univerzitet u kragujevcu prirodno matemati^ki fakultet informator i nstituta za ... ·...
TRANSCRIPT
UNIVERZITET U KRAGUJEVCU
PRIRODNO�MATEMATI^KI FAKULTET
INFORMATOR
INSTITUTA ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
ZA UPIS U PRVU GODINU
OSNOVNIH AKADEMSKIH STUDIJA
[KOLSKE 2017/2018. GODINE
KRAGUJEVAC, 2017. GODINE
AUTORI: prof. dr Radosav \or|evi}doc. dr Sla|ana Dimitrijevi}doc. dr Bojana Borovi}anindoc. dr Tatjana Tomovi}Nenad Stojanovi}Milica Grbovi}
IZDAJE: Univerzitet u KragujevcuPrirodno�matemati~ki fakultetRadoja Domanovi}a 1234000 Kragujevac, Srbijahttp://www.pmf.kg.ac.rs
Institut za matematiku i informatikuhttp://imi.pmf.kg.ac.rs
Sadr`aj
Uslovi za upis na osnovne akademske studije 7
Pravila studirawa 9
[ta je matematika 14
Ra~unarske nauke ili Informatika 15
Osnovne akademske studije 16
Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Informatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Master akademske studije 35
Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Informatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Zadaci za pripremu prijemnih ispita 40
Ovaj informator je namewen budu}im studentima matema-
tike i informatike na Institutu za matematiku i infor-
matiku Prirodno-matemati~kog fakulteta u Kragujevcu. U
wemu mo`ete na}i detaqne informacije o nastavnim plano-
vima osnovnih i master akademskih studija matematike i in-
formatike, o uslovima za upis i o na~inu polagawa prijemnog
ispita.
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Drage budu}e kolege,
Verovatno ve}ina vas upravo sada bira sebi profesiju za ~itav `ivot.
Ona bi trebalo da bude potrebna i korisna dru{tvu u kome `ivimo,
ali bi ona istovremeno trebalo da vam predstavqa i zadovoqstvo. Ako
ste odlu~ili da svoje vreme, entuzijazam i strpqewe posvetite studijama
matematike ili informatike, na dobrom ste putu da va{ posao bude i jedno
i drugo.
Prva, i ~esto jedina, predstava novih studenata o primeni znawa koje
}e na ovim studijama ste}i jeste da }e slu`iti samo daqem preno{ewu
mla|im generacijama (radu u {koli) ili, eventualno, kao osnova za nau~ni
rad. Oni, svakako, ne gre{e u tome da su ovakva opredeqewa dobra, ali
nisu jedina. Naime, u dana{wem dru{tvu, realne situacije name}u gomilu
problema koji se ne mogu re{iti bez matematike, niti se mogu realizovati
bez primene informacionih tehnologija. Pomenimo samo sve popularni-
ju finansijsku matematiku, kao i to da se svako istra`ivawe u oblasti
medicine, biologije ili pak bilo koje dru{tvene nauke ne mo`e izvesti bez
statisti~ke obrade podataka. Da li vam je poznato da se dobro organizovan
saobra}aj, osiguravaju}a dru{tva, banke i sli~no oslawaju na matemati~ke
modele?
O primenama informacionih tehnologija nije potrebno govoriti. O
wima mo`ete u~iti na raznim fakultetima, ali vam na{ pru`a mogu}nost
da u saradwi sa kolegama matemati~arima napravite korak daqe. Inter-
net pretra`iva~i, agenti, video igrice nezamislivi su bez saradwe infor-
mati~ara i matemati~ara (u kompaniji Google radi ~itav tim matemati-
~ara).
Za koji god se modul opredelili, na{a saradwa se ne mora zavr{iti
va{im diplomirawem. Mo`emo sara|ivati na doktorskim studijama ili
u konkretnim poslovima. U svakom slu~aju, bi}e nam drago da ostanemo u
kontaktu.
Vidimo se u oktobru!
6
INFORMATOR 2017. GODINE
Uslovi za upis na osnovne akademske studije
Prirodno�matemati~ki fakultet u Kragujevcu se sastoji iz ~etiri In-
stituta:
• Institut za matematiku i informatiku;
• Institut za biologiju i ekologiju;
• Institut za fiziku;
• Institut za hemiju.
Institut za matematiku i informatiku realizuje tri nivoa studija:
osnovne akademske studije, master akademske studije i doktorske akademske
studije. Osnovne akademske studije na studijskim grupama Instituta za
matematiku i informatiku traju ~etiri godine (8 semestara), master aka-
demske studije jednu godinu (2 semestra) i doktorske akademske studije traju
tri godine (6 semestara).
Upis studenata vr{i se na osnovu konkursa, sa ta~no odre|enim pra-
vilima za utvr|ivawe redosleda kandidata za upis. Konkurs se objavquje
u sredstvima javnog informisawa i na osnovu wega kandidati podnose
prijavu sa svom potrebnom dokumentacijom.
Pravo na upis osnovnih akademskih studija imaju dr`avqani Srbije,
kao i dr`avqani drugih zemaqa ukoliko su sredwe obrazovawe u ~etvoro-
godi{wem trajawu stekli u Srbiji. Dr`avqani Srbije i stranci koji su
prethodno obrazovawe stekli u inostranstvu, mogu da se upi{u na prvu go-
dinu studija ukoliko su prethodno nostrifikovali svedo~anstva ste~ena
u inostranstvu. Tako|e, stranac mora da podnese i dokaz da je savladao
srpski jezik, kao i potvrdu da je zdravstveno osiguran.
Prijemni ispit za studije u Institutu za matematiku i informatiku
pola`e se iz matematike po programu prirodno�matemati~kog smera gim-
nazije. Za pripremu prijemnog ispita preporu~ujemo uxbenike i zbirke za-
dataka iz matematike za u~enike gimnazije prirodno�matemati~kog smera.
7
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
U ovom Informatoru (strana 40) mo`ete na}i zadatke za pripremu pri-
jemnog ispita. U~enici koji su u ~etvrtom razredu osvojili jednu od prve
tri nagrade na Republi~kom takmi~ewu iz matematike (takmi~ewe u or-
ganizaciji Dru{tva matemati~ara Srbije i Ministarstva za prosvetu i
nauku Republike Srbije) ili na Srpskoj matemati~koj olimpijadi, oslo-
bo|eni su polagawa prijemnog ispita.
Kandidat podnosi PRIJAVU ZA KONKURS (Studentska slu`ba Fa-
kulteta) sa originalnim ili overenim kopijama dokumenata (originali se
donose na uvid) i to:
• izvod iz mati~ne kwige ro|enih;
• svedo~anstvo svih razreda prethodnog obrazovawa;
• diplomu;
• dokaz o uplati naknade za polagawe prijemnog ispita.
Napomena. Bez li~ne karte nije mogu}e polagawe prijemnog ispita.
Komisija za upis utvr|uje op{tiuspeh kandidata u sredwemobrazovawu,
rezultate kandidata na prijemnom ispitu, kao i rang listu kandidata za
upis na prvu godinu studija.
Kandidat koji stekne pravo na upis da bi se upisao na studije podnosi:
• originalna dokumenta (4 svedo~anstva, diplomu i izvod iz mati~ne
kwige ro|enih);
• dva obrazca [V-20 (Skriptarnica Fakulteta);
• indeks (Studentska slu`ba Fakulteta);
• dve fotografije formata 4, 5× 3, 5 cm;
• dokaz o uplati odgovaraju}ih naknada.
8
INFORMATOR 2017. GODINE
Svi potrebni obrasci se kupuju u skriptarnici Fakulteta. Upisom na
Fakultet sti~e se status studenta. Obaveze i prava studenata regulisana
su Statutom Fakulteta.
Sva dodatna obave{tewa u vezi upisa naFakultet, kao i konkurisawa za
studentski dom, mo`ete dobiti u studentskoj slu`bi putem telefona (034)
300-260 ili li~no na Fakultetu, ulica Radoja Domanovi}a 12, Kragujevac,
a mo`ete posetiti i Web stranu Fakulteta http://www.pmf.kg.ac.rs
ili Web stranu Instituta http://imi.pmf.kg.ac.rs.
Institut za matematiku i informatiku se nalazi u glavnoj zgradi
Prirodno�matemati~kog fakulteta na drugom spratu. Institut raspola`e
dobro opremqenim ra~unarskim salama sa stalnom i brzom Internet ve-
zom.
Pravila studirawa
Ukupno trajawe osnovnih akademskih studija uInstitutu za matematiku
i informatiku Prirodno-matemati~kog fakulteta u Kragujevcu je 4 godine
(8 semestara). Za to vreme student treba da sakupi 240 ESPB. Nakon
osvojenih 240 ESPB, student, u zavisnostu od izabranog modula, sti~e
odgovaraju}i stru~ni naziv.
Na osnovnim akademskim studijama matematike postoje dva modula:
• Teorijska matematika;
• Profesor matematike;
u odnosu na koje student sti~e jedan od stru~nih naziva:
• Diplomirani matemati~ar � teorijska matematika;
• Diplomirani matemati~ar � profesor matematike.
9
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Na osnovnim akademskim studijama informatike postoje dva modula:
• Ra~unarstvo i informatika;
• Profesor informatike;
u odnosu na koje student sti~e jedan od stru~nih naziva:
• Diplomirani informati~ar;
• Diplomirani informati~ar � profesor informatike.
Na master akademske studije matematike, odnosno informatike, stu-
dent se mo`e upisati nakon zavr{enih osnovnih akademskih studija ma-
tematike, tj. informatike, i sakupqenih 240 ESPB. Studije traju jednu
godinu (2 semestra). Za to vreme student treba da sakupi 60 ESPB. Nakon
osvojenih 60 ESPB (odnosno 300 ESPB, na nivou petogodi{wih studija) i
uspe{no odbrawenog Zavr{nog rada student sti~e odgovaraju}i akademski
naziv u zavisnosti od izabranog modula.
Na master akademskim studijama matematike postoje dva modula:
• Teorijska matematika;
• Profesor matematike;
u odnosu na koje student sti~e jedan od akademskih naziva:
• Master matemati~ar � teorijska matematika;
• Master matemati~ar � profesor matematike.
Na master akademskim studijama informatike postoji samo jedan modul
i nakon zavr{etka studija student sti~e akademski naziv
• Master informati~ar.
10
INFORMATOR 2017. GODINE
Svaki od studijskih programa ima definisane obavezne i izborne pred-
mete koji u skladu sa svojom prirodom mogu biti akademsko�op{teobrazov-
nog (AO), teorijsko�metodolo{kog (TM), nau~no�stru~nog (NS) i stru~no�
aplikativnog (SA) tipa. Nastava se realizuje kroz predavawa (p), ve`be (v),
druge oblike aktivne nastave (don), a na master studijama i kroz studijski
istra`iva~ki rad (s).
Na po~etku svake{kolske godine se objavquje spisak izbornih predmeta
(iz ponu|enih grupa) koji mogu biti realizovani u toj {kolskoj godini sa
definisanim limitima broja studenata. Prijavqivawe izbornih predmeta
se vr{i po pravilu prilikom upisa godine. Nastava iz datog predmeta }e
se organizovati ako ukupan broj studenata na izabranom predmetu bude ve}i
od predvi|enog limita.
Ispuwavawem predispitnih obaveza i polagawem ispita student mo`e
ostvariti najvi{e 100 poena. Da bi student polo`io ispit mora da osvoji
najmawe 51 poen. Princip ocewivawa je dat slede}om tabelom.
Ostvaren broj
poena
Numeri~ka (opisna) ocena Nenumeri~ka
ocena
0− 50 5 (nedovoqan) F
51− 60 6 (dovoqan) E
61− 70 7 (dobar) D
71− 80 8 (vrlo dobar) C
81− 90 9 (odli~an) B
91− 100 10 (odli~an� izuzetan) A
Student koji nije polo`io ispite iz spiska obaveznih predmeta do
po~etka naredne {kolske godine, upisuje isti predmet. Student koji ne
polo`i izborni predmet, slede}e {kolske godine mo`e ponovo upisati
isti ili se opredeliti za drugi izborni predmet.
Na master akademskim studijama, student ne mo`e ponovo polagati isti
predmet koji je ranije polo`io na osnovnim akademskim studijama. Uko-
11
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
liko je student obavezne predmete sa master akademskih studija polo`io
kao izborne predmete na osnovnim akademskim studijama, onda umesto wih
pola`e izborne predmete.
Posledwi ispit u toku master akademskih studija je Zavr{ni rad, ~iji
prakti~ni deo studenti rade u toku posledweg semestra. Spisak tema i
mentora za Zavr{ni rad odre|uje Ve}e katedre Instituta za matematiku i
informatiku na po~etku svake {kolske godine i isti~e na oglasnoj tabli
i sajtu Instituta. Studenti prijavquju temu u toku zimskog semestra.
Ukoliko se dva studenta opredele za istu temu, prednost ima student koji
se ranije prijavio. Ukoliko se vi{e studenata istog dana opredeli za istu
temu, prednost ima student sa najve}om prose~nom ocenom. Zavr{ni rad
se brani pred tro~lanom komisijom iz reda nastavnika koju odre|uje Ve}e
katedre Instituta za matematiku i informatiku, a mentor Zavr{nog rada
je obavezno jedan od ~lanova komisije.
Doktorske akademske studije matematike, odnosno ra~unarskih nauka,
traju 3 godine (6 semestara). Za to vreme student treba da sakupi 180
ESPB). Nakon osvojenih 180 ESPB i odbrawene Doktorske disertacije,
student sti~e nau~ni naziv doktor nauka � matemati~ke nauke, odnosno
doktor nauka � ra~unarske nauke.
Na doktorske akademske studije iz oblasti matematike (tj. ra~unarskih
nauka) mogu se upisati:
• magistrimatemati~kih (tj. informati~kih/ra~unarskih) nauka (lica
sa V II2 stepenom stru~ne spreme);
• specijalisti matemati~kih (tj. informati~kih/ra~unarskih) nauka;
• studenti poslediplomskih (magistarskih ili specijalisti~kih) stu-
dija prema propisima koji su va`ili pre stupawa na snagu Zakona
o visokom obrazovawu, ako su na diplomskim studijama ostvarili
proce~nu ocenu ne mawu od 8, 00;
12
INFORMATOR 2017. GODINE
• lica sa zavr{enim master akademskim studijama iz oblasti matema-
tike (tj. informatike/ra~unarstva), obima 300 ESPB, sa prose~nom
ocenom ne mawom od 8, 00;
• lica sa zavr{enim ~etvorogodi{wim diplomskim studijama iz obla-
sti matematike (tj. informatike/ra~unarstva) prema propisima koji
su va`ili pre stupawa na snagu Zakona o visokom obrazovawu, ako su
na diplomskim studijama ostvarili prose~nu ocenu ne mawu od 8, 00;
• lica sa zavr{enim diplomskim akademskim studijama iz oblasti
srodnih matematici (tj. informatici/ra~unarstvu), sa prose~nom
ocenom ne mawom od 8, 00 (srodnost oblasti utvr|uje Ve}e katedre
Instututa za matematiku i informatiku);
• lica koja su stekla ekvivalentno obrazovawe u inostranstvu (ako
takvim licima srpski jezik nije materwi, neophodna je potvrda o
znawu srpskog jezika, koju izdaje odgovaraju}a ustanova).
Za upis na doktorske akademske studije neophodno je poznavawe engles-
kog jezika ~iju proveru vr{i Prirodno-matemati~ki fakultet.
Detaqne informacije o doktorskim akademskim studijama matematike
i doktorskim akademskim studijama ra~unarskih nauka mogu se na}i na
Web strani Instituta za matematiku i informatiku.
13
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
[ta je matematika
Iako su mnogi poku{avali da defini{u {ta je matematika, op{ti
stav je da je ni jedna definicija ne mo`e potuno opisati. Jedini put
do odgovora na ovo pitawe jeste bavqewe matematikom. Recimo samo da
je matematika daleko od predstave koju ve}ina ima � tehnika baratawa
brojevima i slovima, tj. ra~un. Potpuno suprotan do`ivqaj imaju oni
koji se wom bave. Oni }e se slo`iti sa konstatacijom da je matematika
najuniverzalniji alat, primenqiviji od bilo kog drugog. Matemati~ari
koriste brojeve i simbole u razli~ite svrhe, od stvarawa novih teorija do
prevo|ewa tehni~kih problema u matemati~ke okvire.
O zna~aju matematike najboqe govori slede}i zakqu~ak konferencije
UNESCO-a o obrazovawu.
�Matematika i wen stil razmi{qawa moraju postati sastavni deo
op{te kulture savremenog ~oveka, ~oveka koji se obrazuje u dana{wim {ko-
lama, bez obzira da li }e on vr{iti posao koji koristi matematiku ili
ne.�
�Predmetmatematike je tolikote`ak da netreba prepustiti slu~aju
da se u~ini zanimqivim.�
Pierre Simon Laplace
�Matematika, kad je ~ovek dobro shvati, sadr`i ne samo istinu ve} i
najvi{u lepotu.�
Bertrand Russel
�Matematika pru`a egzaktnim naukama stanovitu meru sigurnosti
koja se bez matematike ne bi mogla posti}i.�
Albert Einstein
14
INFORMATOR 2017. GODINE
Ra~unarske nauke ili Informatika
Iako se ovi pojmovi ~esto poistove}uju, me|u wima ipak postoji raz-
lika.
”Computer science, or computing science, is the study of the theoretical
foundations of information and computation and their implementation and
application in computer systems.”
Wikipedia, the free encyclopedia
”Informatics includes the science of information, the practice of infor-
mation processing, and the engineering of information systems. Informatics
studies the structure, behavior, and interactions of natural and artificial sys-
tems that store, process and communicate information...”
Wikipedia, the free encyclopedia
Na{a misija je:
• da postanemo obrazovni i tehnolo{ki inkubator budu}e softverske
industrije Srbije;
• da kvalitet znawa na{ih studenata bude prepoznatqivo dobar;
• da na{i studenti budu spremni za samostalan rad u praksi i dovoqno
samouvereni da svoj posao mogu i samostalno da osmisle.
Na{a vizija je:
• da kroz partnerstvo sa firmama za razvoj softvera omogu}imo stu-
dentima praksu i time ih pripremimo za poslove za koje se {koluju;
• da zajedno sa studentima osnovnih, master i doktorskih studija radi-
mo na realizaciji projekata koji zahtevaju primene informacionih
tehnologija u razvoju.
15
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Osnovne akademske studije
Matematika
Bitne karakteristike studija su:
• nastavni planovi su uskla|eni sa Bolowskom deklaracijom;
• obavezni predmeti pokrivaju znawa koja svaki matemati~ar mora da
poseduje;
• veliki broj izbornih predmeta nudi studentima mogu}nost da prema
svojim afinitetima sami odaberu za koje }e se oblasti specijalizo-
vati;
• planovi su tako osmi{qeni da je promenamodula u toku studijamogu}a
u bilo kom trenutku.
Modul Teorijska matematika je namewen studentima koji `ele da wi-
hove studije matematike imaju kako nau~ni i istra`iva~ki karakter, tako
i da budu primenqive. Pre svega one bi im omogu}ile da upoznaju na-
juniverzalnije matemati~ke jezike, aparate i konstrukcije, ~ime bi bili
osposobqeni da rade na razvoju same matematike. Sagledavawe matematike
sa najvi{eg i najsavramenijeg nivoa omogu}uje ukqu~ivawe u bilo koju de-
latnost u kojoj se matematika primewuje. Obzirom na specifi~nost studija
na ovom modulu studenti }e imati mogu}nost da odaberu mentora koji }e im
pomo}i i usmeravati u toku studija. Svedoci smo da su matemati~ari danas
nezamewivi stru~waci projektnih timova u oblasti tehnike, industrije,
statisti~kih analiza, genetike, i raznih drugih, {to ukazuje na veliku
potrebu za ovim obrazovnim profilom. Ono {to za vas mo`e biti intere-
santno je da je potra`wa za ovakvim stru~wacima ve}a od ponude. Tako|e,
izborom predmeta iz pedago{ko�psiholo{ko�metodi~ke grupe student je
osposobqen da radi kao profesor matematike u svim osnovnim i sredwim
{kolama.
16
INFORMATOR 2017. GODINE
Modul Profesor matematike je namewen studentima koji, pre svega,
`ele da nakon zavr{etka studija rade u {kolama kao profesori matema-
tike. Program je prilago|en tom ciqu pa su ove studije obojene ve}im
brojem metodi~kih sadr`aja. Programom je predvi|ena obavezna praksa u
{kolama, kojom bi student u velikoj meri bio pripremqen za poziv za koji
se {koluje.
Savladavawem studijskog programa osnovnih akademskih studija stu-
dent sti~e:
• sposobnost logi~kog mi{qewa, formulisawa pretpostavki, izvo-
dewa zakqu~aka na formalan i formalizovan na~in;
• sposobnost komunikacije na profesionalnom nivou i timskog rada;
• sposobnost za profesionalno napredovawe;
• sposobnost primene znawa u praksi;
• sposobnost kriti~kog i samokriti~kog mi{qewa i pristupa;
• sposobnost prezentovawa rezultata svog rada;
• poznavawe i razumevawe osnovnih matemati~kih disciplina;
• sposobnost povezivawa razli~itih matemati~kih disciplina;
• sposobnost primene ste~enih znawa u re{avawu prakti~nih prob-
lema;
• sposobnost pra}ewa i primene novina u struci;
• sposobnost za kori{}ewe stru~ne literature i savremenih informa-
ciono�komunikacionih tehnologija za daqe stru~no usavr{avawe;
• sposobnost analize i procene ispravnosti rezultata svog i tu|eg
rada.
17
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Prva godina, 1. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M101 TM Matemati~ka logika i teorija
skupova
2 2 0 5
M102 TM Uvod u geometriju 2 2 1 6
M103 TM Uvod u analizu i algebru 4 3 0 8
M104 SA Softverski alati 1 1 2 0 5
Izborni predmet 1 2 1 0 5
Zbir 11 10 1 29
[ifra Tip Izborni predmet 1^asovi
ESPBp v don
M143 AO Engleski jezik A1 2 1 0 5
M144 AO Engleski jezik B1 2 1 0 5
Prva godina, 2. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M105 TM Analiza 1 4 4 0 9
M106 TM Linearna algebra 1 3 2 0 6
M107 SA Diskretna matematika 2 2 0 5
M108 SA Osnovi programirawa 2 2 1 6
Izborni predmet 2 2, 1 1, 2 0 5
Zbir 13, 12 11, 12 1 31
[ifra Tip Izborni predmet 2^asovi
ESPBp v don
M145 AO Engleski jezik A2 2 1 0 5
M146 AO Engleski jezik B2 2 1 0 5
M109 SA Softverski alati 2 1 2 0 5
18
INFORMATOR 2017. GODINE
Druga godina, 3. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M110 TM Analiza 2 4 4 0 9
M111 TM Analiti~ka geometrija 3 3 0 7
M112 TM Linearna algebra 2 2 2 0 6
Izborni predmet 3 2 2 1 7
Zbir 11 11 1 29
[ifra Tip Izborni predmet 3^asovi
ESPBp v don
M113 NS Teorija brojeva 2 2 1 7
M114 SA Finansijska matematika 2 2 1 7
Druga godina, 4. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M115 NS Analiza 3 4 3 0 9
M116 NS Algebarske strukture 4 3 0 9
M117 NS Geometrija 4 3 0 9
Izborni predmet 4 2 0 1 4
Zbir 14 9 1 31
[ifra Tip Izborni predmet 4^asovi
ESPBp v don
M142 AO Kultura govora 2 0 1 4
B140 AO Osnovi ekologije 2 0 1 4
F123 AO Filozofija prirodnih nauka 2 0 1 4
19
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Modul Teorijska matematika
Tre}a godina, 5. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M118 NS Diferencijalne jedna~ine 3 3 0 6
M119 NS Algebra i logika 3 3 0 7
M120 NS Analiza 4 4 3 0 8
Izborni predmeti 5 i 6 4 4 0 10
Zbir 14 13 0 31
[ifra Tip Izborni predmeti 5 i 6^asovi
ESPBp v don
M121 SA Kombinatorika 2 2 0 5
M122 SA Obrazovni softver 2 2 0 5
M123 SA Linearna optimizacija 2 2 0 5
M124 SA Nacrtna i kompjuterska
geometrija
2 2 0 5
Tre}a godina, 6. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M125 SA Numeri~ka matematika 3 3 1 8
M126 NS Funkcionalna analiza 4 4 0 9
M127 NS Neeuklidske geometrije 2 2 0 6
Izborni predmet/i 7(8) 4, 2 0, 2 0 6
Zbir 13, 11 9, 11 1 29
20
INFORMATOR 2017. GODINE
[ifra Tip Izborni predmet/i 7(8)^asovi
ESPBp v don
AO Pedagogija 2 0 0 3
B125 AO Bioetika 2 0 0 3
M128 NS Kombinatorna geometrija 2 2 0 6
SA Strukture podataka i
algoritmi 12 2 0 6
^etvrta godina, 7. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M129 NS Verovatno}a i
statistika 13 3 0 7
M130 NS Topologija 1 3 3 0 7
M131 NS Parcijalne i integralne
jedna~ine
3 3 0 7
Izborni predmet/i 9(10) 4, 3, 3 0, 0, 2 0, 1, 1 6
Zbir 13, 12 9, 9, 11 0, 1, 1 27
[ifra Tip Izborni predmet 9(10)^asovi
ESPBp v don
AO Psihologija 2 0 0 3
TM [kolska pedagogija 2 0 0 3
M132 AO Istorija i filozofija
matematike
3 0 1 6
SA Objektno-orjentisano
programirawe
3 2 1 6
21
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
^etvrta godina, 8. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M133 SA Verovatno}a i
statistika 23 2 1 6
M134 NS Kompleksna analiza 3 3 0 7
M135 NS Diferencijalna
geometrija
3 3 0 7
M136 TM Metodika 3 3 0 7
Izborni predmet 11 0, 2 0, 2 0, 1 6
Zbir 12, 14 11, 13 1, 2 33
[ifra Tip Izborni predmet 11^asovi
ESPBp v don
M137 SA Stru~na praksa 0 0 0 6
M138 NS Topologija 2 2 2 1 6
SA KlijentskeWeb tehnologije 2 2 1 6
Modul Profesor matematike
Tre}a godina, 5. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M118 NS Diferencijalne jedna~ine 3 3 0 6
M120 NS Analiza 4 4 3 0 8
AO Psihologija 2 0 0 3
Izborni predmeti 5 i 6 4 4 0 10
Zbir 13 10 0 27
22
INFORMATOR 2017. GODINE
[ifra Tip Izborni predmet 5 i 6^asovi
ESPBp v don
M121 SA Kombinatorika 2 2 0 5
M122 SA Obrazovni softver 2 2 0 5
M123 SA Linearna optimizacija 2 2 0 5
K124 SA Nacrtna i kompjuterska
geometrija
2 2 0 5
Tre}a godina, 6. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M125 SA Numeri~ka matematika 3 3 1 8
M126 NS Funkcionalna analiza 4 4 0 9
M136 TM Metodika 3 3 0 7
AO Pedagogija 2 0 0 3
Izborni predmet 7 2 2 0 6
Zbir 14 12 1 33
[ifra Tip Izborni predmet 7^asovi
ESPBp v don
M127 NS Neeuklidske geometrije 2 2 0 6
M128 NS Kombinatorna geometrija 2 2 0 6
SA Strukture podataka i
algoritmi 12 2 0 6
23
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
^etvrta godina, 7. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M129 NS Verovatno}a i statistika
13 3 0 7
M132 AO Istorija i filozofija
matematike
3 0 1 6
M139 SA Elementarna matematika 2 2 1 6
M140 TM [kolska pedagogija 2 0 0 3
Izborni predmet 8 3 3 0 7
Zbir 13 8 2 29
[ifra Tip Izborni predmet 8^asovi
ESPBp v don
M130 NS Topologija 1 3 3 0 7
M131 NS Parcijalne i integralne
jedna~ine
3 3 0 7
^etvrta godina, 8. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M133 SA Verovatno}a i statistika
23 2 1 6
M134 NS Kompleksna analiza 3 3 0 7
M137 SA Stru~na praksa 0 0 0 6
Izborni predmeti 9 i 10 5, 5 3, 2 1, 1 12
Zbir 11, 11 8, 7 2, 2 31
24
INFORMATOR 2017. GODINE
[ifra Tip Izborni predmeti 9 i 10^asovi
ESPBp v don
M135 NS Diferencijalna geometrija 3 3 0 7
F122 AO Razvoj nau~ne misli 2 0 1 5
M141 SA Metodika u {koli 3 0 0 6
SA KlijentskeWeb tehnologije 2 2 1 6
Napomena. U8. semestru student bira izborne predmete tako da obezbedi
12 ESPB.
25
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Informatika
Bitne karakteristike studija su:
• nastavni planovi su uskla|eni sa Bolowskom deklaracijom;
• obavezni predmeti pokrivaju znawa koja svaki informati~ar mora
da poseduje;
• veliki broj izbornih predmeta nudi studentima mogu}nost da prema
svojim afinitetima sami odaberu za koje }e se oblasti specijalizo-
vati;
• obavezna praksa u partnerskim firmama, kao i veliki broj semi-
narskih radova daju dobar okvir da ste~ena teorijska znawa budu
funkcionalna i upotrebqiva.
Tokom studija studenti se upoznaju sa osnovnim matemati~kim apara-
tima potrebnim za definisawe osnova raznih informati~kih disciplina,
sa osnovnim oblastima ra~unarskih nauka, wihovim ulogama i me|usob-
nim odnosima, kao i osnovnim objektima, konceptima i metodama koje
te oblasti izu~avaju. Studijski program je koncipiran tako da razvija
sposobnost shvatawa i formulisawa problema, kao i modelirawe sistema
sa ciqem re{avawa prakti~nih problema. Stru~na praksa se realizuje
u partnerskim softverskim firmama i firmama ~ije se funkcionisawe
velikim delom oslawa na primenu informacionih tehnologija.
Modul Ra~unarstvo i informatika namewen je studentima koji `ele
da nastave sa daqim stru~nim i nau~nim usavr{avawem, kao i studen-
tima koji `ele da obavqaju poslove koji zahtevaju vladawe razli~itim
oblastima ra~unarskih nauka, poznavawe i sposobnost kori{}ewa pos-
toje}ih, razumevawe i razvoj novih informacionih tehnologija, kao i pri-
lago|avawe specifi~nim zahtevima razli~itih oblastiqudskog delovawa.
Tako|e, izborom predmeta iz pedago{ko�psiholo{ko�metodi~ke grupe stu-
dent je osposobqen da radi kao profesor informatike u svim osnovnim i
sredwim {kolama.
26
INFORMATOR 2017. GODINE
Modulu Profesor informatike je namewen studentima koji `ele da
rade u {kolama kao profesori informatike. Zavr{etkom ovog modula stu-
denti su osposobqeni da uspe{no prenose znawe iz oblasti informatike
i ve{tine kori{}ewa savremenih informacionih tehnologija uz primenu
savremenih nastavnih metoda i da izvode dodatnu nastavu u osnovnim i
sredwim {kolama.
Savladavawem studijskog programa osnovnih akademskih studija in-
formatike student sti~e:
• sposobnost logi~kog mi{qewa;
• sposobnost komunikacije na profesionalnom nivou i timskog rada;
• sposobnost za profesionalno napredovawe;
• sposobnost primene znawa u praksi;
• sposobnost prezentovawa rezultata svog rada;
• poznavawe i razumevawe osnovnih oblasti ra~unarskih nauka;
• poznavawe, razumevawe i sposobnost primene savremenih informa-
cionih tehnologija;
• razumevawe savremenih kretawa u oblasti ra~unarskih nauka;
• sposobnost povezivawa razli~itih oblasti ra~unarskih nauka i pri-
mene ste~enih znawa u re{avawu prakti~nih problema;
• sposobnost pra}ewa i primene novina u struci;
• sposobnost za kori{}ewe stru~ne literature i savremenih infor-
maciono�komunikacionih tehnologija u sticawu znawa iz oblasti
ra~unarstva i srodnih oblasti;
• sposobnost analize i procene ispravnosti rezultata svog i tu|eg
rada.
27
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Prva godina, 1. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M151 TM Osnovi programirawa 2 2 1 7
M152 TM Teorijske osnove informatike 1 2 2 0 6
M184 TM Matematika 1 3 2 0 6
M154 TM Ra~unarski sistemi 2 1 0 6
Izborni predmet iz grupe A 2 1 0 5
Zbir 11 8 1 30
[ifra Tip Izborni predmet � grupa A^asovi
ESPBp v don
M143 AO Engleski jezik A1 2 1 0 5
M144 AO Engleski jezik B1 2 1 0 5
Prva godina, 2. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M155 SA Strukture podataka i
algoritmi 12 2 0 7
M185 TM Matematika 2 3 2 0 6
M157 TM Teorijske osnove informatike 2 2 2 0 6
M158 NS Arhitektura ra~unara 1 3 2 0 7
M159 AO Softverski alati 1 1 2 0 4
Zbir 11 10 0 30
28
INFORMATOR 2017. GODINE
Druga godina, 3. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M160 NS Strukture podataka i
algoritmi 22 2 1 6
M186 TM Matematika 3 3 3 0 7
M162 NS Baze podataka 1 3 3 0 7
M163 NS Operativni sistemi 1 3 2 0 7
Izborni predmet iz grupe B1 1, 2 2 0 5
Zbir 12, 13 12 1 32
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa B1^asovi
ESPBp v don
M181 SA Softverski alati 2 1 2 0 5
M198 AO Fizika za informati~are 2 2 0 5
Druga godina, 4. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M164 NS Objektno-orijentisano
programirawe
3 2 1 7
M165 SA KlijentskeWeb tehnologije 2 2 1 6
M166 NS Ra~unarske mre`e i mre`ne
tehologije
3 2 0 6
Izborni predmet iz grupe B2 2 0 1 4
Izborni predmet iz grupe B3 2 1 0 5
Zbir 12 7 3 28
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa B2^asovi
ESPBp v don
B140 AO Osnovi ekologije 2 0 1 4
M142 AO Kultura govora 2 0 1 4
29
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa B3^asovi
ESPBp v don
M145 AO Engleski jezik A2 2 1 0 5
M146 AO Engleski jezik B2 2 1 0 5
Tre}a godina, 5. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M167 SA Vizuelno programirawe 3 2 1 8
M168 NS Informacioni sistemi 1 3 2 1 8
M169 SA Algoritamske strategije 2 2 1 7
Izborni predmet iz grupe V1 2 2 0 7
Zbir 10 8 3 30
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa V1^asovi
ESPBp v don
M175 SA Web programirawe 2 2 0 7
M170 NS Arhitektura ra~unara 2 2 2 0 7
30
INFORMATOR 2017. GODINE
Tre}a godina, 6. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M172 NS Inteligentni sistemi 1 3 2 1 8
M173 SA Softverski in`ewering 1 3 2 0 6
M251 TM Numeri~ka matematika i
simboli~ko programirawe
2 2 1 6
M267 SA Stru~na praksa 3
Izborni predmet iz grupe V2 2 2 0 7
Zbir 10 8 2 30
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa V2^asovi
ESPBp v don
M174 SA Elektronsko poslovawe 2 2 0 7
M171 NS Interakcija ~ovek�ra~unar 2 2 0 7
Modul Ra~unarstvo i informatika
^etvrta godina, 7. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M252 NS Operativni sistemi 2 3 2 1 7
M253 TM Formalni jezici, automati i
jezi~ki procesori
2 2 0 5
M255 SA Baze podataka 2 2 2 0 5
Izborni predmet iz grupe R1 2 2 0, 1 7
Izborni predmet iz grupe R1 2 2 0, 1 7
Zbir 11 10 1, 3 31
31
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
[ifra Tip Izborni predmet � grupa R1^asovi
ESPBp v don
M114 AO Finansijska matematika 2 2 1 7
M113 TM Teorija brojeva 2 2 1 7
M256 NS Ra~unarska grafika 2 2 0 7
M259 SA Primewena informatika 2 2 0 7
M257 SA Izborni seminar 2 2 0 7
^etvrta godina, 8. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M176 NS Programirawe slo`enih
softverskih sistema
3 2 0 6
M177 SA Projektni zadatak 2 0 4 7
Izborni predmet iz grupe R2 2 2 1 6
Izborni predmet iz grupe R2 2 2 1 6
M182 SA Zavr{ni rad 4
Zbir 9 6 6 29
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa R2^asovi
ESPBp v don
M262 SA Kvalitet i testirawe softvera 2 2 1 6
M263 NS Informacioni sistemi 2 2 2 1 6
M265 NS Ra~unarske simulacije 2 2 1 6
M180 NS Paralelno programirawe 2 2 1 6
32
INFORMATOR 2017. GODINE
Modul Profesor informatike
^etvrta godina, 7. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
K109 TM Psihologija 2 0 0 4
M254 NS Metodika nastave
informatike
3 2 1 7
M178 SA Obrazovni softver 1 2 2 0 5
Izborni predmet iz grupe P1 2 2 0, 1 7
Izborni predmet iz grupe P1 2, 3 2 0, 1 7
Zbir 11, 12 8 1, 3 30
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa P1^asovi
ESPBp v don
M114 AO Finansijska matematika 2 2 1 7
M113 TM Teorija brojeva 2 2 1 7
M256 NS Ra~unarska grafika 2 2 0 7
M257 SA Izborni seminar 2 2 0 7
M252 NS Operativni sistemi 2 3 2 1 7
^etvrta godina, 8. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
K110 TM Pedagogija 2 0 0 4
M258 SA Metodika u {koli 1 0 2 3
M183 SA Stru~na praksa 6
M266 SA Metodika programirawa 3 2 2 7
M179 SA Obrazovni softver 2 1 0 2 4
Izborni predmet iz grupe P2 2, 3 2 0, 1 6
Zbir 9, 10 4 6, 7 30
33
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
[ifra Tip Izborni predmet grupa P2^asovi
ESPBp v don
M262 SA Kvalitet i testirawe softvera 2 2 1 6
M263 NS Informacioni sistemi 2 2 2 1 6
M265 NS Ra~unarske simulacije 2 2 1 6
M180 NS Paralelno programirawe 2 2 1 6
M176 NS Programirawe slo`enih
softverskih sistema
3 2 0 6
34
INFORMATOR 2017. GODINE
Master akademske studije
Matematika
Ovaj studijski program ~ini prirodnu i logi~ku celinu sa studijskim
programom osnovnih akademskih studija matematike. Koncipiran je tako
da se formiraju kompetentni i moderno obrazovani stru~waci, ~ije znawe
ne zastareva i koji su veoma tra`eni u prosveti, industriji, razvojno�
istra`iva~kim centrima, finansijskim institucijama i drugim mestima
gde postoji potreba za primenom matemati~kih aparata. Tako|e, posto-
ji i mogu}nost daqeg stru~nog i nau~nog usavr{avawa na doktorskim
studijama. Kroz grupu predmeta teorijske matematike na modulu Teo-
rijska matematika, studenti se na savremen na~in upoznaju sa klasi~nim
matemati~kim teorijama, kao i sa aktuelnim trendovima u matematici.
Pored usvojenih znawa, ovakvim obrazovawem se sti~e sposobnost apstra-
kcije i logi~kog razmi{qawa. Kvalitet obrazovawa obezbe|en je ~iweni-
com da ga izvode profesori sa velikim nau~nim ugledom u svetu, koji su
u~esnici vi{e doma}ih i me|unarodnih nau~no�istra`iva~kih projekata.
Kroz grupu pedago{ko�didakti~kih predmeta na moduluProfesor matema-
tike, studenti se u potpunosti osposobqavaju za rad u osnovnim i sredwim
{kolama, kako za redovne programe, tako i za programe dodatne nastave.
Modul Teorijska matematika
Prva godina, 1. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don s
M212 NS Teorija mere i integracije 4 4 0 0 10
Izborni predmeti 1 i 2 6 4 2 0 14
Zbir 10 8 2 0 24
35
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
[ifra Tip Izborni predmeti 1 i 2^asovi
ESPBp v don
M213 NS Geometrija povr{i 3 2 1 7
M214 NS Teorija grafova 3 2 1 7
M215 NS Numeri~ka analiza 1 3 2 1 7
M216 NS Optimizacija 1 3 2 1 7
M217 NS Logika 1 3 2 1 7
M218 NS Spektralna teorija operatora 3 2 1 7
Prva godina, 2. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don s
Izborni predmeti 3 i 4 6 4 2 0 14
M206 SA Studijski istra`iva~ki
rad
0 0 0 12 12
M207 SA Master rad 0 0 0 0 10
Zbir 6 4 2 12 36
[ifra Tip Izborni predmeti 3 i 4^asovi
ESPBp v don
M219 NS Rimanova geometrija 3 2 1 7
M220 NS Spektralna teorija matrica i
grafova
3 2 1 7
M221 NS Numeri~ka analiza 2 3 2 1 7
M222 NS Optimizacija 2 3 2 1 7
M223 NS Logika 2 3 2 1 7
M224 NS Uvod u stohasti~ku analizu 3 2 1 7
36
INFORMATOR 2017. GODINE
Modul Profesor matematike
Prva godina, 1. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M201 TM Psiholo{ke osnove u~ewa
matematike
3 2 1 7
Izborni predmeti 1 i 2 8 6 0 16
Zbir 11 8 1 23
[ifra Tip Izborni predmeti 1 i 2^asovi
ESPBp v don
M202 NS Odabrana poglavqa algebre i
logike
4 3 0 8
M203 NS Odabrana poglavqa analize 4 3 0 8
M204 NS Odabrana poglavqa geometrije 4 3 0 8
Prva godina, 2. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don s
M205 TM Strategije re{avawa
matemati~kih zadataka
3 3 0 0 8
Izborni predmet 3 3 2 0 0 7
M206 SA Studijski istra`iva~ki
rad
0 0 0 12 12
M207 SA Master rad 0 0 0 0 10
Zbir 6 5 0 12 37
37
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
[ifra Tip Izborni predmet 3^asovi
ESPBp v don
M208 SA Metodika nastave algebre i
logike
3 2 0 7
M209 SA Metodika nastave analize 3 2 0 7
M210 SA Metodika nastave geometrije 3 2 0 7
M211 SA Istra`ivawa u nastavi
matematike
3 2 0 7
Informatika
Studijski program je koncipiran tako da se formiraju kompetentni i
moderno obrazovani stru~waci, sposobni za uspe{no obavqawe poslova
koji zahtevaju vladawe razli~itim oblastima ra~unarskih nauka. Pored
poznavawa i sposobnosti kori{}ewa postoje}ih tehnologija, studenti se
osposobqavaju i za razumevawe i razvoj novih informacionih tehnologija.
Kako su informacione tehnologije postale sastavni deo funkcionisawa
skoro svih oblasti dru{tvenog delovawa, stru~waci ovakvog profila
imaju kompetencije koje su u potpunosti dru{tveno opravdane i korisne.
Ovaj studijski program omogu}ava daqe stru~no i nau~no usavr{avawe.
Prva godina, 1. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M261 NS Teorijsko ra~unarstvo 2 2 1 7
M260 AO Verovatno}a i statistika 2 2 0 5
M269 SA Upravqawe projektima 2 2 1 6
Izborni predmet iz grupe M 2 2 1
Izborni predmet iz grupe M 2 2 1, 0
Zbir 10 10 4, 3 31
38
INFORMATOR 2017. GODINE
Napomena. Student iz grupe M mora da izabere dva predmeta koji u
zbiru vrede najmawe 13 ESPB.
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa M^asovi
ESPBp v don
M264 SA Inteligentni sistemi 2 2 2 1 8
M276 AO U~ewe na daqinu 2 2 1 6
M202 TM Nacrtna i kompjuterska
geometrija
2 2 0 6
M274 NS Inteligentni informacioni
sistemi
2 2 1 7
M273 SA Softverski in`ewering 2 2 2 1 7
M281 SA Master izborni seminar 2 2 1 7
M275 TM Predstavqawe znawa i
zakqu~ivawe
2 2 1 8
Prva godina, 2. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don s
M278 SA Master projektni zadatak 2 2 2 0 7
M279 NS Studijski istra`iva~ki
rad
0 0 0 14 15
M280 NS Zavr{ni rad 7
Zbir 2 2 2 14 29
39
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Zadaci za pripremu prijemnih ispita
1. Izra~unaj vrednost izraza
(19
)− 12 +
(19
)−2
9−12 + 9−2
.
Re{ewe: 243.
2. Izra~unati vrednost izraza 2x2 − 2,4x− 1,7 ako je x = 7 · 10−1.
Re{ewe: −2, 4.
3. Dat je izraz I =
(ab + b
aab − b
a
+1
1 + ba
− 1
1− ba
):1− a−3b
a+b3a+ba−b − 3
.
• Za koje vrednosti promenqivih a i b je definisan izraz I?
• Dokazati da izraz I ima istu vrednost za sve vrednosti pro-
menqivih a i b za koje je definisan (tj. dokazati da izraz ne
zavisi od a i b).
Re{ewe: a ̸= 0, b ̸= 0, a+ b ̸= 0, a− b ̸= 0; I = 1.
4. Za a = 0, 025 odrediti vrednost izraza
A =
(a+ a−1 − 1
a+ a−2− a− a−1
a+ a−1 + 2
):
a−1
1 + a−1.
Re{ewe: A = 1.
5. Za a = 34 i b = 5
4 odrediti vrednost izraza(a2 − b−2)a(a− b−1)b−a
(b2 − a−2)b(b+ a−1)a−b
Re{ewe: 925 .
6. Izra~unati vrednost izraza I =1− 1
(m+x)2(1− 1
m+x
)2 ·(1− 1− (m2 + x2)
2mx
),
ako je x =1
m− 1,m ̸= 1.
Re{ewe: I =m3
2(m− 1).
40
INFORMATOR 2017. GODINE
7. Odrediti vrednost izraza R =1a − 1
b+c1a + 1
b+c
:a−b−cabc
1 + b2+c2−a2
2bc
, za a = 0, 02,
b = −11, 05 i c = 1, 07.
Re{ewe: 0, 1.
8. Izra~unati vrednost izraza
( 4√a− 4
√b)−2 + ( 4
√a+ 4
√b)−2
√a+
√b
:
(a− b
√a+
√b
)−2
, a, b > 0, a ̸= b.
Re{ewe: 2.
9. Izra~unati vrednost izrazaa b−2 (a−1b2)
4(ab−1)
2
a−2 b (a2b−1)3a−1 b
, ako je a = 10−3 i
b = 10−2.
Re{ewe: 100.
10. Izra~unati vrednost izraza
a3/2 + b3/2
(a2 − ab)2/3:a−2/3 3
√a− b
a√a− b
√b
za a = 0, 01 i b =2
25.
Re{ewe: 0, 0073.
11. Uprostiti izraz
(b−1 + a−1
ab−1 + ba−1
)−1
+
(a−1 + b−1
2
)−1
− b−1 − a−1
a−1b−1,
a ̸= −b, ab ̸= 0.
Re{ewe: 2b.
12. Izra~unati vrednost izraza
(1−
(1 + x
1− x
)−1)·(1 +
(1 + x
1− x
)−1)−1
za x = 0, 0001.
Re{ewe: 0, 0001.
41
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
13. Ako je x > 0, odrediti koliko procenata broja x je jednako brojevnoj
vrednosti izraza x50 + x
25 ?
Re{ewe: 6%.
14. [ta je ve}e: −(1
4
) 13
ili −(1
3
) 14
?
Re{ewe: −(1
4
) 13
.
15. Ako je a ̸= 0 i |a+ 1a | = 3, odrediti |a− 1
a |.
Re{ewe:√5.
16. Re{iti jedna~inu |x+ 2| − |x− 2| = 4.
Re{ewe: x ∈ [2,+∞).
17. Re{iti slede}e jedna~ine:
(a) ||x| − 2| = 5;
(b) ||2x− 3| − x+ 1| = 4x− 1.
Re{ewe: (a) x ∈ {7,−7}; (b) x =5
7.
18. U skupu realnih brojeva, za a ̸= b, a ̸= c, b ̸= c, re{iti jedna~inu
(x− b)(x− c)
(a− b)(a− c)+
(x− c)(x− a)
(b− c)(b− a)+
(x− a)(x− b)
(c− a)(c− b)= 1.
Re{ewe. Re{ewe je svako x ∈ R.
19. Re{iti sistem nejedna~ina 1 <3x+ 10
x+ 7< 2.
Re{ewe: x ∈(−3
2, 4).
42
INFORMATOR 2017. GODINE
20. Re{iti nejedna~inu |x− 1|+ |x+ 2|+ 3x+ 1 6 0.
Re{ewe: x ∈(−∞,−4
3
].
21. Re{iti jedna~inu |x2 − 9|+ |x2 − 4| = 5.
Re{ewe: x ∈ [−3,−2] ∪ [2, 3].
22. Odrediti zbir svih re{ewa jedna~ine
√(2x− 1
3
)2
=2
3.
Re{ewe:1
3.
23. Odrediti parametar k tako da funkcija y = (3k + 6)x + k − 7 bude
rastu}a i da wen grafik se~e negativan deo y�ose.
Re{ewe: −2 < k < 7.
24. Odrediti parametar k tako da funkcija y = (4k − 1)x − k + 3 bude
opadaju}a i da wen grafik se~e pozitivan deo y�ose.
Re{ewe: k <1
4.
25. Ako je f(x) = x3 − 3x i g(x) = sin π12x izra~unati f(g(2)).
Re{ewe: − 118 .
26. Zbir dva broja je 89. Ako ve}i broj podelimo mawim, dobija se
koli~nik 3 i ostatak 5. Koji su to brojevi?
Re{ewe: 21 i 68.
27. Zbir cifara dvocifrenog broja je 8. Ako se ciframa zamene mesta,
dobijeni broj }e za 10 biti ve}i od dvostrukog prvog broja. Koji je
to broj?
Re{ewe: 26.
43
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
28. Ako se dvocifreni broj, ~iji je zbir cifara 5, uve}a za 9, dobi}e se
broj sastavqen od istih cifara, ali u obrnutom redosledu. Koji je
to broj?
Re{ewe: 23.
29. Razlika dva broja je 27, 72. Ako se ve}em broju premesti decimalna
zapeta za jedno mesto ulevo, dobija se mawi broj. Odrediti zbir tih
brojeva.
Re{ewe: 33, 88.
30. Odrediti vrednost parametra a tako da jedna~ine x2 − ax + 1 = 0,
x2 − x+ a = 0 imaju ta~no jedno zajedni~ko re{ewe.
Re{ewe: a = −2.
31. Re{iti jedna~inux2 + x− 5
x+
3x
x2 + x− 5+ 4 = 0.
Re{ewe: x1 = −1 +√6, x2 = −1−
√6, x3 = 1, x4 = −5.
32. Odrediti proizvod svih re{ewa jedna~ine
∣∣∣∣ x2 − x− 6
x2 + x− 12
∣∣∣∣ = 5
7.
Re{ewe: −17
6.
33. Odrediti zbir svih celobrojnih re{ewa jedna~ine x2−|x+1|−5 = 0.
Re{ewe: 3.
34. Re{iti jedna~inu 3(x2 +
1
x2
)− 7(x+
1
x
)= 0 u skupu kompleksnih
brojeva.
Re{ewe: x1 =3 +
√5
2, x2 =
3−√5
2,
x3 =−1 + 2
√2 i
3, x4 =
−1− 2√2 i
3.
44
INFORMATOR 2017. GODINE
35. Re{iti jedna~inux2 + 2x+ 7
x2 + 2x+ 3= x2 + 2x + 4 u skupu kompleksnih
brojeva.
Re{ewe: x1 = x2 = −1, x3 = −1 + 2 i, x4 = −1− 2 i.
36. Re{iti nejedna~inux2 − 2
x2 − x− 2<
1
2.
Re{ewe: x ∈ (−2,−1) ∪ (1, 2).
37. Re{iti nejedna~inu2x2 + x− 13
x2 − 2x− 3> 1.
Re{ewe: x ∈ (−∞,−5) ∪ (−1, 2) ∪ (3,+∞).
38. Re{iti nejedna~inu x2 + x+3
x2 + x+ 16 3.
Re{ewe: x ∈ [−2,−1] ∪ [0, 1].
39. Re{iti sistem nejedna~ina 1 <3x2 − 5x− 2
x2 + 1< 3.
Re{ewe: x ∈(−1,−1
2
)∪ (3,+∞).
40. Re{iti nejedna~inu |x2 − 2x− 3| < x+ 1.
Re{ewe: x ∈ (2, 4).
41. Re{iti nejedna~inu
∣∣∣∣2x− 4
x+ 3
∣∣∣∣+ x− 2 > 0.
Re{ewe: x ∈ [−5,−3) ∪ (−3,−1] ∪ [2,+∞).
42. Odrediti skup svih realnih brojeva x, takvih da je x2 − x − 2 < 0 i
−x2 + 4x− 3 < 0.
Re{ewe: (−1, 1).
45
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
43. Za koje vrednosti realnog parametra a va`i nejednakost
ax2 + (1− a)x+ a < 0 za svaki realan broj x?
Re{ewe: a ∈ (−∞,−1).
44. Re{iti sistem kvadratnih jedna~ina:
x2 + y2 + x+ y = 8,
x2 + y2 + xy = 7.
Re{ewe: (x, y) ∈{(1, 2), (2, 1), (1,−3), (−3, 1)
}.
45. Re{iti sistem jedna~ina:
x+√xy + y = 14,
x2 + xy + y2 = 84.
Re{ewe: (x, y) ∈{(2, 8), (8, 2)
}.
46. Ako su (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) sva, me|usobno razli~ita, realna
re{ewa sistema1
x+
1
y=
3
2,
1
x2+
1
y2=
5
4,
odrediti vrednost zbira
n∑k=1
(xk + yk). Re{ewe: 6.
47. Ako su x1 i x2 re{ewa jedna~ine x2 − 2x+ 5 = 0, odrediti vrednost
izrazax1
2 + x1x2 + x22
x13 + x2
3.
Re{ewe:1
22.
46
INFORMATOR 2017. GODINE
48. Ako su x1, x2 re{ewa jedna~ine x2+2x−2014 = 0, odrediti vrednost
izraza x21 + 2x2
2 + 2x2.
Re{ewe: 6046.
49. Neka su x1 i x2 re{ewa kvadratne jedna~ine x2 − 4x + 3(k − 1) = 0.
Odrediti vrednost realnog parametra k tako da je1
x1+
1
x2= −4.
Re{ewe: k =2
3.
50. Odrediti vrednost realnog parametra m tako da su x1 i x2 re{ewa
kvadratne jedna~ine 2x2− (2m+1)x+m2−9m+39 = 0, za koja va`i
x1 = 2x2.
Re{ewe: m1 = 10, m2 = 7.
51. U kvadratnoj jedna~ini 2x2 − 2(m − 3)x + 2m2 − 17 = 0 odrediti
vrednost parametra m, tako da za korene date kvadratne jedna~ine
va`i x21 + x2
2 = 19.
Re{ewe: m1 = −7, m2 = 1.
52. Ako su x1 i x2 koreni kvadratne jedna~ine 1x−1 + 1
x−2 = 1 odrediti
vrednost izraza x1
x2+ x2
x1.
Re{ewe: 3.
53. U jedna~ini x2 + (k + 3)x + k + 21 = 0 odrediti k tako da bude
ispuwen uslovx1
x2+
x2
x1< 1.
Re{ewe: (−∞,−21) ∪ (−9, 6).
54. Re{iti jedna~inu√6− x− x2 = x+ 1.
Re{ewe: x = 1.
47
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
55. Re{iti jedna~inu√x+ 1 +
√2x+ 3 = 1.
Re{ewe: −1.
56. Re{iti jedna~inu√x+ 17−
√x− 7 = 4.
Re{ewe: x = 8.
57. Re{iti jedna~inu√2x− 4−
√x+ 5 = 1.
Re{ewe: x = 20.
58. Re{iti nejedna~inu√x2 − 3x− 10 < 8− x.
Re{ewe: x ∈ (−∞,−2] ∪[5,
74
13
).
59. Re{iti jedna~inu√2x+ 14−
√x− 7 =
√x+ 5.
Re{ewe: x = 11.
60. Re{iti jedna~inu√x+ 6−
√x− 7 = 5.
Re{ewe. Jedna~ina nema re{ewa.
61. Re{iti jedna~inu√x+ 3 +
√x+ 4 =
√x+ 2 +
√x+ 7.
Re{ewe: x = −47
24.
62. Re{iti jedna~inu√2x− 1 +
√x− 2 =
√x+ 1.
Re{ewe: x = 2.
63. Re{iti jedna~inu√3x2 + 5x− 8−
√3x2 + 5x− 1 = 1.
Re{ewe. Jedna~ina nema re{ewa.
48
INFORMATOR 2017. GODINE
64. Re{iti jedna~inu√4 + x
√x2 − 7 = 4.
Re{ewe: x = 4.
65. Re{iti jedna~inu√x− 1 +
√x+ 24− 10
√x− 1 = 5.
Re{ewe: x ∈ [1, 26].
66. Re{iti nejedna~inu√x+ 6 >
√x+ 1 +
√2x− 5.
Re{ewe: x ∈[52, 3).
67. Re{iti nejedna~inu√2x− 3−
√x− 5 < 4.
Re{ewe: x ∈[5, 86
).
68. Re{iti nejedna~inu√−x2 + x+ 6 + x− 1 > 0.
Re{ewe: x ∈(− 1, 3
].
69. Re{iti nejedna~inu√1− 4x2 > 1− 3x.
Re{ewe: x ∈[0,
1
2
].
70. Re{iti nejedna~inu
√x2 − 4x+ 7
x− 2< 2.
Re{ewe: x ∈ (3, 5).
71. Re{iti jedna~inu 2 · 3x+1 − 4 · 3x−2 = 450.
Re{ewe: x = 4.
72. Odrediti zbir svih realnih re{ewa jedna~ine 3·16x+2·81x = 5·36x.
Re{ewe:1
2(x1 = 0, x2 = 1
2 ).
49
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
73. Re{iti jedna~inu 32x+1 − 10 · 21x + 72x+1 = 0.
Re{ewe: x1 = −1, x2 = 0.
74. Re{iti nejedna~inu1
22x + 3> 1
2x+2 − 1.
Re{ewe: x ∈ (−∞,−2) ∪ {1}.
75. Re{iti nejedna~inu 24x+2 · 4−x2 − 3 · 22+2x−x2
+ 8 6 0.
Re{ewe: x ∈ [0, 2].
76. Za jedna~inu(√
2−√3)x
+(√
2 +√3)x
= 4 odrediti proizvod
svih wenih re{ewa.
Re{ewe: −4 (x1 = 2, x2 = −2).
77. Re{iti jedna~inu 4x + 4x+1 + 4x+2 = 7x+1 − 7x−1.
Re{ewe: x = 2.
78. Re{iti jedna~inu((
5√27) x
4−√
x3
) x4+
√x3
=4√37.
Re{ewe: x = 10.
79. Re{iti jedna~inu 9x − 2x+12 = 2x+
72 − 32x−1.
Re{ewe: x =3
2.
80. Re{iti jedna~inu 20x − 6 · 5x + 10x = 0.
Re{ewe: x = 1.
81. Re{iti jedna~inu 4√x−2 + 16 = 10 · 2
√x−2.
Re{ewe: x1 = 11, x2 = 3.
50
INFORMATOR 2017. GODINE
82. Re{iti nejedna~inu 2x+2 − 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2.
Re{ewe: x > 0.
83. Odrediti proizvod najve}eg i najmaweg celobrojnog re{ewa nejedna-
~ine √(5 + 2
√6)2x
+
√(5− 2
√6)2x
6 98 .
Re{ewe: −4.
84. Izra~unati vrednost izraza
16log4 10 −(9
1log2 3 + 5
1log16 25
)· 27 log9 4 .
Re{ewe: 36.
85. Re{iti jedna~inulog(3x− 5)
log(3x2 + 25)=
1
2.
Re{ewe: x = 5.
86. Re{iti jedna~inu log31√log3 x
= log9 log9x
3.
Re{ewe: x = 9.
87. Re{iti jedna~inu xlog10 x =x3
100.
Re{ewe: x ∈ {10, 100}.
88. Re{iti jedna~inu log4(2 log3(1 + log2(1 + 3 log3 x))
)= 0, 5.
Re{ewe: x = 3.
89. Re{iti jedna~inu 51+log4 x + 5−1+log0,25 x =26
5.
Re{ewe: x1 = 1, x2 =1
16.
51
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
90. Koliki je proizvod re{ewa jedna~ine√xlog
√x = 10?
Re{ewe: 1.
91. Ako je log10 5 = a, odrediti log40 8.
Re{ewe:3 (1− a)
3− 2a.
92. Re{iti jedna~inu log7 x+ log7 x2 + log7 x
3 + · · ·+ log7 x100 = 5050.
Re{ewe: 7.
93. Re{iti nejedna~inu logx5x− 2
x2 + 2> 0.
Re{ewe: x ∈(25, 1)∪ (1, 4).
94. Re{iti nejedna~inu log22(2− x)− 8log 14(2− x) > 5.
Re{ewe: x ∈(−∞, 0
]∪[6332
, 2).
95. Re{iti nejedna~inu log1,52x− 8
x− 2< 0.
Re{ewe: x ∈ (4, 6).
96. Ako je log8 3 = p i log3 5 = q, odrediti log10 5 + log10 6.
Re{ewe:3pq + 3p+ 1
3pq + 1.
97. Uporediti brojeve 2√
log2 2011 i 2011√
log2011 2 po veli~ini.
Re{ewe. Jednaki su.
52
INFORMATOR 2017. GODINE
98. Odrediti proizvod realnih re{ewa jedna~ine(log3
3
x
)· (log2 x)− log3
x3
√3=
1
2+ log2
√x.
Re{ewe:
√3
8(x1 = 1, x2 =
√38 ).
99. Re{iti nejedna~inu log (5x + x− 20) > x− x log 2.
Re{ewe: x > 20.
100. Re{iti nejedna~inu logx−3
(x2 − 4x+ 3
)< 0.
Re{ewe: x ∈ (2 +√2, 4).
101. Izra~unati:
(a) sin 75◦;
(b) sin(− π
12
);
(v) ctg 105◦.
Re{ewe: (a)
√2
4(√3 + 1); (b) −
√2
4(√3− 1); (v)
√3− 2.
102. Izra~unati vrednost izraza:
(a) cos 165◦ + cos 165◦ cos 75◦ + cos 75◦;
(b) sin2 11π12 + 2 sin 11π
12 sin π12 + sin2 π
12 ;
(v) tg 20◦ tg 30◦ tg 40◦ tg 60◦ tg 80◦.
Re{ewe: (a) − 2√2+14 ; (b) 2−
√3; (v)
√3.
103. Odredi du`inu stranice romba ABCD ako je ^DAB = 30◦, a dija-
gonala AC = 4.
Re{ewe: 4√
2−√3.
53
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
104. Du`ina straniceAB paralelogramaABCD je 3 cm, unutra{wi ugao
60◦, a wegova povr{ina 12 cm2. Izra~unati obim tog paralelograma.
Re{ewe:2
3(9 + 8
√3).
105. Neka je α, β ∈(0,
π
2
), tgα =
1
7i sinβ =
1√10
. Izra~unati α+ 2β.
Re{ewe:π
4.
106. Izra~unati vrednost izrazasinα+ sin (α− 2β)
cosα+ cos (α− 2β), ako je tgα =
1
2i
tg β = −1
3.
Re{ewe: 1.
107. Transformisati izraz sin4 x+ cos4 x.
Re{ewe:3 + cos 4x
4.
108. Izra~unati zbir kvadrata najve}eg negativnog i najmaweg pozitivnog
re{ewa jedna~ine sin6 x+ cos6 x =1
4.
Re{ewe:π2
8.
109. Re{iti jedna~inu cos4 x+ sin4 x =3
4.
Re{ewe: x =π
8+
kπ
4, k ∈ Z.
110. Re{i jedna~inu:
(a) cos 3x = cos 5x;
(b) sin(5x+ π
3
)− sin
(7x+ π
4
)= 0;
54
INFORMATOR 2017. GODINE
(v) sinx ctg x = 0.
Re{ewe: (a) Rx = {kπ4 | k ∈ Z};
(b) Rx = { π24 + kπ, 5π
144 + kπ6 | k ∈ Z}; (v) Rx = {π
2 + kπ | k ∈ Z}.
111. Re{i jedna~inu:
(a) sinx+ cosx = 1;
(b) cos 2x− 2 sin2 x = 0;
(v)(sin x
3 + 2 cosx)cosx+
(2 sinx− cos x
3 − 1)sinx = 0.
Re{ewe: (a) Rx = {2kπ, π2 + 2kπ | k ∈ Z};
(b) Rx = {π6 + kπ, 5π
6 + kπ | k ∈ Z}; (v) Rx = ∅.
112. Kolikore{ewauintervalu (0, 2π)ima jedna~ina sin2 x+cosx+1 = 0?
Re{ewe. Jedno (x = π).
113. Re{iti jedna~inu cos2 (x sinx) = 1 + log25√x2 + x+ 1.
Re{ewe: x = 0.
114. Re{iti nejedna~inu 4 cos2 x− 3 > 0.
Re{ewe: x ∈(−π
6+ kπ,
π
6+ kπ
), k ∈ Z.
115. Re{iti nejedna~inu
√5− 2 sin
x
6> 6 sin
x
6− 1.
Re{ewe: x ∈ [5π + 12kπ, 13π + 12kπ], k ∈ Z.
116. Izra~unati uglove trougla ako je a = 3−√3, b = 3 +
√3 i c = 2
√6.
Re{ewe: α = 15◦, β = 75◦, γ = 90◦.
55
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
117. Izra~unati du`ine druge dve stranice trougla ako je du`ina jedne
stranice c = 8 cm, c > a > b, povr{ina trougla je P = 8√3 cm2 i
ako je razlika izme|u sredweg po veli~ini i najmaweg ugla jednaka
razlici izme|u najve}eg i sredweg ugla.
Re{ewe: a = 4√3 cm, b = 4 cm.
118. Za stranice trougla ABC va`i (b + c)2 = a2 + 3bc. Odrediti meru
ugla α tog trougla.
Re{ewe: 60◦.
119. Ako je u o{trouglom trouglu a+b = 2c i sinα+sinβ =√3, odrediti
meru ugla γ.
Re{ewe: 60◦.
120. Odrediti ostatak pri deqewu polinoma P (x) = x200 − 3x199 − 1
polinomom f(x) = x2 − 4x+ 3.
Re{ewe: x− 4.
121. Neki polinom pri deqewu sa x − 1 daje ostatak 2, a pri deqewu sa
x + 2 daje ostatak −7. Odrediti ostatak pri deqewu ovog polinoma
sa x2 + x− 2.
Re{ewe: 3x− 1.
122. Odrediti koeficijent a tako da broj−2 bude koren polinoma P (x) =
4x2+5x+a, a zatim za tu vrednost koeficijenta a rastaviti polinom
na ~inioce.
Re{ewe: a = −6; P (x) = (x+ 2)(4x− 3).
56
INFORMATOR 2017. GODINE
123. U skupu prirodnih brojeva re{iti nejedna~ine:
(a)
(13
x
)<
(13
x+ 2
);
(b)
(18
x− 2
)>
(18
x
).
Re{ewe. (a) x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}; (b) x ∈ {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}.
124. Odrediti ~lan u razvoju binoma(
3
√a√b+√
b3√a
)21, a > 0, b > 0, koji
sadr`i a i b sa istim stepenom.
Re{ewe:
(21
9
)a
52 b
52
125. Odrediti onaj ~lan koji u razvoju binoma
(4√a2x+ 5
√1
ax2
)13
ne
sadr`i x.
Re{ewe:
(13
5
)a3.
126. Zbir binomnih koeficijenata tre}eg od po~etka i tre}eg od kraja
~lana razvoja(
4√3 + 3
√4)n, gde je n ∈ N, jednak je 2862. Odrediti
koliko ima racionalnih ~lanova u tom razvoju.
Re{ewe: 5.
127. U aritmeti~kom nizu prvi ~lan je 1, a zbir prvih pet ~lanova jednak
je ~etvrtini zbira narednih pet ~lanova. Odrediti taj niz.
Re{ewe: 1,−2,−5,−8, . . ..
128. Geometrijska progresija ima paran broj ~lanova. Zbir ~lanova na
neparnim pozicijama je 85, a zbir ~lanova na parnim pozicijama je
170. Odrediti koli~nik te progresije.
Re{ewe: 2.
57
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
129. Koliko ~lanova ima geometrijski niz, ako je zbir prvog i petog ~lana
51, zbir drugog i {etog 102, a zbir svih ~lanova 3069?
Re{ewe: 10.
130. Odrediti ~etiri broja tako da prva tri odre|uju geometrijski niz, a
posledwa tri aritmeti~ki niz i pri tome je zbir prvog i posledweg
~lana 14, a zbir preostala dva je 12.
Re{ewe: 2, 4, 8, 12 ili25
2,15
2,9
2,3
2.
131. Prvi ~lan aritmeti~kog niza je 24. Napisati prvih deset ~lanova
tog niza, ako su prvi, peti i jedanaesti ~lan uzastopni ~lanovi ge-
ometrijske progresije.
Re{ewe: 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51,
ili 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24.
132. Tri broja ~iji je zbir 93 su uzastopni ~lanovi geometrijskog niza.
Isti brojevi se mogu uzeti za prvi, drugi i sedmi ~lan aritmeti~kog
niza niza. Odrediti te ~lanove.
Re{ewe: 3, 15, 75 ili 31, 31, 31.
133. Izme|u −2 i 46 umetnuti 15 brojeva, tako da svi zajedno formiraju
aritmeti~ki niz. Koliki je zbir ovih 17 brojeva?
Re{ewe: 374.
134. Zbir tri broja, koji ~ine rastu}u geometrijsku progresiju, iznosi 21,
a zbir wihovih recipro~nih vrednosti je7
12. Koji su to brojevi?
Re{ewe: 3, 6 i 12.
58
INFORMATOR 2017. GODINE
135. Broj 195 se mo`e predstaviti kao zbir tri cela broja koja obrazuju ge-
ometrijski niz kod koga je prvi ~lan za 120 mawi od tre}eg. Odrediti
te brojeve.
Re{ewe: 15, 45 i 135 ili 125, −175 i 245.
136. Neka je Sn zbir prvih n ~lanova geometrijske progresije. Ako je
log3
(Sn
2+ 1
)= n, odrediti koli~nik te progresije.
Re{ewe: 3.
137. Prvi, drugi i ~etvrti ~lan aritmeti~kom niza jednak je prvom, dru-
gom i ~etvrtom ~lanu geometrijskog niza respektivno, a tre}i ~lan
aritmeti~kog niza je za 18 ve}i od tre}eg ~lana geometrijskog niza.
Odrediti oba niza.
Re{ewe. Aritmeti~ki niz: −2, 4, 10, 16, . . .;
geometrijski niz: −2,4,−8, 16, . . ..
138. Zbir ~lanova beskona~ne opadaju}e geometrijske progresije je3
2, a
zbir kvadrata ~lanova iste progresije je1
8. Koja je to progresija?
Re{ewe. Prvi ~lan je3
19, a koli~nik
17
19.
139. U jednakokraki trougao ~ija je osnovica a = 10cm i krak b = 13cm
upisan je kvadrat tako da mu dva temena le`e na osnovici trougla, a
druga dva na kracima. Izra~unati du`inu stranice kvadrata.
Re{ewe: 6011cm.
140. Stranica kvadrata ABCD je a = 12 cm. Izra~unati du`inu polu-
pre~nika kruga upisanog u trougaoAMN , gde jeM sredi{te stranice
BC, a N sredi{te stranice CD.
Re{ewe: (2√5−
√2) cm.
59
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
141. Izra~unati povr{inu jednakokrakog trapeza, ako je wegova sredwa
linija du`inem, a dijagonale su mu uzajamno normalne.
Re{ewe: m2.
142. Centar upisanog kruga jednakokrakog trougla deli visinu koja odgo-
vara osnovici na odse~ke du`ina 5 cm i 3 cm. Izra~unati du`ine
stranica tog trougla.
Re{ewe: 12 cm, 10 cm.
143. Na hipotenuzi BC pravouglog trougla ABC date su ta~ke D i E,
takve da je BE = AB i CD = AC. Izra~unati, u radijanima, ugao
DAE.
Re{ewe:π
4.
144. Te`i{ne du`i AD i CE trougla ABC seku se u ta~ki T . Sredi{te
du`i AE je ta~ka F . Odrediti odnos povr{ina trouglova TFE i
ABC.
Re{ewe: 1 : 12.
145. Odrediti du`ine kateta (u cm) pravouglog trougla, ako je du`ina
polupre~nika wegovog upisanog kruga r = 2 cm i du`ina polupre-
~nika wegovog opisanog kruga R = 5 cm.
Re{ewe: 6 cm i 8 cm.
146. U trouglu su date du`ine dve stranice a = 15, b = 13 i du`ina
polupre~nika opisanog kruga R = 8, 125. Izra~unati du`inu tre}e
stranice tog trougla.
Re{ewe: 14 ili 4.
60
INFORMATOR 2017. GODINE
147. U trougluABC ugao kod temenaA je dva puta ve}i od ugla kod temena
B, a du`ine stranica AC i AB su AC = 2, AB = 3. Izra~unati
du`inu stranice BC.
Re{ewe:√10.
148. Izra~unati du`ine dijagonale i kraka jednakokrakog trapeza ~ije su
osnovice du`ine a = 20 i b = 12, ako centar kruga opisanog oko
trapeza le`i na ve}oj osnovici.
Re{ewe: 8√5; 4
√5.
149. U romb povr{ine 18 cm2 upisan je krug povr{ine9
4π cm2. Odrediti
meru o{trog ugla tog romba.
Re{ewe: 30◦.
150. Oko pravilnog n-tougla stranice du`ine a opisan je i u wemu je
upisan krug. Odrediti povr{inu kru`nog prstena odre|enog sa ova
dva kruga.
Re{ewe: P =a2π
4.
151. Na paraboli y = x2 odrediti ta~ku koja je najbli`a pravoj y = 2x−4.
Re{ewe: (1, 1).
152. Od svih ta~aka hiperbole 3x2 − 4y2 = 72 ta~ka P je najbli`a pravoj
3x+ 2y + 1 = 0. Odrediti zbir koordinata ta~ke P .
Re{ewe: −3; P (−6, 3).
153. Odrediti jedna~inu prave u ravni koja sadr`i koordinatni po~etak
i ta~ku (−2, 1).
Re{ewe: y = −x
2.
61
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
154. Odrediti ta~ku B(x, y) simetri~nu ta~ki A(1, 3) u odnosu na pravu
x+ 2y − 2 = 0.
Re{ewe: B(−1,−1).
155. Odrediti jedna~inu prave koja je normalna na pravu 2x− y − 1 = 0 i
prolazi kroz ta~ku A(2, 3).
Re{ewe: x+ 2y − 8 = 0.
156. Izra~unati du`inunormale koja je povu~ena iz ta~keM(3, 2)napravu
3x− 4y + 15 = 0.
Re{ewe:16
5.
157. Temena ~etvorougla imaju koordinate A(3, 4), B(2, 0), C(−2,−1),
D(−2, 2). Odrediti koordinate preseka dijagonala ovog ~etvorougla.
Re{ewe: (0, 1).
158. Napisati jedna~inu kru`nice ~iji je centar prese~na ta~ka pravih
x+2y−2 = 0 i 3x+y+4 = 0, i koja dodiruje pravu 5x+12y−1 = 0.
Re{ewe: (x+ 2)2 + (y − 2)2 = 1.
159. Odrediti za koje vrednosti realnog parametra a prava y = 2x + a
se~e kru`nicu datu jedna~inom x2 + 2x+ y2 − 4y = 10.
Re{ewe: a ∈(4− 5
√3, 4 + 5
√3).
160. Odrediti jedna~inu kru`nice koja je koncentri~na sa kru`nicom
x2 + y2 + 6x+ 2y + 5 = 0 i prolazi kroz ta~kuM(1,−4).
Re{ewe: (x+ 3)2 + (y + 1)2 = 25.
62
INFORMATOR 2017. GODINE
161. Odrediti jedna~inu elipse sa centrom u ta~ki S(−2, 1) koja prolazi
kroz ta~ke A(0, 4) i B(4, 2) i ~ije su ose paralelne koordinatnim
osama.
Re{ewe:(x+ 2)2
40+
(y − 1)2
10= 1.
162. Data je elipsa mx2 + 5y2 = 20 i wena tangenta 3x + 10y − 25 = 0.
Odrediti koordinate dodirne ta~ke.
Re{ewe:(3,
8
5
).
163. Data je jedna~ina x2 − 2x+ y2 − 6y = d.
(a) Odrediti za koje vrednosti realnog parametra d ova jedna~ina
predstavqa jedna~inu kru`nice.
(b) Odrediti d tako da prava koja prolazi kroz ta~ke A(−1, 2) i
B(4, 1) ne se~e kru`nicu.
Re{ewe. (a) d > −10; (b) −10 < d < −211
26.
164. Osni presek prave kupe je trougao koji ima jedan ugao od 120◦. U kupu
je upisan jednakostrani~an vaqak (visina vaqka je jednaka pre~niku
osnove vaqka) polupre~nika r, tako da mu jedna baza le`i u ravni
baze kupe, a druga dodiruje celim obimom omota~ kupe. Izra~unati
povr{inu kupe.
Re{ewe: P =πr2
3(63 + 38
√3).
165. Oko lopte polupre~nika r opisani su jednakostrani~an vaqak i
jednakostrani~na kupa (presek vaqka, odnosno kupe, sa ravni koja
sadr`i visinu vaqka, tj. kupe, predstavqa kvadrat i jednakostrani-
~an trougao, respektivno). Izra~unati odnos povr{ina i zapremina
ova tri tela.
63
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Re{ewe: Pℓ : Pv : Pk = 4 : 6 : 9 = Vℓ : Vv : Vk.
166. Prav vaqak je upisan u loptu polupre~nikaR. Izra~unati zapreminu
vaqka, ako je wegova povr{ina jednaka1
2povr{ine lopte.
Re{ewe: V =4R3π
5√5.
167. Izra~unati povr{inu i zapreminu pravilnog tetraedra ivice a cm.
Re{ewe: P = a2√3 cm2; V =
a3√2
12cm3.
168. Visina prave trostrane prizme je 5 cm, a zapremina 24 cm3. Odrediti
du`ine osnovnih ivica, ako se povr{ine bo~nih strana odnose kao
17 : 17 : 16.
Re{ewe: a =17
5cm, b =
17
5cm, c =
16
5cm.
169. Du`ine osnovnih ivice pravilne ~etvorostrane zarubqene piramide
su 3a cm i 2a cm. Izra~unati zapreminu piramide, ako su sve bo~ne
ivice nagnute prema ravni osnove pod uglom od 45◦.
Re{ewe: V =19
6a3√2 cm3.
170. Izra~unati zapreminu prave trostrane prizme, ako je povr{ina os-
nove 10 cm2, a povr{ine bo~nih strana su 25 cm2, 29 cm2 i 36 cm2.
Re{ewe: 60 cm3.
171. Zapremina kvadra je 2080 cm3, povr{ina je 996 cm2, a obim jedne
strane 58 cm. Odrediti du`ine ivica kvadra.
Re{ewe: 13 cm, 16 cm i 10 cm.
64
INFORMATOR 2017. GODINE
172. Osnovne ivice pravog paralelepipeda su a = 13 cm i b = 14 cm,
a wegova kra}a dijagonala je d1 = 17 cm. Ako je povr{ina osnove
paralelepipeda B = 168 cm2, odrediti povr{inu omota~a.
Re{ewe: 432 cm2.
173. Osnova ~etvorostrane piramide je romb stranice 6 cm i o{trog ugla
60◦. Podno`je visine piramide je presek dijagonala romba. Ako
bo~na ivica koja polazi iz temena tupog ugla romba gradi sa ravni
osnove ugao od 60◦, odrediti zapreminu piramide.
Re{ewe: 54 cm3.
174. Odrediti realan i imaginaran deo kompleksnog broja z = (1 + 2 i)3.
Re{ewe: Re z = −11, Im z = −2 .
175. Odrediti realan i imaginaran deo kompleksnog broja z =2 + i15
i3 − i12.
Re{ewe: Re z = −12 , Im z = 3
2 .
176. Odrediti vrednost izraza f(z) = z4 − 10z3 + 36z2 − 58z + 35 za
z = 2 + i.
Re{ewe: f(2 + i) = 0 .
177. Izra~unati
(1 + i√
2
)2011
+
(1− i√
2
)2011
.
Re{ewe: −√2 .
178. Odrediti moduo kompleksnog broja(1− i)5
(1 + i)4.
Re{ewe:√2 (|1− i|).
65
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
179. Odrediti z ako je 2z(3− 5 i) + z − 1 = −30− 65 i.
Re{ewe: z = 3− 5 i.
180. Odrediti u kompleksnoj ravni geometrijsko mesto ta~aka za koje je
1 6 |z − 1− i| 6 2.
Re{ewe. Kru`ni prsten 1 6 (x− 1)2 + (y − 1)2 6 4.
181. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu z2 = 3− 4 i.
Re{ewe: z1 = −2 + i; z2 = 2− i.
182. Odrediti realne parametre a i b takve da je (2 + 3 i)a+ (3+ 2 i)b = 1.
Re{ewe: a = −2
5; b =
3
5.
183. Odrediti realne brojeve a i b ako se zna da je z = −3+ i jedno re{ewe
jedna~ine z3 + z2 + az + b = 0.
Re{ewe: a = −20; b = −50.
184. Ako je z +1
z= 1, izra~unati z1000 +
1
z1000.
Re{ewe: −1.
185. Ako polinom sa kompleksnim koeficijentima pri deqewu sa x − i,
x− 4 i i x2 − 5 ix− 4 daje redom ostatke 2 i, 5 i i Ax+ B, izra~unati
A+B.
Re{ewe: 1 + i.
186. Koliko ima trocifrenih brojeva deqivih sa 5 takvih da im se cifre
ne ponavqaju?
Re{ewe: 136.
66
INFORMATOR 2017. GODINE
187. Koliko razli~itih desetocifrenih brojevamo`emonapisati pomo}u
cifara 1, 2, 3, 4, takvih da je cifra 3 upotrebqena ta~no dva puta, a
cifra 4 ta~no tri puta?
Re{ewe: 80640.
188. Koliko ima ~etvorocifrenih brojeva sa razli~itim ciframa kojima
su dve cifre parne, a dve neparne?
Re{ewe: 2160.
189. Koliko ima prirodnih brojeva koji su ve}i od 1000 i mawi od 4000 i
kojima je cifra jedinica 3 ili 4?
Re{ewe: 600.
190. Na polici se nalazi 10 razli~itih kwiga od kojih su 4 iz matematike,
4izfizike i 2iz hemije. Na kolikona~ina semogu rasporediti kwige
na polici, ako se zna da sve kwige iz iste oblasti moraju biti jedna
do druge?
Re{ewe: 6912.
191. ^lanovi benda, u ~ijem sastavu su 5 mladi}a i 3 devojke, izlaze jedan
za drugim na scenu. Na koliko na~ina to mogu da urade ako prvi na
scenu izlazi jedan od mladi}a, a dve devojke ne mogu iza}i jedna iza
druge?
Re{ewe: 7200.
192. U jednoj kutiji je 9 kuglica i to 2 `ute, 3 plave i 4 crvene. Jednu
za drugom, bez vra}awa, izvla~imo kuglice iz kutije. Na koliko
razli~itih na~ina to mo`emo da uradimo? (Kuglice iste boje se ne
razlikuju.)
Re{ewe: 1260.
67
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
193. U skupu od 50 ta~aka ima ta~no 7 ~etvorki kolinearnih ta~aka. Ko-
liko je razli~itih pravih odre|eno ovim skupom ta~aka?
Re{ewe: 1190.
194. Koliko je razli~itih ravni odre|eno temenima kocke?
Re{ewe: 20.
195. Na koliko na~ina se mogu rasporediti brojevi 1, 2, . . . , 2000 tako da
nikoja dva susedna nemaju paran zbir?
Re{ewe: 2 · (1000!)2.
196. Na koliko na~ina se mo`e formirati peto~lana komisija od 2 mate-
mati~ara i 8 fizi~ara, tako da u woj bude bar jedan matemati~ar?
Re{ewe: 196.
197. Iz grupe od 4 mu{karca i 7 `ena treba odabrati 6 osoba tako da me|u
wima budu bar tri `ene. Na koliko na~ina se to mo`e u~initi?
Re{ewe: 441.
198. Raspola`emo sa 6 razli~itih osnovnih boja. Boje mo`emo me{ati
uzimaju}i jednake koli~ine osnovnih boja i tako dobijamo nove boje.
Mo`e li se ovim bojama obojiti {ahovska tabla 8 × 8 tako da svako
weno poqe bude razli~ito obojeno?
Re{ewe. Ne mo`e.
199. Od 10 razli~itih cvetova treba napraviti buket tako da se on sastoji
od bar tri cveta. Na koliko na~ina se buket mo`e napraviti?
Re{ewe: 968.
68