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UNIDAD II
UNIDAD IIINTEGRALES INDEFINIDAS Y METODOS DE INTEGRACION
2.1 Definicin de funcin primitiva
Se llama a una funcin F antiderivada o primitiva de la funcin f, si para todo x en el dominio de f,
F(x) = f(x)
Ejemplo:
x3 es una antiderivada de 3x2.
2.2 Definicin de integral indefinida
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y slo si es de la forma:
G(x) = F(x) + Cpara todo x en I en donde C es una constante.
La solucin general de la ecuacin dy = f(x)dx se denota por:
Variable de
integracin
(y = f(x)dx = F(x) + C
( ( integrando constante de integracin 2.3 Propiedades de la integral indefinida
2.4 Calculo de integrales indefinidas
2.4.1 Directas
dx = x + C
cf(x)dx = cf(x) dxen donde c es una constante
[f(x) g(x)] dx = f(x) dx g(x) dx
Si f1, f2, f3fn estn definidas en el mismo intervalo, entonces:
[c1f1(x) c2f2(x) . cnfn(x)] dx = c1 f1(x) dx c2 f1(x) dx . cn fn(x) dx
En donde c1, c2,cn son constantes.
Si n es un nmero racional, entonces:
2.
3.
4.
5.
Problemas propuestos
1.
sol.
2.
sol.
3.
sol.
4.
sol.
5.
sol.
6.
sol.
7.
sol.
8.
sol.
9.
sol.7x + c10.
sol.
2.4.2 Por cambio de variable
El mtodo de cambio de variable trata de resolver una integral que no se encuentra directa y transformarla a una directa. La metodologa del cambio de variable es tomar una expresin de la integral y llamarla u, enseguida derivamos la expresin y el resultado que obtengamos tiene que ser igual a la expresin que no tomamos como u, una vez realizado este paso procedemos a sustituir las expresiones de la integral en trminos de la u.
1.
u= x+4
du= dx
2.
u= 9t + 11
du= 9dt
3.
u= z+1
du= dz
4.
u=2x+1
du=2dx
5.
u=1+x2 du=2xdx
Problemas propuestos
1.
sol.
2.
sol.
3.
sol.
4.
sol.
5.
sol.
6.
sol.
7.
sol.
8.
sol.
9.
sol.
10.
sol.
2.4.4 TrigonomtricasIntegrales trigonometricas por sustitucin en u.
1.
u = cosx
du = -senx dx
2.
u = sen4x
du = 4cos4xdx
3.
u = x4
du = 4x3dx
4.
u = 4x3
du = 12x2dx
5.
u = cost
du =-sent dt
Problemas propuestos
1.
sol.4secx 2tanx +c
2.
sol.tan x + c
3.
sol.
4.
sol.
5.
sol.
6.
sol.
7.
sol.
8.
sol.
9.
sol.
Integrales exponenciales
1.
u = 3x
du = 3dx
2.
u = senx
du = cosxdx
3.
u = 3x
u = -x
du = 3dx du = -dx
=
4.
u = x-1
du = -x-2 dx5.
Problemas propuestos
1.
sol.
2.
sol.
3.
sol.
4.
sol.
5.
sol.
6.
sol.
7.
sol.
8.
sol.
9.
sol.
10.
sol.
Integrales logaritmicas
1.
u = x3+1
du = 3x2dx
2.
u = cos x
du = -senxdx
3.
u = 5x3-1
du = 15x2dx
4.
u = x(x-1)
du = 2x-1dx
5.
u = 3-2x
du = -2dx
Problemas propuestos
1.
sol.
2.
sol.
3.
sol.
4.
sol.
5.
sol.
6.
sol.
7.
sol.
8.
sol.
9.
sol.
10.
sol.
2.4.3 Por partes
Cuando se tiene la integral de un producto de dos funciones y que no se pude resolver de forma directa y por el cambio de variable, entonces, decimos que se tiene una integral por partes y son de la forma:
La metodologa de la integral por partes es llamar a una expresin u de tal manera que al derivarla le bajemos el grado a la expresin. El problema de este mtodo es tomar la expresin adecuada para llamarla u, por lo tanto aplicaremos un mtodo para escoger la u, llamado LLATE. Este mtodo consiste en decirnos el orden de la expresin para tomar la u.
L.- logaritmo base a (logax).
L.- logaritmo natural (lnx).
A.- aritmticas (xn).
T.- trigonomtricas (senx, cosx, etc.).
E.- exponenciales (ex, a2, etc.).
El nico problema con el mtodo del LLATE es que no se puede aplicar cuando tenemos el producto de expresiones del mismo estilo o cuando la aritmtica tiene potencia negativa o fraccionaria.
1.
=x Ln x -
2.
=
=
u=-x
du=-dx
3.
4.
=
u=1-
du=-2xdx
5.
u= x+2
du= dx
Problemas Propuestos
1.
sol.
2.
sol.
3.
sol.
4.
sol.
5.
sol.
6.
sol.
7.
sol.
8.
sol.
9.
sol.
10.
sol.
CASO 1
I.
II. donde n es un numero entero positivo impar
I. Factor
II. Factor
EJEMPLO:
Para la segunda integral de (1) observe que como d(senx) = cosx dx, se tiene:
Debido a que la primera integral de (1) es sen x + C2
EMBED Equation.3
CASO 2
, donde al menos uno de los exponentes es un numero positivo impar. En la solucin de este caso se utiliza un metodo semejante al empleado en el caso 1.
(I) Si n es impar, entonces
(II) Si m es impar, entonces
EMBED Equation.3
EJEMPLO:
No se pueden seguir los procedimientos de los casos 1 y 2 para integrar potencias de seno y coseno cuando ningn exponente es impar. En tal caso se aplica una u otra de las identidades siguientes:
CASO III(I)
(II)
(III)
Donde m y n son nmeros enteros positivos pares.
(I)FACTOR
(II)FACTOR
(III)FACTOR
EJEMPLO:
1
2
CASO IV
(I)
(II)
Donde n es un nmero entero positivo.
(I) FACTOR
(II)FACTOR
EJEMPLO:
1
2
CASO V
(I)
(II)
Donde n es un nmero entero positivo par.
(I) FACTOR
(II) FACTOR
EJEMPLO:
CASO VI
(I)
(II)
Donde m es un nmero entero positivo par.
(I) FACTOR
(II)FACTOR
EJEMPLO:
CASO VII
(I)
(II)
Donde n es un nmero entero positivo.
(I)FACTOR
(II) FACTOR
EJEMPLO:
CASO VIII
(I)
(II)
Donde n es un nmero entero positivo.
Aplique integracin por partes.
(I) Considere
(II) Considere
CASO IX(I)
(II)
Donde n es un nmero entero positivo par y m es un nmero entero positivo impar.
Exprese integrando en trminos de potencias impares de la secante o la cosecante.
(I) FACTOR
(II) FACTOR
EJEMPLO:
EJERCICIOS:
Evalu la integral indefinida:
RESPUESTAS:
1.
2.
3.
4.
5.
EMBED Equation.3
6.
7.
8.
9.
10.
2.4.5 Por sustitucin trigonomtrica
Este mtodo se aplica cuando se esta integrando funciones de la forma o bien , mayor que cero. La metodologa de este mtodo consiste en sustituir la variable u por una funcin trigonomtrica adecuada, para poder encontrar la sustitucin trigonomtrica adecuada utilizaremos el siguiente cuerdo:
Una vez que se haya hecho la sustitucin pasamos a resolver la integral por lo cual el resultado estar en trminos de y no en x, entonces para transformar el resultado utilizaremos el siguiente cuadro para la sustitucin de .
1.
x = 3 sen
EMBED Equation.3 dx = 3 cos
2.
=
=
3.
4.
5.
Problemas Propuestos
1.
sol.
2.
sol.
3.
sol.
4.
sol.
5.
sol.
6.
sol.
7.
sol.
8.
sol.
9.
sol.
10.
sol.
2.4.6 Por fracciones parciales
En esta practica resolveremos integrales por el mtodo de fracciones parciales que consiste en un procedimiento para integrar ciertas funciones racionales P(x)/Q(x), en donde el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). Este mtodo, conocido como Fracciones Parciales, la metodologa consiste en descomponer dicha funcin racional en fracciones ms simples, donde cada fraccin que nos queda ser una integral a resolver. Para descomponer la funcin utilizaremos 4 casos que a continuacin se mencionan.
CASO I Factores lineales no repetidos.
Si , donde todos los factores , i=1, 2, 3, , n son distintos y el grado de P(x) es menor que n, entonces existen constantes nicas C1, C2, , Cn tales que
.
CASO II Factores lineales repetidos.
Si , en donde n >1 y el grado de P(x), entonces se pueden encontrar constantes reales nicas C1, C2, , Cn tales que
CASO III Factores cuadrticos no repetidos
Cundo el denominador de la funcin racional P(x)/Q(x) se puede expresar como un producto de factores cuadrticos irreducibles distintos aix2 + bix + ci, i = 1, 2, , n. Si el grado de P(x) es menor es menor que 2n, es posible encontrar constantes reales nicas A1, A2, , An, B1, B2, , Bn tales que
CASO IV Factores cuadrticos repetidos
Se considera ahora el caso en el que el integrando es , en donde ax2 + bx + c es irreducible y n>1. si el de P(x) es menor que 2n, se puede encontrar constantes reales nicas A1, A2, An, B1, B2, , Bn tales que
1.
A + B = 2
3A - B = 1
u=x-1 u=x+3
du=dx du=dx
2.
u=x+1 u=x-2 u=x+3
du=dx du=dx du=dx
3.
u=x-1 u=x-1
du=dx du=dx
4.
Problemas propuestos
1.
sol.
2.
sol.
3.
sol.
4.
sol.
5.
sol.
6.
sol.
7.
sol.
8.
sol.
9.
sol.
10.
sol.
EMBED Equation.3
(
x
3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
(
x
1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
(
2
(
4
x
EMBED Equation.3
x
EMBED Equation.3
6
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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