vektor momenta sile, koja predstavlja meru obrtnog dejstva ...polj.uns.ac.rs/~mehanika/9 statika...
TRANSCRIPT
43. Vektor momenta sile za tačku
FABM F
A
Vektor momenta sile, koja
dejstvuje na neku tačku tela, za
proizvoljno izabranu tačku
predstavlja meru obrtnog
dejstva sile u odnosu na tu
proizvoljno izabranu tačku.
Intenzitet vektora momenta sile za tačku iznosi hFABFM F
A sin
Rastojanje h, koje leži u ravni
koju obrazuju napadna linija
sile i momentna tačka,
predstavlja najkraće rastojanje
između napadne linije sile i
momentne tačke, i naziva se
krakom sile za tačku A.
Ovde je tačka A momentna tačka a tačka B napadna tačka sile
F
44. Prostorni sistem spregova, vektor
rezultujućeg sprega i uslovi ravnoteže.
Sistem spregova može biti zamenjen
jednostavnijim ekvivalentnim
dejstvom koje čini rezultujući spreg.
iRR MMMMM
...21
Proizvoljni sistem spregova i
rezultujući spreg
kji iziyixi
MMMM
kji RzRyRxR
MMMM
ixRx MM
-vektor rezultujućeg sprega
iyRy MM
izRz MM
Telo na koje dejstvuje proizvoljan sistem spregova biće u ravnoteži ako je
vektor rezultujućeg sprega jednak nula vektoru, tj. ako su njegove projekcije
na sve tri koordinatne ose jednake nuli. To znači da analitički uslovi ravnoteže
proizvoljnog sistema spregova glase:
-vektor i-tog sprega
,0 ixM ,0 iyM 0izM
Primer 5.3 Odrediti vektor rezultujućeg sprega koji zamenjuje sledeći sistem
zadatih spregova: kji
3121 M kji
1322 M
kji
2233 M kj
224 M,
, ,
30322 ixRx MM
02213 izRz MM
22231 iyRy MM
jiR
23 M
1323 22
222
RzRyRxR MMMM
Primer 5.4
Za zadat sistem
spregova odrediti
rezultujući spreg.Podaci su: M1=1
kNm, M2=2 kNm,
M3=2 kNm,
M4=1 kNm,
M5=2 kNm,
=450, =600.
kNm2cos22 MM x
kNm2sin22 MM z
kNm1cos33 MM x
kNm3sin33 MM z,0,0
,0kNm,2
,0kNm,1
,0kNm,1
32
5555
4444
1111
yy
zxy
zyx
yxz
MM
MMMM
MMMM
MMMM
201120 ixRx MM
220000 iyRy MM
321 izRz MM
kNm,
kNm,
kNm, …
Primer 5.5
Poznate veličine: M, a, b i c.
Odrediti:M1, M2 i M3.
(Primer ravnoteže spregova)
Uvodimo jedinični vektor , normalan na ravan ABCn
n
MM
kabjacibc
ca
ba
kji
ACABN
0
0 222abacbcN
222
abacbc
kabjacibc
N
Nn
222
abacbc
kabjacibcn
M
MM
kji zyx
MMMM
MM
222abacbc
bcx
MM
222abacbc
acy
MM
222abacbc
abz
,
.
03 xix MMM
Uslovi ravnoteže:
02 yiy MMM
...............
01 ziz MMM
45. Izražavanje sprega preko momenta sile za
tačku (vektori).
1
11
F
AMFAB
M
1
11
F
BMFBA
M
2
22
F
CMFCD
M
2
22
F
DMFDC
M
Vektor sprega se može odrediti preko
vektora momenta sile za tačku
Jedini uslov koji moraju da
zadovolje tačke A, B, C i D je
da se nalaze na proizvoljnim
mestima napadnih linija sila:
,1F
,1F
,2F
.2F
46. Moment sile za osu
Moment sile za osu je skalarna
veličina koja predstavlja meru
obrtnog dejstva sile za tu osu.
Može se dobiti projektovanjem
na osu vektora momenta sile
za proizvoljnu tačku na toj osi.
Ovde, moment sile za x osu određuje
ma koji od narednih skalarnih proizvoda:
F
... iMiMiMM F
C
F
B
F
A
F
x
Sile koje su paralelne sa osom i sile čije napadne linije presecaju osu nemaju
obrtno dejstvo oko te ose, tj. momenti takvih sila za osu jednaki su nuli
)1
)2
0 iFDBiMM F
D
F
x
0 iPCAiMM P
C
P
x
00 iiFCBiMM F
C
F
x
00 iiPDAiMM P
D
P
x
Slučaj kada sila leži u ravni upravnoj na osuP
P
AF
F
A hPMhFM
,
P
P
A
P
x
F
F
A
F
x
hPiMM
hFiMM
Praktično se mement sile za osu,
kada sila leži u ravni upravnoj na
osu, određuje prikazom te ravni
u pravoj veličini tako što se
posmatra sa strane u koju je
usmerena osa
U takvom pogledu osa se vidi kao tačka a sila, njena napadna linija i najkraće
rastojanje između napadne linije sile i ose vide se u pravoj veličini. Predznak
momenta za osu je “+” ako, tako gledano, sila teži da obrne oko ose u
pozitivnom matematičkom smeru (suprotno od smera kazaljke na satu), dok je
predznak “-” ako sila teži da obrne oko ose u smeru kazaljke na satu. Sama
vrednost koja sledi iza predznaka jednaka je proizvodu intenziteta sile i kraka
sile. Krak sile predstavlja najkraće rastojanje između napadne linije sile i ose.
Slučaj kada sila zauzima proizvoljan položaj u odnosu na osu
xF
x
F
x
F
x MMM
hFMMF
x
F
x
Moment proizvoljne sile
određene svojim projekcijama X, Y
i Z i koordinatama x, y i z njene
napadne tačke:
F
ZYX
zyx
kji
FrM F
O
izYyZ
kyXxYjxZzX
zYyZM F
x
xZzXM F
y
yXxYM F
z
47. Moment sprega za osu (prostorni problemi).
Pod pojmom “moment sprega za neku osu” podrazumevaće se mera obrtnog
dejstva sprega u odnosu na tu osu.
Moment sprega za neku osu jednak je projekciji vektora tog sprega na tu osu.
Dakle, za spreg čiji je vektor kji zyx
MMMM veličine
istovremeno predstavljaju, kako njegove projekcije na koordinatne ose, tako i
momente tog sprega za iste ose.
zyx MMM i,
Primer 5.9
.45,2
,2,1
0
3
21
kNm
kNmkNm
M
MMPodaci su:
Odrediti momente spregova
za koordinatne ose?
kNm2sin33 MM y
.................
kNm2cos33 MM z
48. Redukcija proizvoljnog prostornog sistema sila i spregova na tačku
koordinatnog početka. Glavni vektor i glavni moment.
Glavni vektor
Glavni moment
kZjYiXF gggg
kji zgygxgg
MMMM
cosgggg FF MM
gg
gg
F
F
M
M
cos
gzggyggxggg ZYXF MMMM
U opštem slučaju, svaki
proizvoljni prostorni sistem sila
i spregova (slika 1) može da se
svede na torzer (slika 2)
sačinjen od dva vektora. Jedan
od ta dva vektora je sila
(glavni vektor), a drugi je spreg
(glavni moment)
gF
gM
To se postiže redukcijom svake od
sila na tačku koordinatnog početka
O. (slike 3 i 4)
Ugao između ta dva vektora
određuje kosinusna teorema.
49. Projekcije glavnog vektora i glavnog momenta proizvoljnog
prostornog sistema sila i spregova na koordinatne ose.
iF
Oiii MFrF
)(M
ig FF
jig F MMM
)(
Og M
M
igigig ZZYYXX ,,
xixj
F
xxg MM i MM
yiyj
F
yyg MM i MM
zizj
F
zzg MM i MM
Projekcije glavnog vektora se dobijaju
projektovanjem vektorske jednakosti
na koordinatne ose
Glavni moment čine spregovi koji su
rezultat redukcije sila i zadati
spregovi
)( iF
M
jM
Projekcije glavnog momenta
su:
Primer 10.1
Za zadat proizvoljan prostorni
sistem sila i spregova (Sl.1) sile
su definisane vektorima:
,2211 kjiF
,1422 kjiF
,2113 kjiF
kjr
111
jir
212
kjr
133
Projekcije sila su u kilonjutnima ([kN]) a koordinate napadnih tačaka sila u
metrima ([m]).Vektori spregova koji pripadaju zadatom sistemu su:
,22221 ki
M kji
7192 M
Projekcije spregova u kilonjutnmetrima ([kNm]).
Odrediti: glavni vektor, glavni moment tačku za koordinatnog početka O i ugao
između glavnog vektora i glavnog momenta?
kN2121 ig XX
kN1142 ig YY
kN1212 ig ZZ
kjiFg
112
kN2112222gF
1111 YzZyYzZy xjiiiixg MM
xxYzZyYzZy 2133332222 MM
2340122121 kN2292211
1111 ZxXzZxXz yjiiiiyg MM
yyZxXzZxXz 2133332222 MM
1111202011 01020
1111 XyYxXyYx zjiiiizg MM
zzXyYxXyYx 2133332222 MM
1022411120 kN172213
kig
122 M kNm31022 22
2
gM
mkN311102222
gg F
M
0602
1
23
3cos
gg
gg
F
F
M
M
50. Svođenje proizvoljnog prostornog sistema sila i spregova (odnosno
torzera) na dinamu. Centralna osa. U kojim slučajevima se proizvoljni
prostorni sistem sila i spregova može svesti na rezultantu.
Proizvoljan prostorni sistem sila i spregova u opštem slučaju, kada je
,0
gF ,0
gM ,90,180,0 000
može da bude sveden na dinamu, koju čine dva vektora čiji pravci su isti.
Prava u prostoru na kojoj leži dinama nosi naziv centralna osa. Jedan od
vektora koji čine dinamu je glavni vektor čija napadna linija je centralna
osa. Drugi vektor, koji će biti označavan sa , je spreg čiji naziv je
“moment diname”.
gF
CM
nCg MMM
g
gzggyggxg
g
g
gCF
ZYX
F
F MMMMM
Spreg se zamenjuje spregom sila ( ) koji leži u ravni (Sl.3), upravnoj
na vektor tog sprega.nM
gg FF
,
Sila , koja pripada tom spregu sila, ima za napadnu liniju centralnu osu.
Vektor položaja , ma koje tačke centralne ose, ima oblikgF
r
kzjyixr
gde su x, y i z, osim što su projekcije vektora , i tekuće koordinate
centralne ose.r
Uklanjanjem sila i , koje dejstvuju u tački O i premeštanjem sprega
na centralnu osu dobija se dinama, prikazana na slici 4.gF
gF
CM
Ovo je projekcija momenta diname na gF
Spreg , izražen preko momenta sile za tačku ima oblik:nM
ggg
gn
ZYX
zyx
kji
Fr
M jZxXziYzZy gggg
kXyYx gg
Vektor momenta diname ima oblik:CM
kji zCyCxCngC
MMMMMM
gde su njegove projekcije određene izrazima
ggxgxC YzZy MM
ggygyC ZxXz MM
ggzgzC XyYx MM
Pošto su vektori diname i kolinearni važi vektorska jednakost CM
gF
gde je p koeficijent proporcionalnosti koji se naziva parametrom diname.
*,gC Fp
M
Projektovanjem ove vektorske jednačine na osu koja je istog pravca i smera
kao glavni vektor , dobija se skalarna jednačina na osnovu
koje se dobija sledeća formula koja određuje parametar diname: gF
gC FpM
2
g
gzggyggxg
g
C
F
ZYX
Fp
MMMM
Znajući parametar diname, jednačine koje određuju centralnu osu (što je
prava u prostoru) dobijaju se projektovanjem vektorske jednačine (*) na
koordinatne ose. Te projekcije, odnosno jednačine centralne ose imaju oblik:
gggxg XpYzZy M
gggyg YpZxXz M
gggzg ZpXyYx M
Svaka od dobijenih jednačina, posmatrana
zasebno, predstavlja jednačinu ravni, koja
sadrži centralnu osu a upravna je na jednu od
koordinatnih ravni.
Prva od tih jednačina predstavlja ravan upravnu na zOy ravan, druga na zOx
a treća na xOy. Presek svih triju ravni je prava u prostoru koja predstavlja
centralnu osu.
S obzirom da su samo dve ravni, koje se seku, dovoljne da odrede pravu u
prostoru, jasno je da centralnu osu mogu da odrede bilo koje dve od ovih
jednačina. U cilju skiciranja centralne ose najpogodnije je da se, u skladu sa
jednačinama, odrede koordinate dveju njenih tačaka (obično se bira da su to
tačke prodora centralne ose kroz dve od tri koordinatne ravni). S obzirom da
dve tačke određuju pravu, skiciranjem tih tačaka, centralna osa je određena.
Primer 10.2 Svesti na dinamu proizvoljan prostorni sistem sila i spregova koji
dejstvuje na prikazanu laku prizmu.
kN211 ig XX
kN211 ig YY
kN112 ig ZZ
kjiFg
122
kN3122 222gF
0211 542 FFFxgM
211 531 FFFygM yF M26kNm1
kNm5.632 32 zzg FF MM
kjg
5.61 M
kNm5.13
5.62
g
gg
CF
F
MM
m2
1
3
5.1
g
C
Fp
M
Jednačine centralne ose su:
22
1210 zy 012 zy
22
1121 xz 022 zx
12
1225.6 yx 03 yx
Odredimo sada sve koordinate tačke
A, u kojoj centralna osa prodire xOy
ravan.
Pošto tačka A pripada xOy ravni
njena z koordinata jednaka je nuli,
dakle, .0Az
012 zy
022 zx
03 yx
Za ,0Az iz
m1 Ay
Za ,0Az iz
m2 AxA(2,1,0)
Pošto tačka B pripada zOy ravni njena x koordinata jednaka je nuli, dakle, .0Bx
Za iz ,0Bx 022 zx
m1 Bz
Za iz ,0Bx
B(0,3,1)m3 By