Geometri Vg1T

1

Oppgaver

Innhold

2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger ............................................... 2

2.2.Mangekanter og sirkler ................................................................................ 6

2.3 Formlikhet .................................................................................................... 8

2.4 Pytagoras’ setning ...................................................................................... 12

2.5 Areal ........................................................................................................... 15

2.6 Trigonometri 1 ........................................................................................... 18

Navn på hjørner og sider i trekanter .................................................................................... 18

Tangens, sinus og cosinus .................................................................................................... 19

Arealformel for trekanter ..................................................................................................... 31

2.7 Trigonometri 2 ........................................................................................... 33

Arealsetningen ...................................................................................................................... 33

Sinussetningen ...................................................................................................................... 37

Cosinussetningen .................................................................................................................. 40

Blandede oppgaver ............................................................................................................... 43

Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA ............................................... 44

Noen av oppgavene er merket med symbolet .

Disse oppgavene bør du klare å løse uten hjelpemidler.

Øvingsoppgaver

Stein Aanensen og Olav Kristensen

Geometri Vg1T

2

2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger

2.1.1

Hvordan definerer vi

a) en linje?

b) et linjestykke?

c) en stråle?

2.1.2

Tegn en rett, en spiss og en stump vinkel.

2.1.3

d) Tegn to komplementvinkler.

e) Tegn to supplementvinkler.

2.1.4

Sett sammen begrep og forklaring

1) Punkt a) Består av uendelig mange punkter, har uendelig utstrekning i én retning.

2) Linje b) Avgrenset av to endepunkter.

3) Linjestykke c) Har ingen utstrekning, men har en bestemt posisjon.

4) Stråle d) Består av uendelig mange punkter, har uendelig utstrekning i begge

retninger.

5) Plan e) Har uendelig utstrekning i to dimensjoner

Geometri Vg1T

3

2.1.5

Sett inn begrepet som mangler:

a) To linjer som ligger i samme plan og ikke skjærer hverandre er ………………………

b) En vinkel på 90 , kalles en …… vinkel

c) En vinkel mellom 0 og 90 kaller vi en ….. vinkel.

d) En vinkel mellom 90 og 180 kaller vi en …….. vinkel.

e) To vinkler som til sammen er 90 kaller vi …………… vinkler.

f) To vinkler som til sammen er 180 kaller vi ……………. vinkler.

2.1.6

Bruk figuren og fyll inn begrepene som mangler

a) AEC og DEB er ………………….

b) AED og CEB er ………………….

c) AEC og CEB er ………………….

d) AED og DEB er ………………….

Geometri Vg1T

4

2.1.7

Linjene b og c på figuren er parallelle. Bestem vinkel , , og u v w

2.1.8

Vis at w z .

Geometri Vg1T

5

2.1.9

Forklar hvorfor u v .

2.1.10

Fyll ut tabellen.

2.1.11

Regn ut. Oppgi svarene i meter.

a) 20,0 cm + 1,4 m + 38,0 dm

b) 740 mm + 320 cm + 6,0 dm

c) 85 mm + 240,00 dm + 9,0 cm

m dm cm mm

1,25 125

340

590

Geometri Vg1T

6

2.2.Mangekanter og sirkler

2.2.1

Hvilke trekanter er

a) rettvinklede?

b) Likebeinte?

c) Likesidet?

2.2.2

Tegn og beskriv

et trapes, et parallellogram, et rektangel, en rombe og et kvadrat

2.2.3

Figuren viser et parallellogram. Bestem de ukjente vinklene.

Geometri Vg1T

7

2.2.4

Bestem B på figuren

2.2.5

Sett navn på linjene og linjestykkene på figuren

Geometri Vg1T

8

2.3 Formlikhet

2.3.1 Forklar at ABC er formlik med DEF . Hvor stor er den siste vinkelen i trekantene?

2.3.2

ABC og DEF nedenfor er formlike.

a) Finn lengden av AC.

b) Finn lengden av EF.

Geometri Vg1T

9

2.3.3

I trekanten nedenfor er DE parallell med GH. Forklar at DEF er formlik med GHF .

2.3.4

Figuren nedenfor viser to trekanter DSC og ASB. DC er parallell med AB.

Forklar at DSC er formlik med ASB .

2.3.5

ABC og DEF nedenfor er formlike. A D .

Hvor store er de andre vinklene i trekantene?

Geometri Vg1T

10

2.3.6

Norges høyeste tre skal være grantreet ”Goliat” i

Aurskog-Høland. Lise vil finne ut hvor høyt treet er. Hun

plasserer en 2,0 m loddrett stav på bakken 10,0 m foran

treet. Lise sikter inn en rett linje fra toppen av treet

gjennom toppen av staven som treffer bakken 0,5 m fra

staven.

Bruk formlikhet og regn ut hvor høyt treet er.

2.3.7

Se på figuren under og forklar hvorfor trekantene BTS og B’T’S er formlike.

2.3.8

På figuren til høyre er siden PQ parallell med RT.

Forklar hvorfor trekantene PQS og RST er formlike.

Hvilken side samsvarer med ST? og finn lengden på denne siden.

T

B B’

T’

S

Geometri Vg1T

11

2.3.9

Vi står på Sjøsanden og skal beregne avstanden ut til

Hatholmen. Se figuren til høyre. Vi måler avstander og

finner at 25m , 200 m og 2,5 mAB CD BC .

Hva blir avstanden ut til Hatholmen?

2.3.10

Denne oppgaven krever fint vær og at du får lov av læreren din .

Gå sammen to og to og finn ut hvor høy skolen din er.

Utstyr:

Målebånd/tommestokk

Metode:

Gå ut i solen rett ved skolen.

Få medeleven din til å måle skyggen som du lager.

Mål lengden av skyggen som skolen lager.

Mål din egen høyde, dersom du ikke vet hvor høy du er.

Du har nå to formlike trekanter og kan finne ut hvor høy skolen din er!

Geometri Vg1T

12

2.4 Pytagoras’ setning

2.4.1

Regn ut lengden av siden AC i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor.

2.4.2

Figuren nedenfor viser grunnflaten til en garasje. Regn ut

lengden av diagonalen BC.

Geometri Vg1T

13

2.4.3

Regn ut lengden av siden AB i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor.

2.4.4

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 5,15 cm lang og den ene kateten 2,50 cm lang.

Regn ut lengden av den andre kateten.

2.4.5

Trekanten ABC til høyre er likebeint. AC er 6,75 m og AB er

10,80 m.

Finn høyden h.

2.4.6

I en rettvinklet trekant er den ene kateten 10,0 cm. Den andre kateten er tredjedelen av

hypotenusen.

Finn hypotenusen og den ukjente kateten.

2.4.7

En trekant har sidene 3 cm, 4 cm og 5 cm. Hvordan kan du finne ut om denne trekanten er

rettvinklet?

Geometri Vg1T

14

2.4.8 Undersøk om trekanten til høyre er rettvinklet.

2.4.9

Gitt firkanten ABCD . ACD ADC , BAC ABC , AE

står normalt på CD og 90ACB . Diagonalen AC er

4,2 cm og høyden AE er 3,9 cm.

a) Finn lengden av AD og BC.

b) Finn lengden av AB og CD.

c) Finn arealet av firkanten ABCD .

Geometri Vg1T

15

2.5 Areal

2.5.1

Gitt rektangelet ABCD nedenfor.

a) Regn ut arealet av rektangelet.

b) Regn ut lengden av diagonalen AC.

c) Regn ut arealet av trekanten ABC.

d) Hva er arealet av trekanten ACD?

2.5.2

Gitt trapeset ABCD.

Finn arealet og omkretsen av trapeset.

2.5.3

Finn arealet av parallellogrammet EFGH.

Geometri Vg1T

16

2.5.4

Regn ut arealet av trekanten ABC nedenfor.

2.5.5

Stian skal sette opp et bygg. Grunnflaten har form som vist på tegningen ovenfor. Alle målene er gitt i

millimeter (mm).

Vis at grunnflaten til bygget har et areal på 107,5 m2.

Geometri Vg1T

17

2.5.6

Figuren nedenfor viser en likesidet trekant med sider 30,0 cm. Utskjæringen er en halvsirkel med

diameter 10,0 cm.

a) Regn ut høyden i trekanten.

b) Regn ut arealet av den utskjærte trekanten.

c) Regn ut omkretsen av den utskjærte trekanten.

2.5.7

Hvilken figur har størst areal, en sirkel med radius 4,00 cm eller et

kvadrat med sidelengde 7,00 cm?

2.5.8

Regn ut arealet av det lysegrå området på figuren.

Geometri Vg1T

18

2.6 Trigonometri 1

Navn på hjørner og sider i trekanter

2.6.1

Sett navn (bokstaver) på sidene til trekanten nedenfor.

2.6.2

Gitt den rettvinklete trekanten ABC til høyre.

a) Sett navn på sidene.

b) Hvilken side er hypotenus?

c) Sett fra hjørnet A

1. Hvilken side er motstående katet?

2. Hvilken side er hosliggende katet?

d) Sett fra hjørnet B

1. Hvilken side er motstående katet?

2. Hvilken side er hosliggende katet?

Geometri Vg1T

19

Tangens, sinus og cosinus

2.6.3

Finn tangensverdiene til følgende vinkler. Finn også de eksakte verdiene hvis det er mulig.

a) 23 b) 45 c) 73,6

d) 30 e) 60

2.6.4 Finn ut hvilke vinkler som har følgende tangensverdier

a) tan 0,3456v

b) tan 1v

c) tan 3v

d) 3

tan3

v

2.6.5

a) Finn den ukjente kateten i trekanten til høyre når

14,0c .

b) Finn den ukjente kateten i trekanten til høyre når

7,0b .

2.6.6

Finn den ukjente kateten i trekanten når 62C og

7,0b .

Geometri Vg1T

20

2.6.7

Finn vinkel v i den rettvinklete trekanten til høyre.

2.6.8 Finn de ukjente sidene i trekantene under

a)

b)

c)

Geometri Vg1T

21

2.6.9

I trekanten under er 3

tan5

B og 3,0AC .

a) Bestem lengden til og BC AB

b) Bestem vinklene i trekanten

2.6.10

I trekanten under er 3

tan5

B og 7,0BC .

a) Bestem lengden til og AC AB

b) Bestem vinklene i trekanten

Geometri Vg1T

22

2.6.11

a) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 3

tan5

B

b) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 1

tan2

C

c) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tan 3A

2.6.12

Du skal finne høyden til et tre i skolegården. Dette kan gjøres ved at du går 30 meter bort fra treet.

Du finner vinkelen mellom siktelinjen til treets topp og bakken. Vinkelen måler du til 33 . Se figuren

ovenfor. Hvor høyt er treet?

2.6.13

Du skal nå sammen med tre andre elever finne et stort tre eller en høy bygning. Dere skal benytte

framgangsmåten skissert i forrige oppgave og finne høyden til det valgte objekt. Dere må klart

redegjøre for metoden dere brukte for å finne vinkelen. Bruk to forskjellige metoder for

vinkelmålingen og vurder grad av nøyaktighet. Hvilket utslag gir det på treets høyde om vinkelen

måles en grad feil?

Geometri Vg1T

23

2.6.14

Hege vil beregne den korteste avstanden over Mandalselva. Hun merker seg ut en stein på andre

siden av elva der hvor elva ser ut til å være smalest. Hun merker så av to punkter, A og B, slik at

10mAB og 90A . Hun måler og finner at 84B . Hun måler videre avstanden fra punktet

A og inn til elvebredden til 26 m. Hvordan kan nå Hege beregne avstanden over elva?

2.6.15 Mens Maren og Naomi var på Sjøsanden, så de en seilbåt langt ute på sjøen. De kjente igjen seilbåten og visste at mastehøyden var 12 meter over havflaten. De ville nå finne ut hvor langt ute seilbåten

var. De målte vinkelen mellom siktelinjene til seilbåtens mastetopp og til båtens vannlinje til 1,5 .

De beregnet så avstanden til båten. Hvilken avstand fant de?

2.6.16

I eksempel 2 i teorien ble det beskrevet hvordan du kan beregne avstanden fra Sjøsanden til

Hatholmen. Du skal nå sammen med tre andre elever følge denne framgangsmåten for å finne denne

eller en tilsvarende avstand. Som en del av oppgaven må du lage en vinkel på 90 . Beskriv hvordan

du gjør dette. Sjekk også hvilket utslag det gir på avstanden om vinkelen måles en grad feil.

2.6. 17

Regn ut ukjente sider og vinkler i trapeset til høyre.

Geometri Vg1T

24

2.6.18

a) Regn ut hvor store hver av vinklene i

parallellogrammet til høyre er.

b) Regn ut arealet til trapeset EBCD.

c) Regn ut omkretsen til parallellogrammet.

2.6.19

a) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 3

tan5

B og 6AC

b) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 1

tan2

C og 6AC

c) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tan 3A og 1,2AC

2.6.20

I trekanten under er 3

tan5

B og 5,8AB .

Bestem lengden til og AC BC

Geometri Vg1T

25

2.6.21

Finn lengden av siden AC i trekanten til høyre.

2.6.22

Finn lengden av siden AB i trekanten til høyre

2.6.23

Finn lengden av siden AC i trekanten til høyre.

2.6.24

Finn lengden av siden AB i trekanten til høyre.

2.6.25

Finn ukjente sider og vinkler i trekanten ABC.

Geometri Vg1T

26

2.6.26

Finn de ukjente sidene i trekantene under

a)

b)

c)

Geometri Vg1T

27

2.6.27

I trekanten under er 3

sin5

A og 5,0AB .

a) Bestem lengden til og BC AC

b) Bestem cos og tanA A

c) Bestem sin ,cos og tanB B B

Geometri Vg1T

28

2.6.28

I trekanten under er 2

cos5

B og 2,0AB .

a) Bestem lengden til og BC AC . Oppgi svarene eksakt

b) Bruk eksakte verdier og bestem sin og tanB B

c) Bestem sin ,cos og tanC C C

Geometri Vg1T

29

2.6.29

I trekanten under er 1

sin5

A og 20,0AB .

a) Bestem lengden til og BC AC

b) Bruk eksakte verdier og bestem cos og tanA A

c) Bestem sin ,cos og tanB B B

2.6.30

I trekanten ABC er 1

sin3

C og 2,0AB .

a) Bestem lengden til og AC BC . Oppgi svarene eksakt.

b) Bruk eksakte verdier og bestem cos og tanC C

c) Bestem sin ,cos og tanB B B

Geometri Vg1T

30

2.6.31

Gitt den rettvinklede trekanten ABC , se figuren

a) Bestem sin og cosC C

b) Bestem tan ,sin og cosB B B

2.6.32 Regn ut hvor store hver av de ukjente vinklene i trekanten til høyre er.

Geometri Vg1T

31

2.6.33 En 8,5 m lang stige står mot en husvegg og danner 72 . med

bakken. Vinkelen mellom bakken og husveggen er 90 .

a) Hvor høyt står stigen på veggen?

b) Hvor langt fra veggen står stigen?

2.6.34

I en rettvinklet trekant er den ene vinkelen 27 . Den hosliggende kateten til denne vinkelen er

3,5 meter. Finn lengden av den andre kateten og hypotenusen.

Arealformel for trekanter

2.6.35

Finn arealet av trekanten til høyre.

2.6.36

Finn arealet av trekanten til høyre.

Geometri Vg1T

32

2.6.37

Regn ut arealet av trekanten til høyre.

2.6.38 Regn ut arealet av trekanten til høyre.

2.6.39 Gitt firkanten til høyre.

a) Regn ut hvor stor A er.

b) Regn ut lengden av BD, BC og CD.

c) Regn ut arealet av firkanten.

Geometri Vg1T

33

2.7 Trigonometri 2

Arealsetningen

2.7.1

a) Regn ut arealet av trekanten til høyre.

b) Regn ut arealet av trekanten til høyre.

c) I er 25 , 8,0 m og 3,5 m.ABC A AB AC

1. Tegn en hjelpefigur.

2. Regn ut arealet av trekanten.

Geometri Vg1T

34

2.7.2

Regn ut lengden av siden AB i trekanten til høyre.

2.7.3

Trekanten til høyre har areal 14,6. Regn

ut lengden av siden AC i trekanten

2.7.4

Bestem arealet til trekanten til høyre når du får

vite at 3

sin5

A

Geometri Vg1T

35

2.7.5

Bestem sida AC til trekanten til høyre når du får vite at

3sin

5A

2.7.6

Regn ut hvor stor A i trekanten til høyre

er .

2.7.7

Regn ut hvor stor A i trekanten til høyre

er .

Geometri Vg1T

36

2.7.8

Eirins mor har en stor hage med mål som gitt på figuren nedenfor. Eirin får i oppgave å regne ut

arealet av hagen slik at den får riktig mengde med gjødsel.

Eirin finner ut at hagen har et areal på ca. 710 m2 . Har hun regnet riktig?

2.7.9

Huseier Per A. Real skal legge asfalt på gårdsplassen sin. Det vil koste 100 kroner per m2 å legge

asfalten. Finn prisen Per må betale for å få legge asfalten.

Geometri Vg1T

37

Sinussetningen

2.7.10

Figuren viser en trekant ABC med sider a, b og c.

a) Regn ut lengden av siden a når b er 3,0 cm,39 og 59A B .

b) Regn ut lengden av siden b når a er 8,5 cm,

110,5 og 19,8A B .

2.7.11 Vi skal legge en strømkabel SP langs gangveien på Sjøsanden. Figuren viser arbeidsområdet sett fra vannkanten V. Regn ut lengden SP når du får oppgitt at det er 235 meter mellom S og V.

Geometri Vg1T

38

2.7.12 Anniken tar seg en liten båttur en varm sommerdag. Hun går ut fra Dyrstad og legger kursen mot Færøy. Så bøyer hun av mot Ryvingen, deretter drar hun rett hjem. Se figuren til høyre.

Finn hvor lang båttur Anniken hadde denne dagen.

2.7.13

Du skal finne C i en trekant der

8,0 cm, 6,0 cm og 30,0AB BC A .

a) Bruk figuren ovenfor og forklar at det er to trekanter som oppfyller kriteriene gitt i oppgaveteksten.

b) Finn 1 2 og C C .

Gitt en trekant ABC der 8,0 cm og 30,0AB A .

c) Finn lengden av BC når BC står vinkelrett på venstre vinkelbein til A .

Lengden av BC vil avgjøre hvor mange mulige trekanter vi kan få.

d) Finn hva lengden av BC må være dersom det ikke skal være mulig å danne en trekant.

e) Finn hva lengden av BC må være dersom det skal være mulig å danne to trekanter.

f) Finn hva lengden av BC må være dersom det bare skal være mulig å danne én trekant.

Geometri Vg1T

39

2.7.14

Bestem sida BC i trekanten på figuren når du får oppgitt at 1 2

sin30 og sin452 2

2.7.15

I trekanten ABC er 2AC , 3BC og 3

sin4

A

a) Bestem sinB

I en rettvinklet trekant der de spisse vinklene er 30 og 60 , er hypotenusen dobbelt så lang som

den minste kateten.

b) Bestem vinkel B i trekanten i a)

Geometri Vg1T

40

Cosinussetningen

2.7.16 Gitt en trekant ABC med sider a, b og c.

a) Regn ut a

når 5,0 cm, 7,0 cm og 39b c A .

b) Regn ut b

når 8,7 dm, 12,3 dm og 115,5a c B .

c) Regn ut c

når 2,3 cm, 4,5 cm og 23,6a b C .

2.7.17

Gitt en trekant ABC, se figuren.

Regn ut vinklene i trekanten.

Geometri Vg1T

41

2.7.18

Vi skal grave en kanal fra Båly, B til Lehnesfjorden, L.

Vi står på en høyde, H slik at vi kan se både B og L, og

gjør målinger som vist på figuren til høyre.

Finn lengden av kanalen

2.7.19

Gitt en trekant ABC med sider a, b og c.

a) Regn ut a når 4,8 cm, 4,5 cm og 63b c B .

b) Regn ut b når 3,8 cm, 6,0 cm, og 80a c C .

c) Regn ut c når 3,9 cm, 4,7 cm, og 35a b A

2.7.20

I hver av oppgavene nedenfor skal du tegne hjelpefigur og finne lengden av BC hvis mulig.

a) Gitt trekanten ABC der 8,0 cm, 4,0 cm og 30AB AC B .

b) Gitt trekanten ABC der 8,0 cm, 6,0 cm og 30AB AC B .

c) Gitt trekanten ABC der 8,0 cm, 3,0 cm og 30AB AC B .

Gitt trekanten ABC der 8,0 cm, cm og 30,0AB AC a B .

d) For hvilke verdier av a er det to, én eller ingen trekanter som innfrir kravene i teksten ovenfor?

Geometri Vg1T

42

2.7.21

I en trekant er lengden på sidene 4, 5 og 5. Bestem cosinusverdien til vinklene i trekanten.

2.7.22

I trekanten ABC er 5

6, 3 og cos9

AC BC C .

a) Tegn en hjelpefigur og bestem AB

b) Bestem cos og cosA B

c) Hva kan du si om størrelsen på vinklene i trekanten?

2.7.23 Utfordring

I denne oppgaven får du bruk for at 1

sin30 2

I trekanten ABC er 30 , 5 og 3A AB BC .

a) Tegn en hjelpefigur og bestem sinC

b) Forklar at det er to trekanter som tilfredsstiller kravene.

I en av trekantene i b) er 6AC

c) Bestem cosB i denne trekanten

d) Hva forteller svaret i b) om størrelsen på B ?

e) Bestem arealet til trekanten i b)

Geometri Vg1T

43

Blandede oppgaver

2.7.24 Et jordstykke er formet som en trekant ABC der 123 m, 65 m og 70AB BC B .

a) Lag en figur og sett på de oppgitte målene.

b) Regn ut arealet av trekanten.

c) Finn lengden av AC.

d) Finn C ved regning, både ved hjelp av sinussetningen og ved hjelp av cosinussetningen

2.7.25 Gitt der 30,0 , 14,0 cm og 10,0 cm.ABC B BC AC

a) Tegn trekanten.

b) Finn A ved regning.

c) Finn lengden av AB ved regning.

2.7.26

En trekant ABC har arealet 14,3 cm2. AB har lengden 7,0 cm og BC har lengden 5,0 cm.

a) Finn B .

b) Finn lengden av AC.

c) Finn de to andre vinklene i trekanten.

Geometri Vg1T

44

Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA

Eksamen høsten 2014 Del 1: Oppgave 9

Eksamen høsten 2014 Del 2: Oppgave 4, Oppgave 5

Eksamen våren 2014 Del 1: Oppgave 1, Oppgave 8,

Eksamen våren 2014 Del 2: Oppgave 6, Oppgave 7, Oppgave 9

Eksamen høsten 2013 Del 1: Oppgave 9, Oppgave 10

Eksamen høsten 2013 Del 2: Oppgave 5, Oppgave 6

Eksamen våren 2013 Del 1: Oppgave 8

Eksamen våren 2013 Del 2: Oppgave 1, Oppgave 2, Oppgave 7

Eksamen høsten 2012 Del 1: Oppgave 9, Oppgave 10

Eksamen høsten 2012 Del 2: Oppgave 3, Oppgave 6

Eksamen våren 2012 Del 1: Oppgave 1i,

Eksamen våren 2012 Del 2: Oppgave 3

Eksamen høsten 2011 NY: Del 1: Oppgave 1d,

Eksamen høsten 2011 NY: Del 2: Oppgave 4

Eksamen høsten 2011: Del 1: Oppgave 1g,

Eksamen høsten 2011: Del 2: Oppgave 3

Eksamen våren 2011 Del 1: Oppgave 3

Eksamen våren 2011 Del 2: Oppgave 5, Oppgave 8

Eksamen høsten 2010 Del 1: Oppgave 1f

Eksamen høsten 2010 Del 2: Oppgave 4, Oppgave 8 alt.2

Eksamen våren 2010 Del 1: Oppgave 1i

Eksamen våren 2010 Del 2: Oppgave 3, Oppgave 7 alt.2

Eksamen høsten 2009 Del 1: Oppgave 1k

Eksamen høsten 2009 Del 2: Oppgave 3