api.ndla.no · web viewstein aanensen og olav kristensen 1.1 vektorer regning med vektorer 1.1.1 gi...

R2, Geometri (OPPGAVER)

1 Geometri R2 Oppgaver

Innhold1.1 Vektorer...........................................................................................................................................2

1.2 Regning med vektorer....................................................................................................................15

1.3 Vektorer på koordinatform.............................................................................................................19

1.4 Vektorprodukt................................................................................................................................22

1.5 Linjer i rommet...............................................................................................................................27

1.6 Plan i rommet.................................................................................................................................30

1.7 Kuleflater........................................................................................................................................34

Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA..................................................................................39

Øvingsoppgaver

Stein Aanensen og Olav Kristensen

1


1.1 Vektorer

Regning med vektorer

1.1.1Gi eksempler på 3 vektorstørrelser og på 3 skalare størrelser.

1.1.2

Figuren viser en bil som er påvirket av to krefter.En rute svarer til en kraft på 100 N. Hvor store er kreftene?

1.1.3

a) Hvilke vektorer har samme retning?

b) Hvilke vektorer har samme lengde?

c) Hvilke vektorer er like?

2


1.1.4Figuren viser en rombe ABCD. Tegn vektorer mellom hjørnene.

a) Hvilke vektorer er like?

b) Hvilke vektorer er motsatt rettet?

c) Hvilke vektorer er like lange?

1.1.5a) Tegn en regulær femkant ABCDE (alle sidekantene er like lange) i for eksempel GeoGebra.

b) Tegn vektorene mellom hjørnene i femkanten.

c) Hvor mange ulike vektorer finnes det?

3


1.1.6Tegn to vektorer i GeoGebra. Summer vektorene.Skjermbildet viser et eksempel på hvordan du kan gå frem.

a) Flytt på vektorene du tegnet ved å dra i selve vektoren, og i endepunktene til vektoren. Hva observere du?

b) La og være like. Hva observerer du?

c) La og være like lange, men motsatt rettet. Hva observerer du?

d) La og stå vinkelrett på hverandre. Hva kan du nå si om lengden til ?

4


Addisjon av vektorer

1.1.7

En bil kjører 5 km mot øst. Så svinger den mot nord og kjører i denne retningen i 4 km.

Bilen dreier så mot vest og kjører 8 km.

a) Illustrer de aktuelle forflytninger ved vektorer.

b) Hva er «resultantforflytningen», lengde og retning?

c) Vi kan også kalle «resultantforflytningen» for «summen av forflytningene». Kan du på dette grunnlag foreslå en måte å summere vektorer på?

1.1.8

Vektorene , , , og danner en femkant slik figuren viser. Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis mulig.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

5


1.1.9

Gitt vektorene og

Finn vektorene og . Hva oppdager du?

1.1.10Vi har gitt tre vektorer som vist figuren.

Tegn vektorene

a)

b)

c)

6


1.1.11Gitt et rektangel ABCD.

Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis mulig.

a)

b)

c)

d)

e)

7


1.1.12Vi har gitt tre vektorer

Tegn vektorene

a)

b)

c)

1.1.13Gitt vektorene

Bruk for eksempel GeoGebra og finn:

a)

b)

c)

8


d)

1.1.14Gitt vektorene nedenfor.

a) Uttrykk vektorene og ved hjelp av vektorene og .

b) Uttrykk vektorene og ved hjelp av vektorene .

9


1.1.15Denne oppgavene egner seg godt for bruk av dynamisk programvare, for eksempel GeoGebra.

a) Tegn en vilkårlig firkant ABCD.

b) Finn midtpunktet på hver av sidene. Kall midtpunktet på AB for E, på BC for F, på CD for G og på AD for H.

c) Tegn firkanten EFGH.

d) Mål lengden på sidene i firkanten EFGH.

e) Dra i hjørnene på den opprinnelige firkanten ABCD. Hva observerer du?

Vi setter nå

f) Vis at kan skrives som:

g) Vis at kan skrives som:

h) Uttrykk ved hjelp av

i) Hva kan du si om vektorene og ?

j) Vis at

10


Skalarproduktet

1.1.16

Tegn en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 grader. Sett lengden til den korteste kateten lik 1.

a) Finn de andre sidene i trekanten.

b) Bestem verdien til og .

1.1.17

Vi har gitt vektorene og . , og .

Finn skalarproduktet mellom og

1.1.18

Vi har gitt vektorene og .

Lengden av er 7, lengden av er 3 og vinkelen mellom vektorene er

a) Regn ut

b) Regn ut

c) Hva er skalarproduktet mellom og ?

d) Hva er prikkproduktet mellom og ?

e) Finn

f) Finn

11


1.1.19

Gitt vektorene og der og . Skalarproduktet mellom og er 24.

Finn lengden av .

1.1.20

Vi har gitt at . Finn .

1.1.21

Gitt vektorene og der og . Skalarproduktet mellom og er 30.

Finn vinkelen mellom vektorene og .

1.1.22Tegn en likebeint rettvinklet trekant der lengden til katetene er 1.

a) Finn lengden til hypotenusen.

b) Bestem

12


1.1.23

Gitt vektorene og der og .

Finn skalarproduktet mellom og når

a)

b)

c)

d)

e)

f) Kan du se noe mønster i svarene dine på denne oppgaven?

1.1.24

Vi har gitt vektorene og . , .

a) Finn skalarproduktet mellom og når vinkelen mellom vektorene er .

La være den kraften Magnus bruker når han drar kjelken sin over isen på fjorden. Siden en kraft

måles i N(Newton), sier vi at . Magnus drar kjelken sin 120 m. Vi sier at forflytningen er

120 m eller at lengden til forflyttingsvektoren, , er 120 m, . Magnus drar med en kraft

som har retning i forhold til forflytningen.

Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom og .

b) Hvor stort arbeid utfører Magnus?

c) Lag en tegning som illustrerer situasjonen. Vis de aktuelle vektorene på tegningen

d) Hva blir måleenheten for arbeidet?

13


1.1.25

Gitt vektorene og der , og .

Regn ut

1.1.26

Gitt vektorene der . Vinkelen mellom vektorene er .

Vektorene er gitt ved .

a) Finn

b) Finn

c) Finn vinkelen mellom

1.1.27

La , og

Gitt og .

a) Finn lengden av og lengden av .b) Finn vinkelen mellom og .

14


1.2 Regning med vektorer

1.2.1

a) Skriv vektorene i koordinatsystemet nedenfor uttrykt ved enhetsvektorene og på koordinatform.

b) Hvilke vektorer er parallelle?

c) Hvilke vektorer er like?

1.2.2Tegn følgende vektorer i et koordinatsystem

15


1.2.3Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene

a)

b)

c)

1.2.4

Gitt vektorene , og Finn

a)

b)

c)

d)

1.2.5

a) Uttrykk , og fra oppgave 1.2.4 ved hjelp av enhetsvektorene.

b) Gjør oppgave 1.2.4 a og c når vektorene skrives på denne formen. Får du samme resultat som i oppgave 1.2.4?

1.2.6Gjør oppgavene i 1.2.4 ved å tegne vektorsummene. Sjekk om du får samme svar.

16


Multiplikasjon av vektor med tall

1.2.7

Gitt vektorene , og . Regn ut

a)

b)

1.2.8

Gitt punktene , , , , , og

a) Bestem vektorene

b) Uttrykk vektorene i a) ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene.( For eksempel: Start i punkt A og kom til punkt B ved hjelp av posisjonsvektorene.)

c) Finn lengdene til vektorene i a)

1.2.9

Gitt vektorene .a) Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene.

b) Vis at kan skrives som .

c) Vis at skalarproduktet .

d) Vis at skalarproduktet .

e) Regn ut skalarproduktet du fant i oppgave b)

f) Forklar at skalarproduktet mellom vektorene kan skrives som:

17


1.2.10

Vi har gitt vektorene ,

a) Finn skalarproduktet mellom vektorene

b) Finn lengden til vektorene

c) Finn vinkelen mellom vektorene

1.2.11Gitt koordinatsystemet og vektorene på figuren til

høyre. Du ser for eksempel at vektoren har

koordinatene .

a) Skriv alle vektorene på koordinatform.

b) Finn

c) Finn lengdene av

d) Sjekk ved regning om .

e) Sjekk ved regning om .

18


1.3 Vektorer på koordinatform

1.3.1Skriv vektorkoordinatene til følgende vektorer

1.3.2Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene

a)

b)

c)

19


1.3.3

Vi har gitt vektorene , og .Regn ut

a)

b)

c)

d)

e)

f)

1.3.4

Gitt punktene , , , og

a) Bestem vektorene .

b) Uttrykk vektorene i a) ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene.

c) Finn lengdene til vektorene i a).

1.3.5

Vi har gitt vektorene ,

a) Finn skalarproduktet mellom vektorene.

b) Finn lengden til vektorene.

20


c) Finn vinkelen mellom vektorene.

1.3.6

I

a) Regn ut omkretsen av trekanten. Hva slags trekant er dette?

b) Vis at arealet av trekanten er .

1.3.7

Gitt punktene Finn .

1.3.8

Gitt punktene og .

a) Bestem en verdi for slik at .

b) Undersøk om det finnes en verdi for slik at .

21


1.4 Vektorprodukt

1.4.1 Regn ut vektorproduktene.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l) Bruk et digitalt verktøy til å kontrollere svarene i a) – e).

1.4.2

Gitt punktene , og i et koordinatsystem.

Finn arealet av .

22


23


1.4.3Bruk et digitalt verktøy til å løse oppgave 1.4.2.

1.4.4

Gitt punktene , , og i et koordinatsystem.

a) Finn volumet av parallellepipedet utspent av , og .

b) Finn volumet av pyramiden med firkantet grunnflate utspent av , og .

c) Finn volumet av pyramiden med trekantet grunnflate (tetraederet) utspent av , og .

1.4.5Bruk et digitalt verktøy til å løse oppgave 1.4.4.

24


1.4.6



b) Finn volumet av pyramiden med en firkantet grunnflate utspent av , og .

c) Finn volumet av pyramiden med trekantet grunnflate (tetraederet) utspent av , og .

d) Svar på oppgave a), b) og c) uten å bruke vektorregning.

1.4.7



b) Hva kan du si om punktene A, B, C og D ut fra svaret i a)?

1.4.8

Gitt punktene , , og i et koordinatsystem som i oppgave 1.4.4.


b) Finn volumet av parallellepipedet utspent av , og .

c) Finn volumet av parallellepipedet utspent av , og .

25


1.4.9

, , og er diagonaler i parallellepipedet utspent av , og .Vis at midtpunktene til diagonalene skjærer hverandre i ett punkt.

1.4.10

a) Tegn et rett prisme med sidekanter , og .

b) Vis at volumet av prismet er gitt ved .

c) Vis på tegningen at vi kan dele opp prismet i 6 pyramider med firkantete grunnflater.

d) Lag en formel for volumet til hver av disse pyramidene.

e) Legg sammen formlene for pyramidevolumene og vis at du får samme formel for volumet til det rette prismet.

26


1.4.11


Finn avstanden fra til linjen gjennom og .

1.4.12

Gitt punktene , , og Finn avstanden fra D til planet gjennom A og B og C.(Tips: Tenk to metoder for å finne volumet til et tetraeder.)

1.4.13

Gitt punktene , , og Punktene ABCD danner grunnflaten i et parallellepiped, der AE er en sidekant.

a) Finn koordinatene til punktet C.

b) Finn vinklene i trekanten ABE.

c) Finn avstanden fra punktet E til grunnflaten ABCD.

Punktene EFGH danner toppflaten i parallellepipedet.

d) Finn avstanden mellom grunnflaten og toppflaten

27


1.5 Linjer i rommet

1.5.1

a) En linje går gjennom punktet og har retningsvektoren . Sett opp en parameterframstilling for .

b) Vis at linja går gjennom origo.

1.5.2En linje er gitt ved parameterframstillingen

a) Finn skjæringspunktet mellom linjen og - planet.

b) Finn avstanden fra origo til linja .

28


1.5.3


a) Bestem lengdene , og , når du får oppgitt at .

b) Vis at er et trapes.

c) Finn avstanden fra til linja gjennom og .

1.5.4

a) Finn en parameterframstilling for linja som går gjennom punktet og har

retningsvektoren .

b) Finn hvor linja skjærer -planet.

c) Punktet er gitt ved . La være et vilkårlig punkt på linja .

Vis at .

d) Bestem slik at står vinkelrett på linja .

e) Hva blir avstanden fra til linja ?

29


1.5.5

En linje er gitt ved vektorfunksjonen .

Finn avstanden fra punktet til linja.

1.5.6 Linjene m og n er gitt ved

a) Finn vinkelen mellom linjene .

b) Finn vinkelen mellom linja og aksen.

c) Finn vinkelen mellom linja og aksen

1.5.7Linjene m og n er gitt ved

30


Finn avstanden mellom linjene . (NB! Uten hjelpemidler)

1.6 Plan i rommet

1.6.1

Et plan har normalvektoren og går gjennom punktet .Finn likningen for planet.

1.6.2

Gitt punktene i et koordinatsystem.

a) Finn koordinatene til og .

b) Vis at en likning for planet gjennom , og er gitt ved .

c) Sjekk om punktet ligger i planet .

1.6.3 Finn skjæringspunktet mellom linjen og planet gitt ved

1.6.4

Planet er gitt ved .Finn hvor planet skjærer koordinataksene.

31


32


1.6.5

Gitt planene

Finn vinkelen mellom planene når du får oppgitt at

1.6.6 Et plan går gjennom punktene

Et annet plan går gjennom punktene

Finn vinkelen mellom planene

1.6.7

Linjen er gitt ved parameterframstillingen

Finn vinkelen mellom linjen og planet gitt ved når du får oppgitt at

.

1.6.8

Et plan er gitt ved . Finn avstanden fra planet til origo.

1.6.9


Finn en parameterfremstilling for planet bestemt av punktene , og .

33


1.6.10

Gitt tre punkt , og i et koordinatsystem.

a) Vis at vektoren står normalt på planet gjennom , og .

b) Vis at planet gjennom punktene , og er gitt ved likningen

c) Finn avstanden fra origo til planet .

En rett linje l er gitt ved en vektorfunksjon der

d) Finn skjæringspunktet mellom linjen og planet .

e) Finn vinkelen mellom linjen og – aksen når du får oppgitt at .

1.6.11

Planet er gitt ved .

a) Finn en parameterframstilling for linjen som går gjennom (3, 2, 4) og står vinkelrett på α.

b) Finn hvor linjen skjærer -planet.

c) er et punkt på linjen . Gitt punktet .

Vis at

d) Bestem slik at står vinkelrett på linjen .

e) Finn avstanden fra punktet til linjen .

34


1.6.12 En likningsfremstilling for en rett linje i rommet er gitt ved likningssettet

Finn en parameterfremstilling for linjen gitt ovenfor

1.6.13

a) Finn en likningsfremstilling for planet gitt ved parameterfremstillingen

b) Finn en parameterfremstilling for planet gitt ved

35


1.7 Kuleflater

1.7.1 Undersøk om likningene representerer kuleflater, og finn i så tilfelle sentrum og radius.

a)

b)

c)

d)

e)

1.7.2

Undersøk ved regning om kuleflaten gitt ved likningen og planet gitt ved

likningen skjærer hverandre.

36


1.7.3

Gitt kuleflaten

a) Undersøk ved regning om kuleflaten skjærer noen av koordinataksene. Finn eventuelle skjæringspunkter.

b) Finn et punkt som ligger på kuleflaten.

c) Forklar hvordan du vil gå fram for å undersøke om et gitt punkt ligger inne i kula, på kuleflaten eller utenfor kula.

I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet kuleflaten gitt ved .

Vi har også tegnet tangentplanet til kuleflaten i punktet .

d) Finn likningen for dette tangentplanet.

e) Hva kan du si om alle linjer som ligger i tangentplanet du fant i d)?

37

Hva er et tangentplan?


1.7.4

Gitt kuleflaten

En linje er gitt ved parameterframstillingen

a) Undersøk om linjen skjærer kuleflaten og finn eventuelle skjæringspunkter.

I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet kuleflaten gitt ved .

Vi har også tegnet et plan parallelt med -planet i høyden 2 over -planet.

b) Finn likningen for skjæringskurven mellom kuleflaten og planet. Hva slags kurve får vi?

38

Tips!Hva er likningen for et plan parallelt med xy-planet i høyden 2 over xy-planet?


1.7.5

I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet fem kuleflater plassert med sentrum på -aksen og med radius 1. Kulene tangerer hverandre og den midterste kulen har sentrum i origo.

a) Finn en parameterframstilling for hver av kuleflatene.

b) Gjør det samme for fem kuleflater som er plassert på tilsvarende måte med sentrum på

- aksen.

39


c) Gjør også det samme for fem kuleflater som er plassert på tilsvarende måte med sentrum på - aksen.

d) Lag likningsfremstillinger for kuleflatene i a).

e) Lag parameterfremstillinger for kuleflatene i 1.7.1 a) og b).

40


Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA

Bruk farger og marker de eksamensoppgaver du har regnet!Jo mere farger, jo bedre eksamenskarakter!

Geometri Algebra Funksjoner Differensiallikninger

Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 Del 1 Del 2

H15 5, 7 4 9 3 1, 2, 3, 4, 6 1, 5 8 2

V15 5 2 4, 6 1, 2, 3a, 7, 8, 9

3, 4 3b 1

H 14 4 3, 5 7 1 1, 2, 5, 6 4 3 2

V 14 5 1, 2 4 4 1, 2, 3, 6 5, 6 7 3

H 13 3 6 4, 7 4 1, 2, 6 1, 2, 5 5 3

V 13 3 3 5, 7 6 1, 2, 6 2, 4, 5 4 1

H 12 3 3 5, 8 4 1, 2, 6, 7 1, 5, 6 4 2

V 12 2 8 1e, 3c 7 1a, 1b, 1c, 3

4, 5 1d 6

H 11 1g 5 1c 3 1a, 1b, 1e 2, 4 1f 6

V 11 1d, 1e 5 1f 4 1a, 1b, 1c 3, 6, 7 2

H 10 1d 3 1a, 1b, 2 4 1c 5

V 10 2 5, 6 alt2 1a, 1b, 1d, 1e

4 1c 3, 6 alt1

H 09 2 3 1e, 1f 1a, 1b, 1d 4 1c 5

V 09 1d, 2 1c 5 1a, 1b, 1f 4 1e 3

E 08 1g 3 1d, 1i 1a, 1b, 1c, 1e, 1f

2 1h 4

41

api.ndla.no · web viewstein aanensen og olav kristensen 1.1 vektorer regning med vektorer 1.1.1 gi...

Documents