Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Daniel Hanzlík.Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.

Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍI.část

12. září 2012 VY_32_INOVACE_110203_Variace_bez_opakovani_I.cast_DUM

Pojem variace bez opakování

V kombinatorice se pojem variace bez opakování definuje následovně:

k-členná variace z n prvků je každá uspořádaná k-tice (tj. k-tice, v níž záleží na pořadí prvků) vytvořená pouze z těchto n prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou.

obr.1

Vzorec pro počet variací pomocí faktoriálu:

Poznámka 1:

Označení V(k,n) čteme: „variace k-té třídy z n prvků“

Poznámka 2:

n-faktoriál se definuje jako:

!

( , )!

nV k n

n k

! ( 1) ( 2 ) . . . ( 1)n n n n n k

obr.1

2. vzorec pro počet variací

Pro k,n N0; k n platí:

( , ) ( 1) ( 2) ... 1V k n n n n n k

obr.1

Variace bez opakování

Objevuje se otázka:

V jakých matematických úlohách lze

s variacemi pracovat ?

obr.3

Variace bez opakování

Na tuto otázku lze odpovědět:

Jedná se o široký rozsah matematických úloh – na úpravu výrazů s variacemi, na rovnice s variacemi, na úlohy o přirozených číslech i na úlohy z praktického života.

Tato prezentace pojednává v kostce o využití variačního vzorce v šesti kombinatorických úlohách.

obr.1

Úloha 1

Napište všechny variace třetí třídy ze 4 prvků:

♥,□,●, ♪ a určete jejich počet.

obr.2

Řešení úlohy 1 Při určování počtu všech variací třetí třídy z uvedených 4 prvků si

všechny tyto variace zapíšeme:

♥, □, ●, ♪ □, ♥, ●, ♪ ●, ♥, □, ♪ ♪, ♥, □, ●

♥, □, ♪, ● □, ♥, ♪, ● ●, ♥, ♪, □ ♪, ♥, ●, □

♥, ●, □, ♪ □, ●, ♥, ♪ ●, □, ♥, ♪ ♪, □, ♥, ●

♥, ●, ♪, □ □, ●, ♪, ♥ ●, □, ♪, ♥ ♪, □, ●, ♥

♥, ♪, □, ● □, ♪, ♥, ● ●, ♪, ♥, □ ♪, ●, ♥, □

♥, ♪, ●, □ □, ♪, ●, ♥ ●, ♪, □, ♥ ♪, ●, □, ♥Každý ze 4 znaků je ve variaci uvedený nejvýše jednou.

Po sečtení všech uspořádaných čtveřic docházíme k výsledku 24.

Řešení úlohy 1

K vyřešení úlohy 1 lze taky využít oba vzorce pro počet variací:

Podle 1. vzorce s využitím faktoriálu:

n=4

k=3

Podle 2. vzorce:

4! 24

(3, 4) 244 3 ! 1

V

(3 , 4 ) 4 3 2 2 4V

obr.1

Úloha 2

Pět kamarádů si slíbilo, že si vzájemně předají o Vánocích dárky. Kolik dárků bylo mezi nimi rozdáno?

obr.5

obr.4

Řešení úlohy 2

Každý z pěti kamarádů předává dárek dalším čtyřem, tj. dává 4 dárky.

Úloha se dá řešit logicky: 5 . 4 = 20 dárků

S využitím variačního vzorce se úloha řeší následovně:

n= 5 (počet prvků = kamarádů),

k =2 (ozn. třídy = dvojice kamarádů)

( 2 , 5 ) 5 4 2 0V

obr.1

Úloha 3

Vypočtěte:

a rozhodněte, zda řešení je:a) - 180b) - 156c) - 24d) 0

2 (2,4) 3 (3,5)V V

obr.2

Řešení úlohy 3

S využitím 2. variačního vzorce výraz upravíme a vypočítáme:

Správná možnost: b

2 (2 , 4 ) 3 (3, 5 ) 2 4 3 3 5 4 3 24 180 156V V

obr.1

Úloha 4

Vypočtěte:

a rozhodněte, zda řešení je:a) 81b) 61c) 51d) 31

(4,4) (2,3) 3 (1,7)V V V

obr.2

Řešení úlohy 4

S využitím 2. variačního vzorce výraz upravíme a vypočítáme:

Správná možnost: c

(4, 4) (2,3) 3 (1,7) 4 3 2 1 3 2 3 7

24 6 21 51

V V V

obr.1

Úloha 5

Řešte rovnici:

(2, 4) 6V x

obr.2

Řešení úlohy 5

Levou stranu rovnice si nejprve upravíme podle vzorce:

Z Viétových vzorců dostaneme řešení kvadratické rovnice:

(2, 4) 6V x 4 5 6x x

2

2

9 20 6

9 14 0

x x

x x

1 2

1 2

14

9

x x

x x

1 27; 2x x

obr.1

Řešení úlohy 5

O správnosti řešení se přesvědčíme zkouškou:

Pro n = - 2 nejsou variace definovány.

Kořen nevyhovuje.

Řešení rovnice je:

(7) (2,7 4) (2,3) 3 2 6

(7) 6

(7) (7)

(2) (2,2 4) (2, 2)

L V V

P

L P

L V V

2 2x

7x

obr.1

Úloha 6

Řešte rovnici:

(2, 2) 90V x

obr.2

Řešení úlohy 6

Levou stranu rovnice si nejprve upravíme podle vzorce:

Z Viétových vzorců dostaneme řešení kvadratické rovnice:

(2, 2) 90V x

( 2) 1 90x x 2

2

3 2 90

3 88 0

x x

x x

1 2

1 2

88

3

x x

x x

1 28; 11x x

obr.1

Řešení úlohy 6

O správnosti řešení se přesvědčíme zkouškou:

Pro n = - 15 nejsou variace definovány.

Kořen nevyhovuje.

Řešení rovnice je:

(8) (2,8 2) (2,10) 10 9 90

(8) 90

(8) (8)

( 11) (2, 11 4) (2, 15)

L V V

P

L P

L V V

11x

8x

obr.1

Variace bez opakování

Další využití variací bez opakování je možné v kombinatorických úlohách o počtu různých přirozených čísel bez opakování číslic nebo v příkladech na počet prvků, ze kterých se variace tvoří.

O tom všem pojednává výukový materiál:

VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ – 2.část

Citace zdrojů

Použitá literatura 1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z

matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 197, 200. ISBN 80-7196-165-5.

Citace zdrojůPoužité obrázky 1) People - Stick Figures - Stick sm 010 - Public Domain Clip Art [online]. [cit.

2012-09-12]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/albums/People__Stick_Figures/Stick_sm_010.png

2) People - Stick Figures - Stick sm 005 - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-12]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=32

3) People - Stick Figures - Stick sm 012 - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-12]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/albums/People__Stick_Figures/Stick_sm_012.png

4) Holiday - Christmas - christmas Carolers 6 - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-12].. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/albums/Holiday_and_Celebration__Christmas/christmas_Carolers_6.png

5) Holiday - Christmas - christmas Ornaments005 - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-12]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/albums/Holiday_and_Celebration__Christmas/christmas_Ornaments005.png

Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.

Konec prezentace.

Děkuji Vám za pozornost.

Mgr. Daniel Hanzlík