

0)1()(0*

00

=+−=−==

−∞

−

−

∞

sL

1}1{ =

Görüldüğü gibi f(t)=1 fonksiyonunun Laplace dönüşümü

‘dir.s

sf1

}{ =

� Diferansiyel eşitliklerin çözümünde:� Önce Laplace dönüşümü uygulanır

� Daha sonra denklemden Y(s) elde etmek için cebirsel çözüm yapılır

� En son tekrar ters laplace alınarak istenilen sonuç � En son tekrar ters laplace alınarak istenilen sonuç bulunur

� Laplace dönüşümlerinde rahatlık sağlaması için tablolar oluşturulmuştur.

1 1/s

t 21/ s

nt !

, 0,1, 2, ...n

n =

sinkt

2 2

k

s k+

coskt

sinh kt

2 2

k

s k−

2 2

s

s k−

FONKSİYON GRAFİK DÖNÜŞÜM FONKSİYON GRAFİK DÖNÜŞÜM

t1

!, 0,1, 2, ...

n

nn

s+

=

ate

−1

s a+

.n at

t e−

( )1

!n

n

s a+

+

s k+

2 2

s

s k+cosh kt

sinate kt−

( )2 2

k

s a k+ +

cosat

e kt−

( )2 2

s a

s a k

+

+ +

LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİNİN LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİNİN ÖZELLİKLERİÖZELLİKLERİ

1. Laplace dönüşümleri uygulandığında, zaman değişimidaima pozitif ve sonsuza kadardır. (0< t < ∞)

2. Laplace dönüşümleri daima doğrusal diferansiyeldenklemlere uygulanır.denklemlere uygulanır.

(2.5)

İki fonksiyonun toplamlarının Laplace dönüşümü her iki fonksiyonunayrı ayrı Laplace dönüşümlerinin toplamına eşittir. a ve b sabitkatsayıları f1 ve f2 de fonksiyonları göstermektedir.

3. Laplace dönüşümü sonunda t değişkeni s değişkeni yolu ile elimine edilir.

(t)}{f bL } (t) {f aL (t)}f b (t)f {a L 2121 +=+

( ){ } ( ) ( )£ ´ 0f t sf s f= −

( ){ } ( ) ( ) ( )2£ ´´ 0 ´ 0f t s f s sf f= − −

( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1

£ 0 ´ 0 .... 0

n

n n n n

n

d f ts f s s f s f f

dt

− − −

= − − −

Türevin Laplace DönüşümleriTürevin Laplace Dönüşümleri

( ) ( ) ( ) ( )£ 0 ´ 0 .... 0n

s f s s f s f fdt

= − − −

( )( )

0

£

t f sf t dt

s

=

İntegralin Laplace Dönüşümleriİntegralin Laplace Dönüşümleri

Diferansiyel Denklemlerin Diferansiyel Denklemlerin ÇözümüÇözümü

)()(1)0()( sYyLytfy ===� y t’ye bağlı bir

fonksiyon

� t= 0 anındaki fonksiyonun değeri 1245 =+ y

dt

dyfonksiyonun değeri 1

� y fonsiyonunun laplace dönüşümü = Y(s)

245 =+ ydt

• Yukarıdaki diferansiyel denklemi Laplace dönüşümlerini kullanarak çözünüz

Diferansiyel Denklemlerin Diferansiyel Denklemlerin ÇözümüÇözümü

)()(1)0()( sYyLytfy ===

245 =+ ydy

• Her bir terime laplacedönüşümü uygulanır

• Y(s) bulmak için cebirsel çözüm yapılır.

245 =+ ydt

dy cebirsel çözüm yapılır.

• Her bir terim için “ters laplace” uygulanır.

• Tablolardan yararlanabilirsiniz.

ÖRNEKÖRNEKAşağıdaki diferansiyel denklemi Laplace dönüşümü yöntemi ile çözünüz.

2dyyd

122

2

=++ ydt

dy

dt

yd

0)0(')0( == yy

Son Değer ve İlk Değer TeoremiSon Değer ve İlk Değer Teoremi

[ ] [ ])(lim)(lim 0 sFstf st →∞→= � Fonksiyonun t=

yatışkın koşul değerinin bulunması

∞

Proses dinamiğinde ve proses kontrolde ilk ve son değer teoremi proses hakkında bilgi verir.

SON DEĞER TEOREMİ değerinin bulunması için kullanılır.

[ ] [ ])(lim)(lim 0 sFstf st ∞→→=

• Fonksiyonun başlangıç koşullarının (t=0) bulunması için kullanılır.

SON DEĞER TEOREMİ

İLK DEĞER TEOREMİ

Son Değer ve İlk Değer Teoreminin Son Değer ve İlk Değer Teoreminin uygulanmasına bir örnekuygulanmasına bir örnek

)45(

25)(

+

+=

ss

ssY

� Fonksiyonun laplace dönüşümü

)45(

25)(

+

+=

s

sssY

� İlk değer teoreminin uygulanması

� Son değer teoreminin uygulanması

145

25)(lim =

+

+=∞→

s

sssYs

5.045

25)(lim

0=

+

+=

→s

sssYs

)45( +s

ÖRNEK

0)0(')0(2862

2

===++ yyydt

dy

dt

yd � ODE / Başlangıç Koşulları

� Her bir terime laplace dönüşümünü uygula

� Y(s) bulmak için çözüm � Y(s) bulmak için çözüm yap.

� Kısmi kesirlerine ayır.

� Her bir terim için “ters laplace” uygula.

ÇÖZÜM

0)0(')0(2862

2

===++ yyydt

dy

dt

yd � ODE / Başlangıç Koşulları

� Her bir terime laplace dönüşümünü uygula

� Y(s) bulmak için çözüm

ssYsYssYs /2)(8)(6)(2

=++

� Y(s) bulmak için çözüm yap.

� Kısmi kesirlerine ayır.

� Her bir terim için “ters laplace” uygula.

)4()2(

2)(

++=

ssssY

)4(4

1

)2(2

1

4

1)(

++

+

−+=

ssssY

424

1)(

42 ttee

ty−−

+−=