valor absoo

Capítulo 2

Desigualdades y valor absoluto

1

2 Desigualdades y valor absoluto

Valor absoluto

El valor absoluto de un número real es su distancia al cero. Puesto que un número real puede serpositivo, negativo o cero, se tiene:

|| =½

si ≥ 0− si 0

a

0

a

−a a

−a

0

a

a a−

−a

Si >0 aSi <0

.

.

Figura 2-1

Recuerda que si 0, entonces − 0.Es claro que

|| = |−|pues dista de 0 lo mismo que su simétrico.Observación:La letra representa un número que puede ser positivo, negativo o cero. Por consiguiente −

no es necesariamente un número negativo, y podremos decidirlo hasta que sepamos que número

representa .Ejemplos

1. Si =3

4entonces − = −3

4.

2. Si = −16 entonces − = 163. Si = 0 entonces − = 0.Observaciones:

• El valor absoluto de cualquier número es no negativo.• − no es necesariamente un número negativo, por ejemplo si = −8, entonces

− = − (−8) = 8.que es positivo.

Algunas propiedades del valor absolutoSi y son dos números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Desigualdades y valor absoluto 3

• |−| = ||.

• ||2 = 2.

• || = √2, donde √ denota la raíz no negativa de , para cualquier número ≥ 0.

• || = || ||.

•¯̄̄

¯̄̄=|||| .

Ejemplos

1. |−11| = |11| = 11.

2. |−12|2 = (−12)2 = 144.

3. |5| = √52 = 5.

4. |8 · 15| = |8| |15| = 120.

5.

¯̄̄̄−73

¯̄̄̄=|−7||3| =

7

3.

6. Resolver la ecuación || = 7.Solución:

Puesto que en la ecuación aparece un valor absoluto, consideramos tres casos:

• Si ≥ 0, entonces || = , de donde = 7.

• Si 0, entonces || = −, de donde − = 7. Así, = −7.

Por tanto = 7 y = −7 satisfacen la igualdad. Esto era de esperarse ya que 7 y −7 sonlos únicos puntos cuya distancia al cero es 7.

0−7 7. .

.

.

Figura 2-2

7. Resolver la ecuación 2 + + = 0 donde , y son números reales dados y 6= 0.Solución:

Resolveremos esta ecuación completando un trinomio cuadrado perfecto.


Primero factorizamos el coeficiente de 2:

2 + + = 0

µ2 +

+

¶= 0

2 +

+

= 0

Despejamos el término independiente

2 +

= −

.

El número que completa a 2 +

como trinomio cuadrado perfecto es

µ

2

¶2, así que

sumamos éste número en ambos lados de la igualdad:

2 +

+

µ

2

¶2= −

+

µ

2

¶2µ+

2

¶2= −

+

2

42.

Efectuando la suma de la derecha y simplificamos:µ+

2

¶2=−4+ 2

42µ+

2

¶2=

2 − 442

42µ+

2

¶2= 2 − 4µ

2

µ+

2

¶¶2= 2 − 4sµ

2

µ+

2

¶¶2=√2 − 4¯̄̄̄

2

µ+

2

¶¯̄̄̄=√2 − 4.

Tenemos dos casos

2

µ+

2

¶=√2 − 4 o − 2

µ+

2

¶= 2 − 4

de donde

+

2=

√2 − 42

o +

2= −√2 − 42


Con lo cual obtenemos las soluciones:

=−+√2 − 4

2o =

−−√2 − 42

.

Podemos escribir brevemente lo anterior como:

=−±√2 − 4

2.

La expresión anterior se llama solución general de la ecuación general de segundo grado.

Desigualdades y valor absoluto

En una fábrica de cuadernos se forma una comisión de control de calidad, pues en

una encuesta se detectó que los consumidores opinan que el papel es bueno, pero el

tamaño de los cuadernos no es uniforme: unos son más anchos que otros. El ancho

requerido es de 215 cm, y un cuaderno pasará el control de calidad si el error es de,a lo más, 004 cm. ¿Qué anchos pueden tener los cuadernos que hayan aprobado elcontrol de calidad?

Solución:Llamamos al ancho de un cuaderno. El defecto en el ancho del cuaderno es la

diferencia:

− 215.Como el cuaderno puede ser más ancho o más angosto, entonces consideramos el valor

absoluto de la diferencia anterior. Dicho error puede ser de, a lo más, 004 cm, es decir,

|− 215| ≤ 004.

Para resolver esta ecuación primero quitamos el valor absoluto:

|− 215| =½

− 215 si − 215 ≥ 0− (− 215) si − 215 0.

Ahora resolvemos las desigualdades:

Si − 215 ≥ 0, entonces

|− 215| ≤ 004

− 215 ≤ 004

≤ 004 + 215

≤ 2154.


Si − 215 0 entonces|− 215| ≤ 004

− (− 215) ≤ 004

− 215 ≥ −004 ≥ −004 + 215 ≥ 2146.

Un cuaderno pasa el control de calidad si su ancho está entre 2146 y 2154 cm.

Propiedades del valor absoluto

1. Si || y 0 entonces − . Observa en la siguiente figura, que los puntos quesatisfacen que su distancia al origen es menor que son los que se encuentran a la derechade − y a la izquierda de .

( )k

.

.k-

Figura 2-3

2. Si || entonces o −. Los puntos cuya distancia al origen es mayor que sonlos que están a la derecha de o bien los que se encuentran a la izquierda de −.

()k

.

.k-

Figura 2-4

Ejemplos

1. Resolver |5 − 2| 5.Solución:

Utilizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos, por ser 5 un número positivo,que:

−5 5 − 2 52− 5 5 5 + 2−3 5 7

−35

7

5.

es decir,

∈µ−357

5

¶


2. Resolver |3 + 2| ≤ + 4.

Solución:

• Si + 4 0, entonces no hay solución.• Si + 4 ≥ 0, entonces ≥ −4, es decir, ∈ [−4∞) y:

− ( + 4) ≤ 3 + 2− − 4 ≤ 3 + 2−2− 4 ≤ 3 + −64≤

−32≤

y

3 + 2 ≤ + 43 − ≤ 4− 2

2 ≤ 2 ≤ 2

2

≤ 1.

Así, para que sea solución, tiene que cumplir que:

≥ −4 y − 32≤ ≤ 1.

Observamos que si satisface que −32≤ ≤ 1, entonces también satisface que ≥ −4. Así,

todas las soluciones de la desigualdad son −32≤ ≤ 1, es decir,

∈∙−32 1

¸

3. Resolver |6− 5| 4+ 7.Solución:

Utilizando la propiedad 2 del valor absoluto, tenemos:

6− 5 4+ 76− 4 7 + 5

2 12 6

o

6− 5 − (4+ 7)6− 5 −4− 76+ 4 −7 + 5

−15.

Así, es solución si satisface que 6 o −15, es decir,

∈µ−∞−1

5

¶∪ (6∞)

4. Resolver |5− 2| 2− 1.Solución:

• Si 2− 1 ≤ 0, entonces no hay solución, ya que |5− 2| es siempre mayor o igual que 0.


• Si 2− 1 0, entonces 1

2, es decir, ∈

µ1

2∞¶y:

− (2− 1) 5− 2−2+ 1 5− 21 + 2 5+ 2

3 73

7

y

5− 2 2− 15− 2 2− 1

3 1

1

3.

Así, para que sea solución, tiene que cumplir que:

3

7 y

1

3y

1

2

Pero

3

71

3,

así que no existe un real que satisfaga3

7

1

3y por tanto, la desigualdad no tiene

solución.

Desigualdades y recta

Una ecuación del tipo = + representa la ecuación de una recta.

Dos personas están en un valle atravesado por un río. Es claro que las dos personas

están del mismo lado del río, si pueden caminar una hacia la otra hasta encontrarse

sin atravesar el río. Similarmente, dos puntos en el plano están del mismo lado de una

recta , si podemos conectarlos mediante una recta que no corte la recta .

¿Están los puntos (3 12) y (−2−3) del mismo lado o en lados opuestos de la recta = 2+ 4?

Dibujamos la recta = 2+ 4. Véase la figura 2-5

La gráfica de la recta = 2+ 4 divide al plano en tres regiones:

• Los puntos que están en la recta.

• Los puntos que están arriba de la recta.

• Los puntos que están debajo de la recta.


2−2−4

Y

X

6

42

−2

−4

..

Figura 2-5

Sabemos que los puntos que están en la recta son los que satisfacen la ecuación:

= 2+ 4.

El punto (3 10) está en la recta:

= 2+ 4.

Todo punto que esté verticalmente encima de (3 10) tiene por primera coordenada3 y su segunda es mayor que 10; es decir, la coordenada (3 ) de satisface:

2+ 4.

El punto (3 12) satisface:

12 2 (3) + 4.

De la misma manera, si nos movemos verticalmente hacia abajo, la ordenada del

punto es cada vez menor, es decir,

2+ 4.

El punto (−2−3) satisface−3 2 (−2) + 4 = 0.

Por tanto, los puntos (3 12) y (−2−3) están en lados opuestos de la recta.Entonces los puntos que están arriba de la recta satisfacen la desigualdad 2+4.

Los puntos que están abajo de la recta satisfacen la desigualdad 2+ 4.


6

4

2

6

4

2

−2−2 −2 −2

−2 −2−4

−4 −4 −4

−4 −4

6

4

2

y x> +2 4 y x= +2 4 y x< +2 4

Y Y Y

XXX

Figura 2-6

La gráfica de una recta = + divide al plano en tres conjuntos:

• Los puntos que están arriba de la recta, que son los que satisfacen la desigualdad +.

• Los puntos que están en la recta, que son los que satisfacen la ecuación = + .

• Los puntos que están abajo de la recta, que son los que satisfacen la desigualdad +.

y mx b+=y mx b+> y mx b+<

Figura 2-7

Ejemplos

1. Describir las regiones determinadas por la recta = 12− 3.

Solución:

Los puntos que se encuentran arriba de la recta satisfacen la desigualdad 12− 3.

Los puntos que están en la recta satisfacen = 12− 3.

Los puntos que se encuentran debajo de la recta satisfacen la desigualdad 12− 3.


Y Y Y

X X

y x< 12 −3y x= 1

2 −3y x> 12 −3

642

2

642−2 −2 −2−4 −4 −4−6 −6 −6

2

−2 −2 −2−4 −4 −4−6 −6 −6

642

2

X

Figura 2-8

2. Describir las regiones determinadas por la recta = −7.Solución:

Los puntos que se encuentran arriba de la recta satisfacen la desigualdad −7.Los puntos que están en la recta satisfacen = −7.Los puntos que se encuentran debajo de la recta satisfacen la desigualdad −7.

Y Y Y

X X42−2−4−6

2

−2−4−6−8

42−2−4−6

2

−2−4−6−8

y>−7 y <−7y=−7

42−2−4−6

2

−2−4−6−8

X

−10 −10−10

Figura 2-9

valor absoo

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