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Problemas Campos gravitatorio y eléctrico

IV-1

UNIDAD 4. CAMPOS GRAVITATORIO Y ELÉCTRICO

P.IV- 1. Dado el campo vectorial rurkrF

2 , donde k es una constante y

ru

es el vector unitario en la dirección y sentido del desplazamiento, calcular la

circulación del campo (el trabajo para el caso particular de los campos de fuerza) entre

dos puntos A y B, cuyos vectores de posición son Ar

y Br

.

P.IV- 2. Sabiendo que la carga del electrón vale 1.6·10-19

C y que las masas del

electrón y protón son, respectivamente, de 9.11·10-31

Kg y de 1.67·10-27

Kg, calcula las

fuerzas gravitatoria y eléctrica ejercidas entre el protón del núcleo del átomo de

hidrógeno y su electrón, que gira en una órbita de radio 5.29·10-11

(primera órbita

atómica de Bohr del H). Halla después la relación entre ambas fuerzas.

Solución: 3.6·10-47

N; 8.2·10-8

N; 2.3·1039

P.IV- 3. Si tratamos de acercar una carga de 0.1 mC a otra fija de 0.3 mC desde

2 m hasta 50 cm de la misma: (a) representar cómo varía la fuerza que hay que ejercer

en función de la distancia; (b) halla el trabajo total realizado.

Solución: -4.05·102 J

P.IV- 4. El átomo de hidrógeno tiene una masa de 1.67·10-27 Kg y cuando está

ionizado su carga vale 1.6·10-19

C. ¿Qué relación existe entre la fuerza electrostática y la

gravitatoria cuando dos protones se encuentran a 1 m de distancia?

Solución: 1036

P.IV- 5. Cuatro cuerpos, de igual masa M, se encuentran situados en los vértices

de un cuadrado de lado l. Calcula el módulo de la fuerza ejercida sobre una cualquiera

de las masas por parte de las otras tres.

Solución: (GM2/l

2)(2

1/2 + 1/2)


IV-2

P.IV- 6. Dos bolitas conductoras idénticas de masa m se cuelgan, mediante hilos

de longitud L y masa despreciable, de un mismo punto. Si se las carga con la misma

carga, éstas se separan de manera que el ángulo que forman los dos hilos es de 2θ.

¿Cuál es el valor de la carga suministrada en función de θ?

Solución: (4L2mgsen

2θtgθ/K)

1/2

P.IV- 7. Calcula el trabajo que es necesario desarrollar para desplazar una masa

de 1 kg desde un punto situado a 3 m de otra masa de 5 Kg, hasta otro punto situado a 1

m de distancia. Efectúa el mismo cálculo para el caso del campo eléctrico en el vacío y

toma los mismos valores numéricos, sustituyendo Kg por nC de carga positiva.

Interpreta el signo del trabajo.

Solución:22.2·10-11

J; -3·10-8

J

P.IV- 8. ¿En qué punto, a lo largo de la línea que une dos masas, una doble que

la otra, se anula el campo gravitatorio resultante? Contesta a la pregunta anterior si se

trata de campo eléctrico y son dos cargas del mismo signo, una doble que la otra. ¿Y si

se trata de dos cargas del mismo valor y de signo opuesto?

Solución: en un punto situado entre ambas a distancia 0.586d de la

mayor//idem//en ningún punto

P.IV- 9. Para mantener fijo en el espacio un cuerpo pequeño de 0.1 g de masa y

cargado positivamente, se utiliza un campo eléctrico que como mínimo debe poseer una

intensidad de 10 V·m-1. ¿Cuánto vale la carga que posee el cuerpo?. En el caso de que

el campo pase por su valor mínimo, ¿cuál será la dirección y sentido respecto a la

vertical?

Solución:98 C; 10 N·C-1

P.IV- 10. En un sistema de coordenadas rectangulares se encuentran en el vacío

dos cargas puntuales, q1 = 2·10-8

C en el punto A (-5,0,0) y la carga q2 = -2·10-8 C

situada en el punto B (5,0,0), donde las coordenadas están dadas en centímetros.

Calcula:


IV-3

a) El vector intensidad de campo en el punto C del segmento AB , situado a 2

cm de A.

b) Siendo D un punto del plano XY tal que el triángulo ADB es equilátero,

calcula el vector intensidad de campo en D.

c) Calcula el potencial creado en los puntos C y D.

d) Calcula el trabajo realizado para trasladar una carga de 3·10-8

C desde C hasta

D.

P.IV- 11. Un dipolo está constituido por dos cargas: q = -2·10-9

C y q´= 2·10-9

C,

situadas en el vacío. La constante dieléctrica en este medio vale

2129

036

10

mNC

.

Determina:

a) El potencial electrostático producido por el dipolo en un punto M de la

mediatriz de AB (puntos donde están situadas las cargas).

b) El potencial en punto C, siendo AC = 10 m y CB = 8 cm.

c) El trabajo necesario para llevar una carga de 10-9

C desde el punto M hasta el

punto C.

Solución: 0 V; 45 V; -45·10-9

J

P.IV- 12. Dos cargas puntuales idénticas de +q C están separadas una distancia

d.

a) Calcula el trabajo por unidad de carga para traer otra carga Q desde el infinito,

a lo largo de la perpendicular que corte en el punto medio a la línea que une las cargas,

hasta el citado punto de corte.

b) ¿Cuánto valdría dicho trabajo si las cargas fuesen +q y -q?

Solución: (4KqQ/d) J; 0 J

P.IV- 13. Para un valor de q1 = 5 C calcula el valor de Q si el potencial en el

punto P es nulo. Obtener el vector campo eléctrico en dicho punto y encontrar la fuerza

resultante sobre la carga Q. En el diagrama todas las coordenadas están expresadas en

metros.

Solución: -8·10-6

C; -1620 j

N·C-1

; 0 N


IV-4

P.IV- 14. Dos cargas eléctricas puntuales q1 = 36 C y q2 = - 36 C están

situadas en los puntos A y B de la figura. Calcula el campo eléctrico en el punto P

creado por aquellas cargas. Determina el trabajo necesario para trasladar una carga de 2

C desde el punto P al punto C.

Solución: (25.92·106 i

+ 70.56·106 j

) N·C-1

; 4.32 J

P.IV- 15. Dado el sistema de cargas puntuales de la figura, determina:

a) El valor de q2 para que la fuerza sobre una carga puntual positiva situada en P

sea horizontal.

b) El campo y el potencial electrostáticos en P.

Datos: a = 1 m; b = 31/2

m; q1 = 2 C

Solución: 16 C; 62353.83 i

N·C-1

; 0 V


IV-5

P.IV- 16. Dadas dos cargas de valores 1 y -2 nC, situadas en los puntos A (0,0,0)

y B (2,0,0) respectivamente. Calcula el trabajo realizado para llevar una carga de 1 C

desde el punto C (1,1,1) hasta el punto D (0,1,0).

Solución: -6.14·10-6

J

P.IV- 17. Se tienen dos cargas puntuales Q y 4Q separadas una distancia R.

Obtener el vector campo eléctrico y el potencial eléctrico en el punto medio de su

separación. ¿Existe algún punto del segmento que las une para el que se anule el campo

eléctrico? ¿Y el potencial?

Solución: 108·109 N·C

-1; 90·10

9 Q·R

-1 V; a una distancia R/3 de Q

P.IV- 18. Sean cuatro masas iguales de valor m colocadas en los vértices de un

cuadrado de lado l. Calcula el campo y el potencial:

a) En un punto P situado sobre la perpendicular al plano del cuadrado por su

centro y a una distancia l.

b) En el centro del cuadrado.

c) Calcula además la velocidad de una masa m abandonada en reposo en el punto

P al llegar al centro del cuadrado.

Solución: a) 2

33

28

l

Gmg p ;

l

GmVp

3

24 ; b)

Kg

Ng 00 ;

Kg

JV 240 ;

c) 1

0

78.4 sml

Gmv


IV-6

P.IV- 19. Dos cargas negativas iguales, de 1 C, se encuentran sobre el eje de

abscisas, separadas una distancia de 20 cm. A una distancia de 50 cm sobre la vertical

que pasa por el punto medio de la línea que las une, se abandona una carga de 1 C

positiva, de masa 1 g, inicialmente en reposo. Determina la velocidad que tendrá al

pasar por el punto medio de la línea de unión.

Solución: 17 m·s-1

P.IV- 20. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón gira

alrededor de protón, describiendo una órbita circular de radio r, bajo la acción de una

fuerza atractiva, entre ambas partículas, de naturaleza coulombiana. Determina:

a) La energía cinética que posee el electrón en su órbita, en función del radio de

la misma.

b) La relación entre la energía cinética y la energía potencial del electrón.

c) La energía cinética y la energía total del electrón para r = 0.53·10-10

m.

d) La energía, en eV, que debe suministrarse al átomo de hidrógeno para

ionizarlo.

Solución: (1.15·10-28

/r) J; Ec = -Ep/2; 2.17·10-18

J; -2.17·10-18

J ; 13.58 eV

P.IV- 21. Un campo eléctrico uniforme de valor E = 200 N·C-1

está dispuesto

horizontalmente en la dirección del eje X. Se deja en libertad en el origen, y partiendo

del reposo, una carga puntual de Q = 3C y m = 0.12 g. Calcula:

a) La variación de energía cinética de la carga en x = 4m.

b) La variación de energía potencial en el mismo recorrido.

c) El desplazamiento vertical que ha experimentado la partícula.

d) La diferencia de potencial eléctrico entre la posición inicial y final de la

partícula.

Solución:1.15·10-2

J; -1.15·10-2

J; 7.78 m; 800 V.

P.IV- 22. Calcula el campo gravitatorio que crean las masas que se indican en la

figura, en el punto (3,1). Las distancias se miden en metros y m1 = m2 = m3 = 100 Kg.


IV-7

¿Cuál será el valor de la fuerza resultante que actúa sobre una masa de 100 Kg,

colocada en dicho punto? ¿Cuál será el valor del potencial gravitatorio en el punto P?

Solución: 93.58G j

N·Kg-1

; 9368G j

N; -1.08·10-8

J·Kg-1

P.IV- 23. Dibujar a escala las líneas de campo y equipotenciales de dos cargas

puntuales de 1 nC de signos opuestos (dipolo eléctrico) separadas entre sí una distancia

de 10 cm.

P.IV- 24. Dibuja las líneas de campo y las equipotenciales que representan al

campo eléctrico creado por:

a) Una carga puntual positiva.

b) Una carga puntual negativa.

c) Compara estos resultados con las correspondientes al campo gravitatorio.

P.IV- 25. La figura muestra líneas de fuerza debidas a una masa en forma de

disco. ¿Qué información sobre el campo gravitatorio puede obtenerse, debido al hecho

de que las líneas son mucho más densas cerca de disco que lejos de él? ¿Y debido al

hecho de que cerca del centro del disco las líneas están uniformemente espaciadas?


IV-8

P.IV- 26. La siguiente figura muestra las líneas de fuerza correspondientes a un

sistema de cargas puntuales. ¿Cómo son los valores relativos de ambas cargas? ¿Cuáles

son los signos de ambas cargas? ¿En qué regiones del espacio es más intenso el campo

eléctrico? Razona las respuestas.

P.IV- 27. ¿Cuál sería el flujo gravitacional terrestre a través de la pared de una

habitación de 3×6 m? ¿Y a través del piso de iguales dimensiones?

Solución:0 Nm2·Kg

-1; -176.4 Nm

2·Kg

-1

P.IV- 28. Calcula el flujo que atraviesa una superficie cúbica de lado l en el

campo gravitatorio terrestre (para puntos próximos a la superficie de la Tierra).

Solución:0 Nm2/Kg


IV-9

P.IV- 29. Razonar que la fuerza de atracción sobre una partícula P, que se

encuentra en el interior de una esfera homogénea hueca, es cero se encuentre donde se

encuentre en el interior.

P.IV- 30. A una esfera metálica hueca, de 8 cm de radio, se le comunica una

carga de Q = -4·10-8

C. Calcula:

a) La intensidad del campo eléctrico sobre la superficie.

b) La intensidad del campo eléctrico en un punto interior a 4 cm del centro.

c) La intensidad del campo eléctrico en un punto exterior a 15 cm del centro.

Solución:E = Q/4r2 si r R; E = 0 si r < R; 56.25·10

3 N·C

-1; 0 N·C

-1;

16·103 N·C

-1; dirigidos hacia el centro

P.IV- 31. Calcula el campo y el potencial creado por una esfera de carga Q

distribuida superficialmente con densidad superficial de carga y comparar el resultado

con el obtenido cuando la carga se distribuye con densidad de volumen .

Solución:1. Carga distribuida superficialmente:

Rrr

QE

24; RrE 0 ; Rr

r

QV

4;

RrR

QV

4

2. Carga distribuida en volumen:

Rrr

QE

24; Rrr

R

QE

34; Rr

r

QV

4;

22

33

2rR

R

KQV

P.IV- 32. Calcula el campo gravitatorio en puntos exteriores e interiores a la

Tierra, supuesta esférica y el único astro del Universo (Nota: todas las características de

este campo serán idénticas a las del campo eléctrico del P.IV- 31).

Solución: TRrr

GMg

2; Rrr

R

MGrGg

T

T 33

4


IV-10

P.IV- 33. Supongamos que se hace un túnel a través de la Tierra, a lo largo de un

diámetro, y se deja caer por su interior una cierta masa m.

a) Halla la fuerza sobre la masa m, cuando esté situada a una distancia r del

centro de la Tierra (r < R).

b) A la vista del resultado anterior, discutir su movimiento.

c) Halla el periodo del movimiento armónico.

Solución: Tr

T

T RrurR

mMGF

3

; M.A.S.; T = 1.41 horas

P.IV- 34. Determina por aplicación del teorema de Gauss el campo eléctrico en

las proximidades de un plano infinito, siendo la densidad superficial de carga.

Solución: E = /20

P.IV- 35. Halla el campo y el potencial entre dos láminas conductoras paralelas

planas e infinitas, separadas una distancia d, cargadas con cargas iguales y de signos

contrarios.

Solución: 0E ; dEd

VV BA

0

, siendo A y B dos puntos

situados en las láminas

P.IV- 36. Considerando la Tierra totalmente esférica y homogénea, calcula:

a) El campo y el potencial gravitatorio para un punto cualquiera situado a una

altura h sobre la superficie terrestre.

b) La energía potencial que adquiere una masa m situada en ese punto si:

b.1) Tomamos el origen de energía potencial en el infinito.

b.2) Tomamos el origen de energía potencial en la superficie terrestre.

c) Aplicación numérica de los dos anteriores apartados si h = 10000 m y m = 4

Kg.

P.IV- 37. Un astronauta, cuyo peso en la Tierra es de 700 N, aterriza en el

planeta Venus y de nuevo mide su peso, observando que después de efectuadas las

correcciones pesa 600 N. Considerando que el diámetro de Venus es aproximadamente

el mismo que el de la Tierra, calcula la masa de Venus. Datos: MT = 6·1024

Kg.


IV-11

P.IV- 38. Determina la aceleración de la gravedad para un cuerpo que cae sobre

la Luna desde un punto muy próximo a ella, si sabemos que el diámetro de la Luna es

aproximadamente 1/4 del diámetro de la Tierra y la razón entre sus masas es de 1/81.

Solución: 1.93 m·s-2

P.IV- 39. Calcula la masa del Sol a partir del radio de giro de la Tierra y del

periodo de rotación de la misma (rotación alrededor del Sol = traslación).

Solución: 2

23 4

GT

R , coincide exactamente con la 3ª Ley de Kepler

P.IV- 40. Desde la superficie de la Tierra se lanza un satélite de 1000 Kg y se le

sitúa en una órbita de 650 Km sobre la superficie terrestre. Determina:

a) Valor de la intensidad del campo gravitatorio en la órbita.

b) Velocidad y periodo de giro del satélite.

c) Energía suministrada por los motores para situarlo en órbita.

P.IV- 41. Determina la rapidez con que debemos lanzar un cuerpo desde la

superficie terrestre para que alcance una altura de 9RT / 4. Determina además el periodo

de giro de un satélite que gire en torno a la Tierra en una órbita de radio igual a la altura

dada anteriormente.


; 29679.8 s

P.IV- 42. Un satélite artificial de 100 Kg está girando alrededor de la Tierra a

una altura media, sobre la superficie terrestre, de 400 Km. Calcula:

a) La velocidad orbital del satélite.

b) Suponiendo que no existen rozamientos, el trabajo que ha tenido que

realizarse para situarlo en órbita desde la superficie terrestre.

c) En la posición que ocupa, ¿ha aumentado o ha disminuido la energía

potencial?


; 3.3882·109 J


IV-12

P.IV- 43. Se lanza un satélite con el propósito de situarlo en una órbita circular

situada en el plano ecuatorial y que sea geoestacionaria. El satélite describe su

trayectoria con una velocidad de módulo constante v. Calcula:

a) El valor de la altura h donde evoluciona el satélite.

b) El módulo de la velocidad.

Solución: 35852 Km; 3068.9 m·s-1

P.IV- 44. El planeta Marte tiene un radio igual a 0.53 veces el de la Tierra. Su

satélite Fobos describe una órbita circular de radio R1 = 2.77 RM en T = 7h, 39 min,

14s, aproximadamente. Calcula la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte.


P.IV- 45. Desde una altura de 1000 Km sobre la superficie de la Tierra, se lanza

un cuerpo con cierta velocidad v0 tal como se indica en la figura.

Calcula para qué valores de la velocidad el cuerpo quedará en órbita alrededor

de la Tierra y para cuáles escapará de la atracción terrestre. Considera en todos los casos

que la órbita es circular y que RT = 6500 Km.

Solución: Si v0 > 10.313 Km·s-1

el cuerpo escapa; en caso contrario queda

atrapado.


IV-13

P.IV- 46. Halla el punto situado entre la Tierra y la Luna en el que debe

colocarse un cuerpo de masa m para que la fuerza de atracción de la Luna iguale a la

fuerza de atracción de la Tierra. ¿Cuál es el trabajo mínimo necesario para lanzar una

nave cósmica de masa 2000 Kg desde la superficie de la Tierra a la Luna? (Suponer que

el cuerpo alcanzará la Luna si es capaz de llegar hasta el punto en que se igualan la

atracción lunar y la terrestre). Datos: distancia Tierra-Luna = 3.8·108 m; MT = 81 ML.

Solución: a 3.42·108 m de la Tierra; 2.59·10

9 J

P.IV- 47. Si por alguna causa interna la Tierra redujese su radio a la mitad

manteniendo su masa:

a) ¿Cuál sería la intensidad del campo en su nueva superficie?

b) ¿Se modificaría sustancialmente su órbita alrededor del Sol?

c) ¿Cuál sería la nueva duración, en horas, del día?

Solución: g = 4 g0; no; 6 horas

P.IV- 48. Dos satélites artificiales de masa m0 y 2 m0 describen órbitas circulares

del mismo radio r = 2RT, siendo RT el radio de la Tierra. Calcula la diferencia entre las

energías mecánicas de ambos satélites.

Solución: GMTm0/4RT

P.IV- 49. Un satélite artificial de 1.2 Tn se eleva a una distancia de 6500 Km del

centro de la Tierra y se le confiere un impulso mediante cohetes propulsores para que

describa una órbita circular alrededor de la Tierra.

a) ¿Qué velocidad deben comunicar los cohetes para que tenga lugar ese

movimiento?

b) ¿Cuánto vale el trabajo realizado para llevarlo de la superficie de la Tierra a

esa altura?

Datos: RT = 6.36·106 m; g0 = -3.659·10

10 J


; -1.61·109 J; -3.659·10

10 J

P.IV- 50. Un cuerpo de 2 kg de masa se mueve a lo largo de una recta con una

velocidad constante j

3 m/s. Determinar su momento angular con respecto al origen

(0,0) cuando el cuerpo está en los puntos (2,0), (2,1) y (2,2) de la misma recta. ¿Qué


IV-14

conclusión se obtiene respecto del momento angular de un cuerpo que se mueve con

movimiento rectilíneo uniforme?

P.IV- 51. ¿Permanece constante el momento angular de un electrón en una

órbita determinada según el modelo de Bohr? Explicadlo.

P.IV- 52. Teniendo en cuenta la respuesta del problema anterior, ¿puede usarse

el valor del momento angular para caracterizar una determinada órbita? ¿Conoces algún

número cuántico referido al momento angular?

P.IV- 53. Un cuerpo de 3 kg de masa se mueve a lo largo de una recta con

velocidad jiv

43 m/s. Determinar su momento angular con respecto al origen (0,0)

cuando el cuerpo se encuentra en el punto (4,1). ¿Qué dirección tiene el momento

angular?

Solución: jip

129 kg m/s; kL

39 kg m2/s.

P.IV- 54. Una persona se encuentra de pie sobre una plataforma que gira

alrededor de un eje vertical. En un momento dado, se siente mareada y trata de

desplazarse hacia el eje con la intención de asirse a él. ¿Crees que ha tomado la decisión

más acertada? ¿Por qué?

P.IV- 55. El radio solar es de unos 6.96×108 m, y su período de rotación es de

25.3 días. ¿Cuál sería su período de rotación si se colapsara formando una enana blanca

de 4000 km de radio, sin variación apreciable de masa?

Solución: 1 min 12 s.

P.IV- 56. Si G = 6.67 × 1011

N m2/kg

2, la masa de la Tierra es 6×10

24 kg y el

radio de la Tierra es de 6370 km, determinar:

a) La magnitud de la fuerza con que la Tierra atrae a una piedra de 100 g.

b) La magnitud de la fuerza con que la piedra atrae a la Tierra.

c) El valor de la aceleración que adquiere la piedra sometida a esa fuerza.

d) El valor de la aceleración que adquiere la Tierra sometida a esa misma

fuerza.


IV-15

e) La fuerza con que la Tierra atraerá a otra piedra cuya masa es de 10 kg,

así como la aceleración que ésta adquiere.

Solución: a) 0.98 N; b) 0.98 N; c) 9,8 m/s2; d) 1.6×10

25 m/s

2; e) 98N, 9.8

m/s2.

P.IV- 57. Una masa cae con una aceleración de 3.7 m/s2 sobre la superficie de

un planeta sin atmósfera cuyo radio es 0.4 veces el terrestre. ¿Cómo es la masa de este

planeta en relación con la terrestre?

Solución: mP/mT = 0.06.

P.IV- 58. Dos masas puntuales iguales de 5 kg se encuentran situadas en los

vértices inferiores de un triángulo equilátero de 40 cm de lado. Si se coloca en el vértice

superior una tercera masa m´:

a) ¿Qué aceleración adquiere esta última masa en ese punto (exprésala en

notación vectorial?

b) ¿Descenderá con aceleración constante?

c) ¿Qué aceleración tendrá en el momento de llegar a la base del triángulo?

Solución: a) j9106.3 m/s

2; b) no; c) 0.

P.IV- 59. Determinar el campo producido en el punto P por la distribución de

masas de la figura:

5 kg

10 kg

P

3 kg

5 m

10 m

Solución: jig 1112 10309.110107.8 N/kg.


IV-16

P.IV- 60. Tenemos cuatro partículas iguales de 2 kg de masa en los vértices de

un cuadrado de 1 m de lado. Determinar el módulo de la fuerza gravitatoria que

experimenta cada partícula debido a la presencia de las otras tres.

Solución: 5.10×1010

N.

P.IV- 61. Halla el valor que tiene el campo gravitatorio en la superficie del

planeta Júpiter, teniendo en cuenta que su masa es 300 veces la de la Tierra, y su radio,

11 veces mayor que el terrestre.

Solución: 24.3 m/s2.

P.IV- 62. La distancia de la Tierra al Sol es de 152 100 000 km en el afelio,

mientras que en el perihelio es de 147 100 000 km. Si la velocidad orbital de la Tierra es

de 30270 m/s en el perihelio, determinar, por conservación de la energía mecánica, cuál

será la velocidad orbital en el afelio.

Solución: 29247.5 m/s.

P.IV- 63. Cinco masas de 4 kg cada una están en posiciones equidistantes sobre

el arco de una semicircunferencia de 80 cm de radio. Una masa de 0.5 kg se sitúa en el

centro de curvatura de dicho arco. Determinar:

a) La fuerza que actúa sobre dicha masa.

b) La energía potencial de dicha masa en ese punto.

Solución: a) j101002.5 N; b) 8.33×10

10 J.

4 kg

4 kg

4 kg

4 kg

4 kg

0.5 kg


IV-17

P.IV- 64. Determinar la fuerza que actúa sobre la carga Q3 de la figura.

+

Q1 = + 4 C

Q2 = 10 C Q3 = 6 C

0.3 m

0.2 m

Solución: jiF

38.158.12 N.

P.IV- 65. ¿Cómo es el campo gravitatorio debido a una corteza esférica en un

punto exterior? ¿Y en uno interior? ¿Podrías demostrar tu respuesta a esta última

cuestión desde punto de vista cualitativo?

P.IV- 66. Un protón se mueve con una velocidad de 3×107 m/s a través de un

campo magnético de 1.2 T. Si la fuerza que experimenta es de 2×1012

N, ¿qué ángulo

formaba su velocidad con el campo cuando entró en él?

P.IV- 67. Un haz de protones y otro de electrones son lanzados en la misma

dirección y sentido. En ambos casos, se observa que las partículas se desplazan con

movimiento rectilíneo y uniforme. ¿Podemos asegurar que en dicha región no existe

campo magnético? ¿Y campo eléctrico?

P.IV- 68. Una espira se sitúa de modo que su momento magnético tiene la

misma dirección que el campo externo B

y sentido opuesto. ¿Cuál es el momento del

par que actúa sobre ella? ¿Se encontrará en equilibrio estable o inestable? Razona la

respuesta.


IV-18

P.IV- 69. Una corriente de 25 mA circula sobre una bobina rectangular de 50

espiras de 3 cm × 5 cm. Calcular:

a) El momento magnético de la bobina.

b) El momento del par de fuerzas que actúa sobre la espira si se coloca paralela

a un campo de 0.2 T.

Solución: a) 1.87×103

A·m2; b) 3.75×10

4 N·m.

P.IV- 70. Un ciclotrón ha sido diseñado para acelerar protones. El campo

magnético con el que opera es de 1.4 T, y el radio es de 0.5 m. ¿Cada cuánto tiempo

tenemos que alternar el voltaje entre las des si no consideramos efectos relativistas?

¿Cuál es la máxima energía en MeV que podría alcanzarse en este ciclotrón?


s; b) 24.5 MeV.

P.IV- 71. Un espectrómetro de masas utiliza un selector de velocidades

consistente en dos placas paralelas separadas 5 mm, entre las que se aplica una

diferencia de potencial de 250 V. El campo magnético cruzado en la región de las placas

vale 0.5 T. Calcular:

a) La velocidad de los iones que entran en el espectrómetro.

b) La distancia entre los picos del registro correspondiente al 232

Th+ y al

228Th

+

si el campo magnético con el que opera el espectrómetro en su interior es de

1 T.

Solución: a) 105 m/s; b) 8.4 mm.

P.IV- 72. ¿Se podría detener una partícula cargada en un campo magnético

uniforme?

P.IV- 73. ¿Cómo puede usarse el movimiento de una partícula cargada para

distinguir un campo eléctrico de uno magnético?

P.IV- 74. En un instante dado, un electrón se mueve en la dirección Z en una

región donde hay un campo magnético en la dirección +X. ¿Cuál es la dirección de la

fuerza que actúa?


IV-19

P.IV- 75. Con una velocidad kjiv

32 m/s, un electrón se mueve en una

región del espacio en la que el campo magnético viene dado por jiB

02.03.0 T.

¿Cuál es la fuerza que actúa sobre él? ¿Y su módulo?

Solución: kjiF

201921 104.5104.1106.9 N; 19105.1 F

N.

P.IV- 76. Si deseamos que el campo en un punto cualquiera entre dos

conductores rectilíneos paralelos sea más intenso que el que correspondería a un único

conductor, ¿en qué sentido relativo deberían circular las corrientes?

P.IV- 77. Una espira rectangular de 10 cm × 5 cm se sitúa paralela a un

conductor rectilíneo de gran longitud a una distancia de 2 cm, como se indica en la

figura. Si la corriente que circula por el conductor es de 15 A, y la que circula por la

espira en el sentido indicado es de 10 A, ¿cuál es la fuerza neta que obra sobre la espira?

2 cm

I1

I2

10 cm

5 cm

Solución: 1.7×104

N (de atracción).


IV-20

P.IV- 78. ¿Cuántas espiras circulares estrechamente arrolladas deberá tener una

bobina de 12.56 mm de radio por la que circula una intensidad de 0.25 A, para que el

campo magnético en su centro valga 104

T?

Solución: 8 espiras.

P.IV- 79. ¿Qué ocurrirá si dirigimos un haz de electrones hacia el interior de un

solenoide por el que circula una corriente, de manera que aquéllos penetren en la

dirección del eje principal?

P.IV- 80. Colocamos una espira circular de 2 cm de radio en el seno de un

campo magnético uniforme de 0.2 T, de modo que el plano de la espira sea paralelo al

campo. ¿Cuánto vale el flujo magnético a través de la espira? ¿Y si el plano de la espira

forma 45º con el campo? ¿Y si forma 90º? ¿Qué ocurrirá si hacemos girar la espira?

P.IV- 81. Acercamos un electroimán a una espira rectangular cuyas dimensiones

son 3 cm × 4 cm, de modo que el campo magnético pase de 0 a 0.8 T en una décima de

segundo. ¿Cuál es el valor de la fuerza electromotriz inducida?

P.IV- 82. Una corriente de 10 A recorre un hilo conductor de gran longitud

situado cerca de una espira rectangular, como se indica en la figura.

a) Calcular el flujo del campo magnético a través de la espira.

b) Determinar la fuerza electromotriz media y el sentido de la corriente

inducida en la espira si se interrumpe la corriente al cabo de 0.02 s.

I

10 cm10 cm

20 cm


s; b) 24.5 MeV.


IV-21

P.IV- 83. Una espira de 100 cm2 de superficie se encuentra orientada de forma

perpendicular a un campo magnético cuya magnitud aumenta uniformemente desde 0.2

T hasta 1.4 T en 0.25 s. Determinar:

a) ¿Cuánto vale la fuerza electromotriz inducida en la espira?

b) ¿Cuál será la intensidad de la corriente si la resistencia total de la espira es de

3 ?


Wb; b) 1.1×105

V; sentido horario.

P.IV- 84. Una bobina de 100 espiras circulares de 2 cm de radio se sitúa con sus

espiras perpendiculares a un campo magnético cuyo valor varía según B = 1.5·e0.2t

T.

a) ¿Cómo varía la fuerza electromotriz inducida con el tiempo?

b) ¿Cuál será el valor de dicha fuerza electromotriz inducida a los 10 segundos?

P.IV- 85. Una bobina de 150 espiras cuadradas de 3 cm de lado gira en un

campo magnético de 0.6 T:

a) ¿Cuál debería ser su frecuencia para inducir una fuerza electromotriz

máxima de 12 V?

b) Si la bobina girase a 60 Hz, ¿cuál sería su fuerza electromotriz máxima?

c) Trazar la gráfica -t correspondiente a un período completo para el caso b).

Sobre la misma gráfica, dibujar ahora la que ilustra el caso de una frecuencia

de 30 Hz. ¿Qué conclusiones se obtienen?

P.IV- 86. La bobina rectangular de un generador simple de corriente alterna

alcanza una fuerza electromotriz de 65.3 V a una frecuencia de 50 Hz en un campo de

1.3 T. Si las dimensiones de las espiras son 8 cm × 5 cm, ¿cuántas espiras tiene la

bobina?

Solución: 8 espiras.


IV-22

P.IV- 87. En un campo de fuerzas conservativo la energía potencial viene dada

por la expresión 3533 2 yzxyxU expresada en el sistema internacional.

Calcula: a) La fuerza que actúa sobre la partícula colocada en el punto A (1,2,1) m. b) El

trabajo realizado por el campo cuando la partícula se desplaza del punto A al B (-1,3,2)

m.

Solución: kjiF

6 N; 31 J.

P.IV- 88. Halla la fuerza gravitatoria y la fuerza eléctrica que se ejercen entre sí

dos electrones separados por una distancia de 10-10

m (1 Å), que es una distancia típica a

escala atómica. Compara las magnitudes de ambas fuerzas.

Solución: 5.54·10-51

N; 2.3·10-8

N; 4.16·1042

.

P.IV- 89. Una gota de aceite tiene una masa de 4·10-14

kg y una carga neta de

4.8·10-19

C. Se hace actuar un campo eléctrico, variando su magnitud hasta lograr que la

fuerza eléctrica equilibre el peso de la gota, quedando ésta en reposo. ¿Cuál deberá ser

la dirección y magnitud de dicho campo eléctrico?

Solución: 8.17·105

N·C-1

.

P.IV- 90. Las masas m1, m2 y m3 de la figura adjunta valen 8·103 kg, 9·10

3 kg y

103 kg, respectivamente. Se pide: a) La intensidad del campo gravitatorio en el punto

(4,3) m. b) Fuerza que actuará sobre una masa de 10 kg situada en dicho punto.


IV-23

Solución: (-3.55·10-8

, -6.83·10-8

) N·Kg-1

; (-35.5·10-8

; -68.3·10-8

) N.

P.IV- 91. ¿A qué altura de la superficie terrestre la intensidad del campo vale la

mitad que en la superficie de la Tierra? (Da el resultado en función del radio de la

Tierra, RT).

Solución: 0.41 RT.

1. P.IV- 92. Dadas las cargas q1 = -7.2 C, q2 = -40 C y q3 = 6.4 C

representadas en la figura adjunta, determina:


IV-24

a) Intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas y fuerza

que actúa sobre una carga de -10-6

C situada en dicho punto.

b) Trabajo realizado por la fuerza electrostática al desplazar q2 hasta el

origen.

c) Energía potencial de la distribución inicial. ¿Cuál es su significado

físico?

Solución: (1980, 3960) N·C-1

; (-1.98·10-3

, -3.96·10-3

) N; -0.204 J; -0.101 J.

P.IV- 93. Un electrón describe una órbita circular de radio r alrededor de un

núcleo que contiene Z protones. Halla la expresión de la energía total de este átomo de 1

sólo electrón considerando que fuesen válidas las leyes de la Mecánica Clásica. Halla

su valor para el caso del átomo de hidrógeno (Z=1), suponiendo entonces r = 0.5 Å.

Solución: -14 eV.


IV-25

P.IV- 94. Una masa de 1000 kg se desplaza desde un punto en el que el

potencial es -5 J·kg-1

a otro que es -7 J·kg-1

. Calcula: a) El trabajo de las fuerzas

gravitatorias e indica si se trata o no de una transformación espontánea. b) Idem si el

cuerpo se aleja desde el punto en que Vg = -5 J·kg-1

hasta una gran distancia en que Vg

puede considerarse prácticamente nulo.

Solución: 2000 J (espontánea); -5000 J (forzada).

P.IV- 95. En el núcleo atómico existe un determinado número (Z) de protones.

Si la distancia media a la que se encuentran los nucleones es de 10-13

m, ¿cuál es la

fuerza repulsiva que se ejercen entre sí dos protones cualesquiera?

P.IV- 96. ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra debe encontrarse un

cuerpo para perder el 10% de su peso?

Solución: 344.6 km.

P.IV- 97. Dada la figura adjunta y sabiendo que en el punto M se encuentra una

carga q1 de 5 nC y en el punto N otra carga q2 de valor -10 nC, determina:


IV-26

a) Intensidad del campo y potencial en el punto A. ¿Qué fuerza actuaría sobre

una carga q=-2C que se situase en el punto A?. b) Energía potencial del sistema de

cargas formado por q1 y q2. c) Trabajo realizado por la fuerza electrostática si

desplazamos q1 hasta el punto O.

Solución: (1.76, 4.06, -1.54) N·C-1

; -10.19 V; (-3.52·10-6

, -8.12·10-6

, 3.08·10-6

)

N; -6.18·10-8

J; 6.3·10-8

J.

P.IV- 98. Un satélite se pone en órbita a una distancia de la superficie terrestre

tal que la aceleración de la gravedad es la mitad del valor en la superficie. ¿Cuál es el

período de revolución del satélite en torno a la Tierra?

Solución: 2h, 21´, 59´´.

P.IV- 99. Un cometa tiene una velocidad de 18·104 km·h

-1 cuando se encuentra

a una distancia de 2·108 km del Sol. ¿Qué tipo de órbita describirá?

Solución: Hiperbólica.

P.IV- 100. a) Calcula la energía potencial electrostática en eV de un electrón en

un átomo de hidrógeno, suponiendo que el electrón se halla a una distancia media

respecto del protón igual a 5.3·10-11

m. b) Calcula a continuación la energía potencial

gravitatoria del sistema y compara ambas cantidades.

Solución: 27.1 eV; -1.2·10-38

eV; 2.26·1039

eV.

unidad 4. campos gravitatorio y elÉctricog+e+bproblemas.pdfproblemas campos gravitatorio y...

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