1/22/2010 Mg. Sems 1

INTRODUCCION

1/22/2010 Mg. Sems 2

INTRODUCCION1. OPERACION FINANCIERA. Son acciones que generan variación cuantitativa de los capitales que son objeto de préstamo o inversión; la matemática financiera e ingeniería económica se dedica al cálculo de las variaciones cuantitativas.2. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.- Este concepto es fundamental para el conocimiento de la materia. Una unidad monetaria de hoy día es diferente en valor a la unidad monetaria de mañana. Simplemente porque su poder adquisitivo es distinto. Se refuerza esto porque toda inversión o préstamo según sea el caso, debe generar una utilidad (beneficio) e interés, de tal forma que se recibe una cantidad mayor por la inversión o hay que devolver una cantidad mayor por el préstamo.

t0

1/22/2010 Mg. Sems 3

3. DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA.- Es una representación gráfica de los flujos de ingresos y egresos que ocurren en el tiempo. Consiste en una línea recta horizontal dividida en espacios iguales denominados períodos. Líneas rectas verticales nacen de cada período y están dirigidas hacia abajo cuando son egresos y dirigidas hacia arriba cuando son ingresos

├───┼───┼───┼──...──┼───┼───┤

0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

100 110 121 133.1

├───┼───┼───┼──...──┼───┼───┤

0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

100 110 120 130

├───┼───┼───┼──...──┼───┼───┤

0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

1/22/2010 Mg. Sems 4

4. INVERSION.

Todo proceso de creación de bienes o proceso de producción, requiere que se realice previamente un correspondiente aporte de bienes yprestaciones de servicios. Estos aportes pueden ser hechos de una sola vez o en forma escalonada. O sea que la inversión es la materialización de tales aportes que corresponden al proceso de producción.

Los objetivos de la inversión

Todas las Personas con dinero ocioso, pueden encontrar un lugar apropiado, donde produzca beneficios económicos entre los múltiples y diversos instrumentos de inversión que existen en los actuales mercados financieros. Sin embargo, no es conveniente efectuar una sola inversión, sino realizar un minucioso estudio de las diferentes alternativas que se presentan, a efecto de seleccionar la mejor, combinación que permita alcanzar los objetivos del inversionista.

1/22/2010 Mg. Sems 5

El análisis de las ventajas e inconvenientes de esa combinación, debe efectuarse conforme a 1os siguientes criterios:

a) Liquidez. Rápida conversión en dinero de la inversión, con mínima o nula pérdida de capital.

b) Seguridad. Protección del capital.

c) Beneficios reales a corto plazo. Rápida realización de beneficios.

d) Ganancias de capital. Incrementos en el valor de la inversión.

e) Cotización . Existencia de un mercado secundario activo, que permita efectuar rápidas ventas de capital a costos razonables de transacción.

f) Ventajas Fiscales. Ingresos reales no gravados y tasas favorables sobre las ganancias de capital

1/22/2010 Mg. Sems 6

6. CAPITAL. Se considera capital al conjunto o stock de bienes económicos considerados a una fecha determinada.

7. UNIDAD DE TIEMPO. En operaciones financieras se considera como unidad de tiempo al año comercial. Una operación financiera se divide en unidades de tiempo, que convencionalmente es el año, pero esta unidad puede ser el semestre, trimestre, mes, día etc.

8. TASA DE INTERES. Es la medida de la variación del capital que se ha pactado entre los contratantes para una unidad de tiempo Es la relación entre el interés y la inversión o préstamo original. Por lo tanto no tiene unidades y se expresa como porcentaje o fracción.

├─────┼─────┼─────┼───...────┼─────┼─────┤0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

U. de tiempo

Duración financiera

‌‌‌ ‌‌‌ i %

1/22/2010 Mg. Sems 7

9. PRESTAMO. Es una operación por la cual una persona natural o jurídica cede a otra el uso de un determinado capital por lo general es un capital expresado en términos monetarios.

10. RENDIMIENTO. Es el resultado que se obtiene de todo capital que se invierte en un proceso productivo y que se ejecuta en un tiempo predeterminado.

11. INTERES. Es la cuantía que una persona jurídica o natural recibe una vez que ha terminado el plazo de la cesión del capital.

PRESTAMISTA PRESTATARIO

ACREEDOR DEUDOR

Capital

Interés + Capital

1/22/2010 Mg. Sems 8

1/22/2010 Mg. Sems 9

1. INTRODUCCION

Cuando la tasa de interés se aplica únicamente sobre el préstamo original por el número de períodos, se dice que la operación financiera es a interés simple.

La suma de dinero prestada en una operación con interés, se denomina el capital inicial o principal. La cantidad recibida por el prestatario constituye el valor presente o valor actual del préstamo. En los préstamos a interés simple el capital inicial y el valor presente coinciden. El tiempo o duración del préstamo es el periodo durante el cual el préstamo utiliza todo o parte del dinero prestado. En los préstamos a interés simple el cálculo de intereses se efectúa únicamente sobre el capital inicial.

El costo de un préstamo a interés simple se expresa en términos de una tasa de interés, que se define como aquella parte fija de capital que se paga por su uso. Las tasas de interés se expresan generalmente como un porcentaje específico por unidad de tiempo.

1/22/2010 Mg. Sems 10

2.- FORMULAS

( )F = P 1+ in

( )P = F1

1+ in⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1.- Monto a interés simple :

2.- Valor actual a interés simple :

Donde : P Capital, Valor actual

F Monto, Valor futuro

i Tasa de interés por periodo.

n Número de periodos

Es importante anotar que tanto la tasa de interés como el número de períodos deberán estar en unidades consistentes; esto quiere decir que si la tasa es mensual, los períodos deben estar expresados en meses; si la tasa es anual, los períodos deberán estar expresados en años, etc.

1/22/2010 Mg. Sems 11

OPERACIONES PASIVAS( AHORROS )Ejemplo : Una persona abre una cuenta de ahorros el 5 de enero con 5000 Nuevos

Soles, en un banco que paga 12 % de interé anual con acpitalización trimestral; el movimiento durante el primer trimestre del año ha sido el siguiente: ( Ver Importe, D/R, del cuadro inferior )Se pide calcular el interés ganado al 31 de marzo y que será abonado en su libreta de ahorros.

DEBE S/.

HABER S/.

DEBE S/.

HABER S/.

DEUDOR S/.

ACREEDOR S/.

05-Ene 5000 D 5000 5000 15 7500020-Ene 2000 R 2000 3000 8 2400028-Ene 3000 D 3000 6000 8 4800005-Feb 5000 D 5000 11000 11 12100016-Feb 3000 R 3000 8000 22 17600010-Mar 4000 D 4000 12000 11 13200021-Mar 1000 R 1000 11000 10 11000031-Mar

6860000.0329%

225.53

SUMA DE NUMERALTASA DE INTERESINTERES

BANCO LOS ANDES DEL PERU

FECHA IMPORTE S/.

D / R S/.

MOVIMIENTO SALDO

DIA

S NUMERALLIBRETA DE AHORRO

Rta : Interes a capitalizar S/. 225.53

1/22/2010 Mg. Sems 12

Ejemplo :Sea una persona que tiene una Cuenta de Ahorros en un banco que paga el 18% anual capitalizable semestralmente. El movimiento de su cuenta en el primer semestre de año X ha sido el siguiente:

5 / 1 depositó 5000.0012 / 1 retiró 2000.0025 / 1 depositó 7000.0029 / 1 retiró 1000.00

3 / 2 depositó 4000.0020 / 2 retiró 2000.0027 / 2 depositó 5000.00

2 / 3 retiró 3000.0025 / 3 depositó 8000.0030 / 3 depositó 4000.00

15 / 4 depositó 3000.0027 / 4 retiró 5000.00

3 / 5 depositó 6000.0021 / 5 retiró 2000.00

2 / 6 depositó 5000.0013 / 6 retiró 1000.0028 / 6 depositó 9000.00

a. Se pide calcular el interés ganado al 30 de junio del año x y que será abonado en su libreta de ahorros.b. Calcular el interés que genera los depósitos en ahorros al 30 de junio para su capitalización, si 20 de marzo la tasa de interés sube al 24%; y el 15 de mayo del mismo año la tasa varía a 30%.

1/22/2010 Mg. Sems 13

DEBE S/. HABER S/. DEBE S/. HABER S/. DEUDOR S/. ACREEDOR S/.05-Ene 5000 D 5000 5000 7 3500012-Ene 2000 R 2000 3000 13 3900025-Ene 7000 D 7000 10000 4 4000029-Ene 1000 R 1000 9000 5 4500003-Feb 4000 D 4000 13000 17 22100020-Feb 2000 R 2000 11000 7 7700027-Feb 5000 D 5000 16000 3 4800002-Mar 3000 R 3000 13000 23 29900025-Mar 8000 D 8000 21000 5 10500030-Mar 4000 D 4000 25000 16 40000015-Abr 3000 D 3000 28000 12 33600027-Abr 5000 R 5000 23000 6 13800003-May 6000 D 6000 29000 18 52200021-May 2000 R 2000 27000 12 32400002-Jun 5000 D 5000 32000 11 35200013-Jun 1000 R 1000 31000 15 46500028-Jun 9000 D 9000 40000 2 8000030-Jun

35260000.05%1738.8

DIA

S NUMERAL

SUMA DE NUMERAL TASA DE INTERES INTERES

BANCO PIURA DEL PERULIBRETA DE AHORRO

FECHAIMPORTE

S/. D / R S/.MOVIMIENTO SALDO

1/22/2010 Mg. Sems 14

3.- DESCUENTO SIMPLEDEFINICIÓN Y FORMULAS

La tasa de interés se aplica originariamente sobre el stock de capital inicial o capital (P). En cambio la tasa de descuento se aplica originariamente sobre los ingresos, valor nominal o stock de capital final ( F ). Es decir, se trata de dos operaciones contrapuestas en el tiempo.

F

D’ D’ D’ D’ D’

├─────┼─────┼─────┼───...────┼─────┼─────┤

0 1 2 3 n-2 n-1 n

d %

D = F d n

D = D’ + D’ +…+ D’ = n ( Fi ) D’ = Pi

D = F - P

Donde: D : DescuentoP : Stock de capital inicial, capital.F : Valor nominal ó monto futurod : Tasa de descuento / periodon : Periodos.D = F - P

1/22/2010 Mg. Sems 15

FORMULAS

P=? F

├─────┼─────┼─────┼───...────┼─────┼─────┤

0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

d %

1.- Valor actual a tasa de descuento:

2.- Monto a tasa de descuento:P F = ?├─────┼─────┼─────┼───...────┼─────┼─────┤0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

d %

( )

( )P = F 1- dn

F = P1

1- dn⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Donde : P Capital inicial ó Valor presenteF Monto final ó Valor futuro ó V. nominald Tasa de descuento simple.n Número de periodos

1/22/2010 Mg. Sems 16

3. RELACION ENTRE TASA DE INTERES Y TASA DE DESCUENTO SIMPLE:

a. Para un periodo P F├─────────────────────────┤0 i % ó d % 1

( )P = F 1- dP = F

11+ i⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ i = d

11- d⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

d = i1

1+ i⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ ( )i = d 1+ i

( )d = i 1- d

b. En general

P F = ?├─────┼─────┼─────┼───...────┼─────┼─────┤0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

i % d %

d = i1

1+ in⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

i = d1

1- dn⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1/22/2010 Mg. Sems 17

Ejemplo:Calcule la tasa de interés simple i equivalente a una tasa de descuento de 10% en 360, 120, 90 y 60 días.

DIASTASA i%

360 120 90 60 30

10.0% 9.09% 9.68% 9.76% 9.84% 9.92%11.0% 9.91% 10.61% 10.71% 10.80% 10.90%12.0% 10.71% 11.54% 11.65% 11.76% 11.88%13.0% 11.50% 12.46% 12.59% 12.72% 12.86%14.0% 12.28% 13.38% 13.53% 13.68% 13.84%15.0% 13.04% 14.29% 14.46% 14.63% 14.81%

EQUIVALENCIA ENTRE TASA DE INTERES Y DESCUENTO

1/22/2010 Mg. Sems 18

n Valor actual Descuentod=10%

Valor nom.

1 630.00 70.00 700.002 560.00 140.00 700.003 490.00 210.00 700.004 420.00 280.00 700.005 350.00 350.00 700.00

n Valor actual TasaEqui.i%

Descuento Valor nom.

1 630.00 11.11% 70.00 700.002 560.00 12.50% 140.00 700.003 490.00 14.29% 210.00 700.004 420.00 16.67% 280.00 700.005 350.00 20.00% 350.00 700.00

Cuadro de Descuento y Valor Actual Cuadro de Descuento y Valor Actual

Para diferentes periodos Para diferentes periodos

(Descuento bancario) (Descuento racional a tasa equiv.)

DESCUENTO BANCARIO Y RACIONAL( A TASAS EQUIVALENTES )

i = d1

1- dn⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1/22/2010 Mg. Sems 19

n Valor actual Descuentoi=10%

Valor nom.

1 636.36 63.64 700.002 583.33 116.67 700.003 538.46 161.54 700.004 500.00 200.00 700.005 466.67 233.33 700.00

n Valor actual TasaEqui. d%

Descuento Valor nom.

1 636.36 9.09% 63.64 700.002 583.33 8.33% 116.67 700.003 538.46 7.69% 161.54 700.004 500.00 7.14% 200.00 700.005 466.67 6.67% 233.33 700.00

Cuadro de Descuento y Valor Actual Cuadro de Descuento y Valor Actual

Para diferentes periodos Para diferentes periodos

(Descuento racional) (Descuento bancario a tasa equiv.)

d = i1

1+ in⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

DESCUENTO RACIONAL Y BANCARIO ( A TASAS EQUIVALENTES )

1/22/2010 Mg. Sems 20

MONTO DE UNA ANUALIDAD A INTERES SIMLE

a) Anualidad adelantada.F = ?

R R R R R R ├──── ┼─────┼─────┼───...── ┼─────┼─────┤0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

i %F = R(1+ni) + R(1+(n-1)i) + R(1+(n-2)i) + ... + R(1+2i) + R(1+i)

( )F = nR

2 + n +1 i2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

b) Anualidad vencida.F = ?

R R R R R R ├──── ┼─────┼─────┼───...── ┼─────┼─────┤0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

i %F = R(1+(n-1)i) + R(1+(n-2)i) + ... + R(1+2i) + R(1+i)+R

( )F = nR

2 + n -1 i2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1/22/2010 Mg. Sems 21

Ejemplo:Calcule el monto de una anualidad de 1000 u.m al final de cada periodo durante 6 periodos a una tasa del 10% .

n Anualidad Interés Monto0 1000.00 1000.001 1000.00 600.00 1600.002 1000.00 500.00 1500.003 1000.00 400.00 1400.004 1000.00 300.00 1300.005 1000.00 200.00 1200.006 100.00 100.00

6000.00 2100.00 8100.00

n Anualidad Interés Monto0 0.001 1000.00 1000.002 1000.00 500.00 1500.003 1000.00 400.00 1400.004 1000.00 300.00 1300.005 1000.00 200.00 1200.006 1000.00 100.00 1100.00

6000.00 1500.00 7500.00

( )F = nR

2 + n +1 i2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

( )F = nR

2 + n -1 i2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

F = 8,100.00 F = 7,500.00

1/22/2010 Mg. Sems 22

VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD A INTERES SIMLE

a) Anualidad adelantada.P = ?

R R R R R R ├──── ┼─────┼─────┼───...── ┼─────┼─────┤0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

i %F = P(1+in) = R(1+ni) + R(1+(n-1)i) + R(1+(n-2)i) + ... + R(1+2i) + R(1+i)

( )P = nR

2 + n +1 iin2 1( )+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

b) Anualidad vencida.P= ?

R R R R R R ├──── ┼─────┼─────┼───...── ┼─────┼─────┤0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

i %F = P(1+in) = R(1+(n-1)i) + R(1+(n-2)i) + ... + R(1+2i) + R(1+i)+R

( )P = nR

2 + n -1 iin2 1( )+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1/22/2010 Mg. Sems 23

Ejemplo.Se solicita un préstamo al 24% de interés simple para ser amortizado con pagos mensuales de 500 u.m cada uno, durante año y medio. Hallar el valor del préstamo teniendo en cuenta que los pagos son adelantados.

P = ? R = 500R R R R R R ├─────┼─────┼─────┼───...────┼─────┼─────┤0 1 2 3 ... 16 17 18 mes

i = 2%/mes( )

( )P = 18*5002 + 18 +1 0.022 1+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

0 02 18787500

. *.

En el ejemplo anterior si las anualidades son vencidas.

P = ? R = 500R R R R R R

├─────┼─────┼─────┼───...────┼─────┼─────┤0 1 2 3 ... 16 17 18 mes

i = 2%/mes

( )( )P = 18*500

2 + 18 -1 0.022 1+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

0 02 187742 65

. *.

1/22/2010 Mg. Sems 24

VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD A TASA DE DESCUENTO

Anualidad vencida.

P= ?R R R R R R

├──── ┼─────┼─────┼───...── ┼─────┼─────┤0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

i %P = R(1-d) + R(1-2d) + ... + R(1-(n-2)d) + R(1-(n-1)d) + R(1-nd)

( )P = nR

2 - n +1 d2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

( )( )d2 Rn Pn +1 Rn

=−

1/22/2010 Mg. Sems 25

Ejemplo.Una casa comercial vende un artefacto para el hogar a 650 u.m precio de contado; se vende a plazos mediante una cuota inicial de 120 u.m y el saldo en 6 cuotas mensuales de 100 u.m cada uno . Calcular la tasa de interés cargada.

( )i

2 6002 *530*6

=−−

=5305 600

0 04166*

.

Calcular la tasa de descuento del ejemplo anterior si se aplica el sistema

bancario.

( )d

2 6007

=−

=530

6000 03333

*.

Tasa mensual d = 3.33% Tasa anual d = 40.00%

Tasa mensual i = 4.17% Tasa anual i = 50%

1/22/2010 Mg. Sems 26

EjemploEl 20 de mayo una persona vende una propiedad, por el cual recibe:a. S/.20000.00 en efectivo.b. S/.Una letra de S/. 15000.00 con vencimiento el 20 de agosto del

mismo año.c. S/.Una letra de S/. 25000.00 con vencimiento el 20 de octubre del

mismo año.Si la tasa de descuento bancario es de 16% calcular el valor real de la venta.

EjemploUna persona debe 400 dentro de 6 meses y 600 al cabo de un año El acreedor acepta un pago en efectivo en el momento actual equivalente a las dos deudas. Si la tasa de la operación es del 15% si :-Se establece como fecha focalel dia de hoy-Fecha focal dentro de 12 meses.

1/22/2010 Mg. Sems 27

Fecha focal hoy :

X=? 400 600

├─────┼─────┼──...───┼───...────┼─────┼─────┤0 1 2 6 ... 10 11 12 mes

18 %

Fecha focal dentro de 12 meses : X=?

400 600

├─────┼─────┼──...───┼───...────┼─────┼─────┤0 1 2 6 ... 10 11 12 mes

18 %

x400

10.1812

6

600

10.1812

12=

++

+= 87546.

x 1+0.1812

1+0.1812

12 400 6 600⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + x = 877.96

x = 875.46