algebra ii.doc

I

FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y FINANCIERAS

RED NACIONAL UNIVERSITARIA

UNIDAD ACADEMICA DE SANTA CRUZFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y FINANCIERAS

ADMINISTRACIN DE EMPRESAS

INGENIERA COMERCIAL

AUDITORIA SEGUNDO SEMESTRE

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA DE

ALGEBRA IIElaborado por: Ing. Mijail Daz ConcepcinIng. Lorena MontesIng. Rubn Toyama U.Ing. Esther Guisela VeizagaGestin acadmica I/2007

SYLLABUSAsignatura:lgebra II

Cdigo:MAT 111C

Requisito:MAT 101C

Carga Horaria:100 horas Terico Practicas

Crditos:10

I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

Interpretar y aplicar las operaciones aritmticas de matrices en la resolucin de problemas de la carrera. Utilizar las transformaciones elementales de filas de matrices y la funcin determinante en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Aplicar los espacios vectoriales en la resolucin de problemas de la profesin.

Utilizar una herramienta informtica para simplificar los clculos (MATLAB)

II. PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA.

UNIDAD I: MATRICES Y SISTEMAS LINEALES.TEMA 1. Matrices.

1.1. Teora de matrices y tipos de matrices.1.2. Matrices y operaciones matriciales matrices.1.3. Aplicaciones.1.4. Transformaciones elementales.1.5. Inversa por Gauss-Jordn.TEMA 2. Determinantes.

2.1. Determinantes (propiedades).2.2. Mtodo de reduccin.2.3. Mtodo de los cofactores.2.4. Inversa por cofactores.TEMA 3. Sistemas de ecuaciones lineales.3.1. Ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones.3.2. Matrices y sistemas de ecuaciones.3.3. Eliminacin de gauss (gauss jordn).3.4. Sistemas homogneos de ecuaciones lineales.3.5. Mtodo de la inversa.3.6. Aplicaciones.

UNIDAD II: VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES.

TEMA 4. Vectores.

4.1. Definiciones. Norma de un vector.4.2. Operaciones con vectores.4.3. Producto escalar.4.4. Producto vectorial.4.5. Planes estratgicos y operativos.4.6. Rectas y planos en R3.

TEMA 5. Espacios vectoriales.5.1. Definiciones y propiedades bsicas.5.2. Subespacios.5.3. Combinaciones lineales y espacios generados.5.4. Dependencia lineal.5.5. Bases y dimensin; rango; nulidad.III. BRIGADAS UDABOL.Las Brigadas estn destinadas a incidir de manera significativa en la formacin profesional integral de nuestros estudiantes y revelan las enormes potencialidades que presenta esta modalidad de la educacin superior no solamente para que conozcan a fondo la realidad del pas y se formen de manera integral, sino, adems, para que incorporen a su preparacin acadmica los problemas de la vida real a los que resulta imperativo encontrar soluciones desde el campo profesional en el que cada uno se desempear.

El trabajo de las Brigadas permite que nuestros estudiantes se conviertan a mediano plazo en verdaderos investigadores, capaces de elaborar y acometer proyectos de desarrollo comunitario a la vez que se acostumbren a trabajar en equipos interdisciplinarios o multidisciplinarios como corresponde al desarrollo alcanzado por la ciencia y la tecnologa en los tiempos actuales.

La ejecucin de diferentes programas de interaccin social y la elaboracin e implementacin de proyectos de desarrollo comunitario derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes son, sin dudas, los ms beneficiados con esta iniciativa, la posibilidad de:

Desarrollar sus prcticas pre-profesionales en condiciones reales y tutorados por sus docentes con procesos acadmicos de enseanza y aprendizaje de verdadera aula abierta-

Trabajar en equipos, habitundose a ser parte integral de un todo que funciona como unidad, desarrollando un lenguaje comn, criterios y opiniones comunes y plantendose metas y objetivos comunes para dar soluciones en comn a los problemas.

Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento histrico en que la ciencia atraviesa una etapa de diferenciacin y en que los avances tecnolgicos conllevan la aparicin de nuevas y ms delimitadas especialidades.

Desarrollar una mentalidad, crtica y solidaria, con plena conciencia de nuestra realidad nacional.

ACTIVIDADES A REALIZAR VINCULADAS CON LOS CONTENIDOS DE LA MATERIA

TAREAS

PROPUESTASTEMA(S) CON LOS QUE

SE RELACIONALUGAR DE ACCINFECHA

PREVISTA

Recopilacin de informacin bibliogrfica sobre el tema de investigacin.Todas las unidadesBiblioteca de la universidad y de otros centros Todo el semestre.

Preparacin del informe finalTodas las unidadesBiblioteca de la universidad y de otros centrosTodo el semestre.

Defensa de los trabajosTodas las unidadesUDABOLSemana 19

ACTIVIDADES DE INCURSIN MASIVA EN LA COMUNIDAD

A lo largo del semestre se realizarn dos incursiones masivas en la comunidad, comprendida la primera entre el 2 y el 8 de octubre y la segunda entre el 13 y el 19 de noviembre. Con la finalidad de realizar trabajos ya sean de recojo de informacin, extensin o relacionada con los proyectos a desarrollar en la asignatura o la carrera.

IV. EVALUACIN DE LA ASIGNATURA.

PROCESUAL O FORMATIVA.

En todo el semestre se realizarn preguntas escritas; exposiciones de las investigacin realizadas; trabajos prcticos que se comprobaran mediante la evaluacin escrita de una pregunta del mismo, seleccionada de forma aleatoria y adems las actividades planificadas para las Brigadas UDABOL. Estas evaluaciones tendrn una calificacin entre 0 y 50 puntos en la primera y segunda etapa y entre 0 y 30 puntos en la etapa final.

PROCESO DE APRENDIZAJE O SUMATIVA.

Se realizarn dos evaluaciones parciales con contenidos tericos y prcticos. Cada uno de estos exmenes tendr una calificacin entre 0 y 50 puntos.

El examen final incluir los contenidos abordados a lo largo de todo el semestre

V. BIBLIOGRAFIA.

BIBLIOGRAFIA BASICA

TONDELLI Gelen; lgebra Lineal; 512.5 T61 ROJO Armando; lgebra II, Argentina. 1995 512 R63BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA HOWARD Antn; Introduccin al lgebra Lineal; Ed. Limusa, Mxico, 1989. 512.5 An 88 RAFFO LECCA. Solucionario de lgebra lineal de H. Antn. . Per. 1997 512.5 R12 VICTOR CHUNGARAlgebra Lineal editorial Leonardo, Per 2006. 512.15 V68 EDUARDO ESPINOZA RAMOS. Vectores y Matrices. Per . 2002 512.943 Es65VI. CONTROL DE EVALUACIONES.

1 evaluacin parcial

Fecha

Nota

2 evaluacin parcial

Fecha

Nota

Examen final

Fecha

Nota

APUNTES

VII. PLAN CALENDARIO

SEMANAACTIVIDADES ACADMICAS OBSERVACIONES

1ra.avance de materiaTema I

2da.Avance de materiaTema I

3ra.Avance de materiaTema II

4ta.Avance de materiaTema II

5ta.Avance de materiaTema III

6ta.Avance de materiaTema III

7ma.Avance de materiaPrimera Evaluacin

8va.Avance de materiaPrimera EvaluacinPresentacin de Notas

9na.Avance de materiaTema IIIPresentacin de Notas

10ma.Avance de materiaTema III

11ra.Avance de materiaTema IV

12da.Avance de materiaTema IV

13ra.Avance de materiaTema IV

14ta.Avance de materiaSegunda Evaluacin

15va.Avance de materiaSegunda EvaluacinPresentacin de Notas

16va.Avance de materiaTema IVPresentacin de Notas

17va.Avance de materiaTema V



20va.Evaluacin final

21va.Evaluacin finalPresentacin de Notas

22va.Evaluacin del segundo turnoPresentacin de Notas

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 1

UNIDAD O TEMA: MATRICES

TITULO: Operaciones con matrices

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: PRIMER PARCIAL

MATRICES.

Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros ordenados en m-filas (horizontales) y n-columnas (verticales) encerrados entre parntesis o corchetes.

La notacin mas usada es A = [aij] donde i es el nmero de posicin de la fila y j el de la columna.

El tamao de la matriz se especifica usualmente escribiendo como subndice mxn

Cuando m = n se dice que la matriz es cuadrada.

Diagonal principal:

Solo existe en matrices cuadradas y es la lnea formada por los elementos aij tales que i = j

Traza de una matriz: es la suma de los elementos de la diagonal principal.Traza (A) = a11 + a22 + a33 + ... + annOPERACIONES CON MATRICES

Matriz opuesta: Sea A = [aij] su opuesta es A = [aij] = [ aij]

Matriz traspuesta: Sea A = [aij] de orden m x n su traspuesta se obtiene permutando las filas con las columnas y se denota A o At = [aji] y es de orden n x m

Suma de matrices: Sean la matrices A = [aij] y B = [bij] su suma se obtiene sumando elemento a elemento A + B = [aij + bij] y es del mismo tamao.

Nota: Solo se pueden sumar matrices del mismo tamao.

Multiplicacin por un escalar: El producto de una matriz A = [aij] por un escalar k se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por dicho escalar kA = [kaij]Nota: En el trabajo con matrices se acostumbra a llamar escalar las cantidades numricas independientes.

Multiplicacin de matrices: El producto de dos matrices solo es posible cuando el nmero de filas de la segunda matriz es igual al nmero de columnas de la primera.

Sean las matrices A = [aij]mxp y B = [bij]pxn el producto es pasible porque el nmero de filas de B es p y es igual al nmero de columnas de A. La matriz resultante C es del orden m x n C = AB = [cij]mxn y sus elementos se obtienen multiplicando los elementos de las filas de A por los elementos correspondientes de las columnas de B y sumando estos productos.

CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 1 (OPERACIONES CON MATRICES)

Considerando las siguientes matrices:

Determine cuando sea posible y justifique su respuesta cuando no lo sea.

1. 3C D2. (3E)D3. (AB)C4. A(BC) + 3I35. (4B)C + 2B6. D + 2E27. GHT 2FT8. (3H + 1/2C) BATDadas las matrices:

9. Que valor debe tomar x para que el elemento a.b 32 = 0

10. Que valor debe tomar x para que el elemento a.b 32 = 14


WORK PAPER # 2

UNIDAD O TEMA: DETERMINANTES

TITULO: Determinantes

FECHA DE ENTREGA:


DETERMINANTES.

El determinante es una funcin que asocia un nmero real a una variable matricial y se define como det (A).

El determinante de una matriz de segundo orden es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.

El determinante como un nmero real asociado a una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos 0 entonces el det(A) = 0

2. Si una matriz A tiene dos filas iguales, det(A) = 0

3. Si A es una matriz cuadrada, det(At) = det(A)

4. Si A es una matriz triangular, det(A) = a11a22a33...ann

5. Si una matriz B es el resultado de sumarle a una fila de la matriz A un mltiplo de otra fila, det(A) = det(B)

6. Si B es el resultado de intercambiar dos filas en una matriz A, det(A) = det(B)

7. Si una matriz B es el resultado de multiplicar una fila de la matriz A por un escalar k entonces det(B) = kdet(A)

Si A y B son matrices de igual tamao, det(AB) = det(A)det(B)

det(A + B) det(A) + det(B)

Mtodos de evaluacin de determinantes de orden n.

Por reduccin (con operaciones elementales entre filas).

Este mtodo consiste en transformar la matriz en una matriz triangular realizando operaciones en las filas y teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes se obtiene el determinante a partir de determinante de la matriz resultante.

Combinaciones lineales: Se dice que una fila de una matriz es combinacin lineal de las otras, si existen nmeros reales k1; k2; k3;...; kn tales que la fila dada es la suma de los productos de cada nmero real por cada una de las otras filas de la matriz.

Operaciones entre filas de una matriz:

Entre las filas de una matriz se pueden realizar las siguientes operaciones sin que la matriz resultante deje de ser equivalente a la matriz original.

1. Permutar dos filas de la matriz.

2. Multiplicar una fila por un nmero real diferente de cero.

3. Sumar o restar a una fila una combinacin lineal de una o varias de las dems filas de la matriz.

Por desarrollo de cofactores en filas o columnas (regla de Cramer).

Para explicar este mtodo es necesario primero que es un menor y que es un cofactor o complemento.

Si A=[aij]nxn y M=[mij](n 1)x(n 1) es la matriz obtenida de suprimir de A la i-sima fila y la j-sima columna, al detM se le conoce como menor del elemento aij de A y al escalar cij = (-1) i +jdetM se le denomina cofactor.

El determinante de una matriz de orden n es la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por su correspondiente cofactor.

Desarrollando en la fila 1 det (A) = a11c11 + a12c12 + a13c13

CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 2 (DETERMINANTES)

1. Calcule (por simple inspeccin) el determinante de las siguientes matrices:

2. Calcule el determinante de las siguientes matrices:

Dadas las siguientes matrices, evalu las expresiones indicadas teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes:

9. Determine los valores de x en las siguientes matrices para su determinante sea cero:

10. Sabiendo que det (A) = 4 y det (C) = 3. Aplique las propiedades correspondientes y calcule los determinantes de las matrices B y D. Justifique su respuesta.


WORK PAPER # 3

UNIDAD O TEMA: INVERSA DE UNA MATRIZ

TITULO: Clculo de inversas

FECHA DE ENTREGA:


INVERSA DE UNA MATRIZ.

En el trabajo con nmeros reales se puede sustituir la divisin de un nmero a entre un nmero b por el producto de a por el inverso de b.

No se ha definido un mtodo para dividir matrices directamente pero si podemos encontrar una matriz inversa a la dada entonces podemos definir (en los casos que sean posibles) la divisin de una matriz A ente una matriz B como el producto de A por la matriz B-1 donde B-1 es la matriz inversa de B.

Uno de los mtodos mas utilizados para encontrar la inversa de una matriz es el mtodo de Gauss-Jordn y consiste anotar una matriz identidad correspondiente al lado de la matriz dada, luego realizar transformaciones en las filas de ambas matrices hasta convertir la matriz dada en identidad, luego la matriz resultante de las transformaciones realizadas en la identidad ser la inversa de la matriz original.

Notas:

a) Solo se puede hallar la inversa de matices cuadradas.

b) Si el determinante de una matriz es 0, su inversa no existe.Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz A por el mtodo Gauss-Jordn.

Otro mtodo para calcular la inversa de una matriz es utilizando los cofactores y los determinantes:

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por adjA, a la matriz que se obtiene de reemplazar cada elemento de A por su correspondiente cofactor. Luego la inversa de A se puede calcular por la siguiente formula:

CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 3 (INVERSAS)

Encuentre la inversa de las siguientes matrices: (A, B, E, F) por el mtodo de Gauss-Jordn y las dems por el mtodo de los cofactores.


WORK PAPER # 4

UNIDAD O TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TITULO: Solucin de SEL

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDO PARCIAL

SISTEMAS DE ECUACIONES

Ecuacin lineal: Lineal es una igualdad donde hay una o mas incgnitas o cantidades desconocidas.

Resolver una ecuacin consiste en encontrar el valor o los valores de las incgnitas para los cuales se cumple la igualdad.

Cuando una ecuacin lineal tiene una sola incgnita entonces tiene una sola solucin y se resuelve despejando la incgnita o variable.

Cuando una ecuacin lineal tiene mas de una incgnita entonces tiene muchas soluciones (infinitas en la mayora de los casos) porque al despejar la una variable esta queda en funcin de la otra. Para resolverla es necesario asignar el valor de un parmetro a una variable, luego las dems variables quedan en funcin del parmetro asignado.

Sistemas de ecuaciones lineales: Se le llama as cuando si tienen mas de una ecuacin con mas de una incgnita, en este caso se pueden dar tres posibles soluciones:

a) Que el sistema tenga una sola solucin (compatible y determinado)

b) Que el sistema tenga mas de una solucin (compatible indeterminado)

c) Que el sistema no tenga solucin (incompatible)

Como una ecuacin lineal representa una lnea recta, las soluciones pueden interpretarse de la siguiente manera:

Compatible y determinado (rectas que se cortan)

Compatible indeterminado (Rectas equivalentes o coincidentes)

Incompatible (rectas paralelas)

Existen varios mtodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 o 3 ecuaciones con 2 o 3 incgnitas. En este curso no se trabajaran los ya aprendidos en materias anteriores a excepcin del mtodo de Cramer el cual se extender a sistemas de n-ecuaciones con n-incgnitas.

En forma general un Sistema de ecuaciones lineales (SEL) de m-ecuaciones con n-incgnitas se puede escribir:

a11x1 + a12 x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22 x2 + ... + a2nxn = b2...............................................am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bmA los trminos a11, a12, ... a1n, a22, ... (en general aij) se les llama coeficientes y a los trminos b1, b2, ... bm se les llama trminos independientes.

Como en este curso se estudiar el uso de las matrices y determinantes para resolver SEL, veamos a continuacin con un ejemplo dos formas de escribir un SEL con representacin matricial

.

x1 + x2 + 2 x3 = 8

x1 2 x2 + 3 x3 = 1

3 x1 7 x2 + 4 x3 = 11

Mtodos de solucin:Mtodo de Gauss.El mtodo de Gauss consiste en convertir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones en otra escalonada (convertir en triangular la parte de los coeficientes de la matriz).

1. Mtodo de Gauss -Jordn.

El mtodo de Gauss-Jordn consiste en convertir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones en una matriz escalonada y reducida (convertir en identidad la parte de los coeficientes de la matriz).

2. Mtodo de Cramer.

El mtodo estudiado en cursos anteriores es aplicable a SEL de n-ecuaciones con n-incgnitas.3. Mtodo de la inversa.

Consiste en escribir el SEL de la forma AX = B y luego resolver X = A-1B aplicando la multiplicacin de matrices.

Sistemas homogneos de ecuaciones lineales:Cuando en un SEL todos los trminos independientes son 0 se dice que el sistema es homogneo y puede tener:

a) Una nica solucin que es S = (0; 0; ... ;0) (Solucin trivial)

b) Infinitas soluciones no triviales adems de la Solucin trivial.Por lo general se resuelven por Gauss Jordn.

CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 4 (SISTEMAS DE ECUACIONES)

1. Considere que siguientes matrices representan sistemas de ecuaciones y resulvalos.

2. Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo Gauss.

3. Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo Gauss Jordn.

4. Resuelve los siguientes S. E. L. Por la formula X = A-1 . B

5. En el siguiente sistema de ecuaciones, que valores puede para que el sistema tenga infinitas soluciones.


WORK PAPER # 5

UNIDAD O TEMA: VECTORES

TITULO: Operaciones con vectores

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDO PARCIAL

WP # 5: VECTORES Llamamos magnitud fsica a aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud, la velocidad o la temperatura son todas magnitudes fsicas. El aroma o la simpata, puesto que no pueden medirse, no son magnitudes fsicas.

Para muchas magnitudes fsicas basta con indicar su valor para que estn perfectamente definidas. As, por ejemplo, si decimos que Jos Antonio tiene una temperatura de 38 C, sabemos perfectamente que tiene fiebre y si Rosa mide 165 cm de altura y su masa es de 35 kg, est claro que es sumamente delgada. Cuando una magnitud queda definida por su valor recibe el nombre de magnitud escalar.

Otras magnitudes, con su valor numrico, no nos suministran toda la informacin. Si nos dicen que Pedrol corra a 20 km/h apenas sabemos algo ms que al principio. Deberan informarnos tambin desde dnde corra y hacia qu lugar se diriga.

Estas magnitudes que, adems de su valor precisan direccin y sentido se llaman magnitudes vectoriales, y se representan mediante vectores. En este tema estudiaremos los vectores y sus propiedades.

Podemos considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en uno de sus extremos. De esta forma lo podemos distinguir por cuatro partes fundamentales: punto de aplicacin, mdulo (norma o intensidad), direccin y sentido.

Si dos vectores se diferencian en cualquiera de los tres ltimos elementos, (intensidad, direccin o sentido), los consideraremos distintos.

Mientras que si slo se diferencian en el punto de aplicacin los consideraremos iguales.

Siempre es posible dibujar dos vectores con la misma direccin pero sentido opuesto. Si adems tienen la misma intensidad decimos que son vectores opuestos, ya que se anularan uno a otro.

Cualquier vector puede dibujarse en un plano, si lo colocramos de tal forma que su punto de aplicacin coincida con el origen, el extremo del vector, coincidir entonces con un punto del plano, el punto (x, y).

Cualquier punto (x, y) determina el vector que empieza en el origen de coordenadas y termina en l propio punto. Analticamente, representaremos el vector por el punto que determina su final. A las coordenadas del vector las denominaremos componentes, y todo vector estar as definido por dos componentes, una x y otra y, que sern las componentes cartesianas del vector.

Adems de por sus coordenadas cartesianas, existe otra forma de representar y determinar numricamente un vector: indicando su intensidad y el ngulo que forma con el eje de abscisas. stas (mdulo |V| y ngulo ) son las coordenadas polares de un vector. En muchas ocasiones, es ms conveniente trabajar con coordenadas polares que con coordenadas cartesianas.

Conocidas las coordenadas polares de un vector, determinar sus coordenadas cartesianas es inmediato aplicando la trigonometra.

La determinacin de las coordenadas polares del vector a partir de sus coordenadas cartesianas es tambin inmediata por trigonometra.

VEVTORES Y MATRICES:

Un vector puede ser representado como una matriz fila o una matriz columna, as de igual manera las filas y columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores.

Operaciones con vectores:

Suma: La adicin de vectores suma vectores y produce como resultado un vector. Esta operacin se puede realizar, tanto grficamente (como se ha estudiado en cursos anteriores) como analticamente.

Nota: Es objetivo de este curso trabajar mas de esta ltima forma.

Para sumar dos o ms vectores en forma analtica es necesario primero expresarlos en coordenadas cartesianas y luego se suman como matrices filas (componente a componente). Solo se pueden sumar vectores de igual tamao.

Multiplicacin por un escalar: Un vector puede ser multiplicado por un escalar y en ese caso cada componente del vector queda multiplicada por el escalar (como una matriz fila).

Grficamente significa multiplicar el modulo del vector:

Producto escalar: El producto escalar; (producto punto o producto interior euclidiano) es un tipo de multiplicacin definida entre vectores que es muy til para aplicaciones a problemas reales ya que asigna un valor real a una operacin entre vectores y se define de la siguiente manera:

Ejemplo: Seanv = ( v1; v2 ); u = ( u1; u2 ) : Es el ngulo entre v y u

Tambin se define en funcin de sus componentes cartesianas.

Anlogamente se extiende para todo Rn.Sean:v = ( v1; v2; ... ; vn ) y u = ( u1; u2; ... ; un )

Nota: Si dos vectores u y w son perpendiculares uw = 0

Producto cruz de vectores: Es un tipo de multiplicacin que se define para el conjunto R3 la cual es muy usada en la solucin de problemas en los que es necesario definir un vector que sea perpendicular (ortogonal) a otros dos vectores.

Sean v = ( v1; v2; v3 ) y u = ( u1; u2; u3 ) vectores que pertenecen a R3

El producto v x u es un vector que pertenecen a R3 y es perpendicular a v y a u, su sentido se puede determinar utilizando la regla de la mano derecha:

Nota: Las componentes del producto u x v tienen los mismos valores pero con signos contrarios:

CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 5 (APLICACIONES DE VECTORES)

1. Cul de los siguientes vectores tiene mayor modulo? (3,0);(2,1);(2.5,2).

2. Con los vectores v(1,2);w(2,-1) y u(-1,1) realiza las sumas:

a) u + v + wb) v + u + wc) (u v) (v u)3. Dados v(1y 45) y w(2 y 180) Calcule su producto escalar?

4. Con los vectores v(1,2);w(2,-1) y u(-1,1) realiza:

a) u . w

b) v . w

c) u . v

d) v . u

5. Qu ngulo forman los vectores u y v ; u y w ; v y w del ejercicio anterior?

6. Calcule el producto escalar entre:a) u = (3,4,2) y v = (2,1,5)b) u = (1,1,1) y v = (2,2,-2)

c) u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3)7. Determine la distancia entre los puntos P1(1,2,3) y P2(-3,-2,-1)

8. Determine el producto vectorial y el ngulo comprendido entre:

a) u = (3,4,2) y v = (2,1,5)b) u = (1,1,1) y v = (2,2,-2)

c) u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3)9. Determine el rea del triangulo comprendido entre los puntos:

a) P1(1,2,3) ; P2(-3,-2,-1) y P3(3,-3,0)

b) P1(5,0,0) ; P2(0,5,0) y P3(0,0,5)

10. Determine el rea del paralelogramo que tiene como vrtices consecutivos a los puntos

a) P1(3,-2,12) ; P2(-4,-2,7) y P3(1,-3,0)


WORK PAPER # 6

UNIDAD O TEMA: ESPACIOS VECTORIALES

TITULO: Espacios vectoriales

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: EXAMEN FINAL

ESPACIOS VECTORIALESEstamos acostumbrados a representar un punto en la recta como un nmero real; un punto en el plano como un par ordenado y un punto en el espacio tridimensional como una terna o tro ordenado. Pero si reconocemos un conjunto de nmeros ordenados (a1; a2; a3; a4) como un punto en el espacio tetradimencional, aun cuando esta idea no se pueda concebir geomtricamente mas all del espacio tridimensional, es posible entenderlo considerando las propiedades analticas de lo nmeros en lugar de las propiedades geomtricas.

Un espacio vectorial no es mas que un conjunto no vaco de n-vectores ordenados que cumple con las propiedades de cierre y las antes mencionadas para la suma y la multiplicacin por un escalar. Se denota por Rny se clasifican as:

R1 = espacio unidimensional, lnea recta real.

R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.

R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.

Rn = espacio n-dimencional, n-adas ordenadas.

Combinacin Lineal: Se dice que un vector v es una combinacin lineal de los vectores v1, v2, v3, ..., vn en un espacio vectorial Rn si existen nmeros reales k1, k2, ... kn tales que v pueda ser expresado como:

V = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn

Para comprobar si el vector x es combinacin lineal de v, u, w R3:

Se plantea un sistema homogneo de ecuaciones lineales para:

k1v + k2u + k3w = x

k1( v1; v2; v3 ) + k2( u1; u2; u3 ) + k3(w1; w2; w3) = (x1; x2; x3)

k1v1 + k2u1 + k3w1 = x1

k1v2 + k2u2 + k3w2 = x2

k1v3 + k2u3 + k3w3 = x3

Si el sistema tiene solucin el vector x es combinacin lineal de v, u, w.

Dependencia e Independencia Lineal: Se dice que los vectores v1, v2, v3, ..., vn son linealmente dependientes si existen infinitas combinaciones lineales de estos vectores que den como resultado el vector 0.

Si la nica combinacin lineal que da este resultado es aquella en la que k1 = k2 = ... = kn, entonces se dice que los vectores son linealmente independientes.

0 = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn

Ejemplo: Para comprobar la dependencia Lineal entre los vectores v, u, w R3:

Se plantea un sistema homogneo de ecuaciones lineales para:

k1v + k2u + k3w = 0

k1( v1; v2; v3 ) + k2( u1; u2; u3 ) + k3(w1; w2; w3) = (0; 0; 0)

k1v1 + k2u1 + k3w1 = 0

k1v2 + k2u2 + k3w2 = 0

k1v3 + k2u3 + k3w3 = 0

Si este sistema solo tiene la solucin trivial los vectores son linealmente independientes.

Si tiene infinitas soluciones entonces son linealmente dependientes.

Espacio vectorial generado: Se dice que los vectores v1, v2, v3, ..., vn generan un espacio vectorial V si cualquier vector b de dicho espacio se puede escribir como combinacin de los vectores dados.

b = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn

Base y Dimensin de un espacio vectorial: Un sistema de vectores libre, que permite generar todos los vectores de su espacio vectorial es una base.

Todo espacio vectorial tiene al menos una base.

El nmero de elementos de una base de un sistema de vectores se llama dimensin del espacio vectorial.

Por ejemplo: Los vectores (0,0,1), (0,1,0) y (1,0,0) son la base que se utiliza normalmente en un espacio de tres dimensiones.

CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 6 (ESPACIOS VECTORIALES)

1. Determine cuales de los siguientes conjuntos son espacios vectoriales y para los que no lo son, enumere las propiedades que no cumple:

a) El conjunto de pares (x ; y) con las operaciones

( x ; y ) + ( x ; y ) = ( x + x ; y + y ) y k ( x ; y ) = (kx +ky)

b) El conjunto de pares ( x ; y ) con las operaciones

( x; y ) + ( x; y ) = (x x; y y ) y kx = x k

c) El conjunto de las matrices

M2 2 =

2. Cules de los siguientes vectores son combinaciones lineales de :

u = ( 1 ; -1 ; 3 ) y v = ( 2 ; 4 ; 0 )

a = ( 3 ; 3 ; 3 )b = ( 4 ; 2 ; 8 )c = (1 ; 5 ; 6 )d = ( 0 ; 0 ; 0 )

3. Exprese los siguientes vectores como combinaciones lineales de:u = (2; 1; 4); v = (1 ; -1; 3) y w = ( 3; 2; 5)

a = (5 ; 9 ; 5 ); b = ( 2 ; 0 ; 6 );

c = ( 0 ; 0 ; 0 ); d = ( 2 ; 2 ; 3 )

4. Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes y cuales linealmente independientes?

a) u1 = ( 1 ; 2) y u2 = ( -3 ; -6 ) en R2b)

c) (2 ; -1; 4); (3; 6; 2) y (2; 10; -4) en R3

Asignar el valor de una matriz en la herramienta informtica (MATLAB).

Realizar las diferentes operaciones con matrices estudiadas en clases utilizando (MATLAB).

Calcular determinantes e inversas utilizando el programa.

Mtodo: Analtico y experimental

Materiales y equipos:

Laboratorio de computo Software matlab.

Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas.

Las operaciones con matrices son una de las aplicaciones ms importantes del lgebra lineal a las diferentes ramas de la ingeniera.El programa MATLAB es una de las tantas herramientas informticas desarrolladas para mejorar la forma en que las matemticas sirven de apoyo a las diferentes reas profesionales. El manejo de dicha herramienta ser de gran apoyo para los estudiantes y futuros profesionales.

Al comenzar la prctica, el docente dar una introduccin de cmo funciona el programa y como se pueden realizar en el mismo las deferentes operaciones con matrices que han aprendido en clases. Seguidamente se les orientara realizar de forma independiente los siguientes ejercicios.

1.Ingrese las siguientes matrices al programa y escriba correctamente la expresin utilizada.

A=

A =

1 2 3 4

5 6 7 8

9 0 1 2

B=

B =

-1 2 -1 4

-5 6 -7 8

-9 0 -1 2

-3 4 -5 6

C=

C =

2 3 4

5 7 9

-1 0 3

D=

D =

4 -2 5

3 0 -7

11 15 18

E=

E=

12 -14

-15 03

F=

F=

46 -1 54

-31 102 31

2.Realice las operaciones indicadas escribiendo la expresin correcta y la matriz resultante. Si la operacin no es posible explique por qu?

a) AT.

b) C + D.

c) 3 (C + D.)

d) 3 (C+D)-2Ce) A por Bf) B por Ag) 2(ETF)-4CA

h) Determinante de A

i) Determinante de B

j) Inversa de C

Se analizaran las ventajas de usar una herramienta informtica. Se comentar sobre otras herramientas como calculadoras y un ejemplo disponible en internet.

http://www.math.gatech.edu/~villegas/matlab/

Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando (MATLAB).

Resolver series de sistemas de ecuaciones lineales utilizando (MATLAB).


Materiales y equipos:

Laboratorio de computo Software matlab.

Una ecuacin es una igualdad donde hay una o ms incgnitas o cantidades desconocidas.

Resolver una ecuacin consiste en encontrar el valor o los valores de las incgnitas para los cuales se cumple la igualdad. Si el mayor exponente de las variables es 1 entonces se dice que la ecuacin es lineal.

Si se tienen ms de una ecuacin con ms de una incgnita, estamos en presencia de un sistema de ecuaciones. Resolverlo significa encontrar los valores de las variables que las satisfagan.

Prcticamente no existe ninguna profesin en la que no surjan problemas que solo pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones y en numerosos ocasiones se tienen tantas ecuaciones e incgnitas que se hace prcticamente imposible resolver el sistema manualmente y se busca el apoyo de una herramienta informtica como lo es en este caso el programa MATLAB.

Al comenzar la prctica el docente recordar dos de los mtodos de solucin estudiados en clases. Luego se explicar como se deben introducir las matrices para aplicar cada uno y se orientar a los estudiantes realizar los siguientes ejercicios.

Nota: Escriba en las lneas debajo de cada ejercicio, las instrucciones ingresadas al programa y las correspondientes respuestas.

1. Resuelve Los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

b)

2. Resuelve La siguiente serie de sistemas de ecuaciones lineales:

Se analizaran las ventajas de usar una herramienta informtica. Se comentar sobre algunos ejemplos de cmo se pueden utilizar los mtodos matriciales para resolver sistemas de ecuaciones lineales en algunas ramas especficas de la ingeniera.

http://www.math.gatech.edu/~villegas/matlab/

Utilizar el MATLAB para realizar diferentes operaciones con vectores de forma analtica.

Utilizar estas operaciones para resolver problemas de aplicacin.


La representacin vectorial es ampliamente utilizada en las diferentes profesiones, no solo en el campo de la Fsica donde se emplean para representar magnitudes que requieren de dimensin; direccin y sentido y en dibujo o en sistemas de posicionamiento geogrfico donde pueden representar puntos o dimensiones en el espacio tridimensional, sino tambin en almacenamiento de datos, ya que toda informacin se puede representar como un vector n-dimensional.

Es por ello que es muy importante poder realizar diferentes operaciones con vectores, de forma analtica pues grficamente es imposible trabajar con vectores de ms de tres dimensiones.

Al comenzar la prctica se recordara la relacin ente los vectores y matrices, se explicara como se realizan las diferentes operaciones y se indicarn los comandos que se deben utilizar en cada caso.

Despus se orientara realizar los siguientes ejercicios.

Nota: Escriba en las lneas debajo de cada ejercicio, las instrucciones ingresadas al programa y las correspondientes respuestas.

1. Dados los vectores v = (25; 315; 53; 0; 19) , u = (41; 15; 253; 0; 27) y w = (2,5; 31,15; 3; 0; 1,29) determine:

a) w 2u b) 3v + u c) modulo de v lvl

d) vector u 2. Dados los vectores p = (-225; 309; 1) y q = (40; 0; -125)

e) Determine el modulo de vector q x p3. Determine el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos P1(454; -21; 1); P2(101; 4; -152) y P3(-412; 0; 594) Y encuentre adems la distancia entre los puntos P1 y P2

4. Determine el rea del paralelogramo que tiene dos arstas consecutivas coincidentes con los vectores v1(54; -271; 0) y u2(11; 654; -152)

Se analizaran las ventajas de usar una herramienta informtica. Se comentar sobre algunos ejemplos de cmo se pueden utilizar los mtodos matriciales para resolver sistemas de ecuaciones lineales en algunas ramas especficas de la ingeniera.

http://www.math.gatech.edu/~villegas/matlab/ HOWARD Antn; Introduccin al lgebra Lineal; Ed. Limusa, Mxico, 1989.

MENDOZA Domingo M; lgebra Lineal, Bolivia 1992.

RICHARD Hill; lgebra Lineal Elemental con aplicaciones; 3era edicin, Mxico, 1997.


DIFs # 1

UNIDAD OTEMA: MATRICES

TITULO: Propiedades de la aritmtica matricial.

FECHA DE ENTREGA:

En las diferentes disciplinas de las ciencias econmicas, es comn que un conjunto de datos se representen en forma de matrices para simplificar u optimizar su procesamiento, con ellas se realizan diferentes operaciones bsicas. Despus de consultar las siguientes pginas de Internet y la bibliografa complementaria recomendada en este material:Describa mediante un ejemplo concreto una de estas aplicaciones.http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.htmlhttp://www.webmath.com/http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htmwww.recursosmatematicos.com/interactiva.html


DIFs # 2

UNIDAD OTEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TITULO: Interruptores

FECHA DE ENTREGA:

En algunas reas profesionales como la economa, etc. surgen problemas cuya solucin requiere de sistemas de ecuaciones lineales con un considerable nmero de ecuaciones e incgnitas los cuales no son posibles de resolver por los mtodos de eliminacin y por ello se recurren a los mtodos matriciales.

Consulte la Internet y los textos de ingeniera que considere pertinente y traiga un ejemplo de dichos problemas con el desarrollo de su solucin, para discutir en clases.

http://www.mvps.org/vexpert/articles/mat_gauss.htmhttp://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jvazquez/teleco.htmlhttp://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htmwww.recursosmatematicos.com/interactiva.html


DIFs # 3

UNIDAD OTEMA: VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES

TITULO: Interruptores

FECHA DE ENTREGA:

Si se quieren definir elementos que requieran ms de una caracterstica para su comprensin y tenerlos de forma ordenada para su procesamiento, la forma ideal que nos brinda la matemtica es la representacin vectorial y las propiedades de las operaciones que se realizan con los conjuntos de elementos o vectores, definidos como espacios vectoriales.

Consulte la Internet y la bibliografa necesaria y traiga un ejemplo de alguna aplicacin especfica que se le de en las carreras de ingeniera de Sistemas y Telecomunicaciones a los vectores y/u operaciones con espacios vectorialeshttp://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htmwww.recursosmatematicos.com/interactiva.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html


VISITA TECNICA No. 1

UNIDAD O TEMA :

LUGAR :

FECHA PREVISTA :

RECURSOS NECESARIOS

OBJETIVOS DE LA ACTIVIDAD

FORMAS DE EVALUACION (Si procede)


VISITA TECNICA No. 1

UNIDAD O TEMA :

LUGAR :

FECHA PREVISTA :

RECURSOS NECESARIOS

OBJETIVOS DE LA ACTIVIDAD

FORMAS DE EVALUACION (Si procede)

Desarrollo:

Objetivos:

Nombre y apellidos:

Bibliografia:

Conclusiones:

Bibliografia:

Fundamentos tericos:

Diseo:

Conclusiones:

Direccin

Sentido

Punto de aplicacin

Mdulo

Desarrollo:


Diseo:

Objetivos:

Nombre y apellidos:

Prctica de Laboratorio:N 2

Ttulo: Sistemas de ecuaciones lineales.

Lugar de Ejecucin: Laboratorio de Computacin.

Elaborado por: Ing. Mijail Daz Concepcin.

Bibliografia:

Conclusiones:

Desarrollo:


Diseo:

Objetivos:

Nombre y apellidos:

Prctica de Laboratorio:N 1

Ttulo: Operaciones con matrices.

Lugar de Ejecucin: Laboratorio de Computacin.

Elaborado por: Ing. Mijail Daz Concepcin.

Y (x,y)

|V|

X

b)

c)

a)

UDABOL

UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

Acreditada como PLENA Mediante R.M. 288/01

VISIN DE LA UNIVERSIDAD:

Ser la Universidad lder en calidad educativa.

MISION DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educacin Superior Universitaria con Calidad y competitividad al servicio de la sociedad.

Estimado (a) alumno (a):

La Universidad de Aquino Bolivia te brinda a travs del Syllabus, la oportunidad de contar con una compilacin de materiales que te sern de mucha utilidad en el desarrollo de la asignatura.

Consrvalo y aplcalo segn las instrucciones del docente.

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UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

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_1105371462.doc

algebra ii.doc

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tipos de matrices

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