fİnansal ekonometrİ - İstanbul...

FİNANSAL EKONOMETRİ

EKONOMETRİ LİSANS PROGRAMI

PROF. DR. NİLGÜN ÇİL

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ




Prof. Dr. Nilgün ÇİL

Yazar Notu

Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için

hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.

ÖNSÖZ

Finansal ekonometri, temelde finansal zaman serilerinin modelleme ve öngörüsü ile ilgilenen bir

disiplindir. Finans ve Ekonometri bilimlerinin bir alt disiplini olarak değerlendirebileceğimiz

Finansal Ekonometrinin gelişimi bir yönü ile ekonometri alanındaki teorik gelişmelerden bir yönü

ile de özel sektör kurumlarının piyasaya yönelik uygulamalarından beslenmiştir. Dersin içeriği

düzenlenir iken, mümkün olduğunca bu iki kaynak bir arada dikkate alınarak, teori ile uygulama

birbirini destekler biçimde kullanılmaya çalışılmıştır.

Bu derste sınırlı sayıdaki yerli ve oldukça zengin olan yabancı literatür mümkün olduğunca geniş

bir biçimde taranmaya çalışılmıştır. Literatürden yararlanırken, dersin hedefi doğrultusunda bazı

finans konuları dışarıda bırakılmış, kullanılan modeller ve yöntemler ise uygulamalar ile

desteklenerek detaylı olarak ele alınmaya çalışılmıştır.

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ .................................................................................................................................................... 5

İÇİNDEKİLER ........................................................................................................................................ 6

KISALTMALAR .................................................................................................................................... 7

YAZAR NOTU ....................................................................................................................................... 8

1. FİNANSAL ZAMAN SERİLERİNİN TEMEL ÖZELLİKLERİ-I .................................................... 9

1.1. Finansal Değişkenlerin Yapıları ........................................................................................ 15

1.2. Finansal Varlık Getirilerinin Hesaplaması ........................................................................ 17

1.2.1. Tek Dönemlik Basit Getiri ............................................................................................. 19

1.2.4. Aşırı (Excess) Getiri ....................................................................................................... 28

KISALTMALAR

BİST: Borsa İstanbul

TCMB: Türkiye Cumhuriyeti Merkez Bankası

EVDS: Elektronik Veri Dağıtım Sistemi

YAZAR NOTU

Sevgili öğrenciler, ekonometrinin oldukça spesifik bir alt-disiplinini oluşturan finansal ekonometri alanında gerek lisans gerek lisansüstü öğrencilerinin alana ilişkin temel bilgilere ulaşarak genel bir formasyon elde etmelerine yardımcı olmaktır. Bu kitabın finansal ekonometriye yaklaşımı daha çok ampirik niteliktedir; diğer bir ifadeyle alana ilişkin varsayımlardan yola çıkarak bazı teorik sonuçlara ulaşma gibi bir amacı yoktur. Bunun yerine, alanda yaygın kabul gören ve kullanılan teorik yaklaşımlara değinilerek, bu yaklaşımlara göre verilerin ekonometrik ve istatistiki modeller ile işlenmesine ilişkin yöntemlerin öğretilmesi hedeflenecektir.

1. FİNANSAL ZAMAN SERİLERİNİN TEMEL ÖZELLİKLERİ-I

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?

Bu bölümde ilk olarak finansal değişkenlerin yapılarına ilişkin temel özellikler açıklanacaktır.

Ardından ise finansal varlık getirileri ve aşırı getiri üzerinde durulacaktır. Finansal varlık ile

getirisi arasındaki ilişkiler ve varlık getirilerinin çeşitli türlerine burada değinilecektir.

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular

1. Finansal değişkenlerin yapıları nelerdir?

2. Finansal varlık getirileri nasıl hesaplanmaktadır?

3. Tek dönemlik basit getirinin özellikleri nelerdir?

4. Çok dönemli basit getirinin özellikleri nelerdir?

5. Sürekli bileşik getirinin özellikleri nelerdir?

6. Aşırı getirinin özellikleri nelerdir?

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri

Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği

Finansal Ekonometrinin önemi ve işlevini detaylı olarak ortaya koyabilmek.

Soyut düşünme, kaynak kitaplardan araştırarak

Finansal Ekonometrinin iktisat, matematik ve

istatistikten ilişkisi açıklayabilmek

Ders notları, Kaynak kitaplardan

Finansal Ekonometrinin metodolojisini

aktarabilmek

Ders notları, kaynak kitaplardan

Finansal Ekonometrik uygulamalarda kullanılan

iktisadi verilerin nasıl elde edildiğini açıklamak

Ders notları

Anahtar Kavramlar

Getiri, Basit (Toplam) Getiri, Basit Net Getiri, Çok Dönemli Basit Getiri (Bileşik Getiri), Sürekli Bileşik Getiri (Logaritmik Getiri-Log Getiri, Aşırı (Excess) Getiri, Basit Aşırı Getiri, Log (Bileşik) Aşırı Getiri.

Giriş

Bu bölümde finansal varlık fiyatları ve getirilerinin türleri ile pek çok çeşit hesaplama yöntemi üzerinde durulacaktır. Gerçek ve hipotetik veriler kullanılarak konu örneklerle zenginleştirilecektir.

1.1. Finansal Değişkenlerin Yapıları

Finansal piyasalarda gözlemlenen ve birbirini takip eden verilerin, meydana geliş sırasına göre sıralanması finansal zaman serilerini oluşturmaktadır. Hisse senedi fiyatları, borsa indeksi, faiz oranları, döviz kurları finansal zaman serilerine birer örnek teşkil etmektedir. Finansal zaman serilerinin ekonometrik analizi, finansal değişkenlerin ekonometrik olarak modellenmesi ve öngörülmesi ile ilgilidir1. Bu sebeple, finansal değişkenlerin zaman serisi yapısı ve dinamikleri, bu serilerin veri yaratım süreçlerini anlamak ve çözümlemek açısından son derece büyük önem arz etmektedir.

Finansal değişkenlerin zaman serilerinin yapılarını anlamak için, Şekil-1.1’de seçilmiş ekonomik ve finansal göstergeler verilmiştir. Buna göre, ABD Dolarının Türk Lirası karşısındaki değerine baktığımızda, 2001 krizi ile sıçrama gösteren dolar kuru, 2008 küresel finans krizi başlangıcına kadar 1.2-1.4 aralığında seyretmiştir. 2008 küresel ekonomik krizi

ile birlikte ise 2 ’ye kadar yükseliş göstermiştir. Aynı şekilde Altın’ın Ons/Dolar fiyatı da krizle birlikte yükseliş göstermiştir. Enflasyon oranı ise küresel ekonomik kriz sürecinde düşüş eğilimi göstermiştir.

1Rachev S.T., Mittnik S., Fabozzi F.J., Focardi S.M., ve Jasic T., Financial Econometrics From Basics to Advanced Modeling Techniques, John Wiley & Sons, 2007, s.X

Gourieroux C., Joann Jasiak, Financial Econometrics: Problems, Models and Methods, Princeton University Press , 2001, s. VII

Mcaleer M., Oxley Les., Contributions to Financial Econometrics: Theoretical and Practical Issues, Oxford : Blackwell , 2002, s.2

Şekil-1.1 Seçilmiş Ekonomik ve Finansal Göstergeler

Kaynak: Türkiye Cumhuriyeti Merkez Bankası (TCMB), EVDS,

(a)

(b)

(c)

1.2. Finansal Varlık Getirilerinin Hesaplaması

Finansal piyasalarda, finansal varlıkların fiyat hareketleri gözlemlenir iken, ampirik

çalışmalarda genellikle varlıkların fiyatı yerine getirileri kullanılmaktadır2. Campbell, Lo ve

MacKinlay (1997)3 analizlerde getirilerin kullanılması ile ilgili iki ana sebep belirtmişlerdir.

Bunlardan ilki, herhangi bir yatırımcı için finansal bir varlığın getirisi, yatırım fırsatları açısından tam ve ölçü biriminden bağımsız özet bir bilgi sağlamaktadır. Örneğin; yıllık getiri oranı %5 olan bir finansal varlık için 10000 yatırım yapan bir yatırımcı yılsonunda

anaparasının 10500 olacağını bilmektedir.

Fiyat yerine getiri kullanılmasının ikinci nedeni ise, gerek teorik gerekse ampirik sebeplerden dolayı varlık getirilerinin, fiyatlardan daha kullanışlı olmasıdır. Şöyle ki; getiri serilerinin istatistiksel özellikleri, fiyat serilerine göre daha fazla bilgi vericidir. Fiyat serileri

genellikle stokastik ve/veya deterministik trendin varlığı ve koşulsuz ortalamadan sürekli sapmalar nedeniyle durağan olmayan görünüm sergilemektedir. Varlık getirileri ise, ortalamaya yakındır ve sadece kısa zaman dilimlerinde geçici olarak ortalamadan sapma gösterirler. Dolayısıyla getiri serileri genellikle durağandır. Ayrıca getiri serilerinin olasılık dağılımları daha diktir ve herhangi bir düzene uyum göstermez ki, bu özellikler durağan bir serinin tipik özellikleridir.

Şekil-1.2’de BIST-100 değişkeni için fiyat ve getiri serileri verilmiştir. Buna göre BIST-

100 endeks değerine baktığımızda Ocak-2004 sonrasında küresel ekonomik kriz dönemi hariç yükselen bir trend sergilemektedir. Buna karşın, BIST-100 getiri serisi küresel ekonomik kriz

öncesi ve sonrası dönemlerdeki dalgalanma haricinde yaklaşık olarak durağan bir seyir izlemiştir.

2 Gourieroux C., ve Jasiak J., Financial Econometrics: Problems, Models and Methods, Princeton University Press , 2001, s.12

3Campbell J.Y. , Lo A.W., ve MacKinlay A.C., The Econometrics of Financial Markets, Princeton University Press, 1997, s.9

Şekil-1.2 BIST-100 Değişkeni İçin Fiyat ve Getiri Serileri

Kaynak: Türkiye Cumhuriyeti Merkez Bankası (TCMB), EVDS,

Finansal bir varlığın getirisi, ilgili varlığın fiyatından hesaplanmaktadır. Pt, hisse senedi,

tahvil, fon vb. olabilen bir finansal varlığın t dönemindeki fiyatını ifade etmek üzere, finansal varlık getirilerinin çeşitli türleri vardır. Bu getiri türleri, özellikleri ve aralarındaki ilişkiler takip eden alt bölümlerde detaylı incelenecektir.

0

20000

40000

60000

80000

100000O

ca.0

4

Ağu.

04M

ar.

05

Ek

i.0

5

Ma

y.0

6

Ara

.06

Te

m.0

7

Şub.

08E

yl.

08

Nis

.09

Ka

s.0

9

Ha

z.1

0

Oca

.11

Ağu.

11M

ar.

12

Ek

i.1

2

Ma

y.1

3

BIST-100 Endeks Değeri

BIST-100

-100

-50

0

50

100

150

Oca

.04

Ağu.

04

Ma

r.0

5

Ek

i.0

5

Ma

y.0

6

Ara

.06

Te

m.0

7

Şub.

08

Ey

l.0

8

Nis

.09

Ka

s.0

9

Ha

z.1

0

Oca

.11

Ağu.

11

Ma

r.1

2

Ek

i.1

2

Ma

y.1

3

BIST-100 Endeksi Getiri Serisi (Yıllık % Değişim)

BIST-100 Getiri

(a)

(b)

1.2.1. Tek Dönemlik Basit Getiri

Bir varlığın t dönemindeki fiyatı (Pt) iken, tek dönemlik basit getiri (Rt) nispi fiyat

değişmeleri temel alınarak hesaplanmakta ve kısaca basit getiri olarak adlandırılmaktadır4.

Herhangi bir finansal varlığı, t-1 döneminden t dönemine kadar elinde tutan bir yatırımcının sağlayacağı tek dönemlik basit toplam getiri ile finansal varlığın ilgili dönemlerdeki fiyatı arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.

1

1 tt

t

PR

P−

+ = 1.1

Yukarıdaki eşitliğin sol tarafı aynı zamanda kesikli bileşik faiz faktörü olarak bilinmektedir. (2.1)’de verilen eşitliği, cari dönem fiyat eşitliği ile aşağıdaki gibi formüle etmek mümkündür5.

1(1 )t t tP P R−= +

Getirinin belirli bir zaman aralığında tanımlanması gerekmektedir. Buna göre yukarıdaki eşitliklerden, örneğin bir gün, bir hafta, bir ay veya bir yıl gibi bir dönemlik basit

net getiri (kısaca basit getiri) aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

1

1 1

1t t tt

t t

P P PR

P P−

− −

−= − = 1.2

Basit getiri, aynı zamanda değer artış hızını vermektedir. Buna göre basit getiri, ilgili finansal varlığın kesikli getirisidir. Hisse senedi getirisi, hisse senedi fiyatına ilişkin zaman serisi verilerinden hesaplanabileceği gibi, fiyat serisine ilgili dönemler itibariyle temettü ödemelerinin ilave edilmesi suretiyle de hesaplanmaktadır6.

4Steland Ansgar, Financial Statistics and Mathematical Finance Methods, Models and Applications, John Wiley & Sons, 2012, s.2-5

Ross S.M., An Elementary Introduction to Mathematical Finance, 3rd Edition, Cambridge University Press, 2011, s.48-65

5Shim Jae K., Siegel Joel G., Financial Management, Barron's Educational Series, 2008, s.110

Pandey I.M., Financial Management, Vikas Publishing, 2009, s.29-30

6 Neftci Salih N., An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, Second Edition, Academic Press, 2000

Neftci Salih N., Principles Of Financial Engineering, Elsevier, 2008

Denklem (1.2)’ye göre, getiri hesaplamasında temettü ödemesi (kâr payı) göz ardı edilmekte, sadece sermaye kazançları diğer bir ifade ile finansal varlığın değer artışı dikkate alınmaktadır. İlgili yöntem finansal ekonometride uygulanan geleneksel bir yöntem olmakla birlikte, getirilerin olduğundan daha düşük hesaplanmasına neden olmaktadır. Ne var ki,

araştırmacılar sıklıkla, temettü ödemelerini ihmal etmektedirler. Bu sakıncalı bir durum olup, yatırımcıların eline geçecek toplam getirinin eksik tahmin edilmesine yol açar. Bu durum, çok kısa vadeli yatırımlarda ihmal edilebilirken, uzun yıllara varan yatırım dönemlerinde birikimli getiri üzerinde ciddi etkiye sahip olacaktır. Temettü ödemelerini göz ardı etmek, hisse senedi getirilerinin kesitsel yapısı üzerinde de bozucu etkiye yol açmaktadır. Örnek olarak, temettü ödemelerini göz ardı etmek, büyük sermaye kazançları sunan “büyüyen hisse senetleri”ni,

yüksek temettü ödemeleri sunan ( kamu hizmetleri ve olgunluk aşamasındaki sektörlerdeki) “gelir hisse senetleri” karşısında uygun olmayan bir şekilde avantajlı kılmaktadır. Dolayısıyla finansal varlık düzenli biçimde temettü ödemesi yapıyorsa, (1.2)’de hesaplanan getiri eşitliği değiştirilmelidir. Varlık fiyatlarının yanı sıra, (t-1) ile (t+1) dönemleri arasında temettü ödemelerinin yapıldığı bir durum Şekil-1.3’te gösterilmiştir.

Şekil-1.3 Belirli (t-1 ile t+1 ) dönemde temettü ödemesi

Denklem (2.2) ’de yer alan Pt , t döneminde varlığın fiyatını ifade etmekte, denklem (t) ile (t-1) tarihleri arasındaki temettü ödemesini (Dt ) içermemektedir. Denklem (1.2)’ye temettü

ödemesi dahil edilirse, t dönemindeki basit toplam getiri:

1

1 t tt

t

P DR

P−

++ =

1. 3

ile hesaplanır. t dönemindeki basit net getiri ise aşağıdaki gibi gösterilebilir:

Nunno Giulia Di, Øksendal Bernt, Advanced Mathematical Methods for Finance, Springer, 2011

Perna Cira, Sibillo Marilena, Mathematical and Statistical Methods for Actuarial Sciences and Finance, Springer-Verlag Italia, 2012

1 1

1 1 1 1

1t t t t t t t tt

t t t t

P D P D P P P DR

P P P P− −

− − − −

+ + − −= − = = +

1. 4

(1.4)’de yer alan ( )1 1t t tP P P− −− sermaye kazancının getirisi (capital gain return), 1t tD P− ise

temettü getirisidir (dividend yield)7.

Temettü ödemelerinin göz ardı edilmesi, yukarıda bahsedilen sakıncasının yanı sıra, hisse senedi getirilerinin ortalaması üzerinde de saptırıcı etkiye sahiptir8. Eğer ele alınan finansal varlık bir hisse senedi veya hisse senedi portföyü ise, hisse senedini elde tutmanın toplam getirisi, sermaye kazancı ve elde tutma dönemindeki temettü ödemelerinin toplamı olacaktır.

Uygulama 1.1

BİST-100’de işlem gören A Firması hisse senedini 2010 Eylül ayında 8.40 ’ya satın alan bir yatırımcı ilgili hisse senedini 2010 Ekim ayında 8.80 ’ya satmıştır.

İlgili dönemde temettü ödemesinin yapılmadığı varsayımı altında, yatırımcının bir aylık periyod için sağladığı basit net getiri ve toplam getiriyi aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.

Bir aylık basit net getiri;

1

1

8.80 8.40 0.40% 4.76

8.40 8.40t t

t

t

P PR

P−

−

− −= = = =

Bir aylık toplam getiri ise;

1

8.801 %104.76

8.40t

t

t

PR

P−

+ = = =

değerlerine eşit hesaplanmıştır.

7Brigham Eugene ve Ehrhardt Michael, Financial Management: Theory & Practice, Cengage Learning, 2013, s.224

8 Brooks C., Introductory Econometrics For Finance, Cambridge University Press, 2nd Edition, 2008, s.7.

Claessens Stijn ve Laeven Luc, A Reader in International Corporate Finance, World Bank Publications, 2006

Uygulama 1.2

Uygulama 1.1’de A Firmasının 2010 Eylül ayı ile 2010 Ekim ayı arasında 0.25 temettü ödemesi yaptığı varsayılırsa; sermaye kazancı, temettü getirisi, net getiri ve toplam getiriyi aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.

8.80 8.40 0.25 8.80 8.40 0.25

8.40 8.40 8.400.0476 0.0297

0.0773

tR− + −

= = +

= +=

1

9.051 %107.73

8.40t t

t

t

P DR

P−

++ = = =

A Firmasına 1 aylık yatırımın net getirisi % 7.73’e eşittir. Bu % 7.73’lük getirinin, sermaye kazancı bileşeni % 4.76, temettü getirisi bileşeni ise %2.97’dir. Toplam getiri ise %107.73 olarak hesaplanmıştır.

1.2.2. Çok Dönemli Basit Getiri (Bileşik Getiri)

Finansal varlık, t-k ( 1k > olmak üzere) ile t tarihleri arasında k dönem elde tutulursa, k

sayıda tek dönemlik basit toplam getiri sağlar9. k dönem sonunda elde edilen basit toplam getiri

(1.5) denklemi ile hesaplanmaktadır:

( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1

1 2

1 1

1

0

1

1 . 1 1

1

t t t t kt

t k t t t k

t t t k

k

t jj

P P P PR k

P P P P

R R R

R

− − +

− − − −

− − +

−

−=

+ = = × × ×

= + + +

= +∏

1. 5

(1.5) numaralı denklemden de anlaşıldığı üzere, k dönem boyunca elde edilen basit

toplam getiri, k sayıdaki tek dönemlik basit toplam getirilerden elde edilmektedir10. Bundan

9 Frensidy Budi, Financial Mathematics, Penerbit Salemba Empat Publishing, 2008, s.67-77

Abrams Jay B., Quantitative Business Valuation A Mathematical Approach for Today’s Professionals, Second Edition, John Wiley & Sons, 2010, s.145

10Shim Jae K., Siegel Joel G., Financial Management.. s.110

dolayı, çok dönemli basit getiri kısaca bileşik getiri olarak adlandırılır11. k dönemlik basit

toplam getiri, k sayıda tek dönemlik basit toplam getirilerin geometrik toplamıdır. k dönem için

elde edilen net getiri ise denklem (1.6)’daki gibi hesaplanmaktadır:

( ) ( )t t kt

t k

P PR k

P−

−

−=

1. 6

Buna göre, örneğin finansal varlığı t-2 döneminden t dönemine kadar elinde tutan bir

yatırımcının, iki dönem için sağlayacağı net basit getiri,

( ) 2

2 2

( )2 1t t t

t

t t

P P PR

P P−

− −

−= = −

eşitliğinden, veya

1

2 1 2

t t t

t t t

P P P

P P P−

− − −

= ×

eşitliği bilindiğine göre, iki dönemlik net bileşik getiri aşağıda gösterildiği gibi hesaplanmaktadır.

( ) 11

1 2

2 1 (1 ) (1 ) 1t tt t t

t t

P PR R R

P P−

−− −

= × − = + × + − 1. 7

İki dönemlik toplam bileşik getiri ise, aşağıda gösterildiği gibi hesaplanmaktadır.

( ) 11 2 (1 ) (1 )t t tR R R −+ = + × +

İki dönemlik basit toplam getiri, tek dönemlik iki basit toplam getirinin geometrik toplamıdır. Böylece, tek dönemlik iki basit getirinin toplamı, iki dönemlik getiriye eşit değildir.


11Moyer R.C.,McGuigan J., Kretlow W., Contemporary Financial Management, South-Western Cengage Learning, 2009, s.157

Uygulama 1.3.

Uygulama 1.1’deki örneğin devamında, yatırımcı Ağustos 2010 (t-2) ayında 7.40 ’ya satın aldığı A Firması hisse senetlerini de Ekim 2010(t) ayında 8.80 ’ya satmıştır. Yatırımcının sağlayacağı iki aylık net getiri ve toplam getiri aşağıda gösterildiği gibi hesaplanabilir.

İki aylık net getiri,

( ) 2

2

( ) (8.80 7.40)2 %18.91

7.40t t

t

t

P PR

P−

−

− −= = =

değerine eşittir. İki aylık toplam getiri ise aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

( ) 11 2 (1 ) (1 )t t tR R R −+ = + × +

Uygulama 1.1’de hesaplandığı üzere birer dönemlik basit getiriler aşağıda gösterildiği gibi hesaplanmaktadır.

1

8.801 1.0476

8.40t

t

t

PR

P−

+ = = =

ve

11

2

8.401 1.1351

7.70t

t

t

PR

P−

−−

+ = = =

İki dönemlik toplam getiri (bileşik getiri) ise aşağıda gösterildiği gibi hesaplanmaktadır.

( ) 1 1.0476 1.13511 2 (1 ) ( %118.9) 11t t tR R R −+ = + × + = =×

Bu sonuçlardan da görüldüğü üzere, birer dönemlik basit getirilerin toplamı, iki dönemlik toplam getiri (bileşik getiri) toplamına eşit değildir.

1.2.3. Sürekli Bileşik Getiri

Basit toplam getirinin (1+Rt) doğal logaritması, sürekli bileşik getiri veya diğer bir ifade ile logaritmik getiriyi ( kısaca log getiri ) vermekte ve denklem (1.8)’deki gibi elde

edilmektedir12.

1 1

1

ln(1 ) ln ln lntt t t t t t

t

Pr R P P p p

P− −

−

= + = = − = −

1. 8

Sürekli bileşik getiri genellikle logaritmik getiri veya kısaca log getiri olarak

adlandırılmaktadır. Bu kitapta her üçü de kullanılacaktır. t döneminde gerçekleştirilen temettü ödemesinin (Dt) dahil edildiği sürekli bileşik getiri denklemi ise aşağıdaki gibidir:

1ln( ) lnt t t tr P D P−= + −

Denklemdeki “ln” doğal logaritmayı ifade etmektedir. Logaritmik getiriyi (1.9)’daki

gibi farklı biçimde de göstermek mümkündür:

( )1

exp tt

t

Pr

P−

= 1. 9

burada, exp(.) üssel fonksiyonu ifade etmekte olup, denklemin sol tarafı sürekli bileşik faiz faktörünü ifade etmektedir. (1.9) nolu denklem aşağıdaki gibi de ifade edilebilir,

( ) 1expt t tP r P−=

Sürekli bileşik getiriyi kullanmanın önemli avantajı, çok dönemlik getirinin tek dönemlik logaritmik getirilerin toplamından basitçe hesaplanabilmesidir. Buna göre k periyod

için sürekli bileşik getirilerin toplamı aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1

1

1 1

( ) ln(1 ( )) ln 1 1 1

ln 1 ln 1

t t t t t k

t t k

t t t k

r k R k R R R

R R

r r r

− − +

− +

− − +

= + = + + + = + + + +

= + + +

1. 10

Sürekli bileşik getiri, finansal piyasalarda bireysel ve kurumsal yatırımcılar tarafından sıklıkla kullanılmaktadır.

12Gourieroux C., ve Jasiak J., Financial Econometrics: Problems, Models and Methods… s.12

Ross S.M., An Elementary Introduction to Mathematical Finance … s.67-72

Uygulama 1.4.

Tablo-1.1’de 2010 yılı için aylar itibariyle A Firması hisse senedi fiyatları ve logaritmik getirileri yer almaktadır.

Tablo-1.1’deki sonuçlardan, A Firması hisse senedinin 2010 yılı aylık verilerinden yıllık sürekli bileşik getirisi 0.287682 olarak hesaplanmıştır. Bu rakama tablodaki gibi aylık logaritmik getirilerin toplamından ulaşılabileceği gibi, bunu ortalama aylık getiri verisinden de hesaplamak mümkündür. Ortalama aylık getiri verisi (0.023874), 12 ile çarpılarak yıllık sürekli bileşik getiri (0.287682) elde edilir.

Tablo-1. 1 A Firması hisse senedi aylık logaritmik getirileri

(Aralık 2009-Aralık 2010)

Tarih Hisse Senedi Fiyatı Logaritmik Getiri (rt)

12.2009 5.85 -

01.2010 6.00 0.025318

02.2010 5.20 -0.143100

03.2010 6.15 0.167793

04.2010 6.60 0.070618

05.2010 6.60 0.000000

06.2010 6.70 0.015038

07.2010 7.45 0.106107

08.2010 7.25 -0.027210

09.2010 7.95 0.092170

10.2010 7.95 0.000000

11.2010 7.76 -0.024190

12.2010 7.80 0.005141

Bir yıllık sürekli bileşik getiri : 0.287682

Sürekli bileşik getiri (r t), basit net getiriye (R t) göre bazı avantajlara sahiptir13.

Bunlardan ilki, (1.11) numaralı eşitlikte görüldüğü üzere çok dönemli sürekli bileşik getiri, tek

dönemlik sürekli getirilerin toplamından basitçe elde edilebilmektedir.

13 Watsham Terry J., Parramore Keith, Quantitative Methods in Finance, Thomson Learning, 1997, s.5-10

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

1 1

1 1

1 1

1

0

ln 1

ln 1 1 ...... 1

ln 1 ln 1 ...... ln 1

......

t t

t t t t k

t t t t k

t t t t k

k

t t jj

r k R k

r k R R R

r k R R R

r k r r r

r k r

− − +

− − +

− − +

−

−=

= +

= + + + = + + + + + +

= + + +

= ∑

1. 11

İkinci olarak, logaritmik getirilerin istatistiksel özellikleri daha kullanışlıdır.

Logaritmik getiriyi kullanmanın yukarıda bahsedilen avantajlarının yanı sıra dezavantajı da vardır14. Şöyle ki, N sayıda finansal varlıktan oluşan bir portföyün basit getirisi

aşağıda (1.12) numaralı eşitlikte görüldüğü üzere, varlıkların basit getirilerinin ağırlıklı ortalamasına eşittir.

1

N

Pt i iti

R w R=

= ∑ 1. 12

Eşitlikte yer alan unsurlar;

RPt = Portföyün getirisi,

wi = i. finansal varlığın portföydeki ağırlığı,

Rit = i. finansal varlığın basit getirisi şeklindedir.

N sayıda finansal varlıktan oluşan bir portföyün basit net getirisi, her bir varlığın ağırlığı portföydeki yatırım değerinin yüzdesi olarak ifade edilmek üzere, portföydeki basit net getirilerin ağırlıklı ortalamasına eşittir.

Ancak söz konusu durum, logaritmik getiriler (sürekli bileşik getiriler) için geçerli değildir. Daha açık bir ifade ile logaritmaların toplamı, toplamın logaritmasına eşit olmadığı için, N sayıda finansal varlıktan oluşan portföyün logaritmik getirisi, varlıkların logaritmik getirilerinin ağırlıklı ortalamasına eşit değildir. Buna Jansen eşitsizliği15 bir örnek teşkil etmektedir.

,

1 1ln(1 ) ln(1 )

N N

Pt P t i it i iti i

r R w R w r= =

= + = + ≠∑ ∑ 1. 13

Kısa dönemli ampirik çalışmalarda

14 Brooks C., Introductory Econometrics For Finance…. s.7.

15Ayrıca bkz. Steele J. Michael, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, 2001, s.44

1

N

Pt i iti

r w r=

≈ ∑ 1. 14

olduğu için bu durum ihmal edilebilmekte ve varlıkların logaritmik getirilerinin ağırlıklı ortalamasından hesaplanan değer, portföyün logaritmik getirisi olarak kullanılmaktadır. Ancak portföy getirisinin hesaplanmasında bu yaklaşım uygun değildir, basit getiriyi kullanmak daha güvenilirdir.

1.2.4. Aşırı (Excess) Getiri

Finansal varlığın getirisi ile referans bir finansal varlığın getirisi arasındaki fark aşırı getiri olarak tanımlanmaktadır16. Uygulamada referans finansal varlık, genellikle kısa dönem hazine senedi getirisi gibi risksiz olduğu düşünülen finansal bir varlıktır. Basit getiriden hesaplanan i. varlığın basit aşırı getirisi

1. 15

ile ifade edilmektedir. , referans varlığın basit getirisidir. Buna göre, referans varlığın

log getirisi olmak üzere, log (bileşik) aşırı getiriyi aşağıdaki gibi göstermek mümkündür.

1. 16

Hatırlanacağı üzere, ’dir. Finans yazınında aşırı getiri, i. varlıkta alım

ve referans varlıkta satımla şekillenen bir arbitraj portföyündeki kazanç olarak olarak

düşünülebilir ki; bu durumda başlangıç zamanında net yatırım söz konusu değildir. Başlangıçta net yatırımı sıfır olduğu için, arbitraj portföyündeki getiri tanımsızdır, fakat parasal getiri yukarıda tanımladığı gibi aşırı getiri ile orantılıdır17.

16 Lee Cheng-Few, Lee John, Handbook of Quantitative Finance and Risk Management, Springer, 2010, s.13

17Campbell J.Y. , Lo A.W., MacKinlay A.C., The Econometrics of Financial Markets… s.13.

0it it tZ R R= −

0tR 0tr

0it it tz r r= −

ln(1 )it itr R= +

Uygulamalar

Tablo-A’da 2015 yılı için aylar itibariyle B firmasının hisse senedi fiyatları yer

almaktadır. Bu firmanın hisse senetleri için logaritmik getirileri ile 1 yıllık sürekli bileşik getirisini hesaplayınız.

Tablo-1. 2 A Firması hisse senedi aylık logaritmik getirileri

(Aralık 2014-Aralık 2015)

Tarih Hisse Senedi Fiyatı Logaritmik Getiri (rt)

12.2014 6.85

01.2015 7.00

02.2015 3.20

03.2015 2.15

04.2015 2.60

05.2015 7.60

06.2015 3.70

07.2015 2.45

08.2015 3.25

09.2015 4.95

10.2015 5.95

11.2015 9.76

12.2015 10.80

Bir yıllık sürekli bileşik getiri :

Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti

Bu bölümde başlangıç olarak finansal değişkenlerin yapılarına ilişkin temel özellikler

öğrenilmiştir. Devamında ise finansal varlık getirileri ve aşırı getiri kavramları üzerinde

durulmuştur. Finansal varlık ile getirisi arasındaki ilişkiler ve varlık getirilerinin çeşitli türlerine

ait bilgiler irdelenmiştir.

Bölüm Soruları

1) Finansal bir varlığın t-1 dönemindeki fiyatı 85 TL’dir. t dönemi için fiyat ise 90 TL’dir.

Bu finansal varlığın t dönemi için getirisi aşağıdakilerden hangisidir?

a) %7,88

b) %6,88

c) %5,88

d) %4,88

e) %3,88


Bu finansal varlığın 2 dönem arası temettü ödemesi 1 TL’dir ve t dönemi için getirisi

aşağıdakilerden hangisidir?

a) %7,06

b) %6,06

c) %5,06

d) %4,06

e) %3,06


Bu finansal varlığın 2 dönem arası temettü ödemesi 1 TL’dir ve t dönemi için sermaye

kazancının getirisi aşağıdakilerden hangisidir?

a) %7,88

b) %6,88

c) %5,88

d) %4,88

e) %3,88


Bu finansal varlığın 2 dönem arası temettü ödemesi 1 TL’dir ve t dönemi için temettü

getirisi aşağıdakilerden hangisidir?

a) %1,18

b) %2,18

c) %3,18

d) %4,18

e) %5,18


Bu finansal varlığın t dönemi için toplam getirisi aşağıdakilerden hangisidir?

a) 107.88

b) 106.88

c) 105.88

d) 104.88

e) 103.88


Bu finansal varlığın 2 dönem arası temettü ödemesi 1 TL’dir ve toplam getirisi


a) %107,07

b) %106,07

c) %105,07

d) %104,07

e) %103,07


Bu finansal varlığın iki dönemlik net getirisi aşağıdakilerden hangisidir?

a) %52.50

b) %42.50

c) %32.50

d) %22.50

e) %12.50


Bu finansal varlığın iki dönemlik toplam getirisi aşağıdakilerden hangisidir?

a) %152.50

b) %142.50

c) %132.50

d) %122.50

e) %112.50


Bu finansal varlığın t dönemi için sürekli bileşik getirisi aşağıdakilerden hangisidir?

a) %5.71

b) %4.71

c) %3.71

d) %2.71

e) %1.71

10) BIST-100 endeksinin t dönemine ait basit getirisi %3 iken finansal bir varlığın t

dönemindeki basit getirisi %5’dir. Bu finansal varlığın t dönemi için basit aşırı getirisi aşağıdakilerden hangisidir?

a) %8

b) %6

c) %4

d) %2

e) %0

Cevaplar

1)C, 2) A, 3)C, 4)A, 5)C, 6)A, 7)E, 8)E, 9)A, 10)D

ÖNSÖZ












İÇİNDEKİLER ........................................................................................................................................ 6

KISALTMALAR .................................................................................................................................... 7

YAZAR NOTU ....................................................................................................................................... 8

2. FİNANSAL ZAMAN SERİLERİNİN TEMEL ÖZELLİKLERİ-II ................................................... 9

2.1. Getiriler Arasında Geçişler ................................................................................................ 15

2.2. Reel Getirinin Hesaplanması ............................................................................................. 17

2.3. Getirilerin Frekanslarının Dönüştürülmesi ....................................................................... 20

2.4. Yıllık Getirinin Hesaplanması ........................................................................................... 21

KISALTMALAR

BİST: Borsa İstanbul

TCMB: Türkiye Cumhuriyeti Merkez Bankası

EVDS: Elektronik Veri Dağıtım Sistemi

YAZAR NOTU


2. FİNANSAL ZAMAN SERİLERİNİN TEMEL ÖZELLİKLERİ-II


Bu bölümde ilk olarak finansal değişkenlerin yapılarına ilişkin temel özellikler açıklanacaktır.

Ardından ise finansal varlık getirileri ve aşırı getiri üzerinde durulacaktır. Finansal varlık ile

getirisi arasındaki ilişkiler ve varlık getirilerinin çeşitli türlerine burada değinilecektir.


1. Getiriler arası geçişler nasıl olmaktadır?

2. Reel Getirilerin hesaplanması nasıl olmaktadır?

3. Getirilerin frekanslarının dönüştürülmesi nasıl olmaktadır?

4. Yıllık getirilerin hesaplanması nasıl olmaktadır?









aktarabilmek




Ders notları

Anahtar Kavramlar

Getiriler arası geçişler, Reel Getirilerin hesaplanması, Getirilerin frekanslarının dönüştürülmesi ve yıllık getirilerin hesaplanması

Giriş

Bu bölümde finansal varlık fiyatları ve getirilerinin türleri ile pek çok çeşit hesaplama yöntemi üzerinde durulacaktır. Gerçek ve hipotetik veriler kullanılarak konu örneklerle zenginleştirilecektir.

2.1. Getiriler Arasında Geçişler

Basit net getiri (Rt) ile sürekli bileşik getiri diğer bir ifade ile logaritmik getiri (rt)

arasındaki ilişkiyi 1;

ln(1 )t tr R= + 2. 1

1rttR e= −

2. 2

ile göstermek mümkündür.

Eğer getiriler (Rt ve rt) yüzde ile ifade edilmişse aralarındaki ilişki:

100ln 1100

tt

Rr

= + , 2. 3

( )100100 1tr

tR e= − 2. 4

ile gösterilir.

Uygulama 2.1

Finansal bir varlığın aylık logaritmik getirisi % 7.23 ise, aylık basit getirisi 100[exp(7.23/100)-1]=%7.49 ’dur. Benzer şekilde varlığın aylık net getirisi %5.4 ise aylık logaritmik getirisi 100ln(1+5.4/100)=%5.25 ‘e eşittir.

Finansal bir varlığın cari dönem ve gelecek dönem değerleri arasındaki ilişki ise2;

1Ayrıca bkz. Moyer R.C.,McGuigan J., Kretlow W., Contemporary Financial Management… s.158

Pandey I.M., Financial Management….. s.30

2Shim Jae K., Siegel Joel G., Financial Management, Barron's Educational Series, 2008, s.113


Bueno Miguel Córdoba, Fundaments and Practice of Financial Mathematics, Librería-Editorial Dykinson, 2006, s.47

exp( )A C r n= × 2. 5

exp( )C A r n= − × 2. 6

denklemleri aracılığıyla hesaplanabilir. Yukarıdaki ifade de, exp(.) üssel fonksiyonu ifade

etmektedir, r yıllık sürekli bileşik faiz oranını, C, finansal varlığın cari dönem değerini ve A ise varlığın n dönem sonraki değerini göstermektedir.

Uygulama 2.2

Bir işletme, sahip olduğu 1000 ’yi %10 faiz oranından 5 yıllığına bankaya yatırırsa, 5 yıl sonra parasının toplam değeri ne kadar olur?

Verileri, denklem (2.5)’de yerine koyarsak, 1000 , sürekli

bileşik getiri altında, 5 yıl sonunda aşağıdaki değere ulaşır:

exp( )

1000.exp(0.1 5) 1648.721

A C r n

A

= ×= × =

Aynı örneği şu şekilde düşünelim. Bir işletmenin 5 yıl sonra eline 1648.721 , geçeceğini varsayalım. İşletme, bu paranın net bugünkü değerini bilmek istesin. Faiz oranı %10 iken, bu paranın şimdiki zaman değeri aşağıda gösterildiği gibi hesaplanmaktadır.

1648.7

exp( )

exp( 0.1 5) 1002 01

C A r n

C

= − ×= − × =

Tablo-2.1.’ de başlangıç mevduatı 1 ve yıllık mevduat faiz oranı %10 iken, farklı faiz ödeme dönemlerine göre 1 ’nın yılsonundaki değerleri verilmiştir.

Tablo-2.1 %10 Faiz İçin 1 ’nin 1 Yıllık Değerleri

Dönem Ödeme

Sayısı Dönemlik

Faiz oranı Net Değer

Yıllık 1 0.10 1.10000

6 Aylık 2 0.1 2 1.10250

3 Aylık 4 0.1 4 1.10381

Aylık 12 0.1 12 1.10471

Haftalık 52 0.1 52 1.10506

Günlük 365 0.1 365 1.10516

Sürekli ∞ 1.10517

Bankanın yıllık mevduat faiz oranı %10 olduğuna göre, 1 yıl vadeli 1 ’lık mevduatın gelecek yılki net değerinin 1 (1+0.1)= 1.1 olacağı açıktır. Mevduat 6 aylık vadeli ise, 6 aylık faiz oranı 0.1/2’de 0.05 ’e eşittir. Böylece 1 ’lık mevduatın 1 yıl sonundaki net değeri 1

(1+0.05)2 =1.1025 ’ya eşit olacaktır. Benzer olarak mevduat sahibi mevduatını aylık olarak değerlendiriyorsa, aylık faiz oranı 0.1/12 ‘de 0.0083’ e eşit olacak ve mevduatın 1 yıl sonundaki net değeri 1 (1+0.0083)12 =1.10471 olacaktır.

Buna göre, banka mevduat sahibine 1 yılda n sayıda faiz ödemesi yaptığı durumda, her ödemenin faiz oranı 0.10/n ’e eşit olacağından mevduatın bir yıl sonundaki değeri, 1

(1+0.10/n)n’e eşittir. Genel olarak,

lim 1 exp( )n

n

rr

n→∞

+ = 2. 6

ile gösterilir3.

2.2. Reel Getirinin Hesaplanması

Yukarıda hesaplanan gerek tek dönemlik, gerekse çok dönemli basit getiri ve bileşik getiri (log-getiri) nominal değerler üzerinden hesaplanmıştır. Getirilerin analizinde, nominal (cari) getirilerin enflasyonun etkisinden arındırılarak reel hale dönüştürülmesi gerekmektedir. Nominal getirilerin reel hale dönüştürülmesinde ilk aşamada finansal varlığın fiyatının tüketici fiyat endeksi ile deflate edilmesi gerekmektedir4. Finansal varlığın t dönemindeki fiyatı Pt, t

döneminde gerçekleşen tüketici fiyat endeksi ise TÜFEt ile gösterilirse, finansal varlığın t

dönemindeki reel fiyatı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

=reel tt

t

PP

TÜFE 2. 7

Reel fiyatların hesaplanmasında s yılının fiyatı baz alınırsa reel fiyatlar:

=reel st t

t

TÜFEP P

TÜFE 2. 8

aracılığı ile hesaplanır.

İkinci aşamada elde edilen reel fiyatlardan reel getiriler hesaplanır. Buna göre; bir dönemlik reel basit getiri ( reel

tR ):

3 Ross S.M., An Elementary Introduction to Mathematical Finance … s. 50

4Brigham Eugene , Ehrhardt Michael, Financial Management: Theory & Practice… 2013, s.208

1

1

1 1

1 1

1 1

1

reel reelreel t tt reel

t

reel t t tt

t t t

reel t tt

t t

P PR

P

P P PR

TÜFE TÜFE TÜFE

P TÜFER

P TÜFE

−

−

− −

− −

− −

−=

= − ÷

= ÷ −

2. 9

ile ifade edilmektedir5.

Bir dönemlik reel sürekli bileşik getiri( reeltr ) ise,

( )

1 1

ln 1

ln

reel reelt t

reel t tt

t t

r R

P TÜFEr

P TÜFE− −

= +

= ÷

2. 10

ile ifade edilir.

Logaritma işleminin özellikleri kullanılarak, (2.10)’de verilen eşitliği aşağıdaki gibi yeniden yazmak mümkündür.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1ln ln ln lnreelt t t t tr P P TÜFE TÜFE− −= − − −

2. 11

(2.11)’deki eşitliğin sağ tarafındaki ilk terim logaritmik getiri, ikinci terim ise bir

dönemlik enflasyon oranına ( tπ ) eşittir. Böylece reel getiriyi,

reelt t tr r π= −

2. 12

eşitliğinden hesaplamak mümkündür. Görüldüğü üzere logaritmik getiriler reel getirilerin hesaplanmasında oldukça kullanışlıdır.

Temettü ödemesinin yapıldığı varsayımı altında reel getiri aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

5 Ayrıca bkz. Moyer R.C.,McGuigan J., Kretlow W., Contemporary Financial Management…s.186

( )

1 1

1

1

1

R =

R

R 1

reel t t t t

t t

reel t t t

t t

reel tt

t

P TÜFE D TÜFE

P TÜFE

P D TÜFE

P TÜFE

TÜFER

TÜFE

− −

−

−

−

+

+= ×

= +

2. 13

Uygulama 2.3

Tablo-2.3’te 2011 yılı aylık Tüketici Fiyat Endeksi (TÜFE)

ile BİST-100 fiyat endeksi yer almaktadır. Bu verileri kullanarak BİST-100 için reel getiri serisi elde edelim.

Tablo-2.1 BIST-100 Fiyat Endeksi, Tüketici Fiyat Endeksi ve Reel Getiri

Tarih BİST100

Fiyat Endeksi

TÜFE

Panel A Panel B

Reel Fiyatreel

tP

Reel getiri

reeltr

Nominal getiri

tr

Enflasyon oranı

tπ

Reel getiri

reeltr

12.2010 66037.14 181.85 363.1407

01.2011 66735.44 182.6 365.4734 0.006403 0.010519 0.004116 0.006403

02.2011 64353.55 183.93 349.8807 -0.0436 -0.03634 0.007257 -0.0436

03.2011 62939.62 184.7 340.7668 -0.02639 -0.02222 0.004178 -0.02639

04.2011 68122.52 186.3 365.6603 0.070507 0.079132 0.008625 0.070507

05.2011 65644.96 190.81 344.0331 -0.06097 -0.03705 0.02392 -0.06097

06.2011 62591.32 188.08 332.7909 -0.03322 -0.04763 -0.01441 -0.03322

07.2011 62434.52 187.31 333.3218 0.001594 -0.00251 -0.0041 0.001594

08.2011 54596.81 188.67 289.3773 -0.14138 -0.13414 0.007234 -0.14138

09.2011 57291.83 190.09 301.3932 0.040684 0.048183 0.007498 0.040684

10.2011 57534.28 196.31 293.0787 -0.02797 0.004223 0.032197 -0.02797

11.2011 54090.77 199.7 270.8601 -0.07884 -0.06172 0.017121 -0.07884

12.2011 52678.14 200.85 262.276 -0.0322 -0.02646 0.005742 -0.0322

Yıllık sürekli bileşik reel getiri -0.32539 -0.32539

Tablo-2.3’ten de kolaylıkla görülebileceği gibi aylık reel getiri iki şekilde elde edilebilir. İlk olarak Panel A’da hesaplandığı biçimiyle ele alalım. Panel A’ da BİST-100 Fiyat Endeksi, TÜFE ile

deflate edilerek aylık reel fiyatlara ulaşılmıştır. Fiyatlar serisinden aylık sürekli bileşik getiri serisi hesaplamıştır. 2011 yılı için sürekli bileşik reel getiri ise hesaplanmış aylık bileşik getirilerin toplamından oluşmaktadır. Panel B’de ise öncelikle nominal sürekli bileşik getiri serisi oluşturulmuştur. Tüketici fiyat endeksinden enflasyon oranı hesaplanmış ve nihayet 2.29’nolu denklem ile reel sürekli bileşik getiri rakamları hesaplanmıştır. Tablodan da açıkça görüldüğü üzere, Panel B’de hesaplanan aylık ve yıllık reel değerler Panel A’dakiler ile eşittir.

2.3. Getirilerin Frekanslarının Dönüştürülmesi

Uygulamada özellikle bir aylık getirinin yıllık getiriye veya bir yıllık getirinin bir günlük

getiriye dönüştürülmesine diğer bir ifade ile getiri frekanslarının değiştirilmesine sıklıkla başvurulmaktadır6.

Bir aylık basit getiri aR , bir yıllık basit getiri yR ile ifade edilirse, bir aylık getiri bir yıllık getiriye aşağıdaki denklem kullanılarak dönüştürülmektedir7.

12(1 ) 1y aR R= + − 2. 14

Benzer şekilde bir yıllık basit getiri ( yR ) rakamlarından bir günlük basit getiriye ( gR )8

1

250(1 ) 1250

yg y R

R R= + − ≈

2. 2

denklemi aracılığı ile ulaşmak mümkündür. Denklem 2.15’de yer alan 250 sayısı, bir yıldaki iş gününü temsil etmektedir. Yukarıda hesaplanan değer tam olmayıp yaklaşık bir değerdir. Ancak basitliği nedeniyle uygulamada sıklıkla kullanılmaktadır. Bu yöntem sadece getirilerinin

6 Pandey I.M., Financial Management.. s.30

7Moyer R.C.,McGuigan J., Kretlow W., Contemporary Financial Management…s.157

8Brigham Eugene , Ehrhardt Michael, Financial Management: Theory & Practice… 2013, s.145

frekansının değiştirilmesi ile ilgili olup, getirilerin gelecekte sabit olduğu varsayıldığı için tahmin amacıyla kullanılması uygun değildir.

2.4. Yıllık Getirinin Hesaplanması

Uygulamada frekans (yıl, ay, hafta, gün), getirilerin ele alınması ve karşılaştırılması açısından önemlidir. Eğer frekans verilmemişse, zaman aralığının bir yıl olduğu varsayılmaktadır. k yıl boyunca elde tutulan finansal varlığın yıllık ortalama getirisi aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır9.

( ){ }1

1

0Yıllık (1 ) 1

kk

t t jj

R k R−

−=

= + −∏ 2. 3

Yukarıdaki eşitlik k sayıda tek dönemlik basit toplam getirinin ( 1, ,t k tR R− + ) geometrik

ortalaması olup, aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

( ){ }1

0

1Yıllık exp ln(1 ) 1

k

t t jj

R k Rk

−

−=

= + −∑ 2. 17

Buradaki exp(x) üssel fonksiyonu ifade etmektedir ve ln(x), pozitif bir sayı olan x’in doğal logaritmasıdır. Geometrik ortalamaya göre aritmetik ortalamanın hesaplanmasının daha kolay olması ve tek dönemlik getirinin küçük olmaya eğilimli olmasından dolayı yıllık getirilerin yaklaşık değeri birinci dereceden Taylor açılımı kullanılarak aşağıdaki gibi elde edilebilir:

( ){ }1

0

1Yıllık

k

t t jj

R k Rk

−

−=

≈ ∑

2. 18

Benzer bir şekilde k sayıda bir yıllık log-getirilerin

( 1, ,t k tr r− + ) aritmetik ortalaması yıllık log getiridir ve

( ){ }1

0

1Yıllık

k

t t jj

r k rk

−

−=

≡ ∑

2. 19

ile ifade edilir.

Diğer taraftan bir yıldan daha kısa dönemler için hesaplanmış basit getiri ve log-getiri rakamları mevcut ise, yine bu rakamlardan yıllık getiri hesaplanabilmektedir. İlk olarak, t yılı için

9 Moyer R.C.,McGuigan J., Kretlow W., Contemporary Financial Management…s.157

i=1,…, mt’e kadar eşit aralıklı (0,1], (1,2],…., (mt- 1, mt] dönemin olduğu varsayılırsa, t yılının yıllık basit getirisi aşağıdaki gibidir10.

{ } ( ),0

Yıllık 1 1tm

t t ij

R R=

≡ ∏ + −

2. 4

Yıllık log getiri (bileşik getiri) ise;

{ } ,1

Yıllıktm

t t ii

r r=

≡∑

2. 5

ile hesaplanmaktadır.

Yıllık getirinin hesaplanmasında, hem birden fazla dönem için getirilerin hem de bir yıldan az dönemler için hesaplanmış getirilerin mevcut olduğu durum, kısaca yukarıdaki iki durumun birlikteliği söz konusu olabilir. Buna göre, k sayıda yıl için ve her t yılı için eşit aralıklı (0,1], (1,2],…., (mt- 1, mt] mt sayıda dönemin olduğu varsayılırsa, yıllık basit getiri ;

[ ]{ }1

1

,0 1

Yıllık (1 ) 1t j

kmk

t t j ij i

R k R−−

−= =

= ∏ ∏ + −

2. 6

yıllık log- getiri (bileşik getiri) ;

[ ]{ }1

,0 1

1Yıllık

t jmk

t t j ij i

r k rk

−−

−= =

≡

∑ ∑

2. 7

denklemleriyle hesaplanacaktır.

Uygulama 2.4.

t-2 yılına ait üçer aylık getiri, t-1 yılına ait aylık getiri ve t

yılına ait haftalık getiri verileri mevcuttur. İlgili veriler kullanılarak tahmini yıllık basit getiri aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

1 32

,0 1

1 352 12 4

, 1, 2,1 1 1

ˆ (1 ) 1

(1 ) (1 ) (1 ) 1

t jmy

t t j ij i

t i t i t ii i i

R R

R R R

−

−= =

− −= = =

= ∏ ∏ + −

= ∏ + ∏ + ∏ + −

10 Pandey I.M., Financial Management, Vikas Publishing, 2009, s.30

Buna paralel olarak elimizde log-getiriler mevcut ise, tahmini

yıllık log- getiri (bileşik getiri)

2

,0 1

52 12 4

, 1, 2,1 1 1

1ˆ

3

1

3

t jmy

t t j ij i

t i t i t ii i i

r r

r r r

−

−= =

− −= = =

=

=

∑ ∑

∑ ∑ ∑

ile hesaplanır.

Uygulamalar

Aşağıda verilmiş olan tabloda 2014 yılı aylık Tüketici Fiyat Endeksi (TÜFE) ile Cumhuriyet Altını Satış Fiyatları yer almaktadır. Bu verileri kullanarak Cumhuriyet Altını Satış Fiyatları için reel getiri

serisini elde ediniz.

BIST-100 Fiyat Endeksi, Tüketici Fiyat Endeksi ve Reel Getiri

Tarih Cumhuriyet Altını Satış

Fiyatları TÜFE

Panel A Panel B

Reel Fiyatreel

tP

Reel getiri

reeltr

Nominal getiri

tr

Enflasyon oranı

tπ

Reel getiri

reeltr

12.2013 557 229.01

01.2014 594.8 233.54

02.2014 610.75 234.54

03.2014 631 237.18

04.2014 598.5 240.37

05.2014 581.8 241.32

06.2014 587.75 242.07

07.2014 594 243.17

08.2014 599.6 243.4

09.2014 587.25 243.74

10.2014 587.6 248.37

11.2014 574 248.82

12.2014 589.75 247.72

Yıllık sürekli bileşik reel getiri


Bu bölümde finansal değişkenlerin yapılarına ilişkin temel özellikler öğrenilmesine devam

edilmiştir. Getiriler arası geçişler, Reel Getirilerin hesaplanması gibi pek çok çeşit kavram

üzerinde durulmuştur. Getirilerin frekanslarının dönüştürülmesi ve yıllık getirilerin

hesaplanmasına ait bilgiler irdelenmiştir.

Bölüm Soruları

1) Finansal bir varlığın aylık logaritmik getirisi % 5 ise, aylık basit getirisini hesaplayınız?

a) %7,13

b) %6,13

c) %5,13

d) %4,13

e) %3,13

2) Finansal bir varlığın aylık net getirisi %5 ise aylık logaritmik getirisini hesaplayınız?

a) %7,88

b) %6,88

c) %5,88

d) %4,88

e) %3,88

3) Bir işletme, sahip olduğu 10000 ’yi %20 faiz oranından 10 yıllığına bankaya yatırırsa, 10 yıl sonra parasının toplam değeri ne kadar olur?

a) 73890,56

b) 63890,56

c) 53890,56

d) 43890,56

e) 33890,56

Cevaplar

1)C, 2) D, 3)A

ÖNSÖZ












İÇİNDEKİLER ........................................................................................................................................ 6

YAZAR NOTU ....................................................................................................................................... 7

3. FİNANSAL DEĞİŞKENLERİN OLASILIK DAĞILIMLARI ve TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER-I ................................................................................................................................. 8

3.1. Finansal Değişkenlerin Olasılık Dağılımları ..................................................................... 14

3.1.1. Normal Dağılım .............................................................................................................. 14

3.1.2 Lognormal Dağılım ......................................................................................................... 18

3.2. Finansal Getirilerin Tanımlayıcı İstatistikleri ................................................................... 19

3.2.1. Ortalama ve Standart Sapma .......................................................................................... 19

3.2.2 Normal Dağılım Özelliğinin İncelenmesi: Çarpıklık, Basıklık ve Jarque-Bera Testi ..... 20

YAZAR NOTU


3. FİNANSAL DEĞİŞKENLERİN OLASILIK DAĞILIMLARI ve TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER-I


Bu bölümde finansal değişkenlerin getirilerine ilişkin temel istatistiksel özellikler

açıklanacaktır. Öncelikle finansal varlık getirilerin dağılım özellikleri üzerinde durulacaktır.


1. Finansal getirilerin dağılım özellikleri nasıl olmaktadır?

2. Riske Maruz Değer nasıl hesaplanmaktadır?

3. Dağılımlar arası geçişler nasıl olmaktadır?









aktarabilmek




Ders notları

Anahtar Kavramlar

Normal Dağılım, Logaritmik Normal Dağılım, Tanımlayıcı İstatistikler

Giriş

Finansal varlıklar ile ilgili analizlerde, varlıkların getirilerinin dağılım özelliklerinin bilinmesi oldukça önemlidir. Olasılık dağılımları, finansal bir varlığın getirisinin veya farklı varlık getirilerinin zaman içinde birlikte gösterdikleri davranışı anlamak açısından finansal çalışmaların ilk aşamasında üzerinde durulması gereken bir konudur.

3.1. Finansal Değişkenlerin Olasılık Dağılımları

3.1.1. Normal Dağılım

Finansal çalışmalarda basit getirilerin (R) sabit ortalama ve varyansla bağımsız ve benzer

(IID) normal dağıldığı varsayımı ( R ~ 2( , )IIN µ σ ) geleneksel bir varsayımdır.

Kuramsal olasılık dağılımlarından en iyi bilinen ve en çok kullanılan normal dağılımın özelliklerini kısaca gözden geçirecek olursak, öncelikle ifade edilmesi gereken iki özelliği, simetrik ve iki parametresinin olmasıdır. Sürekli rassal değişken y’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir1.

( )2

2

1 1( ) exp ;

22

yf y y

µσσ π

−= − −∞ < < ∞

3. 1

(2.41)’nolu denklemde µ ve 2σ anakütle parametreleri olup, sırasıyla dağılımın ortalaması ve varyansıdır. Normal eğri altında kalan alanın yaklaşık %68’i µ σ± değerleri,

%95’i 2µ σ± değerleri ve %99’u 3µ σ± değerleri arasında kalacaktır. Anakütle parametreleri

( )2,µ σ bilindiği takdirde y’ nin belli bir aralıkta olma olasılığı, normal dağılımın olasılık

yoğunluk fonksiyonu kullanılarak bulunabilir.

Uygulamada basit getirilerin (R) sabit ortalama ve varyansla bağımsız ve benzer (IID)

normal dağıldığı varsayımı, varlık getirilerinin kolaylıkla işlenebilmesine imkân sağlamasına karşın, bu varsayım ile ilgili bazı zorluklar da bulunmaktadır. Karşılaşılan güçlükleri aşağıdaki gibi özetlemek mümkündür.

• Basit getirinin alt sınırı başlangıç sermayesinin tamamını kaybetme durumunda -1 ’e

eşit iken, diğer yandan normal dağılımda y−∞ < < ∞ olduğu için, alt sınırı –∞ ’a

genişlemektedir. • Basit getiri (R) normal dağılıma uygun olsa bile, tek dönemlik getirilerden elde edilen

çok dönemli basit getirilerin (R[k]) dağılımı normal dağılıma uymayabilir.

• Basit getiriler için normal dağılım geçerli ise, 1(1 )t t tP P R−= + denklemine göre

fiyatlar için de normal dağılım geçerlidir. Bu durum, iktisadi realiteye uygun

1 Wang Peijie, Financial Econometrics, Routledge 2009, s.15-23

Montgomery Douglas C., Runger George C., Applied Statistics and Probability for Engineers, John Wiley & Sons, 2003, s.109

olmayan negatif fiyatların oluşma olasılığının gerçekleşebileceği anlamına gelmektedir.

• Uygulamada, pozitif aşırı basıklık eğiliminde olan varlık getirilerinin normal dağılıma uymadığı yaygın bir şekilde gözlemlenmektedir.

Bu sorunlar basit getiriler yerine log-getiriler kullanılarak aşılabilmektedir. Ancak, basit ve log getirilerin her ikisi için de genellikle normallikten güçlü şekilde sapma olduğunu gösteren ampirik çalışmalar mevcuttur.

Örnek getirisi normal dağılıma uygun ise ( tr ~2( , )N r σ , “normal dağılan değişkenlerin

doğrusal fonksiyonu da normal dağılır” özelliğinden örnek ortalaması da normal dağılacaktır.

Normal dağılımın bir uygulaması olan güven aralıklarının oluşturulması, finans konuları ile yakinen ilgilidir. Faiz oranı, enflasyon ve döviz kurundaki ani değişiklikler finansal bir varlığın veya varlıkların ve portföyün değerini şüphesiz ki etkileyecektir. Bu durumda finansal

varlık veya portföyün değeri ne kadar düşecek veya gelecek gün, hafta, ay veya yılda gerçekleşecek kayıplar ne kadar olacaktır? Finansal piyasalar ve finansal değişkenlerdeki risk yapısını bilmek, finans kurumları ve aktörleri açısından oldukça önemlidir. Bu sebeple, piyasa risk analizi, kontrol ve yönetim aracı olan Riske Maruz Değer (Value-at-Risk VaR) esasen

güven aralıklarının bir uygulamasıdır2. Riske Maruz Değer hesaplamaları, finansal varlıkların getirilerinin normal dağıldığı varsayımı altında yapılan istatistiksel bir ölçüdür. VaR değerini, varlık getirilerinin standart sapmalarının doğrusal fonksiyonu şeklinde hesaplamak mümkündür. VaR, belirli bir güven düzeyinde, belli bir zaman aralığında (gün, ay, yıl, vs.) elde tutulan finansal bir varlığın veya portföyün değerinde gerçekleşmesi beklenen maksimum kayıp olarak tanımlanmaktadır3.

Analizin uygulamasında, Riske Maruz Değer sadece kayıplar ile ilgilendiği için normal dağılımın sol kuyruğunun dikkate alınması gerekmektedir. Anlamlılık düzeyi kullanım ihtiyacına göre, % 10 ile % 1 arasında belirlenebilmektedir.

2 Feibel Bruce J., Investment Performance Measurement, John Wiley & Sons, 2003 s.145

3 Wang Peijie, Financial Econometrics… s.20-23

Brooks C., Introductory Econometrics For Finance, Cambridge University Press, 2008, s.571

Dowd Kevin, Beyond Value at Risk: The New Science of Risk Management, John Wiley & Sons, 1998

Best Philip, Implementing Value at Risk, John Wiley & Sons, 1998

Uygulama 3.1

Piyasa değeri 20000 olan bir hisse senedinin yıllık getirisi %7, getiri oranının standart sapması ise %10 ’dur. %5 anlamlılık düzeyinde bir yıllık dönem için Riske Maruz Değer (VaR) aşağıda gösterildiği gibi hesaplanmaktadır.

Yukarıdaki verilere göre 0.07µ = , 0.10σ = ’e eşittir. Anlamlılık düzeyi, α= 0.05 iken, Riske Maruz Değer için %95 tek taraflı güven aralığının uygulanması gerekecektir. α= 0.05 için tek

taraflı Normal dağılım tablo değeri, 1.65’tir.

1.65 0.07 1.65 0.10 0.095µ σ− = − × = −

Elde edilen bu sonuca göre, yatırımın yıllık getiri oranı - % 9.5 veya bunun altında olmasının ihtimali %5’dir. Diğer bir ifadeyle yıllık kayıp oranı %9.5 veya daha azdır. Böylece %5 ihtimalle bir yıl içinde yatırımın düşebileceği en düşük değer,

20000 (1 0.095) 18 100× − =

olacaktır.

Bu sonuca göre; bir yıllık dönem için VaR 18100 ’ya eşittir. Bu hisse senedine yatırım yapan bir yatırımcının yatırım değeri %5 ihtimalle bir yıl içinde yatırımın düşebileceği en düşük değer 18100 olacaktır. Diğer bir ifade ile %95 ihtimalle hisse senedinin değeri en az 18100 ‘ya eşittir. Diğer bir yorum ise; yatırımcı en fazla, %5 ihtimalle, bir yılda 20000-18100 =1900 kaybedecek

veya % 95 ihtimalle bir yıl içinde 1900 den fazla

kaybetmeyecektir.

Uygulama 3.2

Uygulama 3.1’deki verileri kullanarak %5 anlamlılık düzeyinde bir günlük dönem için Riske Maruz Değeri (VaR) hesaplayın?

Bir yılda 250 çalışma günü olduğuna göre;

0.07 250 0.00028µ = = ,

0.50.10 (250) 0.00632σ = =

ve

1.65 0.00028 1.65 0.00632 0.01042 %1.042µ σ− = − × = − = −

şeklinde hesaplanmaktadır.

Elde edilen sonuçlara göre, %5 ihtimalle en yüksek kayıp oranı %1.042 olacaktır. Böylece %5 ihtimalle bir gün içinde finansal varlığın en düşük değeri 20000 (1 0.01042) 19791,6× − = ‘ya olacaktır. Yatırımın bir günlük dönem için VaR değeri 19791.6 ’dır. Bu sonuç farklı biçimde de yorumlanabilir. Yatırımcının yatırım değeri %5 ihtimalle bir gün sonrası için en düşük değeri 19791.6 ’ya eşit olacak veya %95 ihtimalle yatırımın bir gün sonrası için değeri 19791.6 ’dan daha düşük olmayacaktır. Başka bir yorum ise

yatırımcı %5 ihtimalle bir günde en fazla 20000-19791.6=208.4

kaybedecek veya %95 ihtimalle bir günde 208.4 ’dan fazla

kaybetmeyecektir.

Uygulama 3.3

Uygulama 3.1’daki hisse senedi getirisinin standart

sapması %20’ye eşit iken, diğer verilerin değişmediği varsayımı altında %5 anlamlılık düzeyini kullanarak bir haftalık dönem için Riske Maruz Değeri (VaR) yeniden hesaplayalım.

0.07µ = , 0.20σ = ve %95 tek taraflı güven aralığının uygulanması gerekecektir. Öncelikle bir yılda 52 hafta olduğuna göre;

0.07 52 0.00135µ = ≈

0.50.20 (52) 0.02774σ = = ve

1.65 0.00135 1.65 0.02774 0.044421 %4.44µ σ− = − × = − = −

Yatırımın haftalık getiri oranının -%4.44 veya az olmasının ihtimali %5’dir. Diğer bir ifadeyle haftalık en fazla kayıp oranı, %5 ihtimalle %4.44 olacağı beklenmektedir. Böylece %5

ihtimalle bir hafta içinde yatırımın düşebileceği minimum değer,

20000 (1 0.0444) 19112× − = olacaktır.

Bu sonuca göre; bir haftalık dönem için VaR 19112 ’ya

eşittir. Bu hisse senedine yatırım yapan bir yatırımcının yatırımının değeri %5 ihtimalle bir hafta içerisinde en düşük olası değeri 19112 olacaktır. Diğer bir ifade ile %95 ihtimalle hisse

senedinin minimum değeri 19112 ’ya eşit olacaktır. Diğer bir yorum ise; %5 ihtimalle yatırımcı bir haftada en fazla 20000-

19112 =888 kaybedecek veya % 95 ihtimalle bir hafta içinde

888 ‘de fazla kaybetmeyecektir.

3.1.2 Lognormal Dağılım

Getiriler ile ilgili yaygın olarak kullanılan bir diğer varsayım ise, bir varlığın log-

getirilerinin (rt), µ ortalama ve 2σ varyansla normal dağıldığı varsayımıdır4. Bu varsayımın [

r ~2( , )N µ σ ] geçerli olduğu durumda, basit toplam getiriler [ { }(1 ) expR r+ = ] aşağıdaki

yoğunluk fonksiyonu ile [ ](1 ) ( , )R LogN µ σ+ lognormal dağılacaktır.

Lognormal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu5;

2

(1 ) 2

1 1 (ln )( ) exp 0

22R

zf z z

z

µσπ+

− −= ≥

3. 2

ile ifade edilmektedir. Yukarıdaki yoğunluk fonksiyonunda yer alan µ , log-getirinin

ortalaması, 2σ ise varyansıdır. Buna göre R, aşağıda gösterilen ortalama ve varyansa sahip bağımsız ve benzer (IID) lognormal dağılan rassal değişkenlerdir.

2

( ) exp 12tE Rσµ

= + −

3. 3

( )2 2( ) exp(2 ) exp 1tVar R µ σ σ = + − 3. 4

Bu iki eşitlik varlık getirileri ile yapılan analizlerde fayda sağlamaktadır. Alternatif olarak, lognormal dağılan basit toplam getirinin ortalaması m1 varyansı m2 ise [

( )1 2(1 ) ,R LogN m m+ → ], log-getirinin (rt) ortalama ve varyansı aşağıda gösterildiği gibi

hesaplanmaktadır.

4Brooks C., Introductory Econometrics For Finance, Cambridge University Press, 2008, s.577-578

5 Wang Peijie, Financial Econometrics… s.22-23

Smithson Charles, Credit Portfolio Management, John Wiley & Sons, 2003, s.295

Montgomery Douglas C., Runger George C., Applied Statistics and Probability for Engineers…, s.135-137

1

22

1

1( ) ln

1(1 )

t

mE r

m

m

+ =

+ +

3. 5

22

1

( ) ln 1(1 )t

mVar r

m

= + +

3. 6

Sonlu sayıda IID normal dağılan rassal değişkenlerin toplamı normal dağılacağından, rt için yapılan normallik varsayımı altında, rt(k) da normal dağılacaktır. Ayrıca rt için herhangi

bir alt sınır söz konusu değil iken, Rt için alt sınır vardır ve

1 exp( )t tR r+ = 3. 7

ile hesaplanmaktadır. Ancak lognormal dağılım, geçmiş döneme ilişkin hisse senedi getirilerinin tüm özellikleri ile tutarlı değildir. Özellikle birçok hisse senedi getirisi pozitif aşırı basıklık göstermektedir.

Getirilerin dağılım özelliklerinin fiyatlara yansımasını ise kısaca aşağıdaki gibi açıklamak mümkündür.

Logaritmik getirinin normal dağıldığı varsayımı; 1exp( )t t tP r P−= ‘de 1(1 )t t tP R P−= +

ile ifade edilen fiyatların da lognormal dağıldığı anlamına gelmektedir. Buradaki 1tP− rassal

olmayan bir değişkeni ifade etmektedir. Buna bağlı olarak log getiriler normal dağılır ise

fiyatlar da negatif değer almayacaklardır6.

3.2. Finansal Getirilerin Tanımlayıcı İstatistikleri

Bu bölümde rassal değişkenlerin momentleri hakkında genel bilgi verilecek ve momentlerin finansal getirilerin özelliklerini açıklamada nasıl kullanılacağı üzerinde durulacaktır. Getirilerin temel istatistik özellikleri ortalama, standart sapma, çarpıklık (Skewness) ve basıklık (Kurtosis) ile tanımlanmaktadır.

3.2.1. Ortalama ve Standart Sapma

Logaritmik getirilerden (rt) oluşan bir örneğe ait ortalama

6 Gourieroux C., Jasiak J., Financial Econometrics: Problems, Models and Methods, Princeton University Press , 2001, s.181

1

11......

T

ti

r r t TT =

= =∑ 3.8

ile hesaplanmaktadır. Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta, aynı fiyat serisinden hesaplanan basit getirilerin ortalaması ( R ) ile logaritmik getirilerin ortalaması ( r ) eşit değildir. Sürekli bileşik getiri, kesikli getiriye göre daha küçüktür. İki ortalama arasındaki ilişki

{ }2exp 0.5 1R r σ≈ + − 3. 9

( ) 2ln 1 0.5r R σ≈ + − 3. 10

denklemleri aracılığıyla kurulmaktadır. Yukarıdaki ifadelerde yer alan 2σ , logaritmik

getirilerin örnek varyansını ifade etmekte ve aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

2 2

1

1( )

1

T

tt

r rT

σ=

= −∑−

3. 11

Varyansın ( 2σ ) karekökü, standart sapma diğer bir ifade ile volatiliteyi (oynaklık) vermektedir. Getirilerin varyansı, dolayısıyla volatilitesi zaman için sabit değildir. Buna göre getiri serisinin varyansı sabit (homoskedastik) değil, değişen (heteroskedastik) özellik sergilemektedir7.

Varyans ve standart sapma, özellikle finansta bir risk ölçüm aracı olarak kullanıldığı için oldukça önemlidir8.

Dağılımı ölçmenin diğer bir faydası ise, mutlak sapmanın hesaplanabilmesidir. Mutlak sapma,

1

1 T

tt

MS r rT =

= −∑

3. 12

ile ifade edilmektedir.

3.2.2 Normal Dağılım Özelliğinin İncelenmesi: Çarpıklık, Basıklık ve Jarque-Bera Testi

Finansal teori ve modellerin birçoğunda, kuramsal çıkarımlar ve uygulamaları kolaylaştırmak amacıyla getirilerin normal dağıldığı varsayılmaktadır. Normal dağılım daha önce de ifade edildiği üzere simetrik bir dağılımdır. Normal dağılımdan sapma, örnek çarpıklığı ve basıklığı ile ölçülebilmektedir. Finansal varlıkların analizinde getiri serilerinin çarpıklık

7 Ross Sheldon M., Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists, 2004, Elsevier, s.17-25

8 Dun ve Bradstreet, Financial Risk Management, Financial Essential Series, Tata McGraw-Hill 2008, s.226

(Skewness) ve basıklık (Kurtosis) ölçüleri, getiri serisinin dağılımının şekli hakkında fikir vermesi açısından önemlidir9.

Çarpıklık ve basıklık ölçüleri, sırasıyla:

3

31

1 ( )(0,6 )

σ=

−= ∑

Tt

t

r rS S N T

T 3. 13

4

41

1 ( )(3,24 )

Tt

t

r rK K N T

T σ=

−= ∑

3. 14

ile ifade edilir. (2.53) ve (2.54)’de verilen çarpıklık ve basıklık ölçüleri, hesaplanmış ortalama ve standart sapma kullanılarak elde edilmektedir. Logaritmik getirilerin (rt) bağımsız ve benzer

dağıldığı [ ( )2,tr IID r σ ] temel hipotezi altında, çarpıklık ve basıklık ölçülerinin dağılımları

da (2.53) ve (2.54) numaralı denklemlerde verildiği gibidir. Çarpıklık ve basıklık istatistikleri aşağıda gösterildiği gibi, geleneksel t -istatistiği ile test edilmektedir.

6

St

T=

3

24

Kt

T

−=

Logaritmik getirilerin normal dağıldığı temel hipotezi altında, her iki ölçü de ( )0,1N

dağılacaktır. Böylece test istatistiğinin + 2’de büyük değerleri, normallik temel hipotezinin reddini gerektirir.

9 Feibel Bruce J., Investment Performance Measurement…, s.148-152

Şekil-3.1. 04.01.1988 - 07.10.2013 dönemi için BIST 100 günlük kapanış fiyatları

0

20,000

40,000

60,000

80,000

100,000

88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 12

Şekil-3.2. 04.01.1988 - 07.10.2013 dönemi için BIST 100 günlük getiri oranları

(𝑟𝑟𝑡𝑡 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑃𝑃𝑡𝑡 − 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑃𝑃𝑡𝑡−1)

-.25

-.20

-.15

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

.20

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13

Şekil-3.1’te ve Şekil-3.2’te verilen BİST 100 fiyat ve getiri serilerinin histogramları Şekil-3.3 ve Şekil-3.4’de verilmiştir. Görüldüğü üzere, fiyat serisinin histogramı normal dağılım özelliği göstermezken, getiri serisinin histogramı normal dağılım özelliği göstermektedir.

Şekil-3.3. 04.01.1988 - 07.10.2013 dönemi için BIST 100 günlük kapanış fiyatlarının histogramı

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

0 10,000 20,000 30,000 40,000 50,000 60,000 70,000 80,000 90,000

Şekil-3.4. 04.01.1988 - 07.10.2013 dönemi için BIST 100 günlük getiri oranları histogramı (𝑟𝑟𝑡𝑡 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑃𝑃𝑡𝑡 − 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑃𝑃𝑡𝑡−1)

0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

-.20 -.18 -.16 -.14 -.12 -.10 -.08 -.06 -.04 -.02 .00 .02 .04 .06 .08 .10 .12 .14 .16 .18

Normallik varsayımının testi için yaygın olarak Jarque-Bera testi kullanılmaktadır. Jarque-Bera (JB) test istatistiği, getirilerinin normal dağıldığı temel hipotezi altında çarpıklık ve basıklık ölçülerinden yararlanmakta ve aşağıdaki denklem ile hesaplanmaktadır.

2 2( 3)

6 24

−= +

S KJB n 3. 15

Jarque-Bera testi, 2 serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına uygunluk göstermektedir. Jarque-Bera testinin kritik değerden büyük değerleri, getirilerin normal dağıldığı savını öne süren temel hipotezin red edildiğini gösterir. Basıklık dağılımın kuyruklarının kalınlığını ölçer.

Normal dağılım için çarpıklık 0, basıklık 3’e eşit olduğu için; (K-3), aşırı basıklık (excess

kurtosis) olarak tanımlanmaktadır10.

10 Feibel Bruce J., Investment Performance Measurement… s.149-152

Uygulamalar

Bu bölüm içerdiği bilgilerden dolayı uygulama kısmı bölüm sonu sorular içerisinde bulunmaktadır.


Bu bölümde finansal değişkenlerin getirilerine ilişkin temel istatistiksel özellikler

açıklanmıştır. Öncelikle finansal varlık getirilerin dağılım özellikleri üzerinde durulmuştur.

Bölüm Soruları

1) Piyasa değeri 10000 olan bir hisse senedinin yıllık getirisi %5, getiri oranının standart sapması ise %10’dur. Bu hisse senedinin basit getirisi sabit ortalama ve varyansla

bağımsız ve benzer (IID) normal dağıldığı varsayımı altında Riske Maruz Değer (VaR)

için %95 tek taraflı güven aralığının uygulandığında yatırımın yıllık kayıp oranı nedir?

a) -%11,5

b) -%10,5

c) -%9,5

d) -%8,5

e) -%7,5

2) Piyasa değeri 10000 olan bir hisse senedinin yıllık getirisi %5, getiri oranının standart sapması ise %10’dur. Bu hisse senedinin basit getirisi sabit ortalama ve varyansla bağımsız ve benzer (IID) normal dağıldığı varsayımı altında Riske Maruz Değer (VaR)

için %95 tek taraflı güven aralığının uygulandığında yatırımın bir yıllık dönem için VaR

değeri nedir?

a) 8850

b) 7850

c) 6850

d) 5850

e) 4850

3) Piyasa değeri 10000 olan bir hisse senedinin yıllık getirisi %5, getiri oranının standart sapması ise %10’dur. Bu hisse senedinin basit getirisi sabit ortalama ve varyansla

bağımsız ve benzer (IID) normal dağıldığı varsayımı altında Riske Maruz Değer (VaR)

için %95 tek taraflı güven aralığının uygulandığında yatırımcı % 95 ihtimalle bir yıl içinde ne kadardan fazla kaybetmeyecektir?

a) 1150

b) 2150

c) 3150

d) 4150

e) 5150

4) Finansal bir varlığın basit getirisi (R) sabit ortalama ve varyansla bağımsız ve benzer (IID) normal dağıldığı varsayılmaktadır ( 2( , )R IIN µ σ≈ ). Bu finansal varlığın basit getirisinin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

a) ( )2

2

1 1( ) exp ;

22

Rf R R

µσσ π

−= − −∞ < < ∞

b) ( )2

2

1 1( ) exp ;

22

Rf R R

σσ π

= − −∞ < < ∞

c) 1

( ) ;2

f R Rσ π

= −∞ < < ∞

d) ( )2

2

1( ) exp ;

2

Rf R R

µσ

−= − −∞ < < ∞

e) 1 1

( ) exp ;2

f R Rσ

= − −∞ < < ∞

5) Finansal bir varlığın basit getirisinin (R) olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

( )2

2

1 1( ) exp ;

22

Rf R R

µσσ π

−= − −∞ < < ∞

Buna göre bu finansal varlığın ortalama getirisi aşağıdakilerden hangisidir?

a) 2σ

b) R

c) 2π

d) µ

e) 1

exp2

−

6) Finansal bir varlığın basit getirisinin (R) olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

( )2

2

1 1( ) exp ;

22

Rf R R

µσσ π

−= − −∞ < < ∞

Buna göre bu finansal varlığın varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

a) 2σ

b) R

c) 2π

d) µ

e) 1

exp2

−

7) Uygulamada basit getirilerin (R) sabit ortalama ve varyansla bağımsız ve benzer (IID) normal dağıldığı varsayımı, varlık getirilerinin kolaylıkla işlenebilmesine imkân

sağlamasına karşın, bu varsayım ile ilgili bazı zorluklar da bulunmaktadır. Aşağıdakilerden hangisi karşılaşılan güçlüklerden biri değildir?

a) Basit getirinin alt sınırı başlangıç sermayesinin tamamını kaybetme durumunda -1’e

eşit iken, diğer yandan normal dağılımda y−∞ < < ∞ olduğu için, alt sınırı –∞ ’a

genişlemektedir.

b) Basit getiri (R) normal dağılıma uygun olsa bile, tek dönemlik getirilerden elde

edilen çok dönemli basit getirilerin (R[k]) dağılımı normal dağılıma uymayabilir.

c) Basit getiriler için normal dağılım geçerli ise, 1(1 )t t tP P R−= + denklemine göre

fiyatlar için de normal dağılım geçerlidir. Bu durum, iktisadi realiteye uygun

olmayan negatif fiyatların oluşma olasılığının gerçekleşebileceği anlamına

gelmektedir.

d) Uygulamada, pozitif aşırı basıklık eğiliminde olan varlık getirilerinin normal

dağılıma uymadığı yaygın bir şekilde gözlemlenmektedir.

e) Normal eğri altında kalan alanın yaklaşık %68’i µ σ± değerleri, %95’i 2µ σ±

değerleri ve %99’u 3µ σ± değerleri arasında kalacaktır.

8) Finansal bir varlığın log-getirilerinin (rt), µ ortalama ve 2σ varyansla normal dağıldığı varsayılmaktadır. Bu finansal varlığın basit toplam getirisinin (Rt) ortalaması aşağıdakilerden hangisidir?

a) 2

( ) exp2tE Rσ

=

b) 2

( )2tE Rσµ

= +

c) 2

( ) exp 12tE Rσµ

= + −

d) 2

( ) 12tE Rσµ

= + −

e) ( )tE R σ=

9) Finansal bir varlığın log-getirilerinin (rt), µ ortalama ve 2σ varyansla normal dağıldığı varsayılmaktadır. Bu finansal varlığın basit toplam getirisinin (Rt) varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

a) ( )2 2( ) exp(2 ) exp 1tVar R µ σ σ = + −

b) ( )2( ) exp 1tVar R σ = −

c) 2( ) exp(2 )tVar R µ σ= +

d) ( )2 2( ) (2 ) 1tVar R µ σ σ = + −

e) ( ) exp(2 )tVar R µ=

Cevaplar

1)A, 2) A, 3)A, 4)A, 5)D, 6)A, 7)E, 8)C, 9)A

ÖNSÖZ












İÇİNDEKİLER ........................................................................................................................................ 6

YAZAR NOTU ....................................................................................................................................... 7

4. FİNANSAL DEĞİŞKENLERİN OLASILIK DAĞILIMLARI ve TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER-II ................................................................................................................................ 8

4.1. Kovaryans ve Korelasyon .............................................................................................................. 14

YAZAR NOTU


4. FİNANSAL DEĞİŞKENLERİN OLASILIK DAĞILIMLARI ve TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER-II


Bu bölümde finansal değişkenlerin getirilerine ilişkin kendi aralarındaki ilişkiler açıklanacaktır.


1. Finansal getiriler arasındaki ilişkiler nasıl olmaktadır?

2. Kovaryans ve korelasyon nasıl hesaplanmaktadır?

3. Finansal getiriler arasındaki ilişkilerin istatistiksel anlamlılığı nasıl olmaktadır?









aktarabilmek


Finansal Ekonometrik uygulamalarda

kullanılanan iktisadi verilerin nasıl elde

edildiğini açıklamak

Ders notları

Anahtar Kavramlar

Finansal getiriler arasındaki ilişkiler, Kovaryans ve korelasyon, Finansal getiriler arasındaki

ilişkilerin istatistiksel anlamlılığı nasıl olmaktadır?

Giriş

Bu bölümde öncelikle Finansal getiriler arasındaki ilişkiler nasıl olmaktadır sorusu üzerinde

durulacaktır. Bunun yanı sıra kovaryans ve korelasyon nasıl hesaplanmaktadır sorusuna cevap

verilecektir. Nihayetinde Finansal getiriler arasındaki ilişkilerin istatistiksel anlamlılık sınaması

yapılacaktır.

4.1. Kovaryans ve Korelasyon

Kovaryans ve korelasyon istatistikte temel araçlar olup, bu iki araç özellikle finansal

varlık getirileri ile ilgili zaman serileri analizlerinde yaygın birşekilde kullanılmaktadır. Bu nedenle burada kısaca ele alınacaktır.

Kovaryans (ortak varyans) X ve Y rassal değişkenlerinin karşılıklı olarak ortalamaları etrafındaki dağılımının ölçüsüdür. X ve Y ’nin birlikte dağılma ölçüsü kovaryans aşağıdaki gibi ifade edilir1.

( ) ( )x Y( , )Cov X Y E X Yµ µ= − − 4. 1

Denklem (2.56)’da yer alan ve , sırasıyla, X ile Y değişkenlerinin beklenen

değerleridir ( , ). Kovaryans değişkenler arasındaki ilişkinin yönü

hakkında bilgi verirken, ilişkinin derecesini belirlemede yeterli değildir. Hesaplanan kovaryansın değeri, birim sayısı ve ölçü birimine bağlı olduğu için kovaryansın büyüklüğü bir anlam ifade etmez, sadece aldığı işaret yorumlanır. Denklem (2.56)’nın sağ tarafının beklenen

değeri alınırsa;

2

elde edilmektedir. Yukarıda görüldüğü üzere; ise kovaryans pozitif, aksi halde

negatif değer alacaktır. ise, hem X hem de Y ortalamanın aynı yönünde yer almaktadır, bu durumda ikisi de artı veya ikisi de eksidir. Kısaca X ve Y aynı yönde değişmektedir. ise, X artı ise Y eksi veya X eksi ise Y artı değerli, kısaca değişkenler farklı yönlerdedir. Kovaryansın eksi değeri, korelasyon analizine benzer şekilde değişkenlerin ters yönde, artı değeri ise yine korelasyon analizine benzer şekilde değişkenlerin aynı yönde ilişkili oldukları sonucuna işaret eder. Eğer X ve Y rassal değişkenleri birbirinden

1 Stock J.H., Watson M.W., Introduction to Econometrics, Pearson, 2012, s.73-74

2 ( ) ( ),Y XE Y E Xµ µ= = ve sabit terimin beklenen değeri yine sabit terime eşit olması (( )X XE µ µ= ( )Y YE µ µ= ) özellikleri kullanılarak

Xµ Yµ

( ) YE Y µ= ( ) XE X µ=

[ ]x Y x Y( , )Cov X Y E XY Y Xµ µ µ µ= − − +

( ) ( ) ( )x Y Y x( , )Cov X Y E XY E Y E Xµ µ µ µ= − − +

( ) x Y Y x Y x( , )Cov X Y E XY µ µ µ µ µ µ= − − +

( )( , ) X YCov X Y E XY µ µ= −

( ) X YE XY µ µ>

( , ) 0Cov X Y >

( , ) 0Cov X Y <

bağımsız3 ise, ’dır. Şöyle ki, X ve Y ’nin bağımsızlık özelliğinin geçerliliği durumunda,

eşitliği bilinmektedir. Kovaryans denklemine dönersek,

olur. Ancak bunun tersi geçerli değildir. olması değişkenlerin bağımsız olduğu anlamına gelmez. olması, X ile Y arasında doğrusal ilişkinin bulunmadığının göstergesidir4.

Örnek verilerine dayalı kovaryans,

n=birim sayısı,

denklemi ile hesaplanır. Burada ve sırasıyla, örnek verilerinin ortalamasıdır ve

, denklemleriyle hesaplanmaktadır. Örnek verilerinden hesaplanan

kovaryans, anakütle kovaryansının eğilimsiz bir tahmin edicisidir.

Kovaryans, iki veya daha çok finansal varlıktan oluşan bir portföyün riskinin ölçülmesinde kullanılabilir. Hesaplanan kovaryans katsayısı pozitif ise, portföydeki finansal varlıkların getirileri aynı yöndedir. Varlıklardan birinin getirisi ( ) ortalamanın üstünde ise,

diğerinin getirisi ( ) de ortalamanın üstündedir. Ancak kovaryans katsayısı negatif ise,

finansal varlıklardan birinin getirisi ( ) ortalamanın üzerinde iken diğerinin getirisi ( )

ortalamanın altındadır.

Kovaryansın dezavantajlarının bertaraf edilebilmesi için, iki rassal değişken arasındaki kovaryansın değişkenlerin her birinin standart hatasına bölünerek standardize edilmesi

3 X ve Y raslantısal değişkenlerinin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu ( ),f X Y ve

marjinal yoğunluk fonksiyonları, sırasıyla, ( )f X ve ( )f Y ile gösterilsin. Her ( ),X Y için,

( ) ( ), .f X Y f X= ( )f Y ise, veya ( ) ( ) ( ),P X x Y y P X x P Y y= = = = = = eşitliğinin gerçekleşmesi halinde X ve Y raslantısal değişkenleri bağımsızdır.

4 Knight Keith, Mathematical Statistics, Chapman & Hall/CRC, 2000, s.80

( , ) 0Cov X Y =

( ) ( ) ( ) X YE XY E X E Y µ µ= =

( )

( ) ( )

( , )

( , )

( , ) 0

X Y

X Y

X Y X Y

Cov X Y E XY

Cov X Y E X E Y

Cov X Y

µ µ

µ µ

µ µ µ µ

= −

= −

= − =

( , ) 0Cov X Y =

( , ) 0Cov X Y =

( )( )1( , )1

ni i ix x y y

Cov x yn

= − −∑=

−

x y

1ni ix x n== ∑ 1

ni iy y n== ∑

Xr

Yr

Xr Yr

faydalıdır. Kovaryansın standardize edilmiş biçimi, (Pearson) korelasyon katsayısı olarak adlandırılır.

Korelasyon katsayısı, iki rassal değişken arasındaki doğrusal ilişkinin derecesi ve yönü hakkında bilgi verir5. X ve Y rassal değişkenleri arasındaki ilişkinin hesaplanmasında korelasyon katsayısı aşağıdaki gibidir6

4. 2

Denklem 2.57’de yer alan X ile Y değişkenleri arasındaki kovaryans, ve X ile Y değişkenlerinin varyanslarıdır ve sonlu oldukları varsayılmaktadır.

X ve Y değişkenleri arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve derecesini veren korelasyon

katsayısı, çok iyi bilindiği üzere, -1 ile +1 arasında değer alır ( )7.

olması deterministik ilişkiyi ifade ettiği için, korelasyon katsayısının

veya değer almasının finansal veriler açısından sadece kuramsal geçerliliği vardır. Genel olarak ekonometride stokastik ilişkilerin varlığından dolayı, korelasyon katsayısı

sınırları arasında yer alacaktır. Korelasyon katsayısının ölçü birimi yoktur.

Korelasyon analizi sebep-sonuç ilişkisine dayanmaz8 ve dolayısıyla değişken seçiminde simetri

söz konusudur. Bunun sonucunda dir. ’nın sıfıra eşit olması iki rassal

değişkenin ilişkisiz olduğu anlamına gelmektedir. Burada önemli nokta doğrusal ilişkinin olmadığıdır, iki değişken doğrusal olmayan ilişki sergileyebilir. Ayrıca, X ve Y rassal

değişkenlerinin her ikiside normal dağılıma uygunluk gösteriyor ve ise, X ve Y

değişkenleri bağımsızdırlar.

Kovaryansın sakıncalarından arındırılmış korelasyon katsayısı, aşırı değerlerin etkisi altındadır. Şöyle ki; seride aşırı değerlerin yer alması, X ile Y arasında doğrusal ilişki olmamasına rağmen yanıltıcı biçimde pozitif veya negatif bir ilişkiye işaret edebilir. Benzer biçimde serideki aşırı değerlerin varlığı, değişkenler arasında gerçekte doğrusal bir ilişki olduğu halde, doğrusal olmayan bir ilişkinin var olduğu sonucunu çıkarmaya yol açabilir. Finans

5 Regresyon analizinde ( )E Y X Xα β= + modeli için, Y değişkeni rassal X değişkeni ise sabittir.

6 Ross Sheldon M., Introductory Statistics, Elsevier, 2010, s.582

7 Stock J.H., Watson M.W., Introduction to Econometrics… s.74

8 Ryan Thomas P., Modern Engineering Statistics, John Wiley & Sons, 2007, s.254

( ) ( )( ) ( )

x Y

X,Y2 2

x Y

( , )

( ) ( )

E X YCov X Y

Var X Var Y E X Y

µ µρ

µ µ

− − = = − −

( , )Cov X Y

( )Var X ( )Var Y

,1 1X Yρ− ≤ ≤ +

, 1X Yρ = 1−

1+

,1 1X Yρ− < < +

, ,X Y Y Xρ ρ= ,X Yρ

, 0X Yρ =

alanında aşırı değerler mümkün durumlardır, dolayısıyla veriyi iyi tanımak ve korelasyon analizini dikkatlice uygulamak gerekir.

Örnek verilerinden hesaplanan korelasyon katsayısının tahmincisi ,

anakütle korelasyon katsayısının tutarlı tahminidir ve aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır9.

4. 3

Örnek korelasyon katsayısı, anakütle korelasyon katsayısının eğilimli bir tahminidir10.

İstatistik ve ekonometri kitaplarında örnek korelasyon katsayısını ifade etmek üzere yerine

genellikle kullanılmaktadır.

Korelasyon katsayısını, aynı portföydeki finansal varlıkların getirileri arasındaki doğrusal ilişkinin tespiti amacıyla kullanmak mümkündür. Eğer finansal varlıklar hisse senedi ve hisse senetleri de birbirini tamamlayıcı sektörlere ait ise, aralarında pozitif ve güçlü bir ilişki olması beklenir ki, bu durumda korelasyon katsayısı +1’e yakın hesaplanacaktır. Söz konusu durumda portföyün riski azaltılamaz. Portföydeki hisse senedi getirileri arasındaki korelasyon katsayısı sıfır veya sıfıra yakın ise, portföyün getirisi, rassal olarak dalgalanacaktır.

9 İstatistik ve ekonometri kitaplarında örnek korelasyon katsayısı, farklı formüller ile ifade edilebilmektedir. Bu kitapta sadece birine yer verilmiştir.

10 Eğilim 1/T ile orantılı olduğu için genellikle ihmal edilir ve bu bağlamda ( )ˆE ρ ρ= eşitliği geçerlidir.

( ),i ix y ˆ( )ρ

( )( )( ) ( )

1

2 2

1 1

ˆni i i

n ni ii i

x x y y

x x y yρ =

= =

− −∑=

− −∑ ∑

ρ

XYr

Uygulama 4.1

Türkiye ile seçilmiş ticaret ortakları için (ABD, İngiltere, Almanya, Hollanda, İspanya) borsa endekslerine ait Ocak 1995-Aralık 2009 tarihleri arasındaki aylık verilerden hesaplanan logaritmik getiriler arasındaki doğrusal ilişkinin varlığını araştıralım.

Tablo-4.1’te BİST 100 (Türkiye), SP 500 (ABD), DAX (Almanya), AEX (Hollanda), IBEX35 (İspanya) ve FTSE 100 (İngiltere ) olmak üzere 6 hisse senedi piyasasına ait getirilerin tanımlayıcı istatistikleri yer almaktadır.

Tablo-4.1 Seçilmiş Borsaların Getiri Serilerine Ait Tanımlayıcı İstatistikler

BİST 100

SP 500

FTSE 100

DAX AEX IDEX

35 Ortalama -0.003 0.000 0.000 0.000 0.001 0.000

Medyan -0.005 -0.001 -0.002 -0.004 -0.001 -0.003

Maksimum 0.200 0.221 0.236 0.243 0.288 0.238

Minimum -0.211 -0.125 -0.126 -0.149 -0.136 -0.118

Std. Sapma 0.045 0.028 0.027 0.036 0.034 0.033

Çarpıklık 0.230 0.897 1.102 0.634 1.163 0.884

Basıklık 5.745 10.860 14.370 7.812 11.726 8.647

JB İst. 203.97 1711.70 3532.27 652.14 2147.34 922.28

Prob. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Gözlem Sayısı 632 632 632 632 632 632

Tablo-4.2’da getiri serilerine ilişkin korelasyon katsayıları matrisi yer almaktadır. Tablo-4.2’da yer alan korelasyon matrisine göre; BIST-100 endeksinin SP100 ve FTSE 100

ile ters yönlü ve çok zayıf, DAX ve AEX IDEX35 endeksleriyle aynı yönde ancak çok zayıf doğrusal ilişki vardır. IDEX35 ile ilişkisi yoktur. Tabloda dikkat çekici bulgu ise, BIST 100

endeksinin, diğer endeksler ile ilişkisi sıfıra yakın veya sıfır iken, analizde kullanılan endeksler arasında güçlü ve aynı yöndeki ilişkinin varlığıdır. Örneğin DAX endeksi ile AEX endeksi arasındaki korelasyon katsayısı 0.88’e eşittir. Bu sonuca göre DAX endeksi ile AEX

endeksi arasındaki güçlü pozitif doğrusal ilişkinin varlığından söz edilir. Buna göre Ocak

1995-Aralık 2009 tarihleri arasındaki DAX ile AEX arasındaki pozitif ilişki, iki endeksin ilgili dönemde birlikte hareket ettiği anlamına gelmektedir. Aynı analiz tabloda yer alan diğer endeksler içinde yapılabilir. Kriz dönemlerinde endeksler arasındaki korelasyonun arttığını gösteren çalışmalar mevcuttur.

Tablo-4.2 Seçilmiş Borsaların Korelasyon Matrisi

BİST100 SP500 FTSE100 DAX AEX IDEX35

BİST100 1.00 -0.03 -0.02 0.02 0.04 0.00

SP500 1.00 0.77 0.75 0.73 0.68

FTSE100 1.00 0.86 0.88 0.79

DAX 1.00 0.88 0.82

AEX 1.00 0.80

IDEX35 1.00

Örnek korelasyon katsayısının, anakütle korelasyon katsayısının tahmini olarak kullanılabilmesi için istatistiksel açıdan anlamlı olması gerekir. Konunun daha iyi anlaşılabilmesi için, burada korelasyon katsayısının örnekleme dağılımının özellikleri kısaca ele alınacaktır. Örnek korelasyon katsayısının örnekleme dağılımı, birim sayısına (n) ve

anakütle korelasyon katsayısının ( ) değerine bağlıdır. Örnek korelasyon katsayısının örnekleme dağılımı için simetrik, için sağa için sola çarpıktır. nin değeri

’e yaklaştıkça çarpıklık artacaktır. Ancak birim sayısı arttıkça, n>500 olduğunda korelasyon katsayısının örnekleme dağılımı normal dağılıma yaklaşacaktır. Kısaca ’nun mutlak değeri ne kadar küçülür ve örnek birim sayısı ne kadar artarsa, örnekleme dağılımının normal dağılıma

uygunluğu o nispette artacaktır. için dir.

Örnek sayısının küçük olduğu durumlarda, veya olması örnekleme dağılımının şeklini belirlediği için, korelasyon katsayısını ile ilgili hipotez testleri ve güven aralıklarının oluşturulmasında bu iki durum ayrı ayrı ele alınacaktır.

İlk olarak; ise diğer bir ifade ile dağılım simetrik ise, örnek korelasyon

katsayısının örnekleme dağılımının özellikleri incelenecektir. eşitliği ve

eşitliklerinden, örnek korelasyon katsayısının beklenen değeri sıfıra eşittir, .

Böylece ’nin örnekleme dağılımı sadece birim sayısı n’e bağlıdır, ’nin varyansı ise aşağıdaki gibidir.

4.41

için, test istatistiği ’dır. (4.4) nolu varyans denkleminden elde

edilen standart hata, test istatistiği eşitliğinde yerine konur ve sadeleştirmeler

yapılırsa sonucuna ulaşılır. Test istatistiği, n-2 serbestlik derecesi ile t-

dağılımına uygunluk gösterir11.

11Koutsoyiannis A., Ekonometri Kuramı: Ekonometri Yöntemlerinin Tanıtımına Giriş, Ümit Şenesen, Gülay Günlük-Şenesen, Verso, 1989, s.95-97

ρ

0ρ = 0ρ < 0ρ > ρ

1

ρ

500n > ( )22

ˆ , 1N nρ ρ ρ −

0ρ = 0ρ ≠

0ρ =

( )ˆE ρ ρ= 0ρ =

( )ˆ 0E ρ ρ= =

ρ ρ

( )2ˆ1

ˆ2

Varn

ρρ −=

−

0ρ = ( ) ( )ˆ ˆSEρ ρ ρ−

( ) ( )ˆ ˆSEρ ρ ρ−

2ˆ ˆ2 1nρ ρ− −

4. 5

Korelasyon katsayısı ile ilgili hipotez testleri için kullanılan t–istatistiğinden elde edilen sonuç ile güven aralıkları oluşturulamaz. Örnek birim sayısı n arttıkça, t- testi yerine, Z- testi

kullanılır. Kullanılan Z- testi ve ’nin standart hatası aşağıdaki gibidir.

İkinci durum, diğer bir ifade ile pozitif veya negatif korelasyon var ise, dağılım sağa

veya sola çarpıktır. Dağılım simetrik olmadığı için, Z ve t testleri artık geçerli değildir. Simetrinin olmadığından şüphe edildiği durumda12 Fisher’in Z-dönüşümü yöntemi

uygulanarak, ve nın yerine ve ile gösterilen dönüşümleri kullanılır. Dönüştürülen

değerlerin farkları yaklaşık olarak normal dağılacaktır. ve nın dönüştürülmüş biçimleri

ve aşağıdaki gibidir.

ve 4. 6

Örnek korelasyon katsayısının dönüştürülmüş biçiminin beklenen değeri, anakütle korelasyon katsayısının dönüştürülmüş biçimine eşittir.

4. 7

Varyansı ise13;

4. 8

ile ifade edilir. ( 4.7) ve (4.8) veri iken, farkı, için, yaklaşık normal

dağılacaktır. hipotez testi için test istatistiği aşağıdaki gibidir.

12 Pearson E.S. ve Hartley H.O. tarafından hazırlanan çeşitli anlamlılık düzeylerine göre 0ρ =

için korelasyon katsayıları tablosu kullanılarak korelasyon katsayısının anlamlılığı test edilebilir.

13Koutsoyiannis A., Ekonometri Kuramı: Ekonometri Yöntemlerinin Tanıtımına Giriş…, s.96

( ) 22

ˆ ˆ 2

ˆ ˆ1n

nt t

SE

ρ ρ ρρ ρ

−− −

= =−

ρ

( )ˆ

ˆZ

SE

ρρ

= ( ) 1ˆSE

nρ =

0ρ ≠

ρ ρ *ρ *ρ

ρ ρ*ρ *ρ

* ˆ1 1ˆ ln

ˆ2 1

ρρρ

+= −

* 1 1ln

2 1

ρρρ

+= −

( )* * 1 1ˆ ln

2 1E

ρρ ρρ

+= = −

( )* 1ˆ

3Var

nρ =

−

( )* *ρ ρ− 10n ≥

0ρ =

4. 9

ise, ve denklem (2.63)’deki eşitliği kullanılarak test

istatistiği aşağıdaki gibi sadeleştirilebilir.

4. 10

için güven aralıkları ise;

4. 11

ile oluşturulur14.

Uygulama 4.2

Çeşitli finansal varlıklardan oluşan bir portföyde sanayi sektörüne ait A hisse senedi, mali sektöre ait B hisse senedi

mevcuttur. Tesadüfi seçilen 850 işlem gününe ait A ve B hisse

senetlerinin getiri serileri arasındaki korelasyon katsayısı ( )

0.64 olarak hesaplanmıştır. Bu verilere göre anakütle korelasyon katsayısının güven aralıklarını oluşturalım ve korelasyon katsayının anlamlılığını test edelim.

Öncelikle anakütle korelasyon katsayısının güven aralıklarını oluşturalım. Güven aralıklarının oluşturulabilmesi için, öncelikle dağılımın varyansının hesaplanması gerekir. Varyans;

denkleminden

‘e eşittir. Hesaplanan varyansın (= karekökü alınarak,

rakamına ulaşılır. Böylece, anakütle korelasyon

katsayısı %95 güven düzeyinde sınırları

14 Detaylı bilgi için bkz. Gravetter F. J., Wallnau L. B., Statistics for the Behavioral Sciences, Cengage Learning, 2009, s.546

( )* *

*

ˆ

ˆZ

SE

ρ ρρ−

=

0ρ = * 0ρ = ( )*ˆ 1 3SE nρ = −

**ˆ

ˆ 31 3

Z nn

ρ ρ= = −−

*ρ

( ) ( )* * * * *ˆ ˆ ˆ ˆZ SE Z SEρ ρ ρ ρ ρ− × ≤ ≤ + ×

,rˆ

rA Bρ

( )( )

22

,ˆ1

ˆrA rB

Varn

ρρ

− =

( )( )

221 0.64

ˆ 0.0000198850

Var ρ − = =

0.0000198)

( )ˆ 0.004445SE ρ =

( ),ˆ ˆ1.96rA rB SEρ ρ×

arasında yer alacaktır. Buna göre, ‘de,

anakütle korelasyon katsayısı aşağıdaki sınırlar arasında yer alır.

Korelasyon katsayısının anlamlılığını test etmek için, temel ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibi kurulur.

temel hipotezinin testi için test istatistiği aşağıda verilmiştir.

Öncelikle test istatistiğinde yer alan nin standart hatasının

hesaplanması gerekmektedir. nin standart hatası

‘e eşittir. Böylece test istatistiğinin değeri

olmaktadır. Hesaplanan test istatistiği kritik değerden büyük olduğu için , alternatif hipotez kabul edilir15.

Korelasyon katsayısı istatistiksel açıdan anlamlıdır, böylece A hisse senedinin getirisi ile B hisse senedinin getirisi arasında pozitif ilişkinin varlığı dolayısıyla aynı yönde hareket ettikleri sonucuna ulaşırız.

15 Alternatif hipotez 1 : 0H ρ ≠ çift yönlü kurulsa idi, kritik değer

2Zα ‘den 1.96 olacak idi.

0.64 1.96 0.004445×

rA,rB0.6312878 0.6487122ρ< <

0

1

: 0

: 0

H

H

ρρ=>

0ρ =

( )ˆ

ˆZ

SE

ρρ

=

ρ

ρ

( ) 1ˆ 0,034299

850SE ρ = =

( )ˆ 0.64

18.659ˆ 0,034299

ZSE

ρρ

= = =

18.659 1.645Z = >

Uygulama 4.3

3 Haziran - 13 Ağustos 2013 tarihleri arasında günlük altın fiyatları16 ile petrol fiyatları17 arasındaki korelasyon katsayısı -0.15132

olarak hesaplanmıştır. Şekil-4.1’da altın fiyatları ile petrol fiyatlarının zaman içindeki seyri görülmektedir. Altın fiyatları ile petrol fiyatları arasındaki anakütle korelasyon katsayısının sıfırdan farklılığının testi için öncelikle aşağıdaki hipotezler kurulur.

Öncelikle test istatistiğinin hesaplanmasında kullanılacak

örnek korelasyon katsayısının standart hatası hesaplanır. n=51 için,

’nin standart hatası;

Test istatistiği ise;

n-2=51-2=49 serbestlik derecesi ve anlamlılık düzeyinde t-tablo değeri 2.021’e eşittir. Böylece hesaplanan örnek korelasyon katsayısı, tablo değerleri (-2.021:2.021) arasında yer

almaktadır, diğer bir açıdan ‘de küçüktür.

Söz konusu durumda temel hipotezi reddedilemez. Sonuç

itibariyle 3 Haziran - 13 Ağustos 2013 tarihleri arasında altın fiyatları ile petrol fiyatları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir doğrusal ilişki bulunmamıştır.

Şekil-4.1 Altın (Ons/$, Sol Eksen) ve Petrol ($) Fiyatları

16 1 Ons Altın Londra Satıs Fiyatı,

17 Avrupa Brent Petrol Spot Fiyatı Varil başına dolar, kaynak http://www.eia.gov/ (ABD Enerji Bilgi İdaresi

0 1: 0 , : 0H Hρ ρ= ≠

ρ

( ) ( )22 0.1511ˆ1ˆ 0.1412

2 5

2

1 2

3SE

n

ρρ−−

= =−

−=

−

( )0.15132ˆ

1.0716ˆ 0.1412

tSE

ρ ρρ

−=

−= =

0,05α =

0.15132 2.021t = <−

0H

Kaynak: ABD Enerji Bilgi İdaresi www.eia.gov ve www.usagold.com

Uygulamalar

Bu bölümde içerdiği teorik bilgi gereğince uygulama çalışmaları teorik bilginin akabinde verilmiştir.


Bu bölümde kovaryans ve korelasyonun istatistikte temel araçlar olduğunu, bu iki aracın özellikle finansal varlık getirileri ile ilgili zaman serileri analizlerinde yaygın bir şekilde kullanılmakta olduğu bilgisi irdelenmiştir.

Bölüm Soruları

1) X ve Y iki farklı finansal varlık olmak üzere sırasıyla rX ve rY bu iki finansal varlığın getirisidir. Aşağıda verilen bilgilerden hareketle X ve Y varlık getirilerine ilişkin kovaryansı hesaplayınız ( ( , )Cov X Y )

( ) 20

5

2X

Y

X Y

r

r

E r r

µ

µ

=

=

=

a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

e) 25

2) X ve Y iki farklı finansal varlık olmak üzere sırasıyla rX ve rY bu iki finansal varlığın getirisidir. Aşağıda verilen bilgilerden hareketle X ve Y varlık getirilerine ilişkin kolerasyonu hesaplayınız ( X,Yρ )

( )2

2

15

25

16

X

Y

X Y

r

r

Cov r r

σ

σ

=

=

=

a) 0,35

b) 0,45

c) 0,55

d) 0,65

e) 0,75

3) X ve Y iki farklı finansal varlık olmak üzere sırasıyla rX ve rY bu iki finansal varlığın getirisidir. 25 gözlem kullanılarak X ve Y varlık getirilerine ilişkin kolerasyon katsayısı 0,20 hesaplanmıştır ( ˆ 0, 20ρ = ). Bu bilgiler ışığında 0ρ = hipotezini test ediniz.

a) t=0,9789; t23=1,689; 0H : 0ρ = reddedilemez.

b) t=1,9789; t23=1,689; 0H : 0ρ = reddedilemez.

c) t=2,9789; t23=1,689; 0H : 0ρ = reddedilir.

d) t=3,9789; t23=1,689; 0H : 0ρ = reddedilir.

e) t=4,9789; t23=1,689; 0H : 0ρ = reddedilemez.

4) X ve Y iki farklı finansal varlık olmak üzere sırasıyla rX ve rY bu iki finansal varlığın getirisidir. 255 gözlem kullanılarak X ve Y varlık getirilerine ilişkin kolerasyon

katsayısı -0,4 hesaplanmıştır ( ˆ 0, 4= −ρ ). Bu bilgiler ışığında 0ρ = hipotezini test

ediniz.

a) z=-12; 0H : 0ρ = reddedilir.

b) z=-10; 0H : 0ρ = reddedilemez.

c) z=-8; 0H : 0ρ = reddedilir.

d) z=-6; 0H : 0ρ = reddedilir.

e) z=-2; 0H : 0ρ = reddedilemez.

Cevaplar

1)B, 2) E, 3)A, 4)D

ÖNSÖZ












İÇİNDEKİLER ........................................................................................................................................ 6

YAZAR NOTU ....................................................................................................................................... 7

5. FİNANSAL DEĞİŞKENLERİN OLASILIK DAĞILIMLARI ve TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER-III ............................................................................................................................... 8

5.1. Otokovaryans ve Otokorelasyon ....................................................................................... 14

YAZAR NOTU


5. FİNANSAL DEĞİŞKENLERİN OLASILIK DAĞILIMLARI ve TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER-III


Bu bölümde finansal bir varlığın getirilerine ilişkin farklı zaman dilimlerindeki değerleri

arasındaki ilişki analiz edilecektir. Sadece bir değişkene ilişkin zaman serisi verileri arasındaki

birlikte değişimin ölçüsü otokovaryans ve otokorelasyon kavramları üzerinde durulacaktır.


1. Finansal bir varlığın getirilerine ilişkin farklı zaman dilimlerindeki değerleri arasındaki ilişki

nasıl olmaktadır?

2. Sadece bir değişkene ilişkin zaman serisi verileri arasındaki birlikte değişimin ölçüsü nasıl

hesaplanmaktadır?









aktarabilmek


Finansal Ekonometrik uygulamalarda kullanılanan iktisadi verilerin nasıl elde edildiğini açıklamak

Ders notları

Anahtar Kavramlar

Zaman içerisindeki ilişki, Otokovaryans, Otokorelasyon

Giriş




5.1. Otokovaryans ve Otokorelasyon

Kovaryans ve korelasyon analizi X ve Y gibi iki rassal değişkenin varlığına dayanmaktadır. Bu bağlamda, iki finansal varlığının zaman içindeki birlikteliğinin, veya özele indirgenirse iki finansal varlığın getirileri arasındaki birlikteliğin, kovaryans ve korelasyon analizleri ile araştırılabileceği bir önceki alt başlıkta ele alınmıştı.

İki değişkenin birlikte değişiminin ölçüsü kovaryans ve korelasyon, tek bir değişkenin farklı zaman dilimlerindeki değerleri aralarındaki ilişkiyi göstermek amacıyla da hesaplanabilir. Sadece bir değişkene ilişkin zaman serisi verileri arasındaki birlikte değişimin ölçüsü otokovaryans ve otokorelasyon olarak adlandırılır1.

Bir değişkene ait zaman serisi verilerinden hesaplanan otokovaryans (veya ardışık ortak varyans) kovaryansın özel biçimidir ve aşağıdaki gibi ifade edilir2.

Buna göre, getiri serisi için j. otokovaryans3

5. 1

ile tanımlanmaktadır. Otokovaryans denklemindeki μ, rt’nin beklenen değeridir ve . Açıkça görülmektedir ki, j=0 için (2.67) nolu denklem, ’nin varyans

denklemine eşit olacaktır. Böylece j=0 için otokovaryans aşağıdaki gibidir.

j=1 için otokovaryans

ile gösterilirken, genel olarak j=k için otokovaryans4

1 Rachev S.T., Mittnik S., Fabozzi F.J., Focardi S.M., Jasic T., Financial Econometrics From Basics To Advanced Modeling Techniques…, s.216

2 Otokovaryans kısaca kovaryans ile de ifade edilmektedir.

3Brooks C., Introductory Econometrics For Finance…, s.213-214

Wang Peijie, Financial Econometrics,…, s.34-35

4 Mills Terence C., ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series, Cambridge University Press, 2008, s.11

( ) ( )ov( , ) Et t j t t jC r r r rµ µ− − = − −

( ) ( )t t jE r E r µ−= = tr

( )2E tr µ −

( )2 20 ( ) Et t rVar r rγ µ σ = = − =

( ) ( ) ( )1 1 1, Et t t tCov r r r rγ µ µ− −= = − −

ile ifade edilmektedir.

k gecikme için örnek otokovaryans katsayısı ise,

5. 2

denkleminden hesaplanmaktadır. (2.68) nolu denklemden hesaplanan k gecikme için örnek

otokovaryans katsayısı, teorik otokovaryans katsayısının ( ) eğilimli bir tahmincisi olup, bu

eğilim ile uyumludur. Diğer taraftan,

özelliğinden bu tahminci asimptotik eğilimsiz bir tahmincidir5. Uygulamada kullanılan diğer bir tahminci aşağıdaki gibidir.

5. 3

(2.69) nolu denklem ile hesaplanan tahmincinin daha küçük eğilimli olduğunun iddia edilmesine karşın, bu durum her zaman doğru değildir.

Daha önce ifade edildiği üzere, kovaryansın değeri değişkenin ölçü birimine bağlı olduğu için, otokorelasyonun (ardışık bağımlılığın) varlığının tespiti için otokovaryans katsayıları uygulamada fazla kullanışlı değildir. Otokovaryans katsayıları, otokorelasyon katsayılarının hesaplanmasında kullanılmaktadır. Otokorelasyon genel olarak tek bir değişkene ait zaman serisi verilerinin gecikmeli değerleri arasındaki ilişkinin ölçüsüdür. Durağan stokastik sürecin özelliklerini tanımlamak için, teorik otokorelasyon fonksiyonu önemli bir araçtır6.

Buna göre; finansal bir varlığın t dönemindeki getirisi rt ve t-j dönemindeki getirisi rt-j

ise, rt nin zayıf durağan (kovaryans durağan) olduğu varsayımı altında, rt ile rt-j arasındaki otokorelasyon katsayısı, diğer bir ifade ile getirilerin j. dereceden otokorelasyonu aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

5Chatfield Chris, The Analysis Of Time Series An Introduction, Chapman & Hall/Crc, 2005, s. 55-56

Chatfield Chris, Time-Series Forecasting, Chapman & Hall/Crc, 2000, s.34

6 Mills Terence C., ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series…,s.12

( ) ( ) ( ), Ek t t k t t kCov r r r rγ µ µ− −= = − −

( ) ( )1( , )Ti t t k

t t k

r r r rCov r r

T= −

−

− −∑= 1, ,t T=

kγ

1 T

( )lim ,t t k kT

E Cov r r γ−→∞→ =

( ) ( )1( , )Ti t t k

t t k

r r r rCov r r

T k= −

−

− −∑=

−

5. 4

eşitliği zayıf durağan serilerin özelliğidir. Zayıf durağan sürecin

özelliği ortalama ile varyansın zamandan bağımsız, ortak varyansın ise sadece j’ye bağlı olmasıdır. Buna göre otokorelasyon da otokovaryans gibi zamandan bağımsız olup, sadece j

ye bağlıdır7. (4.15) eşitliğinden , ve olduğu açıktır.

Otokorelasyon katsayısı iki rassal değişkenin oranıdır.

Uygulama 5.1

Zayıf etkin piyasada finansal varlığın fiyatı (Pt), aşağıda gösterildiği gibi rassal yürüyüş süreci sergilemektedir.

Yukarıdaki eşitlikte saf hata terimidir, şok veya

yenilikleri ifade etmektedir. Modelin her iki tarafının logaritması alınırsa

elde edilir. Buradan

sonuna ulaşılmaktadır. Zayıf forma etkinliğin basit testi, getirilerin hesaplanması ve et’ye otokorelasyon testinin

uygulanmasıdır. Anlamlı otokorelasyon ilişkisinin reddi, Etkin

Piyasa Hipotezini desteklemektedir.

7 Detaylı bilgi için bkz. Fuller Wayne A., Introduction to Statistical Time Series, John Wiley & Sons, 1996, s.7

( ) ( )( ) ( )22

0

E

E E

ov( , )

( ) ( )

ov( , )

( )

t t j

j

t t j

t t jj

t t j

t t j jj

t

r r

r r

C r r

Var r Var r

C r r

Var r

µ µρ

µ µ

ρ

γρ

γ

−

−

−

−

−

− − =− −

=

= =

( ) ( )t t jVar r Var r−=

0 1ρ = j jρ ρ−= 1 1jρ− ≤ ≤ +

1t t tP P ε−= +

tε

1( ) ( )t t tLn P Ln P e−= +

1( ) ( )t t te Ln P Ln P−= −

Genel eğilimi ifade eden trend, zaman serilerinin uzun dönem davranışını gösterirken, otokorelasyon katsayıları kısa dönem ilişkilerini tanımlamaktadır Otokorelasyon fonksiyonu

(ACF) - - bir sürecin otokorelasyon katsayıları ve gecikme uzunluğu arasındaki ilişkiyi

tanımlayan anakütle parametrelerinin bir fonksiyonudur8.

Örneğe ait getiri verilerinden j. gecikme için, örnek otokorelasyon katsayısı

aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

5. 5

Burada T gözlem sayısı, getirilerin örneklem ortalaması, ise j gecikme için örnek

otokorelasyon katsayını ifade etmektedir9. Örnek verilerinden hesaplanan otokorelasyon

katsayılarının ( ), j’ye göre çapraz grafiği otokorelasyon fonksiyonunu (ACF) verir .

Şekil-5.1 BIST 100 Getiri Serisi Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF)

(1990:01-2012:12 Dönemi )

8 Kozhan Roman, Financial Econometrics – With Eviews, Ventus Publishing, 2009, s.55

9 Enders W., Applied Econometric Time Series, 3th. Edition, John Wiley & Sons, 2010, s.62

jρ

{ }1

T

t tr

=

1

2

1

1

1

( )( )ˆ

( )

ve 0 1

T

t t jj t

j T

tj

T

tj

r r r r

r r

r T r j T

ρ−

= +

=

−

=

− −∑=

−∑

= ≤ ≤ −∑

r ˆjρ

ˆjρ

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Otokorelasyon Fonksiyon Sonuçları

Örnek otokorelasyon katsayıları veriyi üreten stokastik sürecin teorik otokorelasyonlarının, diğer bir ifadeyle anakütle otokorelasyon katsayılarının birer tahminidir.

Sonlu sayılı örnekte, örnek otokorelasyon katsayısı ( ), anakütle otokorelasyon katsayısının

( ) eğilimli ancak tutarlı tahmincisidir10. Eğilim 1/T ile orantılı olup küçük örneklerde önemli

olmaktadır. Ancak finansal çalışmaların çoğunda büyük örnek kullanıldığı için, eğilim ihmal edilebilir.

Getirilerin normal dağıldığı varsayımı altında, getirilere ilişkin örnek otokorelasyon katsayıları da normal dağılmaktadır. Ancak getiri serisinin, zayıf durağan bir seri veya bağımsız ve benzer dağılmış bir seri olması özelliklerine göre getiri serisinin varyansı farklılık göstermektedir. zayıf durağansa, otokorelasyon ( ) katsayıları sıfır ortalama ve j>q için

varyansla yaklaşık olarak normal dağılmaktadır11. , bağımsız ve benzer

dağılmış bir seri ve ise, örnek otokorelasyon katsayıları ( ) sıfır ortalama ve

varyansla normal dağılmaktadır12.

Otokorelasyon katsayısının ( ) istatistiksel açıdan anlamlılığının test edilmesi

gerekmektedir. Pozitif gecikme için (j>0) j. otokorelasyon katsayısının anlamlılığının testinde temel ve alternatif hipotezler :

ile ifade edilir ve için test istatistiği aşağıdaki gibi hesaplanır.

5. 6

Test istatistiğindeki , j. gecikme için otokorelasyon katsayısının standart

hatasını göstermekte ve

5. 7

veya

10 Tsay R.S., Analysis Of Financial Time Series, 3th. Edition, John Wiley & Sons, 2010 s.31-32

11Bartlett M.S. “On the Theoretical Specification of Sampling Properties of Autocorrelated Time Series” , Journal of the Royal Statistical Society, Vol. 8, No. 1, 1946 , ss. 27-41

12Brockwell Peter J., Davis Richard A., Time Series: Theory and Methods, Springer, 2006, s.18-19

ˆjρ

jρ

{ }tr ˆjρ

( )211 2 q

i i Tρ=+ ∑ { }tr

( )2tE r < ∞ ˆ

jρ1T −

ˆjρ

0

1

: 0

: 0

j

j

H

H

ρ

ρ

=

≠

ˆjρ

( )( )( )

ˆ

ˆ

ˆj

j

jt

SEρρ

ρ=

( )ˆ jSEρ

( )ˆ 1j

SE Tρ =

5. 8

ile hesaplanmaktadır13.

Hesaplanan t istatistiği asimptotik olarak normal dağılmaktadır. Böylece hesaplanan t

istatistiği aralığının dışında, diğer bir ifade ile

ise temel hipotez, alternatif

hipotezin lehine red edilir.

Normal dağılım varsayımı, tahmin edilen her otokorelasyon katsayısı için güven aralığı gibi bir red-edememe bölgesi oluşturmak suretiyle, otokorelasyon katsayılarının istatistiki olarak sıfırdan farklı olup olmadığının test edilebilmesini sağlar. Örneğin sıfırdan farklı

olmak üzere , standart normal dağılım özelliklerinden yararlanılarak herhangi bir

için oluşturulacak %95 güven aralığı aşağıdaki gibidir.

5. 9

Eğer örnek otokorelasyon katsayısı ( ), (-1.96 ;1.96 ) aralığına

düşerse, ’nın sıfır olduğu temel hipotez red edilemez. Ancak güven aralığının dışına düşmesi

durumunda temel hipotez red edilerek ’nin sıfırdan farklı olduğu alternatif hipotez kabul

edilir.

13 Ekonometrik paket programlarında, otokorelasyon katsayısının varyansı, zaman serisinin bağımsız ve benzer dağılan dizi olduğu varsayımı altında formulü ile

hesaplanmaktadır.

( )ˆ jSEρ = ( )2

11 2 qi i Tρ=+ ∑

2Zα 2t Zα>

j

( 0)j ≠jρ

1ˆ 1.96j

Tρ ± ×

ˆjρ × 1 T × 1 T

jρ

jρ

( )211 2 q

i i Tρ=+ ∑

Uygulama 5.3

A hisse senedinin 92 günlük getiri rakamları veri iken, ana kütle getiri serisininin otokorelasyon katsayıları için %95 güven aralığını oluşturalım. Buna göre T=92 olduğuna göre, varyans

’ye eşittir. Standart hata ise den yaklaşık 0.1043 olarak hesaplanır.

için %95 güven aralığı,

ile oluşturulur.

Tahmin edilen otokorelasyon katsayısı (-0.204428;

0.204428) aralığına düşerse, otokorelasyon katsayısının sıfır olduğu savını ileri süren temel hipotezin reddi için neden yoktur.

Analizimizi daha ileri aşamalara götürerek bu sonuçtan bir takım çıkarsamalar yapmak mümkündür. hipotezinin

kabulü getiri serisinin durağan olduğunu gösterir ki; bu durumda etkin piyasa hipotezinin red edilmesi gerekir. A hisse senedinin

geçmiş dönem hareketlerinden, A hisse senedi için öngörüde bulunmak mümkündür.

Tahmin edilen otokorelasyon katsayısı (-0.204428,0.204428) aralığının dışına düşerse ’nun sıfıra eşit

olduğunu ileri süren temel hipotez red edilerek,

alternatif hipotez kabul edilir. Getiri serisi durağan değildir, getiri serisinin geçmiş dönem değerleri, cari dönem değerlerini belirleyici değildir.

1 / 92 1 92

ρ

( )1.96 0.1043 0.204428=

( )0.204428 0.204428 0.95P ρ− ≤ ≤ =

0 : 0H ρ =

ρ

0 : 0H ρ ≠

Otokorelasyon katsayılarının istatistiksel olarak anlamlılığı yukarıdaki gibi teker teker test edilebilmesinin yanı sıra, bir grup olarak da test edilebilir. Bu amaç için Box ve Pierce

(1970)14 tarafından geliştirilen Portmanteau Q-istatistiği kullanılmaktadır.

5. 10

Burada m maksimum gecikme uzunluğudur. Q-istatistiğinde otokorelasyon katsayılarının kareleri yer almaktadır. Böylece pozitif ve negatif otokorelasyon katsayılarının birbirini götürmesi söz konusu değildir. Bilindiği üzere standart normal değişkenin karelerinin toplamı, toplamdaki kare sayısına eşit serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyan bir

değişkendir. Böylece, Box-Pierce Q-istatistiği m sayıda otokorelasyon katsayısının birlikte sıfıra eşit olduğu temel hipotezi altında m serbestlik derecesiyle asimptotik olarak ki-kare

dağılımına uygunluk gösterir.

Herhangi bir ortak hipotez testinin uygulamasında sadece bir otokorelasyon katsayısının anlamlı olması ’ın red edilmesi için yeterlidir. Ancak Box-Pierce testinin küçük

örneklemlerde gücünün zayıf olması nedeniyle, bu test istatisiğinin kullanılması küçük örneklemlerde sıklıkla yanlış karar verilmesine yol açmaktadır.

Otokorelasyonun katsayılarının birlikte anlamlılığının testinde, Box-Pierce testinin

geliştirilmiş biçimi Ljung-Box (1978)15 istatistiği de kullanılmaktadır. Küçük örnekler için daha güvenilir bir test olarak bilinen Ljung-Box test istatistiği otokorelasyon olmadığı temel hipotezi altında m serbestlik derecesiyle asimptotik olarak ki-kare dağılımına uyguluk göstermekte ve aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

5. 11

(2.77)’de verilen test istatistiğinden de açıkça görüldüğü üzere örnek sayısı sonsuza yaklaştıkça (T+2) ile (T-j) sadeleşecek ve test istatistiği Box-Pierce test istatistiğine dönüşecektir. Bu test istatistiği zaman serilerinde doğrusal bağımlılığın tespitinde uygun bir

14Box, G.E.P. ve Pierce D., “Distribution Of Residual Autocorrelations in Autoregressive-Integrated Moving Average Time Series Models”. Journal of the American Statistical Association , 65 (332) 1970, ss.1509-1526

15 Ljung, G. ve Box, G.E.P., “On A Measure Of Lack Of Fit İn Time Series Models”. Biometrika , Vol. 65, No. 2 (Aug., 1978) , ss. 297-303

2 2

1

ˆm

j mj

Q T ρ χ=

= ∑

{ }0 1 2: 0

: 0 1,

m

i i

H

H i m

ρ ρ ρρ

= = =

≠ ∈

0H

2* 2

1

ˆ( 2)

mj

mj

Q T TT j

ρχ

== + ∑

−

portmanteau testidir. m ’nin ne olacağı ile ilgili kriter ise, seçildiği durumda, testin performansının daha iyi olduğu yönündedir.

Birçok uygulamalı çalışmada, getiri verileri arasında otokorelasyonun varlığına nadiren rastlandığı sonucuna ulaşılmıştır. Bu durum ise ortalamada bağımlılığın zayıf bir işareti sayılmakta ve getirilerin bağımsız dağıldığını göstermektedir. Ancak bu iddianın ucu açık olup genelleştirilmesi doğru değildir.

Teorik çerçeveden bakıldığında getiri verileri arasında anlamlı otokorelasyon ilişkisinin olmadığı sonucunu, Etkin Piyasa Hipotezi ile ilişkilendirmek mümkündür. Daha önce de ifade edildiği üzere, bir piyasanın geçmiş dönem bilgilerinden hareketle ileriki dönemlere ilişkin tahmin ve öngörüde bulunmanın mümkün olmadığı durumda, piyasanın zayıf etkin bir piyasa olduğu ifade edilmektedir. Diğer bir ifade ile, getiriler arasında anlamlı otokorelasyon ilişkisi bulunduğuna dair bir kanıt yoksa, bu sonuç etkin market hipotezini desteklemektedir.

Uygulama 5.4

1990 0cak-2011 Aralık dönemi BİST-100 fiyat serisinden (

T=276 gözlem) hesaplanan getiri ( ) verilerine

ilişkin (T=275 gözlem) ilk altı otokorelasyon katsayısını hesaplayarak, otokorelasyon katsayılarının anlamlığı ve alternatif gecikme uzunlukları itibariyle otokorelasyon katsayılarının birlikte anlamlılığını test edelim.

Otokorelasyon katsayılarının hesaplanabilmesi için ara sonuçlar aşağıda verilmiştir.

Getiri serisi için ilk altı otokorelasyon katsayısı aşağıdaki gibi hesaplanır.

ln( )m T≈

1log logt t tr P P−= −

276

27.812128tt

r=

=∑ 0.028408r = ( )276 2

23.728958tt

r r=

− =∑

( ) ( )276

130.879155t tt

r r r r−=− − =∑ ( ) ( )276

240.16501t tt

r r r r−=− − = −∑

( ) ( )276

350.307703t tt

r r r r−=− − =∑ ( ) ( )276

460.05499t tt

r r r r−=− − = −∑

( ) ( )276

570.46092t tt

r r r r−=− − = −∑ ( ) ( )276

680.07795t tt

r r r r−=− − = −∑

Gözlem sayısı (T ) 275, varyansın 1/275 den yaklaşık 0.0036 ’ ya eşit olduğu görülmektedir. Buna göre getiri verilerine ilişkin otokorelasyon katsayılarının standart hatası:

değerine eşittir.

Bu verilere göre ’nin güven aralığı ( 0.06)=

0.1176 şeklinde hesaplanır. Örnek verilerinden hesaplanan örnek otokorelasyon katsayısı , (-0.1176,+ 0.1176) aralığının dışında yer

alıyorsa, otokorelasyon olmadığı ( ) temel hipotezi red edilir.

Buna göre 1. ve 5. gecikme için otokorelasyon katsayısının ( )

sıfırdan farklılığı istatistiksel açıdan anlamlı bulunmuştur. Hesaplanan otokorelasyon katsayılarının t istatistiklerinden de aynı sonuca varmak mümkündür.

( ) ( )( )

276

131 276 2

2

0.879155ˆ 0.235764

3.728958t tt

tt

r r r r

r rρ −=

=

− −= = =

−∑∑

( ) ( )( )

276

242 276 2

2

0.16501ˆ 0.04425

3.728958t tt

tt

r r r r

r rρ −=

=

− − −= = = −

−∑∑

( ) ( )( )

276

353 276 2

2

0.307703ˆ 0.082517

3.728958t tt

tt

r r r r

r rρ −=

=

− −= = =

−∑∑

( ) ( )( )

276

464 275 2

2

0.05499ˆ 0.014746

3.728958t tt

tt

r r r r

r rρ −=

=

− − −= = = −

−∑∑

( ) ( )( )

276

575 275 2

2

0.46092ˆ 0.12361

3.728958t tt

tt

r r r r

r rρ −=

=

− − −= = = −

−∑∑

( ) ( )( )

276

686 275 2

2

0.07795ˆ 0.02091

3.728958t tt

tt

r r r r

r rρ −=

=

− − −= = = −

−∑∑

ˆ 0.0036 0.06SEρ = =

jρ 1.96± × ±

ˆjρ

0jρ =

1ρ

1

1ˆ

ˆ

ˆ 0.2357643.9294 1.96

0.06t

SEρ

ρ

ρ= = = >

5

5ˆ

ˆ

ˆ 0.123612.0602 1.96

0.06t

SEρ

ρ

ρ −= = = − < −

veya,

Otokorelasyon katsayılarının birlikte anlamlılığının testi için sırasıyla Box-Pierce ve Ljung-Box testleri uygulanacaktır. Hesapladığımız ilk altı otokorelasyon katsayısının anlamlılığının testi için temel hipotez aşağıdaki gibidir.

Box-Pierce testi; ~

ve Ljung-Box testi: ~

olarak hesaplanır. 6 serbestlik dereceli dağılımının kritik

değerleri geleneksel anlamlılık düzeylerinden %5 için 12.592, %1 için ise 16.812’ye eşittir. Hesaplanan test istatistikleri kritik değerden büyük olduğuna göre ilk altı otokorelasyon katsayısının hepsinin birlikte sıfır olduğu temel hipotezi reddedilir. BIST-100

getiri serisi otokorelasyonludur.

Şekil-5.3 BIST 100 Fiyat ve Getiri Serisi Grafikleri

2.0602 1.96− >

0 1 2 3 4 5 6: 0H ρ ρ ρ ρ ρ ρ= = = = = =

62

1

ˆt

tQ T ρ

== ∑ 2

6χ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 22

0.235764 0.04425 0.082517

0.014746 0.12361 0.02091 22.0

27

7 5

5

82

Q −

− − + −

= + + ++ =

26*

1

ˆ( 2) t

tQ T T

T t

ρ=

= + ∑−

26χ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

*

2 2 2

275 277275 1 275 2 27

0.235764 0.04425 0.082517

0.014746 0.12361 0.0209122.40175

275

5 3

27 4 75 65 5 2

Q

= × × + + +− − −

−

− − −+

+−

− −

=

2χ

0

20,000

40,000

60,000

80,000

0

20,000

40,000

60,000

80,000

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

BIST-100

Kısmi otokorelasyon katsayısı, finansal bir varlığın t dönemindeki getirisi (rt) ile t-j

dönemindeki getirisi (rt-j) arasındaki diğer bütün gecikmelerin ( ) etkisi

arındırıldıktan sonra, ile arasındaki ilişkinin derecesini gösterir. Kısmi otokorelasyon

katsayısının hesaplanmasında t ile t-j dönemleri arasındaki gecikmelerin etkisinin arındırılması, kısmi otokorelasyon katsayısını otokorelasyon katsayısından ayıran önemli bir özelliktir.

, j. gecikme için kısmi otokorelasyon katsayısını gösterir ve kısmi otokorelasyon

katsayıları, aşağıdaki regresyon modellerinin en küçük kareler yöntemi ile tahmininden elde

edilir.

Birinci denklemde ’in tahmini, için 1.gecikmenin örnek kısmi korelasyon

katsayısıdır. Benzer şekilde ikinci denklemdeki ve üçüncü denklemdeki tahminleri,

sırasıyla, ’nin 2. ve 3. gecikmeler için örnek kısmi otokorelasyon katsayılarını vermektedir.

Şekil-4.5’de 1990:01-2012:12 dönemi için BIST 100 getiri serisinden hesaplana kısmi otokorelasyon fonksiyonun grafiği yer almaktadır.

-.4

-.2

.0

.2

.4

.6

-.4

-.2

.0

.2

.4

.6

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

BISTGETIRI

1,2, , 1t j= −

tr t jr−

jjφ

01 11 1 1t t tr rφ φ ε−= + +

02 12 1 22 2t t t tr r rφ φ φ ε− −= + + +

03 13 1 23 2 33 3t t t t tr r r rφ φ φ φ ε− − −= + + + +

0 1 1 2 2 3 3 4 4t p p t p t p t p t tr r r r rφ φ φ φ φ ε− − − −= + + + + +

11φtr

22φ 33φ

tr

Şekil-4.5 BIST 100 Getiri Serisi Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu

(PACF) (1990:01-2012:12 Dönemi )

Kısmi otokorelasyon katsayıları, Yule-Walker denklemleri kullanılarak da hesaplanabilmektedir.

5. 12

Yule-Walker denklemleri ile hesaplanan kısmi otokorelasyon katsayıları (2.78)’de görüldüğü üzere otokorelasyon katsayıları aracılığı ile hesaplanmakta ve aşağıdaki gibi gösterilmektedir 16.

16 Enders W., Applied Econometric Time Series…, s.62

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 1

1 2

1 2

1 1

1 2

1 2

1

1

1

1

1

s s sss

s

s

s s

ρ ρρ ρ

ρ ρ ρφ

ρ ρρ ρ

ρ ρ

− −

−

−

− −

=

1,2,s =

11 1φ ρ=

1

21 2 2 1

22 21 1

1

1

1 1

1

ρρ ρ ρ ρφ

ρ ρρ

−= =

−

ilave gecikmeler için kısmi otokorelasyon katsayıları aşağıdaki gibidir,

5. 13

Burada olmak üzere, eşitliğinden

hesaplanmaktadır.

Kısmi otokorelasyon katsayısının değerleri -1 ile +1 arasında yer almaktadır. Yule-

Walker denklemleri ile kısmi otokorelasyon katsayısılarının hesaplanması, diğer yöntemlere göre kolaylık sağlamaktadır.

Gecikmelerin tamamı için hesaplanan kısmi otokorelasyon katsayılarının değerleri () kısmi otokorelasyon fonksiyonunu (PACF) oluşturmaktadır. Kısmi

otokorelasyon katsayılarının anlamlılık testi, Quenouille testi17 ile yapılmaktadır. Quenouille test istatistiği (2.80)’de verilmiştir.

5. 14

Test istatistiğinden hesaplanan değer, tablo değerinden büyük ise, kısmi

otokorelasyon katsayısının istatistiksel olarak anlamlı olduğu sonucuna varılır.

Uygulama 5.5

Uygulama 4.5’deki ara sonuçlar ve hesaplanan otokorelasyon

katsayıları kullanarak 1990 0cak-2011 Aralık dönemi BİST-100

getiri (rt) verilerine ilişkin ilk altı kısmi otokorelasyon katsayısını hesaplayabilir, istatistiksel anlamlılıklarını test edebiliriz.

Bir gecikme için kısmi otokorelasyon katsayısı,

otokorelasyon katsayısına eşit olduğuna göre aşağıdaki gibidir,

İkinci gecikme için kısmi otokorelasyon katsayısı

17 Quenouille M.H.,"Approximate Tests of of Correlation in Time-Series" Journal of the Royal Statistical Society. Vol. 11, No. 1 (1949), ss. 68-84

1

1,1

1

1,1

21

s

s s j s jj

ss s

s j jj

sρ φ ρ

φφ ρ

−

− −=−

−=

− ∑= >

− ∑

1,2,3, , 1j s= − ( ) ( ) ( ), 1 , 1 ,s j sss j s s jφ φ φ φ− − −= −

11 22 33, , , , ssφ φ φ φ

ˆ

1jjtT

φ=

2, 1Ttα −

11φ

11 1ˆ 0.2 7 4ˆ 35 6φ ρ= =

formülünden sadece bir ve iki gecikme için hesaplanan

otokorelasyon katsayılarından elde edilmektedir. Uygulama

2.18’de hesaplanan otokorelasyon katsayılarından, iki gecikme için kısmi otokorelasyon katsayısı

değerine eşittir. İkiden fazla gecikme için kısmi korelasyon katsayılarının hesaplanması daha fazla işlem gerektirmektedir.

Öncelikle denklemde yer alan ’nin hesaplanması

gerekir. Bu amaç için,

eşitliği kullanılarak,

sonucuna ulaşılır. Böylece üç gecikme için kısmi otokorelasyon katsayısı:

değerine eşittir. Dört gecikme için kısmi otokrelasyon katsayısının aşağıdaki eşitlikten hesaplanabilmesi için;

öncelikle için ’nin değerinin hesaplanması gerekecektir. Buna göre,

22 1

22 21

ˆ ˆˆˆ1

ρ ρφρ−

=−

22φ ( ) ( )( )

2

21

0.04425 0.2357640.10571

0.235764

−= −

−=

−

3 1 2

3 3 1, 3 3 2, 31 1

33 3 1 2

3 1, 2,1 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ1 1

j j j jj j

j j j jj j

ρ φ ρ ρ φ ρφ

φ ρ φ ρ

−

− − −= =−

−= =

− −∑ ∑= =

− −∑ ∑

2,ˆ

jφ

( ) ( ) ( ), 1 , 1 ,ˆ ˆ ˆ ˆs j sss j s s jφ φ φ φ− − −= −

( ) ( )21 11 22 11 0.235764 0.10571 0.235764 0.26068ˆ ˆ 7ˆ ˆφ φ φ φ − − × = = − =

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )33

33

ˆ1

0.082517 0.260687 0.04425 0.10571 0.235764

0.260687 0.235764 0.10571 0.04425

0.12 1ˆ 740

φ

φ

× − − ×

− + =− + ×

=

× − −

3

4 3, 41

44 3

3,1

ˆˆ ˆˆ

ˆ ˆ1

j jj

j jj

ρ φ ρφ

φ ρ

−=

=

− ∑=

− ∑

1, 2,j = 3,ˆ

jφ

elde edildikten sonra, ’un değeri aşağıdaki gibi hesaplanır.

Beş ve altıncı gecikme için otokorelasyon katsayılarının sonuçları aşağıda verilmiştir,

( )31 21 33 22 0.260687 0.127401 0.10571 0.27415ˆ 5ˆ ˆ ˆφ φ φ φ= − = − × − = ( ) [ ]32 22 33 21 0.10571 0.127401 0.260687 0.13892ˆ ˆ ˆ ˆφ φ φ φ − − × = −= − =

44φ

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

44

0.014746 0.274155 0.082517 0.13892 0.04425

0.127401 0.235764

0.274155 0.235764ˆ

0.13892 0.04425

0.127401 0.0 5 7

1

82 1

φ

− + ×+ × =

− +

− × − −

× − × −

+ ×

44ˆ 0.08006φ =−

4

5 4, 51

55 4

4,1

ˆˆ ˆˆ

ˆ ˆ1

j jj

j jj

ρ φ ρφ

φ ρ

−=

=

− ∑=

− ∑

( )( )41 31 44 33 0.274ˆ ˆ ˆ ˆ 0.08006155 0.127401 0.284355φ φ φ φ − =×= − = −

( ) ( ) ( )( )42 32 44 32 0.13ˆ ˆ ˆ ˆ 0.0800892 0.13892 0.150046φ φ φ φ= − = − −=× −−−

( )( )43 33 44 31ˆ ˆ ˆ ˆ 0.127401 0.08006 0.274155 0.14935φ φ φ φ ×= − = − − =

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

55

0.12361 (0.284355) 0.014746 0.15004 0.082517

0.04425 0.235764

0.284355 0.235764 0.15004 0.04425

0.082517 0.01474

0.14935 0.08006ˆ

1

0.14935 0.0800 66

φ

−

× − ×=

− + ×× + − ×

− × − + − ×

+ − + × − −

+ −

55ˆ 0.08934φ =−

5

6 5, 61

66 5

5,1

ˆˆ ˆˆ

ˆ ˆ1

j jj

j jj

ρ φ ρφ

φ ρ

−=

=

− ∑=

− ∑

( ) ( )( )51 41 55 44ˆ ˆ ˆ ˆ 0.284355 0.089 0.277234 0.08006 02φ φ φ φ= − = − − × − =

( ) ( )( )52 42 55 43ˆ ˆ ˆ ˆ 0.15004 0.08934 0.149 0.133 675φ φ φ φ= − = − − − × −=

( ) ( )( )53 43 55 42ˆ ˆ ˆ ˆ 0.14935 0.0893 0.13594 0.15004 45φ φ φ φ= − = − − × − =

( ) ( )( )54 44 55 41ˆ ˆ ˆ ˆ 0.08006 0.089 0.054634 0.284355 6φ φ φ φ= − = − − −− × =

1, 2, 6j = ’ya kadar gecikme için hesaplanan kısmi

otokorelasyon katsayılarının istatistiksel anlamlılığının tespiti amacıyla, ssφ ’nin güven aralığı ( 1.96± ×0.06)= ± 0.1176 olarak

hesaplanmıştır. Kısmi otokorelasyon katsayı ile otokorelasyon katsayısının

varyans formülleri aynı olduğu için, anlamlılık düzeyi değiştirilmedikçe oluşturulan güven aralığı her ikisi için de

geçerlidir.

BİST 100 getiri verilerinden hesaplanan örnek kısmi otokorelasyon katsayılarından 11φ ve 33φ değerleri, (-0.1176,+

0.1176) aralığının dışındadır. Dolayısıyla istatistiksel açıdan anlamlıdır. Kısmi otokorelasyon katsayılarının t istatistiklerinden

( ˆ 0.06 1, 6jjt jφ= = ) de aynı sonuca varmak mümkündür.

Birinci ve üçüncü gecikme için hesaplanan t istatistiği değerleri tablo değeri 1.96’dan büyüktür.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

66

0.02091 0.277202 0.12361 0.1367 0.014746

0.135945 0.082517 0.05466 0.04425 0.235764

0.277202 0.235764 0.1367 0.04425

0

0.08934ˆ

1

0. .123135945 0.082517 0.05466 0.014746 0 19 6.08 34

φ

− × − + − × −

+ × − − + × − −

−

× − ×=

− + ×+ × − × − + −+ −×

66 0.02ˆ 0761φ =

Uygulamalar



Bu bölümde İki değişkenin birlikte değişiminin ölçüsü kovaryans ve korelasyon, tek bir değişkenin farklı zaman dilimlerindeki değerleri aralarındaki ilişkiyi göstermek amacıyla da hesaplanabileceği öğrenilmiştir. Sadece bir değişkene ilişkin zaman serisi verileri arasındaki

birlikte değişimin başlıca ölçüsü olan otokovaryans ve otokorelasyon yaklaşımları öğrenilmiştir.

Bölüm Soruları

1) Bir finansal varlığın getirisi rt olmak üzere getiri serisinin j. otokovaryansı aşağıdakilerden hangisidir?

a) ( )( )ov( , ) E− − = − − t t j t t jC r r r rµ µ

b) ( ) ( )ov( , ) E− − = − t t j t t jC r r r rµ

c) ( ) ( )ov( , ) E− − = − t t j t jC r r rµ µ

d) ( ) ( )ov( , ) E− = − t t j tC r r r µ µ

e) ( ) ( )ov( , ) E− − = t t j t jC r r rµ

2) Aşağıdakilerden hangisi bir değişkene ilişkin zaman serisi verileri arasındaki birlikte değişimin ölçüsünü vermektedir?

a) Varyans ve ortalama

b) Ortalama ve Standart Sapma

c) Beklenen Değer ve Standart Sapma

d) Otokorelasyon ve otokovaryans

e) Standart Sapma ve Varyans

3) Bir finansal varlığın getirisi rt olmak üzere getiri serisinin j=0 için otokovaryansı aşağıdakilerden hangisidir?

a) ( )0 ov( , ) ( ) E= = = − = t t t tC r r Var r rγ µ µ

b) ( )0 ov( , ) ( ) E= = = = t t t tC r r Var r rγ µ

c) ( )2

0 ov( , ) ( ) E = = = = t t tC r r Var rγ µ σ

d) ( )2

0 ov( , ) ( ) E = = = = t t t tC r r Var r rγ µ σ

e) ( )2 20 ov( , ) ( ) E = = = − = t t t t rC r r Var r rγ µ σ

4) Bir finansal varlığın getirisi rt olmak üzere getiri serisinin j=1 için otokovaryansı aşağıdakilerden hangisidir?

a) ( ) ( )1 1 1, E− −= = − t t tCov r r rγ µ

b) ( ) ( )( )1 1 1, E− −= = − t t t tCov r r r rγ µ

c) ( ) ( )( )1 1 1, E− −= = − − t t t tCov r r r rγ µ µ

d) ( ) ( )( )1 1 8, E− −= = t t t tCov r r r rγ

e) ( ) ( )2

1 1, E− = = t tCov r rγ µ

5) Bir finansal varlığın getirisi rt olmak üzere getiri serisinin j=k için otokovaryansı aşağıdakilerden hangisidir?

a) ( ) ( ) ( ), E−= = − − k t t k tCov r r rγ µ µ

b) ( ) ( ), E− −= = − k t t k t kCov r r rγ µ

c) ( ) ( )( ), E− −= = − − k t t k t t kCov r r r rγ µ µ doğrucevap

d) ( ) ( ), E−= = − k t t k tCov r r rγ µ

e) ( ) ( )( ), E− −= = − k t t k t kCov r r rγ µ µ

6) Aşağıda verilmiş olan tahmincilerden hangisi rt getiri serisinin j=k için teorik

otokovaryans katsayısının ( kγ ) eğilimli bir tahmincisi olup asimptotik eğilimsiz

tahmincisidir?

a) ( )( )1( , ) =− −= −∑Ttt t k t t kCov r r r r r

b) ( )( )1( , ) = −

−

− −∑=

Tt t t k

t t k

r r r rCov r r

T

c) ( )1( , ) =

−

−∑=

Tt t

t t k

r rCov r r

T

d) ( )1( , ) = −

−

−∑=

Tt t k

t t k

r rCov r r

T

e) ( )( )

( , ) −−

− −= t t k

t t k

r r r rCov r r

T

7) Aşağıda verilmiş olan tahmincilerden hangisi rt getiri serisinin j=k için teorik

otokovaryans katsayısının ( kγ ) eğilimsiz tahmincisidir?

a) ( )1( , ) =− −= −∑Tit t k t kCov r r r r

b) ( )( )1( , ) = −

−

− −∑=

−

Ti t t k

t t k

r r r rCov r r

T k

c) ( )1( , ) =

−

−∑=

−

Ti t

t t k

r rCov r r

T k

d) ( )( )1( , ) =− −= − −∑Tit t k t t kCov r r r r r r

e) 1

( , )− =−t t kCov r r

T k

8) Bir finansal varlığın getirisi rt olmak üzere getiri serisinin j. dereceden otokorelasyonu


a) ( )( )

( ) ( )22

E

E E

−

−

− − =− −

t t j

j

t t j

r r

r r

µ µρ

µ µ

b) ( )

( ) ( )22

E

E E −

− =− −

t

j

t t j

r

r r

µρ

µ µ

c) ( )

( ) ( )22

E

E E

−

−

− =− −

t j

j

t t j

r

r r

µρ

µ µ

d) ( )( )

( )2

E

E

− − − =

−

t t j

j

t

r r

r

µ µρ

µ

e) ( )( )

( )E

E

−

−

− − =−

t t j

j

t j

r r

r

µ µρ

µ

9) Bir finansal varlığın getirisi rt olmak üzere getiri serisinin j. dereceden otokorelasyonu


a) ( ) ( )−=j t t jVar r Var rρ

b) ( ) ( )

−

−

= t j

j

t t j

r

Var r Var rρ

c) ov( , )

( )

−

−

= t t j

j

t j

C r r

Var rρ

d) ov( , )

( )

−= t t j

j

t

C r r

Var rρ

e) ov( , )

( ) ( )

−

−

= t t j

j

t t j

C r r

Var r Var rρ

10) Zayıf durağan sürecin özelliği ortalama ile varyansın zamandan bağımsız, ortak varyansın ise sadece j’ye bağlı olmasıdır. Buna göre aşağıdaki yargılardan hangisi doğrudur?

a) Otokorelasyon zamana bağlıdır. b) Otokovaryans zamana bağlıdır. c) Otokorelasyon da otokovaryans gibi zamandan bağımsız olup, sadece j’ye bağlıdır. d) Otokorelasyon da otokovaryans gibi zamana bağlıdır. e) Otokorelasyon da otokovaryans varyanstan büyüktür.

11) Bir finansal varlığın getirisi rt olmak üzere getiri serisinin j=k için otokorelasyon


a) 1

1

ov( , )

( )− += =t t k k

k

t

C r r

Var r

γργ

b) 3

2

ov( , )

( )−= =t k

k

t

C r r

Var r

γργ

c) 0

ov( , )

( )−= =t t k k

k

t

C r r

Var r

γργ

d) 19

0

ov( , )

( )+= =t t k

k

t

C r r

Var r

γργ

e) 10

7

ov( , )

( )+

= =t kk

t k

C r r

Var r

γργ

12) Örneğe ait getiri { }1=

T

t tr verilerinden j. gecikme için, örnek otokorelasyon katsayısı

aşağıdakilerden hangisi ile hesaplanmaktadır?

a) 2

1

1ˆ

( )=

=−∑

j T

tj

r rρ

b) 1

2

1

( )( )ˆ

( )

−= +

=

− −∑=

−∑

T

t t jj t

j T

tj

r r r r

r rρ

c) 1

2

1

( )ˆ

( )

−= +

=

−∑=

−∑

T

t jj t

j T

tj

r r

r rρ

d) 1

1

( )( )ˆ

( )

−= +

=

−∑=

−∑

T

t t jj t

j T

tj

r r r

r rρ

e) 2

1

( )( )ˆ

( )

−

=

− −=

−∑

t t j

j T

tj

r r r r

r rρ

13) Örnek verilerinden hesaplanan otokorelasyon katsayılarının ( ˆjρ ), j’ye göre çapraz

grafiği aşağıdakilerden hangisini vermektedir?

a) Varyans fonksiyonunu (VCF)

b) Otokorelasyon fonksiyonunu (ACF)

c) Standart Sapma fonksiyonunu (SCF)

d) Ortanca fonksiyonunu (OCF)

e) Beklenen Değer fonksiyonunu (BCF)

14) X hisse senedinin 200 günlük getiri rakamları veri iken, ana kütle getiri serisinin otokorelasyon katsayıları için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir?

a) [-0,096; +0,096]

b) [-0,139; +0,139]

c) [-0,296;+0,296]

d) [-0,396;+0,396]

e) [-0,496;+0,496]

15) X hisse senedinin 100 günlük getiri rakamları veri iken, ana kütle getiri serisinin ilk 5 otokorelasyon katsayıları aşağıda verilmiştir:

: 1 2 3 4 5

0,5 0, 4 0,3 0, 2 1ˆ : 0,− −j

j

ρ

Box-Pierce testini kullanarak ilk 5 otokorelasyon katsayısının anlamlılığı sınandığında temel hipotez aşağıdaki şıkların hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a) 0 1 2 3: 0= = =H ρ ρ ρ

b) 0 1 2 3 4 5: 0= = = = =H ρ ρ ρ ρ ρ

c) 0 1 2 3 4 5 6: 0= = = = = =H ρ ρ ρ ρ ρ ρ

d) 0 1 2: 0= =H ρ ρ

e) 0 1 2 3: 0= = =H ρ ρ ρ


: 1 2 3 4 5

0,6 0,4 0,3 0,2 1ˆ : 0,− −j

j

ρ

Box-Pierce testini kullanarak ilk 5 otokorelasyon katsayısının anlamlılığı sınandığında test istatistiği aşağıdaki şıkların hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a) 56

b) 66

c) 76

d) 86

e) 96


: 1 2 3 4 5

0,5 0, 4 0,3 0, 2 1ˆ : 0,− −j

j

ρ

Box-Pierce testini kullanarak ilk 5 otokorelasyon katsayısının anlamlılığı sınandığında aşağıdaki yargılardan hangisi doğru olarak verilmiştir?

a) Test istatistiği kritik değerden küçük olduğuna göre ilk 5 otokorelasyon katsayısının

hepsinin birlikte sıfır olduğu temel hipotezi reddedilir.

b) Test istatistiği kritik değerden küçük olduğuna göre ilk 3 otokorelasyon katsayısının

hepsinin birlikte sıfır olduğu temel hipotezi reddedilemez.

c) Test istatistiği kritik değerden büyük olduğuna göre sadece ilk 3 otokorelasyon

katsayısının hepsinin birlikte sıfır olduğu temel hipotezi reddedilir.

d) Test istatistiği kritik değerden büyük olduğuna göre ilk 2 otokorelasyon katsayısının


e) Test istatistiği kritik değerden büyük olduğuna göre ilk 5 otokorelasyon katsayısının



: 1 2 3 4 5

0,5 0, 4 0,3 0, 2 1ˆ : 0,− −j

j

ρ

Ljung-Box testini kullanarak ilk 5 otokorelasyon katsayısının anlamlılığı sınandığında temel hipotez aşağıdaki şıkların hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a) 0 1 2 3: 0= = =H ρ ρ ρ

b) 0 1 2 3 4 5: 0= = = = =H ρ ρ ρ ρ ρ

c) 0 1 2 3 4 5 6: 0= = = = = =H ρ ρ ρ ρ ρ ρ

d) 0 1 2: 0= =H ρ ρ

e) 0 1 2 3: 0= = =H ρ ρ ρ


: 1 2 3 4 5

0,5 0, 4 0,3 0, 2 1ˆ : 0,− −j

j

ρ

Ljung-Box testini kullanarak ilk 5 otokorelasyon katsayısının anlamlılığı sınandığında test istatistiği aşağıdaki şıkların hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a) 66,52

b) 76,52

c) 86,52

d) 96,52

e) 100,52


: 1 2 3 4 5

0,5 0, 4 0,3 0, 2 1ˆ : 0,− −j

j

ρ

Ljung-Box testini kullanarak ilk 5 otokorelasyon katsayısının anlamlılığı sınandığında aşağıdaki yargılardan hangisi doğru olarak verilmiştir?

a) Test istatistiği kritik değerden küçük olduğuna göre ilk 5 otokorelasyon katsayısının


b) Test istatistiği kritik değerden küçük olduğuna göre ilk 3 otokorelasyon katsayısının


c) Test istatistiği kritik değerden büyük olduğuna göre sadece ilk 3 otokorelasyon

katsayısının hepsinin birlikte sıfır olduğu temel hipotezi reddedilir.

d) Test istatistiği kritik değerden büyük olduğuna göre ilk 2 otokorelasyon katsayısının


e) Test istatistiği kritik değerden büyük olduğuna göre ilk 5 otokorelasyon katsayısının


Cevaplar

1)A, 2) D, 3) E, 4)C, 5)C, 6)B, 7)B, 8)A, 9)E, 10)C, 11)C, 12)B, 13)B, 14)B, 15)B,

16)B, 17)E, 18)B, 19)A, 20)E

ÖNSÖZ











İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ..................................................................................................................................................... 5

İÇİNDEKİLER ............................................................................................................................................. 6

YAZAR NOTU ............................................................................................................................................ 7

6. FİNANSAL DEĞİŞKENLERİN OLASILIK DAĞILIMLARI ve TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER-IV ...................... 8

6.1. Kısmi Otokorelasyon Katsayılarının Anlamlılığı ............................................................. 14

YAZAR NOTU

Sevgili öğrenciler, ekonometrinin oldukça spesifik bir alt-disiplinini oluşturan finansal ekonometri alanında gerek lisans gerek lisansüstü öğrencilerinin alana ilişkin temel bilgilere ulaşarak genel bir formasyon elde etmelerine yardımcı olmaktır. Bu kitabın finansal ekonometriye yaklaşımı daha çok ampirik niteliktedir; diğer bir ifadeyle alana ilişkin varsayımlardan yola çıkarak

bazı teorik sonuçlara ulaşma gibi bir amacı yoktur. Bunun yerine, alanda yaygın kabul gören ve kullanılan teorik yaklaşımlara değinilerek, bu yaklaşımlara göre verilerin ekonometrik ve istatistiki modeller ile işlenmesine ilişkin yöntemlerin öğretilmesi hedeflenecektir.

6. FİNANSAL DEĞİŞKENLERİN OLASILIK DAĞILIMLARI ve TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER-IV



arasındaki ilişki analiz edilmeye devam edilecektir. Sadece bir değişkene ilişkin zaman serisi

verileri arasındaki birlikte değişimin ölçüsü kısmi otokorelasyon kavramları üzerinde

durulacaktır.



nasıl olmaktadır?


hesaplanmaktadır?









aktarabilmek



Ders notları

Anahtar Kavramlar

Zaman içerisindeki ilişki, Kısmi Otokorelasyon Katsayısı

Giriş



birlikte değişimin ölçüsü kısmi otokorelasyon kavramı üzerinde durulacaktır.

6.1. Kısmi Otokorelasyon Katsayılarının Anlamlılığı

Kısmi otokorelasyon katsayısı, finansal bir varlığın t dönemindeki getirisi (r t) ile t-j

dönemindeki getirisi (r t-j) arasındaki diğer bütün gecikmelerin ( 1,2, , 1t j= − ) etkisi arındırıldıktan

sonra, tr ile t jr− arasındaki ilişkinin derecesini gösterir. Kısmi otokorelasyon katsayısının

hesaplanmasında t ile t-j dönemleri arasındaki gecikmelerin etkisinin arındırılması, kısmi otokorelasyon katsayısını otokorelasyon katsayısından ayıran önemli bir özelliktir.

jjφ , j. gecikme için kısmi otokorelasyon katsayısını gösterir ve kısmi otokorelasyon katsayıları,

aşağıdaki regresyon modellerinin en küçük kareler yöntemi ile tahmininden elde edilir.

01 11 1 1t t tr rφ φ ε−= + +

02 12 1 22 2t t t tr r rφ φ φ ε− −= + + +

03 13 1 23 2 33 3t t t t tr r r rφ φ φ φ ε− − −= + + + +

0 1 1 2 2 3 3 4 4t p p t p t p t p t tr r r r rφ φ φ φ φ ε− − − −= + + + + +

Birinci denklemde 11φ ’in tahmini, tr için 1.gecikmenin örnek kısmi korelasyon katsayısıdır. Benzer

şekilde ikinci denklemdeki 22φ ve üçüncü denklemdeki 33φ tahminleri, sırasıyla, tr ’nin 2. ve 3.

gecikmeler için örnek kısmi otokorelasyon katsayılarını vermektedir.

Şekil-6.2’de 1990:01-2012:12 dönemi için BIST 100 getiri serisinden hesaplana kısmi otokorelasyon fonksiyonun grafiği yer almaktadır.

Şekil-6.1 BIST 100 Getiri Serisi Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) (1990:01-2012:12 Dönemi )

Kısmi otokorelasyon katsayıları, Yule-Walker denklemleri kullanılarak da hesaplanabilmektedir.

1 1

1 2

1 2

1 1

1 2

1 2

1

1

1

1

1

s s sss

s

s

s s

ρ ρρ ρ

ρ ρ ρφ

ρ ρρ ρ

ρ ρ

− −

−

−

− −

=

1,2,s = 6. 1

Yule-Walker denklemleri ile hesaplanan kısmi otokorelasyon katsayıları (2.78)’de görüldüğü üzere otokorelasyon katsayıları aracılığı ile hesaplanmakta ve aşağıdaki gibi gösterilmektedir 1.

11 1φ ρ=

1

21 2 2 1

22 21 1

1

1

1 1

1

ρρ ρ ρ ρφ

ρ ρρ

−= =

−

ilave gecikmeler için kısmi otokorelasyon katsayıları aşağıdaki gibidir,


-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1

1,1

1

1,1

21

s

s s j s jj

ss s

s j jj

sρ φ ρ

φφ ρ

−

− −=−

−=

− ∑= >

− ∑ 6. 2

Burada 1,2,3, , 1j s= − olmak üzere, ( ) ( ) ( ), 1 , 1 ,s j sss j s s jφ φ φ φ− − −= − eşitliğinden hesaplanmaktadır.

Kısmi otokorelasyon katsayısının değerleri -1 ile +1 arasında yer almaktadır. Yule-Walker denklemleri ile kısmi otokorelasyon katsayısılarının hesaplanması, diğer yöntemlere göre kolaylık sağlamaktadır.

Gecikmelerin tamamı için hesaplanan kısmi otokorelasyon katsayılarının değerleri ( 11 22 33, , , , ssφ φ φ φ

) kısmi otokorelasyon fonksiyonunu (PACF) oluşturmaktadır. Kısmi otokorelasyon katsayılarının anlamlılık testi, Quenouille testi2 ile yapılmaktadır. Quenouille test istatistiği (6.9)’da verilmiştir.

ˆ

1jjtT

φ= 6. 3

Test istatistiğinden hesaplanan değer, 2, 1Ttα − tablo değerinden büyük ise, kısmi otokorelasyon

katsayısının istatistiksel olarak anlamlı olduğu sonucuna varılır.

2 Quenouille M.H.,"Approximate Tests of of Correlation in Time-Series" Journal of the Royal Statistical Society. Vol. 11, No. 1 (1949), ss. 68-84

Uygulama 6.1

Uygulama 5.3’deki ara sonuçlar ve hesaplanan otokorelasyon katsayıları kullanarak 1990 0cak-2011 Aralık dönemi BİST-100 getiri (r t)

verilerine ilişkin ilk altı kısmi otokorelasyon katsayısını hesaplayabilir, istatistiksel anlamlılıklarını test edebiliriz.

Bir gecikme için kısmi otokorelasyon katsayısı, otokorelasyon

katsayısına eşit olduğuna göre 11φ aşağıdaki gibidir,

11 1ˆ 0.2 7 4ˆ 35 6φ ρ= =

İkinci gecikme için kısmi otokorelasyon katsayısı

22 1

22 21

ˆ ˆˆˆ1

ρ ρφρ−

=−

formülünden sadece bir ve iki gecikme için hesaplanan otokorelasyon katsayılarından elde edilmektedir. Uygulama 2.18’de hesaplanan otokorelasyon katsayılarından, iki gecikme için kısmi otokorelasyon katsayısı

22φ ( ) ( )

( )

2

21

0.04425 0.2357640.10571

0.235764

−= −

−=

−

değerine eşittir. İkiden fazla gecikme için kısmi korelasyon katsayılarının hesaplanması daha fazla işlem gerektirmektedir.

3 1 2

3 3 1, 3 3 2, 31 1

33 3 1 2

3 1, 2,1 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ1 1

j j j jj j

j j j jj j

ρ φ ρ ρ φ ρφ

φ ρ φ ρ

−

− − −= =−

−= =

− −∑ ∑= =

− −∑ ∑

Öncelikle denklemde yer alan 2,ˆ

jφ ’nin hesaplanması gerekir. Bu amaç

için,

( ) ( ) ( ), 1 , 1 ,ˆ ˆ ˆ ˆs j sss j s s jφ φ φ φ− − −= −

eşitliği kullanılarak,

( ) ( )21 11 22 11 0.235764 0.10571 0.235764 0.26068ˆ ˆ 7ˆ ˆφ φ φ φ − − × = = − =

sonucuna ulaşılır. Böylece üç gecikme için kısmi otokorelasyon katsayısı:

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )33

33

ˆ1

0.082517 0.260687 0.04425 0.10571 0.235764

0.260687 0.235764 0.10571 0.04425

0.12 1ˆ 740

φ

φ

× − − ×

− + =− + ×

=

× − −

değerine eşittir. Dört gecikme için kısmi otokorelasyon katsayısının aşağıdaki eşitlikten hesaplanabilmesi için;

3

4 3, 41

44 3

3,1

ˆˆ ˆˆ

ˆ ˆ1

j jj

j jj

ρ φ ρφ

φ ρ

−=

=

− ∑=

− ∑

öncelikle 1, 2,j = için 3,ˆ

jφ ’nin değerinin hesaplanması gerekecektir. Buna göre,

( )31 21 33 22 0.260687 0.127401 0.10571 0.27415ˆ 5ˆ ˆ ˆφ φ φ φ= − = − × − = ( ) [ ]32 22 33 21 0.10571 0.127401 0.260687 0.13892ˆ ˆ ˆ ˆφ φ φ φ − − × = −= − =

elde edildikten sonra, 44φ ’un değeri aşağıdaki gibi hesaplanır.

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

44

0.014746 0.274155 0.082517 0.13892 0.04425

0.127401 0.235764

0.274155 0.235764ˆ

0.13892 0.04425

0.127401 0.0 5 7

1

82 1

φ

− + ×+ × =

− +

− × − −

× − × −

+ ×

44ˆ 0.08006φ =−

Beş ve altıncı gecikme için otokorelasyon katsayılarının sonuçları aşağıda verilmiştir,

4

5 4, 51

55 4

4,1

ˆˆ ˆˆ

ˆ ˆ1

j jj

j jj

ρ φ ρφ

φ ρ

−=

=

− ∑=

− ∑

( )( )41 31 44 33 0.274ˆ ˆ ˆ ˆ 0.08006155 0.127401 0.284355φ φ φ φ − =×= − = −

( ) ( ) ( )( )42 32 44 32 0.13ˆ ˆ ˆ ˆ 0.0800892 0.13892 0.150046φ φ φ φ= − = − −=× −−−

( )( )43 33 44 31ˆ ˆ ˆ ˆ 0.127401 0.08006 0.274155 0.14935φ φ φ φ ×= − = − − =

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

55

0.12361 (0.284355) 0.014746 0.15004 0.082517

0.04425 0.235764

0.284355 0.235764 0.15004 0.04425

0.082517 0.01474

0.14935 0.08006ˆ

1

0.14935 0.0800 66

φ

−

× − ×=

− + ×× + − ×

− × − + − ×

+ − + × − −

+ −

55ˆ 0.08934φ =−

5

6 5, 61

66 5

5,1

ˆˆ ˆˆ

ˆ ˆ1

j jj

j jj

ρ φ ρφ

φ ρ

−=

=

− ∑=

− ∑

( ) ( )( )51 41 55 44ˆ ˆ ˆ ˆ 0.284355 0.089 0.277234 0.08006 02φ φ φ φ= − = − − × − =

( ) ( )( )52 42 55 43ˆ ˆ ˆ ˆ 0.15004 0.08934 0.149 0.133 675φ φ φ φ= − = − − − × −=

( ) ( )( )53 43 55 42ˆ ˆ ˆ ˆ 0.14935 0.0893 0.13594 0.15004 45φ φ φ φ= − = − − × − =

( ) ( )( )54 44 55 41ˆ ˆ ˆ ˆ 0.08006 0.089 0.054634 0.284355 6φ φ φ φ= − = − − −− × =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

66

0.02091 0.277202 0.12361 0.1367 0.014746

0.135945 0.082517 0.05466 0.04425 0.235764

0.277202 0.235764 0.1367 0.04425

0

0.08934ˆ

1

0. .123135945 0.082517 0.05466 0.014746 0 19 6.08 34

φ

− × − + − × −

+ × − − + × − −

−

× − ×=

− + ×+ × − × − + −+ −×

66 0.02ˆ 0761φ =

1, 2, 6j = ’ya kadar gecikme için hesaplanan kısmi otokorelasyon

katsayılarının istatistiksel anlamlılığının tespiti amacıyla, ssφ ’nin güven

aralığı ( 1.96± ×0.06)=± 0.1176 olarak hesaplanmıştır. Kısmi otokorelasyon katsayı ile otokorelasyon katsayısının varyans formülleri aynı olduğu için, anlamlılık düzeyi değiştirilmedikçe oluşturulan güven aralığı her ikisi için de geçerlidir. BİST 100 getiri verilerinden hesaplanan örnek kısmi otokorelasyon

katsayılarından 11φ ve 33φ

değerleri, (-0.1176,+ 0.1176) aralığının dışındadır. Dolayısıyla istatistiksel açıdan anlamlıdır. Kısmi otokorelasyon katsayılarının t istatistiklerinden (

ˆ 0.06 1, 6jjt jφ= = ) de aynı sonuca varmak mümkündür. Birinci

ve üçüncü gecikme için hesaplanan t istatistiği değerleri tablo değeri 1.96’dan büyüktür.

Uygulamalar



Bu bölümde İki değişkenin birlikte değişiminin ölçüsü kovaryans ve korelasyon, tek bir değişkenin farklı zaman dilimlerindeki değerleri aralarındaki ilişkiyi göstermek amacıyla da hesaplanabileceği öğrenilmiştir. Sadece bir değişkene ilişkin zaman serisi verileri arasındaki birlikte değişimin başlıca ölçüsü olan otokovaryans ve otokorelasyon yaklaşımları öğrenilmiştir.

Bölüm Soruları

1) Aşağıda verilmiş olan yargılardan hangisi doğrudur?

a) Kısmi otokorelasyon katsayısı, finansal bir varlığın t dönemindeki getirisi (rt)

ile t-j dönemindeki getirisi (rt-j) arasındaki diğer bütün gecikmelerin ( 1,2, , 1t j= − ) etkisi arındırıldıktan sonra, tr ile t jr− arasındaki ilişkinin

derecesini gösterir. Doğru cevap

b) Kısmi otokorelasyon katsayısı, finansal bir varlığın t dönemindeki fiyat (pt) ile

t-j dönemindeki getirisi (rt-j) arasındaki diğer bütün gecikmelerin ( 1,2, , 1t j= − ) etkisi arındırıldıktan sonra, tr ile t j kr − − arasındaki ilişkinin

derecesini gösterir.

c) Kısmi otokorelasyon katsayısı, finansal bir varlığın t dönemindeki fiyat (pt) ile

t-j dönemindeki fiyat (pt-j) arasındaki diğer bütün gecikmelerin ( 1,2, , 1t j= − ) etkisi arındırıldıktan sonra, tp ile t jr− arasındaki ilişkinin


d) Kısmi otokorelasyon katsayısı, finansal bir varlığın t dönemindeki getirisi (rt)

ile t-j dönemindeki fiyat (pt-j) arasındaki diğer bütün gecikmelerin ( 1,2, , 1t j= − ) etkisi arındırıldıktan sonra, tr ile t jr− arasındaki ilişkinin


e) Kısmi otokorelasyon katsayısı, finansal bir varlığın t dönemindeki getirisi (rt)

ile t-j dönemindeki getirisi (rt-j) arasındaki diğer bütün gecikmelerin (1,2, , 1t j= − ) etkisi arındırıldıktan sonra, tr ile −t jp arasındaki ilişkinin


2) Aşağıda verilmiş olan yargılardan hangisi doğrudur?

a) Kısmi otokorelasyon katsayısının hesaplanmasında t ile t-j dönemleri arasındaki gecikmelerin etkisinin arındırılması, kısmi otokorelasyon katsayısını otokorelasyon katsayısı ile birleştiren önemli bir özelliktir.

b) Kısmi otokorelasyon katsayısının hesaplanmasında t ile t-j dönemleri arasındaki gecikmelerin etkisinin arındırılması, kısmi otokorelasyon katsayısını otokorelasyon katsayısından ayırmayan önemli bir özelliktir.

c) Kısmi otokorelasyon katsayısının hesaplanmasında t ile t-j dönemleri arasındaki gecikmelerin etkisinin arındırılmaması, kısmi otokorelasyon katsayısını otokorelasyon katsayısından ayıran önemli bir özelliktir.

d) Kısmi otokorelasyon katsayısının hesaplanmasında t ile j dönemleri arasındaki gecikmelerin etkisinin arındırılmaması, kısmi otokorelasyon katsayısını otokorelasyon katsayısı ile birleştiren önemli bir özelliktir.

e) Kısmi otokorelasyon katsayısının hesaplanmasında t ile t-j dönemleri arasındaki gecikmelerin etkisinin arındırılması, kısmi otokorelasyon katsayısını otokorelasyon katsayısından ayıran önemli bir özelliktir.

3) sρ s. gecikme için otokorelasyon katsayıları olmak üzere, kısmi otokorelasyon katsayıları, Yule-Walker denklemleri kullanılarak aşağıdakilerden hangisi ile

hesaplanmaktadır?

a)

2

1 1

1 2

1 2

1

1ss

s s s

ρ ρρ ρ

φ

ρ ρ ρ

−

− −

=

b)

1 1

1 2

1 2

1

1

1

−

−

− −

=

s

s

ss

s s

ρ ρρ ρ

φ

ρ ρ

c)

1 1 1 1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

1 1

1

−

−

− − − −

=

s

s

ss

s s s s s

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ ρ

φ

ρ ρ ρ ρ ρ

d)

1 1

1 2

1 2

1 1

1 2

1 2

1

1

1

1

1

−

−

− −

− −

=

s

s

s sss

s s s

ρ ρρ ρ

ρ ρφ

ρ ρρ ρ

ρ ρ ρ

e)

1 1

1 2

1 2

1 1

1 2

1 2

1

1

1

1

1

− −

−

−

− −

=

s s sss

s

s

s s

ρ ρρ ρ

ρ ρ ρφ

ρ ρρ ρ

ρ ρ

Cevaplar

1)A, 2) E, 3) E

ÖNSÖZ












İÇİNDEKİLER ............................................................................................................................................. 6

YAZAR NOTU ............................................................................................................................................ 7


6.1. Otokovaryans ve Otokorelasyonın anlamlılığı .................................................................. 14

YAZAR NOTU

Sevgili öğrenciler, ekonometrinin oldukça spesifik bir alt-disiplinini oluşturan finansal ekonometri alanında gerek lisans gerek lisansüstü öğrencilerinin alana ilişkin temel bilgilere ulaşarak genel bir formasyon elde etmelerine yardımcı olmaktır. Bu kitabın finansal ekonometriye yaklaşımı daha çok ampirik niteliktedir; diğer bir ifadeyle alana ilişkin varsayımlardan yola çıkarak bazı teorik sonuçlara ulaşma gibi bir amacı yoktur. Bunun yerine, alanda yaygın kabul gören ve kullanılan teorik yaklaşımlara değinilerek, bu yaklaşımlara göre verilerin ekonometrik ve istatistiki

modeller ile işlenmesine ilişkin yöntemlerin öğretilmesi hedeflenecektir.

7. STOKASTİK SÜREÇLER ve ÖZELLİKLERİ-I


Bu bölümde finansal bir varlığın getirilerine ilişkin veri oluşum süreçleri analiz edilecektir.


1. Finansal bir varlığın getirilerine ilişkin değerler nasıl meydana gelmektedir?







Ders notları, Kaynak

kitaplardan


aktarabilmek



Ders notları

Anahtar Kavramlar

Stokastik Süreçler, Durağanlık, White Noise

Giriş

Bu bölümde finansal bir varlığın getirilerine ilişkin farklı zaman dilimlerindeki değerlerin nasıl

oluştuğuna dair frklı teorik durumlar incelenecektir.

7.1. Stokastik Süreç

Stokastik (olasılıklı) süreç1, rassal değişkenlerin zamanla değişimini tanımlamak için kullanılan istatistiksel bir terimdir2. Finansal zaman serisinin istatistik yöntemlerle analizi ise

zamana göre ardışık olarak dizilmiş rassal değişkenleri tanımlayan stokastik sürecin3 özel bir

gerçekleşmesi olan gözlemlenmiş verilere 1 2( , , )Ty y y dayanmaktadır4. Stokastik süreç,

rassal değişkenlerin nasıl üretileceği ile ilgili olan olasılık yasasına tabidir. Bu olasılık yasası stokastik sürecin tanımladığı rassal değişkenlerin istatistiksel özelliklerini, özellikle de

aralarındaki bağımlılığın yapısını belirler.

Y rassal değişkeni için stokastik süreç genellikle { }tY+∞

−∞ , bunun özel gerçekleşmesi ise

{ }1

T

ty ile gösterilmektedir. Stokastik süreç ile gerçekleşme arasındaki ilişki, istatistikteki

anakütle ile örnek arasındaki ilişkiye benzemektedir5. Stokastik sürecin birden fazla

gerçekleşmesi söz konusudur. Ekonometri yöntemlerinin kullanıldığı çalışmalarda ve zaman

serilerinin analizinde, stokastik sürecin özel bir gerçekleşmesi dikkate alınmaktadır.

Örneğin, BİST-100 endeksi stokastik bir süreçtir. Mayıs 2013 dönemindeki 22 işlem günü sonunda gerçekleşen BİST-100 endeks değerlerinin her biri ise, rassal bir değişkendir. BİST 100 endeksi Mayıs ayının ilk işlem gününü 83978.16 seviyesinde kapatmış, 22 Mayıs’a kadar yükselen bir eğilim sergilemiştir. Ancak 22 Mayıs tarihinde FED’in tahvil alımlarını azaltmaya gideceği ile ilgili yaptığı açıklama Türkiye’de önemli ölçüde kaynak çıkışına yol açmış, 28 Mayıs’ta başlayan Gezi Parkı olayları ile BİST 100 Mayıs ayını 85524.84 seviyesinde kapatmıştır. Gerçekleşen bu rakam, Mayıs ayındaki gerek dünya, gerekse ülkede gelişen ekonomik, sosyal ve politik olayların özel bir sonucudur, kısaca örneklemdir. Mayıs ayının son haftasında gerçekleşen düşüşün ne kadarının FED’in açıklaması, ne kadarının Gezi Parkı olayları ile ilgili olduğunu bilemeyiz. Ancak bu özel durumlardan biri gerçekleşmemiş olsaydı, BİST 100 endeksi, Mayıs ayını farklı bir rakamla kapatabilirdi, dolayısıyla Mayıs ayı BİST

1 Nolte I., Pohlmeier W., ve Voev V., Financial Econometrics, WS 06/07, 2007, s17

2 Bass Richard F.,Stochastic Processes, Cambridge University Press, 2011, s.1

3 Enders W., Applied Econometric Time Series…, s.49-50

4 Box G.E.P ve Jenkins G.M., Time Series Analysis Forecasting and Control, Holdan-Day, USA, 1976, s.21

5 Mills Terence C., Ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series…,s.9

100 için günlük BİST 100 kapanış rakamları rassaldır ve BİST 100 stokastik sürecinin özel bir gerçekleşmesidir.

Finansal varlık fiyatları, zamanla değişir ve bir stokastik süreç oluşturur. Gözlemlenen

fiyatlar, altta yatan stokastik sürecin özel bir gerçekleşmesidir. Stokastik süreç teorisi, gözlemlenen fiyatların analiz edilmesine ve istatistiksel çıkarsama yapılmasına temel oluşturur6.

Bir varlık fiyatlamasının modellenmesi için kullanılabilecek iki tür stokastik süreç vardır. Birincisi kesikli-zaman stokastik süreç olarak isimlendirilir ve bu süreçte fiyat kesikli

zaman noktalarında değişir7. Örnek olarak, BİST endeksinde, Fenerbahçe hissesi için günlük kapanış fiyatı, kesikli zaman stokastik sürecini oluşturur. İkincisi ise zamana göre fiyatın sürekli değiştiği sürekli-zaman stokastik sürecidir. Stokastik sürecin kesikli ve sürekli olma özelliğine göre, stokastik sürecin özel bir gerçekleşmesi zaman serileri de sürekli ya da kesikli olacaktır8.

Eğer gözlemler sürekli zamanda ortaya çıkan gözlemler ise, elde edilen seri sürekli bir zaman

serisidir. Sürekli zaman serileri zamanın her bir anında ortaya çıkan serilerdir. Zaman serisini üreten süreç çoğunlukla sürekli zaman serisi üretse de, gözlemler sürekli zaman serisi

gözlemleri olarak elde edilemez. Eğer gözlemler belli zaman aralıkları ile elde edilmişse ortaya çıkan seri kesikli zaman serisidir9

Yukarıdaki varlık fiyatlama modellemesi ile ilgili iki tür süreç için, fiyat kesikli veya

sürekli olabilir. Sürekli fiyat, herhangi bir pozitif reel sayı olabilir, buna karşın, kesikli fiyat, sayılabilir sayılardır. Bir varlığın fiyatının, sürekli zaman stokastik süreci izlediğini varsayalım. Ancak, fiyatın kendisi, kesikli ise, bu durumda, sürekli zamanda kesikli stokastik süreç söz

konusudur.

2012 Eylül ayı BİST-100 endeksi günlük kapanış rakamları kesikli bir zaman serisidir. Çünkü bu seri, ancak her günün sonundaki rakamlardan elde edilir. Kesikli zaman serilerinin

gözlemleri birbirinden bir zaman aralığı ile ayrılırlar. Bu zaman aralığının uzunluğunu ölçme sıklığı belirler ve kesikli zaman serilerinin ölçülme sıklığına frekans denir.

Kesikli zaman serilerinin çoğunluğu, sürekli zaman serilerinden iki şekilde elde edilir.

Sürekli zaman serilerini çeşitli zaman aralıklarıyla ölçmek suretiyle kesikli zaman serisi gözlemleri elde edilir. Yine BİST-100 endeksini örnek olarak verebiliriz. BİST-100’ü oluşturan

6Rachev S.T., Mittnik S., Fabozzi F.J., Focardi S.M., Jasic T., Financial Econometrics From Basics To Advanced Modeling Techniques…, s.35

7 Box G.E.P ve Jenkins G.M., Time Series Analysis Forecasting and Control.., s.23

8Bass Richard F.,Stochastic Processes…, 2011, s.130-131

9Bertein Jean-Claude, Ceschi Roger, Discrete Stochastic Processes and Optimal Filtering, John Wiley & Sons, 2013,

hisse senetlerinin fiyatları gün boyunca sürekli olarak değiştiği için, endeksin değeri de gün boyunca sürekli bir değişim gösterir. Ancak endeks ile ilgili veriler, her dakika veya her saniye verileri değil, genellikle en yüksek, en düşük ve kapanış fiyatları için hesaplanır ve yorumlanır.

Bazı kesikli zaman serileri, sürekli zaman serilerinin belli zaman aralıkları için birikimli olarak hesaplanması suretiyle elde edilir. Seçilen zaman aralığı için elde edilen birikimli seri, kesikli zamanda bir gözlemi oluşturmaktadır. Birçok iktisadi zaman serisi bu gruba girer. Örneğin üç aylık turizm gelirleri, altı aylık GSMH, yıllık sabit sermaye yatırımları gibi.

Bu bölümde, finansal ekonomi literatüründe sıklıkla görülen, örneğin etkin piyasa hipotezi gibi önemli çalışma alanları ile ilgili olan matematiksel finans geleneğindeki stokastik

süreçler ele alınacaktır10.

Finansal değişkenlerin istatistiksel özellikleri ve stokastik sürecin gelişimindeki iktisadi mantığı açıklamak için, matematiksel finans ve finansal ekonometri arasındaki bağlantılar genel olarak incelenecektir. Aşağıda stokastik süreçlerin tanımları verildikten sonra kısaca özellikleri tartışılacaktır. Bu bölümde kesikli zaman serileri ile sürekli zaman serileri arasında özel bir ayrım yapılmayacaktır, çünkü analiz açısından önemli olan zaman aralığının yeteri kadar küçük

olmasıdır. Bu uygulama somut problemleri tahmin etmemizi daha da kolaylaştırsa da sonuçlar aşağı yukarı aynıdır.

7.2. Durağanlık

Genel olarak tüm zaman serilerinde, özelde ise finansal zaman serisi verilerinin

kullanıldığı analizlerde uygulanan ekonometrik yöntemler, serilerin durağan olduğu varsayımına dayanmaktadır. Granger ve Newbold (1974)11, durağan olmayan zaman serileriyle çalışılması halinde sahte regresyon problemiyle karşılaşılabileceğini göstermişlerdir. Bu durumda geleneksel regresyon analizi ve zaman serilerinin analizinden elde edilen sonuçlar

gerçek ilişkiyi yansıtmaz, yanıltıcıdır12. Böylece, durağanlığın zaman serisi verilerinin kullanıldığı analizlerde köşe taşı olduğu ifadesi abartılı değildir.

10 Detaylı bilgi için bkz. Neftci Salih N., An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, Second Edition, Academic Press, 2000

Neftci Salih N., Principles Of Financial Engineering, Elsevier, 2008

11 Granger C.W.J. ve Newbold P., “Spurious Regressions in Econometrics” Journal Of Econometrics 2, 1974, 111-120.

12 Tsay R.S., Analysis Of Financial Time Series…, s.30

Zaman serisi verilerinin durağan olması, stokastik sürecin { }Y+∞

−∞ durağan olmasına

bağlıdır. Stokastik sürecin durağanlığı istatistiksel denge olarak da yorumlanmaktadır13. Zaman

serisi verisi{ }1

T

t ty

= , bu veriyi üreten stokastik sürecin { }Y+∞

−∞ tek bir gerçekleşmesi olduğu için,

ancak durağan stokastik süreçlerden durağan zaman serisi elde edilir.

Stokastik sürecin, 1 , kt t zaman noktalarındaki gerçekleşmelerinin ortak olasılık dağılım fonksiyonu tek ise, süreç durağandır14. Bu durumda, t zamanındaki ortak olasılık dağılım fonksiyonu ( )1 2, , ,t t ktf y y y ile, s>0 olmak üzere, t+s zamanındaki ortak olasılık

dağılım fonksiyonu ( )1(t ) 2(t ) k(t ), ,S S Sf y y y+ + + aynıdır15.

( ) ( )1 2 1(t ) 2(t ) k(t ), , , , ,t t kt S S Sf y y y f y y y+ + += 7.1

(7.1)’deki koşulu sağlayan stokastik süreç, kesin durağan (tam/katı) süreç ile

adlandırılır. Kesin durağanlık, zaman içerisinde s dönemlik kaymanın stokastik sürecin ortak olasılık dağılım fonksiyonunu değiştirmediğini, dolayısıyla stokastik sürecin zamandan bağımsız olduğunu ifade eder. Bu nedenle iki gözlem arasındaki ilişkiyi etkileyen tek unsur, iki gözlem arasındaki uzaklıktır. Kesin durağanlık, bağımsız ve benzer dağılım (IID) özelliğinden daha zayıftır. Çünkü kesin durağan stokastik süreç, bağımlı olabilir. Kesin durağanlık, finansal ve makro ekonomik veriler de dahil olmak üzere birçok zaman serisi için gerçekleşmesi zor bir

varsayım olup, çoğu zaman mümkün olmamaktadır. Ayrıca kesin durağanlığın tespiti için stokastik sürecin dağılımının bilinmesi gerekir. Uygulamada ise stokastik sürecin her bir zaman noktasındaki tek gerçekleşmesi olan zaman serisi verileri { }1,ty T kullanılmaktadır16.

Bu nedenle zaman serilerinin analizinde, genellikle serinin zayıf durağan (kovaryas

durağan) olduğu varsayılmaktadır. İkinci mertebeden durağanlık17 olarak da bilinen zayıf durağanlık stokastik sürecin sadece ilk iki momentinin zamandan bağımsız olmasını gerektirir. Zaman serisi verisinin { },ty t T ortalaması ile varyansı zaman içinde sabit ve serinin iki değeri

arasındaki ortak varyans (otokovaryans) ortak varyansın hesaplandığı zaman değil de, iki

13Box G.E.P ve Jenkins G.M., Time Series Analysis Forecasting and Control.., s.26

14 Stock James H., ve Watson Mark W., Introduction to Econometrics, 3rd Edt. Pearson, 2012, s.577-578

15 Greene William H., Econometric Analysis, 7th Edt., Pearson Education, 2012, s.913

16 Nolte I., Pohlmeier W., ve Voev V., Financial Econometrics…, s19

17 Mills Terence C., Ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series…, s.10-11

zaman arasındaki uzaklığa bağlı ise, zaman serisi zayıf durağandır18. Diğer bir ifade ile, 𝑦𝑦𝑡𝑡

zaman serisinin tüm değerleri ve her zaman dönemi için aşağıdaki zayıf durağanlık koşullarının gerçekleşmesi halinde 𝑦𝑦𝑡𝑡’nin durağan olduğu ifade edilebilir19:

[ ]tE y µ= < ∞

( )2 20t yE y µ γ σ − = = < ∞ 1, ,t T=

( )( ),t t j t t j t jCov y y E y yµ µ γ− − = − − =

0j >

7. 2

Burada µ zaman serisinin ortalamasını, 2yσ ise varyansını göstermektedir.Yukarıda

da açıkça görülmektedir ki; zayıf durağanlık koşulunda ty serisinin ilk iki momenti koşulsuz

ortalama ve koşulsuz varyans zamandan bağımsız ve sonludur. Buna göre zayıf durağanlık

durumunda, ty ’ye ilişkin 1t T= ’e kadar veriler, zaman içerisinde sabit değer etrafında sabit

bir sapmayla salınım sergilemektedir. Zayıf durağanlık sadece koşulsuz momentler için geçerli

olup, koşullu momentler için geçerli değildir. Zayıf durağan bir sürecin koşullu ortalaması değişebilir. Genel olarak, zaman serisinin istatistiksel özellikleri zaman içinde sabit kalıyorsa, seri durağan bir zaman serisidir.

Yukarıda durağan bir zaman serisinin ortalaması ve varyansının zaman içinde sabit olduğu ifade edildi. Dolayısıyla serinin trendi varsa, durağanlığın sağlanabilmesi için, trendden arındırılmalı, seri mevsimsel dalgalanmalar ve değişen varyans içeriyorsa bunlar da

giderilmelidir.

Durağan süreçlerin diğer bir önemli özelliği, şokların kısa süreli ya da geçici etkiye sahip olmasıdır. Böylece durağan süreçler, ortalamaya dönme eğilimindedir. Bu nedenle durağan süreçler ortalamaya dönen süreçler (mean reversion process) ya da kısa hafızalı süreçler (short memory) olarak da adlandırılmaktadır. Durağan bir sürecin ortalamaya dönüş hızı, ardışık ortak varyansların aldığı değere bağlıdır. Ardışık ortak varyanslar küçükse ortalamaya dönüş hızlı, büyükse ortalamaya dönüş yavaş olacaktır20.


19 Hamilton James D., Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994, s.45-46

Gujarati D.N., ve Porter D.C., Essentials of Econometrics, 4th Edt. McGraw-Hill, 2010, s.381

20 Gujarati D.N., ve Porter D.C., Temel Ekonometri, Çevirenler: Şenesen Ü., ve Göktürk Şenesen G., Literatür Yay.., 2012, s.741

Kesin durağanlık ve zayıf durağanlıktan biri, diğeri olmadan oluşabilir, ikisi bir arada

oluşabilir veya her ikisi de belirli bir zaman serisi için gerçekleşmeyebilir. Ancak, bu iki tip durağanlık birbirleri içinde yuvalanmasalar da birbirleriyle ilişkilidir. Şöyle ki; stokastik süreç

{ }Y+∞

−∞ kesin durağan ve ilk iki momenti sonlu ise, aynı zamanda zayıf durağandır. Ancak bunun

tersi her zaman doğru değildir. Zayıf durağan bir süreç kesin durağan bir süreç olmayabilir.

Ancak, ty zaman serisi normal dağılıyor ise, sürecin dağılımı bilindiği için zayıf durağanlık kesin durağanlığa denktir21. Bir başka örnek, IID Student-t rassal değişkenler dizisidir. İki serbestlik derecesiyle bir IID Student-t rassal değişkenler dizisi kesin durağandır, ancak t’nin

varyansı sonsuz olduğu için kovaryans durağan değildir.

Durağanlık kavramı, iktisadi analiz açısından önemlidir. Gelecekteki ilişkilerin geçmişteki ilişkilere benzerlik göstermesi, geçmiş ilişkilerin kullanılarak gelecek tahminlerinin yapılabilmesine olanak sağlayabilmektedir. Böylece uygulamada zayıf durağanlık varsayımı, geleceğin öngörülmesi amacıyla çıkarımların yapılabilmesine imkân verir. Finansal ekonometrinin gelişiminden önce, uygulamalı çalışmalarda kullanılan bir zaman serisinin durağan, bağımsız, benzer ve normal dağıldığı varsayımının geçerli olduğu kabul

21 Tsay R.S., Analysis Of Financial Time Series…, s.30

Şekil-7.1 Durağan Bir Sürecin Grafiği

edilmekteydi22. Ancak günümüzde finansal zaman serilerinin kullanıldığı çalışmalarda, analize başlamadan önce bu serilerin bağımsız ve özdeş olmama, normal dağılmama ve durağan-dışı bir süreç izleme olasılıkları göz önünde bulundurulmaktadır. Finansal zaman serilerine yönelik uygulamalı çalışmalarda, genellikle finansal varlık getirilerinin zayıf durağan olduğu varsayılmaktadır. Uygulamada ekonomik ve finansal zaman serilerinin çoğu trende sahiptir. Bu durum, durağan olmamanın işareti sayılmaktadır. Bu kitapta yapılan analizlerde zayıf durağanlık varsayımı kullanılmıştır.

7.3. Temiz Dizi (White Noise)

Durağan sürecin en bilineni ve en basiti temiz dizi sürecidir23. Temiz dizi, durağan

sürecin ( ) 0tE Y = için özel bir örneğini teşkil etmektedir. tY stokastik sürecinin24;

( ) 0tE Y =

2 2( )tE Y σ=

1, ,t T=

7. 3

( ) ( ), , 0t t j t t jCov Y Y E Y Y− −= = i j≠

ortalaması sıfır, varyansı sabit ve gözlemleri ardışık olarak ilişkisiz ( otokovaryansları sıfır) ise,

tY stokastik süreci temiz dizi sürecidir25. Bu durum zaman serisinin trend ve mevsimsel

bileşenleri ihtiva etmediğini ve gözlemler arasında bağımlılığın olmadığını gösterir.

(3.5)’ten açıkça görülmektedir ki, temiz dizi süreci ortalama, varyans ve otokovaryansların hepsinin sonlu ve zamandan bağımsız olması nedeniyle, zayıf durağandır. Ancak bu özellikler kesin durağan olmasını garanti etmez. İlgili özellikler sadece ilk iki momentin zamandan bağımsız olmasını garanti etmektedir. Ancak temiz dizi, sıfır ortalama ve sabit varyansla normal dağılan bağımsız rassal değişkenler dizisi ise, süreç Gaussian temiz

22 Detaylı bilgi için bkz. Pagan Adrian, “The Econometrics Of Financial Markets”, Journal Of Empirical Finance, Volume 3, Issue 1, May 1996, ss. 15-102,


24 Nolte I., Pohlmeier W., ve Voev V., Financial Econometrics…, s.20

25 Tsay R.S., Analysis Of Financial Time Series…., s.36

dizi süreci26 ile adlandırılır ve dağılım bilindiğine göre temiz dizi süreci kesin durağandır. Gaussian temiz dizi süreci27, aşağıdaki gibi gösterilir.

( )20,tY IIN σ 7. 4

Olasılık yoğunluk fonksiyonu ise (7.5)’deki gibidir.

( ) ( )2 221

2

y

nf y eσ

σ π−

= 7. 5

Gaussian temiz dizinin bağımsız rassal değişkenler dizisi, çoklu normal dağılıma ve

dizideki herhangi iki değişken arasında sıfır ortak varyansa sahiptir, ( , ) 0i jCov y y = her i j≠

için. Gaussian süreç, temiz dizi sürecidir, çünkü frekans bölgesindeki her frekans eşit büyüklüğe sahiptir veya her renkte eşit bileşene sahiptir. Güneş ışığı gibi, eşit renk bileşenlerine sahip ışığın beyaz olduğu bilinmektedir28.

Temiz dizi sürecinin teorik dağılım yapısının bilinip-bilinmediği önemlidir. Bu sebeple, normal dağılım, temiz dizi sürecinin sergileyebileceği dağılımlardan sadece biridir. Temiz dizi özelliğinde bir serinin otokorelasyon katsayılarının tamamı sıfırdır. Aslında (3.5) nolu denklem sisteminde otokovaryansların sıfır olması, otokorelasyonun da sıfır olduğu anlamına

gelmektedir29. Çünkü bilindiği üzere i. otokorelasyon katsayısı 0i iρ γ γ= eşitliğinden

hesaplanmaktadır30. Otokovaryans 0iγ = ise, otokorelasyonun da sıfır olacağı açıktır31.

26 Wang Peijie, Financial Econometrics,…, s.6


28Wang Peijie, Financial Econometrics,…, s.6

29 Tesadüfi (rassal) iki değişken istatistiksel olarak bağımsızsa aralarındaki ortak varyans sıfırdır. Ancak ortak varyansın sıfır olması istatistiksel bağımsızlık anlamına gelmemektedir. İstatistiksel bağımsızlık için, marjinal olasılıkların çarpımının ortak olasılığa eşit olması gerekir.

30 Mills Terence C., Ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series…, s.2-14


Örnek 7.1

Hata terimi süreci { }tε temiz dizi sürecine (

2(0, )t IIDε σ ) örnek teşkil etmektedir. Buna göre aşağıda

verilen modelin özelliklerini inceleyelim.

t ty ε= , 2(0, )t IIDε σ

Burada tε , temiz dizi özelliklerine sahiptir ve şok (veya

yenilik) olarak adlandırılmaktadır. tε sürecinin ortalama, varyans

ve ortak varyansı aşağıdaki gibidir.

( )( ) 2

0

0

( , ) 0 0

t

t

t t j j

E

Var

Cov j

ε

ε γ σε ε γ−

=

= =

= = ≠

Yukarıdaki sonuçlara göre, tε stokastik sürecinin tüm

gözlemler için ortalamasının sıfır, varyansının sabit ( 2σ ),

otokovaryansının sıfır olduğu görülmektedir. Dolayısıyla tε ,

temiz dizi süreci özelliğine sahip stokastik süreçtir.

Bu kitap boyunca, temiz dizi özelliklerine sahip hata terimi serisi (ε ) saf hata terimi

olarak tanımlanacaktır.

Uygulamalar



Bu bölümde finansal serilerin oluşum mekanizmaları üzerinde teorik bilgi verilmiştir.

Bölüm Soruları

1) Stokastik süreç ile zaman serisi arasındaki iliş aşağıdakilerden hangisine benzetilmektedir?

a) Anakütle-Örnek

b) Anakütle-Yığın

c) Anakütle-Deterministik Trend

d) Anakütle-Kısmi Otokorelasyon

e) Kovaryans-Korelasyon

2) Kesikli zaman serilerinin ölçülme sıklığına ne denilmektedir?bir değişkene ilişkin zaman serisi verileri arasındaki birlikte değişimin ölçüsünü vermektedir?

a) Varyans

b) Ortalama

c) Beklenen Değer

d) Otokorelasyon

e) Frekans

3) Bir finansal varlığın getirisi (yt) zayıf durağan olduğu biliniyor ise aşağıdaki koşullardan hangisini sağlamaktadır?

a) [ ]( )2 2

0

t t

t y

E y

E y

µ

µ γ σ

=

− = = < ∞

b) ( )( ),t t j t t j t jCov y y E y yµ µ γ− − = − − =

c) ( )2 20t yE y µ γ σ − = = < ∞

d) [ ]

,

t t

t t j t

E y

Cov y y

µ

γ−

=

=

e)

[ ]( )

( )( )

2 20

,

t

t y

t t j t t j t j

E y

E y

Cov y y E y y

µ

µ γ σ

µ µ γ− −

= < ∞

− = = < ∞ = − − =

Cevaplar

1)A, 2) E, 3) E

ÖNSÖZ












İÇİNDEKİLER ............................................................................................................................................. 6

YAZAR NOTU ............................................................................................................................................ 7

8. STOKASTİK SÜREÇLER ve ÖZELLİKLERİ-II ............................................................................................. 8

8.1. Rassal Yürüyüş Süreci ........................................................................................................ 9

8.1.1. Pür Rassal Yürüyüş Süreci ............................................................................................. 10

8.1.2. Kayan Rassal Yürüyüş Süreci ........................................................................................ 15

8.1.3. Deterministik Trendli Kayan Rassal Yürüyüş Süreci ................................................... 18

YAZAR NOTU



8. STOKASTİK SÜREÇLER ve ÖZELLİKLERİ-II

8.1. Rassal Yürüyüş Süreci

Rassal yürüyüş (random walk1) süreci, finansal zaman serilerinin ampirik analizinde

önemli rol oynamaktadır2. Finansal zaman serilerinin birçoğu hisse senedi fiyatları, finansal varlık getirileri, döviz kurları v.b. rassal yürüyüş sürecine örnek teşkil etmektedir ve bu değişkenler belli bir yönü olmayan hareketler sergilemektedirler. Rassal yürüyüş süreci, durağan olmayan sürecin diğer bir ifadeyle birim kök sürecinin önemli bir örneğini teşkil etmektedir3.

Etkin Piyasa Hipotezi (Efficent Market Hypothesis4) hisse senedi fiyat hareketlerinin

rassal olduğu hipotezine dayanmaktadır. Aksi takdirde hisse senedi fiyatlarının geçmiş dönemdeki hareketlerinden, geleceği öngörmek mümkün hale gelecek ve aşırı kârlar söz konusu olabilecektir5.

[ ]tE Y < ∞ olmak üzere, bağımsız ve benzer dağılan (IID) ( )1, ,tY t T= değişkenler

dizisinin toplamı rassal yürüyüş sergiler. Böylece rassal yürüyüş, kısaca aşağıdaki gibi ifade edilmektedir.

1

T

T tt

S Y=

= ∑ 8. 1

TS , rassal yürüyüş olarak adlandırılır. tY , sadece -1 ve +1 değerlerini alırsa ve

{ }1tP Y p= = , { }1 1tP Y p= − = − ise, süreç Bernoulli rassal yürüyüş sürecidir. Eğer

1 1 2p p= − = ise, süreç basit rassal yürüyüş sürecidir6. Rassal yürüyüş süreçlerinin çeşit ve özellikleri aşağıda verilmiştir.

1Wang Peijie, Financial Econometrics,…, s.6-7

2 Mills Terence C., Ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series…, s.153

3 Gujarati D.N., ve Porter D.C., Temel Ekonometri.., s.744

4 Fama Eugene F., "Efficient Capital Markets: A Review Of Theory and Empirical Work" The Journal of Finance, Volume 25, Issue 2, May 1970, ss. 383–417,

5Detaylı bilgi için bkz. Granger C.W.J., Morgenstern O., Predictability of Stock Market Prices, Heath Lexington Books, 1970

6 Wang Peijie, Financial Econometrics,…, s.6-7

8.1.1. Pür Rassal Yürüyüş Süreci

Sabitli ya da sabit terimsiz rassal yürüyüş süreci, durağan olmayan süreçlerin en basitleridir. Sabit parametresi olmayan pür rassal süreç aşağıdaki gibi ifade edilmektedir7.

1t t ty y ε−= +

2(0, )t IIDε σ

8. 2

(8.9) nolu eşitlikte y nin cari dönemdeki değeri, kendisinin bir dönem önceki değerine ve rassal bir şoka bağlıdır8.

Pür rassal yürüyüş modeli9, Bölüm-5’te ele alınacak AR(1) modelinin (

0 1 1t t ty yφ φ ε−= + + ), 0 0φ = ve 1 1φ = için özel halidir. AR(1) modelinin zayıf durağanlığı

1 1φ < şartına bağlıdır10. Buna göre 1ty − ’in katsayısı 1 1φ = ise, AR(1) modeli için zayıf

durağanlık özelliği geçerli değildir. Böylece rassal yürüyüş süreci durağan olmayıp, birim kök sürecidir11.

Buna göre;

1t t ty y ε−= + ‘de

1t = için 1 0 1y y ε= +

2t = için 2 1 2y y ε= + = 0 1y ε+ 2ε+

3t = için 3 2 3y y ε= + = 0 1y ε+ 2ε+ 3ε+

‘de, 0y başlangıç yılı değerini ifade etmek üzere, süreç aşağıdaki gibi formüle edilebilir12.


8 Tsay R.S., Analysis Of Financial Time Series…., s.72-73



11 Wei W.W.S., Time Series Analysis, Univariate and Multivariate Methods, 2nd. Edt. Pearson, 2006, s.73

12 Hill R. Carter, Griffiths William E.,. Lim. Guay C., Principles of Econometrics, John Wiley & Sons, 4th ed. 2011, s.478

0

1

T

t tt

y y ε=

= +∑ 8. 3

(8.10)’da rassal yürüyüş modeli13, başlangıç değeri 0y ile geçmiş dönem hata

terimlerinin 1

T

ttε

=∑ toplamı olmak üzere iki bileşeni vardır. İkinci bileşen genellikle stokastik

trend14 olarak adlandırılır. Zaman serisinin önceden tahmin edilemeyen doğrultulara yönelmesinin nedeni olan, her 𝑡𝑡 döneminde stokastik hata terimi tε ’nin eklenmesidir. ty süreci,

negatif şok dizisi 0tε < tarafından takip edilen pozitif şok dizisine 0tε > maruz kalması

halinde, ty önce yukarı daha sonra ise aşağı yönlü bir harekete sahip olacaktır15.

(8.10)’nun durağanlığı için istatistiksel özelliklerinin incelenmesi gerekir. Öncelikle eşitliğin beklenen değerini alalım.

( )0 0

1 1

( )T T

t t tt t

E y E y E y Eε ε= =

= + = +

∑ ∑

Sabit bir sayının beklenen değeri kendisine eşit ( )0 0E y y= ve saf hata sürecinin ( tε )

gözlemler itibariyle beklenen değerinin sıfıra eşit ( ( ) ( ) ( )1 2 0TE E Eε ε ε= = = = ) olması

özelliklerinden, ty ’nin beklenen değeri16,

( ) 0tE y y=

sabit terime eşittir. Buna göre, pür rassal sürecin ortalaması sabit olup, zamandan bağımsızdır17.

Ancak serinin geçmişi, cari dönemdeki ortalamasıyı etkilemektedir.

(8.2)’nun varyansını ele alacak olursak,

( )2( ) ( )t t tVar y E y E y= − 8. 4


14Detaylı bilgi için bkz. Tsay R.S., Analysis Of Financial Time Series…., s.72-73

15Hill R. Carter, Griffiths William E.,. Lim. Guay C., Principles of Econometrics…,s.480


17 Nolte I., Pohlmeier W., ve Voev V., Financial Econometrics…, s.32-33

01

T

t tt

y y ε=

= +∑ ve ( ) 0tE y y= eşitlikleri bilindiğine göre, bu eşitlikleri (8.2) nolu

denklemde yerine koyalım18. Buradan hareketle

2

0 01

( )T

t tt

Var y E y yε=

= + −

∑

( ) ( ) ( )2

2 2 2

1 21

( ) ....T

t t Tt

Var y E E E Eε ε ε ε=

= = + + +

∑ 8. 3

sonucuna ulaşılır.

(8.3)’de saf hata sürecinin ( tε ) varyansının gözlemler itibariyle sabit ve 2σ ’e eşit olduğu

bilindiğine göre ( 2( )tVar ε σ= ), ty ’nin varyansı aşağıdaki gibi yazılabilir:

2( )tVar y tσ= 8. 4

Görüldüğü üzere pür rassal yürüyüş, başlangıç değerine eşit bir ortalamaya ve zamanla artan, nihayetinde sonsuz değerini alan bir varyansa sahiptir. Ortalamanın sabit olmasına karşın, artan varyans, serinin ortalamaya dönmediğini ve böylece farklı zaman dönemleri için elde

edilen ortalamaların aynı olmayacağını ifade eder. Bu durumda şoklar kalıcıdır (permanent),

bu nedenle pür rassal yürüyüş süreçlerine sonsuz hafıza süreç (long memory process) olarak

adlandırılır19.

Bu bağlamda rassal yürüyüş modeli, hisse senedi logaritmik fiyat hareketleri için bir

istatistiksel model ( 1t t tp p ε−= + ) olarak yaygın biçimde kullanılmaktadır.


19 Detaylı bilgi için bkz. Greene William H., Econometric Analysis…, s.946

Rassal yürüyüş ile modellenen hisse senedi fiyatları öngörülemez ve ortalamaya dönmez. Öngörülemezliği göstermek için, öngörü başlangıç zamanı h için, modelin 1-dönem

ileri öngörüsü aşağıdaki gibi gösterilebilir20:

( )1 1ˆ (1) , ,h h h h hp E p p p p+ −= = 8. 5

Hisse senedinin logaritmik fiyat öngörüsü, başlangıç noktasındaki değere eşittir. Modelin 2-dönem ileri öngörüsü ise aşağıdaki gibidir,

( ) ( )( )

2 1 1 2 1

1 1

ˆ (2) , , , ,

ˆ, , (1)

h h h h h h h h

h h h h h

p E p p p E p p p

E p p p p p

ε+ − + + −

+ −

= = +

= = =

8. 6

8.6’dan elde edilen sonuca göre iki dönem ilerisi için öngörü yine başlangıç noktasındaki değere eşittir. Böylece 0> için, öngörü modelini aşağıdaki gibi genelleştirmek mümkündür:

( )ˆh hp ρ=

8. 7

Sonuç olarak bütün öngörü dönemleri için rassal, yürüyüş sürecinin sonraki dönem nokta öngörüleri, serilerin başlangıç noktasındaki değerine eşittir. Bu sebeple, süreç ortalamaya dönmez.


Şekil-8.1 Pür Rassal Yürüyüş Süreci

Rassal yürüyüş sürecinin MA gösterimi aşağıdaki gibidir:

1 2t t t tp ε ε ε− −= + + + 8. 8

Bu gösterimde, temel olarak üç önemli sonuca ulaşılabilir21, bu sonuçlardan

Birincisi, -adım ileri öngörü hatası aşağıdaki gibidir,

( ) 1h h he ε ε+ += + +

8. 9

Varyans, ( ) 2hVar e εσ= ’ eşit olup, →∞ iken varyans sonsuza yakınsar. hp +

’nin aralık öngörü uzunluğu, öngörü ufku arttıkça sonsuza yaklaşır. Bu sonuç, , arttıkça, nokta tahminin ( )ˆhp kullanışlılığının azalacağı anlamına gelmekte ve bu modelin öngörülemez

olduğunu göstermektedir.

İkincisi, tp ’nin koşulsuz varyansı ( )hVar e , arttıkça, sonsuza yaklaşacağı için

sınırsızdır. Teorik olarak bu durum yeterince büyük bir t için tp ’nin, herhangi bir reel sayı

olabileceği anlamına gelir. Bir hissenin logaritmik fiyatı tp için, bu mantıklıdır. Ancak piyasa

endeksleri için, negatif logaritmik fiyatın gerçekleşmesi çok zordur. Bu anlamda, piyasa için bir rassal yürüyüş modelinin yeterliliği sorgulanabilir.

Üçüncüsü, bu gösterimden hareketle, tüm i’ler için, 1iψ = ’dir. Böylece, herhangi

geçmiş bir şokun t iε − , tp üzerindeki etkisi zamanla azalmayacaktır.

Sonuç olarak bu seriler üzerinde tüm geçmiş şokların etkisi devam ettiği için güçlü bir hafızaya sahiptirler. İktisatta, bu şokların seriler üzerinde kalıcı etkiye sahip olduğu söylenir. Birim köklü zaman serilerinin güçlü hafızası, sonraki bölümlerde detaylı olarak incelenecek olan örnek otokorelasyon fonksiyonundan (ACF) hareketle görülebilir. Örnek ACF’leri, örnek

boyutu arttıkça 1’e yaklaşır.

Örnek 8.1

Yukarıda da bahsedildiği üzere, rassal yürüyüş modeli hisse senedi fiyat (logaritmik) hareketlerinin modellenmesi için yaygın biçimde kullanılmaktadır. Hisse senedi fiyatlarının rassal yürüyüş modeli;

1t t tp p ε−= + 2(0, )t IIDε σ


ile gösterilir. Hisse senedinin t tarihindeki fiyatının logaritması tp

, halka arz fiyatının logaritması ise 0p ile gösterilir. { }tε saf hata

sürecidir. tε , sıfır etrafında simetrik dağılıyorsa, tp ’nin aşağı veya yukarı doğru hareket etme ihtimali %50-%50 dir. Bu da tp ’nin

hareketinin rassal olduğunun açık bir göstergesidir. Rassal yürüyüş varsayımı altında, hisse senedi fiyatları ortalamaya dönmeyen veya öngörülebilir olmayan süreçlerdir.

8.1.2. Kayan Rassal Yürüyüş Süreci

Kayan rassal süreç, sabitli (sürükleyici) rassal süreç olarak da adlandırılmakta ve aşağıdaki gibi gösterilmektedir22.

1t t ty yµ ε−= + + , 2(0, )t IIDε σ 8. 10

1t t ty y µ ε−− = +

‘den hareketle

t ty µ ε∆ = + elde edilir. Kayan rassal yürüyüş süreci23, pür rassal yürüyüş sürecinden farklı olarak zamanla

değişim gösteren bir sabit ( µ ) içerir. Diğer bir ifadeyle, y’nin cari dönem değeri ( ty ), kendisinin

bir dönem önceki değeri ( 1ty − ) ve saf hata teriminin ( tε ) yanı sıra, zamanla değişen µ sabit

değerine de bağlıdır. µ ’nun alacağı değerin pozitif veya negatif oluşuna göre ty , aşağı veya

yukarıya doğru sürüklenecektir. Bu durum aşağıdaki şekilde açıklanabilir:

1t t ty yµ ε−= + + ‘den

1t = için 1 0 1y yµ ε= + +

2t = için 2 1 2y y ε= + = 0 1( )yµ µ ε+ + + 2ε+

3t = için 3 2 3y y ε= + = 0 1( yµ µ µ ε+ + + + 2ε+ ) 3ε+


23 Mills Terence C., Ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series…, s.42

01

T

t tt

y t yµ ε=

= + +∑ 8. 11

0y yine başlangıç yılı değerini ifade etmek üzere, süreç genel olarak (8.11) gibi formüle

edilebilir24.

Sürecin ortalamasını elde etmek için, her iki tarafın beklenen değeri alınırsa,

( ) ( )0 01 1

( )T T

t t tt t

E y E t y E t E y Eµ ε µ ε= =

= + + = + +

∑ ∑

0( )tE y t yµ== + 8. 12

eşitliğine ulaşılır. (8.12)’de görülebileceği gibi, ty nin ortalaması zamana göre değişmektedir.

ty , µ ’nün işaretine bağlı olarak her dönem sabit miktarda aşağı ya da yukarı doğru kayar.

Sürecin varyansı aşağıdaki gibi elde edilir25,

( )2( ) ( )t t tVar y E y E y= −

( )2

0 01

( )T

t tt

Var y E t y t yµ ε µ=

= + + − +

∑

( ) ( ) ( )2

2 2 2

1 21

( )T

t t Tt

Var y E E E Eε ε ε ε=

= = + + + ∑

2( )tVar y tσ= 8. 131

(8.13)’de ty ’nin varyansının da zamana bağlı olarak değiştiği görülmektedir. Kısaca kayan rassal sürecin hem ortalaması hem de varyansı zamana bağlı olarak değişmektedir.


25Tsay R.S., Analysis Of Financial Time Series…., s.73-74

Mills Terence C., Ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series…, s.42

Kayan rassal yürüyüş modeli, finansal piyasalarda fiyatların modellemesinde kullanılabilmektedir. Piyasa endekslerinin log fiyat serileri, küçük ve pozitif ortalamaya sahip olma eğilimindedir. Bu yönüyle logaritmik fiyat, aşağıdaki gibi kayan rassal yürüyüş modeli ile gösterilebilir26.

1t t tp pµ ε−= + + 8. 14

Burada modelin ortalaması ( )1t tE p pµ −= − olup, modelin hata terimi tε , saf hata

terimi özelliklerine sahiptir27. Modelin sabit parametresi ( µ ) finansal çalışmalarda önemli rol

oynamaktadır. Modelin sabit parametresi (µ ), log fiyatın ( tp ) zaman trendini (genel eğilimi)

temsil eder ve genelde modelin zamana bağlı olan bileşenidir. Başlangıç logaritmik fiyatının

0p olduğunu kabul edilirse, yerine koyma işlemi ile (8.15)’teki model elde edilecektir28:

1 0 1p pµ ε= + +

2 1 2 0 2 12p p pµ ε µ ε ε= + + = + + +

8. 15

0 1 1t t tp t pµ ε ε ε−= + + + + +




Şekil-8.2 Kayan Rassal Yürüyüş Süreci

(8.15)’teki denklem, logaritmik fiyatın ( tp ), zaman trendi ( tµ ) ve pür rassal yürüyüş

sürecinden1

t

iiε

=∑ oluştuğunu göstermektedir. tp ’nin varyansı, ( ) 2

1var

t

iitε σ

==∑ olup

burada, 2εσ , iε ’nin varyansı olduğu için, tp ’nin koşullu standart dağılımı atσ eşit olacak, tp

’nin koşullu beklentisinden daha yavaş artış göstecektir. Dolayısıyla, tp ’nin zaman grafiğinde,

tp , µ eğimi ile zaman trendine sahiptir. Pozitif bir eğim (µ ), logaritmik fiyatın nihayetinde,

sonsuza gideceğini gösterir. Buna karşın, negatif bir eğim ( µ ), logaritmik fiyatın, t arttıkça -∞’a yakınsayacağını göstermektedir.

Örnek 8.3

Fiyat serileri üzerinde, zamana bağlı değişen sabit parametrenin etkisini göstermek için, bir firmanın aylık log hisse senedi getirilerini göz önüne alalım, seriye ait modelin aşağıdaki gibi elde edildiğini varsayalım,

ˆ0.0103 ve 0.0637t tr ε σ= + =

Burada 0.0103, tr ’nin örnek ortalaması olup, standart

hatası, 0.0023’tür. Bu durumda, ortalamanın t istatistik değeri, 4.48 olup %1 anlam düzeyinde istatistiksel olarak anlamlıdır.

Küçük örneklerde, bir rassal yürüyüş süreci ile sabitli rassal yürüyüş sürecini ayırt etmek her zaman kolay değildir. Sabitin mutlak değerinin küçük olması veya şokun büyük bir varyanslı olması, sabitli rassal yürüyüş sürecinin uzun dönem özelliklerini maskeleyebilir.

8.1.3. Deterministik Trendli Kayan Rassal Yürüyüş Süreci

Deterministik trendli kayan rassal süreç aşağıdaki gibi ifade edilmektedir29.

29 Tsay R.S., Analysis Of Financial Time Series…., s.75

1t t ty y tµ β ε−= + + +

2(0, )t IIDε σ

8. 16

Bilindiği üzere trend zaman serilerinde görülen yavaş ve uzun dönemli gelişmeler kısaca genel eğilimdir. Deterministik trendli kayan rassal yürüyüş süreci genel olarak aşağıdaki gibi yazılmaktadır30.

01

T

t tt

y t y tµ β ε=

= + + +∑

Sürecin ortalaması ve varyansı;

0( )tE y t y tµ β= + + 8. 17

2( )tVar y tσ= 8. 18

eşitliklerinden hesaplanır. (8.17) ve (8.18)’ye göre, trendli kayan rassal sürecin ortalaması ve varyansı zamana bağlı olarak değişmektedir. Dolayısıyla durağan olmayan bir süreçtir.


Şekil-8.3 Deterministik Trendli Kayan Rassal Yürüyüş Süreci

Uygulamalar


Bölüm Soruları

1) Aşağıdaki gibi verilmiş olan pür rassal yürüyüş sürecinin

( 0 1 1

1 1t t tr rφ φ εφ

−= + +

=)

beklenen değeri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

(Not: ( )20,t IIDε σ )

a) ( ) 0tE y y=

b) ( ) 1tE y y=

c) ( ) 2tE y y=

d) ( ) 3tE y y=

e) ( ) 4tE y y=

Cevaplar

1)A,

ÖNSÖZ












İÇİNDEKİLER ............................................................................................................................................. 6

YAZAR NOTU ............................................................................................................................................ 7

9. Doğrusal Zaman Serileri-I .................................................................................................................... 8

9.1. DOĞRUSAL ZAMAN SERİLERİ ..................................................................................... 9

9.1. Doğrusal Zaman Serisi ........................................................................................................ 9

9.2. Otoregresif (AR) Süreçler ................................................................................................. 11

9.2.1. Otoregresif Sürecin Özellikleri ..................................................................................... 13

9.2.1.1. AR(1) Sürecinin Özellikleri ........................................................................................ 13

YAZAR NOTU



9. Doğrusal Zaman Serileri-I

9.1. DOĞRUSAL ZAMAN SERİLERİ

Finansal zaman serilerinin modellenmesi ve analizi ile piyasa değişkenlerinin gelecekte alacağı değerlerin öngörüsü kantitatif finansın önemli konularından biridir. Finansal serilerin öngörüsünde doğrusal tek denklemli modellerin oldukça başarılı sonuçlar verdiği bilinmektedir1. Bu bölümde öncelikle doğrusal zaman serisi ve genel özellikleri tanıtılacak ve doğrusal zaman serisi modellerinden otoregresif modeller (AR), hareketli ortalamalar modeli (MA), otoregresif hareketli ortalamalar modeli (ARMA) bütünleşik hareketli ortalamalar modelinin (ARIMA) istatistiksel özellikleri tanıtılacak ve nihayet modellerin derecesinin belirlenmesi, parametrelerinin tahmini ve öngörü üzerinde durulacaktır.

9.1. Doğrusal Zaman Serisi

Logaritmik getirilerin ( tr ) zaman serisi, aşağıdaki gibi ifade edilebilir ise, tr doğrusal

bir zaman serisidir2.

0t i t i

ir µ ψ ε

∞

−=

= + ∑ 9.1

(9.1)’de yer alan µ , tr ’nin ortalamasıdır. Doğrusal bir zaman serisi için tr ’nin dinamik

yapısı, tr ’nin ağırlıkları olarak adlandırılan iψ katsayıları tarafından belirlenir ve i=0 için,

0 1ψ = dir. { }tε , ortalaması sıfır , varyansı sabit IID dağılan rassal değişkenler dizisidir.

( ) 0tE ε = , ( ) 2tVar ε σ=

Kısaca { }tε , saf hata sürecidir. t zamanındaki yeni bilgiye işaret etmekte olan hata

terimi tε , daha önce olduğu gibi şok (veya yenilik) olarak adlandırılmaktadır. tr ’nin (9.1)’deki

hata terimleriyle gösterimi, Wold ayrıştırması (Wold decomposition) olarak

adlandırılmaktadır3. (9.1)’deki sonsuz serilerin limiti, 0qi i t iψ ε= −∑ ile gösterilirse, (9.1)

aşağıdaki gibi yazılabilir.

1 1 1t t t q t qr µ ε ψ ε ψ ε− − −= + + + + 9.2

1Brooks C., Introductory Econometrics For Finance, Second Edition, Cambridge University Press, 2008, s.206-207

2 Tsay R.S., Analysis Of Financial Time Series, Third Edition, John Wiley & Sons, 2010, s.36

3 Brooks C., Introductory Econometrics For Finance…, s.217-218

q →∞ iken , (9.1) ve (9.2) arasındaki farkların karelerinin beklenen değeri sıfıra yakınsar. (9.2)’de yer alan model, q. dereceden hareketli ortalamalar sürecidir.

Eğer tr zayıf durağan4 ise, { }tε sürecinin bağımsızlık özelliği de kullanılarak5, tr ’nin

ortalama ve varyansı aşağıdaki gibidir6.

( )tE r µ= 9.3

( ) 2 2

0t i

iVar r σ ψ

∞

== ∑ 9.4

(9.4) nolu tr ’nin varyans denkleminde yer alan 2σ , hata teriminin ( tε ) varyansıdır.

( )tVar r < ∞ olduğu için, { }2iψ yakınsak bir dizi olmalıdır. Diğer bir ifade ile, i →∞ iken,

2 0iψ → ’dır. Bu özellik, durağan bir seride, i artarken uzak bir şokun t iε − , cari dönem getirisi

( tr ) üzerindeki etkisinin azalacağı anlamına gelmektedir.

tr ’nin gecikme için otokovaryansı7 aşağıdaki gibidir.

( ) ( )0 0

,t t i t i j t ji j

Cov r r Eγ ψ ε ψ ε∞ ∞

− − − −= =

= = ∑ ∑

( ), 0

,t t i j t i t ji j

Cov r r Eγ ψψ ε ε∞

− − − −=

= = ∑

( ) ( )2

0,t t j t j

jCov r r Eγ ψ ψ ε

∞

− + − −=

= = ∑

( ),t tCov r rγ −= = 2

0j

jσ ψ ψ

∞

+=

= ∑ 9.9

Son olarak, ψ ağırlıkları ile tr ’nin otokorelasyonları arasındaki ilişki aşağıdaki

gibidir8.



6 Tsay R.S., Analysis Of Financial Time Series…,s.36

Hamilton, J.D., Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994, s.46



0

200 1

i j

i i

ψ ψγργ ψ

∞= +

∞=

∑= =

+ ∑

, 0≥ 9.6

Doğrusal zaman serileri modelleri, tr nin ψ ağırlıklarını betimlemek için kullanılan

ekonometrik ve istatistik modellerdir. Zayıf durağan bir zaman serisinde i →∞ iken 0iψ →

özelliğinden dolayı, artarken ρ sıfıra yakınsayacaktır9. Finansal varlık getirileri açısından

değerlendirildiğinde, bu durum geriye doğru gittikçe uzak geçmiş getiriler ( tr− ) ile cari dönem

getirisi ( tr ) arasındaki doğrusal bağımlılığın azalacağı anlamına gelir10.

Finansal zaman serileri doğrusallık özelliği açısından incelendiğinde, bütün finansal

zaman serilerinin doğrusal olmadığı görülür. Bu tür modellerin doğrusal dışılık ve doğrusal olmayan modeller çerçevesinde incelenmesi gerekir.

9.2. Otoregresif (AR) Süreçler

Yule (1927)11 tarafından literatüre kazandırılan otoregresif modeller, uygulamada sıkça kullanılan enflasyon ve hisse senedi getirilerinin öngörülmesi gibi konular başta olmak üzere, finansal zaman serileri ile ilgili analizlerde önemli yere sahiptir. Otoregresif modelde (AR) 12

sadece tek bir değişken yer almaktadır. Bu değişkenin cari dönem değeri, aynı değişkenin geçmiş dönem değerleri ile şok veya yenilikleri ifade eden saf hata teriminin doğrusal bir fonksiyonudur.

Örneğin, hisse senedinin getirisi ile ilgili öngörüde bulunmak istenildiğinde, hisse senedinin en yakın geçmişteki getiri değerleri yol göstericidir. Hisse senedi getirisinin geçmiş dönem değerlerine dayalı öngörüler, momentum öngörüler olarak da adlandırılmaktadır. Eğer hisse senedinin değeri cari dönemde yükselmişse muhtemelen momentum söz konusudur ve gelecek ay da yükseleceği sonucunu çıkarmak mümkündür. Bu durumda getiriler kendi aralarında ilişkili olacağından, getirinin modellenmesi için otoregresif modellerin kullanılması



11 Yule, G. Udny "On a Method of Investigating Periodicities in Disturbed Series, with Special Reference to Wolfer's Sunspot Numbers", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Ser. A, Vol. 226, 1927, ss.267–298.

Detaylı bilgi için bkz. Klein Judy L. Statistical Visions in Time: A History of Time Series Analysis, 1662-1938, Cambridge University Press, 1997


uygundur13. Böylece, örneğin bir dönem gecikmeli otokorelasyon katsayısı istatistiksel olarak anlamlıysa, bir dönem önceki hisse senedi getirisi ( 1tr− ), cari dönem getirisinin ( tr )

öngörüsünde yararlı olacaktır. Bu ilişkiyi (9.7)’deki basit bir modelle göstermek mümkündür14.

0 1 1t t tr rφ φ ε−= + + 9.7

(9.7)’de verilen model, zaman serileri literatüründe 1. dereceden otoregresif model

olarak bilinmekte ve kısaca AR(1) ile gösterilmektedir. Modelde yer alan unsurlardan tε ’nin,

sıfır ortalama ve sabit varyansla bağımsız ve normal dağılabilen saf hata süreci özelliğine sahip bir seri olduğu varsayılmaktadır. İlave bir özellik, tε ’nin koşullu varyansının da sıfır olmasıdır

( ( )1 0t tE ε− = )15 .

(9.7)’de verilen AR(1) model, tr ’ nin bağımlı değişken 1tr− ’in açıklayıcı değişkeni

ifade ettiği basit doğrusal regresyon modelinin çok sayıda özelliğine sahip olmakla birlikte, iki model arasında önemli farklılıklar da mevcuttur. AR(1) modelinde tr yerine log volatiliteye

yer verilerek oluşturulan bu basit model stokastik volatilite modellemesinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Geçmiş dönem getiri 1tr− koşuluna bağlı olarak, AR(1) modelinin ortalama ve varyansı

aşağıdaki gibi gösterilir16.

( )1 0 1 1t t tE r r rφ φ− −= + , 9.8

( ) ( ) 21t t tVar r r Var ε σ− = = 9.9

Buna göre, 1tr− geçmiş dönem getirisi veri iken, cari dönem getirisi σ standart sapma

ile 0 1 1trφ φ −+ etrafında yer alır. Markow özelliğe göre; cari dönem getirisi tr , 1tr− koşulu ile

geçmiş dönem getirileri t ir− ( 1i > ) ile ilişkili değildir. Ancak, tr ’nin koşullu ortalamasını

13 Stock James H., ve Watson Mark W., Ekonometriye Giriş, Çeviren:Bedriye Saraçoğlu, Efil, 2011, s. 545




belirleyen tek unsur 1tr− değildir. Bu gibi durumlarda daha esnek bir model, AR(1) 17 modelinin

genelleştirilmiş biçimi olan AR(p) modeli kullanılmaktadır18.

0 1 1t t p t p tr r rφ φ φ ε− −= + + + + 9.10

(9.10) ’da p negatif olmayan tam sayıdır ve tε AR(1) model için tanımlanan aynı

özelliklere sahiptir. p sayıda geçmiş dönem getirileri t ir− ( 1, ,i p= ) veri iken, (9.10) daki

AR(p) modeli geçmiş dönem getirilerinin birlikte cari dönem getirisinin koşullu beklentisini

( )1, ,t t t pE r r r− − belirlediğini göstermektedir. Böylece p, otoregresif modelin gecikme

derecesini (veya gecikme uzunluğunu) ifade eder. 1, , pφ φ modelin bilinmeyen parametreleri

olup ve otoregresif parametreler adını almaktadırlar19. AR(p) modeli, tr ’nin bağımlı değişken

ve tr ’nin geçmiş dönem değerlerinin ( 1, ,t t pr r− − ) açıklayıcı değişken olarak yer aldığı çok

değişkenli regresyon modeli ile aynı fonksiyonel kalıba sahiptir20.

9.2.1. Otoregresif Sürecin Özellikleri

Otoregresif modellerin etkin biçimde kullanılması için temel özelliklerinin bilinmesi gerekir. Bu bölümde AR(1) ve AR(2) modellerinin özellikleri detaylı biçimde ele alınarak incelenecek, AR(p) modeli için genel sonuçlar verilecektir.

9.2.1.1. AR(1) Sürecinin Özellikleri

Birinci dereceden otoregresif -AR(1)- modelin dinamikleri oldukça basit ve anlaşılırdır. Bu nedenle AR modeller, durağan ve durağan olmayan (birim kök) süreçler arasındaki farklılıkları açıklayabilmek açısından, çok uygun tek değişkenli zaman serisi modelleridir.

AR(1) modelinin genel özelliklerinin açıklanmasında ilk olarak, AR(1) modelin zayıf durağanlık özelliği ile bu özellik için gerek ve yeter koşullar ele alınacaktır. Durağanlık koşulu modelin sonsuz hareketli ortalamalar ile gösterilebileceği anlamına gelmektedir. Öncelikle

(9.7)’de verilen AR(1) modelini yeniden yazalım21.


18 Lutkepohl Helmut, Kratzig Markus, Applied Time Series Econometrics, Cambridge University Press, 2004, s.23-24


20 Detaylı bilgi için bkz. Enders W., Applied Econometric Time Series…, s.54-65


0 1 1t t tr rφ φ ε−= + + 1 1φ < ve ( )20,t IIDε σ

(9.7)’deki 0φ parametresi sabit olduğu için, tüm dönemler için aynı değere sahiptir.

AR(1) 22 model ile ilgili temel özelliklerden biri, 1φ otoregresif parametresinin mutlak

değerinin 1’de küçük olmasıdır. 1 1φ < varsayımı, tr ’nin birinci ve ikinci momentlerinin

varlığını ve bunun yanı sıra, sürecin zayıf durağan olabilmesi için gerekli koşul olan bu momentlerin zaman içinde değişmeyeceğini garantilemektedir. Kısacası; tr ’nin durağan

olduğunu göstermektedir23.

AR(1) modele göre, logaritmik getirinin cari dönemdeki değeri ( tr ), iki bileşen

tarafından belirlenmektedir. Bunlardan ilki geçmiş dönem etkisini gösteren tr sürecin

geçmişi’dir. AR(1) modelinde geçmiş, son gerçekleşme olan 1tr− ile sınırlandırılmıştır. İkinci

bileşen modelin hata terimi, t zamanında meydana gelen rassal şokları gösterir. Bu rassal

değişkenin özelliği, tesadüfi ve gözlemlenemez olmasıdır. Hata terimi tε , sıfır ortalama ve 2σ

varyanslı bir dağılımdan çekilen temiz dizi özelliğine sahip rassal bir değişkendir.

Getiri serisinin zayıf durağan olduğu varsayımı altında; ( )tE r µ= , 0( )tVar r γ= ve

0j ≠ için ( , )t t j jCov r r γ− = eşitlikleri ve bu eşitliklerde yer alan µ ile 0γ ’ın zaman boyunca

sabit, jγ ’nın ise zamana değil, zamanlar arası farka bağlı olduğu bilinmektedir. Bu bilgileri

kullanarak, AR(1) ile modellenen getiri serisinin ortalaması, varyansı ve otokovaryansı kolaylıkla elde edilebilir. İlk olarak AR(1) sürecinin koşulsuz ortalaması için, (9.7)’in beklenen

değeri alınırsa24;

( ) ( )0 1 1t t tE r E rφ φ ε−= + +

( ) ( ) ( )0 1 1t t tE r E r Eφ φ ε−= + + ( ) 0tE ε = eşitliğinden,

( ) ( )0 1 1t tE r E rφ φ −= +

22 Hamilton, J.D., Time Series Analysis…, s.53

23 Enders W., Applied Econometric Time Series, 3th. Edition, John Wiley & Sons, 2010, s.55

24 Tsay R.S., Analysis Of Financial Time Series…,s.38-39

elde edilir25. Zayıf durağanlık varsayımı altında, sürecin 1( ) ( )t tE r E r−= özelliği bilinmektedir.

Bu değer µ gibi sabit bir değere eşitse, bir önceki denklemde ( )tE r ve ( )1tE r− yerine µ

sabitini koyarak, denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazmak mümkündür26.

0 1µ φ φ µ= +

Böylece, tr ’nin koşulsuz ortalaması aşağıdaki gibi verilmiştir27.

( ) 0

11tE rφµφ

= =−

9.11

(9.11)’e göre; 1 1φ ≠ ise, tr ’nin ortalaması sıfırdan farklı µ gibi sabit bir değere eşit

olup, zamandan bağımsızdır. Diğer taraftan 0 0φ = ise, tr ’nin ortalaması da sıfırdır. Durağan

AR(1) sürecinin sabit terimi 0φ , 0 1(1 )φ φ µ= − aracılığı ile, tr ’nin ortalaması ile ilişkilidir.

0 0φ = olması, ( ) 0tE r = olacağı anlamına gelir. Ancak uygulamada verilerin ortalaması

nadiren sıfıra eşit olur.

AR(1) modelinin farklı gösterimleri mevcuttur. Bunlardan ilki, sonsuz dereceden hareketli ortalamalar gösterimidir. Tekrarlı yerine koyma işlemi olarak bilinen iterasyon

yöntemi ile, cari dönem getirisi tr , sadece cari ve geçmiş dönem şokları ( 1 2, , ,t t tε ε ε− − ) ile

ifade edilebilir. Bu durum, AR(1) sürecinin MA (∞ ) biçiminde gösterimi olup, aşağıdaki gibi elde edilmektedir28.

( )

( )

0 1 1

0 1 0 1 2 1

20 1 0 1 2 1 1

20 1 0 1 0 1 3 2 1 1

2 3 20 1 0 1 0 1 3 1 1 1 2

1 1

1 0 1 1 00 0

t t t

t t t t

t t t t

t t t t t

t t t t t

t ti i t

t t ii i

r r

r r

r r

r r

r r

r r

φ φ εφ φ φ φ ε ε

φ φφ φ ε φ ε

φ φφ φ φ φ ε ε φ ε

φ φφ φ φ φ ε φ ε φ ε

φ φ φ ε φ

−

− −

− −

− − −

− − −

− −

−= =

= + +

= + + + +

= + + + +

= + + + + + +

= + + + + + +

= + +∑ ∑




Enders W., Applied Econometric Time Series…, s.55

28 Brooks C., Introductory Econometrics For Finance…, s.221

1 1φ < koşuluyla29, 1 0lim 0t

trφ

→∞→ yakınsayacak ve başlangıç koşulunun etkisi

küçülecektir. Bu nedenledir ki; genellikle başlangıç koşulu ( 0r ) göz ardı edilmekte ve AR

sürecinin geçmişte çok uzun zaman önce başlamış olduğu varsayımı yapılarak; AR(1) model aşağıdaki gibi, MA(∞ ) süreci ile ifade edilmektedir.

01

011i

t t ii

rφ φ εφ

∞

−=

= + ∑−

9.12

Dikkat edilirse, 1i

iψ φ= ile gösterilirse, (9.12)’deki eşitlik (9.1) formülasyonunda bir

AR(1) modelidir. (4.12)’deki 1iφ , i. dereceden hareketli ortalamalar parametresidir. Hareketli

ortalamalar parametreleri ( 1iφ ), ilave şokların tr ’nin gelecek değerleri üzerindeki etkisinin

azalmasını sağlar. 1 1φ < olduğu için, çarpan etkisi olarak adlandırılan şok etkisi asimptotik

olarak sıfıra doğru azalır30. 1 1φ > ise, şokların etkisi zaman içinde büyür, zaman serisi patlayan

davranış sergiler. Bu durum, iktisadi ve finansal serilerin özelliğine uygun değildir.

0 11µ φ φ= − ve 1i

iψ φ= olduğu için, AR(1) modelinin MA(∞ ) ile gösterimi, sürecin standart

özelliklerini elde etmek için oldukça kullanışlıdır31.



31 AR(1) modelinin koşulsuz ortalaması ve koşulsuz varyansı, alternatif olarak MA(∞ ) gösteriminden kolaylıkla türetilebilir.

Koşulsuz ortalama:

( ) ( )

( )

0 0 01 1 1

0 0 01 1 1

0

1

01 1 1

1

i i it t i t i

i i i

t

E r E E

E r

φ φ φφ ε φ ε φφ φ φ

φφ

∞ ∞ ∞

− −= = =

= + = + = +∑ ∑ ∑ − − −

=−

Koşulsuz varyans:

AR(1) modeli32, ( )0 11φ φ µ= − eşitliği kullanılarak, tr değerlerinin ortalamadan

sapmaları biçiminde de ifade edilebilir. Buna göre AR(1) modeli33;

0 1 1t t tr rφ φ ε−= + +

( )1 1 11t t tr rφ µ φ ε−= − + +

1 1 1t t tr rµ φ µ φ ε−= − + +

1 1( )t t tr rµ φ µ ε−− = − + 9.13

ile de gösterilebilir34. Ancak burada dikkat edilmesi gereken önemli husus şudur, AR(1) modelinin (9.13)’de ortalamadan sapma ile gösterildiği biçimde tr sıfır etrafında durağan iken,

(9.7)’de tr , ( )0 11φ φ µ= − ortalama değeri etrafında durağandır. (9.13) nolu denklemde de

tekrar eden yerine koymalar işlemiyle (9.12)’deki gibi MA(∞ ) gösterimine ulaşılır. 2

1 1 1 2t t t tr µ ε φ ε φ ε− −− = + + +

veya

10

it i

ir µ φ ε

∞

−=

− = ∑ 9.14

Bu eşitlik, yine 1i

iψ φ= olmak üzere (9.12) gibi, (9.1) formunda bir AR(1) modelidir35.

Bu nedenle tr µ− , 0i > için , t iε − in doğrusal bir fonksiyonudur. Bu özellik ve { }tε serilerinin

bağımsızlık özelliği kullanılarak, 1[( ) ] 0t tE r µ ε +− = eşitliği elde edilir. Durağanlık varsayımı

( ) ( )( )

( ) ( )

22

2 0 01 1

0 01 1

2 2 2 21 1 1 1

0 0 0 0 0 0

2 21 1

0 0 0

1 1i i

t t i t ii i

i i j i i jt i t i t j t i t i t j

i i j i i j

i i jt i t i t j t i

i i j

E r E E i j

E E E

E E E

φ φµ φ ε φ εφ φ

φ ε φ ε ε φ ε φ ε ε

φ ε φ ε ε ε ε

∞ ∞

− −= =

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞+ +

− − − − − −= = = = = =

∞ ∞ ∞+

− − − −= = =

− = + − = ≠∑ ∑ − −

= + = + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

= +∑ ∑ ∑ ( )

( )

2 2 21 1 1 2

0 0 0 0 1

22

21

0

10

1

1

t j

i i j i

i i j i

tE r

φ σ φ φφ

σµφ

−

∞ ∞ ∞ ∞+

= = = =

=

= + =∑ ∑ ∑ ∑−

− =−





altında, 1( , )t tCov r ε− [( ) ] 0t tE r µ ε= − = olacaktır. Bu sonuç, 1tr− ’in t zamanından önce

meydana geldiği ve tε ’nin herhangi bir geçmiş bilgiye dayanmadığı gerçeğinden de

çıkarılabilir36.

Finans literatüründe AR(1) zaman serisi için dinamik bağımlılığın direnci, 1φ

parametresi ile ölçülmektedir. Bu amaç için, ( )0 11φ φ µ= − eşitliği kullanılarak AR(1)

modelinin ( )1 1 11t t tr rφ µ φ ε−= − + + gösterimi kullanılmaktadır.

tr ’nin koşulsuz varyansı için, (9.13)’deki gösterim kullanılacaktır.

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1t t t t t tE r r Eµ µ ε φ ε ε φ ε− −− − = + + + +

( ) ( )22 20 1 1 1 2t t t tE r Eµ γ ε φ ε φ ε− −

− = = + + +

Köşeli parantez içerisinde yer alan ifadeler açıldığında 0≠ için çapraz çarpımlar sıfırdır

( , ) 0t tE ε ε − = , ancak 1,2,3,= için 2( )tE ε − ifadeleri sıfırdan farklıdır. Ayrıca zayıf durağan

sürecin özelliği 2 2 2 21 2( ) ( ) ( )t t tE E Eε ε ε σ− −= = = = bilindiğine göre; yukarıdaki ifadenin

sadeleştirilmiş biçimi37;

( ) ( )2 2 2 40 1 11tE r µ γ σ φ φ− = = + + +

Şeklinde elde edilmektedir. Burada 2σ , hata terimi tε ’nin varyansıdır38. Durağanlık varsayımı

altında ve 21 1φ < koşulu ile, tr ’nin koşulsuz varyansı aşağıda verilmiştir39.

( )2

20 12

1

11tVar r εσγ φ

φ= = <

− 9.19

21 1φ < koşulu, rassal bir değişkenin varyansının sınırlı olduğu ve negatif olmayacağı

gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Sonuç olarak, AR(1) modelinin zayıf durağanlığı 11 1φ− < <





anlamına gelir40, diğer bir gösterimle 1 1φ < ’dir. Böylece, ancak

1 1φ < ise, tr nin koşulsuz

ortalaması ve koşulsuz varyansı sonlu ve zamandan bağımsızdır41.

Otoregresif parametre, ek geçici bir şokun kalıcı bir ölçüsü olarak da görülebilir. Otoregresif parametre 1φ ’deki bir artış, daha yüksek otokorelasyona ve geçmiş şokların daha

güçlü kalıcılığına yol açabilir. Bu ayrıca, varyans ( 21( ) (1 )tVar r σ φ= − ) üzerinde anlık bir

etkiye sahiptir. Çünkü varyans, 1φ ’ın artan bir fonksiyonudur42.


41 tr ’nin koşullu ortalaması;

( ) ( )( )

1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1

1 0 1 1

( ) ( ) 0t t t t t t t t t t

t t t

E r E r E r E r

E r r

φ ε φ φ ε φ φ

φ φ− − − − − − −

− −

= + + = + + = + +

= +

tr ’nin koşullu varyansı ;

( ) ( ) ( )( )

2 21 1 1 1 1 1 1

21

t t t t t t t t

t t t

Var r E r r E

Var r

φ ε φ ε

σ

− − − − −

−

= + − = =

tr ’nin koşullu ortalaması ve koşullu varyansı, koşulsuz ortalama ve koşulsuz varyansı gibi zamandan bağımsızdır.

42 Gourieroux ve Jasiak., Financial Econometrics, Problems, models, and Methods…, s. 22

Uygulamalar


Bölüm Soruları

1) Durağan AR(1) sürecine uygunluk gösteren rt getiri serisinin ( 0 1 1t t tr rφ φ ε−= + + )


(Not: 1 1φ < ve ( )20,t IIDε σ )

a) ( ) 1

11tE rφµφ

= =−

b) ( ) 0

11tE rφµφ

= =−

c) ( ) 0

1

tE rφµφ

= =

d) ( ) 0tE r µ φ= =

e) ( ) 11tE r µ φ= = −

2) Durağan AR(1) sürecine uygunluk gösteren rt getiri serisinin ( 0 1 1t t tr rφ φ ε−= + + )

varyansı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

(Not: 1 1φ < ve ( )20,t IIDε σ )

a) ( )2

210 12

1

11tVar rφγ φφ

= = <−

b) ( )2

20 12

1

1tVar r εσγ φφ

= = <

c) ( ) 2 20 1 11 1tVar r γ φ φ= = − <

d) ( ) 2 20 1 1tVar r εγ σ φ= = <

e) ( )2

20 12

1

11tVar r εσγ φ

φ= = <

−

Cevaplar

1)B 2)E

ÖNSÖZ












İÇİNDEKİLER ............................................................................................................................................. 3

YAZAR NOTU ............................................................................................................................................ 4

10. DOĞRUSAL ZAMAN SERİLERİ-II.......................................................................................................... 5

10.1. AR(2) Sürecinin Özellikleri .............................................................................................. 6

10.2. AR(p) Sürecinin Özellikleri ............................................................................................ 12

YAZAR NOTU


10. DOĞRUSAL ZAMAN SERİLERİ-II

10.1. AR(2) Sürecinin Özellikleri

İkinci dereceden otoregresif model (AR(2)) aşağıdaki gibi gösterilmektedir1.

0 1 1 2 2t t t tr r rφ φ φ ε− −= + + + 10.1

(10.1)’de görüldüğü üzere, AR(2) modelinde cari dönem getirisinin değeri ( tr ),

getirinin bir ve iki dönem önceki değeri ve tε rassal değişken tarafından belirlenmektedir. tε

için, AR(1) modelindeki varsayımlar geçerlidir2. Kısaca ( )20,IIDε σ saf hata terimi

özelliğine sahip bir süreçtir. AR(2) modelinin ortalaması için, (10.1)’de verilen denklemin

beklenen değeri alınır.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 1 1 2 2

0 1 1 2 2

t t t t

t t t t

E r E r r

E r E r E r E

φ φ φ ε

φ φ φ ε− −

− −

= + + +

= + + +

Burada yine,

1 2( ) ( ) ( )t t tE r E r E r µ− −= = = ve ( ) 0tE ε = eşitliklerinden (10.1) aşağıdaki gibi yazılır.

0 1 2 0µ φ φ µ φ µ= + + +

Buradan, 1 2 1φ φ+ ≠ koşulu ile AR(2) sürecinin koşulsuz ortalaması aşağıda verilmiştir3.

( ) 0

1 21tE rφµφ φ

= =− −

10.2

Sürecin ikinci momenti varyans için, AR(1) modeline benzer şekilde

( )0 1 21φ φ φ µ= − − eşitliği kullanılarak, AR(2) modeli ortalamadan sapmalar biçiminde

aşağıdaki gibi yeniden yazılır.

1 1 2 2( ) ( )t t t tr r rµ φ µ φ µ ε− −− = − + − + 10.3

Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafı ( )tr µ− − ile çarpılır,

( ) 1 1 2 2( ) ( )( ) ( )( )t t t t t t tr r r r r rµ µ φ µ µ φ µ µ ε− − − − −− − = − − + − − + sonraki aşamada elde edilen

denklemin beklenen değeri alınırsa4;


2 Hamilton, J.D., Time Series Analysis…, s.106-108



( )

[ ] [ ]1 1 2 2

( )

( )( ) ( )( )

t t

t t t t t

E r r

E r r E r r

µ µ

φ µ µ φ µ µ ε−

− − − −

− − = − − + − − +

10.4

elde edilir ki, bu eşitlik aşağıdaki gibi ikinci dereceden bir fark denklemi ile gösterilebilir.

( )21 2 01 t tL L rφ φ φ ε− − = +

Burada L gecikme işlemcisidir5. İkinci dereceden fark denkleminin türdeş çözümü,

karakteristik denklemin 21 2( )λ φ λ φ− − kökleri ile ilgili olup, karakteristik denklemin kökleri (

1λ , 2λ ) birim daire içerisinde süreç durağandır6. Karakteristik denklemin kökleri, gecikme çok

terimlisinin köklerinin tersidir7.2

1 2(1 )L Lφ φ− − gecikme çok terimlisi, 1(1 )Lλ− ve 2(1 )Lλ−

çarpanlarına ayrılır ve 21 2 1 2(1 ) (1 )(1 ) 0L L L Lφ φ λ λ− − = − − = sıfıra eşitlenirse gecikme çok

terimlisinin kökleri ( 1Z , 2Z ) bulunur. Gecikme çok terimlisinin kökleri, karakteristik

denklemin köklerinin tersidir, kısaca 1 1 1 Zλ = , 2 21 Zλ = eşitlikleri yazılabilir. Bu sonuca

göre gecikme çok terimlisinin kökleri birim çember dışında ise süreç, durağandır8. Bu durumda,

21 1 2

1 2

2

4,

2

φ φ φλ λ

φ+

=−

denkleminden hesaplanan karakteristik denklemin kökleri 1 1λ <

,

2 1λ < olup diğer bir ifade ile kökler birim dairenin içerisinde yer almaktadır9.

5 Örneğin 1Lρ ρ −= , 1t tLr r−= ve 1k kLψ ψ −= .

Detaylı bilgi için bkz. 10. Bölüm Ek: Gecikme İşlemcisinin Özellikleri


7 Detaylı bilgi için bkz.

Mills Terence C., ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series, Third Edition, Cambridge University Press, 2008, s.110

Lutkepohl Helmut, Kratzig Markus, Applied Time Series Econometrics, Cambridge University Press, 2004, s.24-10



Şekil-10.1 AR için Reel ve Kompleks Kökler

Fark

denkleminin çözümü

sonucunda sürecin

durağanlık özelliği ,

1φ ve 2φ parametreleri

ile ilgili aşağıdaki sınırlamaların yerine

gelmesini

gerektirmektedir10.

1 2

2 1

2

1

1

1 1

φ φφ φ

φ

+ <− <

− < < 10.10

0= için aşağıdaki gibi yazılır.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 2 2t t t t t t tE r E r r E r r E rµ φ µ µ φ µ µ µ ε− −− = − − + − − + − 10.6

(10.3)’deki AR(2) modelin ortalamadan farklar gösteriminin her iki tarafı tε ile çarpılır

ve ( ) ( )t tE r rµ µ γ−− − = eşitliği de bilindiğine göre;

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

1 1 2 2

21 1 2 2

21 1 2 2

21 2

2

0

0 0

t t t t t t

t t t t t t t

t t t t t t t t t

t t

t t

E r E r r

E r E r r

E r E r E r E E r

E r

E r

µ ε φ µ φ µ ε ε

µ ε φ ε µ φ ε µ ε

µ ε φ ε µ φ ε µ ε ε µ

µ ε φ φ σ

µ ε σ

− −

− −

− − −

− = − + − + − = − + − +

− = − + − + − = − = + + − =

elde edilir.

( )t tE r µ ε− ’nin hata teriminin varyansına eşit olduğu sonucuna göre; (10.6)’dan AR(2)

sürecinin varyans denklemi aşağıdaki gibidir11.

20 1 1 2 2γ φ γ φ γ σ= + + 0= için 10.7

10 Box George E. P., Jenkins Gwilym M., Reinsel Gregory C., Time Series Analysis: Forecasting and Control, Wiley, 2008, s.108


0> için, yine [( ) ] 0t tE r µ ε− − = özelliği kullanılarak, (10.7)’de otokovaryans

fonksiyonuna ulaşmak mümkündür. Buna göre gecikme için otokovaryans katsayısı aşağıda verilmiştir.

1 1 2 2γ φ γ φ γ− −= + , 0> için 10.8

Bu sonuç, durağan bir AR(2) modelinin momentum denklemidir12.(10.8)’de görüldüğü

üzere otokovaryans fonksiyonunun fark denklemi ( )21 21 L Lφ φ− − ile gösterilebilir ve buradan

çıkan sonuçtan da anlaşılacağı gibi otokovaryans fonksiyonu, tr süreci ile aynı fark

denklemini izlemektedir. Buna göre; ikinci dereceden fark denklemini yakınsak yapan koşullar, otokovaryans fonksiyonunu da yakınsak yapan koşullardır. Yani karakteristik denklemin

21 2( )λ φ λ φ− − kökleri birim çember içinde ise 10.8’deki otokovaryans fonksiyonu da

yakınsaktır.

(10.8)’nolu varyans denklemi, 0ρ γ γ= eşitliği kullanılarak otokorelasyon

katsayıları cinsinden de ifade edilebilir13.

20 1 1 0 2 2 0γ φ ρ γ φ ρ γ σ= + +

( ) 20 1 1 2 2 0γ φ ρ φ ρ γ σ= + + 10.10

(10.8)’in her iki tarafı 0γ ’a bölünür ise, tr ’nin aşağıda verilen otokorelasyon (ACF)

fonksiyonuna ulaşılır14.



14 AR(2) modelinin otokorelasyon fonksiyonunu oluşturmak için, alternatif bir yöntem Yule Walker denklemlerini kullanmaktır. Buna göre; sabit parametrenin otokorelasyon fonksiyonu üzerinde etkisi olmadığı için, matematiksel işlemlerde kolaylık sağlaması açısından AR(2) modelinden 0φ parametresi dışlananarak aşağıdaki gibi yazılsın.

1 1 2 2t t t tr r rφ φ ε− −= + +

Modelin her iki yanı sırasıyla 0= , 1= , 2= olmak üzere tr− ile çarpılır ve beklenen değeri alınır.

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , ,t t t t t t t tE r r E r r E r r E rφ φ ε− −= + +

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 1, , , ,t t t t t t t tE r r E r r E r r E rφ φ ε− − − − − −= + +

1 1 2 2ρ φ ρ φ ρ− −= + , 0> için 10.10

Örnek olarak, 1= için otokorelasyon katsayısı;

1 1 0 2 1 0 1ρ φ ρ φ ρ ρ= + =

1 1 2 1ρ φ φ ρ= +

ile gösterilir. Böylece, tr durağan bir AR(2) serisi ise, 0 1ρ = eşitliği de bilindiğine göre; AR(2)

modelinin birinci otokorelasyon katsayısı15;

11

21

φρφ

=−

10.11

ve 2= için otokorelasyon katsayısı için;

2 1 1 2 0ρ φ ρ φ ρ= + 10.32

ile gösterilir. (10.10)’daki otokorelasyon katsayıları ile ifade edilen varyans denkleminde 1ρ

ve 2ρ yerine (10.11) ve (10.32)’da verilen eşitlikleri kullanılırsa, varyans denklemi;

( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 2 2 2, , , ,t t t t t t t tE r r E r r E r r E rφ φ ε− − − − − −= + +

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , ,t t t t t t t tE r r E r r E r r E rφ φ ε− − − − − −= + +

Durağan serilerin otokovaryans özellikleri - ( ) ( ) ( ), , ,t t t t t s t sE r r E r r E r r γ− − − − −= = = ,

( ) 2,t tE r εε σ= ( ), 0t tE rε − =kullanılarak aşağıdaki eşitlikler elde edilir.

20 1 1 2 2 εγ φ γ φ γ σ= + +

1 1 0 2 1

1 1 2 2

γ φ γ φ γγ φ γ φ γ− −

= += +

Son iki kovaryans denklemi ( 1γ ve γ ) varyans denklemine bölünerek ( 0γ ) aşağıdaki

otokorelasyon katsayıları elde edilir. 0 1ρ = bilindiğine göre, 1 1 0 2 1ρ φ ρ φ ρ= + denkleminden

( )1 1 21ρ φ φ= − sonucuna ulaşılır. 1 1 2 2ρ φ ρ φ ρ− −= + fark denkleminin çözümü ile 2≥ için

ρ katsayılarının tamamı hesaplanabilir. Örneğin 2= için otokorelasyon fonksiyou ( )2

2 1 2 21ρ φ φ φ= − + , 2= için otokorelasyon fonksiyonu

( ) ( )23 1 1 2 2 1 2 21 1ρ φ φ φ φ φ φ φ = − + + − ’e eşittir.


( )( ) ( )

22 22 21 2 1

0 0 2 22 2 2 2 1

1

1 1 1 1

φ σφ φ φγ γ σφ φ φ φ φ

− = + + = − − + − −

10.33

ile gösterilir . AR(2) modelinin varyansı da otokovaryans fonksiyonu gibi ( γ ), karakteristik

denkleminin kökleri birim çember içinde (1 1λ < ve

2 1λ < ) ise, sonludur.

Genel olarak için otokorelasyon katsayısı,

1 1 2 2ρ φ ρ φ ρ− −= + 2≥ için 10.34

1 1 2 2ρ φ ρ φ ρ− −= + ’un sonucu, durağan AR(2) serisinin ACF ’nun , otokovaryans

fonksiyonu gibi ikinci dereceden fark denklemi ile gösterilebileceğine işaret etmektedir.

( )21 21 0L Lφ φ ρ− − =

Bu fark denklemleri durağan AR(2) zaman serilerinin ACF’sinin özelliklerini belirler. Fark denklemleri, tr için öngörü tahmininin davranışını da belirlemektedir. AR(2) süreci

durağan ise, ACF üssel biçimde azalacak, aksi takdirde sönen bir sinüs dalgası görünümü verecektir16.

1φ ve 2φ parametreleri sıfıra yakın değerler alırsa serinin grafiği ortalamayı çok sık

kesecektir. Parametrelerin değeri bire yaklaştıkça seri durağan olmasına rağmen, daha az sıklıkla ortalamayı kesecektir.

Şekil-10.2 AR(2) Süreci ∅𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 𝟖𝟖 ile Yaratılmış Serinin Grafiği, Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Grafiği

ACF

16Sevüktekin, M., ve M. Nargeleçekenler, Ekonometrik Zaman Serileri Analiz:EViews Uygulamalı, Geliştirilmiş Üçüncü Baskı , Ankara: Nobel Yayın Dağıtım, 2010. s.48

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

AR(2) sürecinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu aşağıda verilmiştir17.

11 1φ ρ= 1= için

( )1 222 2

1

1

1

ρ ρφ

ρ−

=−

veya2

2 122 2

11

ρ ρφρ−

=−

2= için

33 0φ = 3= için

Buna göre 3≥ ise, AR(2) modelinin kısmi otokorelasyon katsayıları sıfırdır.

10.2. AR(p) Sürecinin Özellikleri

AR(1) ve AR(2) modelinin özellikleri detaylı olarak ele alındıktan sonra, burada AR(p)

’nin genel özellikleri verilecektir18. Otoregresif süreçlerin genel biçimi olan p. dereceden

otoregresif süreç AR(p) aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır19.


18 Detaylı bilgi için bkz. Kitagawa Genshiro, Introduction To Time Series Modeling, CRC Press, Taylor&Francis Group, 2010, s.103


20 1 1 2 2 (0, )t t t p t p t tr r r r IIDφ φ φ φ ε ε σ− − −= + + + + + (10.110)

Zayıf durağan tr serisi için, AR(p) modelinin ortalaması aşağıdaki gibidir20.

( ) 0

11t

p

E rφµ

φ φ= =

− − − 10.36

AR(p) modelinin durağan olması, 11 2 1pip iφ φ φ φ=+ + + = <∑ sınırlamasının

gerçekleşmesi ile mümkündür. 0> olmak üzere, sürecin otokovaryans fonksiyonu;

1 1 2 2 p pγ φ γ φ γ φ γ− − −= + + + 10.37

varyansı ise; 2

0 1 1 2 2 p pγ φ γ φ γ φ γ σ= + + + + 10.38

ile gösterilir. AR(2) modelde olduğu gibi; 0ρ γ γ= eşitliğinden 0γ ρ γ= kullanılarak ve

γ γ −= eşitliğinden yararlanılarak, varyans denklemi aşağıdaki gibi de ifade edilebilir.

2

0

1 11 p p

εσγφ ρ φ ρ

=− − −

10.110

Yine AR(1) ve AR(2)’deki gibi, (10.37) deki otokovaryans fonksiyonu 0γ ile bölünerek

otokorelasyon fonksiyonunu (ACF) elde etmek mümkündür. Böylece 0> olmak üzere,

otokorelasyon fonksiyonu (ACF) aşağıdaki gibidir.

1 1 2 2 p pρ φ ρ φ ρ φ ρ− − −= + + + 10.40

Karakteristik denklemin kökleri birim çemberin içinde ise, AR(p) süreci durağan bir süreçtir ve otokorelasyon fonksiyonu (ACF) p. gecikmeden sonra hızla sıfıra yaklaşır21. Kısmi otokorelasyon katsayısı ise, p> için sıfırdır.



Uygulamalar


Bölüm Soruları

1) Durağan AR(2) sürecine uygunluk gösteren rt getiri serisinin

( 0 1 1 2 2t t t tr r rφ φ φ ε− −= + + + )



a) ( ) 0

1 21tE rφµφ φ

= =− −

doğru cevap

b) ( ) 0 1

1 2

tE rφ φµφ φ+

= =+

c) ( )1 2

1

1tE r µφ φ

= =− −

d) ( ) 0tE r µ φ= =

e) ( ) 1 21tE r µ φ φ= = − −


( 0 1 1 2 2t t t tr r rφ φ φ ε− −= + + + )



a) ( ) ( )( ) ( )

2 32 1 1 1

0 2 22 2 1

1

1 1tVar r

φ φ φ φγ

φ φ φ

− + + += =

+ − −

b) ( )( ) ( )

2

0 2

2 21 1tVar r

σγφ φ

= = + −

c) ( ) ( )( )

22

0

2

1

1tVar rφ σ

γφ

−= =

+

d) ( ) ( ) 20 21tVar r γ φ σ= = −

e) ( ) ( )( ) ( )

22

0 2 22 2 1

1

1 1tVar r

φ σγ

φ φ φ

−= =

+ − − doğru cevap


( 0 1 1 2 2t t t tr r rφ φ φ ε− −= + + + )

1 gecikme için otokorelasyon katsayısı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?


a) 11

21

φρφ

=−

doğru cevap

b) 1

2

1

1ρ

φ=

−

c) 2 31 1 1 1ρ φ φ φ= + +

d) 1 21ρ φ= −

e) ( )1 2 11ρ φ φ= −


( 0 1 1 2 2t t t tr r rφ φ φ ε− −= + + + )

2 gecikme için otokorelasyon katsayısı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?


a) 2 1 1 2 0ρ φ ρ φ ρ= + doğru cevap

b) 2 2 0ρ φ ρ=

c) 2 1 1ρ φ ρ=

d) 2 1 0ρ ρ ρ= +

e) 2 32 1 1 1 2ρ φ φ φ φ= + + +


( 0 1 1 2 2t t t tr r rφ φ φ ε− −= + + + )

1 gecikme için otokoveryansı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?


a) 2 31 0 1 1γ γ φ φ= + +

b) 1 1 2γ φ γ=

c) 1 1 2γ φ φ= +

d) 1 0 2γ γ γ −= +

e) 1 1 0 2 1γ φ γ φ γ −= + doğru cevap


( 0 1 1 2 2t t t tr r rφ φ φ ε− −= + + + )

2 gecikme için otokoveryansı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?


a) 2 0γ γ=

b) 2 1 2γ φ γ=

c) 2 0 2γ φ φ= +

d) 2 0 1γ γ γ= +

e) 2 1 1 2 0γ φ γ φ γ= + doğru cevap

Cevaplar

1)A, 2) E, 3) A, 4)A, 5)E, 6)E,

ÖNSÖZ












İÇİNDEKİLER ............................................................................................................................................. 6

YAZAR NOTU ............................................................................................................................................ 7


6.1. Otokovaryans ve Otokorelasyonın anlamlılığı .................................................................. 14

YAZAR NOTU



11. DOĞRUSAL ZAMAN SERİLERİ-III



nasıl olmaktadır?


hesaplanmaktadır?









aktarabilmek



Ders notları

Anahtar Kavramlar

Zaman içerisindeki ilişki, Otokovaryans, Otokorelasyon

Giriş




11.1. Hareketli Ortalama (MA) Süreçleri

Finans alanında getiri serilerinin modellenmesinde AR modeller gibi, hareketli ortalamalar modelleri (MA) de oldukça kullanışlıdır. Örneğin, hisse senedi piyasaları ile ilgili çalışmalar, bir günden ertesi güne hisse senedi fiyatındaki değişmenin, sıfır ortalama, sabit

varyansla korelasyonsuz rassal değişkenler dizisi olduğunu göstermektedir. Eğer t gününde

hisse senedinin fiyatı tP ile gösterilirse, bir günden diğerine hisse senedi fiyatındaki değişme

aşağıdaki gibi ifade edilir1.

1t t t ty P P ε−= − = 5.59

Burada rassal bileşen tε , saf hata terimidir ve şirketin mali durumu hakkındaki yeni

bilgileri, firmanın ürün popülaritesindeki ani dalgalanmaları, teknolojik gelişmeleri, rakip firmaların pazardaki ani etkinliğini, siyasi ve ekonomik gelişmeler gibi hisse senedi fiyatlarına etki edebilecek muhtemel yenilik ve şokları içerir. Bu beklenmeyen haberlerin etkisi bütünüyle bir gün içerisinde piyasada emilemez ve fiyat değişmeleri sonraki günlerde de bu unsurlardan etkilenebilir. Bu durum,

1 1 1t t ty ε θ ε+ += + 5.60

ile formüle edilebilir. Burada 1tε + , ( 1t + ) günündeki yeni haber ve bilgileri yansıtırken, 1 tθ ε

bir gün önce meydana gelen şok veya yeniliklerin etkisinin devam ettiğini göstermektedir. (5.60)’daki istatistiksel model, hareketli ortalamalar sürecidir.

Otoregresif süreçlerin durağanlığı parametrelere getirilen kısıtlamaların gerçekleşmesi koşullarına bağlı iken, hareketli ortalamalar süreçleri için böyle kısıtlamalar söz konusu olmayıp, hareketli ortalama süreçlerinin tamamı durağandır. Hareketli ortalamalar sürecinin özellikleri MA(1), MA(2) ve MA(q) modeller için aşağıda özetlenmiştir.

11.1.1. MA(1) Sürecinin Özellikleri

Birinci dereceden hareketli ortalamalar, bozulmamış en basit zaman serisi sürecidir ve kısaca MA(1) ile ifade edilmektedir2,

Getiri serisi tr için, MA(1) süreci aşağıdaki gibidir.

1Sevüktekin, M., ve M. Nargeleçekenler, Ekonometrik Zaman Serileri Analiz:EViews Uygulamalı, Geliştirilmiş Üçüncü Baskı , Ankara: Nobel Yayın Dağıtım, 2010. s.153.


0 1 1t t tr φ θ ε ε−= + + 5.61

Burada 0φ ve 1θ modelin bilinmeyen parametreleri, tε saf hata sürecidir. tr , tε ’ nin

ağırlıklı ortalaması olup, ağırlıklı ortalama zaman içerisinde hareket ettiği için, süreç hareketli ortalamalar olarak adlandırılmaktadır3. Bu sürece göre; tr ’nin cari dönemdeki değeri, hem cari

dönemdeki şoka hem de önceki dönemdeki şoka bağlıdır. Örneğin 1θ negatif ise, cari

gerçekleşme önceki şokun etkilerini yansıtmayacaktır.

MA(1) sürecinin genel tanımlamasından sonra, bu aşamada ortalaması ve varyansı ile ilgili özellikleri ele alınacaktır. Öncelikle MA(1) sürecinin koşulsuz ortalaması için, (5.61)’nin beklenen değeri alınır4,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0 1 1

0 1 1 1

0 1

0 özelliğinden

0 0

t t t

t t t t t

t

E r E

E r E E E E

E r

φ θ ε ε

φ θ ε ε ε ε

φ θ

−

− −

= + +

= + + = =

= + +

ve

( ) 0tE r φ µ= = 5.62

sonucuna ulaşılır. Bu sonuca göre, tr ’nin koşulsuz ortalaması ( )tE r , MA(1)5 modelinin 0φ

sabit parametresine eşittir. Ortalamanın zamandan bağımsız olduğu açıktır. Koşullu ortalaması ( )1t tE r− ise, aşağıdaki gibidir6.

3 Detaylı bilgi için bkz. Agung I Gusti Ngurah, Time Series Data Analysis Using Eviews, John Wiley & Sons, 2009, s.504

Campbell J.Y., Lo A.W., ve Mackinlay A.C.,The Econometrics Of Financial Markets, Princeton University Press, 1997, s.45


Fuller Wayne A., Introduction to Statistical Time Series, John Wiley & Sons, 1996, s.21



6 Detaylı bilgi için bkz. Zivot Eric ve Wang Jiahui, Modeling Financial Time Series with S-Plus, Springer, 2006, s.54

Chatfield Chris, The Analysis Of Time Series An Introduction, Chapman & Hall/Crc, 2005, s.77,

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1 1

1 0 1 1 0

t t t t t

t t t t t t

t t t

E r E

E r E E

E r

φ θ ε ε

φ θ ε ε

φ θ ε

− − −

− − − −

− −

= + +

= + +

= + +

( )1 0 1 1t t tE r φ θ ε− −= + 5.63

( )1 0t tE ε− = eşitliği, (t-1) zamanındaki bilgiyi kullanarak şokların öngörülemeyeceği

varsayımına dayanmaktadır7. (5.62) ve (5.63)’de görüldüğü üzere, tr ’nin koşullu ortalaması

0 1 1tφ θ ε −+ iken, koşulsuz ortalaması 0φ ’e eşittir. İki ortalama arasındaki fark, önceki dönemdeki

şokların cari dönemde kalıcı olduğunu (sürekliliğini) göstermektedir.

MA(1) sürecinin koşulsuz varyansı benzer biçimde aşağıdaki gibi türetilebilir8,

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

22

0 1 1 1

2 2

1 1

2 2 2 21 1 1 12

t t t

t t t

t t t t t

E r E

E r E

E r E E E

µ φ θ ε ε θ

µ θ ε ε

µ θ ε ε θ ε ε

−

−

− −

− = + + −

− = +

− = + +

Burada ( )1 0t tE ε ε− = ve ( ) ( )2 2 21t tE E εε ε σ− = = özelliklerinden,

( )2 2 2 21 12 0tE r ε εµ σ θ σ θ− = + +

( ) ( )2 2 20 11tE r εµ γ σ θ− = = + 5.64

elde edilir. Böylece MA(1) sürecinin varyansı da zamandan bağımsızdır9.


Mills Terence C., ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series, Third Edt., Cambridge University Press, 2008s,. 17-18



9 Koşullu varyans ise;

( ) ( )( )( )( )

2

1 1 0 1 1 1 0 1 1

2

1 0 1 1 0 1 1

21

2

( )t t t t t t t t

t t t t

t t

t

Var r E E

E

E

φ θ ε ε φ θ ε ε

φ θ ε ε φ θ ε

ε

σ

− − − − −

− − −

−

= + + − + +

= + + − −

=

=

Koşulsuz varyans denkleminde, hareketli ortalamalar teriminden kaynaklanan ilave değişkenlik yer aldığı için, koşulsuz varyans koşullu varyanstan büyüktür.

MA(1)10, sürecinin otokovaryansları ise aşağıdaki gibi türetilebilir.

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

0 1 1 0 0 1 2 1 0

1 1 1 2 1

2 21 1 2 1 1 1 2 1

2 21 1 2 1 1 1 2 1

21

21

( , )

0 0 0

t t t t t t

t t t t

t t t t

t t t t t t t

t t t t t t t

Cov r r E r E r r E r

E

E

E

E E E E

ε

ε

φ θ ε ε φ φ θ ε ε φ

θ ε ε θ ε ε

θ ε ε θ ε θ ε ε ε ε

θ ε ε θ ε θ ε ε ε ε

θ σ

θ σ

− − −

− − −

− − −

− − − − −

− − − − −

= − − = + + − + + − = + +

= + + +

= + + +

= + + +

=

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

0 1 1 0 0 1 3 2 0

1 1 1 3 2

21 1 3 1 1 2 1 3 2

21 1 2 1 1 2 1 2 1

( , )

0 0 0 0

0

t t t t t t

t t t t

t t t t

t t t t t t t t

t t t t t t t t

Cov r r E r E r r E r

E

E

E

E E E E

φ θ ε ε φ φ θ ε ε φ

θ ε ε θ ε ε

θ ε ε θ ε ε θ ε ε ε ε

θ ε ε θ ε ε θ ε ε ε ε

− − −

− − −

− − −

− − − − − −

− − − − − −

= − − = + + − + + − = + +

= + + +

= + + +

= + + +=

Genel olarak

MA(1) süreci için, 2j ≥ ise j. otokovaryans

( )( ) ( )( )( , ) 0t t j t t t j t jCov r r E r E r r E r− − − = − − =

şeklinde yazılabilir. Böylece otokovaryans fonksiyonunu

2

1 1 ise

0 1 isej

j

j

θ σγ

==

> 5.65

olmaktadır. Burada 2tσ , tε nin koşullu varyansıdır. tε homoskedastik olmasına rağmen temiz

dizi süreci homostedastik olmak zorunda değildir ve buradan ( )2 21( )t t t tVar r E σ σ− = = olmaktadır.


Detaylı bilgi için bkz. Zivot Eric ve Wang Jiahui, Modeling Financial Time Series with S-Plus, Springer, 2006, s.64

Chatfield Chris, The Analysis Of Time Series An Introduction, Chapman & Hall/Crc, 2005, s.77

ile göstermek mümkündür. Böylece MA(1) süreci kovaryans durağandır11.0jγ γ ’dan

aşağıdaki otokorelasyon fonksiyonuna

( )2

1 11 1 ise

0 1 isej

j

j

φ φρ

+ == >

5.66

ulaşılır.

Örneğin 1 isej = ;

( ) ( )2

1 1 11 2 2 2

0 1 11 1ε

ε

γ φσ φργ φ σ φ

= = =+ +

olmaktadır. MA(1) sürecinin kısmi otokorelasyon katsayıları, aşağıdaki şekilde hesaplanabilir ve benzeri şekilde devam etmektedir.

11 1φ ρ=

1

21 1

22 21 1

1

1

00

1 1

1

ρρ ρφ

ρ ρρ

= = − <−

1 1

1

31 1

33 21 1

1 1

1

1

1 0

0 0

1 0 1 2

1

0 1

ρ ρρ

ρ ρφρ ρ

ρ ρρ

= =−

0<≥ için 1θ 0<≥

( )

1 1

1 1

1

41 1

44 22 21

1 1

1 1

1 1

1

1 0

1 0

0 1 0

0 0 00

1 0 0 11 0

0 1

0 0 1

ρ ρρ ρ

ρρ ρφ

ρ ρ ρρ ρ

ρ ρρ

= = − <− −

ve benzeri şekilde devam eder.


Şekil-5.1 MA(1) Parametresi 0.8 Olan Serinin Grafiği, Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Grafiği

Şekil-5.2 MA(1) Parametresi -0.8 Olan Serinin Grafiği, Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Grafiği

11.1.2. MA(2) Sürecinin Özellikleri

Getiri serisi tr için, MA(1) süreci aşağıdaki gibidir12.

0 1 1 2 2t t t tr φ θ ε θ ε ε− −= + + + 5.67

MA(2)13 sürecinin koşulsuz ortalaması için (5.67)’nin beklenen değeri alınır.

( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2t t t tE r E E Eφ θ ε θ ε ε− −= + + +

( ) ( ) ( )1 2 0t t tE E Eε ε ε− −= = = özelliğinden,

( ) 0tE r φ µ= = 5.68

sonucuna ulaşılır. (5.68)’de görüldüğü üzere MA(2) sürecinin koşulsuz ortalaması (5.62)’de verilen MA(1) sürecinin koşulsuz ortalamasına eşittir.

MA(2) sürecinin varyansı için,

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

0 1 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

2 2 2 2 2 21 1 2 2 çapraz çarpımlar

t t t t

t t t t

t t t t

E r E

E r E

E r E E E E

µ φ θ ε θ ε ε θ

µ θ ε θ ε ε

µ θ ε θ ε ε

− −

− −

− −

− = + + + −

− = + +

− = + + +

0≠ için,

( , ) 0t tCov ε ε − = özelliğinden E (çapraz çarpımlar) sıfıra eşittir. Böylece,

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 2 2t t t tE r E E Eµ θ ε θ ε ε− −− = + +

elde edilmektedir. Saf hata teriminin (ε ) varyansının sabit olduğu bilinmektedir. Böylece 2 2 2 2

1 2( ) ( ) ( )t t tE E Eε ε ε σ− −= = = eşitliğini yazmak mümkündür. Buradan, MA(2) sürecinin

varyansı aşağıdaki gibi elde edilir.

( ) ( )2 2 2 20 1 21tE r µ γ σ θ θ− = = + + 5.69


13 Detaylı bilgi için bkz. Zivot Eric ve Wang Jiahui, Modeling Financial Time Series with S-Plus, Springer, 2006,

Chatfield Chris, The Analysis Of Time Series An Introduction, Chapman & Hall/Crc, 2005, s.77-78

Campbell J.Y., Lo A.W., ve Mackinlay A.C.,The Econometrics Of Financial Markets, Princeton University Press, 1997, s.46-47

Mills Terence C., ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series, Third Edt., Cambridge University Press, 2008, s.17-18

Şekil-5.3 MA için Reel ve Kompleks Kökler

MA(2)14 sürecinin otokovaryansları aşağıdaki gibi türetilebilir.

( )( ) ( )( )( , )t t t t t tCov r r E r E r r E r− − − = − −

1= için,

( )( ) ( )( )1 1 1 1( , )t t t t t tCov r r E r E r r E rγ− − − = = − −

( )( )

1 1 0 1 1 2 2 0

0 1 2 2 3 1 0

( , )t t t t t

t t t

Cov r r Eγ φ θ ε θ ε ε φ

φ θ ε θ ε ε φ− − −

− − −

= = + + + −+ + + −

5.70

Yine çapraz çarpımların beklenen değerleri sıfır olacağı için, çapraz çarpımlar göz ardı edilir ve 1. gecikme için otokovaryans

( )2 21 1 1 1 2 2t tEγ θ ε θ θ ε− −= +

2 21 1 1 2γ θ σ θ θ σ= +

( )21 1 1 2γ σ θ θ θ= + 5.71

14 Detaylı bilgi için bkz.


Mills Terence C., ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series, Third Edition, Cambridge University Press, 2008, s.17-18

denkleminden hesaplanır.

2= için,


( )( )

2 2 0 1 1 2 2 0

0 1 3 2 4 2 0

( , )t t t t t

t t t


φ θ ε θ ε ε φ− − −

− − −

= = + + + −+ + + −

( )22 2 2tEγ θ ε −=

22 2γ θ σ= 5.72

3= için


( )( )

3 3 0 1 1 2 2 0

0 1 5 2 4 3 0

( , )t t t t t

t t t


φ θ ε θ ε ε φ− − −

− − −

= = + + + −+ + + −

3 0γ = 5.73

Böylece, MA(2) modelinde, 3≥ için herhangi bir gecikmenin otokovaryans katsayısı sıfıra eşittir. 0γ γ ’dan 1= için otokorelasyon katsayısı:

( )( )

( )( )

21 1 2 1 1 21

1 2 2 2 2 20 1 2 1 21 1

σ θ θ θ θ θ θγργ σ θ θ θ θ

+ += = =

+ + + + 5.74

2= için otokorelasyon katsayısı

( ) ( )

22 2 2

2 2 2 2 2 20 1 2 1 21 1

γ σ θ θργ σ θ θ θ θ

= = =+ + + +

5.75

ve 3= için otokorelasyon katsayısı

( )

33 2 2

0 1 2

00

1

γργ θ θ

= = =+ +

5.76

şeklindedir. 3≥ gecikmeler için, otokovaryans katsayıları gibi otokorelasyon katsayıları da sıfıra eşittir.

Şekil-5.4 MA(2) Parametresi 0.8 Olan Serinin Grafiği, Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Grafiği

Şekil-5.5 MA(2) Parametresi -0.8 Olan Serinin Grafiği, Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Grafiği

11.1.3. MA(q) Sürecinin Özellikleri

MA(1) süreci ilave gecikmeler ile, MA(q) süreci biçiminde genelleştirilir. MA(q)

süreci15

0 1 1 2 2t t t t q t qr φ ε θ ε θ ε θ ε− − −= + + + + + 5.77


veya diğer bir biçimde

10qjt j t j tr φ θ ε ε= −= + +∑ 5.78

ile gösterilir16. Yüksek dereceli hareketli ortalamaların istatistiksel özellikleri aşağıda verilmiştir.

MA(q) 17 süreci ortalaması; ( ) ( )0 1 1 2 2t t t t q t qE r E φ ε θ ε θ ε θ ε− − −= + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2t t t t q t qE r E E E Eφ ε θ ε θ ε θ ε− − −= + + + + +

( ) 0tE r φ µ= = 5.79

MA(q) sürecinin varyansı

( ) ( ) 22

0 1 1 2 2 0t t t t q t qE r Eµ φ ε θ ε θ ε θ ε φ− − − − = + + + + + −

( ) ( )22

1 1 2 2t t t t q t qE r Eµ ε θ ε θ ε θ ε− − −− = + + + +

( ) ( )2 2 2 2 21 21t qE r Eµ θ θ θ σ− = + + + +

( ) ( )2 2 210 1 q

jt jE r µ γ θ σ=− = = + ∑ 5.80

MA(q) sürecinin otokovaryans fonksiyonu:

( )2

1

0

qj pj p p j

j

j p

j p

εσ θ θ θγ = + −

+ ≤∑= >

5.81

MA(q) sürecinin otokorelasyon fonksiyonu;

16 Detaylı bilgi için bkz. Chatfield Chris, The Analysis Of Time Series An Introduction, Chapman & Hall/Crc, 2005, s.77-90


Zivot Eric ve Wang Jiahui, Modeling Financial Time Series with S-Plus, Springer, 2006, s.64-65



( )

( )1

211

0

qj pj p p j

qj j j

j p

j p

θ θ θρ θ

= + −

=

+ ∑≤

= + ∑

>

5.82

MA(q) sürecinde, hata terimleri ilişkisizdir. Bu durum, j p> için 0jρ = dır. ACF nin

sahip olduğu bu özellikten dolayı, MA(q) sürecinin ACF’si, q gecikmeden sonra kesilir. Aynı zamanda bu özelliğin tersi de doğrudur.

Bir sürecin ACF’si j p> için 0jρ = özelliğine sahip ise, bu süreç MA(q) süreci ile

modellenebilir. Böylece MA modelin gecikme derecesinin belirlenmesinde ACF kullanılabilir. Kısaca bir sürecin ACF’si , j p> için sıfıra eşit ise, süreç MA(q) 18 model ile tanımlanabilir.

11.1.4.MA Modellerinde Gecikme Derecesinin Belirlenmesi

Hareketli ortalamalar modelinde gecikme uzunluğunun tespiti için otokorelasyon fonksiyonu (ACF) kullanılmaktadır. Getiri serisi rt’nin gecikme için ρ otokorelasyon

fonksiyonu (ACF)’de, q> olmak üzere 0qρ ≠ fakat 0ρ = ise, getiri serisi ( tr ) için q

gecikme uzunluğu ile MA(q) modeli uygun modeldir19.

18 Campbell J.Y., Lo A.W., ve Mackinlay A.C.,The Econometrics Of Financial Markets, Princeton University Press, 1997, s.45-46



Uygulamalar


Bölüm Soruları

1) Durağan MA(1) sürecine uygunluk gösteren rt getiri serisinin ( 0 1 1t t tr φ θ ε ε−= + + )


a) ( ) 1 0tE r θ θ= −

b) ( ) 1 0tE r θ φ= +

c) ( )t tE r ε=

d) ( ) 1t tE r ε −=

e) ( ) 0tE r φ= doğru cevap



a) ( )2 2 20 1tE r εµ γ σ θ− = = −

b) ( ) ( )2 20 11tE r µ γ θ− = = +

c) ( )2 2 20 1tE r εµ γ σ θ− = =

d) ( ) ( )2 2 20 1tE r εµ γ σ θ− = = +

e) ( ) ( )2 2 20 11tE r εµ γ σ θ− = = + doğru cevap


1 gecikme için otokovaryansı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a) 2 21 1 1εγ σ θ θ= − +

b) 1 1γ θ=

c) 21 1 εγ θ σ= +

d) 21 1 εγ θ σ= −

e) 21 1 εγ θ σ= doğru cevap


2 gecikme için otokovaryansı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a) 2

2 221 1

1εσγ θ θ= +

b) 2 1γ θ=

c) 22 1 εγ θ σ= +

d) 22 1 εγ θ σ= −

e) 1 0γ = doğru cevap

Cevaplar

1)E, 2) E, 3) E, 4)E,

ÖNSÖZ












İÇİNDEKİLER ............................................................................................................................................. 6

YAZAR NOTU ............................................................................................................................................ 7

12. DOĞRUSAL ZAMAN SERİLERİ-V ......................................................................................................... 8

12.1. Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) Süreci .............................................................. 9

12.1.1.ARMA(1,1) model ........................................................................................................ 15

12.2.ARMA Modelinin Tahmini .............................................................................................. 18

YAZAR NOTU



12. DOĞRUSAL ZAMAN SERİLERİ-V

12.1. Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) Süreci

Zaman serisinin dinamik yapısının uygun biçimde tanımlanabilmesi amacıyla AR ve MA modellerin kullanıldığı bazı durumlarda, çok sayıda parametreye ihtiyaç duyulabilmekte, bu durum ise ilgili modellerin derecesinin yükselmesine yol açarak, çok sayıda parametre

tahmin edilmesini gerektirmektir. Bu zorlukla başedebilmek için, otoregresif hareketli ortalamalar modelinin (ARMA) kullanılması önerilmektedir1.

Zaman serisi analizinin temelini oluşturan Otoregresif Hareketli Ortalamalar Modeli, otoregresif (AR) ve hareketli ortalamalar (MA) olmak üzere iki ayrı bileşenden oluşmaktadır. Hem otoregresif hem de hareketli ortalamalar terimlerini içeren süreç, kısaca ARMA(p,q) 2 ile

adlandırılır ve aşağıdaki gibi gösterilir. 3,

0 1 1 1 1t t p t p t t q t qr r rφ φ φ ε θ ε θ ε− − − −= + + + + + + + 12.92

veya

1 10p qi jt i t i t j t jr rφ φ ε θ ε= =− −= + + −∑ ∑ 12.93

Burada tε , saf hata sürecidir. p ve q negatif olmayan tam sayılardır.

(12.92)’de verilen durağan bir ARMA modeli, üç farklı biçimde formüle edilebilir. Bu üç gösterim, modelin özelliklerinin daha iyi anlaşılabilmesi açısından önemlidir. Bunlardan ilki ARMA modelinin gecikme işlemcisi ile gösterimidir ve aşağıdaki gibi ifade edilir4.

( ) ( )1 0 11 1p qp t q tL L r L Lφ φ φ θ θ ε− − − = + − − − 12.94

1 Detaylı bilgi için bkz. Tsay R.S., Analysis Of Financial Time Series…,s.64

Hamilton, J.D., Time Series Analysis…, s.59-61

2 Nolte I., Pohlmeier W., ve Voev V., Financial Econometrics.., s.22


4 Detaylı bilgi için bkz. Peter P.J., Davis R.A., Introduction To Time Series and Forecasting, Springer-Verlag, 2002, s.55

Taylor Stephen J, Modelling Financial Time Series, World Scientific, 2007


Mills Terence C., ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series, Third Edt. Cambridge University Press, 2008, s.14

ARMA modelin (12.94)’deki gösterimi, modelin daraltılmış biçimi olup, parametre tahmini açısından kullanışlıdır. Bu gösterim ayrıca, tr ’nin birden fazla dönem için, ileriye

yönelik öngörülerin ardışık olarak hesaplanmasında da yararlıdır.

Diğer iki gösterim için, ( ) 11 ipi iL Lφ φ== −∑ ve ( ) 11 iq

i iL Lθ θ== −∑ çok terimlileri

kullanılır. Çok terimliler veri iken, bunlardan hareketle aşağıdaki sonuçlar elde edilir.

( )( )

21 21

LL L L

L

θψ ψ ψ

φ= + + + ≡ 12.95

( ) 21 21L L L Lθ π π π= + + + ≡

Örneğin, ( ) 11L Lφ φ= − ve ( ) 11L Lθ θ= − ise,

( ) ( ) ( ) ( )2 2 311 1 1 1 1 1 1 1

1

11

1

LL L L L

L

θψ φ θ φ φ θ φ φ θφ

−= = + − + − + − +

−

( ) ( ) ( ) ( )2 2 311 1 1 1 1 1 1 1

1

11

1

LL L L L

L

φπ φ θ φ φ θ φ φ θθ

−= = + − + − + − +

− (4.96

ile gösterilir. Bu tanıma göre ( ) ( ) 1L Lψ π = olacaktır. Ayrıca sabitin değerinin zamandan

bağımsız olduğu ( Lc c= ) bilindiğine göre, aşağıdaki sonuçlara ulaşılır5.

( )0 0

11 1 q

φ φθ θ θ

=− − −

ve

( )0 0

11 1 q

φ φφ φ φ

=− − −

(12.96)’daki gösterim kullanılarak, ARMA(p,q) aşağıdaki gibi yazılabilir6.

01 1 2 2

11t t t t

q

r r rφ π π ε

θ θ − −= + + + +− − −

12.97

(12.97)’deki gösterim biçimi, cari dönem getirilerinin ( tr ), 0i > olmak üzere, geçmiş

dönem getirilerinin ( t ir− ) doğrusal fonksiyonu olduğunu gösterir. iπ katsayıları, ARMA

modelin π ağırlıkları olarak adlandırılır. t ir− ’nin gecikmeli değerinin tr ’ye katkısının i artıkça

azaldığını göstermek için, iπ katsayısı, i artıkça sıfıra doğru azalmalıdır. Bu özelliğe sahip,



ARMA(p,q ) modelinin çevrilebilir olduğu kabul edilir. Tam bir AR modeli için, ( ) 1Lθ =

olup, ( ) ( )L Lπ φ= eşitliği geçerlidir. Bu sonlu dereceden birçok terimlidir. Böylece, i>p iken,

0iπ = olup, bu model çevrilebilirdir. ARMA modellerinde, çevrilebilirlik için yeter koşul,

( )Lθ çok terimlisi çarpanlarının sıfıra eşitlenerek köklerinin birden büyük olmasıdır7.

Örneğin, bir MA modelini, 1(1 )t tr Lθ ε= − , göz önüne alalım, birinci derece çok

terimlinin ( 11 θ− ) sıfıra eşit olması ile 11L θ= ’e eşittir. Dolayısıyla, bir MA(1) modeli,

11 1θ > ise, çevrilebilirdir. Bu, 1 1θ < olduğunu gösterir.

(12.97)’deki AR gösteriminden hareketle çevrilebilir ARMA(p,q) serisi olan tr , cari

şokların tε ve geçmiş değerlerin tartılı bir ortalamasının doğrusal bir bileşimidir8. Ağırlıklar,

geçmiş değerlere doğru üssel olarak azalır.

ARMA’nın üçüncü gösterim biçimi, sadece MA terimlerinin bulunduğu bir modelle gösterilmesidir ki; bu oldukça önemli bir basitlik sağlar. ( ) 11 ip

i iL Lφ φ== −∑ ve

( ) 11 iqi iL Lθ θ== −∑ eşitlikleri ve (4.96)’daki ( ) ( ) 2

1 21L L L L Lθ φ ψ ψ ψ= + + + ≡ eşitliği

kullanılarak bir ARMA(p,q) modeli aşağıdaki gibi yazılabilir9.

( )1 1 2 2t t t t tr Lµ ε ψ ε ψ ε µ ψ ε− −= + + + + = + 12.98

(12.98)’de ( ) ( )0 11t pE rµ φ φ φ= = − − − ’ye eşittir. Bu gösterim, geçmiş şokların (

t iε − , 0i > ) cari dönem getirisi ( tr ) üzerindeki etkisini açıkça göstermektedir. { }iψ katsayıları

ARMA modelinde etki tepki fonksiyonu olarak adlandırılır. Zayıf bir durağan seri için, bu katsayılar i arttıkça üssel olarak azalır. Bu, şokun t iε − getiri tr üzerindeki etkisi zamanla

azalacağı için anlaşılır bir durumdur. Böylece durağan bir ARMA modeli için, şok t iε − seriler

üzerinde sürekli diğer bir ifade ile kalıcı etkiye sahip değildir. Eğer 0 0φ ≠ ise, bu durumda MA

gösterimi tr ’nin ortalaması olan sabit bir terim içerir ve ( )0 11 pφ φ φ− − − ile hesaplanır.

Zaman serisi modellerinde, sabit terimin ne anlama geldiğini anlamak önemlidir. Birincisi, bir MA (q) modeli için, sabit terim, basitçe serinin ortalamasıdır. İkincisi, durağan bir AR(p) modeli için veya ARMA (p,q) modeli için, sabit terim, 0 1(1 )pµ φ φ φ= − − − eşitliği

7 Nolte I., Pohlmeier W., ve Voev V., Financial Econometrics.., s.28



üzerinden ortalama ile ilişkilidir10. Üçüncüsü, zamana bağlı sabitli bir rassal yürüyüş modeli için sabit terim, serinin zaman trendi eğimidir. Zaman serisi modellerinde, sabit terim için bu farklı yorumlamalar, dinamik modeller ve geleneksel doğrusal regresyon modelleri arasındaki farkı açıkça göstermektedir.

Dinamik modeller ve regresyon modelleri arasındaki diğer bir önemli fark, aşağıdaki gibi sırasıyla bir AR(1) model ve basit doğrusal regresyon modeli ile gösterilebilir:

0 1 1t t tr rφ φ ε−= + +

ve

0 1y t t txβ β ε= + +

AR(1) modelinin anlamlı olması için, 1φ katsayısı, 1 1φ ≤ koşulunu sağlamak

zorundadır, ancak 1β katsayısı herhangi bir sabit reel sayı olabilir.

ARMA modelinin (12.98)’deki MA gösterimi, öngörü hatasının varyansının hesaplanmasında da kullanışlıdır. h öngörü başlangıcında 1, ,h hε ε − şokları söz konusudur.

Dolayısıyla, -dönem ilerisi nokta öngörüsü aşağıdaki gibidir:

( ) 1 1h h hr µ ψ ε ψ ε+ −= + + + 12.99

ve ilgili öngörü hatası,

( ) 1 1 1 1h h h he ε ψ ε ψ ε+ + − − += + + + 12.100

ile gösterilir. Sonuç olarak, -dönem ilerisi öngörü hatasının varyansı 12.101’de verildiği gibidir:

( ) ( )2 2 21 11hVar e ψ ψ σ−= + + + 12.101

Öngörü ufku (horizon) ’nin azalmayan bir fonksiyonudur.

Son olarak, ARMA modelin (12.98)’deki MA gösterimi, durağan zaman serilerinin ortalamaya dönebildiğinin basit bir ispatıdır. Buradaki durağanlık ise, i →∞ giderken, iψ ,

sıfıra yaklaştığını gösterir. ( )hr ’nın µ ’ya yaklaşma hızı, ortalamaya dönme hızını belirler.

Ayrıca, (12.98)’de →∞ iken, ( )hr µ→ yakınsayacağı sonucunu çıkarabiliriz. Çünkü

( )hr , başlangıç öngörü döneminde h, hr + ’nin koşullu beklentisidir. Bu sonuç, uzun dönemde,

getiri serilerinin, ortalamalarına yaklaşmasının bekleneceğini ortaya koymaktadır, yani, seriler, ortalamaya dönen yapıdadır11. Dahası, (12.98)’deki, MA gösterimini kullanarak,



Açıklamalı [NÇY1]:

2 21( ) (1 )it iVar r εψ σ∞== + ∑ elde edilir. Sonuç olarak, 12.98’le, →∞ iken,

( ) ( )h tVar e Var r→ sonucuna ulaşılır. ( )hr ’nın, µ ’ya, yaklaşma hızı ortalamaya dönme

hızını belirler.

ARMA(p,q) sürecinin genel özelliklerini tanıtmak için kolaylık olması açısından gecikme işlemcisinden yararlanılacaktır. (12.92)’deki ARMA(p,q) sürecinin gecikme işlemcisi ile ifadesi (12.94)’da verilmiştir.

( ) ( )2 21 1 0 1 21 1p q

p t q tL L L r L L Lφ φ φ φ θ θ θ ε− − − − = + + + + +

( ) ( )0t tL r Lφ φ θ ε= + 12.102

21 1(1 ) 0p

pL L Lφ φ φ− − − − = gecikme çok terimlisinin kökleri birim çember dışında

ise, veya diğer cepheden karakteristik denklemin kökleri birim çemberin içerisinde ise süreç

durağandır. Bu özelliği görebilmek için (12.102)’nin her iki tarafı 21 1(1 )p

pL L L rφ φ φ− − − −

ile bölünür;

( )( )

20 1 2

21 1

1

1

qq t

t pp

L L Lr

L L L r

φ θ θ θ ε

φ φ φ

+ + + + +=

− − − −

ve

( ) ( )( )L

LL

θψ

φ=

ile gösterilirse,

( )t tr Lµ ψ ε= + , 0j jψ∞= < ∞∑ 12.103

sonucuna ulaşılır12. Karakteristik denklemin köklerinin tamamı mutlak değeri 1’de küçük ise ARMA13 model zayıf durağandır. Bu durumda sürecin ortalaması;

( ) 0

1 21t

p

E rφµ

φ φ φ= =

− − − − 12.104

ifadesine eşittir. ARMA sürecin durağanlığı 1 2 1pφ φ φ+ + + < şartının gerçekleşmesine

bağlıdır. (12.104)’de görüldüğü üzere ARMA(p,q) sürecinin durağanlığı, sadece otoregresif


13 Detaylı bilgi için bkz. Campbell J.Y., Lo A.W., ve Mackinlay A.C.,The Econometrics Of Financial Markets, Princeton University Press, 1997,

Mills Terence C., ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series, Third Edt., Cambridge University Press, 2008, s.14

parametreler ( 1 2, , , pφ φ φ ) ile ilgili olup, hareketli ortalamalar parametrelerine ( 1 2, , , qθ θ θ )

bağlı değildir14. Kısaca ARMA modelin durağanlığı, modelin AR kısmının durağanlığına bağlıdır. AR ve MA süreçlerinde kullanılan yöntemi ile de aynı sonuca ulaşmak mümkündür15.

Sürecin varyans ve otokovaryanslarının bulunabilmesi için, (12.102)’deki MA modelin

ortalamadan sapmalar ile ifade edilen biçimi kullanılır.

( ) ( ) ( )1 1 1 1t t p t p t t q t qr r rµ φ µ φ µ ε θ ε θ ε− − − −− = − + + − + + + + 12.105

(12.105)’in her iki tarafı ( )tr µ− − ile çarpılır ve elde edilen ifadenin beklenen değeri

alınırsa,

( ) ( ) ( ),t t t tCov r r E r rγ µ µ− −= = − −

aşağıdaki otokovaryans fonksiyonuna ulaşılacaktır. q> olmak üzere otokovaryans

fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

1 1 2 2 p pγ φ γ φ γ φ γ− − −= + + + 1, 2,q q= + + 12.106

0= için 0γ ; tr ’nin varyansına eşittir. (12.106)’dan q gecikmeden sonra p. dereceden bir fark

denklemi izleyen otokovaryans fonksiyonu her iki tarafı varyansa ( 0γ ) bölünerek

otokorelasyon fonksiyonuna ulaşılır.

1 1 2 2 p pρ φ ρ φ ρ φ ρ− − −= + + + 1, 2,q q= + + 12.107

Otokorelasyon fonksiyonu da q gecikmeden sonra p. dereceden bir fark denklemi

izlemektedir.

ARMA ile modellenen zayıf durağan bir serinin, varyans ve otokovaryansları zamandan

bağımsızdır. Bu özelliğin sonucu olarak, otokorelasyon katsayılarının da zamandan bağımsız 14 Hamilton, J.D., Time Series Analysis…, s.60-61

15 0 1 1 1 1t t p t p t t q t qr r rφ φ φ ε θ ε θ ε− − − −= + + + + + + +

Yukarıdaki ARMA(p,q) sürecinin beklenen değeri alınır.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 1 1t p t p t t q t qtE r E r E r E E Eφ φ φ ε θ ε θ ε− − − −= + + + + + + +

( ) ( ) ( )1t t ptE r E r E r µ− −= = = =

ve tε ’nin saf hata süreci özelliği ile ( ) ( ) ( )1 0t t t qE E Eε ε ε− −= = = =

olmaktadır.

0

1 21 p

φµφ φ φ

=− − − − sonucuna ulaşılır.

oldukları görülmektedir. Durağan süreçler için, otokovaryans ve otokorelasyon fonksiyonlarının her ikisinin de oldukça hızla bir şekilde sıfıra gitmesi gerekir. Bu özellikten

dolayı, ARMA modeller kısa hafızalı modeller olarak adlandırılır16. Durağan bir ARMA model için, tε − zamanındaki bir şok, seri üzerinde kalıcı etkiye sahip değildir.

12.1.1.ARMA(1,1) model

Örnek olarak ARMA(1,1) sürecini ele alarak, yukarıdaki özellikleri bu model üzerinde gösterilecektir. ARMA(1,1) modeli17;

0 1 1 1 1t t t tr rφ φ ε θ ε− −= + − − 12.108

ile gösterilir. tε , saf hata sürecidir. ARMA(1,1) sürecin ortalaması için (12.108)’in beklenen

değeri alınır.

( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 1 1t t t tE r E r E Eφ φ ε θ ε− −= + − −

Burada saf hata süreci tε ’nin, ( ) ( )1 0t tE ε ε −= = ve ( ) ( )1t tE r E r µ−= = özellikleri

kullanılarak;

0 1 10 0µ φ φ µ θ= + − −

’dan, ARMA(1,1) modelin ortalaması aşağıdaki gibi elde edilebilir.

( ) 0

11tE rφµφ

= =−

12.109

Bu sonuca göre, ARMA(1,1) sürecinin ortalaması ile AR(1) modelinin ortalaması aynıdır.

1 1φ < ise, süreç zayıf durağandır. Daha önce de bahsedildiği üzere, sürecin

durağanlığının otoregresif parametre olan 1φ ’in değerine bağlı olduğu görülmektedir. 1 1φ <

ise, model çevrilebilirdir18.



18 Detaylı bilgi için bkz. Campbell J.Y., Lo A.W., ve Mackinlay A.C.,The Econometrics Of Financial Markets, Princeton University Press, 1997, s.60


Getiri serisinin ( tr ) varyans ve otokovaryans fonksiyonunu elde etmek için, işlemlerin

daha kolay anlaşılabilir ve daha kısa olması için, 0 0φ = varsayımı yapılmıştır. Böylece

ARMA(1,1) sürecinin ortalaması da sıfıra eşit olacaktır ( ) 0tE r µ= = . Buna göre, ARMA (1,1)

model aşağıdaki gibidir.

1 1 1 1t t t tr rφ ε θ ε− −= + −

ARMA(1,1) sürecinin varyansının hesaplanabilmesi için, öncelikle hata teriminin varyansının bilinmesi gerekir. Bu nedenle öncelikle modelin her iki tarafı tε ile çarpılır,

( ) ( )1 1 1 1t t t t t tr rε φ ε θ ε ε− −= + +

ve elde edilen denklemin beklenen değeri alınır.

( ) ( ) ( ) ( )21 1 1 1, , ,t t t t t t tE r E r E Eε φ ε ε θ ε ε− −= + +

Burada, ( ) ( )1, , 0t t t tE r E rε ε−= = ve ( )1 0t tE ε ε− = özellikleri bilindiğine göre;

( )21 10 0 0tEφ ε θ= + +

( )2 2tE ε σ= 12.110

elde edilir. ARMA(1,1) modelinin varyans denkleminin oluşturması için, model ortalamadan sapma formunda yeniden yazılır19.

( ) ( )1 1 1 1t t t tr rµ φ µ ε θ ε− −− = − + +

ve

( ) ( )( ) 22

1 1 1 1 0t t t tE r E rµ φ µ ε θ ε µ µ− − − = − + − − =

( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1 1 1 12 ,t t t tVar r Var r E rε εφ σ θ σ φθ ε− − −= + + −

12.110’dan ( ) 2,t tE r ε σ= olduğu bilindiğine göre, bu özellikten ( ) 21 1,t tE r ε σ− − = eşitliği

yazılabilir20.


20 Detaylı bilgi için bkz. Peter P.J., Davis R.A., Introduction To Time Series and Forecasting, Springer-Verlag, 2002, s.55-89

Taylor Stephen J, Modelling Financial Time Series, World Scientific, 2007, s.20


( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2 21 1 1 1 1

2 2 21 1 1 1

2

1 2

t t

t t

Var r Var r

Var r Var r

ε ε ε

ε

φ σ θ σ φθ σ

φ θ φθ σ−

−

= + + −

− = + −

tr , zayıf durağan bir seri ise; ( ) ( )1t tVar r Var r−= eşitliği bilinmektedir. Böylece

ARMA(1,1) 21 modelinin varyansı,

( ) ( )2 21 1

0 21

1 2

1tVar rεθ φθ σ

γθ

+ −= =

− 12.111

elde edilir. Varyansın pozitif olabilmesi için; 21 0θ < veya diğer bir ifade ile

1 0φ <

koşulunun gerçekleşmesi gerekir. Bu, AR(1) sürecinin durağanlık koşullu ile aynıdır. Otokovaryans fonksiyonunu elde edebilmek için, modelin her iki tarafı tr− ile çarpılır ve

beklenen değeri alınır.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1 1, , , ,

t t t t t t

t t t t t t t t

r r r r

E r r E r r E r E r

φ ε θ ε

φ ε θ ε− − − −

− − − − − −

= + +

= + +

1= için,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , 0t t t t t t t t t tE r r E r r E r E r E rφ ε θ ε ε− − − − − − −= + + =2

1 1 0 1γ φ γ θ σ= +

12.112

sonucuna ulaşılır. (12.112)’de 0γ yerine (12.111)’de verilen eşiti yazılırsa 1. gecikme için

otokovaryans katsayısı aşağıdaki gibi de ifade edilebilir.

( ) ( ) 21 1 1 11 2

1

1

1 ε

φθ φ θγ σ

φ+ +

= − 12.113

2= için,

( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 1 2, , , ,t t t t t t t tE r r E r r E r E rφ ε θ ε− − − − − −= + +

2 1 0γ φ γ= 12.114

elde edilmektedir. Genel olarak 2≥ için otokovaryanslar aşağıdaki gibidir.

1 1γ φ γ −= 12.115

Otokorelasyon fonksiyonunu elde etmek için yukarıdaki denklemlerin iki tarafı varyansa ( 0γ ) bölünür. Otokorelasyon fonksiyonu (ACF) aşağıdaki gibidir.


( ) ( )1 1 1 11

1 20 1 1 1

1

1 2

φθ φ θγργ φ φθ

+ += =

+ + 1= için,

1 1

0

γρ φ ργ −= =

2≥ için, 12.116

ARMA(1,1) modelinin otokorelasyon fonksiyonu 1ρ ‘de başlar ve hızla sıfıra doğru

azalır. ARMA(1,1) modeli bir dönemlik hafızaya sahiptir, bir dönemden önceki şokların veya yeniliklerin getiri serisi üzerinde etkisi yoktur22.

ARMA(1,1) modelinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir.

( ) ( )1 1 1 111 1 2

1 1 1

1

1 2

φθ φ θφ ρ

φ φθ+ +

= =+ +

1

1 222

1

1

1

1

1

ρρ ρ

φρ

ρ

= 2 1 1ρ φ ρ= özelliğinde, ( )1 1 122 2

11

ρ φ ρφ

ρ−

=−

( )( )

1 1 1 1

1 2 1 1 123

2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 122 3 2 2

1 2 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1 2 2

1 1

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ φ ρρ ρ ρ φ ρ ρ φ ρ ρ φ ρ

φρ ρ ρ φ ρ φ ρ ρ φ

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ φ ρ ρ ρ

−= = =

+ − +

ve benzeri şekilde devam eder. Böylece ARMA(1,1) süreci, durağan bir süreçtir ve otokorelasyon fonksiyonu gibi, kısmi otokorelasyon fonksiyonu da kesilmez.

12.2.ARMA Modelinin Tahmini

ARMA(p,q) modelinde de hareketli ortalamalar modeline benzer durum söz konusudur.

Modelde açıklayıcı değişken olarak, değeri bilinen bağımlı değişkenin gecikmeli değerlerinin yanı sıra, hata teriminin cari ve geçmiş dönem değerleri de yer almakta ve bunların değerleri bilinmemektedir. ARMA(p,q) modeller de MA(q) modeller gibi koşullu en çok benzerlik yöntemi ile tahmin edilmektedir23.


23 Green W.H., Econometric Analysis, 7th. Edition, Pearson, 2012

Uygulamalar




Bu bölümde İki değişkenin birlikte değişiminin ölçüsü kovaryans ve korelasyon, tek bir değişkenin farklı zaman dilimlerindeki değerleri aralarındaki ilişkiyi göstermek amacıyla da hesaplanabileceği öğrenilmiştir. Sadece bir değişkene ilişkin zaman serisi verileri arasındaki birlikte değişimin başlıca ölçüsü olan otokovaryans ve otokorelasyon yaklaşımları öğrenilmiştir.

Bölüm Soruları


( 0 1 1 1 1t t t tr rφ φ ε θ ε− −= + + + )


(Not: 1 1φ < ve ( )20,t IIDε σ )

a) ( )1

1

1tE r µφ

= =−

b) ( ) 0

11tE rφµφ

= =−

c) ( ) 0

1

tE rφµφ

= =

d) ( ) 0tE r µ φ= =

e) ( ) 11tE r µ φ= = −


( 0 1 1 1 1t t t tr rφ φ ε θ ε− −= + + + )


(Not: 1 1φ < ve ( )20,t IIDε σ )

a) ( ) 0 21

1

1tVar r γφ

= =−

b) ( )2

0 21

tVar r εσγφ

= =

c) ( ) 20 11tVar r γ φ= = −

d) ( ) 20tVar r εγ σ= =

e) ( )2 2

1 1 10 2

1

(1 2 )

1tVar r εθ φθ σγθ

+ −= =

−

Cevaplar: 1)B, 2) E,

ÖNSÖZ












İÇİNDEKİLER ............................................................................................................................................. 6

YAZAR NOTU ............................................................................................................................................ 7

13. DOĞRUSAL ZAMAN SERİLERİ-VI ........................................................................................................ 8

13.1. ARMA Modeli Yapısal Kırılmanın Testi .......................................................................... 9

13.2.Uyumun İyiliği: Belirginlik Katsayısı .............................................................................. 10

13.3.Kalıntıların Normallik Testi ............................................................................................. 11

13.4.Model Seçim Kriterleri ..................................................................................................... 11

13.5.Otoregresif Bütünleşik Hareketli Ortalama (ARIMA) Süreçleri ..................................... 13

13.6. Model Seçimine Box-Jenkins Yaklaşımı ....................................................................... 13

YAZAR NOTU



13. DOĞRUSAL ZAMAN SERİLERİ-VI

13.1. ARMA Modeli Yapısal Kırılmanın Testi

Veri yaratma süreci zaman içinde değişikliğe uğrayabilir. Yapısal kırılma varsa, modelin parametreleri de değişecektir. Doğrusal regresyon modellerinde yapısal kırılmanın varlığının araştırılmasında kullanılan Chow testi, ARMA modellerine de uygulanabilir1.

Yapısal kırılmanın varlığı durumunda, ARMA modeller için de veriyi alt örneklere bölerek tahmin edilen modeller, verinin tamamının kullanıldığı modelle göre daha güvenilirdir.

ARMA modelin parametrelerinin zaman içerisinde değişip değişmediğini test etmek

için, öncelikle T gözlem kullanılarak ARMA(p,q) modeli tahmin edilir ve kalıntıların

karelerinin toplamı ( 2

1

T

tte

=∑ ) hesaplanır.

0 1 1 1 1t t p t p t t q t qr r rφ φ φ ε θ ε θ ε− − − −= + + + + + + +

Veri, ( )1,2, bt t= ve ( )1 2, ,b bt t t T+ += olmak üzere iki alt döneme ayrılır. İki alt örnek

tahmin edilir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 1 11 1 1 1 1t t p t p t t q t qr r rφ φ φ ε θ ε θ ε− − − −= + + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 1 12 2 2 2 2t t p t p t t q t qr r rφ φ φ ε θ ε θ ε− − − −= + + + + + + +

ve bu iki modelden kalıntılar karelerinin toplamı ( 2

1(1)

T

tte

=∑ , 2

1(2)

T

tte

=∑ ) hesaplanır.

Bütün parametrelerin eşit olduğu ( 0 :H ( ) ( )0 01 2φ φ= ve

( ) ( )1 11 2φ φ= ve ( ) ( )1 2p pφ φ= , ( ) ( )1 11 2θ θ= ve ( ) ( )1 2q qθ θ= ) hipotezi, aşağıdaki F

istatistiği kullanılarak test edilir.2.

2 2 2

1 1

; 2

2 2

1 1

(1) (2)

(1) (2) 2

b

b

b

b

tT T

t t tt t t t

n T nt T

t tt t t

e e e n

F F

e e T n

= = = +

−

= = +

− + =

+ −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ 13.123

Burada n tahmin edilen parametre sayısıdır ve modelde sabit parametre varsa 1n p q= + + , aksi

takdirde n p q= + ’ya eşittir.



Hesaplanan F değeri, n ve 2T n− serbestlik derecelerindeki tablo değerinden büyük ise

0H hipotezi red edilir. İki ilişki arasındaki fark anlamlıdır. İncelenen iktisadi ilişki zaman

içinde değişmektedir.

13.2.Uyumun İyiliği: Belirginlik Katsayısı

Bölüm 4’ten hatırlanacağı üzere, durağan verilerin kullanıldığı regresyon modelinin tahmin sonuçlarının, gözlemlenen değerlere uyumunun ölçüsü belirginlik katsayısıdır. Getiri

serisinin ( tr ) 1,2, ,t T= ’ye kadar gözlemlenen değerleri kullanılarak, AR(p) model ile

tahmin edilirse, belirginlik katsayısı ( 2R ):

( )

( ) ( )

2 2

1 12

2 2

1 1

ˆ

1

T T

t tt p t p

T T

t tt p t p

r r e

R

r r r r

= + = +

= + = +

−= = −

− −

∑ ∑

∑ ∑

20 1R≤ ≤

denkleminden hesaplanır. Burada r getiri serisinin ortalamasıdır ve

( )1

T

tt pr r T p

= += −∑ formülü ile hesaplanmaktadır. Genellikle, hesaplanan 2R ’nin bire yakın

değer alması, tahmin edilen regresyonun verilere uyduğu anlamına gelmektedir. Bu, durağan

seriler için doğrudur. Durağan olmayan serilerde 2R ’nin yüksek çıkması hiçbir anlam ifade etmez. Gözlem sayısı sonsuza giderken, tr ’nin doğru model olduğu önemli olmaksızın AR(1)

modelinin 2R ’si bire yakınsar. Bilindiği üzere, 2R modelde yer alan parametre sayısının

azalmayan bir fonksiyonudur. Bu nedenle uygulamada genellikle 2R yerine, tahmin edilen

modeldeki parametre sayısını dikkate alan, düzeltilmiş 2R (2R ) kullanılmaktadır. Düzeltilmiş

2R ;

2

2

2

ˆ1

ˆr

Rσσ

= − 13.124

ile elde edilir. Burada; 2ˆrσ getirilerin örnek varyansı, 2σ ise saf hata sürecinin varyansıdır.

Uyumun iyiliğinin tespiti için bilgi kriterleri (AIC, SBC ve diğerleri) 2R ’ye göre daha

kullanışlıdır3.


13.3.Kalıntıların Normallik Testi

Zaman serilerinin analizinde, tahmin edilen AR, MA ve ARMA modellerinin hata

terimlerinin normal dağılıma uygun olduğu varsayılmaktadır. Aksi takdirde modelin tahmin edilen parametreleri ile ilgili yapılan istatistiki testlerin hiç birisi geçerli olmayacaktır.

Kalıntıların normalliğini test etmek için kullanılacak test, Bölüm 1’de anlatılan, Jarque-

Bera testidir. Jarque-Bera testinin temel ve alternatif hipotezleri aşağıdaki gibidir.

0 :H ε normal dağılır.

1 :H ε normal dağılmaz.

Bölüm 1’de verilen test istatistiğinin hesaplanan değeri, verilen bir anlamlılık düzeyinde 2 serbestlik derecesi ile ki-kare tablo değerinden küçük ise, temel hipotez red edilemez (Detaylı bilgi için bakınız, Bölüm 2).

13.4.Model Seçim Kriterleri

Hipotez testi, özellikle yuvalanmamış modellerin testi için uygun değildir. Bu özellik, tahmin edilen AR, MA modelleri arasında nasıl tercih yapılacağı sorusunu beraberinde getirmektedir.

ARMA modelleri arasında tercih yapmanın bir yolu ARMA modelin kurulması ve modelin parametrelerine getirilen kısıtlamaların geçerliliğinin test edilmesidir4. Örneğin AR(1) ile MA(2) modelleri arasında tercih yapılacaksa, ARMA(1,2) modeli tahmin edilerek, önce MA(2) parametreleri sıfıra eşit olacak şekilde sınırlamaya gidilebilir. Daha sonra ise AR(1) parametreleri sıfıra eşit olacak şekilde sınırlandırmaya gidilir. Ancak bu yöntem yeterli değildir. Çünkü bu yöntem, aşırı parametrize olmuş ARMA(1,2)’yi tahmin etmeyi gerektirir.

Aşırı parametrize olmuş bir modelin istenir bir model olmamasının nedeni, parametre tahmininden kaynaklanan hatalar nedeniyle öngörü hata varyansının yükselmesidir. Diğer bir

4 Detaylı bilgi için bkz. Peter P.J., Davis R.A., Introduction To Time Series and Forecasting, Springer-Verlag, 2002, s.137


deyişle, küçük modeller örnek dışı performansı bakımından büyük modellerden daha iyidir. Gerçek veri yaratma sürecinin (DGP) AR(1) model olduğu varsayımı altında5..

1t t tr rφ ε−= +

eşitliği yazılır. Eğer φ biliniyor ise, 1tr+ ’in bir dönem ilerisi için öngörüsü 1t t tE r rφ− = ’dır. Bu

nedenle, ortalama öngörü hata kareleri (MSE) ( )2 2 21 1t t t t tE r r E εφ ε σ+ +− = = ‘dir.. Bununla

birlikte, φ veriden tahmin edildiğinde 1tr+ ’in bir dönem ileri öngörüsü aşağıda verilmiştir.

1ˆ

t t tE r rφ+ = 13.125

Burada φ , φ ’nın tahmin edilen değeridir.

Dolayısıyla ortalama kareler öngörü hatası

( ) ( ) 22

1 1ˆ ˆ

t t t t t t tMSE E r r E r rφ φ φ ε+ + = − = − + 13.126

ifadesine eşittir. 1tε + , φ ve tr ‘de bağımsız olduğu için aşağıdaki biçimde sürdürülür6.

( ) ( )( ) ( )

222

1

2 2 2

ˆ ˆ

ˆ

t t t t t

t t

E r r E r

E r

φ φ φ σ

φ φ σ

+ − = − +

≈ − +

( ) 2ˆ

tE φ φ − kesinlikle pozitif olduğundan, parametrenin belirsizliğin öngörü hata

varyansında payı vardır. Öngörü hata varyansında ortalama kareler öngörü hatası, 2εσ ’yi

aşmaktadır. Burada asıl mesele, parametre tahminindeki hataların, öngörü hata varyansında payı olmasıdır. Bunun yanı sıra tahmin edilen parametre ne kadar fazla ise parametre belirsizliği de o kadar fazladır. Problem, küçük örneklerde özellikle belirgindir. Küçük örneklerde

( )22( ) 1tVar r εσ φ= − ve büyük örneklerde ( ) ( )2 2ˆ ˆ( ) 1tVar E Tφ φ φ φ = − ≈ − olduğu için,

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 12 22 2 2 2

2

ˆ 1 1

1 1

t tE r T

T

φ φ σ φ φ σ σ

σ

− − + ≈ − − + = +

5.127


Green W.H., Econometric Analysis, 7th. Edition, Pearson, 2012


elde edilmektedir. Böylece, T artarken, MSE 2σ ’ye yaklaşır.

Bunun yerine alternatif modeller arasında seçim yapmak için, AIC ve SBC gibi model seçme kriterleri kullanılabilir. Böyle bir model seçme kriteri, tahmin edilen her bir parametre için bir cezayı içeren, uyumun iyiliği ölçümleri olarak görülebilir7.

13.5.Otoregresif Bütünleşik Hareketli Ortalama (ARIMA) Süreçleri

Eğer ARMA modelin karakteristik denkleminden hesaplanan köklerinden bir veya

birden fazlasının mutlak değeri 1’e eşit ise; bu model otoregresif bütünleşik hareketli ortalamalar modeli olarak adlandırılmakta ve ARIMA(p,d,q) ile gösterilmektedir. Burada d,

bire eşit birim köklerin sayısını göstermektedir. Böyle bir ARMA model d. dereceden

bütünleşik bir süreç, diğer bir ifadeyle durağan olmayan bir süreçtir. Ancak d defa farkı alınarak durağanlaştırılır. d. dereceden bütünleşmiş bir modele ARIMA(p,d,q) denir8.

( ) ( )0d

t tL r Lφ φ φ ε∆ = +

0 1 1t t tr rθ φ ε−∆ = + ∆ +

Durağan bir ARIMA(p,0,q) modeli, esasen bir ARMA(p,q) modeldir. Örnek olarak

ARIMA(1,1,1) modeli

0 1 1 1 1d d

t t t tr rφ φ ε θ ε− −∆ = + ∆ + +

ile gösterilir. Burada d bir’dir. Süreç 1. dereceden bütünleşiktir. Dolayısıyla tr serisinin bir kez

farkı alınarak, durağan hale getirilmesi mümkündür. ARIMA(p,0,q) modeli diğer bir biçimde,

( )1 0 1 1 2 1 1t t t t t tr r r rφ φ ε θ ε− − − −− = + − + +

ile gösterilir.

13.6. Model Seçimine Box-Jenkins Yaklaşımı

Zaman serisi modellerinin seçiminde, Box ve Jenkins tarafından önerilen yöntem, en yaygın kullanılan yöntemdir. Box -Jenkins’in model seçimi için önerdiği iki kriter, modelin en




az parametreye (parsimoni) sahip olması ve çevrilebilirlik özelliğinin gerçekleşmesidir9 . Box-

Jenkins yöntemine göre, aynı dinamikleri yansıtma yeterliliği olan iki modelden daha az parametresi olan model diğerine tercih edilir. En az parametreye sahip model, özellikle öngörüde faydalıdır, ancak bu özellik sezgiseldir. Model büyüklüğü yeterli ise, ARIMA modellerinden elde edilen öngörüler örnekleme hatalarından çok az etkileneceklerdir.

Box -Jenkins yöntemi, tanımlama (belirleme), tahmin ve tanımlayıcı testler olmak üzere üç aşamadan ibarettir10.

Şekil-13.1’de zaman serisi modellemesinde Box –Jenkins Yaklaşımı verilmiştir. Box-Jenkins yöntemine göre, model seçiminin ilk aşaması tanımlamada zaman serinin

durağanlığı araştırılır, gerekiyorsa seriler dönüştürülür. Seri durağan ise, serinin otoregresif derecesi (p) ve hareketli ortalamalar derecesi (q) tespit edilir ve uygun ARMA modelleri

kurulur. Seri durağan değil ise, öncelikle kaçıncı dereceden durağan hale geldiği diğer bir ifade ile bütünleşme derecesi tespit edilir. Eğer seri d. dereceden durağan ise, serinin d kez farkı alınır. Farkı alınmış serinin d

tr∆ , otoregresif derecesi (p) ve hareketli ortalamalar derecesi (q)

belirlenir11.


10Rachev S.T., Mittnik S., Fabozzi F.J., Focardi S.M., Jasic T., Financial Econometrics From Basics To Advanced Modeling Techniques, John Wiley & Sons, 2007 s.242-245


Gecikme dereceleri p ve q, serinin otokorelasyon fonksiyonu ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarından, örnek otokorelasyonları ve kısmi otokorelasyonları aracılığı ile belirlenir. Burada tespit edilen model, kesin model olmayıp aday model veya modeldir.

VERİ

TANIMLAMA

d, p , q ‘un tespiti

TAHMİN

ARMA modeller için

TANIMLAYICI TESTLER

Model uygun mu?

MODELİN UYGULAMASI

ÖNGÖRÜ

Şekil-13.1 Box ve Jenkins Model Seçim Süreci

Uygulamalar


ÖNSÖZ












İÇİNDEKİLER ............................................................................................................................................. 6

YAZAR NOTU ............................................................................................................................................ 7

14. ARMA MODELLERİNDE ÖNGÖRÜ ...................................................................................................... 8

14. ARMA Modellerinde Öngörü .............................................................................................. 9

5.7.1. AR Modelinin Öngörüsü ............................................................................................ 11

5.7.2. MA Modelinin Öngörüsü ............................................................................................ 15

5.7.3. ARMA Modelinin Öngörüsü ...................................................................................... 17

YAZAR NOTU



14. ARMA MODELLERİNDE ÖNGÖRÜ

14. ARMA Modellerinde Öngörü

Öngörü, bir zaman serisine ait cari ve geçmiş dönem bilgileri kullanılarak, zaman

serisinin gelecekte alacağı değerlerin olabilirliği ile ilgili tahmin veya tahminlerdir. Öngörü, zaman serilerinin özellikle ARMA modellerinin önemli bir uygulamasıdır. ARMA modellerinin temel amacı, zaman serisinin gelecek dönemlerdeki değerlerinin öngörüsüdür1.

Öngörü uygulamasında kaçınılmaz iki hata kaynağı vardır2. Bunlar,

- Gelecekteki yeniliklerin ve şokların belirsizliğinden kaynaklanan hata, - Parametrelerin gerçek ve tahmini değerleri arasındaki farklılıklardan kaynaklanan

hata,

Otoregresif modellerin önemli bir özelliği, zaman serisinin geçmiş değerlerine dayanarak gelecekte alacağı değerler ile ilgili bilgi sağlamanın mümkün olmasıdır. Uygulamalarda, AR modeller kullanılarak veriyi yaratan sürecin uygun modelinin bulunmasının kolay ve genellikle öngörü açısından da başarılı olduğu görülmüştür3 .

Öngörü, spesifik bir modelden tr ’nin gelecekteki değerini tahmin etmektir. AR(p)

modeli için, h öngörü orjini ve öngörü uzaklık zamanını göstermek üzere, hr + ’nin öngörüsü

ile ilgilendiğimizi varsayalım. Burada , bire eşit veya birden büyük bir tamsayıdır 1≥ . r için

gözlemlerin, 1…..h ’ye kadar dönemler için mevcut olduğu ve tüm öngörülerin h zamanında mevcut olan bu bilgiye koşullu olarak yapıldığı varsayılmaktadır. Kısaca r’nin öngörüsü, h

zamanına kadar olan gerçekleşmiş gözlem değerlerine bağlıdır. Bu gözlemler kümesinin

( )1, ,h hr r − içerdiği bilgi hF ile gösterilecektir4.

( ) ( ) ( )1 2, , ,h h h h h h h hE r E r F E r r r r+ + + − −= = 14.131

Öngörü ile ilgili kavramlar aşağıda verilmiştir.

hr + : gelecekteki h + zamanında r’nin bilinmeyen değeri

hr + ; h zamanındaki mevcut bilgiden elde edilen hr + ’nın öngörü değeri,

ˆh h hr rε + + += − öngörü hatası



3Akgül, I., Zaman Serilerinin Analizi ve ARIMA Modelleri, DER Yayınları, 2003, s. 36.


( )hr , hr + ’nin koşullu beklenen değeri ( )h hE r F+ ’e eşittir. Minimum hata kare kayıp

fonksiyonu kullanılarak, ( )hr ’nin öngörüsü ( )hr aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

( ){ } ( )2 2ˆ minh h h h hE r r F E r g F+ +

− ≤ − 14.132

Burada g, h zamanındaki mevcut bilginin yani hF ’ın fonksiyonudur. ( )hr , h öngörü orjininde

dönem ilerisi için öngörüyü ifade etmektedir. Durağan seriler için öngörü zamanı uzadıkça, öngörüler serinin ortalamasına yaklaşır.

Öngörünün ortalama hata karesi (MSE)5, öngörü hatalarının karelerinin beklenen değeri, en basit anlamda bir ortalamadır. Ortalama hata karesi, pozitif ve negatif öngörü

hatalarına simetrik olarak etkide bulunur ve genellikle öngörü kuralının seçimi için, bir kriter olarak kullanılır. MSE, aynı zamanda hr + ’nın koşullu beklentisidir. Amaç, hr + ’nın en küçük

MSE’ye sahip tahminini ( hr + ) bulmaktır. Buna göre6;

( ) ( )2ˆ ˆh h hMSE r E r r+ + +

= −

( ) ( )( ) ( )( )ˆ ˆh h h h h h hMSE r E r E r E r r+ + + + + = − + −

( )( ) ( )( )ˆh h h h h hE r E r E r r+ + + + − + − =0

dir. Burada ( )( )h h hr E r+ +− sadece 1 2, , ,h h hε ε ε+ + + ’ye, ( )( )ˆh h hE r r+ +− ise sadece

1 2, , ,h h hr r r− − değerlerine bağlıdır. Böylece hr + için MSE aşağıdaki gibidir.

( ) ( )( ) ( ) 2ˆ ˆh h h h h hMSE r MSE E r E E r r+ + + + = + − 14.133

Eğer

( )h h hr E r+ += 14.134

5Mills Terence C., ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series, Third Edition, Cambridge University Press, 2008, s.57 Detaylı bilgi için bkz. Peter P.J., Davis R.A., Introduction To Time Series and Forecasting, Springer-Verlag, 2002, s.105-106


ise ( )hMSE r +’nin değeri minimize edilmiştir. Diğer bir ifade ile zaman serisinin geçmiş dönem

gözlemlerinin belirlediği hr + ’nın koşullu ortalaması ( )h hE r +, ortalama hata karesi bakımından

en iyi tahmincidir7.

14.1. AR Modelinin Öngörüsü

14.1.1. Bir Dönem İlerisi İçin Öngörü

AR(p) modeli,

0 1 1t t p t p tr r rφ φ φ ε− −= + + + +

‘de h öngörü orjinine göre zaman indisi bir dönem ilerisi için kaydırılırsa,

1 0 1 1 1h h p h p hr r rφ φ φ ε+ + − += + + + +

denklemi elde edilir. Minimum hata kare kayıp fonksiyonu altında, hF veri iken , 1hr + ’in nokta

öngörüsü koşullu beklentidir8.

( ) ( )1 0 11

ˆ 1p

h h h i h ii

r E r F rφ φ+ + −=

= = + ∑ 14.135

Örnek olarak, AR(2) modelinde bir dönem ilerisi için öngörü aşağıdaki gibi uygulanır. Öncelikle AR(2) modeli tahmin edilir.

0 1 1 2 2h h h hr r rφ φ φ ε− −= + + +

Parametrelerin sabit olduğu varsayımı altında, (h+1) döneminde de geçerli olan

denklem aşağıdaki gibi yazılabilir.

1 0 1 2 1 1h h h hr r rφ φ φ ε+ + += + + +

ve koşullu beklentisi hesaplanır.

( ) ( ) ( )1 0 1 2 1 1ˆ 1h h h h h h hr E r F E r r Fφ φ φ ε+ − += = + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2 1 1ˆ 1h h h h h hr E r F E r h E r h E hφ φ φ ε+ − += = + + +

7 Rachev S.T., Mittnik S., Fabozzi F.J., Focardi S.M., Jasic T., Financial Econometrics From Basics To Advanced Modeling Techniques, John Wiley & Sons, 2007 s. 272


Ekonometrik literatürde 1hε + , h+1 zamanındaki şok (veya yenilik) olarak bilinmektedir9. h

öngörü orjinine göre bir dönem sonraki şok ( 1hε + ) bilinmediği için, beklenen değeri ( )1hE ε +

sıfıra eşittir. Buna göre 1 dönem ileri için öngörü10,

( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2 1ˆ 1h h h h hr E r F E r h E r hφ φ φ+ −= = + +

( ) ( )1 0 1 2 1ˆ 1h h h h hr E r F r rφ φ φ+ −= = + +


Görüldüğü üzere, gereken bütün bilgi h zamanında bilindiği için, bir dönem ilerisi için öngörü basittir.

Bir dönem ilerisi için öngörü hatası ise, h+1 zamanında gözlemlenen r ile aynı zaman için öngörülen r arasındaki farktır ve aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır

( ) 1 1ˆ1 (1)h h he r r ε+ += − = 14.136

Bir dönem ilerisi için öngörü hatasının varyansı ( ) ( ) 211h hVar e Var εε σ+= = ile ifade edilir.

Şayet 1hr + normal dağılıyor ise, 1hr + ’in %95 güvenirlikle bir adım öncesi için aralık öngörüsü

( )ˆ 1 1.96r εσ denkleminden hesaplanır11. Doğrusal model için, 1hε + aynı zamanda öngörü

orijini h de bir adım öncesi için öngörü hatasıdır.

Uygulamada tahmin edilen parametreler, nokta ve aralık öngörülerini hesaplamak için kullanılır. Tahminde kullanılan örneklem büyüklüğü yeteri kadar büyük olduğunda, koşullu öngörü koşulsuz öngörüye yakındır.





14.1.2. İki Dönem İlerisi İçin Öngörü

Öngörü orjini h olmak üzere, getirinin iki dönem ileri öngörüsü 2hr + için AR(p) model

aşağıdaki gibidir12.

2 0 1 1 2 2h h p h p hr r rφ φ φ ε+ + + − += + + + +

Yukarıdaki denklemin koşullu beklentisinden,

( ) ( )2 0 1 2 2ˆ ˆ2 (1)h h h h p h pr E r F r r rφ φ φ φ+ + −= = + + + + 14.137

denklemine ulaşılır.

Yine AR(2) modeli için iki dönem ilerisi öngörü uygulaması yukarıdaki gibi. Öncelikle denklem h+1 ve h+2 dönemleri için yazılır.

0 1 1 2 2h h h hr r rφ φ φ ε− −= + + +

1 0 1 2 1 1h h h hr r rφ φ φ ε+ + += + + +

2 0 1 1 2 2h h h hr r rφ φ φ ε+ + += + + +

ve bir dönem ilerisi için nokta öngörü değeri aşağıdaki gibi tahmin edildiği bilinmektedir.

( ) ( )1 0 1 2 1ˆ 1h h h h hr E r F r rφ φ φ+ −= = + +

Buradan aynı yöntem takip edilerek 2 dönem ilerisi için nokta öngörü değeri tahmin edilir.

( ) ( ) ( )2 0 1 1 2 2ˆ 2h h h h h h hr E r F E r r Fφ φ φ ε+ + += = + + +

( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 1 2ˆ 2h h h h hr E r F E r h E r hφ φ φ+ += = + +

Burada ( )2 0hE ε + = , ( )1hE r + bilinmemektedir ancak bir dönem ilerisi için nokta öngörü değeri

elimizde mevcuttur. Dolayısıyla denklemde yerine ( )ˆ 1hr ’ye yer verilir ve iki dönem ilerisi için

nokta öngörü denklemi aşağıdaki gibidir13.

( ) ( ) ( )2 0 1 2ˆ ˆ2 1h h h h hr E r F r rφ φ φ+= = + +

Öngörü hatası ise;

( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 1ˆ ˆ2 2 1h h h h h h h he r r r rφ ε ε φ ε+ + + + += − = − + = + 14.138




Öngörü hatasının varyansı ( ) ( )2 212 1hVar e εφ σ= + ’dır. 2hr + ’nin aralık öngörüsü 1hr +

ile aynı şekilde hesaplanır. ( ) ( )2 1h hVar e Var e≥ olması öngörü dönemi arttıkça

öngörüdeki belirsizliğin de arttığını işaret etmektedir. Doğrusal bir zaman serisi için, zaman noktası h de 2hr + ‘de, 1hr + ’e göre daha az emin olunduğu konusunda ortak bir görüş birliği vardır.

14.1.3. Dönem İlerisi İçin Öngörü

Bir ve iki dönem ilerisi için öngörüden sonra, genel olarak dönem ileri öngörü için

aşağıdaki denklem yazılabilir.

0 1 1h h p h p hr r rφ φ φ ε+ + − + − += + + + +

Minimum hata kare kayıp fonksiyonuna dayalı dönem ilerisi için öngörü, hF veri

iken hr + nin koşullu beklentisidir. Bu aşağıdaki şekilde elde edilir14.

( ) ( ) ( )01

ˆ ˆp

h h h i hi

r E r F r iφ φ+=

= = + −∑ 14.139

Burada 0i ≤ ise, ( )h h ir i r += olduğu anlaşılır. 1, , 1i = − için ( )hr i öngörüleri kullanılarak, bu

tahmin yeniden tekrarlı biçimde hesaplanabilir.

0 1 1 2 2h h h hr r rφ φ φ ε− −= + + +

1 0 1 2 1 1h h h hr r rφ φ φ ε+ + += + + +

2 0 1 1 2 2h h h hr r rφ φ φ ε+ + += + + +

3 0 1 2 2 1 3h h h hr r rφ φ φ ε+ + + += + + +

0 1 1 2 2h h h hr r rφ φ φ ε+ + − + − += + + +

AR(2) modeli ile üç dönem ilerisi için öngörü

( ) ( ) ( )3 0 1 2 2 1ˆ 3h h h h h hr E r F E r r Fφ φ φ+ + += = + +

( ) ( ) ( ) ( )3 0 1 2 2 1ˆ 3h h h h hr E r F E r h E r hφ φ φ+ + += = + +

( ) ( ) ( ) ( )3 0 1 2ˆ ˆ ˆ3 2 1h h h h hr E r F r rφ φ φ+= = + +


ve genel olarak dönem ilerisi için öngörü;

( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ1 2h h h h hr E r F r rφ φ φ+ + − + −= = + − + − 14.140

ile gösterilir. Böylece AR(2) süreci için adım ileri öngörü, sabit terim, 1− dönem önceki

öngörü ile 1φ çarpımı ve 2− dönem önceki öngörü ile 2φ çarpımının toplamından

oluşmaktadır15.

adım ileri için öngörü hatası ( ) ( )ˆh h he r r+= − eşitliğinden hesaplanır . Durağan bir

AR(p) modeli için, →∞ iken ( )hr , ( )tE r ’ye yakınsar, yani böyle bir seri için uzun

dönemli nokta öngörüsü, serinin koşullu ortalamasına yaklaşır. Bu özelliğe finans literatüründe ortalamaya dönen süreç denir16. AR(1) model için ortalamaya dönüşüm hızı yarı ömür olarak

tanımlanmakta ve ( ) ( )1ln 0.5 ln φ= ile hesaplanmaktadır. Bu durumda, öngörü hatasının

varyansı, tr ’nin koşulsuz varyansına yaklaşır. AR(1) modeli için ( )t t tx r E r= − ortalamaya

göre düzeltilmiş seriler ise, öngörü orjini h’de hx + nin dönem ilerisi için tahmin

( ) 1ˆh hx xφ= ’dir. Bu yarı ömür öngörü dönemidir ve ( ) 1ˆ

2h hx x= ‘a eşittir. Buna göre 1

1

2φ =

olduğu anlamına gelir. Bu nedenle ( ) ( )1ln 0.5 ln φ= ’dır.

14.2. MA Modelinin Öngörüsü

Hareketli ortalamalar modelleri, sonsuz hafızaya sahip olan otoregresif modellerden farklı olarak, sonlu (kısa) hafızalı modeller oldukları için, modelin nokta öngörüleri hızlı bir şekilde serinin ortalamasına doğru yaklaşır. AR modelde olduğu gibi burada da, h öngörü

başlangıcı ve h zamanındaki mevcut bilgi hF ile gösterilecektir. MA(1) süreci ile bir dönem

ileri öngörüde bulunmak, MA model17

15Brooks C., Introductory Econometrics For Finance…, s.251

16 Detaylı bilgi için bkz. Wei, W.W.S., Time Series Analysis, Univariate and Multivariate Methods, 2nd Edt. Pearson, Addison Wesley, 2006

Yaffee R.A., Mcgee M., Introduction To Time Series Analysis and Forecasting With Applications Of SAS and SPSS, Academic Press, 1999, s.77


17 Detaylı bilgi için bkz. Wei, W.W.S., Time Series Analysis, Univariate and Multivariate Methods, 2nd Edt. Pearson, Addison Wesley, 2006

1 0 1 1h h hr c ε θ ε+ += + − 14.141

ile gösterilir ve beklenen değeri alınır.

( )( )

1 0 1

1 1

ˆ (1)

ˆ1 (1)

h h h h

h h h h

r E r F c

e r r

θ ε

ε+

+ +

= = −

= − = 14.142

Bir dönem ileri öngörü için 0 1 hc θ ε− öngörü hatasının varyansı ise ( ) 21hVar e σ=

‘dır.

2 dönem ilerisi için öngörü

2 0 2 1 1h h hr c ε θ ε+ + += + − 14.143

ve öngörü hatası

( )( )

2 0

2 2 1 1

ˆ (2)

ˆ2 (2)

h h h

h h h h h

r E r F c

e r r ε θ ε+

+ + +

= =

= − = − 14.144

şeklinde elde edilir. Bu sonuç, MA(1) modeli ile iki dönem ilerisinin öngörüsü, modelin koşulsuz ortalamasına ( 0c ) eşittir. Bu herhangi bir h başlangıç öngörüsü için geçerlidir. Genel

olarak 2≥ için ( ) 0hr c= ’dır. Böylece MA(1) model bir dönem sonra ortalamaya döner. 2

dönem ilerisi için öngörü hatasının varyans denklemi ( ) ( )2 212 1hVar e εθ σ= + olmaktadır. İki

dönem ilerisi için hesaplanan öngörü hatasının varyansı, bir dönem ilerisi için hesaplanan öngörü hatasının varyansına eşittir veya daha büyüktür ( ) ( )2 1h hVar e Var e≥ .

Benzer biçimde, h öngörü başlangıç noktasını göstermek üzere, MA(2) model için de 1,2, ve dönem sonrası için öngörü denklemlerini yazmak mümkündür. Öncelikle dönem

sonrası öngörü için MA(2) model18;

0 1 1 2 2h h h hr c ε θ ε θ ε+ + + − + −= + − − 14.145

ile gösterilir.

Yaffee R.A., Mcgee M., Introduction To Time Series Analysis and Forecasting With Applications Of SAS and SPSS, Academic Press, 1999, s.18-22



( )( )

1 0 1 2 1

2 0 2

ˆ (1)

ˆ (2)

h h h h h

h h h h

r E r F c

r E r F c

θ ε θ ε

θ ε+ −

+

= = − −

= = − ( ) 0ˆ ( ) 0h h hr E r F c+= = >

için, 14.146

Yukarıda görüldüğü üzere MA(2) modeli ile çoklu öngörü uygulamasında, ikinci adımdan sonra MA(2) modeli öngörüsü serinin ortalamasına eşittir. Genel olarak MA(q)

modeli için q> ise öngörü serinin tahmin edilen ortalaması olan 0φ ’a eşittir. Öngörü hatasının

varyansı ise, iki dönem sonra serinin varyansına eşit olacaktır.

Böylece genel olarak, MA(q) modeli için çok dönemli öngörü q dönem sonra serinin

ortalamasına eşit olacak ve yine q dönemden sonra öngörü hatasının varyansı ile serinin varyansı eşit olacaktır.

14.3. ARMA Modelinin Öngörüsü

Örnek olarak aşağıdaki ARMA(1,1) modelini ele alalım.

0 1 1 1 1t t t tr rφ φ ε θ ε− −= + + +

h öngörü orjini olmak üzere, 1= için zaman indisi uygun bir şekilde kaydırılarak,

1 0 1 1 1h h h hr rφ φ ε θ ε+ += + + +

biçiminde yazılır ve koşullu beklenen değeri alınır.

( ) ( ) ( )1 0 1 1 1ˆ 1h h h h h h hr E r F E r Fφ φ ε θ ε+ += = + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1 1ˆ 1h h h h h hr E r F E r h E h E hφ φ ε θ ε+ += = + + +

Yine ( )1hE hε + =0 özelliğinden, ARMA(1,1)19 modeline göre, birdönem ilerisi için öngörü

denklemi aşağıdaki gibidir20,

( ) ( )1 0 1 1ˆ 1h h h h hr E r F rφ φ θ ε+= = + + 14.147

19 Yaffee R.A., Mcgee M., Introduction To Time Series Analysis and Forecasting With Applications Of SAS and SPSS, Academic Press, 1999, s.77

Mills Terence C., ve Markellos Raphael N., The Econometric Modelling Of Financial Time Series, Third Edition, Cambridge University Press, 2008, s.14-57


2= için ARMA(1,1) 21 modeli yeniden düzenlenir.

2 0 1 1 2 1 2h h h hr rφ φ ε θ ε+ + + += + + +

ve koşullu beklenen değeri alınır.

( ) ( ) ( )2 0 1 1 2 1 2ˆ 2h h h h h h hr E r F E r Fφ φ ε θ ε+ + + += = + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 1 2 1 1ˆ 2h h h h h hr E r F E r h E h E hφ φ ε θ ε+ + + += = + + +

( )2 0hE hε + = ve ( ) ( )1ˆ 1h h hr E r F+= olduğu bilindiğine göre;

( ) ( ) ( )2 0 1 2 1ˆ ˆ2 1h h h h hr E r F rφ φ φ ε+ += = + +

denklemi, iki dönem ilerisi için öngörü denklemidir. Benzer şekilde devam edilirse;



ve nihayet dönem ilerisi için öngörü denklemi aşağıdaki gibi elde edilmektedir.

( ) ( ) ( )0 1 2 1ˆ ˆ 1h h h h hr E r F rφ φ φ ε+ + −= = + − + 14.148

Görüldüğü üzere, herhangi bir dönem için yapılan öngörü; bir dönem öncesi için yapılan öngörü ve bir dönem önceki öngörü denkleminin tahmininden hesaplanan kalıntılara bağlıdır22.

21Wei, W.W.S., Time Series Analysis, Univariate and Multivariate Methods, 2nd Edt. Pearson, Addison Wesley, 2006


Uygulamalar


fİnansal ekonometrİ - İstanbul...

Documents