uvs s.braic

8/18/2019 UVS S.Braic

1/80

Uvod u vjerojatnost i statistiku

Snjeµzana Brai ć

Split, 2011/2012


2/80

Sadr µzaj

Uvod ii

1. Diskretna teorija vjerojatnosti 11.1. Prostor elementarnih doga†aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Vjerojatnosni prostor, diskretni vjerojatnosni prostor . . . . . . . . . 51.3. Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost doga†aja . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Kartezijev produkt diskretnih vjerojatnosnih prostora . . . . . . . . . 161.5. Ponavljanje pokusa. Bernollijeva shema . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6. Diskretne slu µcajne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.1. Primjeri diskretnih slu µcajnih varijabli i njihovih distribucija . 241.7. Funkcija gusto će i funkcija distribucije slu µcajne varijable . . . . . . . 331.8. Karakteristi µcne vrijednosti slu µcajnih varijabli . . . . . . . . . . . . . . 35

2. Prostori s mjerom 492.1. Mjere u Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2. Izmjerive funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3. Integral izmjerivih funkcija i osnovna svojstva . . . . . . . . . . . . . 602.4. Integral vektorskih i matri µcnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5. Osnovna svojstva slu µcajnih varijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.6. Distribucije slu µcajnih varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.7. Sluµcajni uzorci i njihove statistike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Bibliogra…ja 77

i


3/80

Uvod

Poµceci teorije vjerojatnosti su vezani za hazardne igre. Za po µcetak se uzima 1654:godina kada se pariški gra†anin De Mere obratio slavnim matemati µcarima togavremena Pascalu i Fermatu sa sljede ćim problemom:Je li preporu µ cljivo kladiti se da ´ ce u 24 uzastopna bacanja para razli µ citih kocaka barem jednom pasti dvostruka šestica?

Prvi zna µcajni rezultati u teoriji vjerojatnosti dobiveni su tijekom 18: i poµcetkom19: stoljeća, a vezani su uz imena J. Bernoullija, De Moivrea i Laplacea. Klju µcnopitanje u razvoju teorije vjerojatnosti bilo je pitanje aksiomatske de…nicije vjerojatnosti. Teorija vjerojatnosti se gotovo tri stolje ća razvijala bez strogo de…niranihaksioma, a ve ćina bezuspješnih pokušaja stroge de…nicije vjerojatnosti svodila sena to da se pojam vjerojatnosti de…nira pomo ću njemu intuitivno bliskog pojmarelativne frekvencije.

Opće prihva ćenu aksiomatiku je u teoriju vjerojatnosti uveo ruski matemati µcarA. N. Kolmogorov 1933: godine. Ona je obuhva ćala sve dotadašnje rezultate teorijevjerojatnosti i bila je u skladu s prirodnim idejama i intuitivnom predod µzbom vjero-

jatnosti. Aksiomatika teorije vjerojatnosti dala je dobru osnovu za razvoj novihpodru µcja vjerojatnosti. Zato ne iznena†uje µcinjenica da je poslije uvo†enja ak-siomatike teorija vjerojatnosti do µzivjela svoj izniman razvoj i da je danas jednaod vodećih matemati µckih disciplina koja se uvelike primjenjuje u drugim matem-atiµckim podru µcjima, posebice u matemati µckoj statistici, te u raznim podru µcjima…zike, tehnike, biologije, ekonomije, genetike i dr.

ii


4/80

Poglavlje 1.

Diskretna teorija vjerojatnosti

1.1. Prostor elementarnih doga†aja

U mnogim istra µzivanjima provode se razli µciti pokusi ili eksperimenti . Razlikujemodvije vrste pokusa: determinirani i slu µcajni pokusi. Pokus µciji je ishod jednozna µcnoodre†en uvjetima u kojima se on izvodi nazivamo determiniranim pokusom . Naprimjer, ako u laboratorijskim uvjetima ispustimo predmet s visine h i registriramovrijeme koje je potrebno predmetu da udari o tlo, onda ishod toga pokusa ovisi samoo visini h, tj. zadavanjem visine h ishod pokusa je jednozna µcno odre†en, pa je tajpokus determiniran. No, ako se taj pokus izvodi u vanjskim uvjetima, onda ishodpokusa ne ovisi samo o visini h véc i o nekim parametrima koje nismo u stanjudeterminirano iskazati (o djelovanju otpora sredine, o vjetru...), pa je ishod togpokusa slu µcajan i takav pokus nazivamo slu µ cajnim pokusom . U sluµcajnom pokusu,dakle, nismo u stanje to µcno predvidjeti njegov ishod i ne znamo kada će nastupitineki doga†aj.

Predmet prou µcavanja teorije vjerojatnosti su upravo slu µcajni pokusi, i to pokusikoji zadovoljavaju sljede će uvjete:

1. unaprijed se de…nira što se registrira u pokusu i poznati su svi njegovi mogu ćiishodi;

2. ishod pokusa nije unaprijed poznat;

3. pokus se moµze ponoviti proizvoljan broj puta uz iste uvjete.

Pretpostavka da je pokus mogu će ponoviti proizvoljan broj puta uz identi µcneuvjete je veoma va µzna. Naime, ako se neki slu µcajni pokus ponovi "dovoljno" mnogoputa, onda se bez obzira što je on slu µcajan mo µze dóci do odre†enih zakonitosti ikonstrukcije matemati µckog modela toga pokusa. Zadatak teorije vjerojatnosti jeupravo prou µcavanje tih zakonitosti, te formiranje i prou µcavanje matemati µckih mod-ela sluµcajnih pokusa.

Odmah na po µcetku prou µcavanja nekog slu µcajnog pokusa potrebno se dogovoritio tome što smatramo mogu ćim ishodima toga pokusa. Npr. jedan slu µcajni pokus

je bacanje novµcíca uvis iznad ravne plohe. Dogovorimo se da su jedina dva mogu ćaishoda našeg pokusa da padne pismo (P ) ili glava (G). Druge mogu ćnosti, kao npr.da novµcíc padne na rub plohe, ne uzimamo u obzir. Uz tako de…nirane pretpostavke,

1


5/80

1. Diskretna teorija vjerojatnosti 2

bacanje nov µcíca je pokus kod kojega je svaki ishod element dvo µclanog skupa fP; Gg,ali unaprijed ne znamo koji je to element. Skup svih mogu ćih ishoda nekog slu µcajnogpokusa nazivamo prostorom elementarnih doga†aja i oznaµcavamo ga sa . To jeosnovni polazni objekt teorije vjerojatnosti.

Primjer 1. (a) Bacamo jednu igra ´ cu kocku. Prostor elementarnih doga†aja je

= f1; 2; 3; 4; 5; 6g:(b) Kod pokusa bacanja n razli µ citih igra ́ cih kocaka prostor elementarnih doga†aja je

= f(i1; i2;:::;in ) j i j = 1; 2; 3; 4; 5; 6; j = 1;:::;ng; j j = 6n :(c) Nov µ ci ́ c se baca 5 puta uzastopno i registrira se koliko se puta pojavilo pismo.Tada je prostor elementarnih doga†aja

= f0; 1; 2; 3; 4; 5g:(d) Odre†eni artikl se proizvodi sve dok se ne proizvede 100 ispravnih. Registrira se broj proizvedenih artikala. Prostor elementarnih doga†aja je tada

= f100; 101; 102;:::g:(e) Iz skladišta se uzima jedan stroj i registrira se vijek trajanja tog stroja. Prostor elementarnih doga†aja je teoretski jednak

= [0 ;1i :Svaki element skupa elementarnih doga†aja, tj. svaki pojedini mogu ći ishod

sluµcajnog pokusa nazivamo elementarnim doga†ajem . Doga†aj je svaki podskupprostora elementarnih doga†aja. Doga†aji vezani uz taj pokus koji se opisuju po-moću više elementarnih doga†aja nazivamo sloµ zenim doga†ajima . Na primjer, usluµcajnom pokusu bacanja dviju razli µcitih igra ćih kocaka ustanoviti " suma brojeva na obje kocke je 8" isto je što i ustanoviti da je pokus dao jedan od ishoda: (2; 6) ;(3; 5) ; (4; 4) ; (5; 3) ili (6; 2). To je, dakle, sloµzeni doga†aj koji se razla µze na 5 el-ementarnih doga†aja. Ako je ishod našeg pokusa bio elementarni doga†aj (4; 4),

onda se ujedno dogodio i doga†aj " suma brojeva na obje kocke je 8" i doga†aj " na obje kocke pao je isti broj ", što zna µci da se ta dva doga†aja uzajamno ne isklju µcuju,tj. mogu se istovremeno dogoditi oba doga†aja. To je mogu će samo ako su do-ga†aji sloµzeni. Svi elementarni doga†aji se uzajamno isklju µcuju. Cijeli prostor zovemo siguran doga†aj (on se mora dogoditi u svakom vršenju pokusa), dok jeprazan skup nemogu ´ c doga†aj (on se nikada ne će dogoditi). Ovo su klju µcni pojmoviu konstrukciji matemati µcke teorije vjerojatnosti.

Kako su doga†aji po svojoj de…niciji skupovi, tako su i operacije me†u doga†a- jima (pomo ću tih operacija se od danih doga†aja dobivaju novi doga†aji) standardne


6/80


operacije nad skupovima.

slu µcajni pokus matemati µcki modelsiguran doga†aj

elementarni doga†aj ! 2 doga†aj A nemogu ć doga†aj ;doga†aj A implicira doga†aj B(ako se dogodio A onda se dogodio i B ) A Bdogodio se i doga†aj A i doga†aj B A \ B ili kraće ABdogodio se doga†aj A ili doga†aj B A [ Bnije se dogodio doga†aj A (dogodio se suprotan doga†aj) Ac = f! 2 : ! =2 Agdogodio se doga†aj A i nije se dogodio doga†aj B A nBdoga†aji A i B se uzajamno isklju µcuju A \ B = ;

Neka je A doga†aj vezan uz neki slu µcajni pokus. Pretpostavimo da smo tajpokus ponovili n puta i da se u tih n ponavljanja pokusa doga†aj A dogodio toµcnonA puta. Tada broj nA nazivamo frekvencijom doga†aja A; a broj nAn relativnom frekvencijom doga†aja A. Oµcito je 0 nAn 1:Intuitivna predod µzba vjerojatnosti bliska je pojmu relativne frekvencije. Tako,ako bismo ljude na ulici upitali kolika je vjerojatnost da će pri bacanju nov µcícapasti pismo ili da će kocka pokazati broj 5, vécina bi bez razmišljanja odgovorila 12 ,odnosno 16 , mada najvjerojatnije ne znaju precizno izre ći de…niciju vjerojatnosti. No,pod vjerojatnoš ću intuitivno podrazumijevaju ocjenu mogu ćnosti pojavljivanja togishoda prilikom jednog vršenja pokusa i pri tomu svaki elementarni ishod smatramo jednako mogu ćim. Tako kod pokusa bacanja igra će kocke smatramo da svaki odmogu ćih 6 elementarnih doga†aja ima jednaku mogu ćnost da se pojavi kao rezultatbacanja kocke. Iskustvo nas u µci da će prilikom velikog broja bacanja svi elementarnidoga†aji imati pribli µzno iste frekvencije. Stoga, ako smo kocku bacili veliki brojputa, ozna µcimo taj broj sa n, onda je frekvencija n ! svakog elementarnog doga†aja! pribliµzno jednaka n6 , a relativna frekvencija

n !n je

n !n

= 1n n !

1n

n6

= 16

:

Stoga je razumljivo uzeti broj 16 za vjerojatnost da kocka prilikom jednog bacanjapokaµze broj 5. No, uoµcimo da pri malom broju ponavljanja pokusa relativna frekven-cija ima slu µcajni karakter i mo µze se znaµcajno mijenjati od jedne do druge serijepokusa, te bitno razlikovati od onog što smatramo vjerojatnoš ću toga doga†aja.

Gornji pristup karakteristi µcan je za prvu fazu razvoja teorije vjerojatnosti. Za-htijeva se da slu µcajni pokusi u tom slu µcaju, pored gornja tri svojstva (1) ; (2) i (3),imati i svojstvo statisti µ cke stabilnosti relativnih frekvencija . To svojstvo se sastoji utome da se prilikom velikog broja ponavljanja pokusa relativne frekvencije svakogpojedinog doga†aja grupiraju oko nekog …ksnog broja, te da su u razli µcitim serijamapokusa relativne frekvencije me†usobno dovoljno blizu ako je broj pokusa u serijamadovoljno veliki.

Klasi µcna de…nicija vjerojatnosti a posteriori. Neka sluµcajni pokus zado-voljava uvjet statisti µcke stabilnosti relativnih frekvencija. Tada se broj kojem te µzi


7/80


relativna frekvencija nAn doga†aja A kada broj pokusa n teµzi u beskonaµcno nazivavjerojatnost doga†aja A i oznaµcava s p(A). Dakle,

p(A) = limn!1

nA

n :

Ova de…nicija nije matemati µcki precizna jer se javlja problem kako za konkretnisluµcajni pokus provjeriti hipotezu o statisti µckoj stabilnosti relativnih frekvencija. Još je sloµzeniji problem statisti µcke stabilnosti u serijama pokusa jer, ako se u obzir uzi-maju sve mogu će serije na koje se mogu razbiti rezultati ponavljanja nekog pokusa,onda moramo razmotriti i takvu podjelu kod koje u prvu seriju ulaze samo onipokusi kod kojih se doga†aj A dogodio, a u drugu oni kod kojih se doga†aj A nijedogodio. U prvoj seriji je relativna frekvencija jednaka 1, a u drugoj 0, pa nemagovora o stabilnosti relativnih frekvencija. No, unato µc ovoj matemati µcki nepreciznojde…niciji vjerojatnosti, matemati µcari su uspjeli pomo ću nje dobiti niz vrijednih i

korisnih rezultata.Sljedeći primjer pokazuje rezultate jednog pokusa u kojem je provjeravana sta-tisti µcka stabilnost relativnih frekvencija.

Primjer 2. Neka je slu µ cajni pokus bacanje dviju razli µ citih igra ́ cih kocaka, a doga†aj A = "brojevi koji su pali su me†usobno razli µ citi". Bacanje para kocaka je pokus kod kojeg je svaki ishod jedan od elemenata skupa = f(i; j ) j i; j 2 f1; 2; 3; 4; 5; 6gg;j j = 62, ali unaprijed ne moµ zemo re ´ ci koji je to element. Sloµ zeni doga†aj A se razla µ ze na 30 elementarnih doga†aja, pa je relativna frekvencija doga†aja pribli µ zno jednaka 3036 = 0:8_3. Astronom Wolf je 1950: godine ponavljao ovaj pokus i bilje µ ziorelativne frekvencije. Dobio je sljede ´ ce rezultate:

Broj pokusa: 100 1000 10000 100000Relativna frekvencija: 0:88 0:836 0:8351 0:83353

Neka imamo slu µcajni pokus i neka su dogovorno ustanovljeni svi njegovi elemen-tarni doga†aji (mogu ći ishodi). Tada se svaki slo µzeni doga†aj vezan uz taj slu µcajnipokus moµze opisati pomo ću više elementarnih doga†aja. Elementarni doga†aj po-moću kojeg se opisuje neki doga†aj A, tj. µcija realizacija implicira i realizacijudoga†aja A nazivamo doga†ajem povoljnim za doga†aj A.

Klasi µcna de…nicija vjerojatnosti a priori: Neka imamo slu µcajni pokus skonaµcno mnogo elementarnih doga†aja i neka su svi elementarni doga†aji jednakomogu ći. Tada je vjerojatnost proizvoljnog doga†aja vezanog uz taj pokus jednakaomjeru broja elementarnih doga†aja povoljnih za taj doga†aj i broja svih elemen-tarnih doga†aja.

Uoµcimo odmah nedostatke ove de…nicije. Ona je prije svega jako restriktivna jerse odnosi samo na pokuse s kona µcno mnogo elementarnih doga†aja. S druge strane,ta je de…nicija i cirkularna jer u sebi sadr µzi pojam "jednako mogu ć" koji zapravoznaµci jednako vjerojatan.

Dakle, ni ova de…nicija, kao ni ona prethodna (de…nicija posteriori), nije dobra

kao baza aksiomatske matemati µcke teorije vjerojatnosti.Nazivi a priori i a posteriori imaju svoja objašnjenja vezana uz uporabu tihdviju de…nicija vjerojatnosti. Na primjer, pretpostavimo da imamo kutiju s crnim


8/80


i bijelim kuglicama i da µzelimo izraµcunati vjerojatnost da izvu µcemo bijelu kuglicu.Ako znamo sadr µzaj kutije, recimo da je u njoj 40 bijelih i 10 crnih kuglica, vjerojatnost bismo izra µcunali a priori tako da izra µcunamo omjer broja bijelih kuglica ibroja svih kuglica u kutiji (broj povoljnih podijeljen s brojem svih elementarnihdoga†aja) 4050 = 0:8: Ako pak µzelimo izraµcunati kolika je vjerojatnost da iz kutijeizvuµcemo bijelu kuglicu, a znamo samo da kutija sadr µzi bijele i crne kuglice i da ih je ukupno 50, primijenit ćemo de…niciju a posteriori i izraµcunati relativnu frekven-ciju pojavljivanja bijele kuglice kod n ponavljanja toga pokusa. Dakle, ra µcun slijedinakon pokusa (posteriori). To je razlog zbog µcega se klasiµcna de…nicija zove "apriori", a statisti µcka "a posteriori".

Od poµcetaka teorije vjerojatnosti pa do uvo†enja aksiomatike u tu teoriju prošlasu gotovo tri stolje ća. Aksiomatiku je u teoriju vjerojatnosti uveo veliki ruski matem-atiµcar A. N. Kolmogorov 1933: godine u svom fundamentalnom radu " Grundbegri¤e der Wahrscheinlichkeitsrechnung ", Berlin.

1.2. Vjerojatnosni prostor, diskretni vjerojatnosniprostor

Neka je prostor elementarnih doga†aja. Da bismo de…nirali vjerojatnost na skupu, potrebno je najprije primijetiti da nije uvijek mogu će sve podskupove od uzeti

za doga†aje. Mo µze se, naime, dogoditi da postoji A i ! 2 za koje nijemogu će odgovoriti na pitanje je li ! 2 A. Uzmimo, na primjer, da se pokus sastojiod bacanja nov µciµca 10 puta, ali da mo µzemo provjeriti rezultate samo prvih 6 bacanja.Ako je A = fpalo je barem 8 pisamag, onda, iz onog što znamo, ne mo µzemo za svaki! 2 odgovoriti na pitanje je li ! 2 A ili ! =2 A. Zbog toga ćemo de…nirati nekufamiliju podskupova od koja će nam predstavljati familiju svih doga†aje, odnosnoprostor elementarnih doga†aja.

De…nicija 1.2.1. Neka je neprazan skup, 2 partitivni skup od i A 2 takav da vrijedi:(A1) ; 2 A;(A2) ako je A 2 A, onda je Ac 2 A;(A3) ako je n

2N i A1;:::;An

2 A, onda je

n

Si=1

Ai

2 A:

Tada se A zove algebra skupova na :Po de…niciji, algebra A je zatvorena na komplementiranje i kona µcne unije, a izde…nicije odmah slijedi i da je

= ;c 2 A;A1;:::;An 2 A )

n

Ti=1 Ai = n

Si=1 Aci

c

2 A;A; B 2 A ) A nB = A \ B c 2 A,pa je algebra zatvorena i na kona µcne presjeke i na skupovne razlike.


9/80


De…nicija 1.2.2. Neka je neprazan skup, 2 partitivni skup od i F 2 takav da vrijedi:(F 1)

; 2 F ;

(F 2) ako je A 2 F , onda je Ac 2 F ;(F 3) ako su An 2 F ; n 2N, onda je Sn2N An 2 F :Tada se F zove -algebra skupova na , a ure†eni par ( ;F ) izmjerivi prostor .Pre…ks u nazivu -algebre ozna µcava da je ona zatvorena na prebrojive unije svojihelemenata. Ako je konaµcan skup, onda su pojmovi algebra i -algebra podudaraju.

Neka svojstva -algebre:

1. Ako je F 2 -algebra i An 2 F ; n 2N; onda je

\n2N An = \n2N An!c

!c

= [n2N Acn!

c

2 F ;

što zna µci da je -algebra F zatvorena i na prebrojive presjeke.Ako u prethodnoj de…niciji svojstvo (F 3) zamijenimo svojstvom

(F 30) ako su An 2 F ; n 2N; onda je Tn2N An 2 F ,ništa se ne mijenja, tj. nova de…nicija -algebre ekvivalentna je staroj.2. Skup svih -algebri na je parcijalno ure†en inkluzijom. Najmanja -algebra

je F = f;; g, a najve ća je F = 2 :3. Ako je F 0 2 neprazan skup i (F 0) najmanja -algebra koja sadr µzi F 0,onda ka µzemo da je (F 0) generirana sa F 0: Primijetimo da je -algebra (F 0) jednaka presjeku svih -algebri na koje sadrµze skup F 0.4. Ako je A , onda je f;; ;A;Acg najmanja -algebra koja sadr µzi A:5. Ako je familija F -algebra na i A , onda je F \A = fB \ A : B 2 Fg-algebra na A:

De…nicija 1.2.3. Neka je ( ;F ) izmjerivi prostor. Funkciju P : F !R nazivamo funkcijom vjerojatnosti na F , odnosno na , ako je (V 1) P (A) 0 za svaki A 2 F i P ( ) = 1 ;(V 2) ako su An 2 F ; n 2 N i Ai \ A j = ; za sve i 6= j , onda je P

1

Sn=1 An =1Pn =1 P (An ) :

Ure†ena trojka ( ;F ; P ) se zove vjerojatnosni prostor.


10/80


11/80


(e) Sliµcno kao pod (d) :

(f ) Neka je B1 = A1; te Bn = An nn 1

Si=1 Ai za svaki n 2:Tada je (Bn )n2N niz disjunktnih doga†aja u F , Bn An ; n 2 N i

1

Sn =1 An =

1

Sn =1 Bn : Stoga jeP 1Sn =1 An =

1

Pn =1 P (Bn ) 1

Pn =1 P (An ) :(g) Vrijedi: A [ B = A [ (B nA) ; (A \ B) [ (B nA) = B:Odavde, zbog (b) ; dobivamo

P (A [ B) = P (A) + P (B nA) ;P (B ) = P (A

\B) + P (B

nA) ;

pa oduzimaju ći ove dvije jednakosti dobivamo tvrdnju.(h) A [ Ac = ) P (A) + P (Ac) = 1 :Iz ovog teorema odmah slijedi da je za proizvoljni doga†aj A 2 F vjerojatnosttog doga†aja P (A) 2 [0; 1]. Stoga je vjerojatnost P funkcija P : F ! [0; 1]:Vrijedi poop ćeno svojstvo (g) poznato kao Sylvesterova formula:

Propozicija 1.2.1. Neka je ( ;F ; P ) vjerojatnosni prostor i Ai 2 F , i = 1;:::;n.Tada je P

n

Si=1 Ai =n

Pi=1 P (Ai) Pfi;j g f1;:::;n gP (Ai \ A j ) + : : : + ( 1)n +1 P

n

Ti=1 Ai :Dokaz. Indukcijom po n. Za n = 1 tvrdnja je o µcigledna. Neka su Ai 2 F ,i = 1;:::;n proizvoljni doga†aji, i pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za sve familijeod najviše n 1 tih doga†aja. Neka je B =

n 1

Si=1 Ai ; te C i = Ai \ An za svaki i < n:Tada vrijediP nSi=1 Ai = P (B [ An )

(g)= P (B ) + P (An ) P (B \ An ) iP (B ) =

n 1

Pi=1 P (Ai) Pfi;j g f1;:::;n 1gP (Ai \ A j ) + : : : + ( 1)n P

n 1

Ti=1 Ai :Osim toga je B \ An =

n 1

Si=1 C i , pa zbog pretpostavke indukcije imamoP (B \ An ) =

n 1

Pi=1

P (C i)

Pfi;j g f1;:::;n 1g

P (C i \ C j ) + : : : + ( 1)n P n 1

Ti=1

C i =

=n 1

Pi=1 P (Ai \ An ) Pfi;j g f1;:::;n 1gP (Ai \ A j \ An ) + : : : + ( 1)n P

n

Ti=1 Ai :


12/80


Iz ovih jednakosti slijedi:

P n

Si=1

Ai = P (B ) + P (An ) P (B \ An ) == n 1Pi=1 P (Ai) Pfi;j g f1;:::;n 1gP (Ai \ A j ) + : : : + ( 1)

n P n 1Ti=1 Ai + P (An )n 1Pi=1 P (Ai \ An ) + Pfi;j g f1;:::;n 1gP (Ai \ A j \ An ) : : : + ( 1)

n +1 P n

Ti=1 Ai=

n

Pi=1 P (Ai) Pfi;j g f1;:::;n gP (Ai \ A j ) + : : : + ( 1)n +1 P

n

Ti=1 Ai :

Najjednostavniji vjerojatnosni prostor dobivamo u slu µcaju kada je prostor ele-mentarnih doga†aja konaµcan ili prebrojiv skup. Takav ćemo prostor zvati diskretnivjerojatnosni prostor .

Uzmimo najprije da je konaµcan skup. Tada je i partitivni skup 2 tako†erkonaµcan, kao i svi njegovi podskupovi, što zna µci da je svaka algebra na ujednoi -algebra na . Jednostavnost konstrukcije vjerojatnosnog prostora u slu µcajukonaµcnog skupa slijedi iz jednostavne, tzv. atomarne strukture algebri skupovana kona µcnom skupu. To ima za posljedicu da je dovoljno promatrati vjerojatnostikoje su de…nirane na µcitavom partitivnom skupu 2 . Drugim rije µcima, u sluµcaju da je konaµcan skup, proizvoljnu vjerojatnost na algebri F 2 moµzemo proširiti dovjerojatnosti na 2 . Prije nego to doka µzemo, promotrimo neka svojstva vjerojatnostide…niranih na partitivnom skupu kona µcnog skupa.

Neka je = f! 1;:::;! ng neprazan kona µcan skup i P : 2 ! [0; 1] vjerojatnostna . Iz svojstva kona µcne aditivnosti od P slijedi da je funkcija P jednozna µcnoodre†ena svojim vrijednostima pi = P (f! ig) na jedno µclanim podskupovima f! ig , i = 1;:::;n. Za niz ( pi)i=1 ;:::;n vrijedi:

pi 0 za svaki i = 1;:::;n (nenegativnost vjerojatnosti),n

Pi=1 pi =n

Pi=1 P (f! ig) = P n

Si=1 f! ig = P ( ) = 1 ;P (A) = P

S! i 2A f

! i

g=

P! i 2A

P (

f! i

g) =

P! i 2A

pi za svaki A

:

Obratno, neka je = f! 1;:::;! ng neprazan kona µcan skup i ( pi)i=1 ;:::;n konaµcanniz realnih brojeva takav da je pi 0 za svaki i = 1;:::;n i

n

Pi=1 pi = 1: Tada de…niramofunkciju P : 2 ! R tako da za proizvoljni A stavimoP (A) = P! i 2A pi :

Iz ovog odmah slijedi da je

P (f! ig) = pi za svaki i = 1;:::;n; teP ( ) = nPi=1 pi = 1:


13/80


Osim toga, funkcija P je oµcigledno kona µcno aditivna, pa je P vjerojatnost na .Dakle, zadavanje vjerojatnosti na kona µcnom skupu , toµcnije na partitivnom

skupu 2 , ekvivalentno je zadavanju kona µcnog niza nenegativnih cijelih brojeva µcija je suma jednaka 1:

Da bismo dokazali da se u slu µcaju kona µcnog skupa proizvoljna vjerojatnost naalgebri F 2 moµze proširiti do vjerojatnosti na 2 treba nam sljede ća propozicija:Propozicija 1.2.2. Neka je proizvoljan skup i F kona µ cna algebra skupova na :Tada postoji kona µ cna particija B = fB1;:::;Bsg F skupa takva da vrijedi:

(8A 2 F ) A B i ) A = ; _A = B i ; i = 1;:::;s:Osim toga, svaki element A 2 F , A 6= ;, moµ ze se na jedinstven na µ cin prikazati kaounija elemenata iz B. Particija s ovim svojstvom je jedinstvena.Dokaz. Kaµzemo da su elementi B i 2 Batomi algebre F . Neka je F = fA1; A2;:::;Akgkonaµcna algebra skupova na : Svaki skup B oblika B =

k

Ti=1 C i , gdje su C i = Aiili je C i = Aci , pripada algebri F i on je ili prazan skup ili atom u F . Neka suB1;:::;Bs svi neprazni skupovi toga oblika. O µcigledno je Bi \ B j = ;, i 6= j isSi=1 B i = , pa je B = fB1;:::;Bsg particija skupa : Za A 2 F , A 6= ;; imamo

A = A \ s

Si=1

B i =s

Si=1

(A \ B i) =

Si2J

B i ;

gdje je J f1; 2;:::;sgi oµcigledno je prikaz od A kao unije elemenata iz B jedinstven.Osim toga, lako je dokazati da je F najmanja algebra skupova na koja sadr µzi B.Jedinstvenost particije B je oµcigledna.Iz ovog slijedi sljedeći teorem:Teorem 1.2.2. Neka je neprazan kona µ can skup i ( ;F ; P ) vjerojatnosni prostor.Tada postoji vjerojatnost P 0 : 2 ! [0; 1] takva da je P 0 jF = P:

Vjerojatnosni prostor ; 2 ; P 0 ili kraće ( ; P 0) nazivamo n-dimenzionalnimdiskretnim vjerojatnosnim prostorom .Dokaz. Budu ći je jFj 2j j < 1 konaµcna algebra, po prethodnoj propozicijipostoji kona µcna particija B = fB1;:::;Bsg F skupa (µcine je atomi od F ) takvada vrijedi:

(8A 2 F ) A B i ) A = ;_A = B i ; i = 1;:::;s:Oµcito je s jj. Neka je pi = P (B i) ; i = 1;:::;s: Tada je

s

Pi=1 pi = 1 i vjerojatnostP : F !R je u potpunosti odre†ena svojim vrijednostima na B, tj. nizom ( pi)i=1 ;:::;s :Fiksirajmo proizvoljne ! i 2 B i ; i = 1;:::;s, i stavimo B = f! 1;:::;! sg : Da bismode…nirali vjerojatnost P 0 na partitivnom skupu kona µcnog skupa, dovoljno je zadativrijednosti funkcije P 0 na jedno µclanim podskupovima od ; a zatim (zbog zahtjevakonaµcne aditivnosti) proširiti P 0 na 2 .


14/80


Stavljamo:

P 0 (f! g) = pi ; ! = ! i 2 B0; ! 2 nB:

P 0 (A) = P! i 2A P 0 (f! ig) = P! i 2A\ B pi za svaki A :Tada je P 0 : 2 ! [0; 1] vjerojatnost na . Za A 2 F , A 6= ;; jednozna µcno jeodre†en skup J f1; 2;:::;sg takav da je A = Si2J B i i vrijedi

P 0 (A) = Pi2J P 0 (B i) = Pi2J pi = Pi2J P (B i) = P (A) :Iz dokaza ovog teorema je vidljivo da proširenje P 0 nije jedinstveno.

Neka je = f! 1; : : : ; ! ng neprazan kona µcan skup, j j = n 2 N. Ako je P vjerojatnost na , onda je 1 = P (f! 1g) + + P (f! ng). Oznaµcimo li sa pk =P (f! kg); k = 1; : : : ; n ; onda je p1 + + pn = 1; 0 pk 1; k = 1; : : : ; n :

Toµcake P = ( p1; : : : ; pn ) 2R n pridru µzene razliµcitim vjerojatnostima na µcine stan-dardni (n 1)-dimenzionalni simpleks S n 1 [E 1; : : : ; E n ] :1. (Podskup od A de…niran relacijom

P = t0O + t1E 1 + : : : + tkE k; t j 0; kP j =0 t j = 1;se naziva standardni k-dimenzionalni simpleks s vrhovima O; E 1; : : : ; E k i oz-naµcava sa S k [O; E 1; : : : ; E k] :)

Primjer 3. Neka je = f! 1; : : : ; ! ng neprazan n-µ clani skup i ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor. Ako je P (f! g) = P (f! 0g); za sve ! ; ! 0 2 , tj. ako su svi el-ementarni doga†aji jednako vjerojatni, onda ka µ zemo da je P uniformna diskretna vjerojatnost na . Tada je

P (f! kg) = 1j j = 1

n; za svaki k = 1; : : : ; n :

Pripadni vektor pridru µ zen ovoj vjerojatnosti je ( 1n ; : : : ; 1n ) 2R n , a to je upravo te µ zište simpleksa.

1. Nadalje, za svaki doga†aj A = f! i1 ; : : : ; ! ik g je

P (A) = P k

Si=1 f! ik g =

k

Pi=1

P (f! ik g) = jAjj j

= kn

:


15/80


Neka je sada prebrojiv skup. Primijetimo najprije da je -algebra na prebrojivom skupu op ćenito neprebrojiv skup; 2 je primjer neprebrojive -algebre na .Sliµcno kao i kod kona µcnih skupova vrijedi sljede će:

Neka je = f! n : n 2N

g prebrojiv skup i P vjerojatnost na . Oznaµcimo li s pn = P (f! ng) ; n 2N, onda je pn 0 za svaki n 2N i

1

Pn =1 pn = P 1

Sn =1 f! ng = P ( ) = 1 . ( )Osim toga je

P (A) = P! n 2A P (f! ng) = P! n 2A pn za svaki A ;pa je vjerojatnost P , zbog svojstva -aditivnosti, u potpunosti odre†ena na 2svojim vrijednostima na jedno µclanim podskupovima f! ng .Obratno, ako zadamo niz realnih brojeva ( pn )n2N za koji vrijedi uvjet ( ), ondapostoji jedinstvena vjerojatnost P na takva da je pn = P (f! ng) ; n 2 N; pa jezadavanje vjerojatnosti na partitivnom skupu prebrojivog skupa ekvivalentno za-davanju niza realnih brojeva ( pn )n2N za koji vrijedi uvjet ( ). Nizovi pridru µzenirazliµcitim vjerojatnostima na µcine beskona µcnodimenzionalni simpleks u R 1 . Prim-ijetimo da taj simpleks nema te µzište, tj. ne postoji uniformna diskretna vjerojatnostna prebrojivom skupu .

Kao i u sluµcaju kona µcnog skupa, i u ovom slu µcaju dovoljno je promatrati vjerojatnosti koje su de…nirane na partitivnom skupu 2 jer se proizvoljna vjerojatnost

de…nirana na nekoj -algebri na moµze proširiti na vjerojatnost na partitivnomskupu 2 . Naime, vrijedi

Teorem 1.2.3. Neka je prebrojiv skup i ( ;F ; P ) vjerojatnosni prostor. Tada postoji vjerojatnost P 0 : 2 ! [0; 1] takva da je P 0 jF = P:Stoga svaki diskretni vjerojatnosni prostor ( ;F ; P ) moµzemo shvatiti kao vjerojatnosni prostor ; 2 ; P 0 , gdje je vjerojatnost P 0 proširenje od P , pa ćemo ga

stoga kra će oznaµcavati ( ; P 0). Ako je skup prebrojiv zovemo ga prebrojividiskretni vjerojatnosni prostor .

1.3. Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost doga†ajaU pokusu bacanja jedne kocke neka je doga†aj B = fpao je broj 5g. Vjerojatnostdoga†aja B je 16 . No, ako znamo da je kocka pokazala neparan broj, onda je vjerojat-nost pojave broja 5 puno veća. Naime, µcinjenica da se pojavio neparan broj ukazujena tri mogu ća ishoda: 1; 3 ili 5, pa je vjerojatnost da se pojavio broj 5 jednaka

jf5gjjf1;3;5gj =

13 : Dakle, pri ra µcunanju ovakve vjerojatnosti ulogu prostora elementarnih

doga†aja preuzima doga†aj A = fpao je neparan broj g. Takvu vjerojatnost nazi-vamo vjerojatnost doga†aja B uz uvjet da se dogodio doga†aj A, a dobivamo je kaoomjer elementarnih doga†aja povoljnih za A i onih me†u njima koji su povoljni i zaB . Općenito de…niramo:


16/80


De…nicija 1.3.1. Neka je ( ;F ; P ) vjerojatnosni prostor i A 2 F takav da je P (A) > 0. Tada se funkcija P A :

F ! [0; 1] de…nirana s P A (B ) = P (B

j A) =

P (A \ B)P (A)

zove uvjetna vjerojatnost uz uvjet A:

Funkcija P A je evidentno vjerojatnost na .Broj P (B j A) nazivamo vjerojatnost doga†aja B uz uvjet da se dogodiodoga†aj A:Uzmimo sada da je ( ; P ) n-dimenzionalni diskretni vjerojatnosni prostor i da

su svi elementarni doga†aji jednako vjerojatni, tj. P (f! g) = 1n za svaki ! 2 :Neka su A; B ; jAj = m i jA \ Bj = r , dakle

P (A) = jA

jj j = mn ; P (A \ B) =

rn ;

pa jeP (B j A) =

rm

:

Dakle, vjerojatnost od B uz uvjet A dobivamo prebrojavanjem elementarnih do-ga†aja povoljnih za A i onih me†u njima koji su istodobno povoljni i za B. Tako priraµcunanju uvjetne vjerojatnosti uz uvjet A ulogu prostora elementarnih doga†ajapreuzima doga†aj A, što opravdava termin "uvjetna vjerojatnost uz uvjet A":

Svojstva uvjetne vjerojatnosti:

(1) P (; j A) = 0 ; P (A j A) = 1 ;(2) P (B c j A) = 1 P (B j A) ;(3) P (A \ B) = P (A) P (B j A) i P (A \ B) = P (B ) P (A j B) ;(4) Ako je A \ B = ;, onda je P (B j A) = 0 ;(5) Ako je A1 A2, onda je P (A1 j A) P (A2 j A) ;(6) P (A1 [ A2 j A) = P (A1 j A) + P (A2 j A) P (A1 \ A2 j A) ;(7) (A1 \ \Ak) = P (A1) P (A2 j A1) P (A3 j A1 \ A2) P (Ak j A1 \ : : : \ Ak 1) :Primjer 4. U kutiji se nalazi 21 bijela i 10 crnih kuglica. Iz kutije izvla µ cimo dvije kuglice, jednu za drugom bez vra ´ canja. Kolika je vjerojatnost da je druga izvu µ cena

kuglica bijela ako se zna da je prva izvu µ cena kuglica bila bijela? Zadatak 1. Rješenje.

Neka je A = fprva izvu µ cena kuglica je bijela g, a B = fdruga izvu µ cena kuglica je bijela g.Treba odrediti uvjetnu vjerojatnost doga†aja B uz uvjet da se prethodno dogodio do-ga†aj A, tj. P (B j A). Kako je

P (A) = 21 30

31 30 =

2131

; a P (A \ B) = 21 2031 30

;

to je

P (B j A) = P (A \ B)P (A) =21 2031 30

2131

= 2030

= 23

:


17/80


Vaµzan pojam u teorije vjerojatnosti je nezavisnost doga†aja. Prirodno se name ćede…nicija da je doga†aj B nezavisan od doga†aja A ako je vjerojatnost da se dogodiB jednaka uvjetnoj vjerojatnosti da se dogodi B ako znamo da se dogodio A, tj. ako je P (B

j A) = P (B ). Primijetimo da je tada i doga†aj A nezavisan od doga†aja B

jer je

P (A j B) = P (A \ B)

P (B) =

P (A) P (B j A)P (B )

= P (A) P (B )

P (B ) = P (A) :

No tada, po svojstvu (3), slijedi da je P (A \ B) = P (A) P (B ), pa de…niramo:De…nicija 1.3.2. Neka je ( ;F ; P ) vjerojatnosni prostor i A; B 2 F . Ka µ zemo da su doga†aji A i B nezavisni ako je P (A \ B) = P (A) P (B ) :

Pojam nezavisnosti mo µze se proširiti i na familiju doga†aja.

De…nicija 1.3.3. Neka je ( ;F ; P ) vjerojatnosni prostor i S = fAi 2 F : i 2 I gproizvoljna familija doga†aja. Ka µ zemo da je familija S nezavisna ako za svaku kona µ cnu podfamiliju fAi1 ; : : : ; Ain g F vrijedi P (Ai1 \ \Ain ) = P (Ai1 ) ::: (Ain ) :Svojstva:(1) Ako su A i B nezavisni, onda su nezavisni i parovi: (Ac; B ) ; (A; B c) ; (Ac; B c).

Npr. koriste ći da je B = ( A \ B) [ (B nA), tj. P (B) = P (A \ B) + P (B nA)dobivamoP (Ac \ B) = P (B nA) = P (B ) P (A \ B)

= P (B ) P (A) P (B ) = P (Ac) P (B ) :

(2) Ako je familija fAi : i 2 I g nezavisna, onda je tako†er nezavisna i familijafB i : i 2 I g; gdje je Bi = Ai ili Aci .(3) Ako je P (A) = 0 ili 1, onda je A nezavisan od svakog drugog doga†aja, µcaki od samog sebe!

(4) Ako je neka familija nezavisna, onda je nezavisna svaka njezina prava pod-familija. Obrat ne vrijedi što pokazuje i sljede ći primjer:

Neka su A1 i A

2 nezavisni, P (A

1) = P (A

2) = 1

2 i A

3 = ( A

1 \A

2)

[(Ac

1 \Ac

2)

. Tada su svaka dva razli µcita doga†aja Ai ; A j 2 fA1; A2; A3g nezavisna, ali familijafA1; A2; A3g nije nezavisna jer je P (A1 \ A2 \ A3) 6= P (A1) P (A2) P (A3) :Primjer 5. Bacamo igra ´ cu kocku 2 puta. Neka je

A = fna prvoj kocki je pao 1; 2 ili 3g;B = fna prvoj kocki je pao 3; 4 ili 5g;C = fsuma brojeva na obje kocke je jednaka 9g:

De…nirajte vjerojatnosni prostor i ispitajte nezavisnost doga†aja A; B i C .Rješenje.


18/80


19/80


(b)

P (E i j A) = P (E i \ A)

P (A) =

P (E i) P (A j E i)P (A)

:

Primjer 6. µ Zarulja moµ ze pripadati trima serijama: S 1; S 2 i S 3. Vjerojatnost da pripada seriji S 1 je p1 = 0:25, da pripada seriji S 2 je p2 = 0:5, a vjerojatnost da pripada seriji S 3 je p3 = 0:25. Vjerojatnost da ´ ce µ zarulja iz prve serije sijati 1000sati je 0:1, iz druge serije 0:2, a iz tre ´ ce 0:4.

(a) Kolika je vjerojatnost da ́ ce slu µ cajna odabrana µ zarulja sijati 1000 sati? (b) Ako je poznato da je µ zarulja sijala 1000 sati, kolika je vjerojatnost da je to

bila µ zarulja iz tre ´ ce serije? Rješenje.Neka je E i = fµ zarulja pripada i-toj seriji g, i = 1; 2; 3; te A = fslu µ cajno odabrana µ zarulja je sij (a)

P (A) =3

Pi=1 P (E i) P (A j E i) == 0 :25 0:1 + 0 :5 0:2 + 0 :25 0:4 = 0:225(b)

P (E 3 j A) = P (E 3) P (A j E 3)

P (A) =

= 0:10:225 =

49:

Primjer 7. Na avion su ispaljena 3 pojedina µ cna metka. Vjerojatnost pogotka prvim metkom je 12 , drugim

35 , a tre ́ cim

45 . Vjerojatnost da avion bude oboren jednim

pogotkom je 310 , s dva pogotka 35 , a s tri pogotka 1. Na ́ ci vjerojatnost da avion bude

oboren.Rješenje.Ozna µ cimo s E i = favion je pogo†en s toµ cno i metaka g, i = 0; 1; 2; 3. Tada je

fE 0;:::;E 3g potpun sistem doga†aja na . A = favion je oboren g. Tra µ zimo P (A) :P (E 0) = 12 25 15 = 125 ,P (E 1) =

12

25

15 +

12

35

15 +

12

25

45 =

1350 ,P (E 2) = 12 35 15 + 12 25 45 + 12 35 45 = 2350 ,P (E 3) = 12 35 45 = 1250 .P (A j E 0) = 0 , P (A j E 1) = 310 , P (A j E 2) = 35 , P (A j E 3) = 1 .

P (A) =3

Pi=0 P (A j E i) P (E i) = 0 125 +

310 1350 + 35 2350 + 1 1250 = 297500 :

1.4. Kartezijev produkt diskretnih vjerojatnosnihprostora

Formalni ekvivalent slu µcajnog pokusa s kona µcno ili prebrojivo mnogo mogu ćih ishoda je diskretni vjerojatnosni prostor ( ; P ). Ako je zadano n takvih pokusa opisanih


20/80


s ( i ; P i), i = 1; : : : ; n ; onda je prirodno de…nirati novi sloµzeni pokus kao ure†enun-torku tih n pokusa, gdje je ishod toga pokusa prezentiran elementom Kartezijevogprodukta 1 n .

Pogledajmo sada kako se u slu µcaju kona µcno mnogo pokusa s diskretnim pros-torima elementarnih doga†aja konstruira odgovaraju ći vjerojatnosni prostor koji jetako†er diskretan.

Propozicija 1.4.1. Neka su ( 1; P 1) i ( 2; P 2) diskretni vjerojatnosni prostori i = 1 2. Tada postoji jedinstvena vjerojatnost P : 2 ! [0; 1] na takva da je

P (A1 A2) = P 1 (A1) P 2 (A2) ; A1 1; A2 :Vjerojatnost P se zove produkt vjerojatnosti P 1 i P 2 i ozna µ cavamo je s P = P 1 P 2.

Diskretni vjerojatnosni prostor ( ; P ) = ( 1 2; P 1 P 2) zovemo produkt diskret-nih vjerojatnosnih prostora ( 1; P 1) i ( 2; P 2).

Dokaz. Funkcija vjerojatnosti je jednozna µcno odre†ena svojim vrijednostima naelementarnim doga†ajima, tj. vrijednostima na to µckama skupa = 1 2. Zaelementarni doga†aj ! = ( ! 1; ! 2) 2 , de…niramo funkciju P : 2 ! [0; 1] izrazom

P (f! g) = P 1 (f! 1g) P 2 (f! 2g) :Sada, za svaki A ; A = A1 A2; A1 1 i A2 1; vrijedi

P (A) = P (A1 A2) =

P!

2A1 A2

P (f! g) =

P! 1

2A1

P! 2

2A2

P (f(! 1; ! 2)g)= P! 12A1 P! 22A2 P 1 (f! 1g) P 2 (f! 2g)= P! 12A1 P 1 (f! 1g) P! 22A2 P 2 (f! 2g)= P 1 (A1) P 2 (A2) 0:

Poka µzimo da je funkcija P vjerojatnost.

P ( ) = P ( 1 2) = P 1 ( 1) P 2 ( 2) = 1 1 = 1 i

P 1

Sn =1

An =

P! 2A1[A2[ :::

P (f! g) Sarapa tm 3:2= 1

Pn=1

P! 2An

P (f! g) =1

Pn =1

P (An ) :

Jedinstvenost vjerojatnosti P je oµcigledna.Vrijedi i op ćenito,

Teorem 1.4.1. Neka su ( i ; P i) ; i = 1;:::;n; diskretni vjerojatnosni prostori i =1 n . Tada postoji jedinstvena vjerojatnost P na takva da je

P (A1 ::: An ) =n

Qi=1 P i (Ai) ; Ai i ; i = 1; :::n:Diskretni vjerojatnosni prostor ( ; P ) zovemo produkt diskretnih vjerojatnos-

nih prostora ( i ; P i) ; i = 1;:::;n: Vjerojatnost P oznaµcavamo P = P 1 ::: P n :


21/80


1.5. Ponavljanje pokusa. Bernollijeva shemaNeka vršimo n pokusa opisanih diskretnim vjerojatnosnim prostorima ( i ; P i) ; i =1; : : : ; n : Razlikujemo dva slu µcaja: kada su ti pokusi me†usobno nezavisni i kada su

me†usobno zavisni. Niz od n nezavisnih pokusa µcine pokusi kod kojih ishodi svakogpojedinog pokusa ne ovise o ishodima ostalih pokusa.

De…nicija 1.5.1. Neka je n nezavisnih pokusa opisano diskretnim vjerojatnosnim prostorima ( i ; P i) ; i = 1; : : : ; n : Niz od n nezavisnih pokusa je sloµ zeni pokus opisan produktom ( 1 n ; P 1 : : : P n ) :

Posebno µcest sluµcaj je ponavljanje istog pokusa. Ako je pokus opisan s ( 1; P 1),onda se za prostor elementarnih doga†aja uzima Kartezijeva potencija n1 . Niz odn ponovljenih nezavisnih pokusa slu µzi kao matemati µcki model za seriju pokusa kojise ponavljaju uz iste uvjete, pri µcemu ishodi svakog pojedinog pokusa ne ovise oishodima ostalih pokusa.

De…nicija 1.5.2. Niz od n ponovljenih nezavisnih pokusa opisanih s ( 1; P 1) je diskretni vjerojatnosni prostor ( ; P ) = ( n ; P n ) :

Primjer 8. Prostor elementarnih doga†aja za slu µ cajni pokus jednog bacanja dviju razli µ citih igra ́ cih kocaka je

1 = f(i; j ) : i; j = 1; :::;6g ) j 1j = 36;

a pripadna vjerojatnost P 1 : 21

! [0; 1] je jednozna µ cno odre†ena svojim vrijednos-tima P 1 (f! g) = 136 ; za svaki ! 2 1:Ako taj par kocaka bacimo n puta, dobivamo niz od n ponovljenih nezavisnih pokusa opisanih diskretnim vjerojatnosnim prostorom ( n1 ; P n1 ), gdje je vjerojatnost P = P n1 dana s

P (f(! 1;:::;! n )g) =n

Qi=1 P 1 (f! ig) = 136n

; za svaki (! 1; :::! n ) 2 = n1 :Neka je A = fu n bacanja pojavila se barem jednom dvostruka šestica g.Tada je Ac = fu n bacanja nije se nijednom pojavila dvostruka šestica g, pa je

P (Ac) =3536

n

) P (A) = 13536

n

:

Ako µ zelimo izra µ cunati koliko puta moramo baciti dvije razli µ cite igra ́ ce kocke pa da vjerojatnost da se dogodi doga†aj A bude barem 50%, potrebno je riješiti nejednad µ zbu

13536

n 12 , n log

3536 log

12 , n 25:

Dakle, odgovor na De Mereovo pitanje: Je li preporu µ cljivo kladiti se (tj. je li vjero-

jatnost barem 50%) da ́ ce u 24 uzastopna bacanja para razli µ citih igra ́ cih kocaka barem jednom pasti dvostruka šestica? je negativan, tj. nije se preporu µ cljivo na to kladiti.


22/80


Poseban i za primjenu vrlo va µzan primjer niza od n ponovljenih nezavisnih pokusa je tzv. Bernoullijeva shema. Ona nam slu µzi za opis situacije kada pod istim uvjetimanezavisno n puta ponavljamo slu µcajan pokus koji ima samo dva ishoda.

De…nicija 1.5.3. Neka je 1 = f0; 1g dvoµ clani skup i P 1 : 2 1 ! [0; 1] vjerojatnost na 1 takva da je P 1 (f1g) = p i P 1 (f0g) = 1 p = q: Bernoullijeva shema je diskretni vjerojatnosni prostor ( ; P ), gdje je = n1 ; a P = P n1 :Dakle, Bernoullijeva shema je matemati µcki model za niz od n ponovljanja neza-

visnog pokusa koji ima samo dva mogu ća ishoda: uspjeh = f1g i neuspjeh = f0g,te je vjerojatnost uspjeha u svakom pokusu ista i iznosi p.Promatrajmo jedan slu µcajni pokus kojem je vjerojatnost doga†aja A (uspjeha)

jednaka P (A) = p. Tada je P (Ac) = 1 p = q . Pretpostavimo da pokus ponavljamon puta nezavisno i u neizmjenjenim uvjetima. Za sve mogu će ishode uzimamo samo

doga†aje A i Ac

jer nas u svakom pokusu interesira samo to je li se doga†aj Adogodio ili ne. Ako realizaciju uspjeha A interpretirajmo kao f1g, a realizacijuneuspjeha Ac kao f0g, onda je 1 = f0; 1g; = n1 ; a P = P n1 , pri µcemu je P 1vjerojatnost na 1 de…nirana s P 1 (f1g) = p, P 1 (f0g) = q: Dakle, radi se o ( ; P )Bernoullijevoj shemi.Neka je X = fu n ponavljanja pokusa k puta se dogodio uspjeh Ag; k = 0; 1; : : : ; n :Oznaµcimo sa Ai = fu i-tom ponavljanju se realizirao doga†aj Ag; tj. Ai = f1g;i = 1;:::;n: Stoga je P (Ai) = p za svaki i = 1;:::;n:Doga†aj X je skup svih kona µcnih nizova nezavisnih doga†aja duljine n u kojima

se doga†aj A javlja to µcno k puta (doga†aj Ac se onda javlja to µcno n k puta), tj.

X = A1 ::: Ak Ack+1 ::: Acn [ :::[ Ac1 ::: Acn k An k+1 ::: An :Svi doga†aji u ovoj uniji su disjunktni i vjerojatnost da se svaki od njih dogodi je jednaka pkq n k , pa je vjerojatnost doga†aja X jednaka zbroju tih vjerojatnosti.Kako X moµzemo zapisati kao

X = f(x1;:::;xn ) : xi 2 f0; 1g; i = 1;:::;n i broj 1 se javlja to µcno k puta g;to je oµcito da X ima n!k!(n k)! =

nk elemenata (radi se o permutacijama n-µclanog

multiskupa s k i n k jednakih elemenata), pa je

P (X ) = nk pkq n k ; k = 0; 1; : : : ; n :

Primjer 9. Kocka se baca 10 puta. Kolika je vjerojatnost da broj 6 padne toµ cno tri puta?

Zadatak 1. Rješenje.A = fu jednom bacanju padne broj 6g ) P (A) = p = 16 :B = fu 10 bacanja broj 6 padne toµ cno tri puta g )

P (B) = 103 p3 (1 p)7 = 103 16

3

56

7

0; 155:


23/80


Primjer 10. Kolika je vjerojatnost da bacaju ´ ci tri razli µ cite kocke n puta zbroj 15dobijemo barem 2 puta?

Zadatak 2. Rješenje.A = fu jednom bacanju zbroj na sve tri kocke je 15g )A = (x1; x2; x3) 2 f1; :::;6g3 : x1 + x2 + x3 = 15 )A = permutacije trojki f3; 6; 6g;f4; 5; 6g;f5; 5; 5g ) jAj = 10

P (A) = p = 1063

= 5108

:

B = fu n bacanja barem dva puta je zbroj na sve tri kocke bio 15g )P (B) = 1 P (B c) =

= 1 n0 (1 p)n n

1 p1 (1 p)n 1 =

= 1103108

nn

5108

103108

n 1:

Zadatak se mo µze riješiti i direktno: P (B ) =n

Pk=2nk p

k (1 p)n k

Pogledajmo sada primjer koji nam ilustrira niz zavisnih pokusa, tj. pokusa ukojima ishod nekog pokusa ovisi o ishodima ostalih pokusa.

Primjer 11. Imamo tri kutije. U prvoj kutiji neka su 2 bijele i 3 crne kuglice, u drugoj 2 bijele i 2 crne kuglice, a u tre ´ coj 3 bijele i 1 crna kuglica. Iz prve kutije

na slu µ cajan na µ cin izvla µ cimo jednu kuglicu i stavimo je u drugu kutiju. Poslije toga iz druge kutije na slu µ cajan na µ cin izvu µ cemo jednu kuglicu i stavimo je u tre ´ cu kutiju.Naposljetku iz tre ´ ce kutije na slu µ cajan na µ cin premjestimo jednu kuglicu u prvu kutiju.Što je vjerojatnije: da se sastav kuglica prve kutije promijenio s obzirom na boju ili da je ostao isti.

Ovdje imamo tri slu µ cajna pokusa- tri premještanja kuglica, a rezultat svakog idu ́ ceg pokusa ovisi o rezultatima prethodnih pokusa, pa su pokusi zavisni.

Ozna µ cimo s Ak = fu k-tom premještanju premještena je bijela kuglica g, k =1; 2; 3: Tada prostor elementarnih doga†aja moµ zemo shvatiti kao skup =

f(A;B;C ) : A

2 fA1; Ac1

g; B

2 fA2; Ac2

g; C

2 fA3; Ac3

gg;

gdje trojke interpretiramo kao presjeke tih doga†aja. Budu ´ ci da nam je sastav kutija poznat, poznate su nam vjerojatnosti P (A1) ; P (A2 j A1) ; P (A3 j A1 \ A2) ; itd. Na primjer, trojka (Ac1; A2; Ac3) odgovara rezultatu pokusa: u prvom i tre ´ cem premješ-tanju premještena je crna, a u drugom bijela kuglica.

Sada, iz

P (A1 \ \Ak) = P (A1) P (A2 j A1) P (A3 j A1 \ A2) P (Ak j A1 \ : : : \ Ak 1)slijedi

P (A1; A2; A3) = P (A1) P (A2 j A1) P (A3 j A1 \ A2) ==

25

35

45

= 24125

:


24/80


Analogno bismo dobili vjerojatnosti ostalih elementarnih doga†aja prostora .Neka je Bk = fposlije obavljena tri premještanja u prvoj je kutiji k bijelih kuglica g; k =1; 2; 3: Tada je

B1 = f(A1; A2; Ac3) ; (A1; Ac2; Ac3)g;B2 = f(A1; A2; A3) ; (A1; Ac2; A3) ; (Ac1; A2; Ac3) ; (Ac1; Ac2; Ac3)g;B3 = f(Ac1; A2; A3) ; (Ac1; Ac2; A3)g:

Sad se lako izra µ cuna

P (B1) = 14125

; P (B2) = 60125

; P (B3) = 51125

:

Kako je P (B2) vjerojatnost da je poslije tri premještanja u prvoj kutiji ostao isti broj bijelih kuglica, vidimo da je vjerojatnije da ´ ce se broj bijelih kuglica u prvoj kutiji

promijeniti jer je P (B1) + P (B3) > P (B2) :Ovaj nam primjer sugerira sljede ću generalizaciju.

De…nicija 1.5.4. Neka vršimo n pokusa i neka svaki od njih ima kona µ cno mnogoishoda. Neka je r = n! (r )i : i = 1; 2;:::;kro prostor elementarnih doga†aja r-tog pokusa, r = 1;:::;n: Niz od n zavisnih pokusa je diskretni vjerojatnosni prostor ( 1 ::: n ; P ), gdje je vjerojatnost P de…nirana sa P n! (1)i1 ; ! (2)i2 ;:::;! (n )in o=P 1

n! (1)i1

oP 2

n! (2)i2

oj

n! (1)i1

oP 3

n! (3)i3

oj

n! (1)i1

o;

n! (2)i2

o::: P n

n!(n )in oj n!

(1)i1 o; :::;n!

(n 1)in 1 o ; i

r = 1;:::;kr ; r = 1;:::;n:Pritom su brojevi P r n! (r )i r oj n! (1)i1 o;:::;n! (r 1)i r 1 o 0 i kr

Pi r =1 P r n!(r )i r oj n! (1)i1 o; :::;n! (r 1)i r 1 o = 1 ; za sve ir = 1;:::;kr ; r = 1;:::;n:

Zadatak 3. Doka µ zite da je gore de…nirana funkcija P vjerojatnost!

Sasvim se analogno de…nira niz od n zavisnih pokusa ako su prostori elementarnihdoga†aja pojedinih pokusa prebrojivi.

1.6. Diskretne slu µcajne varijableNeka je matemati µcki model nekog sluµcajnog pokusa diskretni vjerojatnosni prostor( ; P ). U primjenama nam µcesto nije vaµzna priroda prostora elementarnih do-ga†aja véc nas zanimaju neke numeri µcke karakteristike µcije vrijednosti ovise oelementarnim doga†ajima. Na primjer, u Bernoullijevoj shemi zanima nas kolika jevjerojatnost da imamo to µcno k uspjeha u n pokusa. Dakle, va µzno su nam funkcijede…nirane na skupu elementarnih doga†aja. S tim u vezi imamo sljede ću de…niciju.

De…nicija 1.6.1. Neka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor. Funkciju X : !1, gdje je 1 bilo koji neprazan skup, nazivamo diskretnom sluµcajnom vari-

jablom u 1.


25/80


Primjedba 1.6.1. Budu ́ ci da je X ( ) najviše prebrojiv (jer je takav), ovakve slu µ cajne varijable se zovu diskretne slu µ cajne varijable.

Nama je najva µzniji sluµcaj kada je 1 jednak R ili Rn ; n

2; jer su sluµcajni

eksperimenti naj µceš́ce povezani s odre†enim mjerenjima µcije su vrijednosti neki realnibrojevi ili elementi iz Rn . Slika sluµcajne varijable X ( ) je skup vrijednosti koje semogu dobiti tim mjerenjima. Intuitivno, slu µcajna varijabla je veli µcina koja se dobijemjerenjem povezanim s nekim slu µcajnim pokusom.Pogledajmo sljede ći primjer.

Primjer 12. Bacamo dva razli µ cita simetri µ cna nov µ ci ́ ca. Tada je = fPP;PG;GP;GG g,a P (! ) = 14 , za svaki ! 2 : Ozna µ cimo s X = broj pisama koji su pali. Dakle, X moµ ze poprimiti vrijednosti 0; 1 ili 2, pa X moµ zemo shvatiti kao funkciju X : !f0; 1; 2g de…niranu s X (P P ) = 2 ; X (P G) = X (GP ) = 1 i X (GG) = 0 :

Ovako de…nirana funkcija X je primjer jedne slu µ cajne varijable.Kod sluµcajne varijable nas više zanima vjerojatnost da ona poprimi neku vrijed-

nost a 2 1, tj. broj P (X 1 fag), nego sama vrijednost a koju sluµcajna varijablapoprima u pojedinim to µckama skupa . U prethodnom primjeru je:vjerojatnost da X poprimi vrijednost 2 jednaka P (X 1 (2)) = P (fP P g) = 14 ;vjerojatnost da poprimi vrijednost 1 jednaka P (X 1 (1)) = P (fPG;GP g) = 24 = 12 ;a vjerojatnost da poprimi vrijednost 0 jednaka P (X 1 (0)) = P (fGGg) = 14 :Neka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor, X : ! 1 diskretna slu µcajnavarijabla u 1, a 2 1 i E 1: Oznaµcimo sa

1. (X = a) def = X 1 (fag) = f! 2 j X (! ) = ag,2. (X 2 E )

def = X 1 (E ) = f! 2 j X (! ) 2 E g,3. P (X 2 E )

def = P (X 1 (E )) (vjerojatnost da X poprimi vrijednosti iz E ).

Tako je, na primjer, u prethodnom primjeru (X = 0) = f! 2 j X (! ) = 0g =fGGg, pa je P (X = 0) = P (fGGg) = 14 . Sliµcno dobijemo da je P (X = 1) = 12 iP (X = 2) = 14 .

Ako je X : ! R sluµcajna varijabla u R i a 2R , onda de…niramo i(X a)

def = X 1 (h 1; a]) = f! 2 j X (! ) ag:Analogno de…niramo (X < a ) ; (X > a ) i (X a) :Na primjer, P (X 1) = P (fPP;PG;GP g) = 34 .Primjer 13. Neka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor i A . Slu µ cajna varijabla A : ! R de…nirana izrazom

A (! ) = 1; ! 2 A;0; ! =

2 A:

se zove indikator ili karakterisi µ cna funkcija doga†aja A.


26/80


Propozicija 1.6.1. Neka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor i X : ! 1diskretna slu µ cajna varijabla u 1. Ako je 0 = X ( ) i P 0 : 2 0 ! [0; 1] de…nirana s P 0 (E ) = P (X 2 E ) = P (X 1 (E )), onda je ( 0; P 0) diskretni vjerojatnosni prostor.Dokaz. 0 je, evidentno, najviše prebrojiv i P 0 (;) = P (;) = 0 , P 0( 0) = P ( ) = 1 .Ako su E n 0, n 2N i E i \ E j = ; za sve i 6= j , onda su i X 1 (E n ) ; n 2N,tako†er disjunktni pa je

P 0 1Sn =1 E n = P (X 1 1

Sn =1 E n ) = P (1

Sn =1 X 1 (E n ))

= 1Pn =1 P (X 1 (E n )) =

1

Pn =1 P 0 (E n ) ;što zna µci da je P 0 -aditivna.

Vjerojatnost P 0 nazivamo distribucijom ili razdiobom sluµcajne varijable X ioznaµcavamo sa P 0 = P X :

Neka je X ( ) = fa1;:::;an ;:::g i P (X = ai) = pi , i = 1; 2:::. Distribucijasluµcajne varijable X odre†ena je, dakle, podru µcjem vrijednosti koje slu µcajna varijabla X poprima (tj. elementima a1;:::;an ;:::) i njima pripadnim vjerojatnostima pi = P X (a i) = P (X 1 (fa ig)) : To moµzemo zapisati u tabli µcnom obliku

X a1 a2 ::: an ::: p1 p2 ::: pn :::

:

Uoµcimo da zbog me†usobne disjunktnosti doga†aja (X = an ) vrijedi

1 = P (X

2 X ( )) = P X

2 Sn2N f

an

g= 1

Pn =1

P (X = an ) =1

Pn =1

pn .

Dakle, da bi gornja tablica bila tablica distribucije, mora vrijediti:

pi 0 za sve i = 1; 2;:::i1

Xn =1 pn = 1:U poµcetnom primjeru je 0 = f0; 1; 2g, a distribuciju P X : 2

0

! [0; 1] moµzemoopisati tablicom distribucije X

0 1 214

12

14

:

Primjer 14. U kutiji se nalazi 5 ispravnih i 4 neispravne µ zarulje. Iz kutije se izvla µ ci po jedna µ zarulja bez vra ´ canja sve dok se ne izvu µ ce ispravna µ zarulja. Odredite dis-tribuciju vjerojatnosti slu µ cajne varijable X koja predstavlja broj izvu µ cenih µ zarulja i odredite vjerojatnost doga†aja ( 1 < X < 3).

Skup mogu ´ cih vrijednosti slu µ cajne varijable X je (X ) = f1; 2; 3; 4; 5g, a pri-padne vjerojatnosti su p1 = P (X = 1) = 59 ; p2 = P (X = 2) = 49 58 = 518 ; p3 =P (X = 3) = 49 38 57 = 542 ; p4 = P (X = 4) = 49 38 27 56 = 5126 ; p5 = P (X = 5) =49 38 27 16 55 = 1126 :

Prema tome, distribucija slu µ cajne varijable je

X 1 2 3 4 5

59

518

542

5126

1126

; a

P ( 1 < X < 3) = P (X = 1) + P (X = 2) = 56:


27/80


µCesto se vjerojatnosni prostor ( ; P ) ne navodi eksplicitno nego se slu µcajna var-ijabla X de…nira eksplicitnim navo†enjem distribucije P X (a ne vjerojatnosti P ).Tada se obi µcno kaµze "Neka je X sluµcajna varijabla s distribucijom P X ". Budu ći dau tom slu µcaju X dolazi odnekud i pada u 1, X se i zove sluµcajna varijabla.

Neka je X : ! R n sluµcajna varijabla u R n i 0 = X ( ) = fa1; a2; : : :g. Ako jeE k = ( X = ak) = X 1 (fakg), k 1, onda je fE k : k 1g potpun sistem doga†ajau i vrijediX = Pk ak E k :

Budu ći da je X ( ) najviše prebrojiv, to je slu µcajna varijabla X diskretna.Ako stavimo da je pk = P (E k) ; k 1, onda za distribuciju P X od X vrijedi da je P X (fakg) = pk , k 1:

1.6.1. Primjeri diskretnih slu µcajnih varijabli i njihovih dis-tribucija1. Diskretna uniformna distribucija na f1; 2;:::;ngNeka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor. Ka µzemo da je sluµcajna varijablaX : ! f 1; 2;:::;ng N uniformna sluµcajna varijabla ako je

P (X = k) = 1n

; za svaki k 2 f1; 2;:::;ng:Distribucija P X od X de…nirana s P X (fkg) = P (X = k) ; za k 2 f1; 2;:::;ng; jevjerojatnost na 0 =

f1; 2;:::;n

gi zovemo je uniformna distribucija na

f1; 2;:::;n

g.

Tablica distribucije je data s

X 1 2 ::: n

1n

1n :::

1n

:

Primjer 15. Bacamo jednu simetri µ cnu kocku. Neka je X = broj koji je pao na simetri µ cnoj kocki. Tada je

P (X = k) = 16

; k 2 f1; 2; :::;6g:

Dakle, slu µ cajna varijabla X je diskretna uniformna slu µ cajna varijabla s distribu-cijom

X 1 2 ::: 6

16

16 :::

16

:

2. Binomna distribucija s parametrima n i pPromatrajmo jedan slu µcajni pokus i neka je vjerojatnost nekog doga†aja A

vezanog za taj pokus kojeg ćemo smatrati za uspjeh jednaka P (A) = p. Pret-postavimo da pokus ponavljamo n puta nezavisno i u neizmjenjenim uvjetima. Toznaµci da su ishodi u razli µcitim pokusima nezavisni doga†aji i da je P (A) = p u svimpokusima. Za sve mogu će ishode moµzemo uzeti A i Ac jer nas u svakom pokusuinteresira samo to je li se doga†aj A dogodio ili ne. Pritom je P (Ac) = 1 p: Dakle,radi se o ( ; P ) Bernoullijevoj shemi, = f0; 1gn ; a P = P n1 , P 1 : 2 1 ! [0; 1]


28/80


vjerojatnost na 1 takva da je P 1 (f1g) = p, P 1 (f0g) = q = 1 p, gdje nam 1predstavlja realizaciju doga†aja A, a 0 realizaciju doga†aja Ac:De…nirajmo sada sluµcajnu varijablu X kao broj koji iskazuje koliko se puta real-

izirao doga†aj A, tj. koliko se puta ostvario uspjeh pri n-terostrukom ponavljanjutoga pokusa. Slu µcajna varijabla X je, dakle, diskretnog tipa sa skupom mogu ćihvrijednosti X ( ) = f0; 1; 2;:::;ng N , pa je X : ! f 0; 1; : : : ; ng:Nadalje, distribucija slu µcajne varijable X je de…nirana sa

P X (fkg) = P (X = k) = nk pk (1 p)n k ; k = 0; 1; : : : ; nSluµcajna varijabla X se zove binomna slu µcajna varijabla s parametrima n i p, adistribucija

X 0 1 2 ::: n

n0 (1 p)

n

n1 p(1 p)

n 1

n2 p

2 (1 p)n 2 ::: nn pn

se zove binomna distribucija s parametrima n i p i oznaµcavamo je s B (n; p) :Pišemo X B (n; p) :Ako je n = 1 onda je X = A i zovemo je Bernoullijeva slu µcajna varijabla sparametrom p. Distribucija ove slu µcajne varijable je de…nirana s X

0 11 p p .

Bernoullijeva distribucija je osnovna u teoriji vjerojatnosti jer n-terostrukim pon-avljanjem dovodi do zna µcajne binomne distribucije. Ona je indikatorska varijablauspjeha u svakom pojedinom pokusu.

Zadatak 1. Doka µ zite da je zbroj dviju binomnih slu µ cajnih varijabla opet binomna slu µ cajna varijabla.

Primjer 16. Iz skladišta se uzima 100 proizvoda, a vjerojatnost da je svaki pojedini od njih neispravan je 0:02: Odredite vjerojatnost da me†u tih 100 proizvoda broj neispravnih nije ve ´ ci od 5:

Rješenje.A = fproizvod je neispravan g ) P (A) = 0 :02:B = fbroj neispravnih proizvoda nije ve ´ ci od 5g:U pitanju je binomna distribucija B (100; 0:02), gdje je slu µ cajna varijabla X =

broj neispravnih proizvoda. Stoga je

P (B) = P 5

Sk=0

(X = k) =5

Pk=0

100

k0:02k 0:98100 k

3. Poissonova distribucija na R s parametrom > 0U binomnoj distribuciji efektivno ra µcunanje vjerojatnosti pk za velike n-ove

moµze stvarati poteško će. Stoga je vaµzno moći taj izraz aproksimirati. Jedna odmogu ćnosti da se taj izraz aproksimira je pomo ću Poissonove distribucije.

Neka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor. Ka µzemo da je sluµcajna varijablaX : ! N0 R Poissonova ako je P (X = k) =

k

k! e ; k 0:Distribucija P 0 od X de…nirana sP 0 (fkg) = P (X = k) ; za k 0; je vjerojatnostna 0 = N0 (dokaµzite) i zovemo je Poissonova distribucija na R s parametrom > 0 i oznaµcavamo s P ( ). Tablica distribucije je data s

X 0 1 2 ::: n :::e e

2

2! e ::: n

n ! e ::::


29/80


Binomna distribucije se, uz odre†ene uvjete, aproksimira Poissonovom distribu-cijom. Ispravnost takve aproksimacije garantiraju grani µcni teoremi u Bernoullijevojshemi. Oni omogu ćavaju da na jednostavan na µcin pribliµzno izaµcunamo vjerojatnostiu binomnoj distribuciji. Za dokazati Poissonov teorem potrebna nam je sljede ćalema.Lema 1.6.1. Neka je g : N ! R takva da je limn!1 g(n) = ; 2R : Tada je

limn!1

1 + g(n)

n

n

= e :

Teorem 1.6.1. (Poisson) Neka je X n B(n; pn ); n 2N; limn!1 pn = 0 i limn!1 npn = za 0 < < 1 …ksan broj. Tada je lim

n!1P (X n = k) = lim

n!1nk

pkn q n kn =

k

k! e za svaki k = 0; 1; :::n:Dokaz. Stavimo da je npn = n ; n 2 N: Tada je limn!1 n = : Za proizvoljnik = 0; 1; 2;::: imamo

P (X n = k) = n(n 1):::(n k + 1)

k!n

n

k

1 nn

n k

=

= kn

k!1

1n

::: 1 k 1

n1

nn

n

1 nn

k

:

Sada iz prethodne leme slijedi

limn!1 P (X n = k) = limn!1nk p

kn q

n kn =

k

k! e :Iz ovoga slijedi da za velike n i male pn vrijedi pribli µzna formula

P (X n = k) knk! e n ; n = n pn ; k = 0; 1; 2; :::n:

Formula se obi µcno upotrebljava za n 20 i n pn < 10; što je n véci aproksimacija je bolja.Primjena Poissonovog teorema

U primjeru skladišta iz kojeg uzimamo 100 proizvoda, a vjerojatnost da je svakipojedini od njih neispravan je 0:02, odredili smo da je vjerojatnost da me†u tih 100proizvoda broj neispravnih nije ve ći od 5 jednaka

P (B) = P 5

Sk=0 (X = k) =5

Pk=0100

k 0:02k 0:98100 k :

Kako je = np = 100 0:02 = 2 < 10, moµzemo primijeniti Poissonovu aproksimaciju,pa je

P (B ) =5

Pk=0

100k 0:02

k 0:98100 k

5

Pk=02kk!

e 2 = 1 + 2 + 22

2! + 2

3

3! + 2

4

4! + 2

5

5!= 0 :78041:


30/80


Primjer 17. Neka škola ima 2555 u µ cenika. Ako je slu µ cajna varijabla X = broj u µ cenika ro†enih 01:01:, odredite:

(a) sliku od X;(b) distribuciju od X;(c) P (X = 5) :Ra µ cunajmo da godina ima 365 dana.Rješenje.(a) X ( ) = f0; 1; 2; :::;2555g(b) P (X = k) = 2555k

1365

k 364365

2555 k ; k = 0; 1; : : : ; 2555; pa je X B 2555; 1365 :No, kako je n velik (2555), a p mali ( 1365 ), te np = = 7 < 10, to binomnu distribuciju B 2555; 1365 moµ zemo aproksimirati Poissonovom P o (7) ; pa mjesto da ra µ cunamo P (X = k) = 2555k

1365

k 364365

2555 k , to moµ zemo aproksimirati sa

P (X = k)

k

k!e =

7k

k!e 7; k = 0; 1; : : : ; 2555:

Stoga je

P (X = 5) = 25555 1365

5 364365

2550 75

5!e 5 0:9437:

Poissonove distribucije u teoriji vjerojatnosti i teoriji slu µcajnih procesa ima zna µca- jnu primjenu. Koristi se kao model za broj telefonskih poziva u jedinici vremena,broj prolaza automobila u jedinici vremena, broj prolaza kozmi µckih zraka, brzinaradioaktivnog raspadanja nekog materijala, itd.

Primjer 18. U telefonskoj centrali registrirano je 400 korisnika. Svaki korisnik u nekom odre†enom vremenskom intervalu poziva centralu s vjerojatnoš ´ cu 0:01.Izra µ cunajte vjerojatnost da je u promatranom vremenskom intervalu (a) toµ cno 5 korisnika pozvalo centralu,(b) barem 3 korisnika pozvalo centralu.Rješenje.n = 400; p = 0:01; X = broj korisnika koji pozovu cenrtalu u tom vremenskom intervalu ) X B(400; 0:01); = 400 0:01 = 4 < 10:(a) P (X = 5) 4

5

5! e 4 0:156:(b) P (X 3) = 1 P (X = 0) P (X = 1) P (X = 2) 1 1 +

1

1! + 22! e

0:7:Teorem 1.6.2. (Lokalni Moivre-LaPlaceov teorem) Neka je 0 < p < 1; X n B(n; p) i xk = k npp npq ; k = 0; 1;:::;n: Tada vrijedi:

limn!1

p 2 npqP (X n = k)e

x 2k2

= 1 ; (1)

i to uniformno na svakome ograni µ cenom segmentu [a; b]; a xk b; za sve k i n.Ovaj teorem naj µceš́ce koristimo u obliku:

Za dovoljno velike n i X n

B(n; p); 0 < p < 1 je

P (X n = k) 1

p 2 npq e( k np ) 2

2npq : (12)


31/80


Iz uvjeta Moivre-LaPlaceovog teorema slijedi da kada n ! 1 onda i k ! 1 ;pa ako kod primjene relacije (12) µzelimo dovoljno dobar rezultat, onda k ne smi- jemo uzeti "suviše" mali. Rezlutati dobiveni pomo ću (12), tj. primjenom LokalnogMoivre-LaPlaceovog teorema su uglavnom to µcniji od onih dobivenih primjenom Pois-sonovog teorema.

Primjena pribli µzne formule (12) je znatno olakšana jer postoje tabelirane vrijed-nosti funkcije ' (x) = 1p 2 e

x 22 ; x 0 (zbog parnosti funkcije ' uzimamo da je

x 0), pa relacija (12) poprima oblikP (X n = k)

1p npq ' (xk) :

Funkcija ' zove se Gaussova ili normalna funkcija.Primjena Lokalnog Moivre-LaPlaceov teorema

Primjer 19. U seriji od 10000proizvoda je 6000 prvoklasnih. Odredite vjerojatnost da me†u 100 odabranih bude 70 prvoklasnih.Rješenje.P = 600010000 = 0:6; X B(100; 0:6); = n p = 60 > 10; npq = 100 0:6 0:4 = 24;xk = k npp npq =

70 60p 24 2:041; pa je P (X = 70) 1p 2 npq ex 2k2 0:0101:

Primjer 20. Simetri µ cni nov µ ci ́ c bacamo 100 puta. Kolika je vjerojatnost da ´ ce pismopasti toµ cno 50 puta? Rješenje.n = 100; p = 1

2; X = broj pisama koja padnu

) X

B(100; 1

2):

npq = 100 12 12 = 25; xk = 50 100 12p 25 = 0; pa je P (X = 50) 1p 2 npq e

x 2k2 0:079:

4. Polinomijalna distribucija s parametrima k i p (generalizirana bi-nomna)

Vektor ! 2 Rn se zove multiindeks ako su sve njegove koordinate iz N0 =f0; 1; 2; : : :g, i = 1; : : : ; n.Skup svih multiindeksa ozna µcavamo sa Nn0 i za !; 2 Nn0 , ! = ( ! 1;:::;! n ) ; = ( 1;:::; n ) ; uvodimo oznake:

! ! = ! 1!! 2! ! n !;

j! j = ! 1 + ! 2 + + ! n ;!

=! 1

1

! nn

;

x! = x! 11 x! 22 x! nn ; x 2R n :

Neka su k 2N; pi 2 [0; 1]; i = 1; : : : ; n, p1+ + pn = 1, p = p1e1+ + pn en ; ei 2R n ;i = 1;:::;n; 0 = f! = ( ! 1;:::;! n ) 2Nn0 : j! j = kg: De…niramo preslikavanje P 0 na0 sa

P 0 (f! g) = (! 1 + ! 2 + + ! n )!

! 1!! 2! ! n ! p! 11 p

! 22 :::p

! nn =

k!! !

p! ; ! = ( ! 1;:::;! n ) 2 0:


32/80


Kako je

P 0( 0) =

X! =( ! 1 ;:::;! n )

2N n0

! 1 + :::+ ! n = k

P (X = ! ) =

X! =( ! 1 ;:::;! n )

2N n0

! 1 + :::+ ! n = k

k!! 1!! 2! ! n !

p! 11 ::: p! nn =

= ( p1 + ::: + pn )k = 1 ;

to je P 0 vjerojatnost i nazivamo je polinomijalna distribucija na Rn s para-metrima k i p.

Polinomijalnu vjerojatnost µcesto susre će u praksi. Na primjer, neka je slu µcajnieksperiment opisan s ( ; P ) i neka je fE 1; : : : ; E ng potpun sistem doga†aja u , te p1 = P (E 1) ; : : : ; pn = P (E n ) : De…nirajmo sluµcajnu varijablu X u Rn sa

X = X 1e1 + + X n en ;

pri µcemu sluµcajna varijabla X i predstavlja broj koliko se puta realizirao doga†ajE i pri k-terostrukom ponavljanju tog pokusa. Slu µcajna varijabla X je diskretnasa skupom mogu ćih vrijednosti X ( ) = f! 2Nn0 : j! j = kg f0; 1; 2;:::;kgn , pa je X : ! f 0; 1; : : : ; kgn polinomijalna slu µcajna varijabla . Distribucija tesluµcajne varijable je dana sa

P 0 (f! g) = P (X = ! ) = k!! !

p! :

Primjer 21. Bacamo kocku 10 puta. Neka je X = ( X 1; X 2; X 3) slu µ cajna varijabla u N3

0, gdje su slu µ cajne varijable

X 1 = broj pojavljivanja nekog parnog broja,X 2 = broj pojavljivanja broja 5;X 3 = broj pojavljivanja ostalih brojeva

Na†ite distribuciju od X:Rješenje.Neka je E 1 = f2; 4; 6g; E 2 = f5g; E 3 = f1; 3g: Tada je P (E 1) = 12 ; P (E 2) = 16 ;P (E 3) = 13 :Slu µ cajna varijabla X ima polinomijalnu distribuciju u N30 s parametrima n = 10

i p = 12 ; 16 ; 13 , te za svaki ! 2N; j! j = 10 vrijedi P (X = ! ) =

10!! 1! ! 2! ! 3!

12

! 1 16

! 2 13

! 3

:

5. Geometrijska slu µcajna varijabla u N s parametrom p 2 h0; 1iPokus se ponavlja sve dok se odre†eni doga†aj A, koji ima vjerojatnost P (A) = p, ne pojavi prvi put. Neka je X = broj izvedenih pokusa. Veli µcina X je sluµcajnavarijabla kojoj je skup vrijednosti X ( ) = f1; 2;:::g, a P (X = k) = q k 1 p; k 2 N,odnosno

X 1 2 3 ::: k ::: p qp q 2 p ::: q k 1 p ::: :


33/80


Nadalje, vrijedi1

Xk=1 P (X = k) =1

Xk=1 q k 1 p = p1 q

= 1;

pa je P X od X de…nirana s P X (fkg) = P (X = k) ; za k 1; vjerojatnost. Tuvjerojatnost nazivamo geometrijska distribucija i oznaµcavamo s G ( p). PišemoX G( p)Primjer 22. Kontrolor provjerava seriju proizvoda u kojoj ima 10% neispravnih proizvoda i prekida provjeru kada nai†e na prvi neispravni proizvod. Neka je X broj pregledanih prizvoda. Na†ite distribuciju od X:

Rješenje.X ( ) = f1; 2; 3;:::g = NP (X = k) = 910

k 1 110 ; k 2N, pa je

X G( 110) = 1 2 3 ::: k :::

110

910

1 110

910

2 110 :::

110

k 1 110 :::

:

6. Hipergeometrijska distribucija u N0 s parametrima m; r; n 2N, r mi n mU jednom skupu od m elemenata nalazi se r elemenata s nekim svojstvom A. Izskupa se uzima slu µcajan uzorak od n (n m) elemenata. Neka je X = broj eleme-nata sa svojstvom A u tom uzorku od n elemenata. Tada je X ( ) = f0; 1;:::;ng:Odredimo vjerojatnost doga†aja fX = kg; k 2 f0; 1;:::;ng:Iz skupa od m elemenata mo µze se uzeti uzorak od n elemenata na mn naµcina.Nadalje, iz podskupa od r elemenata sa svojstvom A moµzemo uzeti k elemenata nar

k naµcina. Preostalih n k elemenata nemaju svojstvo A i treba ih uzeti iz skupakoji ima m r elemenata što mo µzemo uµciniti na m rn k naµcina. Svaki izbor od kelemenata sa svojstvom A dolazi zajedno sa svakim izborom od n k elemenatakoji nemaju svojstvo A, pa je broj povoljnih ishoda za doga†aj fX = kg jednakr

km rn k :

Dakle,

P (X = k) =rk

m rn k

mn

; k 2 f0; 1;:::;ng;odnosno

X 0 1 ::: n( r0)(m rn 0 )(mn )( r1)(m rn 1 )

(mn ) ::: (

rn )(m r0 )

(mn ) !:Nadalje, vrijedi

n

Xk=0 P (X = k) =n

Xk=0rk

m rn k

mn

= 1

mn

n

Xk=0rk

m rn k

=

= Vandermond. konvolucija =r +( m r )

nmn

= 1;

pa je P 0 od X de…nirana s P 0 (fkg) = P (X = k) ; za k 1; vjerojatnost. Tu vjerojatnost nazivamo hipergeometrijska distribucija u N0 s parametrima r; m; n 2N , r m i n m:


34/80


Primjer 23. Skup se sastoji od 30 proizvoda, 24 ispravna i 6 neispravnih. Uzi-mamo nasumce uzorak od 5 proizvoda. Neka slu µ cajna varijabla X predstavlja broj neispravnih proizvoda u tom uzorku. Odredite distribuciju slu µ cajne varijable X .

Rješenje.X ( ) = f0; 1; 2; 3; 4; 5gi X ima hipergeometrijsku distribuciju H (30; 6; 5) : Stoga je

P (X = k) =6k

245 k

305

; k 2 f0; 1; 2; 3; 4; 5g;pa je

X H (30; 6; 5) = 0 1 2 3 4 5(245 )(305 )

(61)( 244 )(305 )

(62)( 243 )(305 )

(63)( 242 )(305 )

(64)( 241 )(305 )

(65)(305 ) !:

7. Pascalova distribucija na N0 s parametrima p i rNeka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor. Ka µzemo da je sluµcajna varijabla

X : ! N0 Pascalova ako jeP (X = k) = r + k 1k p

r (1 p)k ; k 2N0:Distribucija P 0 od X de…nirana s P 0 (fkg) = P (X = k) ; za k 0; je vjerojatnostna 0 = N0 (dokaµzite) i zove se Pascalova distribucija na N0 s parametrima p ir .

Tablica distribucije je data s

X 0 1 2 ::: n ::: pr rp r (1 p) r +1

2 pr (1 p)2 ::: r + n 1

n pr (1 p)n ::: :

8. Logaritamska distribucija u N s parametrom p 2 h0; 1iKaµzemo da je X : ! N R logaritamska slu µcajna varijabla u R sparametrom p; gdje je 0 < p < 1; ako vrijediP (X = k) = 1log p (1 p)

k

k ; k 2N ,odnosno

X 1 2 3 ::: k :::

qln p

q22 ln p

q33 ln p :::

qkk ln p ::: !, gdje je q = 1 p:

Vrijedi1

Xk=1 P (X = k) =1

Xk=1q k

k ln p =

1ln p

1

Xk=1q k

k( )=

1ln p ( ln(1 q )) =

ln pln p

= 1;

( )1

Xk=0 xk = 11 x j

q

Z 0 dx )1

Xk=0

q k+1

k + 1 =

q

Z 01

1 xdx )

1

Xk=1

q k

k = ln(1 q )

pa je P 0 od X de…nirana s P 0 (fkg) = P (X = k) ; za k 2 N; vjerojatnost. Tuvjerojatnost nazivamo logaritamska distribucija u N s parametrom p 2 h0; 1i:


35/80


De…nicija 1.6.2. Neka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor. Ka µ zemo da su slu µ cajne varijable X i : ! i ; i = 1;:::;n; nezavisne ako su doga†aji (X 1 2 E 1) ; :::; (X n 2 E n )nezavisni, za svaki E i i ; i = 1; : : : ; n, tj. ako vrijedi

P ((X 1 2 E 1) \ \(X n 2 E n )) = P (X 1 2 E 1) ::: P (X n 2 E n ) :Ka µ zemo da je familija fX i : i 2 I g slu µ cajnih varijabla X i : ! i nezavisna ,ako je nezavisna svaka njezina kona µ cna podfamilija.

Propozicija 1.6.2. Neka je X slu µ cajna varijabla u Rn s koordinatama X 1; : : : ; X n .Tada su koordinate od X nezavisne ako i samo ako je P X = P X 1 ::: P X n :Dokaz. Koordinate od X su nezavisne ako i samo ako je

P ((X 1

2 E 1)

\:::

\(X n

2 E n )) = P (X 1

2 E 1) ::: P (X n

2 E n )

za svaki E i R : Ovu relaciju mo µzemo zapisati i u oblikuP (X 2 E 1 ::: E n ) = P (X 1 2 E 1) ::: P (X n 2 E n ) ;

odnosno u obliku

P X (E 1 ::: E n ) = P X 1 (E 1) ::: P X n (E n )

što je ekvivalentno sa P X = P X 1 ::: P X n .

Propozicija 1.6.3. Neka su X i : ! R nezavisne slu µ cajne varijable u R i gi :R ! R proizvoljne funkcije, i = 1;:::;n. Tada su slu µ cajne varijable gi (X i) : ! R ;gi (X i) (! ) = gi (X i (! )) ; i = 1;:::;n nezavisne.Dokaz. Za proizvoljne Bi R , i = 1;:::;n vrijedi

P n

Ti=1 gi (X i) 2 B i = P n

Ti=1 (gi (X i))1 (B i)

= P n

Ti=1

X 1i g1

i (B i)

= P n

Ti=1 X i 2 g1i (B i) (zbog nezavisnosti)

=n

Qi=1 P X i 2 g1

i (B i)

=n

Qi=1 P (gi (X i) 2 B i) :


36/80


1.7. Funkcija gusto će i funkcija distribucije slu µca- jne varijable

De…nicija 1.7.1. Neka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor i X : !

R slu µ cajna varijabla u R zadana distribucijom (zakonom razdiobe)

X a1 a2 ::: p1 p2 :::

:

Funkcija gustóce vjerojatnosti sluµcajne varijable X ili kra ´ ce gustóca od X , jest funkcija f X : R ! R de…nirana sa

f X (x) = P (X = x) = 0; ako je x 6= ai za svaki i pi ; ako je x = ai za neki i:

µCesto ćemo stavljati f X = f ako je jasno o kojoj se sluµcajnoj varijabli, odnosnonjezinoj gusto ći radi.

Neka je B R . Tada imamoP (X 2 B) = P X 1 (B) = P X 1 (B \ fa1; a2;:::g) =

= Pa i 2B P (X = ai) = Pfi:a i 2B g pi = Px2B f (x)Ova suma ima najviše prebrojivo µclanova jer je f jR nfa 1 ;a 2 ;:::g= 0 :Neka je g : R ! R i B R . Tada imamo

P (g (X ) 2 B) = Pfi:g(a i )2B g pi = Pg(x)2B f (x) :Jedan od osnovnih pojmova u teoriji vjerojatnosti jest pojam funkcije distribucije

sluµcajne varijable. To je pojam koji teoriju vjerojatnosti razlikuje od teorije mjere(vjerojatnost je normirana mjera). U teoriji vjerojatnosti se obi µcno efektivno neoperira sa slu µcajnim varijablama nego s njihovim funkcijama distribucije. Osnovnaklasi…kacija sluµcajnih varijabli provodi se upravo na osnovi oblika njihove funkcijedistribucije.

De…nicija 1.7.2. Funkcija distribucije slu µ cajne varijable X :

!R jest funkcija

F X : R ! [0; 1] de…nirana sa F X (x) = P (X x) = P f! : X (! ) xg; x 2R .

µCesto ćemo stavljati F X = F ako je jasno o kojoj se sluµcajnoj varijabli, odnosnonjezinoj distribuciji radi. O µcito je

F (x) = Pa i x pi = Py x f (y) ; x 2R :Prema tome, funkcija distribucije slu µcajne varijable u potpunosti je odre†ena njezi-

nom distribucijom, odnosno gusto ćom.Funkcija distribucije diskretne slu µcajne varijable u R je stepenasta funkcija.Ako diskretna slu µcajna varijabla ima kona µcan skup mogu ćih vrijednosti, tj. ako je


37/80


X ( ) = fx1;:::;xng, x1 < < x n , s pripadnim vjerojatnostima p (x i) ; i = 1;:::;n,onda funkciju distribucije mo µzemo pisati u obliku

F (x) = 8>:

0; x < x 1

Px i x p(xi) ; x1 x < x n

1; x xn :Primjer 24. Neka je slu µ cajna varijabla X odre†ena distribucijom

xi 1 0 1 p(xi) 0:5 0:3 0:2

Odredite funkciju distribucije F i nacrtajte njezin graf.Rješenje.

F (x) = P (X x) = 8>>>:

0; x <

1

0:5; 1 x < 00:8 0 x < 11; x 1:Primjer 25. Bacamo dvije razli µ cite simetri µ cne kocke. Neka je X slu µ cajna varijabla apsolutna vrijednost razlike brojeva koji su pali. Odredite distribuciju slu µ cajne varijable, te odredite funkciju distribucije i nacrtajte njezin graf.

Rješenje.

X 0 1 2 3 4 5

636

1036

836

636

436

236

F (x) = P (X x) =8>>>>>>>>>>>>>>>:

0; x < 06

36 ; 0 x < 11636 ; 1 x < 22436 ; 2 x < 33036 ; 3 x < 43436 ; 4 x < 51; x 5:

Propozicija 1.7.1. Funkcija distribucije F ima sljede ´ ca svojstva:(F 1) F je monotono rastu ´ ca funkcija na R.

(F 2) Funkcija F u svakoj toµ cki x 2 R ima limes slijeva F (x ) i limes zdesna F (x+ ) i vrijedi F (x ) F (x) F (x+ ). Skup svih toµ caka prekida funkcije F najviše je prebrojiv (vidi S. Kurepa, Matemati µ cka analiza II).(F 3) F ( 1) = limx! 1 F (x) = P (;) = 0 ; F (+ 1 ) = limx!1 F (x) = P ( ) = 1 :(F 4) Funkcija F je neprekidna zdesna u svakoj toµ cki x 2R .(F 5) P (X = x) = F (x) F (x ) :

Dokaz. Dokaz sami.Napomenimo da je za svaku slu µcajnu varijablu funkcija distribucije de…nirana za

sve realne brojeve. Nadalje, funkcija distribucije potpuno opisuje slu µcajnu varijablu,

tj. javlja se kao jedan oblik zakona distribucije.Funkciju distribucije zgodno je koristiti za izra µcunavanje vjerojatnosti odre†enihdoga†aja. Tako vrijede sljede će tvrdnje:


38/80


Neka je F funkcija distribucije slu µcajne varijable X i neka su a; b 2 R , a < b.Tada vrijedi:P (a < X b) = F (b) F (a) ;P (a X b) = F (b) F (a ) ;P (a < X < b ) = F (b ) F (a) ;P (a X < b) = F (b ) F (a ) ;

P (X < b) = F (b ) ;P (X > a ) = 1 F (a) ;P (X a) = 1 F (a ) :

1.8. Karakteristi µcne vrijednosti slu µcajnih varijabliSada ćemo promatrati neke numeri µcke karakteristike slu µcajnih varijabli. Tako suveoma koristni podaci vezani uz neku slu µcajnu varijablu o µcekivana vrijednost slu µca- jne varijable i rasipanje mogu ćih vrijednosti u okolini o µcekivane vrijednosti. Matem-atiµcko oµcekivanje slu µcajne varijable X na neki naµcin predstavlja srednju vrijednostte sluµcajne varijable.

Neka je X diskretna slu µcajna varijabla s kona µcnim skupom mogu ćih vrijednostiX ( ) = fx1;:::;xng. U N ponovljenih slu µcajnim pokusa neka se vrijednost xidogodila N i puta, i = 1;:::;n. Oµcito je N 1 + ::: + N n = N .

Promatrajmo izraz

X N = N 1x1 + ::: + N n xnN = N 1

N x1 + ::: + N n

N xn :

Ako N ! 1 , onda se relativna frekvencija N kN doga†aja (X = xk) grupira okobroja P (X = xk) = pk ; k = 1; 2;:::;n; pa je graniµcna vrijednost od X N kad N ! 1brojx1 p1 + ::: + xn pn :

Ovaj broj, koji predstavlja srednju vrijednost slu µcajne varijable X naziva se matem-ati µ cko oµ cekivanje sluµcajne varijable X . Općenito, za diskretnu slu µcajnu varijablu X de…niramo:

De…nicija 1.8.1. Neka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor i X : ! R slu µ cajna varijabla. Ako red P! 2 X (! ) P (f! g) konvergira apsolutno, onda ka µ zemo da je X integrabilna sluµcajna varijabla , a broj EX = P! 2 X (! ) P (f! g)

zovemo oµcekivanje ili srednja vrijednost od X .

Ako red

P! 2

X (! ) P (f! g) ne konvergira apsolutno, onda slu µcajna varijabla nemamatemati µcko oµcekivanje.Primijetimo da matemati µcko oµcekivanje diskretne slu µcajne varijable s kona µcnimskupom mogu ćih vrijednosti uvijek postoji.


39/80


Teorem 1.8.1. Neka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor i X : ! R slu µ cajna varijabla sa skupom vrijednosti X ( ) = fa1; a2;:::g i distribucijom

X

a1 a2 :::

p1 p2 ::::

Redovi P! 2 X (! ) P (f! g) i Pi a i pi istodobno ili apsolutno konvergiraju ili apsolutnodivergiraju. U slu µ caju apsolutne konvergencije suma im je ista, tj.EX = Pi a i pi :

Dokaz. Pretpostavimo da red P! 2 X (! ) P (f! g) apsolutno konvergira. Tada nje-gove µclanove moµzemo proizvoljno ispermutirati i grupirati bez utjecaja na sumureda. Stoga je

E X = P! 2 X (! ) P (f! g) = Pa i P! 2 ; X (! )= a i X (! ) P (f! g)!== Pa i a i P (X = ai) = Pi a i pi

Iz ovog odmah slijedi da ti redovi istodobno ili apsolutno konvergiraju ili apsolutnodivergiraju.

Primjer 26. Neka je X slu µ cajna varijabla koja predstavlja broj bacanja nov µ ci ́ ca doprve pojave pisma. Odredite distribuciju slu µ cajne varijable X i njeno oµ cekivanje.

Rješenje.X ( ) = f1; 2; 3;:::g = N ,P (X = k) = 12

k 1 12 =

12

k ; k 2N , pa je

X G(12

) = 1 2 3 ::: k :::

12

12

2

12

3 ::: 12k :::

:

E X = 1

Pk=1

xk pk =1

Pk=1

k 12k ( )= 2 :

( ) 11 x

=1

Xk=0 xk j0) 1

(1 x)2 =

1

Xk=1 kxk 1 =1

Xk=0 (k + 1) xk =1

Xk=0 kxk +1

Xk=0 xk )1

Xk=0 kxk =1

Xk=1 kxk = 1

(1 x)2 1

Xk=0 xk = 1

(1 x)2 11 x

x = 12 )

1

Xk=1 k12

k

= 11 12

2 11 12

= 4 2 = 2:

Dakle, broj 2 je oµ cekivani ili srednji broj bacanja nov µ ci ́ ca potrebnih da se pojavi

pismo.


40/80


De…nicija 1.8.2. Neka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor i neka su X; Y :

! R dvije slu µ cajne varijable na R . Ka µ zemo da je X = Y skoro svuda u odnosu na P i pišemo X = Y s:s:; ako je X (! ) = Y (! ) ; za svaki ! 2 za koji je P (

f!

g)

6= 0 .

Ozna µ cimo sa L1 ( ; P ) skup svih integrabilnih slu µ cajnih varijabla X : ! R ; pri µ cemu slu µ cajne varijable koje su jednake skoro svuda u odnosu na P poistovje ´ cujemo.Skup L1 ( ; P ) zovemo prostor integrabilnih slu µ cajnih varijabli .

Teorem 1.8.2. Neka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor i neka su X; Y : !R integrabilne slu µ cajne varijable. Tada vrijedi:

(1) Slu µ cajna varijabla X + Y je integrabilna i E (X + Y ) = EX + E Y:

(2) X je integrabilna i E ( X ) = E X , za svaki 2R :(3) Ako je X Y onda je EX E Y:(4) Ako je X = A indikator doga†aja A, onda je EX = P (A) :(5) Ako je 0 = X ( ) = fa1; a2; : : :g R i E k = ( X = ak), k 1, onda je

fE k : k 1g potpun sistem doga†aja u , X = Pk ak E k i EX = Pk akP (E n ) :(6) Ako je X = Y s:s: onda je EX = EY:(7) Ako je kona µ can skup onda je svaka slu µ cajna varijabla X :

!R integrabilna.

(8) L1 ( ; P ) je vektorski prostor nad R .

(9) Formulom kX k1 = E jX j je dana norma na L1 ( ; P ) :(10) (L1 ( ; P ) ;k k1) je Banachov prostor, tj. potpun normiran vektorski prostor.(11) jEX j E jX j(12) Ako je X ( ) =

fan : n

2N

g i P 0 = P X distribucija od X , onda je EX =

Pn an P 0(fang):

Dokaz. Tvrdnje (1) do (7) slijede neposredno iz de…nicije od EX .Tvrdnja (8) slijedi iz (1) i (2).Tvrdnja (11) slijedi iz relacije trokuta i de…nicije od EX .Tvrdnja (12) slijedi iz (5).Dokaµzimo (9): Funkcija kk : L1 ( ; P ) ! R , kX k1 = E jX j je norma ako vrijedesljedeća svojstva:(N1) kX k1 0,(N2) kX k1 = 0 , X = 0,(N3) kX k1 = j jkX k1, 2

R,(N4) kX + Y k1 kX k1 + kY k1.


41/80


(N4) (relacija trokuta):

kX + Y k1 = E jX + Y j(3)

E (jX j+ jY j) (1)= E jX j+ E jY j = kX k1 + kY k1 :

Nadalje,

kX k1 = 0 , E jX j = 0 , P! 2 jX (! )jP (f! g) = 0 , X (! ) = 0 ;za svaki ! 2 za koji je P (f! g) 6= 0 , X = 0 s:s: , X = 0 u L1 ( ; P ).Ostali aksiomi za k k1 su evidentni.Tvrdnja (10) slijedi iz (8) i (9), sve osim potpunosti koju ćemo dokazati poslije.

Primjer 27. Neka je ( ; P ) diskretni vjerojatnosni prostor.(a) Ako su A; B , onda je

A[B = A + B A\ B ;A B = A\ B ;

j A B j = A4B , gdje je A 4 B simetri µ cna razlika skupova A i B.(b) Ako je A = A1 [ [An , onda je Ac = Ac1 \ ::: \ Acn , pa je

A =

uvs s.braic

Documents