uvs kombinatorika

7/23/2019 UVS Kombinatorika

1/78

KOMBINATORIKA

Pripremila:dr.sc. Snjeana Brai,Prirodoslovno matematiki fakultet,Split

[email protected]


2/78

U svakodnevnom ivotu esto ujemorijei:kombiniratiilinapraviti neku

kombinaciju.

Koristimo ih u razliitim situacijama

i za razliita podruja.

Uvod


3/78

Npr.

slikar govori o kombinaciji boja;

sportai govore o dobro smiljenoj iuvjebanoj kombinaciji dodavanja lopte.

(ko je postignut nakon dobre kombinacije)


4/78

Kombincija(ega)

vezivanje srodnih ili razliitih pojmova,osoba, predmeta...(njih dvoje su dobra kombinacija);

Rije kombinacijadolazi od latinske

rijeicombinare = slagati.


5/78

Kombinatorika

matematika disciplina koja se baviprebrajanjem elemenata konanihskupova i njihovih podskupova.

Naziv potjee od

Leibniza(1666).


6/78

esto se u praksi s njim susreemo,npr. prebrojiti ovce u stadu, jabukeu koari, sve stranice neke knjige...

Od davnina su se matematiaribavili problemom prebrojavanja


7/78

Primjeri iz svakodnevnog

ivota


8/78

ifrakoja se sastoji od tri znamenke

aotvara bravu na torbi


9/78

ili mnogo sloenijaifra koja otvarasef, primjeri su primjenekombinatorike u svakodnevnom ivotu.


10/78

Dizajn EAN koda omoguava jednostavnopraenje koliine proizvoda, jednostavnu

provedbu inventure te olakava promjenucijene. Postoje dva dijela koda:barkod(bar-deblja crta, engl.) iEAN brojkoji ima

13 znamenaka.

Univerzalni kod proizvodapojavljuje se na gotovo svimproizvodima koje nalazimou trgovinama.


11/78

JMBG.

0612970315603


12/78

Registracijske tablicena automobilima:


13/78

Na koliko naina moemo izmeu 5

prijatelja odabrati dvojicu za zajednikiodlazak u kino?

Na koliko se naina moe izvui 7brojeva od moguih 49 u igri LOTO?

Neki tipini kombinatorni problemi:


14/78

Na koliko se naina moe na ahovskuplou postaviti osam topova koji se

meusobno ne napadaju?


15/78

MAGINI KVADRAT

Jedan od najstarijih i najpopularnijihproblema zabavne matematike.

Magini kvadrat reda nje kvadratna

tablica tipa nn u koju su upisanibrojevi 1,2,...,ntako da je sumabrojeva u stupcima, retcima i objema

dijagonalama jednaka.

Ta se vrijednost zovemagina suma.


16/78

2 7 6

9 5 1

4 3 8

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Odmah se vidi da ne postoji maginikvadrat reda2.No, za sve ostale vrijednostiodnmagini kvadrati se mogu konstruirati.

Kombinatorni problem:odrediti za kojeprirodne brojeve nmagini kvadrati

postoji, te nai opi algoritam njihovekonstrukcije.


17/78

Kombinatorika izgleda kao zabava,ali ona nije samo zabava.

Kako svoje korijene vue iz zabavnematematike (zagonetaka, igara), a naroitoiz poetaka teorije vjerojatnosti, dugo je

vremena bila na granici izmeu znanosti irazbibrige.


18/78

No, danas je ona iznimno vana ikorisna matematika disciplina i velikje njezin utjecaj i na druge znanosti.

Tome nesumnjivo doprinosi i razvojraunala jer osnovu za njihove

programe esto ine kombinatornialgoritmi.


19/78

Meutim, ve i manji skupovi mogunam zadati probleme ako se elementiskupa na neki nain grupiraju, a mitrebamo izbrojiti koliko ima takvihgrupa.Tada brojanje moe biti pravavjetina.

Ponekad je lako navesti elemente skupai prebrojiti ih ak i ako ih je puno-trebat e samo vie vremena.

Osnovna pravila prebrojavanja


20/78

Ako elementi skupa ine nekupravilnu konfiguraciju, nije nunoefektivno ih odrediti, ve brojelemenata tog skupa moemo

odrediti sluei se nekimmetodama prebrojavanja.

Kombinatorika upravo pronalazi iistrauje te metode.


21/78

Razlikujemo tri osnovne metode ili

pravila prebrojavanja:

pravilo jednakosti,

pravilo zbroja, pravilo umnoka,

ovisno o tome znamo li direktno

odrediti broj elemenata nekog skupa,njegove dijelove ili njegove faktore.


22/78

1. Pravilo jednakosti

Neka suSiTkonani skupovi. Tada je|S|=|T|ako i samo ako postoji bijekcijameu skupovimaSiT.


23/78

2. Pravilo zbroja

Neka je n

N, te neka sukonani meusobno disjunktni skupovi.

Tada je konaan

skup i

S1,S2, ,Sn

i 1

nSi S1 S2 Sn

i1

n

Si i1

n

|Si |.


24/78

Primjer 1.

Na koliko se naina moe izmeu5mukaraca,7 ena,3 djeakai4djevojiceizabrati jedna osoba?

753 4


25/78

3. Pravilo umnoka

Neka je n

N, te neka sukonani skupovi. Tada je Kartezijev

produkt

konaan skup i

S1,S2, ,Sn

i 1

n

Si S1 S2 Sn

i1

nSi

i 1

n|Si |.


26/78

Primjer 2.

Iz gradaAu gradBvode4ceste, a izgradaBu gradCvodi5cesta.

Na koliko se naina moe tim cestamadoi iz gradaA, preko gradaB,u gradC?

A B C

T


27/78

Terem o uzastopnomprebrojavanju

Neka je n

N, te konaniskupovi. Ako za

vrijedi:-prvu komponentu moemo birati na p1naina

-za bilo koju odabranu prvukomponentu, drugu moemo birati nap2naina, itd...

Tada e

S1,S2, ,SnS S1 S2 Sn

|S|

p1

p2

pn.


28/78

Primjer 3. Netko eli poslati svakome odsvojih 5 prijatelja po jednu od 20

razliitih razglednica. Na koliko tonaina moe uiniti?

p1=20,p2=19,p3=18,p4=17,p5=16

2019 18 17 16


29/78

Kombinacije,varijacije,permutacije


30/78

Primjer 4.Na jednoj proslavi sretnu se 4 prijatelja isvi se meusobno rukuju tono jednom.

Koliko je bilo rukovanja?


31/78

Da su2 prijatelja bilo bi 1 rukovanje.Ako su 3 prijatelja, prvi e se rukovati sdrugim i treim, te jo drugi s treim, paimamo 2+1=3 rukovanja.

Za etvoricu prijatelja imamo3+2+1=6 rukovanja.


32/78

Poveavanjem broja prijatelja naglosepoveava i broj rukovanja, pa brojanjepostaje sve sloenije.

Stoga bi se lako moglo dogoditi da sepreskoi neki element te ne uzmu u

obzir svi mogui sluajevi.


33/78

Ali zato se moemo pomoi neimdrugim. Naime, moemo uoiti izvjesnepravilnosti i zakonitosti.

Za5prijatelja, broj rukovanja je1+2+3+4=10.

Za6prijatelja, broj rukovanja je1+2+3+4+5=15...


34/78

Lako se pokae da je zanprijatelja brojrukovanja jednak

1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2.

Iz tih pravilnosti je, dakle, proizala

opa formula po kojoj se mogu rijeitisvi zadatci tog tipa.


35/78

Generalizirajmo:

Ako prijatelje oznaimo s1,2,...,n, ondana problem glasi:

Koliko ima razliitih dvojkii jpriemu poredak nije bitan jer jei jij iisto rukovanje (rukovanje istih ljudi).

To je stoga ekvivalentno problemu:Koliko ima svih dvolanih podskupovaskup od n elemenata?


36/78

Openito,r-kombinacijan-lanog skupa

S je svaki r-lani podskup od S.Broj svih r-kombinacijaiznosi

Dakle, kad god iz nekog skupa koji iman

elemenata odabiremorrazliitih, a danam pritom njihov poredak nije vaan,broj naina da to uinimo jednak je

broju svihr-kombinacija n-lanog skupa.

rn

nr

n!

r!n r!

nn 1...n r 1

12...r


37/78

Z1.Na koliko je naina mogue formiratitrolanu delegaciju iz drutva od 70

ljudi?

ZADATCI


38/78

kombinacije bez ponavljanja

70

3

70

3

n

r

==


39/78

Z2.U nekom hotelu je 176 gostiju.Gazda je odluio 11 gostiju poastiti

bocom dobrog vina. Na koliko nainamoe odabrati te goste?


40/78

17611

176

11

nr

==


41/78

Z3.Od 19 uenika samo njih 8 moemoposlati na izlet. Na koliko naina to

moemo napraviti?


42/78

198

198

nr

==


43/78

Vratimo se naim prijateljima.

Nakon ugodne veeri zakljuili su dase trebaju ee druiti.

Dogovorili su se da svaki prijateljzasebno doe u kuni posjet svakomod preostalih prijatelja.

Koliko su posjeta dogovorili?


44/78

Oznaimo prijatelje s1,2,3i4.Sadana problem glasi:

Koliko ima razliitih dvojkii jpriemu je poredak bitan jer sui jij i

posjeti u razliitim kuama, tj.razliiti posjeti.

To je stoga ekvivalentno problemu:

Koliko se ureenih parova moenainiti od razliitih elemenataetverolanog skupa?


45/78

Openito,r-varijacija(ilir-permutacija)n-

lanog skupa S je svaka ureena r-torkameusobno razliitih elemenata iz S.Broj svih r-varijacijaiznosi

Dakle, kad god iz nekog skupa koji imanelemenata treba odabrati razliitihr,a da nam je pritom poredak vaan, radise or-varijacijama n-lanog skupa.

Vrn nn 1 n r 1.


46/78

U naem sluaju je n=4, r=2, pa je

dogovoreno ukupno 43=12 posjeta.


47/78

Z4.Na koliko je naina mogue izabratipredsjednika,potpredsjednika i tajnika

drutva koje ima 70 lanova, akojedna osoba smije obnaati samo jednufunkciju?


48/78

3

70

3

70

n

r

=

=

70 69 68


49/78


50/78

7 6 5 4

n=7

r=4

7654


51/78

Z6.Koliko ima injekcija s n-lanog

skupa u m-lani, nm?


52/78

m m-1 ... m-n+1

m(m-1)...(m-n+1)


53/78

Ako dopustimo ponavljanje elemenataureene r-torke dolazimo do sljedeegpojma:

r-varijacija(r-permutacija)sponavljanjem n-lanog skupa S je svaka

ureena r-torka elemenata iz S.

Broj svih r-varijacija s ponavljanjemn-

lanog skupa je

Vrn

nr


54/78

Primjer.

Koliko ima peteroznamenkastih brojevaako je doputeno da se znamenkeponavljaju?

Rj. 91010 1010


55/78

Primjer.

Koliko ima svih funkcija s m-lanogskupa u n-lani skup?

Rj. Onoliko koliko ima ureenih m-torki elemenata iz n-lanog skupa

nm


56/78

Svaka n-varijacija n-lanog skupa nazivasepermutacija(lat.permutare= promijeniti)tog skupa. Broj svih permutacija je

n n!


57/78

Z7.Sedam prijatelja kupilo je 7 karataza kino. Na koliko ih naina oni mogu

meusobno podijeliti?


58/78

Permutacije bez ponavljanja

7

7

7

7 7!

n

r

=

=

=

7 6 5 4 3 2 1


59/78

Z8.Na koliko naina moe 9 ljudi sjestina 9 stolica (po jedan na svaku)?


60/78

Permutacije bez ponavljanja

9!


61/78

Z9.Kada bismo htjeli 10 knjigaispremjetati na polici na sve moguenaine, vidjeli bismo da je to golemposao jerse tih 10 knjiga moeporedati, ni manje ni vie, nego na

10!=3 628 800razliitihnaina.

N kd bi k d ih k ji bil


62/78

No, kada bi neke od tih knjiga bileiste, razmjetaja bi bilo znatno manje.

Npr. ako od tih 10 knjiga imamo trirazliite i to2 K1, 3 K2 i 5 K3,tada se ukupni broj svih razmjetajatreba podijeliti s brojem razmjetajaistih knjiga (jer razmjetaji istih knjigasu isti razmjetaji).

Broj razmjetaja je stoga:10!

2!3!

5!

2520.

Tk jtj i t ij


63/78

Takve razmjetaje nazivamopermutacijes ponavljanjem.

Npr. Koliko se desetslovnih rijei moenainiti od rijeiMATEMATIKA?

10!2!2!3!

151200.

A koliko se devetslovnih rijei moenainiti od rijeiDUBROVNIK?

9! = 362880.

Oit j llk ib jitiklik


64/78

No, ako dijelovi nisu meusobnodisjunktni, to nije tako lako.

1,S2, ,Sn

Odgovor na to pitanje daje namFUI- formula ukljuivanja,

iskljuivanja

i 1

n

Si

Oito je vrlo lako izbrojiti koliko

elemenata ima cjelina ako su

dijelovi meusobnodisjunktni (pravilo zbroja).


65/78

Formula ukljuivanja-iskljuivanja

Ponekad je lake prebrojiti elementenekog skupa indirektno. Na primjer,ako elimo izbrojiti sve prirodne

brojeven 1000koji nisu djeljivi s20,izbrojit emo one koji su djeljivi s20(jer ih je manje) i taj broj oduzeti od

1000(od ukupnog broja ).

Dakle,|A| |S| |Ac | 1000 100020

950.

B


66/78

Za imamo

ili ekvivalentno

Openito, za

tj.

,B

|A B | |A| |B | |A B |

|Ac Bc | |S| |A| |B | |A B |

A1, ,An S, Aic

S Ai,

|A1 An| i1

n

|Ai| 1ijn

|Ai Aj| 1n1|A1 An|

|A1c

Anc | |S| |A1 An |


67/78

Primjer.

Na koliko naina moemomrazliitihpredmeta staviti u n (nm)razliitihkutija tako da nijedna ne bude prazna?

ili ekvivalentno

Koliko ima surjekcija sa m-lanog skupa

u n-lani skup?

Nekasudaniskupovi


68/78

x1, ,xm i Y y1, ,yn , n,m N.

Neka su dani skupovi

Oznaimo sSi f F y i fX .

Stoga jeSic

f F y i fX ,

pa je broj svih surjekcija jednak i 1

n

Sic

|F| i 1

n

|Si | 1 ijn

|Si Sj | 1n|S1 Sn |

nm n1

n 1m n2

n 2m 1n nn 1m

k 0

nn

k n km 1k.


69/78

Prijatelji na

rastanku


70/78

Bilo je ve prilino kasno kada su se

nai prijatelji odluili rastati. Kako sena svakoj zabavi obino obilno popije,ustali su teturajui i krenuli da s

vjealica uzmu svoje eire. Pokazalose da je svaki od njih uzeo pogreaneir.

Na koliko su nainamogli to uiniti ?

Id t


71/78

Idemo postepeno.

Ako sudvojica, oznaimo ih sa A i B, anjihove eire saaib, onda moe bitisamo ovaj sluaj: Ab, Ba.

Ako sutrojicaA, B, C, onda su dva sluaja: AbBcCa

AcBaCb.

Kako bi bilo za njih etvoricu: A, B, C i D?

AkojeAuzeoeirb imamosljedeetri


72/78

Ako jeAuzeo eirb, imamo sljedee trimogunosti :

AbBa Cd Dc AbBc Cd Da AbBd Ca Dc.

Ako jeAotiao sa eirom c, opet imamotri mogunosti.

I napokon, da jeAotiao sa eirom d,bilo bi opet tri mogunosti.

Ukupno, dakle, ima33=9 mogunosti.

Ovajproblem sepopularnozovederanman


73/78

Radilo se o problemu zamjene pisama.

Ovaj problem su, ali udrugom obliku, rijeiliL. Euler i N. Bernoulli.

Ovaj problem se popularno zovederanmanilitotalna zbrka. Ve zan=5imamo44

mogunosti i ovako nabrajajui bio bi tekorijeiv. Ope rjeenje se dobije preko FUI-a:

n n! 1 11!

12!

13!

. . . 1n 1n!


74/78

Elemente kombinatorike poznavale sui stare matematike (indijska, kineska,arapska itd.).

Indijski matematiar Baskara, roen1114. godine doao do mnogih formula(bez dokaza) koje su pokazivale razvijen

smisao za kombinatorne probleme.

Kombinatorikeimaiu


75/78

Kombinatorike ima i uprikazivanju njihovog

bogaVine.

Ve prema tome kako su i kojim redom bilirasporeeni ti predmeti u rukama,postojala su i razliita imena (koliko ih je?)tog boanstva.

To je boanstvo s etiri ruke.

U jednoj ruci dri batinu, udrugoj plou, u treoj lotosovcvijet, a u etvrtoj koljku.


76/78

Sljedei primjer je rije

ABRACADABRA,u kojoj dolazi do izraaja srednjovjekovnamistika jer je ta rije, kako se vjerovalo,

imala udesno svojstvo-njome su se, naimemogle lijeiti mnoge bolesti, a naroitotrodnevna groznica.

Kombinatorna strana te prie je u nainupisanja i itanja te rijei. Prema receptulijenikaSerenusa Saunonicusatrebalo jetu rije napisati ovako:


77/78

A b r a c a d a b r a

A b r a c a d a b r

A b r a c a d a b

A b r a c a d a

A b r a c a d

A b r a c a

A b r a c

A b r a

A b r

A b

A

I onda je

proitati,poinjui odsvakog velikogAdo gornjegau desnomvrhu, iduidesno i/ili

ukoso desno.

Na taj senain ta rijemoe proitati

1024puta.

Z i jbl ik l i


78/78

Zaista je bolesniku morala proitrodnevna groznica dok je pronalazio

sve mogue naine da ita ovuarobnu rije.

A moda bi i mnoga naa djecaozdravila od matematike averzijekada bi vidjela njezino zabavno lice.

uvs kombinatorika

Documents