vektorer og trigonometri 6 · hvad er matematik? 1, opgavebog 2018 & uddannelse, ... hvad er en...

107Hvad er matematik? 1, opgavebog © 2018 L&R Uddannelse, København Hvad er matematik? 1, opgavebog © 2018 L&R Uddannelse, København

6.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 6

Opgave 6.1

a) Omtrent hvornår begyndte man den opmåling af Danmark, der førte frem til tegning af forholdsvis nøjagtige kort?

b) Man tidsinddeler verdenshistorien i nogle større perioder, som du fx kan finde mar-keret på indersiden af grundbogens omslag. I hvilken periode var det, opmålingen af verden foregik?

Opgave 6.2

I Frankrig, der var foregangsland i arbejdet med opmålingen af verden, havde man en ambition om at standardisere måleenhederne. Det første til, at man fastlagde en ny enhed, der blev kaldt en meter. Hvilke måleenheder brugte man i Danmark på den tid?

Opgave 6.3

Opmålingen foregik i alle lande ved anvendelse af triangulering. Forklar den grund- læggende ide heri.

Vektorer og trigonometri

6.0. Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 5 . . . . . . . 107

2. Hvad er en vektor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3. Vektorer i et koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4. Pythagoras’ sætning og længden af en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5. Ensvinklede trekanter og skalering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6. Trigonometriske beregninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7. Skalarprodukt af vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8. Projektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9. Tværvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

10. Determinanter, arealberegning og sinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . 131

11. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

108Hvad er matematik? 1, opgavebog © 2018 L&R Uddannelse, København

Opgave 6.4

a) Opmålingen af Danmark blev lagt i hænderne på en bestemt institution. Hvilken?

b) Caspar Wessel, der var ansat af denne institution, udviklede nogle nye ideer til at lette det store beregningsarbejde, og han sammenfattede disse ideer i en afhand-ling. Hvad var den revolutionerende nye matematiske teori, Caspar Wessel her fremlagde?

Opgave 6.5

Caspar Wessel taler om regning med linjestykker, der har en længde og en retning.

a) Hvordan adderes to linjestykker?

b) Hvad er det modsatte linjestykke til en linje ab?

c) Hvordan foretages subtraktion af linjestykker?

d) Hvilke regneregler gælder for addition af linjestykker?

Opgave 6.6

a) Hvordan foretages multiplikation af to linjestykker?

Caspar Wessel indfører en ny enhed ved siden af tallet 1, og han indfører et symbol ε for den nye enhed.

b) Hvor afsættes den nye enhed i koordinatsystemet?

c) Udregn ε2 med brug af den opskrift, der er givet under punkt a). Hvad ser du?

d) Udregningen i punkt c) giver anledning til en anden måde at skrive ε på. Hvilken?

Opgave 6.7

Med de komplekse tal tager vi skridtet fra éndimensionale tal på tallinjen til todimen-sionale tal i planen. I matematik forsøger vi ofte at generalisere. Men hvad var det, den irske matematiker Hamilton opdagede i 1843?

Opgave 6.8

a) Hvad er en vektor, og hvordan repræsenterer vi vektorer geometrisk?

b) Givet to punkter A, og B. Hvad forstår vi ved vektoren AB

?

c) Givet en vektor. Hvad forstår vi ved den modsatte vektor til denne? Hvilket symbol anvender vi for denne modsatte vektor? Illustrer med vektoren AB

.

d) Hvad er en skalar?


6. Vektorer og trigonometri

Opgave 6.9

a) Hvordan adderes vektorer geometrisk?

b) Hvordan subtraheres vektorer geometrisk? En subtraktion af to vektorer kan omskrives til en addition. Hvordan?

c) For addition af vektorer gælder den kommutative lov og den associative lov. Hvad siger de to love?

Opgave 6.10

a) Hvad siger indskudsreglen?

b) Gennemfør et argument for denne.

Opgave 6.11

a) Hvordan multipliceres en vektor med en skalar?

b) For multiplikation af skalarer på vektorer gælder de distributive regler. Hvad siger de?

Opgave 6.12

a) Hvad er nulvektoren?

b) Hvad kaldes vektorer, som vi ved ikke er nulvektoren?

Opgave 6.13

a) Hvad er en stedvektor til et punkt P?

b) Hvordan defineres koordinaterne til en vektor?

Opgave 6.14

Opskriv på koordinatform regnereglerne for addition, subtraktion og multiplikation af en vektor med en skalar.

Opgave 6.15

Givet koordinaterne til punkterne A og B. Hvad er koordinaterne til forbindelsesvektoren AB

?


Opgave 6.16

a) Hvad siger Pythagoras’ læresætning? Formuler den både med ord og som formel.

b) Hvordan udregnes længden af en vektor, når vi kender koordinaterne?

c) Hvordan udregnes afstanden mellem to punkter, hvor vi kender deres koordinater?

Opgave 6.17

a) Givet to vektorer og a b

. Hvordan kan vi udtrykke påstanden ” og a b

er parallelle” med en formel?

b) Hvad forstår vi ved en enhedsvektor? Hvordan bestemmer vi en enhedsvektor med samme retning som vektor og a b

?

Opgave 6.18

a) Hvordan defineres, at to figurer er ensvinklede?

b) Hvordan defineres, at to figurer er ligedannede?

Opgave 6.19

a) Hvordan regnes opgaver om ensvinklede trekanter? Illustrer gerne med et eksempel.

b) Hvad kaldes det tal k, der indgår i udregningerne med ensvinklede trekanter?

Opgave 6.20

a) Hvad forstår vi ved enhedscirklen?

b) Forklar begreberne retningspunkt og retningsvektor for en vinkel, samt retnings- vinkel for et punkt på enhedscirklen.

Opgave 6.21

a) Hvad er definitionen på cosinus og på sinus til en vinkel?

b) Hvad er definitionen på tangens til en vinkel?

c) Ud fra enhedscirklen får vi de såkaldte overgangsformler for cosinus og sinus. Hvad siger disse formler?

Opgave 6.22

Cosinus og sinus kan anvendes til beregninger af ukendte sider og ukendte vinkler i retvinklede trekanter. Hvilke formler vil du anvende? Illustrer gerne med eksempler.



Opgave 6.23

a) Hvad er definitionen på skalarproduktet af to vektorer?

b) Hvad får vi, hvis vi udregner skalarproduktet af en vektor med sig selv?

Opgave 6.24

Hvad menes med sætningen ”skalarproduktet er uafhængigt af koordinatsystemet”?

Opgave 6.25

a) En vigtig formel sammenkæder skalarproduktet og vinklen mellem de to vektorer. Hvad siger formlen?

b) Hvordan kan skalarproduktet afgøre, om to vektorer er ortogonale?

Opgave 6.26

a) I enhver trekant gælder cosinusrelationerne. Redegør for formlerne.

b) For at foretage beregninger i en trekant skal vi normalt kende tre ud af de i alt seks vinkler og sider. Hvilke af trekantstilfældene kan løses med cosinusrelationerne?

Opgave 6.27

a) Hvad menes med projektionen af et punkt på en linje? Tegn og forklar.

b) Hvad menes med projektionen af en vektor på en linje (eller på en vektor)?

c) Givet to vektorer og a b

. Der findes en formel, der angiver projektionen af vektor og a b

på vektor og a b

. Hvordan ser den formel ud?

Opgave 6.28

Hvad forstår vi ved tværvektoren til en vektor?

Opgave 6.29

a) Hvad er definitionen på determinanten det( og a b

, og a b

) af vektorparret ( og a b

, og a b

)?

b) Der findes et særligt determinantsymbol, hvor vektorerne indgår med deres koordinater. Forklar dette.

Opgave 6.30

a) Hvad er sammenhængen mellem determinant og areal?

b) Hvad er sammenhængen mellem determinanten det( og a b

, og a b

) og vinklen mellem vektorerne?


Opgave 6.31

a) I enhver trekant gælder sinusrelationerne. Redegør for formlerne.

b) For at foretage beregninger i en trekant skal vi normalt kende tre ud af de i alt seks vinkler og sider. Hvilke af trekantstilfældene kan løses med sinusrelationerne?

Opgave 6.32

I beregninger med brug af sinusrelationerne skal man være opmærksom på den så-kaldte sinusfælde. Hvad menes hermed?

6.2 Hvad er en vektor? Opgave 6.33

Figuren viser to vektorer og a b

.

a) Tegn de to vektorer på et kvadreret papir.

b) Tegn på det kvadrerede papir de to summer af de to vektorer.

c) Tegn på det kvadrerede papir de to differenser af de to vektorer.

d) Tegn på det kvadrerede papir fire vektorer, der er og a b

multipliceret med henholdsvis 2, 5, –1 og –3.

e) Tegn på det kvadrerede papir fire vektorer, der er og a b


f) Tegn på det kvadrerede papir de fire vektorer, der er 3 og a b

+ 4 og a b

, –2 og a b

+ og a b

, 5 og a b

– 3 og a b

og 7 og a b

– 8 og a b

.

Opgave 6.34


.

a) Tegn de to vektorer i et matematisk værktøjsprogram.

b) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de to summer af de to vektorer.

c) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de to differenser af de to vektorer.

d) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er og a b


e) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er og a b

multipli-ceret med henholdsvis 2, 5, –1 og –3.

f) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er 3 og a b

+ 4 og a b

, –2 og a b

+ og a b

, 5 og a b

– 3 og a b

og 7 og a b

– 8 og a b

.

x

y

og a b

og a b

0 1 2 3

5

4

3

2

1

x

y

og a b

og a b

0 1 2 3

5

4

3

2

1



Opgave 6.35


.

a) Tegn de to vektorer på et kvadreret papir.

b) Tegn på det kvadrerede papir de to summer af de to vektorer.

c) Tegn på det kvadrerede papir de to differenser af de to vektorer.

d) Tegn på det kvadrerede papir fire vektorer, der er og a b

multipliceret med henholdsvis 2, 5, -1 og -3.

e) Tegn på det kvadrerede papir fire vektorer, der er og a b


f) Tegn på det kvadrerede papir de fire vektorer, der er 3 og a b

+ 4 og a b

, –2 og a b

+ og a b

, 5 og a b

– 3 og a b

og 7 og a b

– 8 og a b

.

Opgave 6.36


.

a) Tegn de to vektorer i et matematisk værktøjsprogram.

b) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de to summer af de to vektorer.

c) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de to differenser af de to vektorer.

d) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er og a b


e) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er og a b


f) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er 3 og a b

+ 4 og a b

, –2 og a b

+ og a b

, 5 og a b

– 3 og a b

og 7 og a b

– 8 og a b

.

Opgave 6.37

Figuren viser tre vektorer og a b

, og a b

og c

.

a) Tegn de tre vektorer på et kvadreret papir.

b) Tegn på det kvadrerede papir summer af de tre vektorer.

c) Tegn på det kvadrerede papir differenser af to af vektorerne.

d) Tegn på det kvadrerede papir de fire vektorer, der er 3 og a b

+ 4 og a b

+ 2c

, –2 og a b

+ og a b

– 3c

, 5 og a b

– 3 og a b

– 8c

og 7 og a b

– 8 og a b

+ c

.

og a b

og a b

og a b

og a b

og a b

og a b

c


Opgave 6.38

Figuren viser tre vektorer og a b

, og a b

og c

.

a) Tegn de tre vektorer i et matematisk værktøjsprogram.

b) Tegn i det matematiske værktøjsprogram summen af de tre vektorer.

c) Tegn i det matematiske værktøjsprogram differensen af to af vektorerne.

d) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er 3 og a b

+ 4 og a b

+ 2c

, –2 og a b

+ og a b

– 3c

, 5 og a b

– 3 og a b

– 8c

og 7 og a b

– 8 og a b

+ c

.

6.3 Vektorer i et koordinatsystem Opgave 6.39

Vi har givet to vektorer på koordinatform

23

a =

og 35

b− =

.

Tegn fire repræsentanter for henholdsvis og a b

i et koordinatsystem.

Opgave 6.40

Kontrol af sum- og differensformlen

To vektorer er givet ved og a b

= 34

a =

og og a b

= 72

.

a) Tegn på kvadreret papir (baggrund med gitterlinjer) de to vektorer, således at de ligger i forlængelse af hinanden. Tegn sumvektoren og a b

+ og a b

, dvs. den vektor der går fra og a b

’s begyndelsespunkt til og a b

’s endepunkt.

b) Bestem ved aflæsning sumvektorens koordinater, og vis, at man får det samme, hvis man lægger vektorernes x-koordinater hhv. y-koordinater sammen.

c) Gentag processen, idet du nu tegner differensvektoren og a b

– og a b

, idet du udnytter, at og a b

– og a b

= og a b

+(– og a b

).

og a b

og a b

c



Opgave 6.41

På figuren er repræsentanter for en række vektorer indtegnet.

a) Bestem koordinaterne for vektorerne.

b) Bestem koordinater for differensvektorerne og a b

– og a b

, og a b

– d

, d

– c

, g

– og a b

, tegn repræsentanter for hver af dem, og kontroller dine resultater ved aflæsning.

c) Udnyt den geometriske beskrivelse af vektor-

addition til at tegne følgende vektorer: 1) og a b

+ og a b

2) g

+ d

3) og a b

+ d

+ 2c

Udregn koordinaterne og kontroller resultaterne ved aflæsning af koordinaterne.

Opgave 6.42

Dynamisk model for sumformlen

a) Afsæt de to ”frie” punkter A og B i et matematisk værktøjsprogram.

b) Tegn de to stedvektorer OA

og OB

i værktøjsprogrammet.

c) Afsæt vektoren OB

ud fra punktet A.

d) Marker det nye endepunkt som C, og afsæt vektoren OC

.

e) Afprøv den dynamiske illustration, så punktet A flyttes, og beskriv sammen- hængen mellem koordinaterne til vektorerne OA

, OB

og OC

.

f) Afprøv den dynamiske illustration, så punktet B flyttes, og beskriv sammen- hængen mellem koordinaterne til vektorerne OA

, OB

og OC

.

Opgave 6.43

Kontrol af formlen for skalarmultiplikation


= 34

a =

og og a b

= 72

.

a) Gang koordinaterne for vektor og a b

med 2, og tegn den nye vektor 2 · og a b

i samme koordinatsystem. Svarer den nye vektor til to vektor og a b

lagt i forlængelse af hinanden?

b) Gang koordinaterne for vektor og a b

med 12

, og tegn den nye vektor 12 · og a b

i samme koordinatsystem. Svarer den nye vektor til en halv vektor og a b

?

a

f

g

dc

b

x

y

1

1


Opgave 6.44

Figuren viser repræsentanter for vektorerne og a b

, og a b

, c

og d

.

a) Bestem koordinaterne for og a b

, og a b

, c

og d

.

b) Tegn repræsentanter for 3 · og a b

, 2 · og a b

, –c

og –4 · d

, og bestem koordinaterne.

c) Tegn repræsentanter for og a b

+ og a b

og c

+ d

, og bestem koordinaterne.

Opgave 6.45

Tre vektorer er givet ved og a b

= 22

, og a b

= 53

og c

= 4

10−

a) Tegn en repræsentant for og a b

+ og a b

i et koordinatsystem, og bestem koordinaterne.

b) Tegn en repræsentant for og a b

+ c


c) Tegn en repræsentant for og a b

+ og a b

+ c


d) Tegn en repræsentant for 3 · og a b


e) Tegn en repræsentant for –7 · c


Opgave 6.46

Vi har i et koordinatsystem givet punkterne (5,7), ( 2,1), (10, 3)A B C− − .

Bestem koordinaterne for vektorerne , , , og AB BC AC AA BA

.

Opgave 6.47

Vi har i et koordinatsystem givet punkterne (7,5), ( 3,3), (8, 3)A B C− − .

a) Bestem koordinaterne for midtpunktet af siderne AB, BC og AC.

b) Konstruer midtpunkterne i et geometriprogram, og bestem koordinaterne dér.

Opgave 6.48

Vi har de to vektorer og a b

= 72

og og a b

=3

10 .

a) Tegn og a b


b) Bestem koordinaterne til og a b

+ og a b

.

c) Bestem koordinaterne til 11 og a b

.

d) Bestem koordinaterne til 3 og a b

– 5 og a b

.

e) Bestem 1

2

c

cc =

, så 2 og a b

+ c

= 5 og a b

.

a

d

c

b

x

y

11



Opgave 6.49

Vi har fire vektorer og a b

= 2

10 , og a b

= –58

, c

= 9

20−

og d

= 5

15d

−−

=

.

a) Bestem længden af hver af de fire vektorer.

b) Bestem koordinaterne for hver af enhedsvektorerne, der er ensrettet med hver af de fire vektorer.

Opgave 6.50

Du har to vektorer og a b

og og a b

, der er parallelle.

a) Vælg koordinater for de to vektorer, så de er parallelle.

b) Hvordan kan vi ud fra koordinaterne for to vektorer undersøge, om de er parallelle?

Opgave 6.51

En vektor og a b

er givet ved og a b

= 74

.

a) Tegn en repræsentant for og a b

.

b) Bestem længden af og a b

, og bestem vinklen mellem og a b

og vandret.

c) Bestem og a b

, så og a b

+ og a b

= 3 · 5

11−

.

Opgave 6.52

Vi har punkterne A(4,5) og B(30,57).Bestem forbindelsesvektoren AB

og forbindelsesvektoren BA

.

Opgave 6.53

Vi har punkterne C(–4,7) og D(25,–10).Bestem forbindelsesvektoren CD

og forbindelsesvektoren DC

.

Opgave 6.54

Vi har de to vektorer og a b

= 85

og og a b

= 14

1 .

a) Tegn og a b


b) Tegn og a b

+ og a b


c) Bestem koordinaterne til og a b

+ og a b

.

d) Bestem koordinaterne til 11 og a b

.

e) Bestem koordinaterne til 3 og a b

– 5 og a b

.

f) Bestem 1

2

c

cc =

, så 3 og a b

+ c

= 11 og a b

.


6.4 Pythagoras’ sætning og længden af en vektor

Opgave 6.55

I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90°, er a = 6 og b = 11.

a) Bestem c.

Opgave 6.56

I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90°, er a = 7 og c = 20.

a) Bestem b.

Opgave 6.57

I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90°, er b = 3 og c = 10.

a) Bestem a.

Opgave 6.58

Der er givet følgende fire vektorer 41a =

, 37b =

, 43c − =

og 50d =

.

a) Beregn længden af hver af de fire vektorer.

b) Tegn i et geometriprogram repræsentanter for hver af de fire vektorer.

c) Bestem længden af vektorerne med geometriprogrammets facilitet.

Opgave 6.59

Vi har i et 2D koordinatsystem givet punkterne (7,5), ( 3,3), (8, 3)A B C− − .

a) Bestem længderne af linjestykkerne AB, BC og AC.

Opgave 6.60

Bestem afstanden mellem de to punkter.

a) A(2,4) og B(–1,5)

b) A(–5,7) og B(1,–5)

c) A(–8,–10) og B(3,5)



Vi vil i de følgende to opgaver se på nogle meget gamle anvendelser af Pythagoras’ sætning:

Opgave 6.61

På en kileskrifttavle, der hedder BM 85196, og som er ca. 3500 år gammel, findes en opgave om en pæl, der står lænet op ad en mur. Pælens længde er 30.

a) Hvor langt er pælen gledet væk fra muren (a), når den er gledet 3 ned ad muren (x)?

b) Hvor langt er pælen gledet ned ad muren (x), når den er gledet 5 væk fra muren (a)?

Opgave 6.62

Den kinesiske matematik var grundlæggende algebraisk, og de matematiske proble-mer, kineserne beskæftigede sig med, var ligesom andre steder i verden hoved- sagelig af praktisk karakter.

Med "De ni kapitler om den matematiske kunst" begynder en ny matematisk tradition i Kina. Værket består af en samling matematiske problemer, som mange forskellige personer har bidraget til over flere århundreder. Den første egentlige bog kom nogen-lunde samtidigt med Euklids Elementer, dvs. i år 300 f.v.t., men den udgave, vi kender i dag, er fra 263 e.v.t.

Problem 13 i kapitel 9 handler om udnyttelse af den pythagoræiske læresætning (se også figuren): Man har et bambusrør, som er 10 ch'ih højt. Det er knækket, og den øverste ende rører jorden 3 ch'ih væk fra roden. Find højden af knækket.

a) Løs problem 13.

6.5 Ensvinklede trekanter og skalering

Opgave 6.63

På et kort er målestoksforholdet 1:200000.

a) På kortet måles afstanden mellem to byer til 15 cm. Bestem afstanden i virkeligheden.

b) I virkeligheden er afstanden mellem to byer 100 km. Bestem afstanden mellem de to byer på kortet.

x

c

c–x

a P


Opgave 6.64

En person har tre forskellige kort over samme område, hvor det ene kort er tegnet med målestoksforholdet 1:100000. Det andet kort er tegnet med målestoksforholdet 1:50000, og det tredje kort er tegnet med målestoksforholdet 1:25000.

a) I området er der 20 km mellem to byer. Bestem afstanden mellem de to byer på de tre kort.

b) Hvilket kort vil indeholde flest detaljer?

Opgave 6.65

Trekanterne ABC og ADE er ensvinklede. Nogle af trekanternes mål er |AB| = 5, |AD| = 15, |BC| = 6

og |AE| = 12.

a) Bestem skaleringsfaktoren mellem de to ensvinklede trekanter.

b) Bestem siderne |AC| og |DE|.

Opgave 6.66

Trekanterne ABC og A1B1C1 er ensvinklede. Siderne a = 20, b = 60, a1= 1000 og c1= 2500.

a) Bestem siderne c og b1.

Opgave 6.67

Trekanterne ABC og A1B1C1 er ensvinklede. Nogle af trekanternes mål fremgår af figuren.

a) Bestem længden af siden B1C1 og længden

af siden AB.

(hf-C eksamen august 2006)

Opgave 6.68

Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P1Q1R1

a) Bestem længden af siden P1Q1.

(hf-C eksamen maj 2007)

A

B C

D E

A

B1

C1A1C

B

4,8

7 17,5

10

Q

P1

Q1

R1RP

30,625,519,5



Opgave 6.69

En afstand over en sø skal bestemmes.

a) Bestem afstanden AB, når AB og CD er parallelle.

Opgave 6.70

I punktet A står der en person, og i punktet B er der en mast.Fra punktet H kan personen se toppen af masten, dvs. punktet C, bliver reflekteret i en vandpyt i punktet D.

a) Bestem højden af masten, dvs. længden af BC.

Opgave 6.71

For to ensvinklede trekanter A1B1C1 og A2B2C2 gælder det, at

A B

A B1 1

2 2

3= . a) Bestem forholdet mellem h1 og h2, hvor h1 er højden fra B1, og h2 er højden fra B2.

b) Bestem forholdet mellem arealet af trekant A1B1C1 og trekant A2B2C2.

200 m

700 m

240 m

AB

D C

A

180 cm

C

D

H

B21,60 m500 cm


6.6 Trigonometriske beregninger Opgave 6.72

a) Tegn enhedscirklen.

b) Afsæt i 1. kvadrant en vinkel v, der er mindre 90°.

c) Marker den tilhørende retvinklede trekant.

d) Hvad er siderne i denne trekant I?

e) Afsæt også vinklen 90º – v i 1. kvadrant.

f) Marker den tilhørende retvinklede trekant.

g) Hvad er siderne i denne trekant II?

h) Hvad gælder der om trekant I og II?

i) Argumenter for cos(90° – v) = sin(v) og sin(90° – v) = cos(v).

Opgave 6.73

a) Tegn enhedscirklen.

b) Afsæt en vinkel v, der er større end 90° og mindre end 180°.

c) Marker den tilhørende retvinklede trekant i 2. kvadrant.

d) Hvad er siderne i denne trekant I?

e) Afsæt i 1. kvadrant vinklen 180° – v.

f) Marker den tilhørende retvinklede trekant.

g) Hvad er siderne i denne trekant II?

h) Hvad gælder der om trekant I og II?

i) Argumenter for sin(180° – v) = sin(v) og cos(180° – v) = –cos(v).

Opgave 6.74 Vi har to retvinklede trekanter.

a) Bestem den ukendte vinkel og de ukendte kateter for de to trekanter.

A

C

B = 30°

c = 8,5

A

B = 40°C

c = 6,5

a

b

a

b

I) II)



Opgave 6.75

Vi har to retvinklede trekanter.

a) Bestem den ukendte vinkel, den ukendte katete og den ukendte hypotenuse i begge trekanter.

Opgave 6.76

Vi har to retvinklede trekanter.

a) Bestem den ukendte side og de ukendte vinkler i de to trekanter.

Opgave 6.77

Figuren viser en trekant ABC, hvor vinkel C er ret.

a) Bestem |AB| og vinkel A.

b) Bestem længden af højden fra C på siden AB.


Opgave 6.78

Figur 2 viser en del af en fodboldbane, hvor en spiller skal sparke frispark fra punktet B.

a) Bestem |AB| og vinkel B i trekant ABC.

b) Bestem vinkel B i trekant ABD (dvs. den vinkel, som spilleren ser målet under).


A c B = 50°

b = 5,6

ED = 25°

C

d = 2,33

a F

e

f

I)

II)

A c = 3,9 B

b

ED

C

d = 5

a = 6,8

F

e

f = 5

I) II)

A 8,4

B

C

3,6

A D

C

B

7,32 m

20 m

8 m mål

Figur 1 Figur 2


Opgave 6.79

Figur 1 viser en sekskantet drage. På figur 2 er nogle af dragens mål angivet.

a) Bestem vinkel C i trekant AHC. Bestem |AH| .

b) Bestem vinkel A i trekant ABC .

(hf-C eksamen december 2007)

Opgave 6.80

Figur 1 viser et telt. Figur 2 viser et længdesnit gennem teltet. Nogle af målene fremgår af figuren.

a) Bestem teltets højde BC. Bestem længden af siden AB.

b) Bestem vinkel E i trekant DEF.


Opgave 6.81

Fotoet på figur 1 viser facaden af Ishavskatedralen i den norske by Tromsø.

Figur 2 viser en modeltegning af facaden. Nogle af målene fremgår af figur 2.

a) Bestem Ishavskatedralens højde BH .

b) Bestem arealet af Ishavskatedralens facade.


Opgave 6.82

Figuren viser en retvinklet trekant ABC, hvor AD halverer vinkel A. Nogle af målene fremgår af figuren.

a) Bestem vinklen v.

b) Bestem arealet af trekant ABC.


A H

C

B

26 cm

13 cm

30 cm

Figur 1 Figur 2

AD C

B

140 cm

166 cm

42,9°

E

F

Figur 1 Figur 2

A H C

B

38 m

67°

38 m

67°

Figur 1 Figur 2

A

v

D

C

B

5,0

4,5

v



Opgave 6.83

Hvis en 1,5 meter høj cyklist befinder sig i området CD, kan chauf- føren ikke se cyklisten gennem sideruden (se figurerne).

a) Bestem vinkel A i trekant AED.

b) Bestem længden af CD.


Opgave 6.84

Figuren viser en bordplade, der har form som et ligebenet trapez, hvor siderne BC og AD er parallelle. Nogle af målene fremgår af figuren.

a) Bestem vinkel A i trekant ABE.

b) Bestem længden af BE. Bestem arealet af bordpladen.

(hf-C eksamen juni 2010)

Opgave 6.85

På Møns Klint har der gennem tiden været mange nedstyrtninger. På nedenstående geometriske modeller ses et lodret snit gennem klinten før og efter en nedstyrtning.

I modellen antager man, at materialet inden for rektanglet CDEF styrter ned og dannertrekant ABC. Nogle af trekantens mål fremgår af figur 2.

a) Bestem højden BC af det nedstyrtede materiale.

I modellen antager man desuden, at trekant ABC og rektanglet CDEF har samme areal.Klinten er 110 meter høj.

b) Bestem bredden CD af det stykke af klinten, der styrtede ned.


Øje

A

E

DC

B2,5 m

1,5 m

8,0 m

A E D

CB

35 cm

70 cm 70 cm

70 cm

AD C

B

20 m

110 m

før

E FF

C

110 m

efter

30°

Møns Klint Figur 1 (størrelsesforholdene er ikke korrekte) Figur 2


Opgave 6.86

Fra et punkt P på en 200 m høj klippe obser-veres to skibe på havet. Skibene befinder sig henholdsvis i positionerne A og B. Vinklen mellem vandret og sigtelinjen fra P til A og mellem vandret og sigtelinjen B til P måles til henholdsvis w = 32° og v = 24°.

a) Bestem afstanden fra A til B.

(stx-B eksamen august 2008)

Opgave 6.87

En vektor er givet ved og a b

= 56

.

a) Bestem længden af og a b

.

b) Bestem vektor og a b

’s vinkel med den positive del af 1. aksen

Opgave 6.88

Figuren viser repræsentanter for vektorerne og a b

og og a b

.

a) Bestem længderne af og a b

og og a b

.

b) Bestem vinklen mellem repræsentanterne for og a b

og og a b

og den positive del af x-aksen.

6.7 Skalarprodukt af vektorer Opgave 6.89


= 35

og 37b =

= 106

−

Gør rede for, at de to vektorer er ortogonale.

(stx A eksamen net maj 2012 uden)

Opgave 6.90

I planen er der givet to vektorer, 25

ta − =

og 33b = −

, hvor t er et tal.

Bestem tallet t, så vektorerne og a b

og og a b

er ortogonale.

(stx A eksamen maj 2008 uden)

A B

200 m

P

w v

a

b

x

y

1



Opgave 6.91

To vektorer er givet ved 43a =

og 2b t =

, hvor t er et tal.

a) Tegn i et geometriprogram repræsentanter for og a b

og for fem forskellige udgaver af og a b

.

b) Sæt 2tOP t

=

, og give en sproglig beskrivelse af, hvor i planen punkterne Pt ligger

for et vilkårligt t.

c) Giv ud fra din geometriske konstruktion et bud på for hvilken værdi af t, og a b

og og a b

er ortogonale.

d) Beregn værdien af tallet t, så og a b

og og a b

er ortogonale.

Opgave 6.92

I et koordinatsystem er to vektorer givet ved

og a b

= 2b t =

og 3 24

tb − + =

, hvor t er et tal.

a) Tegn i et geometriprogram repræsentanter for og a b

og og a b

for fem forskellige værdier af t.

Sæt 2tOP t

=

, og 3 24tO tQ − +=

.

b) Giv en sproglig beskrivelse af, hvor i planen punkterne Pt og Qt ligger for et vilkår-ligt t.

c) Konstruer 2tOP t

=

og 3 24tO tQ − +=

ved hjælp af en skyder for tallet t, og giv ud fra din geome-triske konstruktion et bud på for hvilken værdi af t, og a b

og og a b

er ortogonale.

d) Beregn værdien af tallet t, så og a b

og og a b

er ortogonale.

Opgave 6.93

Bestem tallet t, så vektorerne 1

2a t = −

og 5 13

tb − =

er ortogonale.

(stx A eksamen juni 2010 uden)

Opgave 6.94

I et koordinatsystem er to vektorer og a b

og og a b

bestemt ved

12a t

= +

og 13

tb − =

a) Bestem de værdier af t, der gør og a b

og og a b

ortogonale.

b) Tegn vektorerne for de pågældende værdier af t.

(Baseret på stx A eksamen maj 2011 uden)


Opgave 6.95

Vi har givet to vektorer 45a − =

og 65b =

.

Afgør uden at tegne vektorerne eller beregne vinklen, om vinklen mellem disse to vektorer er ret, spids eller stump?

Opgave 6.96


og og a b

bestemt ved

og a b

= 12

og og a b

= 32

−

Bestem vinklen mellem og a b

og og a b

.

Opgave 6.97

I et koordinatsystem er givet vektorerne

og a b

= 12

t − og og a b

= 3t

hvor t er et tal.

Bestem for t = 4 vinklen mellem og a b

og og a b

.

Opgave 6.98


= 28

og og a b

= 39

.

a) Tegn repræsentanter for og a b

og og a b

i et koordinatsystem med et matematisk værktøjsprogram.

b) Bestem vinklen mellem og a b

og og a b

med et matematisk værktøjsprogram.

c) Bestem vinklen mellem og a b

og og a b

vha. prikproduktet.

Opgave 6.99

I en trekant ABC kendes tre størrelser, se figuren.

a) Bestem vinkel A.

b) Bestem vinklerne B og C.

Opgave 6.100


a) Bestem siden a.

b) Bestem vinklerne B og C.

A

b = 10

c = 10

a = 3,47

B

C

A = 52°

b = 1,88

c = 8 B

C



Opgave 6.101

Figuren viser et koordinatsystem med en model af en helikopterrute på et bestemt tidspunkt af året mellem to byer A og D. Enheden i koordinatsystemet er 1 km.

Modellen af helikopterruten er opdelt i tre strækninger S1, S2 og S3, der hver kan beskrives ved en vektor. Koordinaterne for de fire punkter er: A(0,0), B(33,18), C(27,28) og D(32,41). Opgaven løses i dit matematiske værktøjsprogram.

a) Plot punkterne og tegn forbindelsesvektorerne AB, BC og CD op som vist på figuren.

b) Skriv stedvektorerne til punkterne ind.

c) Beregn forbindelsesvektorerne AB, BC, CD og AD ud fra stedvektorerne, idet der fx gælder, at: AB = OB – OA.

d) Bestem ved måling på din konstruktion længden af helikopterruten ABCD.

e) Hvor meget længere er ruten ABCD i forhold til den direkte rute AD? Hvilken regel fortæller, at man havner samme sted i begge tilfælde?

f) Bestem ved måling på din konstruktion vinklen v, som helikopteren skal dreje ifølge modellen, når ruten skifter mellem de to strækninger S1 og S2.

Opgave 6.102

I trekant er der givet siderne 8, 12 og 15.

a) Konstruer trekanten i et dynamisk geometriprogram, og forklar udførligt konstruktionstrinene.

b) Bestem vha. det dynamiske geometriprogram de ukendte vinkler.

Opgave 6.103

I trekant er der givet siderne 9, 10 og en mellemliggende vinkel på 35°.

a) Konstruer trekanten i et dynamisk geometriprogram, og forklar udførligt konstruktionstrinene.

b) Bestem vha. det dynamiske geometriprogram den side og de ukendte vinkler.

x

y

A 10 20 30 40

50

40

30

20

10

B

v

S3

S2

S1

D

C


Opgave 6.104

I trekant ABC er ∠A = 72°, b = 4,1 og c = 3,8.

a) Tegn en model af trekanten, og beregn længden af siden a.

b) Beregn længden af højden på siden b.

(stx-B eksamen maj 2007)

Opgave 6.105

Til venstre ses en skitse af trekant CDH og firkant ABCD.

a) Bestem ∠D i trekant CDH.

b) Bestem |BD og |AC i firkant ABCD.

(stx-B eksamen maj 2008)

6.8 Projektioner Opgave 6.106


og og a b

bestemt ved

og a b

= 32

og og a b

= 12

−

a) Bestem tallet s, således at og a b

+ s og a b

og v

= 11−

er ortogonale.

b) Bestem koordinatsættet til projektionen af og a b

på og a b

.

(stx A eksamen december 2008 med)

Opgave 6.107


og og a b

bestemt ved

og a b

= 21

og og a b

= 32

−

a) Bestem vinklen mellem og a b

og og a b

.

b) Bestem længden af projektionen af og a b

på og a b

.

(stx A eksamen august 2009 med)

Opgave 6.108


= 26

og og a b

= 43

.

Bestem koordinatsættet til projektionen af og a b

på og a b

.

(Baseret på stx A eksamen december 2009 med)

A

5

B C

D7

65 6

C

DH



6.9 Tværvektor Opgave 6.109

a) Tegn vha. et geometriprogram repræsentanter for følgende vektorer i et koordinatsystem:

02a =

34b − =

52c = −

71d =

51e − = −

60f − =

b) Bestem, og indtegn en tværvektor til 02a =

, 34b − =

, 71d =

og 60f − =

.

6.10 Determinanter, arealberegning og sinusrelationerne

Opgave 6.110

Vi har givet vektorerne og a b

= 53

og og a b

= 17

− .

a) Bestem det( og a b

, og a b

). Hvilken geometrisk betydning har dette tal?

b) Bestem det( og a b

, og a b

). Sammenlign med det( og a b

, og a b

). Hvad ser du?

Opgave 6.111


og a b

= 12

t + t

og og a b

= 43

, hvor t er et tal.

a) Bestem t, så vektorerne og a b

og og a b

er ortogonale

b) Bestem t, så vektorerne og a b

og og a b

er parallelle.

(stx A eksamen august 2008 uden)

Opgave 6.112

I planen er der givet to vektorer og a b

= 25

− og og a b

= 43

.

a) Bestem koordinaterne til 52c = −

, hvor 52c = −

= og a b

+ 2 og a b

ved beregning og konstruktion i dit matematiske værktøjsprogram.

b) Bestem længden af de tre vektorer og a b

, 2 og a b

og 52c = −

ved måling i dit matematiske værktøjsprogram.

c) De tre vektorer og a b

, 2 og a b

og 52c = −

danner sammen en trekant. Bestem ved måling vinklerne i trekanten samt trekantens omkreds og areal.


Opgave 6.113

I planen er givet tre punkter A(–1,–2), B(–3,4) og C(6,1).

a) Opskriv koordinaterne til stedvektorerne for de tre punkter, og bestem ved be-regning i dit matematiske værktøjsprogram koordinaterne til forbindelsesvektorerne , , , og AB BC AC AA BA

og , , , og AB BC AC AA BA

.

b) Konstruer de tre punkter, stedvektorer og forbindelsesvektorer i dit matematiske værktøjsprogram, konstruer den tilhørende trekant, og bestem omkreds og areal af trekanten ved måling.

Opgave 6.114

Bestem tallet t, så vektorerne og a b

= 22

t − 3

og og a b

= 4

7 t − 5 er parallelle.


Opgave 6.115

I et koordinatsystem i planen er to vektorer og a b

og og a b

givet ved

og a b

= 3t

og og a b

= 82

Bestem t, så og a b

og og a b

er parallelle.

(stx A eksamen december 2012 uden)

Opgave 6.116


og og a b

givet ved

og a b

= 23

og og a b

= 25

−

Bestem arealet af det parallelogram, som de to vektorer og a b

og og a b

udspænder.

(stx A eksamen maj 2012 uden)

Opgave 6.117


og og a b

bestemt ved

og a b

= 105

− og og a b

= 86

a) Bestem koordinatsættet til projektionen af og a b

på og a b

.

b) Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af og a b

og og a b

.

(stx A eksamen maj 2011 med)



Opgave 6.118

To vektorer i planen er givet ved

og a b

= 45

og og a b

= 63

Bestem arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder.


Opgave 6.119

I et koordinatsystem i planen er to vektorer og a b

og og a b

givet ved

og a b

= 37

− og og a b

= 14−

a) Bestem vinklen mellem og a b

og og a b

.

b) Bestem arealet af den trekant, der udspændes af og a b

og og a b

.

(stx A eksamen august 2013 med)

Opgave 6.120

To vektorer er givet ved

og a b

= 86−

og og a b

= t3

, hvor t er et tal.

a) Bestem t, så de to vektorer er ortogonale.

b) Bestem arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder, når t = 2.

(stx A eksamen net maj 2012 uden)

Opgave 6.121

I et koordinatsystem er givet to punkter P(3,1) og Q(20,7) samt en vektor og a b

= 34

− .

a) Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne PQ

og og a b

.

b) Bestem koordinatsættet til projektionen af PQ

på og a b

.


Opgave 6.122


= 23

a og = 6

,

tb hvor t er et tal.

a) Bestem t, så = 23

a og = 6

,

tb er ortogonale.

b) Bestem t, så = 23

a og = 6

,

tb er parallelle.

c) Der er to værdier af t, så arealet udspændt af = 23

a og = 6

,

tb er 10.

Bestem disse to værdier.

(efter stx A eksamen maj 2017, uden)

Opgave 6.123


a) Bestem siden b.

b) Bestem vinkel C.

c) Bestem siden c.

d) Bestem arealet af trekant ABC.

Opgave 6.124


a) Bestem vinkel A.

b) Bestem vinkel C.

c) Bestem siden c.

d) Bestem arealet af trekant ABC.

Opgave 6.125


a) Bestem den ukendte vinkel og sider.

b) Bestem arealet af trekant ABC.

A = 68,71°

b

c

a = 7

B = 41,72°

C

A

b = 5

c

a = 7

B = 27,93°

C

A = 50°

a = 5,57

B = 22°

C



Opgave 6.126

En model af en mark omkranset af vejstykker er beskrevet ved figuren ABCDEF. Punkterne A, B, C, D, E og F er indlagt i et koordinatsystem med enheden km.

Koordinaterne for en række af vektorerne er givet ved

0,1490,017

AB =

, 0,3120,261

BC =

, 0,1700,261

CD =

,

0,3120,017

−

DE =

og 0,4250,087

−−

EF =

.

a) Bestem koordinaterne for en vektor, der beskriver vejstykket fra F til A.

b) Bestem afstanden fra A til C via B.

c) Bestem arealet af marken ABCDEF.

d) Bestem vinklen mellem de to vejstykker AB og AF.

Opgave 6.127

En model af en flagstang med flag er indlagt i et koordinatsystem med enheden meter. I modellen er der placeret en projektør i punktet A, i punktet B er foden til flagstangen placeret og i punktet C er flagknoppen placeret.

I modellen er 70

AB =

og 08

BC =

. Flaget er 3 meter bredt og

2 meter højt, når det er udfoldet som vist på figuren.

a) Bestem afstanden fra projektøren til flagknoppen ifølge modellen.

b) Bestem afstanden fra projektøren til det punkt på flaget, der er længst væk fra projektøren.

Flagstangen flyttes, så 08

BC =

er uændret, og projektøren flyttes ikke.

c) Bestem koordinaterne til 70

AB =

, hvis vinklen mellem en linje fra projektøren til foden af flagstangen og en linje fra projektøren til flagknoppen skal være 30º ifølge modellen.

Opgave 6.128

Figuren viser en model af et område, der er beskrevet ved figuren ABC, hvor enheden er km.

I modellen er 35

AC =

, ∠A = 59º og 3 AC AB⋅ =

.

a) Bestem afstanden fra A til C ifølge modellen.

b) Bestem arealet af området ABC ifølge modellen.

0 0,5 1

A

FE D

C

B

0,5

A

C

B

A

C

B


Opgave 6.129

a) Scan QR-koden. Læg billedet ind i et koordinatsystem, og aflæs koordinater til forskellige punkter på kortet.

b) Beskriv en mulig løberute mellem alle de markerede punkter vha. vektorer, så man starter og slutter samme sted.

c) Bestem længden af løberuten.

Opgave 6.130

Billedet til venstre viser en fløde-bolle, der har form som en pyramide med kvadratisk bund. Toppunktet af pyramiden ligger på en linje, der står vinkelret på diagonalernes skærings-punkt i bunden. Den kvadratiske bund har sidelængden 6 cm, og afstanden fra toppunktet til bunden er 6 cm.

På figuren er en model af flødebollen

indtegnet i et koordinatsystem med enheden 1 cm.

a) Benyt modellen til at bestemme den vinkel, som en af flødebollens sider danner med flødebollens bund.

b) Benyt modellen til at bestemme det samlede overfladeareal af flødebollen inklu-sive bunden.

(stx A eksamen, maj 2015)

6.11 Udfordrende opgaver

Opgave 6.131

Lad os antage, at vi skal bevæge os fra punktet A til punktet B. På vejen skal vi hen og røre væggen CD. Dette kan selvfølgelig gøres på rigtig mange forskellige måder.

a) Bestem den korteste afstand fra A til B via CD.

B

DC

A

|AC| = 3|BD| = 2

|CD| = 5

x

y

6

z

6

6

O

C

B

A

T



Opgave 6.132

Breddegrader måles fra Ækvator (0°) til Nordpolen (90°). P er på v° nordlig bredde. (Tilsvarende med sydlig bredde).

a) Forklar ud fra illustrationen til højre, hvordan du med hjælp fra Nordstjer-nen kan bestemme din breddegrad.

Opgave 6.133

En af de mest berømte lertavler med matematisk indhold fra det gamle Babylon har navnet Plimpton 322, opkaldt efter ham der fandt den. Den indeholder en tabel med 4 søjler af tal. Vi har her udeladt søjle 1.

a) Hvis vi opfatter tallene i søjle 2 som bredden af et rektangel og tallene i søjle 3 som diagonalen i dette rektangel, hvordan udregnes da den anden side i rektanglet? Tegn og forklar.

b) Kopier tabellen ind i et regne-

ark, og udregn den sidste side.

c) I fortolkningen af tabellen antager man, at der er fire fejl, nemlig i de tonede felter med de kursiverede tal. Kan du forklare, hvorfor man mener, der må være fejl her? Hvad skulle der stå?

Den første søjle beregnes ud fra søjle 2 og 3 og er knyttet til vinklen mellem diagonalen og siderne i rektanglet. Tavlen tolkes derfor som et udtryk for en tidlig babylonsk trigo-nometri. Rækkefølgen af tallene ned gennem tavlen er bestemt ved, at disse vinkler kommer i størrelsesorden.

Opgave 6.134

Tegningen skal illustrere en situation, hvor en person befinder sig i C på en klint, 50 m over havets overflade. Sigtbarheden er ideel, og med en rigtig god kikkert kan man lige ane toppen af en skibsmast, A som vi ved er 10 m over havets overflade. B er horisonten, set fra C. (Målestoksfor-holdene er ikke korrekte).

a) Hvor langt er der til horisontens kant fra C, og hvor langt er der til skibet i fugleflugtslinje fra C? (Jordens radius er 6370 km).

N N

SS

ÆÆ

PP

vv

Nordstjernen

Horisonten ved P

119 169 1

3367 11521 2

4601 6649 3

12709 18541 4

65 97 5

319 481 6

2291 3541 7

799 1249 8

541 769 9

4961 8161 10

45 75 11

1679 2929 12

25921 289 13

1771 3229 14

56 53 15

Plimptons tabel med tal skrevet i tres-talssystemet.

Tabellen rummer fire søjler. Sidste søjle er blot en

nummerering. Til venstre har vi skrevet søjlerne 2,

3 og 4 i titalssystemet.

A CB


Opgave 6.135

Vi har et rektangulært papir med siderne 32 og 40. Vi bøjer et hjørne, så vi får figuren til venstre.

a) Bestem arealet af den gule trekant ved beregning.

b) Bestem arealet ved konstruktion i et geometriprogram.

Kilde: Georg Mohr Opgave 3. 1993.

Opgave 6.136

Figuren viser en cirkel og en retvinklet trekant, hvor B er ret. Buestykket BD har længden 30, og cirklens radius er 25.

a) Bestem ∠BCD.

b) Bestem arealet af den skraverede punktmængde.

Kilde: Gemt - men ikke glemt – en opgavesamling til matematik,

Matematiklærerforeningen i 1991.

Opgave 6.137

Ved placering af regnmålere forsøger man at mindske vindens indflydelse på regn- dråbernes baner ved hjælp af passende læforhold. Forsøg har vist, at de bedste læ- forhold opnås, hvis måleren placeres på steder omgivet af vegetation, således at højdevinklen (se figur) regnet fra målerens overkant til toppen af træerne er mellem 15o og 30o. Regnmåleren er monteret på en træpind og er 1,5 m høj.

A

D

C

B

A

B

C

Regnmåler

Højdevinkel

1,5 m



a) I hvilke afstande fra 15 m høje lægivende træer kan en regnmåler placeres, når højdevinklen skal være mellem 15o og 30o.

En anden regnmåler er placeret i afstanden 10 m fra lægivende træer, og højdevinklen er målt til 25o.

b) Bestem højden af de lægivende træer.



Opgave 6.138

Figuren viser rørledningen i en såkaldt spidsbunderrørledning. Det oplyses, at radius R i den store cirkel er 40 cm, og at radius r i den lille cirkel er 5 cm.

a) Bestem den vinkel, der på figuren er betegnet med v.

b) Bestem arealet af røråbningen.



Opgave 6.139

Ovenstående figur viser to parabolantenner, der er rettet mod en kommuni- kationssatellit. Figuren til højre viser en geometrisk model af situationen i det tilfælde, hvor retningen fra antenne til satellit danner en vinkel på 15o med vandret, og hvor satellittens afstand fra jordens centrum er 42200 km. Jordens radius sættes til 6370 km.

a) Bestem afstanden mellem satellitten og en af parabolantennerne.

b) Bestem afstanden langs jordoverfladen mellem parabolantennerne.

r

R v

15°15°15° 15°


Opgave 5.22

a) W(L) = 0,00738 · L3,37

b) En aborre på 100 g er 16,8 cm lang.

Opgave 5.23

En flyvefærdig unge på 0,1 kg er 26 døgn gammel. En unge som er 27 døgn gammel vejer 0,13 kg.

Opgave 5.24

a = 3 og b = 1,5

Opgave 5.25

b = 0,47, og overfladearealet af en sø med seks fuglearter er 26400 m2

Opgave 5.26

a) En 30 mm lang hundestejle vejer 290,9 mg.b) En hundestejle på 1000 mg er 46,8 mm lang.

Opgave 5.27

a = 0,2 og b = 201

Opgave 5.28

Variable: v: hastighed, l: bremselængde. Model: l = 0,0067 · v2

Opgave 5.29

Variable: p: entrepris, A: tilskuerantal.Model: A = 5562,0355 · p–0,5799

Opgave 5.30

a) w = 1225,6 g.b) w = 4,64 g.

Opgave 5.31

a) b = 0,47, og overfladearealet af en sø med seks fuglearter er 26400 m2.

b) k = 3,16. Dette betyder, at når overfladearea-let tidobles, vil antallet af fuglearter vokse med 216%.

Opgave 5.71

c) a = 1,14013 og b = 2 · k–0,1403.

Facit Kapitel 6

Opgave 6.1-6.32

Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kon-trolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen.

Opgave 6.41

a) 2

4a

=

, 5

2b

− =

, 2

1c

− = −

,

2

2d

= −

, 6

1f

= −

, 4

2g

=

b) Udregning af koordinater: 7

2 a b

− =

,

0

6 a d

− =

, 4

1 d c

− = −

, 9

0 g b

− =

Den geometriske konstruktion af differensvektorerne:

4

3

2

1

–1

–2

y

x

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 6

1f

= −

a b−

a d−

4

1 d c

− = −

9

0 g b

− =

a d−

9

0 g b

− =

9

0 g b

− =

4

1 d c

− = −

4

1 d c

− = −

Ved aflæsning på tegningen finder vi de

samme koordinatsæt.c) Geometrisk konstruktion af sumvektorerne:

6

5

4

3

2

1

–1

–2

y

x

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 6

1f

= −

a d−

9

0 g b

− =

9

0 g b

− =

4

1 d c

− = −

4

1 d c

− = −

3

6a b

− + =

6

0 g d

+ =

20

0

a d c

+ + =

Ved aflæsning finder vi samme koordinater

som ved udregning:

3

6

a b−

+ =

, 6

0 g d

+ =

, 20

0

a d c

+ + =


Facit

Opgave 6.46

a) 76

AB− = −

, 12

4BC = −

, 510

AC = −

,

00

AA =

, 76

BA =

b) 459

AB = −

−

, 5

128

BC−

=

, 1

71

AC−

= −

, 0

00

AA =

, 4

59

BA−

=

Opgave 6.47

a) Midtpunkt på AB: (2,4) på BC: (2.5,0) på AC: (7.5,1)

b)

5

4

3

2

1

–2

–3

y

x

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

C

MAB(2.00,4.00)

MAC(7.50,1.00)MBC(2.50,0.00)

BC = 12,53

AB = 10,20

AC = 8,06

c) |AB| = 10,2 |BC| = 12,53 |AC| = 8,06

Opgave 6.48

a) Tegn pil fra (0,0) ud til A(7,2)

b) 1012

a b + =

c) 33

11011b =

d) 6

443 5a b

− − =

e) 1

46c =

Opgave 6.49

a) 10,2a =

9,4b =

21,9c =

15,8d =

b) 0,980,20

aa

=

0,850,53

b

b − =

0,41

0,91cc

− =

0,320,95

d

d

−−

=

Opgave 6.50

a) Der er uendeligt mange forskellige mulig-

heder. Et eksempel er 4

20a =

og 1050

b =

.

b) Man kan undersøge, om der findes en konstant k, så

420

a =

= k · 1050

b =

. Hvis der findes en sådan konstant, er den forholdet mellem de to x-koordinater og forholdet mellem de to y-koordinater. Man kan altså beregne disse to forhold og tjekke, om de er ens; i givet fald er vektorerne parallelle. I eksemplet fra a) har vi

10 504 20

2,5k = = = .

Opgave 6.51

a) Tegn pil fra (0,0) ud til A(7,4)b) Længden: 8,06, vinklen: 29,74º

c) 22

29b

− =

Opgave 6.52

2652

AB =

og 2652

BA−−

=

Opgave 6.53

2917

CD−

=

og 2917

DC− =


Opgave 6.54

a) + b)

y

x

1

3

6a b

− + =

3

6a b

− + =

c) 9

19a b + =

d) 11

15411b =

e) 1955

3 5a b−

− =

f) 13

139c

− =

Opgave 6.55

c = 12,5

Opgave 6.56

b = 18,7

Opgave 6.57

a = 9,5

Opgave 6.58

a) 17a =

, 58b =

, 5c =

, 5d =

b)

7

6

5

4

3

2

1

y

x

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

| 58b =

| = 7,62

| 5c =

| = 5 | 5d =

| = 5| 17a =

| = 4,1217a =

58b =

5c =

5d =

c) La = 4,12, Lb = 7,62, Lc = 5, Ld = 5

Opgave 6.59

a) |AB| = 10,2 |BC| = 12,53 |AC| = 8,06

Opgave 6.60

a) 4,24 b) 2,21 c) 0,19 d) 1,34

Opgave 6.61

a) 13,08b) 0,42

Opgave 6.62

Bambusrøret er knækket i højden 4,55 ch’ih over jorden.

Opgave 6.63

a) 30 km b) 50 cm

Opgave 6.64

a) Afstanden er 20, 40 og 80 cm. b) Kortet med 1:100000 giver flest detaljer.

Opgave 6.65

a) k = 3 b) AC = 4 og DE = 18

Opgave 6.66

c = 50 og b1 = 3000

Opgave 6.67

B1C1 = 12 og AB = 4

Opgave 6.68

P1Q1 = 23,4

Opgave 6.69

AB = 840 m

Opgave 6.70

BC = 7,78 m

Opgave 6.71

a) hh

2

1

3=

b) TT

ABC

A B C1 1 1

9=


Facit

Opgave 6.74

I) ∠A = 60º, a = 7,4 og b = 4,25II) ∠A = 50º, a = 5,0 og b = 4,2

Opgave 6.75

I) ∠A = 40º, a = 7,3 og b = 4,7II) ∠F = 65º, e = 5,5 og f = 5,0

Opgave 6.76

I) ∠B = 55º, ∠C = 35º og b = 5,6 II) ∠D = 45º, ∠F = 45º og e = 7,1

Opgave 6.77

a) AB = 9,1 og A = 23,2°b) hc = 3,3

Opgave 6.78

a) AB = 21,5 m og B = 21,8ºb) B = 15,7º

Opgave 6.79

a) C =29,9º og AH = 15,0b) A =101,1º

Opgave 6.80

a) BC = 130,1 cm og AB = 191,1 cmb) E =51,6º

Opgave 6.81

a) BH = 35,0 m b) Arealet er 519,4 m2

Opgave 6.82

a) v =25,8ºb) TABC = 12,8

Opgave 6.83

a) A = 17,4º b) CD = 3,2 m

Opgave 6.84

a) A = 60ºb) BE = 60,6 cm og arealet af bordpladen er

6365,3 cm2

Opgave 6.85

a) BC = 11,5 mb) CD = 1,05 m

Opgave 6.86

AB = 129,1 m

Opgave 6.87

a) 7,81 b) 50,2º

Opgave 6.88

a) | 420

a =

| = 8,06 og | 1050

b =

| = 3,16b) va = 29,74º og vb = 71,57º

Opgave 6.89

Prikproduktet giver 0.

Opgave 6.90

t = 7

Opgave 6.91

a)

3

2

1

–1

–2

–3

y

x

–1 0 1 2 3 4

2

4a

=

5

2b

− =

b15

2b

− =

b0

5

2b

− =

b–1

5

2b

− =

b–2

5

2b

− =

b–3

b) Alle punkter Pt ligger på linjen x = 2.c) t ligger mellem –2 og –3. Tættest på –3.

d) t = 83− .


Opgave 6.92

a)

4

3

2

1

–2

y

x

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2

5

2b

− =

b15

2b

− =

b0

5

2b

− =

b–1

5

2b

− =

b–2

5

2b

− =

b2

5

2b

− =

a2

5

2b

− =

a–15

2b

− =

a–2

5

2b

− =

a0

5

2b

− =

a1

b) Punkterne Pt ligger på linjen x = 2 (jo større numerisk t-værdi, jo længere væk fra x-aksen) og punkterne Qt ligger på linjen y = 4 (for t = 1,5 ligger Pt på y-aksen.

Jo længere numerisk t-værdien ligger fra t = 1,5, jo længere fra y-aksen ligger punktet)

c) Den geometriske konstruktion:

4

3

2

1

y

x

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2

5

2b

− =

b

5

2b

− =

a90°

0 1

t = 0,75

d) t = 34

Opgave 6.93

t = –1

Opgave 6.94

a) t = 15−

b) Vektorerne for pågældende t-værdi:

3

2

1

y

x

–1 0 1 2

5

2b

− =

b–1

5

5

2b

− =

a–1

5

Opgave 6.95

Da prikproduktet giver 1, er vinklen mellem vektorerne spids – tæt på 90°.

Opgave 6.96

Vinklen = 82,87°

Opgave 6.97

Vinklen = 19,44°

Opgave 6.98

b) + c) 4,40º

Opgave 6.99

a) A = 19,98ºb) B = C = 80,01º

Opgave 6.100

a) a = 7,00b) B = 63,78º og C = 64,22º

Opgave 6.101

b) 00

OA =

, 3318

OB =

, 2728

OC =

og 3241

OD =

c) 3318

AB =

, 6

10BC

− =

, 5

13CD =

, 3241

AD =

d) 63,18 km.e) 11,17 km længere.

Indskudssætningen garanterer, at vi lander det samme sted med de to ruter.

f) 92,35º.

Opgave 6.104

a) a = 4,65b) hc = 3,61

Opgave 6.105

a) D = 56,4ºb) | | ,BD = 8 6 og | | ,AC = 6 2

Opgave 6.106

a) s = 13

b) 45

85

ba −

=


Facit

Opgave 6.107

a) Vinklen = 82,87°

b) 0,45ab =

Opgave 6.108

3,12

4,16ba =

Opgave 6.109

a) Geometrisk repræsentation

4

3

2

1

–2

y

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 2

5 e b

− − = −

6

1f

= −

a d−

9

0 g b

− =

4

1 d c

− = −

4

1 d c

− = −

b)

2

0ˆ a

− =

, 4

3ˆ b

− = −

, 1

7ˆ d

− =

, 0

6 ̂f

= −

2

5 e b

− − = −

6

1f

= −

a d−

9

0 g b

− =

4

1 d c

− = −

4

1 d c

− = −

7

6

5

4

3

2

1

–2

–3

–4

–5

–6

y

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

1

7ˆ d

− = 2

2d

= −

2

0ˆ a

− =

a d−

4

3ˆ b

− = − 9

0 g b

− =

0

6 ̂f

= −

6

1f

= −

Opgave 6.110

a) det det( , ) 26a b =

Arealet af parallelogrammet udspændt af de

to vektorer giver 26.b) detdet( , ) 26b a = −

Der gælder, at detdet( , ) 26a b =

detdet( , ) 26b a = −

Opgave 6.111

a) t = 311

− b) t = 2

Opgave 6.112

a) 4

13c =

b) 5,39a =

, 2 10b =

og 13,60c =

c) Vinklerne er 38,9º, 121,3º og 19,8º. Omkredsen er 28,99. Arealet er 23.

Opgave 6.113

a) 12

OA−−

=

, 34

OB− =

, 61

OC =

26

AB− =

, 93

BC−

=

, 73

AC =

b) Omkredsen er 23,43. Arealet et 24.

Opgave 6.114

t = – 13

Opgave 6.115

t = 12

Opgave 6.116

Areal = 19

Opgave 6.117

a) 34

ba− = −

b) Areal = 100

Opgave 6.118

Areal = 18

Opgave 6.119

a) 170,84°b) Areal = 2,5

Opgave 6.120

a) t = 4b) Areal = 34


Opgave 6.121

a) Areal = 75

b) 86

aPQ = −

Opgave 6.122

a) t = –4b) t = 9c) Determinanten skal være 10 eller –10.

Så t = 14 eller t = 4

Opgave 6.123

a) b = 5,00b) C = 69,57ºc) c = 7,04d) TABC = 16 4,

Opgave 6.124

a) A = 40,98ºb) C = 111,09ºc) c = 9,96d) TABC = 16 4,16,33

Opgave 6.125

a) C = 108º, b = 2,72 og c = 6,92b) TABC = 16 4, 7,21

Opgave 6.126

a) 0,1060,469

FA−

=

b) 0,707 kmc) 0,247 km2

96,23º

Opgave 6.127

a) 10,63 mb) 12,81 m

c) 13,86

0AB =

Opgave 6.128

a) 5,83 kmb) 43,73 km2

Opgave 6.129

” – ”

Opgave 6.130

a) 63,43ºb) 116,5 cm2

Opgave 6.131

50

Opgave 6.133

c) Vi leder efter tre hele tal, der opfylder Pytha-goras. Udregn i et værktøjsprogram som Maple en sequence. Gør som følger i tredje sidste række: ( )2 2seq , 289 , 1,288a a a − = , og opsøg de hele tal blandt de 288. Der kan godt være flere svar, som her: 13. række: 136, 161, 240, 255. 2. række: 4033. 9. række: 600. 15. række: 65, 70, 106, 119, 192… Hvis vi ønsker ét svar, skal vi inddrage vink-lerne, der skal stå i rækkefølge efter størrelse.

Opgave 6.134

Der er 25,2 km til horisonten og 36,5 km fra skibet til klinten.

Opgave 6.135

Arealet af trekanten er 400.

Opgave 6.136

a) Vinkel BCD er 68,76º.b) Arealet af cirkeludsnittet er 375. Siden AB er

64,3. Arealet af trekant ABC er 803,8. Arealet af den skraverede punktmængde er 803,8 – 375 = 428,8.

Opgave 6.137

a) Afstand mellem 23,38 m og 50,38 mb) Højden er 4,66 + 1,5 = 6,16 m

Opgave 6.138

a) v = 28,96ºb) 5864,1 cm2

Opgave 6.139

a) Den halve vinkel ved satellitten er 8,38º. Afstanden er 28083 km.

b) Afstanden langs overfladen er 8894.

vektorer og trigonometri 6 · hvad er matematik? 1, opgavebog 2018 & uddannelse, ... hvad er en...

Documents