Kombinatorika jegyzet s feladatgyjtemnyKirly Balzs, Tth LszlPcsi Tudomnyegyetem20112Lektor: Ktai Imre egyetemi tanr, az MTA rendes tagjaTartalomjegyzkElsz 5I. Jegyzet 7I.1. Permutcik, varicik, kombincik 9I.1.1. Permutcik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.1.2. Ismtlses permutcik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.1.3. Varicik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.1.4. Ismtlses varicik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.1.5. Kombincik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.1.6. Ismtlses kombincik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.2. A binomilis s a polinomilis ttel 19I.2.1. A binomilis ttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.2.2. A polinomilis ttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.2.3. A binomilis egytthatk tulajdonsgai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.3. Szitakpletek 27I.4. sszeszmllsi feladatok 31I.4.1. sszeszmllsi feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31I.4.2. Egsz szmok partcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I.5. Kombinatorika a geometriban 37I.6. Fibonacci-szmok 41I.7. Catalan-szmok 45I.8. Stirling-szmok 51I.8.1. Msodfaj Stirling-szmok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51I.8.2. Elsfaj Stirling-szmok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54I.9. Grfelmleti fogalmak 59I.9.1. A grfok szemlletes bevezetse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59I.9.2. Egyszer grfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62I.9.3. Fagrfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67I.9.4. Fesztfk, Kruskal-algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72I.9.5. Multigrfok, grfok bejrsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7534 TARTALOMJEGYZKII. Feladatgyjtemny 77II.1. Permutcik, varicik, kombincik 79II.1.1. Kidolgozott pldk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79II.1.2. Tovbbi gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100II.2. A binomilis s a polinomilis ttel 105II.2.1. Kidolgozott pldk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105II.2.2. Tovbbi gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108II.3. Szitakpletek 111II.3.1. Kidolgozott pldk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111II.3.2. Tovbbi gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115II.4. sszeszmllsi feladatok 117II.4.1. Kidolgozott pldk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117II.4.2. Tovbbi gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120II.5. Kombinatorika a geometriban 123II.5.1. Kidolgozott pldk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123II.5.2. Tovbbi gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125II.6. Fibonacci-szmok 127II.6.1. Kidolgozott pldk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127II.6.2. Tovbbi gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134II.7. Catalan-szmok 135II.7.1. Kidolgozott pldk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135II.7.2. Tovbbi gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140II.8. Stirling-szmok 143II.8.1. Kidolgozott pldk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143II.8.2. Tovbbi gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146II.9. Grfelmleti fogalmak 147II.9.1. Kidolgozott pldk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147II.9.2. Tovbbi gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171III. Megoldsok, tmutatsok, eredmnyek 173III.1. Permutcik, varicik, kombincik 175III.2. A binomilis s a polinomilis ttel 185III.3. Szitakpletek 189III.4. sszeszmllsi feladatok 191III.5. Kombinatorika a geometriban 195TARTALOMJEGYZK 5III.6. Fibonacci-szmok 199III.7. Catalan-szmok 205III.8. Stirling-szmok 207III.9. Grfelmleti fogalmak 2096 TARTALOMJEGYZKElszEzt a jegyzetet s feladatgyjtemnyt azoknak az eladsoknak, illetve gyakorlatoknak az anyagaialapjn rtuk, amelyeket az elmlt vekben a PTE TTK Matematika BSc szakos hallgatknak aKombinatorika cm trgy keretben tartottunk a nappali s levelez tagozaton.A jegyzet s a pldatri rsz felleli az emltett szak Kombinatorika trgynak tematikjbanszerepl anyag szinte teljes egszt.Ez a tananyag jl hasznlhat tovbb a Matematika BSc szakon az Elemi matematika trgyhoz,tovbb a Programtervez Informatikus s Fizika BSc szakokon a Diszkrt matematika s ezzelrokon trgyakhoz.Arra trekedtnk, hogy a legegyszerbb bizonytsokat, megoldsokat, magyarzatokat adjuk.Ugyanakkorsokesetbentbbbizonytst,illetvemegoldstisadtunkugyanarraaproblmra.Az elmleti rszben is tallhatk megoldott s kitztt feladatok, olyanok, amelyek kiegsztik abemutatott anyagrszeket. Remljk, hogy mindezek hozzsegtenek az anyag alaposabb s jobbmegrtshez.A pldatri rszben gyakorl s nehezebb feladatok is szerepelnek, ezek rszletes megoldsokkal,illetve tmutsokkal s eredmnyekkel vannak elltva.Kszlt a Trsadalmi Megjuls Operatv Program TMOP - 4.1.2-08/1/A kdszm plyza-tnak keretben LATEXdokumentumkszt rendszer felhasznlsval, bngszhet PDF formtum-ban.Ksznetnket fejezzk ki a lektornak, Ktai Imre egyetemi tanrnak, az MTA rendes tagjnak,akinek szrevteleit s hasznos tancsait felhasznltuk a tananyag vgs vltozatnak kidolgoz-sban.A szerzk78 TARTALOMJEGYZKEls rszJegyzet9I.1. fejezetPermutcik, varicik, kombincikI.1.1. PermutcikI.1.1.1.Feladat. Hnyfle sorrendje van az1, 2, 3 szmoknak?Megolds. Hatfle sorrend van, ezek a kvetkezk:123 132 213 231 312 321I.1.1.2.Feladat. Hnyfle sorrendje van aza, b, c, d betknek?Megolds. A sorrendek szma24, ezek:abcd abdc acbd acdb adbc adcbbacd badc bcad bcda bdac bdcacabd cadb cbad cbda cdab cdbadabc dacb dbac dbca dcab dcbaI.1.1.3.Denci. Tekintsnk vges sok klnbz elemet. Ezek klnbz sorrendjeit az elemekpermutciinak nevezzk. A permutcik kpzst (felrst) az elemek permutlsnak nevezzk.Ha adottn klnbz elem, akkor jelljePn ezek sszes permutciinak szmt.Az I.1.1.1 FeladatbanP3 = 6, az I.1.1.2 Feladatban pedigP4 = 24. Krds: MennyiPn?Emlkeztetnk a kvetkez fogalomra: A k 1 termszetes szm faktorilisa k! =123k.gy pl.1! = 1,2! = 2,3! = 6,4! = 24, . . . . Rgtn addik, hogy (*)k! = (k1)!k, aholk 2. Ha(*)-bank = 1, akkor kapjuk, hogy1 = 0!, ez indokolja, hogy megllapods szerint0! = 1 legyen.I.1.1.4. Ttel. Ha n1, akkor n klnbz elem sszes permutciinak szma n!, azaz Pn =n! .Bizonyts. Az els helyre az n elem kzl brmelyiket rhatjuk, ez n lehetsg, a msodik helyrea megmaradtn1 elem brmelyike kerlhet, ezn1 lehetsg. Az els kt elemet gyn(n1)-flekppen vlaszthatjuk meg. Tovbb, a harmadik elem a megmaradt n2 elem brmelyike lehet,ez jabbn2 lehetsg, ..., az utols,n-edik elem megvlasztsran(n1) = 1 lehetsgnkvan. Kapjuk, hogyPn =n(n1)(n2)3 2 1 = n!.Mskpp: n szerinti indukcival. Han = 1, akkorP1 = 1, ami igaz. Tegyk fel, hogyPn1 ==(n1)!. Ha most n klnbz elem permutciit kpezzk, akkor az els helyre brmelyik elem1112 I.1. FEJEZET. PERMUTCIK, VARICIK, KOMBINCIKkerlhet, a fennmarad n1 elemet pedig Pn1 =(n1)!-flekppen permutlhatjuk. gy mindenpermutcit megkapunk s pontosan egyszer, tehtPn =Pn1+Pn1+... +Pn1. .nszer= nPn1 =n(n1)! = n! ,amit igazolnunk kellett.TehtP1 = 1! = 1,P2 = 2! = 2,P3 = 3! = 6,P4 = 4! = 24,P5 = 5! = 120,P6 = 6! = 720,... .Atovbbiakbanemlkeztetnkazinjektv, szrjektvs bijektvfggvnyekfogalmrasnhny tulajdonsgra.I.1.1.5. Denci. Legyenek As Btetszlegesnemreshalmazokslegyenf:A Begyfggvny (lekpezs). Azt mondjuk, hogyf injektv, haAklnbzelemeinekklnbzkpelemekfelelnekmeg, azaz, habrmelyx1, x2A,x1,=x2 esetnf(x1) ,=f(x2). Ez egyenrtk a kvetkez lltssal : Brmelyx1, x2Aesetn, haf(x1) = f(x2), akkorx1 =x2;fszrjektv, haB-nek minden eleme kpelem, azaz, ha brmelyy Besetn ltezikx Agy, hogyf(x) = y. Ez a felttel gy is rhat:f(A) :=f(x) : x A = B;fbijektv, ha injektv s szrjektv, azaz, ha mindeny B-re ltezik egy s csak egyx Agy, hogyf(x) = y.I.1.1.6.Feladat. Adjunk pldt olyan vgesA sBhalmazokra s olyanf: A Bfggvnyre,amelyi) injektv, de nem szrjektv,ii) szrjektv, de nem injektv,iii) nem injektv s nem szrjektv.I.1.1.7.Feladat. LegyenekA sBegyenl szmossg vges halmazok s legyenf: A Begyfggvny. (Specilisan, legyen A=B egy vges halmaz s legyen f : AA egy fggvny.) Igazoljuk,hogy a kvetkez lltsok egyenrtkek:i)finjektv,ii)fszrjektv,iii)fbijektv.Az a1, a2, ..., an klnbz elemek permutciit gy is denilhatjuk, mint az adott a1, a2, ..., anelemekbl alkotott (ai1, ai2, ..., ain) olyanrendezett elemn-eseket (nkomponensvektorokat),amelyekbenai1, ai2, ..., ainpronknt klnbzek. Ennl pontosabb denci a kvetkez:I.1.1.8. Denci. Permutciknak nevezzk egy vges halmaz nmagra val bijekciit (bijektvlekpezseit).Rszletesebben:haAegyvges, nelemhalmaz(n 1),akkorApermutciiazf: A A bijektv fggvnyek. HaA = 1,2, ...n, akkor tehtA permutcii azf: 1,2, ..., n 1,2, ..., n bijektv fggvnyek. Ezeketn-edfok permutciknak nevezzk s gy jelljk:f=_1 2 . . . nf(1) f(2) . . . f(n)_.I.1.2. ISMTLSES PERMUTCIK 13I.1.2. Ismtlses permutcikI.1.2.1.Feladat. Hnyfle klnbz sorrendje van a MATEMATIKA sz betinek?Megolds. Klnbztessk meg a kt M bett, a hrom A bett s a kt T bett, pl. gy,hogy ms-ms sznnel jelljk ket: MATEMAT IKA.Akkor10 klnbz elem permutciirl van sz s ezek szmaP10 = 10!. De a hromA betegyms kztti permutlsa, ezek szma 3! =6, valjban nem vltoztat a sorrenden (ismt azonossznnel rjuk ket). Hasonlan az A s T betkre vonatkozan. A lehetsges sorrendek szma:10!2!3!2!= 151 200.I.1.2.2. Denci. Azolyanelemekklnbzsorrendjeit,amelyekkzttegyenlekisvannakismtlses permutciknaknevezzk. Hanelemkzl k1elemegymssal egyenl(azonos),tovbbi k2 elem egymssal egyenl s az elbbiektl klnbz,..., tovbbi kr elem egymssal egyenls az elbbiektl klnbz, ahol k1+k2+... +kr = n, akkor ezek klnbz sorrendjeit azn elem(k1, k2, ..., kr) tpus ismtlses permutciinak nevezzk s ezek szmt gy jelljk:P(k1,k2,...,kr)n.Az I.1.2.1 FeladatbanP(2,3,2,1,1,1)10= 151 200. Krds: MennyiP(k1,k2,...,kr)n?I.1.2.3.Ttel. Han 1,k1, k2, ..., kr 1, ahol r 1,k1+k2+... +kr = n, akkorP(k1,k2,...,kr)n=n!k1!k2!kr!.Bizonyts. Tekintsnkegytetszleges, rgztettismtlsespermutcit. Haazebbenszereplk1szmegymssal egyenlelemetpermutljuk, akkornemkapunkjismtlsespermutcit.Ugyanakkor, megklnbztetve ezeket az elemeket (pl. gy, hogy ms-ms sznnel jelljk ket),ezeketk1!-flekppenpermutlhatjuk. gyargztettismtlsespermutcibl k1! szmolyanismtlsespermutcitkapunk, amelyreaznelemkzl azelsk1elemklnbz, atovbbik2elem egymssal egyenl s az elbbiektl klnbz,..., tovbbi krelem egymssal egyenl saz elbbiektl klnbz. Most megklnbztetve a k2 szm azonos elemet, ezeket k2!-flekppenpermutlhatjuk. gy a rgztett ismtlses permutcibl k1! k2! szm olyan ismtlses permutcitkapunk, amelyre azn elem kzl az elsk1 elem klnbz, a kvetkezk2 elem egymstl s azelbbiektl klnbz, a soron kvetkez k3 elem egymssal egyenl s az elbbiektl klnbz,...,tovbbi kr elem egymssal egyenl s az elbbiektl klnbz. Ugyangy folytatva vgl n klnbzelemk1! k2!kr! klnbz permutcijhoz jutunk. gy a P(k1,k2,...,kr)nszm ismtlses permutciblk1! k2!kr! P(k1,k2,...,kr)nszm ismtls nlkli permutcihoz jutunk. Ezek a permutcik mindklnbzek s minden permutcit megkapunk, ezrt Pn=k1! k2!kr! P(k1,k2,...,kr)n, azaz P(k1,k2,...,kr)n==n! /(k1! k2!kr!).A P(k1,k2,...,kr)nszmokat polinomilis szmoknak vagy polinomilis egytthatknak is nevezzk,mertezekapolinomilisttelbenszereplegytthatk, lsdksbb. Msjells: _nk1,k2,...,kr_ ==_k1+k2+...+krk1,k2,...,kr_. Figyeljk meg, hogyP(1,1,...,1)n=Pn,P(k,1,1,...,1)n=n!k!=PnPk.I.1.2.4. Feladat. Hnyfleklnbzsorrendjevannolyanelemnek, amelyekkzl kszmegyenl s a tbbink is egyenl, de az elbbiektl klnbz?Megolds.P(k,nk)n=n!k! (nk)!.14 I.1. FEJEZET. PERMUTCIK, VARICIK, KOMBINCIKI.1.3. VaricikI.1.3.1. Feladat. Az 1, 2, 3, 4szmokkzl vlasszunkki kettt s rjukfel ezeket az sszeslehetsges sorrendben. Mennyi a lehetsgek szma?Megolds. A kvetkezket kapjuk:12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43A lehetsgek szma12.I.1.3.2.Denci. Legyen adottn klnbz elem (n 1). Vlasszunk ki kzlkk elemet, ahol1 k nsrjukfel ezeket azsszeslehetsgessorrendben. Ezeket asorrendeket az nelemk-adosztly variciinak nevezzk. JelljeVknazn elemk-adosztly variciinak a szmt.A I.1.3.1 FeladatbanV24= 12. Krds: MennyiVkn ?I.1.3.3.Ttel. Ha1 k n, akkor Vkn= n(n1)(n2)(nk+1) .Bizonyts. A varicik kpzst tekinthetjk gy, hogy adottn elem (pl. az1,2, ..., n szmok) sadottk hely (cella), ahov a kivlasztott elemeket az sszes lehetsges sorrendben berjuk.Ezek utn az I.1.1.4 Ttel els bizonytshoz hasonlan: Az els helyre (cellba) azn elemkzl brmelyiket rhatjuk, ezn lehetsg, a msodik helyre a megmaradtn1 elem brmelyikekerlhet, ez n1 lehetsg, tovbb, a harmadik elem a megmaradt n2 elem brmelyike lehet, ezjabb n2 lehetsg, ... . Most a k-adik cellnl meg kell llnunk, az ide kerl elem megvlasztsran(k1) = nk+1 lehetsgnk van. Kapjuk, hogyVkn=n(n1)(n2)(nk+1).A fenti kplet jobb oldaln a tnyezk szmak. Ez a kplet gy is rhat:Vkn=n(n1)(n2)(nk+1)(nk)(nk1)2 1(nk)(nk1)2 1=n!(nk)!,teht Vkn=n!(nk)!. Hak = 0, akkor innenV0n=n!n!= 1, ami megfelel annak, hogyn elembl0szm elemet egyflekppen vlaszthatunk ki s permutlhatunk: gy, hogy egy elemet se vesznk.Figyeljk meg, hogy V1n=n, Vnn=Pn=n!. Ha k >n, akkor nem lehet varicikat kpezni, ezrtk >n esetn clszer hasznlni, hogyVkn= 0.A varicik pontosabb dencija a kvetkez:I.1.3.4. Denci. Variciknaknevezzkegyvgeshalmaznakegymsikvgeshalmazbavalinjektv lekpezseit. Rszletesebben: ha A egy k elem halmaz, B pedig egy n elem halmaz (n, k1), akkor azf : AB injektv fggvnyeketn elemk-adosztly (ismtls nlkli) variciinaknevezzk.Ha k>n, akkor nincs ilyen injektv fggvny, ha pedig kn, akkor az ilyen injektv fggvnyekszmaVkn .Szoksos a kvetkez jells: hax vals szm sk 1 termszetes szm, akkor[x]k =x(x1)(x2)(xk+1).gy1 k n esetnVkn= [n]k =n(n1)(n2)(nk+1).I.1.4. ISMTLSES VARICIK 15I.1.4. Ismtlses varicikI.1.4.1. Feladat. Az 1, 2, 3, 4szmokkzl vlasszunkki ketttgy, hogyugyanaztazelemetktszer is vehetjk s rjuk fel ezeket az sszes lehetsges sorrendben. Mennyi a lehetsgek szma?Megolds. A kvetkezket kapjuk:11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44A lehetsgek szma16.I.1.4.2.Denci. Legyen adottn klnbz elem (n 1). Vlasszunk ki kzlkk elemet, aholk 1gy, hogyugyanazt azelemet tbbszrisvehetjksrjukfel ezeket azsszeslehetsgessorrendben.Ezeketasorrendeketaznelemk-adosztlyismtlsesvariciinaknevezzk.JelljeVkn azn elemk-adosztly ismtlses variciinak a szmt.Az I.1.4.1 FeladatbanV24 = 16. Krds: MennyiVkn?I.1.4.3.Ttel. Han, k 1, akkor Vkn =nk.Bizonyts. Ugyangy, mint az I.1.3.3 Ttel bizonytsban, de most a k szm cella mindegyikbebrmelyik elemet rhatjuk azn kzl. Kapjuk, hogyVkn =n n n. .kszor=nk.Az ismtlses varicik a kvetkezkppen is denilhatk:I.1.4.4. Denci. Ismtlses variciknak nevezzk egy vges halmaznak egy msik vges halmazbaval lekpezseit. Rszletesebben: ha A egy k elem halmaz, B pedig egy n elem halmaz (n, k1),akkor azf: A Bfggvnyeketn elemk-adosztly ismtlses variciinak nevezzk.Han, k 1, akkor azf: A B fggvnyek szmank.Figyelem! Az ismtlsesjelznek ms jelentse van a permutciknl s ms a variciknl.Az ismtlses permutciknl ez arra vonatkozik, hogy a permutland elemek kztt ismtldek(azonosak) vannak. Itt pontosanmegvanadva, hogyazismtldelemekapermutcikbanhnyszor fordulhatnak el.Az ismtlses varicik esetn n klnbz elembl kell a varicikat kpezni gy, hogy mindegyikelemet akrhnyszor felhasznlhatjuk.Figyeljkmegazt is, hogyapermutcikavariciknakegyspecilis esete (ha k=n),ugyanakkor az ismtlses permutcik nem specilis esetei az ismtlses variciknak.Az ismtlses varici fogalma ltalnosthat:I.1.4.5. Feladat. Adott ndoboz,bennkrendrek1, k2, . . . , kndarabpronkntklnbztrgy.Mindegyikdobozbl kivlasztunkegytrgyat. Hnyflekivlasztslehetsgesargztett sorrendmellett ?Megolds. A lehetsgek szma k1k2 kn. Az els dobozbl ugyanis k1-fle trgyat vlaszthatunk.Brmelyik trgyat is vlasztottuk, a msodik dobozbl val hzsnl a vlasztstk2-flekppenfolytathatjuk, gy az els kt trgy kivlasztsra k1k2 lehetsgnk van. Ez a harmadik dobozblval hzssalk3-flekppen folytathat, s gy tovbb.Ezt a szmtsi mdszert, amely a lehetsgek szma = rszlehetsgek szmainak szorzataelven alapszik s amelyet a fentiekben mr tbbszr hasznltunk, szorzsi szablynak nevezzk.16 I.1. FEJEZET. PERMUTCIK, VARICIK, KOMBINCIKI.1.4.6.Feladat. Hny pozitv osztja van az48 600 = 23 35 52szmnak?Megolds.4 6 3 = 72. Ugyanis az adott szm brmely pozitv osztja2a 3b 5calak, ahol0 a 3,0 b 5,0 c 2. Aza kitev megvlasztsra teht4 lehetsg van,b-re6,c-re3.ltalnosts: Adott az n=pa11pa22 parkszm, ahol p1, p2, . . . , pr pronknt klnbz prmszmok.Akkorn pozitv osztinak szma(n) = (a1+1)(a2+1)(ar+1).Kombinatorikai feladatokbanms esetekbenalehetsgekszmt nemszorzssal, hanemsszeadssal kapjukakvetkezsszeadsi szablyszerint: sszeslehetsgekszma=azegymst kizr eseteknek megfelel lehetsgek szmainak sszege. Gyakran egytt kell alkalmaznunka szorzsi szablyt s az sszeadsi szablyt.I.1.4.7. Feladat. Tekintskazokatadominkat, amelyekmindktfelnapontokszma0-tl8-ig terjed. Ezeket a pontok szmnak megfelelen gy azonosthatjuk:xy, ahol 0 x y 8.a) Hny ilyen domin van?b)Hnyflekppenleheta45ilyendominkzl ketttkivlasztanigy,hogyaktdomintegyms mell lehessen tenni (azaz valamelyik felkn a pontok szma azonos)?Megolds. a) Hax = 0, akkory rtkei0,1,2, . . . ,8 lehetnek, ez9 lehetsg. Hax = 1, akkory rtkei1,2, . . . ,8 lehetnek, ez8 lehetsg, s gy tovbb, hax = 8, akkor csaky = 8 lehet, ez1lehetsg. Az sszeadsi szably szerint a domink szma9+8+. . . +1 = 45.b) Vlasszunk egy domint. Ez lehet 1. eset: dupla domin, azaz 00, 11, 22, . . . ,88, ezek szma9, vagy 2. eset: olyan domin, amelyrex n,akkornemlehetkombincikatkpezni,ezrtk > nesetnclszer hasznlni, hogyCkn = 0.An elemk-adosztly kombincii szmnak ms jellse _nk_, olvasd n alattk. TehtCkn =_nk_=n!k! (nk)!, 0 k n ,ezeket a szmokat binomilis szmoknak vagy binomilis egytthatknak is nevezzk, lsd ksbba binomilis ttelt.Itt _nk_=P(k,nk)n, lsd I.1.2.4. Ez az egyenlsg kzvetlenl is belthat. Tekintsnk n elemet,amelyekk-adosztlykombinciitkpezzk.rjunkmindegyikelemal1-etvagy0-taszerint,hogy kivlasztottuk a kombinci kpzsekor vagy sem. Pl. ha n=5, az elemek a, b, c, d, e s k =3,akkoraza, c, dsa, d, ekombincikesetnlegyen: 10110,ill. 10011.gymindenk-adosztlykombincinak megfelel egykszm1-esbl snkszm0-bl ll ismtlses permutci, sklnbzk-adosztly kombinciknak klnbz ilyen ismtlses permutcik felelnek meg.A kvetkez denci is adhat:I.1.5.5. Denci. Egy n elem halmaz k elem rszhalmazait n elem k-adosztly kombinciinaknevezzk.Egy n elem halmaz k elem rszhalmazainak a szma teht_nk_. gy a k=0 elem rszhalmazokszma _n0_=1, ez az res halmaz (), a k =1 elem rszhalmazok szma _n1_=n, ..., a k =n elemrszhalmazok szma _nn_= 1, ez az adott halmaz.I.1.5.6.Ttel. Legyenn 1.1) Egyn elem halmaz sszes rszhalmazainak a szma2n.2)_n0_+_n1_+_n2_+... +_nn_= 2n.18 I.1. FEJEZET. PERMUTCIK, VARICIK, KOMBINCIKBizonyts. 1) A rszhalmazokat gy kapjuk, hogy az adott halmaz bizonyos elemeit kivlasztjuka rszhalmazba, a tbbit pedig nem. gy mind azn elemre kt lehetsg van: vagy kivlasztjuk,vagy sem. gy a lehetsgek szma, s ezzel egytt a rszhalmazok szma2 22. .nszer= 2n.2) Az 1) pont azonnali kvetkezmnye.I.1.5.7. Feladat. LegyenA = 1,2, ..., k, B = 1,2, ..., n.Hnyf: A Bszigorannvekvfggvny ltezik?Megolds. Legyenf(1) =a1 B,f(2) =a2 B,...,f(k) =ak B. Felttel :a1