87719591 interes simple e interes compuesto

1. Interés Simple

El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.

Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.

La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año). Ver en éste Capítulo, numeral 2.3.

Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.

Fórmula general del interés simple:

1.1. Valor actual

La longitud de una escalera es la misma contada de arriba abajo como de abajo arriba. El valor futuro VF puede considerarse como la cima vista desde abajo y el valor actual VA como el fondo visto desde arriba.

El valor actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de interés dado, en períodos también dados, ascenderá a la suma debida.

Si conocemos el monto para tiempo y tasa dados, el problema será entonces hallar el capital, en realidad no es otra cosa que el valor actual del monto. Derivamos el VA de la fórmula general:

Siendo ésta la fórmula para el valor actual a interés simple, sirve no sólo para períodos de año, sino para cualquier fracción del año.

El descuento es la inversa de la capitalización. Con ésta fórmula calculamos el capital equivalente en un momento anterior de importe futuro.

Otras fórmulas derivadas de la fórmula general:

Si llamamos I a los intereses percibidos en el período considerado, convendremos:

La diferencia entre VF y VA es el interés (I) generado por VA.

Y también, dada la fórmula general, obtenemos la fórmula del importe de los intereses:

I = VA(1+n*i) - VA = VA + VA*n* i - VA

I = (principal)*(tasa de interés)*(número de períodos)

(Inversiones) I = monto total hoy - inversión original

(Préstamos) I = saldo de deuda - préstamo inicial

Con la fórmula [8] igual calculamos el interés (I) de una inversión o préstamo.

Sí sumamos el interés I al principal VA, el monto VF o valor futuro será.

o VF = VA(1+i*n)

Despejando éstas fórmulas obtenemos el tipo de interés y el plazo:

El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa.

Al utilizar tasas de interés mensual, el resultado de n estará expresado en meses. En estas fórmulas la tasa de interés (i) está indicada en forma decimal.

Nomenclatura:

I = Interés expresado en valores monetarios

VA = Valor actual, expresado en unidades monetarias

VF = Valor futuro, expresado en unidades monetarias

n = Periodo de capitalización, unidad de tiempo, años, meses, diario,...

i = Tasa de interés, porcentaje anual, mensual, diario, llamado también tasa de interés real.

Ejercicio 11 (VA a interés simple)

Encontrar el valor actual, al 5% de interés simple, de UM 1,800 con vencimiento en 9 meses.

Solución:

VF= 1,800; i = 0.05; n = 9/4; VA = ?

Ejercicio 12 (Interés simple - Inversión inicial)

¿Cuál fue nuestra inversión inicial, si hemos obtenido utilidades de UM 300, después de 8 meses, a interés simple y con el 48% de tasa anual?

Solución:

I = 300; n = 8 i = 0.04 (0.48/12); VA =?

[8] 300 = VA(0.04*8), de donde:

Ejercicio 13 (VF a interés simple)

Si tenemos UM 10,000 y lo invertimos por un año con el 28% de interés anual. ¿Cuánto dinero tendremos al finalizar el año?

Como es normal exigiremos la devolución del monto inicial incrementado algo más mensual, que compense la pérdida del valor de la moneda, el riesgo corrido y el interés del dinero. Generalmente es preferible utilizar el dinero en el presente y no en el futuro.

El incremento es el interés y es consecuencia de la capacidad que tiene el dinero de «producir más dinero". El interés como todo precio, depende del mercado y de las condiciones de cada negociación, fundamentalmente del plazo y del riesgo.

Solución:

VA = 10,000; i = 0.28; n = 1; VF =?

[5] VF = 10,000 (1+ 0.28%*1) = UM 12,800

Con este sencillo ejemplo demostramos que es indiferente recibir hoy UM 10,000 ó UM 12,800 dentro de un año.

Ejercicio 14 (VF a interés simple)

Necesitamos saber el monto que retiraríamos dentro de 4 años, sí hoy invertimos UM 2,000 al 8% para el primer año con incrementos del 1% para los próximos tres años.

En estos casos no aplicamos directamente la fórmula general del interés simple, por cuanto el tipo de interés en cada período es diferente. Debemos sumar al principal los intereses de cada período, calculado siempre sobre el capital inicial pero a la tasa vigente en cada momento.

Solución:

VA = 2,000; n = 4; i1...4 = 0.08, 09, 0.10 y 0.11; VF =?

Al ejemplo corresponde la relación siguiente:

Respuesta:

El monto a retirar es UM 2,760.00

Ejercicio 15 (Interés simple: interés y tasa de interés)

El día de hoy obtenemos un préstamo por UM 5,000 y después de un año pagamos UM 5,900. Determinar el interés y la tasa de interés.

Solución:

VA = 5,000; n = 1; VF = 5,900; I =? i =?;

[7] I = 5,900 - 5,000 = UM 900

Respuesta:

El interés es UM 900 y la tasa de interés 18%.

Ejercicio 16 (Interés simple ordinario y comercial)

Calcular el interés simple ordinario o comercial y exacto de un préstamo por UM 600 con una tasa de interés del 15% durante un año.

Solución: (operamos en base anual)

VA = 600; nCOMERCIAL= 1; nEXACTO (30/365)*12 = 0.9863; i = 0.15; I =?

[8] I (ORDINARIO) = 600*0.15*1 = UM 90.00

[8] I (EXACTO) = 600*0.15*0.9863 = UM 88.77

Con el interés simple ordinario pagamos mayores cantidades de dinero que con el exacto, en casos como éste, de sumas pequeñas, la diferencia es mínima; en montos mayores ésta puede convertirse en fuente de pagos mayores. Por lo general los bancos y empresas de venta al crédito operan aplicando el interés ordinario.

Ejercicio 17 (Interés y VF a interés simple)

Determinar los intereses y el capital final producido por UM 10,000 con una tasa del 18% en un año.

Solución:

VA = 10,000; i = 0.18; n = 1; I =?

[5] I = 10,000*1*0.18 = UM 1,800

Calculado el importe de los intereses, es posible determinar el importe del capital final:

[7] VF = 10,000 + 1,800 = UM 11,800

Respuesta: Los intereses producidos son UM 1,800 y el capital final UM 11,800.

Ejercicio 18 (Interés simple, tasa de interés, tasa periódica y tasa global)

En la fecha obtenemos un préstamo por UM 5,000 para ser pagado después de 3 años a UM 9,800. Deseamos saber: 1º El interés y 2º la tasa de interés periódica y global del préstamo.

Solución:

VA = 5,000; VF = 9,800; n = 3; I =?; i =?

1º Encontramos el interés con la fórmula [7]:

[7] I = 9,800 - 5,000 = UM 4,800

2º Con la fórmula [11] obtenemos la tasa periódica anual y global del préstamo:

Aplicando la fórmula del rédito calculamos la tasa global:

Tasa global del préstamo

Respuesta:

El interés es UM 4,800, la tasa anual 32% y la tasa global 96%.

1.2. Tasas equivalentes

Generalmente las tasas de interés vienen expresadas en términos anuales; en la realidad no siempre se presentan así, en la mayoría de veces, la acumulación de los intereses al capital inicial es en períodos más pequeños (meses, trimestres, semestres, semanas, días, etc.).

Modificar la frecuencia de cálculo de intereses, ¿significa beneficio o perjuicio? A este respecto, cualquiera sea el número de veces que los intereses son calculados, al final el importe total es el mismo, es decir, los resultados finales de la negociación no varían.

Si cambiamos la frecuencia (m) de cálculo de los intereses debe cambiarse también el importe de la tasa de interés aplicado en cada caso. Es así como surge el concepto de tasas equivalentes, que significa: dos tasas expresadas en distintas unidades de tiempo, son equivalentes cuando aplicadas a un capital inicial durante un período producen el mismo interés o capital final.

Ejercicio 19 (Tasa equivalentes)

Calcular el monto resultante de invertir UM 1,000 durante 4 años en las siguientes condiciones:

Solución: (m = número de períodos de capitalización)

VA = 1,000; iA...B = 0.15, 0.075 y 0.0125; n = 4; mA...B = 1, 2 y 12; VFA...B =?

a) Interés anual del 15%

[5] VFA = 1,000 x (1 + (4 x 0.15) ) = UM 1,600

b) Interés semestral del 7.5%

[5] VFB = 1,000 x (1 + 4 x 0.075 x 2) = UM 1,600

c) Interés mensual del 1.25%

[5] VFC = 1,000 x (1 + 4 x 0,0125 x 12) = UM 1,600

Ejercicio 20 (Tasa equivalentes)

Tipos equivalentes a tasas del 18% anual.

El resultado obtenido es independiente del tipo de base temporal tomado. Sí expresamos el interés en base semestral, el plazo irá en semestres, etc.

1.3. Valor actual de deudas que devengan interés

En los casos de cálculo del importe futuro, es necesario conocer primero el monto total de la cantidad a pagar. Cuando calculemos el valor actual de deudas que no devengan interés, el monto total a pagar es el valor nominal de la deuda. Si por el contrario, buscamos el valor actual de deudas que devengan interés, el monto total a pagar es igual al valor nominal de la deuda más el interés acumulado.

Visto así, las deudas pueden clasificarse como: a) sin interés; y b) con interés. En el primer caso, el valor futuro (VF) es el valor nominal de la deuda; en el segundo caso, el VF es igual al valor nominal de la deuda más el interés acumulado durante la vigencia de la misma.

Ejercicio 21 (Pagaré)

Un empresario entregó su pagaré para pagar UM 5,000 dentro de un año con 8% de interés. A simple vista la cantidad a abonar es:

5,000 + (0.08 * 5,000)= UM 5,400

El valor actual de UM 5,400 es:

Retornamos al inicio, esto es, el valor nominal de la deuda.

Cuando el tipo de interés para obtener el valor actual es diferente al de la deuda, el valor actual será diferente del valor nominal de la deuda. En estos casos, efectuaremos dos operaciones separadas y distintas:

Calcular el VF, la cantidad total al vencimiento, utilizando la fórmula [5]; y

Calculando el VA de esta cantidad VF al tipo designado de interés, por medio de la fórmula [6].

Ejercicio 22 (VA de un pagaré)

Un pequeño empresario tiene un pagaré por UM 2,000 con vencimiento a los 90 días, devenga el 6% de interés. Calcular el valor actual a la tasa del 8%.

Solución:

VA = 2,000; n = (3/12) 0.25; i = 0.06; VF =?

La solución de este caso es posible hacerlo en dos partes separadas:

1º Calculamos el monto a pagar a los 90 días, con la fórmula [5]:

[5] VF = 2,000 (1 + 0.25*0.06] = UM 2,030

Luego, el librador del pagaré pagará al vencimiento la suma de UM 2,030.

2º Calculamos el VA al 8% a pagar dentro de 90 días:

Así, el valor actual al 8% del pagaré por UM 2,000, devenga el 6% de interés y vence a los 90 días es UM 1,880.

Ejercicio 23 (VA de un pagaré con diferente tasa de interés)

Calcular el valor actual del mismo pagaré, si el precio del dinero es el 5%.

Solución:

VF = 2,030; n = 0.25; i = 0.05; VA =?

Así, el valor actual del pagaré al 5% es UM 1,933.

1.4. Descuento

La tasa de descuento fijada por los bancos centrales por realizar el redescuento resulta de suma importancia para la economía, pues ellas inciden sobre el conjunto de tasas de descuento y de interés cobradas en un país durante períodos determinados.

La tasa de descuento es la razón del pago por el uso del dinero devuelto al liquidar la operación.

Descuento, es el proceso de deducir la tasa de interés a un capital determinado para encontrar el valor presente de ese capital cuando el mismo es pagable a futuro. Del mismo modo, aplicamos la palabra descuento a la cantidad sustraída del valor nominal de la letra de cambio u otra promesa de pago, cuando cobramos la misma antes de su vencimiento. La proporción deducida, o tasa de interés aplicada, es la tasa de descuento.

La operación de descontar forma parte de las actividades normales de los bancos. A estos acuden los clientes a cobrar anticipadamente el monto de las obligaciones de sus acreedores; los bancos entregan dichas cantidades a cambio de retener tasas de descuento, esto forma parte de sus ingresos. Los bancos comerciales, a su vez, necesitan descontar documentos, en este caso, son tomados por el banco central, tal operación es denominada, redescuento.

1.4.1. Descuento Simple

Siendo el descuento un interés, este puede ser simple o compuesto. La persona (prestatario) puede pagar a un prestamista el costo (precio) del préstamo al inicio del período o al final del mismo. En el primer caso este precio recibe el nombre de descuento; en el segundo interés respectivamente.

Descuento simple, es la operación financiera que tiene por objeto la representación de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, a través de la aplicación de la fórmula del descuento simple. Es un procedimiento inverso al de capitalización.

1.4.2. Particularidades de la operación

Los intereses no capitalizan, es decir que:

Los intereses producidos no son restados del capital inicial para generar (y restar) nuevos intereses en el futuro y,

Por tanto a la tasa de interés vigente en cada período, los intereses los genera el mismo capital a la tasa vigente en cada período.

Los procedimientos de descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro conocido (VF) cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es necesario conocer las condiciones de esta anticipación: duración de la operación (tiempo y el capital futuro) y la tasa de interés aplicada.

El capital resultante de la operación de descuento (valor actual o presente VA) es de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. Concluyendo diremos, si trasladar un capital presente al futuro implica incrementarle intereses, hacer la

operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la disminución de esa misma cantidad porcentual.

Nomenclatura:

D : Descuento o rebaja.

DR : Descuento racional

DC : Descuento comercial

VN(VF) : Valor final o nominal, es el conocido valor futuro

VA : Valor actual, inicial o efectivo.

i ó d : Tasa de interés o descuento

A partir de éste numeral, los intereses serán "d" si éstos son cobrados por adelantado e "i" si son cobrados a su vencimiento Considerar esta observación al usar las fórmulas para calcular Tasas Equivalentes, tanto en operaciones a interés simple como a interés compuesto.

El valor actual (VA) es inferior al valor futuro (VF) y la diferencia entre ambos es el descuento (D). Cumpliéndose la siguiente expresión:

Como vimos, el descuento, es una disminución de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, es calculado como el interés total de un intervalo de tiempo. Cumpliéndose:

Dependiendo del capital considerado para el cálculo de los intereses, existen dos modalidades de descuento:

- Descuento racional o matemático

- Descuento comercial o bancario.

Cualquiera sea la modalidad de descuento utilizado, el punto de partida siempre es un valor futuro VF conocido, que debemos representar por un valor actual VA que tiene que ser calculado, para lo cual es importante el ahorro de intereses (descuento) que la operación supone.

1.4.3. Descuento racional o matemático

La diferencia entre la cantidad a pagar y su valor actual recibe el nombre de descuento racional o matemático, no es lo mismo que el descuento bancario. Designamos el descuento bancario simplemente con la palabra descuento.

Calculamos el descuento racional, determinando el valor actual de la suma a la tasa indicada y restando este VA de dicha cantidad. El resultado es el descuento racional.

El descuento racional es el interés simple. La incógnita buscada es el valor actual (capital inicial). Es decir, el descuento racional es igual a la cantidad a pagar (VN) menos el valor actual [VA] del capital. Luego:

I = D, fórmulas [7] y [8]

1.4.4. Descuento comercial

En este tipo de descuento, los intereses son calculados sobre el valor nominal VN empleando un tipo de descuento d. Por esta razón, debemos determinar primero el descuento Dc y posteriormente el valor actual VA o capital inicial.

El capital inicial es obtenido por diferencia entre el capital final (VN) y el descuento (Dc):

Ejercicio 24 (Descuento racional y comercial)

Deseamos anticipar al día de hoy un capital de UM 5,000 con vencimiento dentro de 2 años a una tasa anual del 15%. Determinar el valor actual y el descuento de la operación financiera

Solución:

VN = 5,000; n = 2; i = 0.15; VA =?; DR =?

Primer tema:

Asumiendo que el capital sobre el que calculamos los intereses es el capital inicial (descuento racional):

[14] DR = 5,000 - 3,846 = UM 1,153.85

Segundo tema:

Asumiendo que el capital sobre el que calculamos los intereses es el nominal (descuento comercial):

[15] DC = 5,000*2*0.15 = UM 1,500

[15A] VA = 5,000 - 1,500 = UM 3,500

o también:

[16] VA = 5,000(1 - 2*0.15) = UM 3,500

1.4.5. Tasa de interés y de descuento equivalentes

Si el tipo de interés (i) utilizado en el descuento racional coincide en número con el tipo de descuento (d) aplicado para el descuento comercial, el resultado no es el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cálculo de intereses; razón por la cual el descuento comercial será mayor al descuento racional (DC > DR), como apreciamos en el ejemplo 24.

Para hacer comparaciones, buscar una relación entre tipos de interés y de descuento que nos resulte indiferentes una modalidad u otra; es necesario, encontrar una tasa de descuento equivalente a uno de interés, para lo cual deberá cumplirse la igualdad entre ambas:

DC = DR.

Las fórmulas que nos permiten cumplir con esta condición son:

Fórmula que nos permite conocer d a partir de i.

Fórmula que nos permite conocer i a partir de d.

Estas fórmulas son de aplicación sólo con tasas periódicas; aquellas tasas utilizadas en determinado período para calcular el interés. La relación de equivalencia entre tasas de interés y descuento, en el interés simple, es una función temporal, esto quiere decir, que una tasa de descuento es equivalente a tantas tasas de interés como valores tome n de la operación y a la inversa (no hay una relación de equivalencia única entre una i y un d).

Ejercicio 25 (Calculando la tasa de descuento)

Si consideramos en el ejemplo 24, que la tasa de interés es del 15% anual.

Calcular la tasa de descuento anual que haga equivalentes ambos tipos de descuento.

Solución:

i = 0.15; d =?

1º Calculamos la tasa de descuento anual equivalente:

2º Luego calculamos el valor actual y el descuento considerando como tasa de interés el 15% (descuento racional):

[14] DR = 5,000 - 3,846 = UM 1,153.86

3º Calculamos el valor actual y el descuento considerando la tasa de descuento encontrada del 11.54% (descuento comercial):

[15] DC = 5,000*2*0.1154 = UM 1,153.86

[15A] VA = 5,000 - 1,154 = UM 3,846

o también:

[16] VA = 5,000(1 - 2*0.1154) = UM 3,846

1.4.6. Equivalencia financiera de capitales

Cuando disponemos de diversos capitales de importes diferentes, situados en distintos momentos puede resultar conveniente saber cuál de ellos es más atractivo desde el punto de vista financiero. Para definir esto, es necesario compararlos, pero no basta fijarse solamente en los montos, fundamentalmente debemos considerar, el instante donde están ubicados los capitales.

Como vimos, para comparar dos capitales en distintos instantes, hallaremos el equivalente de los mismos en un mismo momento y ahí efectuamos la comparación.

Equivalencia financiera es el proceso de comparar dos o más capitales situados en distintos momentos a una tasa dada, observando si tienen el mismo valor en el momento en que son medidos. Para ello utilizamos las fórmulas de las matemáticas financieras de capitalización o descuento.

Principio de equivalencia de capitales

Si el principio de equivalencia se cumple en un momento concreto, no tiene por qué cumplirse en otro (siendo lo normal que no se cumpla en ningún otro momento). Afectando esta condición la fecha en que se haga el estudio comparativo, el mismo, que condicionará el resultado.

Dos capitales, VA1 y VA2, que vencen en los momentos n1 y n2 respectivamente, son equivalentes cuando, comparados en un mismo momento n, tienen igual valor. Este principio es de aplicación cualquiera sea el número de capitales que intervengan en la operación. Si dos o más capitales son equivalentes resultará indiferente cualquiera de ellos, no existiendo preferencia por ninguno en particular. Contrariamente, si no se cumple la equivalencia habrá uno sobre el que tendremos preferencia que nos llevará a elegirlo.

Aplicaciones del principio de equivalencia

El canje de uno o varios capitales por otro u otros de vencimiento y/o valores diferentes a los anteriores, sólo puede llevarse a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.

Para determinar si dos alternativas son financieramente equivalentes tendremos que valorar en un mismo momento y precisar que posean iguales montos. Al momento de la valoración se le conoce como época o fecha focal o simplemente como fecha de análisis. Para todo esto el acreedor y el deudor deberán estar de acuerdo en las siguientes condiciones fundamentales:

- Momento a partir del cual calculamos los vencimientos.

- Momento en el cual realizamos la equivalencia, sabiendo que al cambiar este dato varía el resultado del problema.

- Tasa de valoración de la operación.

- Establecer si utilizamos la capitalización o el descuento.

Ocurrencias probables:

- Cálculo del capital común.

- Cálculo del vencimiento común.

- Cálculo del vencimiento medio.

Cálculo del capital común

Es el valor C de un capital único que vence en el momento n, conocido y que sustituye a varios capitales C1, C2, …, Cn, con vencimientos en n1, n2, … , nn, respectivamente, todos ellos conocidos en cuantías y tiempos.

Para calcularlo debemos valorarlos en un mismo momento a la tasa acordada, por una parte, los capitales iniciales y, por otra, el capital único desconocido que los va a sustituir.

Ejercicio 26 (Cálculo del capital común - Capitalización simple)

Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. Para pagar estas deudas propone canjear las cuatro obligaciones en una sola armada dentro de 10 meses. Determinar el monto que tendría que abonar si la tasa de interés simple fuera de 15% anual.

Solución:

(10 - 3 = 7), (10 - 6 = 4), (10 - 8 = 2) y (11 - 10 = 1); i = 0.15/12 = 0.0125

VA = 1,000, 3,000 y 3,800; VF = 4,600; n = 7, 4, 2, 1; i = 0.0125; VF10 =?

Calculamos con la fecha focal en 10 meses, para ello aplicamos en forma combinada las fórmulas [5] de capitalización y [6] de actualización:

VF10 = 12,676

Respuesta:

El monto a pagar por las cuatro obligaciones dentro de 10 meses es UM 12,676.

Cálculo del vencimiento común

Es el instante n en que vence un capital único C conocido, que suple a varios capitales C1, C2, …, Cn, con vencimientos en n1, n2 … nn, todos ellos conocidos en valores y tiempos.

La condición a cumplir es:

Para determinar este vencimiento procedemos de la misma forma que en el caso del capital común, siendo ahora la incógnita el momento donde se sitúa ese capital único.

Ejercicio 27 (Vencimiento común - Interés simple)

Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. De acuerdo con el acreedor deciden hoy sustituir las cuatro obligaciones por una sola de UM 14,000. Determinar el momento del abono con una tasa de interés simple de 15% anual. La fecha de análisis es el momento cero.

Solución:

VF1...4 = 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600; n1 ... 4 = 3, 6, 8 y 11; n =?

1º Hacemos la equivalencia en el momento cero, aplicando sucesivamente la fórmula [6] de actualización:

2º Otra forma de solución es actualizar los valores futuros a la tasa y momentos conocidos, sumarlos y con este valor actual total aplicar la fórmula (13) y obtendremos el momento buscado.

VFT = 14,000; i = 0.0125; VAT =?; n =?

Respuesta:

El momento de pago de las cuatros obligaciones en un solo monto es a 11 meses con 8 días.

Cálculo del vencimiento medio

Es el instante n en que vence un capital único C, conocido, que suple a varios capitales C1, C2, … , Cn, con vencimientos en n1, n2, … ,nn, todos ellos conocidos.


El cálculo es semejante al vencimiento común, lo único que varía es el valor del capital único que suple al conjunto de capitales iniciales, que ahora debe ser igual a la suma aritmética de los montos a los que reemplaza.

El vencimiento es una media aritmética de los vencimientos de los capitales iniciales, siendo el importe de dichos capitales los factores de ponderación.

Ejercicio 28 (Vencimiento medio - Interés simple)

Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. De acuerdo con

el acreedor deciden hoy sustituir las cuatro obligaciones por una sola. Determinar el monto y el momento de pago si la tasa de interés simple fuera de 15% anual. La fecha de análisis es el momento cero.

Solución:

VF1...3 = 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600; n1 ... 3 = 3, 6, 8 y 11; n0 =?

1º Calculamos la media aritmética de los vencimientos de los capitales:

0.23*30 = 6.9 días

2º Calculamos el valor actual de los capitales, actualizándolos al instante cero:

3º Calculamos el monto total a pagar en 8.23 meses, aplicando la fórmula [5]:

VA = 11,253.05; n = 8.23; i = 0.0125; VF =?

8 meses, 0.23*30 = 7 días

Respuesta:

El monto y momento de pago de las cuatros obligaciones en un solo monto es UM 12,410.71 en 8 meses y 7 días.

1.4.7. El descuento bancario

Es un procedimiento financiero que consiste en la presentación de un título de crédito en una entidad financiera para que ésta anticipe su monto y efectué el cobro de la obligación. El tenedor cede el título al banco y éste le abona su importe en dinero, descontando los gastos por los servicios prestados.

Clasificación

Según el título de crédito presentado a descuento, distinguimos:

Descuento bancario. Cuando el título es una letra de cambio.

Descuento comercial. Cuando las letras proceden de una venta o de una prestación de servicios que constituyen la actividad habitual del cedente.

Descuento financiero. Cuando las letras son la instrumentalización de un préstamo concedido por el banco a su cliente.

Descuento no cambiario. Cuando tratamos con cualquier otro derecho de cobro (pagarés, certificaciones de obra, facturas, recibos, etc.).

1.4.8. Valoración financiera del descuento

El efectivo líquido, es la cantidad anticipada por el banco al cliente, el mismo que calculamos restando del importe de la letra (valor nominal) los gastos originados por la operación de descuento, compuesto por intereses, comisiones y otros gastos.

Intereses.- Cantidad cobrada por la anticipación del importe de la letra. Calculada en función del valor nominal descontado, por el tiempo que anticipa su vencimiento y el tipo de interés aplicado por la entidad financiera.

Comisiones.- Llamado también quebranto o daño, es la cantidad cobrada por el banco por la cobranza de la letra.

Obtenida tomando la mayor de las siguientes cantidades:

- Un porcentaje sobre el nominal.

- Una cantidad fija (mínimo).

Otros gastos.- Son los denominados suplidos, pueden incluir los portes y el correo, según la tarifa postal.

Ejercicio 29 (Descuento de una letra)

Debemos descontar una letra de UM 10,000 faltando 60 días para su vencimiento, la tasa de descuento anual es del 48%, la comisión de cobranza es el 3.8% y otros gastos UM 4.00. Determinar el importe efectivo recibido por el cliente:

i = 0.48/12 = 0.04; n = 60/30 = 2

1.4.9. Descuento de deudas que devengan interés

Para descontar pagarés o documentos que devengan interés es necesario calcular primero el monto nominal, es decir, el valor nominal más el interés y descontar después la suma. Este tipo de cálculo es recomendado, incluso cuando el tipo de descuento es igual a la tasa de interés.

Ejercicio 30 (Descontando un pagaré)

El Banco descontó el 5 de Mayo del 2004 un pagaré por UM 10,000 que tenía esta misma fecha. Devengaba el 6% de interés y vencía el 5 de junio del mismo año. Si el tipo de descuento del Banco es también del 6% mensual, ¿cuál es el descuento retenido por el Banco?

Solución:

1º Aplicando Excel calculamos la fecha exacta de la operación financiera:

VA = 10,000; n = 1; i = 0.06; VF =?

[5] VF = 10,000[1+(0.06*1)] = UM 10,600

2º Calculamos el descuento, VF = VN:

VN = 10,600; n = 1; d = 0.06; DC =?

[15] DC = 10,600*1*0.06 = UM 636.00

Respuesta:

Luego el descuento sobre este pagaré es UM 636.00

Ejercicio 31 (Valor líquido de un pagaré)

Calcular el valor líquido de un pagaré de UM 3,800, que devenga el 6% de interés mensual y vence a los 90 días, si el tipo de descuento es de 7.5% también mensual.

Solución:

1º Calculamos el monto a pagar dentro de 3 meses:

VA = 3,800; n = (90/30) = 3; i = 0.06; VF =?

[5] VF = 3,800*(1 + (3*0.06)) = UM 4,484.00

2º Descontamos este monto al 7.5%:

VN = 4,484; n = 3; d = 0.075; VA =?

[16] VA = 4,484*(1 - (3*0.075)) = UM 3,475.10

Respuesta:

El valor líquido del pagaré es UM 3,475.10

En la práctica financiera, obtenemos el valor líquido descontando por el número efectivo de días en el período de tres meses.

Ejercicio 32 (Calculando la fecha de vencimiento de un pagaré)

Un empresario tiene un pagaré de UM 4,500 que no devenga interés y vence el 20 de diciembre. Negocia con su banco el descuento al 6% mensual. Calcular la fecha a partir de la cual el valor líquido del pagaré no será inferior a UM 4,350.

Solución:

VF = 4,500; VA = 4,350; d = 0.06; n = t/360; t =?; VF =?

Reemplazando n por t/360, obtenemos:

Es decir, si el empresario descuenta el pagaré 200 días antes del vencimiento recibirá por lo menos UM 4,350. La fecha es el 20 de julio, fecha buscada.

30 - 20 de dic. = 10 días

(200 + 10) = 210/30 = 7 meses

Ejercicio 33 (Tipo de descuento de un pagaré)

Un pagaré de UM 2,800, no devenga interés con vencimiento a los 5 meses, descontado en el Banco. El valor líquido ascendía a UM 2,680. Calcular el tipo de descuento utilizado.

Solución:

VA = 2,680; VN = 2,800; n = (5/12) = 0.4166; d =?

1º Calculamos el tipo de interés de la operación financiera:

2º Determinamos la tasa de descuento utilizada:

Respuesta:

El tipo de descuento fue de 10.29%.

Ejercicio 34 (Tasa equivalente al tipo de descuento dado)

El Gerente de una compañía presenta al Banco para descuento, un pagaré de UM 2,500, sin interés, con vencimiento dentro de 90 días. El tipo de descuento del Banco es el 48% anual con capitalización trimestral. ¿Qué tasa de interés cobra el banco? En otras palabras, ¿qué tasa de interés es equivalente al tipo de descuento dado?

Solución:

1º Calculamos la tasa periódica trimestral que cobra el banco:

0.48/4 = 0.12 trimestral

2º Calculamos la cantidad cobrada por el banco por concepto de descuento:

VN = 2,500; d = 0.12; n = 1; DC = ?

[15] DC = 2,500*1*0.12 = UM 300

3º Calculamos el valor líquido del pagaré:

VN = 2,500; DC = 300; VA =?

[15A] VA = 2,500 - 300 = UM 2,200

4º Calculamos la tasa de interés equivalente al descuento de 12% trimestral:

d = 0.12; n = 1; i =?

Descuento: 0.1364*4*100 = 54.56% equivalente al 48% anual

5º Calculamos el valor actual y el descuento considerando como tasa de interés el 0.13636 trimestral aplicando el descuento racional, para compararlo con el descuento comercial calculado:

[14] DR = 2,500 - 2,200 = UM 300

En ambos casos los resultados son idénticos, con lo que queda demostrada la equivalencia de la tasa con el descuento.

Respuesta:

La tasa de interés equivalente al descuento de 12% es 13.64% trimestral, tasa que nos proporciona el mismo descuento comercial y racional.

Ejercicio 35 (Tipo de descuento equivalente a la tasa dada)

El señor Rojas presenta en su Banco un pagaré por UM 4,000, que devenga el 5% de interés semestral con vencimiento dentro de 6 meses. Calcular el tipo de descuento que debe cargar el Banco para que el dinero recibido como descuento sea igual al interés sobre el pagaré y el señor Rojas reciba UM 4,000 como valor líquido. ¿Qué tipo de descuento es equivalente a la tasa de interés del 5% semestral?

Solución:

1º Calculamos el descuento equivalente a la tasa del 5% semestral:

i = 0.05; n = 1; i =?

2º Calculamos el descuento bancario:

[15] DC = 4,000*1*0.0476 = UM 190.40

Despejando VN en [15A] VN = 4,000 + 190.40 = UM 4,190.40

Luego el señor Rojas recibirá como valor líquido:

VN = 4,190.40; DC = 190.40; VA =?

[15] VA = 4,190.40 - 190.40 = UM 4,000

Respuesta:

El tipo de descuento equivalente al 5% semestral es 4.76%.

Ejercicio 36 (De aplicación)

Una Caja Rural de Ahorro y Crédito presta UM 8,000 por ocho meses al 52% anual. Determinar a qué tipo de descuento equivale esta tasa de interés.

Solución:

1º Calculamos la tasa periódica: 0.52/12 = 0.0433 mensual

i = 0.0433; n = 8; d =?

j = 0.0322*12 = 0.3864

Respuesta:

La tasa del 52% anual equivale a la tasa de descuento del 38.64% anual.

2. Interés Compuesto

El concepto y la fórmula general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero.

El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.

Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.

El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.

Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:

El capital original (P o VA)

La tasa de interés por período (i)

El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).

Por ejemplo:

Sí invertimos una cantidad durante 5½ años al 8% convertible semestralmente, obtenemos:

El período de conversión es : 6 meses

La frecuencia de conversión será : 2 (un año tiene 2 semestres)

Entonces el número de períodos de conversión es:

(número de años)*(frecuencia de conversión) = 5½ x 2 = 11

Fórmulas del Interés Compuesto:

La fórmula general del interés compuesto es sencilla de obtener:

VA0,

VA1 = VA0 + VA0i = VA0 (1+i),

VA2 = VA0 (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)2

VA3 = VA0 (1+i) (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)3

Generalizando para n períodos de composición, tenemos la fórmula general del interés compuesto:

Fórmula para el cálculo del monto (capital final) a interés compuesto. Para n años, transforma el valor actual en valor futuro.

El factor (1 + i)n es conocido como Factor de Acumulación o Factor Simple de Capitalización (FSC), al cual nos referiremos como el factor VF/VA (encontrar VF dado VA). Cuando el factor es multiplicado por VA, obtendremos el valor futuro VF de la inversión inicial VA después de n años, a la tasa i de interés.

Tanto la fórmula del interés simple como la del compuesto, proporcionan idéntico resultado para el valor n = 1.

VF = VA(1+ni) = VF = VA(1+i)n

VA(1+1i) = VA(1+i)1

VA(1+i) = VA(1+i)

Si llamamos I al interés total percibido, obtenemos:

I = VF - VA luego I = VF - VA = VA(1+i)n - VA

Simplificando obtenemos la fórmula de capitalización compuesta para calcular los intereses:

Con esta fórmula obtenemos el interés (I) compuesto, cuando conocemos VA, i y n.

Ejercicio 37 (Calculando el interés y el VF compuestos)

Determinar los intereses y el capital final producido por UM 50,000 al 15% de interés durante 1 año.

Solución:

VA = 50,000; i = 0.15; n = 1; I =?; VF =?

Calculamos el interés y el VF:

(19) VF = 50,000*(1+0.15) = UM 57,500

Para el cálculo de I podemos también aplicar la fórmula (7):

[7] I = 57,500 - 50,000 = UM 7,500

Respuesta:

El interés compuesto es UM 7,500 y el monto acumulado

2.1 . Valor actual a interés compuesto

La fórmula general del interés compuesto permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior.

Dijimos en el numeral 1.1, pág. 101, de éste Capítulo, la longitud de la escalera es la misma contada de abajo hacia arriba como de arriba abajo. En el interés compuesto cuanto más arriba miramos, más alto es cada escalón sucesivo y si nos paramos arriba y miramos hacia abajo, esto es, hacia el valor actual, cada sucesivo escalón es algo más bajo que el anterior.

De la ecuación [19] obtenemos la fórmula del valor actual a interés compuesto:

También expresamos como:

Conocemos a la expresión entre corchetes como el Factor Simple de Actualización (FSA) o el factor VA/VF. Permite determinar el VA (capital inicial) de la cantidad futura VF dada, después de n períodos de composición a la tasa de interés i.

La expresión valor futuro significa el valor de un pago futuro en fecha determinada antes del vencimiento. Cuanto menos tiempo falta para el vencimiento, mayor es el valor actual del monto adeudado, y, en la fecha del vencimiento, el valor actual es equivalente al monto por pagar. Para comprobar uno cualquiera de esos valores actuales, basta hallar si a la tasa indicada, en el tiempo expuesto, el valor actual es la cantidad adeudada.

De la ecuación [19] obtenemos también, las fórmulas [22] y [23] para determinar los valores de i (dado VA, VF y n) y n (dado VA, VF e i).

Con la fórmula [22] obtenemos la tasa del período de capitalización. Con la fórmula [23] calculamos la duración de la operación financiera.

En este caso, no da lo mismo adecuar la tasa al tiempo o adecuar el tiempo a la tasa. Tanto el tiempo como la tasa de interés deben adecuarse al período de capitalización. Si el tiempo está en meses, la tasa debe ser mensual; si el tiempo está en bimestres, la tasa debe ser bimestral.

Ejercicio 38 (VA a interés compuesto)

Tenemos una obligación por UM 12,000, a ser liquidado dentro de 10 años. ¿Cuánto invertiremos hoy al 9% anual, con el objeto de poder cumplir con el pago de la deuda?

Solución:

VF = 12,000; i = 0.9; n = 10; VA =?

Respuesta:

El monto a invertir hoy es UM 5,068.93.

2.2 . Valor actual de deuda que devenga interés

Como en el interés simple, en el caso de deudas que devengan interés, antes de calcular su valor actual, debemos averiguar primero el monto nominal, esto es, la cantidad de dinero (capital más interés) de la deuda a su vencimiento. Calculado el monto nominal es más sencillo determinar el valor actual a cualquier tasa de interés.

Para calcular el valor actual de deudas que devengan interés compuesto calculamos primero el monto de la deuda al vencimiento, esto es, el monto nominal; luego, procedemos a calcular el valor actual del monto nominal aplicando el método expuesto líneas arriba.

Ejercicio 39 (VA de deuda que devenga interés compuesto)

Una empresa en proceso de liquidación, tiene en activos obligaciones a 4 años por UM 42,000, devengan el 12% capitalizando anualmente. Calcular el valor actual al 15%, con capitalización anual.

Solución: Según la regla expuesta:

1º Calculamos el monto (VF) del activo a su vencimiento:

VA = 42,000; i = 0.12; n = 4; VF =?

[19] VF = 42,000(1 + 0.12)4 = UM 66,087.81

2º Calculamos el VA al 15% de UM 66,087.81 a pagar dentro de 4 años:

VF = 66,087.81; i = 0.15; n = 4; VA =?

Respuesta:

El VA con capitalización anual es UM 37,785.92

2.3. Interés simple versus interés compuesto

El monto (VF) que obtenemos con el interés simple aumenta linealmente (progresión aritmética); mientras que en las operaciones con interés compuesto, la evolución es exponencial (progresión geométrica), como consecuencia de que los intereses generan nuevos intereses en períodos siguientes.

Generalmente utilizamos el interés simple en operaciones a corto plazo menor de 1 año, el interés compuesto en operaciones a corto y largo plazo.

Vamos a analizar en qué medida la aplicación de uno u otro en el cálculo de los intereses dan resultados menores, iguales o mayores y para ello distinguiremos tres momentos:

a) Períodos inferiores a la unidad de referencia

En estos casos (para nosotros un año), los intereses calculados con el interés simple son mayores a los calculados con el interés compuesto.

Ejercicio 40 (Interés simple y compuesto con períodos menores a la unidad)

Determinar los intereses devengados por un capital de UM 30,000, durante 5 meses, al 15% de interés anual.

Como la tasa de interés está en base anual, el tiempo lo expresamos también en base anual: 5/12 = 0.4167

Igualmente, podríamos expresar la tasa de interés en base mensual, dividiendo simplemente: 0.15/12 = 0.0125 con n = 5.

Solución:

VA = 30,000; n = 0.4167; i = 0.15; I =?

a.1.) Interés simple

[8] I = 30,000*0.15*0.4166 = UM 1,875.15

a.2.) Interés compuesto:

Luego, el interés calculado aplicando la fórmula del interés simple es superior al calculado con la fórmula del interés compuesto.

b) Períodos iguales a un año

En estos casos, ambas formulas dan resultados idénticos.

Ejercicio 41 (Interés simple y compuesto con períodos iguales a un año)

Determinar los intereses devengados por un capital de UM 30,000, durante un año, con el 12% de interés anual.

Solución:

VA = 30,000; n = 1; i = 0.12; I =?

a.1.) Interés simple:

[5] I = 30,000*0.12*1 = UM 3,600


Como vemos ambas fórmulas proporcionan resultados iguales.

c) Períodos superiores a un año

En estos casos, los intereses calculados con la fórmula del interés compuesto son superiores a los calculados con la fórmula del interés simple.

Ejercicio 42 (Interés simple y compuesto con períodos superiores a un año)

Determinar los intereses devengados por un capital de UM 30,000, durante dos años, con el 12% de interés anual.

Solución:

VA = 30,000; n = 2; i = 0.12; I =?

a.1.) Interés simple:

[5] I = 30,000*0.12*2 = UM 7,200


Luego cumplimos con la condición (c).

2.4. Tasas equivalentes

La definición de tasas de interés equivalentes es la misma que la del interés simple. No obstante, la relación de proporcionalidad que se da en el interés simple no es válida en el interés compuesto, como es obvio, el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez mayor.

Ejercicio 43 (Valor acumulado de una inversión)

Calcular el valor acumulado de una inversión de UM 5,000 durante un año, en las siguientes condiciones:

Solución:

VA = 5,000; n = 1 ... 4; i = 0.15 anual, 0.075 semestral y 0.0375 trimestral

Con interés anual del 15%:

[19] VFn = 5,000(1 + 0.15)1 = UM 5,750.00

Con interés semestral del 7.5%:

[19] VFn = 5,000(1 + 0.075)2 = UM 5,778.13

Con interés trimestral del 3.75%:

[19] VFn = 5,000(1 + 0.0375)4 = UM 5,793.25

Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses lo hacemos con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en las diferentes tasas de interés.

Para lograr que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización y el valor final siga siendo el mismo es necesario cambiar la fórmula de equivalencia de las tasas de interés.

El pago de los intereses es al vencimiento o por anticipado. El interés nominal, por lo general condiciona la especificación de su forma de pago en el año. Para determinar a qué tasa de interés vencida (iv) equivalen unos intereses pagados por anticipado (ia) debemos tomar en cuenta que los mismos deben reinvertirse y éstos a su vez generarán intereses pagaderos por anticipado.

Interés anticipado (ia), como su nombre lo indica, es liquidado al comienzo del período (momento en el que recibimos o entregamos dinero).

Interés vencido (iv), contrariamente al anterior, es liquidado al final del período (momento en el que recibimos o entregamos dinero).

Muchas negociaciones son establecidas en términos de interés anticipado y es deseable conocer cuál es el equivalente en tasas de interés vencido. Ejercicios corrientes, lo constituyen los préstamos bancarios y los certificados de depósito a término.

Cuando especificamos el pago de interés anticipado (ia), estamos aceptando (en el caso préstamos) recibir un monto menor al solicitado.

Fórmulas de la tasa de interés vencida y anticipada:

Con la fórmula [A] podemos convertir cualquier tasa de interés anticipada, en tasa de interés vencida. Esta fórmula es utilizada sólo para tasas periódicas; tasas utilizadas en determinado período para calcular el interés.

Ejercicio 44 (Calculando la tasa vencida)

La tasa de interés anticipada de 9% trimestral equivale a:

Solución:

ia = 0.09; iv =?

Para utilizar esta conversión debemos trabajar con la tasa correspondiente a un período. Por ejemplo, la tasa de interés de 9% anticipada aplicable a un trimestre.

Ejercicio 45 (Tasa vencida)

Si la tasa de interés anual es 28%, con liquidación trimestral por anticipado (la cuarta parte es cobrada cada trimestre) ¿a cuánto equivale ese interés trimestral vencido?

Tasa de interés trimestral anticipada = 0.28/4 = 0.07

Tasa de interés trimestral vencida:

Ejercicio 46 (Tasa anticipada)

Si el banco dice cobrar la tasa de interés de 32% anual, liquidado cada mes, vencido, ¿a qué tasa de interés mes anticipado corresponde ese interés?

El interés mensual vencido es : 0.30/12= 0.025

El interés mensual anticipado es :

Luego, el interés nominal mes anticipado es: 2.44% * 12 = 29.27%

2.5. Descuento Compuesto

Denominada así la operación financiera que tiene por objeto el cambio de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la fórmula de descuento compuesto. Es la inversa de la capitalización.

2.5.1. Particularidades de la operación

Los intereses capitalizan, esto significa que:

Al generarse se restan del capital inicial para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro,

Los intereses de cualquier período los produce éste capital (anterior), a la tasa de interés vigente en dicho momento.

Los procedimientos de descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro conocido (VF) cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es necesario conocer las condiciones de esta anticipación: duración de la operación (tiempo y el capital futuro) y la tasa de interés aplicada.

El capital resultante de la operación de descuento (valor actual o presente VA) es de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. Concluyendo diremos, si trasladar un capital presente al futuro implica incrementarle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la disminución de esa misma cantidad porcentual.

En forma similar al interés simple, se distinguen dos clases de descuento racional y comercial, según la cuál sea el capital considerado en el cálculo de los intereses en la operación:

- Descuento racional.

- Descuento comercial.

Nomenclatura:

D : Descuento o rebaja.

DR : Descuento racional

DC : Descuento comercial

VN(VF) : Valor final o nominal, es el conocido valor futuro

VA : Valor actual, inicial o efectivo.

i ó d : tasa de interés o descuento de la operación

2.5.2. Descuento racional

En este tipo de descuento los intereses son calculados sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta de la anticipación del capital futuro (VN o VF). Es la operación de capitalización compuesta,

con la peculiaridad de que el punto de partida es el capital final (VN) con el debemos calcular el valor actual (VA), capital hoy. Para el cálculo del VA del capital, operamos con la fórmula [21].

Calculado el capital inicial con la fórmula anterior, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, determinamos el interés total de la operación (DR), o descuento propiamente dicho:

Fórmula del descuento racional a interés compuesto.

Ejercicio 47 (Ahorro por pago anticipado)

Debemos anticipar el pago de una obligación de UM 12,000 con vencimiento dentro de 18 meses. Si el pago lo efectuamos hoy. ¿Qué valor tenemos que entregar si la operación se acuerda a una tasa de interés del 18% anual compuesto? ¿De cuánto será el ahorro por el pago anticipado?.

Solución:

VN = 12,000; n = (18/12) = 1.5; i = 0.18; DR =?; VA =?;

Aplicando directamente la fórmula [C] obtenemos el descuento buscado:

El valor líquido a entregar es: VA = 12,000 - 2,638.22 = UM 9,361.78 o también:

DR = 12,000 - 9,361.78 = UM 2,638.22

Respuesta:

El valor a entregar es UM 9,361.78

El ahorro por el pago anticipado es de UM 2,638.22

2.5.3. Descuento comercial

Este caso considera al capital final de un período a otro generador de los intereses a un tipo de descuento (d) dado, vigente en ese momento.

Aplicando la fórmula [B] calculamos el capital inicial (VA):

Por diferencias entre el capital de partida y el inicial obtenido, calculamos el interés total de la operación (Dc):

Ejercicio 48 (Descuento comercial)

Tenemos que anticipar UM 15,000 con vencimiento dentro de 3 años. Si el pago lo hacemos el día de hoy. ¿Qué valor tenemos que entregar si la operación es pactada al 22% anual compuesto? ¿Cuanto será el descuento por el pago anticipado?

Solución:

VN = 15,000; n = 3; VA =?; d = 0.22; DC = ?

1º Calculamos el valor actual y el descuento bancario:

[D] VA = 15,000*[1 - 0.22]3 = UM 7,118.28

DC = 15,000 - 7,118.28 = UM 7,881.72

2º En forma directa, obviando el cálculo previo del capital inicial (VA):

[E] Dc = 15,000 * [1 – (1 – 0.22)3] = UM 7,881.72

Respuesta:

El monto a entregar es UM 7,118.28 y el descuento es UM 7,882.72.

2.5.4. Tasa de interés y de descuento equivalentes

Al comparar el interés simple con el interés compuesto a un mismo capital inicial y tasa de interés, encontramos que los resultados son menores, iguales o mayores con el interés compuesto cuando los períodos son inferiores, iguales o superiores a la unidad de referencia.

Es necesario determinar la relación que existe entre las tasas de interés y descuento con el objeto de que los resultados de anticipos sean los mismos con cualquiera de los modelos de descuento utilizados. Esto es, la equivalencia entre tasas de descuento e interés. Para esto debe cumplirse la igualdad entre ambos descuentos DR = DC. En forma simplificada las formulas que cumplen con esta condición son:

La tasa de descuento comercial d equivalente a la tasa de interés i es:

Similarmente, obtenemos un tipo de interés i equivalente a un d:

Reiteramos, la relación de equivalencia es independiente de la duración de la negociación. Por ende tenemos que para una tasa de interés habrá un único tipo de descuento que origine la equivalencia y viceversa.

Estas fórmulas son de aplicación sólo con tasas periódicas; aquellas tasas utilizadas en determinado período para calcular el interés.

Ejercicio 49 (Monto a adelantar)

Tenemos que anticipar el pago de una deuda de UM 18,000 al 15% anual, con vencimiento dentro de 2 años. Asumiendo que el pago lo hacemos hoy, calcular el monto que tenemos que adelantar.

Solución:

VN(VF) = 18,000; n = 2; i = 0.15; d = ?

1º Calculamos el descuento racional, con una tasa de interés de 15%:

2º Calculamos el descuento comercial con un descuento de 15%:

Cuando operamos con una misma tasa de interés y descuento los resultados son diferentes, el resultado es mayor con el descuento racional por cuanto el capital productor de intereses es el capital inicial (más pequeño) consecuentemente menor el ahorro por la anticipación.

Para obtener el mismo resultado debemos determinar el tipo de descuento equivalente al 15% de interés con la fórmula de equivalencia:

2º Calculando el descuento comercial al nuevo tipo de descuento, obtenemos:

Respuesta:

El monto a adelantar es UM 13,610.59

2.6. Equivalencia de capitales a interés compuesto

Para demostrar que dos o más capitales son equivalentes, es necesario que éstos tengan el mismo valor en el momento en que son comparados: principio de equivalencia de capitales.

El principio de equivalencia financiera, permite determinar si dos o más capitales situados en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de ellos.

En las operaciones de interés simple, vimos la definición y utilidad de la equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendo válidos. La diferencia fundamental viene dada porque en interés compuesto la fecha donde realizamos la equivalencia no afecta al resultado final de la operación. La equivalencia sólo se cumple en un momento dado y como consecuencia en cualquier punto; fuera de esta condición no se cumple nunca.

2.6.1. Usos del principio de equivalencia

El reemplazo de unos capitales por otro u otros de vencimientos o montos diferentes sólo es posible si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.

Casos posibles:

Cálculo del capital común

Es el monto C de un capital único que vence en n, conocido y que reemplaza a otros capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en n1, n2, ... ,nn, todos ellos conocidos.

Cálculo del vencimiento común

Es el instante de tiempo n en que vence un capital único VA, conocido, que reemplaza a otros capitales C1, C2, ..., Cn, con vencimientos en n1, n2, ... ,nn, todos ellos conocidos.


Cálculo del vencimiento medio

Es el instante de tiempo n en que vence un capital único C, conocido, que reemplaza a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, todos ellos conocidos.


Ejercicio 50 (Equivalencia financiera - Capital común)

Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. Para pagar estas deudas propone canjear las cuatro obligaciones en una sola armada dentro de 10 meses. Determinar el monto que tendría que abonar si la tasa de interés fuera de 15% anual.

Solución: [i = (0.15/12) = 0.0125]

VF = 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600; i = 0.0125; n = 3, 6, 11 y 10; VA0 =?

1º Calculamos el VA con la fecha focal en 0, para ello aplicamos sucesivamente la fórmula [21]:

2º Finalmente, calculamos el VF10 , monto a pagar en una sola armada:

[19] VF10 = 12,462.01(1 + 0.0125)10 = UM 38,705.11

Ejercicio 51 (Equivalencia financiera - Vencimiento común y medio)

Un empresario tiene que cobrar UM 10,000 y UM 15,000, con vencimientos a 3 y 6 meses, respectivamente. El deudor plantea al empresario pagar ambas deudas en un sólo abono, con el 3.5% de interés mensual. Determinar el momento del pago único considerando lo siguiente:

1. Que el monto a recibir es de UM 23,000.

2. Que el monto a recibir es UM 25,000.

Solución:

VF1 y 2 = 23,000 y 25,000; n = 3 y 6; i = 0.035; n =?

1º Calculamos el VA total:

2º Calculamos el vencimiento común:

3º Calculamos el vencimiento medio:

Aplicando la función NEPER calculamos ambos vencimientos:

En el interés compuesto no es aplicable la media aritmética del interés simple

2.7. Estimaciones duplicando el tiempo y la tasa de interés

Usualmente, las entidades financieras para captar ahorristas, ofrecen que duplicarán sus depósitos y los pronósticos de las entidades de control estadístico de los países afirman que la población de tal o cual ciudad ha duplicado en tal o cual período.

Cuando calculemos los períodos n, la tasa de retorno o tasa de crecimiento i emplearemos las fórmulas cuyos resultados son matemáticamente exactos (teóricos) conociendo uno de ambos valores.

Al determinar la tasa de interés compuesto es posible también utilizar la regla del 72 para estimar i o n, dado el otro valor. Con esta regla, el tiempo requerido para duplicar sumas únicas iniciales con interés compuesto es aproximadamente igual a 72 dividido por el valor de la tasa de retorno (en porcentaje) o los períodos de tiempo n.

Estimando:

Ejercicio 52 (Duplicando el valor del dinero)

Calcular el tiempo aproximado en que tardaría en duplicarse una cantidad de dinero a la tasa compuesta del 7% anual.

Calcular la tasa necesaria de rendimiento para duplicar un monto en 18 años.

Solución (1):

VF = 2; VA = 1; i = 0.07; n =?

1º Calculamos el valor de n:

2º Ahora calculamos el valor de n:

Solución (2):

VF = 2; VA = 1; n = 18; i =?

1º Calculamos el valor de i:

2º Con la regla del 72:

En ambos casos (1) y (2) los resultados varían ligeramente.

Si la tasa es de interés es simple, resolvemos el caso aplicando las fórmulas [11] y [13], o también aplicando la regla de 100 en la misma forma que para el interés compuesto. En este caso las respuestas obtenidas siempre serán exactas.

Aplicamos también las fórmulas [11], [13], [22] y [23] cuando un capital es triplicado, cuadruplicado, quintuplicado, etc.

Ejercicio 53 (Duplicando el valor del dinero)

Calcular el tiempo en que tarda en duplicarse una cantidad de dinero a interés simple de 8% anual.

Calcular la tasa de interés simple para duplicar un monto en 15 años.

Solución (1):

VF = 2; VA = 1; i = 8; n =?

1º Calculamos el valor de n:

2º Calculamos el valor de n, aplicando la regla del 100:

Solución (2)

VF = 2; VA = 1; n = 15; i =?

1º Encontramos el valor de i, con la fórmula [11]:

y obtenemos:

2º Calculamos el valor de n, aplicando la regla del 100:

Como vemos, los resultados son exactamente iguales.

2.8. Tasa variable durante el período que dura la deuda

Las tasas de interés sobre las inversiones varían muy a menudo. Para calcular el valor futuro (monto), cuando la tasa de interés ha cambiado una o más veces, multiplicamos el capital por el factor simple de capitalización (FSC) (1 + i)n para cada tasa de interés con su respectivo período de capitalización.

Ejercicio 54 (Calculando el VF)

Si invertimos UM 5,000 en un banco que paga 5% los primeros tres años, 3.8% los cinco siguientes y 6.5% los otros siete años. ¿Cuál será el monto de la inversión al final de los quince años?

Solución:

VA = 5,000; n = 3, 5 y 7; i = 0.05, 0.038 y 0.065; VF =?

VF = 5,000*1.053*1.0385*1.0657 = UM 10,838.57

EJERCICIOS DESARROLLADOS

Interés Simple

Ejercicio 55 (Valor futuro)

Calcular el monto acumulado de una inversión de UM 12,000 durante 10 meses al 22% anual.

Solución:

VA = 12,000; n = (10/12) = 0.8333; i = 0.22; VF =?

Respuesta:

El monto acumulado es UM 14,199.99

Ejercicio 56 (Interés)

Calcule el interés simple ordinario de un capital de UM 3,500 colocado en el banco desde el 13 de marzo al 25 de mayo del 2004, a una tasa del 2% mensual.

Solución:

Aplicando Excel calculamos los días exactos:

VA = 3,500; n = 73 días; i = (0.02/30) = 0.00066; I =?

[8] I = 3,500*0.00066*73 = UM 170.16

Respuesta:

El interés simple ordinario es de UM 170.16

Ejercicio 57 (Interés)

Determinar el interés de UM 10,000 durante 4 meses al 12% de interés anual.

Solución:

VA = 10,000; n = 4; I =?

Como el tiempo está expresado en meses, calculamos el equivalente en base mensual del 12% anual (cuando tenemos un tipo de interés y no indica nada, sobreentendemos que es anual).

[8] I = 10,000 * 0.01 * 4 = UM 400

Podríamos también haber dejado el tipo anual y colocado el plazo (4 meses) en base anual (4/12). El resultado habría sido el mismo:

[8] I = 10,000*0.12*4/12 = UM 400

Respuesta:

El interés es UM 400

Ejercicio 58 (Valor futuro total)

Dentro de 6 y 9 meses recibiremos UM 25,000 y UM 35,000 respectivamente, y ambas sumas de dinero lo invertimos al 18% de interés anual. Determinar el monto dentro de un año.

Solución:

VA1 y 2 = 25,000 y 35,000; n = 0.5 y 0.25; i = 0.18; I =?

1) Dejamos el tipo de interés en base anual y expresamos el plazo en años. El plazo son 6 meses (6/12 = 0.5 años), recibimos el dinero dentro de 6 meses y lo invertimos hasta dentro de 1 año:

[5] VF1 = 25,000 (1 + 0.18*0.5) = UM 27,250.00

2) El plazo es de 9 meses (9/12 = 0.25 años), recibimos el capital dentro de 9 meses y si invertimos hasta dentro de 1 año:

[5] VF2 = 35,000 (1 + 0.18*0.75) = UM 39,725

Respuesta:

Sumando los dos montos tendremos dentro de un año:

VFT = 27,250 + 39,725 = UM 66,975.00

Ejercicio 59 (La mejor alternativa)

¿Determine qué es preferible, recibir UM30, 000 dentro de 4 meses, UM 20,000 dentro de 7 meses o UM 50,000 dentro de 1 año, si estos montos los puedo invertir al 18%?

Solución:

VF = 30,000, 20,000 y 50,000; i = 0.18; VF2...3 =?

Entre la 1ª y 2ª opción (recibir UM 30,000 dentro de 4 meses o UM 20,000 dentro de 7 meses), obviamente, es preferible la primera, el monto es mayor y recibimos antes. Por lo tanto, la 2ª opción queda descartada, habrá de comparar la 1ª con la 3ª (recibir UM 50,000 dentro de 1 año). Como estos montos están situados en momentos distintos, no comparamos directamente, deben llevarse a un mismo instante. Vamos a calcular los importes equivalentes dentro de 1 año (podríamos haber elegido otro momento, por ejemplo el momento actual).

1º monto: El plazo es de (12-4) = 8 meses, es decir, (8/12) = 0.66 años

[5] VF1 = 30,000 (1 + 0.18*0.66) = UM 33,564.00

3º monto: No calculamos intereses, el monto lo recibimos dentro de 1 año.

VF3 = 50,000

Respuesta:

Obviamente, la 3º alternativa es la más ventajosa.

Descuento Simple

Ejercicio 60 (Descuento Bancario Simple)

Calcular el descuento por anticipar un capital de UM 20,000 por 8 meses al 18% de interés anual n está expresado en meses, calcular la tasa de descuento d en base mensual.

Solución:

VN = 20,000; n = 8; d = (0.18/12) = 0.015; D =?

[14A] D = 20,000*8*0.015 = UM 2,400

Respuesta:

Descuento UM 2,400.


Calcular el monto recibido por el beneficiario del capital, en la operación anterior.

Solución:

VN = 20,000; D = 2,400; VA =?

[15A] VA = 20,000 - 2,400 = UM 17,600

Respuesta:

Monto realmente recibido en efectivo UM 17,600


Descuentan UM 30,000 por 6 meses y UM 80,000 por 5 meses, al 18% de descuento. Determinar el capital actual total de las dos operaciones.

1º Solución:

VN1 = 30,000; n = (6/12) = 0.5; d = 0.18; DC =?; VA1 =?

1º Calculamos el descuento:

[14] DC = 30,000*0.18*0.5 = UM 2,700

Dejamos el tipo de interés en base anual y expresamos el plazo en años: 6 meses equivale a 0.5 años (6/12). Hubiera dado igual dejar el plazo en meses y calcular el tipo de descuento mensual equivalente.

[15] VA1 = 30,000 - 2,700 = UM 27,300

2º Solución:

VN2 = 80,000; n = 5/12 = 0.4167; d = 0.18; DC =?; VA2 =?

[15] DC = 80,000*0.18*0.4167 = UM 6,000.48

[15A] VA2 = 80,000 - 6,000 = UM 73,999.52

Sumando los dos montos obtenemos: VAT = VA1 + VA2

VAT = 27,300 + 73,999.52 = UM 101,299.52

Respuesta:

El capital total actual descontado de ambas operaciones es UM 101,299.52


Un empresario descuenta UM 60,000 por el plazo de 4 meses y los intereses del descuento son UM 5,000. Calcular el tipo de descuento.

Solución:

DC = 5,000; VN = 60,000; n = (4/12) = 0.3333; d =?

[15] 5,000 = 60,000*d*0.3333

Respuesta:

El tipo de descuento anual es 25%.


Calcular el descuento por anticipar UM 25,000 por 5 meses al 15% de descuento.

Solución:

VN =25,000; n = (5/12) = 0.4167; d =0.15; DC =?

[15] DC = 25,000*0.15*0.4167 = UM 1,562.51


Si descuentan un capital de UM 50,000 por 4 meses y los intereses de descuento han ascendido a UM 2,000. Calcular el tipo de descuento aplicado.

Solución:

VN = 50,000; n = (4/12) = 0.3333; DC = 2,000; d =?

Calculamos el tipo de descuento:

[15] 2,000 = 50,000*d*0.3333

Respuesta:

Luego, el tipo de descuento aplicado es el 12%.


Calcular el plazo del descuento, si descuentan UM 80,000 al 18% y los intereses de descuento ascienden a UM 7,000.

Solución:

VN = 80,000; d = 0.18; DC = 7,000; t =?

1º Calculamos el plazo:

[15] 7,000 = 80,000*0.18*n

0.4161*12 = 5.8333 meses

0.8333*30 = 25 días

Respuesta:

El plazo del descuento ha sido 5 meses con 25 días.


Los intereses de descuento de anticipar un capital por 9 meses, al 12% anual, ascienden a UM 22,000. Calcular el importe líquido (VA).

Solución:

DC= 22,000; n = (9/12) = 0.75; d = 0.12; VN =?; VA =?

1º Calculamos el valor nominal:

[15] 22,000 = VF*0.12*0.75

2º Calculamos el VA líquido o capital inicial, neto recibido:

[15A] VA = 244,444.44 - 22,000 = UM 222,444.44

Respuesta:

El capital o valor líquido es de UM 222,444.44

Interés Compuesto

Ejercicio 68 (Valor futuro)

Calcular el monto a pagar dentro de dieciocho meses por un préstamo bancario de UM 30,000, si devenga el 22% nominal con capitalización trimestral.

Solución:

VA = 30,000; n (18/3) = 6; j = 0.22; VF =?

1º Para determinar el monto acumulado (VF), luego de 18 meses (6 trimestres), de un capital inicial de UM 30,000, necesitamos calcular la tasa efectiva trimestral equivalente a partir de la tasa nominal con capitalización trimestral del 22%: i = 0.22/4 = 0.055

Respuesta:

El monto a pagar es UM 41,365.28

Ejercicio 69 (Valor Actual)

Daniel desea viajar al extranjero dentro de 18 meses en un tour cuyo costo es UM 10,000. Quiere saber cuánto debe depositar hoy para acumular esa cantidad, si el dinero depositado a plazo fijo en el Banco gana el 12% efectivo anual.

Solución:

VF = 10,000; n = 18; i = (0.12/12) = 0.01; VA =?

Respuesta:

Daniel debe depositar hoy UM 8,360.17

Ejercicio 70 (Interés simple versus interés compuesto)

Determinar el interés de UM 150,000 invertido durante un año y medio al 18% anual, aplicando capitalización simple y capitalización compuesta.

Solución:

VA = 150,000; n = 18; i = (0.18/12) = 0.015; I =?

a) A interés simple : [8] I = 150,000*0.015*18 = UM 40,500

b) A interés compuesto : [20] I = 150,000(1.01518 - 1) = UM 46,101

COMPARACION:

[5] VF (INT. SIMPLE) = 150,000(1+0.015*18) = UM 190,500

[19] VF(INT. COMPUESTO) = 150,000(1+0.015)18 = UM 196,101

También obtenemos éstas dos últimas cantidades con la fórmula: [9] VF = VA + I.

Ejercicio 71 (Valor futuro total)

Si recibo UM 80,000 dentro de 5 meses y otro capital de UM 45,000 dentro de 8 meses. Ambos lo invierto al 15% anual. ¿Qué monto tendré dentro de 1 año, aplicando capitalización compuesta?

Solución

VA5 y 8 = 80,000 y 40,000; i = 0.15; VFT =?

Calculamos el capital final de ambos montos dentro de 1 año y los sumamos. Como la tasa es anual la base debe ser anual:

Para 5 meses (5-12 = 7/12 = 0.5833) y para 8 meses (8 - 12 = 4/12 = 0.333)

[19] VF5 = 80,000(1.15)0.5833 = UM 86,795.47

[19] VF8 = 40,000(1.15)0.3333 = UM 41,907.58 UM 128,703.05

Respuesta:

Capital final dentro de un año UM 128,702.05

Ejercicio 72 (Tasa de interés simple y compuesto)

Si UM 150,000 generan intereses durante 6 meses de UM 30,000. Determinar el tipo de interés anual si fuera a interés simple y a interés compuesto.

Interés simple:

VA = 150,000; I = 30,000; n = 6; i =?

[9] VF = 150,000 + 30,000 = UM 180,000

0.03333*12 = 0.40 anual

Interés compuesto:

VA = 150,000; I = 30,000; n = 0.5; i =?

[9] VF = 150,000 + 30,000 = UM 180,000

Anual = 0.0309 * 12 * 100= 37.02%

Respuesta:

La tasa de interés simple anual es 40%

La tasa de interés compuesto anual es 37.02%

Descuento Compuesto

Ejercicio 73 (Descuento racional compuesto)

Determinar el descuento compuesto racional al 7% de interés anual, capitalizable trimestralmente, sobre UM 5,000 a pagar dentro de 5.5 años.

Solución:

VN = 5,000; n = (5.5*4) = 22; m = 4; d = (0.07/4) = 0.0175; DR =?

Respuesta:

El descuento racional compuesto es UM 1,586.40

Ejercicio 74 (Tasa de interés a una tasa de descuento dada)

Si asumimos la tasa de descuento del 7% anual en operaciones de dos o más años, ¿a qué tasa de interés, capitalizable anualmente, equivale?

Solución:

d = 0.07; i =?

Respuesta:

La tasa de descuento del 7%, con capitalización anual equivale a otra de interés del 7.53%, anual.

Ejercicio 75 (Tasa de descuento a una tasa de interés dada)

Calcular la tasa de descuento compuesto anual, equivalente a otra de interés del 7%, capitalizable anualmente.

Solución:

i = 0.07; d =?

Respuesta:

El tipo de interés del 7%, capitalizable anualmente, es equivalente a la tasa de descuento del 6.54% anual.

Comentario:

Como apreciamos, en ambas fórmulas operamos con la tasa periódica, en nuestro caso anual.

Ejercicio 76 (Descuento Bancario Compuesto)

Determinar el descuento por anticipar un capital de UM 40,000, durante 7 meses, al tipo de interés del 14% anual.

Solución:

VF = 40,000; i = 14/12 = 0.01167; n = 7; D =?

Respuesta:

El descuento compuesto verdadero es de UM 3,120.26


Descontar el capital de UM 150,000, por el plazo de 6 meses al 17%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización compuesta) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés.

Solución:

VF = 150,000; i = 0.17; n = 6/12 = 0.5; VA =?

1º Descontamos con la fórmula:

Una vez obtenido el capital descontado, capitalizamos aplicando la fórmula de capitalización compuesta:

[19] VF = 138,675*1.170.5 = UM 150,000

Como vemos, cumplimos el concepto de equivalencia y retornamos al capital de partida. El descuento compuesto, al igual que la capitalización compuesta puede utilizarse indistintamente en operaciones de corto plazo (menos de 1 año) y largo plazo. En este sentido contrasta con el descuento comercial y el racional, que sólo es utilizado en operaciones de corto plazo.

Ejercicio 78 (Tasa de descuento equivalente)

Si el banco dice cobrar la tasa de interés de 30% anual, liquidado cada mes, vencido, ¿a qué tasa de interés mes anticipado corresponde ese interés?

El interés mensual vencido es :

0.30/12= 0.025= 2.5%

El interés mensual anticipado es :

Luego, la tasa equivalente mes vencido es 2.49% mes anticipado.


Si solicitamos un pagaré al Banco por UM 20,000 a pagar luego de 90 días. Si la tasa de interés vigente en el mercado es del 18% anual y los intereses son cobrados por adelantado. ¿Cuánto le descontarán por concepto de intereses?, ¿Cuánto recibirá realmente? y ¿Cuánto pagará luego de los 90 días?

Solución: (18% / 360 = 0.05% diario)

VF = 20,000; n = 90 días; i = 0.0005 diario; VA =?

1º Calculamos el VA:

2º Calculamos el descuento: (I = D)

[7] D = 20,000 - 19,120.16 = UM 879.84

El descuento es UM 879.84 y el importe líquido a recibir es UM 19,120.16.

Respuesta:

Luego de los 90 días pagamos UM 20,000.


¿Cuánto deberíamos haber solicitado para que después del descuento correspondiente obtuviéramos los UM 20,000 requeridos?

Solución: (18% / 360 = 0.05% diario)

VA = 20,000; n = 90 días; i = 0.0005 diario; VF =?

[19] VF = 20,000(1 + 0.0005)90 = UM 20,920

Comprobando:

Respuesta:

Luego el monto que deberíamos haber solicitado al Banco es UM 20,920, representa el valor nominal VF de la obligación.

Otras Aplicaciones del Interés Compuesto

Ejercicio 81 (Crecimiento poblacional)

La población de un año a otro creció de 8,000 a 8,200 habitantes. Asumiendo el crecimiento a ritmo compuesto anual constante. ¿Cuál será la población de la ciudad dentro de 15 años?

Solución:

VA = 8,000; VF = 8,200; n = 1; r = ?

Calculamos el ritmo de crecimiento (i) con la fórmula [1] y la función TASA:

2º Calculamos la población dentro de 15 años: VA = 8,200

[19] VF = 8,200(1 + 0.025)15 = UM 11,876 Habitantes

Respuesta:

La población dentro de 15 años será de 11,876 habitantes

Ejercicio 82 (Valor futuro de una población)

En una reserva nacional existen a la fecha 860 monos. Poblaciones de esta magnitud crecen al ritmo del 3.5% anual. ¿Cuántos monos habrá al cabo de 25 años, estimando el ritmo de crecimiento constante?

Solución:

VA = 860; i = 0.035; n = 25; VF =?

[19] VF = 860(1.035)25 = UM 2,032 monos

Respuesta:

Al cabo de 15 años la población de monos será de 2,023

Ejercicio 83 (Valor actual de una población)

En otra reserva parecida a la anterior no existen monos. ¿Cuántos monos trasladamos en este momento para tener la población de 990 dentro de 10 años considerando el 3.5% de crecimiento anual?

Solución:

VF = 990; i = 0.035; n = 10; VA = ?

1º Calculamos el VA:

Respuesta:

Debemos trasladar 702 monos

Ejercicio 84 (Tasa de crecimiento)

En la década de 1940 - 1950 la población mundial creció de 2,249 a 2,510 millones de habitantes. Calcular el ritmo compuesto de crecimiento anual.

Solución:

VA = 2,249; VF = 2,510; n = 10 (1950 - 1940); i =?

Respuesta:

El ritmo compuesto de crecimiento anual fue de 1.10% al año.

Por:

César Aching Guzmán

Página personal:

http://es.geocities.com/cesaraching

El presente trabajo corresponde al Capítulo II de la obra de mi autoría: "MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES", que lo vengo difundiendo a través de Gestiópolis.com y Monografías.com . La revisión técnica estuvo a cargo del Ing. Jorge L. Aching Samatelo, conforman el equipo de edición:

COORDINACION GENERAL MARLENE SAMATELO VALDIVIA

DISEÑO CARATULA ANGELA BONINO VELAOCHAGA

DISEÑO Y DIAGRAMACION MARIA VICTORIA ANGULO JOHNSON

PROCESO DIGITAL CESAR ACHING SAMATELO

PAULA ENITH ACHING DIAZ

En el capítulo I, numerales 22 y 23 respectivamente, incorporamos FUNDAMENTOS MATEMATICOS y un manual de las FUNCIONES FINANCIERAS DE EXCEL utilizadas en la presente obra. El numeral 22 ha sido desarrollado por el Ing. Jorge L. Aching Samatelo.

Tanto el primer capítulo –ya publicado- como este, han sido procesados en MICROSOFT OFFICE DOCUMENT IMAGING, programa de la familia Microsoft Office con el que debe visualizarse ambos trabajos.

Interes simple y compuestoInterés simple Un bien que haya demostrado que en cada periodo produce un cierto excedente, puede esperarse que en los próximos periodos también lo producirá. Ejemplos: Rentas de fincas, casas,... En el Sistema de interés simple, solo el capital devenga intereses, es decir, los intereses no se capitalizan, no se convierten en capital para ganar intereses. Normalmente se usan en periodos de tiempo de la misma amplitud, los intereses son los mismos. Se aplica principalmente en operaciones de corto plazo. Por ejemplo, suponga que coloca un capital de Lps. 1.000 al 10% de interés simple anual durante 3 años, el cuadro siguiente muestra el comportamiento de capital e intereses en un periodo de tres años. Periodo Años Capital Inicial Intereses Periodo Monto Final 1 1.000 100 1.100 2 1.000 100 1.200 3 1.000 100 1.300

En general, si colocamos un capital P a la tasa anual de i

Intereses ganados en 1 año: P.i Intereses ganados en n año: P.i.n

I = P.i.n

Monto acumulado al final de n años = Capital + Intereses = P+P.i.n

M = P(1+i.n) Donde i es la tasa del periodo y n es el número de periodos. La tasa i y el número de periodos debe estar en la misma unidad de tiempo, es decir, si la tasa es mensual, n es el número de meses; si la tasa es trimestral, n es el número de trimestres, etc.

La fórmula M = P(1+i.n) significa que P hoy es equivalente a M dentro de n años, es decir, P y M son capitales equivalentes

De acuerdo a la cantidad de días que consideremos en el año, el interés simple se llama:  Exacto (considera los días exactos del año en curso, 365 o 366 días)  Ordinario (considera el año comercial de 360 días)

Por otro lado, el tiempo puede ser:  Tiempo real (cuenta los días exactos)  Tiempo aproximado (cuenta los meses por 30 días)

Notacion y formulas F = P + I I = P.i.n F = P(1 + i.n) i = Tanto por uno de interés del periodo P = Capital invertido (o C) I = Intereses devengados. n = Nº de periodos (duración de la operación) F = Monto final (o M) (o S)

En el sistema de interés simple el dinero crece linealmente y la pendiente de la recta es P.i. El monto o valor futuro viene representado por la altura de la recta en el tiempo n. Por lo tanto a mayor tasa mayor monto final.

Interés Compuesto Conceptos básicos En el interés compuesto los intereses que se van generando se van incrementando al capital original en periodos establecidos y a su vez van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente lapso. El interés se capitaliza.

Periodo de capitalización.- El interés puede ser convertido en Anual, semestral, trimestral y mensualmente. El periodo de capitalización (o de composición o de conversión) es el intervalo de tiempo al final del cual se añaden los intereses al capital. Por ejemplo, si el interés se capitaliza anualmente, el periodo de capitalización es el año; si el interés se compone mensualmente, el periodo de capitalización es el mes, etc… Se aplica en cualquier tipo de operación tanto a corto como a largo plazo. La equivalencia de capitales es perfecta.. Un capital P, invertido en un momento cualquiera puede crecer durante intervalos iguales a una tasa constante

Frecuencia de Conversión.- Número de veces que el interés se capitaliza durante un año (n). cuántos trimestres tiene 1 año. Ej. n? de un depósito que paga 5% capital trimest. n = 12 meses/3 meses = 4. Tasa de Interés compuesto.- Se expresa comúnmente en forma anual indicando si es necesario su periodo de capitalización. Ej. 48% anual capitalizable mensualmente. Conclusiones a) Interés compuesto es mayor que el interés simple. b) A mayor frecuencia de conversión mayor será el interés siendo igual la tasa anual nominal. Ej. un depósito que obtenga intereses mensualmente tendrá mayor rendimiento que uno que los obtenga trimestralmente.

En el sistema de interés compuesto, el capital y los intereses devengan intereses. Los intereses se capitalizan, es decir, se añaden al capital al final de cada periodo de composición. Suponga que coloca un capital de Lps. 1.000 al 10% de interés compuesto anualmente durante 3 años, el cuadro siguiente muestra el comportamiento de capital e intereses en un periodo de tres años. Periodo Años Capital Inicial Intereses Periodo Monto Final 1 1.000 100 1.100 2 1.100 110 1.210 3 1.210 121 1.331

Observe que los intereses en un mismo periodo de tiempo no son iguales, aumentan debido a que el capital aumenta al añadirle los intereses. En nuestro ejemplo, Lps.100 el primer año, Lps.110 el segundo y Lps.121 el tercer año. En general, si colocamos un capital P a interés compuesto, con tasa del periodo de capitalización igual a i, el comportamiento del capital e intereses durante n periodos es como sigue

Periodo Capital Inicial Intereses periodo Monto Final 1 P P*i P+Pi = P(1+i) 2 P(1+i) P(1+i)*i P(1+i)+P(1+i)*i = P(1+i)2 3 P(1+i)2 P(1+i)2*i P(1+i)2+P(1+i)2*i = P(1+i)3 . . . . . . . . n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1*i P(1+i)n-1+P(1+i)n-1*i = P(1+i)n

F = P(1+i)n

Donde i es la tasa del periodo de capitalización y n es el número de periodos de capitalización. La fórmula F = P(1+i)n significa que P hoy es equivalente a F dentro de n años, es decir, F y M son capitales equivalentes de acuerdo a la ley de interés compuesto Notacion y formulas

F = P(1+i)n

I = F - P

P: Valor Presente o capital Inicial F: Valor Futuro o Monto final I: Intereses i: tasa del periodo de capitalización n: nº de periodos de capitalización k: Frecuencia de la capitalización

Frecuencia de la capitalización (k): es el número de veces que se capitalizan los intereses en un año. Si tomamos como unidad de tiempo el mes, y el interés se compone mensualmente entonces k = 12; si el interés se capitaliza trimestralmente, entonces k = = 4; si el interés se convierte bimestralmente, k = = 6

¿Qué es el interés simple?

Interés es la cantidad que se paga por hacer uso de dinero solicitado (pedir un préstamo); o bien, la cantidad que se obtiene por la inversión en algún capital.

Interés simple: Cuando los intereses que se pagan no se incorporan al capital para formar un nuevo capital, el interés se denomina simple.

CASO PRACTICO

Andrea y Juan quieren comprar un comedor que tiene un costo de $25,000. En este momento pueden apartarlo con un enganche de $5,000 y pagan el resto con un documento por pagar a 6 meses aplicando una tasa de interés simple anual de 12%.

¿De cuánto es el valor final del documento?

Primero que nada se deben de identificar los datos que el problema te esta planteando y posteriormente se procede a identificar qué es lo que te esta pidiendo resolver.

Datos:

Valor inicial $25,000, pero el problema te esta diciendo que van a dar un enganche de $5,000 así que el valor inicial de la deuda será de $20,000 (Monto menos el enganche) entonces P = $20,000.

El tiempo va ser seis meses, entonces n = 6. La tasa de interés simple anual es de 12%. Si recuerdan en la nota al final de las fórmulas se les hizo la observación de que n e i tiene que ir en la misma unidad de medición. Si el interés esta mensual y el tiempo anual se tiene que hacer la conversión como es en el caso de éste problema. Nosotros ocupamos que la tasa de interés este mensual ¿Cómo lo podemos hacer? Dividendo la tasa entre el numero de meses que tiene un año 12% / 12 nos da como resultado 1% mensual y para efectos de este ejercicio requerimos de 6 meses de intereses que nos cobrará la empresa que nos brinde el crédito por el bien a adquirir.

Ya que se obtienen los datos se procede a responder la pregunta:

¿De cuánto es el Monto Final del documento?

Se analizan las diversas fórmulas que se explicaron anteriormente y se procede a elegir la que satisfaga la pregunta. En este caso lo que se busca es el Valor Final del documento. F = P (1 + (i*n))

Ya identificada la fórmula, se procede a sustituir los valores con los datos que anotamos en la primera etapa:F = $20,000 (1+(1%*6)) = $21,200

De este mismo problema se puede derivar la siguiente pregunta:

¿A cuánto asciende el monto del interés pagado?

Si analizan se pueden percatar que el ejercicio anterior ya estaban incluidos los intereses a pagar, ahora la pregunta es ¿Cuánto pagaron Andrea y Juan de intereses? Ahora la incógnita es I, el monto de los intereses volvemos al formulario se puede ver que la formula numero 9 será la más útil: I = F – P,

Sustituyendo los valores nos da como resultado:I = $21,200 - $20,000 = $1,200

Lo cual nos indica que pagaron $1,200 de intereses por la adquisición del comedor.

Haciendo una breve recapitulación del problema ¿Cuánto fue realmente lo que les costará tener el comedor? Tenemos que considerar que la pareja ya había dado un enganche de $5,000, que le financiaron $20,000 y el costo de ese financiamiento (interés) fue de $1,200, entonces lo que realmente vinieron pagando fue una suma de los tres elementos $26,200.

ANUALIDADES

1. Concepto de anualidad y aplicaciones principales. Tipos principales 2. Valuación de Anualidades Ordinarias 3.4. Construcción de una tabla de amortización de deudas 5. Reconstrucción de la tabla cuando cambia la tasa de interés

1.1 Concepto de anualidad y aplicaciones principales

Anualidad: Se aplica a problemas financieros en los que existen un conjunto de pagos iguales a intervalos de tiempo regulares.

Aplicaciones típicas:

· Amortización de préstamos en abonos.

· Deducción de la tasa de interés en una operación de pagos en abonos

· Constitución de fondos de amortización

1.2 Tipos principales de anualidades

Vamos a distinguir dos tipos de anualidades:

(a) Anualidades ordinarias o vencidas cuando el pago correspondiente a un intervalo se hace al final del mismo, por ejemplo, al final del mes.

(b) Anualidades adelantadas, cuando el pago se hace al inicio del intervalo, por ejemplo al inicio del mes.

Ambos tipos de anualidades pueden aplicarse en un contexto de certeza, en cuyo caso se les llama anualidades ciertas o en situaciones caracterizadas por la incertidumbre, en cuyo caso se les conoce como anualidades contingentes. .

Para el caso de una anualidad ordinaria de n pagos, el despliegue de los datos en la línea del

tiempo es:

Pagos de valor

R R R R R R

|________|________|________|__. . .___|________|

| 1 2 3 n-1 n

Inicio fin

y para el caso de una anualidad anticipada de n pagos:

Pagos de valor

R R R R R R

|________|________|________|__. . .___|________|

| 1 2 3 n-1 n

Inicio fin

En estos problemas se supone que el conjunto de pagos es invertido a interés compuesto hasta el fin del plazo de la operación. Esta consideración es fundamental para definir el Valor futuro o monto de una anualidad y el Valor presente de la anualidad.

1.3 Valuación de Anualidades Ordinarias

(a) Valor futuro de una anualidad ordinaria

Responde a la pregunta: ¿Cual es el monto o valor futuro de una suma de pagos iguales distribuidos de manera uniforme a lo largo del tiempo?

(a) El valor futuro de un conjunto de n pagos vencidos de valor R cada uno es:

(1.1.)

R = valor del pago regular.

i = tasa de interés para cada uno de los intervalos de tiempo en que se ha dividido el plazo completo.

n = número total de intervalos de la operación.

Ejercicios:

1. Una persona se ha propuesto depositar $ 320 mensualmente durante 2 años (24 meses) en una 3cuenta bancaria que paga el 18 % anual de interés (1.5 % mensual). ¿Cuál será la cantidad acumulada al final de los dos años considerando que el banco capitaliza mensualmente los intereses?

Aplicando (1.1):

(b) Valor presente de la anualidad.

Responde a la pregunta: ¿Cuánto vale hoy un conjunto de n pagos iguales a realizar a intervalos regulares en el futuro?

La fórmula que responde a la pregunta es:

1.2.)

Ejercicios:

4.2. Una empresa tiene en su cartera de activos 10 pagarés de $ 200 cada uno y con vencimientos mensuales consecutivos. El primero de ellos vence dentro de un mes. La empresa necesita liquidez y planea venderlos a un banco, el cual ha aceptado la transacción considerando una tasa de interés de referencia del 24%

anual (2% mensual). ¿Que cantidad recibirá la empresa si se realiza la operación? En otras palabras, ¿cuál es el valor presente de estos pagarés?

Datos: R = 200, i = 0.02, n = 10

Aplicando (1.2):

(b) El cálculo del pago regular (R)

Responde a la pregunta: ¿Cuántos pagos (o abonos) se deben hacer para alcanzar un determinado valor futuro o valor presente, según sea el caso?

Cuando conocemos el valor futuro, el pago regular se calcula como:

(1.3)

Ejercicios:

4.3 Una empresa tiene una deuda de $ 1,000,000 a pagar en un única exhibición dentro de 10 meses y desea pagar en 10 pagos mensuales iguales a fin de mes. ¿Cuál es el valor del pago mensual si la tasa de interés mensual es del 1% (12% anual)?

Datos: Valor futuro (S) = 1,000,000; i = 0.01, n = 10

Aplicando (1.3):

La deuda se paga con 10 documentos iguales mensuales de $ 95,582.08

Cuando conocemos el valor presente del problema la fórmula para encontrar el valor del pago es:

(1.4)

Ejercicios:

4.4 Una persona que tiene disponible la cantidad de $ 1,250,000 desea utilizarlos para asegurarse un ingreso fijo mensual durante los próximos tres años. Con tal propósito, deposita esa cantidad en una cuenta bancaria renovable cada 30 días y una tasa de interés mensual del 0.8% (9.6% anual). Suponiendo que se mantuviera constante la tasa de interés, ¿qué cantidad debería retirar todos los meses para que al final de los tres años la cantidad depositada inicialmente se hubiese agotado por completo?

Datos: Valor presente = 1,250,000, número de meses = 36; tasa de interés mensual = 0.8%.

Aplicando (1.4):

Si retira $ 40,099.64 cada fin de mes la cuenta bancaria se agota en 3 años.

El número de periodos en un problema de anualidades

Responde a la pregunta siguiente: ¿Cuánto tiempo se necesita para alcanzar cierto valor futuro o para agotar cierto valor presente mediante pagos regulares conocidos, dada la tasa de interés?

5

Si tenemos el valor futuro la fórmula es:

Ejemplo:

(1.5)

Un trabajador sabe que en su cuenta de AFORE se le deposita $ 1,000 cada dos meses. Este trabajador se pregunta cuantos años tendrán que pasar para que en su cuenta se haya acumulado la cantidad de $ 800,000 considerando una tasa de interés anual del 18 % (3 % e interés bimestral). La AFORE capitaliza intereses cada dos meses.

Datos: R = 1,000; i = 0.03; S = 800,000

Aplicando (1.5):

Se necesitan aproximadamente 109 bimestres, algo más de 18 años. Cuando conocemos el valor presente de la operación, , entonces el número de pagos se calcula de esta manera:

Ejemplo:

(1.6)

1.6 Una persona deposita hoy en una cuenta bancaria la suma de $ 125,000 con una tasa de interés mensual de 0.75% y piensa retirar de la cuenta $ 4,000 al final de cada mes hasta que la cuenta quede en cero. ¿Durante cuántos meses podrá hacer esos retiros?

Datos: R = 4,000; i = 0.0075, A = 125,000; n =?

Aplicando (1.6):

El inversionista podrá hacer 35 retiros completos y tendrá un excedente inferior a $ 4,000.

El cálculo de la tasa de interés.

No existe una fórmula que nos permita conocer la tasa de interés en un problema de anualidades, debido a que no es posible su despeje a partir de alguna de las fórmulas generales de anualidades.

Para n = 2, la tasa de interés es:

Para n = 3, tenemos dos soluciones:

También se encuentra una solución real bastante extensa para n = 4, pero junto con dos soluciones no reales. Para valores grandes de n, la tasa de interés debe encontrarse por prueba y error. En la actualidad existen calculadoras (y por supuesto programas de computadoras) que lo hacen rápidamente.

Ejemplos:

1.7 Una Administradora de Fondos para el Retiro le dice a un afiliado que si en los próximos cuatro años (48 meses) deposita mensualmente (al final del mes) la cantidad de $800, al término de este plazo tendrá acumulada un monto de $ 55,652.18. ¿Qué tasa de interés mensual está implícita en este cálculo?

Datos: R = 800, S48 = 55.652.18, n = 48; i =?

Resolución mediante calculadora financiera: Se introducen los datos (lo cual depende de la calculadora) y luego se pide a la calculadora que encuentre por prueba y error la tasa de interés.

La calculadora financiera TI BAII PLUS, utiliza los símbolos siguientes:

· PMT, para R á 800

· PV, para A (valor presente)

· N, para el número de periodos. á 48

· FV, para S (valor futuro) á 55652.18

· I/Y, para la tasa de interés por periodo (la calculadora encuentra que es = 0.0150 = 1.5% mensual)

4.4 Valuación de anualidades adelantadas

Cuando el pago regular se hace al principio del intervalo, las fórmulas son ligeramente diferentes:

El valor futuro de la anualidad adelantada es:

Ejercicios:

(1.7)

1.8 Hacer el cálculo del ejemplo 4.1, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.

Datos: R = 320, i = 18 % (1.5% mensual), n = 24 (meses), Sa / n = ¿?

El valor presente de una anualidad adelantada se calcula como:

(1.8)

Ejercicios:

1.9. Hacer el cálculo del ejemplo 4.2, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.

Datos: R = 200, i = 0.02, n = 10

El cálculo del pago de la anualidad se resuelve como:

(a) Cuando conocemos el valor futuro,

(1.9)

Ejercicios:


Datos: Valor futuro = 1,000,000; i = 0.01, n = 10

(b) Cuando conocemos el valor presente:

(1.10)

Ejercicios:


Datos: Valor presente = 1,250,000, número de meses = 36; tasa de interés mensual = 0.8%.

Cuando lo desconocido es el tiempo en un problema de anualidades, también tenemos dos fórmulas:

(a) Cuando conocemos el valor futuro:

(1.11)

Ejercicios:


Datos: R = 1,000; i = 0.03; S = 800,000

(b) Cuando conocemos el valor presente:

(1.12)

Ejercicios:


Datos: R = 4,000; i = 0.0075, A = 125,000; n =?

El cálculo de la tasa de interés es un problema de anualidades adelantadas. Igual que en el caso anterior, la tasa de interés no puede ser despejada matemáticamente y se debe encontrar por prueba y error. Para resolver con una calculadora financiera, se requiere indicarle a ésta que se trata de anualidades que se pagan al comienzo del intervalo.

1.5 Construcción de una tabla de amortización de deudas

Una tabla de amortización de deudas es una descripción detallada de la evolución de la deuda desde el momento inicial del crédito hasta que es pagado por completo. La descripción incluye el pago regular y su descomposición en intereses y amortización del principal.

Ejercicios:

1.14 Se vende una casa en $ 2,000,000 a pagar la mitad al contado y el resto en cinco abonos anuales vencidos de igual valor. La tasa de interés aplicable es del 8% anual.

Usamos la fórmula de anualidades vencidas para obtener el valor de los cinco pagos que se deben realizar para amortizar el préstamo. La fórmula es:

Aplicando los valores del problema:

Cinco pagos anuales de $ 250,456.455 liquidan por completo el crédito.

Construimos la tabla de amortización.

Saldo de la deuda inicial: es el valor de la deuda que falta por pagar al inicio del año indicado en la primera columna.

Pago anual: es la cantidad de dinero que se abona al final del año correspondiente para liquidar el crédito. Se calculó con la fórmula indicada.

Intereses: es igual al Saldo de la deuda inicial x tasa de interés

Amortización de Capital: es igual al pago anual menos intereses.

Saldo de la deuda final: es igual al saldo de la deuda inicial - amortización de capital. El saldo de la deuda final de un año es igual al saldo de la deuda inicial del año siguiente.

1.6 Reconstrucción de la tabla cuando cambia la tasa de interés

Cuando los créditos son a pagar en plazos muy largos, normalmente la tasa es flotante, es decir, se ajusta según alguna tasa de referencia del mercado.

¿Cómo se reconstruye la tabla cuando cambia la tasa de interés?

Se sigue el siguiente procedimiento:

1) Se determina el saldo de la deuda a partir del cual se aplica la nueva tasa de interés.

2) Se encuentra el valor del nuevo pago anual considerando el nuevo saldo de la deuda, la nueva tasa de interés y los abonos que faltan por pagar.

3) Con el valor del nuevo pago anual se hace la tabla de amortización para los abonos que restan pagar.

Ejercicios:

1.15 Supongamos que en el ejercicio anterior, después del segundo pago se eleva la tasa de interés del 8 % al 10 %.

Viendo la tabla de amortización sabemos que el saldo impago después del segundo pago es de $ 645,450.57 y faltan tres abonos por pagar.

Utilizamos la fórmula anterior y encontramos el valor del nuevo pago:

Ahora la tabla de amortización queda como sigue:

Indice

2. Problemas de Descuento3. Transformación de Tasas4. Problemas de Interés Compuesto5. Problemas de Anualidades Vencidas6. Problemas de Anualidades Anticipadas7. Problemas de Anualidades Diferidas8. Problemas de Rentas Perpetuas9. Problemas de Amortización

10. Problemas de Fondo de Amortización11. Bibliografía

1. Problemas de Interés Simple

Formulas de Interés Simple

I = C * t * i

VF =C (1 + i * t)

C =VF (1 + i * t)-1

VF = C + I

I = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa.

Calcular el interés simple comercial de:

$2.500 durante 8 meses al 8%.

C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08

I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 Respuesta

12

I =$60.000 t =63 días i =0,09

I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945 Respuesta

360

$60.000 durante 63 días al 9%.

C =12.000 t =3 meses i =0,085

I =12.000 * 3 * 0.085= $ 255 Respuesta

12

$12.000 durante 3 meses al 8½ %.

$15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. Del mismo año.

C =$15.000 i =0,10 t =167 días

I =15.000 * 0.10 * 167=$ 695,83 Respuesta

360

Calcular el interés simple comercial de:

$5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual.

C = 5.000 i = 0,0075 t =116 meses

3

3años *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses + (20dias * 1 mes)= 116 meses

1 año 30 días

I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Respuesta

Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresa de en meses por lo que debe transformarse el tiempo también a meses

$8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual.

C = $8000 t =7,5 i = 0,015

7 meses + 15 días * 1 mes =7,5 meses

30 días

I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta

Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996 a un con 41/2 %de interés. ¿En qué fecha lo pagó?

VF = 2.500,20

C =2.400

i = 0.045

t =?

VF = C (1 + i * t)

2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)

0,04175=0,045 t

t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997

Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 días. El 200de octubre del mismo maño lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?

VF =120.000(1 + 0,08 * 150) =124.000

360

124.000(1 + 0,1 * 53)-1= 122.000,93 Respuesta

360

Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagará tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?

VF = 14.000(1 + 0,08 * 3) = 14.280 Valor de vencimiento

12

VF = 14.280(1+0,1 * 70) =14.557,67 respuesta - valor de mora.

360

Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe & 19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le descontó el pagaré?

VF =VP (1+ i * t)

20.000=19.559,90 (1 + i * 90)

360

i =0, 09 è 9% Respuesta

Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año).

Vf1=20.000(1+0,08 * 9)= 21.200

12

Vf2=16.000(1+0,08 * 4)= 16.426,67

12

Deuda = 21.200 + 16.426,67

Deuda = 37.626,67

Pagos

P1 = x (1+0,08 * 6) =1,04 x

12

P2 = x

Pagos =P1 +P2

Pagos =2,04 x

Deuda = Pagos

37.626,67=2,04 x

Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno /Respuesta

Nota: En este problema como en todos los similares debe llevarse los valores de las deudas a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder efectuar operaciones sobre estos valores.

2. Problemas de Descuento

Formulas para Descuento Real

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 + d * t)-1

Las formulas son iguales a las de interés simple he aquí sus equivalencias.

i = d tanto por ciento/tasa de descuento

I = D descuento

VF =VN valor nominal

C =VP valor presente

Formulas de Descuento Comercial

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 - d * t)

Determinar el valor líquido de los pagarés, descontados en un banco a las tasas y fechas indicadas a continuación:

a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de su vencimiento.

20.000(1- 0.1 * 45)= 19.750 Respuesta

360

b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.

18.000(1-0.09 * 2)=17.730 Respuesta

12

c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el 18 de septiembre del mismo año.

14.000(1-0.08 * 95)=13.704,44 Respuesta

360

d. $10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14 de febrero del año siguiente.

10.000(1-0.1 * 86)=9.761,11 Respuesta

360

2.2. Alguien vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio de cierto año:

a. $20.00 de contado

b. Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año.

c. Un pagaré por $30.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo año.

Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de la venta.

a. 20.000 contado

b. 20.000(1-0.09 * 92)=19.540

360

360 Total =20.000 + 19.540 + 28.852,5 = $68.392,50 Respuesta

Un pagaré de $10.000 se descuentan al 10% y se reciben del banco $9.789. Calcular la fecha de vencimiento del pagaré.

10.000=9.789 (1+0.1 * t)

t = 0,21 años

0,21 años * 12 meses = 2,52 meses Respuesta

1 año

El Banco Ganadero descuenta un pagaré por $80.000 al 10%, 90 días antes de su vencimiento, 5 días después lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la utilidad del Banco Ganadero.

80.000(1-0.1 * 90)=78.000

360

80.000(1-0.09 * 75)= 78.500

360

Utilidad 78.500-78.000= 500 Respuesta

¿Qué tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700 dólares, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron 666,67 dólares netos?

700=666,67(1 + i 60)

360

i = 0.30 è 30% Respuesta

¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron 146,52 dólares, si se descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento?

146,52 = VF (1 - 0,49 * 85)

360

VF = 165,68 Respuesta.

3. Transformación de Tasas

Método de igualación

Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente

(1+ 0,18)4/12 = (1 + ntnm)12/12

3

T. nominal trimestral capitalizable mensualmente = 0, 17 è 17,01% R.

Del 24% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.

(1+ 0,24)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2

Tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente =5,6 % Respuesta.

Del 12% nominal anual capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente.

(1+ 0,12)4/4 = (1 + nsct)4/4

4 2

Tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente =0,06 è 6% R.

Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.

(1+ 0,22)2/6 = (1 + e b)6/6

Tasa efectiva bimensual = 0,06852 è 6,85% Respuesta.

Del 30% nominal bimensual capitalizable semestralmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable anualmente.

(1+ 0,30 * 3)2 = (1 + ntca)

3

Tasa nominal trimestral capitalizable anualmente = 0,6525 è 65,25% R.

Del 52% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.

(1+ 0,52)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2

Tasa nominal capitalizable semestralmente = 0,1164 è 11,54% Resp.

4. Problemas de Interés Compuesto

Formulas de Interés Compuesto:

M = C (1 + i)n

C = M (1 + i)-n

M = monto o también llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempo

Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.

i = 0,15 efectiva trimestral

n = 10 años

M = 20.000

C =?

C = 20.000 (1+ 0.15)-10(4)

4

C =4.586,75 Respuesta

¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en %7.500?

n =?

C = 2.000

i = 0,03

M =7.500

7.500 = 2.000 (1 +0,03)n

ln 15/4 = n ln 1,03

n = 44,71 años

44,71 años * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.

1 año

Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:

a. al 5% efectivo anual

M = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89 Respuesta

b. al 5% capitalizable mensualmente

M = 100 (1 + 0,05)10(12) =164,20 Respuesta

12

c. al 5% capitalizable trimestralmente

M = 100 (1 + 0,05)10(4) =164,36 Respuesta

4

30.000(1-0.09 * 153)=28.852,5

al 5% capitalizable semestralmente

M = 100 (1 + 0,05)10(2) =164,86 Respuesta

2

Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses.

VF = 20.000(1 + 0,08) 10 (4/12) = 44.300,52 Respuesta

¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente?

(1+ 0,08)4/2 = (1 + n.c.s)2/2

4 2

i =0,0808 è 8,08% Respuesta

Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $10.000 se convierten en $12.500, en 5 años.

12.500 = 10.000 (1 +i )10

2

i =0,0451 è 4,51% Respuesta

¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?

10.000=6.000 (1+ 0,08)n

n = 13,024 /2

n = 6,512 años Respuesta

¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?

M =2

C = 1

2=1(1+ i) 10

i = 7,17% sociedad maderera

--------------

M = 1(1+0,06)

4

M =1,8140 no duplico

Respuesta es más conveniente la sociedad maderera

Una inversionista ofreció comprar un pagará de $120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecido.

C = 120.000(1 + 0,08)-3

C = 95.259,87 Respuesta

Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible mensualmente.

VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89 Respuesta

VF = 20.000(1 + 0,05) 120 = 32.940,19 convertible mensualmente Resp.

12

5. Problemas de Anualidades Vencidas

Formulas de Anualidades Vencidas

F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro

i

P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ]=Valor presente

i

F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.

(a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.

F = 2.000[¨ (1 + 0, 04)17 -1] =47.395,07 valor futuro

0,04

P = 2.000[¨ 1 – (1+ 0, 04)-17 ]=24.331,34 valor presente

0,04

(b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.

F = 4.000[¨ (1 + 0, 073)6 -1] =28.830,35 valor futuro

0,073

P = 4.000[¨ 1 – (1+ 0, 073)-6 ]=18.890,85 valor presente

0,073

(c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.

F = 200[¨ (1 + 0, 0067)40 -1] =9.133,50 valor futuro

0,0067

P = 200[¨ 1 – (1+ 0, 0067)-40 ]=7.001,81 valor presente

0,0067

Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual.

i =0,09/12=0,0075

P = 1.000[¨ 1 – (1+ 0, 0075)-30 ]=26.775,08

0,0075

2.500(1+0,0075)-31=1.983,09

26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta.

¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si se carga el 12% con capitalización mensual?

i =0,12/12=0,01

P = 1.600[¨ 1 – (1+ 0, 01)-30 ]=41.292,33

0,01

2.500(1+0,01)-31=1.836,44

41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 Respuesta

Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%.

P = 8.000.000[¨ 1 – (1+ 0, 08)-10 ]=53.680.651,19 respuesta.

0,08

En el ejercicio 5.4. Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la producción.

1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 23

53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8

694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03 Respuesta

En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.

F = 1.500 [¨ (1 + 0, 08)11 -1] =24.968,23

0,08

24.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16

F = 3.000[¨ (1 + 0, 08)7 -1] =26.768,41

0,08

1.500(1 + 0,08)18= 5994,02

42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60 Respuesta

Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.

0,06 /12 =0,005 tasa mensual

F = 100[¨ (1 + 0, 005)240 -1] =46.204,09 Respuesta.

0,005

6. Problemas de Anualidades Anticipadas

Formulas de Anualidades Anticipadas

F = A [¨ (1 + i )n + 1 -1 - 1] =Valor futuro

i

P = A [¨1 + 1 – (1+ i )-n + 1]=Valor presente

i


Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de $3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente.

P = 3.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,01 )-180 + 1]= 252.464,64

0,01

Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su propiedad: (a) $400.000 de contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000, al finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?

Oferta b

P = 50.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,04 )-4]= 231.494,76 + 190.000 = 421.494,76

0,04

Oferta c

P =20.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,02 )-11]= 215.736,96

0,02

25.000(1 +0,08)-4 = 183.757,46

215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42

Respuesta = Oferta b es la más conveniente.

¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes, durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensualmente?

P =500 [¨1 + 1 – (1+ 0,0075 )-179]= 49.666,42 Respuesta.

0,0075

¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo?

2’000.000 * 0.10= 200.000

2’000.000 - 200.000 = 1’800.000

1´800.000 = A [¨ (1 + 0,06 )6 -1 - 1]

0,06

A = 301.239,17 Respuesta.

Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente.

8.000 = A [¨ (1 + 0,0075 )13 -1 - 1]

0,0075

A = 634,85 Respuesta.

Un empleado consigna $300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000?

0,08 = 0,0067

12

30.000 = 300 [¨ (1 + 0,08 )n + 1 -1 - 1]

0,08

n = 76,479 meses

7. Problemas de Anualidades Diferidas

Formulas para anualidades diferidas

Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen un periodo de gracia.

Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2.400.000. suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse.

VF = 2.400.000 [(1 + 0,08)15 - 1]

0,08

VF = 6.516.503,43 Respuesta

En el problema anterior, hállese el valor de utilidad que espera obtener, en el momento de la adquisición de los yacimientos.

VP = 2.400.000 [1 - (1 + 0,08)-15 ]

0,08

VP = 20.542.748,85

20.542.748,85 (1 + 0,08)-6 = 12.945.416 Respuesta.

Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción.

VP = 400.000 [1 - (1 + 0,06)-20 ]

0,06

VP = 4587968,487 (1 + 0,06)-5 = 3428396,90

Alguien deposita $100.000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se pague, a él o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertible mensualmente?

VF = 100.000 (1 + 0,005)120 = 181.939,67

181939,67 = 2.500 [ 1 + 1- (1 + 0,005)-n +1 ]

0,005

n = 90,13

Respuesta = 7 años 7meses

Una deuda contraída al 8% nominal, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20.000 c/u, con la primera obligación por pagar dentro de 2 años. Sustituirla por una obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagándose la primera de inmediato.

20.000 [1 + 1 - (1 + 0,04)-7 ] (1+0,04)-4 = 119.707,7136

0,04

119.707,71 = A [1 + 1 - (1 + 0,02)-23]

0,02

A = 6.204,97 Respuesta anualidades trimestrales

8. Problemas de Rentas Perpetuas

Formulas de Rentas Perpetuas

P = A

i

P = A + A

i

CC= Co + Com

i

P = perpetuidad; A = anualidad; Co = costo inicial; CC = costo capitalizado;

i = interés

Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.000, cuyo primer pago se hará dentro de 6 meses, con tasa nominal del 12% convertible mensualmente

P =5.000=500.000

0,01

M =500.000(1 + 0,01)-5 = 475.732,84 Respuesta.

Hallar el valor actual de una renta de $156.000 por año vencido, suponiendo un interés de:

a. 6% efectivo

156.000 = 2’561.576,35 Respuesta

0,06

b. 6% convertible semestralmente

156.000 = A [(1 + 0,03)2 - 1]

0,03

A = 76.847,29

P =76.847,29=2’561.576,35 Respuesta

0,03

c. 6% convertible mensualmente.

156.000 = A [(1 + 0,005)12 - 1]

0,005

A = 12.646,36

P =12.646,36=2’529.272,61 Respuesta

0,005

Los exalumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $200.000 y el mantenimiento se estima en $35.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva es del 7%.

P = 200.000 + 35.000 = 700.000 Respuesta

0,07

Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000 cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6%.

300.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1]

0,06

A = 53.218,92

P = 53.218,92 = 886.982 Respuesta

0,06

Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene una vida útil de 12 años, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo. Calcular con la tasa del 6%.

800.000 = A [(1 + 0,06)12 - 1]

0,06

A = 47.421,62

CC = 800.000 + 47421,62

0,06

CC = 1’590.360,39 Respuesta.

En el problema anterior, calcular el costo capitalizado, suponiendo un valor de salvamento igual al 15% del costo original.

800.000 * 0.15 =120.000

680.000 = A [(1 + 0,06)12 - 1]

0,06

A = 40.308,38

CC = 800.000 + 40.308,37

0,06

CC = 1’471.806,33 Respuesta

Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo de máquina, ambas de igual rendimiento. La primer oferta es por $380.000 y las maquinas tiene una vida útil de 7 años; la segunda oferta es de $510.000 por maquinas que tienen una vida útil de 10 años. Si el precio del dinero es el 6% efectivo, ¿qué oferta es más conveniente?

Primera oferta

380.000 = A [(1 + 0,06)7 - 1]

0,06

A = 45.271,30

CC = 380.000 + 45.271,30

0,06


Segunda Oferta

510.000 = A [(1 + 0,06)10 - 1]

0,06

A = 38692,66

CC = 510.000 + 38.692,66

0,06


Respuesta = El CC de la primera oferta en menor en 20.355,86

9. Problemas de Amortización



i

P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ] =Valor presente

i


Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas.

Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar el valor de estos, a la tasa efectiva del 8%, y elaborar el cuadro de amortización para los dos primeros meses.

(1+0,08)1/12 = (1+ e.m)12/12

i = 6,43 *10-3

20.000= A [ 1 - (1 + 0,0064)-12 ]

0,0064

A = 1.737,19 Respuesta

Fecha Periodo Cuota Interés Amortización Saldo

0 0 1.737,19 0 0 20.000

0 1 1.737,19 128,68 1.608,50 18.391,49

0 2 1.737,19 118,33 1.618,85 16.772,63

0 3 1.737,19 107,91 1.629,27 15.143,36

0 4 1.737,19 97,43 1.639,75 13.503,60

0 5 1.737,19 86,88 1.650,30 11.853,30

0 6 1.737,19 76,26 1.660,92 10.192,37

0 7 1.737,19 65,57 1.671,61 8.520,26

0 8 1.737,19 54,82 1.982,36 6.838,40

0 9 1.737,19 43,99 1.693,18 5.145,21

0 10 1.737,19 33,10 1.704,08 3.441,13

0 11 1.737,19 22,14 1.715,04 1.726,08

0 12 1.737,19 11,10 1.726,08 0

Una deuda de $100.000 debe cancelarse con pagos trimestrales vencidos en 18 cuotas, con interés del 12% capitalizable semestralmente. Hallar el saldo insoluto, al efectuar el noveno pago.

(1+0,12)2/4 = (1 +et)4/4

100.000 = A [ 1 - (1 + 0,029)-18 ]

0,029

A = 7.244,03 Anualidad

Para encontrar el valor del noveno pago

F = 7.244,03 [ (1 + 0,029)-9 - 1 ]

0,029

F = 73.462,00

M = 100.000 (1 + 0,029)9 = 129.979,95

73.462,00 + 129.979,95 = 56.517,95 Respuesta Saldo insoluto al noveno pago.

Una propiedad se vende en $300.000, pagaderos así; $100.000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago

300.000 – 100.000 = 200.000

200.000 = A [ 1 - (1 + 0,05)-8 ]

0,05

A = 30.944,36

F = 30.944,36 [ (1 + 0,05)-5 - 1 ]

0,05

F = 170.987,13

M = 200.000 (1 + 0,05)5 = 255.256,31

Derecho del Vendedor 255.256,31 -170.987,13 = 84.269,17

D. comprador + 84.269,17 = 300.000

D comprador = 215.730.83

¿Con cuantos pagos semestrales iguales y vencidos de $9.500 se pagaría la adquisición de un terreno que cuesta $29.540 si se carga una tasa anual de 34% convertible mensualmente?

Conversión de la tasa

(1 +0,34)6 = (1 +i.s.)

12

Interés semestral = 0,1825

29.540 = 9.500 [ 1 - (1 + 0,1825)-n ]

0,1825

ln 0,4325 = - n ln(1,1825)

-0,838 = -n (0,1676)

n = 5 pagos semestrales Respuesta

Determine el número de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra a crédito de un automóvil que cuesta $48.000 y se vende con un enganche de 45% y el resto a pagar en mensualidades vencidas de $1.254,75 con interés al 39% convertible mensualmente.

Enganche 21.600

Quedan 26.400

i = 0,39

12

i = 0,0325

26.400 = 1254,75 [ 1 - (1 + 0,0325)-n ]

0,0325

n = 36 mensualidades Respuesta

Una aspiradora se vende en $499 al contado o mediante 4 pagos mensuales anticipados de $135 ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese aparato a crédito?

499 = 135 [1 + 1 – (1 + i)-3]

i

2,69 = 1 – (1 + i)-3

i

Interpolación

0,06 – 0,05 = 0,06 – i

2,6730 – 2,7232 2,6730 – 2,69

0,00017 = 0.06 – i

0,0502

i = 0,05661

i = 5,66 % Respuesta

10. Problemas de Fondo de Amortización



P = A [¨ 1 – (1+ i )-n] =Valor presente

i


Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas.

Se establece un fondo de $5.000 semestrales que abona el 6% capitalizable semestralmente. Hallar el valor acumulado en 5 años y elaborar el cuadro del fondo.

0,06 = 0,03

2

F = 5.000 [¨ (1 + 0,03 )10 -1] =57.319,39

0,03

Fecha Periodo Cuota Interés Valor agregado al fondo

Saldo

0 0 0 0 0 0

0 1 5.000 0 5.000 5.000

0 2 5.000 150 5.150 10.150

0 3 5.000 304,5 5.304,5 15.454,5

0 4 5.000 463,63 5.463,63 20.918,13

0 5 5.000 627,54 5.627,54 26.545,67

0 6 5.000 796,37 5.796,37 32.342,04

0 7 5.000 970,26 5.970,26 38.312,31

0 8 5.000 1.149,36 6.149,36 44.461,68

0 9 5.000 1.333,85 6.333,85 50.795,53

0 10 5.000 1.523,86 6.523,86 57.319,39

Un artesano necesita remplazar cada 5 años todas sus herramientas, cuyo valor es de $10.000. ¿Qué deposito mensual debe hacer en una cuenta de ahorros que abona el 8%, capitalizable trimestralmente?

(1 + 0,08)4/12= (1 + e.m)12/12

4

Tasa efectiva mensual = 6,622 * 10-3

10.000 = A [(1 + 6,622 * 10-3)2 - 1]

6,622 * 10-3

A = 136,28 Respuesta

Para cancelar una deuda de $80.000 a 5 años plazos, se establecen reservas anuales en un fondo que abona el 6%; transcurridos dos años eleva sus intereses al 7%. Hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo

80.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1]

0,06

A = 14.191,71 Primeros dos años

F = 14.191,71 [¨ (1 + 0,06)2 -1] = 29.234,92

0,06

M = 29234,92 (1+ 0,07)3 = 35.814,04

44.185,95 = A [(1 + 0,07)3 - 1]

0,07

A = 13.744,11 Los 3 últimos años.


Saldo

0 0 0 0 0 0

0 1 14.191,71 0 14.191,71 14.191,71

0 2 14.191,71 851,502 15.043,21 29.234.92

0 3 13.744,11 2.046,44 15.790,56 45.025,48

0 4 13.744,11 3.151,78 16.895,89 61.921,38

0 5 13.744,11 4.334,49 18.078,61 80.000

Un municipio emite obligaciones a 10 años de plazo por $2.000.000 que devengan el 8% de interés. ¿Qué depósitos anuales debe hacer en un fondo que abona el 6% y que egreso anual tendrá el municipio hasta el pago de la deuda?

2.000.000 * 0,08 = 160.000

2.000.000 = A [¨ (1 + 0,06)10 -1]

0,06

A = 151.735,92 depósitos anuales

151.735,92 + 160.000 = 311735,92 Respuesta total egreso anual

Hallar la reserva anual en un fondo que paga el 7% de interés, para cancelar en 25 años una deuda de $100.000.

100.000 = A [¨ (1 + 0,07)25 -1]

0,07

A = 1.518,05 depósitos anuales

Se deben pagar $29.000 dentro de 12 meses por una deuda con anterioridad. Si para pagarla se decide constituir un fondo mediante depósitos bimestrales vencidos ¿cuál sería el importante de los mismos si se colocan en un instrumento de inversión que rinde el 26% convertible mensualmente?

(1 + 0,26)12/6 = (1 + i. bimestral)6/6

12

i = 0,04380

29.000 = A [¨ (1 + 0,04380)6 -1]

0,04380


Para pagar una deuda de $5.400 que vence dentro de 5 meses se va a construir un fondo mediante depósitos mensuales anticipados. Si los depósitos se colocan en un fondo de inversiones que rinde el 32% anual convertible mensualmente, hallar su importe.

i = 0,32

12

i = 0,0266

5.400= A [¨ (1 + 0,0266)6 -1 - 1]

0,0266


Haga una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $15.000 contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés al 12% trimestral capitalizable mensualmente si se decide constituir un fondo mediante depósitos quincenales vencidos en una cuenta de inversiones que rinde el 2,7% mensual efectivo.

(1 + 0,027)12/24 = (1 +e. q.)24/24

Efectiva quincenal = 0,0134

16.872,96 = A [¨ (1 + 0,0134)6 -1]

0,0134



Saldo

0 0 0 0 0 0

0 1 2.719,34 0 2.719,34 2.719,34

0 2 2.719,34 36,46 2.755,81 5.475.16

0 3 2.719,34 73,42 2.792,76 8267,92

0 4 2.719,34 110,87 2.830,22 11.098,14

0 5 2.719,34 148,82 2.868,17 13.966,32

0 6 2.719,34 187,28 2.906,63 16.872,96

¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos mensuales anticipados que se colocan en un fondo de inversión que rinde el 28,4% convertible mensualmente con el objeto de amortizar una deuda de $8.888,89 que vence exactamente dentro de 8 meses?

8.888,89 =A [¨ (1 + 0,02375)9 -1 - 1]

0,02375

A = 998,29 Respuesta

11. Bibliografía

Alfredo Díaz Mata – Víctor Manuel Aguilera G. Matemáticas Financiera. Segunda Edición. Editorial Mc. Graw Hill. Ejercicios Propuestos. 1.998

Lincoyan Protus G. Matemáticas Financiera. Cuarta Edición. Editorial Mc Graw Hill. Cuarta Edición. Ejercicios Propuestos. 1.997

Indice1. Introducción

3. Bonos de EEUU4. El mercado español de deuda pública 5. Términos

1. Introducción

Antes de entrar a definir los diferentes tipos de bonos que hay, definamos primero que es un bono.Un bono es una obligación financiera contraída por el inversionista; otra definición para un bono es un certificado de deuda osea una promesa de pago futura documentada en un papel y que determina el monto, plazo, moneda y secuencia de pagos.Cuando un inversionista compra un bono, le esta prestando su dinero ya sea a un gobierno, a un ente territorial, a una agencia del estado, a una corporación o compañía, o simplemente al prestamista.En retorno a este préstamo el emisor promete pagarle al inversionista unos intereses durante la vida del bono para que el capital sea reinvertido a dicha tasa cuando llega a la maduración o vencimiento.

¿ Por que invertir en bonos?Muchos de los asesores financieros recomiendan a los inversionistas tener un portafolio diversificado constituido en bonos, acciones y fondos entre otros. Debido a que los bonos tienen un flujo predecible de dinero y se conoce el valor de este al final( lo que le van a entregar al inversionista al final de la inversión), mucha gente invierte en ellos para preservar el capital e incrementarlo o recibir ingresos por intereses, además las personas que buscan ahorrar para el futuro de sus hijos, su educación , para estrenar casa, para incrementar el valor de su

pensión u otra cantidad de razones que tengan un objetivo financiero, invertir en bonos puede ayudarlo a conseguir sus objetivos.

Claves para escoger el Bono que más le convieneHay muchas variables que considerar para tomar la decisión de invertir en determinado tipo de bonos: su maduración, contratos, pago de los intereses, calidad del crédito, la tasa de interés, precio, yield , tasas tributarias e impuestos, etc.Todos estos puntos ayudan a un inversionista a determinar el tipo de bono que puede colmar sus expectativas y el grado de inversión que se desea obtener de acuerdo con los objetivos buscados.

La tasa de interés:Los intereses que pagan los bonos pueden ser fijos o variable ( unidos a un índice como la DTF, LIBOR, etc.). El periodo de tiempo para su pago también es diferente, pueden ser pagaderos mensualmente, trimestralmente, semestralmente o anualmente, siendo estas las formas de pago más comunes.( Cabe anotar que los intereses en la gran mayoría de los países son pagados a su vencimiento, en Colombia existe esta modalidad y la de pagar los intereses anticipadamente; la diferencia entre una y otra es que en los bonos con intereses vencidos le van a entregar el capital más los intereses al final y en la modalidad anticipada los intereses son pagados al principio).

Maduración:La maduración de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será pagado. La maduración de los bonos maneja un rango entre un día a treinta años.Los rangos de maduración a menudo son descritos de la siguiente manera:

1. Corto plazo: maduración hasta los cinco años. 2. Plazo intermedio: maduración desde los cinco años hasta los doce años. 3. Largo plazo: maduración de doce años en adelante.

Bonos con contratos:Cuando la maduración de un bono es una buena guía de cuanto tiempo el bono será extraordinario para el portafolio de un inversionista, ciertos bonos tienen estructuras que pueden cambiar substancialmente la vida esperada del inversionista. En estos contrato se pueden efectuar las llamadas call provisions, en las cuales permiten al emisor reembolsar cierto dinero al principal del inversionista a una fecha determinada. Las operaciones de call para los bonos se usan cuando las tasas de interés han caído dramáticamente desde su emisión( también son llamadas call risk). Antes de invertir en un bono pregunte si hay una call provision, y si la hay asegures de recibir el yield to call y el yield a la maduración. Los bonos con provisiones de redención por lo general tienen un mayor retorno anual que compensan el riesgo del bono a ser llamado prontamente.Por otra parte las operaciones put, le permiten al inversionista exigirle al emisorrecomprar el bono en una fecha determinada antes de la maduración. Esto lo hacen los inversionistas cuando necesitan liquidez o cuando las tasas de interés han subido desde la emisión y reinvertirse a tasas mas altas.

Calidad del crédito:Se refiere al grado de inversión que tengan los bonos así como su calificación para la inversión. Estas calificaciones van desde AAA ( que es la mas alta) hasta BBB y así sucesivamente determinando la calidad del emisor.

Precio:El precio que se paga por u bono esta basado en un conjunto de variables, incluyendo tasas de interés, oferta y demanda, calidad del crédito, maduración e impuestos. Los bonos recién emitidos por lo general se transan a un precio muy cerca de su valor facial ( al que salió al mercado). Los bonos en el mercado secundario fluctúan respecto a los cambios en las tasas de interés ( recordemos que la relación entre precio y tasas es inversa).

Yield:La tasa yield es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio que se pago y el pago de intereses que se reciben. Hay básicamente dos tipos de yield para los bonos: yield ordinario y yield de maduración.El yield ordinario es el retorno anual del dinero pagado por el bono y se obtiene de dividir el pago de los intereses del bono y su precio de compra. Si por ejemplo usted compro un bono en $ 1.000 y los intereses son del 8 % ( $ 80 ), el yield ordinario será de 8 % ( $ 80 / $ 1.000); veamos otro ejemplo, si compró un bono a $ 900 y la tasa de interés es del 8 % ( $ 80) entonces el yield ordinario será de 8.89 % ($ 80/$900).El yield de la maduración, que es mas significativo ,es el retorno total que se obtiene por tener el bono hasta su maduración . permite comparar bonos con diferentes cupones y maduraciones e iguala todos los intereses que se reciben desde la compra más las ganancias o perdidas.

Tasas tributarias e impuestos.Algunos bonos presentan más ventajas tributarias que otros, algunos presentan los intereses libres de impuestos y otros no. Un asesor financiero le puede mostrar los beneficios de cada bono, así como de las regulaciones existentes para cada caso.

La relación entre las tasas e interés y la inflaciónComo inversionista debe conocer como los precios de los bonos se conectan directamente con los ciclos económicos y la inflación. Como una regla general , el mercado de bonos y la economía en general se benefician de tasas de crecimiento continuo y sostenible. Pero hay que tener en cuenta que este crecimiento podría llevar a crecimientos en la inflación, que encarece los costos de los bienes y servicios y conduce además a un alza en las tasas de interés y repercute en el valor de los bonos. El alza en las tasas de interés presiona los precios de los bonos a la baja y es por esto que el mercado de bonos reaccionan negativamente.

Como invertir en bonosHay muchas maneras de realizar una inversión en bonos. Las mas comunes son comprar bonos individualmente y entrar a fondos de bonos.Hay una enorme cantidad de bonos para escoger y encontrar aquel que colme sus expectativas y sus necesidades. La mayoría de los bonos son negociados en el mercado sobre el mostrador u OTC y en cada una de las bolsas del mundo.

Si planea invertir en un bono primario , su asesor le explicará los pasos a seguir y los riesgos que tiene ese bono y sus términos y condiciones. Si quiere comprar o vender un bono en el mercado secundario muchos corredores mantienen una lista de bonos con diferentes características que le pueden interesar.Cada firma cobra una comisión por las operaciones en bolsa, estas comisiones son establecidas por cada firma y pueden variar de acuerdo al monto de la transacción, el tipo de bono y la cantidad de negocios que uno le de a la firma.Los fondos de bonos ofrecen una selección y un manejo profesional del portafolio y le permiten al inversionista diversificar el riesgo de su inversión.Estos fondos no tienen una fecha especifica de maduración de la inversión debido a las condiciones del mercado y la compra venta de bonos para establecer el portafolio y como resultado de estas operaciones el valor de los fondos fluctuara diariamente mostrando el valor d los bonos del portafolio.

Estrategias fundamentales para invertir en bonosExisten varias técnicas que como inversionista puede tomar en cuenta para lograr sus objetivos y cumplir sus metas

La diversificación del portafolio:La diversificación le puede brindar cierto grado de seguridad a su portafolio en la manera en que si una parte de su portafolio esta bajando su rentabilidad la otra parte puede estar incrementándola logrando mantener un equilibrio.

Escalando:Esto es comprar bonos de varias maduraciones. Al comprar bonos de diferente maduración , se esta reduciendo la sensibilidad del portafolio ante riesgos en las tasas de interés .

BarbellEsta estrategia envuelve invertir en securities de mayor maduración para limitar el riesgo ante fluctuacion en los precios. A diferencia de la estrategia escalando, los bonos tendrán maduraciones en los dos extremos, largo plazo y corto plazo.

Bond SwapLa venta de un título y la compra de otro ya sea para cambiar maduración, tasa u otros objetivos dentro del portafolio.

2. Tipos De Bonos

Existen diversos tipos de bonos. Estos se pueden diferenciar:

a. en función del emisor b.c. en función de la estructura d. en función del mercado donde fueron colocados

a. Los bonos emitidos por el gobierno nacional, a los cuales se denomina deuda soberana.Los bonos emitidos por las provincias o bonos provinciales, por municipios, y por otros entes públicos.Y por último existen los bonos emitidos por entidades financieras y los bonos

corporativos (emitidos por las empresas), a los cuales se denomina deuda privada.

b. En función de quién es su emisor:

Bonos a tasa fija: la tasa de interés está prefijada y es igual para toda la vida del bono.Bonos con tasa variable (floating rate): la tasa de interés que paga en cada cupón es distinta ya que está indexada con relación a una tasa de interés de referencia como puede ser la Libor. También pueden ser bonos indexados con relación a un activo financiero determinado (por ejemplo un bono estadounidense).Bonos cupón cero: no existen pagos periódicos, por lo que el capital se paga al vencimiento y no pagan intereses. Se venden con una tasa de descuento.Bonos con opciones incorporadas: Son bonos que incluyen opciones especiales como pueden ser:Bonos rescatables ( " callable"): Incluye la opción para el emisor de solicitar la recompra del bono en una fecha y precios determinados. Algunos bonos pueden ser rescatables si las condiciones macroeconómicas / impositivas en las que fueron emitidos cambiasen, por lo tanto el emisor puede recomprarlos a un precio establecido.Bonos con opción de venta ("put option"): Incluye la opción para el inversor de vender el bono al emisor en una fecha y precios determinados.Bonos canjeables: Estos bonos son un producto intermedio entre las acciones y los bonos. Son un producto anfibio porque vive dos vidas, una en la renta fija y otra si se desea en la renta variable. La sociedad lanza una emisión de bonos con una rentabilidad fija, y establece la posibilidad de convertir el dinero de esos bonos en acciones. Estos canjes suelen tener descuento respecto al precio de las acciones en el mercado. A diferencia de los bonos convertibles, en los canjeables los bonos se cambian por acciones viejas, es decir ya en circulación y con todos los derechos económicos.Bonos convertibles: Son idénticos a los canjeables, salvo que en este caso la empresa entrega acciones. Es un bono más una opción que le permite al tenedor canjearlo por acciones de la empresa emisora en fecha y precio determinado. También hay bonos soberanos que son convertibles en otros bonos . Bonos convertibles: bonos con warrants: Es un bono más una opción para comprar una determinada cantidad de acciones nuevas a un precio dado. También hay bonos soberanos que tienen warrants por los que puede comprar otro bono.Bonos con garantías: son bonos que tienen algún tipo de garantía sobre el capital y/o intereses. La garantía puede ser:Un bono soberano de un país con mínimo riesgo (como por ejemplo son los Bonos Brady Par y Discount que tienen como garantía bonos del tesoro estadounidense)Algún organismo internacional (ej.: Banco Mundial)Garantía hipotecaria: es un bono cuyo repago se encuentra garantizado por una cartera de créditos hipotecarios

Otros tipos de garantía: exportaciones, prendas, activos.Bonos corporativos: Son los bonos emitidos por las empresasBonos escriturales: Son aquellos bonos en los que no tienen láminas físicas, sino que existen sólo como registros de una entidad especializada, la que se encarga de los distintos pagos. De todas formas aunque la lámina (y por lo tanto los cupones) no existan físicamente, igualmente se utiliza la palabra "cupones" para definir los distintos pagos que realiza el bono.

c. En función a su estructura: d. Por último, los bonos se diferencian en función del lugar donde los bonos

fueron vendidos:

Mercado internacional: son bonos emitidos en una moneda determinada pero colocados fuera del país emisor. Existen los Eurobonos, también hay bonos Samurai (es un título emitido en yenes y colocado en Japón por una institución no residente en dicho país), y bonos Yankees (es un título de deuda en dólares colocado en USA por una entidad no residente en dicho país).Bonos bolsa: Se trata de un producto novedoso en España. Con estos bonos el inversor apuesta por la subida de la bolsa o de un sector concreto. Con estos bonos el inversor no puede perder dinero, su capital está garantizado; si la bolsa sube ganará, pero si baja no pierde el dinero. Esto se consigue con la combinación de la renta fija y los productos derivados.Bonos matador: Estos bonos los emiten organismos supranacionales o empresas multinacionales. Son bonos para el inversor extranjero, y se denominan matador, torero, como seña distintiva de que son españoles. Estos inversores para captar dinero optan por la moneda española y sus tipos de interés. Supone diversificar su deuda y así eligen captar sus recursos en pesetas. El emisor no sólo paga los intereses sino que corre el riesgo de la fluctuación de la cotización de la peseta respecto de la propia moneda.Bonos Samurai: Son iguales que los bonos matador pero en este caso, se emiten en yenes. Los bonos samurai son títulos en yenes que emiten en el mercado financiero nipón los gobiernos o empresas de todos los orígenes excepto de Japón, y que son colocados por un prestatario extranjero (generalmente un banco internacional) entre inversores japoneses.Bonos titulizados: Esto bonos son una novedad en nuestro país, y actualmente sólo son hipotecarios, su garantía esta en hipotecas. Consisten en que un banco o una aja de ahorros convierten una serie de créditos hipotecarios homogéneos en una emisión de bonos. De este modo el prestatario de la hipoteca esta pagando los intereses de los tenedores de los bonos así como devolviéndoles el capital invertido. Estos bonos son muy conocidos en Estados Unidos donde la desintermediación entre bancos y cajas de ahorros es muy frecuente.

Bonos BasuraLos bonos de baja calificación son formalmente denominados de alto rendimiento (high yield), pero en la jerga financiera mundial se los conoce menos piadosamente como "bonos basura" (junk bonds).Los bonos basura llevan ese nombre despectivo porque su nivel de riesgo sobrepasa todos los límites de una inversión común y corriente. En contrapartida suelen tener un rendimiento elevado, por encima del promedio del mercado. Por eso la tentación de buenas

ganancias hay que temperarla con la capacidad de enfrentar riesgos que le pondrían los pelos de punta a cualquiera.Se trata básicamente de instrumentos emitidos por corporaciones o países que, debido al poco crédito del que gozan entre los inversionistas, tienen que pagar un cupón o interés muy alto para tornarse atractivos, para que la gente quiera comprarlos.Básicamente, los bonos basura son valores que han recibido una baja nota de las calificadoras de riesgo ("BB" o inferior) y no alcanzan la categoría de "grado de inversión" o Investment grade.

Más riesgo, más rendimientoAdquirir esos bonos puede resultar atractivo porque su rendimiento es mucho mayor al de sus hermanos mayores, pero el riesgo de que la empresa se vaya a pique o el país entre en moratoria de pagos es también alto.Las empresas que caen en este subgrupo son las más nuevas y poco conocidas, o aquellas que tienen una mala reputación en términos de solidez crediticia.También hay una tercera categoría: los "ángeles caídos" o "fallen angels", bonos de empresas que conocieron mejores tiempos en los que gozaban del grado de inversión, pero que ahora las calificadoras les han bajado la nota y deben pagar más caro el dinero. Han caído del paraíso financiero al cesto de los bonos basura."Alto Rendimiento" suena mejor que "basura"Desde ya que las calificadoras, como Moody's y Standard & Poors, por ejemplo, se cuidan mucho de usar el término "bono basura", cuya connotación peyorativa no escapa a nadie. Como decíamos, oficialmente se habla de bonos de "alto rendimiento".Buena parte de la deuda de los países emergentes también cae en esa categoría: para financiarse, los países emiten bonos. Si son países con escaso grado de confiabilidad financiera, como ocurre con la gran mayoría de los de América Latina, esos bonos deberán pagar una tasa más alta.

El riesgo país golpea a las empresasEn el caso de los países es peor, porque el denominado "riesgo país" salpica a sus empresas. O sea que si una firma de un país latinoamericano quiere fondearse en el exterior y emite bonos, esos bonos tendrán como techo la misma calificación que tiene el país. En otras palabras: si se creó una empresa muy sólida en Venezuela y Moody's le puso nota BB o menos a la calificación de país, su empresa nunca podrá tener mejor nota que eso y también tendrá que pagar caro por el dinero, independientemente del buen nivel de gestión que pueda tener.

Bonos YankeesSon emitidos por los gobiernos y registrados generalmente en la Bolsa de New York y en algunas bolsas de Europa y Asia ( Emisión Global). Todas las emisiones son reguladas por la Securities and Exchange Comission en Estados Unidos. Los Bonos Yankees se emiten bajo la legislación norteamericana para ser distribuidos entre los inversionistas con operaciones en ese país. A su vez , una emisión global cumple con las legislaciones de los países en los cuales fueron inscritos para ser negociados. La denominación de estos títulos es en dólares, no tienen amortizaciones intermedias, lo que equivale a un pago único del capital al vencimiento del título. Algunos tienen opción de compra PUT.

Los intereses son tasa fija, algunos mediante cupones pagaderos semestre vencido y otros año vencido. El administrador de estos títulos en Colombia es el ministerio de Hacienda.Estas emisiones tienen una calificación de BBB, otorgada por la DUFF & PHELPS. BBB se encuentra entre las calificaciones con grado de inversión e indica una capacidad aceptable de repagar capital e intereses. Otra característica es que no serán redimibles antes de su vencimiento, excepto los que tienen opción de compra PUT. Los bonos son títulos al portador, de libre negociación y su propiedad es transferible mediante entrega del título.Las exenciones de impuestos para estos títulos figuran en el artículo 218 del estatuto tributario.

3. Bonos de EEUU

Corporate Bonds.Son obligaciones de deuda emitidos por corporaciones publicas o privadas. Usualmente son emitidos en múltiplos de us$1000 y/o us$5000. Los intereses son con pagos semianuales y además estos intereses son gravados.El mercado de Corporate Bonds es grande y líquido; se transan alrededor de us$ 10 billones por día. El valor total del mercado de estos bonos a 1999 era aproximadamente de us$ 3 tillones y las emisiones de us $ 677 billones .

Source: Thomson Financial Securities DataEn realidad existen dos mercados para comprar y vender Corporate Bonds. Uno es el NEW YORK STOCK EXCHANGE, y el otro es el mercado sobre el mostrador en donde es transado el mayor volumen de estos bonos

Source: The Bond Market Association estimates; Federal Reserve SystemLos inversionistas en los bonos corporativos incluyen a grandes instituciones, como los fondos de pensiones, fundaciones, fondos mutuos, compañías de seguros, bancos, etc.Los beneficios de invertir en Corporate Bonds.

Yield atractivo.Los bonos corporativos por lo general ofrecen un yield más alto comparado con los bonos del gobierno, pero este yield también va acompañado de mayores riesgos.

Ingresos seguros.La gente que desea ingresos fijos de sus inversiones preservando su capital, incluyen estos bonos en su portafolio.

Seguridad.Estos bonos cuentan con buena calificación .

Diversidad.Los bonos corporativos dan la oportunidad para escoger entre muchos sectores, estructuras y calidades de crédito, que ayudan a lograr las metas de inversión trazadas.

Liquidez.Si necesita vender un bono antes de la maduración es fácil de hacer debido al tamaño del mercado y su liquidez.

Tipos de emisoresLos principales emisores de estos bonos son:

1. Servicios públicos 2. Compañías de transporte 3. Compañías industriales 4. Compañías de servicios financieros 5. Conglomerados

Los Corporate Bonds por lo general están divididos en:Corto plazo: maduración entre 1 a 4 años.Medio plazo: maduración entre 5 y 12 años.Largo plazo: maduración de 12 años en adelante.Como todos los bonos , estos bonos tienden a incrementar su valor cuando las tasas de interés caen, y caen cuando las tasas de interés aumentan.

Fondos de BonosAlgunos inversionistas que desean cosechar buenos ingresos con los bonos corporativos compran partes en un fondo mutuo en vez de un bono individual. Esto lo hacen con el fin de diversificar su inversión, buscar un manejo profesional del portafolio, una inversión mínima y reinversión de los rendimientos.Los administradores de estos fondos diversifican el riesgo de estos fondos con varios emisores ,de diferentes calificaciones, cupones, maduraciones, etc.

Municipal Bonds.Son obligaciones de deuda emitidas por los estados , ciudades, países y otros entes gubernamentales para captar dinero con el fin de hacer obras sociales y proyectos. Todos los municipal Bonds ofrecen ingresos exentos de impuestos federales y estatales. Por esta exención son muy populares a la hora de invertir incluyen otros beneficios .

Beneficios de los municipal Bonds.Ingresos libres de tasas federales y estatales.Alto grado de seguridad con pago de intereses y repago del capitalIngresos predecibles rango de alternativas que se acomodan a los objetivos de cada inversionista.Liquidez en caso de vender antes de la maduración.Seguridad de los Municipal BondsLos emisores de estos bonos tienen un historial formidable respecto al pago de sus obligaciones, además gozan de una excelente calificación ( por lo general BBB) y son considerados de grado de inversión.

Presentaciones especialesMunicipal Bonds asegurados.Esto es para reducir el riesgo de la inversión. En el evento de un incumplimiento por parte del emisor, una compañía de seguros garantiza el pago tanto de los intereses como del principal.

Bonos con tasas flotantes y variables.Estos se hacen atractivos en un ambiente de tasas de interés crecientes.Bonos con cero cupón, interés compuesto.Son emitidos con un descuento del valor de maduración y no tienen pagos periódicos de intereses.

Riesgos del mercadoCuando se va a vender un municipal bond, se vende al precio que estos tengan en el mercado el cual puede ser mayor o inferior al precio de adquisición. Los precios de los bonos cambian ante las fluctuaciones en las tasas de interés. Así cuando las tasas caen las nuevas emisiones tendrán yield más bajos que los bonos más viejos haciendo que estos valgan más. Por otra parte cuando las tasas se incrementan las emisiones nuevas van a tener un yield mayor a los bonos mas viejos y estos van a tener un menor valor, cayendo el precio.

4. El mercado español de deuda pública

Instrumentos de deuda del estadoEl Tesoro emite dos tipos principales de valores negociables, ambos registrados como anotaciones en cuenta:Letras del Tesoro: Creadas en 1987, las letras son valores emitidos al descuento con un valor nominal de 1 millón de ptas., con vencimientos de 3, 6 y 12 meses. Sin embargo, sólo las letras a 12 meses se emiten regularmente mediante subastas - en miércoles alternativos - de acuerdo con un calendario preestablecido.Bonos y Obligaciones del Estado: los Bonos y las Obligaciones son valores con interés fijo, con un único vencimiento a 3, 5, 10 y 15 años y con un valor nominal de 10.000 ptas. Su único elemento diferencial es el plazo de vida. Los Bonos se emiten a 3 y 5 años, mientras que las Obligaciones se emiten a 10 y 15 años. Los cupones son anuales. Se emiten a través de subastas competitivas que tienen lugar mensualmente, el primer martes de cada mes (Bonos a 3 y 10 años) y el miércoles siguiente (Bonos a 5 y 15 años).DEUDA EN CIRCULACIÓN AL FINAL DE CADA PERÍODO(mm. ptas.)

AÑO LETRAS BONOS OTROSDEUDA EN DIVISAS

BANCO DE ESPAÑA*

TOTAL

1992 9536 8016 1452 1575 921 21500

1993 9700 14331 1434 2423 -1284 26606

1994 11642 15728 1857 2862 -25 32064

1995 11748 19405 2503 3223 -278 36601

* Recoge el saldo neto de activos y pasivos del Estado Central frente al Banco de España

Procedimiento de emisiónCalendario de subastasTodos los valores negociables se emiten a través de subastas competitivas y el Tesoro publica un calendario de subastas al principio de cada año. Cada emisión de Bonos y Obligaciones se vende en subastas sucesivas hasta asegurar un tamaño mínimo de al menos 800 mm. ptas.

Participantes en las subastasTodos los inversores -residentes y no residentes- pueden participar en las subastas, bien presentando sus ofertas directamente al Banco de España, bien a través de un miembro del mercado. No hay límites ni de cantidad ni de número de ofertas presentadas. Los miembros del mercado deben presentar sus ofertas antes de las 10:30h. del día de la subasta. Las ofertas presentadas en el Banco de España directamente por quienes no son miembros del mercado deben ser recibidas con dos días de antelación.Las ofertas pueden ser competitivas o no competitivas. Estas últimas son aquéllas en las que no se especifica precio y sólo pueden alcanzar una cuantía máxima por peticionario de 25 millones de ptas.

Volumen a emitirEl Tesoro anuncia antes de las subastas mensuales de Bonos y Obligaciones una "cantidad esperada a emitir" -que es una estimación y no un mínimo- y una "cantidad máxima de emisión" -que sí es un compromiso estricto- para cada uno de los dos días de subasta; es decir, para el Bono a 3 años y la Obligación a 10 años del martes y para el Bono a 5 años y la Obligación a 15 años del miércoles.El jueves de la semana anterior a la de la celebración de las subastas, el Tesoro se reúne con el grupo de Creadores de Mercado para conocer su opinión sobre el estado del mercado y sobre las dos cantidades arriba mencionadas. Concluida la reunión, de manera interna y sin conocimiento de los Creadores, el Tesoro determina, tomando en consideración las opiniones expuestas en la reunión y la política de financiación del Estado, el "importe esperado de emisión" y el "importe máximo a emitir". Al día siguiente, viernes, y antes de las 10 horas, el Tesoro y el Banco de España dan a conocer a todo el mercado, mediante los sistemas habituales de comunicación -Reuters , Telerate y Knight-Ridder-, las cantidades fijadas para el martes y para el miércoles.Como complemento a este mecanismo, para reducir los posibles riesgos derivados de las subastas, el Tesoro ha asumido el compromiso de no dejar desierta ninguna subasta de Bonos y Obligaciones.

Resolución de las subastasLas subastas se llevan a cabo mediante un sistema holandés modificado, como el que se describe a continuación.A la vista de las peticiones recibidas y tomando en consideración los importes anunciados, el Director General del Tesoro decide el precio marginal de la subasta y el volumen a emitir.Si el volumen total de peticiones al precio marginal o superior resulta ser mayor al que el Tesoro desea emitir o al anunciado como máximo previamente, las peticiones al precio marginal se reducen mediante un prorrateo.

El precio a pagar por los valores se determina como sigue:En primer lugar, se calcula el precio medio ponderado de las ofertas competitivas definitivamente aceptadas.Conocido éste, todos los valores adjudicados a ofertas competitivas formuladas a precio inferior al precio medio ponderado se adquieren al precio formulado en la oferta. Los restantes valores adjudicados se adquieren al precio medio ponderado.El Tesoro publica el resultado de la subasta a las 11:30h del mismo día a través de Reuters (páginas KSPT y KSPU), Telerate (página 38494) y Knight-Ridder (página 3275). También el Banco de España lo publica vía Reuters (páginas BANCN, BANCO, BANCS Y BANCT) y Telerate (páginas 20656 - 20657 y 20660 - 20661)Las letras del Tesoro se pagan y se ponen en circulación dos días hábiles después de la subasta. Los Bonos y Obligaciones del Estado se pagan y se ponen en circulación el día 15 del mes en que se subastan para facilitar la entrega en la fecha de liquidación del mercado de futuros.

Negociación y depósito de valoresCualquier persona física o jurídica, residente o no, puede adquirir valores del Tesoro en las subastas o en el mercado secundario. Se pueden vender los valores y retirar los fondos en cualquier momento y sin ninguna restricción. Para ello, basta con utilizar los servicios de una entidad autorizada a operar en el mercado de valores. Esta entidad puede contactar con cualquier miembro del mercado español de Deuda. El inversor puede, también, cursar la orden directamente a un miembro del mercado. Éste ejecutará la orden y, cuando se trate de una compra, registrará los valores en un depositario doméstico autorizado o, a través de éste, en Euroclear o Cedel, según las instrucciones que reciba.La liquidez del mercado secundario está garantizada por un grupo de 33 entidades que actúan como miembros especializados y, de modo particular, por los doce más activos que ostentan la condición de Creadores de Mercado.BONOS Y OBLIGACIONES DEL ESTADO: DISTRIBUCIÓN POR TENEDORESESTIMACIÓN DE LAS CARTERAS A VENCIMIENTO(% sobre el total en circulación)

AÑOBANCO DE ESPAÑA

BANCOS CAJASOTROS TITULARES

OTROS NO TITULARES

INVERSORES NO RESIDENTES

1993 3.48 19.48 10.22 1.61 16.20 49.01

1994 3.29 25.62 19.40 2.64 23.24 25.81

1995 2.83 23.30 20.29 4.82 20.38 28.38

Operaciones del mercadoLas operaciones que pueden realizarse en el mercado español de Deuda del Estado pueden ser clasificadas en:Operaciones al contado: Operaciones en las que las partes acuerdan la liquidación dentro de los 5 días hábiles siguientes al día de la operación.

Operaciones a plazo: Operaciones en las que la liquidación tiene lugar en un plazo mayor. Entre éstas, cabe destacar las operaciones "para cuando se emita" o "When issued market" - mercado gris -, que surge normalmente unos 15 días antes de la fecha de subasta, cuando se anuncian o confirman las principales características de la emisión.Simultáneas (Repos): Son dos operaciones contratadas simultáneamente y de signo contrario, compra y venta, entre las mismas contrapartes y por el mismo importe nominal de la misma emisión. Pueden ser dos operaciones al contado, dos operaciones a plazo, o una de cada, al contado y a plazo.Repos (Repos españoles): Es una operación - un único contrato- con pacto de recompra que impide que el comprador inicial venda los valores de otra forma que no sea una nueva operación de venta con pacto de recompra con fecha de vencimiento anterior a la de la primera. A pesar de ser menos flexible que la simultánea, esta figura cubre los casos en los que el vendedor busca mayor seguridad en la operación. Además, el vendedor se asegura recibir los valores en la fecha de vencimiento del contrato.

Sistemas de negociaciónEl mercado secundario de deuda del Estado se divide en dos segmentos principales:Transacciones en el segmento mayorista: se hacen mediante uno de los sistemas siguientes:Una red electrónica conocida como red "MEDAS", constituida por Brokers interdealers autorizados, los llamados "Brokers ciegos", se configura como el núcleo del sistema. El acceso está limitado a los miembros especializados, en total 33 entidades, creadores de mercado y aspirantes a esa condición. La negociación se realiza a través de pantalla y sin conocer la contrapartida. El tamaño mínimo de cada operación es de 100 millones de Ptas. No se permiten las operaciones "repo". Los participantes deben asegurar liquidez al mercado, cotizando precios de compra y venta con bajos "spreads". El "spread" suele ser de 5 a 15 puntos básicos para las emisiones activamente negociadas.Un mercado telefónico organizado, en el que la liquidación se realiza a través del "servicio telefónico del mercado de dinero", servicio especial del Banco de España, constituye el segundo escalón de negociación. Todas las instituciones financieras, sean o no miembros del mercado, incluso inversores extranjeros, pueden tener acceso a este sistema. La negociación se puede realizar con o sin la intervención de un "broker".

Diferencia entre cotizaciones de oferta y demandaEntre Creadores de Mercado; media móvil de un mes, referencia BenchmarkTransacciones en el segmento minorista: se realizan de forma bilateral entre las entidades financieras y sus clientes, tomando como referencia los precios y tipos de interés determinados en el segmento mayorista.Los valores del Tesoro también se negocian en las Bolsas de Valores, pero los volúmenes contratados son insignificantes comparados con los segmentos anteriores.

Sistema de compensación y liquidaciónLa Central de Anotaciones en Cuenta, gestionada por el Banco de España, es

responsable del registro central de la propiedad y otros derechos relacionados con los valores del Estado. Es también responsable de la liquidación y compensación de los valores entre los miembros del mercado. Cada miembro del mercado mantiene una cuenta en la cual se realizan las anotaciones concernientes a sus propias tenencias y, cuando está autorizado para ello, otra en la que mantiene las anotaciones en nombre de sus clientes.El sistema de liquidación asegura la entrega contra pago para todas las transacciones de valores entre los participantes en el proceso de compensación y liquidación. Al cargarse o abonarse las cuentas de valores en la Central, simultáneamente se cargan o abonan las de efectivo que los miembros están obligados a mantener en el Banco de España.Desde marzo de 1989 los Bonos del Estado son registrables en EUROCLEAR y, desde enero de 1991, en CEDEL.La liquidación doméstica al contado tiene lugar el mismo día o cualquiera de los seis días siguientes. Actualmente, la liquidación valor siete días es lo normal. Cualquier fecha a plazo mayor de siete días puede ser negociada, existiendo además plazos de negociación estandarizados.

Tratamiento fiscal de los valores del tesoroNo residentesDesde enero de 1991 los inversores extranjeros sin establecimiento permanente en España, y que no sean residentes en ninguno de los 48 paraísos fiscales identificados por el Ministerio de Economía y Hacienda, están exentos de impuestos tanto sobre los intereses como sobre las ganancias de capital derivados de inversiones en valores del Tesoro registrados en la Central de Anotaciones. Por consiguiente, si la entidad depositaria está en posesión de los documentos justificativos de la condición de no residente del inversor, puede obtener del Banco de España la devolución de la retención practicada sobre los cupones el mismo día de pago del cupón.

Bonos JaponesesLos bonos japoneses ( Japanese Government Bonds o JGB) son bonos en yenes , presentan modalidades como el mercado americano( corporate bonds, municipal bonds, etc.)Los bonos japoneses tienen unas horas asignadas para su respectiva transacción.

5. Términos

Amortización de un Bono:Corresponde a la cancelación total (única vez al vencimiento) o parcial de la deuda (en fechas predeterminadas).

Arbitraje:Dos bonos que tienen los mismos riesgos y características similares debieran valer lo mismo, o sea la tasa de rendimiento debería ser semejante. Pero si, aún así, existiese un diferencial en el rendimiento, entonces, se trataría de una posibilidad de arbitraje, o sea de comprar el que está más barato y vender el que está más caro, anticipando la corrección del mercado y ganar la diferencia.Muchas veces se dan arbitrajes entre bonos con diferencias de plazo o monedas, en esos casos se estudia el diferencial histórico entre dichos bonos y se calcula si

la desviación tiene alguna razón de ser o si se trata de una posibilidad de arbitraje.Bullet: bonos que pagan el 100% del capital al vencimiento.Bearish: Se dice que el mercado está "bearish" cuando tiene tendencia negativa. Gráficamente es la imagen de un oso ("bear") que con las garras empuja hacia abajo.Cupón: es el monto que paga un bono en cada período en concepto de renta y/o amortización. Los bonos están formados por uno o varios cupones que representan los diferentes pagos que va hacer el bono a lo largo de su vida.Curva de rendimientos: es el gráfico que relaciona los rendimientos de los bonos con sus respectivos plazos ( vida promedio)) o sensibilidad (duration)Mercados emergentes: Son los mercados financieros de aquellos países que se encuentran en vías de desarrollo con mercados financieros incipientes. Son considerados mercados emergentes: Argentina, Brasil, México, Venezuela, Colombia, Costa Rica, Perú, Panamá, Ecuador, Guatemala, Jamaica, Rusia, Bulgaria, Polonia, Croacia, Turquía, Filipinas, Corea del Sur, Indonesia, Marruecos, Nigeria, Tailandia, Vietnam.

REFERENCIA

http://www.mitecnologico.com/Main/MatematicasFinancieras

Obligaciones Bonificadas:

Este tipo de emisiones está restringida a determinados sectores -eléctricas y autopistas- a

los que se concede esta posibilidad por la existencia de determinados proyectos de

inversión. La ventaja fiscal consiste en:

-Retención en la fuente de 1′20% en lugar del 18% establecido con carácter general.

-Posibilidad de desgravar en la cuta del IRPF o impuesto de sociedades el 24%.

Permite al emisor financiarse a tipos de interés inferiores a los de mercado.

.Obligaciones y Bonos Convertibles:

Se trata de un híbrido entre la renta fija y la renta variable, pues comparte características de

las acciones y de los bonos u obligaciones. Se trata de un bono que en algún momento

puede convertirse en acciones de la empresa que lo emite en tiempo y condiciones

prefijadas conocidas desde el momento de la emisión. Una de esas condiciones es la

http://www.mitecnologico.com/Main/MatematicasFinancieras

llamada “ecuación de conversión”, que especifica cuántos bonos habrá que intercambiar

por cada acción o cuantas acciones se tendrá derecho a obtener por cada bono que se posea.

Una ecuación de conversión podría ser, por ejemplo, de 5 por 1, lo que significa que por

cada bono que se posea en el momento de la conversión se obtendrán cinco acciones, otro

ejemplo puede ser que el obligacionista puede convertir sus bonos a los 18 meses de la

emisión, valorándose las obligaciones al 450% del valor nominal.

Algunas veces la conversión se puede efectuar sin condiciones, es decir, llegada la fecha de

conversión los bonistas podrán intercambiar sus bonos por acciones en la proporción

establecida, y los que no lo deseen podrán reembolsar el valor del principal del bono. Está

claro que el bonista acudirá a la conversión si ésta resulta más rentable para él que obtener

el nominal del bono. En otras ocasiones la conversión se somete a condiciones, como que el

precio de las acciones de la empresa hayan alcanzado un determinado nivel.

Los convertibles, si se convierten, modifican la estructura de capital de la empresa que los

ha emitido, ya que intercambian deuda por capital, pero no aumentan los recursos totales de

la empresa. Simplemente cambian recursos ajenos por propios.

La actual legislación de sociedades ha quitado flexibilidad a este tipo de emisiones al exigir

acuerdo de la Junta General de Accionistas para la emisión, cuando anteriormente bastaba

con el acuerdo del Consejo de Administración.

Obligaciones con Warrants:

Confieren el derecho al tenedor del título a exigir al emisor el lanzamiento de una nueva

emisión en condiciones predeterminadas.

Tienen poca aplicación debido a las dificultades que implica la autorización de la emisión

subyacente.

Es otra forma de ligar las emisiones de obligaciones con acciones. Un Warrant es un

derecho a adquirir acciones de una empresa en un plazo y a un precio prefijado. En estos

casos, cada obligación lleva anejo un warrant que su titular puede ejecutar o no, a su

elección, o bien negociarlo en Bolsa independientemente de la obligación.

.Obligaciones subordinadas:

Se asocian al capital de la empresa y han sido utilizadas fundamentalmente por las Cajas de

Ahorro como instrumento para aumentar sus recursos propio

Bonos a Tipo Variable o FRN’S:

Se conocen como Floating rate notes o Floaters, son bonos que no pagan cupón fijo, sino

variable. Son activos del mercado de renta fija, pero con cupón variable, se emiten a un tipo

de interés que sólo está fijado en términos de diferencial o spread con respecto a una

referencia. En realidad, su comportamiento es casi como el de un bono a corto plazo,

porque la evolución de su rentabilidad va ligada a la de los tipos de interés a corto plazo.

La razón de estas emisiones es la de protegerse de fuertes variaciones en los tipos de

interés, pero manteniendo un vencimiento a largo plazo. Los Floaters no permiten la

amortización anticipada, por lo que el emisor puede disponer de los fondos al plazo que le

interesa, pero tiene que aceptar un coste desconocido a la hora de la emisión.

Se emiten con referencia al Euribor, por ejemplo, bono emitido a tres años, indiciado al

euribor 90, con un spread de 50 puntos básicos, lo que significa que el cupón pagará el tipo

de interes del euribor a 90 días más un 0′5%.

Los riesgos de una emisión de FRN’S provienen más de las condiciones del cálculo de los

cupones que de la propia evolución de los tipos. Estas emisiones se suelen valorar en

términos de yield spread o diferencial de rendimientos, y la propia evolución de este

diferencial proporciona información útil sobre la aversión al riesgo de interés del conjunto

del mercado, que suele ir de la mano de la inflación y de la propia variabilidad de los tipos

de interés.

Los intereses los pagan trimestral o semestralmente.

Pueden incluir opciones de tipos de interés

-Cap: de tipo de interés máximo.

Floor: de tipo de interés mínimo.

Tienen escasa aceptación en el mercado doméstico, siendo sus emisiones mas frecuentes en

el Euromercado

Bono Basura:

El concepto de bono basura, bono chatarra o bono de alto riesgo (junk bonds) reside en la

calificación crediticia del emisor.

Los bonos basura ofrecen un interés elevado para compensar al inversor del riesgo que

asume. La diferencia entre la rentabilidad de los distintos bonos respecto a éstos se conoce

como prima de riesgo de calidad, y fluctúa en el tiempo en función de la percepción que

tengan los inversores sobre el riesgo de las empresas de más o menos calificación.

Bono Cupón Cero:

Se trata de un caso extremo de los bonos emitidos con descuento, que no paga ningún tipo

de cupón. Toda la rentabilidad se concentra al final de la vida del bono, cuando éste se

amortiza.

Las ventajas de los bonos cupón cero son:

-Permite asegurar que la rentabilidad efectiva será la calculada al inicio.

- Permiten aprovechar las asimetrías fiscales entre rendimientos y variaciones

patrimoniales.

-Presentan la referencia básica de cálculo de la duración. .

.Eurobonos:

Hoy día se aplica este término a las emisiones realizadas en un país denominada en la

moneda de otro, tanto en Europa como fuera de ella.

Los eurobonos reciben diferentes nombres, así los emitidos en pesetas se llaman matadores,

en dólares, yankees, en yenes, samurais, en libras, buldog, en dólares australianos, canguros

o en escudos, navegantes.

Los eurobonos suelen emitirse al portador. La custodia y liquidación se efectúa a través de

Euroclear o Cedel (sistemas internacionales).

Valoración de un Bono.-

Valor nominal del bono: es el valor del bono en el momento de la emisión.

Renta del bono: es el interés percibido por el bono. La renta del bono puede ser pagada

periódicamente, o acumulada hasta el vencimiento.

Plazo del bono: es el tiempo durante el cual el bono permanecerá en poder del

obligacionista y a cuyo vencimiento debe estar totalmente amortizado.

Amortización del bono: es el pago del valor nominal del bono, que puede producirse por

períodos o bien al final del plazo del bono.

Valor actual del bono: es el valor de mercado del bono. Se obtiene descontando el flujo de

caja asociado a la tasa de interés de mercado de un título de riesgo similar. El flujo es la

cadena de pagos que se perciben en concepto de renta y amortización del bono en los

períodos que éstos se producen.

Cotización de un bono: la cotización de un bono se suele calcular como el porcentaje del

valor actual del bono sobre su nominal.

Rentabilidad de un bono: la rentabilidad de un bono es la tasa interna de rentabilidad de sus

flujos de caja. Se le denomina también rentabilidad al vencimiento.

Con relación entre el valor presente y el valor futuro de un bono podemos inmediatamente

entender qué debe ocurrirle al precio cuando los tipos de mercado varían. Recordemos que

una vez el bono es emitido, sus flujos de pagos periódicos son inamovibles. Sin embargo, si

los tipos cambian, el valor presente de estos flujos cambiará.

Ejemplo: Supongamos un bono de 10.000 pesetas de nominal, emitido a la par, con cupón

anual del 8% y vencimiento a un año.

Para adquirirlo hoy habrá que pagar 10.000 pesetas y dentro de un año nos tendrá que pagar

800 pesetas de cupón y devolvernos el principal. 10.000 = (10.000 + 800) / (1.08)

Si justo después de emitirse los tipos de interés suben hasta el 10%, el valor del bono

pasaría a ser: V = 10.800 / (1.1) = 9.818,18 pesetas.

Una subida del tipo de interés de dos puntos ha reducido el valor de nuestro bono en el

mercado en: 10.000 - 9818,18 = 181,82 pesetas (-

1,8182%).

Los precios y tipos de los bonos se mueven diariamente en pequeños montantes.

Normalmente las variaciones son tan pequeñas que hablar de ellas en términos porcentuales

supondría utilizar muchos decimales. Por ello las variaciones de los precios se expresan en

puntos básicos, esto es, en centésimas de puntos porcentuales (100 p.b. = 1%).

Supongamos ahora que el plazo de vencimiento del bono es a 10 años.

Tendremos que descontar (poner a valor de hoy) los diversos flujos. Este bono pagará 800

pesetas al final de cada año de los próximos diez. Además, en el último recuperaremos

nuestra inversión −10.000 pesetas-. Los flujos descontados al 8% anual dan para ese

conjunto de pagos periódicos un valor actual de exactamente 10.000 pesetas.

Si los tipos suben al 10% inmediatamente después de emitirse el bono, el valor del bono

pasa a ser de 8.771,09 pesetas, es decir, sufriría una caida de 1.229,91 pesetas, un 12,29%.

Si ocurre lo contrario, es decir, que los tipos cayeran al 6%, el valor del bono pasaría a ser

de 11.472,01 pesetas, se apreciaría en 1.472,01 pesetas, un 14,72%.

Los precios y los tipos se mueven inversamente. A tipos más altos, precios más bajos.

Los bonos a mayor plazo varían más en precio que los emitidos a menor plazo.

La relación no es proporcional: una bajada de “X” puntos no tiene el mismo efecto que una

subida de la misma magnitud.

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construyendo este sitio dedicado a esta hermosa y util profesion aportando el material apropiado

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PARA EMPEZAR SOLO USAR OPCION edit ABAJO Y EMPIEZA A CONSTRUIR ,

SALUDOS Y MUCHAS GRACIAS

Competencias Digitales (Tic’s Basicas) a construir:

Usar (click en )www.Google.com para buscar y localizar UN material academico apropiado

y que se pueda recomendar para el tema, ver VIDEO BUSQUEDAS abajo en esta pagina.

En el post ( o tema ) apropiado en el Libro de Blogger, pegar el material localizado y que se

recomienda para este tema, ver VIDEO BLOGGER abajo en esta pagina.

pd: Recordar incluir la fuente del tema usando el formato de citacion apropiado, ver

VIDEO WIKIPEDIA abajo en esta pagina.

En el editor de Blogger usar colores para destacar los parrafos mas importantes y usar

subrayados para las citas mas relevantes.

En el post ( o tema ) apropiado en el libro en Blogger, para incluir ecuaciones o notacion

matematica se debera usar el icono del editor de Blogger IMAGE y construir esta notacion

matematica con imagenes Latex, ver VIDEO LATEX ABAJO.

Construir al final y despues de la fuente del material, un breve resumen ( no mas de 2–3

parrafos) explicando palabras propias el contenido del tema.

pd: Se pueden usar alguna de las citas que encontradas dentro del tema, solo recordar

encerrarla entre comillas.

pd: Se pueden usar tambien cambios en fonts para darle mas visibilidad, consistencia y

relevancia al resumen del tema.

PUNTOS EXTRAS Si se usa una segunda fuente valiosa de informacion y recordar

encadenar los dos materiales mediante uno o dos parrafos apropiados.

Enviar a el maestro o compañeros un correo electronico que incluya la liga a el tema en

blogger para revision, recomendacion, sugerencias y evaluacion, ver VIDEO LIGAS GMAIL

abajo.

Sacar una cuenta (click en)http://docs.google.com, usando el correo de Gmail y tratar de

conseguir el mismo usuario que se construyo en Gmail y Blogger ver VIDEO GOOGLE DOCS

abajo en esta pagina.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

http://docs.google.com/

http://www.Google.com/

pd: Google Docs es el equivalente a OFFICE pero con la caracteristica que todos sus

componentes ( procesador de palabras, presentacion electronica y hoja de calculo) estan

completamente en internet, es decir todos los archivos o material estaran en linea, seguros y

siempre disponibles, ademas de que se pueden trabajarlos desde cualquier pc, ya sea la

personal, la del laboratorio de la escuela o la de un lugar publico como la biblioteca o un

cafe internet.

Construir una Presentacion Electronica ( usando muy pocos slides) del tema en GOOGLE

DOCS e incrustrarla en el tema de bloger ver VIDEO GOOGLE DOCS en esta pagina abajo.

pd: Recordar que una presentacion electronica, es solamente un resumen muy condensado

del tema ( o mapa o guia mental ), que ayuda a recordar los elementos y conceptos mas

basicos del tema, cuando se estan exponiendo frente a un grupo.

pd: No olvidar incluir un primer slide con el titulo de la presentacion electronica, un

segundo slide con un indice de la presentacion electronica y un ultimo slide con dos o tres

parrafos de conclusiones y bibliografia.

Buscar en Google Imagenes o www.Flickr.com o www.PhotoBucket.com una galeria de

fotos o de imagenes apropiadas al tema actual,

Para los casos de Photobucket y Flicker, ambos sitios proporcionan ligas a sus imagenes y

tambien objetos (los recuerdan??), que se pueden incluir en el tema del libro apropiado

en Blogger.

pd: para estos sitios deberan obtener una cuenta usando el correo de gmail y de preferencia

obtener el mismo usario que se ha venido manejando a lo largo del curso.

pd: Tratar de usar resoluciones y tamaños de imagenes chicos o medianos, recordar que

todo este material termina en el post del tema en Blogger y esa pagina no tiene mucho

espacio para desplegar fotos o imagenes.

pd: El formato apropiado para fotos o imagenes es JPG, tratar de no usar otros formatos.

pd: Se puede construir y conseguir esta coleccion o galeria de imagenes con:

1) Usando Google Imagenes, recordar conseguir solo imagenes que tengan permiso de

publicacion abierto, no usar imagenes o fotos que tengan derechos reservados.

http://www.PhotoBucket.com/

http://www.Flickr.com/

pd: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora y

subirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.

2) Flickr y Photo Bucket tambien tienen una gran cantidad de imagenes que se pueden usar

o mejor dicho enlazar a el tema o post en Blogger.

3) Tambien se puede usar la camaras digitales o las camaras de sus telefonos celulares.

4) Tambien se puede usar el programa o aplicacion llamado Srip32.exe( solo buscar srip32

en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de la pc, es

decir si se encuentra un sitio con imagenes o incluso texto apropiado o relevante al tema,

capturar la pantalla con srip32 y ya se tendra la imagen, ver VIDEO Srip32 abajo.

Incluir al menos una imagen de cada uno de los dos sitios (flickr y Photobucket) en el tema

o post que se esta construyendo en Blogger.

PUNTOS EXTRAS Si se incluyen una galeria completa de imagenes apropiadas desde

cualquiera de estos sitios de FLICKR o Photobucket.

Sacar una cuenta (click en)www.DivShare.com, usando el correo de Gmail y tratar de

conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr ver VIDEO

DIVSHARE abajo en esta pagina.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

pd: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema ( no usarlo

para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)

pd: El material en Audio, con formato MP3 se debera producir usando un microfono en la

pc y programas de aplicacion apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo de ellos

es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usar mejor

AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, ver VIDEO

AUDACITY abajo.

Crear al menos dos archivos de audio mp3:

1) El primero de ellos sera la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( o aprender a

editar con audacity la voz)

2) El segundo de ellos sera un resumen del tema. ( buena voz o editarla con audacity)

http://www.DivShare.com/

3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordor que tienen que ser MP3) y el reproductor

que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo e insertarlo en el lugar

apropiado del tema que se esta construyendo en Blogger

en función del emisor

en función de la estructura

en función del mercado donde fueron colocados’‘’

En función de quién es su emisor:

Los bonos emitidos por el gobierno nacional, a los cuales se denomina deuda soberana.

Los bonos emitidos por las provincias o bonos provinciales, por municipios, y por otros

entes públicos.

Y por último existen los bonos emitidos por entidades financieras y los bonos corporativos

(emitidos por las empresas), a los cuales se denomina deuda privada.

En función a su estructura:

Bonos a tasa fija:

la tasa de interés está prefijada y es igual para toda la vida del bono.

Bonos con tasa variable (floating rate):

la tasa de interés que paga en cada cupón es distinta ya que está indexada con relación a una

tasa de interés de referencia como puede ser la Libor. También pueden ser bonos indexados

con relación a un activo financiero determinado (por ejemplo un bono estadounidense),

Bonos cupón cero:

No existen pagos periódicos, por lo que el capital se paga al vencimiento y no pagan

intereses. Se venden con una tasa de descuento.

Bonos con opciones incorporadas:

Son bonos que incluyen opciones especiales como pueden ser:

Bonos rescatables ( “ callable”):

Incluye la opción para el emisor de solicitar la recompra del bono en una fecha y precios

determinados. Algunos bonos pueden ser rescatables si las condiciones macroeconómicas /

impositivas en las que fueron emitidos cambiasen, por lo tanto el emisor puede

recomprarlos a un precio establecido.

Bonos con opción de venta (“put option”):

Incluye la opción para el inversor de vender el bono al emisor en una fecha y precios

determinados.

Bonos canjeables:

Estos bonos son un producto intermedio entre las acciones y los bonos. Son un producto

anfibio porque vive dos vidas, una en la renta fija y otra si se desea en la renta variable. La

sociedad lanza una emisión de bonos con una rentabilidad fija, y establece la posibilidad de

convertir el dinero de esos bonos en acciones. Estos canjes suelen tener descuento respecto

al precio de las acciones en el mercado. A diferencia de los bonos convertibles, en los

canjeables los bonos se cambian por acciones viejas, es decir ya en circulación y con todos

los derechos económicos.

Bonos convertibles:

Son idénticos a los canjeables, salvo que en este caso la empresa entrega acciones. Es un

bono más una opción que le permite al tenedor canjearlo por acciones de la empresa

emisora en fecha y precio determinado. También hay bonos soberanos que son convertibles

en otros bonos.

Bonos convertibles: bonos con warrants:

Es un bono más una opción para comprar una determinada cantidad de acciones nuevas a

un precio dado. También hay bonos soberanos que tienen warrants por los que puede

comprar otro bono.

Bonos corporativos: Son los bonos emitidos por las empresas

Bonos escriturales: Son aquellos bonos en los que no tienen láminas físicas, sino que

existen sólo como registros de una entidad especializada, la que se encarga de los distintos

pagos. De todas formas aunque la lámina (y por lo tanto los cupones) no exista físicamente,

igualmente se utiliza la palabra “cupones” para definir los distintos pagos que realiza el

bono.

Por último, los bonos se diferencian en función del lugar donde los bonos fueron vendidos:

Mercado internacional: son bonos emitidos en una moneda determinada pero colocados

fuera del país emisor. Existen los Eurobonos, también hay bonos Samurai (es un título

emitido en yenes y colocado en Japón por una institución no residente en dicho país), y

bonos Yankees (es un título de deuda en dólares colocado en USA por una entidad no

residente en dicho país).

Bonos bolsa: Se trata de un producto novedoso en España. Con estos bonos el inversor

apuesta por la subida de la bolsa o de un sector concreto. Con estos bonos el inversor no

puede perder dinero, su capital está garantizado; si la bolsa sube ganará, pero si baja no

pierde el dinero. Esto se consigue con la combinación de la renta fija y los productos

derivados.

Bonos matador: Estos bonos los emiten organismos supranacionales o empresas

multinacionales. Son bonos para el inversor extranjero, y se denominan matador, torero,

como seña distintiva de que son españoles. Estos inversores para captar dinero optan por la

moneda española y sus tipos de interés. Supone diversificar su deuda y así eligen captar sus

recursos en pesetas. El emisor no sólo paga los intereses sino que corre el riesgo de la

fluctuación de la cotización de la peseta respecto de la propia moneda.

Bonos Samurai: Son iguales que los bonos matador pero en este caso, se emiten en yenes.

Los bonos samurai son títulos en yenes que emiten en el mercado financiero nipón los

gobiernos o empresas de todos los orígenes excepto de Japón, y que son colocados por un

prestatario extranjero (generalmente un banco internacional) entre inversores japoneses.

Bonos titulizados: Esto bonos son una novedad en nuestro país, y actualmente sólo son

hipotecarios, su garantía esta en hipotecas. Consisten en que un banco o una aja de ahorros

convierten una serie de créditos hipotecarios homogéneos en una emisión de bonos. De este

modo el prestatario de la hipoteca esta pagando los intereses de los tenedores de los bonos

así como devolviéndoles el capital invertido. Estos bonos son muy conocidos en Estados

Unidos donde la desintermediación entre bancos y cajas de ahorros es muy frecuent

ANUALIDADES DIFERIDAS

Definición: Se pospone la realización de los cobros o pagos, se adquiere hoy un artículo a crédito para pagar con abonos mensuales; el primer pago habrá de hacerse seis meses después de adquirida la mercancía.

Simbología:

R = pago periódico de una anualidad o renta

i = tasa efectiva por período de capitalización

j = tasa nominal anual

m = número de capitalizaciones en el año

j/m = tasa nominal con m períodos de capitalización en el año

n = número de períodos de interés o pago

S = monto de una anualidad

A = valor presente a la anualidad

Ejemplo: Considerar una anualidad de $ 1,000.00 anuales, durante 4 años al 5 %.

Datos:

C = 1,000

n = 4 años

i = 5 % = 0.05

S =?

S = 1,000 + 1,000 (1.05)1 + 1,000 (1.05)2 + 1,000 (1.05)3 = 4,310.12

S = 4,310.12

Nota: Puesto que el primer pago gana intereses de 3 años, el segundo pago 2 años, el tercero 1 año y el cuarto coincide con el término del plazo que se tiene.

Ejemplo: Considerar una anualidad de $ 1,000.00 anuales, durante 4 años al 8 %.

S = 1,000 + 1,000 (1.08)1 + 1,000 (1.08)2 + 1,000 (1.08)3 = 3,246.41

S = 3,246.41

Ejemplo: Considerar una anualidad del $ 1,500.00 anuales, durante 3 años al 3%.

Datos:

C = 1,500

n = 3 años

i = 3 % = 0.03

S =?

S = 1,500 + 1,500 (1.03)1 + 1,500 (1.03)2

S = 1,500 + 1,545 + 1,591.35 = 4,636.35

S = $ 4,636.35

Valor Presente: El valor presente A de una anualidad es la suma de los valores presentes de los distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo, por tanto, con respecto al ejercicio anterior.

A = 1,000 + 1,000 (1.05)-1 + 1,000 (1.05)-2 + 1,000 (1.05)-3 +1,000 (1.05)-4

A = 1,000 + 952.38 + 907.02 + 863.83 + 822.702 = 4,545.932

A = C (1+i)-n Valor Presente

Tanto en el cálculo de monto y de valor presente de anualidades, pueden calcularse mediante logaritmos, calculadoras y en la práctica el uso de tablas que tiene tabulados los valores más comunes.

Ejemplo: Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedad en alquiler por 5 años, con la condición que se pague $ 9,000.00 por trimestre vencido, que serán depositados en una cuenta de ahorros que paga 8 % nominal anual. Hallar el monto en los 5 años y el valor actual del contrato de alquiler.

S = R Sn i Monto

Datos.

R = 9,000 S = 9,000 S 20 0.02

j = 8 % = 8.08 S = 9,00 ( 24.29736980)

m = 4 S = 218,676.32

i = j/m = 0.02

n = 4 X 5 = 20 trimestres

A = R An i Valor actual

A = 9,000 A 20 0.02

A = 9,000 (16.35143334)

A = 147,162.9

Ejemplo: hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 5,000.00 pagadera semestralmente durante 7 años 6 meses al 8.6 % capitalizable anual (calculadora)

R (1+i)n-1

S =

i

Datos:

R = 5,000

n = 7 ½ = 15 semestres

j = 0.086

m = 2

i = j/m = 1.086/2 = 0.043

5,000 (1+0.043) 15-1

S =

0.043

S = 102,379.33

R 1-(1+i)-n

A =

i

5,000 1 - (1+0.043) -15

A =

0.043

A = 54,443.705

Ejemplo: Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 100.00 mensuales pagaderos durante 15 años, al 9 % nominal convertible mensualmente.

Datos

R = 100

m = 12

j = 0.09

i = j/m = 0.09/12 = 0.0075

n = 15 años = 180 meses

100 (1+0.0075)180-1

S =

0.0075

S = 37,840.57

100 1- (1+0.0075)-180

A =

0.0075

A = 9,859.3408

Tarea: Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 200.00 bimestral pagaderos durante 7 años y medio, al 7.5 % nominal convertible bimestralmente

Datos

R = 200

m = 6

j = 7.5 % = 0.075

i = j/m = 0.075/6 = 0.0125

n = 7 años ½ = 45 bimestres

200 (1+0.0125)45-1

S =

0.0125

S = 11,983.138

200 1- (1+0.0125)-45

A =

0.0125

A = 6,851.6336

CALCULO DE LA RENTA CUANDO SE CONOCE EL MONTO (con TABLAS)

De S = R Sn i se obtiene

1

R = S

Sn i

1

Donde =

Sn i

Ejemplo: ¿Cuál tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que deberán hacerse en una cuenta de ahorros que paga el 3½ % convertible semestralmente,

durante 10 años para que el monto sea de $ 25,000.00 precisamente después del último depósito?

Datos:

S = 25,000

j 3.5 % = 0.035

m = 2

i = j/m = 0.035/ 2 = 0.0175

n = 10 años = 20 semestres

1

R = S

Sn i

1

R = 25,000

S20 0.0175

1

R = 25,000

23.70161119

R = 1,054.78

CALCULO DE LA RENTA CUANDO SE CONOCE EL VALOR PRESENTE

Ejemplo : Calcular los pagos por semestre vencidos, necesarios para cancelar el valor de $ 100,000.00 de una propiedad comprada a 8 años plazo, con el interés del 9 % capitalizable semestralmente.

Datos:

A = 100,000

n = 8 años X 2 = 16 semestres

j = 9 % = 0.09

m = 2

i = j/m = 0.09/2 = 0.045

1

A = A

An i

1

A = 100,000

A16 0.045

1

A = 100,000

11.23401505

A = 8,901.5369

Ejemplo: Calcular los pagos por bimestre vencidos, necesarios para cancelar el valor de $30,000 de una propiedad comprada a 5 ½ años plazo, con el interés del 7 % capitalizable bimestralmente.

Datos:

A = 30,000

n = 5 ½ años = 33 bimestres

j = 7 % = 0.07

m = 6 bim.

I = j/m = 0.07/6 = 0.0116

1

R = 30,000

A33 0.0116 (aprox. 1.16 = 1 ¼ %)

1

R = 30,000

26.90496215

R = 1,115.036

ANUALIDADES PERPETUAS

Se presenta una perpetuidad o anualidad perpetua, cuando se hacen pagos constantes indefinidamente sin límite de tiempo.

Estrictamente hablando, esta clase de anualidad no se presenta en la realidad, por la sencilla razón de que a causa de lo cambiante de las tasas que manejan y ofrecen las instituciones financieras y crediticias también las rentas resultan variables a pesar de que el capital invertido permanezca fijo.

Para que lo anterior se cumpla, el capital al inicio de cada período debe ser el mismo e igual a la inversión inicial, de tal manera que los intereses que se produzcan durante un período, sean equivalentes a la renta de ese período. Bajo esta consideración, para calcular dichos intereses basta aplicar las fórmulas siguientes:

I = nCi Donde I = R R = nCi

R = nCi n = 1

R = Ci i siempre se divide entre p (períodos) i/p

Ejemplo: Con el producto de sus ventas la Lotería Nacional instituye una beca trimestral mediante la donación de un cierto capital “C” que se invierte al 23 % nominal trimestral. Encontrar ese capital para que el importe becario sea de $ 850.00 por trimestre.

C 850 850 850 850

1 2 … K K+1

Datos:

i = 23 % nom. Trim. = 0.23

p = 4 I = R

R = 850 R = nCi

n = 1

C = ?

R

C =

n i/p

850

C = C = 14,782.60

1(0.23/4)

Ejemplo: Obtener la renta trimestral de una perpetuidad cuyo valor actual o capital es de $15,000.00 y devenga intereses del 42 % nominal trimestral.

Datos:

C = 15,000 R = 1(15,000) (0.42/4)

p = 4 R = (15,000) (1.105)

i = 42% trim. = 0.42

n = 1 R = 1,575

R = ?

Ejemplo: Un departamento de interés social se renta en $ 450.00 mensuales, ¿cuál es la tasa de interés si el propietario lo tiene valuado en $ 56,000.00

Datos:

R = 450

C = 56,000

p = 12

n = 1

i = ?

R = nCi/p

R R

= i/p p=i

nC nC

Rp

i =

nC

(450)(12) 5,400

i = = = 0.0964

1(56,000) 56,000

i = 9.64 %

Ejemplo: El Gobierno Federal construye un puente carretero, establece un fondo para mantenimiento, que se prevé costará $ 60,000.00 por bimestre. A partir del 5º año inclusive. Obtener el valor actual del fondo si se ganan intereses del 45 % convertible bimestralmente.

R = nCi

R = 60,000

n = 1

i = 45 % = 0.45

p = 6

(60,000)(6)

C = = 800,000

1(0.45)

Otras formas de despejar

GRADIENTES

Es una serie de cosas en progresión.

Producto Nacional Bruto (PNB):

Representa el valor total de los actuales precios de todos los bienes y servicios producidos para venta más el valor estimado de ciertas producciones implícitas.

Principales componentes del PNB:

Desembolso de consumo personal

Bienes durables

Bienes no durables

Servicios

Inversión doméstica privada bruta

Exportaciones netas de bienes y servicios

Compras gubernamentales de bienes y servicios (federal, estatal, local).

METODO DE DEPRECIACIÓN DE LINEA RECTA

El método más sencillo para considerar la depreciación lo constituye el método de línea recta. Este método reparte la depreciación de una manera uniforme, a través de la vida útil del activo.

W

R =

n

A medida que un activo se deprecia, el valor en libros en cualquier momento dado será igual a:

Costo original - (cargo periódico X número de cargos)

Ejemplo: Una máquina tuvo un costo de $ 5,000 y se le estimó un valor de desecho de $ 500 al cabo de 5 años. Determine el cargo anual por depreciación y el valor en libros al final de 3 años.

W = C - S S = valor de desecho

W = 5,000 - 500 = 4,500 C = capital

W 4,500

R = = = 900

n 5

El valor en libros al final de 3 años = 5,000 - (900 X 3) = 2,300

Nota: para un activo con 5 años de vida, la tasa sería de 1/5 o 20 % y la depreciación anual conforme el método de línea recta sería del 20 % sobre el costo.

METODO DE SUMA DE DIGITOS

Este método constituye un método muy sencillo que pretende que los cargos por depreciación en los primeros años de vida del activo fijo sean suficientemente grandes.

La depreciación para cada uno de los años representara una fracción del valor depleciable.

Por ejemplo: 3 años son iguales a, 1+2+3=6.

Ejemplo: Una maquina cuesta $5,000.00, sé a estimado un valor de desecho al cabo de 5 años por un valor de $500.00. Determine las provisiones anuales de depreciación.

Solución:

Suma de años digitos: 1+2+3+4+5=15.

Año Provisiones para depreciación.

1 5,000.00 - 500.00= 4,500.00 4,500.00 por 5/15 = 1,500.00

2 4,500.00 por 4/15 = 1,200.00

3 4,500.00 por 3/15 = 900.00

4 4.500.00 por 2/15 = 600.00

5 4,500.00 por 1/15 = 300.00

NOTA: Observe que la mayor parte del costo se recupera en los primeros años de la vida del activo.

AMORTIZACIONES

SALDOS INSOLUTOS, DE HECHOS ADQUIRIDOS Y CUADRO DE AMORTIZACIONES.

Con el propósito de ver como varia con cada abono la porción que amortiza al capital que se adeuda, para obtener el saldo insoluto en cualquier momento o para conocer con precisión la magnitud de los intereses, que en algunos lugares son deducibles de impuestos ( de ahí su importancia). Es de mucha utilidad el recurso de una tabla o cuadro de amortización.

Por otro lado y simplemente para no pagar mas intereses, puede suceder que antes de vencerse el plazo, el deudor pretenda al liquidar el resto de su deuda mediante un desembolso anual. Puede suceder y esto es más frecuente, que al haber comprado en abonos una casa, departamento, terreno o cualquier otro bien, se tenga la necesidad de venderlo o traspasarlo antes de terminar de pagarlo.

Ejemplo: Supóngase que se consigue un préstamo de $1,000.00 que se liquidara con 10 pagos mensuales iguales y recargos del 24% nominal mensual.

Datos: Formula: -np

C= $1,000.00 n= np C= R 1- (1+i/P) / (i/p)

n= 10 np= 10

P= 12 -10

i= .24 1,000.00 = R 1- (1+.020) / .020

i/P = .24/12 = .020

1,000.00 = R (8.982585)

R = 1,000.00 / 8.98255

R = 111.326527

TABLA DE AMORTIZACIONES:

PERIODO RENTAINTERES

I = Cni

AMORTIZACION

A = R - I

SALDO

INSOLUTO

0 --------------------- --------------------- ------------------------ $1,000.00

1 111.326527 20.00000 91.32653 $ 908.67347

2 111.326527 18.17346 93.15306 $ 815.52040

3 111.326527 16.31040 95.01611 $ 720.50428

4 111.326527 14.41008 96.91644 $ 623.58783

5 111.326527 12.47175 98.85477 $ 524.73305

6 111.326527 10.49466 100.83186 $ 423.90118

7 111.326527 8.47802 102.84850 $ 351.05267

8 111.326527 7.02105 104.30547 $ 246.74719

9 111.326527 4.93494 106.39158 $ 140.35560

10 111.326527 2.80711 108.51941 $ 31.83618

113.2653

I = M - C

( R ) ( P ) - C

I = (111.326527)(10) - 1,000.00 I = 113.2653

Para corroborar algún numero de pago de alguna mensualidad, tenemos:

DEUDA ORIGINAL = SALDO + DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR.

Donde np = es él numero de pagos que faltan por realizare.

Ejemplo: Del ejemplo anterior corroborar el octavo pago:

-np

C = R 1- (1 + i/P) / (i/p)

-8

C = (111.326527) 1 - (1 + .020) / 0.20

C = (111.326527) (7.32548)

C = 815.52040

AMORTIZACION GRADUAL

La parte que amortiza el capital va creciendo gradualmente como se avanza con los pagos.

Debe cumplirse que la magnitud de cada periodo sea mayor que los intereses que genera la deuda, porque de lo contrario esta nunca se cancelaría, sino que más bien, aumentaría con el tiempo.

Ejemplo: Para pagar su colegiatura anual, el padre de un estudiante consigue un préstamo por $7,000.00 con recargos del 18% nominal. ¿Cuántos abonos quincenales de $700.00 le serán necesarios para amortizar su adeudo?

Datos: Formula: -np

C = $7,000.00 C = R 1 - (1 + i/p) / (i/p)

i = 18% = i/j = .18/24 = 0.0075 -24n

R = 700.00 7,0000 = 700 1-(1+0.0075) / 0.0075

P = 24 quincenas -24n

n = ¿ 7,000 /700 = 1-(1+0.0075) / 0.0075

-24n

10 (0.0075) = 1- (1.0075)

-24n

0.075 - 1 = - (1.0075)

-24n

-1 - 0.925 = - (1.0075)

-24n

0.925 = (1.0075) propiedades de los logaritmos:

n

ln X = n ln X

ln 0.925 = -24n ln 1.0075

-0.07796 = -24n 0.007472014

-0.07796 = -0.17933 n

n = -0.07796 / -0.17933

n = .43473 Esto es años pero lo que buscamos es en quincenas, por lo tanto tenemos: (.43473)(24 quincenas) = 10.4335.

recalculando con n=10.43 tenemos:

-np

C = R 1 - (1+i/P) / (i/P)

-10.43

7,000 = R 1 - (1+0.0075) / 0.0075

7,000 = R (9.9964)

R = 7,000 / 9.9964

R = $700.25

AMORTIZACION CONSTANTE

Sé a dicho que el sistema de amortización constante se presenta cuando cada pago, la porción que reduce al capital se mantiene constante y no creciente como en el gradual. Esta amortización es siempre la misma y esto da origen a que el tamaño de los pagos se reduzca paulatinamente.

FORMULAS:

El primer pago: R1 = (C/np)(1+in); el N-esimo es:

RN = (C/np) 1+in - (N-1)(i/p)

2

La diferencia entre dos pagos sucesivos es: d = Ci / np

Donde:

C = Deuda original, el valor actual.

n = Plazo en años.

p = Numero de amortizaciones por año.

i = tasa de interes compuesto.

N = Numero de periodos.

Ejemplo: Con el sistema de amortización constante, los intereses del 60% nominal quincenal y un plazo de 2 años, calcular la magnitud de los primeros cuatro pagos quincenales que se hacen para amortizar un adeudo de $4,800.00 y elaborar un cuadro de amortización. También calcular los derechos poco después de haber hecho el abono numero 35.

Datos:

i = 60 % quincenal

n = 2 años

C = $4,800.00

np = 24 quincenas en un año

R1 = ¿

R2 = ¿

R3 = ¿

FORMULA:

R1 = (C/np)(1+in)

R1 = (4,800/48)(1+(.60)(2))

R1 = 220

DIFERENCIA:

2

d = Ci/np

2

d = (4,800)(.60) / 2(24)

d = 2,880 / 1,152

d = 2.50

Teniendo este dato podemos obtener las R2, R3 y R4:

R2 = R1-d R3 = R2-d R4 = R3-d

R2 = 220-2.50 R3 = 217.50-2.50 R4 = 215-2.50

R2 = 217.50 R3 = 215 R4 = 212.50

Si queremos saber cual será el pago de la renta numero treinta, tenemos:

R30 = (4800/48) 1+(.60)(2)-(30-1)(.60/24)

R30 = 100 1+1.2-(29)(0.025)

R30 = 100(2.2-0.725)

R30 = 100(1.475)

R30 = 147.50

NOTA: Al efectuar este pago el saldo es de $100.00 y los intereses son:

I = nC(i/p)

I = (1)(100)(.60/24)

I = 2.50

Y por lo tanto, dicho pago es de:

R48 = 100+2.50

R48 = 102.5

TABLA DE AMORTIZACIONES:

PERIODO RENTAINTERESES

I = Cn(i/p)

AMORTIZACION

A = R - I

SALDO

INSOLUTO

0 -------------------- ------------------- ------------------------ $4,800.00

1 220 120 100 $4,700.00

2 217.50 117.50 100 $4,600.00

3 215 115 100 $4,500.00

4 212.50 112.50 100 $4.400.00

.

.

.

30 147.50 47.50 100 $1,800.00

.

.

.

47 105.00 5 100 $100.00

48 102.50 2.5 100 0

BONOS

TRANSFERENCIAS DE BONOS Y OBLIGACIONES

La primera es determinada por la empresa emisora y por lo tanto no puede cambiarse. Pero la de rendimiento si puede variarse y establecerse de acuerdo a las partes que intervienen.

Se trabaja por 2 medios:

CUPONES: Los intereses son constantes.

BONOS: Los intereses son variables.

Ejemplo: La compañía de teléfonos nacionales emitió bonos por $5,000.00 que devengan intereses del 42% y que vencen a la par el 1 de julio del 2000. Los intereses se pagan el primer día de los meses de Enero, Abril, Julio y Octubre de cada año, es decir cada trimestre. ¿Determinar su valor del 1 de octubre del 92 si se pretende ganar con el 40% nominal trimestral, determinar también el valor de la compra-venta en pesos al 1 de julio del 95?

Datos:

r = 42%

p = 4 trimestres al año

C = ¿

i = 40% nominal trimestral

M = $5,000.00

i/p = .40/4 = 0.1

n=?

np =?

Primero debemos obtener “n”:

Del 1 de octubre del 92 al 1 de octubre del 93, tenemos un año.

Del 1 de octubre del 93 al 1 de octubre del 94, tenemos un año.

Del 1 de octubre del 94 al 1 de julio del 95, tenemos 9 meses.

Por lo tanto tenemos 2 años 9 meses, lo que quiere decir que “n” tiene un valor de 2.75 años.

Después debemos obtener “np”:

Si n = 2.75 y p = 4 trimestres, tenemos que:

Np = (2.75)(4) = 11

Para conocer la renta tenemos:

R = M(r/p)

R = 5,000(.42/4)

R = $525.00

Teniendo todos los datos podemos encontrar el capital:

Formula:

-np -np

C = M(1+i/p) + R 1-(1+i/p) / (i/p)

-11 -11

C = 5000 (1+0.1) + 525 1-(1+0.1) / 0.1

C = 1,752.46 + 3,409.90

C = $5,162.36

INTERPRETACION: Significa que un inversionista pagara $1,752.46 por cada bono de

$ 5,000.00 y $3,409.90 por los 11 cupones de $525.00 que cada trimestre cobrara hasta el vencimiento.

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

APUNTES

17

Factor de fondo de amortización y es el valor de la renta de una anualidad cuyo fondo asciende a una unidad monetaria después de n pagos, a la tasa i por período de pago

nCi

R =

p

RP = nCi

RP

= C

ni

R = nCi

R

= C

ni

R

C =

N i/p

R

= i

nC

R

i =

nC

R

i/p =

nC

RP

i =

nC

R

n =

Ci

R

n =

C i/p

1/5 = 0.2 = 20 % anual

VALOR DE

EMISION

VALOR DE

COMPRA-VENTA

VALOR DE

REDENCION

TÉCNICAS DE PRESUPUESTACIÓN DE CAPITAL

Se supone que todos los gastos de capital muestran patrones convencionales de flujo de efectivo. Si bien se hace especial énfasis en la comparación de proyectos con vidas iguales, también se presenta una técnica para comparar proyectos de vida desigual.

Un supuesto imprescindible en la discusión de las técnicas de presupuestación de capital consiste en el conocimiento con certeza de los flujos de efectivo proyectados. Dado que en la

práctica son muy pocos los proyectos de presupuestación de capital que pueden darse el lujo de contar con flujos sólidos de efectivo, es importante el dominio de ciertas técnicas para manejar el riesgo.

Técnicas NO elaboradas de presupuestación de capital

Son dos las principales técnicas no elaboradas para determinar la aceptación o el rechazo de las alternativas de gasto de capital. Una de ellas consiste en calcular la tasa promedio de rendimiento, y la otra en hallar el período de recuperación de la inversión.

Tasa promedio de rendimiento

La determinación de la tasa promedio de rendimiento es un método muy generalizado para evaluar los gastos de capital propuestos. Su atractivo radica en que dicha tasa se calcula a partir de datos contables (utilidades después de impuestos). Este cociente recibe algunas veces el nombre de tasa contable de rendimiento. La definición más común de la tasa media de rendimiento es como sigue:

Utilidades promedio después de impuestos.

Este valor de utilidades se obtiene sumando las utilidades después de impuestos esperadas para cada uno de los años de la vida del proyecto, y dividiendo el total entre el número de años. En el caso de una anualidad, las utilidades promedio después de impuestos son iguales a las utilidades de cualquier año.

Inversión media

La inversión promedio se obtiene al dividir entre 2 la inversión inicial. Este proceso da por supuesto, que el costo del activo disminuye a una tasa constante (en línea recta) en relación con la vida del proyecto. Esto significa que , en promedio, la empresa conseguirá en sus registros la mitad del precio de compra inicial de los activos.

Variantes de los métodos de cálculo

Se dispone de varios métodos para calcular la tasa media de rendimiento. Uno de ellos consiste en el empleo como numerador de las entradas de efectivo promedio anuales en vez de las utilidades contables promedio anuales. Este método tiene su ventaja, ya que el empleo de rendimientos considerados como flujos de caja, en oposición a las cifras contables, concuerda con el punto de vista financiero básico. Otra variante consiste en utilizar la inversión inicial en vez de la inversión promedio como denominador de la operación. Esto reduce a la mitad los valores calculados.

A fin de tomar decisiones con base en una tasa media de rendimiento, se debe comparar dicha tasa promedio de rendimiento con una tasa predeterminada de reducción o con una tasa promedio mínima de rendimiento aceptable.

Pros y contras de la utilización de la tasa media de rendimiento

El aspecto más favorable de la utilización de la tasa promedio de rendimiento para evaluar proyectos es su facilidad de cálculo. El único insumo necesario es el de utilidades proyectadas, que puede obtenerse fácilmente.

Las principales desventajas de este método son tres:

Su incapacidad para especificar la tasa promedio de rendimiento adecuada a la luz de la meta de maximización de la riqueza del propietario de las acciones.

Surge del uso de datos contables en vez de datos de influjos de efectivo. Esta desventaja puede superarse mediante el empleo del influjo de efectivo promedio en el numerador en la ecuación.

Consiste en que este método no toma en cuanta el factor tiempo en el valor del efectivo. Las empresas generalmente prefieren recibir entradas de efectivo en el presente que en el futuro. En general, esta técnica no considera la preferencia de tiempo.

Período de recuperación de la inversión

Comúnmente los períodos de recuperación de la inversión se utilizan para evaluar las inversiones proyectadas. El periodo de recuperación consiste en el número de años requeridos para recobrar la inversión inicial. Se calcula exactamente cuánto tiempo toma el recobrar la inversión inicial.

Pros y contras del empleo de periodos de recuperación de la inversión

El período de recuperación de la inversión es mejor que la tasa promedio de rendimiento, ya que considera más los flujos de caja que las utilidades contables. Asimismo, dicho período es una medida superior (en comparación con la tasa promedio de rendimiento) en virtud de que ofrece cierta consideración implícita a la regularidad de los flujos de efectivo y, por consiguiente, al factor tiempo en el valor de éste. Una razón decisiva por la que muchas empresas emplean el período de recuperación de la inversión como un criterio de decisión o como suplemento para los criterios de decisión elaborados, es que este período representa una medida del riesgo. El período de recuperación de la inversión refleja la liquidez de un proyecto y, por lo tanto, el riesgo de recuperar la inversión. Cuando más líquida sea una inversión, se supone que tanto menos riesgosa será, y viceversa.

Técnicas elaboradas de presupuestación de capital

Las técnicas elaboradas de presupuestación de capital consideran explícitamente el factor tiempo dentro del valor del dinero. Esto significa que, de una forma u otra, se descuentan los flujos de efectivo de la empresa a una tasa específica. Hasta aquí, la tasa utilizada se ha denominado tasa de descuento o costo de oportunidad. La tasa empleada por la empresa para descontar flujos de efectivo también se conoce como costo de capital.

Valor presente neto (VPN)

El cálculo del valor presente neto de los proyectos en una de las técnicas elaboradas de presupuestación de capital más comúnmente utilizadas:

Dicho valor se obtiene al restar la inversión inicial en un proyecto del valor presente de los influjos de efectivo descontadas a una tasa igual al costo de capital de la empresa. Sólo si todos los flujos de capital, tanto entradas como salidas, se miden en términos de numerario presente, se pueden llevar a cabo comparaciones válidas. Dado que se está tratando con inversiones convencionales, la inversión inicial se establece automáticamente en términos de unidades monetarios actuales. Si no fuera así, el valor presente de un proyecto se obtendría al restar el valor presente de las erogaciones del valor presente de los influjos de efectivo.

Índice de redituabilidad (IR)

El índice de redituabilidad o rentabilidad, recibe algunas veces el nombre de razón o índice de beneficio o costo. La aplicación de este índice a la presupuestación de capital no difiere mucho del método del valor presente neto. La única diferencia es que el IR mide el rendimiento de valor presente por, en este caso, dólar invertido, mientras que el método del valor presente señala la diferencia monetaria entre el valor presente de los rendimientos y la inversión inicial.

Tasa interna de rendimiento (TIR)

La tasa interna de rendimiento o criterio de rendimiento, es quizá la técnica más empleada para evaluar las alternativas de inversión, pero es considerablemente más difícil de calcular que el VPN y el IR. La TIR se define como tasa de descuento que iguala el valor presente de los influjos de efectivo con la inversión inicial asociada a un proyecto. Esto significa que la TIR,

es una tasa de descuento que iguala a cero el VPN de una oportunidad de inversión (puesto que el valor presente de los influjos de efectivo es igual a la inversión inicial)

Cálculo de la TIR

La TIR se debe calcular utilizando una técnica de tanteo (ensayo y error). El cálculo de la TIR para una anualidad es considerablemente más sencillo que el cálculo de una tasa de este tipo para una serie compuesta de influjos o entradas de efectivo.

Comparación del VPN y la TIR

La diferencia principal entre los métodos de VPN y TIR, que con frecuencia producen jerarquizaciones conflictivas, consiste en que el método del VPN supone que todas las entradas de capital intermediarias son reinvertidas al costo de capital de la empresa, mientras que el enfoque de la TIR supone una reinversión en la TIR. Si la empresa cree que una vez recibidas sus entradas de capital se pueden realmente reinventir a la TIR, entonces el método de la TIR es mejor. Como este supuesto resultaría muy arriesgado, la empresa debe emplear el criterio del VPN. Se dispone de técnicas para resolver estos conflictos. La más común consiste en encontrar la TIR de los flujos de efectivo incrementales resultantes de dos proyectos y en comparar esta TIR al costo de capital de la empresa para determinar qué proyecto aceptar.

Racionamiento de Capital

Método de la tasa interna de rendimiento

Este método comprende la gratificación de las TIR o rendimientos con respecto a la cantidad de dinero toral según los rendimientos decrecientes. Se puede determinar el grupo de proyectos aceptables trazando la línea de reducción de la tasa, y al imponer después una restricción de presupuesto. El inconveniente de esta técnica es que no garantiza el máximo rendimiento monetario para la empresa, sino que simplemente proporciona una solución satisfactoria a los problemas de racionamiento de capital

Método del valor presente neto

Este enfoque se basa en el uso de los valores presentes y las TIR (o IR) para determinar el grupo de proyectos que maximizará la riqueza de los propietarios. Comprende la jerarquización de proyectos con base en las TIR o los IR y la evaluación del valor presente de los beneficios provenientes de cada proyecto, a fin de determinar la combinación con el máximo valor presente neto total. Esto equivale a maximizar el valor presente neto, dado que, ya sea que se utilice todo el presupuesto o no, éste sigue considerándose como la inversión inicial total para la cual se debe obtener el valor presente de beneficio máximo. La parte del presupuesto de la empresa que no se emplea no aumenta el valor de la empresa. Cuanto más, el dinero no utilizado se puede invertir en obligaciones negociables o devolverse a los propietarios en la forma de dividendos en efectivo. En cualquier caso , no es probable que se incremente la riqueza de la empresa.

Ajuste para el riesgo del proyecto

Método subjetivo

El método subjetivo al ajuste del riesgo comprende el cálculo del valor presente neto de un proyecto y, después, la toma de la decisión de presupuestación de capital con base en la evaluación subjetiva del encargado de tomar las decisiones respecto al riesgo del proyecto a la luz del rendimiento calculado. Se pueden seleccionar fácilmente los proyectos que presentan valoras presentes netos semejantes, pero que de alguna manera tienen diferentes grados de riesgo. En tanto que los proyectos que muestran distintos valores presentes netos son mucho más difíciles de seleccionar. También es subjetivo el empleo de técnicas sensibles, como cálculos pesimistas, más probables y optimistas de los rendimientos de los proyectos;

pero estas técnicas permiten el encargado de tomar las decisiones una suposición fundada en lo que respecta al riesgo comparativo de los proyectos.

Diagrama de árbol de decisiones

Un método que se basa en el valor esperado, comúnmente empleado al tomar decisiones de presupuestación de capital, es el diagrama de árbol de decisiones. Tales diagramas que permiten que las diversas alternativas de decisión y retribuciones, así, como sus probabilidades de ocurrir, se expongan de manera clara. Toman su nombre de su parecido con las ramificaciones de los árboles. Aunque los diagramas ramificados de decisión proporcionan un medio que permite al encargado de tomar decisiones efectuar un análisis más claro de las opciones, así como seleccionar cursos de acción, no son métodos especialmente elaborados o complicados para enfrentares al riesgo. Los árboles de decisión dependen en gran medida de los cálculos o estimaciones (normalmente subjetivas) de las probabilidades asociadas a los resultados (o retribuciones) de los cursos de acción competitivos. Las retribuciones relacionadas con cada curso de acción son ponderadas por la probabilidad relacionada; las recompensas ponderadas para cada curso de acción se suman; y luego se determina el valor esperado de cada curso de acción. La alternativa que proporciona el máximo valor esperado podrá, así, seleccionarse.

Métodos estadísticos

La correlación es una medida estadística que, combinada con otras medidas estadísticas, como la desviación estándar y el valor esperado de rendimientos, proporciona un marco de referencia dentro del cual el que toma las decisiones puede considerar las relaciones de riego - rendimiento asociadas a diversos proyectos, con el fin de seleccionar aquellos que se adopten mejor a la disposición de riesgo - rendimiento de la empresa. El modelo de precios de activos de capital indica u procedimiento o mecanismo por medio del cual se puede asegurar la contribución de un proyecto al riesgo y rendimiento total de la empresa.

Simulación

La simulación es un método complicado basado en la estadística, sirve para enfrentar al riesgo. Aplicarlo a la presupuestación de capital requiere de la generación de flujos de efectivo mediante distribuciones de probabilidad predeterminadas y números aleatorios. Al vincular los diferentes componentes de flujo de capital es un modelo matemático, y al repetir el proceso varias veces, es posible desarrollar una distribución de probabilidad de rendimientos del proyecto. El proceso de generar números aleatorios y de utilizar las distribuciones de probabilidad para entradas y salidas de capital permite que se determinen los valores de cada una de estas variables. La sustitución de estos valores en el modelo matemático da como resultado un valor presente neto. Al repetir este proceso más 1000 veces se crea una distribución de probabilidad de valores presentes netos. La clave para simulas la distribución de rendimientos consiste en identificar con precisión las distribuciones de probabilidad para las variables del insumo y formular un modelo matemático que refleje verdaderamente las relaciones existentes.

Tasas de descuento ajustadas al riesgo

En lugar de ajustar la tasa de descuento, es necesario desarrollar una función que exprese el rendimiento requerido para cada nivel de riesgo del proyecto con el objeto de mantener al menos el valor de las empresas. Dado que el mercado para los activos de la empresa no reúne la eficiencia necesaria para que todas las empresas cuenten con el mismo conocimiento acerca de un activo, el modelo de precios de activos de capital no se puede aplicar directamente a estas situaciones de decisión. Por ello, la empresa debe desarrollar una relación entre el riesgo y el rendimiento para los activos reales. Un método para relacionar el riesgo y el rendimiento del activo real consiste en medir la contribución de u activo a la cartera que posee la empresa, y luego relacionarla, para diversos grados de riesgo, al rendimiento

requerido por los tenedores de acciones existentes y futuros como una compensación adecuada a los riesgos que se corren.

Bibliografía

Fundamentos de administración financiera

Tercera edición.

Lawrence J. Gitman.

Ed. Harla.

Cápitulo 15

Técnicas para evaluar el riesgo en el presupuesto de capitalAutor: Giovanny E. Gómez

INSTRUMENTOS, INVERSIONES, RIESGO Y FINANCIAMIENTO

06 / 2002

Las estrategias para diversificar el riesgo en los proyectos son muy variadas y forman una

parte fundamental para incrementar el el rendimiento a un nivel dado de riesgo.

Los flujos de caja relacionados con proyectos de presupuesto de capital son flujos de caja

futuros, es por ello que la comprensión del riesgo es de gran importancia para tomar

decisiones adecuadas acerca del presupuesto de capital.

La mayoría de estudios del presupuesto de capital se centran en los problemas de cálculo,

análisis e interpretación del riesgo, en este artículo se pretende explicar las técnicas

fundamentales que se utilizan para evaluar el riesgo en el presupuesto de capital, entre los

más utilizados están el sistema subjetivo, el sistema de valor esperado, sistemas estadísticos,

simulación y las tasas de descuento ajustadas al riesgo, que son presentados en detalle a

continuación.

Variabilidad

Los términos riesgo e incertidumbre se utilizan a menudo alternativamente para referirse a la

variabilidad de los flujos de caja del proyecto.

Sistema subjetivo

El sistema subjetivo para el ajuste del riesgo implica el cálculo del valor presente neto de un

proyecto para tomar en seguida la decisión de presupuesto de capital con base en la

evaluación subjetiva de quien toma las decisiones acerca del riesgo del proyecto a través del

rendimiento calculado.

Los proyectos que tengan valores presentes netos similares pero que se cree tienen

diferentes grados de riesgo pueden seleccionarse fácilmente, en tanto que los proyectos que

exhiban valores presentes netos diferentes son mucho más difíciles de seleccionar.

El uso de técnicas de fluctuación tales como la utilización de estimativos optimistas, muy

probables y pesimistas de rendimientos de proyectos, es también un tanto subjetiva, pero

estas técnicas permiten que quien toma las decisiones haga una conjetura un poco más

disciplinada con referencia al riesgo comparativo de los proyectos.

Sistema de los valores esperados

Este sistema implica una utilización de estimativos de diferentes resultados posibles y las

probabilidades combinadas de que estos se presenten para obtener el valor esperado de

rendimiento.

Esta clase de sistema algunas veces se denomina "Análisis de árbol de decisiones" debido al

efecto semejante a ramas, al representar gráficamente esta clase de decisiones.

Este sistema no se ocupa directamente de la variabilidad de los flujos de caja del proyecto,

sino que utiliza lo que puede considerarse como flujos de caja ajustados al riesgo para

determinar los valores presentes netos que se utilizan para tomar la decisión.

El sistema de los valores esperados es una mejora sobre los sistemas puramente subjetivos,

aunque también tiene cierto grado de subjetividad.

Sistemas estadísticos

Las técnicas para medir el riesgo del proyecto utilizando la desviación estándar y el coeficiente

de variación. En esta se realiza un estudio de la correlación entre proyectos.

Esta correlación cuando es combinada con otros índices estadísticos, tales como la

desviación estándar y el valor esperado de los rendimientos, proporciona un marco dentro del

cual quien toma las decisiones puede tomar la alternativas riesgo-rendimiento relacionadas

con diferentes proyectos para para seleccionar los que mejor se adapten hacia sus

necesidades.

En términos generales, mientras más lejanos estén en el futuro los flujos de caja que vayan a

recibirse, mayor será la variabilidad de estos flujos.

Las técnicas estadísticas altamente sofisticadas se han combinado en un cuerpo de

conocimientos que se denomina "Teoría de la cartera", la cual ofrece técnicas para

seleccionar el mejor entre un grupo de proyectos disponibles teniendo en cuenta la propensión

al riesgo-rendimiento o función de utilidad de la empresa.

Estos sistemas no son subjetivos, ya que consideran los valores esperados, desviaciones

estándar y las correlaciones entre proyectos para seleccionar los que cumplan mejor con los

objetivos de la administración.

Simulación

La simulación es un sistema sofisticado con bases estadísticas para ocuparse de la

incertidumbre. Su aplicación al presupuesto de capital requiere la generación de flujos de caja

utilizando distribuciones de probabilidad predeterminadas y números aleatorios.

Reuniendo diferentes componentes de flujo de caja en un modelo matemático y repitiendo el

proceso muchas veces puede establecerse una distribución de probabilidad de rendimientos

de proyectos.

El procedimiento de generar números aleatorios y utilizar las distribuciones de probabilidad

para entradas y desembolsos de efectivo permite que se determinen los valores para cada

una de estas variables. Sustituyendo estos valores en el modelo matemático resulta un valor

presente neto.

Repitiendo este procedimiento, se crea una distribución de probabilidad de valores presentes

netos.

La clave para la simulación exitosa de la distribución de rendimiento es identificar

exactamente las distribuciones de probabilidad para las variables que se agreguen y formular

un modelo matemático que refleje realmente las relaciones existentes.

Simulando los diferentes flujos de caja relacionados con un proyecto y calculando después el

VPN o TIR con base en estos flujos de caja simulados, puede establecerse una distribución de

probabilidad de los rendimientos de cada proyecto con base en el VPN o en el criterio de la

TIR.

Con este tipo de sistemas quien toma las decisiones puede determinar no solamente el valor

esperado del rendimiento dado o mejorado.

El rendimiento de las simulaciones ofrece una base excelente para tomar decisiones, ya que

quien las toma pueda considerar una continuidad de alternativas riesgo-rendimiento en lugar

de un punto sencillo de estimativo.

Tasas de descuento ajustadas al riesgo

Otra manera de tratar el riesgo es utilizar una tasa de descuento ajustada al riesgo, k, para

descontar los flujos de caja del proyecto.

Para ajustar adecuadamente la tasa de descuento es necesaria una función que relacione el

riesgo y los rendimientos a la tasa de descuento.

Tal función de riesgo-rendimiento o curva de indiferencia del mercado, en este caso el riesgo

se calcula por medio del coeficiente de variación. La curva de indiferencia del mercado indica

que los flujos de caja relacionados con un acontecimiento sin riesgo descontada a una tasa de

interés. En consecuencia este representa la tasa de rendimiento sin riesgo.

Cuando se descuentan a una tasa de riesgo determinada, esta debe ser calculada lo más

cercano posible a la realidad empresarial, ya que si una empresa descuenta flujos de caja con

riesgo a una tasa demasiado baja y acepta un proyecto, el precio de la empresa puede decaer

y por ende mas peligrosa para los inversionistas.

Giovanny E. Gómez

giogosarrobagestiopolis.com

mailto:[email protected]

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