dominók és kombinatorika

Dominók és kombinatorika

Hajnal Péter

SZTE, Bolyai Intézet

A szereplők

Dominó

A szereplők

Dominó Tábla

A szereplők

Dominó Tábla

Mezők, szomszédság (4-szomszédság)

A szereplők

Dominó Tábla

Fedés

Lefedhető-e?

ALAPPROBLÉMA:

Adott T tábla.

Lefedhető-e?

Lefedhető-e?

0. Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?

Lefedhető-e?

0. Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?

NEM Fedés esetén páros sok mezőnek kell lenni.

Lefedhető-e?

0.5 Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?

Lefedhető-e?

0.5 Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?

NEM

A két fekete mezőnek egy szomszédja van.

Lefedhető-e?

1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?

Lefedhető-e?


NEM

Minden dominó egy fehér és egy fekete mezőt fed le. 32 fekete és 30 fehér mezőnk van.

Lefedhető-e?


NEM

32 fekete mezőnknek a szomszédsága 30 fehér mező.

Lefedhető-e?

Tétel: Egy tábla akkor és csak akkor nem fedhető le dominókkal, ha valamelyik színben kijelölhető néhány mező úgy, hogy szomszédainak száma kevesebb legyen mint a kijelölt mezők száma.

Lefedhető-e?

Probléma: Adott tábla lefedhető-e dominókkal?

Válasz: NEM

Bizonyítási séma: Adjunk meg valahány azonos színű mezőt úgy, hogy szomszédaik kevesebben legyenek mint ők maguk.

Tétel: A fenti séma egy teljes séma.

Lefedhető-e?

Adott egy T tábla. Lefedhető-e?

IGEN

Hány fedés van?

NEM

Maximum hány dominó

rakható le?

Lerakható dominók maximális száma 2. Feladat: Maximum hány dominó rakható le

az alábbi táblára?

Lerakható dominók maximális száma 16 dominó könnyen larakható:

Lerakható dominók maximális száma 16 fekete, 24 fehér mező.

Minden dominó 1 fekete mezőt fed le.

Maximum 16 dominó rakható le.

Lerakható dominók maximális száma 3. Feladat: Maximum hány dominó rakható le

az alábbi táblára?

Lerakható dominók maximális száma 7 dominó könnyen lerakható:

Lerakható dominók maximális száma 8 fekete mezőt, 3 fehér szomszéddal

jelöltünk be.

A bejelölt 8 fekete mezőből legfeljebb 3 lehet fedve.

Lerakható dominók maximális száma 8 fekete mezőt, 3 fehér szomszéddal

jelöltünk be.

A bejelölt 8 fekete mezőből legfeljebb 3 lehet fedve. Legalább 5 fekete mező fedetlen.

Lerakható dominók maximális száma 6 fehér mezőt, 2 fekete szomszéddal

jelöltünk be.

A bejelölt 6 fehér mezőből legfeljebb 2 lehet fedve. Legalább 4 fehér mező fedetlen.

Lerakható dominók maximális száma Összesen 12 fekete és 11 fehér mező:

Legfeljebb 12-5=11-4=7 dominó rakható le.

Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány

dominó rakható le? Válasz: k


dominó rakható le? Válasz: k I. séma: Mutassunk fel egy M dominó

lerakást, amelyben k dominó szerepel.

Legyen d az M által lefedetlen fekete mezők száma.



lerakást, amelyben k dominó szerepel. II. séma: Adjunk meg s+d fekete színű mezőt

úgy, hogy s szomszédja legyen.



lerakást, amelyben k dominó szerepel. II. séma: Adjunk meg s+d fekete színű mezőt

úgy, hogy s szomszédja legyen.

Tétel: Ez egy teljes séma.

Hányféleképpen fedhető le?

4. Feladat: Az alábbi tábla hányféleképpen fedhető le dominókkal?

Válasz=V(tábla oszlopainak száma) V(16)=?


Első fajta indulás:

V(n-1)-féle befejezés.


Első fajta indulás:

V(n-1)-féle befejezés. Második fajta indulás:

V(n-2)-féle befejezés.


Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2).



Egyszerű: V(0)=1, V(1)=1, V(2)=2.



Egyszerű: V(0)=1, V(1)=1, V(2)=2.

Teljes indukció: V(n)= Fibonacci-számok.


5. Feladat: Az alábbi tábla hányféleképpen fedhető le dominókkal?

Válasz=V’(tábla oszlopainak száma) V’(16)=? V’(2k+1)=0, V’(2k)=?


Lehetséges kezdések:

…


V’(n)=3V’(n-2)+2V’(n-4)+2V’(n-6)+2V’(n-8)+... V’(n-2)= 3V’(n-4)+2V’(n-6)+2V’(n-8)+…

V’(n)-V’(n-2)=3V’(n-2)-V’(n-4) V’(n)=4V’(n-2)-V’(n-4)

Könnyen számolható: V’(0)=1,V’(2)=3, V’(4)=11


6. Feladat Bizonyítsuk be, hogy V’(16) páratlan.


Egy tábla típus:


Azték gyémánt, AGy(n):

n


Azték gyémánt, AGy(n):

Kék mezők száma: n =n(n-1)/2 Összes mezők száma: 4 n


AGy(2) fedései:


Tétel: n

AGy(n) fedéseinek száma 2 .


Egy tábla típus:

N(2n)


Tétel:

N(2n)-nek

fedése van.

A fedések összessége

7. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó:


7. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó:

7.5 Feladat: Bizonyítsuk be, hogy AGy(n) minden fedésében van két szomszédos dominó.


Bizonyítás: N(6)?


?


Lemma: N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó:

Lemma: AGy(n) minden fedésében van két szomszédos dominó.

Szomszédos dominók=Csavarás a fedésben.


AGy(2) gráfja:


AGy(2) gráfja:

Tétel: AGy(n) és N(2n) gráfja összefüggő.

Tábla telítése

Tábla:

Telített tábla: további dominó nem rakható le.

Tábla telítése

Tábla:

Telített tábla: további dominó nem rakható le.

Mi a minimális számú dominó, ami a telítéshez szükséges?

Tábla telítése

8. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy a 6x6-os táblán bárhogy elhelyezünk 11 dominót lesz hely egy továbbinak is.

Tábla telítése

Megjegyzés: A 6x6-os tábla telíthető 12 dominóval:

Tábla telítése

Megoldás: INDIREKT 11 dominó=14 üres mező

Tábla telítése

Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik

alatt egy dominó.

Tábla telítése


alatt egy dominó. Ezek különbözőek.

Tábla telítése


alatt egy dominó. Ezek különbözőek. x≤11.

Tábla telítése


alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban legalább 3 üres mező.

Tábla telítése


alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.

Tábla telítése

Az alsó féltáblán legalább

6=5+0,5+0,5

dominó.

Az felső féltáblán legalább 6 dominó.

Ellentmondás.

Tábla telítése

Jóval NEHEZEBB feladat:

Mi a helyzet n x n-es táblával?

Dominó lerakás javítása

Telítésnél addig rakunk le dominókat, amíg két szomszédos üres mezőt találunk.



Triviális javítás: két szomszédos üres mezőre egy új dominó lerakása.



Triviális javítás: két szomszédos üres mezőre egy új dominó lerakása.

Telítés: triviális javításokat végzünk, amíg lehet.


Dominó kígyó:


Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:


Ha a dominó kígyó fejénél és farkánál is üres mező van:


Kígyó javítás:

Szükséges két üres mező, köztük egy dominó kígyó.

A dominó kígyó ”megeszi” a fejénél lévő üres mezőt, ezzel helyet csinál a farkánál egy új dominónak.


Kígyó javítás:

Szükséges két üres mező, köztük egy dominó kígyó.

A dominó kígyó ”megeszi” a fejénél lévő üres mezőt, ezzel helyet csinál a farkánál egy új dominónak.

Tétel: Ez egy univerzális javítási technika.


9. Feladat: Bizonyítsuk be, ha a 6 x 6-os sakktábla bármely két különböző színű mezőjét elvesszük, a maradék tábla lefedhető dominókkal.


Megoldás: Vegyük a következő fedést:

Egy önmaga farkába harapó kígyó.


Vegyük a két kiüresítendő mezőt. Meghatá- roznak egy részkígyót:

A részkígyó fejét és farkát kell kiüríteni.


Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

dominók és kombinatorika

Documents