unidad 3 poligonal abierta

TOPOGRAFÍA (INC 3201) CAPÍTULO III: POLIGONAL ABIERTA ________________________________________________________________________________________

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Unidad III: POLIGONAL ABIERTA 3.1 Poligonales

La poligonación es uno de los procedimientos topográficos más comunes. Las poligonales se usan generalmente para establecer puntos de control y puntos de apoyo para el levantamiento de detalles y elaboración de planos, para el replanteo de proyectos y para el control de ejecución de obras.

Una poligonal es una sucesión de líneas quebradas, conectadas entre sí en los vértices. Para determinar la posición de los vértices de una poligonal en un sistema de coordenadas rectangulares planas, es necesario medir el ángulo horizontal en cada uno de los vértices y la distancia horizontal entre vértices consecutivos.

En forma general, las poligonales pueden ser clasificadas en:

- Poligonales cerradas (Figura 3.1.a), en las cuales el punto de inicio es el mismo punto de cierre, proporcionando por lo tanto control de cierre angular y lineal.

- Poligonales abiertas (Figura 3.1.b), en las cuales no es posible establecer los

controles de cierre, ya que no se conocen las coordenadas del punto inicial y/o final, o no se conoce la orientación de la alineación inicial y/o final.

(a) (b)

Figura 3.1: Tipos de Poligonales


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a) Poligonal Cerrada (Se verá en detalle en Capítulo IV)

b) Poligonal Abierta:

En poligonales abiertas sin control, se realizan las siguientes operaciones:

1. Cálculo de acimutes o rumbos entre alineaciones (ley de propagación de los acimutes). 2. Cálculo de las proyecciones de los lados. 3. Cálculo de las coordenadas de los vértices. Entonces;

b.1 Cálculo de acimutes o rumbos entre alineaciones

Los acimutes de los de lados una poligonal se pueden calcular a partir de un acimut conocido y de los ángulos medidos, aplicando la ley de propagación de los acimutes, la cual se puede deducir de la Figura 3.2.

Figura 3.2: Propagación de los acimutes

Supongamos que en la Figura 3.2, se tienen como datos el acimut φAB y los ángulos en los vértices y se desea calcular los acimutes de las alineaciones restantes, para lo cual procedemos de la siguiente manera:


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Según la Figura 3.2; El acimut φB1 será: φB1 = φAB - ΔB Siendo, ΔB = 180° - α Luego, φB1 = φAB + α – 180° El acimut φ12 será: φ12 = φB1 + Δ1

Siendo, Δ1= 1̂ – 180°

Luego, φ12 = φB1 + 1̂ – 180°

Si aplicamos el mismo procedimiento sobre cada uno de los vértices restantes, podremos generalizar el cálculo de los acimutes según la siguiente ecuación:

φi = φi-1 + ∠ vértice ± ƺ (Ec. 3.1) Donde, φi : Acimut del lado. φi-1 : Acimut anterior.

Los criterios para la utilización de la Ecuación (3.1) son los siguientes: Para determinar ƺ Si (φi-1 + ∠ vértice) < 180° ⇒ Se suma 180° Si (φi-1 + ∠ vértice) ≥ 180° ⇒ Se resta 180° Si (φi-1 + ∠ vértice) ≥ 540° ⇒ Se resta 540° (Ningún acimut puede ser mayor de 360°)


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Ejemplo:

Dado el acimut φA1 y los ángulos. Calcule los acimutes restantes.

Solución: Aplicando la ecuación (3.1) tenemos: Acimut de la alineación 1-2 φ12 = (125°30’12” + 100°18’30”) ± 180° Si (125°30’12” + 100°18’30”) = 225°48’42” > 180° ⇒ Se resta 180° Entonces, φ12 = 125°30’12” + 100°18’30” -180° = 45°48’42” Acimut de la alineación 2-3 φ2-3 = (45°48’42” + 120°40°32”) ± 180° Si (45°48’42” + 120°40’32”) = 166°29’14” < 180° ⇒ Se suma 180° Entonces, φ2-3 = 45°48’42” + 120°40°32” + 180° = 346°29’14” Acimut de la alineación 3-B φ3B = (346°29’14” + 210°25’30”) ± 180° Si (346°29’14” + 210°25’30”) = 556°54’44” > 540° ⇒ Se resta 540° Entonces, φ3B = 346°29’14” + 210°25’30” - 540° = 16°54’44”


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b.2 Cálculo de las proyecciones de los lados.

Con Estación Total: Tabla tipo, de datos de terreno:

Est. Punto Acimut (φ)

∠V D. horizontal (DH)

H. Instrum. (HI)

H. Jalón (HJ)

Proyecciones:

DHCosenoSN ⋅=−∆ )(ϕ Si NSN ∆⇒>−∆ 0

Si SSN ∆⇒<−∆ 0

DHSenoOE ⋅=−∆ )(ϕ Si EOE ∆⇒>−∆ 0

Si OOE ∆⇒<−∆ 0

b.3 Cálculo de las coordenadas de los vértices.

Coordenadas:

NNCoordenadaN ∆+= )(

SNCoordenadaN ∆−= )(

EECoordenadaE ∆+= )(

OECoordenadaE ∆−= )(

DVHJHIEstaciónCotapuntoCota ±−+=

Donde,

)( VCotgDHDV ∠⋅=


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Ejemplo:

Siguiendo el Procedimiento descrito anteriormente, calcule las coordenadas de la Poligonal Abierta: BASE DE MEDICIÓN= (200,00; 300,00; 50,00) OBS: La Estación total, trabaja los ángulos en GRADIANES.


∠ V D. horizontal (DH)

H. Instrum. (HI)

H. Jalón (HJ)

A0 A1 103,2851 99,2155 101,43 1,532 1,532

A1 A0 303,2851 100,7845 101,43 1,370 1,370

A2 185,4052 98,3296 92,59

A2 A1 385,4052 101,6704 92,59 1,460 1,460

A3 269,5109 97,4880 98,28

A3 A2 69,5109 102,5120 98,28 1,520 1,520

A4 347,7363 101,5765 124,35

A4 A3 147,7363 98,4235 124,35 1,51 1,51

Solución: a) Cálculo de acimutes o rumbos entre alineaciones OBS:

El cálculo, enseñado en este Apunte, para la propagación de acimutes, es válido si y solo si, el dato entregado por el Instrumento (Taquímetro) es el ángulo entre alineaciones.

La Estación total entrega los acimutes. Por lo tanto, no es necesario realizar ningún cálculo, sólo si la Poligonal es Abierta. Cuando la Poligonal es Cerrada (Se verá en Capitulo IV), entonces, se deberán compensar los acimutes debido al error de cierre.


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b) Cálculo de las proyecciones de los lados.

De acuerdo a las ecuaciones señaladas anteriormente, se tiene: OBS: La Estación total, trabaja los ángulos en GRADIANES.

Proyecciones


∠ V D. horizontal (DH)

ΔN ΔS ΔE ΔO

A0 A1 103,2851 99,2155 101,43 0,000 5,232 101,295 0,000

A1 A0 303,2851 100,7845 101,43

A2 185,4052 98,3296 92,59 0,000 90,167 21,041 0,000

A2 A1 385,4052 101,6704 92,59

A3 269,5109 97,4880 98,28 0,000 45,290 0,000 87,223

A3 A2 69,5109 102,5120 98,28

A4 347,7363 101,5765 124,35 84,747 0,000 0,000 90,999

A4 A3 147,7363 98,4235 124,35

Veamos como se resuelve para la primera Estación A1:

232,5)( −=⋅=−∆ DHCosenoSN ϕ

- Como 0<−∆ SN , entonces la Proyección corresponde a S∆

- No se debe anteponer el signo negativo.

- Debido a que la Proyección obtenida es 232,5=∆S , se tendrá como consecuencia

que 0=∆N

295,101)( =⋅=−∆ DHSenoOE ϕ

- Como 0>−∆ OE , entonces la Proyección corresponde a E∆

- Debido a que la Proyección obtenida es 295,101=∆E , se tendrá como

consecuencia que 0=∆O

Para las siguientes estaciones A2, A3 y A4, se debe realizar el mismo

procedimiento.


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c) Cálculo de las coordenadas de los vértices.

De acuerdo a las ecuaciones señaladas anteriormente, se tiene: Proyecciones Coordenadas

Est. Punto ΔN ΔS ΔE ΔO DV N E Cota

A0 300,00 200,00 50,00

A0 A1 0,000 5,232 101,295 0,000 1,250 294,768 301,295 51,250

A1 A0 -1,250 51,250

A2 0,000 90,167 21,041 0,000 2,430 204,601 322,336 53,680

A2 A1 -2,430 53,680

A3 0,000 45,290 0,000 87,223 3,880 159,311 235,113 57,560

A3 A2 -3,880 57,560

A4 84,747 0,000 0,000 90,999 -3,080 244,058 144,114 54,480

A4 A3 3,080 54,480

Notar que:

Para el cálculo de coordenadas (N, E) y Cota, se debe utilizar la coordenada y cota de la ESTACIÓN ANTERIOR.

Si calculamos la coordenada Norte, por ejemplo, tenemos: - Para A1:

768,294232,5300)( =−=∆−= SNCoordenadaN

- Para A2:

601,204167,90768,294)( =−=∆−= SNCoordenadaN

- Para A3:

311,159290,45601,204)( =−=∆−= SNCoordenadaN

- Para A4:

058,244747,84311,159)( =−=∆+= NNaCooordenadN

Para la coordenada Este y Cota, no olvidar también utilizar la Estación anterior.


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TABLA RESUMEN:


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Trabajo de Terreno con Estación Total: ¿Cómo se realizó este procedimiento en terreno? Veamos Paso a Paso: A0

- Fijar punto donde hacer Estación A0. (Hito: Clavo) - Nivelar instrumento. - Calar al Norte Magnético. - Introducir coordenadas. (Ejemplo, 100, 100, 50) - Introducir altura de Instrumento y altura de jalón.

A0-A1

- Fijar punto donde hacer Estación A1. (Hito: Clavo) - Desde Estación A0, tomar punto A1. Para ello el alarife, deberá poner el jalón

sobre el punto establecido como A1. - La Estación Total, desplegará en pantalla los datos: Acimut, Ángulo vertical y

Distancia horizontal. (Anotarlos ordenadamente, como se mostró en el ejemplo anterior).

A1-A0 (Calado atrás)

- Trasladar la Estación Total sobre el Hito que señala A1. - Nivelar instrumento. - Introducir altura de Instrumento y altura de jalón. - El alarife deberá poner el jalón sobre A0. - Al acimut entregado de A0-A1, sumar 200g, e introducir el valor obtenido al

instrumento apuntando al jalón que esta sobre A0. (VER FIGURA 3.3)

Es importante el Calado atrás, para que todas las Estaciones mantengan el mismo NORTE, fijado en A0.

Figura 3.3: Estación A0-A1 y Calado atrás (A1-A0)


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A1-A2

- La Estación está aún en A1. - Ya se caló atrás (A1-A0) para orientar la Estación. - Fijar punto donde hacer Estación A2. (Hito: Clavo) - Desde Estación A1, tomar punto A2. Para ello el alarife, deberá poner el jalón





instrumento apuntando al jalón que esta sobre A1. (VER FIGURA 3.4)

Es importante el Calado atrás, para que todas las Estaciones mantengan el mismo NORTE, fijado en A0.



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A2-A3






instrumento apuntando al jalón que esta sobre A2. (VER FIGURA 3.5). Como en este caso el ángulo obtenido será 469,511g, el ángulo a introducir será 69,511g, los ángulos no pueden sobrepasar los 400g.



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A3-A4






instrumento apuntando al jalón que esta sobre A3. (VER FIGURA 3.6). Como en este caso el ángulo obtenido será 547,736g, el ángulo a introducir será 147,736g, los ángulos no pueden sobrepasar los 400g.



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3.2 Trazado de Rutas

Un Plano topográfico bien elaborado constituye una base de información indispensable en la planificación, ejecución y control de todo proyecto.

Además, de un Plano topográfico con curvas de nivel podemos determinar la cota o elevación de cualquier punto sobre el plano, la pendiente entre dos puntos, estimar los volúmenes de corte y relleno de material requeridos en la ejecución de una obra, proyectar trazado de vías, etc.

Para el Trazado de una Ruta, se debe establecer, de manera primordial, las pendientes máximas que puede adoptar una ruta, de acuerdo a su Velocidad de Proyecto. (Ver Apunte Capitulo II). Cálculo de Pendientes:

La pendiente de un terreno entre dos puntos ubicados en dos curvas de nivel consecutivas es igual a la relación entre el intervalo de las curvas de nivel o equidistancia y la distancia longitudinal que los separa (Figura 3.7)

100⋅=D

eP (Ec. 3.2)

Donde, P : Pendiente del terreno (%) e : Equidistancia entre curvas de nivel (m) D : Distancia horizontal entre los puntos considerados (m)

Figura 3.7: Pendiente del terreno


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Ejemplo 1:

Para calcular la pendiente del terreno entre los puntos A y B de la Figura 3.7, medir a escala indicada la distancia AB. Suponer que la distancia AB (20,0 m).

La Figura indica que las curvas tienen una equidistancia de 5m. Entonces,

%2510020

5=⋅=P

Calcular la pendiente entre A y B’ suponiendo que la distancia AB’ es 40 m

Entonces,

%5,1210040

5=⋅=P

Ejemplo 2:

Suponiendo que se necesita trazar un camino, se cuenta con un plano topográfico a escala. El trazado se muestra en la Figura 3.8, verificar si este cumple con las pendientes máximas para un camino cuya Velocidad de Proyecto es 40 Km/h.

Figura 3.8: Trazado de una Ruta, en plano con curvas de nivel


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Suponer que las distancias medidas a escala son las siguientes: DA-1 = 58 m D1-2 = 75 m D2-3 = 118 m D3-B = 30 m Desarrollo: Tramo A-1:

%6,810058

5=⋅=P

Tramo 1-2:

%7,610075

5=⋅=P

Tramo 2-3:

%2,4100118

5=⋅=P

Tramo 3-B:

%7,1610030

5=⋅=P

Según la Tabla 3.204.302.A, del MC. Vol. 3, indicada en el Apunte Capítulo II, página 17; para una Velocidad de Proyecto de 40 Km/h, la pendientes máximas están en el rango 9-10%.

Por lo tanto, el Tramo 3-B; no cumple con este requisito. Se deberá modificar el trazado de este tramo.


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OBS:

Las Poligonales Abiertas son utilizadas para el Trazado de Rutas, Líneas de alta tensión, canales, oleoductos, etc. Sin embargo, existe una dificultad mayor al realizar este tipo de Levantamiento, pues no se puede determinar el error.

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