rumgeometri og vektorer

Rumgeometri og vektorer

Matematik / peter ove / Rum-Indhold.doc / 02-12-2013

Indhold Vektorbegrebet 2 Vektorprodukt 4

Parallelle vektorer Arealet af et parallellogram Arealet af en trekant

Linier i rummet 8 Skæring mellem linier

Planer i rummet 11 Skæring mellem linie og plan

Planens parameterfremstilling 14 Omformning af parameterfremstilling til ligning Omformning af ligning til parameterfremstilling

Skæring mellem planer 16 Vinkel mellem plan og linie 18 Vinkel mellem to planer 21 Afstand fra punkt til linie 22 Afstand fra punkt til plan 23 Projektion af punkt på linie 26 Projektion af punkt på plan 28 Projektion af linie på plan 29 Afstand mellem to vindskæve linier 30 Kuglen 32

Tangentplan Skæring mellem kugle og linie

y

z

x

yz

xz

xy

VEKTORER I RUMMET Definition af vektor, grundlæggende begreber

Et fly er påvirket af firekræfter: Vektorbegrebet

Ved mange fysiske målinger kan et resultat udtrykkes ved en skalar, dvs. en størrelse som er fastlagt ved et tal, fx temperatur og massefylde. Ved nogle andre fysiske størrelse, fx en kraft er man både interesseret i dens størrelse (en talværdi = en skalar) og dens retning, der angives med en pil. En sådan pil er et eksempel på en vektor, som altså både har en størrelse (typisk repræsenteret ved pilens længde) og en retning.

Matematik / peter ove / Rum-Vektorer i rummet.doc

En vektor er et matematisk objekt, der er karakteriseret ved en retning og længde; men det har ikke nogen mening at indføre et bestemt begyn-delsespunkt for en vektor. Som illustration af en vektor kan man tegne en pil med et vilkårligt begyndelsespunkt og en sådan pil kaldes så en repræsentant for vektoren.

Trækkraft

Opdrift

Vægt

Modstand

De fire kræfter kan opfattessom vektorer, dvs. ret-ningsbestemte og med en given størrelse.

En vektor benævnes ofte med et enkelt bogstav med en pil over, fx a , eller n x . Hvis A og B betegner to punkter vil vi også benytte betegnel-

sen AB for den vektor, der har pilen fra A til B som repræsentant.

Når fx opdriften svarer tilvægten vil flyet flyve lige-ud.

Ovenstående ”definition” på en vektor vil vi nu gøre mere matema-tisk stringent ved indførelse af nogle nye begreber.

Vi indfører et ordnet punktpar ( , , hvor )A B A B≠ med den betyd-

ning, at der til punkterne A og B knyttes et liniestykke, hvor det først-nævnte punkt i det ordnede punktpar angiver liniestykkets begyndel-sespunkt og det andet punkt angiver liniestykkets endepunkt (der mar-keres med en pil). Et sådant liniestykke kaldes for et orienteret linie-stykke og betegnes med symbolet AB (obs. – uden pil).

A

B

10 repræsentanter for densamme vektor.

A

BLæg mærke, at det for liniestykkerne AB og BA gæl-der, at AB BA= ; mens det for de orienterede liniestyk-ker AB og BA gælder, at

AB BA≠ .

Vi kalder to orienterede liniestykker AB og CD for ækvivalente, når

de to linestykker er lige lange og ensrettede (parallelle), og vi udtrykker denne ækvivalens med symbolet

AB CD≡ .

A

B

C

D

≡

Repræsentanter for 4 for-

skellige vektorer.

Rumgeometri og vektorer - side 2

VEKTORER I RUMMET Definition af vektor, grundlæggende begreber

Er punkterne A og B sa -menfaldende kaldes

mHar vi givet et orienteret liniestykke AB kan vi nu opfatte vektoren AB som en mængde bestående af de orienterede liniestykker, som er ækvivalente med AB . Vi har nu følgende definition på en vektor:

ABfor nulvektoren og beteg-nes med . o

Matematik / peter ove / Rum-Vektorer i rummet.doc

Definition: Vektor ABABBetegner et givet orienteret liniestykke lader vi betegne

mængden af orienterede liniestykker En vektor er en mængde– nemlig løsningsmæng-den til en ækvivalensrelati-on.

PQ , der er ækvivalente med AB , dvs.

{ | }AB PQ PQ AB= ≡ . AB

Mængden kaldes en vektor – og ethvert orienteret liniestykke, der tilhører mængden

Som nævnt benyttes ofte små bogstaver til at betegne vektorer og vi kunne på tilsvarende måde definere vektoren a som mængden af orien-terede liniestykker x , der er ækvivalente med et givet orienteret linie-stykke a :

{ | }a x x a= ≡ .

Vi kan også opfatte vektoren a som løsningsmængden til ækvivalens-relationen x a≡ .

AB , siges at repræsentere vektoren AB

.

a

En ækvivalensrelation sva-rer til et åbent udsagn, somvi kender det fra ligninger


Rumgeometri: Vektorprodukt

Matematik / peter ove / Rum-Vektorprodukt.doc

Vektorprodukt Rumgeometrien indeholder flere begreber og beregningsmæssige forhold end plangeometrien; hvilket er en følge af, at rummets 3 dimensioner (i forhold til planens 2 dimensioner) blandt an-det giver ”rum til” nye objekter som fx planer, kasser, pyramider, cylindre og kugler.

I rummet har vi brug for at kunne bestemme en vektor, der står vinkelret på to givne egentlige vektorer. Vi kan bestemme en sådan vektor ud fra følgende definition: Vi ser af definitionen, at vektorproduktet (krydsproduktet) er en vektor i modsætning til det tidligere indførte skalarprodukt (prikproduktet), som er en skalar, altså et tal. Bevis: Beviset kan gennemføres ved at udregne skalarpro-dukterne med koordinater. Ved hjælp af CAS-regneren kan det gøres sådan:

Definition Ved vektorproduktet eller krydsproduktet af to egentlige vektorer,

1

2

3

aa a

a

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟ og b b 1

2

3

b

b

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

forstås vektoren

23 2 3 3 22 2 3 3 1 1

31 3 1 1 33 3 1 1 2 2

12 1 2 2 1

, ,d a

a b a b a ba b d a b a b

a b a b a bd a

−⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜× = = = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ −⎝ ⎠ ⎝

b a b

b a b

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Sætning 1 For egentlige vektorer a og b gælder, at a b× er vinkelret på både og og vi har: a b

( ) •a b a a b a× ⊥ ⇔ × = 0 0 og ( ) •a b b a b b× ⊥ ⇔ × =

a b

a b×

b a×




Bemærk følgende om orienteringen (retningen) af a b× :

Hvis man fra den pilespids, der repræsenterer a b× , ser ned på det plan, der udspændes af a og , skal omløbsretningen fra a b til b være positiv.

Eksempelvis ses (jf. CAS-regneren), at (b a a b)× = − × og at omløbsretningen fra b til a er positiv set ”nede fra” pilespidsen af b a× . Det kan være svært ”at se”; men prøv at tegne a og

som vist på et stykke papir – hold det op mod lyset og betragt tegningen fra undersiden. b

Bevis: Sætningen kan man vise ved at indføre koordinater for vektorerene og derefter ved udregning vise, at sætningerne bliver sande (fx vha. CAS-regneren). En relation mellem vektorproduktet og skalarproduktet På tilsvarende måde kan vi vise følgende sætning, der udtrykker en relation mellem vektorpro-duktet og skalarproduktet: Vektorproduktets længde Ved hjælp af sætning 3 kan vi nu vise følgende vigtige sætning om længden af vektorproduk-tet:

Sætning 2 Hvis a og b er to vektorer og t er et reelt tal, gælder:

1. ( )

2. ( ) ( ) ( )

3.4.5.

a b c a b a c

t a b ta b a tb

a b b aa o oa a o

× + = × + ×

× = × = ×

× = − ×× =× =

Sætning 4 For egentlige vektorer a og b gælder følgende om længden af vektorproduktet:

| | | | • | | •sina b a b v× = , hvor v betegner vinklen mellem a og b .

Sætning 3 For to vektorer og b gælder følgende relation mellem vektorernes vektorprodukt og skalarprodukt:

a

2 2 2| | | | • | | ( •a b a b a b× = − 2)




Bevis: Ifølge sætning 3 har vi relationen:

(1) 2 2 2| | | | • | | ( •a b a b a b× = − 2) Vi benytter nu sætningen om skalarproduket – nemlig formlen • | | • | | •cosa b a b v= - og ind-sætter dette i (1). Herved fås:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

| | | | • | | (| | • | | • cos )

| | | | • | | | | • | | • (cos )

| | | | • | | • (1 (cos ) )

| | | | • | | • (sin ) .

a b a b a b v

a b a b a b v

a b a b v

a b a b v

× = − ⇔

× = − ⇔

× = − ⇔

× =Da det om vinklen v mellem to vektorer gælder, at kan vi uden problemer uddrage kvadratroden på hver side af lighedstegnet og får:

0 180v° ≤ ≤ °

2 2 2 2| | | | • | | • (sin )

| | | | • | | • sin .

a b a b v

a b a b v

× = ⇔

× =

Hermed er sætning 4 bevist. ■ Parallelle vektorer Hvis eller v er sin og vektorerne 0v = ° 180= ° 0v = a og b vil være parallelle. Ved hjælp af vektorproduktet for to egentlige vektorer a og b kan vi nemt afgøre om de to vek-torer er parallelle. Sættes vil vektorerne a og ,v a= ∠ b b være parallelle, når 0v = ° eller . 180v = °Da får vi sin 0 sin180 0° = ° =.

| | | | • | | • sin ( 0 180 )

| | | | • | | • 0

| | 0 .

a b a b v v v

a b a b

a b

× = ∧ = ° ∨ =

× = ⇔

× =

° ⇔

Vektorerne og b vil altså være parallelle, når længden af deres vektorprodukt er 0 – altså når

og dermed er (nulvektoren). a

0| |a b× = a b o× =

Vi husker: 2 2(cos ) (sin ) 1v v+ =

og dermed 2 2(sin ) 1 (cos )v v= −

a

b

d

h Sætning 7 To vektorer a og b er parallelle kun og kun når a b o× = . Vi kan skrive det således:

||a b a b o⇔ × = .



Arealet af et parallelogram Vi ved fra tidligere, at arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne og a b kan bestemmes som , hvor | | • | | • sina b v ,v a= ∠ b . Af sætning 4 følger nu at parallelogrammets areal kan beregnes som | |a b× .

v

| |a b× = Parallelogram-mets areal

Sætning 5


Arealet af en trekant Arealet af en trekant i rummet, der ud-

spændes af vektorerne og b , bestemmes på samme måde som i planen ved:

AΔ

a

1 ·| |·| |·sin2

A a bΔ = v

b

,

hvor . ,v a= ∠

Arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a og b , og hvor er derfor ( , )v a b= ∠

1 1·| |·| |·sin ·| |2 2

A a b v aΔ = = b× .

Hermed har vi vist:

Arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a og b er bestemt ved | |A a b= ×

v

1 ·| |2

a b× =Trekantens areal

Sætning 6 Arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a og b er bestemt ved

1 · | |2

A a bΔ = × .


Rumgeometri: Linier i rummet

Matematik / peter ove / Rum-Linier i rummet.doc

Linier i rummet Linier i rummet kan beskrives ved hjælp af en parameterfremstilling på samme måde som linier i planen kan beskrives ved en parameterfremstilling. Givet et punkt og en egentlig vektor r0P i rummet. Med l betegner vi den rette linie, der går gennem og som er parallel med vektoren 0P r . Vi kalder r for en retningsvektor for linien l. For et vilkårligt reelt tal t kan vi bestemme et punkt på linien af ligningen: P

0(1) ·P P t r= .

Omvendt vil der for ethvert punkt på linien findes et tal t så ligningen (1) er opfyldt. P

Når t gennemløber alle reelle tal vil punkterne , bestemt af ligningen (1), således gennemløbe den punktmængde, der udgør linien l. Vi har altså:

P

0{ | : · }l P t P P t r= ∃ ∈ =

( læses : ”der eksisterer et reelt tal t for hvilket der gælder ….”). :t∃ ∈

Stedvektoren OP kan skrives som

0 0 0 ·OP OP P P OP OP t r= + ⇔ = + , og vi kan nu beskrive linien som punktmængden:

0{ | : · }l P t OP OP t r= ∃ ∈ = + .

x

y

z l

r

0P

Pr

O




Sætter vi , 1

2

3

rr r

r

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( , , )P x y z= , 0 0 0 0( , , )P x y z= og dermed x

OP yz

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

og 0

0 0

0

xOP y

z

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, har vi:

0 · ,OP OP t r t= + ∈ ⇔

(2)0 1

0 2

0 2

· ,x x ry y t r tz z r

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + ∈⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Dette skrives også ofte som ligningssystemet:

(3)

0 1

0 2

0 3

·· ,·

x x t ry y t r tz z t r

= +⎧⎪ = + ∈⎨⎪ = +⎩

.

Både udtrykkene (2) og (3) kaldes en parameterfremstilling for l. Vi bruger her ikke ligninger til at beskrive linier i rummet, idet de fleste linier ikke kan fremstil-les ved simple ligninger. Nogle linier har dog alligevel forholdsvis simple ligninger, fx kan x-aksen beskrives ved ligningen

2 2 0y z+ = . Denne ligning er kun sand, når både 0y = og 0z = ; hvilket netop er karakteristisk for samtlige punkter på x-aksen. Men ellers er det værd at notere sig, at x-aksen kan fremstilles ved parame-terfremstillingen:

1: · 0 ,

0

xx aksen y t t

z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∈ .

Fra plangeometrien ved vi at to ikke-parallelle linier vil skære hinanden i et punkt.

I rummet kan vi have linier, der ikke er parallelle; men som alligevel ikke har noget skæringspunkt. Sådanne lini-er kaldes vindskæve.

Dette kan let illustreres som vist på figuren, der viser to linier l og m bestemt ved to af kanterne på en kasse. Det fremgår, at linierne er ikke-parallelle og de har heller ikke noget fælles punkt. Linierne l og m er altså vindskæve.

l

m



Eksempel ⇒ ⇒Givet to linier l og m med parameterfremstillingerne

5 1: 7 · 2 ,

2 4

xl y t t

z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∈ og

1 3: 7 · 2 ,

3 1

xm y s s

z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + − ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Retningsvektorerne er ikke proportionale og linierne er derfor ikke parallelle, dvs at de enten vil have et fælles punkt eller være vindskæve, hvilket vi ikke umiddelbart kan se af parameterfrem-stillingerne. Vi må derfor undersøge om vi kan løse ligningssystemet:

5 1 3·: 7 2· 7 2· ,

2 4· 3

t sl m t s s t

t s

+ = +⎧⎪∩ + = − ∈ ∧⎨⎪ + = − +⎩

∈ .

Vi har altså 3 ligninger med 2 ubekendte. En eventuel løsning findes ved (manuelt) at løse to af ligningerne og derefter undersøge om de fundne værdier af t og s også er løsninger til den tredje ligning. Er de fundne væredier af t og s ikke løsninger til den tredje ligning, betyder det, at linierne er vindskæve. Såfremt de fundne værdier af t og s er løsninger til ligningssystemet kan skæringspunktet ud-regnes ved at indsætte t-værdien i parameterfremstillingen for l. Indsættes s-værdien i parame-terfremstillingen for m skal vi selvfølgelig få det samme resultat (en god kontrol ved manuel beregning).

Ved at følge fremgangsmåden kan man konstatere, at l og m vil skære hinanden i punktet . (4,5, 2)−

Ved hjælp af CAS kan vi løse problemet således: I tilfælde hvor linierne er vindskæve får man med CAS resultatet:

Solve( , { }l m s t= ) false→ . Eksempel ⇐ ⇐



Rumgeometri: Planer i rummet

Matematik / peter ove / Rum-Planer i rummet.doc

Planer i rummet I rummet betragter vi en egentlig vektor n , et fast punk 0P og et vilkårligt punkt P , som vi bevæger frit (på figuren er vist 3 forskellige positioner fo P P P

tr

: , + o P− ). g

Afhængigt af ’s placering ved vi følgende om skalarproduktet P 0·n P P :

0 0· 0 ( , ) 9n P P n P P> ⇔ ∠ < 0°

0°

.

0 0· 0 ( , ) 9n P P n P P< ⇔ ∠ > .

0 0· 0 ( , ) 90n P P n P P P P o= ⇔ ∠ = ° ∨ =0 .

Et punkt vil derfor og kun da ligge i den plan P α , der går igennem og som er vinkelret på

, når vektoren er vinkelret på 0P

n 0P P n - eller når 0PP = (og så er 0P P o= ). I begge tilfælde kan vi konkludere:

0· 0P n P Pα∈ ⇔ = . Planen α kan derfor beskrives som punktmængden:

0(1) { | · 0} .P n P Pα = = På baggrund af disse betragtninger kan vi nu definere hvad der forstås ved en plan i rummet:

Definition Givet en egentlig vektor og et punkt i rummet. n 0PPunktmængden

0{ | · 0}P n P Pα = = kaldes en plan i rummet.

Vektoren n kaldes en normalvektor til planen.

α

P0P

n P+

P−




Sætter vi og ,a

n bc

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 0 0 0( , , )P x y z= ( , , )P x y z= og dermed 0

0 0

0

x xP P y y

z z

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

fås:

0

0 0

0

0 0 0

· 0 · 0

·( ) ·( ) ·( ) 0 .

a x xn P P b y y

c z za x x b y y c z z

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⇔ − = ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + − + − =

I stedet for (1) kan vi nu skrive:

0 0 0(2) {( , , ) | ·( ) ·( ) ·( ) 0} .x y z a x x b y y c z zα = − + − + − = Vi har altså vist, at netop de punkter , der ligger i planen ( , , )P x y z α tilfredsstiller ligningen

Denne ligning kaldes for planens ligning. Planens ligning kan vi omforme således:

0 0 0

0 0 0

·( ) ·( ) ·( ) 0· · · ( · · · ) 0· · · 0 ,

a x x b y y c z za x b y c z a x b y c za x b y c z d

− + − + − = ⇔+ + − + + = ⇔+ + + =

hvor vi har indført betegnelsen . 0 0( · · · )d a x b y c z= − + + 0

0 0 0·( ) ·( ) ·( ) 0a x x b y y c z z− + − + − =

Planens ligning

En plan α med normalvektoren og som går gennem punktet har

ligningen:

an b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 0 0 0( , , )P x y z=

0 0 0: ·( ) ·( ) ·( )a x x b y y c z z 0α − + − + − = . Planens ligning kan også skrives på formen:

: · · · 0a x b y c z d ,α + + + = hvor . 0 0( · · · )d a x b y c z= − + + 0



Eksempel ⇒ ⇒ Planen α og linien l er bestemt ved henholdsvis følgende ligning og parameterfremstilling:

: 3 5 9 02 5

: 4 · 3 ,1 1

.

x y zx

l y t tz

α − − + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Betegner vi normalvektoren til α med n og retningsvektoren for l med har vi: r

351

n⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

og . 531

r⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Da er l ikke parallel med · 1n r = − ≠ 0 α og vil derfor skærer α i et punkt Q (kaldes l’s spor i α ). Vi vil bestemme koordinatsættet til Q.

α

l

Q

Skæring mellem linie og plan Et vilkårligt punkt på l har koordinatsættet (2 5 ,4 3 , 1 )tP t t t= + + − − svarende til parametervær-dien t. Vi får:

: 3(2 5 ) 5(4 3 ) ( 1 ) 9 06 15 20 15 1 9 0

4 .

tP t t tt t t

t

α∈ + − + − − + + = ⇔

+ − − + − + = ⇔= −

Heraf fås det søgte skæringspunkt mellem l og α til

4 ( 18, 8, 5)Q P−= = − − − . Eksempel ⇐ ⇐



Rumgeometri: Planens parameterfremstilling

Matematik / peter ove / Rum-Planens parameterfremstilling.doc

Planens parameterfremstilling I rummet betragter vi planen α , der går gennem punktet 0 0 0 0( , , )P x y z= og udspændes af to ikke parallelle vektorer p og . Vektorerne q p og q kaldes for planens retningsvektorer. Når er et vilkårligt punkt i ( , , )P x y z α , gælder at vektoren 0P P kan skrives som en linearkom-bination af p og . Dvs. at der findes et reelt talpar , så (jf. figuren) q ( , )s t

0(1) · ·P P s p t q= + .

Omvendt vil der for ethvert reelt talpar findes et punkt P så ligningen (1) er opfyldt. ( , )s t

Når gennemløber mængden af reelle talpar vil punkterne P, bestemt af ligningen (1), således gennemløbe den punktmængde, der udgør planen

( , )s t 2

α . Vi har altså:

20{ | ( , ) : · · }P s t P P s p t qα = ∃ ∈ = + .

( læses : ”der eksisterer et reelt talpar for hvilket der gælder ….”). 2( , ) :s t∃ ∈ ( , )s t Stedvektoren OP kan skrives som (indskudsreglen)

0 0 0 · ·OP OP P P OP OP s p t q= + ⇔ = + + , og vi kan nu beskrive planen som punktmængden:

20{ | ( , ) : · · }P s t OP OP s p t qα = ∃ ∈ = + + .

x

y

z

α

P

0P

O

p

q

·s p

·t q


Rumgeometri: Planens parameterfremstilling

Sætter vi 1

2

3

pp p

p

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, , , 1

2

3

qq q

q

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( , ,P x y z= ) 0 0 0( , , )P x y z0= og dermed x

OP yz

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

og

0

0

0

0

xOP

z

⎜= ⎜ y⎛ ⎞

⎟⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

, har vi:

2

0 · · , ( , )OP OP s p t q s t= + + ∈ ⇔

(2)0 1 1

20 2 2

0 2 2

· · , ( , )x x p qy y s p t q s tz z p q

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + ∈⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Dette skrives også ofte som ligningssystemet:

(3)

0 1 12

0 2 2

0 3 3

· ·· · , ( , )· ·

x x s p t qy y s p t q s tz z s p t q

= + +⎧⎪ = + + ∈⎨⎪ = + +⎩

.

Både udtrykkene (2) og (3) kaldes en parameterfremstilling for α .

I forbindelse med opgaveregning kan det nyttigt at notere sig følgende:

Matematik / peter ove / Rum-Planens parameterfremstilling.doc

1. Tre punkter i rummet fastlægger en plan AB

Givet tre punkter A, B og C som ikke ligger på en ret linie. Vektorerne og vil være retningsvektorer for planen og som det ”faste” punkt kan vi vælge et af punkterne A, B og C.

AC

2. Omformning af parameterfremstilling til ligning

Givet en plan α ved parameterfremstillingen 2

0 · · , ( , )OP OP s p t q s t= + + ∈ . n p q= ×Vi kan bestemme en ligning for α ved at benytte som planens normalvektor og

punktet som det ”faste” punkt. 0 0 0 0( , , )P x y z=

3. Omformning af ligning

0

til parameterfremstilling Givet en plan ved ligningen

: ax by cz d+ + = . α +Vi har brug 3 punkter i planen og kan fx bestemme planens skæringspunkter med de 3 koor-dinatakser til:

(Aa

= − ,0 ,0)d , (0, ,0)dB = − og (0,0, )dC =b c

− .

Herefter er fremgangsmåden som under pkt. 1.


Rumgeometri: Skæring mellem planer

Matematik / peter ove / Rum-Skaering mellem planer.doc

Skæring mellem planer To ikke-parallelle planer i rummet skærer hinanden i en ret linie. Man siger at planerne afsætter et spor i hinanden og dette spor er en ret linie (se figuren). Hvis vi kender ligningerne for planerne kan vi bestemme en parameterfremstilling for skæ-ringslinien. Metoden vises med et eksempel.

Eksempel ⇒ ⇒Planerne α og β (alfa og beta) har ligningerne

: 5 4 2 21: 2 6 0

x y zx y z

0αβ

+ − − =+ − − =

De to planer har normalvektorerne

og n542

nα

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

211

β

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Det ses umiddelbart, at normalvektorerne ikke er parallelle (ikke-proportionale koordinatsæt) og planerne vil skære hinanden i en ret linie l (se figuren).

x

y

z

l

β

nβnα

αr

0 0 0( , ,0)P x y=


Rumgeometri: Skæring mellem planer

Linien l står vinkelret på planernes normalvektorer og vi kan derfor bruge deres krydsprodukt som retningvektor for l, altså r

Matematik / peter ove / Rum-Skaering mellem planer.doc

3

5 2 24 1 12 1

r n n r rα β

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= × ⇔ = × ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Vi skal nu blot bestemme et punkt 0 0 0 0( , , )P x y z= på l for at kunne opstille parameterfremstil-lingen. Dette kan eksempelvis være liniens skæringspunkt med xy-planen, dvs. hvor . 0z =

Vi kan beregne dette punkt ved at sætte 0z = i planernes ligninger og løse de to ligninger med hensyn til x og y:

| 0z :α β∩ =

5 4 2 21 0 02 6 0

5 4 21 02 6 0

1 4

x y z zx y z z

x yx y

x y z

+ − − = ∧ =⎧⎨ + − − = ∧ =⎩

+ − =⎧⎨ + − =⎩

= ∧ = ∧ =

0

0 Heraf følger, at punktet ligger på skæringslinien og dens parameterfremstilling er derfor:

0 (1, 4,0)P =

1 2

: 4 · 1 ,0 3

xl y t t

z

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Eksempel ⇐ ⇐

Bemærk: 1. Man kan kontrollere om ligger i begge planer ved at indsætte koordinatsættet i lig-ningerne for

0 (1, 4,0)P =α og β og undersøge om begge ligninger bliver til sande udsagn.

2. Hvis planerne er parallelle er normalvektorernes koordinatsæt proportionale og der gælder, at

r n n oα β= × = .


Rumgeometri: Vinkel mellem plan og linie

Matematik / peter ove / Rum-Vinkel mellem plan og linie.doc

Vinkel mellem plan og linie Figuren nedenfor viser en linie l, der ikke er parallel med planen α og linien står heller ikke vinkelret på α . Linien l har retningsvektoren og skærer planen i punktet P. r

Punktet Q ligger på l; men Q .. Punktet R er projektionen af Q på P≠ α . Da vi har forudsat, at l ikke er vinkelret på α vil det gælde, at R P≠ . Vi kan derfor slutte, at - i den retvinklede trekant PRQ - er vinklen mellem planen v = ∠P α og linien l. Når vinklen v skal beregnes er der principielt to forskellige situationer, som fremgår af neden-stående ”plansnit”:

Vinkel mellem plan og linie Vinklen v mellem en plan og en linie er

| 90 |v u= ° − , hvor u er vinklen mellem planens normalvektor og liniens retningsvektor.

α

lQ

RP

n

v

r

α

l

P

n

v

ru

Fig. 1

α

l

P

n

v

r

u

Fig. 2

v




1. På fig.1 er vinklen u spids, dvs. 0 ( , )u r n° < = ∠ < °90 . Den søgte vinkel v mellem linien og pla-nen kan da bestemmes som

90v u= ° − . 2. På fig.2 er vinklen u stump, dvs. 90 ( , ) 180u r n° < = ∠ < ° . Den søgte vinkel v mellem linien og planen kan da bestemmes som 90v u= − ° eller (90 )v u= − ° − . Vi behøver ikke at tage stilling til om vinklen u er spids eller stump; hvis vi anvender formlen: | 90 | .v u= ° −

Endelig har vi følgende specielle tilfælde: 3. Hvis l er parallel med α , dvs. l er vinkelret på planens normalvektor, er og dermed er vinklen mellem plan og linie .

90u = °0v = °

Altså | 90 90 | 0 .v = ° − ° = ° 4. Hvis l er vinkelret på α , dvs. l er parallel med planens normalvektor, er (eller 0u = ° 180u = ° ) og dermed er vinklen mellem plan og linie 90v = ° . Altså eller . | 90 0 | 90v = ° − ° = ° °| 90 180 | | 90 | 90v = ° − ° = − ° = Hermed er sætningen om vinkel mellem plan og linie bevist. ■

Bemærk: Når vinklen v mellem plan og linie skal beregnes finder vi først vinklen u vha. formlen:

·cos( )| |·| |

n run r

= .

Herefter fås den søgte vinkel som . | 90 |v u= ° −

Eksempel ⇒ ⇒

Bestem vinklen v mellem planen α med ligningen

: 9 8 18 77x y z 0α − + + = og linien l med parameterfremstillingen

0 4: 1

3 1

xl y t

z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

· 4−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Normalvektoren for α og retningsvektoren for l er:

98

18n

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

og 441

r⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

CAS-syntaks

cosu ( , )( ) · ( )

dotP n rnorm n norm r

| 90 |v− (90 )abs u−



Vi udregner vinklen u mellem og n r :

1

1 1

2 2 2 2 2 2

1

· ·cos( ) cos| |·| | | |·| |

9 48 · 4

18 1 36 32 18cos cos9 4 9 ( 8) 18 · 4 4 ( 1)8 · 4

18 1

14cos469 · 33

n r n ru un r n r

u

u

−

− −

−

⎛ ⎞= ⇔ = ⇔⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⇔

⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + + + −⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

−=

1cos ( 0.112534) 96.4614 .u−⎛ ⎞= − ⇔ = °⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ Vinklen mellem planen og linien findes herefter til

| 90 | | 90 96.4614 | | 6.4614 |6.4614 .

v u vv= ° − ⇔ = ° − ° = − ° ⇔= °


OBS ! Eksempel ⇐ ⇐


Rumgeometri: Vinkel mellem to planer

Matematik / peter ove / Rum-Vinkel mellem to planer.doc

Vinkel mellem to planer

Figuren viser to planer α og β , der skærer hinanden i linien l. I et vilkårligt punkt P på skæ-ringslinien er de to planers normalvektorer nα og nβ afsat. Ud fra ovenstående definition kan vi beregne vinklen v mellem planerne med formlen:

·

cos .| | ·| |

n nv

n nα β

α β

=

Hvis planerne har parallelle normalvek-torer er vinklen mellem planerne eller 180 . I disse tilfælde kalder vi pla-nerne parallelle.

0°°

Hvis den ene eller begge planer er givet ved en parameterfremstilling skal man først beregne nødvendige normalvek-tor(er). En normalvektor til en plan kan findes som vektorproduktet (krydspro-duktet) af en plans retningsvektorer.

CAS-syntaks

cosv ( , )

( )· ( )dotP n n

norm n norm nα β

α β

Planer , vinkler og linier i rummet (Skyscraper i Frankfurt)

Vinklen mellem to planer er vinklen v mellem planernes normalvektorer. Der er to muligheder for at angive vinklen – den ene er vinklen – og den an-den er supplementvinklen 180 .

vv° −

αβ

v

vnβ

nα

P

l


Rumgeometri: Afstand fra punkt til linie

Matematik / peter ove / Rum-Afstand fra punkt til linie.doc

Afstand fra punkt til linie

Bevis: Figuren nedenfor viser et punkt P, der ikke ligger på linien l gennem punktet og med ret-ningsvektoren . Linien l og punktet P udspænder en plan.

0Pr

Projektionen af P på l betegnes med l og den (vinkelrette) afstand , )l fra P til l vil vi bestemme som |l . Vi afsætter r med begyndelsespunkt i 0 og endepunkt i Q - og sætter

.

P (dist P | PP P

0( , )v r P P= ∠

Vektorerne og udspænder en trekant r 0P P 0P PQΔ med arealet

01 ·2

T r PΔ = × P .

0P PQΔ har grundlinien | og højden | , dvs arealet af trekanten kan også findes som |r |lPP1 1· | |·| | · ( , ) ·| |2 2lT PP r T dist P lΔ Δ= ⇔ = r .

Heraf følger

00

1 1· ( , ) ·| | · ( , )2 2

r P Pdist P l r r P P dist P l

r

×= × ⇔ = .

| |√

Endelig skal vi vise, at formlen gælder når P ligger på l (så skal formlen jo give ( , ) 0dist P l = ):

1. og , dvs. og dermed er P l∈ 0P P= 0P P o= 0r P P o× = . Vi har altså | |( , ) 0| |odist P lr

= = .√

2. og , dvs. og dermed er P l∈ 0P P≠ 0 ||P P r 0r P P o× = . Vi har altså | |( , ) 0| |odist P lr

= = .√

Hermed er sætningen om afstand fra punkt til linie bevist. ■

Afstand fra punkt til linie

Afstanden fra et punkt P i rummet til linien l, der går gen-nem punktet og har retningsvektoren r

( , )dist P l

0P , er bestemt ved:

0| |( , ) .

| |r P P

dist P lr

×=

vr

P

lP0P

( , )dist P l

lQ


Rumgeometri: Afstand fra punkt til plan

Matematik / peter ove / Rum-Afstand fra punkt til plan.doc

Afstand fra punkt til plan Bevis: Hvis punktet 1P ikke ligger i planen α ser situationen ud som vist på figuren.. Punktet R er projektionen af på planen, er vinkelret på planen 1P 1P R α og parallel med normalvektoren n .

0P Q er projektionen af på normalvektoren 0 1P P n og er et punkt i planen. 0P

I firkant er de tre vinkler,0 1P QP R 0P∠ , Q∠ og R∠ rette vinkler, og derfor vil også være en ret vinkel. Firkanten er altså et rektangel og dermed er længden af lig med længden af , som netop er den afstand vi søger.

1P∠

0P Q0 1P QP R

1P R

Vi kan derfor finde afstanden fra punktet til planen 1P α som længden af projektionen af vektor

på normalvektoren n , dvs som længden af 0 1P P 0P Q .

Af formlen for projektion af en vektor på en vektor kan vi nu beregne 0P Q som

0 10 0 1 0 1 2

··n

n P PP Q P P P P n

n= = .

Afstand fra punkt til plan Afstanden fra punktet til planen 1 1 1, 1( , )P x y z α med ligningen

0ax by cz d+ + + = er bestemt ved:

1 1 11 2 2 2

| |( , )

ax by cz ddist P

a b cα

+ + +=

+ + .

α

Q

R0P

n1 1 1 1( , , )P x y z




Den søgte afstand 1( , )dist P α fra punktet til planen 1 1 1, 1( , )P x y z α kan herefter beregnes som

længden af : 0P Q

0 1 0 10 11 0 2 2

· ··( , ) | | · · .

n P P n P Pn P Pdist P P Q n n

nn nα = = = =

Sættes og får vi: 0 0 0 0( , , )P x y z=a

n bc

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0

1 0

0 1 1 01 2 2 2

1 1 1 0 0 01 2 2 2

1 1 11 2 2 2

··

( , )

( )( , )

( , ) ,

a x xb y y

n P P c z zdist P

n a b c

ax by cz ax by czdist P

a b c

ax by cz ddist P

a b c

α

α

α

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = ⇔

+ +

+ + + − − −= ⇔

+ +

+ + +=

+ +

hvor konstantleddet 0 0d ax by cz0= − − − (jf. planens ligning). Hvis 1 1 1 1( , , )P x y z ligger i planen α er 1 1 1 0ax by cz d+ + + =

) 0(planens ligning med koordinat-

sættet til indsat) og får vi 1P 1( ,Pdist α = . Hermed er sætningen om afstand fra punkt til plan bevist. ■

Eksempel 1 ⇒ ⇒Vi vil bestemme afstanden fra punktet til planen 1(3,4,9)P α med ligningen

: 9 3 11 154 0x y zα − + − = . Vi udregner afstanden således:

1 1 11 12 2 2 2 2 2

1 1

9·3 3·4 11·9 154( , ) ( , )

9 ( 3) 11

40 40( , ) ( , ) 2.754 .211 211

ax by cz ddist P dist P

a b c

dist P dist P

α α

α α

+ + + − + −= ⇔ =

+ + + − +

−= = ⇔ =

⇔

Eksempel 1 ⇐ ⇐



Eksempel 2 ⇒ ⇒Planerne α og β med ligningerne

: 2 6 10 16x y z 0α − + − = og : 3 5 6x y z 0β − + − − =

er parallelle, idet deres normalvektorer:

26

10nα

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

og 1

35

nβ

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

er parallelle (proportionale). Der gælder nemlig, at n n oα β× = . Vi vil finde afstanden mellem de to parallelle planer. Vi vælger et vilkårligt punkt i den ene plan, fx

1Pα og bestemmer afstanden fra dette punkt til planen β .

Et punkt i planen α er 18(0,0, )5

P og vi finder:

1 2 2 2

81·0 3·0 5· 6 145( , ) ( , )35( 1) 3 (5)

( , ) 2.366 .

dist dist P

dist

α β β

α β

− + − −−

= = =− + +

=

⇔

Bemærk:

Man kan på en nem måde finde et punkt i en plan ved at sætte to af koordinaterne til 0 og deref-ter finde den sidste koordinat ved hjælp af planens ligning.

Punktet 1P α∈ i eksemplet ovenfor er fundet ved at sætte 0x = , 0y = og dernæst er 85

z =

bestemt ved en simpel udregning. På tilsvarende måde kunne vi have fundet et andet punkt i planen α , fx - og vi ville med dette punkt selvfølgelig få det samme resultat, nemlig

2 (8,0,0)P

2( , )st P( , 2.366dist di)α β β= = . Eksempel 2 ⇐ ⇐



Rumgeometri: Projektion af punkt på linie

Matematik / peter ove / Rum-Projektion af punkt på linie.doc

Projektion af et punkt på en linie Når P er et vilkårligt punkt og l er en vilkårlig ret linie, så vil der gennem punktet P gå netop én plan η (eta), som er vinkelret på l. Denne plan skærer linien l i et punkt , som kaldes for projektionen af P på l (se fig. 1). lPNedenfor vil vi benytte et eksempel til at vise, hvordan koordinatsættet til kan bestemmes

med brug af to forskellige metoder. lP

Eksempel ⇒ ⇒

Givet en linie l med parameterfremstillingen

: ( , , ) (4 2 , 1 , 2 3l x y z t t= − + − + )tVi vil bestemme koordinatsættet til projektionen af punktet lP (4, 1,8)P − på linien l. Metode 1

lP kan bestemmes som skæringspunktet mellem planen η og linien l.

Det gælder, at ligger i planen lP η ( lP η∈ ) og at retningsvektoren for linien l også er

en normalvektor til planen

213

r−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

η , som derfor har ligningen

: 2·( 4) 1·( ( 1)) 3·( 8) 02 3 15 0

x y zx y z

η − − + − − + − = ⇔− + + − =

For at finde skæringspunktet løser vi først ligningssystemet:

: 2 3 15 0 ( , , ) (4 2 , 1 , 2 3 )2(4 2 ) (1 ) 3( 2 3 ) 15 0

14 28 0 2

l x y z x y z t t tt t t

t t

η ∩ − + + − = ∧ = − + − + ⇔− − + + + − + − = ⇔

− = ⇔ =

Den søgte projektion finder vi nu ved at indsætte lP 2t = i parameterfremstillingen for l, dvs.

(4 4,1 2, 2 6) (0,3,4)l lP P= − + − + ⇔ = .

ηlP

P

l

fig. 1


Rumgeometri: Projektion af punkt på linie

Afstanden fra punktet P til kan vi bestemmes som længden af lP lPP : 2 2 2| | (0 4) (3 ( 1)) (4 8) 48

| | 4 3 6.93 .l

l

PP

PP

= − + − − + − = ⇔

= ≈

Metode 2

lP vil vil være det punkt på l, som har den korteste afstand til P. Vi vil bestemme koordinatsættet til ved at finde et funktionsudtryk for afstanden fra P til et løbende punkt S på l. Når denne

denne afstand | har sit minimum vil der gælde, at lP

|PS lS P= .

ηlP

P

lS

fig. 2

Et løbende punkt S på l vil have koordinaterne (4 2 ,1 , 2 3 )S t t t− + − + (se fig. 2). Afstanden mellem punkterne P og S kan vi finde som:

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

| | (4 2 4) (1 ( 1)) ( 2 3 8)

| | (4 2 4) (1 ( 1)) ( 2 3 8)

| | ( 2 ) ( 2) (3 10) 14 56 104 .

PS t t t

PS t t t

PS t t t t t

2

2

= − − + + − − + − + − ⇔

= − − + + − − + − + − ⇔

= − + + + − = − +

Funktionen 2( ) 14 56 104f t t t= − + angiver kvadratet på afstanden mellem P og S som funktion af parameteren t. Vi bestemmer mindsteværdien af ( )f t , som er et anden-gradspolynomium og derfor har det mindsteværdi i top-punktet. Toppunktet findes af ligningen

'( ) 0 28 56 0 2f t t t= ⇔ − = ⇔ = .

Den søgte projektion l får vi ved at indsætte tP 2= i udtrykket for S, dvs.

(4 4,1 2, 2 6) (0,3,4)l lP P= − + − + ⇔ = .

Mindsteafstanden kan beregnes som

| | (2) 14·4 56·2 104 48 | | 4 3 6.93 .l lPP f PP= = − + = ⇔ = ≈

Eksempel ⇐ ⇐

Matematik / peter ove / Rum-Projektion af punkt på linie.doc


Rumgeometri: Projektion af punkt på plan

Matematik / peter ove / Rum-Projektion af punkt på plan.doc

Projektion af et punkt på en plan Når P er et vilkårligt punkt og α er en vilkårlig plan, så vil der gennem punktet P gå netop én ret linie n, der står vinkelret på α . Denne linie n skærer planen α i et punkt Pα , som kaldes for projektionen af P på α (se figuren).

Eksempel ⇒ ⇒

Vi vil finde projektionen Pα af punktet på planen(4,7,7)P α med ligningen : 3 4 7x y z 0α − − − = .

Planen har normalvektoren 134

nα

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Linien n gennem P vinkelret på planenα skal have planens normalvektor nα som retningsvektor. Linien n får derfor parameterfremstillingen:

4 1: 7 ·

7 4

xn y t

z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟3= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Indsættelse af ( , , ) (4 ,7 3 ,7 4 )x y z t t t= + − − i planens ligning giver:

(4 ) 3(7 3 ) 4(7 4 ) 7 0 26 52 0 2 .t t t t t+ − − − − − = ⇔ − = ⇔ = Denne værdi af parameteren t indsættes i liniens parameterfremstilling og vi får projektionen Pα af P på α til:

(4 2·1 , 7 2·( 3) , 7 2·( 4) (6,1, 1) .Pα = + + − + − = −

Eksempel ⇐ ⇐

α

Pα

P

n


Rumgeometri: Projektion af linie på plan

Matematik / peter ove / Rum-Projektion af linie på plan.doc

Projektion af en linie på en plan Er α en plan og l en ret linie, der ikke er en normal til α , vil projektionen af l på α fremstille en ret linie lα , som kaldes for projektionen af l på α . På figuren er vist, at når P og R er forskellige punkter på l, hvis projektioner på α er henholdsvis Pα og Rα , så er lα netop være den rette linie, der går gennem punkterne Pα og Rα . Det fremgår endvidere, at hvis l skærer α i punktet Sα vil l og lα også skære hinanden i punktet Sα . Hvis specielt linien l er en normal til α vil projektionen af l på α fremstille et punkt, som er lig med l’s skæringspunkt med α .

α

lα

lP

PαRα

R

Sα


Rumgeometri: Afstand mellem to vindskæve linier

Matematik / peter ove / Rum-Afstand mellem to vindskæve linier.doc

Afstand mellem to vindskæve linier Bevis: Vi betragter to vindskæve linier og , der er fastlagt på følgende måde: 1l 2l

linien går gennem punktet og har retningsvektoren 1l 1P 1r linien går gennem punktet og har retningsvektoren 2l 2P 2r

Da og er vindskæve eksisterer der ikke en plan, som indeholder begge linier. Derimod kan vi bestemme to parallelle planer

1l 2l

1α og 2α således, at 1l 1α∈ og 2l 2α∈ , som vist på figuren: Sættes vil ovenstående være opfyldt, når planerne 1n r r= × 2 1α og 2α vælges således, at de begge har som normalvektor og henholdsvis indeholder punkterne og . n 1P 2P

Afstanden mellem de to linier kan nu defineres som afstanden 1 2( , )dist l l 1 2( , )dist α α mellem de to parallelle planer. Afstanden 1 2( , )dist α α er lig med afstanden fra punktet til planen 2P 1α ,

1α

1l1P

1r

n

2r2P 2l

2α

1 2 nP P

Afstand mellem to vindskæve linier Afstanden mellem to vindskæve linier og , hvor har retningsvektoren og går gennem punktet , og hvor har retningsvektoren

1l 2l 1l 1r

1P 2l 2r og går gennem punktet , er bestemt ved 2P

1 21 2 1 2

•( , ) , hvor .

n P Pdist l l n r r

n= = ×


Rumgeometri: Afstand mellem to vindskæve linier

der kan beregnes som længden af projektionen af 1 2P P på normalvektoren , dvs som længden

af . Vi får derfor følgende:

n

1 2 nP P

1 2 1

Matematik / peter ove / Rum-Afstand mellem to vindskæve linier.doc

2 ) dist= = 2 1 1 2( , ) ( , ( , ) ndist l l dist P P Pα α α =

Projektionen af på er bestemt ved 1 2P P n

1 21 2 2

••n

n P PP P n

n= .

Afstanden findes nu som 1 2( , )dist l l

1 2 1 2

1 21 21 2 2 2

1 21 2

( , )

••( , ) • •

•( , ) .

ndist l l P P

n P Pn P Pdist l l n

n n

n P Pdist l l

n

= ⇔

n= = ⇔

=

Hermed har vi bevist sætningen om afstanden mellem to vindskæve linier. ■


Rumgeometri: Kuglen

Matematik / peter ove / Rum-Kuglen.doc

Kuglen Når vi bruger ordet kugle, mener vi kugleoverfladen, dvs. en kugleskal.

Det karakteristiske for en kugleskal er, at den består af netop de punkter, som alle har en bestemt afstand r fra et bestemt punkt - kuglens centrum. Et punkt vil befinde sig på kuglen, når | , hvor r er kuglens radius. De punkter , der opfylder dette, vil være

netop de punkter, som tilfredsstiller afstandsformlen.

( , , )C a b c ( , , )P x y z|CP r= ( , , )P x y z

En kugle K med centrum i og radius r kan derfor beskrives som punktmængden: ( , , )C a b c

{ | | | }K P CP r= = eller { }2 2 2( , , ) | ( ) ( ) ( )K x y z x a y b z c r= − + − + − = .

Vi omskriver nu udtrykket for afstanden | |CP r= således:

2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2x a y b z c r x a y b z c− + − + − = ⇔ − + − + − = r .

Ligningen 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c r− + − + − = kaldes for kuglens ligning.

Vender vi tilbage til at beskrive kuglen som en punktmængde, har vi:

Kuglen som en punktmængde En kugle K i rummet med centrum i punktet og med radius r består af den mængde af punkter , der tilfredsstiller lig-ningen:

( , , )C a b c)z( , ,P x y

2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c− + − + − = r

2=

.

Kuglen K kan derfor beskrives som punktmængden

2 2 2{( , , ) | ( ) ( ) ( ) }K x y z x a y b z c r= − + − + − .

C

x

y

z

P

r

a

b

c


Rumgeometri: Kuglen

Eksempel 1 ⇒ ⇒I et koordinatsystem i rummet har en punktmængde G ligningen

Matematik / peter ove / Rum-Kuglen.doc

20 02 2 2: 4 2G x y z x y+ + + − − = . Af omformningen

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

: 4 2 20 0 4 2( 2) 4 ( 1) 1 20( 2) ( 1) ( 0) 25 ,

G x y z x y x x y y zx y zx y z

20+ + + − − = ⇔ + + − + = ⇔

+ − + − − + = ⇔

+ + − + − =

ses, at G er en kugle med centrum i ( 2,1,0)C − og radius 25 5r = = .

Punktet ligger på kuglen, idet (2,1,3)P2 2 2(2,1,3) : 2 1 3 4·2 2·1 20 0 0 0 ( )P G sandt udsagn∈ + + + − − = ⇔ = .

Planen α gennem P og med som normalvektor tangerer kuglen i P og kaldes for kuglens tangentplan i P. Vi kan bestemme ligningen for

CPα således:

, 2 ( 2) 41 1 03 0 3

CP− −⎛ ⎞ ⎛

⎜ ⎟ ⎜= =−⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

og dermed er ligningen for tangentplanen:

: 4( 2) 0( 1) 3( 3) 0

4 3 17 0 .x y z

x zα − + − + − = ⇔

+ − =

Eksempel 1 ⇐ ⇐

Eksempel 2 ⇒ ⇒Vi betragter en kugle K og linien l med følgende ligninger

2 2 2: 2 4K x y z x y+ + + − − =3 0 og 1 2

: 0 · 0 ,2 1

xl y t t

z

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Vi vil bestemme koordinatsættene til skæringspunkterne mellem K og l. Et vilkårligt punkt på l svarende til parameterværdien t har koordinatsættet ( 1 2 ,0,2 )tP t t− + − og vi får:

2 2 2

2

: ( 1 2 ) 0 (2 ) 2( 1 2 ) 4·0 3 0

5 4 0 (5 4) 0 0 0.8 .tP K t t t

t t t t t t

∈ − + + + − + − + − − =

− = ⇔ − = ⇔ = ∨ =

⇔

Ved indsættelse i parameterfremstillingen for l finder vi koordinatsættene til de to skæringspunk-ter:

0 ( 1,0,2)tP= − og . 0.8 (0.6, 0, 1.2)tP=

Eksempel 2 ⇐ ⇐


rumgeometri og vektorer

Documents