uygulamali İstatİstİk i - İstanbul...

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ

UYGULAMALI İSTATİSTİK I

UZAKTAN EĞİTİM

DOÇ. DR. HANDAN YOLSAL



ORTAK DERS (UZAKTAN EĞİTİM) PROGRAMI

UYGULAMALI İSTATİSTİK I

Doç. Dr. Handan YOLSAL

Yazar Notu

Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için

hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.

I

ÖNSÖZ

II

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ ....................................................................................................................................... I

İÇİNDEKİLER........................................................................................................................ II

KISALTMALAR ..................................................................................................................... X

YAZAR NOTU ....................................................................................................................... XI

1. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ ................................................................................ 1

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ............................................................................................ 2

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .................................................................................. 3

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri .................................................... 4

Anahtar Kavramlar................................................................................................................... 5

Giriş.......................................................................................................................................... 6

1.1. Giriş................................................................................................................................... 7

1.2. Klasik Zaman Serisi Analizi ............................................................................................. 9

1.3. Zaman Serilerinin Unsurları: .......................................................................................... 10

1.3.1. Trend ....................................................................................................................... 11

1.3.2. Konjonktürel Dalgalanmalar ................................................................................... 12

1.3.3. Mevsimsel Etkiler ................................................................................................... 13

1.3.4. Rastlantısal Etkiler .................................................................................................. 14

1.4. Gözlenemeyen Unsurların Ayrıştırma Modelleri ........................................................... 16

1.4.1. Toplamsal Ayrıştırma Modeli ................................................................................. 16

1.4.2. Çarpımsal Ayrıştırma Modeli ................................................................................. 17

1.4.3. Yapay Toplamsal Ayrıştırma Modeli ...................................................................... 19

Uygulamalar ........................................................................................................................... 21

Uygulama Soruları ................................................................................................................. 22

Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti ............................................................................................ 23

Bölüm Soruları ....................................................................................................................... 24

2. TREND ANALİZİ .............................................................................................................. 26

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? .......................................................................................... 27

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular ................................................................................ 28

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri .................................................. 29

Anahtar Kavramlar................................................................................................................. 30

Giriş........................................................................................................................................ 31

III

1.5. Trend Analizi .................................................................................................................. 32

1.5.1. Trendin Belirlenmesinde Kullanılan Parametrik Olmayan Testler ......................... 33

1.5.1.1. Kendall’ın τ Sıra Korelasyon Testi ......................................................................... 33

1.5.1.2. Spearman Sıra Korelasyon Testi .................................................................................. 34

1.5.2. Hareketli Ortalamalar Yöntemi ............................................................................... 38

Uygulamalar ........................................................................................................................... 49



Bölüm Soruları ....................................................................................................................... 52

3. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-I ........................................................................... 54





Giriş........................................................................................................................................ 59

1.5.3. En Küçük Kareler Yöntemi ..................................................................................... 60

1.5.3.1. Doğrusal Trend Modeli ................................................................................................ 61

Uygulamalar ........................................................................................................................... 77



Bölüm Soruları ....................................................................................................................... 80

4. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-II .......................................................................... 82





Giriş........................................................................................................................................ 87

1.5.3.2. Doğrusal Olmayan Trend Modelleri ............................................................................ 88

1.5.3.2.1. Özünde Doğrusal Olan Trend Modelleri ............................................................... 88

1.5.3.2.1.1. Polinominal Trend Modelleri ......................................................................... 88

1.5.3.2.1.1.1. Kuadratik Trend Modeli .......................................................................... 89

1.5.3.2.1.1.2. Kübik Trend Modelleri ............................................................................ 94

1.5.3.2.1.2. Üssel Modeller................................................................................................ 95

IV

Uygulamalar ........................................................................................................................... 99

Uygulama Soruları ............................................................................................................... 100

Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .......................................................................................... 101

Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 102

5. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-III ...................................................................... 104

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ........................................................................................ 105

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular .............................................................................. 106

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ................................................ 107

Anahtar Kavramlar............................................................................................................... 108

Giriş...................................................................................................................................... 109

1.5.3.2.2. Özünde Doğrusal Olmayan Trend Modelleri ...................................................... 110

1.5.3.2.2.1. Lojistik Eğri .................................................................................................. 110

1.5.3.2.2.2. Gompertz Eğrisi ............................................................................................ 111

1.6. Yıllık Trend Denkleminin Aylık Değerlere Dönüştürülmesi ....................................... 113

• Yıllık veriler aylık gözlemlerin ortalaması olarak hesaplanmışsa; ......................... 114

• Yıllık veriler aylık gözlemlerin toplamı olarak hesaplanmışsa; .............................. 116

1.7. Mevsimsel ve Aylık Değerlerin Yıllık Verilere Dönüştürülmesi ................................. 118

• Mevsimsel veya Aylık Değerlerin Toplamı Alınarak Yapılan Dönüştürme ........... 118

• Mevsimsel veya Aylık Değerlerin Ortalaması Alınarak Yapılan Dönüştürme .................. 118

• Geometrik Ortalama Yöntemi; ........................................................................................... 118

Uygulamalar ......................................................................................................................... 120



Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 123

6. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-IV ...................................................................... 125





Giriş...................................................................................................................................... 130

1.8. Trend Analizinin Gelecek Tahmininde Kullanımı ....................................................... 131

1.8.1. Ortalama Hata Kare ............................................................................................... 132

1.8.2. Yüzde Hata ............................................................................................................ 133

1.8.3. Ortalama Mutlak Hata ........................................................................................... 133

V

1.8.4. Ortalama Mutlak Yüzde Hata ............................................................................... 133

1.8.5. Theil’in U Eşitsizliği ............................................................................................. 133

1.9. Uygulamalar .................................................................................................................. 134

Uygulamalar ......................................................................................................................... 141



Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 144

7. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-V ........................................................................ 146





Giriş...................................................................................................................................... 151

2.1. Mevsim Etkisinin Belirlenmesi..................................................................................... 152

2.1.1. Mevsim Endekslerinin Oluşturulması ................................................................... 154

2.1.1.1. Mevsim Endeksinin Toplamsal Ayrıştırma Modeline Göre Oluşturulması ............... 154

Uygulamalar ......................................................................................................................... 162



Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 165

8. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-VI ...................................................................... 167





Giriş...................................................................................................................................... 172

2.1.1.2. Mevsim Endeksinin Çarpımsal Ayrıştırma Modeline Göre Oluşturulması ............... 176

Uygulamalar ......................................................................................................................... 188



Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 191

9. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-VII ..................................................................... 193



VI



Giriş...................................................................................................................................... 198

2.1.1.3. Aylık Ortalamaların Genel Ortalamaya Oranı Yöntemi ............................................. 199

2.1.1.4. Aylık Ortalamaların Trende Oranı Yöntemi .............................................................. 200

2.1.2. Mevsimselliğin Belirlenmesinde Kullanılan Parametrik Olmayan Testler .......... 203

Uygulamalar ......................................................................................................................... 208



Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 211

10. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-VIII ................................................................. 213





Giriş...................................................................................................................................... 218

2.2. Mevsimsel Düzeltme Gerektiren Nedenler ................................................................... 219

2.2.1 Takvim Etkileri ...................................................................................................... 219

2.2.1.1. Ticari Gün Etkisi ........................................................................................................ 220

2.2.1.2. Hareketli Tatil Etkisi ................................................................................................. 221

2.2.2. Aykırı Gözlemler .................................................................................................. 221

2.2.2.1. Toplamsal Aykırı Gözlemler ...................................................................................... 222

2.2.2.2. Yenileşim Aykırı Gözlemi ......................................................................................... 222

2.2.2.3. Düzey Kayması .......................................................................................................... 223

2.2.2.4. Aykırı Gözlemler ve Müdahale Analizi ..................................................................... 223

2.3. İstatistik Ofisleri Tarafından Kullanılan Mevsimsel Düzeltme Yöntemleri ................. 225

2.3.1. Filtre Bazlı Yaklaşımlar ........................................................................................ 226

2.3.2. Model Bazlı Yaklaşımlar ...................................................................................... 226

2.3.3. “X-11” Mevsimsel Düzeltme Yöntemi ................................................................. 228

• Trend için ön tahmin: ...................................................................................................... 228

• Mevsim unsurları için ön tahmin ..................................................................................... 228

• Düzeltilmiş veri için ön tahmin ....................................................................................... 229

• Trend tahmini .................................................................................................................. 229

• Mevsim unsurlarının nihai tahmini ................................................................................. 229

VII

• Düzeltilmiş veri için nihai tahmin ................................................................................... 229

• Trendin nihai tahmini ...................................................................................................... 229

• Düzensiz unsurların nihai tahmini ................................................................................... 229

2.3.3.1. “X-11” Yönteminde Kullanılan Hareketli Ortalamalar Filtreleri ............................... 230

2.3.3.2. “X-11” ve Diğer Mevsimsel Düzeltme Yöntemlerinde Kullanılan Özel Değişkenler 233

Uygulamalar ......................................................................................................................... 236



Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 239

11. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-IX .................................................................... 241





Giriş...................................................................................................................................... 246

2.4. Konjonktür Dalgalanmaları .......................................................................................... 247

2.4.1. Yıllık Serilerde Konjonktürün Ölçülmesi ............................................................. 248

2.4.2. Aylık Serilerde Konjonktürün Ölçülmesi ............................................................. 251

2.4.3. Öncü Göstergeler Yaklaşımı ................................................................................. 253

Referans Seri: .................................................................................................................. 254

Potansiyel Öncü Göstergeler: .......................................................................................... 255

Bileşik Öncü Göstergeler Endeksi: ................................................................................. 256

Uygulamalar ......................................................................................................................... 259



Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 262

12. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-X ...................................................................... 264





Giriş...................................................................................................................................... 269

2.5. İnterpolasyon................................................................................................................. 270

2.5.1. Seçilmiş Noktalara Göre İnterpolasyon ................................................................ 270

VIII

2.5.2. En Küçük Kareler Yöntemine Göre İnterpolasyon ............................................... 280

Uygulamalar ......................................................................................................................... 283



Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 286

13. ORANLAR ...................................................................................................................... 288





Giriş...................................................................................................................................... 293

2.6. Oranlar .......................................................................................................................... 294

2.6.1. Oran Çeşitleri ........................................................................................................ 294

2.6.1.1. İlişkinin Türüne Göre Oranlar .................................................................................... 295

• Bileşim Oranı .............................................................................................................. 295

• Türeme Oranı .............................................................................................................. 295

2.6.1.2. İlişkinin Derecesine Göre Oranlar .............................................................................. 296

• Genel Oran .................................................................................................................. 296

• Özel Oran .................................................................................................................... 296

2.7. Endeksler....................................................................................................................... 297

2.7.1. Bileşik Endekslerde Tartı ...................................................................................... 298

2.7.2. Laspeyres Fiyat İndeksi ......................................................................................... 300

2.7.3. Paashe Fiyat İndeksi .............................................................................................. 300

2.7.4. Fisher’in İdeal İndeksi ........................................................................................... 301

2.7.5. Türkiye’de Hesaplanan Fiyat Endeksleri .............................................................. 301

2.7.6. Reelleştirme ........................................................................................................... 304

Uygulamalar ......................................................................................................................... 308



Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 311

14. UYGULAMALAR ......................................................................................................... 312




IX


Giriş...................................................................................................................................... 317

a) Mevsim endeksinin oluşturulması aşaması...................................................................... 320

b) Seri için mevsim endeksi oluşturulduktan sonra, mevsimsellikten arındırılır................. 321

c) Kruskal-Wallis yöntemi ile mevsimselliğin belirlenmesi ................................................ 321

d) Üç aylık ortalamaların genel ortalamaya oranlanması yöntemi ile mevsim endeksinin

oluşturulması yöntemine göre ............................................................................................ 323

Uygulamalar ......................................................................................................................... 325



Bölüm Soruları ..................................................................................................................... 328

KAYNAKÇA ........................................................................................................................ 329

X

KISALTMALAR

XI

YAZAR NOTU

1

1. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ

2

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?

1.1.

1.2.

1.3.

3

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular

4

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri

Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği

5

Anahtar Kavramlar

6

Giriş

İstatistiğin konularından biri de zaman serisi analizleridir. Son yıllarda yaygın bir

şekilde kullanılan zaman serisi analizleri, tek değişkenli ve çok değişkenli olarak uygulanabilir.

Bu derste zaman serisi kavramı, fiyat endeksleri ile bağlantıları, zaman serilerinin

gözlenemeyen unsurları, bu unsurları ayrıştırma modelleri açıklanacaktır.

7

1.1. Giriş

İstatistik kolektif olaylardaki değişkenlikle ilgilenir. Kolektif olaylarla ilgilenirken

asılında iki işlevi gerçekleştirir. Bu işlevlerden ilki tümdengelimci bir yaklaşımla veriyi

betimleme ve özetleme işlevidir. Diğeri ise tümevarımcı bir yaklaşımla çıkarsama yapma

işlevidir. İstatistiğin ilk işlevi verilerin toplanması, düzenlenerek işlenmesi, tablolar, grafikler

halinde sunulması, odaklaşma ve dağılım özelliklerine ait özetleyici istatistiklerinin çıkarılması

ve bu istatistikler yardımıyla verilerin çözümlemesinin yapılması aşamalarını kapsayan

betimsel istatistiği oluşturur. İkinci işlevi ise toplanan verinin çözümlenmesi ile sonuç

çıkarmak ve karar almak amacıyla yorumlanması aşamalarını kapsayan çıkarsamalı istatistik

konularını oluşturur. Çıkarsamalı istatistikte örnekleme teknikleri ve örnekleme

dağılımlarından yararlanılarak anakütle hakkında varsayımlarda bulunulur. Bu varsayımların

geçerliliği parametrik ve parametrik olmayan testlerle sınanır. Tüm bu aşamalarda bir veya

çoğu kere birkaç değişken arasındaki ilişkiler incelenir. Tek bir değişkeninin incelenmesi tek

değişkenli analizleri, birden çok değişkenin incelenmesi ise çok değişkenli analiz yöntemlerini

kullanmayı gerektirir. En basiti iki değişkenli analizler olan çok değişkenli analizlerde iki veya

daha çok değişkenin birlikte hareketi, aralarındaki ilişkinin derecesi, neden-sonuç bağlantıları

regresyon ve korelasyon analizleri ile incelenir. İstatistiğin konuları arasında yer alan ve bir

değişkenin zaman içindeki gelişimini inceleyen zaman serisi analizleri de yer almaktadır. 19.

yy sonlarından itibaren gelişen zaman serisi analizleri, uzun yıllar tek değişkenli analiz

yöntemleri kapsamında yer alan bir analiz türüyken, giderek birden çok zaman serisinin

birbirleri ile ilişkilerini de analiz eden çok değişkenli zaman serisi yöntemlerinin geliştiği bir

alan haline gelmiştir. Bu nedenle zaman serisi analizlerinin ilk aşamaları klasik veya geleneksel

zaman serisi analizleri olarak adlandırılır. Zaman serisi analizleri meteoroloji, sosyoloji, tıp,

ekonomi gibi pek çok alanda çok geniş bir uygulama alanı bulmuş ve özellikle ekonomik zaman

serileri ile ilgili giderek büyüyen bir literatür oluşmuştur. Bu gelişimin en önemli nedeni gerek

tek değişkenli gerekse çok değişkenli zaman serilerinin gelecek tahmininde başarılı bir şekilde

kullanılabilmesidir.

Ekonomik zaman serilerinin geçmiş ve günümüzdeki değerlerinden gelecekte alacağı

değerin belirlenmesi gelecek tahmini veya öngörü modelleri aracılığıyla olmaktadır. Ekonomik

zaman serilerinin öngörüsü, hem makroekonomik ve mikroekonomik düzeyde mevcut

durumun belirlenmesi, hem de gelecekteki durumun önceden yaklaşık olarak bilinerek, bir

takım hazırlıkların yapılması ve kararların alınması için gereklidir. Makroekonomik açıdan

bakıldığında ekonomik zaman serilerinin çoğunun zamana bağlı olarak seyrinin belirlenmesinin

önemli olduğu görülmektedir. Bu önem, ekonomik zaman serilerinin ekonominin genel

gidişatını gösteren seriler olmasından kaynaklanmaktadır. Bu açıdan devlet, işletmeler ve

bireylerden oluşan tüm ekonomik birimler için:

• Fiyatlar genel seviyesinin tahmini tüm ekonomik faaliyetlerin fiyat hareketlerine bağlı olması nedeniyle önemlidir. Örneğin işçi-işveren ilişkilerinde maaş ve ücretlerin belirlenmesinde, ev sahibi-kiracı ilişkilerinde kira düzeylerinin belirlenmesinde, kısaca tüm mal ve hizmetlerin fiyatlandırılmasında gereklidir.

8

• Döviz kurunun tahmini uluslararası ilişkilerde, dış ticarette ithalat ihracat hareketlerinde önemlidir.

• Borsa endeksleri, hisse senedi fiyat hareketleri, faiz oranları, altın fiyatları gibi alternatif yatırım araçlarındaki gelişmeler bireysel yatırımcılar ve tasarruf sahipleri açısından önemlidir. Bu nedenle özellikle hisse senedi fiyat hareketlerini incelemek üzere teknik ve temel analizler yapılmaktadır.

• Bütün bu ekonomik zaman serileri üreticiler açısından da üretim politikalarının belirlenmesinde, talep tahmini yapmakta, sermaye ve hammadde temininde, üretimin pazarlanması, nakli ve stoklanmasında önemlidir.

Burada sözü edilen tüm makro ve mikro göstergeler genellikle zaman serileri olarak

derlenen değişkenlerdir. Zaman vasfının şıkları ile ilişkilendirilerek zaman serisi olarak

derlenen serilerin analizlerde kullanılmadan önce zamanın ve zaman içinde ekonomide

meydana gelen bazı değişmelerin etkisinden arındırılması gereklidir. Örneğin sanayi üretimi ile

ilgili bütün değişkenler aylık zaman serisi olarak derlenmektedir. Bu konuda yapılacak bir

araştırmada aylara göre üretim rakamları izlendiğinde, aylardaki gün sayısı farklılığının bu

rakamlara yansıdığı görülür. Bazı ayların 30 gün, bazı ayların31 gün sürmesi, Şubat ayının ise

28 gün ile tüm diğer aylardan kısa olması üretim rakamlarına da yansımaktadır.

Ekonomik zaman serileri miktar veya fiyat cinsinden derlenen serilerdir. Buna göre

örneğin bir malın fiyatındaki değişmeleri zamana bağlı olarak izlediğimizde, cari fiyatların

enflasyonun etkisini taşıdığını görürüz. Aynı şekilde maaş ve ücretlerin, Gayri Safi Milli Hasıla

(GSMH) gibi bir ülke ekonomisinde yıl içindeki mal ve hizmetler toplamını gösteren

değişkenlerin cari (nominal) değerleri de enflasyonun etkisini taşımaktadır. Bu nedenle fiyatlar

enflasyonun yüksek olduğu dönemlerde yüksek, düşük olduğu dönemlerde ise düşük

hissedilecektir. Bu gibi değişkenlerin analizlerde kullanılırken cari değerlerinden ziyade reel

değerleri ile kullanılması uygundur. GSMH gibi makroekonomik değişkenler yalnızca

enflasyonun etkisi altında olmayıp, aynı zamanda nüfusun etkisi altındadır. Ekonomik

analizlerde genellikle kişi başına düşen milli gelir, doktor başına düşen hasta sayısı gibi

rakamlarına bakılmaktadır. Dolayısıyla ekonomik zaman serilerinin yalnız fiyatların değil,

nüfusun etkisinden de arındırılması gereklidir. Aksi takdirde yapılacak zaman serisi

çözümlemeleri ve öngörüleri başarılı olmayacaktır. Ekonomik zaman serilerine uygulanması

gereken bu düzeltme işlemleri zaman serilerinin fiyat endeksleri ile ilişkilendirilmesine neden

olmaktadır. Çoğunlukla resmi istatistik ofisleri tarafından derlenen bu seriler kamuya

açıklanmadan önce genellikle düzeltilmektedir. Bu ofisler tarafından çoğu kere serilerin hem

düzeltilmemiş, hem de düzeltilmiş hallerinin yayınlandığı görülmektedir.

Bir ekonomik zaman serisinin geçmişteki değerlerinden öngörüde bulunurken, aslında

geçmişte olanların gelecekte de aynen veya benzer şekilde olacağına dair gizli veya açık bir

varsayımda bulunulmaktadır. Oysa bu varsayım çok da gerçekçi olmadığından, uygun modelin

bulunması ve öngörü başarısının ölçülmesi zaman serisi analizlerinde çok büyük bir yer tutar.

Uygun modelleme için öncelikle zaman serisinin genel eğilimi olan trend belirlenmelidir. Genel

eğilim ile birlikte ekonominin içinde bulunduğu koşullar da, diğer bir ifade ile konjonktür de

9

dikkate alınmalıdır. 1929 yılında Büyük Buhran adı verilen tüm dünyanın sarsıldığı bir finansal

kriz yaşanınca ekonomistler gelecekte oluşabilecek krizleri önceden tahmin edip gerekli

tedbirleri almak ve hatta mümkünse önleyebilmek amacıyla konjoktürel dalgalanmaları

izlemeye başlamıştır. Bu amaçla erken uyarı sistemleri geliştirilmiştir. Bu sistemler yoluyla

konjonktürün hep yüksek kalması sağlanmaya çalışılmıştır. Bunun için ekonomideki tüm

gösterge değişkenler izlenerek, herhangi bir değişkende bozulma olduğunda anında müdahale

edilip, gerekli tedbirlerin alınması istenmektedir. Resmi istatistik ofisleri tüm dünyada genel

ekonomik koşulların etkisini öncü göstergeler yaklaşımı ile izlemeye çalışmaktadır. Türkiye’de

de benzer yaklaşımlarla endeksler oluşturulmuştur. Özellikle T.C. Merkez Bankası (TCMB)

tarafından öncü göstergeler endeksleri hazırlanmakta ve beklenti anketleri ile ekonominin genel

eğilimi hakkında ekonomik karar birimlerinin görüşleri alınmaktadır.

Yine bu ofisler tarafından ekonomik zaman serilerinde gözlenen mevsimsel etkiler de

izlenmektedir. Tarım, sanayi ve hizmetler sektöründe pek çok ekonomik zaman serisinin

mevsimsel dalgalanmalar yaşadığı bilinmektedir. Bu seriler analizlerde kullanılmadan önce

doğal olarak taşıdıkları mevsimsel dalgalanmalar düzeltilmelidir. Mevsimsel dalgalanmaları

belirlemek için geliştirilen ve yaygın kullanımı olan ilk model, Amerika Birleşik Devletleri

tarafından geliştirilen Census X-11 modelidir. Bu model yerini günümüzde X-13 modeline

bırakmıştır. Avrupa Topluluğu’nda da benzer çalışmalar Eurostat tarafından yapılmaktadır.

Eurostat mevsimsel dalgalanmaları düzeltmede İspanya Merkez Bankası tarafından geliştirilen

Tramo-Seats programını kullanmaktadır.

Ekonomik zaman serileri ile ilgili uygun modelin bulunması ve öngörülerinin

yapılabilmesi için, bu seriler sürekli izlenirken aynı zamanda serilerin hangi unsurlardan

oluştuğunu ve bu unsurların ne şekilde bir araya geldiğini belirlemeli, gerekirse unsurları

birbirinden ayrıştırabilmelidir. Zaman serilerini oluşturan unsurlar trend, konjonktür,

mevsimsel etkiler ve rastlantısal etkilerdir. TCMB ve Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) gibi

kurumlar ve diğer ekonomik karar birimleri, tüm dünyada olduğu gibi Türkiye’de de zaman

serilerini oluşturan unsurları dikkatle takip edilmektedir.

Bu derste öncelikle klasik zaman serisi analizleri anlatılacak, zaman serilerini oluşturan

trend, konjonktür, mevsimsel etki ve rastlantısal etkiler açıklanacak, ayrıştırma modelleri

üzerinde durularak, serilerin bu unsurlardan arındırılma yöntemleri açıklanacaktır. Zaman

serilerinin fiyat endeksleri ile yukarıda söz edilen ilişkileri de kurularak, düzeltme yöntemleri

gösterilecektir. Uygulamalı istatistik dersinde tüm bu yöntemlerin öğrenci tarafından

kavranabilmesi için temel matematik ve istatistik bilgisinin yeterlidir.

1.2. Klasik Zaman Serisi Analizi

Herhangi bir vasfın değerlerini zamanın şıklarına bağlı olarak almasıyla oluşan serilere

zaman serisi adı verilmektedir. Buna göre zaman serileri inceleme döneminde değerlerini

zaman içinde günlük, haftalık, aylık, üç aylık veya yıllık olarak alan serilerdir. Ekonomik

zaman serisi tY ile zaman da t ile gösterildiğinde; 1. dönemden t. döneme tY ,

10

t Yt

1 y1

2 y2

3 y3

. .

. .

. . t yt

şeklinde değerlerini zamana bağlı olarak ardışık olarak alıyorsa, tY tek değişkenli zaman

serisidir. Pek çok ekonomik değişken zaman serisi olarak farklı sıklıklarda düzenlenmektedir.

Döviz kuru, altın fiyatları, borsa endeksleri günlük, yine borsa endeksi ve bankacılıkla ilgili

veriler haftalık, sanayi üretimi, ithalat, ihracat gibi dış ticaret verileri aylık, GSMH verileri üç

aylık, yine GSMH, yıllık olarak derlenen zaman serilerine örnek olarak verilebilir. Zaman

serilerinin değerlerini daha farklı sıklıklarla aldığı da bilinmektedir. Son yıllarda finansal

piyasalarda daha yüksek sıklıklarda derlenen verilere de rastlanmaktadır. Örneğin borsada

genel endeks veya herhangi bir hisse senedine ait fiyat hareketlerine ilişkin veriler 15 dakikalık,

hatta 5 dakikalık sıklıklarla derlenmektedir.

Zaman serilerinin değerleri zaman içinde birbirine bağlı olduğundan, serilerin cari t

dönemindeki ve gelecekteki t+k döneminde alacakları değerler geçmişte aldıkları değerlerin

etkisi altında olacaktır. Bu özellikleri nedeniyle zaman serileri gelecek tahmini yapmak

amacıyla kullanılmaktadır. Tek değişkenli zaman serilerini öngörü amacıyla kullanmak için

öncelikle serinin yapısının incelenmesi gerekir. Zaman serisini oluşturan unsurlar, bu unsurların

ne şekilde biraraya geldikleri ve bileşenleri belirlenmelidir. Aksi takdirde seriye uygun bir

model belirlenemeyecek ve yapılan öngörü başarısız olacaktır. Zaman serilerini oluşturan

unsurlar,

• Trend (Tt) ,

• Konjonktürel dalgalanmalar (Kt) ,

• Mevsimsel etkiler (Mt),

• Rastlantısal etkiler (Rt)

şeklinde sıralanabilir. Şimdi sırasıyla bu unsurları açıklayalım.

1.3. Zaman Serilerinin Unsurları:

Gözlenen zaman serisi tY ,

( , , , )t t t t tY f T K M R=

11

şeklinde trend, konjonktür, mevsimsel etkiler ve rastlantısal etkilerin bir fonksiyonudur.

Herhangi bir tY zaman serisi derlendiğinde, bu unsurlar gözlem değerleri içinde tek tek

ayrılamadığı için, serinin bu unsurlardan hangisini veya hangilerini barındırdığı bilinemez. Bu

nedenle zaman serilerini oluşturan unsurlara gözlenemeyen unsurlar adı verilmektedir. Zaman

serileri modellenirken öncelikle söz konusu bu unsurların ortaya çıkış nedenleri ve serilerin bu

unsurlardan hangisini ne kadar barındırdığı belirlenmelidir. Böylece unsurların her biri ayrı ayrı

tahmin edilerek,

ˆ ˆ ˆ ˆ( , , )t t t tY f T K M=

zaman serileri rastlantısal etkiler haricindeki diğer unsurlardan ayrıştırılabilir. Burada tY ,

orijinal zaman serisi tY ’nin tahmini değerini, ˆ ˆ ˆ, ,t t tT K M değerleri de sırasıyla Tt, Kt, Mt

unsurlarının tahmini değerlerini göstermektedir. Ancak bu tahminlerin ve ayrıştırmanın sağlıklı

bir biçimde yapılabilmesi için öncelikle zaman serisini oluşturan unsurların tanımlanması

gerekir.

1.3.1. Trend

Ekonomik zaman serilerin hemen hepsinde gözlenen ve serinin uzun dönem eğilimini

gösteren düzenli harekete trend adı verilir. Zaman serilerinin ortalama düzeyini gösteren trend,

ilgili serinin büyüme ölçüsüdür. Trendin yönünün yukarı doğru olması büyümeyi, aşağıya

doğru olması ise söz konusu serideki küçülmeyi veya daralmayı gösterir. Ekonomik zaman

serilerinde kısa dönemli hareketlere sık sık rastlanmaktadır. Ancak gerek makroekonomik

gerekse mikroekonomik değişkenlerin karakteristik yapısı bu kısa dönemli hareketlerden

bağımsız olarak uzun dönemde aynı kalır. Trend işte bu uzun dönemli harekete verilen addır.

Bir ekonomik zaman serisinin trendinin belirlenebilmesi için 10-15 yıllık bir sürecin izlenmesi

gerekir. Ekonomik zaman serilerinin zamana bağlı olarak grafikleri çizildiğinde;

12

Grafik1: Doğrusal Trend taşıyan seri örneği

şeklinde yukarı doğru düz bir çizgi gözleniyorsa, doğrusal trend söz konusu olur. Ancak zaman

serileri eğrisel trende de sahip olabilir.

1.3.2. Konjonktürel Dalgalanmalar

Konjonktürel dalgalanmalar veya konjonktür hareketleri zaman sersilerinin ekonomik

koşullar karşısında yaşadığı değişmeleri gösteren orta vadeli hareketlerdir. Ülke ekonomilerinin

de sektörlerin de her zaman büyümeleri, büyüseler bile aynı sabit hızla büyümeleri mümkün

olamayacağı için bazı dönemlerdeki daralmalar veya büyüme hızında meydana gelen

azalmalar, buna karşılık bazı dönemlerde yaşanan yüksek büyüme hızları zaman serilerinde

devri hareketlere ve dalgalanmalara neden olur.

0

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

zaman

Y z

aman

ser

isi

Y

13

Grafik 2: Konjonktürel Dalgalanmalar gösteren seri örneği

Grafikten de görüldüğü gibi serinin uzun dönem eğilimi artış yönünde olsa bile tY serisi

orta vadede bazı dönemlerde trendin üstünde, bazı dönemlerde ise altında kalmaktadır.

Konjonktür hareketlerine iş çevrimleri (business cycle ) de denilmektedir. Konjonktür

hareketleri 3-5 yıllık devri (dairesel) hareketler olup, bir konjonktür dalgası durgunluk,

yükselme, refah ve yavaşlama evrelerinden oluşur. Konjonktür hareketlerinde her evre

birbirinden farklı uzunluğa sahip olabilir. Bu nedenle konjonktürel dalgalanmalar devri olduğu

halde dönemsel değildir.

1.3.3. Mevsimsel Etkiler

Ekonomik zaman serileri aylık veya üç aylık olarak derlendiğinde yıl içinde meydana

gelen ve mevsim etkisinden kaynaklanan dönemsel ve devri etkilere mevsimsel etkiler adı

verilmektedir. Ekonomik zaman serilerinin arz ve talebinin bazı aylarda mevsime bağlı olarak

diğer aylardan daha fazla olduğu bilinmektedir. Örneğin kış aylarında ısınmada kullanılan yakıt

talebinin, yaz aylarında dondurma gibi gıdaların daha fazla tüketildiği görülür. İşte mevsimlerin

getirdiği bu değişkenlik serilerde sabit dalgalanmalar yaratır. Mevsimsel dalgalanmalar her

mevsim yaklaşık olarak sabit bir şekilde tekrarlar. Mevsimsel hareketler bu nedenle aylık veride

12, üç aylık veride 4 dalga uzunluğu boyunca süren dönemsel ve devri hareketlerdir.

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

zaman

Y z

aman

ser

isi

Y

14

Grafik 3: Mevsimsel Dalgalanma gösteren bir seri örneği

Bu özelliği ile mevsimsel dalgalar konjonktürel dalgalardan ayrılır. Konjonktürel

hareketler de devri hareketlerdir. Ancak her dönem aynı sabit dalgalarla tekrarlanmayan ve bir

yılı aşan bir sürede tamamlanan hareketlerdir. Mevsimsel dalgalanmalar çeşitli nedenlerle

ortaya çıkabilir. Bu nedenlerin ilki doğal olarak tabiattaki mevsimsel döngüdür. Diğer bir neden

ise takvim etkisi adı ile anılan etkilerdir. Takvimle ilgili nedenler toplumlardaki oldukça düzenli

seyreden dini, sosyal ve kültürel etkilerdir. Örneğin tarihleri Hicri takvime göre belirlenen

Ramazan ve Kurban Bayramları, tarihleri Miladi takvime göre belirlenen Noel ve Paskalya

zaman serilerinde mevsimsel etki yaratır. Anneler günü gibi sosyal olaylar, okulların açıldığı

ve kapandığı dönemler de mevsimsel etki yaratır. Hükümetlerin aldığı idari ve mali kararlar da

örneğin vergi dönemleri zaman serilerinde mevsimsel etki yaratır. Ayrıca yıl içinde ayların

farklı sayıda günlere sahip olması nedeniyle ekonomik faaliyetler aydan aya değişeceğinden

mevsimsel hareketler oluşur.

1.3.4. Rastlantısal Etkiler

Ortaya çıkış nedeni bilinmeyen, engellenemeyen veya tahmin edilemeyen olaylar

nedeniyle zaman serilerinde görülen genellikle çok kısa süreli dalgalanmalara rastlantısal

etkiler denilmektedir. Bu etkilerin meydana geldiği dönemler tamamen tesadüfi olduğundan

herhangi bir dönemsellik taşımazlar. Bu nedenle önceden tahmin edilmeleri oldukça zordur.

Rastlantısal etkilere düzensiz hareketler veya arızi etkiler de denir. Sel baskını, deprem gibi

büyük doğa olayları, savaşlar, grevler rastlantısal etkilere yol açar.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

aylar

Y z

aman

ser

isi

Y

15

Grafik 4: Bir zaman serisindeki Rastlantısal Dalgalanmalar

Zaman serisi analizlerinde amaç seriyi yalnızca rastlantısal etkiler kalıncaya dek, veri

kümesini önce mevsimsel etkilerden ardından trend ve konjonktürden arındırmak olduğundan

bu etkilere kalıntılar da denilmektedir. Yazın kar yağması gibi mevsim dışında oluşan hava

koşulları serilerde aykırı gözlemler oluşturabilir. Bu aykırı gözlemler çok yüksek değerlere

ulaşırsa uç değer adını alır. Aykırı ve uç değerler ise zaman serilerinde düzensiz hareketlerin

görülmesine yol açar. Bu hareketler çok kuvvetli olduğunda rastlantısal etkiler mevsimsel

hareketlerle karıştırılabilir. Dolayısıyla serilerin yapısının iyi çözümlenmesi ve her unsurun

dikkatli bir şekilde ayrıştırılması gereklidir. Ayrıştırma modellerine geçmeden önce bir

ekonomik zaman serisini oluşturan unsurları aylık olarak derlenmiş bir seride bir arada görelim.

Grafik 5: Ekonomik Zaman Serilerinin Gözlenemeyen Unsurları

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

zaman

Y z

aman

ser

isi

Y

16

Kaynak: K. Gürtan (1982), İstatistik ve Araştırma Metodları, İstanbul Üniversitesi

Yayınları No:2941, s. 423.

Bu grafikten de görüldüğü gibi unsurlardan biri, özellikle ana unsur olan trend

yükselirken diğerleri de yükselişte ise serinin yükselme hızı artacaktır. Tersine olarak

unsurlardan biri, özellikle trend yükselme eğilimindeyken, diğer unsurlar azalma eğiliminde

ise, bunların trend üzerindeki etkisi ters yönlü olacağından, serinin yükselme hızı düşecektir.

İşte bu nedenle ekonomik zaman serileri uygulamalarda kullanılmadan önce seriyi oluşturan

unsurların analiz edilmesi gerekir. Herhangi bir ekonomik olayın ilgilenilen değişkeni kendi

seyrinden ne kadar uzaklaştırdığı belirlenmelidir.

Klasik tek değişkenli zaman serilerinde trend, konjonktür, ve mevsimsel unsurlarının

serilerin sistematik kısmını oluştuğu ve bu unsurların zamanın bir fonksiyonu olarak

deterministik bir süreci izlediği varsayılmaktadır. Rastlantısal etkilerin ise olasılık kurallarına

bağlı olarak değer aldığı, dolayısıyla sıfır ortalama ve sabit varyans ile stokastik bir süreci

izlediği varsayılmaktadır. Ancak zaman serilerini oluşturan gözlenemeyen unsurların yalnızca

deterministik süreçlerle açıklanamayacağı ve stokastik süreçleri izlediği de bilinmektedir.

Uygulamalı istatistik dersi kapsamında gözlenemeyen unsurlarla ilgili çoğunlukla deterministik

süreç izledikleri varsayımı ile çözümlemeler yapılacaktır. Bu çözümlemelerin çoğu ayrıştırma

modellerine dayanmaktadır. Ayrıştırma modelleri kısaca gözlenemeyen unsurların tek tek

belirlenerek, serilerin bu unsurlardan arındırılmasında kullanılan modellerdir.

1.4. Gözlenemeyen Unsurların Ayrıştırma Modelleri

Ekonomik zaman serilerinin öngörü amacıyla kullanılabilmesi için her şeyden önce

serilerin yapısı belirlenerek, serileri oluşturan unsurların açıkça tanımlanması ve serilerin bu

unsurlardan arındırılması gerekir. Ayrıştırma için geliştirilen modellerden en bilinenleri

toplamsal ayrıştırma ve çarpımsal ayrıştırma modelleridir. Bu modellerin yanı sıra yapay

toplamsal ayrıştırma modeli gibi alternatif modeller de geliştirilmiştir. Bu modeller zaman

serilerindeki unsurları deterministik varsaymaktadır.

1.4.1. Toplamsal Ayrıştırma Modeli

Ekonomik zaman serilerini oluşturan unsurların her birinin birbirinden bağımsız ve aynı

büyüklükte olduğunu varsayan toplamsal ayrıştırma modeline göre, herhangi bir tY serisi;

t t t t tY T K M R= + + +

şeklinde söz konusu unsurların toplamından oluşmaktadır.

17

Kaynak: onlinecourses.science.psu.edu/stat510/?q=node/69

Toplamsal modelde unsurların sıfır etrafında değiştiği, bu nedenle toplamlarının sıfır

olacağı varsayılmaktadır. Buna göre ayrıştırılmak istenen unsur tahmin edildikten sonra seriden

fark alma işlemi ile arındırılır. Seriyi oluşturan unsurların birbirinden bağımsız olduğu

varsayımı ekonomik zaman serileri için çok gerçekçi bir varsayım değildir. Bu nedenle başka

ayrıştırma modelleri geliştirilmiştir.

1.4.2. Çarpımsal Ayrıştırma Modeli

Çarpımsal ayrıştırma modeli ekonomik zaman serisini oluşturan unsurların her birinin

mutlak büyüklüğünün birbiri ile bağımlı olduğu varsayımına dayanmaktadır. Bu varsayıma

göre diğer unsurlar serinin ortalamasına, diğer bir deyişle trendine bağlı ve 100 etrafında

değiştikleri düşünüldüğünden, ayrıştırma için trendin bir oranı şeklinde alınmaktadırlar.

Mevsimsel dalgalanmalar gibi dalgaların toplamı da, çarpımsal modellerde yine bu nedenle 1

olmaktadır. Çarpımsal ayrıştırma modeli tY serisini;

t t t t tY T K M R= × × ×

şeklinde unsurların çarpımı olarak tanımlamaktadır.

18

Kaynak: onlinecourses.science.psu.edu/stat510/?q=node/69

Bu modelde seriye trendin mutlak, diğer unsurların oransal (yüzdelik) etkisi olduğu

varsayılmaktadır. Unsurların birbirine bağımlı olduğu varsayımı pek çok zaman serisi için

geçerlidir. Bu nedenle zaman serileri ayrıştırılırken genellikle çarpımsal model tercih edilir.

Üstelik orijinal tY serisinde sıfır veya negatif değerler yoksa çarpımsal ayrıştırma modeli,

logaritma alınarak;

log log log log logt t t t tY T K M R= + + +

şeklinde logaritmik toplamsal ayrıştırma modeline dönüştürülebilir.

Logaritmik toplamsal ayrıştırma modeli trendin geometrik ortalama ile büyüdüğü, buna

rağmen trend tahminlerinin toplamsal modele göre yapıldığı seriler için uygundur. Aynı şekilde

toplamsal ayrıştırma modeli de çarpımsal modele dönüştürülebilir. Bu modellerin kullanımı

uygun değilse bu kez hem toplamsal hem de çarpımsal özelliklerden yararlanılarak oluşturulan

yapay toplamsal ayrıştırma modeli kullanılmalıdır.

19

1.4.3. Yapay Toplamsal Ayrıştırma Modeli

Bu ayrıştırma modelinde mevsimsel ve rastlantısal unsurların birbirinden bağımsızken,

trend-konjonktüre bağımlı olduğu varsayımı ile geliştirilmiştir. Oluşturulan model mevsimsel

ve rastlantısal etkilerin toplamını aldığından serinin değerleri arasında sıfır olması durumunda

çarpımsal modelin yaratacağı sakıncayı da ortadan kaldırır. Yapay toplamsal model;

( 1)t t t t tY T K M R= × + −

şeklindedir. Model her yıl aynı aylarda periyodik olarak sıfır veya çok küçük değerler alan

seriler için uygundur. Yapay toplamsal ayrıştırma modeli, örneğin İtalya’daki otomotiv sektörü

gibi kurumsal olarak yaz tatili uygulayan ve üretime uzun süre ara veren sektörlerin

incelenmesinde kullanılmaktadır. Model genellikle tarımsal üretimle ilgili serilerde

kullanılmaktadır.

Ayrıştırma modeli olarak geliştirilmiş başka model seçenekleri de mevcuttur. Örneğin,

( )t t t tY T K M= + ×

modelinde trend ve konjonktür unsurlarının toplamsal, buna karşılık mevsimsel etkilerin

çarpımsal olduğu varsayılmaktadır.

Genel olarak ayrıştırma modelleri toplamsal seçilmişse, o serideki tüm unsurların ön

düzeltmelerinin de toplamsal olarak yapılması önerilmektedir. Ayrıştırma modeli çarpımsal

olarak seçilmişse, bu kez tüm ön düzeltmeler çarpımsal olarak yapılmalıdır.

İlgilenilen seri için hangi ayrıştırma modelinin uygun olduğunu anlamanın en basit yolu

serinin grafiğinin çizilerek incelenmesidir. Çizilen grafikte mevsimsel dalgaların

büyüklüğünün trend ile birlikte yükseldiği ve yine trende bağlı olarak düştüğü görülürse,

çarpımsal modelde mevsimsel etkilerin serinin ana unsuru olan trende bağlı olduğu

bilindiğinden, çarpımsal ayrıştırma modeli seçilmelidir. Tersine çizilen grafikte mevsimsel

dalgaların trendden tamamen bağımsız bir şekilde hareket ettiği görülüyorsa, toplamsal

ayrıştırma modeli seçilmelidir.

21

Uygulamalar

22

Uygulama Soruları

23

Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti

24

Bölüm Soruları

1) Zaman serisi nedir? Zaman serisi analizleri ne amaçla yapılmaktadır?

2) Makroekonomik ve mikroekonomik açıdan zaman serisi analizlerinin önemini

belirterek, zaman serilerinin fiyat endeksleri ile ilişkisini açıklayınız.

3) Zaman serilerini oluşturan gözlenemeyen unsurlar nelerdir? Bu unsurları kısaca

açıklayınız.

4) Konjonktürel dalgalarla mevsimsel dalgaları nasıl ayırırsınız. Konjonktür hareketleri

ile mevsimsel etkilerin farkları nelerdir? Açıklayınız.

5) Zaman serilerini oluşturan gözlenemeyen unsurları açıklamak amacıyla geliştirilen

modelleri kısaca anlatınız. Bu modellerdeki temel varsayım nedir?

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

26

2. TREND ANALİZİ

27


2.1.

2.2.

2.3.

28


29



30

Anahtar Kavramlar

31

Giriş

Bu hafta ekonomik zaman serilerini oluşturan unsurlardan trend unsurunun varlığının

tespitinde kullanılan parametrik olmayan testlerden Kendall’ın sıra korelasyon testi ve

spearman’ın sıra korelasyon testi açıklanmış ve uygulaması yapılmıştır. Ayrıca trendin

belirlenmesinde kullanılan hareketli ortalamalar yöntemi anlatılarak, çeşitli hareketli

ortalamaların nasıl hesaplandığı gösterilmiştir. Hareketli ortalamalar yönteminin fayda ve

sakıncalarına değinilmiştir.

32

1.5. Trend Analizi

Ülkelerin ekonomi politikalarındaki tarımdan sanayiye geçiş, ihracata yönelik

politikalar gibi kararlar uzun dönemde gerçekleşen ve ekonomik yapıyı gösteren kararlar

incelenen ekonomik olayın dayandığı temel ve yapısını etkileyerek, bu olaya kısa vadede

değişmeyen bir yön verir. Bu şekilde serilerin uzun dönemli eğilimini gösteren seyre trend adı

verilir. Ekonomik yapıyı etkileyen bu kararlar genellikle makroekonomik etkiler yaratır. Ancak

örneğin bir firmanın üretim kararları, satış ve pazarlama politikaları gibi mikro düzeyde de trend

etkisinden söz edilebilir. Ekonomik zaman serilerinin trendinin hep aynı seviyede ve aynı yönde

kalması mümkün değildir. Serilerin trendi yükseliş eğiliminde olabileceği gibi azalış eğiliminde

de olabilir. Üstelik trendin artışı da, azalışı da hep aynı hızda olmayabilir. Alınan kararlar bir

ekonomik zaman serisinde artan bir trende neden olurken, diğer bir zaman serisinde azalan bir

trende neden olabilir. Bir ekonomik zaman serisinin trendinin doğrusal olması da gerekmez. Bu

nedenle eğrisel veya üssel trend modelleri de geliştirilmiştir. Bir ekonomik zaman serisinin

trendinin ortaya çıkarılabilmesi için genellikle 10-15 yıllık verinin izlenmesi gerekir. Trendin

belirlenebilmesi için gereğinden uzun bir süre alınırsa, yeni bir trend ile karşılaşılabilir.

Gereğinden kısa bir süre incelenirse, bu kez de orta vadeli hareketler olan konjonktür dalgaları

ile serinin ana unsuru karıştırılabilir.

Trend analizleri 19. yy. sonlarında sahte korelasyon sorununu çözmek amacıyla

geliştirilmiştir. X ve Y gibi iki ekonomik zaman serisi arasındaki ilişki incelenirken, bu

değişkenlerin arasındaki korelasyonun, değişkenlerin taşıdıkları trendin etkisi ile gerçekte

olduğundan farklı ve genellikle yüksek çıktığı görülür. Bu duruma sahte korelasyon

denilmektedir. Söz konusu değişkenler taşıdıkları trendin etkisinden arındırılmadan

aralarındaki ilişkinin yönü ve derecesi gerçekte var olduğu gibi belirlenemez. Trend analizi işte

bu şekildeki çok değişkenli analizlerde değişkenleri trendden arındırmak amacıyla yapılmaya

başlanmıştır.

Ekonomik zaman serisi Yt’nin;

( )t tY f T=

şeklinde zamanın bir fonksiyonu olduğu varsayıldığından, bir ekonomik zaman serisine diğer

analizleri uygulamadan önce seride trendin varlığı test edilmelidir. Trendin varlığını test etmek

amacıyla parametrik ve parametrik olmayan çeşitli testler önerilmiştir. Bu testler ekonomik

zaman serisi ile zaman arasındaki korelasyon katsayısına dayanır. Bilindiği gibi korelasyon

katsayısı iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin şiddetini gösteren ve

1 1r− ≤ ≤ +

aralığında değerler alan bir katsayıdır. Korelasyon katsayısı ±1’e yaklaştıkça değişkenler

arasındaki ilişkinin güçlendiği, sıfıra yaklaştıkça ilişkinin zayıfladığı, r =0 ise değişkenler

arasında doğrusal ilişki olmadığı söylenir. Burada ilgili zaman serisi ile zaman arasındaki

33

trendin varlığını belirlemede geliştirilen parametrik olmayan testlerden yalnızca ikisi kısaca

açıklanacaktır.

1.5.1. Trendin Belirlenmesinde Kullanılan Parametrik Olmayan Testler

Parametrik olmayan testler anakütle dağılımı hakkında herhangi bir varsayıma

dayanmayan, ilgili değişkenin sınıflayıcı veya sıralayıcı ölçekle ölçüldüğü ve küçük örneklerde

(n<30) kullanılan testlerdir. Bu nedenle parametrik olmayan testler genellikle anakütle dağılımı

bilinmediği için parametrik testlerin uygulanamadığı örneklemlerde veya parametrik testlerle

birlikte ve bu testlerin bulgularını desteklemek amacıyla kullanılır. F ve t testi gibi klasik

parametrik testlerin uygulanabilmesi için normallik, doğrusallık, hata teriminin ardışık gözlem

değerlerinin birbirinden bağımsız olması gibi pek çok varsayım gerekliyken, parametrik

olmayan testlerde bu varsayımlara gerek duyulmamaktadır.

Trendin varlığını belirlemede pek çok parametrik olmayan test olsa da burada zamanın

doğal bir sıra izlemesinden yararlanılarak, sıralama ölçeği ile ölçülmüş değişkenler için

kullanılan iki parametrik olmayan test anlatılacaktır. Bu testler Kendall’ın sıra korelasyon testi

ve Spearman’ın sıra korelasyon testidir.

1.5.1.1. Kendall’ın τ Sıra Korelasyon Testi

Kendall sıra korelasyon katsayısı, sıralama ölçeği ile ölçülmüş X ve Y gibi değişkenler

arasındaki ilişkiyi, bu değişkenlerle oluşturulmuş kontenjans tablolarındaki (Xi, Yi) sıralı

ikililer arasındaki ilişkiyi inceleyerek ölçer. Sıralama ölçeğinde değişkenler küçükten büyüğe

veya büyükten küçüğe doğru sıralandığından, Kendall sıra korelasyon katsayısı X değişkenini

sıraladıktan sonra, Y değişkeninin X’e göre sıralanması ile oluşan (Xi, Yi) gözlem çiftleri

arasındaki ilişkinin yönünü incelemiştir. Bu testten ekonomik zaman serilerinde trendin

varlığını belirlemekte de yararlanılmaktadır. Zaman zaten doğal bir sıra izlediğinden, testin

uygulanabilmesi için incelenen zaman serisinin gözlem değerlerinin zamana göre derlenmesi

yeterli olup, ayrıca sıralanmasına gerek yoktur.

İncelenen ekonomik zaman serisi ile zaman arasındaki ilişkiyi ölçek amacıyla Kendall

tarafından geliştirilen τ sıra korelasyon katsayısı;

2( )

( 1)

S S

t tτ

+ −−=

−

şeklinde tanımlanmıştır. Burada S+ zamana göre sıralanan değişkenin ilk gözlem değerinden

itibaren sağında sırasıyla kaç değerin ilgili değerden büyük olduğu sayılarak toplamının

34

alınması ile hesaplanır. S− için ise bu kez ilgili değerin solunda o değerden büyük değerler

sayılarak toplamları alınır. S’nin pozitif değerleri zaman serisinde artan eğilim olduğunu,

negatif değeri ise azalan eğilim olduğunu göstermektedir. Formülde t zaman serisinin gözlem

sayısını göstermektedir. Formül yeniden düzenlendiğinde korelasyon katsayısı;

21

1( 1)

2

S

t tτ

−

= −− veya

21

1( 1)

2

S

t tτ

+

= −−

olarak gözlem değerlerinin yalnızca sağındaki veya yalnızca solundaki sıralamalarla da

hesaplanabilir. Böylece sağdaki sıralamalar kullanıldığında; H0: 0τ = Yt serisi doğrusal trend

taşımamaktadır. Yt serisi zamandan bağımsızdır. Rastgele sıralanmıştır.

H1: 0τ > Yt pozitif trende sahiptir. Bu şekildeki hipotezler test edilebilir.

Böylece zaman serisi ile ilgili Kendallτ korelasyon katsayısı hesaplanarak, 4 10t≤ ≤

için Kendall tarafından hazırlanan tablo değerleri ile t>10 için normal dağılım tablosundaki

değerler ile kıyaslanarak;

{ }0 0p S S p> =

ise H0 hipotezi reddedilerek, pozitif trendin varlığı kabul edilir. (M. Genceli, s.404-405)

1.5.1.2. Spearman Sıra Korelasyon Testi

Spearman sıra korelasyon testi de trendin varlığını belirlemekte kullanılabilen

parametrik olmayan testlerdendir. Spearman sıra korelasyon katsayısı iki değişken arasındaki

ilişkiyi tıpkı Kendall testinde olduğu gibi ölçmektedir. Bu katsayı büyüklüklerine göre

sıralanmış değişkenler arasındaki farkın kareleri toplamına dayandırarak ölçmektedir.

Bu testte de trend araştırılırken, değişkenlerden biri zaman olacağından ve T=1,2,3,…,t

şeklinde doğal bir sıra izleyeceğinden, zaten büyüklüğüne göre sıralanmış olduğundan, yeniden

sıralamaya gerek yoktur. Spearman sıra korelasyonu hesaplanırken ilgilenilen ekonomik serinin

zamana göre büyüklük sıralaması yeterlidir.

Test anakütle sıra korelasyon katsayısı sρ yardımıyla zaman ile ekonomik seri arasında

var olduğu düşünülen ilişkiyi;

H0: 0sρ = Trend etkisi yoktur.

H1: 0sρ > Pozitif trend etkisi vardır.

35

şeklindeki hipotezlerle sınarken;

2

2

61

( 1)s

dr

T T= −

−∑

rs sıra korelasyonunu hesaplar. d değişkenlerin büyüklük sıraları arasındaki fark, T zaman

serisindeki gözlem sayısını göstermektedir.

Spearman sıra korelasyon katsayısı rs hesaplandıktan sonra ayrıca istatistiksel olarak

anlamlılığı test edilmelidir. rs için;

2

2

1

sr nt

r

−=

−

şeklinde hesaplanan thes>ttab= , 2ntα − ise, Spearman sıra korelasyon katsayısı rs

istatistiksel olarak anlamlıdır. Böylece H0 reddedilerek anakütlede pozitif trend etkisi olduğuna

karar verilir.

Soru: Bir firmanın 10 yıllık satış rakamları aşağıdaki gibidir.

Yıllar 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Satışlar

(milyon TL)

20 23 25 27 28 26 29 31 30 33

Buna göre satışlar serisinde trendin varlığını

a. Kendall’ın testi ile test ediniz.

b. Spearman sıra korelasyon katsayısı ile test ediniz.

Çözüm:

A. Kendall sıra korelasyon testine göre değişkenlerin sıralanması gerekmektedir. Değişkenlerden biri zaman olduğundan ayrıca sıralanmasına gerek yoktur. Dolayısıyla satışlar serisi sıralanarak S+ ve/veya S− değerlerini bulmak yeterlidir. Burada sıralanmış satışlar serisinden yalnızca S+ değerleri hesaplanacaktır.

36

Yıllar 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Satışlar

(milyon TL)

20 23 25 27 28 26 29 31 30 33

T (zaman) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sıralanmış

satışlar

1 2 3 5 6 4 7 9 8 10

Bu sıralamaya göre sıralanmış satışlar serisinin ilk değeri olan 1’in sağında kendisinden

büyük 9 değer, daha sonra sıra ile 2’nin sağında 8 değer vardır. Bu şekilde tüm sıralanmış

değerlerin sağında toplamda

S+ =9+8+7+5+4+4+3+1+1+0=42

olduğu bulunur. S+ yardımıyla Kendall sıra korelasyon katsayısında;

H0: 0τ =

H1: 0τ >

şeklindeki hipotezleri test etmek amacıyla hesaplanan

21

1( 1)

2

S

t tτ

+

= −−

2(42)1 0.867

110(10 1)

2

= − =−

değeri tablo değeri ile karşılaştırılmalıdır. Kendall’ın sıra korelasyon katsayısının anlamlılığını

test etmek için 4 10t≤ ≤ için Kendall tarafından hazırlanan S tablosundan yararlanılır. S=41

ve t=10 değeri için p0 = 0.015, S=43 ve t=10 değeri için p0 =0.028 olup, her iki durumda da

p0<0.05 olduğundan, H0 hipotezi reddedilecektir. Satışlar serisi zamandan bağımsız değildir.

Satışlar üzerinde % 86.7’lik güçlü pozitif trend etkisi vardır.

Aynı serideki trend etkisini bir de Spearman sıra korelasyon katsayısı ile test edelim.

A. Spearman sıra korelasyon testine göre de satışlar serisi zamana göre sıralanmalı ve

aralarındaki büyüklük farkları hesaplanmalıdır. Buna göre yine yukarıda Kendall testi için

oluşturduğumuz sıralanmış değerler tablosundan yararlanabiliriz. Ancak bu kez sıralanmış

değerler arasındaki farklar (d) ve bu farkların kareleri toplamı (d2) alınır.

37

Yıllar 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Satışlar (milyon TL)

20 23 25 27 28 26 29 31 30 33

T (zaman) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sıralanmış satışlar

1 2 3 5 6 4 7 9 8 10

d 0 0 0 -1 -1 2 0 -1 1 0 d2 0 0 0 1 1 4 0 1 1 0

Buradan d2 =8 olarak hesaplanır. Bu değer yardımıyla Spearman sıra korelasyon

katsayısı,

2

2

61

( 1)s

dr

T T= −

−∑

2

6(8) 481 1 1 0.048 0.952

10(10 1) 990= − = − = − =

−

olarak bulunur. rs= 0.952 değerinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığı da ayrıca test

edilmelidir.

2

2

1

s

s

r tt

r

−=

− 2

0.962 10 2 2.6928.797

0.3061 (0.952)

−= = =

−

şeklinde hesaplanan t hesap değeri t0.01, t-2=2.896 tablo değeri ile kıyaslandığında, thes>ttab

olduğundan

H0: 0sρ = Trend etkisi yoktur.

şeklindeki hipotez reddedilerek, satışlar üzerinde pozitif ve güçlü bir trend etkisi olduğu

söylenir.

Bir ekonomik zaman serisinde var olduğu anlaşılan trendin belirlenmesinde en basit

yöntem serinin grafiğinin çizilip incelenmesidir. Trendi belirlemekte hareketli ortalamalar

yöntemi ve en küçük kareler yöntemi kullanılmaktadır.

38

1.5.2. Hareketli Ortalamalar Yöntemi

Hareketli ortalamalar yöntemi ile trendin belirlenmesine geçmeden önce yöntem

hakkında bilgi verelim. Yöntem 1930’lu yıllarda geliştirilmiş olup, yalnız trendi değil, aynı

zamanda mevsimsel unsurları da belirlemek amacıyla kullanılır.

Hareketli ortalamalar, incelenen ekonomik zaman serisinin gözlem değerlerinin,

taşıdıkları dalgalara uyan belli bir zaman aralığında kaydırılarak, ortalamalarının alınmasına

dayanan bir düzleştirme yöntemidir. Hareketli ortalamalar yöntemi, zaman serisinin

düzleştirilmesini için;

• Basit hareketli ortalamalar

• Merkezi hareketli ortalamalar

• İkili hareketli ortalamalar

• Ağırlıklı hareketli ortalamalar

şeklinde farklı biçimlerde uygulanabilir. Burada öncelikle merkezi hareketli ortalamalar

yöntemi açıklanacaktır.

Merkezi hareketli ortalamalar yönteminde serinin taşıdığı dalga boyuna uyan bir grup

gözlem değerinin ortalaması alınarak, bu ortalama grubun tam ortasındaki gözlem değerini

temsilen kullanılır. Bu yolla serilerin taşıdıkları dalgaların düzleştirilmesi amaçlanmaktadır.

Toplamsal ayrıştırma modeline de çarpımsal ayrıştırma modeline de uygulanabilen

hareketli ortalamalar yönteminde en önemli nokta hareketli ortalamaların kaç gözlem değeri

üzerinden hesaplanacağıdır. Bir zaman serisinin taşıdığı dalgaların boyu (uzunluğu), dalganın

birbirini izleyen iki tepe noktası veya iki dip noktası arasındaki mesafedir (Grafik 6’da kırmızı

çizgi ile gösterilmiştir). Dalgaların şiddeti (yüksekliği) ise aynı dalganın dip noktası ile tepe

noktası arasındaki mesafedir (Grafik 6’da mavi çizgi ile gösterilmiştir.). Zaman serisinin dalga

boyu, hareketli ortalamaların kaç gözlem değeri üzerinden hesaplanacağını gösterecektir.

39

Grafik 6: Ekonomik Zaman Serilerinin Dalga Boyu ve Şiddeti

Hareketli ortalamalar yöntemi en basit haliyle zaman serisinin her gözlem değerine eşit

ağırlıklar verilerek uygulanır. Bir zaman serisinin gözlem değerleri;

y1, y2, y3, y4,y5,…,yt-2, yt-1, yt

şeklindeyken, seriye örneğin 3’erli hareketli ortalamalar uygulanırsa;

1 2 32

3

y y yy

+ +′ =

,2 3 4

33

y y yy

+ +′ =

,

3 4 54

3

y y yy

+ +′ =

, 4 5 6

53

y y yy

+ +′ =

ve serinin sonunda;

2 11

3t t t

t

y y yy − −

−

+ +′ =

şeklinde hesaplanan değerler sırayla her 3’erli ortalamanın ortasındaki terimi temsilen

kullanılır. Böylece oluşan yeni seride artık y2 yerine 2y′ , y3 yerine 3y′ , ve sırayla diğer

40

terimlerin yerine hareketli ortalamalarla hesaplanan değerler gelir. Burada uygulanan hareketli

ortalamalar, yukarıda da söylendiği gibi;

1 2 32 1 2 3

1 1 1

3 3 3 3

y y yy y y y

+ +′ = = + +

biçiminde her gözlem değerine eşit ağırlık veren simetrik ortalamalardır. Ekonomik zaman

serisi ne kadar uzun bir geçmişe sahip olursa olsun, geçmiş gözlem değerleri de yeni gözlem

değerleri de eşit ağırlıklarla cari ve gelecek değeri etkileyeceğinden, hareketli ortalamaların

kullanıldığı serilerde öngörü yaparken dikkatli olunmalıdır. Bu durumda zaman serisi Yt ile

hareketli ortalamalar alınarak oluşturulan yeni seri tY ′ ;

Yt tY ′

y1 —

y2 2y′

y3 3y′

y4 4y′

y5 5y′

… …

yt-2 2ty −′

yt-1 1ty −′

yt —

şeklinde olacaktır. Burada dikkat edilirse hareketli ortalamalar alındıktan sonra zaman serisi

Yt’nin başından ve sonundan birer gözlem değeri eksilmiştir. Uygulanan hareketli ortalamalar

3, 5, 7 gibi tek sayılı terimler üzerinden hesaplanıyorsa, oluşan yeni seride hareketli ortalaması

alınan terim sayısının bir eksiği kadar gözlem kaybolacaktır. 3’erli hareketli ortalamalarda,

terimlerden biri serinin başından, diğeri ise sonundan olmak üzere 3-1=2 terim kaybolacaktır.

Aynı şekilde 5’erli hareketli ortalamalarda oluşturulan hareketli ortalamalar serinin ilk terimi,

orijinal serinin üçüncü terimine karşılık geleceğinden, ilk terim

1 2 3 4 53

5

y y y y yy

+ + + +′ =

,…, ve son terim

4 3 2 12

5t t t t t

t

y y y y yy − − − −

−

+ + + +′ =

41

şeklinde olacak, böylece 2 terim başından ve 2 terim sonundan olmak üzere orijinal serinin

toplamda 5-1=4 terimi kaybolacaktır. Hareketli ortalamalar 7 terimli olarak hesaplanmışsa, 7-

1=6 terimin 3’ü serinin başından, 3’ü de sonundan kaybolacaktır.

Hareketli ortalamalar 4, 6, 8, gibi çift sayılı terimler üzerinden hesaplandığında ise, yeni

serinin terimleri tek terimli ortalamalardan farklı olarak, ortadaki iki terimin ortasına denk

gelecektir. Örneğin 4’erli hareketli ortalamalarda önce ayrı ayrı ortadaki terimler için

1 2 3 42 3

4

y y y yy −

+ + +′ =

ve

2 3 4 53 4

4

y y y yy −

+ + +′ =

değerleri hesaplanıp, ardından bu iki terimin ortalaması

2 3 3 43

2

y yy − −′ ′+′ =

alınır. Bu yöntem yerine

512 3 4

32 2

4

yyy y y

y+ + + +

′ =

şeklindeki ortalama hesabı da kullanılabilir. Böyle çift terimli hareketli ortalamalar serisi

Yt tY ′

y1 — —

y2 — —

2 3y −′

y3 3y′

3 4y −′

y4 4y′

4 5y −′

y5 5y′

… …

yt-2 2ty −′

2, 1t ty − −′

yt-1 — —

yt — —

42

şeklinde oluşturulur. Burada dikkat edilirse orijinal serinin başından 2 terim ve sonundan 2

terim olmak üzere toplam 4 terim kaybolmuştur. Çift terimli hareketli ortalamalarda ortalaması

alınan terim sayısı kadar gözlem değeri yitirilmektedir. 12’şerli hareketli ortalama hesaplanacak

olursa, serinin başından 6 ve sonundan 6 gözlem değeri olmak üzere toplamda 12 gözlem değeri

yitirilecektir. Bu nedenle yöntem gelecek tahmininde kullanılamamaktadır.

Çift terimli hareketli ortalamalar genellikle aylık ve üç aylık serilerde mevsimsel

dalgaları düzleştirmekte kullanılırlar. İncelenen ekonomik zaman serisi aylık ise 12’şerli

hareketli ortalamalar uygunken, üç aylık serilerde 4’erli hareketli ortalama kullanımı uygundur.

Çift terimli hareketli ortalamalar;

512 3 4

3 1 2 3 4 5

1 1 1 1 12 24 8 4 4 4 8

yyy y y

y y y y y y+ + + +

′ = = + + + +

şeklinde ortalaması alınan her terime eşit ağırlık vermese bile, her üç aylık döneme eşit ağırlık

veren simetrik ortalamalardır.

Örnek: Aşağıdaki bir fabrikanın yıllık üretim miktarları verilmiştir. Üretim serisinin

hareketli ortalamalar yöntemi ile trendini belirleyerek grafiğini çiziniz.

Yıllar Üretim

(bin ton)

2000 3

2001 5

2002 7

2003 4

2004 6

2005 8

2006 7

2007 9

2008 11

2009 8

Seri incelendiğinde artarak başlayan değerlerin 2003 yılında düştüğü, sonra yine arttığı

ve 2006 yılında düştüğü, son düşüşün 2009 yılında olduğu görülmektedir. Buradan yola çıkarak

serideki dalga 3 yıllık olduğu söylenebilir. Hareketli ortalamaları almadan önce serinin grafiğini

çizelim.

43

Grafikten ve serinin artış azalışlarından 3’erli hareketli ortalamaların hesaplanması

uygun görülmüştür. Buna göre;

(3+5+7)/3=5 (5+7+4)/3=5.33 (7+4+6)/3= 5.66 (4+6+8)/3=6 (6+8+7)/3=7 (8+7+9)/3= 8 (7+9+11)/3=9 (9+11+8)/3=9.33

şeklinde hesaplanan yeni seri trend doğrusunu verecektir. 3’erli hareketli ortalamalar

hesaplandığından serinin başından ve sonundan birer gözlem değeri yitirilecektir.

Yıllar Üretim

(bin ton)

3’erli HO

(Trend)

2000 3 —

2001 5 5

2002 7 5.33

2003 4 5.66

2004 6 6

2005 8 7

2006 7 8

2007 9 9

2008 11 9.33

2009 8 —

2

4

6

8

10

12

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

Y

44

Bu örnekte yıllık veri kullanılmıştır. Yıllık verilerde görülen dalgalanmalar orta vadeli

konjonktür dalgalanmalarıdır. Konjonktür etkisi taşıyan serilerde dalgaların boyları genellikle

bu kadar düzgün ve eşit değildir. Dalga boylarının eşit olmaması halinde farklı dalga boylarının

ortalaması kadar terime sahip hareketli ortalamalar hesaplanır.

Örnek: Aşağıdaki bir fabrikanın yıllık satış miktarları verilmiştir. Buna göre satışlar

serisinin hareketli ortalamalar yöntemi ile trendini belirleyerek grafiğini çiziniz.

Yıllar Satışlar

(milyon TL)

2000 10

2001 13

2002 15

2003 16

2004 12

2005 14

2006 17

2007 19

2008 22

2009 24

2010 20

Burada satışlar serisinin 2004 yılına kadar arttığı, 2004 yılında düşüp, 2010 yılına kadar

yine arttığı görülmektedir. Bu durumda seride önce 3 yıllık bir dalga ve sonra 6 yıllık bir dalga

olduğu belirlenmiştir. Bu iki dalganın ortalaması alınarak [(4+6)/2=5], seriye 5’erli hareketli

ortalama uygulanmalıdır.

2

4

6

8

10

12

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

TREND Y

45

Yıllar Satışlar

(milyon TL)

5’erli HO

(Trend)

2000 10 —

2001 13 —

2002 15 (10+13+15+16+12)/5=13.2

2003 16 (13+15+16+12+14)/5=14

2004 12 (15+16+12+14+17)/5=14.8

2005 14 (16+12+14+17+19)/5=15.6

2006 17 (12+14+17+19+22)/5=16.8

2007 19 (14+17+19+22+24)/5=19.2

2008 22 (17+19+22+24+20)/5=20.4

2009 24 —

2010 20 —

Görüldüğü gibi 5’erli hareketli ortalamalarda 5-1=4 terimin ikisi serinin başından ikisi

de sonundan yitirilmiştir.

Görüldüğü gibi farklı iki dalganın ortalaması kadar hareketli ortalama alındığında seri

düzleşerek, artış yönünde doğrusal trend belirmiştir.

Şu ana kadar yıllık verilere örnekler verdik. Oysa hareketli ortalamalar yöntemi aylık

ve üç aylık veride de kullanılabilir. Bu durumda aylık veride 12’şerli, üç aylık veride ise 4’erli

hareketli ortalamaların alınması uygundur. Aylık veya üç aylık serilerde hareketli ortalama

alındıktan sonra mevsimsel dalgalanmalar düzleşecektir. Ancak seride hâlâ konjonktürel

dalgalanmalar olabilir. Bu durumda serinin grafiği çizilerek konjonktür dalgalarının da

uzunluğu belirlenmeli ve tekrar bu dalga boylarına uygun hareketli ortalamalar alınarak, seri

konjonktürel etkilerden de arındırılmalıdır.

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

Y TREND

46

Örnek: Aşağıda bir firmanın üç aylık dönemler itibariyle üretim rakamları verilmiştir.

Buna göre üretim serisi için uygun hareketli ortalamaları hesaplayarak, grafiğini çiziniz.

Burada üç aylık dönemler itibariyle verilmiş üretim serisi ve 4’erli hareketli ortalamalar

aynı tabloda gösterilirse; 4 gözlem değerinin ortasına denk gelen değerlerin ortalaması

alınacağından aşağıdaki gibi hareketli ortalamalar hesaplanacaktır.

Dönemler

Üretim

(bin ton) 4'erli HO.

2006-I 12 —

2006-II 15 —

(12+15+18+21)/4=16.5

2006-III 18 17.125

(15+18+21+17)/4=17.75

2006-IV 21 18.375

(18+21+17+20)/4=19

2007-I 17 19.625

(21+17+20+23)/4=20.25

2007-II 20 20.75

(17+20+23+25)/4=21.25

2007-III 23 21.625

(20+23+25+20)/4=22

2007-IV 25 22.5

(23+25+20+24)/4=23

2008-I 20 23.25

(25+20+24+25)/4=23.5

2008-II 24 23.625

(20+24+25+26)/4=23.75

2008-III 25 24

(24+25+26+22)/4=24.25

2008-IV 26 24.25

(25+26+22+24)/4=24.25

2009-I 22 24.5

(26+22+24+27)/4=24.75

2009-II 24 25.25

(22+24+27+30)/4=25.75

2009-III 27 26.125

(24+27+30+25)/4=26.5

2009-IV 30 27

(27+30+25+28)/4=27.5

2010-I 25 28

(30+25+28+31)/4=28.5

47

2010-II 28 28.75

(25+28+31+32)/4=29

2010-III 31 29.5

(28+31+32+29)/4=30

2010-IV 32 30.25

(31+32+29+30)/4=30.5

2011-I 29 30.75

(32+29+30+33)/4=31

2011-II 30 31.375

(29+30+33+35)/4=31.75

2011-III 33 —

2011-IV 35 —

Görüldüğü gibi serinin başından ve sonundan 4/2=2’şer gözlem değeri yitirilmiştir.

Aslında trendin belirlenebilmesi için yaklaşık 10 yıllık seriye ihtiyaç olduğundan üç aylık veri

kullanıldığında 40 gözlemin incelenmesi gerekmektedir. Aynı şekilde aylık veri kullanılması

durumunda en az 120 gözlem gereklidir.

Hareketli ortalamalar yöntemi kolay uygulanabilen, görsel yönü güçlü olan, veri kümesi

ile ilgili herhangi bir varsayım gerektirmeyen bir yöntemdir. Ancak yöntemin uygulanabilmesi

için bir takım kısıtlamalar vardır.

• İncelenen ekonomik zaman serisinin trendinin doğrusal olması gerekir.

• Zaman serisinin dalga boylarının eşit olması gerekir.

10

15

20

25

30

35

40

2006 2007 2008 2009 2010 2011

Y TREND

48

• Zaman serisinin dalga şiddetlerinin de eşit olması gerekir.

Ekonomik zaman serisi bu gibi kısıtlamalara uymuyorsa hareketli ortalamalar yöntemi

ile trendi doğru belirlemek mümkün olmayacaktır. Özellikle yıllık veri kullanıldığında, pek çok

seride konjonktür dalgalarının boylarının ve şiddetlerinin eşit olmadığı görülmektedir. Yöntem

bu tip serilere uygun değildir. Ayrıca burada açıklanan merkezi hareketli ortalamalar

yönteminde hem tek sayıda terime sahip ortalamalarda, hem de çift sayıda terime sahip

ortalamalarda serinin başından ve sonundan çok sayıda gözlem değerinin yitirilmesi, yöntemin

gelecek tahmini yapmak amacıyla kullanılmasını önlemektedir. Ancak geçmiş dönem

değerlerinden mevsimsel, konjonktürel ve rastlantısal unsurların etkisini

yıllık veride

tt t

t

YK R

Y= ×

′ ve

aylık veride

tt t t

t

YK M R

Y= × ×

′

şeklinde arındırır.

Hareketli ortalamalar yönteminde veri kümesine eklenen her yeni gözlem değeri için

ortalamaların yeniden hesaplanması gerekmektedir. Bu da işlem yükünü artırmaktadır.

49

Uygulamalar

50

Uygulama Soruları

51


52

Bölüm Soruları

Aşağıda bir firmanın 10 yıllık ihracat miktarları verilmiştir.

Yıllar 200

2

200

3

200

4

200

5

200

6

200

7

200

8

200

9

201

0

201

1

İhracat

(milyon

TL)

12 15 17 20 19 22 23 21 25 24

Buna göre;

1) Kendall’ın sıra korelasyon testi ile trendin varlığını araştırınız.

2) Spearman’ın sıra korelasyon testi ile trendin varlığını araştırınız.

3) Korelasyon katsayısı ne amaçla kullanılır? Açıklayınız.

4) Aşağıdaki seri için uygun hareketli ortalamalar serisini hesaplayarak trendi

belirleyiniz ve serinin grafiğini çiziniz.

Yıllar Yt

1998 22

1999 24

2000 25

2001 27

2002 23

2003 25

2004 28

2005 30

2006 27

2007 29

2008 31

2009 33

2010 28

2011 32

5) Hareketli ortalamalar yönteminin fayda ve sakıncalarını açıklayınız.

6)

7)

8)

53

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

54

3. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-I

55


3.1.

3.2.

3.3.

56


57



58

Anahtar Kavramlar

59

Giriş

Bu hafta trendin belirlenmesinde kullanılan en küçük kareler yönteminin esasları

doğrusal trend modelinin tahmini anlatılmıştır. Ekonomik zaman serisinin inceleme döneminde

tek sayılı gözlemlerden oluşması durumunda ve çift sayılı gözlemlerden oluşması durumunda

en küçük kareler yönteminin nasıl kullanıldığı örneklerle açıklanmıştır. Tahmin edilen

parametreler öngörü amacıyla kullanılmıştır.

60

1.5.3. En Küçük Kareler Yöntemi

Bağımlı değişkenin gerçek değeri ile regresyon denkleminden tahmin edilen değeri

arasındaki farkın kareleri toplamını;

( )2

1

ˆ minT

t tt

Y Y=

− →∑

şeklinde en küçükleme esasına dayanan en küçük kareler yöntemi klasik zaman serisi

analizlerinde ekonomik zaman serilerinin trendinin belirlenmesinde kullanılmaktadır.

Gerçek değerlerle tahmini değerler arasındaki fark, regresyon modellerinde kalıntı

(artık) adını almaktadır. Bu farkların kareleri toplamı ise,

( )2

2

1 1

ˆ minT T

t t tt t

e Y Y= =

= − →∑ ∑

şeklinde kalıntı kareler toplamı olarak bilinir. Bağımlı değişkeni açıklamak amacıyla kurulan

alternatif modeller arasından veri kümesine en uygun model, bu değeri en küçükleyen modeldir.

Bu durumda bağımlı değişkeni açıklamak amacıyla kurulacak modelin fonksiyonel formu

önem kazanacaktır.

Yöntem ekonomik zaman serilerine uygulandığında, bağımsız değişken zaman vasfının

yıl, mevsim (üç ay), ay veya gün gibi şıkları olabilir. Böylece kurulacak regresyon modelinde

bağımlı değişken incelenen ekonomik zaman serisiyken, bağımsız değişken zaman vasfının

şıkları olacaktır.

Yt=f(T, tε )=f(yıl, mevsim, ay veya gün, tε ) Ekonomik zaman serisi Yt incelendiği dönem içinde doğrusal artan veya azalan, eğrisel

artan veya azalan, hatta başka bir fonksiyonel kalıpta değişim sergileyebilir. Bu noktada zaman

serisi için veri kümesine en uygun modelin oluşturulması verinin yapısını analiz etmede ve

öngörü amacıyla kullanırken başarıyı artıracaktır.

Ekonomik zaman serilerini incelemek amacıyla geliştirilen modeller;

a. doğrusal trend modeli

b. doğrusal olmayan trend modeli

şeklinde sınıflanabilir. Doğrusal olmayan trend modelleri de kendi içinde özünde doğrusal olan

modeller ve özünde doğrusal olmayan modeller olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır.

61

İki değişken arasındaki ilişkiyi incelerken regresyon analizi ile paralel olarak korelasyon

analizinden de yararlanılmaktadır. Bu nedenle trend analizi yaparken, ekonomik zaman serisi

Yt ile zaman arasındaki ilişki daha önce de söylendiği gibi korelasyon katsayısı yardımıyla da

incelenebilir. Korelasyon katsayısı +1 veya −1 değerini aldığında sırasıyla tam pozitif veya tam

negatif ilişki söz konusu olacaktır. Bu durumda Yt değişkeninin gözlem değerlerinin tümü

doğru üzerinde yer alacaktır. Kurulacak doğrusal bir fonksiyondan tahmin edilen tY değerleri

de Yt= tY şeklinde gerçek değerlere eşit olacaktır. Böylece kurulacak herhangi bir

t tY Tα β ε= + +

şeklindeki anakütle doğrusal regresyon modelinde her gözlem değerine ait kalıntılar

ˆ 0t t te Y Y= − =

olacaktır. Bunun sonucu olarak kalıntı kareler toplamı 2 0te =∑ olacaktır. Ancak

korelasyon katsayısı ± 1’den uzaklaştıkça gerçek değerlerle tahmini değerler arasındaki bu

uyum azalacaktır. Kalıntı kareler toplamı da sıfırdan farklı bir değer almaya başlayacaktır.

Korelasyon katsayısı sıfıra yaklaştıkça zaman ile ekonomik değişken arasında doğrusal ilişkinin

olmadığı ve/veya ilişkinin eğriselleşmeye başladığı düşünülecektir.

Ekonomik zaman serilerini incelemekte hangi tip eğrinin uygun olacağını belirlemenin

en basit yolu ilgili serinin zamana bağlı olarak grafiğinin çizilmesidir. Uygun eğri tipi orijinal

verinin şekline bakarak veya serinin Yt−Yt-1 şeklinde birinci farklarının grafiği incelenerek

belirlenebilir. Birinci fark serisinin grafiği incelendiğinde trend yoksa, sabitse, uygun model

doğrusal trend modeli olacaktır. Birinci fark serisinin trendi varsa ekonomik seri için eğrisel

model uygundur. Ancak grafikle uygun eğri tipi belirlemek yanıltıcı olabileceğinden, çözülen

alternatif modeller arasından kalıntı kareler toplamını en küçükleyen fonksiyon tipi alınmalıdır.

Ekonomik zaman serilerini modellemekte kullanılan en basit fonksiyonel kalıp, doğrusal trend

modelidir.

1.5.3.1. Doğrusal Trend Modeli

Ekonomik zaman serisi Yt için kurulacak doğrusal trend modeli;

t tY Tα β ε= + +

şeklindedir. Bu model özünde iki değişkenli basit doğrusal regresyon modeli olup, regresyonun

temel varsayımlarına uymaktadır. Burada α , T=0 iken, diğer bir ifade ile inceleme döneminin

başlangıcında Yt’nin alacağı değeri gösterir. β , T bir birim değiştiğinde, Yt’nin kaç birim

62

değişeceğini gösteren eğim katsayısıdır. Doğrusal trend modellerinde β , ekonomik zaman

serisinde her dönem aynı miktarda değişim olduğunu gösterir. Buna göre yıllık veride yıllık

ortalama değişimi, aylık veride ise aylık ortalama değişimi gösterir. Böyle bir mutlak artış veya

azalış, birinci fark serisi Yt−Yt-1’in sabit olmasına yol açar.

Doğrusal trend modeli anakütlede en küçük kareler yöntemi ile;

( ) [ ]2 2

2

1 1 1

ˆ ( ) minT T T

t t t tt t t

Y Y Y Tε α β= = =

= − = − + →∑ ∑ ∑

olacak şekilde tahmin edilmelidir. Bunun için fonksiyonun sırasıyla α ve β parametrelerine

göre birinci kısmi türevleri alınarak sıfıra eşitlenmelidir. Ancak uygulamada örneklem ile

çalışıldığından, bu işlem inceleme dönemi içinde kalıntı kareler kullanılarak yapılmaktadır.

2

1

1

2 ( 1)( ) 0

T

t Tt

tt

e

Y T

δα β

δα=

=

= − − − =∑

∑

2

1

1

2 ( )( ) 0

T

t Tt

tt

e

T Y T

δα β

δα=

=

= − − − =∑

∑

Buradan elde edilen

tY t Tα β= +∑ ∑

2tTY T Tα β= +∑ ∑ ∑

normal denklemlerinden α ve β parametreleri tahmin edilerek trend denklemi bulunur. Söz

konusu normal denklemlerin klasik regresyon modelindeki normal denklemlerden tek farkı

bağımsız değişkenin zaman olması ve hep bir birim aralıkla değişmesidir. Bu nedenle inceleme

döneminin başlangıç yılı 0 veya 1 olarak alınır ve 0 ile başlandığında diğer yıllar

1,2,3,…şeklinde sıralanarak işlemlerde kolaylık sağlanır. Zaman serisi analizlerinde yıllık veri

kullanıldığında yıl ortasını temsilen 30 Haziran tarihi, aylık veri kullanımında ayın 15. günü

alındığından, başlangıç yılı olarak alınan yılın ortası orijin tarihi olacaktır.

Ekonomik zaman serilerinde trendi belirlerken, zamanın hep bir birim aralıkla

değişmesinden yararlanılarak, işlemleri daha da kolaylaştırmak amacıyla orijin kaydırılır ve

63

veri kümesinin orta noktasına sıfır değeri verilir. Bu yöntem uygulandığında, veri kümesinin

tek sayılı gözlemlerden oluşması durumunda orta noktadan sonraki gözlem değerleri

+1,+2,+3,… şeklinde sıralanırken, orta noktadan önceki gözlem değerleri …−3,−2,−1 şeklinde

sıralanır. Böylece pozitif ve negatif değerler birbirini götüreceğinden,

1

0T

t

T=

=∑

olacağından, normal denklemlerden T∑ değeri düşerek,

tY tα=∑

2tTY Tβ=∑ ∑

biçimine dönüşür. Böylece trend denkleminin parametreleri

1

T

tt

Y

tα ==

∑ ve

2

tTY

Tβ = ∑

∑

şeklinde hesaplanır. Bu düzenleme tek sayılı gözlemlerden oluşan serilerde yapıldığında orijin

olarak 0 değeri atanan, ortadaki yılın 30 Haziran tarihi alınır.

Zaman serisi çift sayılı gözlemlerden oluşuyorsa, veri kümesinin orta noktası, ortadaki

iki gözlem değerinin ortası olacağından, sıfır değeri atanacak gözlem yarım yıllık döneme,

diğer bir ifadeyle 6 aylık döneme denk gelecektir. Bu durumda sıfır değerinden sonra seri

+0.5,+1.5,+2.5, … şeklinde devam edecek ve öncesindeki değerler de …−2.5,−1.5,−0.5

şeklinde devam edecektir. Bu durumda da negatif ve pozitif değerler birbirini götürerek,

1

0T

t

T=

=∑

elde edilir. Böylece normal denklemler yine,

tY tα=∑

64

2tTY Tβ=∑ ∑

biçimine dönüşür. Çift sayılı gözlemlerden oluşan seriler sıfır toplamlı hale getirildiğinde,

orijinde ortadaki iki yılın ortası olan 31 Aralık veya 1 Ocak tarihi olacaktır.

Orijin kaydırıldığında tahmin edilen trend denklemi, başlangıç değerine sıfır verilerek

tahmin edilen trend denklemi ile α parametresi hariç, tamamen aynı olacaktır. Bu nedenle

orijin kaydırıldığında β parametresinin yorumu değişmezken,α , Yt değişkeninin ortalama

düzeyini vermektedir. Trend denklemi bu yolla tahmin edildiğinde, ekonomik zaman serisinin

ortalama değişme hızı;

100βα

× olarak hesaplanır.

Şimdi önce zaman serisi tek sayılı gözlemlerden oluştuğunda, ardından da çift sayılı

gözlemlerden oluştuğunda trend denklemini tahmin edelim.

Örnek: Tek Sayılı Gözlem Değerlerine Sahip Zaman Serisi Uygulaması

Aşağıda bir firmanın 11 yıllık ihracat rakamları verilmiştir. Buna göre firmanın

ihracatındaki söz konusu dönemdeki ortalama yıllık değişimi belirleyiniz ve 2012 ile 2013

ihracatlarını tahmin ediniz.

Yıllar (T) 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

İhracat

(Mil. $) 81.5 79.3 80.2 78.9 77.6 77.2 78.4 76.9 75.4 74.7 74.3

65

Görüldüğü gibi seride kimi dalgalanmalar olsa da azalan bir trend söz konusudur. Bu

nedenle öncelikle doğrusal trend denklemini önce birinci yolla sonra ikinci yolla tahmin edelim

ve gelecek iki yıla ait öngörüde bulunalım. Başlangıç yılı olan 2001 yılına 0 değeri atanarak,

orijin 30 Haziran 2001 yılı olarak alındığında,

Yıllar

(T)

İhracat

(Mil.$) T T2 TYt

2001 81.5 0 0 0

2002 79.3 1 1 79.3

2003 80.2 2 4 160.4

2004 78.9 3 9 236.7

2005 77.6 4 16 310.4

2006 77.2 5 25 386

2007 78.4 6 36 470.4

2008 76.9 7 49 538.3

2009 75.4 8 64 603.2

2010 74.7 9 81 672.3

2011 74.3 10 100 743

tY∑=854.4

T∑=55

2T∑=385

tTY∑=4200

Buna göre:

66

tY t Tα β= +∑ ∑ ⇒854.4=11α +55 β

2tTY T Tα β= +∑ ∑ ∑ ⇒4200=55α +385 β

şeklindeki normal denklemlerden tahmin edilen trend denklemi

tY =80.945−0.654T

olup, burada trendin istatistiksel olarak anlamlılığı tahmin edilen β parametresi yardımıyla test

edilir. Buna göre;

H0 : β =0

H1 : β <0 şeklindeki hipotezler,

ˆ ˆ

ˆ ˆ 0.65459.405

0.0695t

s sβ β

β β β− −= = = = −

olarak hesaplanan t istatistiği, 0.01, 2ttα = − = 2.821 ile kıyaslanarak thes> ttab

olduğundan H0 hipotezi reddedilerek, ekonomik zaman serisinde negatif trend etkisi olduğu

söylenir.

Trendin varlığı aynı zamanda korelasyon katsayısı yardımıyla da sınanabilir. Bu

durumda ekonomik seri ile zaman arasındaki korelasyon hesaplanarak anlamlılığı test

edilmelidir. Regresyon modellerinde korelasyon katsayısının eğim parametresi ile aynı işareti

taşıdığı bilinmektedir. Burada da

, 0.9527Y Tr = −

ile zaman ve ekonomik seri arasında negatif ilişki olduğu görülmektedir. Korelasyon

katsayısının istatistiksel olarak anlamlılığı ise, daha önce de parametrik olmayan testlerde

uygulandığı gibi,

67

2

2 0.9527 11 2

1 0.90761

r tt

r

− − −= = =

−− −9.404

değeri 0.01, 2ttα = − = 2.821 değeri ile kıyaslanarak sınanır. Buna göre thes> ttab

olduğundan ekonomik serinin zamanla arasında anlamlı ilişki olduğu kabul edilir.

Ekonomik zaman serisinin negatif ve anlamlı trend etkisinde olduğu belirlendiğine göre,

tahmin edilen trend modeli öngörü amacıyla kullanılabilir. Buna göre;

2012Y =80.945 −0.654(11)= 73.751 bin ton

2013Y =80.945 −0.654(12)= 73.097 bin ton olarak tahmin edilir.

Tahmin edilen regresyon modeli için ekonomik zaman serisinin tahmini değeri, kalıntılar ve

kalıntı kareler hesaplandığında,

ˆtY

ˆt t te Y Y= −

2ˆ( )t tY Y−

80.94545 0.554545 0.307521

80.29091 -0.99091 0.981901

79.63636 0.563636 0.317686

78.98182 -0.08182 0.006694

78.32727 -0.72727 0.528926

77.67273 -0.47273 0.223471

77.01818 1.381818 1.909421

76.36364 0.536364 0.287686

75.70909 -0.30909 0.095537

75.05455 -0.35455 0.125702

74.4 -0.1 0.01

ˆtY∑

=854.4 te∑ =0

2te∑

=4.794

olduğu görülür. Burada hesaplanan kalıntı kareler toplamı aynı fonksiyon tipinde alternatif

modeller arasında tercih yapmakta kullanılmaktadır. Alternatif modeller arasından kalıntı

68

kareler toplamı en küçük olan modelin seçimi esastır. Ancak burada henüz yalnızca doğrusal

denklem çözüldüğünden, böyle bir kıyaslama yapılamaz.

Trend denklemini ikinci yolla orijin değiştirerek tekrar tahmin edelim. T=11 yıl ile tek

sayılı gözlemlerden oluşan bir seri incelendiğinden, serinin ortası olan 6. yıla sıfır değeri

verilerek, yıllarT∑ =0 olacak şekilde yeniden düzenlenir. Bu durumda orijin 30

Haziran 2006 tarihi olacaktır.

Yıllar (T) İhracat

(Mil.$) T T2 TYt

2001 81.5 -5 25 -407.5

2002 79.3 -4 16 -317.2

2003 80.2 -3 9 -240.6

2004 78.9 -2 4 -157.8

2005 77.6 -1 1 -77.6

2006 77.2 0 0 0

2007 78.4 1 1 78.4

2008 76.9 2 4 153.8

2009 75.4 3 9 226.2

2010 74.7 4 16 298.8

2011 74.3 5 25 371.5

tY∑=854.4

T∑=0

2T∑=110

tTY∑ =

−72

Böylece tahmin edilen trend denklemi:

tY =77.672−0.654T şeklinde olup, gelecek iki yıla ait tahmini değerler de,

2012Y =77.672 −0.654(6)= 73.748 bin ton

69

2013Y =77.672 −0.654(7)= 73.094 bin ton olarak tahmin

edilir. İhracat serisinin 2001-2011 döneminde ortalama azalma hızı ise,

100βα

×0.654

10077.672

−= × = −0.842

olarak bulunur.

Bu denklemde de tahmini değerler kalıntılar ve kalıntı kareler toplamı yine birinci yolda

hesaplandığı gibi olacaktır.

tY ˆ

t t te Y Y= − 2ˆ( )t tY Y−

80.94545 0.554545 0.307521

80.29091 -0.99091 0.981901

79.63636 0.563636 0.317686

78.98182 -0.08182 0.006694

78.32727 -0.72727 0.528926

77.67273 -0.47273 0.223471

77.01818 1.381818 1.909421

76.36364 0.536364 0.287686

75.70909 -0.30909 0.095537

75.05455 -0.35455 0.125702

74.4 -0.1 0.01

ˆtY∑

=854.4 te∑ =0

2te∑

=4.794

Örnek: Çift Sayılı Gözlem Değerlerine Sahip Zaman Serisi Uygulaması

Aşağıda verilen bir firmanın 10 yıllık üretimine ait seriyi kullanarak trend denklemini

tahmin ediniz ve 2012, 2013 ve 2014 yıllarına ait tahmini üretimi bulunuz.

Yıllar 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Üretim

(bin ton) 35 38 39 37 39 40 42 44 43 45

70

Burada inceleme dönemi T=10 ile çift sayılı gözlemlerden oluşmaktadır. Çözüm için ilk

olarak başlangıç yılı olan 2002 yılına 0 değeri vererek klasik en küçük kareler yöntemini

uygulayalım. Bu düzenlemede orijin 30 Haziran 2002 olur.

Yıllar(T) Üretim

(bin ton) T T2 TYt

2002 35 0 0 0

2003 38 1 1 38

2004 39 2 4 78

2005 37 3 9 111

2006 39 4 16 156

2007 40 5 25 200

2008 42 6 36 252

2009 44 7 49 308

2010 43 8 64 344

2011 45 9 81 405

tY∑=402

T∑=45

2T∑=285

tTY∑=1892

tY t Tα β= +∑ ∑ ⇒402=10α +45β

2tTY T Tα β= +∑ ∑ ∑ ⇒1892=45α +285β

denklemlerinin çözümünden α =35.672 ve β =1.006 olarak tahmin edilir. Böylece trend

denklemi

tY =35.672+1.006T

71

tY

ˆt t te Y Y= −

2ˆ( )t tY Y−

35.67273 -0.67273 0.452562

36.67879 1.321212 1.745601

37.68485 1.315152 1.729624

38.69091 -1.69091 2.859174

39.69697 -0.69697 0.485767

40.70303 -0.70303 0.494252

41.70909 0.290909 0.084628

42.71515 1.284848 1.650836

43.72121 -0.72121 0.520147

44.72727 0.272727 0.07438

tY∑ =402 te∑ =0

2te∑

=10.09696

olarak tahmin edilir. Üretim başlangıçta 35.672 bin ton iken, her yıl ortalama 1.006 bin ton

artmıştır. Tahmin edilen trend denklemini öngörü amaçlı kullanabiliriz. Buna göre söz konusu

72

firmanın 2012, 2013 ve 2014 yıllarına ait üretim rakamlarını tahmin etmek için 2012 yılına 10,

2013 yılına 11 ve 2014 yılına 12 değeri verilmelidir. Böylece üretim,

tY =35.672+1.006T

2012Y =35.672+1.006(10)= 45.732 bin ton

2013Y =35.672+1.006(11)= 46.738 bin ton

2014Y =35.672+1.006(12)= 47.774 bin ton

şeklinde tahmin edilir.

Şimdide orijin kaydırarak veri kümesinin ortasındaki değere sıfır verelim. Zaman serisi

çift sayılı gözlemlerden oluştuğu için 2006-2007 yıllarının ortasına sıfır değeri verilmelidir. Bu

durumda iki yılın ortası alındığından aslında altı aylık gelişim ölçülür. Böylece başlangıç yılına

sıfır verildiğinde orijin o yılın tam ortası olan 30 Haziran tarihine denk gelirken, orijin

kaydırıldığında ortadaki yıllarının ortası 31 Aralık tarihi veya 1 Ocak tarihi olacaktır.

73

Yıllar(T)

T : Orijin:

30.06.2002

T: Orijin

31.12.2006

2002 0 -4.5

2003 1 -3.5

2004 2 -2.5

2005 3 -1.5

2006 4 -0.5

0

2007 5 0.5

2008 6 1.5

2009 7 2.5

2010 8 3.5

2011 9 4.5

T∑ =45 T∑ =0

Bu durumda orijin kaydırılarak elde edilen yeni T serisi ile çözümümüz

74

Yıllar(T) Üretim

Bin ton T T2 TYt

2002 35 -4.5 20.25 -157.5

2003 38 -3.5 12.25 -133

2004 39 -2.5 6.25 -97.5

2005 37 -1.5 2.25 -55.5

2006 39 -0.5 0.25 -19.5

0

2007 40 0.5 0.25 20

2008 42 1.5 2.25 63

2009 44 2.5 6.25 110

2010 43 3.5 12.25 150.5

2011 45 4.5 20.25 202.5

tY∑

=402

T∑=0 82.5 83

tY tα=∑ ⇒402=10α

2tTY Tβ=∑ ∑ ⇒83=82.5 β

olacak, böylece α =40.2 ve β =1.006, dolayısıyla trend denklemi

tY = 40.2+1.006T

75

ˆtY

ˆt t te Y Y= −

2ˆ( )t tY Y−

35.6727 -0.67273 0.452562

36.6788 1.321212 1.745601

37.6848 1.315152 1.729624

38.6909 -1.69091 2.859174

39.697 -0.69697 0.485767

40.703 -0.70303 0.494252

41.7091 0.290909 0.084628

42.7152 1.284848 1.650836

43.7212 -0.72121 0.520147

44.7273 0.272727 0.07438

tY∑=402 te∑ =0

2te∑

=10.09696

olur. Buradan da görüleceği gibi bu yöntemle trend denkleminin yalnızca başlangıç değerini

gösteren α sabit terimi değişmiştir. Orijin kaydırıldığından bu durum aslında beklenen bir

durumdur. β eğim parametresi ise yine aynı şekilde tahmin edilmiştir. Buna göre üretim

serisinin 2002-2011 döneminde ortalama artış hızı ise,

100βα

×1.006

100 2.540.2

= × =

olarak bulunur.

Şimdi de bu yöntemle tahmin edilen trend denklemini öngörü amacıyla kullanalım ve

2012, 2013 ve 2014 yıllarına ait üretim rakamlarını tahmin edelim. Bu yöntemde 2012, 2013

ve 2014 yıllarına sırasıyla 5.5, 6.5 ve 7.5 değerleri verilecektir.

2012Y =40.2+1.006(5.5)= 45.732 bin ton

2013Y =40.2+1.006(6.5)= 46.738 bin ton

2014Y =40.2+1.006(7.5)= 47.774 bin ton

76

olarak ilk yöntemde olduğu gibi tahmin edilir.

Ancak yukarıdaki örneklerdeki serilerin grafikleri incelendiğinde de görüldüğü gibi

ekonomik zaman serilerindeki dalgalanmaların doğrusal modellerle tahmin her zaman uygun

olmayabilir. Bu nedenle uygun fonksiyon tipinin belirlenebilmesi için alternatif modeller

denenmelidir. Bu amaçla kurulan modeller doğrusal olmayan model kalıbında olacaktır.

77

Uygulamalar

78

Uygulama Soruları

79


80

Bölüm Soruları

Aşağıda aylık olarak verilen ekonomik zaman serilerinin trendlerini ayrı ayrı

1) En küçük kareler yönttemi ile belirleyiniz.

2) Tahmin ettiğiniz eğim parametrelerinin istatistiksel anlamlılığını % 5 anlam

düzeyinde sınayınız.

3) Ekonomik seri ile zaman arasındaki korelasyonu hesaplayarak, anlamlılığını % 5

anlam düzeyinde test ediniz.

4) Y serisi için ve X serisi için uygun olan orijin kaydırma yöntemleri ile trend

doğrularını yeniden tahmin ediniz.

5) Orijin kaydırma yöntemi ile yaptığınız tahminleri yorumlayarak, serilerin ortalama

değişme hızlarını hesaplayınız.

6) Y serisi için ve X serisi için kalıntı kareler toplamını

a. En küçük kareler yöntemi ile

b. Orijin kaydırma yöntemi ile ayrı ayrı bulunuz.

7) Y serisi için Aralık- Ocak ve Şubat ayları için öngörüde bulununuz.

8) X serisi için Ocak –Şubat ve Mart ayları için öngörüde bulununuz.

9) Y serisi için orijin kaydoroldığında, yeni orijin tarihi ne olmuştur?

10) X serisi için orijin kaydırıldığında yeni orijin tarihi ne olmuştur?

Aylar Y Aylar X

Ocak 2 Ocak 34

Şubat 5 Şubat 32

Mart 8 Mart 35

Nisan 7 Nisan 33

Mayıs 9 Mayıs 32

Haziran 10 Haziran 30

Temmuz 12 Temmuz 31

Ağustos 11 Ağustos 29

Eylül 14 Eylül 26

Ekim 15 Ekim 27

Kasım 17 Kasım 25

Aralık 23

81

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

82

4. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-II

83


4.1.

4.2.

4.3.

84


85



86

Anahtar Kavramlar

87

Giriş

Bu hafta trendin belirlenmesinde kullanılan özünde doğrusal olan modeller

açıklanacaktır. Özünde doğrusal olan modeller başlıca iki gruba ayrılmaktadır. Bunlardan ilki

polinominal modeller, ikincisi ise üssel modellerdir. Polinominal modellerden özellikle ikinci

ve üçüncü dereceden modeller trendi belirlemekte kullanılır. Burada da ikinci ve üçüncü

dereceden modellerin trend tahminindeki kullanımı açnlatılacaktır. Ayrıca üssel modeller ve

doğrusallaştırılma yöntemleri açıklanacaktır. Modellerle ilgili örnekler çözülecektir.

88

1.5.3.2. Doğrusal Olmayan Trend Modelleri

Regresyon modellerinde doğrusallık, değişkenler itibariyle doğrusallık ve parametreler

itibariyle doğrusallık olmak üzere ikiye ayrılır. Regresyon modellerinin değişkenleri itibariyle

doğrusallıktan uzaklaşması durumunda, değişken dönüşümü yapılarak doğrusallık

sağlanacağından, Bu modeller özünde doğrusal modeller olarak anılır. Genellikle aynı bir

değişkenin farklı kuvvetlerinin bağımsız değişken olarak kullanıldığı polinominal modeller ve

logaritmik dönüşümle doğrusallaştırılabilen kimi üssel modeller özünde doğrusal olan modeller

kapsamındadır. Ancak parametreleri itibariyle doğrusallıktan uzaklaşan modeller değişkenleri

itibariyle doğrusallaşsalar bile, parametrelerin doğrusal tahmini elde edilemediğinden özünde

doğrusal olmayan modeller olarak karşımıza çıkar. Bu bölümde önce özünde doğrusal olan

modeller ve ardından özünde doğrusal olmayan modeller ele alınacaktır.

1.5.3.2.1. Özünde Doğrusal Olan Trend Modelleri

Başta polinomlar ve üssel modeller olmak üzere değişkenleri itibariyle doğrusallıktan

uzaklaşan modeller değişkenlere uygulanan dönüşüm ile doğrusal hale getirilebilir. Bu tip

modellerin tahmini ve parametrelerinin yorumu da en küçük kareler yöntemi ile başarılı bir

şekilde gerçekleştirilebilir. Ancak özellikle polinominal modellerin öngörü amaçlı

kullanımında dikkatli olunmalıdır.

1.5.3.2.1.1. Polinominal Trend Modelleri

Ekonomik zaman serisi trendin k. dereceden polinomu ile,

2 31 2 3 ...t tY T T Tα β β β ε= + + + + +

şeklinde açıklanırsa, bu modelde değişkenler T zaman değişkeninin karesi, küpü ve daha üst

derecelerden kuvvetleri şeklinde olduğundan, bu kuvvetlerin her birini farklı bir bağımsız

değişken gibi düşünebileceğimiz

T=X1, T2=X2, T3=X3,…

biçiminde bir değişken dönüşümü uygularsak, söz konusu model çok değişkenli doğrusal

regresyon modelleri gibi çözülebilir. Bu modellerin tahmininde karşılaşılabilecek sorun

bağımsız değişkenler arasındaki güçlü ilişki dolayısıyla ortaya çıkabilecek çoklu doğrusal

bağlantı sorunudur. Böyle bir durumda tahmin edilen parametrelerin standart hatasının yüksek

çıkacağı unutulmamalıdır. Bu nedenle polinominal modellerin öngörü amaçlı kullanımı

sakıncalı olabilir. Bu tip modellerin en basiti kuadratik (ikinci dereceden) trend modelidir.

89

1.5.3.2.1.1.1. Kuadratik Trend Modeli

Ekonomik zaman serilerinin zamana bağlı olarak ikinci dereceden bir eğri ile değiştiği

ve Grafik 7’de görüldüğü gibi bir maksimumu veya bir minimumu olan

Grafik 7: Kuadratik Trend

şeklindeki ilişkileri açıklamakta kullanılan model

21 2t tY T Tα β β ε= + + +

veya T=X1, T2=X2 dönüşümü ile,

1 1 2 2t tY X Xα β β ε= + + +

şeklinde ikinci dereceden veya kuadratik trend modeli olarak adlandırılan modeldir. İkinci

dereceden modeller 2β >0 ise bir maksimuma veya 2β <0 ise bir minimuma sahip olurlar. Bu

modellerin birinci türevinin sıfıra eşitlendiği nokta maksimum veya minimum noktasını verir.

Ekonomik zaman serisinin ikinci dereceden farkları sabit bir yüzde ile değişiyorsa, kuadratik

trend fonksiyonu uygundur. Model

( )2 2

2 21 2

1 1 1

ˆ ( ) minT T T

t t t tt t t

e Y Y Y T Tα β β= = =

= − = − + + → ∑ ∑ ∑

olacak şekilde kalıntı kareler toplamını minimize etmek üzere, sırasıylaα , 1β ve 2β ’e göre

kısmi türevlerin alınarak sıfıra eşitlenmesi ile elde edilen

Yt

T(zaman)

90

2

1 2tY t T Tα β β= + +∑ ∑ ∑

2 31 2tTY T T Tα β β= + +∑ ∑ ∑ ∑

22 3 41 2tT Y T T Tα β β= + +∑ ∑ ∑ ∑

normal denklemler yardımıyla çözülür. Burada α , 1β ve 2β parametrelerini tahmin edebilmek

için üç bilinmeyenli üç denklem çözmek gerekir. Bunun yerine doğrusal trend modellerine

uygulanan T∑ =0 olacak şekilde orijin kaydırma yöntemi bu modele de uygulandığında,

T∑ ve aynı zamanda 3

T∑ =0 olacağından, normal denklemler;

2

2tY t Tα β= +∑ ∑

21tTY Tβ=∑ ∑

22 42tT Y T Tα β= +∑ ∑ ∑

şekline dönüşür. Burada dikkat edilirse ikinci denklemden trend denkleminin eğimini gösteren

1β parametresi;

1 2

tTY

Tβ = ∑

∑

şeklinde tahmin edilirken, diğer iki denklemden α ve 2β parametreleri tahmin edilir. α ,

başlangıç yılında ekonomik zaman serisinin Y eksenini kestiği noktayı gösterir. 2β parametresi

ise eğimdeki değişimi gösterir.

Grafik 8: Çeşitli Kuadratik Modeller

1β >0 ve 2β >0 ise Yt serisi artarak artar.

91

1β >0 ve 2β <0 ise Yt serisi azalarak artar.

1β <0 ve 2β <0 ise Yt serisi artarak azalır.

1β <0 ve 2β >0 ise Yt serisi azalarak azalır.

Yt

T(zaman)

Yt

T(zaman)

Yt

T(zaman)

92

Bu grafiklerden görüldüğü gibi üssel modellerle kuadratik modeller birbirine oldukça

benzemektedir. Üssel modellerle kuadratik modellerin en önemli farklılığı üssel modellerin

sürekli artış veya azalışa, kuadratik modellerin ise bir maksimum veya minimuma sahip

olmasıdır.

Örnek: Bir firmanın 11 yıllık toplam maliyetleri aşağıdaki gibidir. Bu model için uygun

trend fonksiyonunu hesaplayınız.

Yıllar (T) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Toplam

Maliyet

(Mil. TL) 55.5 54.6 55 54.1 52.8 51.3 51.9 50.3 49.6 52.5 52.8

Söz konusu serinin öncelikle grafiğinin çizilmesi gerekmektedir. Grafik incelendiğinde;

Yt

T(zaman) kuadratik model

93

toplam maliyet serisi için bir minimum noktası olan ikinci dereceden bir fonksiyonun uygun

bir model olacağı düşünülerek, 21 2t tY T Tα β β ε= + + + şeklindeki kuadratik model orijin

kaydırma yolu ile 2005 yılına sıfır değeri atanarak çözülmüştür. Böylece 30 Haziran 2005 yılı

orijin olarak alınmıştır. Model

Y = 51.82−0.423T+0.094T2

şeklinde tahmin edilmiştir. Burada 1β <0 ve 2β >0 olduğundan firmanın toplam maliyet serisi

azalarak azalır. Veri kümesine ait grafik incelendiğinde bu bulgunun gerçekçi olduğu

görülmektedir. Ancak grafikten de görüldüğü gibi tahmin edilen maliyet fonksiyonu özellikle

son dönemde gerçek maliyetlerin altında kalmıştır. Bu nedenle model öngörü amaçlı

kullanılmak istendiğinde başarılı tahmin yapılamayacağı söylenebilir.

94

Bu tahmin 2011Y =51.82−0.423(6)+0.094(62)=52.666 şeklinde

yapılır.

1.5.3.2.1.1.2. Kübik Trend Modelleri

Kübik model;

2 31 2 3t tY T T Tα β β β ε= + + + +

şeklindeki üçüncü dereceden bir polinomdur. Bu modelin parametreleri de diğer trend

modelleri gibi en küçük kareler yöntemi ile yapılabilir. Kübik model ekonomide pek çok

uygulama alanı bulsa da, bu modelle yapılan öngörüler çok başarılı değildir.

49

50

51

52

53

54

55

56

57

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

MALIYET tahmaliyet

95

Grafik 9: Kübik Trend

Matematiksel olarak daha yüksek derecelerden polinominal modeller kurmak

mümkündür. Ancak bu modelleri iktisaden de geçerli olması gerekmektedir. Bu nedenle

ekonomik değişkenlerin trendi belirlenirken, genellikle üçüncü derecenin üstünde modeller

kurulmaz.

1.5.3.2.1.2. Üssel Modeller

Üssel büyüme modelleri zamana bağlı olarak azalarak artan ancak bir dönüm noktası

olmayan modellerdir. Genellikle piyasaya yeni sürülen bir ürünün ömrü gibi tanıtım, büyüme

ve doyum aşamalarına sahip olan ekonomik değişkenlerin modellenmesinde kullanılan üssel

büyüme modeli, firmaların, sektörlerin, ürünlerin yanı sıra demografide nüfusun büyümesi

yaşam süresi hesaplarında kullanılmaktadır.

Üssel büyüme modeli

tTtY e eεβα=

şeklindeyse büyüme hızı sabit hızla artan veya azalan modeller söz konusudur. Burada α , T=0

iken başlangıç değeri e doğal logaritma tabanı, eβ ; Yt serisinin beklenen büyüme oranı, β

sabit geometrik büyüme hızıdır. Yıllık veri kullanıldığında, β ×100 bileşik yıllık büyüme

hızıdır. Bu model

0 (1 )ttY Y r= +

şeklindeki kesikli veriye uygulanan bileşik faiz formülünün sürekli veriye uygulaması olarak

yorumlanabilir. Kesikli veri için bileşik faiz formülü 10 tabanına göre logaritma alınarak

dönüştürülürken, sürekli veri için uygulanan büyüme modelleri e doğal logaritma tabanına göre

Yt

T(zaman)

96

logaritması alınarak dönüştürülmelidir. Hem kesikli hem sürekli büyüme modellerinin

geometrik değişim gösteren dizilere uygulandığı unutulmamalıdır.

Üssel büyüme modeli parametreleri itibariyle doğrusallıktan uzaklaşan bir fonksiyon

olmasına rağmen,

tTtY e eεβα=

denklemin her iki tarafının doğal logaritması alındığında,

ln ln ln lnt tY T e eα β ε= + + lne=1 olduğundan,

ln lnt tY Tα β ε= + +

şeklinde doğrusallaştırılabilir. Bu doğrusallaştırmanın yapılabilmesi için modelin hata

teriminin toplamsal olarak değil, çarpımsal olarak tanımlanması gerekmektedir. Modelin

tahmini hata teriminin kareleri toplamını

( ) [ ]2 2

2

1 1 1

ˆln ln ln (ln ) minT T T

t t t tt t t

Y Y Y Tε α β= = =

= − = − + →∑ ∑ ∑

minimize edecek şekilde yapılır. Buna göre normal denklemler;

ln lntY t Tα β= +∑ ∑

2ln lntT Y T Tα β= +∑ ∑ ∑

şeklinde olur. 0T =∑ olacak şekilde tahmin yapıldığında ise,

lnln tY

tα = ∑

ve 2

ln tT Y

Tβ = ∑

∑ olur.

Burada e tabanına göre antilog α inceleme döneminde ilgili ekonomik zaman serisinin

ortalama düzeyini gösterirken, β yine sabit büyüme hızıdır.

Örnek: Türk Ekonomisinin gayri safi yurt içi hâsılası (GSYİH) üretim yöntemi ve sabit

1998 alıcı fiyatları ile (Kaynak: www.tuik.gov.tr ) aşağıdaki gibi derlenmiştir. GSYİH için üssel

trend modelini tahmin ederek, parametrelerini yorumlayınız.

97

Yıllar

GSYİH

(milyonTL)

1998 70.203

1999 67.841

2000 72.436

2001 68.309

2002 72.52

2003 76.338

2004 83.486

2005 90.5

2006 96.738

2007 101.255

2008 101.922

2009 97.003

2010 105.886

2011 114.874

0T =∑ olacak şekilde 31 aralık 2004 tarihi orijin olarak alınıp üssel trend

modelinin parametrelerinin tahmin edilmesi için;

Yıllar

GSYİH

(milyonTL) LnGSYİH T

1998 70.203 4.251391 -6.5

1999 67.841 4.217167 -5.5

2000 72.436 4.282703 -4.5

2001 68.309 4.224042 -3.5

2002 72.52 4.283862 -2.5

2003 76.338 4.335171 -1.5

2004 83.486 4.424679 -0.5

2005 90.5 4.50535 0.5

2006 96.738 4.572006 1.5

2007 101.255 4.617642 2.5

2008 101.922 4.624208 3.5

2009 97.003 4.574742 4.5

2010 105.886 4.662363 5.5

2011 114.874 4.743836 6.5

98

Ln GSYİH = 4.451+0.0421T

şeklinde tahmin edilir. Burada lnα = 4.451 değeri antilogaritması alındığında, 0T =∑ olacak

şekilde orijin kaydırıldığından GSYİH serisinin ortalama değerini verecektir. Buna göre

GSYİH inceleme döneminde α =85.7126 milyon TL ortalamaya sahiptir. β =0.0421 ise

GSYİH serisinin inceleme döneminde yıllık ortalama büyüme hızının % 4.21 oluğunu

göstermektedir. Buna göre GSYİH serisi için büyüme modeli;

GSYİH= 85.71260.0421Te şeklindedir.

Logaritmik doğrusal modellerde β >0 ise, sabit büyüme hızı, β <0 ise sabit küçülme

hızı söz konusudur. Model sabit elastikiyet modeli olarak da bilinir.

Üssel model,

TtY e β−=

şeklindeyse

ln tY Tβ= −

biçiminde doğrusallaştırılabilir. Model negatif üslü modeldir. Özellikle nüfus hareketlerinde

insan yaşı ile ilgili olarak kullanılır.

Yukarıdaki gibi üssel büyüme modellerine doğrusallaştırmak amacıyla yapılan

dönüşümler tam logaritmik olduğu gibi yarı logaritmik dönüşümler de olabilir.

Yt

T(zaman)

99

Uygulamalar

100

Uygulama Soruları

101


102

Bölüm Soruları

1)

Y 34 30 29 27 26.5 25 24 23 25 26 26.8 27 29

Serisinin grafiğini çizerek, kuadratik trend modelini tahmin ediniz ve parametrelerini

yorumlayınız.

2)

X 34 30 29 27 26.5 25 24 24.5 25 26 26.8 24 23

Serisinin grafiğini çizerek, kübik trend modelini tahmin ediniz ve parametrelerini

yorumlayınız.

3)

Z 4 8 20 32 44 56 67 78 85 96 100 112 132

Serisi için üssel büyüme modelini tahmin ediniz ve parametrelerini yorumlayınız.

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

103

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

104

5. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-III

105


5.1.

5.2.

5.3.

106


107



108

Anahtar Kavramlar

109

Giriş

Bu hafta trendin belirlenmesinde kullanılan özünde doğrusal olmayan modeller

açıklanacaktır. Özünde doğrusal olmayan modellerden Lojistik model ve bu modelin nüfustaki

büyümeyi tahmin amacıyla kullanılan Pearl-Reed eğrisi ile Gompertz modeli hakkında bilgi

verilecektir. Özünde doğrusal olmayan modeller S eğrileri olarak anılmaktadır. Burada da S

eğrilerinin tahmin yöntemi açıklanacaktır. Ayrıca yıllık değerlerin aylıkların ortalaması olması

halinde ve yıllık değerlerin aylıkların toplamı olması halinde yıllık trend denkleminin aylık

değerlere dönüştürülmesi anlatılacaktır.

110

1.5.3.2.2. Özünde Doğrusal Olmayan Trend Modelleri

Özünde doğrusal olmayan modeller parametreleri ve değişkenleri itibariyle doğrusal

olmayan ve doğrusallaştırılamayan modellerdir. Bu tip fonksiyonlar doğal logaritma tabanına

göre logaritması alınarak tahmin edilmektedir. Fonksiyonların grafikleri S harfi biçiminde

olduğundan S eğrileri olarak bilinen bu modeller, ilgilenilen değişkenin büyümesini gösteren

eğrilerdir. Bu nedenle büyüme eğrileri serilerin 25-35 yılı kapsayan uzun dönemlerde

incelenmesini gerektiren büyüme eğrileri nüfus hareketlerini ve teknolojik gelişmelere bağlı

olarak ürün yaşam seyrini ölçmekte kullanılmaktadır. Özünde doğrusal olmayan modellerden

bazıları:

• Lojistik Eğri

• Gompertz Eğrisi’ dir.

1.5.3.2.2.1. Lojistik Eğri

İncelenen ekonomik zaman serisinde önce hızlı bir büyüme ve ardından daha yavaş bir

büyüme görülüyorsa, lojistik eğri ile modellenmesi uygun olacaktır.

Lojistik eğri;

1

01t TY

e β

αβ −=

+

şeklinde incelenen Yt serisinin zamanla ters yönlü ilişkide olduğu eğrilerdir. Burada α >0, 0β

>0, 1β >0 olmaktadır. Serinin büyümesi α doyum noktasına ulaşıncaya dek hızlı bir şekilde

seyrederken, bu noktadan sonra yavaşlamaktadır. Bu nedenle α parametresine tavan değeri adı

verilmektedir. Eğrinin yavaşlaması 0β ve 1β parametrelerinin değerine bağlıdır. 1β büyüme

hızının oransal etmenidir. Tek bir dönüm noktasına sahip olan lojistik eğri çeşitli fonksiyonel

biçimlerde olabilir. Örneğin:

0 11 tt TY

eβ β ε

α+ +=

+

şeklinde tanımlanmışsa, her iki tarafın logaritması alınarak;

111

0 1ln 1 t

t

TY

αβ β ε

− = + +

şeklinde dönüştürülebilir. Burada 1β , Yt ekonomik zaman serisinin sabit artış oranını

göstermektedir.

Lojistik eğri 1920’lerde Pearl-Reed tarafından ABD’de nüfus artış hızını hesaplamakta

kullanıldığından, Pearl-Reed fonksiyonu olarak da adlandırılmaktadır. Pearl-Reed büyüme

eğrisi nüfusu öngörmek amacıyla:

1

t TY

A BC=

+

biçimindeki fonksiyonu kullanır. Bu fonksiyon

1 T

t

A BCY

= +

olarak da yazılabilir. Burada alt dönemler itibariyle nüfustaki büyüme;

2 11

1

1T

Y YA Y

T C

− = − − ( )

3 22

( 1)

1T

Y Y CB

C

− −=

−

3 2

2 1

T Y YC

Y Y

−=

−

değerleri yardımıyla bulunur. Burada Y1, Y2, Y3 incelenen zaman serisinin alt dönemleridir. T

ise her dönemin kaçar yıl olduğunu göstermektedir.

1.5.3.2.2.2. Gompertz Eğrisi

İlk olarak Gompertz tarafından ölüm oranlarını hesaplamak amacıyla kullanılan ve bu

nedenle Gompertz Eğrisi olarak anılan eğriler logaritmik büyümedeki sabit oranlı artışları

göstermektedir. Buna göre ilgili zaman serisi Yt;

10

T

tY eββα

−−= veya

10

TetY e

ββ −−=

veya başka fonksiyonel şekillerde ifade edilir. Bu modellerde α >0, 0β >0, 1β >0 olan sabit

parametrelerdir. Eğri,

1

0T

tY βαβ=

112

biçiminde ise

1 0ln ln lntY Tα β β= +

olarak dönüştürülebilir.

S eğrileri matematiksel olarak çok sayıda fonksiyonla temsil edilebilirler. Genel olarak,

T

tY eβ

α − =

şeklinde olan S eğrileri her iki tarafın da logaritması alınarak,

ln tYT

βα= −

olur. Bu denklemin en küçük kareler tahmincileri

2

1ln

ln 1 1

t

t

Y tT

Y

T T T

α β

α β

= +

= +

∑ ∑

∑ ∑ ∑

normal denklemlerinden bulunur.

Örnek: Bir firmanın piyasaya sürdüğü bir ürünün 12 yıllık satış rakamları milyon TL

olarak aşağıdaki gibidir. Buna göre büyüme fonksiyonunu tahmin ediniz.

T 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Yt 2.34 2.56 2.78 3.02 3.45 3.73 3.98 4.12 4.25 4.34 4.42 4.48

Burada ilk dikkat edeceğimiz nokta, T zaman değişkeninin tersi alınacağı için

işlemin tanımlı olmasını sağlamak amacıyla, 2000 yılına 1 değeri atayarak zamanı sıralamak

olmalıdır. Bu tür fonksiyonların çözümünde orijin kaydırması yapmak (1/T ) değişkenini

tanımsız hale getireceği için sakıncalıdır. Buna göre:

T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Yt 2.34 2.56 2.78 3.02 3.45 3.73 3.98 4.12 4.25 4.34 4.42 4.48

değerleri ile fonksiyon,

113

T Y(satışlar) T Ln Yt 1/T lnYt/T (1/T)2

2000 2.34 1 0.850151 1 0.850151 1

2001 2.56 2 0.940007 0.5 1.880015 0.25

2002 2.78 3 1.022451 0.333333 3.067353 0.111111

2003 3.02 4 1.105257 0.25 4.421027 0.0625

2004 3.45 5 1.238374 0.2 6.191871 0.04

2005 3.73 6 1.316408 0.166667 7.898449 0.027778

2006 3.98 7 1.381282 0.142857 9.668973 0.020408

2007 4.12 8 1.415853 0.125 11.32683 0.015625

2008 4.25 9 1.446919 0.111111 13.02227 0.012346

2009 4.34 10 1.467874 0.1 14.67874 0.01

2010 4.42 11 1.48614 0.090909 16.34754 0.008264

2011 4.48 12 1.499623 0.083333 17.99548 0.006944

toplamlar 15.17034 3.103211 107.3487 1.564977

işlemleri gerçekleştirilerek, yukarıdaki normal denklemler yardımıyla,

ˆln tY =1.4598−0.7564 (1/T)

şeklinde tahmin edilmiştir. Buradan ˆtY tahmini,

1.4598 0.7564(1/ )ˆ TtY e −=

olur. T zaman değişkenine 2012 yılının değeri atanarak satışların 2012 yılına ait öngörüsü;

1.4598 0.7564(1/13) 1.4016ˆ 4.0616tY e e−= = = milyon TL

olarak yapılabilir.

1.6. Yıllık Trend Denkleminin Aylık Değerlere Dönüştürülmesi

Ekonomik zaman serilerinin trendi genellikle yıllık veri kullanılarak hesaplanır. Ancak

aylık veya üç aylık olarak derlenen verilere de trend analizi yapmak mümkündür. Bu durumda

10-15 yıllık dönemi kapsayacak aylık veya üç aylık veriye ihtiyaç vardır. Trend tahmininde

yıllık veri kullanılmışsa, aylık değerleri bulmak da mümkündür. Bu durumda yıllık verilerin

nasıl derlendiği önem kazanmaktadır. Yıllık veriler ya aylık gözlemlerin ortalaması olarak

veya, aylık gözlemlerin toplamı olarak elde edilebilir. Yıllık trend denkleminden aylık trend

değerlerini bulmak için:

114

• Yıllık veriler aylık gözlemlerin ortalaması olarak hesaplanmışsa;

Bu durumda 12×yıl sayısı kadar gözlem değerine sahip olunur. t tY Tα β ε= + +

şeklindeki doğrusal trend denkleminde β parametresi incelenen zaman serisi tek sayılı

gözlemlerden oluşuyorsa, bir yıllık değişmeyi gösterdiğine göre, aylık değişme 12β olarak

hesaplanacaktır. Buna göre aylık trend denklemi; inceleme dönemini T ay cinsinden

gösterirken,

12tY T

βα= +

şeklinde olur. Yıllık verilerin aylık değerlerin ortalaması olarak kullanıldığı ekonomik zaman

serileri fiyat endeksleri, ürün fiyatları, bölgelere düşen yağış miktarı, sıcaklık dereceleri gibi

serilerdir.

Örnek: Aylık değerlerin ortalamasından oluşan Yt serisi bir malın fiyatını

göstermektedir.

T 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Yt 27 32 35 31 33 36 38 40 37 39 43

şeklinde 11 yıllık dönemde yıllık trend denklemi 30 Haziran 2006 tarihine sıfır değeri atanarak,

orijin kaydırma yöntemi ile,

tY =35.545+1.245T

olarak tahmin edilmiştir. Burada 391

35.54511

tY

tα = = =∑

olduğu bilinmektedir. Bu

denklem

12tY T

βα= +

biçiminde aylık trend denklemine dönüştürülürse; 1.245

0.10378812 12

β= = aylık

değişim bulunur. Aylık değerlerin ortalaması alındığına göre, her ay 15. günü ile temsil

edilecektir. Bu nedenle 30 Haziran 2006 tarihli orijin değerinin 15 Haziran 2006 tarihine

115

çekilmesi gerekecektir. Eğim parametresinin 15 günlük değişimi ise 0.103788/2=0.051894

olacaktır. Buna göre 15 Haziran 2006 tarihinde trend değeri 35.545−0.051894=35.49311 ve

aynı şekilde 15 Temmuz 2006 tarihinde trend değeri 35.545+0.051894=35.59689 olacaktır.

Benzer biçimde ilgili dönemdeki bütün aylara ait trend değerleri bulunabilir. Örneğin 15 Kasım

2011 tarihindeki trend değeri, bu tarihin orijinden uzaklığı gün, ay ve yıl olarak

hesaplandığında;

15. 11. 2011

30. 06. 2006

15 gün 04 ay 5 yıl olarak bulunur. Bu süre ay cinsinden (5×12=60 ay)+ 4ay+0.5 ay=64.5

ay olarak belirlenir. Bu durumda 15 Kasım 2011 tarihinin trend değeri

35.545 0.103788(64.5) 41.239312

tY Tβ

α= + = + =

olur. Burada inceleme dönemi tek sayılı gözlemlerden oluştuğundan T, zaman değişkeni

…,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,… şeklindedir. Dolayısıyla yıllık değişim bir birim olmaktadır. Oysa

inceleme döneminde zaman serisi çift sayılı gözlemlerden oluşuyorsa, T’ye atanan değerler

…,−2.5,−1.5,−0.5,0,+0.5,+1.5,+2.5,…şeklinde yıldan yıla iki birimlik değişmeyi gösterecektir.

Dolayısıyla yıllık değerler aylıklara dönüştürülürken, 12β yerine, 2

12 6β β= değeri

kullanılır.

Örnek: Bir ekonomik zaman serisi için aylık değerlerin ortalamalarından elde edilen

yıllık veri kullanılarak trend denklemi 2000-2013 döneminde;

tY =240−18T

tahmin edilmiştir. Buna göre Yt serisindeki aylık ortalama değişim ne kadardır?

2000-2013 yılları arasında 14 yıl olduğuna göre, ΣT=0 olması için orijin olarak 1 Ocak

2007 tarihi atanmalıdır. Böylece yıldan yıla iki birimlik değişme olacaktır. Yıllık değerler aylık

değerlere dönüştürülürken, 212 6

β β= değeri alınmalıdır. Buna göre aylık değişim oranı;

18 36 6β −= = − birim olacaktır.

Burada trend denklemi negatif eğimli olduğundan orijinden önceki tarihler,

orijinden sonraki tarihlerden daha yüksek değerde olacaktır.

116

• Yıllık veriler aylık gözlemlerin toplamı olarak hesaplanmışsa;

Aylık gözlemlerin toplamından oluşan seriler satışlar, üretim, ihracat, ithalat gibi

serilerdir. Aylık değerlerin toplamı olarak tahmin edilen yıllık trend denklemini aylığa

dönüştürmek için parametreler 12 aylık toplamlardan elde edildiğinden 12’ye bölmek gerekir.

Böylece:

tY Tα β= +

denkleminde α parametresi 12

αolarak dönüştürülürken, 12 aylık toplamın yıllık değişmesini

gösteren β parametresi önce 12’ye bölünerek yıllık toplam değerler aylık toplamlara ve daha

sonra tekrar 12’ye bölünerek yıllık değişmelerden aylık değişmelere 12 12 144

β β=

×biçiminde

dönüştürülür. Böylece aylık trend denklemi incelenen ekonomik seri tek sayılı gözlemlerden

oluşuyorsa,

12 144tY T

α β= +

biçimini alır. İncelenen ekonomik seri çift sayılı gözlemlerden oluşuyorsa, β iki birimlik

değişmeyi göstereceğinden,

2

12 12 12 12 72tY T T

α β α β= + = +

×

biçimini alır.

Örnek: Bir firmanın üretimden satışları 1000 TL cinsinden aşağıdaki gibidir.

T 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Y 125 146 158 162 179 190 185 205 220 210 235

2001-2011 döneminde 30 Haziran 2006 tarihi orijin olarak alındığında, yıllık trend

denklemi,

tY =183.1818+9.8545T

şeklinde tahmin edilmiştir. Burada

117

2015183.1818

11tY

tα = = =∑

olarak bulunmuştur. Firmanın yıllık satış rakamları aylık satışların toplamı olarak derlendiğine

göre aylık trend denklemini oluşturalım. Bunun için önce α parametresi 12’ye bölünerek

(183.1818/12=15.26515)aylık değer bulunur. Ardından β , 12×12’ye (9.8545/144=0.0684)

bölünmelidir. Böylece aylık trend denklemi;

tY =15.26515+0.0684T

olarak tahmin edilir. Buradan satışlar serisinin örneğin 15 Kasım 2012 tarihinin satış rakamı

15 11 2012

30 06 2006

15 gün 04 ay 6 yıl uzaklık için (6×12)+4+0.5=76.5 ay sonraki değer olacağından;

15 2012ˆ

kasımY =15.26515+0.0684(76.5)=20.49775

olacaktır.

Özetleyecek olursak;

118

Gözlem Sayısı

Tek ise; Çift İse;

Yıllık

Değerler Aylık

Değerlerin

Ortalamalarından

Oluşuyorsa; 12tY Tβ

α= + 6tY Tβ

α= +

Toplamlarından

Oluşuyorsa; 12 144tY T

α β= + 12 72tY T

α β= +

1.7. Mevsimsel ve Aylık Değerlerin Yıllık Verilere Dönüştürülmesi

Ekonomik zaman serileri yıllık değerlerden aylıklara dönüştürüldüğü gibi, mevsimsel

ve aylık değerler de gerektiğinde yıllık değerlere dönüştürülmelidir. Bu dönüştürme sırasında

da üç farklı yöntem uygulanmaktadır.

• Mevsimsel veya Aylık Değerlerin Toplamı Alınarak Yapılan Dönüştürme

Aylık değerlerin toplamından yola çıkılarak yıllık değerlerin bulunması genellikle gelir,

yatırım veya tüketim serilerine uygulanmaktadır. Örneğin aylık kazancı 1800 TL olan bir

ücretlinin yıllık kazancı 1800#12=21600 TL olarak hesaplanacaktır. Aynı şekilde bir ihracat

firması her mevsim 250 ton mal ihraç ediyorsa, yıllık ihracatı 250#4=1000 ton olacaktır.

• Mevsimsel veya Aylık Değerlerin Ortalaması Alınarak Yapılan Dönüştürme

Mevsim ve aylar itibariyle değişim gösteren serilerin yıllıklara dönüştürülmesinde

ortalamalar alınmaktadır. Örneğin bir inşaat firması her mevsimde farklı sayıda eleman

istihdam ediyorsa, yıllık ortalama çalışan sayısı alınmalıdır. Bu firma ilkbaharda 70, yazın 100

kişi sonbaharda 50 ve kışın 40 kişi çalıştırıyorsa, yıllık ortalama (70+100+50+40)/4=65 kişi

çalıştırmaktadır. Ortalama yöntemi istihdam edilen işçi sayısı ve borsa verileri gibi serilerin

yıllık değerlere dönüştürülmesinde kullanılmaktadır.

• Geometrik Ortalama Yöntemi;

Bu yöntem genellikle faiz oranı, işsizlik oranı, TÜFE, Sanayi Üretim endeksi gibi oran

şeklindeki verilerin dönüştürülmesinde kullanılmaktadır. Mevsimsel verilerin yıllıklara

dönüştürülmesinde;

119

41 2 3 4tY Y Y Y Y=

şeklindeki geometrik ortalama formülünden yararlanılır. Aynı şekilde aylıkların yıllığa

dönüştürülmesinde 12 ayın geometrik ortalaması alınacağından;

121 2 12...tY Y Y Y=

formülü kullanılmalıdır.

120

Uygulamalar

121

Uygulama Soruları

122


123

Bölüm Soruları

1)

X 34 30 29 27 26.5 25 24 24.5 25 26 26.8 24 23

Serisinin S eğrisine uyduğu varsayımı ile trend modelini tahmin ediniz ve

parametrelerini yorumlayınız.

2)

Z 10 15 20 32 44 56 67 78 85 96 100 112 132

Serisinde 1999-2011 döneminde yıllık değerlerin aylık değerlerin ortalamasından

hesaplandığı varsayımı ile veriye orijin kaydırma yöntemi uygulayarak 30 Haziran 2005 tarihini

orijin kabul ederek,

a. 15 Haziran 2005 tarihinin aylık değerini

b. 15 Kasım 2012 tarihinin değerini tahmin ediniz.

3)

Z 24 30 42 45 50 56 67 78 85 96 100 105 110

Serisinde 1999-2011 döneminde yıllık değerlerin aylık değerlerin toplamından

hesaplandığı varsayımı ile veriye orijin kaydırma yöntemi uygulayarak 30 Haziran 2005 tarihini

orijin kabul ederek,



4)

5)

6)

124

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

125

6. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-IV

126


6.1.

6.2.

6.3.

127


128



129

Anahtar Kavramlar

130

Giriş

Bu hafta trend denkleminin öngörüde kullanılması durumunda başvurulan kriterler

kısaca açıklanmıştır. Ayrıca Türkiye’nin mal ihracatı serisine uygun model seçimi yapılmaya

çalışılmış ve alternatif modeller tahmin edilerek aralarından en uygun olanı seçilmiştir. Ayrıca

çözümlü problemlerle sunulmuştur.

131

1.8. Trend Analizinin Gelecek Tahmininde Kullanımı

Ekonomik zaman serilerinin trendinin analiz edilmesi yalnızca inceleme dönemindeki

gelişmeleri belirlemek, diğer bir ifadeyle yapıyı analiz etmek ve mevcut durumu tespit etmek

amacıyla yapılmaz. Klasik zaman serisi analizlerinin gelişimi incelendiğinde, analizlerin önce

mevcut durumu saptamakla yetindiği, ancak zamanla bilgisayar teknolojisinin de gelişimi ile

yapılan modelleme çalışmalarında gelecek tahminin önemli bir yer tuttuğu görülmektedir.

Trend analizleri öncelikle veri kümesi için uygun fonksiyonel kalıbın bulunması ve

inceleme dönemini modelleme amacına yöneliktir. Burada kullanılan uygun model ister

doğrusal model olsun, ister çeşitli dönüşümlerle doğrusallaştırılan modeller olsun, klasik zaman

serisi analizlerinde genellikle en küçük kareler tahmin yöntemi ile parametreleri tahmin

edilebilmektedir.

En küçük kareler yöntemi ile tahmin yapıldığında, tahmin edilen parametreler yalnızca

inceleme dönemini temsil eden birer ortalama değerden ibarettir. İnceleme dönemindeki tüm

gözlem değerleri kullanılarak yapılan en küçük kareler tahminleri merkezi hareketli ortalamalar

yöntemi ile kıyaslandığında serinin başından ve sonundan veri kaybına yol açmaz. Bununla

birlikte uygulanacak fonksiyon tipinin veri kümesine uygun olarak belirlenmesi gerekmektedir.

Aksi takdirde ne başarılı tahminden, ne de başarılı öngörüden söz edilebilir. Ancak yine de

fonksiyonun mevcut durumu başarı ile modellemesi, geleceği başarı ile öngörmesi anlamına

gelmez. Burada önemli bir ayrım vardır. Öyle ki fonksiyon tahmin dönemine uygun olsa bile

öngörü dönemine uymadığı takdirde öngörü başarısından söz edilemez. Bu uyumsuzluğu

ortadan kaldırmak amacıyla ilk önce zamana bağlı olarak çizilen grafiğindeki dönüm noktaları,

maksimum ve minimum noktaları doğru belirlenmelidir. İnceleme döneminde ekonomik zaman

serisinin taşıdığı konjonktür devrelerinin uzunlukları, her devrenin başlangıç ve bitiş yılları

önemlidir. Trend tahmini bir minimumla başlayıp, bir maksimumla biten dönemde yapılırsa,

söz konusu dönemde artış yaratan eğim de güçlü ise, tepe noktasından hemen sonra gerçek veri

kümesi konjonktürün yavaşlama dönemine gireceğinden yapılan tahmin gerçekleşmenin

üstünde kalacaktır. Maksimumla başlayan dönemlerde de minimuma doğru bir hareket

olacağından, aynı durum bu kez azalan trend doğrusunda yaşanacaktır.

Gelecek tahminin başarısı inceleme dönemine ait gözlem sayısının artırılması ile de

ilgilidir. Ancak trend analizlerinde bu noktada dikkatli olmak da yarar vardır. Süre gereğinden

uzun tutulduğunda yeni bir trend dönemi ile karşılaşılabilir. Bu nedenle zaman zaman gözlem

sayısını artırmak amacıyla aylık veya üç aylık veri kullanılmaktadır. Böylece aylık veri 12×(10-

15 yıl) yaratılmaktadır. Bu yol izlendiğinde zamanın düzleştirici etkisi ile kısa dönemde

yaşanan anlık hareketler ortadan kalkmayacağı için seriye uygun model bulmak zahmetli

olacaktır. İnceleme dönemi başarılı bir şekilde modellense bile, geleceğin başarılı bir şekilde

tahmin edilmesi, ancak geleceğin geçmişle benzer olmasına bağlıdır. Gelecekte geçmiş

koşullardan önemli bir sapma olursa başarılı bir tahmin mümkün olmayacaktır.

Gelecek tahmininin başarısı kullanılan fonksiyon tipi ile de ilişkilidir. Model incelenen

veri kümesine ne kadar iyi uyum sağlarsa sağlasın, bazı modellerle uzun dönem öngörü yapılsa

bile bazı modeller ancak kısa dönem öngörüde başarılı olmaktadır.

132

Gelecek tahminin başarısını ölçen kriterler ortalama hata kare, ortalama mutlak hata,

ortalama mutlak yüzde hata, ortalama hata karenin kökü ve Theil’in U eşitsizliğidir.

Bu ölçütler ekonomik zaman serisinin ölçü birimine bağımlı olduğundan, farklı

ölçülerde ölçülmüş değişkenlerin öngörülerini kıyaslamak da uygun değildir. Örneğin doğrusal

trend modelinin öngörü başarısı, logaritmik bir modelin başarısı ile bu ölçüler yardımıyla

kıyaslanamaz. Kıyaslama için ya doğrusal modelin logaritmik modele veya logaritmik modelin

antilogaritması alınarak doğrusal modele dönüştürülmesi gerekir.

Öngörü başarısını ölçmekte kullanılan kriterler gerçek değerle öngörülen değer

arasındaki farkı dikkate alır. Bu farka öngörü hatası adı verilmektedir. Öngörülen değer gerçek

değere ne kadar yakınsa o derece başarılı bir gelecek tahmini yapılmış olacağından, öngörü

hatasının minimize edilmesi amaçlanır (I. Akgül, 2003, s.70-78).

1.8.1. Ortalama Hata Kare

Yapılan gelecek tahminlerinin başarısını ölçmekte kullanılan en bilinen ölçütlerden biri

olan ortalama hata kare (OHK), gerçek değerle öngörülen değer arasındaki farkın kareleri

toplamına dayanmaktadır. Buna göre;

( )2 2

1 1

k k

t t tt t

Y F e

OHKk k

= =

−= =∑ ∑

şeklindedir. Burada Yt, gerçek değeri, Ft öngörülen değeri göstermektedir. k ise öngörülen

dönem sayısıdır. OHK yalnızca öngörü başarısında değil aynı zamanda alternatif modeller

arasında seçim yapmakta da kullanılan bir kriterdir. Hangi amaçla kullanılırsa kullanılsın,

ortalama hata karenin minimum olması istenir. OHK mutlak bir ölçüdür.

Öngörü başarısını ölçmekte ayrıca bu ölçütün karekökü de kullanılmaktadır. Kök

ortalama hata kare olarak adlandırılan kriter;

( )2 2

1 1

k k

t t tt t

Y F e

KOHKk k

= =

−= =

∑ ∑

şeklindedir.

133

1.8.2. Yüzde Hata

Nispi bir ölçü olan yüzde hata,

100t t

t

Y FYH

Y

−= ×

şeklinde her dönem değeri için hesaplanabilir. Yüzde hata genellikle mutlak değerce veya

karesi alınarak kullanılmaktadır.

1.8.3. Ortalama Mutlak Hata

Ortalama mutlak hata (OMH), öngörü hatalarının mutlak değerleri yardımıyla

1 1

k k

t t tt t

Y F e

OMHk k

= =

−= =∑ ∑

şeklinde hesaplanır.

1.8.4. Ortalama Mutlak Yüzde Hata

Ortalama mutlak yüzde hata yüzde hataların mutlak değerlerinin toplamı olarak

hesaplanmaktadır.

1

100k

t t

t t

Y F

YOMYH

k

=

−×

=∑

Nispi bir ölçü olması nedeniyle en yaygın olarak kullanılan kriterlerdendir.

1.8.5. Theil’in U Eşitsizliği

Gelecek dönem geçmiş döneme (Yt=Yt-1) biçiminde eşit olacak varsayımı ile tahmin

edilen ilk model ile kurulan diğer öngörü modelini kıyaslayan U eşitsizliği;

134

( )

( )

2

1

2

11

k

t ttk

t tt

Y F

U

Y Y

=

−=

−=

−

∑

∑

şeklinde hesaplanır. Theil’in U katsayısı için:

• U>1 ise, ikinci model ilk modelden başarısızdır.

• U<1 ise, ikinci model ilk modelden başarılıdır.

• U=0 ise, ikinci model başarılıdır.

denilmektedir.

Bütün bu kriterlerin hesaplanabilmesi için öncelikle kurulan modelde yer alan bağımsız

değişkenin değerinin bilinmesi ve sonra modelden bağımlı değişkenin tahmin edilmesi, tahmin

edilen bağımlı değişkenin de gerçekleşmeleri ile kıyaslanmaları gerekir.

Trend analizlerinde tahmin edilen modelin başarısı klasik regresyon modellerinde

kullanılan anlamlılık testleri ile de ölçülmektedir. Bu modellerde parametrelerin anlamlılığı

daha önce de söz edildiği gibi t ve F testleri sınanmaktadır. Ayrıca belirlilik katsayısı R2 ve

korelasyon katsayısı r değeri ile, bu katsayıların anlamlılık sınamaları yapılarak da tahmin

edilen modellerin başarısı ölçülebilir. Elbette zaman serisi analizlerinde tahmin edilen modeller

bütün regresyon modelleri gibi temel varsayımları izlemelidir. Bu modellerde de hata terimi

sıfır ortalama ve sabit varyansla normal dağılıma uymalıdır. Hata teriminin rastsallığı

parametrik veya parametrik olmayan testler örneğin akış testleri ile sınanmalıdır.

1.9. Uygulamalar

Örnek: Aşağıda Türkiye’nin yıllık mal ihracat rakamları (milyon $) olarak verilmiştir.

Buna göre uygun trend modelini tahmin ediniz.

135

Yıllar

Mal İhracatı

Milyon $

1997 32647

1998 31220

1999 29325

2000 30721

2001 34373

2002 40124

2003 51206

2004 67047

2005 78365

2006 93611

2007 115361

2008 140800

2009 109647

2010 120902

2011 143397

Buna göre önce serinin grafiğini çizelim.

136

Grafikten de görüldüğü gibi ihracat serisi aslında doğrusal değildir. ancak yine de önce

doğrusal trend ve ardından kuadratik ve kübik modelleri deneyelim. Bütün model

denemelerinde de T=15 yıl olduğundan tek sayılı gözlemlere uygulandığı gibi 2004 yılına sıfır

atayarak ve 30. Haziran 2004 tarihini orijin kabul ederek, -2,-1,0,1,2 şeklinde orijin kaydırması

uygulayalım.

Buna göre doğrusal trend modelinin en küçük kareler tahmincileri

tY = 74583.07+9044.161 T

t: (20.23) (10.60) R2=0.896 2te =∑ 2649770766

modelin tüm parametreleri anlamlıdır. R2 değeri yüksektir. Yine de söz konusu seri için

doğrusal trend denkleminin uygun olmadığı düşünüldüğünden, alternatif modeller

denenecektir. Denenen ilk model kuadratik modeldir.

Kuadratik denklemin en küçük kareler tahmincileri

tY = 68021.79+9044.161T+351.4970T2

t: (13.102) (11.332) (1.6905) R2=0.916 2te =∑ 2140085221

Kübik denklemin en küçük kareler tahmincileri

ˆtY = 68021.79+13414.48T+351.497T2−130.848T3

T: (17.04) (8.607) (2.199) (−3.05) R2=0.9546

2te =∑ 1159328188

Mal ihracatı serisi ayrıca üssel model ile de tahmin edilmiştir. Üssel model

tTtY e eεβα=

şeklinde olup,

137

ln lnt tY Tα β ε= + +

şeklinde doğrusallaştırılabilir. Buradan normal denklemler

ln lntY t Tα β= +∑ ∑

2ln lntT Y T Tα β= +∑ ∑ ∑

şeklinde olur. 0T =∑ olacak şekilde tahmin yapıldığında ise,

lnln tY

tα = ∑

ve 2

ln tT Y

Tβ = ∑

∑ olur.

Buna göre mal ihracatı serisinin üssel tahminini yapabilmek için

Yt T T2 LnYt TLnYt

32647 -7 49 10.39351 -72.7546

31220 -6 36 10.34881 -62.0929

29325 -5 25 10.2862 -51.431

30721 -4 16 10.3327 -41.3308

34373 -3 9 10.44503 -31.3351

40124 -2 4 10.59973 -21.1995

51206 -1 1 10.84361 -10.8436

67047 0 0 11.11315 0

78365 1 1 11.26913 11.26913

93611 2 4 11.4469 22.89381

115361 3 9 11.65582 34.96746

140800 4 16 11.8551 47.42038

109647 5 25 11.60502 58.02511

120902 6 36 11.70274 70.21641

143397 7 49 11.87337 83.11361

Toplamlar: 0 280 165.7708 36.91853

değerlerinden

138

ln 165.7708ln 11.05139

15tY

tα = = =∑

2

ln 36.918530.131852

280tT Y

Tβ = = =∑

∑

ˆln tY =11.05139+0.131852T

t: (243.74) (12.56) R2=0.9239 2te =∑ 0.400873

olarak tahmin edilir. lnα = 11.05139 olduğundan antilogartması alınarak, α = 63031.50753

olarak bulunur. β parametresi için böyle bir dönüştürmeye gerek yoktur. Böylece mal ihracatı

serisi

0.131852ˆ 63031.50753 TtY e=

olarak tahmin edilir. Bu

modelin hata kareler toplamı yine antilogaritma alınarak 2te =∑ 1.49312 şeklinde bulunur.

Dikkat edilirse doğrusal, kuadratik ve kübik fonksiyonların hata kareler toplamı bu değerin çok

çok üstündedir.

et ˆln tY ˆ

tY

0.265084 10.12842 25044.76243

0.088538 10.26028 28574.78601

-0.10593 10.39213 32602.03537

-0.19128 10.52398 37196.87383

-0.21081 10.65583 42439.29581

-0.18795 10.78768 48420.56988

-0.07592 10.91954 55245.38022

0.061761 11.05139 63031.50753

0.085893 11.18324 71914.98957

0.131811 11.31509 82050.48438

0.208878 11.44694 93614.44711

0.2763 11.5788 106809.27

-0.10563 11.71065 121862.6659

-0.13976 11.8425 139037.6446

-0.10098 11.97435 158633.2162

Σ=2.53E-14 Σ=165.7708

139

Mal ihracatı serisi için uygun trend modeli üssel büyüme modelidir. Ancak bu modelin

parametrelerinin de anlamlılığı sınanmalıdır. Bunun için thes=243.74 thes= 12.56 değerleri tablo

değerleri olan ttab=t(15-2),0.01/2=3.012 ile kıyaslandığında, istatistiksel olarak anlamlı oldukları

görülür. Modelin belirlilik katsayısı da çok yüksektir. Mal ihracatı serisi için üssel model tercih

edilmelidir.

Model öngörü amaçlı kullanılırsa 2012 yılı için trend değerine 8 verilerek,

0.131852 0.131852(8)ˆ 63031.50753 63031.50753 180991.618TtY e e= = = olur.

Örnek: Bir ekonomik zaman serisi için aylık değerlerin toplamından oluşan yıllık

değerler kullanılarak 1999-2011tarihleri arasında trend denklemi 30. Haziran. 2005 tarihi orijin

alınarak,

ˆ 360 288tY T= +

olarak tahmin edilmiştir. Buna göre serinin aylık değişme hızı nedir?

Yıllık veri aylık değerlerin toplamı olarak hesaplandığında, analiz edilen dönem tek

sayılı gözlemlerden oluşuyorsa,

12 144tY T

α β= +

şeklinde yıllık değerler aylık değerlere dönüştürülür. Bu durumda aylık değişme hızı

2882

144 144

β= = olur. Trend denklemi değişimin pozitif olduğunu gösterdiğine göre, aylık

artış 2 birim olur.

Şimdi aylık trend denklemini yazalım. Bunun için ayrıca 360

3012 12

α= =

dönüştürmesi de yapılmalıdır. Böylece aylık trend denklemi

tY =30+2T

olur. 30 Haziran tarihi orijin olduğuna göre, ancak aylar 15. günleri ile temsil edildiğinden, 15

Haziran 2005 tarihini tahmin edelim. Bunun için önce 15 günlük değişim hesaplanmalı.

140

15 günlük değer 2/2=1 birimdir.

15 Haziran 2005 tarihi için trend değeri ˆtY =30−1=29 birim bulunur. Aynı şekilde 15

Temmuz 2005 tarihi için trend değeri ˆtY =30+1=31 birim bulunur.

Şimdi de Ocak 2005 tarihi için aylık trend değerini hesaplayalım. Öncelikle Ocak ayı

da 15. günü ile temsil edildiğinden, 15 Ocak tarihinin orijine olan uzaklığı bulunmalı.15 Ocak

2005 ile 30 Haziran 2005 tarihi arasında 5.5 ay fark olduğuna göre;

Ocak 2005 için aylık trend değeri ˆtY =30+2(−5.5)=19 birim olacaktır.

Şimdi de 15 Kasım 2012 tarihi için aylık değeri öngörelim. Bu tarih

15 11 2012

30 06 2005

15 gün 04 ay 7 yıl uzaklık için (7×12)+4+0.5=84+4+0.5=88.5 ay sonraki değer

olacağından;

ˆtY =30+2(88.5)=207 birim olur. Bu şekilde bütün dönem için aylık değerler tek tek

hesaplanabilir. Yıllık değerler aylık değerlerin toplamından oluştuğundan, her yıl 12 aya ait

rakam toplanarak o yıla ait toplam değer oluşturulur.

141

Uygulamalar

142

Uygulama Soruları

143


144

Bölüm Soruları

1) Bir ekonomik zaman serisinin 1998-2011 döneminde yıllık değerlerin aylık

değerlerin ortalamasından hesaplandığı varsayımı ile veriye orijin kaydırma yöntemi

uygulayarak 30. haziran 2005 tarihini orijin kabul ederek, tahmin edilen trend denklemi ˆtY =

65−48T’dir. Buna göre;



2) Bir ekonomik zaman serisinin 1998-2011 döneminde yıllık değerlerin aylık

değerlerin toplamından hesaplandığı varsayımı ile veriye orijin kaydırma yöntemi uygulayarak

30. haziran 2005 tarihini orijin kabul ederek, tahmin edilen trend denklemi ˆtY = 480−216 T

şeklindedir. Buna göre;



3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

145

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

146

7. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-V

147


7.1.

7.2.

7.3.

148


149



150

Anahtar Kavramlar

151

Giriş

Bu hafta ekonomik zaman serilerinde gözlenemeyen unsurlardan mevsimsel etki, bu

etkinin ortaya çıkış nedenleri üzerinde durulacaktır. Mevsimsel etki taşıyan bir serinin bu

etkiden arındırılması için gerekli işlemler açıklanacaktır. Toplamsal ayrıştırma modeline göre

bir serinin mevsimsel düzeltmesi yapılarak, mevsim endeksi oluşturulacaktır.

152

2.1. Mevsim Etkisinin Belirlenmesi

Yıl içinde meydana gelen, sistematik, istikrarlı, genellikle takvimle ilgili dönemsel ve

devri karakterdeki etkilerdir. Aylık, üç aylık hatta haftalık veya günlük dalgalanmalar halinde

görülebilirler. Mevsimsel dalgalanma zaman serilerinde çeşitli nedenlerden kaynaklanabilir. Bu

nedenlerden biri takvimle ilgilidir. Resmi tatiller, vergi ödeme dönemleri, yılbaşı gibi bu tip

nedenler oldukça istikrarlı etkilerdir. Ayrıca bir de dini bayramların etkisi vardır ki, bu

bayramlar Hicri takvime göre belirlendiğinden hareketli tatil etkisi yaratırlar. Şubat ayının bazı

yıllarda 29 gün sürmesi ise artık yıl etkisi olup, istikrarsız bir etkidir. Ayrıca aylardaki gün

sayısının farklı olması dolayısıyla çalışma günlerinin farklılaşması ekonomik zaman serilerinde

mevsim etkisi yaratmaktadır.

Mevsimlerin doğal döngüsü de mevsimsel etki yaratmaktadır. Örneğin yazın dondurma

satışlarının artması ve kışın yakıt giderlerinin artması gibi. Mevsimlerin doğal döngüsü tarım,

inşaat, nakliye gibi ekonomik sektörleri etkilemektedir. Bazı idari ve mali kararlar da

mevsimsel etki yaratmaktadır. Okulların açılma dönemleri, vergi dönemleri gibi. Bu etkilerin

biri veya birkaçı mevsimsel etki yaratır. Etkiler değiştikçe serilerde görülen mevsimselliğin

yapısı da değişir.

Mevsimsellik aylık veya üç aylık veride belli bir modelden bağımsız yıl içinde

tekrarlayan sıklık bazlı hareketlerdir. Sıklık bazlı serilerde zaman serisinin belli dalga

boylarıyla sinüzoidal hareketler izlediği görülmektedir. Mevsimsellik deterministik ve

stokastik mevsimsellik olarak incelenebilir. Deterministik mevsimsellik yıl içinde ilgili mevsim

veya ayda serinin ortalamasında meydana gelen değişimdir. Deterministik mevsimsellik

genellikle kukla değişkenler kullanılarak,

1 1 2 2 ...t t t t k k tY D D D Dα ε α α α ε= + = + + + +∑

modellenebilir. Dt mevsimsel kukla değişkeni gösterirken, tε sıfır ortalama ve sabit varyanslı

hata terimidir. Stokastik mevsimsellik ise, serinin cari değerinin kendi geçmiş değerleri ve

rastlantısal şokların toplamı olarak tanımlanmasıdır.

Ekonomik zaman serisi analizlerinde aylık veya mevsimlik veri kullanıldığında, serinin

mevsimsel etki taşıyıp taşımadığı araştırılmalıdır. Mevsimsel etki taşıyan serilerde ise bu

etkinin ne türden olduğu araştırılmalıdır. Bir ekonomik zaman serisinde uygulanacak

politikaların geliştirilmesinde ve kararların alınmasında serinin uzun dönemli trendi ve orta

vadeli konjonktür dalgalanmalarını tahmin etmek gerekir. Ancak daha önce zaman serileri

içerdikleri kısa vadeli mevsimsel hareketlerden ve düzensiz unsurlardan arındırılmalıdır.

Mevsimsel etkinin belirlenmesi kısa dönem öngörü yapmak, incelenen ekonomik zaman

serisini analiz etmek ve seriyi mevsimsel etkilerden analiz etmek için gereklidir.

Şimdi önce mevsimsel etki yaratan nedenlerin özelliklerini kısaca açıklayalım.

Mevsimsel etki takvimle ilgili nedenler dolayısıyla ortaya çıkabilir. Bu etki takvimdeki ayların

farklı uzunluklara sahip olması nedeniyle ortaya çıkar. Takvimde en kısa ay 28 gün olup, diğer

153

aylar 29, 30 ve 31 gün sürmektedir. Bu durum ekonomik faaliyetleri etkiler. Özellikle 28 gün

süren Şubat ayından sonra 31 gün süren Mart ayındaki örneğin üretim, satışlar gibi faaliyetlerin

aynı miktarda olması beklenemez. Ayları uzunluğunun farklı olması ay içindeki bileşimin de

değişik olmasına neden olduğundan, ekonomik faaliyetler bu nedenle de etkilenir. Bir başka

etki ticari gün etkisidir. Ayların kendi içinde haftanın belli bir gününe kaç kere sahip olduğu ile

ilgili etki ticari gün etkisidir. Özellikle beş çalışma gününün ve cumartesi günü de dahil ticari

günlerin sayısı değiştikçe ekonomik faaliyetlerin miktarı da değişmektedir. Hareketli tatil etkisi

adı verilen etki ise, dini bayramların Hicri takvime dayanması nedeniyle her yıl kayan bir

döngüye sahip olmalarından kaynaklanır.

Ekonomik zaman serilerini oluşturan unsurlar gözlenemeyen unsurlardır. Klasik zaman

serileri analiz edilirken amaç, serinin bu unsurlardan arındırılarak, trendinin tahmin edilmesidir.

Oysa trend bilinmedikçe, mevsimsellik tanımlanamayacak, mevsimsellik düzeltilmedikçe trend

tahmin edilemeyecektir. Bu nedenle zaman serilerinin unsurları iterasyonlarla belirlenerek

ayrıştırılır ve arındırılır.

Mevsimselliğin arındırılmasında kullanılan en basit mevsimsel düzeltme yöntemi

hareketli ortalamalar yöntemidir. Buna göre seriye önce aylık veri kullanılmışsa 12’şerli,

mevsimlik veri kullanılmışsa 4’erli hareketli ortalamalar uygulanır. Böylece oluşturulan

mevsimsel faktörler seriden toplamsal ayrıştırma modeli uygulanmışsa trendden farklar,

çarpımsal ayrıştırma modeli uygulanmışsa trende oranlar alınarak arındırılır.

Ekonomik zaman serisine uygulanacak mevsimsel düzeltmenin hangi aşamada

yapılacağı da önemlidir. İncelenen zaman serileri iki veya daha çok serinin bileşiminden

oluşabilir. Bu tip serilere toplulaştırılmış seriler adı verilmektedir. Özellikle GSMH serisi başta

olmak üzere, makroekonomik zaman serilerinin çoğu bu yapıdadır. Sabit fiyat endeksleri gibi

seriler cari fiyatların uygun bir deflatöre oranlanarak hesaplandığından, aslında bileşik

serilerdir. Bu tip serilere düzeltme yapılırken, iki yol izlenebilir. Seriyi oluşturan bileşenler

değil, toplulaştırılmış seri düzeltilir. Bu düzeltme işlemine doğrudan mevsimsel düzeltme adı

verilir. İzlenen ikinci yol dolaylı mevsimsel düzeltmedir. Bu yöntemde seriyi oluşturan

bileşenler tek tek düzeltildikten sonra, seri toplulaştırılır. Bu yöntemler genellikle serilerde ayrı

ayrı sonuç vermektedir. İki yolun aynı sonucu vermesi için dolaylı düzeltme uygulandığında

serinin alt bileşenlerinin toplanabilirlik özelliğini yitirmemesi gerekir. Oysa alt bileşenler çoğu

kere farklı yönlerde hareket eder. Mevsimsel düzeltmenin nasıl yapılacağı araştırmacılar

tarafından tartışılan bir konudur. İstatistik ofisleri Almanya ve Fransa’da dolaylı düzeltme

uygulamaktadır. A.B.D.’de doğrudan düzeltme uygulanmaktadır. Türkiye’de fiyat endeksi

serilerine doğrudan düzeltme yöntemi uygulanmaktadır.

Mevsimsel düzeltme yöntemleri kolay uygulanabilen yöntemlerdir. Ancak düzeltme

yapılırken bazı noktalara dikkat edilmesi gereklidir. Unutulmamalıdır ki, düzeltme yapılmış

seri orijinal serinin taşıdığı bilgiyi artık taşımaz. Ancak düzeltme yapıldıktan sonra serinin

taşıdığı orijinal trendin bozulmaması gerekmektedir. Üstelik mevsimsel olarak düzeltilmiş çoğu

veride, düzeltmeden sonra hâlâ mevsimsellik görülmektedir.

154

Mevsimsel düzeltme yöntemlerinden en basiti, ilk geliştirilen ve en yaygın olarak

kullanılan yöntem olan mevsim endeksleri oluşturmak yoluyla ekonomik zaman serilerinin

düzeltilmesi yöntemidir.

2.1.1. Mevsim Endekslerinin Oluşturulması

Mevsim endekslerinin oluşturulmasında öncelikle uygun hareketli ortalamalar alınarak

serinin gözlenemeyen unsurları belirlenmeye çalışılmaktadır. Bu unsurlardan düzensiz

hareketleri ortadan kaldırmak için en azından altı veya yedi yıllık aylık veya mevsimlik veriye

ihtiyaç vardır. Mevsim endeksleri toplamsal ayrıştırma modeli uygulandığında trendden farklar

alınarak, çarpımsal ayrıştırma modeli uyguladığında trende oranlar yolu ile seriyi mevsim

etkisinden arındırmaktadır.

2.1.1.1. Mevsim Endeksinin Toplamsal Ayrıştırma Modeline Göre Oluşturulması

Toplamsal ayrıştırma modelinde, daha önce de söylendiği gibi, ekonomik zaman

serilerini oluşturan unsurların her birinin birbirinden bağımsız ve aynı büyüklükte olduğunu

varsayılır. Buna göre herhangi bir tY serisi;

t t t t tY T K M R= + + +

şeklinde söz konusu unsurların toplamından oluşmaktadır. Toplamsal modelde unsurların sıfır

etrafında değiştiği, bu nedenle toplamlarının sıfır olacağı varsayılmaktadır. Böyle olunca

ayrıştırılmak istenen unsurlar tahmin edildikten sonra seriden fark alma işlemi ile arındırılır.

Seriyi oluşturan unsurların birbirinden bağımsız olduğu varsayımı ekonomik zaman serileri için

çok gerçekçi bir varsayım değildir.

Toplamsal ayrıştırma modelinde mevsimsel hareketlerin büyüklüğünün zaman içinde

sabit kaldığı varsayılmaktadır. Buna göre, ayrıştırma şu aşamalardan oluşmaktadır.

• Ekonomik zaman serisi aylık ise 12’şerli üç aylık ise 4’erli hareketli ortalamalar

uygulanır. Böylece seride mevsimsel etki düzeltilmiş ve trend ve konjonktür unsurları

kalmış olur.

• Gerçek seriden ilk aşamada hareketli ortalamalar yoluyla oluşturulan trend-

konjonktür unsurları serisinin farkı alınarak, mevsimsel ve düzensiz etkiler elde edilir.

• Mevsimsel ve düzensiz unsurların etkisini ortadan kaldırmak amacıyla

mevsimsellik ortalamaları alınır.

155

• Mevsimsel tahminlerin toplamı sıfır olmalıdır. Toplam sıfır değilse, sıfır olacak

şekilde düzenleme yapılmalıdır.

• Gerçek veriden mevsimsel tahminlerin farkı alınarak, düzeltilmiş seri

oluşturulur.

• Mevsimsel etkisi düzeltilmiş seri için uygun trend tahmini yapılabilir. Bu trend

denklemi daha sonra öngörü amaçlı kullanılabilir.

Örnek: Türkiye’nin aylık toplam ihracat rakamları milyon $ cinsinden aşağıdaki

gibidir. Söz konusu serinin toplamsal ayrıştırma modeline göre mevsimsel endeksini

oluşturalım.

Yıllar

Toplam

ihracat Yıllar

Toplam

ihracat Yıllar

Toplam

ihracat

Oca.2007 6564.559 Oca.2009 7884.493 Oca.2011 9551.084

Şub.2007 7656.951 Şub.2009 8435.115 Şub.2011 10059.13

Mar.2007 8957.851 Mar.2009 8155.485 Mar.2011 11811.09

Nis.2007 8313.312 Nis.2009 7561.696 Nis.2011 11873.27

May.2007 9147.62 May.2009 7346.407 May.2011 10943.36

Haz.2007 8980.247 Haz.2009 8329.692 Haz.2011 11349.95

Tem.2007 8937.741 Tem.2009 9055.733 Tem.2011 11860

Ağu.2007 8736.689 Ağu.2009 7839.908 Ağu.2011 11245.12

Eyl.2007 9038.743 Eyl.2009 8480.708 Eyl.2011 10750.63

Eki.2007 9895.216 Eki.2009 10095.77 Eki.2011 11907.22

Kas.2007 11318.8 Kas.2009 8903.01 Kas.2011 11078.52

Ara.2007 9724.017 Ara.2009 10054.59 Ara.2011 12477.49

Oca.2008 10632.21 Oca.2010 7828.748 Oca.2012 10349.77

Şub.2008 11077.9 Şub.2010 8263.237 Şub.2012 11749.54

Mar.2008 11428.59 Mar.2010 9886.488 Mar.2012 13210.71

Nis.2008 11363.96 Nis.2010 9396.006 Nis.2012 12634.23

May.2008 12477.97 May.2010 9799.958 May.2012 13136.39

Haz.2008 11770.63 Haz.2010 9542.907 Haz.2012 13241.24

Tem.2008 12595.43 Tem.2010 9564.682 Tem.2012 12842.96

Ağu.2008 11046.83 Ağu.2010 8523.451 Ağu.2012 12844.83

Eyl.2008 12793.15 Eyl.2010 8909.23 Eyl.2012 13013.07

Eki.2008 9722.708 Eki.2010 10963.59

Kas.2008 9395.872 Kas.2010 9382.369

Ara.2008 7721.948 Ara.2010 11822.55

Önce serimizin grafiğini çizelim.

156

İhracat serisinin mevsimsel etki taşıdığı görülmektedir. Bu durumda mevsimsellikten

arındırmak için önce 12’şerli hareketli ortalamalar sonra yeniden 2’şerli hareketli ortalamalar

alınarak uygulandığı gibi çift sayılı hareketli ortalamalar uygulanarak, merkezi hareketli

ortalamalar serisi oluşturulur. Daha sonra ihracat serisinden merkezi hareketli ortalamalar serisi

çıkarılarak mevsim endeksi oluşturmak için gerekli aşamalara gelinir. Bunun için her aya ait

değerler kaç kere tekrarlanmışsa ortalamaları alınarak;

Ocak ayı için: (Ocak2008+Ocak2009+Ocak2010+Ocak2011+Ocak2012)/5=(-53.74-1217.09-

1288.05-940.7-1109.54)/5=(-4609.11)/5=-921.82 ile endeks değerine ulaşılır. Bu şeklide her

ay için endeks değeri hesaplanır. Ancak burada veri kümesinde her ayın aynı sayıda

tekrarlamadığı unutulmamalıdır. Bu veri kümesinde Nisan, Mayıs ve Haziran ayları 4 kez

tekrarladığı için endekslerken 4 gözlemin ortalaması alınmıştır. Böylece oluşturulan her aya ait

değerler

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Oca

.07

Tem.0

7

Oca

.08

Tem.0

8

Oca

.09

Tem.0

9

Oca

.10

Tem.1

0

Oca

.11

Tem.1

1

Oca

.12

Tem.1

2

Yıllar

İhra

cat

157

Ocak -921.8218

Şubat -431.2214

Mart 482.9129

Nisan 60.38607

Mayıs 135.1213

Haziran 215.3144

Temmuz 533.9802

Ağustos -455.985

Eylül -9.439717

Ekim 441.5205

Kasım -128.9117

Aralık 257.0879

Toplam 178.943675

Toplamsal ayrıştırma modelinde mevsimsel etkilerin toplamının sıfır olması varsayımı

nedeniyle yeniden düzenlenerek; (178.943675/12=14.91197) değeri her aya ait değerden

çıkarılarak örneğin Ocak ayı için (-921.8218-14.91197= -936.73) değeri elde edilir. Aynı işlem

her ay için yapılarak oluşturulan seri mevsim endeksi seridir.

Ocak -936.73

Şubat -446.13

Mart 468.00

Nisan 45.47

Mayıs 120.21

Haziran 200.40

Temmuz 519.07

Ağustos -470.90

Eylül -24.35

Ekim 426.61

Kasım -143.82

Aralık 242.18

Toplam 0

Mevsim endeksi serisi her aya ait toplam İhracat-merkezi hareketli ortalamalar

serisinden çıkarılarak, düzeltilmiş toplam ihracat serisine ulaşılır.

İşlemler aşama aşama aşağıda gösterilmiştir.

158

Yıllar

Toplam

ihracat

Hareketli

Orta.

Merkezi

Har. Ort. Tp.İh.-MHO

Düzltmş.

İhracat

Oca.2007 6564.559 7501.29

Şub.2007 7656.951 8103.08

Mar.2007 8957.851 8489.85

Nis.2007 8313.312 8267.84

May.2007 9147.62 9027.41

Haz.2007 8980.247 8779.84

8939.312

Tem.2007 8937.741 9108.797 -171.06 8418.67

9278.283

Ağu.2007 8736.689 9420.822 -684.13 8761.04

9563.362

Eyl.2007 9038.743 9666.309 -627.57 9063.09

9769.256

Eki.2007 9895.216 9896.367 -1.15 9468.61

10023.48

Kas.2007 11318.8 10162.24 1156.56 11462.6

10301.01

Ara.2007 9724.017 10417.27 -693.26 9481.84

10533.54

Oca.2008 10632.21 10685.94 -53.74 11568.9

10838.35

Şub.2008 11077.9 10934.6 143.30 11524

11030.86

Mar.2008 11428.59 11187.29 241.30 10960.6

11343.72

Nis.2008 11363.96 11336.54 27.43 11318.49

11329.35

May.2008 12477.97 11249.23 1228.74 12357.76

11169.1

Haz.2008 11770.63 11085.69 684.95 11570.23

11002.27

Tem.2008 12595.43 10887.78 1707.65 12076.36

10773.29

Ağu.2008 11046.83 10663.17 383.66 11517.73

10553.06

Eyl.2008 12793.15 10416.68 2376.47 12817.5

10280.3

Eki.2008 9722.708 10121.87 -399.16 9296.099

9963.444

159

Kas.2008 9395.872 9749.629 -353.76 9539.696

9535.814

Ara.2008 7721.948 9392.441 -1670.49 7479.772

9249.068

Oca.2009 7884.493 9101.581 -1217.09 8821.227

8954.094

Şub.2009 8435.115 8820.472 -385.36 8881.248

8686.85

Mar.2009 8155.485 8507.165 -351.68 7687.484

8327.48

Nis.2009 7561.696 8343.025 -781.33 7516.222

8358.569

May.2009 7346.407 8338.033 -991.63 7226.198

8317.497

Haz.2009 8329.692 8414.69 -85.00 8129.29

8511.884

Tem.2009 9055.733 8509.561 546.17 8536.665

8507.238

Ağu.2009 7839.908 8500.077 -660.17 8310.805

8492.915

Eyl.2009 8480.708 8565.04 -84.33 8505.06

8637.166

Eki.2009 10095.77 8713.595 1382.17 9669.159

8790.025

Kas.2009 8903.01 8892.256 10.75 9046.834

8994.487

Ara.2009 10054.59 9045.038 1009.55 9812.415

9095.589

Oca.2010 7828.748 9116.795 -1288.05 8765.482

9138.001

Şub.2010 8263.237 9166.482 -903.24 8709.37

9194.963

Mar.2010 9886.488 9212.818 673.67 9418.487

9230.673

Nis.2010 9396.006 9266.832 129.17 9350.532

9302.991

May.2010 9799.958 9322.964 476.99 9679.749

9342.938

Haz.2010 9542.907 9416.603 126.30 9342.505

9490.268

Tem.2010 9564.682 9562.032 2.65 9045.614

160

9633.796

Ağu.2010 8523.451 9708.624 -1185.17 8994.348

9783.453

Eyl.2010 8909.23 9863.645 -954.41 8933.582

9943.836

Eki.2010 10963.59 10047.06 916.53 10536.98

10150.27

Kas.2010 9382.369 10197.92 -815.55 9526.193

10245.56

Ara.2010 11822.55 10320.85 1501.70 11580.38

10396.15

Oca.2011 9551.084 10491.78 -940.70 10487.82

10587.42

Şub.2011 10059.13 10700.83 -641.70 10505.26

10814.23

Mar.2011 11811.09 10890.95 920.13 11343.08

10967.68

Nis.2011 11873.27 11007 866.27 11827.79

11046.31

May.2011 10943.36 11116.99 -173.62 10823.15

11187.66

Haz.2011 11349.95 11214.95 135.00 11149.55

11242.24

Tem.2011 11860 11275.52 584.49 11340.94

11308.8

Ağu.2011 11245.12 11379.23 -134.11 11716.02

11449.66

Eyl.2011 10750.63 11507.98 -757.36 10774.98

11566.3

Eki.2011 11907.22 11598.01 309.21 11480.61

11629.71

Kas.2011 11078.52 11721.09 -642.56 11222.35

11812.46

Ara.2011 12477.49 11339.55 1137.94 12235.31

10866.64

Oca.2012 10349.77 11459.31 -1109.54 11286.5

12051.98

Şub.2012 11749.54 12118.64 -369.10 12195.67

12185.29

Mar.2012 13210.71 12279.56 931.15 12742.71

12373.83

Nis.2012 12634.23 12588.76

161

May.2012 13136.39 13016.18

Haz.2012 13241.24 13040.84

Tem.2012 12842.96 12323.89

Ağu.2012 12844.83 13315.72

Eyl.2012 13013.07 13037.42

162

Uygulamalar

163

Uygulama Soruları

164


165

Bölüm Soruları

1) Türkiye’nin Ocak 2007 –Eylül 2012 dönemleri için aylık Toplam İthalat (milyon $)

serisini bularak, ( www.tuik.gov.tr veya www.tcmb.gov.tr sitelerinden veriye ulaşabilirsiniz.)

mevsim endeksini hesaplayınız ve mevsimsel etkilerden toplamsal ayrıştıma modeli varsayımı

ile arındırınız.

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

167

8. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-VI

168


8.1.

8.2.

8.3.

169


170



171

Anahtar Kavramlar

172

Giriş

Bu hafta ekonomik zaman serilerinde gözlenemeyen unsurlardan mevsimsel etki taşıyan

bir serinin bu etkiden arındırlması için gerekli işlemler açıklanacaktır. 7. haftada toplamsal

ayrıştıma modeline göre mevsimsel düzeltmesi yapılarak, mevsim endeksi oluşturulan ihracat

serisi için uygun trend modeli tahmin edilecektir. Ardından aynı seri çarpımsal ayrıştırma

modeline göre mevsimsel etkiden arındırılarak, yine uygun trend modeli tahmin edilecektir.

Böylece toplamsal ve çarpımsal ayrıştırma modelleri yardımıyla tahmin edilen trend modelleri

arasında ihracat serisini mevsimsel etkiden arındıran optimal model belirlenecektir.

173

Böylece Ocak 2007-Eylül 2012 ihracat serisini mevsimsellikten arındırmak için

toplamsal ayrıştırma modeline göre oluşturulan mevsim endeksi serisi gerçek seriden

çıkarılarak düzeltilmiş ihracat sütunu elde edilir. Son aşamada mevsimsel etkiden arındırılan

seriler için uygun trend modeli tahmin edilerek öngörü yapılmalıdır. Ancak öncelikle

oluşturulan mevsim endeksi serisi daha yakından incelenmelidir. Burada mevsim endeksi

grafiği çizildiğinde ihracat serine ayların etkisi görülecektir. Mevsim endeksi serisini yeniden

hatırlarsak;

Ocak -936.73

Şubat -446.13

Mart 468.00

Nisan 45.47

Mayıs 120.21

Haziran 200.40

Temmuz 519.07

Ağustos -470.90

Eylül -24.35

Ekim 426.61

Kasım -143.82

Aralık 242.18

Toplam 0

Toplamsal ayrıştırma modeline göre mevsimsel etkiler sıfır etrafında

merkezileştiğinden herhangi bir ayın değeri sıfır olursa o ay ihracat serisinde mevsim etkisi

olmadığı söylenecektir. Buna göre mevsimsel etkinin en az olduğu ayların nisan ve eylül ayı

olduğu görülmektedir. Mart ayında mevsimsel etki pozitif, yani ihracatı artıcı yönde iken,

Mevsim Endeksi

-1200.00

-1000.00

-800.00

-600.00

-400.00

-200.00

0.00

200.00

400.00

600.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

174

Ağustos ayında negatif, yani ihracatı azaltıcı yöndedir. İhracat serisinde mevsimsel etkinin en

yüksek olduğu ay ise Ocak ayı olup, bu etki negatiftir. Mevsimsel dalgalanmalar ihracat serisine

beş ay azaltıcı yönde etki ederken, yılın yedi ayında artırıcı yönde etki etmektedir. Bu şekilde

ihracat serisi ve mevsimsellikten arındırılan ihracat serisi aynı grafikte yer aldığında, mevsimsel

etkiden arındırılmış seride hâlâ dalgalanmalar olduğu görülmektedir. Mevsim etkisinden

arındırılmış seride görülen bu dalgalanmalar iki nedenle oluşabilir. Bunlardan biri serinin

taşıdığı orta vadeli konjonktürel dalgalanmaların hâlâ varlığını koruması olabilir. İkinci olarak

ise toplamsal ayrıştırma modelinin ihracat serisine uygun olmaması nedeniyle serinin

mevsimsellikten tam olarak arındırılamayışından kaynaklanabilir. Dolayısıyla bu nedenler

araştırılmalıdır.

Yine de ihracat serisi için uygun trend modeli tahmin edilerek, ihracatın öngörüsü

yapılmalıdır. Bu grafikten de görüldüğü gibi trend modeli eğrisel olmalıdır. Buna göre Ocak

2007 tarihine sıfır değeri atanarak, düzeltilmiş ihracat serisinin kuadratik model ile tahmini;

Dihracat= 9851.328−63.915T+1.619T2

t: (21.85) (−2.085) (3.715) R2:0.427,

olarak yapılmıştır. Görüldüğü gibi tüm parametreler istatistiksel olarak anlamlıdır. Ancak

modelin açıklayıcılık gücünü gösteren belirlilik katsayısı R2 oldukça düşüktür. Yapılan

tahminin veriye uyumuna bakıldığında ise;

175

Özellikle ilk dönemlerde uyumun yakalanamadığı ve üçüncü dereceden bir fonksiyonun

daha uygun olacağı görülmektedir. Bu nedenle kübik model ile de tahmin yapılmıştır. Buna

göre;

Dihracat= 8592.578+166.673T−6.919T2+0.083T3

176

t: (15.96) (2.414) (−2.92) (3.657) R2:0.525, 2 90323483ie =∑

Burada da tüm parametrelerin istatistiksel olarak anlamlı olduğu belirlenmiştir. Ancak

yine belirlilik katsayısı orta düzeyde açıklayıcılık göstermektedir. Grafikten de görüldüğü gibi

özellikle son dönemde gerçek değerlerin tahmin edilen verinin altında kaldığı görülmektedir.

Toplamsal ayrıştırma modeli her unsurun birbirinden bağımsız ve aynı büyüklükte olduğunu

varsaydığından, ekonomik zaman serilerine çok uygun olmadığı bilinmektedir. Bu nedenle

ihracat serisine çarpımsal ayrıştırma modeline göre mevsimsellikten arındırma uygulanmıştır.

2.1.1.2. Mevsim Endeksinin Çarpımsal Ayrıştırma Modeline Göre Oluşturulması

Çarpımsal ayrıştırma modeli, daha önce de söylendiği gibi ekonomik zaman serisini

oluşturan gözlenemeyen unsurların her birinin mutlak büyüklüğünün birbiri ile bağımlı olduğu

varsayımına dayanmaktadır. Bu varsayıma göre diğer unsurlar serinin ortalamasına, diğer bir

deyişle trendine bağlı ve 100 etrafında değiştikleri düşünüldüğünden, ayrıştırma için trendin

bir oranı şeklinde alınmaktadırlar. Mevsimsel dalgalanmaların toplamı da, çarpımsal

modellerde yine bu nedenle 1 olmaktadır. Çarpımsal ayrıştırma modeli tY serisini;

177


şeklinde unsurların çarpımı olarak tanımlamaktadır. Bu modelde seriye trendin mutlak, diğer

unsurların oransal (yüzdelik) etkisi olduğu varsayılmaktadır. Unsurların birbirine bağımlı

olduğu varsayımı pek çok zaman serisi için geçerlidir. Bu nedenle zaman serileri ayrıştırılırken

genellikle çarpımsal model tercih edilir.

Buna göre, trende veya hareketli ortalamaya oranlar olarak adlandırılan ayrıştırma şu

aşamalardan oluşmaktadır:

• Ekonomik zaman serisi aylık ise 12’şerli üç aylık ise 4’erli hareketli ortalamalar


kalmış olur.

• Gerçek seri ilk aşamada hareketli ortalamalar yoluyla oluşturulan trend-

konjonktür unsurları serisine oranlanarak, mevsimsel ve düzensiz etkiler elde edilir. Bu

oranlamadan dolayı yöntem hareketli ortalamaya oranlar şeklinde de

adlandırılmaktadır.

• Mevsimsel ve düzensiz unsurların etkisini ortadan kaldırmak amacıyla, ikinci

aşamada elde edilen hareketli ortalamalar serisinin mevsimsellik ortalamaları alınır.

• Mevsimsel tahminlerin toplamını serinin dönem uzunluğuna eşit olmalıdır. Bu

toplam incelenen ekonomik zaman serisi aylık ise 12, mevsimlik ise 4 olmalıdır. Toplam

farklı çıkmışsa yeniden düzenleme yapılmalıdır.

• Gerçek veri, toplamı 12 veya 4 olan mevsimsel tahminlere oranlanarak,

düzeltilmiş seri oluşturulur.



Görüldüğü gibi her iki ayrıştırma modeli arasındaki temel fark, toplamsal ayrıştırmanın

fark alma işlemine, çarpımsal ayrıştırmanın ise oranlamaya dayanmasıdır. Uygulamada hangi

serinin toplamsal ayrıştırma modeline hangi serinin ise çarpımsal ayrıştırma modeline göre

gözlenemeyen unsurlardan ayrıştırılması gerektiği çoğu kere bilinemez. Genellikle izlenen yol

her iki ayrıştırma modelinin de kullanılarak hata kareler toplamı en küçük olan yöntemin

seçilmesidir.

Şimdi daha önce toplamsal ayrıştırma modeline göre mevsimsellikten arındırılmaya

çalışılan ihracat serisini bu kez çarpımsal ayrıştırma modeline göre arındıralım. Dikkat edilirse

her iki yöntemin de başlangıç aşamaları aynı olup, mevsimsel dönem uzunluklarına göre

12’şerli veya 4’erli merkezi hareketli ortalamaların alınmasını gerektirmektedir. İhracat serisini

178

daha önce incelediğimiz için zaten 12’şerli merkezi hareketli ortalama serisini oluşturmuştuk.

Daha sonra toplamsal ayrıştırma modelinde

Toplam İhracat−MHO serisi oluşturulmuş ve seri önce

Temmuz 2007 değeri 8939.312−9108.797= −171.06

şeklinde bulunarak elde edilmiştir. Burada ise çarpımsal ayrıştırma modeli uygulandığından,

hareketli ortalamaya oranlar serisi oluşturulmalıdır. Söz konusu seri;

Temmuz 2007 8939.312/9108.797=0.981221

Ağustos 2007 8736.689/9420.822=0.927381

Eylül 2007 9038.743/9666.309=0.935077

…

olacak şekilde oluşturulur. Daha sonra mevsim endeksini oluşturmak üzere her ayın ortalaması

Ocak ayından başlanarak,

(Ocak2008+Ocak2009+Ocak2010+Ocak2011+Ocak2012)/5=(0.99497

1+0.866277+0.858717+0.910339+0.903176)/5=0.906696

şeklinde hesaplanmalıdır. Böylece mevsimsel tahminler

Ocak 0.906696

Şubat 0.956091

Mart 1.042733

Nisan 1.000353

Mayıs 1.006462

Haziran 1.019284

Temmuz 1.050872

Ağustos 0.950367

Eylül 0.99816

Ekim 1.047391

Kasım 0.988788

Aralık 1.022613

Toplam 11.9898091

biçiminde elde edilir. Çarpımsal ayrıştırma modelinde aylık veri kullanıldığında mevsimsel

tahminler toplamı 12 olmalıdır. Bu nedenle

179

12/11.9898091=1.00085

ayarlama katsayısı yardımı ile toplamı 12’ye eşitleyecek düzenleme yapılarak;

Ocak 0.906696 0.906696*1.00085 0.907467

Şubat 0.956091 0.956091*1.00085 0.956903

Mart 1.042733 1.0942733*1.00085 1.04362

Nisan 1.000353 … 1.001203

Mayıs 1.006462 … 1.007317

Haziran 1.019284 … 1.02015

Temmuz 1.050872 … 1.051765

Ağustos 0.950367 … 0.951175

Eylül 0.99816 … 0.999008

Ekim 1.047391 … 1.048281

Kasım 0.988788 0.988788*1.00085 0.989629

Aralık 1.022613 1.022613*1.00085 1.023482

Toplam 11.9898091 12

mevsim endekslerine ulaşılır. Mevsim endeksi serisinin grafiği;

şeklindedir. Toplamsal ayrıştırma modelinde herhangi bir ayın mevsim etkisi taşıdığı mevsim

endeksinin 0’dan farklı değer alması ile belirlenmektedir. Buradan da bilindiği gibi, çarpımsal

ayrıştırma modelinde herhangi bir ay mevsimsel etki taşımamış olsa o aya ait mevsim endeksi

değerinin 1 olması gerekir. Buna göre ihracat serisinin tüm ayları 1’den farklı olduğu için

mevsimsel etki taşımaktadır. Bu etki 1’in altında iken ihracatta azalmalar, 1’in üstünde iken

180

artışlar olduğu anlamına gelmektedir. Mevsim endeksi yüzdelik olarak ifade edilmek amacıyla

100 ile çarpılarak yorumlanmaktadır. Buna göre;

Ocak 0.907467 90.74669

Şubat 0.956903 95.69033

Mart 1.04362 104.362

Nisan 1.001203 100.1203

Mayıs 1.007317 100.7317

Haziran 1.02015 102.015

Temmuz 1.051765 105.1765

Ağustos 0.951175 95.11747

Eylül 0.999008 99.90083

Ekim 1.048281 104.8281

Kasım 0.989629 98.96287

Aralık 1.023482 102.3482

mevsimsel etki Ocak ayı için % 9.25 (100−90.75=9.25) azalma ile yılın en düşük düzeyinde,

ekim ayı için % 4.82 artış ile yılın en yüksek düzeyindedir. Endeks değeri 1’e yaklaştıkça

mevsim etkisinin son olarak ihracat serisi her ay kendi ilgili mevsim endeksine oranlanarak

mevsimsel etkiden arındırılarak düzeltilmiş ihracat serisine ulaşılır. Düzeltilmiş ihracat serisi

son aşamada uygun trend modeli ile tahmin edilerek, öngörü amacıyla kullanılabilir.

Ocak 2007-Eylül 2012 döneminde ihracat serinsin çarpımsal ayrıştırma modeline göre

mevsim etkisinden arındırılması ve düzeltilmiş ihracat serinsin oluşturulması ile ilgili

hesaplamalar aşağıdaki gibidir.

181

Yıllar

toplam

ihracat

Hareketli

Orta.

Merkezi

Har. Ort. Tp.İh./MHO

düzeltmş

İhracat

Oca.2007 6564.559 7233.938

Şub.2007 7656.951 8001.802

Mar.2007 8957.851 8583.443

Nis.2007 8313.312 8303.325

May.2007 9147.62 9081.173

Haz.2007 8980.247 8802.865

8939.312

Tem.2007 8937.741 9108.797 0.981221 8497.85

9278.283

Ağu.2007 8736.689 9420.822 0.927381 9185.157

9563.362

Eyl.2007 9038.743 9666.309 0.935077 9047.716

9769.256

Eki.2007 9895.216 9896.367 0.999884 9439.466

10023.48

Kas.2007 11318.8 10162.24 1.113809 11437.42

10301.01

Ara.2007 9724.017 10417.27 0.933451 9500.919

10533.54

Oca.2008 10632.21 10685.94 0.994971 11716.36

10838.35

Şub.2008 11077.9 10934.6 1.013105 11576.82

11030.86

Mar.2008 11428.59 11187.29 1.021569 10950.91

11343.72

Nis.2008 11363.96 11336.54 1.002419 11350.31

11329.35

May.2008 12477.97 11249.23 1.109229 12387.33

11169.1

Haz.2008 11770.63 11085.69 1.061787 11538.14

11002.27

Tem.2008 12595.43 10887.78 1.156841 11975.51

10773.29

Ağu.2008 11046.83 10663.17 1.03598 11613.88

10553.06

Eyl.2008 12793.15 10416.68 1.228141 12805.85

10280.3

Eki.2008 9722.708 10121.87 0.960564 9274.904

9963.444

Kas.2008 9395.872 9749.629 0.963716 9494.341

182

9535.814

Ara.2008 7721.948 9392.441 0.822145 7544.783

9249.068

Oca.2009 7884.493 9101.581 0.866277 8688.464

8954.094

Şub.2009 8435.115 8820.472 0.956311 8815.013

8686.85

Mar.2009 8155.485 8507.165 0.958661 7814.613

8327.48

Nis.2009 7561.696 8343.025 0.906349 7552.612

8358.569

May.2009 7346.407 8338.033 0.881072 7293.043

8317.497

Haz.2009 8329.692 8414.69 0.989899 8165.16

8511.884

Tem.2009 9055.733 8509.561 1.064183 8610.035

8507.238

Ağu.2009 7839.908 8500.077 0.922334 8242.343

8492.915

Eyl.2009 8480.708 8565.04 0.990154 8489.127

8637.166

Eki.2009 10095.77 8713.595 1.158623 9630.781

8790.025

Kas.2009 8903.01 8892.256 1.001209 8996.314

8994.487

Ara.2009 10054.59 9045.038 1.111614 9823.908

9095.589

Oca.2010 7828.748 9116.795 0.858717 8627.035

9138.001

Şub.2010 8263.237 9166.482 0.901462 8635.394

9194.963

Mar.2010 9886.488 9212.818 1.073123 9473.266

9230.673

Nis.2010 9396.006 9266.832 1.013939 9384.718

9302.991

May.2010 9799.958 9322.964 1.051163 9728.772

9342.938

Haz.2010 9542.907 9416.603 1.013413 9354.412

9490.268

Tem.2010 9564.682 9562.032 1.000277 9093.935

9633.796

Ağu.2010 8523.451 9708.624 0.877926 8960.973

183

9783.453

Eyl.2010 8909.23 9863.645 0.903239 8918.074

9943.836

Eki.2010 10963.59 10047.06 1.091224 10458.63

10150.27

Kas.2010 9382.369 10197.92 0.920028 9480.696

10245.56

Ara.2010 11822.55 10320.85 1.145501 11551.31

10396.15

Oca.2011 9551.084 10491.78 0.910339 10524.99

10587.42

Şub.2011 10059.13 10700.83 0.940033 10512.17

10814.23

Mar.2011 11811.09 10890.95 1.084486 11317.42

10967.68

Nis.2011 11873.27 11007 1.078702 11859

11046.31

May.2011 10943.36 11116.99 0.984382 10863.87

11187.66

Haz.2011 11349.95 11214.95 1.012038 11125.76

11242.24

Tem.2011 11860 11275.52 1.051837 11276.29

11308.8

Ağu.2011 11245.12 11379.23 0.988215 11822.35

11449.66

Eyl.2011 10750.63 11507.98 0.934189 10761.3

11566.3

Eki.2011 11907.22 11598.01 1.026661 11358.8

11629.71

Kas.2011 11078.52 11721.09 0.945179 11194.63

11812.46

Ara.2011 12477.49 11339.55 1.100351 12191.21

10866.64

Oca.2012 10349.77 11459.31 0.903176 11405.12

12051.98

Şub.2012 11749.54 12118.64 0.969543 12278.71

12185.29

Mar.2012 13210.71 12279.56 1.075829 12658.55

12373.83

Nis.2012 12634.23 12619.05

May.2012 13136.39 13040.97

Haz.2012 13241.24 12979.69

184

Tem.2012 12842.96 12210.86

Ağu.2012 12844.83 13504.17

Eyl.2012 13013.07 13025.98

İhracat serisi ile mevsimsel etkiden arındırılarak düzeltilmiş ihracat serisinin grafiği

aşağıdaki gibidir.

Buradan da görüldüğü gibi ihracat serisi mevsimsel etkiden arındırılsa bile konjonktürel

hareketlerin etkisi altındadır. Şimdi son aşamada düzeltilmiş ihracat serisine uygun trend

modelini tahmin etmeye çalışalım. Bunun için Ocak 2007 tarihine 0 değeri verilerek orijin kabul

edilmiştir. Böylece ihracat serisi doğrusal olmadığından, önce kuadratik ve daha sonra kübik

trend denklemleri tahmin edilmiştir. İhracat serisinin kuadratik trend tahmini;

Dihracat=9878.985 −65.20467T+1.633319T2

t: (21.7995) (−2.1163) (3.7264) R2:0.4231

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

11,000

12,000

13,000

14,000

2007 2008 2009 2010 2011 2012

DIHRACAT IHRACAT

185

değerleri ile tüm parametreleri istatistiksel olarak anlamlı, ancak açıklayıcılık gücü düşük

olarak tahmin edilmiştir. Grafikten de görüldüğü gibi tahmin edilen değerlerin gerçek veri

kümesine uyumu azdır. Çarpımsal ayrıştırma modeline göre mevsimsellikten arındırılmış

ihracat serisinin kuadratik model ile yapılan tahminlerinin toplamsal ayrıştırma modeli ile

yapılan tahminlere çok yakın olduğuna dikkat edilmelidir.

Kübik modelin tahmini ise;

Dihracat=8586.87 +171.4957T−7.1327T2+0.08594T3

t: (15.9433) (2.482) (−3.0083) (3.751) R2:0.525 2 90472053ie =∑

olarak tahmin edilmiştir. düzeltilmiş ihracat serisi ile kübik modele göre tahmin edilen serinin

grafikleri incelendiğinde ise;

7,000

8,000

9,000

10,000

11,000

12,000

13,000

14,000

2007 2008 2009 2010 2011 2012

DIHRACAT TAHMINIIHRACAT

186

yine toplamsal ayrıştırma modelindeki bulgulara benzer olarak, eğrinin seriye kuadratik

fonksiyona göre daha iyi uyum sağladığı ancak yine son dönem tahminlerin düzeltilmiş ihracat

serisinin oldukça üstünde kaldığı gözlenmektedir.

Toplamsal ayrıştırma modeli yardımıyla tahmin edilen kübik model ile çarpımsal

ayrıştırma modeli yardımıyla tahmin edilen kübik model arasında tercih yapmak üzere

modellerin hata kareler toplamına bakıldığında;

Toplamsal ayrıştırma modelinde 2 90323483ie =∑ ve

Çarpımsal ayrıştırma modelinde 2 90472053ie =∑

olduğu görülmektedir. Buna göre ihracat serisinin mevsimsel etkiden arındırılmasında, en

küçük hata kareler toplamını veren toplamsal ayrıştırma modeline göre tahmin edilen kübik

model tercih edilmelidir.

Toplamsal ayrıştırma modeline göre arındırılan ihracat serisinin kübik modele göre

Ekim 2012 tarihine ilişkin öngörüsü ise;

7,000

8,000

9,000

10,000

11,000

12,000

13,000

14,000

15,000

2007 2008 2009 2010 2011 2012

TAHMINIIHRACAT DIHRACAT

187

Dihracat= 8592.578+166.673T−6.919T2+0.083T3

Dihracat= 8592.578+166.673(69)−6.919(692)+0.083(693)= 42605.201

milyon dolar olarak bulunur.

188

Uygulamalar

189

Uygulama Soruları

190


191

Bölüm Soruları



mevsim endeksini hesaplayınız ve mevsimsel etkilerden çarpımsal ayrıştıma modeli varsayımı

ile arındırınız.

2) Çarpımsal ayrıştırma modeline göre elde ettiğiniz mevsim endeksinin grafiğini

çizerek yorumlayınız.

3) Hem toplamsal ayrışma hem de çarpımsal ayrıştırma modelleri ile mevsimsel etkiden

arındırılmış ithalat serisi için uygun trend modelini bularak, iki ayrıştırma modeli arasında

tercih yapınız.

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

192

10)

193

9. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-VII

194


9.1.

9.2.

9.3.

195


196



197

Anahtar Kavramlar

198

Giriş


bir serinin bu etkiden arındırılması ve mevsim endeksinin oluşturulması ile ilgili diğer

yöntemler açıklanacaktır. Ayrıca mevsimselliğin paarametrik olmayan bir yöntem olan

Kruskal-Wallis testi ile sınanması açıklanarak, örneklenecektir.

199

2.1.1.3. Aylık Ortalamaların Genel Ortalamaya Oranı Yöntemi

Mevsimsel dalgalanmaların belirlenmesinde ve mevsim endeksi oluşturmakta

kullanılan en basit yöntem aylık ortalamalar yöntemidir. Bu yönteme göre;

• Öncelikle veri kümesindeki her ayın ortalama değeri ( aY ) alınır.

• İkinci aşamada her ayın ortalamasından oluşan aylık değerlerin ortalaması alınır.

Böylece ayların ortalamalarının ortalaması olan bir genel ortalama oluşturulur.

12aY

Y

=

• Son olarak her aya ait ortalama değer genel ortalamaya oranlanarak mevsim endeksi

elde edilir.

100aYME

Y= ×

Örneğin Ocak 2007-Eylül 2012 yılları arasında incelediğimiz Toplam ihracat serisi için

ilk olarak veri kümesindeki sırasıyla tüm Ocak aylarının, Şubat aylarının ,..., Aralık aylarının

ortalaması alınır. Daha sonra bu ortalama değerlerin ortalaması hesaplanarak genel ortalamaya

ulaşılır. Ardından her aya ait ortalama genel ortalamaya oranlanır.

Toplam

İhracat 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Ayların

Ortalaması

Mevsim

Endeksi

Ocak 6564,559 10632,21 7884,493 7828,748 9551,084 10349,77 8801,81 86,32199

Şubat 7656,951 11077,9 8435,115 8263,237 10059,13 11749,54 9540,311 93,56468

Mart 8957,851 11428,59 8155,485 9886,488 11811,09 13210,71 10575,03 103,7125

Nisan 8313,312 11363,96 7561,696 9396,006 11873,27 12634,23 10190,41 99,94043

Mayıs 9147,62 12477,97 7346,407 9799,958 10943,36 13136,39 10475,28 102,7343

Haziran 8980,247 11770,63 8329,692 9542,907 11349,95 13241,24 10535,78 103,3275

Temmuz 8937,741 12595,43 9055,733 9564,682 11860 12842,96 10809,42 106,0113

Ağustos 8736,689 11046,83 7839,908 8523,451 11245,12 12844,83 10039,47 98,4601

Eylül 9038,743 12793,15 8480,708 8909,23 10750,63 13013,07 10497,59 102,953

Ekim 9895,216 9722,708 10095,77 10963,59 11907,22 10516,9 103,1424

Kasım 11318,8 9395,872 8903,01 9382,369 11078,52 10015,71 98,22711

Aralık 9724,017 7721,948 10054,59 11822,55 12477,49 10360,12 101,6048

Genel Ortalama 10196,49

200

Hesaplanan mevsim endekslerine baktığımızda toplam ihracatın Ocak, Şubat, Nisan,

ağustos ve Kasım aylarında düştüğü diğer aylarda yükseldiği görülmektedir. En büyük düşüşün

Ocak ayında olduğu, en yüksek artışın ise Temmuz ayında gerçekleştiği anlaşılmaktadır. Bu

bulgu daha önce hesaplanan mevsim endeksleri ile uyuşmaktadır. Ancak burada düşüş ve

yükseliş miktarları kabaca belirlenmiştir.

Buradan da görüldüğü gibi mevsim endeksleri serinin taşıdığı diğer gözlenemeyen

unsurlar hiç dikkate alınmadan hesaplanmıştır. Oysa ekonomik zaman serilerinde dalgalanma

yaratan nedenler yalnızca mevsimsellik değildir. Özellikle trend ve konjonktür unsurlarının

dikkate alınmaması yöntemin en büyük zaafıdır. Bu nedenle aylık ortalamalar yardımıyla

hesaplanan mevsim endeksi ancak kaba bir tahmin verecektir. Bu nedenle yöntem trendin

etkisini de gösterecek şekilde geliştirilmiştir.

2.1.1.4. Aylık Ortalamaların Trende Oranı Yöntemi

Aylık ortalamaların genel ortalamaya oranlanması yönteminin en büyük eksikliği veri

kümesindeki trendi dikkate almamasıdır. Bu nedenle aylık ortalamaların trende oranı yöntemi

geliştirilmiştir. Bu yöntemde;

• Her yıla ait toplam değerler bulunur.

• Yıllık toplam değerlere dayanılarak en küçük kareler yöntemi ile trend modeli

tahmin edilir.

• Trend denkleminden aylık değerler bulunur. Aylık değerler bulunurken, gerekli

ayarlamalar yapılmalıdır.

• Son olarak ayarlanmış değerlerin aylık ortalama değere, trenddeki artış veya

azalış eğilimine göre eklenir veya çıkarılır.

• Her ayın ayarlanmış değeri bu ortalamaya oranlanmak suretiyle mevsim endeksi

oluşturulur.

Şimdi yine daha önce kullandığımız toplam ihracat serisi ile ilgili mevsim endeksini

aylık ortalamaların trende oranı yöntemi ile oluşturalım. Ancak Ocak 2007- Eylül 2012

tarihlerini kapsayan serimizde en küçük kareler yöntemi ile yıllık trend analizi yapılması

gerektiğinden, bu hesaplamada serimizi 2007-2011 yılları arasında tam beş yıllık olarak

alacağız.

Böylece ilk olarak her yılın toplam değeri ilgili yıla ait sütunun son satırında

gösterilerek;

201

Toplam

İhracat 2007 2008 2009 2010 2011

Ocak 6564,559 10632,21 7884,493 7828,748 9551,084

Şubat 7656,951 11077,9 8435,115 8263,237 10059,13

Mart 8957,851 11428,59 8155,485 9886,488 11811,09

Nisan 8313,312 11363,96 7561,696 9396,006 11873,27

Mayıs 9147,62 12477,97 7346,407 9799,958 10943,36

Haziran 8980,247 11770,63 8329,692 9542,907 11349,95

Temmuz 8937,741 12595,43 9055,733 9564,682 11860

Ağustos 8736,689 11046,83 7839,908 8523,451 11245,12

Eylül 9038,743 12793,15 8480,708 8909,23 10750,63

Ekim 9895,216 9722,708 10095,77 10963,59 11907,22

Kasım 11318,8 9395,872 8903,01 9382,369 11078,52

Aralık 9724,017 7721,948 10054,59 11822,55 12477,49

Toplam 107271,7 132027,2 102142,6 113883,2 134906,9

toplamlardan oluşan yıllık değerler elde edilir.

Yıllar

Toplam

İhracat

2007 107271,7

2008 132027,2

2009 102142,6

2010 113883,2

2011 134906,9

Şimdi bu değerlerle en küçük kareler yöntemi ile trend denklemini tahmin edelim.

Elbette daha önce söylendiği gibi trend tahmini için en az 10 yıllık veriye ihtiyaç vardır. Ancak

burada işlemlerin kolaylaştırılması için 5 yıllık veri kümesi ile yetinilmiştir.

Toplam ihracat=118046.3+3712,626T

şeklinde 2009 yılı orijin alınaraktahmin edilmiştir. Buradan yılda ortalama 3712,626 milyon $

lık ihracat artışımızın olduğu görülmektedir. Şimdi bu değerlerden aylık artışları elde edelim.

Değerler aylık değerlerin toplamı olarak oluşturulduğunda, tek sayılı bir seri kullandığımızdan,

12 144tY T

α β= +

denklemi yardımıyla, önce eğim parametresi 144’e oranlanır.

202

3712,62625,782

144=

Bu değer serinin 30 Haziran 2009 tarihi olan tam ortasına denk gelecektir. Aylık trend

değerlerini bulabilmek için

25,78212,891

2=

şeklinde her ayın 15. gününe ait değerler hesaplanmalıdır. Böylece trend artış eğiliminde

olduğu için ortalamada düzeltme yapmak amacıyla orijin öncesi değerlere aylık ve on beş

günlük değerler eklenerek, orijin sonrası değere ise tersine olarak çıkarılarak düzeltme yapılır.

15 Haziran 2009 değeri için 12,891 Mayıs 2009 değeri 12,891+25,782=37,782 Nisan 2009 değeri 12,891+25,782+25,782=63,564

15 Temmuz 2009 değeri de -12,891 ile düzeltilir. Böylece Ağustos 2009 değeri ve

yılın diğer aylarından aylık değerler düşürülerek düzeltme yapılır.

Aylar 2007 2008 2009 2010 2011 Ortalama

Ocak 6705,469 10773,12 8025,403 7969,658 9691,994 8633,128

Şubat 7772,079 11193,03 8550,243 8378,365 10174,25 9213,594

Mart 9047,197 11517,93 8244,831 9975,834 11900,43 10137,25

Nisan 8376,876 11427,53 7625,26 9459,57 11936,83 9765,213

Mayıs 9185,402 12515,75 7384,189 9837,74 10981,15 9980,845

Haziran 8993,138 11783,53 8342,583 9555,798 11362,84 10007,58

Temmuz 8924,85 12582,54 9042,842 9551,791 11847,11 10389,83

Ağustos 8698,907 11009,05 7802,126 8485,669 11207,34 9440,618

Eylül 8975,179 12729,58 8417,144 8845,666 10687,06 9930,927

Ekim 9805,87 9633,362 10006,42 10874,24 11817,87 10427,55

Kasım 11203,67 9280,744 8787,882 9267,241 10963,4 9900,587

Aralık 9583,107 7581,038 9913,681 11681,64 12336,58 10219,21

Buradan hesaplanan aylık ortalamalar ortalamasına oranlanarak

203

Aylar

Aylık

Ortalama

İhracat

Trend

İçin

Ayarlama

Değerleri

Ayarlnmş

Aylık

Orta.lar

Mevsim

Endeksi

Ocak 8801,81 140,91 8633,128 0,877601

Şubat 9540,311 115,128 9213,594 0,936608

Mart 10575,03 89,346 10137,25 1,030502

Nisan 10190,41 63,564 9765,213 0,992683

Mayıs 10475,28 37,782 9980,845 1,014603

Haziran 10535,78 12,891 10007,58 1,01732

Temmuz 10809,42 -12,891 10389,83 1,056178

Ağustos 10039,47 -37,782 9440,618 0,959686

Eylül 10497,59 -63,564 9930,927 1,009528

Ekim 10516,9 -89,346 10427,55 1,060013

Kasım 10015,71 -115,128 9900,587 1,006444

Aralık 10360,12 -140,91 10219,21 1,038834

Ortalama 9837,194

şeklinde mevsim endeksi bulunur. Buradan hesaplanan mevsim endeksinde de çarpımsal

ayrıştırma modeline göre hesaplanan mevsim endeksine benzer şekilde en düşük ihracatın Ocak

ayında en yüksek ihracatın ise Ekim ayında yapıldığı görülmektedir.

Mevsimsel hareketlerin varlığı çoğu kere serinin grafiği çizilerek anlaşılabilir. Ancak

her zaman serideki mevsimsellik gözle görülür derecede net değildir. Bu durumda öncelikle

serinin mevsimsel etki taşıyıp taşımadığı belirlenmelidir. Bu amaçla ekonomik zaman serileri

test edilmelidir. Mevsimselliğin belirlenmesinde parametrik ve parametrik olmayan testler

kullanılmaktadır.

2.1.2. Mevsimselliğin Belirlenmesinde Kullanılan Parametrik Olmayan Testler

Daha önce de söz edildiği gibi parametrik olmayan testeler bir dağılıma dayanmayan,

küçük örneklemlerde kullanılan testlerdir. Bu testler genellikle parametrik bir testin

alternatifidir. Mevsimselliğin belirlenmesinde kullanılan parametrik test F testidir. Bu testin

parametrik olmayan alternatifi ise Kruskal-Wallis testidir.

Tek yönlü varyans analizine alternatif olan Kruskal-Wallis testi sıralanmış veri

kümelerine uygulanan ve iki ve daha fazla anakütleden çekilen bağımsız örnekler yardımıyla

ilgili anakütlelerin benzer olup olmadığını sınayan bir testtir. Test istatistiği

204

2123( 1)

( 1)i

i

RKW N

N N n= − +

+ ∑

şeklinde olup, s-1 serbestlik derecesi ile 2χ dağılımına uyar. Burada aylık veri kullanılıyorsa

s=12-1, ve üç aylık veri kullnılıyorsa s=4-1 şeklinde alınmalıdır. N toplam gözlem sayısını, Ri

her mevsim için sıralam değerlerinin toplamınıve ni ise,her mevsim içinde sıralanan değerlerin

sayısını gösterir. Bu durumda hesaplanan KW test istatistiği tablo değerinden büyük ise

H0: mevsimsellik yoktur.

şeklindeki sıfır hipotezi reddedilerek mevsimselliğin bulunduğu sonucuna varılır.

Şimdi daha önce mevsimsel dalgalanmalar olduğunu zamana bağlı grafiğini çizerek

belirlediğimiz toplam ihracat serisinin mevsimselliğini Kruskal -Wallis testi yardımıyla

sınayalım. Bu sınama için daha önceden hazırladığımız toplam ihracat serisinin merkezi

hareketli ortalamalara oranlanması ile elde edilen seri kullanılmalıdır. Kruskal-Wallis testi için

• İlk olarak veri kümesi küçükten büyüğe doğru sıralanmalıdır.

• Daha sonra aylara karşılık gelen sıra değerleri toplanarak Ri değerleri oluşturulmalıdır.

• Ardından Kruskal-Wallis test istatistiği hesaplanarak tablo değeri ile kıyaslanmalıdır.

Bu basamaklar toplam ihracat serisine uygulandığında, sıralama

Yıllar Top. İhr. Top.İhr/MHO Sıralama

Oca.2007 6564.559

Şub.2007 7656.951

Mar.2007 8957.851

Nis.2007 8313.312

May.2007 9147.62

Haz.2007 8980.247

Tem.2007 8937.741 0.981221 24

Ağu.2007 8736.689 0.927381 13

Eyl.2007 9038.743 0.935077 16

Eki.2007 9895.216 0.999884 30

Kas.2007 11318.8 1.113809 53

Ara.2007 9724.017 0.933451 14

Oca.2008 10632.21 0.994971 29

Şub.2008 11077.9 1.013105 35

Mar.2008 11428.59 1.021569 38

Nis.2008 11363.96 1.002419 33

205

May.2008 12477.97 1.109229 51

Haz.2008 11770.63 1.061787 43

Tem.2008 12595.43 1.156841 55

Ağu.2008 11046.83 1.03598 40

Eyl.2008 12793.15 1.228141 57

Eki.2008 9722.708 0.960564 21

Kas.2008 9395.872 0.963716 22

Ara.2008 7721.948 0.822145 1

Oca.2009 7884.493 0.866277 3

Şub.2009 8435.115 0.956311 19

Mar.2009 8155.485 0.958661 20

Nis.2009 7561.696 0.906349 9

May.2009 7346.407 0.881072 5

Haz.2009 8329.692 0.989899 27

Tem.2009 9055.733 1.064183 44

Ağu.2009 7839.908 0.922334 12

Eyl.2009 8480.708 0.990154 28

Eki.2009 10095.77 1.158623 56

Kas.2009 8903.01 1.001209 32

Ara.2009 10054.59 1.111614 52

Oca.2010 7828.748 0.858717 2

Şub.2010 8263.237 0.901462 6

Mar.2010 9886.488 1.073123 45

Nis.2010 9396.006 1.013939 37

May.2010 9799.958 1.051163 41

Haz.2010 9542.907 1.013413 36

Tem.2010 9564.682 1.000277 31

Ağu.2010 8523.451 0.877926 4

Eyl.2010 8909.23 0.903239 8

Eki.2010 10963.59 1.091224 49

Kas.2010 9382.369 0.920028 11

Ara.2010 11822.55 1.145501 54

Oca.2011 9551.084 0.910339 10

Şub.2011 10059.13 0.940033 17

Mar.2011 11811.09 1.084486 48

Nis.2011 11873.27 1.078702 47

May.2011 10943.36 0.984382 25

Haz.2011 11349.95 1.012038 34

Tem.2011 11860 1.051837 42

Ağu.2011 11245.12 0.988215 26

Eyl.2011 10750.63 0.934189 15

Eki.2011 11907.22 1.026661 39

206

Kas.2011 11078.52 0.945179 18

Ara.2011 12477.49 1.100351 50

Oca.2012 10349.77 0.903176 7

Şub.2012 11749.54 0.969543 23

Mar.2012 13210.71 1.075829 46

Nis.2012 12634.23

May.2012 13136.39

Haz.2012 13241.24

Tem.2012 12842.96

Ağu.2012 12844.83

Eyl.2012 13013.07

şeklinde elde edilir. Buradan her ay için sıra değerleri

ROcak= 29+3+2+10+7=51

RŞubat=35+19+6+17+23=100

RMart=38+20+45+48+46=197

RNisan=33+9+37+47=126

RMayıs=51+5+41+25=122

RHaziran=43+27+36+34=140

RTemmuz=24+55+44+31+42=196

RAğustos=13+40+12+4+26=95

REylül=16+57+28+8+15=124

REkim=30+21+56+49+39=195

RKasım=53+22+32+11+18=136

RAralık =14+1+52+54+50=171

biçiminde toplanarak, son aşamada Kruskal-Wallis test istatistiği;

207

2123( 1)

( 1)i

i

RKW N

N N n= − +

+ ∑2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 212 51 100 197 126 122 140 196 95 124 195 136 171

3(57 1)57 58 5 5 5 4 4 4 5 5 5 5 5 5

= + + + + + + + + + + + − + ×

=25.28

Tablo değeri

212 1,0.05χ − = 19.675<25.28 olduğundan H0: toplam ihracat

serisinde mevsimsellik yoktur şeklindeki hipotez reddedilir. Toplam ihracat serisi mevsimsel

etki taşımaktadır. Bu nedenle yapılan düzeltme işlemleri ile mevsimsellikten arındırılmıştır.

208

Uygulamalar

209

Uygulama Soruları

210


211

Bölüm Soruları



Söz konusu veri için mevsimsel endeksini;

a. Aylık ortalamaların genel ortalamaya oranı yöntemi ile

b. Aylık ortalamaların trende oranı yöntemi ile oluşturunuz.

c. Veri kümesinin mevsimselliğini Kruskal-Wallis yöntemi ile sınayınız.

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

212

8)

9)

10)

213

10. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-VIII

214


10.1.

10.2.

10.3.

215


216



217

Anahtar Kavramlar

218

Giriş


bir seride bu etkiyi yaratan takvimle ilgili nedenler, ticari gün etkisi ve hareketli tatil etkisi gibi

nedenler ile zaman serilerinde ortaya çıkan aykırı gözlemler açıklanacaktır. Ayrıca resmi

istatistik ofisleri tarafından kullanılan mevsimsel düzeltme yöntemlerinden X-11 yöntemi

açıklanacaktır.

219

2.2. Mevsimsel Düzeltme Gerektiren Nedenler

Ekonomik zaman serilerinde mevsim etksinin belirlenmesi durumunda düzeltilmesi için

öncelikle mevsimsel etkinin kaynağı belirlenmelidir. Mevsimsel düzeltme gerektiren ve

serilerde mevsim etkisi yaratan nedenler;

• Takvimle ilgili nedenler

• Ticari gün etkisi ve hareketli tatil etkisidir.

Bu etkileri açıklamadan önce takvimin özelliklerini inceleyelim.

2.2.1 Takvim Etkileri

Zaman serilerindeki takvim etkisi takvim aylarının farklı uzunlukta olmasından

kaynaklanmaktadır. Takvim ayları en az 28 gün en çok 31 gün süren aylardır. Özellikle üretim

ve satışlar gibi ekonomik zaman serilerinde 28 gün süren bir Şubat ayı ile 32 gün süren Mart

ayının ekonomik faaliyetleri kıyaslandığında, piyasa koşullarında hiçbir değişiklik olmasa bile

yalnızca gün sayısındaki farklılaşma nedeniyle aylar arasındaki ortalama verimlilik farklı

olacaktır. Ayların farklı sayıda güne sahip olması nedeniyle ortaya çıkan bu etkiye ay uzunluğu

etkisi adı verilir. Takvimle ilgili etkiler bundan ibaret değildir. Farklı sayıda güne sahip ayların

artarda gelmesiyle oluşan etkiye de aylar arası değişim adı verilmektedir. Aydan aya değişimler

ele alındığında;

• Otuz günlük aylardan otuz bir günlük aylara yedi farklı şekilde geçildiği

• Otuz bir günlük aylardan otuz günlük aylara yine yedi farklı biçimde geçildiği

• Otuz bir günlük aylardan yine otuz bir günlük aylara yedi farklı biçimde

geçildiği

• Şubat ayından otuz bir günlük aylara on dört farklı biçimde geçildiği

Böylece toplam kırk dokuz farklı bileşimin olduğu görülmektedir.

Ay arası değişimle birlikte ayların bileşimi yıldan yıla da değişir. Buna göre:

• Otuz bir günlük yedi ay

• Otuz günlük yedi ay

• Yirmi sekiz gün süren yedi Şubat ayı ile yirmi dokuz gün süren ve artık yıl olarak

adlandırılan bir Şubat ayı, ile birlikte yirmi iki farklı tipte takvim ayı bulunmaktadır.

220

Belli bir ay içinde belli bir günün kaç tane olduğu da bilinmelidir. Bir ayda aynı günün

farklı sayıda olmasına ay içi değişim adı verilmektedir. Takvimde yirmi sekiz yılda bir ayların

başlangıcı aynı güne gelmektedir.

2.2.1.1. Ticari Gün Etkisi

Ticari gün değişimi, ekonomik zaman serilerinde ay uzunluğu ve ayların kendi içindeki

bileşimine bağlı olarak haftanın belli bir gününün ayda kaç kere tekrarlandığına bağlı etkidir.

Ekonomik faaliyetlerin ticari günü fazla olan aylarda az olan aylara oranla daha yüksek

gözükmesi nedeniyle ortaya çıkan etkilerin diğer mevsimsel etkilerden ayrıştırılabilmesi için

ticari gün değişiminin ayrıca belirlenmesi gerekmektedir. Ticari gün etkisi modellerde dışsal ve

bağımsız etki olarak kabul edilmektedir. Pazartesi ve Cumartesi günleri arasındaki altı gün

ticari gün olarak sayılmakta iken, Pazartesi ve Cuma günleri arasındaki beş gün çalışma günleri

olarak sayılmaktadır.

Buna göre serilerde ticari gün değişiminin etkisini belirlemek amacıyla, kullanılan

ayrıştırma modellerinde haftanın günlerine ağırlıklar atanmaktadır. Ekonomik zaman serisini

mevsim etkisinden arındırmak amacıyla toplamsal ayrıştırma modeli seçilirse, ağırlıklar

toplamının sıfır olması, çarpımsal ayrıştırma modeli seçilirse toplamın yedi olması, böylece

ticari gün etkisinin nötr olması istenmektedir.

Ticari gün etkisi aylık verilerde olduğu kadar üç aylık verilerde de söz konusudur. Üç

aylık verilerde genellikle:

Ocak-Şubat-Mart ayları I. Çeyrek Nisan-Mayıs-Haziran ayları II. Çeyrek Temmuz-Ağustos-Eylül ayları III. Çeyrek Ekim-Kasım-Aralık ayları IV. Çeyrek

olarak alınmaktadır. Her çeyrek dönem 90 ile 92 gün arasında olup, ticari gün etkisi aylık veriye

oranla üç aylık veri de daha zayıftır.

Ayrıca yine yılların 365 gün altı saat olması nedeniyle dört yılda bir ortaya çıkan artık

yıl etkisinden özellikle sanayi üretimi ve enerji sektöründeki ekonomik seriler etkilenmektedir.

Bu tip veri kümeleri ile çalışılması halinde önce, artık yıl etkisinden arındırılmaları

gerekmektedir.

Ticari gün düzeltmesi yapmak veride aydan aya değişimi azaltacağından, trend ve

konjonktür unsurlarının daha açık bir şekilde ortaya çıkmasını sağlar.

221

2.2.1.2. Hareketli Tatil Etkisi

Yıl içinde meydana gelen ve tarihleri sistematik olarak değişen tatillerin yarattığı etkiye

hareketli tatil etkisi adı verilmektedir. Özellikle dini bayramlar dolayısıyla uygulanan tatiller

bu kapsamdadır. Ramazan ve Kurban Bayramlarının tarihleri yıl içinde Hicri takvim esas

alınarak belirlendiğinden sürekli bir döngü ile gerçekleşmektedirler. Genellikle Şubat ayında

olan Çin Yeni Yılı ve Mart sonu veya Nisan başında olan Paskalya da yine tarihleri yıl içinde

değişen hareketli tatillerdendir. Bu tatillerin tarihleri ay takvimi esasına dayanılarak

belirlenmektedir. Üstelik ülkemizde iki tatil günü arasında kalan çalışma günleri genellikle tatil

edildiğinden bu bayramlar bazı yıllarda dokuz günlük tatillere dönüşmektedir.

Hareketli tatillerin özellikle turizm verileri, hava yolu yolcu taşımacılığı gibi seriler

üzerinde etkili olduğu bilinmektedir. Hareketli tatillerin ekonomik zaman serileri üzerindeki

etkisi sabit büyüklük ve yöndedir. Bu tip tatiller üretimde iş günü kaybına yol açtığı gibi,

ekonomik ve sosyal davranışları da değiştirmektedir. Bu tip tatiller her yıl başka bir tarihte

gerçekleştiğinden, etkilerini standart bir mevsimsel düzeltme süreci içinde tahmin etmek

oldukça güçtür. Ancak sağlıklı bir trend-konjonktür tahmini için zaman serilerine mevsimsel

düzeltme uygularken, veriyi takvim ve tatil etkilerinden arındırmak gerekmektedir. Bunun yanı

sıra düzensiz unsurların içerdiği aykırı gözlemlerin varlığı ve etkileri de incelenmeli, aykırı

gözlemlerin etkisi belirlendiği takdirde veri kümesi bu etkilerden de arındırılmalıdır.

2.2.2. Aykırı Gözlemler

Zaman serilerinde sık sık rastlanan aykırı gözlemlere iki farklı yaklaşım

uygulanmaktadır. Bu yaklaşımlardan ilki tanı sınamaları (diagnostics) yaklaşımı olup, tahmin

edilen modelin kalıntılarına olası aykırı gözlemleri tanımlayarak test etmek amacıyla uygulanan

sınamalar sürecidir. Bu yaklaşımda aykırı gözlem, önerilen modelle birlikte tanımlanarak,

modelin parametreleri ile aykırı gözlemin etkisi birlikte tahmin edilmektedir. Böylece aykırı

gözlemin etkisi bulunurken, aynı zamanda modelin parametrelerinin dayanıklı (robust)

tahminleri de bulunmaktadır.

İkinci yaklaşım ise, dayanıklı tahmin yaklaşımıdır ki, burada aykırı gözlem varlığı ile

kirlenen (contaminate) parametre tahminleri iyileştirilerek aykırı gözlem tanımlanıp, test

edilmektedir. Söz konusu yaklaşımlar birbirini tamamlayan ve birlikte kullanıldıklarında

yapılan denetimi ve tahminleri geliştiren yaklaşımlardır.

Zaman serileri üzerine yapılan çalışmalarda serileri etkileyen pek çok farklı tipte aykırı

gözlem olduğu, bunların farklı nedenlerden kaynaklandığı ve seriler üzerindeki etkilerinin de

doğal olarak birbirinden farklı olduğu belirlenmiştir. Zaman serilerinde görülen başlıca aykırı

gözlemler; toplamsal (additive) aykırı gözlem, yenileşim (innovative veya innovation) aykırı

gözlemi ve düzey kayması (level shift) olarak sıralanabilir.

222

2.2.2.1. Toplamsal Aykırı Gözlemler

Zaman serisinin gözlenen değerinde belli bir T noktasında meydana gelen bir dışsal

değişme veya ölçme hatası gibi bir dışsal hatadan kaynaklanan aykırı gözleme “toplamsal aykırı

gözlem” (TAG) adı verilmektedir. Toplamsal aykırı gözlem olması durumunda orijinal Yt serisi

yerine artık Zt serisi,

....................

.......t

t

t TAG

Y t TZ

Y t Tα

≠=

+ =

şeklinde gözlenecektir. TAG, genel olarak belli bir T anında meydana gelen grev ve kaza gibi

beklenmeyen bir olayın zaman serisinin bu noktadaki ve dolayısıyla gelecek değerleri

üzerindeki etkisidir. Bu gözlemler serinin tahmin edilen kalıntılarını ve tahmin edilen parametre

değerlerini de etkileyecektir. TAG meydana gelmeden önce kalıntılar, orijinal sürecin

kalıntıları ile aynı iken, T anından sonra farklılaşacak ve artık saf rassal süreci izlemeyecektir.

Toplamsal aykırı gözlemlerin model parametreleri üzerinde de kuvvetli etkileri görülmektedir.

TAG çok geniş ise, tahmin edilen parametreler sıfıra doğru sapmalı (bias) olacaktır. Bu

durumda otokorelasyon katsayıları da sıfıra doğru çekilecektir. TAG etkisinin örneklem

büyüklüğü artıkça azalması beklenmektedir.

2.2.2.2. Yenileşim Aykırı Gözlemi

Zaman serisinin kalıntıları üzerindeki bazı içsel etkiler veya içsel değişimler tarafından

üretilen aykırı gözlemlere “yenileşim aykırı gözlemi” (YAG) adı verilmektedir. Yenileşim

aykırı gözlemi olması durumunda orijinal Yt serisi yerine gözlenen Zt serisi,

.......................

...... ,......... 0t

t

t YAG i

Y t TZ

Y t T i iβ λ

<=

+ = + >

şeklinde olacaktır. Burada iλ ARIMA sürecindeki MA(∞ ) katsayıları olup, YAG’ın zaman

serisinin değerleri üzerindeki etkisi ARIMA modeline bağlı ve bu modelin gürültüsü üzerinde

etkili olan sistematik olmayan bütün değişkenlerin bileşik etkisi olarak açıklanabilir.

Yenileşim aykırı gözlemlerinin zaman serileri üzerindeki zararlı etkileri genel olarak

toplamsal aykırı gözlemlerden daha azdır. Bu gözlemler de hem kalıntılar hem de tahmin edilen

parametreler üzerinde etkili olduğu halde, kalıntıları, yalnızca T anında etkiledikleri

belirlenmiştir. Dolayısıyla otokorelasyon katsayıları ve parametre tahminleri üzerinde çok

küçük bir etki yaratmaları beklenmektedir. Örneklem büyüklüğü artıkça tutarlı parametre

223

tahmini yapılabildiğinden, yenileşim aykırı gözlemlerinin parametreler üzerindeki etkisi ihmal

edilebilir. Saf rassal süreci izleyen zaman serileri üzerinde TAG ve YAG eş değer etkiye

sahiptir.

2.2.2.3. Düzey Kayması

Belli bir noktadan başlayarak sürecin düzeyini veya yerel (local) ortalamasını gözlenen

zaman döneminin sonuna kadar değiştiren etkiye “düzey kayması” (DK) adı verilmektedir.

Durağan süreçler için düzey kayması sürecin ortalamasında belli bir noktadan sonra meydana

gelen değişme olup, seriyi durağan olmayan sürece dönüştüren etkidir. Düzey kayması

meydana geldiğinde orijinal Xt serisi yerine, gözlenen Zt serisi,

≥+

<=

TtX

TtXZ

DKt

tt ...........

......................

η

şeklinde olacaktır. Böylece düzey kayması zamanda belli bir anda başlayan ve dönem sonuna

kadar süren aynı büyüklükteki ardışık aykırı gözlemler olarak açıklanabilir. Durağan olmayan

zaman serileri üzerinde düzey kaymaları yenileşim aykırı gözlemi gibi etki etmektedir. Düzey

kaymaları serinin kalıntıları ve parametre tahminleri üzerinde kuvvetli etkiye sahiptir. Durağan

AR(p) süreçlerinde düzey kaymasından sonra bütün kalıntıların aynı miktarda etkilendiği

görülmüştür. Durağan olmayan süreçlerde kalıntılar T anından durağanlığı sağlayacak uygun

AR(h) derecesi olan T+h dönemine kadar etkilenmektedir. Rassal gidiş sürecinde düzey

kaymasından yalnızca T anındaki kalıntı etkilenecektir. Özetle düzey kaymasının etkisi, seriyi

açıklayan modele bağlı olup, durağan olmayan süreçlerden ziyade durağan süreçler üzerinde

daha büyük etkiye sahiptir. Düzey kaymasının meydana geldiği an serinin sonuna doğru ise,

etkisi de o nispette azalacaktır. Öyle ki, serinin son gözleminde meydana gelen bir kayma

yalnızca son kalıntıyı etkileyecektir.

Düzey kaymasının otokorelasyon katsayıları üzerinde de etkili olduğu görülmüştür. Bu

etki ile ilk otokorelasyon katsayısı bire doğru sapmalı olacaktır. Gözlem sayısı t iken, t-T geniş

ise, durağan serilerde düzey kayması görüldüğü anda birim kök ile karşılaşılacaktır.

2.2.2.4. Aykırı Gözlemler ve Müdahale Analizi

Müdahale analizi (intervention analysis) bilinen belli bir anda meydana gelen dinamik

değişmelerin zaman serileri üzerindeki etkisini modellemek amacıyla yapılmaktadır. Aykırı

gözlemlerin etkisi çoğu kere zaman serileri üzerindeki deterministik etki veya müdahale analizi

ile birlikte ele alınmaktadır. Gözlenen zaman serisi Zt için müdahale analizi;

224

( )( ) ( )Tt t tZ V B D B aα θ= +

şeklinde bir fonksiyon ile yapılmaktadır. burada α sabit değer; Dt(T), t=T için Dt=1, diğer bütün

gecikmeler için sıfır değeri alan kukla değişken; ( )Bθ , MA polinomu, at, N(0, 2aσ ) ile bağımsız

ve tıpkı dağılan saf rassal süreç; B geriye kaydırma işlemcisi ve V(B)=(1+v1B+v2B2+…) T

anındaki müdahalenin transfer fonksiyonudur.

V(B)=1 ise toplamsal aykırı gözlem söz konusu olacaktır. Bu durumda müdahalenin

herhangi bir dinamiğe sahip olmadığı, toplamsal aykırı gözlem büyüklüğünün α olduğu

söylenebilir. Müdahalenin dinamiği orijinal sürecin dinamiği ile aynı olduğunda yenileşim

aykırı gözlemi ortaya çıkmaktadır. Zamanla azalan ve belli bir andan itibaren kaybolan düzey

kayması etkisi ise “geçici değişmeler” (transitory change)(GD) olarak ele alınmakta ve düzey

kaymasını üssel olarak söndüren müdahale etkisi V(B)=(1 δ− B)-1 olarak tanımlanmaktadır.

Burada δ =1 olduğunda müdahale, geçici değişme düzey kayması ile özdeş olurken, δ =0

olduğunda, toplamsal aykırı gözlem oluşmaktadır. Zaman serilerinde karşılaşılan bir başka

aykırı gözlem ise toplamsal aykırı gözlemlerin toplanması veya bütünleşmesiyle bulunan bir

düzey kayması olan “eğim kayması” (ramp shift) (EK) adı verilen aykırı gözlemdir. Eğim

kayması, gerçekleştiği T anından itibaren zaman serisinin eğiminde meydana gelen değişmeyi

göstermektedir.

Bir zaman serisinde aykırı gözlemlerin etkisini giderebilmek için,

• Öncelikle aykırı gözlemin hangi tarihte gerçekleştiğini tespit etmek

• Daha sonra gerçekleşen aykırı gözlemin hangi tip aykırı gözlem olduğunu

tanımlamak

• Son olarak uygun modeli tahmin ederek seriyi aykırı gözlem etkisinden

arındırmak gerekmektedir.

Bu süreç aykırı gözlemin meydana geldiği tarih ve tipi bilinemeyeceğinden oldukça

karmaşık olacaktır. Aynı anda hem örneklemdeki her nokta hem de aykırı gözlemin tipi

araştırılmalıdır. Mevsimsel düzeltme yapmak için geliştirilen tüm yöntemler, ilk yöntem olan

(X-11)’den itibaren, aykırı gözlemleri incelemekte ve özellikle son yıllarda geliştirilen

yöntemler genellikle toplamsal aykırı gözlem ve düzey kaymasını belirleyerek, seriden

arındırmaktadır.

225

2.3. İstatistik Ofisleri Tarafından Kullanılan Mevsimsel Düzeltme Yöntemleri

Zaman serilerine, mevsimsel düzeltme yöntemlerinin uygulanması, 1920’lerde Amerika

Birleşik Devletlerinde (ABD) National Bureau of Economic Research (NBER)’da yapılan

çalışmalarla başlamıştır. NBER bünyesinde Frederick R. Macaulay (1931) tarafından serilere

standart hareketli ortalamalara oranlar yöntemi uygulandığında, işlem tamamen yeni bir yöntem

olarak karşılanmıştı. Macaulay’nin geliştirmiş olduğu mevsimsel düzeltme yöntemi,

• Serilerin uygun hareketli ortalamalarını alarak trend tahmininin yapılması

• Seçilen ayrıştırma modeline göre mevsimsel ve düzensiz unsurlardan

arındırılmış trend tahmini

• Hareketli ortalamalar kullanarak mevsimsel faktörlerin tahmin edilmesi

aşamalarını izlemektedir. Bu aşamalar bir yineleme süreci oluşturmaktadır. Burada dikkat

edilmesi gereken nokta, seriyi oluşturan unsurların, daha önce de sözü edildiği gibi,

gözlenemeyen unsurlar olması nedeniyle serinin trendi bilinmedikçe mevsimselliğin

tanımlanamayacağı ve seri mevsimsel olarak düzeltilmedikçe trendin tahmin edilemeyeceğidir.

Zaman serilerinin gözlenemeyen unsurlarını ayrı ayrı tespit etmek amacıyla yinelemelerden

yararlanmak fikri, daha sonra geliştirilen hemen hemen tüm mevsimsel düzeltme yöntemlerinde

de benimsenmiştir.

Ayrıştırma modellerine uygulanan bu en basit mevsimsel düzeltme yönteminde, önce Xt

zaman serisinin sıklığına göre, aylık verilerin kullanılması halinde onikişerli, üç aylık verilerin

kullanılması halinde dörderli hareketli ortalamalar alınmaktadır. Daha sonra veriye merkezi

hareketli ortalamalar uygulanarak, oluşturulan mevsimsel faktörlerle toplamsal ayrıştırma

modellerinde trendden farklar, çarpımsal modellerde ise, trende oranlamalar yoluyla

mevsimsellikten arındırılmış seri üretilmektedir.

Oldukça uzun bir tarihi geçmişe sahip olan mevsimsel düzeltme yöntemleri

Macaulay’den günümüze dek hızla gelişmiş ve kullanımı yaygınlaşmıştır. Günümüzde istatistik

ofisleri tarafından mevsimsel düzeltme amacıyla uygulanan yöntemler filtre bazlı ve model

bazlı yaklaşımlar olmak üzere iki sınıfta toplanmıştır.

• Filtre Bazlı Yaklaşımlar

• Model Bazlı Yaklaşımlar

Şimdi kısaca bu yaklaşımlar hakkında bilgi verelim.

226

2.3.1. Filtre Bazlı Yaklaşımlar

Filtre bazlı yöntemler zaman serisinin taşıdığı trend, konjonktür, mevsimsellik ve

düzensiz unsurları genellikle sabit bir hareketli ortalamalar filtresi uygulayarak ayrıştıran

yöntemlerdir. Bu yöntemlerde tipik olarak serilerin ortasına denk gelen değerlere simetrik

doğrusal filtreler uygulanırken, başına ve sonuna denk gelen değerlere asimetrik doğrusal

filtreler uygulanmaktadır. Yöntemlerin amacı orijinal veriyi dairesel döngülerden

arındırmaktır. Böylece düzleştirilmiş (smoothing) bir trend tahmini yapmak mümkün olacaktır.

Filtre bazlı yöntemlerde unsurların açık bir model yardımıyla modellenmesi

gerekmemektedir. Düzensiz unsurlar mevsimsel sıklığa bağlı olarak düzleştirilmiş bir trend

tahmini sonrasında bulunur. Bu yöntemlerde düzeltme sürecinin özellikleri kullanılan filtrenin

özellikleri ile doğrudan bağlantılıdır.

Filtre bazlı modeller Census II X-11 tipi yöntemler olup, X-11, X-11 ARIMA, X-12

ARIMA, X-13, STL, SABL VE SEASABS modellerini kapsayan bir aileyi oluşturmaktadır. X-

11 tipi yöntemler genellikle yinelemeli yöntemlerdir. Trend, mevsimsellik ve düzensiz

unsurları kendi hesaplama süreci içinde ayrı ayrı tahmin etmektedir. X-11 tipi yöntemler

arasındaki başlıca hesaplama farklılıkları genellikle zaman serisinin başında ve sonunda

kullanılan değişik tekniklerden kaynaklanmaktadır. Yöntemlerden bazıları serilerin başındaki

ve sonundaki değerler için asimetrik filtreler uygularken, bazıları serileri genişletmek için

ARIMA modelleri ve simetrik filtreler kullanmaktadır.

2.3.2. Model Bazlı Yaklaşımlar

Model bazlı yöntemler orijinal serideki trend, konjonktür, mevsimsellik ve düzensiz

unsurların ayrı ayrı modellenmesini gerektirmektedir. Ancak bunun yerine orijinal seri

modellenerek bu modelden trend, konjonktür, mevsimsellik ve düzensiz unsurlar çıkarılabilir.

Her unsurun ayrıca modellenerek genellikle eş-anlı olarak tahmin edildiği yöntemler

Kalman filtresi ve ilgili teknikleri kullanmaktadır. Bu yöntemler her unsurun geniş spectral

karakterini, orijinal serinin taşıdığı devri hareketleri belirleyen kendi modeli tarafından tayin

edilmektedir.

Model bazlı yöntemler düzensiz unsurların sıfır ortalama ve sabit varyansa sahip saf

rassal süreç olduğunu varsaymaktadır. Model bazlı yöntemlerin değişik teknikleri arasındaki

başlıca hesaplama farklılıkları çoğunlukla model spesifikasyonundan doğmaktadır. Bazı

durumlarda unsurlar doğrudan modellenirken, diğer bazı durumlarda önce orijinal seri

modellenmekte sonra bu modelden unsurlar ayrıştırılmaktadır. Unsurların ayrıştırılmasında pek

çok alternatif söz konusu olabilir. STAMP ve TRAMO/SEATS gibi paket program haline

getirilerek araştırmacıların hizmetine sunulan yöntemler, model bazlı yaklaşımlardır.

Filtre bazlı yöntemler incelenen serinin özelliklerine çok bağlı olmayan yöntemlerdir.

Bu yöntem tercih edildiğinde, serilerin düzeltilmesi için belli sayıda filtreden uygun olanı

227

seçilmelidir. Bu yöntemlerde mevsimsel düzeltme sonuçlarının kesinlik ölçülerini oluşturmak,

sonuçlara yönelik sıkı bir denetim uygulamak, istatistiki çıkarsamalar yapmak mümkün

olmamaktadır. Bu nedenle yapılan tahminler için güven aralıkları oluşturmak da söz konusu

olamamaktadır.

Model bazlı yöntemler serilerin stokastik özelliklerini incelemeye olanak tanımaktadır.

Bu yöntemler serilerin stokastik yapısını esas alan filtre ağırlıkları kullanmaktadır. Uygulanan

modelin spesifikasyonu ve serilerin davranışlarını tanımlayabilme yeteneği

denetlenebilmektedir. Düzensiz unsurların saf rassal süreci takip ettiği varsayımı geçerli olursa,

tahminler için istatistiki çıkarsamalar yapmak mümkün olmaktadır.

Mevsimsel düzeltme yöntemleri Macaulay’ın çalışmalarının ardından hızla gelişmiştir.

Yöntemlerin asıl gelişimi ise, zaman serileri ile ilgili tüm hesaplamalarda büyük veri kümeleri

ile çalışılması gerekliliği ve dolayısıyla işlemlerin elde yapılması neredeyse imkânsız olması

nedeniyle, bilgisayar teknolojisine paralel olmuştur. Mevsimsel düzeltme yapmak amacıyla

üretilen ilk bilgisayar programı 1954 yılında NBER tarafından CENSUS-I adı ile kullanıma

sunulmuştur. Bu programla firma, ilgili endüstri kolu ve ulusal hesaplamaların toplulaştırılmış

düzeyde ve geniş ölçekte yapılması mümkün olmuştur. 1955 yılında ise, program serilerdeki

ticari gün etkisi, uç değerler etkisi gibi etkileri de inceleyebilecek şekilde hareketli ortalamalarla

birlikte çok değişkenli regresyon modellerini ve spectral analizi de kullanabilen CENSUS-II

programına dönüştürülmüştür.

CENSUS-II metodu serilerdeki mevsimsel düzeltmeyi iki farklı koldan yapmaktadır. İlk

olarak eskiden beri uygulanan standart hareketli ortalamaya oranlar yöntemi iyileştirilerek,

zaman serisi unsurlarına ayrıştırılırken, aylık verideki ticari gün değişmeleri ve uç değerler de

dikkate alınarak, serinin başında ve sonundaki değerler için farklı hareketli ortalama ağırlıkları

uygulanmaya başlanmıştır. CENSUS-II yöntemi ayrıca çok değişkenli regresyon modellerini

de kullanmaya başlamıştır. Regresyon modellerinin kullanımı serilerdeki trend-konjonktür,

mevsimsel ve düzensiz unsurların açık bir fonksiyonel biçimle ifade edilebilmesine olanak

sağlamıştır. Böylece unsurlar parametrik yöntemlerle tahmin edilebilir ve istatistiki anlamlılık

sınamaları uygulanarak, test edilebilir olmuştur.

CENSUS programının türevleri “X” harfi ve ardından gelen bir sayı ile

simgelenmektedir. Program X-0’dan başlayarak, X-1, X-2,…, gibi her aşamada mevsimsel

düzeltme için gerekli görülen yeni bir düzenleme ile devam eden bir zincir şeklinde

geliştirilmiştir. 1965 yılında ilk nüvesi oluşturulan X-11 yöntemi, 1967 yılında CENSUS II X-

11 adı ile standart şeklini almıştır. Özü X-9 ve X-10 yöntemlerine dayanan X-11, kendisinden

sonra geliştirilen X-11 ARIMA ve X-12 ARIMA yöntemleri için de bir başlangıç noktası

oluşturmaktadır. Bu nedenle bu derste filtre bazlı yaklaşımlardan yalnızca X-11 yöntemi

hakkında bilgi verilecektir.

228

2.3.3. “X-11” Mevsimsel Düzeltme Yöntemi

X-11 yöntemi belli bir aydaki pazartesilerin, salıların,… sayısı gibi, ay içinde ticari

faaliyette bulunulan gün sayısı olarak tanımlanan ticari günlerin aydan aya değişiminin ve belli

bir aydaki gün sayısının diğer aylardaki gün sayısından farklı olmasının serilerde yaratacağı

etkileri çok değişkenli regresyon teknikleri ile ölçebilir. Serilerde oluşan uç değerleri ve

bunların yarattığı etkilerin yanı sıra, Noel, Ramazan ve Kurban Bayramı gibi dini bayramlar

nedeniyle yaşanan tatillerin etkilerini de hesaplayabilmektedir. Üstelik mevsimsel düzeltmesi

yapılan seri için mevsim, konjonktür ve düzensiz unsurların yanı sıra, ticari gün ve tatil

düzeltmesi yapabilmekte, bu unsurların ortalama yüzde değişmelerini ve standart sapmalarını

da hesaplayabilmektedir. Orijinal veride istikrarlı (stable) mevsim etkisi olup olmadığını, ticari

gün değişmelerinin anlamlılığını, anlamlı olmaları halinde söz konusu günlere ağırlık verilip

verilmeyeceğini F testi yardımıyla sınayan yöntem, ticari gün ağırlıklarının ve aylık düzeltme

faktörlerinin standart hatalarını da tahmin edebilmektedir.

X-11 süreci gözlenemeyen çarpımsal unsurlardan oluştuğu varsayılan aylık Xt serisi için

mevsim düzeltmesini kısaca;

• Trend için ön tahmin:

Seriye simetrik 13 (2×12) terimli hareketli ortalamalar uygulanarak, trend için bir ön

tahmin yapılır ve orijinal veri tahmin edilen trende oranlanarak mevsim ve düzensiz unsurlar

elde edilir.

t t t t tt t

t t t t

Y T K M RM R

T K T K

× × ×= ≈ ×

× ×

Bu aşamada kullanılan simetrik hareketli ortalamalar filtresi serinin başından ve

sonundan altışar gözlemin kaybolmasına yol açar.

• Mevsim unsurları için ön tahmin

Elde edilen Mt× Rt serisine ağırlıklı (3×3) veya (3×5) hareketli ortalamalar uygulanarak

mevsim unsurlarının ön tahmini yapılır. Bu aşamada da uygulanan hareketli ortalamalar veri

kaybına yol açar.

229

• Düzeltilmiş veri için ön tahmin

Orijinal veri ilk mevsimsel düzeltmesi yapılmış seriye oranlanarak Tt× Kt× Rt değeri

bulunur.

• Trend tahmini

Serideki oynaklığa bağlı olarak seçilen 9, 13 veya 23 terimli Henderson hareketli

ortalamaları mevsim düzeltmesi yapılmış seriye uygulanır. Serinin oynaklığı ne kadar fazla ise

o kadar uzun hareketli ortalama seçilmelidir. Buradan elde edilen seri tahmin edilen trend

serisine oranlanır.

• Mevsim unsurlarının nihai tahmini

İkinci aşamadaki (3 × 5) ağırlıklı hareketli ortalamaları tekrarlanarak mevsim

unsurlarının nihai tahmini elde edilir.

• Düzeltilmiş veri için nihai tahmin

Üçüncü aşamada olduğu gibi orijinal veri nihai mevsimsel düzeltmesi yapılmış veriye

(5. aşamadaki) oranlanarak Tt× Kt× Rt değeri bulunur.

• Trendin nihai tahmini

Mevsim düzeltmesi yapılmış nihai veriye yine 9, 13 veya 23 terimli Henderson hareketli

ortalamaları uygulanır.

• Düzensiz unsurların nihai tahmini

Mevsimsel düzeltmesi yapılmış seri tahmin edilen trende oranlanarak düzensiz unsurlar

elde edilir.

ˆt t t

t

t t

T K RR

T K

× ×=

×

230

aşamalarından geçirerek uygular. Yukarıdaki aşamalar daha önce de söylendiği gibi çarpımsal

ayrıştırma yöntemi için geliştirilmiş olup, veri toplamsal veya log toplamsal ise bazı

farklılıklarla, örneğin oranlama yerine fark alma işlemleri ile yapılmaktadır.

X-11 yöntemi ile mevsimsel düzeltme yapılırken iki taraflı, simetrik, doğrusal, ağırlıklı

hareketli ortalamalar ardışık olarak uygulandığından, serinin başında ve sonunda yaşanan veri

kayıplarını telâfi etmek için ya asimetrik ağırlıklı hareketli ortalamaların kullanılması veya

kaybolan gözlemlerin ekstrapole edilmelisi uygun olacaktır. X-11’in bu zafiyetlerini gideren

yöntem The Statistisc Canada için geliştirilen X-11 ARIMA yöntemidir. Şimdi X-11

yönteminde kullanılan filtrelerden söz edelim.

2.3.3.1. “X-11” Yönteminde Kullanılan Hareketli Ortalamalar Filtreleri

Filtre bazlı yaklaşımlar daha önce de değinildiği gibi, Macaluay (1931) tarafından

geliştirilen hareketli ortalamalara oranlar yöntemine dayanmaktadır. Hareketli ortalamalar

filtre bazlı yaklaşımlarda zaman serilerini oluşturan gözlenemeyen unsurları ayrıştırırken, iki

farklı amaçla kullanılmaktadır. Bu amaçlardan biri trend unsurunu diğeri ise mevsimsel

unsurları tahmin etmektir. Bu durumda doğal olarak, iki farklı tipte hareketli ortalama

kullanılmalı; seri önce uygun hareketli ortalamalar filtresi ile mevsimsel unsurlardan

arındırılmalı, daha sonra trendden arındırmak için uygun olan bir başka hareketli ortalamalar

filtresi kullanılmalıdır.

Hareketli ortalamalar, incelenen zaman serisini oluşturan gözlem değerlerinin belli

uzunluklar için kayan bir zaman aralığında ağırlıklı ortalamalarının alınması yöntemidir.

Zaman serilerinde hareketli ortalamalar, seçilen ağırlıklara ve uzunluğa bağlı olarak, serilerin

içerdikleri dalgalanmaları düzleştirmek ve iyileştirmek amacıyla uygulanmaktadır. Bu amaç en

basit haliyle seriyi örneğin düzensiz unsurlardan olabildiğince arındırarak, daha düzleşmiş

seriden trendi elde etmektir. Hareketli ortalamalar bir yandan serideki düzensiz unsurları

azaltarak düzleştirirken, bir yandan da serideki mevsimsel patikayı arındıracak şekilde

seçilmelidir. Filtre bazlı yaklaşımlarda X-11 yönteminden itibaren seriyi düzensiz unsurlardan

arındırırken, trend unsurunu mümkün olduğunca gerçek durumuna yakın bir şekilde muhafaza

eden çeşitli tipte hareketli ortalamalar geliştirilerek kullanılmıştır. Bu hareketli ortalamalar

toplamsal ve logaritmik toplamsal ayrıştırma modellerine uygulanabildiği gibi çarpımsal

ayrıştırma modellerinde de kullanılmaktadır.

Hareketli ortalamalar ve doğrusal düzleştirme filtrelerine dayanan yöntemler aslında

dolaylı da olsa, zaman serilerini oluşturan trend-konjonktür ve mevsimsel unsurların

deterministik değil, stokastik olduğunu varsaymaktadır.

Hareketli ortalamalar filtreleri en basit haliyle, her gözlem değerine eşit ağırlıklar

verilerek uygulanan simetrik hareketli ortalamalardır. Bir zaman serisinin gözlem değerleri,

231

y1, y2, y3, y4, y5, y6, …, yt-1, yt,, yt+1

olsun. Serinin gözlem değerlerine 3’erli hareketli ortalamalar uygulanması durumunda,

1 2 32 1 2 3

1 1 1

3 3 3 3

y y yz y y y

+ += = + +

şeklinde her gözleme eşit ağırlık (w= 1/3) verilmekte ve oluşan yeni hareketli ortalamalar

serisinin ilk değeri, orijinal verinin ikinci gözlem değerine eşit olmaktadır. (3×1)’lik hareketli

ortalamalar olarak adlandırılan bu seride orijinal verideki değerlerin başında ve sonundaki birer

gözlem yitirilecektir.

Filtre bazlı yaklaşımlar mevsimsel unsurları tahmin etmek için eşit olarak

ağırlıklandırılmış basit hareketli ortalamaları değil, genellikle bunların bileşimleri olan formları

kullanmaktadır. Örneğin sıkça kullanılan (3×3)’lük hareketli ortalamalar, (3×1)’lik hareketli

ortalamaların ardışık üç gözlem değerinin ortalamasından oluşmaktadır. (3×3)’lük hareketli

ortalamaların genel formu;

2 1 1 1 1 21

3 3 3 3t t t t t t t t t

t

y y y y y y y y yz − − − + + + + + + + + + = + +

2 1 1 2

1 2 3 2 1

9 9 9 9 9t t t t t tz y y y y y− − + += + + + +

Simetrik hareketli ortalamaların yanında her döneme farklı ağırlıklar veren asimetrik

hareketli ortalamalar da mevcuttur. Uygulanacak hareketli ortalamaların uzunluğu, orijinal

verinin ne kadar düzleştirilmek istendiğine ve dolayısıyla serinin içerdiği düzensiz unsurların

boyutuna bağlı olarak seçilmelidir. Güçlü düzensiz unsurlara sahip olan serilerde hareketli

ortalamaların uzunluğu da artacaktır. Hareketli ortalamaların uzunluğunun artması, kısa

dönemli seriler için bir kusur olarak düşünülebilir. Ancak serilerin sahip olduğu doğrusal trend

genellikle uzun dönemler boyunca devam ettiğinden, uygulamada uzun hareketli ortalamalar

alınabilmektedir. Trend doğrusal değil de, eğrisel unsurlar taşıyorsa, uzun hareketli

ortalamaların kullanımı halinde, veriyi dönüm noktalarını kaçıracak veya serinin düzeyini

değiştirecek derecede düzleştireceğinden, trend bozulacaktır. Hareketli ortalamaların seçimi

düzleştirilmek istenen trendin yapısına uygun olmalıdır. Örneğin üç aylık serilerde kullanılan

(2×4)’lük hareketli ortalamalar dört ardışık terimin ortalaması alınarak üretildiğinden, bu tip

serilerde görülen istikrarlı mevsimsellik izleri kaybolacaktır. (2×4)’lük hareketli ortalamalar

mevsimsel üç aylık veride düzensiz unsurları azaltmak, veriyi mevsimsellikten arındırmak ve

aynı zamanda trend unsurunu bozmadan korumak amacıyla alınmaktadır. Seçilecek hareketli

232

ortalama uzunluğu daima bu dengeyi sağlamalıdır. Aynı durum doğrusal trend içeren aylık

verilere uygulanan (2×12)’lik hareketli ortalamalar için de geçerli olmaktadır.

Pek çok ekonomik zaman serisinde trendin fazlasıyla eğrisel olduğu görülmektedir. Bu

durumda trendin basit hareketli ortalamalarla tahmini uygun olmayacaktır. Serilerin eğrisel

trende sahip olduğu durumlarda filtre bazlı yaklaşımlar, Henderson hareketli ortalamalarını

kullanmaktadır. İlk olarak aktüaryal hesaplamalarda veriyi düzleştirmek amacıyla kullanılan

Henderson hareketli ortalamaları, uygulandığı belli bir uzunlukta incelenen zaman serisinde

maksimum düzleşmeyi sağlarken, serinin sahip olduğu varsayılan kübik polinomik trendi tam

olarak üretebilecek özelliktedir. Ancak bu filtrelerin verideki mevsimsel etkiyi

arındırmadıklarına dikkat edilmelidir. Bu nedenle Henderson hareketli ortalamaları filtre bazlı

modellerde genellikle mevsimsel düzeltmesi önceden yapılmış veriden trend tahmini yapmak

amacıyla kullanılmaktadır. Henderson hareketli ortalamalarının uzunluğu zaman serisinin

oynaklığını gösteren R / K oranına göre seçilmektedir. Aylık veri üç aylık veri için farklı

uzunlukta hareketli ortalamalar filtreleri kullanılmaktadır.

Gözlem değerlerine farklı ağırlıklar verebilen Henderson hareketli ortalamalarının

ağırlıkları;

• Üçüncü farkların kareleri toplamını en küçükleyecek şekilde (düzleştirme

kriteri)

• Serinin sahip olduğu varsayılan üçüncü dereceden trendi yeniden tam olarak

üretebilecek şekilde seçilmelidir.

Uygulamada simetrik veya simetrik olmayan Henderson trend filtreleri

kullanılmaktadır. Simetrik filtreler zaman serisinin düzleşmiş değerlerini eşit sayıdaki önceki

değer ve eşit sayıdaki sonraki değer yardımıyla hesapladığından, veri kümesinin ortasına denk

gelen gözlem değerleri için yeterli tahminler üretebilmektedir. Simetrik Henderson filtrelerinde

doğrusal filtre uzunluğu n=2H+1 iken, i= −h,…, h için wi ağırlıkları verideki kübik polinomik

trendi korumak amacıyla;

∑−=

=r

riiw 1 ve ∑

−=

=r

rii

j wi 0 j=1,2,3

olacak şekilde seçilmelidir. Filtrelerin ağırlıkları toplamının bire eşit olması düzleştirme

sürecinde orijinal verinin ortalamasının değişmediği anlamına gelmektedir. Filtre ağırlıklarının

toplamını orijinal verinin ortalamasının düzleştirilmiş verinin ortalamasına oranı

belirlemektedir. Bu kısıtlamayı sağlayan uzunluğu birden büyük ve en fazla yüzbir olan elli

farklı tipte Henderson simetrik filtresi geliştirilmiştir. X-11 yönteminde kullanılan 9,13,23

terimli filtrelere ait ağırlıklar X-11 için geliştirilen bilgisayar yazılım programında otomatik

olarak atanmaktadır.

233

Simetrik hareketli ortalamaların kullanımı halinde zaman serisinin başında ve sonunda

veri kaybı yaşanacağından, “son ağırlıklar sorunu” adı verilen sorun doğmaktadır. Bu sorunu

çözmek için veri kümesinin son noktalarını düzleştirmeyi sağlayan simetrik olmayan ağırlıklar

geliştirilmiştir. Simetrik olmayan ağırlıklar trendin önsel ve nihai tahmini arasındaki

yenilemelerin kareleri toplamını en küçükleyecek şekilde belirlenmektedir. Simetrik olmayan

Henderson trend hareketli ortalamalarının ağırlıkları da simetrik filtrelerin ağırlıkları toplamı

gibi bire eşittir. Ancak ağırlıkların çıkarımı ile ilgili bir bilgi verilmemiştir. Söz konusu

ağırlıklar daha sonra yeniden üretilmiştir. Ağırlıklar, mevsimsel düzeltme uygulanacak veriye

X-11 programında otomatik olarak atanmaktadır.

X-11 yönteminde Henderson trend filtreleri kullanılmadan önce, incelenen seriyi

mevsimsel unsurlardan arındırmak gerekmektedir. Yöntem, harmonik karakterdeki mevsimsel

unsurları ayrıştırmak amacıyla yine hareketli ortalamalar filtrelerinden yararlanmaktadır.

Ancak bu işlem MR mevsimsel faktör eğrisine (seasonal factor curve) uygulanmaktadır.

Böylece örneğin Ocak ayı için bulunan mevsimsel faktör ardışık yıllardaki bütün Ocak aylarını

düzleştirmek için kullanılmaktadır. Bu süreç düzensiz unsur ve mevsimsel faktörün birlikte

tahmin edilmesini sağlamaktadır. Bu işlem için genellikle üç terimli (3×1)’lik basit, ağırlıklı

beş terimli (3×3)’li, ağırlıklı yedi terimli (3×5)’li ve ağırlıklı onbir terimli (3×9)’lu hareketli

ortalamalar kullanılmaktadır. Mevsimsel filtrenin seçimi zaman içinde mevsimsel unsurun nasıl

değiştiğine bağlıdır. Örneğin mevsimsel unsurlarda büyük hareketler gözleniyorsa, en kısa

filtreler olan (3×1) veya (3×3)’lük hareketli ortalamalar kullanılmalıdır. X-11’de aynen

Henderson trend filtresinde olduğu gibi, mevsimsel unsurlar için de serinin başında ve sonunda

oluşan veri kayıplarından dolayı yaşanan “son ağırlıklar sorunu”nu çözmek için yine simetrik

olmayan mevsimsel faktör hareketli ortalamaları seçilmektedir.

Geliştirilen X-11 yöntemi tüm dünyada pek çok resmi istatistik bürosu tarafından

mevsimsel düzeltmede yaygın olarak kullanılan standart bir program halini almıştır. NBER

tarafından geliştirilen CENSUS yöntemi yaygınlaşarak hemen hemen her ülkenin resmi

istatistik kurumları tarafından kullanılmaya başlanmış veya kurumlar kendilerine özel

mevsimsel düzeltme yöntemleri geliştirilmiştir. Şu anda dünyada en yaygın olarak kullanılan

yöntemler X-12 ARIMA ve TRAMO/SEATS yöntemleridir. Canada’da X-11 ARIMA/88,

ABD, İngiltere ve Yeni Zellanda’da X-12 ARIMA kullanılırken, Avustralya’da SEASABS,

kıta Avrupa’sında EUROSTAT aracılığıyla, genellikle, ilk olarak İspanyol Merkez Bankasınca

geliştirilen TRAMO/SEATS tekniği kullanılmaktadır. Eurostat hem X-12ARIMA hem de

TRAMO/SEATS düzeltmesi yapabilen DEMETRA adında bir yazılım geliştirmiştir.

Demetra’da Türkiye de dahil olmak üzere, Avrupa ülkelerinin her birine ait resmi tatil günlerini

içeren bir takvim mevcuttur.

2.3.3.2. “X-11” ve Diğer Mevsimsel Düzeltme Yöntemlerinde Kullanılan Özel Değişkenler

234

Mevsim düzeltme yöntemlerinin tümünde ticari gün, çalışma günü, artık yıl, resmi tatil,

dini bayram vb. gibi ekonomik serileri üzerinde deterministik mevsim etkisi yarattıkları

varsayılan durumlar modellere dahil edilen kukla değişkenler aracılığıyla temsil edilir.

Ticari gün etkisi, pazartesi gününden cumartesi gününe dek haftanın altı gününün

serilerde yarattığı etkidir ve bir ay içinde kaç pazartesi, …, kaç cumartesi etkisi olduğu, N,

ilgilenilen aydaki söz konusu gün sayısı iken,

(N Pazartesi- N Pazar), (N Salı – N Pazar),…, (N Cumartesi – N Pazar)

Djt ; t dönemindeki j. gün sayısını gösterirken, ticari gün etkisi

TGjt = (Djt- D7t)

şeklinde tanımlanan altı kukla değişken ile ölçülür. Ticari gün katsayıları jβ , j=1,…,7 iken,

haftanın günlerinin etkileri toplamı sıfır olmalıdır.

07

1

=∑=j

jβ ve dolayısıyla ∑

=

−=6

17

jjββ

olur.

Ticari gün etkisi özellikle ticaret, üretim, nakliye, istihdam ve hizmet sektörüne ait

verilerde anlamlı bulunmaktadır.

Çalışma günü etkisi ise, hafta içindeki beş iş gününün etkisini ifade eder ve aynı ticari

gün değişkenleri gibi her bir günün ayda kaç kere tekrarlandığına bağlı olarak, tek bir

değişkenle temsil edilir. Çalışma günü etkisini belirlerken haftanın günleri çalışma günleri ve

tatil günleri olarak ikiye ayrılır ve değişken;

[ N(Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma)]- [N (Cumartesi, Pazar) × (5/2)]

olarak tanımlanır. Ticari gün katsayılarında olduğu gibi, çalışma günü katsayıları da,

54321 βββββ ==== ve 76 ββ = olduğundan, 61 25 ββ −= olacaktır.

Ay uzunluğu da bir değişken olarak modellere dâhil edilebilir. Bu değişken mi , i.

aydaki gün sayısını gösterirken, ( mmi − ) olarak tanımlanır. Burada m =30.4375 ortalama ay

uzunluğudur.

Ekonomik zaman serilerinde görülen bir diğer etki de artık yıl etkisidir. Artık yıl etkisini

ölçmek üzere modele dahil edilen değişkene şubat ayı haricindeki tüm aylarda sıfır değeri

atanırken, incelenen yılda şubat ayı yirmi sekiz gün çekiyorsa -0.25 değeri, söz konusu yıl artık

yıl ve şubat yirmi dokuz gün çekiyorsa, 0.75 değeri atanır.

Mevsim düzeltme yöntemleri doğal afetler, ekonomi politikalarındaki değişmeler,

yaşanan grevler ve bunun gibi etkilerin veride yarattığı düzey kayması (level shift), geçici

235

değişiklik (temporary change) gibi durumları müdahale değişkenleri (intervantion variables)

olarak modele dahil eder ve söz konusu durumların gerçekleşmesi halinde “1” değerini, diğer

hallerde “0” değerini atadığı gölge değişkenlerle temsil eder. Düzey kayması zamanda belli bir

noktadan sonra sürecin ortalamasında meydana gelen sürekli değişmedir. Böyle bir değişme

yaşayan durağan süreç durağan olmayan hale gelir. Düzey kayması aynı büyüklükteki ardışık

toplamsal uç değerler gibi açıklanabilir. Toplamsal uç değer ise, bir dışsal şokun zamanda belli

bir noktada serinin gözlenen değerinde yarattığı ani bir sıçramadır. Toplamsal uç değerler

genellikle ölçme hataları ile ilgili olarak açıklanır.

Ekonomik zaman serilerinde kayıp veri (missing value) olması durumu mevsimsel

düzeltme modellerinde toplamsal uç değer olarak algılanır. Bu durumda kayıp veriye keyfi bir

değer atanarak, veri kümesi eksiksizmiş gibi tahmin yapılır. Tahmin edilen regresyon

parametresi ile atanan keyfi değer arasındaki fark kayıp verinin interpolasyon değeri olarak

kabul edilir.

236

Uygulamalar

237

Uygulama Soruları

238


239

Bölüm Soruları

1) Takvim etkisi ne anlama gelmektedir? Açıklayınız.

2) Ticari gün etkisi hakkında bilgi veriniz. Ekonomik zaman serileri ticari gün

etkisinden ne şekilde arındırılmaktadır?

3) Hareketli tatillerin ekonomik zaman serilerine etkisi ne şekilde olmaktadır?

4) Aykırı gözlem nedir? Ekonomik zaman serilerinde görülen aykırı gözlemler hakkında

bilgi veriniz.

5) Mevsimsel düzeltme amaçlı kullanılan filtre bazlı yaklaşımlarla model bazlı

yaklaşımların farkları nelerdir?

6) X-11 yöntemini ve ne amaçla geliştirildiğini kısaca açıklayınız.

7) X-11 yönteminde kullanılan filtreler hakkında bilgi veriniz.

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

241

11. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-IX

242


11.1.

11.2.

11.3.

243


244



245

Anahtar Kavramlar

246

Giriş

Bu hafta ekonomik zaman serilerinde gözlenemeyen unsurlardan konjonktür etkisi

açıklanacaktır. Konjonktür dalgaları ve devreleri anlatılarak, dünya ekonomilerinin yaşadığı

konjonktürel dalgalanmalara örnekler verilecektir. Konjonktürün belirlenmesi yıllık ve aylık

bazda derlenen serilerde gösterilecek ve konjonktür dalgalanmalarının belirlenmesinde

kullanılan öncü göstergeler yaklaşımı açıklanacaktır.

247

2.4. Konjonktür Dalgalanmaları

Ekonomik faaliyetlerdeki değişimleri tahmin etmek hem piyasalar ve yatırımcılar hem

de politika yapıcılar açısından önemlidir. Bu nedenle büyüme, tüketim, yatırım, sanayi üretimi

gibi makroekonomik değişkenlerdeki değişimleri ve bu değişkenleri etkileyen nedenleri

araştırmak önemlidir. Bir ülkedeki makroekonomik değişkenlerin seyri ekonomideki yapısal

değişimlere, politik istikrarsızlıklara, küresel ekonomiye, doğal afetlere v.b. gibi pek çok etkene

bağlı olarak değişmektedir. Bunlar gibi nedenlerle makroekonomik değişkenlerde meydana

gelen dalgalanmalara konjonktür dalgalanmaları veya iş çevrimleri adı verilmektedir.

Ekonomik faaliyetleri izlemek, makroekonomik değişkenler arasındaki ilişkiyi incelemek için

konjonktür dalgalanmalarının takibi ve bileşenlerinin belirlenmesi önemlidir.

Konjonktür dalgalanmaları makroekonomik değişkenlerde eş-zamanlı olarak ortaya

çıkan yükseliş ve düşüşlerdir. Birbiri ardınca gelen yükselme ve durgunluk dönemleri makro

ekonomik değişkenlerde ve en önemlisi GSMH’da değişimler meydana getirmektedir. İşte bu

değişimler konjonktür dalgalanmaları olarak adlandırılmaktadır. Yaşanan dalgalanmalarda

yükselme ve durgunluk devrelerinin süreleri birbirinden farklı olduğundan konjonktür

dalgalanmaları devri. ancak dönemsel olmayan dalgalanmalardır. Dalgaların süreleri hakkında

kesin bir uzlaşma olmamakla birlikte. yavaşlama dönemi GSMH’da yılın iki çeyrek dönemi

veya daha fazla düşüş olması ile açıklanmaktadır. Yavaşlama dönemlerinde ekonomik

faaliyetler. özellikle talep azalmaktadır. Bundan dolayı işsizlik artar ve böylece talep daha çok

azalır. Sonuç olarak yavaşlayan ekonomiler durgunluğa girer. Durgunluk devresinde yüksek

işsizlik oranı ve düşük gelir düzeyi ortaya çıkmaktadır. Durgunluk devrelerinin ne kadar

süreceğine dair iktisatçılar arasında kesin bir uzlaşma yoktur. 1929 Büyük Buhranı konjonktür

dalgalanmalarında görülen durgunluk devrelerine verilebilecek başlıca örneklerdendir.

Durgunluk devresi kamu harcamalarının artması sonucu ekonominin canlanmaya başlaması ile

yerini yükselme ve ardından refah devresine bırakır. Böylece bir konjonktür dalgasının dört

devresi tamamlanmış olur. Buna göre konjonktür dalgalanmaları büyüme ve istihdamın trendi

etrafındaki dalgalanmalar olarak tanımlanabilir. Bu dalgalanmaların 18 aydan daha kısa

olmadığı kabul edilmektedir. Bu noktada konjonktür dalgalanmalarının başlama ve bitiş

tarihleri ile devrelerin süreleri önem kazanmaktadır. ABD’de yapılan araştırmada 1854-1949

yılları arasında görülen 23 dalgalanmanın ortalama süresinin 49 ay olduğu. bir dalgadan

diğerine süreler arasında büyük farklar olduğu görülmüştür. Bu dönem içinde yaşanan

dalgalanmaların en kısası 29 ay en uzunu ise 99 ay sürmüştür. Dünyada Büyük Buhran ve

Dünya Harplerinden sonra yaşanan en önemli konjonktür dalgalanmaları 1970’ler ve

1980’lerdeki I. ve II. Petrol şoklarıdır. Oluşan dalgaları süreleri ve tarihleri ABD’de National

Bureau of Economic Research (NBER) ve Centre for Economic Policy Research (CEPR) gibi

kuruluşlarca izlenmektedir. Ekonomide yaşanan krizlerin aslında bir konjonktür dalgasının

devresi olduğu kabulü ile bu dalgalanmaların sürelerinin ve tarihlerinin belirlenmesi. politika

yapıcılar açısından özel önem taşımaktadır.

Türk ekonomisi için çeşitli yazarlar tarafından yapılan çalışmalarda 1988-2001 tarihleri

arasında en az 4 yavaşlama ve 5 yükselme devresi yaşandığı belirlenmiştir. İlk yavaşlama 1988

yılının başı itibariyle başlamaktadır. İkinci yavaşlama ise ilk körfez krizi ile yaşanmıştır. 1994

248

finansal krizi üçüncü yavaşlama devresidir. Son olarak 2001 yılındaki bankacılık krizi ise

dördüncü yavaşlama devresini oluşturmuştur. Konjonktür dalgalanmalarının tarih ve süre

aralıklarının belirlenmesinde parametrik olmayan yöntemler ve parametrik yöntemler

kullanılmaktadır. Ekonomik zaman serilerinde konjonktür etkisini belirlemekte kullanılan

parametrik olmayan yöntemler öncü göstergeler yaklaşımıdır.

Konjonktür dalgalanmalarının düzensiz olması ölçülmesini ve serinin bu dalgalardan

arındırılmasını zorlaştırmaktadır. Mevsimsel etkileri arındırmakta kullanılan indeks oluşturma

yöntemi burada kullanılamamaktadır. Ancak yine de ekonomik zaman serileri konjonktür

etkisinden arındırılabilmektedir. Arındırma yıllık bazdaki serilerde farklı. aylık bazdaki

serilerde farklı yollarla yapılmaktadır. Şimdi ekonomik zaman serilerini konjonktür etkisinden

arındırmak için yapılan işlemleri görelim.

2.4.1. Yıllık Serilerde Konjonktürün Ölçülmesi

Yıllık bazda derlenmiş ekonomik zaman serilerinde mevsimsel etkilerin olmadığını

daha önce söylemiştik. Bu nedenle seriler trend. konjonktür ve rastlantısal unsurlardan oluşur.

Yıllık seriler tahmin edilen uygun trend değerlerine ( Y ′ ) oranlanırsa, seride konjonktür ve

rastlantısal etkiler kalacaktır.

Y Y K RK R

Y T

× ×= = ×

′

Ardından rastlantısal etkilerle birlikte konjonktürün payını trendin bir yüzdesi olarak;

100Y

KY

= ×′

biçiminde nispi bir şekilde buluruz. Ekonomik zaman serisinin gerçekleşen değerlerinin trend

değerlerinden

Y Y ′−

biçiminde farkını alırsak; trendin konjonktüre oranla (+) veya (−) yöndeki mutlak etkisi

belirlenmiş olur. Şimdi daha önce ekonomik zaman serilerinde uygun trend denklemini tahmin

etmek ve seriyi trendden arındırmak amacıyla kullandığımız örneği verelim.

Örnek: Türk Ekonomisinin gayri safi yurt içi hâsılası (GSYİH) üretim yöntemi ve sabit

1998 alıcı fiyatları ile (Kaynak: www.tuik.gov.tr ) aşağıdaki gibi derlenmiştir.

249

Yıllar

GSYİH

(milyon TL)

1998 70.203

1999 67.841

2000 72.436

2001 68.309

2002 72.52

2003 76.338

2004 83.486

2005 90.5

2006 96.738

2007 101.255

2008 101.922

2009 97.003

2010 105.886

2011 114.874

GSYİH için 0T =∑ olacak şekilde 31 aralık 2004 tarihi orijin olarak alınıp uygun

trend modeli olarak belirlenen üssel trend modeli

Ln GSYİH = 4.451+0.0421T

şeklinde tahmin edilmiş ve antilogaritma alındıktan sonra GSYİH serisi için büyüme modeli;

GSYİH= 85.7126 0.0421Te

şeklinde bulunmuştur. Burada

250

Yıllar

GSYİH

(milyon

TL)

Ln

GSYİH T

1998 70.203 4.251391 -6.5

1999 67.841 4.217167 -5.5

2000 72.436 4.282703 -4.5

2001 68.309 4.224042 -3.5

2002 72.52 4.283862 -2.5

2003 76.338 4.335171 -1.5

2004 83.486 4.424679 -0.5

2005 90.5 4.50535 0.5

2006 96.738 4.572006 1.5

2007 101.255 4.617642 2.5

2008 101.922 4.624208 3.5

2009 97.003 4.574742 4.5

2010 105.886 4.662363 5.5

2011 114.874 4.743836 6.5

değerlerinden

Yıllar ln Y lnY’ Y Y’ Y-Y’

K=(Y/Y’)*10

0 K-100

1998 4.2514 4.1772 70.2030 65.1861 5.0169 107.6962 7.6962

1999 4.2172 4.2194 67.8410 67.9940 -0.1530 99.7750 -0.2250

2000 4.2827 4.2616 72.4360 70.9228 1.5132 102.1336 2.1336

2001 4.2240 4.3038 68.3090 73.9778 -5.6688 92.3372 -7.6628

2002 4.2839 4.3459 72.5200 77.1643 -4.6443 93.9813 -6.0187

2003 4.3352 4.3881 76.3380 80.4881 -4.1501 94.8438 -5.1562

2004 4.4247 4.4303 83.4860 83.9551 -0.4691 99.4412 -0.5588

2005 4.5053 4.4725 90.5000 87.5714 2.9286 103.3442 3.3442

2006 4.5720 4.5146 96.7380 91.3435 5.3945 105.9057 5.9057

2007 4.6176 4.5568 101.2550 95.2781 5.9769 106.2731 6.2731

2008 4.6242 4.5990 101.9220 99.3822 2.5398 102.5556 2.5556

2009 4.5747 4.6411 97.0030 103.6630 -6.6600 93.5753 -6.4247

2010 4.6624 4.6833 105.8860 108.1282 -2.2422 97.9263 -2.0737

2011 4.7438 4.7255 114.8740 112.7858 2.0882 101.8515 1.8515

olarak bulunur. Gerçekleşen değerlere oranla yüzde değişmelerin görüldüğü son sütunda 1999-

2004 yıllarında konjonktürün yavaşlama devresinde olduğu, 2001 yılında dip noktasına geldiği,

2005-2008 yıllarında ise yükselme devresinde olduğu görülmektedir.

251

2.4.2. Aylık Serilerde Konjonktürün Ölçülmesi

Yıllık serilerde yalnızca trend etkisi varken, aylık ve mevsimlik serilerde hem trend hem

de mevsimsel etki söz konusudur. Bu nedenle aylık serilerde konjonktür etkisini hesaplarken.

öncelikle serinin mevsimsel etkilerden arındırılması gerekmektedir. Bu arındırma işlemi

mevsimsel etki hesaplanırken bulunan mevsim endeksleri yardımıyla yapılmaktadır. Ekonomik

zaman serilerinde trend yıllar itibariyle büyüme eğilimi gösterirken. mevsim endeksleri her yıl

düzenli olarak tekrarlayan hareketleri göstermektedir. Aylık verilerde konjonktür değişmeleri;

Y T K M RK R

Y M T M

× × ×= = ×

′× ×

şeklinde bulunur. Aylık serilerde konjonktürün etkisi; önce aylık trend değerleri ilgili ayın

mevsim endeksi ile çarpılarak, her ay için konjonktür etkisini içermeyen değerler ( )Y M′×

hesaplanır. Ardından gerçekleşen değerler, bu değere ( )Y M′× oranlanarak yüzdelik olarak

ifade edilir.

100Y

K RY M

× = ×′×

Böylece her ay gerçekleşen değerlerin konjonktür nedeniyle normalin ne oranda üstüne

çıktığı veya altında olduğu belirlenir.

80.0000

85.0000

90.0000

95.0000

100.0000

105.0000

110.0000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Yıllar

Y'

252

Şimdi daha önce kullandığımız ve mevsim endeksini hesapladığımız serimizi

konjonktür etkisinden arındıralım.

Örnek: Türkiye’nin aylık toplam ihracat rakamları milyon $ cinsinden verilmiştir. Söz

konusu seri birçok yöntemle mevsimsellikten arındırılmış ve mevsim endeksi hesaplanmıştır.

Burada aylık ortalamaların trende oranı yöntemi ile elde edilen mevsim endeksi değerleri

Aylar Mevsim

Endeksi

Ocak 0.877601

Şubat 0.936608

Mart 1.030502

Nisan 0.992683

Mayıs 1.014603

Haziran 1.01732

Temmuz 1.056178

Ağustos 0.959686

Eylül 1.009528

Ekim 1.060013

Kasım 1.006444

Aralık 1.038834

şeklindedir. Mevsimsellikten arındırılan ihracat serisi için işlemleri kısaltmak amacıyla

yalnızca 2009 yılına ait değerler hesaplanmıştır.

2009

Aylar

Toplam

İhracat

Trend

Değeri

Mevsim

Endeksi

T×M K=(Y/T×M)100

Ocak 7884.49 8025.4 0.8776 7043.1017 111.9463

Şubat 8435.12 8550.24 0.93661 8008.226 105.3306

Mart 8155.49 8244.83 1.0305 8496.31484 95.9885

Nisan 7561.7 7625.26 0.99268 7569.46597 99.89735

Mayıs 7346.41 7384.19 1.0146 7492.02031 98.05642

Haziran 8329.69 8342.58 1.01732 8487.07654 98.1456

Temmuz 9055.73 9042.84 1.05618 9550.85078 94.81598

Ağustos 7839.91 7802.13 0.95969 7487.59109 104.7053

Eylül 8480.71 8417.14 1.00953 8497.34255 99.80424

Ekim 10095.8 10006.4 1.06001 10606.9353 95.18084

Kasım 8903.01 8787.88 1.00644 8844.51111 100.6614

Aralık 10054.6 9913.68 1.03883 10298.6689 97.63

253

Buna göre 2009 yılının Ocak ve Şubat ayları konjonktürün sırasıyla % 11.94 ve % 5.33

oranında üstünde kalırken, Mart- Temmuz ayları konjonktürün altında kalmıştır. Ocak ayı

konjonktüre göre en yüksek değeri vermiştir. Temmuz ayı dip noktası olup, bu ayda ihracat

serisi konjonktürün % 5.184 oranında altında kalmıştır. Kasım ayı yine konjonktürün üstünde,

ancak aralık ayı altındadır.

2.4.3. Öncü Göstergeler Yaklaşımı

Öncü göstergeler konjonktür dalgalanmaları reel GSMH’da henüz ortaya çıkmadan

GSMH’yı etkileyebileceği düşünülen makro ekonomik değişkenlerde meydana gelen

değişimleri izleyerek GSMH’nın konjonktürden ne ölçüde ve yönde etkileneceğini önceden

tahmin etmek amacıyla geliştirilmiştir. Makroekonomik değişkenler GSMH ile hep aynı yönde

ve eş zamanlı olarak değişmemektedir. Bir grup makro gösterge öncü (leading) niteliğinde olup,

GSMH’dan önce ekonominin yaşayacağı sinyalleri vermektedir. Bir grup makro gösterge ise

eş zamanlı (coincident) değişim göstermektedir. Diğer bir grup gösterge ise ekonomideki

değişimlere gecikmeli (lagging) olarak tepki vermektedir. Öncü göstergeler endeksleri

oluşturulurken, reel sektör, para ve finansal sektör, ödemeler dengesi ve dış ticaretle ilgili

değişimleri dikkate alacak değişkenlere yer verilmesi amaçlanır.

Öncü göstergeler endeksleri oluşturulurken, öncü olabilecek nitelikteki değişkenler;

• İmalat sanayindeki ortalama (haftalık, aylık) çalışma saati

• İşsizlik sigortası başvuruları

• Tüketim malları üretimi için verilen yeni siparişler

• Ertelenmiş mal teslimleri

• Kurulan yeni işletme sayısı

• Makine ve teçhizat satın almaları için verilen siparişler

Öncü göstergeler endekslerinde eş zamanlı göstergeler olarak kullanılabilecek makro

değişkenler;

• Tarım dışı sektörlerde ödenen ücretler

• Kişisel gelir

• Sanayi üretim endeksi

254

• İmalat ve ticaret sektöründeki satış hacmi

Öncü göstergeler endekslerinde gecikmeli olarak kullanılabilecek makro değişkenler;

• Ortalama işsizlik süresi

• Birim işgücü maliyeti

• Stokların satışlara oranı

• Ticari kredi hacmi

Bu değişkenlerin hepsi veya bir kısmı çeşitli yöntemlerle ağırlıklandırılarak bileşik öncü

göstergeler endekslerinde yer alır.

Türk ekonomisi için hazırlanan bileşik öncü göstergeler endeksi OECD ile birlikte

yürütülen çalışmalar sonucunda oluşturulmuştur. (Kaynak: Ekonomik Faaliyetler İçin Bileşik

Öncü göstergeler Endeksine (MBÖNCÜ-SÜE) İlişkin Yöntemsel Açıklama,

http://www.tcmb.gov.tr/yeni/evds/yayin/oncu_gos/Metodoloji.pdf)

Bileşik öncü göstergeler endeksi oluşturulurken izlenen temel adımlar aşağıda

verilmiştir:

1) Ekonomik faaliyet göstergesi olarak kullanılacak referans serinin seçilmesi

2) Ekonomik faaliyet ile ilişkisi olduğu düşünülen makroekonomik değişkenlerin

seçilmesi (potansiyel öncü göstergeler)

3) Farklı bileşik öncü göstergeler endeksleri oluşturularak performanslarının

incelenmesi

4) En iyi performanslı bileşik öncü göstergeler endeksine karar verilmesi.

Referans Seri:

Bileşik öncü göstergeler endeksi çalışmasının ilk aşaması, referans seri olarak

adlandırılan ve ekonomik faaliyet göstergesi olarak kullanılacak değişkenin seçilmesidir.

Ekonomik faaliyet göstergesi olarak genellikle Gayri Safi Yurtiçi Hasıla ve Sanayi Üretim

Endeksi kullanılmaktadır. Gayri Safi Yurtiçi Hasıla üç aylık bir veridir ve ilgili olduğu

dönemden yaklaşık bir dönem sonra açıklanmaktadır. Öncü göstergeler yönteminde, hem daha

yüksek frekanslı hem de daha az gecikme ile yayımlanan bir serinin referans seri olarak

kullanılması tercih edilmektedir. Bu nedenle, bu çalışmada referans seri olarak dönüş noktaları

255

Gayri Safi Yurtiçi Hasıla’nın dönüş noktaları ile uyumlu olan ve aylık olarak açıklanan Sanayi

Üretim Endeksi kullanılmıştır.

Sanayi Üretim Endeksi’nin ve Gayri Safi Yurtiçi Hasıla’nın dönüş noktalarının uyumlu

olması, bileşik öncü göstergeler endeksini oluşturan serilerin sadece sanayi üretimine değil

bütün ekonomik faaliyetlere öncülük etmesi açısından önemlidir.

Potansiyel Öncü Göstergeler:

Referans serinin seçilmesinden sonra, ekonomik faaliyet ile ilişkisi olabilecek

değişkenleri kapsayan bir veri tabanı oluşturulmuştur. İyi bir öncü göstergenin sahip olması

gereken özellikler aşağıdaki gibi özetlenebilir:

i. Seriye kolay ve hızlı bir şekilde ulaşılabilmelidir.

ii. Seride daha önceki sonuçları etkileyecek önemli değişikliklerin yapılmıyor olması

gerekmektedir.

iii. Serinin yayın süresinde önemli bir gecikme olmamalıdır.

iv. Serideki devresel hareketler, referans serideki hareketleri önceden göstermelidir.

Yukarıdaki özelliklere sahip değişkenler potansiyel öncü göstergeler olarak seçilmiştir.

Seçilen potansiyel öncü göstergeler şunlardır:

- Dayanıklı Tüketim Malları Üretim Miktarı (Fırın, TV, Buzdolabı, Çamaşır Makinesi)

- Elektrik Üretim Miktarı

- Kapasite Kullanım Oranı

- Otomobil Satışları

- Yatırım Teşvik Belgeleri

- Reel Efektif Döviz Kuru

- Üç Ay Vadeli Mevduat Faiz Oranı

- Altı Ay Vadeli Mevduat Faiz Oranı

- On iki Ay Vadeli Mevduat Faiz Oranı

- Satış Miktarı ile Ağırlıklandırılmış Hazine İhalesi Faiz Oranı

256

- Ara Malları İthalatı

- Toplam İstihdam (kişi sayısı)

- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - Mamul Mal Stok Miktarı ile İlgili Soru

- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - Yatırım Harcaması ile İlgili Soru

- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - Üretim Hacmi ile İlgili Soru

- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - İç Piyasadan Alınan Yeni Siparişlerin Miktarı ile

İlgili Soru

- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - İhracat İmkanları ile İlgili Soru

- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - Toplam İstihdam Miktarı ile İlgili Soru

Bileşik Öncü Göstergeler Endeksi:

Seçilen potansiyel serilerle farklı bileşik öncü göstergeler endeksleri oluşturulmuştur.

Bu endeksler oluşturulmadan önce, farklı dalga boylarında olan potansiyel öncü

göstergelerin devresel hareketlerini birleştirebilmek amacıyla seriler aynı ölçeğe getirilmiştir.

Oluşturulan farklı bileşik öncü göstergeler endekslerinden en iyi performansı gösteren seri,

nihai bileşik öncü göstergeler endeksi olarak seçilmiştir. En iyi endeksin seçilmesinde

kullanılan temel kıstaslar şunlardır:

i. Endeksin dönüş noktalarının, referans serinin dönüş noktalarını öncüleme süresinin

uzun olması

ii. Dönüş noktalarını öncüleme süresinin varyansının düşük olması

iii. Oluşturulan endekste düzensiz dalgalanmaların fazla olmaması

iv. Endeksin, referans seride gözlenen devre sayısından değişik sayıda devre

içermemesi.

Bu kıstaslara göre seçilen bileşik öncü göstergeler endeksini (MBÖNCÜ-SÜE)

oluşturan seriler şunlardır:

- Elektrik Üretim Miktarı

- Satış Miktarı ile Ağırlıklandırılmış Hazine İhalesi Faiz Oranı

257

- Ara Malları İthalatı

- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - Mamul Mal Stok Miktarı ile İlgili Soru

- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - İç Piyasadan Alınan Yeni Siparişlerin Miktarı ile

İlgili Soru

- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - İhracat İmkanları ile İlgili Soru

- TCMB İktisadi Yönelim Anketi - Toplam İstihdam Miktarı ile İlgili Soru

MBÖNCÜ-SÜE’yi oluşturan serilerden Hazine ihalesi faiz oranı, TCMB İktisadi

Yönelim Anketi-ihracat imkanları ve toplam istihdam miktarı ile ilgili sorulardan elde edilen

serilerde önemli bir mevsimsellik gözlenmemiştir. Diğer seriler ise TRAMO/SEATS yöntemi

kullanılarak mevsimsel bileşeninden arındırılmıştır. Bileşik öncü göstergeler endeksi

oluşturulurken, sanayi üretimi ile ters yönlü ilişkisi olan Hazine ihalesi faiz oranı ve TCMB

İktisadi Yönelim Anketi-mamul mal stok miktarı serilerinin –1 ile çarpılmış halleri

kullanılmıştır. Burada amaç, bu serilerin devrelerinin Sanayi Üretim Endeksi’nin devreleri ile

aynı yönlü hareket etmesini sağlamaktır.

Öncü göstergeler endeksi Aralık 1987 yılından itibaren hesaplanmaktadır. Burada

endeksin Ocak 2007 tarihinden itibaren değerleri verilmiştir.

258

YILLA

R

MBONC

U-SUE

Trend

Kapsayan

MBONC

U-SUE

Devreler

MBONC

U-SUE 6

Aylık (%)

Değişim YILLAR

MBONC

U-SUE

Trend

Kapsaya

n

MBONC

U-SUE

Devreler

MBONCU-

SUE 6 Aylık

(%) Değişim

Oca.07 172.84 107.18 10.99 Oca.10 186.24 102.24 21.92

Şub.07 174.46 107.82 11.67 Şub.10 188.4 103.08 19.23

Mar.07 173.48 106.85 9.1 Mar.10 189.21 103.18 15.33

Nis.07 172.67 105.99 6.94 Nis.10 190.16 103.34 12.59

May.07 172.95 105.81 6.25 May.10 190.73 103.3 10.43

Haz.07 174.17 106.2 6.68 Haz.10 191.04 103.12 8.82

Tem.07 177.74 108 9.64 Tem.10 193.39 104.03 9.83

Ağu.07 180.21 109.13 11.01 Ağu.10 194.96 104.52 9.83

Eyl.07 180.88 109.17 10.05 Eyl.10 196.62 105.06 9.74

Eki.07 182.4 109.71 9.99 Eki.10 195.24 103.97 6.55

Kas.07 183.06 109.74 8.96 Kas.10 195.13 103.56 4.98

Ara.07 182.76 109.19 6.97 Ara.10 195.2 103.24 3.82

Oca.08 185.28 110.32 8.46 Oca.11 195.32 102.96 3.03

Şub.08 184.11 109.25 6.05 Şub.11 196.5 103.23 3.42

Mar.08 181.92 107.59 2.88 Mar.11 197.15 103.23 3.39

Nis.08 178.97 105.49 -0.9 Nis.11 198.44 103.55 3.98

May.08 177.88 104.49 -2.53 May.11 197.56 102.74 2.46

Haz.08 176.32 103.23 -4.5 Haz.11 196.6 101.9 1

Tem.08 174.81 102 -6.18 Tem.11 196.72 101.61 0.67

Ağu.08 170.51 99.15 -10.18 Ağu.11 198.81 102.35 2.38

Eyl.08 160.85 93.22 -18.67 Eyl.11 199.71 102.46 2.93

Eki.08 146.3 84.5 -30.54 Eki.11 199.86 102.19 2.82

Kas.08 136.05 78.31 -37.33 Kas.11 196.61 100.19 -0.6

Ara.08 134.55 77.19 -35.98 Ara.11 193.87 98.46 -3.25

Oca.09 138.33 79.09 -29.6 Oca.12 193.63 98.01 -3.37

Şub.09 142.02 80.92 -22.8 Şub.12 196.1 98.92 -0.95

Mar.09 151 85.75 -10.01 Mar.12 199.72 100.41 2.48

Nis.09 161.19 91.23 4.61 Nis.12 201.36 100.89 3.83

May.09 169.84 95.8 17.24 May.12 199.66 99.7 1.99

Haz.09 175.13 98.45 25.07 Haz.12 198.95 99.01 1.15

Tem.09 175.47 98.31 25.67 Tem.12 198.85 98.63 0.88

Ağu.09 174.97 97.7 24.92 Ağu.12 200.18 98.95 1.96

Eyl.09 176.41 98.17 26.27 Eyl.12 201.13 99.09 2.74

Eki.09 178.34 98.9 26.86 Eki.12 201.99 99.17 3.44

Kas.09 180.57 99.8 25.83 Kas.12 202.6 99.14 3.84

Ara.09 184.16 101.44 25.06

259

Uygulamalar

260

Uygulama Soruları

261


262

Bölüm Soruları

1) Konjonktür dalgalarının özellikleri açıklayınız.

2) Bir konjonktür dalgası kaç devreden oluşmaktadır.

3) Türk ekonomisi için aylık bazda derlenmiş toplam ithalat değerlerini kullanarak,

konjonktür etkisini belirleyiniz.

4) Konjonktür etkisinin belirlenmesinde kullanılan öncü göstergeler yaklaşımını

açıklayınız.

5) Türk ekonomisi için oluşturulan öncü göstergeler endeksinde hangi değişkenler

kullanılmıştır?

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

264

12. KLASİK ZAMAN SERİSİ ANALİZİ-X

265


12.1.

12.2.

12.3.

266


267



268

Anahtar Kavramlar

269

Giriş

Bu hafta ekonomik zaman serilerinde eksik gözlem olması durumunda bu gözlemlerin

tahmin edilmesi ile ilgili yöntemler açıklanacaktır. Eksik gözlemler seride iki gözlem değeri

arasında iken tahmini interpolasyon olarak adlandırılırken, eksik gözlem serinin başında veya

sonunda ise tahmini ekstrapolasyon olarak adlandırılmaktadır.

270

2.5. İnterpolasyon

Ekonomik zaman serileri incelenirken, bazen serilerin bütün gözlem değerlerine

ulaşılamamaktadır. Eksik gözlemler serinin başında sonunda veya iki gözlem değeri arasında

yer alabilir. Bu durumda eksik gözlemlerin tahmin edilmesi gerekmektedir. Örneğin adrese

dayalı nüfus sayımına geçmeden önce Türkiye’de nüfus sayımları beş yılda bir yapılmaktaydı.

Bu nedenle sonu sıfır ve beş ile biten yıllara ait nüfus rakamları tam olarak bilinebilirdi. Ancak

sayım yapılmayan diğer yıllarda nüfusu tam olarak bilmanin imkânı yoktu. Bu nedenle söz

konusu arayılların tahmin edilmesi gerekmekteydi. Aynı şekilde gelir düzeyi ile ilgili

araştırmalarda da gelir yüzde yirmilik paylara bölündüğünden, aradaki değerler

bilinememektedir. Bu durumda serilerin bilinen değerleri yardımıyla bilinmeyen değerleri

hakkında matematiksel yöntemlerle tahmin yapma ve sonuç çıkarma işlemine interpolasyon

(ara değer atama) adı verilir. Bilinmeyen değerler serilerin başında veya sonunda ise, bu

durumda yapılan tahmine ekstrapolasyon adı verilmektedir. Bu işlem de özünde bir

interpolasyon işlemidir. Ancak ekstrapolasyon ile serinin serinin baştan veya sondan uzatılması

söz konusudur.

İnterpolasyon metamatiksel yöntemlerle tahmin anlamına geldiğine göre, seride bilinen

değerleri bir matematiksel foksiyon yardımıyla ifade etmek, örneğin bir doğru veya eğri

denklemi ile açıklamak ve bu ilişkinin bütün değerler için aynı ve geçerli olduğunu varsaymak

anlamına gelmektedir. Bu varsayım yardımıyla bilinmeyen değerler de tahmin edilmektedir.

Bilinmeyen değerlerin tahmininde iki yaklaşım kullanılmaktadır. Bunlar:

• Seçilmiş noktalara göre interpolasyon

• En küçük kareler yöntemi ile interpolasyon

yöntemidir.

Seçilmiş noktalara göre interpolasyon yönteminde, kullanılacak fonksiyonun denklemi

koordinat düzlemi üzerinde verileri temsil eden veya aralarından seçilmiş bütün noktaların

üzerinden geçecek şekilde hesaplanır.

En küçük kareler yöntemi ile interpolasyonda ise, fonksiyon noktaların üzerinden değil,

aralarından geçecek şekilde tahmin edilir.

2.5.1. Seçilmiş Noktalara Göre İnterpolasyon

Bu yöntemde tahmin için kullanılan fonksiyonun tipinin ve derecesinin önemi büyüktür.

Bu ndenle öncelikle fonksiyon tipinin ve derecesinin belirlenmesi gerekmektedir. İnterpolasyon

genellikle bir polinom veya bir üssel fonksiyon üzerinden yapılmaktadır. Polinomik

fonksiyonun genel formu;

271

2 3 ...Y T T Tα β γ δ= + + + +

şeklinde yazılmaktadır. Burada Y, ekonomik zaman serisini gösterirken, T, trendi

göstermektedir. İnterpolasyon yalnızca zaman serisi analizlerinde kullanılan bir yöntem

değildir. Aynı zamanda çok değişkenli istatistiksel modellerde de kullanılabilir. Bu durumda

X, Yt zaman serisini açıklayan bağımsız değişkeni gösterirken, denklem

2 3 ...Y X X Xα β γ δ= + + + +

şeklinde olacaktır. Uygulamada genllikle polinomik modeller kullanılırken, nüfus artışı ile ilgili

araştırmalarda birinci veya ikinci dereceden modeller nüfus artışını yansıtmayacaktır. Ayrıca

polinominal fonksiyonlar ekonomik zaman serisinin değerinin sıfırın altına düşemeyeceği

hallerde negatif bir tahmin verebilmektedir. Polinominal fonksiyonların kullanımının yarattığı

bu gibi sakıncaları gidermek amacıyla ve doğru tahmin yapabilmenin yolu uygun fonksiyon

tipinin seçilmesi olduğundan, özellikle nüfus artışı ile ilgili olarak üssel modellerin seçilmesi

gerekmektedir. Burada seçilecek fonksiyon tipi kesikli ve sürekli verilerde ayrı ayrı olmaktadır.

Nüfus geometrik dizi ile artış gösterdiğinden, kesikli büyüme

0 (1 )ttY Y r= +

şeklindeki bileşik faiz formülü ile, sürekli büyüme ise;

0tr

tY Y e=

şeklindeki fonksiyon ile tahmin edilmektedir. Kesikli büyümede 10 tabanına göre sürekli

büyümede ise e tabanına göre logaritmik dönüşüm yapılması gerekmektedir. Logaritmik model;

2X XtY αβ γ=

biçiminde de yazılabilir. Bu durumda fonksiyon logaritmik dönüşümle;

2log log log logtY X Xα β γ= + +


Fonksiyonun tipi belirlendikten sonra derecesi de belirlenmelidir. Fonksiyonun derecesi

seride interpolasyon için kullanılacak değerlerin sayısına bağlı olarak belirlenmelidir. Buna

göre, n sayıda gözlem değeri kullanılıyorsa, fonksiyon (n-1). Dereceden olmalıdır. Bu yolla

fonksiyona ait doğru veya eğri seçilmiş gözlem değerlerinin üzerinden geçecektir. Kullanılacak

veri sayısına göre fonksiyonun derecesi artacağından, işlemleri kolaylaştırmak amacıyla

272

genellikle üç veya dördüncü dereceden daha yüksek dereceden fonksiyon seçilmez. Bu

durumda kullanılacak veri sayısı da dört veya beş gözlemle sınırlı olacaktır.

Şimdi seçilmiş iki noktaya dayanarak polinominal ve üssel fonksiyonlarla yapılan

interpolasyonlara örnekler verelim.

Örnek: Türkiye’nin nüfusu 1985 ve 1990 yıllarında yapılan sayımlarla aşağıdaki gibi

belirlenmiştir. Buna göre 1986, 1987, 1988 ve 1989 yıllarının nüfusunu tahmin ediniz.

Nüfus

Yıllar (bin) T

1985 50.664 0

1990 56.473 1

Kaynak: Tüik: Genel Nüfus Sayımları 1927-2000

Buna göre elimizde yalnızca iki gözlem değeri olduğuna göre, fonksiyonun derecesi (n-

1)=2-1=1 olacaktır. Bu da doğrusal denklem ile tahmin yapılacağı anlamına gelir. Trend

analizinde görüldüğü gibi yılları değil de, yıllar için atanmış değerleri kullanarak, 1985 yılını

orijin değeri olarak aldığımızda, beş sonrasının 1 değerini alabilmesi için nüfusta her yıl 1/5=0,2

oranında büyüme olacaktır. Öyleyse

Y Tα β= +

şeklindeki doğru denkleminde önce söz konusu iki yıla ait nüfus değerleri ile parametreleri

tahmin edelim. Burada orijin olarak 1985 yılı alındığından, başlangıç nüfusu α = 50664

olacaktır.

50664

56473 (1)

Y Tα βαα β

= +

=

= +

olacak ve böylece 56473=50664+ β ’dan β =5809 olarak bulunur. İnterpolasyon doğrusunun

denklemi de

50664 5809Y T Tα β= + = + şeklinde olacaktır. Burada her yıl

0,2 oranında nüfus artış hızı olacağına göre, sırasıyla 1986 yılında 0,2, 1987 yılında

2×0,2=0,4,... değerleri doğru denkleminde yerine konarak,

1986 için 50664 5809(0, 2) 50664 1161,8 51825,8Y Tα β= + = + = + =

273

1987 için 50664 5809(0,4) 52987,6Y Tα β= + = + =

1988 için 50664 5809(0,6) 54149, 4Y Tα β= + = + =

1989 için 50664 5809(0,8) 55311,2Y Tα β= + = + =

şeklinde hesaplanacaktır. Burada doğrusal bir fonksiyon kullanılarak aslında nüfusun aritmetik

dizi ile değiştiği varsayımı kabul edilmektedir. Bu varsayımla nüfusun yıllık ortalama değişme

hızı bulunarak, her yıl başlangıç yılındaki nüfusun üzerine ilave edilir. Bu durumda, aynı

tahmin;

1990 19851986 1985ˆ 1

5

Y YY Y

− = + ×

şeklinde de yapılabilir. Burada ortalama değişme hızı, her yıl için yeniden artacağından, nüfus

1986

56473 50664ˆ 50664 50664 1161,8 51825,85

Y− = + = + =

1987

56473 50664ˆ 50664 2 50664 (2 1161,8) 52987,65

Y− = + × = + × =

.....

1989

56473 50664ˆ 50664 2 50664 (4 1161,8) 55311, 25

Y− = + × = + × =

olarak aynı şekilde tahmin edilecektir. Ancak nüfus değişimlerinin aritmetik dizi şeklinde değil,

geometrik dizi şeklinde olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla buradaki doğrusal artış varsayımı

gerçeği yansıtmayacaktır. Söz konusu dönemde nüfus artışlarını üssel fonksiyon yardımıyla

tahmin etmek gerekmektedir. İki gözlem değerine dayanılarak tahmin yapılacağından, üssel

model;

TtY αβ=

şeklinde olmalı ve logaritmik dönüşümle,

log log logtY Tα β= +

274

Nüfus

Yıllar (bin) Log (Nüfus) T

1985 50.664 4,7046 0

1990 56.473 4,7518 1

buradan üssel modelin parametreleri,

4,7046 log

4,7518 log (1) log

αα β

=

= +

ve

log 4,7518 4,7046 0,0472β = − =

log(0,0472) 1,1148antiβ⇒ = =

olarak tahmin olur. Böylece model,

ˆ 50664(1,1148)TY =

olacaktır. Burada 1985 ile 1990 arasındaki her yıla sırasıyla, 0,2, 0,4,... değerleri verilerek ara

değerler;

0,21986ˆ 50664(1,1148) 50664(1,0219) 51777, 23Y = = =

0,41987ˆ 50664(1,1148) 50664(1,0444) 52913, 48Y = = =

0,61988ˆ 50664(1,1148) 50664(1,0673) 54073,68Y = = =

0,81989ˆ 50664(1,1148) 50664(1,0908) 55264, 29Y = = = milyon

olarak tahmin edilir.

Aynı dönemde nüfus artışı bileşik faiz fomülü ile de tahmin edilebilir. Bu durumda

0 (1 )ttY Y r= +

şeklindeki model yardımıyla, önce yıllık ortalama nüfus artış hızını hesaplamalıyız.

275

0

5

(1 )

56473 50664(1 )

ttY Y r

r

= +

= +

log 56473 log50664 5log(1 )r= + +

4,7518 4,7046log(1 ) 0,00944

5r

−+ = =

1+r=antilog(0,00944)=1,02197

ve böylece yıllık ortalama nüfus artış hızı r = ‰ 21,97 olarak tahmin edilir. Şimdi bileşik faiz

formülünü kullanarak her ara yıla ait nüfus tahminlerini yapalım. Tahminler,

0 (1 )ttY Y r= +

11986 50664(1 0,02197) 51777,088Y = + =

21987 50664(1 0,02197) 52914,63Y = + =

31988 50664(1 0,02197) 54077,16Y = + =

41989 50664(1 0,02197) 55265, 24Y = + =

şeklinde daha önce TtY αβ= üssel fonksiyonu ile yapılan tahminlerle aynı sonuçlar çıkmıştır.

Burada nüfus tahminlerindeki küçük küsurat farkları logaritmik dönüşüm sırasında bütün

hanelerin alınmayışından kaynaklanmaktadır.

Burada ayrıca doğrusal denklem ile yapılan interpolasyonlarda nüfusun yıllık artış

miktarının sabit kabul edildiği, üssel fonksiyon ve bileşik faiz fonksiyonunda ise nüfusun artış

hızının sabit kabul edildiği varsayılmaktadır. Üssel fonksiyon ve bileşik faiz oranı nüfus

tahminleri için daha uygun modellerdir. Nitekim 1985-1990 dönemlerinde TÜİK tarafından

açıklanan gerçek yıllık ortalama nüfus artış hızı ise ‰ 21,71 şeklindedir. Görüldüğü gibi

interpolasyon işlemi ile gerçek artış hızına oldukça yakın bir tahmin yapılmıştır.

276

İnterpolasyon işlemi daha önce de söylendiği gibi seçilmiş üç nokta üzerinden

yapıldığında n-1=3-1=2. dereceden polinominal fonksiyondan yararlanılmalıdır. Bu durumda

2Y T Tα β γ= + +

şeklindeki polinom yardımıyla 1980-1990 dönemlerine ait aşağıdaki nüfus verileri için

interpolasyon yapalım.

Nüfus

Yıllar (bin) T

1980 44.737 0

1985 50.664 1

1990 56.473 2

Kaynak: Tüik: Genel Nüfus Sayımları 1927-2000

Bu durumda

2Y T Tα β γ= + +

şeklindeki denklemde zamanın yerine değerler konulduğunda,

44737

50664 (1) (1)

56473 (2) (4)

αα β γα β γ

=

= + +

= + +

denklem takımından,

50664 44737

56473 44737 2 4

β γβ γ

= + +

= + +

5927

11736 2 4

β γβ γ

= +

= +

277

44737α = , 5986β = , 59γ = −

olarak tahmin edilir. Bu durumda interpolasyon denklemi

244737 5986 59Y T T= + −

şeklindedir. Böylece örneğin 1987 yılı için nüfus tahmini

244737 5986(1, 4) 59(1, 4)Y = + − =53001,76

biçiminde tahmin edilecektir. Şu ana kadar çeşitli fonksiyon tipleri ile interpolasyon işleminin

nasıl yapıldığını gördük. Ancak serilerin başında veya sonunda olan verilerin tahmini işlemini,

yani ekstrapolasyon işlemini henüz uygulamadık. Şimdi yukarıdaki örneğimizde 1995 yılına

ait nüfusu ekstrapolasyon yöntemi ile tahmin edelim. Bunun için yıllara

Yıllar T

1980 0

1985 1

1990 2

1995 3

şeklinde değer atamamız gerekmektedir. Bu durumda 2. dereceden denklemde T=3 yazarak

244737 5986 59Y T T= + −

244737 5986(3) 59(3)Y = + − = 62164


Derlenen veri kümelerinin sınıf aralıkları çok geniş olduğunda, söz konusu aralıkları

interpolasyon yöntemi ile daraltmak mümkündür. İnterpolasyon bu amaçla kullanıldığında,

yukarıdaki şekilde tahmin yapılabileceği gibi, birikimli seriler yardımıyla da tahmin edilebilir.

Birikimli seriler kullanıldığında, gerçek serideki sınıfların bölüneceği noktalara göre ara

değerler atandıktan sonra, birbirini takip eden ara sınıflar arasındaki farklar alınarak sıklık

bölünmesi şekliyle gerçek değerlere ulaşılacaktır.

Örnek: Bir holdingin çalışanlarına ait gelir dağılımı aşağıdaki gibidir.

278

Gelir

Sınıfları

(TL)

Gelir

Sahipleri

Sayısı

0-1000 250

1000-2000 170

2000-3000 95

Buna göre son iki sınıfı eşit aralıklı ikişer sınıfa bölmek istediğimizde; veri sayısı üç

olduğuna göre; n-1=3-1=2. dereceden bir polinom yardımıyla tahmin yapılacaktır. Bu durumda

2Y X Xα β γ= + +

denklemi birikimli seriyi oluşturarak,

Gelir

Sınıfları

(TL) X

Birikimli

Gelir

Sahipleri

Sayısı

1000’den az 0 250

2000’den az 1 420

3000’den az 2 515

şeklindeki veriler yardımıyla

250 α=

2420 (1) (1)α β γ= + +

2515 (2) (2)α β γ= + +

170= β γ+

265= 2 4β γ+

şeklindeki denklem takımından

279

250α = , 207,5β = , 37,5γ = − ve denklem

2250 207,5 37,5Y X X= + −

olarak tahmin edilir. Son iki sınıfı eş aralıklı ikişer sınıfa bölmek istediğimize göre;

1500’den az sınıfı için X=0,5 değeri ve 2500’den az sınıfı için X=1,5 değeri atanarak 2250 207,5 37,5Y X X= + − denkleminden sırasıyla

2250 207,5(0,5) 37,5(0,5) 344,375Y = + − =

2250 207,5(1,5) 37,5(1,5) 476,875Y = + − =

değerleri tahmin edilir. Bu değerlerle birikimli seri yeniden yazılarak, sınıflar arasındaki farklar

Gelir

Sınıfları

(TL) X

Birikimli

Gelir

Sahipleri

Sayısı Farklar

1000’den az 0 250 -

1500’den az 0,5 344,375 344,375-250=94,375

2000’den az 1 420 420-344,375=75,625

2500’den az 1,5 476,875 476,875-420=56,875

3000’den az 2 515 515-476,875=38,125

biçiminde bulunduğunda, gerçek sıklık bölünmesi serisine ulaşılır. Burada gelir sahipleri kişi

sayısını gösterdiğinden ve tamsayılı değerlere sahip olması gerektiğinden, bulunan yeni sınıflar

tamsayılı olarak ifade edilmiştir. Böylece,

Gelir

Sınıfları

(TL)

Gelir

Sahipleri

Sayısı

0-1000 250

1000-1500 94

1500-2000 76

2000-2500 57

2500-3000 38

280

Toplam: 515

biçiminde tahmin edilen ara sınıflar istendiği takdirde farklı sınıf aralıklarına da bölünebilir.

2.5.2. En Küçük Kareler Yöntemine Göre İnterpolasyon

Daha önce ekonomik zaman serilerinin trend analizini yaparken, tahmin ettiğimiz trend

denklemi yardımıyla seride yer almayan yılların değerlerini elde etmiştik. Kısaca trend

denklemini bir interpolasyon denklemi gibi kullanmış ve özellikle son gözlem değerlerinin

ekstrapolasyonunu yapmıştık. Şimdi öncelikle en küçük kareler yöntemi ile interpolasyonun

seçilmiş noktalara göre interpolasyondan farkını görelim.

• Seçilmiş noktalara göre interpolasyonda fonksiyonun denklemi seçilen her

noktanın üstünden geçecek şekilde ayarlandığı halde, en küçük kareler yönteminde

tahmin edilen denklem veri kümesindeki değerlerin ortalamalarından geçer. Bu

durumda noktaların üstünden değil, genellikle en yakın olacak şekilde aralarından geçer.

• Seçilmiş noktalara göre interpolasyonda kullanılacak veri sayısı azdır.

İnterpolasyon için oluşturulan denklem de veri sayısının bir eksiği olacak şekilde

ayarlanır. En küçük kareler yönteminde ise veri sayısı çoktur. Fonksiyonun tipi ise,

verinin grafiğinin seyrine göre ve hatayı en küçükleyecek şekilde seçilmektedir.

• Bu farklılıklar sonucunda en küçük kareler yöntemi ile interpolasyon yapılması

durumunda seri için tahmin edilen ara değerler ve serinin başındaki veya sonundaki uç

değerler, ekonomik zaman serisinin taşıdığı dalgalanmaları değiştirmeden tahmin

edilmektedir. Oysa seçilmiş noktalara göre interpolasyon yönteminde serinin seyri ve

taşıdığı dalgalanmalar dikkate alınmaz.

Şimdi en küçük kareler yöntemi ile interpolasyona polinominal ve üssel model örnekleri

verelim.

Örnek: Doğru denklemine göre interpolasyon örneği için daha önce bir firmanın 11

yıllık ihracat rakamlarına ait olarak verdiğimiz örnekte firmanın ihracatındaki söz konusu

dönemdeki ortalama yıllık değişimi belirleyerek 2012 ile 2013 ihracatlarını tahmin etmiştik.

Yıllar (T) 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

İhracat

(Mil. $) 81.5 79.3 80.2 78.9 77.6 77.2 78.4 76.9 75.4 74.7 74.3

281

Buna göre normal denklemlerden tahmin edilen trend denklemi

tY =80,945−0,654T

Ve 2012- 2013 interpolasyonu

2012Y =80,945 −0,654(11)= 73,751 bin ton

2013Y =80,945 −0,654(12)= 73,097 bin ton şeklindeydi.

Aynı şekilde kuadratik fonksiyon için verdiğimiz örnekte de bir firmanın 11 yıllık

toplam maliyetlerine uygun trend fonksiyonu

Yıllar (T) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Toplam

Maliyet

(Mil. TL) 55.5 54.6 55 54.1 52.8 51.3 51.9 50.3 49.6 52.5 52.8

Y = 51,82−0,423T+0,094T2

şeklinde tahmin edilerek, 2011 yılı için ekstrapolasyon

2011Y =51,82−0,423(6)+0,094(62)=52,666 biçiminde yapılmıştır.

Üssel model için Türk Ekonomisinin gayri safi yurt içi hâsılası (GSYİH) üretim yöntemi

ve sabit 1998 alıcı fiyatları ile (Kaynak: www.tuik.gov.tr ) derlenen veri kümesinden

Yıllar 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

GSYİH

(milyon

TL)

70.203 67.841 72.436 68.309 72.52 76.338 83.486 90.5 96.738 101.255 101.922 97.003 105.886 114.874

GSYİH için üssel trend modeli

GSYİH= 85,71260.0421Te

282

biçiminde tahmin edilmişti. Bu denklem ekstrapolasyon amacıyla kullanıldığında, örneğin 2012

GSYİH değerini tahmin etmek istediğimizde, T=7,5 değeri atayarak,

GSYİH= 85,71260.0421(7,5) 0,3157585,712e e=

=85,712(1,3713)=117,537 milyon TL

şeklinde tahmin edilecektir.

İnterpolasyon yöntemi gerek seçilmiş noktalara göre tahmşnde, gerekse en küçük

kareler yönteminde veri kümesinin fonksiyon tipine tam olarak uyum sağladığı varsayımını

taşımaktadır. Oysa veri kümesi her zaman seçilen fonksiyona tam olarak uyum sağlamamktadır.

Özellikle ekstrapolasyon yaparken, tahmin edilen fonksiyon ile henüz gerçekleşmemiş veriler

için değerler atanmakatadır. Bu durumda seçilen fonksiyonun gelecekte de aynı şekilde olacağı

varsayılmaktadır. Oysa gelecekte aynı dalgalanmaların yaşanması özellikle son gözlem

değerlerinden uzaklaşıldıkça gerçeğe oldukça aykırı bir varsayım olacaktır. Dolayısıyla

özellikle ekstrapolasyon yaparken kısa dönem tahmini yapmak ve kullanım ve yorumunda

dikkatli olmak gereklidir.

283

Uygulamalar

284

Uygulama Soruları

285


286

Bölüm Soruları

1) İnterpolasyon ve ekstrapolasyon nedir? Aralarındaki fark nedir?

2) Bir ilçenin nüfusu 2005 yılında 2865 kişi ve 2010 yılında 3250 kişi olarak sayılmıştır.

Buna göre lçenin nüfusuna ait ara değerleri;

a. Uygun polinominal model ile tahmin ediniz.

b. Üssel model ile tahmin ediniz.

c. Bileşik faiz formülü ile tahmin ediniz.

d. 2011 ve 2012 nüfusları için kullandığınız tüm fonksiyonlarla ekstrapolasyon

yapınız.

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

287

7)

8)

9)

10)

288

13. ORANLAR

289


13.1.

13.2.

13.3.

290


291



292

Anahtar Kavramlar

293

Giriş

Bu hafta oranlar ve kullanımları ike ilgili bilgi verilecektir. Ayrıca özünde bir oran olan

endeksler ve hesaplanma yöntemleri özetlenecektir. Ardından Türkiye’de hesaplanan fiyat

endeksleri açıklanacaktır. Reelleştirme kavramı ve endekslerin önemi anlatılarak

örneklenecektir.

294

2.6. Oranlar

Oran aralarında ilişki bulunan veya birlikte değişen değişkenlerin birbirine bölünmesi

olarak tanımlanabilir. İstatistiğin temel amacı değişkenlerdeki değikenliği ölçmek, değişkenler

arasındaki ilişkiyi bularak, birbirleriyle kıyaslamak olduğuna göre, oranlar bu amaçlara uygun

olarak, değişkenleri birbirleri ile kıyaslamakta kullanılmaktadır. Oranlar iktisadi göstergelerin

karşılaştırılmasında faydalıdır. Örneğin, iki ülkenin kişi başına düşen milli geliri, aynı şekilde

iki farklı sınıfın aynı dersten başarı durumları gibi...

Oranlar, oranı hesaplanan değişkenlerin gerçek değerleri hakkında fikir vermezler.

Örneğin A sınıfının %75’i istatistik dersinden 50 üzerinde not almış dediğimizde, bu bilgi ile,

bu sınıftaki öğrencilerin notlarının hangi aralıkta değiştiği hakkında bir fikrimiz olamaz.

Öğrencilerin dersi geçmesi kadar yüksek puanlarla geçmesi de önemlidir. Ancak yukarıdaki

ifadeden öğrenciler arasında 100 puan alan birinin olup olmadığı anlaşılamamaktadır. Bu

nedenle oranlar genellikle gerçek değerlerle birlikte dikkate alınır.

Oranlar hesaplanırken genellikle değerler birbirine tam olarak oranlanamaz. Bu

durumda bulunan değerin çoğunlukla yuvarlanarak ifade edilmesi gerekmektedir. Yuvarlama

işleminde çoğunlukla virgülden sonra iki basamak yeterli olsa da, bazen bulunan oran çok

küçük olduğunda, oranı yüzde ile değil de, binde ile ifade etmek daha doğru olacaktır.

Oranların kullanım alanı son derece geniştir. Demografide, ulusal hesaplarda, dış

ticarette kullanılan iktisadi göstergelerin hemen tamamı oran şeklindeyken, işletme ve finansta

da oranlardan yararlanılmaktadır. Finansal analizlerde kullanılan oranlara genellikle rasyolar

adı verilir. Bu amaçla kullanılan oranlar, likidite oranları, finansal yapı oranları, faaliyet

oranları, kârlılık oranları şirketlerin yükümlülüklerini karşılama güçlerini ölçmek amacıyla

kullanılan oranlar, finansal yapı ile ilgili oreanlardır. Oran analizi işletme ve finansta

yöneticiler, finansal analistler, incelenen işletme ile ilişkisi olan banka ve benzeri finans

kurumları, mevcut ortaklar, potansiyel bireysel ve kurumsal yatırımcılar tarafından

kullanılmaktadır.

Oranları hesaplamak önemli olmakla birlikte, analizlerin mekanik yönüdür. Önemli

olan hesaplanan oranların yorumlanması ve değerlendirilmesidir. Bu nedenle hesaplanan

oranların daha yakından incelenmesi gerekmektedir.

2.6.1. Oran Çeşitleri

Oranlar değişkenler arasındaki

• İlişkinin türüne göre

• İlişkinin derecesine göre

295

hesaplanmaktadır. Ancak bu şekilde sınıflandırılamadıkları için, bu iki grubun dışında kalan

oranlar da vardır.

2.6.1.1. İlişkinin Türüne Göre Oranlar

Aralarında parça-bütün veya sebep-sonuç ilişkisi bulunan iki değişkenin kıyaslandığı

oranlar bu gruptadır. Bunlardan ilki bileşim oranı, diğeri ise türeme oranıdır.

• Bileşim Oranı

Bu tip oranlar genellikle bölünme serilerine ve mekân serilerine uygulanmaktadır.

Bölünme serilerine uygulanması nedeniyle bölünme oranı da denen bileşim oranı, değişkene

ait gözlem değerlerinin toplam gözlem sayısına oranlanarak 100 ile çarpılması yoluyla

hesaplanırlar. Bu nedenle bileşim oranlarının toplamı % 100’e eşit olur. Bileşim oranı zaman

serileri bir bütün oluşturmadığı için, bu tip serilerde kullanılmaz.

Örneğin adrese dayalı nüfus kayıt sistemine göre, Türkiye’nin 2011 yılı nüfusunun

medeni hallerine göre dağılımı;

Medeni Hal Nüfus %

Hiç Evlenmedi 15260068 27,44

Evli 35667658 64,13

Eşi Öldü 3017052 5,42

Boşandı 1673661 3,01

Toplam: 55618439 100,00

olduğuna göre, bileşim oranları;

15260068

556184100 4

94

327,× =

,... şeklinde hesaplanır.

• Türeme Oranı

Değişkenler arasındaki sebep-sonuç ilişkisine bağlı olarak, değişkenin gözlem değerleri

oranın payında, sebep konumundaki değer de paydada yer aldığında oluşan orana türeme oranı

296

adı verilir. Nüfusun içindeki doğum, ölüm, evlenme,...vb. oranlar, türeme oranıdır. Buna göre,

yine Türkiye’nin 2011 nüfusu 74 724 269 kişi ve doğum sayısı 1 237 172 olduğuna göre;

Doğum oranı =1 237 172

0,01655674 724 26

1009× =

olarak ‰ 16,5 şeklinde hesaplanır.

2.6.1.2. İlişkinin Derecesine Göre Oranlar

Değişkenler arasındaki ilişkinin derecesine göre de oranlar kendi arasında genel oran ve

özel oran olmak üzere ikiye ayrılır.

• Genel Oran

Aralarında zayıf ilişki bulunan iki değişkenin oranlanması ile genel oran oluşur. Bu

anlamda yukarıda hesapladığımız doğum oranı, doğum sayısı toplam nüfusa bölünerek

oluşturulduğundan, aslında genel doğum oranıdır. Genel oranlarda oranlanan değerler arasında

güçlü bir ilişki yoktur. Doğum oranının hesaplarken nüfusun tamamının ele alınması, erkekleri,

yaşlı ve çocukları da doğumla ilişkilendirdiğinden, ilişkiyi zayıflatmaktadır.

• Özel Oran

Aralarında güçlü ilişki bulunan değişkenlerin oranlanması ile oluşturulan oranlara özel

oran adı verilir. Örneğin, doğum olayı aslında yalnızca doğurganlık yaşındaki kadınlarla ilişkili

olduğundan, doğum oranı hesaplanırken doğum sayısının nüfusun tamamına değil, 15-49 yaş

arası kadın nüfusa oranlanması durumunda özel doğum oranı hesaplanacaktır. Bu orana

demografide toplam doğurganlık oranı adı verilir.

Toplam doğurganlık oranı1 237 172

6,201199506

003

19

= × =

‰ 62’dir.

Oranların analizlerde sağlıklı bir şekilde kullanılabilmesi için, genellikle özel oran

olarak hesaplanması gerekmektedir. Yukarıda sayılanlardan başka oranlar da söz konusudur.

Bu oranlardan ortalama oran, birlikte değişen farklı yapıdaki değişkenlerin oranı şeklinde

hesaplanmaktadır. Örneğin, 2011 nüfusu içinde erkek nüfusun kadın nüfusa oranı;

297

Genel cinsiyet oranı37532954

371913100 1 9

1, 2

500= × = gibi..

Kişi başına milli gelir, bin kişiye düşen doktor sayısı, ... gibi oranlar da ortalama oranlara

örnektir.

Ayrıca belli bir değişkenin veya değişkenlerin zamanda veya mekânlar arasında

gösterdiği değişimin oransal ölçüsü olan endeksler de oranlara bir örnek olarak verilebilir.

Oranlama yapılırken dikkat edilmesi gereken nokta kıyaslanacak değerlerden hangisinin

paya hangisinin paydaya alınacağıdır. Bu noktada seçim araştırmanın amacına bağlı olarak

yapılmalıdır. Ayrıca oranları okurken de dikkatli olunmalıdır. Öyle ki bir malın fiyatı 100

TL’den 200 TL’ye çıktığında fiyat artışının 2 misli olduğunu düşünmek yanlıştır. Burada artış

yalnızca 1 misli olmuştur.

Bu noktada endekslerle ilgili bilgilerimizi tazeleyelim ve bazı önemli iktisadi oranlardan

söz edelim.

2.7. Endeksler

Özellikle fiyat hareketleri ile ilgili gelişmeleri takip etmekte önemli bir yeri olan

endeksler aslında belli bir olayın değerinde zaman ve mekâna göre görülen nispi değişim olarak

tanımlanabilir. Bu tanımlamadan anlaşılacağı gibi endeksler bir oranı ifade eder. Bu nedenle

endeksler aslında bir orandır. Bu oranlamada aynı cinsten iki değer birbirine bölündüğünden,

birimsiz olan endeks değeri, oranlama sonunda 100 ile çarpılarak, yüzde ile ifade edilir.

Endeksler ister zamana göre ister mekâna göre hesaplansın, iki değerin oranı şeklinde

olduklarından, genel olarak;

i

0

XI 100

X= ×

formülü ile ifade edilir. Burada Xi ilgili dönemin veya mekânın değeri iken, X0 ise, temel (esas-

baz) alınan dönemin veya mekânın değeridir. Bu şekilde hesaplanan endekslere sabit esaslı

endeksler adı verilir.

i

0

XSEI 100

X= ×

Sabit esaslı endekslerde 0. döneme göre değişim ölçülmektedir. Aynı şekilde bir önceki

döneme göre değişimi ölçmekte mümkündür. Bu durumda;

298

i

i 1

XDEI 100

X −

= ×

Bir önceki yıla göre değişim değeri hesaplanmaktadır. Bu durumda ise değişik esaslı

endeksler söz kunusudur. Öyleyse indekler;

• Kullanılan seriye göre zaman ve mekân endeksleri,

• Temel devreye göre sabit ve değişik esaslı endeksler,

• İçerdikleri madde sayısına göre basit ve bileşik endeksler

gibi esas aldıkları dönem ve içerdikleri madde sayılarına bağlı olarak gruplandırılabilir. Tüm

bu gruplandırmalarda değişim fiyatlar ve miktarlar cinsinden hesaplanabilir. Maddelerin

değişimi fiyatlar cinsinden hesaplandığında fiyat endeksleri, miktarlar cinsinden

hesaplandığında ise miktar endeksleri söz konusudur.

Fiyatlar genel seviyesindeki değişimleri göstermek amacıyla kullanılan endeksler tartılı

bileşik endekslerdir. Bu amaçla geliştirilen ve TÜİK tarafından her ay hesaplanarak yayınlanan

ÜFE ve TÜFE endeksleri de birer tartılı bileşik endekstir. Şimdi ÜFE, TÜFE ile ilgili yorum

ve açıklamalarımızı yapabilmek için önce kısaca tartılı bileşik endekslerin hesaplanma

yöntemlerini hatırlayalım.

2.7.1. Bileşik Endekslerde Tartı

Bileşik Endeks hesabı yapmak aynı zamanda ortalama hesabı yapmak anlamına gelir.

Bileşik endeks birden fazla mal veya hizmetin fiyatlarında ortalama olarak ne kadarlık bir

değişme olduğunu gösterir.

Ancak fiyat endekslerinin hesaplanmasında endeks kapsamında yer alan tüm mal ve

hizmetler tüketici için aynı öneme sahip değildir. Örneğin ekmekle çiklet fiyatı aynı endekste

yer aldığında çikletin fiyatındaki %5 lik artış, ekmeğin fiyatındaki %5 lik artış kadar tüketiciyi

etkilemeyecektir. Bu nedenle endeks rakamının hesaplanmasında ekmeğin ağırlığının daha

fazla olması gerekir.

Fiyat endekslerinde ağırlık yani tartı bir malın tüketilen veya satılan miktarı ile o malın

fiyatı çarpılarak bulunur. Böylece bileşik endeks hesabında tartı kullanıldığında, daha fazla

ödeme yapılan mal veya hizmetin ağırlığı endeks hesabında daha etkili olacaktır.

Fiyat endekslerinin hesaplanması için gerekli değişkenler şunlardır:

1. Mal ve hizmet sepeti

2. Temel yıl tartıları (ağırlıkları)

299

3. Temel yıl fiyatları

4. Cari fiyatlar

1. Mal ve hizmet sepeti: İndekslerin hesaplanabilmesi için gereken mal ve

hizmetlerin fiyatlarının takip edileceği sepete mal ve hizmet sepeti denir. İndekslerde bütün mal

ve hizmetlerin düzenli olarak fiyat hareketlerini izlemek çok zordur. Tercihen bunlar belirli mal

ve hizmetlerle sınırlandırılarak temsil edilirler ve “mal ve hizmet sepeti” olarak adlandırılırlar.

Seçilen mal ve hizmetler; miktar, tür ve kalite olarak açıkça tanımlanır ve endeks hesaplanma

süresince değişmeden kalır.

2. Temel yıl tartıları (ağırlıklar): İndeksin hesaplanabilmesi için gerekli gerekli

seçilmiş toplam mal ve hizmetlerin toplam sepet içindeki değerlerine bağlı olarak aldıkları paya

“tartı” denir. İki tür tartı söz konusudur.

i) Sabit tartı: Tüketim ya da üretim yapısı aylar veya mevsimlerden etkilenmeyen

maddelerin ağırlıklarıdır.

ii) Değişken tartı: Tüketim ya da üretimi mevsimlerden etkilenen maddelerin

ağırlıklarıdır.

3. Temel yıl fiyatları: Fiyat endekslerinin hesaplanabilmesi için gerekli olan mal

ve hizmetlerin temel yıla ait 12 aylık ortalama fiyatlarına denir.

4. Cari Fiyat: Fiyat endekslerinin hesaplanabilmesi için gerekli olan mal ve

hizmetlerin cari aya ait fiyatlarına denir.

Endeksler oluşturulurken mal ve hizmet sepetine alınacak maddelerin seçiminde dikkate

alınan unsurlar şöyledir;

1. Üretimde ve hane halklarının tüketiminde önemli ağırlığa sahip olmalı

2. Tanımlanabilir nitelikte ve birim fiyatına ulaşılabilir olmalı

3. Fiyatı izlenebilir olmalı

4. Yurtiçi üretimden satışlarında ve tüketimde sürekliliği olmalıdır.

Tartılı endeksler söz konusu olduğunda Laspeyres fiyat endeksi, Paasche fiyat endeksi

en çok kullanılan endekslerdir.

300

2.7.2. Laspeyres Fiyat İndeksi

Bu endekste tartı hesaplanmasında sıfırıncı dönem miktarları kullanılır.

10000

00

0 ⋅

=∑

∑qp

qpxp

p

I

i

L

0p ’lar sadeleştirildiğinde;

10000

0 ⋅=∑∑

qp

qpI

i

L

Tartı hesabında sıfırıncı dönem miktarı kullanılıyor. Böylece i. dönemde sıfırıncı

dönemin tüketim kalıbına göre ne kadar ödendiğini gösterir. Sıfırıncı dönemde 100TL ödenerek

satın alınan tüketim kalıbının bugün ne kadar para ödenerek satın alınabildiğini gösterir.

Laspeyres fiyat endeksi değişik esaslı olarak hesaplanmak istendindiğinde ise formül;

10001

0 ⋅=∑∑

− qp

qpI

i

i

L

2.7.3. Paashe Fiyat İndeksi

Tüketim kalıbının her dönem değiştiği varsayımından hareket eder.

1000

0

0 ⋅

=∑

∑

i

ii

Pqp

qpxp

p

I

0p ’lar sadeleştiğinde;

1000

⋅=∑∑

i

ii

Pqp

qpI

301

Tüketim kalıbının her dönem değiştiği varsayımı veri toplama konusunda sıkıntı yaratır.

Paasche endeksi bugünkü tüketim kalıbı sıfırıncı dönemde tüketiciler tarafından tercih edilseydi

sıfırıncı dönemde bu tüketim kalıbına ne kadar ödenirdi sorusuna cevap verir.

Bugün tercih edilen tüketim kalıbına sıfırıncı dönemde tercih edilseydi kaç TL

ödenecekti sorusuna cevap verir.

Paasche fiyat endeksi değişik esaslı olarak hesaplandığında;

1001

⋅=∑∑

− ii

ii

Pqp

qpI

2.7.4. Fisher’in İdeal İndeksi

Fisher tarafından önerilen Laspeyres ve Paasche endekslerinin çarpımlarının karekökü

diğer bir ifade ile geometrik ortalaması alınarak hesaplanan endeks

PLF III ⋅=

İdeal endeks olarak adlandırılmaktadır. Ancak uygulamada kullanılmamaktır.

Laspeyres endeksi tartı olarak temel devreyi esas aldığı için fiyat değişimlerini fazla, Paasche

endeksi tartı olarak cari dönemi aldığı için fiyat değişimlerini olduğundan az gösterir. Fisher bu

iki endeksin geometrik ortalamasını alarak, her iki endeksin zayıf yönlerini dengeler.

2.7.5. Türkiye’de Hesaplanan Fiyat Endeksleri

Endeksler hem bir oran hem de bir ortalama değer olup, özellikle fiyat endekslerinden

fiyatlar genel seviyesinin bir göstergesi olarak yararlanılmaktadır. Türkiye’de bu amaçla

hesaplanan endeksler, üretici fiyat endeksi (ÜFE) ve tüketici fiyat endeksi (TÜFE)’dir. TÜİK

tarafından hesaplanan bu endeksler son olarak 2003=100 bazlı hesaplanan endekslerdir.

Bunlardan TÜFE, hanehalklarının tüketimine yönelik mal ve hizmet fiyatlarının zaman

içindeki değişimini ölçmektedir. Tüm sosyo-ekonomik gruplardan yaklaşık yıllık 13248 (3 yıl

toplamı 39,774) hanehalkı ile yapılan Hanehalkı Bütçe Anketi, kurumsal nüfus anketi, yabancı

uyrukluların Türkiye’de yapmış oldukları harcamalar için turizm anketi ve idari kayıtlardan

elde edilen harcama ve ciro bilgileridir. 2003=100 temel yıllı TÜFE’de, yurtiçinde mal ve

hizmet tüketmek amacıyla yapılan, tüm nihai parasal tüketim harcamaları esas alınmaktadır.

Endekste tüm il merkezlerinden ve 74 ilçeden fiyat derlenmektedir.

302

Endekste yer alacak ağırlıkların tespitinde ve endeks hesaplamasında Amaca Göre

Bireysel Tüketim Sınıflaması (COICOP) kullanılmış ve bu harcamalar 12 ana grup 44 alt grup

altında toplanmıştır. Endekste 444 madde kapsama alınmıştır.

TÜFE hesabında, madde sepetlerinin ve ağırlıklarının güncellemesi, her yılın sonunda

yapılmakta ve zincirleme Laspeyres formülü ile seri devam ettirilmektedir. Her yıl Aralık ayı

itibari ile, yeni maddeler endekse dâhil edilmekte ya da önemini kaybeden maddeler endeksten

çıkarılmakta ve yeni ağırlıklar endeks hesabında kullanılmaktadır. Cari fiyatların, “yeni fiyat

referans dönemi (Po)” olan bir önceki Aralık ayının fiyatlarına bölünmesiyle, endeks

hesaplanmakta ve Aralık ayı endeksi ile çarpılarak zincirleme işlemi yapılmaktadır. Sepete

alınan taze sebze ve meyveler, petrol ve seçilmiş 15 gıda ürünü haftada bir kez ve diğer ürünler

ayda iki kez; kiralar ayda bir kez derlenmektedir. http://www.tuik.gov.tr

I=w * (Pi / Po)

I : endeks

Pi : cari ay fiyatı

w : ağırlık

Po: temel yıl fiyatı

It=wi * (Pit / PAralik(t-1)) * IAralik(t-1)

wi : yeni ağırlık

t : zaman

Madde çeşidi fiyatları geometrik ortalama ile hesaplanmaktadır. Veri mevsimsel olarak

düzeltilmemektedir.

TÜFE içinde ayrıca özel kapsamlı enflasyon göstergeleri de hesaplanmaktadır. Özel

kapsamlı TÜFE göstergeleri (çekirdek enflasyon), enflasyonun geleceğine ilişkin tahmin edici

gücü yüksek olan, enflasyonun eğilimini belirleyen ve para politikasının oluşmasına yardımcı

olan göstergelerdir. Özel kapsamlı TÜFE göstergeleri, fiyatlarda gözlenen tüm geçici etkilerin

arındırılması sonucunda fiyatlar genel düzeyinde meydana gelen artışı ifade etmektedir.

Özel kapsamlı TÜFE göstergelerinin kapsamı;

303

• Mevsimlik ürünler hariç TÜFE

• İşlenmemiş gıda ürünleri hariç TÜFE

• Enerji hariç TÜFE

• İşlenmemiş gıda ürünleri ve enerji hariç TÜFE

• Enerji, alkollü içkiler ve tütün hariç TÜFE

• Enerji, alkollü içkiler, tütün, fiyatı yönetilen/yönlendirilen ürünler ve dolaylı

vergiler hariç TÜFE

• Enerji, alkollü içkiler, tütün, fiyatı yönetilen/yönlendirilen ürünler, dolaylı

vergiler ve işlenmemiş gıda ürünleri hariç TÜFE

• İşlenmemiş gıda ürünleri, enerji, alkollü içecekler, tütün ve altın hariç TÜFE

• Gıda ve alkolsüz içecekler, enerji, alkollü içecekler, tütün ve altın hariç TÜFE

Üretici Fiyatları Endeksi (ÜFE) ise, belirli bir referans döneminde ülke ekonomisinde

üretimi yapılan ürünlerin yurtiçine yönelik üretici fiyatlarını zaman içinde karşılaştırarak fiyat

değişikliklerini ölçen fiyat endeksidir. Yurtiçi üretimde önemli paya sahip üreticiler ÜFE

kapsamındadır. İhracat kapsanmamaktadır. Bu bağlamda ÜFE, tarım ve ormancılık, balıkçılık,

madencilik ve taş ocakçılığı, imalat sanayi, elektrik, gaz ve su sektörlerini kapsamaktadır.

http://www.tuik.gov.tr

Üretici fiyatı, yurtiçinde üretimi yapılan ürünlerin, KDV ve benzeri vergiler hariç, peşin

satış fiyatıdır. Üretici fiyatları endeksinde tarım, avcılık, ormancılık ve balıkçılık sektörlerinde

faaliyet gösteren üreticilerin yetiştirdiği ve piyasaya arz ettiği ürünlerin ilk el satış fiyatları

izlenmektedir. Sanayi sektörüne ilişkin ürünlerin fiyatları da doğrudan sanayi sektöründeki

üretici firmalardan alınmaktadır. ÜFE Türkiye genelinde hesaplanmaktadır.

Ürün sepetinin ve ağırlıklarının güncellemesi, her yılın sonunda yapılmakta ve

zincirleme Laspeyres formülü ile seri devam ettirilmektedir. Her yıl Aralık ayı itibarı ile yeni

maddeler endekse dâhil edilmekte ve yeni ağırlıklar endeks hesabında kullanılmaktadır. Cari

fiyatların, “yeni fiyat referans dönemi (Po)” olan bir önceki Aralık ayının fiyatlarına

bölünmesiyle, endeks hesaplanmakta ve Aralık ayı endeksi ile çarpılarak zincirleme işlemi

yapılmaktadır.

Temel fiyat endekslerinin hesaplanmasında fiyatların ağırlıklı aritmetik

ortalaması alınmaktadır. Ağırlıkların güncellenmesi her yıl yapılmaktadır. Cari ağırlıkların ait

olduğu dönem t-2 dönemidir.

Tarım ve balıkçılık ürünleri için mevsimsel maddeler olmaları nedeniyle değişken

ağırlıklar kullanılmaktadır. Ayrıca mevsimsel düzeltme yapılmamaktadır.

304

Temel veri kaynağı olarak Ulusal hesaplar, sanayi ve tarıma ilişkin ürün ve üretim

istatistikleri ve Üretici Fiyatları Endeksi anketi kullanılmaktadır. Fiyat verileri anket yoluyla

derlenmektedir. Fiyatlar, anket yolu ile derlenmektedir. Anketler faks veya e-posta yolu ile

gönderilmektedir. ÜFE’de sanayi kapsamında yer alan maddelerin her ayın 5., 15. ve 25.

günlerindeki fiyatları derlenmektedir. Tarım ürünlerinin ayın 25. gününe kadar olan fiyatları

kapsanmaktadır.

2.7.6. Reelleştirme

Cari fiyatları enflasyonun etkisinden arındırmak için ilgili malın i. dönemdeki nominal

değeri sabit esaslı bir fiyat endeksine oranlanarak, yüz ile çarpılmalıdır. Böylece reel fiyat;

. 100i CFi

XRF

TÜFE= ×

şeklinde hesaplanır. Reelleştirme işlemine deflate etme işlemi de denilmektedir. Reelleştirme

işleminde ÜFE veTÜFE’nin yanı sıra milli gelir deflatörü de kullanılabilir. Bu noktada GSMH

zımni deflatöründen de söz edelim. Öncelikle deflatör kelimesinin anlamı üzerinde duralım.

Deflatör, parasal terimlerle (nominal) ifade edilmiş olan bir iktisadi büyüklüğün

(örneğin ücretler, hammadde fiyatları, maliyetler vb.) değerinin gerçek değere (reel)

çevrilmesinde kullanılan fiyat endeksini ifade eder. (Kaynak:

http://www.tcmb.gov.tr/yeni/iletisimgm/sozluk.htm#deflatör). Buna göre, gayri safi milli

hasıla zımni fiyat deflatörü cari fiyatlarla gayri safi milli hasıla değerinin sabit GSMH değerine

bölünmesiyle elde edilir. Bir ekonomide fiyatlar genel düzeyindeki değişmeleri gösteren

kapsamlı bir fiyat endeksidir. Gayri safi milli hâsıla kapsamına giren tüm mal ve hizmetlerin

fiyatlarındaki artışı ifade etmektedir.

305

Yıllar

GSYH Harcamalar

Yönüyle (cari

fiyatlar)

GSYH Harcamalar

Yönüyle (1998

sabit fiyatları)

GSYH

Deflatörü-

GDP DEF.

1998=100

1998 70.203.147 70.203.147 100,00000

1999 104.595.916 67.840.570 154,17901

2000 166.658.021 72.436.399 230,07497

2001 240.224.083 68.309.352 351,67086

2002 350.476.089 72.519.831 483,28310

2003 454.780.659 76.338.193 595,74460

2004 559.033.026 83.485.591 669,61618

2005 648.931.712 90.499.731 717,05375

2006 758.390.785 96.738.320 783,96109

2007 843.178.421 101.254.625 832,73077

2008 950.534.250 101.921.732 932,61197

2009 952.558.579 97.003.114 981,98762

2010 1.098.799.348 105.885.644 1.043,84546

2011 1.298.062.004 114.889.302 1129,837143

Bu noktada ÜFE, TÜFE ve GSMH zımni deflatörü arasındaki farklardan da söz edilmesi

gerekmektedir. Bunlardan ÜFE ve TÜFE kavram olarak birbirine yakındır. Aralarında sadece

endeksi oluşturan mal sepeti konusunda farklılık vardır. GSMH Deflatörü ise tümüyle farklı bir

yaklaşım getirmektedir. Dolayısıyla aşağıda, ÜFE ve TÜFE birlikte ele alınarak GSMH

deflatörü ile karşılaştırılacaktır. Aralarındaki temel farklar ve her birinin avantaj ve

dezavantajları incelenecektir.

(Kaynak:http://www.treasury.gov.tr/irj/go/km/docs/documents/Hazine%20Web/Arasti

rma%20Yayin/Kitaplar/reel_ekonomi.pdf ).

• ÜFE-TÜFE ve Deflatör arasındaki en temel fark endekse dâhil edilen mal ve

hizmetlerden kaynaklanmaktadır.

• ÜFE ve TÜFE maddelerden oluşan bir sepettir. Bu sepetlerdeki her bir maddeye,

yapılan anketler ve çalışmalarla tespit edilen ve maddelerin toplam içindeki önemlerini

yansıtmayı hedefleyen ağırlıklar verilmektedir.

• GSMH Deflatöründe ise bazı malların seçilmesiyle oluşturulmuş herhangi bir

sepet söz konusu değildir. GSMH Deflatörü; cari fiyatlarla milli gelirin, "herhangi" bir

yıldaki fiyatların baz alınması ile hesaplanmış sabit fiyatlarla milli gelire oranı ile elde

edilen bir endekstir. Dolayısıyla söz konusu olan bazı seçilmiş mal ve hizmetler değil,

ülkede üretilen tüm mal ve hizmetlerdir.

306

Hangi mal sepetinin genel fiyat artışlarını daha iyi temsil ettiği sorusuna her durum için

geçerli olabilecek bir cevap verilmesi olanaksızdır. GSMH Deflatörünün ülkede üretilen tüm

malları içeriyor olması nedeniyle daha iyi bir gösterge olacağı ilk anda akla gelebilir. Ancak,

örneğin fiyat artışlarının ücretliler üzerindeki etkisi ile ilgileniyorsak, GSMH Deflatörü,

ücretlilerin tüketim sepetinde hiç olmayan malları da içeriyor olması nedeniyle, yanıltıcı bir

gösterge olabilir. Dolayısıyla, hangi endeksin daha iyi bir gösterge olduğu, fiyat artışları ile

neden ilgilenildiğine bağlı olarak değişecektir. Örneğin, temel olarak halkın satın alma gücü ile

ilgileniyorsak TÜFE, fiyat artışları ile üretim arasındaki ilişkiyle ilgileniyorsak ÜFE,

ekonomideki makro dengeler ve büyüklükler ile ilgileniyorsak GSMH Deflatörü daha iyi bir

gösterge olacaktır.

Ayrıca temel devreler farklı ise önce temel devre değişikliği yapılmalıdır. Türk

ekonomisi için hesaplanan enflasyon endeksleri 2003=100 bazlı endekslerdir. Örneğin tüketici

fiyat endeksi;

Yıllar 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

TÜFE

(2003=100) 100.00 108.59 117.48 128.75 140.03 154.65 164.32 178.4 189.94

şeklindedir.

Buna göre, örneğin İstanbul ilinde bulaşık makinelerinde yaşanan fiyat artışlarını

belirlemek amacıyla cari bulaşık makinesi fiyatlarını reel hale getirelim. Bu amaçla 2003=100

bazlı TÜFE’nin kullanılması daha uygun olacaktır. Cari olarak bulaşık makinesi fiyatlarının

sürekli olarak arttığı görülmektedir.

Yıllar

Bulaşık

Makinesi

Cari Fiyat

TÜFE

2003=100

Bulaşık

Makinesi

Reel Fiyat

2007 869,99 140.03 621,28

2008 924,36 154.65 597,71

2009 876,67 164.32 533,51

2010 902,76 178.4 506,03

2011 1016,54 189.94 535,19

Reel bulaşık makinesi fiyatlarına baktığımızda, fiyatların artmadığı aksine 2007 yılına

göre düştüğü ve en düşük seviyesine 2010 yılında ulaştığı görülmektedir.

308

Uygulamalar

309

Uygulama Soruları

310


311

Bölüm Soruları

1) Oran nedir? Çeşitleri nelerdir? Açıklayınız.

2) Endeks nedir? Çeşitleri nelerdir? Açıklayınız.

3) Bileşik endekslerde tartı nelere bağlı olarak oluşturulur? Açıklayınız.

4) Türkiye’de hesaplanan fiyat endeksleri hakkında bilgi veriniz.

5) Reelleştirme kavramını açıklayarak, önemini belirtiniz.

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

312

14. UYGULAMALAR

313


14.1.

14.2.

14.3.

314


315



316

Anahtar Kavramlar

317

Giriş

Bu hafta üç aylık ekonomik zaman serilerinde mevsim endekslerinin çeşitli yöntemlerle

oluşturulması, parametrik olmayan bir test olan Kruskal-Wallis testinin uygulaması, konjonktür

etkisinin belirlenmesi gösterilecek ve genel bir tekrar yapılacaktır.

318

Örnek: 2005:Q1-2011:Q4 döneminde GSYİH (harcamalar yönüyle -cari fiyatlar-bin

TL ) serisi için çarpımsal model varsayımı ile

Mevsim endeksini oluşturunuz.

Mevsim etkisinden arındırınız.

Mevsimselliği Kruskal-Wallis testi ile araştırınız.

Üç aylık ortalamaların genel ortalamaya oranı yöntemi ile mevsim endeksini

oluşturunuz.

Çözüm:

Çarpımsal ayrıştırma modeli tY serisini;


şeklinde unsurların çarpımı olarak tanımlamaktadır. Bu modelde seriye trendin mutlak, diğer

unsurların oransal (yüzdelik) etkisi olduğu varsayılmaktadır. Buna göre, trende veya hareketli

ortalamaya oranlar olarak adlandırılan ayrıştırma şu aşamalardan oluşmaktadır:

• Ekonomik zaman serisi üç aylık olduğundan 4’erli hareketli ortalamalar


kalmış olur.

• Gerçek seri ilk aşamada hareketli ortalamalar yoluyla oluşturulan trend-

konjonktür unsurları serisine oranlanarak, mevsimsel ve düzensiz etkiler elde edilir. Bu

oranlamadan dolayı yöntem hareketli ortalamaya oranlar şeklinde de

adlandırılmaktadır.

• Mevsimsel ve düzensiz unsurların etkisini ortadan kaldırmak amacıyla, ikinci

aşamada elde edilen hareketli ortalamalar serisinin mevsimsellik ortalamaları alınır.

319

Tablo1: GSYİH Serisinin Hareketli ortalamaya oranlar yoluyla mevsimsellikten arındırılması

Yıllar GSYİH 4'lü HO 2'li MHO GSYİH/MHO DGSYİH

2005Q1 141085930 153468878,84

2005Q2 153763755 155675207,42

162232928 2005Q3 181572348 164606258 1,103071 166774311,47

166979588,5 2005Q4 172509679 170715634 1,010509 171782251,84

174451680 2006Q1 160072572 178417061 0,897182 174121956,44

182382442 2006Q2 183652122 185990069 0,98743 185935119,66

189597696 2006Q3 213295396 193082462 1,104686 195911950,25

196567227 2006Q4 201370695 199020675 1,011808 200521568,66

201474123 2007Q1 187950694 203844269 0,922031 204446908,96

206214415 2007Q2 203279705 208504510 0,974942 205806695,08

210794605 2007Q3 232256566 214251475 1,084037 213327796,36

217708345 2007Q4 219691456 222218811 0,988627 218765075,91

226729277 2008Q1 215605654 230496228 0,935398 234529112,80

234263178 2008Q2 239363433 235948370 1,014474 242338983,47

237633563 2008Q3 262392170 236673605 1,108667 241007366,86

235713647 2008Q4 233172993 234364705 0,994915 232189764,88

233015763 2009Q1 207925991 232930548 0,892652 226175414,55

232845333 2009Q2 228571898 235492489 0,970612 231413298,13

238139645 2009Q3 261710449 242277148 1,080211 240381205,62

246414651 2009Q4 254350241 251092772 1,012973 253277713,79

320

255770894 2010Q1 241026016 260056538 0,926822 262180590,56

264342183 2010Q2 265996869 269521010 0,986924 269303502,34

274699837 2010Q3 295995607 280721339 1,054411 271872144,07

286742840 2010Q4 295780856 293124291 1,009063 294533627,27

299505743 2011Q1 289198028 306331020 0,94407 314580604,32

313156297 2011Q2 317048480 318835899 0,994394 320989740,96

324515501 2011Q3 350597825 2011Q4 341217671

a) Mevsim endeksinin oluşturulması aşaması

• Mevsimsel tahminlerin toplamını serinin dönem uzunluğuna eşit olmalıdır. Bu

toplam incelenen ekonomik zaman serisi mevsimlik olduğundan 4 olmalıdır.

Öncelikle her çeyrek döneme ait toplamlar alınıp,

∑Q1=5,518155, ∑Q2=5,928776, ∑Q3=6,535082,

∑Q4=6,027895

ardından ortalamalarını hesaplamalıyız. Her mevsim altı kere gözlendiğinden;

Q1=5,518155/6=0,919692,

Q2=5,928776/6=0,988129,

Q3=6,535082/6=1,08918,

Q4=6,027895/6=1,004649

Mevsimlik tahminlerin toplamı (0,919692+0,988129+1,08918+1,004649=4,001651)

olarak bulunmuştur. Toplam 4’den farklı çıktığından;

4/4,001651=0,999587

değeri ile yeniden düzenleme yapılmalıdır.

321

Dönemler

Mevsim

Endeksi Düzeltme Faktörü

Ayarlanmış

Mev.End.

Q1 0,919692 0,919692*0,999587 0,919313

Q2 0,988129 0,988129*0,999587 0,987722

Q3 1,08918 1,08918*0,999587 1,088731

Q4 1,004649 1,004649*0,999587 1,004235

Görüldüğü gibi yılın I. ve II. çeyrek döneminde mevsimsel etkiler GSYİH’yi düşürücü

yöndeyken, III. ve IV. çeyrek dönemlerde arttırıcı yöndedir.

b) Seri için mevsim endeksi oluşturulduktan sonra, mevsimsellikten arındırılır.

• Gerçek veri 4 olan mevsimsel tahminlere oranlanarak, düzeltilmiş seri

oluşturulur. Bu seri tablo 1’de son sütunda görülmektedir.



c) Kruskal-Wallis yöntemi ile mevsimselliğin belirlenmesi

Mevsimselliğin belirlenmesinde kullanılan Kruskal-Wallis testi sıralanmış veri

kümelerine uygulanan bir parametrik olmayan testtir. Buna göre;

2123( 1)

( 1)i

i

RKW N

N N n= − +

+ ∑

şeklindeki test istatistiği s-1 serbestlik derecesi ile 2χ dağılımına uyar. Burada üç aylık veri

kullnıldığı için s=4-1 şeklinde alınmalıdır. N toplam gözlem sayısını, Ri her mevsim için

sıralama değerlerinin toplamını ve ni ise,her mevsim içinde sıralanan değerlerin sayısını

gösterir. Bu durumda hesaplanan KW test istatistiği tablo değerinden büyük ise

H0: mevsimsellik yoktur.

şeklindeki sıfır hipotezi reddedilerek mevsimselliğin bulunduğu sonucuna varılır. Testin

aşamaları;

• İlk olarak veri kümesi küçükten büyüğe doğru sıralanmalıdır.

322

Yıllar GSYİH GSYİH/MHO Sıralama

2005Q1 141085930 2005Q2 153763755 2005Q3 181572348 1,103070745 22

2005Q4 172509679 1,010508965 15

2006Q1 160072572 0,897181978 2

2006Q2 183652122 0,98742972 10

2006Q3 213295396 1,104685502 23

2006Q4 201370695 1,011807921 16

2007Q1 187950694 0,922030799 3

2007Q2 203279705 0,974941525 8

2007Q3 232256566 1,084037184 21

2007Q4 219691456 0,988626727 11

2008Q1 215605654 0,935397755 5

2008Q2 239363433 1,014473771 18

2008Q3 262392170 1,108666809 24

2008Q4 233172993 0,994915139 13

2009Q1 207925991 0,892652307 1

2009Q2 228571898 0,970612267 7

2009Q3 261710449 1,080211036 20

2009Q4 254350241 1,012973167 17

2010Q1 241026016 0,926821596 4

2010Q2 265996869 0,986924429 9

2010Q3 295995607 1,054410785 19

2010Q4 295780856 1,009062929 14

2011Q1 289198028 0,944070333 6

2011Q2 317048480 0,994393921 12

2011Q3 350597825 2011Q4 341217671

• Daha sonra mevsimlere (üç aylık dönemlere) karşılık gelen sıra değerleri

toplanarak Ri değerleri oluşturulmalıdır.

323

RQ1=1+2+3+4+5+6=21

RQ2=7+8+9+10+12+18=64

RQ3=19+20+21+22+23+24=129

RQ4=11+13+14+15+16+17=86

• Ardından Kruskal-Wallis test istatistiği hesaplanarak tablo değeri ile

kıyaslanmalıdır.

Yukarıda hesaplanan Ri değerleri ile;

2 2 2 2 212 12 21 64 129 863( 1) 3(24 1) 20,24668

( 1) 24(25) 6 6 6 6i

i

RKW N

N N n

= − + = + + + − + = +

∑

değeri % 5 olasılıkla 2 24 1,0.05 3,0.05 7,81χ χ− = = değeri ile kıyaslanarak,

KW=20,24668>7,81 olduğundan, ‘mevsimsellik yoktur’ şeklindeki H0 hipotezi reddedilerek

GSYİH serisinde mevsimsellik olduğu belirlenir. Bu nedenle yapılan arındırma gereklidir.

d) Üç aylık ortalamaların genel ortalamaya oranlanması yöntemi ile mevsim endeksinin oluşturulması yöntemine göre

• Öncelikle veri kümesindeki her üç ayın ortalama değeri ( aY ) alınır.

• İkinci aşamada her üç ayın ortalamasından oluşan değerlerin ortalaması alınır. Böylece

mevsim ortalamalarının ortalaması olan bir genel ortalama oluşturulur.

4aY

Y

=

• Son olarak her mevsime ait ortalama değer genel ortalamaya oranlanarak mevsim

endeksi elde edilir.

100aYME

Y= ×

324

GSYİH Yıllar Q1 Q2 Q3 Q4

2005 141085930 153763755 181572348 172509679

2006 160072572 183652122 213295396 201370695

2007 187950694 203279705 232256566 219691456

2008 215605654 239363433 262392170 233172993

2009 207925991 228571898 261710449 254350241

2010 241026016 265996869 295995607 295780856

2011 289198028 317048480 350597825 341217671

Üç Aylık Ort. 206123555 227382323 256831480 245441942

Genel Ort. 233944825 Mevsim

Endeksi 0,8810776 0,97194851 1,097829286 1,0491446

Bu yöntemle de kabaca belirlenen mevsim endeksinin yine ilk iki çeyrekte GSYİH’yı

azaltıcı yönde, ikinci iki çeyrekte ise arttırıcı yönde etkisi olduğu görülmektedir.

325

Uygulamalar

326

Uygulama Soruları

327


328

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

329

KAYNAKÇA

Akgül I. (2003), Geleneksel Zaman Serisi Yöntemleri, Der Yayınları, İstanbul

Cillov H. (1984), İstatistik Metodları, İstanbul Üniversitesi Yayınları, No: 3235, Gür-

Ay Matbaası, İstanbul

Genceli M. (2001), Ekonometri ve İstatistik İlkeleri, Filiz Kitabevi, İstanbul

Gürtan K. (1982), İstatistik ve Araştırma Metodları, İstanbul Üniversitesi Yayınları

No:2941, İstanbul

Kadılar C. (2009), SPSS Uygulamalı Zaman Serileri Analizine Giriş, Hacettepe

Üniversitesi, Fen Fakültesi, İstatistik Bölümü, ISBN:975-8201-95-6

Newbold Paul, (1995), İşletme ve İktisat İçin İstatistik, Literatür Yayınları, Çev. Ü.

Şenesen, 2006, İstanbul

Orhunbilge N. (1999), Zaman Serileri Analizi Tahmin ve Fiyat İndeksleri, Avcıol

Basım- Yayın, İstanbul

Genceli M. (2001), Ekonometri ve İstatistik İlkeleri, Filiz Kitabevi, İstanbul

Yolsal H. (2010), Mevsimsel Düzeltmede Kullanılan İstatistiki Yöntemler Üzerine Bir

İnceleme, Öneri, M.Ü. Sosyal Bilimler Enstitüsü Hakemli Dergisi, Sayı:33,Yıl:16, Cilt: 9,

Ocak, 245-257

http://www.ekodialog.com/konular/konjonktur_tur.html

http://www.tcmb.gov.tr/yeni/evds/yayin/oncu_gos/Metodoloji.pdf

Ayrıca tüm temel istatistik kitaplarının zaman serileri ile ilgili bölümlerinden

yararlanabilirsiniz.

uygulamali İstatİstİk i - İstanbul...

Documents